Lijnstuk

Een lijnstuk of lijnsegment is in de euclidische meetkunde een deel van een rechte lijn dat door twee verschillende punten van die lijn – de eindpunten van het lijnstuk – begrensd wordt. Het lijnstuk bevat dus alle punten op de lijn tussen deze twee eindpunten. Voorbeelden van lijnstukken zijn de zijden van een driehoek of van een vierkant.

In een veelhoek is een lijnstuk dat twee naast elkaar gelegen hoekpunten verbindt een zijde van de veelhoek. Een lijnstuk dat twee niet naast elkaar gelegen hoekpunten verbindt, is een diagonaal van de veelhoek.

Als beide eindpunten op een kromme liggen, zoals een cirkel, dan is het lijnstuk een koorde van die kromme.

Definitie

Als $V$ een vectorruimte is over $\mathbb {R}$ of $\mathbb {C}$ , en $L$ een deelverzameling is van $V$ , dan is $L$ een lijnstuk als $L$ geparametriseerd kan worden als

L=\{u+tv\mid t\in [0,1]\}

voor elk tweetal vectoren $u,v\in V$ , waar $v\neq 0$ . In dat geval zijn de vectoren $u$ en $u+v$ de eindpunten van het lijnstuk $L$ .

Soms wordt onderscheid gemaakt tussen een open, een halfopen en een gesloten lijnstuk. Een gesloten lijnstuk is dan inclusief de eindpunten, en gedefinieerd als genoemd, terwijl een halfopen lijnstuk exclusief één eindpunt is, en een open lijnstuk exclusief beide eindpunten. De laatste is dus een deelverzameling $L$ die geparametriseerd kan worden als

L=\{u+tv\mid t\in (0,1)\}

Een alternatieve, equivalente, definitie is: een gesloten lijnstuk is het convexe omhulsel van twee afzonderlijke punten.

Nog een alternatieve definitie is de volgende. In de meetkunde kan worden gedefinieerd dat een punt B ligt tussen twee andere punten A en C als de afstand AB plus de afstand BC gelijk is aan de afstand AC. Dus bijvoorbeeld in $\mathbb {R} ^{2}$ is het lijnsegment met de eindpunten $\mathrm {A} =(x_{\text{A}},y_{\text{A}})$ en $\mathrm {C} =(x_{\text{C}},y_{\text{C}})$ de verzameling punten:

\left\{(x,y)\mid {\sqrt {(x-x_{\text{C}})^{2}+(y-y_{\text{C}})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{\text{A}})^{2}+(y-y_{\text{A}})^{2}}}={\sqrt {(x_{\text{C}}-x_{\text{A}})^{2}+(y_{\text{C}}-y_{\text{A}})^{2}}}\right\}

Eigenschappen

Een lijnstuk is een samenhangende, niet-lege verzameling.
Als $V$ een topologische vectorruimte is, dan is een gesloten lijnstuk een gesloten verzameling in $V$ . Daarentegen is een open lijnstuk een open verzameling in $V$ dan en slechts dan als $V$ één-dimensionaal is.
Meer algemeen dan hierboven kan het concept van een lijnstuk worden gedefinieerd in de geordende meetkunde.

Reëel interval

De lijnstukken in de reële getallen zijn de begrensde intervallen.