Kurt Gödel

Kurt Friedrich Gödel (Brno, 28 april 1906 — Princeton, New Jersey, 14 januari 1978) was een Oostenrijks/Amerikaans wiskundige, logicus en filosoof. Hij wordt gezien als een van de belangrijkste logici aller tijden.

Kurt Gödel
Persoonlijke gegevens
Geboortedatum	28 april, 1906
Geboorteplaats	Brno, Moravië, Oostenrijk-Hongarije
Overlijdensdatum	14 januari, 1978 (71 jaar)
Overlijdensplaats	Princeton, New Jersey, USA
Locatie graf	Graf op Find a Grave
Academische achtergrond
Alma mater	Universiteit van Wenen (1923 – 1929)
Promotor	Hans Hahn
Wetenschappelijk werk
Vakgebied	Wiskunde, Wiskundige logica
Bekend van	onvolledigheidsstellingen van Gödel, Volledigheidsstelling van Gödel, Gödelnummer, Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer, Gödel metric, Gödels ontologisch bewijs, Gödel-incomplete machine
Onderzoek	Gödels onvolledigheidsstellingen, Gödels volledigheidsstelling, de consistentie van de continuümhypothese met de ZFC
Portaal    Wiskunde Wetenschap & Technologie

Gödel heeft een enorme invloed gehad op het wetenschappelijke en filosofische denken van de 20e eeuw, doordat hij het eerdere werk van Bertrand Russell, A. N. Whitehead en David Hilbert om de wiskunde op een formele basis van een sluitend overkoepelend axiomatisch systeem te grondvesten, in belangrijke mate ondergroef.

In 1931 bewees Gödel namelijk dat binnen elk zelfconsistent recursief axiomatisch systeem, dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van de natuurlijke getallen te beschrijven (Peano-rekenkunde), er tenminste een ware stelling over de natuurlijke getallen bestaat, die niet bewezen kan worden op basis van de axiomata van dit systeem. Bij de bewijsvoering van deze stelling ontwikkelde Gödel een techniek die tegenwoordig bekend staat als de Gödel-nummering, die aan elke formele uitspraak een natuurlijk getal toekent. Deze stelling staat bekend als de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel. Dit resultaat betekende het eind van het logisch positivisme van de Wiener Kreis.

In zijn tweede onvolledigheidsstelling toonde Gödel later aan dat de continuümhypothese niet weerlegd kan worden binnen de consistente axioma’s van de verzamelingenleer. Kurt Gödel leverde verder belangrijke bijdragen aan de bewijstheorie door de verbanden te verduidelijken tussen de klassieke logica, de intuïtionistische logica, en de modale logica.

Leven

Jeugd

Kurt Friedrich Gödel werd geboren op 28 april 1906 in Brno, destijds in Oostenrijk-Hongarije, in het etnisch Duitse gezin van Rudolf Gödel, bedrijfsleider van een textielfabriek en Marianne Gödel (geboren Handschuh). Ten tijde van zijn geboorte had de stad een kleine meerderheid Duitstalige inwoners, en dat was de taal van zijn ouders. De voorouders van Kurt Gödel speelden vaak een actieve rol in het culturele leven van Brno. Zijn grootvader, Joseph Gödel was bijvoorbeeld in die tijd een beroemde zanger en een aantal jaren lid van de "Brünner Männergesangverein".

In het gezin stond de jonge Kurt bekend als Herr Warum ("Meneertje Waarom"), vanwege zijn onverzadigbare nieuwsgierigheid. Volgens zijn broer Rudolph leed Kurt toen hij zes of zeven was aan reuma; hij genas volledig, maar bleef er voor de rest van zijn leven van overtuigd dat zijn hart blijvende schade had opgelopen.

Van 1912 tot 1916 bezocht Gödel de Evangelische Volksschule, een Lutherse school in Brno en van 1916 tot 1924 stond hij ingeschreven aan het Deutsche Staats-Realgymnasium waar hij in alle vakken uitblonk, vooral in wiskunde, talen en godsdienst. Hoewel Kurt aanvankelijk in talen had uitgeblonken, kreeg hij later meer belangstelling voor geschiedenis en wiskunde.

