Gradient
I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.
Gradienten til en funksjon f = f(x1, ..., xn) skrives vanligvis ∇f der ∇ er nabla-operatoren. Den utgjør den fundamentale operasjon i vektoranalysen.
I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler.
Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.
Formell definisjon
redigerGradienten til et generelt skalarfelt definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved[1]
der den i-te vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen f med hensyn på den i-te koordinaten.
Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt. sylinderkoordinater er definisjonen
som gir de fysiske komponentene av gradienten. I kulekoordinater er på samme måte
Eksempel
redigerGradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,
- ,
er gitt ved
Taylorutvikling av skalarfelt
redigerFor et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som
der restleddet E går mot null når går mot null.
Se også
redigerReferanser
rediger- ^ Weisstein, Eric W. «Gradient». Besøkt 15. september 2016. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.