Kvaternion

Eit Kvaternion er ein ikkje-kommutativ utviding av dei komplekse tala. Mengda av kvaternion blir skrive H eller $\mathbb {H}$ etter oppdagaren deira Sir William Rowan Hamilton. Kvaterniona er ein firedimensjonal normert divisjonsalgebra over dei reelle tala.

Dei komplekse tala kan reknast som ei utviding av dei reelle tala, der ein har tilføydd elementet i som oppfyller likninga i2 = -1. På same måte kan kvaterniona reknast som ei utviding av dei reelle tala der ein i staden har tilføydd elementa i, j og k som oppfyller likningane

i² = j² = k² = ijk = -1.

Sidan multiplikasjonen kan visast å vere assosiativ, får ein av desse relasjonane at

• ij = k, ji = -k,
• jk = i, kj = -i,
• ki = j, ik = -j,

der ein kan sjå at multiplikasjonen ikkje er kommutativ. Kvaterniona er dermed ikkje ein kropp slik som dei komplekse tala. Derimot utgjer dei ein divisjonsring, sidan ein både kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere som ein kan i kroppar, men med omsyn til at multiplikasjonen ikkje er kommutativ. Til dømes er x ⋅ y ^-1 ikkje naudsynleg det same som y ^-1 ⋅ x, så skrivemåten x/y kan ha to tydingar.

Historie

Kvaterniona vart innført av Hamilton i 1843. Han leitte etter ein måte å utvide dei komplekse tala til ein høgaredimensjonal kropp på, slik som dei komplekse tala kan reknast å vere ei todimensjonal utviding av dei reelle tala. Det er seinare vorte bevist at dette er umogleg. Ifølgje si eiga nedskriving gjekk han den 16. oktober tur langs The Royal Canal i Dublin med kona si. Akkurat då dei gjekk forbi Brougham Bridge kom løysinga til han i form av likninga

i² = j² = k² = ijk = -1.

Han teikna straks likninga inn i ein av steinane på brua. I dag hengjer ein plakett på den same brua med inskripsjonen

"Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication i² = j² = k² = i j k = −1 & cut it on a stone of this bridge."

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Kvaternioner» frå Wikipedia på bokmål, den 13. september 2011.