Hoewel hij zelf maar heel weinig Tsjechisch sprak, werd Gödel op de leeftijd van 12 jaar, automatisch Tsjecho-Slowaaks staatsburger, toen aan het eind van de Eerste Wereldoorlog het Oostenrijks-Hongaarse rijk uiteenviel. Later vertelde hij zijn biograaf John W. Dawson dat hij zich in die tijd voelde als een “verbannen Oostenrijker in Tsjecho-Slowakije” ("ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei"). Toen hij 23 was koos hij ervoor om Oostenrijks staatsburger te worden. Gödel werd toen Nazi-Duitsland Oostenrijk annexeerde, op de leeftijd van 32 automatisch Duits staatsburger. Na de Tweede Wereldoorlog, toen hij 42 was, werd hij Amerikaans staatsburger.

Zijn belangstelling in wiskunde nam nog toe toen in 1920 zijn oudere broer Rudolph (geboren in 1902) naar Wenen vertrok om medicijnen te gaan studeren aan de Universiteit van Wenen (UV). Gedurende zijn tienerjaren bestudeerde Kurt de Gabelsberger stenografie, Goethe's Kleurentheorie, de kritieken van Isaac Newton, en de geschriften van Immanuel Kant.

Studie in Wenen

Toen hij 18 was, voegde hij zich bij zijn broer Rudolph in Wenen en schreef zich in bij de Universiteit van Wenen. Tegen die tijd was hij het universitaire wiskundeniveau al meester. Hoewel hij aanvankelijk van plan was om theoretische natuurkunde te studeren, woonde Kurt ook wiskunde- en filosofiecolleges bij. Gedurende die periode maakte hij zich ideeën over het wiskundig realisme eigen. Hij las Kants Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft, en nam deel aan de Wiener Kreis met Moritz Schlick, Hans Hahn en Rudolf Carnap. Kurt bestudeerde toen de getaltheorie, maar nadat hij deel had genomen aan een cursus, geleid door Moritz Schlick, die Bertrand Russells boek Introduction to Mathematical Philosophy behandelde, raakte Kurt geïnteresseerd in wiskundige logica.

Het is mogelijk dat het bijwonen van een voordracht door David Hilbert in Bologna over volledigheid en consistentie van wiskundige systemen, de levensloop van Gödel heeft bepaald. In 1928 publiceerden Hilbert en Wilhelm Ackermann Grundzüge der theoretischen Logik (Grondslagen van de Theoretische Logica), een inleiding tot de logica van de eerste orde, waarin het volledigheidsprobleem aan de orde werd gesteld: Zijn de axioma’s van een formeel systeem voldoende om daar elke bewering uit af te leiden, die waar is in alle modellen van het systeem? Dat werd het onderwerp dat Gödel koos voor zijn promotie. In 1929, toen hij 23 was, voltooide hij zijn dissertatie onder supervisie van Hans Hahn. Daarin bepaalde Gödel de volledigheid van de predikaatanalyse van de eerste orde (dit resultaat is bekend als Gödels volledigheidsstelling). Hij behaalde zijn doctorstitel in 1930. Zijn proefschrift werd, samen met wat toevoegingen, gepubliceerd door de Weense Academie voor Wetenschappen.

Werk in Wenen

In 1931 publiceerde Gödel zijn beroemde onvolledigheidsstellingen in "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Over formeel onbeslisbare stellingen van de Principia Mathematica en aanverwante systemen”). In dat artikel bewees hij voor elk berekenbaar axiomatisch systeem, dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van de natuurlijke getallen (dat wil zeggen de axioma's van Peano of ZFC), dat:

1. Als het systeem consistent is, kan het niet volledig zijn. (Dat is gewoonlijk bekend als de onvolledigheidsstelling.)
2. De consistentie van de axioma’s kan niet bewezen worden binnen het systeem.

Deze stellingen maakten een eind aan een halve eeuw vergeefse inspanningen, te beginnen met het werk van Gottlob Frege en culminerend in Alfred North Whitehead en Bertrand Russells Principia Mathematica en Hilberts formalisme, om een verzameling axioma’s te ontdekken die voor de hele wiskunde zouden voldoen. De onvolledigheidsstellingen houden ook in dat niet alle wiskundige vraagstukken berekenbaar zijn.

