Peersman ruilde in 2014 de jeugdopleiding van KVC Westerlo voor die van PSV.[1] In juni 2020 ondertekende hij een profcontract tot 2023 bij de Nederlandse club.[2]
Op 10 januari 2022 maakte Peersman, die begin juli nog maandenlang uitviel met een knieblessure, zijn profdebuut: bij Jong PSV mocht hij op de 21e competitiespeeldag in doel staan tegen Almere City.[3] Jong PSV won de wedstrijd met 5-1.[4] Peersman maakte zijn profdebuut onder Ruud van Nistelrooij, die ook al zijn trainer was geweest bij de U18 van PSV.[5] Hij speelde in zijn debuutseizoen uiteindelijk acht competitiewedstrijden voor Jong PSV.
In juli 2022 ondertekende Peersman, wiens contract afliep op het einde van het seizoen, een contractverlenging tot 2026 bij PSV.[6][7]