C*-algebra

C*-algebra's (uitgesproken als "C-ster") vormen een belangrijk gebied van onderzoek in de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde.

Een C*-algebra is een Banach-algebra uitgerust met een involutie * zodanig dat voor iedere vector $a$ geldt dat $\|aa^{*}\|=\|a\|^{2}.$

Het prototypische voorbeeld van een C*-algebra is een complexe algebra A van lineaire operatoren op een complexe Hilbertruimte met twee extra eigenschappen:

• A is een topologisch gesloten verzameling in de normtopologie van de operatoren.
• A is gesloten onder de operatie van het nemen van toevoegingen van operatoren.

Definitie

In de context van een Banach-algebra ${\mathcal {A}}$ verstaat met onder involutie een afbeelding $*:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$ die niet alleen haar eigen inverse is (de gebruikelijke definitie van een involutie) maar die bovendien als volgt de structuur van de Banach-algebra respecteert:

1. $\forall a,b\in {\mathcal {A}}:(ab)^{*}=b^{*}a^{*}$
2. $\forall a,b\in {\mathcal {A}},\forall \lambda ,\mu \in {\mathbb {C} }:(\lambda a+\mu b)^{*}={\overline {\lambda }}a^{*}+{\overline {\mu }}b^{*}$

Een C*-algebra is een Banach-algebra ${\mathcal {A}}$ uitgerust met een involutie $*$ die voldoet aan de normgelijkheid

$\forall a\in {\mathcal {A}}:\left\|aa^{*}\right\|=\left\|a\right\|^{2}.$

Voorbeelden

Vierkante matrices

In de complexe Euclidische vectorruimte $\mathbb {C} ^{n}$ wordt de norm van een vector $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ gegeven door

$\|a\|={\sqrt {|a_{1}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}}$

De complexe vectorruimte ${\mathcal {M}}^{n\times n}(\mathbb {C} )$ der vierkante complexe $n\times n$-matrices kan worden opgevat als een algebra van lineaire transformaties van $\mathbb {C} ^{n}.$ Ze wordt een Banach-algebra door de norm van een matrix te definiëren als

$\|M\|=\sup _{a\in \mathbb {C} ^{n},\|a\|=1}\|Ma\|$

De operatie $*$ die een matrix omvormt in zijn complex toegevoegde getransponeerde

$M^{*}=\ ^{\tau }{\overline {M}}$

is een involutie die aan de voorwaarden van een C*-algebra voldoet.

Complexe getallen

Als bijzonder geval hiervan is $\mathbb {C}$ zelf een complexe Banach-algebra, die met de operatie 'toegevoegd complex getal' een C*-algebra wordt.

Hilbertruimte-operatoren

Algemener vormt de Banach-algebra $B(H)$ der continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte $H$ een C*-algebra voor de involutie die elke operator $A$ omvormt in zijn toegevoegde operator $A^{*}$: dit is de unieke afbeelding $A\to A^{*}$ die voldoet aan

$\forall x,y\in H:(Ax,y)=(x,A^{*}y)$

Continue functies

Als $X$ een compacte topologische ruimte is, dan is de vectorruimte $C(X)$ der complexwaardige continue functies op $X$ een Banach-algebra voor de puntsgewijze vermenigvuldiging van functies en voor de maximumnorm

$\|f\|=\max _{x\in X}|f(x)|$

De bewerking die met elke functie haar complex toegevoegde functie associeert, maakt van $C(X)$ een (commutatieve) C*-algebra.

Deelalgebra

Een gesloten Banach-deelalgebra van een gegeven C*-algebra die bovendien stabiel blijft onder de involutie, is opnieuw een C*-algebra. In combinatie met het hogergenoemde voorbeeld $B(H)$ levert dit het typische voorbeeld uit de inleidende paragraaf.

Tegenvoorbeeld

De ruimte ${\mathcal {M}}^{n\times n}(\mathbb {C} )$ hierboven, met dezelfde involutie (complex toegevoegde van de getransponeerde matrix) is niet noodzakelijk een C*-algebra als met een andere norm wordt gewerkt, bijvoorbeeld de norm die met een matrix de grootste absolute waarde van een van zijn matrixelementen associeert.

Bronnen, noten en/of referenties