Achteraf is het oorspronkelijke idee, dat de kern vormt van de onvolledigheidsstelling, vrij eenvoudig. In wezen construeerde Gödel een formule die stelt dat zij in een gegeven formeel systeem onbewijsbaar is. Als zij bewijsbaar zou zijn, zou zij vals zijn, wat in tegenspraak is met het feit dat in een consistent systeem bewijsbare beweringen altijd waar zijn. Daarom zal er altijd minstens een ware, maar onbewijsbare bewering bestaan. Dat wil zeggen voor elke berekenbaar aftelbare axiomaverzameling voor de rekenkunde (dat wil zeggen een verzameling die in principe uitgeprint kan worden door een geïdealiseerde computer met onbeperkte hulpbronnen), bestaat er een formule die geldig is in de rekenkunde, maar in dat systeem niet bewijsbaar is. Om dat kloppend te maken moest Gödel echter verschillende technische kwesties oplossen, zoals coderingssystemen, bewijzen en het idee van de bewijsbaarheid bij natuurlijke getallen. Het deed dat met gebruikmaking van het procedé dat bekend staat als Gödelnummering.

In zijn tweepaginalange "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül" (1932) weerlegde Gödel eindige-waardigheid van de intuïtionistische logica. In het bewijs maakt hij gebruik van wat later bekend werd als de Gödel–Dummett tussen-logica (of Gödels vage logica).

Gödel verwierf in 1932 zijn habilitatie aan de Universiteit van Wenen en in 1933 werd hij daar privaatdocent (ongesalarieerd docent). In 1933 kwam in Duitsland Adolf Hitler aan de macht en in de daarop volgende jaren kregen de Nazi’s meer invloed in Oostenrijk en onder de Weense wiskundigen. In juni 1936 werd Moritz Schlick, wiens seminar bij Gödel de belangstelling had gewekt voor de logica, vermoord door een pro-Nazi-student. Dat was bij Gödel aanleiding tot “een ernstige zenuwcrisis.” Hij ontwikkelde paranoïde verschijnselen, waaronder de angst om vergiftigd te worden en bracht een aantal maanden door in een sanatorium voor zenuwzieken.

Bezoeken aan de VS.

In 1933 reisde Gödel voor het eerst naar de VS, waar hij Albert Einstein ontmoette, die een goede vriend werd. Hij hield een toespraak op de jaarlijkse bijeenkomst van de American Mathematical Society. Tijdens dat jaar ontwikkelde Gödel ook zijn ideeën over de berekenbaarheid en recursieve functies, en hield daarop een lezing over de algemene recursieve functies en het idee waarheid. Dit werk werd verder ontwikkeld in de getaltheorie, waarbij gebruik werd gemaakt van de Gödelnummering.

In 1934 gaf Gödel een serie lezingen aan het Institute for Advanced Study (IAS) in Princeton, New Jersey, met de titel Over onbeslisbare stellingen van formele wiskundige systemen. Stephen Kleene, die net op Princeton zijn Ph.D. had behaald, maakte een verslag van die lezingen, die vervolgens werden gepubliceerd.

Gödel wilde in het najaar van 1935 opnieuw een bezoek brengen aan het IAS. Het reizen en harde werken putten hem uit en het jaar daarop moest hij herstellen van een depressie. In 1937 hervatte hij zijn college. In die periode werkte hij aan het bewijs van de consistentie van het keuzeaxioma en van de continuümhypothese; hij zou verdergaan met het aantonen dat deze hypothesen niet weerlegd kunnen worden vanuit het gebruikelijke systeem van axioma’s van de verzamelingenleer.

Hij huwde op 20 september 1938 met Adele Nimbursky (geboren Porkert, 1899-1981), die hij toen al meer dan 10 jaar kende. Zijn ouders hadden zich tegen hun relatie verzet op grond van het feit dat zijn een gescheiden danseres was en tien jaar ouder was dan hij. Zij kregen geen kinderen.

Vervolgens vertrok hij opnieuw voor een bezoek aan de VS, bracht het najaar van 1938 door aan het IAS en het voorjaar van 1939 aan de Universiteit van Notre Dame.

Gödel en zijn echtgenote Adele verbleven in de zomer van 1942 in Blue Hill, Maine, in de Blue Hill Inn met een uitzicht op de baai. Gödel had bij het IAS vakantie opgenomen.

Gödel was echter niet alleen op vakantie en had een zeer productieve zomer. Uit Heft 15 [deel 15] van Gödels nog niet gepubliceerde Arbeitshefte [werkschriften], maakt John W. Dawson, Jr. op dat Gödel tijdens dat verblijf in Blue Hill in 1942 een bewijs ontdekte voor de onafhankelijkheid van het keuze-axioma vanuit de eindige-type-leer, een afgezwakte vorm van de verzamelingenleer. Gödels goede vriend Hao Wang steunt dat vermoeden en merkt op dat Gödels Blue Hill-werkschriften zijn meest uitgebreide behandeling van het probleem bevatten.

Princeton

Na de Anschluss in 1938, was Oostenrijk een deel geworden van Nazi-Duitsland. Duitsland schafte de titel privaatdocent af, zodat Gödel moest solliciteren naar een andere baan in de nieuwe orde. Zijn vroegere omgang met joodse leden van de Weense Kring, vooral met Hahn, had voor hem een nadelige invloed. De universiteit van Wenen wees zijn sollicitatie af. Zijn toestand werd nog hachelijker toen het Duitse leger hem geschikt achtte voor militaire dienst. In september 1939 begon de Tweede Wereldoorlog. Voor het jaar om was, verlieten Gödel en zijn vrouw Wenen met de bestemming Princeton. Om de problematische oversteek van de Atlantische oceaan te vermijden, namen de Gödels de transsiberische spoorweg naar de Grote Oceaan, zeilden vervolgens van Japan naar San Francisco (waar zij op 4 maart 1940 aankwamen), en staken de VS over per trein naar Princeton, waar Gödel een baan zou krijgen aan het Institute for Advanced Study (IAS).

Gödel nam zijn wiskundige arbeid weer heel snel op. In 1940 publiceerde hij zijn Consistentie van het keuze-axioma en van de veralgemeende continuümhypothese met de axioma’s van de verzamelingenleer, dat een klassieker is van de moderne wiskunde. In dat werk introduceerde hij het maakbare universum, een model van de verzamelingenleer waarin de enige bestaande verzamelingen, de verzamelingen zijn die uit eenvoudigere verzamelingen geconstrueerd kunnen worden. Gödel toonde aan de zowel het keuze-axioma (AC) en de veralgemeende continuümhypothese (GCH) in het maakbare universum kloppen, en daarom consistent moeten zijn met de Zermelo-Frankel axioma’s voor de verzamelingenleer (ZF). Paul Cohen stelde later een model van de ZF op waarin AC en GCH onjuist zijn; samen betekenen deze bewijzen dat AC en GCH onafhankelijk zijn van de ZF-axioma’s voor de verzamelingenleer.

In 1951 toonde Gödel het bestaan aan van paradoxale oplossingen van Albert Einsteins veldvergelijkingen in de algemene relativiteitstheorie. Hij gaf die uitwerking aan Einstein als cadeau voor zijn 70e verjaardag. Deze "rondwentelende universa” zouden tijdreizen mogelijk maken en zorgden ervoor dat Einstein twijfelde aan zijn eigen theorie. Zijn oplossingen staan bekend als Gödel-metriek.

Tijdens de vele jaren die hij aan het Instituut doorbracht, richtte Gödels belangstelling zich naar de filosofie en fysica. Hij bestudeerde en bewonderde de werken van Gottfried Leibniz, maar ging geloven dat door een vijandige samenzwering een aantal van de werken van Leibniz verdonkeremaand waren. Minder uitgebreid bestudeerde hij Kant en Edmund Husserl. In het begin van de jaren zeventig verspreidde Gödel onder zijn vrienden een uitwerking van Leibnizs versie van Anselmus van Canterbury’s ontologisch bewijs van het bestaan van God. Dat staat bekend als Gödels ontologisch bewijs.

Gödel werd in 1946 een vast lid van de IAS. Rond die tijd stopte hij met publiceren, hoewel hij wel doorwerkte. In 1953 kreeg hij een volledig hoogleraarschap aan het Instituut en in 1976 werd hij emeritushoogleraar.

Aan Gödel werd in 1951 (samen met Julian Schwinger) de eerste Albert Einstein Prijs toegekend en in 1974 werd hij tevens onderscheiden met de National Medal of Science.

Overlijden

In zijn latere leven was Gödel periodiek geestelijk instabiel en ziek. Hij had een obsessieve angst om vergiftigd te worden; hij was bang dat er giftige gassen uit zijn koelkast ontsnapten en wilde pas eten als zijn echtgenote Adele het eten eerst geproefd had. Eind 1977 werd Adele zes maanden in het ziekenhuis opgenomen en kon dus Gödels voedsel niet voorproeven. Tijdens haar afwezigheid weigerde hij te eten en hongerde hij zichzelf dood. Toen hij overleed woog hij nog maar 30 kg. Zijn overlijdensverklaring vermeldde dat hij op 14 januari 1978 in het ziekenhuis van Princeton overleed aan “ondervoeding en uitputting ten gevolge van een persoonlijkheidsstoornis”.

Grafsteen van Kurt Gödel op het kerkhof van Princeton, NJ.

Nalatenschap

De Kurt Gödel Society, opgericht in 1987, werd naar hem vernoemd. Het is een internationale organisatie voor de bevordering van onderzoek op het gebied van de logica, filosofie en de geschiedenis van de wiskunde.

Religieuze ideeën

Gödel was een overtuigde theïst en zijn hele leven christen. Hij verwierp het idee van een onpersoonlijke God, wat Einstein geloofde. Hij geloofde vast in een leven na de dood en stelde: “ik ben overtuigd van een hiernamaals, onafhankelijk van de theologie. Als de wereld rationeel in elkaar zit, moet er een leven na de dood zijn.”

Gödels vriendschap met Einstein

De vriendschap tussen Albert Einstein en Gödel was legendarisch, wat ook bleek uit de wandelingen die zij samen ondernamen van en naar het IAS. De aard van hun gesprekken was voor de andere leden van het instituut een geheim. De econoom Oskar Morgenstern verhaalt dat Einstein hem tegen het einde van zijn leven in vertrouwen meedeelde dat zijn “eigen werk niet veel meer betekende, maar dat hij nog alleen maar naar het instituut ging….om het voorrecht te hebben samen met Gödel naar huis te kunnen lopen."

Op 5 december 1947, vergezelden Einstein en Morgenstern Gödel naar zijn Amerikaans burgerschapexamen, waar zij als getuigen fungeerden. Gödel had hen in vertrouwen meegedeeld dat hij in de grondwet van de VS een tegenstrijdigheid had ontdekt, waardoor de VS. in staat zouden zijn om een dictatuur te worden. Einstein en Morgenstern maakten zich er zorgen over dat het onvoorspelbare gedrag van hun vriend zijn kansen in gevaar zou kunnen brengen. Gelukkig bleek dat de rechter Phillip Forman was. Forman kende Einstein en had de eed afgenomen bij Einsteins eigen burgerschapsexamen. Alles verliep voorspoedig tot het moment dat Forman Gödel toevallig vroeg of hij dacht dat een dictatuur zoals het Nazi regime in de VS mogelijk zou kunnen zijn. Gödel begon toen aan Forman zijn ontdekking uit te leggen. Forman begreep wat er gebeurde, snoerde Gödel de mond en leidde het gesprek naar andere vraagstukken en de gebruikelijke conclusie.

Belangrijke publicaties

In het Duits:

• (de) 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme," Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98.
• (de) 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.

In het Engels:

• (en) 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
• (en) 1947. What is Cantor's continuum problem? - The American Mathematical Monthly 54: 515-25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984
• (en) 1964. Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470-85.

Engelse vertalingen:

• Kurt Godel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
• Kurt Godel, 2000. [1] On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel
• Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press.
  • 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582-91.
  • 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595-96. Abstract to (1931).
  • 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596-616.
  • 1931a. "On completeness and consistency," 616-17.
• Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman.
  • Volume I: Publications 1929-1936 ISBN 0-19-503964-5,
  • Volume II: Publications 1938-1974 ISBN 0-19-503972-6,
  • Volume III: Unpublished Essays and Lectures ISBN 0-19-507255-3,
  • Volume IV: Correspondence, A-G ISBN 0-19-850073-4.
  • Volume V: Correspondence, H-Z ISBN 0-19-850075-0

Zie ook

• Gödel dust, an exact solution of the Einstein field equation
• Gödel Prize
• Gödel programming language
• Gödel, Escher, Bach
• Gödel's Slingshot
• List of Austrian scientists

Referenties

• Dawson, John W., 1997. Logical dilemmas: The life and work of Kurt Gödel. Wellesley MA: A K Peters.
• 1911 Encyclopædia Britannica/Brünn. (geraadpleegd via wikisource, 19 september 2007).

Verder lezen

• (en) John L. Casti and Werner DePauli, 2000. Gödel: A Life of Logic, Basic Books (Perseus Books Group), Cambridge, MA. ISBN 0-7382-0518-4.
• (en) John W. Dawson, Jr. Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Ltd., 1996.
• (en) John W. Dawson, Jr, 1999. "Gödel and the Limits of Logic", Scientific American, vol. 280 num. 6, pp. 76–81
• (en) Torkel Franzén, 2005. Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse. Wellesley, MA: A K Peters.
• (en) Rebecca Goldstein, 2005. Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. W. W. Norton & Company, New York. ISBN 0-393-32760-4 pbk.
• (en) Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
• (en) Jaakko Hintikka, 2000. On Gödel. Wadsworth.
• (en) Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Bach. Vintage.
• (en) Stephen Kleene, 1967. Mathematical Logic. Dover paperback reprint ca. 2001.
• (en) J.R. Lucas, 1970. The Freedom of the Will. Clarendon Press, Oxford.
• (en) Ernst Nagel and Newman, James R., 1958. Gödel's Proof. New York Univ. Press.
• (en) Procházka, Jiří, 2006, 2006, 2008, 2008. Kurt Gödel: 1906–1978: Genealogie. ITEM, Brno. Volume I. Brno 2006, ISBN 80-902297-9-4. In Ger., Engl. Volume II. Brno 2006, ISBN 80-903476-0-6. In Germ., Engl. Volume III. Brno 2008, ISBN 80-903476-4-9. In Germ., Engl. Volume IV. Brno, Princeton 2008, ISBN 978-80-903476-5-6. In Germ., Engl.
• (en) Ed Regis, 1987. Who Got Einstein's Office? Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
• (en) Raymond Smullyan, 1992. Godel's Incompleteness Theorems. Oxford University Press.
• (en) Hao Wang, 1987. Reflections on Kurt Gödel. MIT Press.
• (en) Wang, Hao. 1996. A Logical Journey: From Godel to Philosophy. MIT Press.
• (en) Yourgrau, Palle, 1999. Gödel Meets Einstein: Time Travel in the Gödel Universe. Chicago: Open Court.
• (en) Yourgrau, Palle, 2004. A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. Basic Books.

Externe links

• (en) Hao Wang. Skolem and Gödel pdf
• (nl) Mark van Atten, Mystiek en Wiskunde, Kurt Gödel en L.E.J. Brouwer
• (nl) Igor Kramer. Gödel. Eindexamenproject Nederlandse Film en Televisie Academie 2007
• (en) Hector Rosario Kurt Gödel’s Mathematical and Scientific Perspective of the Divine
• (en) O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kurt Gödel", MacTutor History of Mathematics archive
• (en) Kurt Gödel bij het Mathematics Genealogy Project
• (en) Weisstein, Eric W., Gödel, Kurt (1906-1978) bij ScienceWorld.
• (en) Kennedy, Juliette. "Kurt Gödel." In Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• (en) Kurt Gödel The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy
• (en) Time Bandits – een artikel over de relatie tussen Gödel en Einstein door Jim Holt
• (en) Gödels Theorem and Information – Geschreven door Gregory Chaitin
• (en) "Gödel and the limits of logic" door John W Dawson Jr. (juni 2006)
• (en) Notices of the AMS, April 2006, Volume 53, Number 4 Kurt Gödel Centenary Issue
• (en) Paul Davies and Freeman Dyson discuss Kurt Godel
• (en) "Gödel and the Nature of Mathematical Truth" Edge: Een gesprek met Rebecca Goldstein over Kurt Gödel.
• (en) Dangerous Knowledge Google-video van een BBC-documentaire met in de hoofdrol Kurt Gödel en andere revolutionaire wiskundige denkers..