Algebra różniczkowa

Pierścień różniczkowy, ciało różniczkowe i algebra różniczkowa – odpowiednio: pierścień, ciało i algebra wyposażone w różniczkowanie, czyli funkcję jednoargumentową spełniającą prawo iloczynu Leibniza. Naturalnym przykładem ciała różniczkowego jest ciało funkcji wymiernych nad liczbami zespolonymi jednej zmiennej, $\mathbb {C} (t),$ gdzie różniczkowaniem jest różniczka względem $t.$

Pierścień różniczkowy

Pierścień różniczkowy to pierścień $R$ wyposażony w co najmniej jedno różniczkowanie

$\partial \colon R\to R,$

z których każde spełnia prawo Leibniza

$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})$

dla dowolnych $r_{1},r_{2}\in R.$ Należy pamiętać, że pierścień nie musi być przemienny, a więc w pewnym stopniu standardowa forma wzoru na iloczyn w kontekście przemiennym, $\operatorname {d} (xy)=x\operatorname {d} y+y\operatorname {d} x,$ może być fałszywa. Jeżeli $M\colon R\times R\to R$ jest mnożeniem w pierścieniu, to prawo iloczynu jest tożsamością

$\partial \circ M=M\circ (\partial \times \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \times \partial ),$

gdzie $f\times g$ oznacza funkcję odwzorowującą parę $(x,y)$ na parę $\left(f(x),g(y)\right).$

Ciało różniczkowe

Ciało różniczkowe to ciało $K$ z różniczkowaniem. Teoria ciał różniczkowych, DF (od ang. differential field), jest zasadzona na zwykłych aksjomatach ciała poszerzonych o dwa dodatkowe określające różniczkowanie. Tak jak wyżej, różniczkowanie musi spełniać prawo iloczynu Leibniza dla elementów z ciała, tzn. dla dowolnych dwóch elementów $u,v$ z ciała jest

$\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,$

ponieważ mnożenie w ciele jest przemienne. Różniczkowanie musi być również rozdzielne względem dodawania w ciele:

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v.$

Jeżeli $K$ jest ciałem różniczkowym, to ciało stałych dane jest jako $k=\{u\in K\colon \partial (u)=0\}.$

Algebra różniczkowa

Algebra różniczkowa nad ciałem $K$ to $K$-algebra $A,$ gdzie różniczkowania komutują (są przemienne) z działaniami ciała, tzn. dla każdego $k\in K$ oraz $x\in A$ zachodzi

$\partial (kx)=k\partial x.$

W zapisie bezwskaźnikowym, jeżeli $\eta \colon K\to A$ jest homomorfizmem pierścieni określającym mnożenie skalarne w algebrze, to zachodzi

$\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {id} )=M\circ (\eta \times \partial ).$

Jak wyżej, różniczkowanie musi zachowywać prawo Leibniza względem mnożenia w algebrze i musi być liniowe względem dodawania, a więc dla każdego $a,b\in K$ oraz $x,y\in A$ jest

$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)$

oraz

$\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.$

Różniczkowanie w algebrze Liego

Różniczkowanie w algebrze Liego ${\mathfrak {g}}$ jest odwzorowaniem liniowym $\operatorname {D} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ spełniającym prawo Leibniza:

$\operatorname {D} ([a,b])=[a,\operatorname {D} (b)]+[\operatorname {D} (a),b].$

Dla dowolnego $a\in {\mathfrak {g}},$ wyrażenie $\operatorname {ad} (a)$ jest różniczkowaniem na ${\mathfrak {g}},$ które spełnia tożsamość Jacobiego. Każde takie różniczkowanie nazywane jest różniczkowaniem wewnętrznym.

Przykłady

Jeżeli $A$ ma jedynkę, to $\partial (1)=0,$ ponieważ $\partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1).$ Przykładowo w ciele różniczkowym charakterystyki zero liczby wymierne zawsze są podciałem ciała stałych.

Każde czyste ciało może być interpretowane jako ciało różniczkowe stałych.

Ciało $\mathbb {Q} (t)$ ma unikatową strukturę jako ciało różniczkowe, które jest określone przez równość $\partial (t)=1{:}$ aksjomaty ciała wraz z aksjomatami różniczkowania sprawiają, że różniczkowanie jest różniczką względem $t.$ Na przykład na mocy przemienności mnożenia i prawa Leibniza zachodzi $\partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u).$

W ciele różniczkowym $\mathbb {Q} (t)$ nie ma rozwiązania równania różniczkowego

$\partial (u)=u,$

ale znajduje się ono w większym ciele różniczkowym zawierającym funkcję $e^{t}.$ Ciało różniczkowe z rozwiązaniami wszystkich układów równań różniczkowych nazywane jest ciałem różniczkowo domkniętym. Takie ciała istnieją, ale nie mają własności naturalnych obiektów algebraicznych czy geometrycznych. Wszystkie ciała różniczkowe (o ograniczonej kardynalności) zawierają się w większym ciele różniczkowo domkniętym. Ciała różniczkowe są przedmiotem badań w różniczkowej teorii Galois.

Powszechnie występującymi przykładami różniczkowań są pochodna cząstkowa, pochodna Liego, pochodna Pincherlego i komutator względem elementu algebry. Wszystkie te przykłady są ściśle ze sobą powiązane wspólnym pojęciem różniczkowania.

Pierścień operatorów pseudoróżniczkowalnych

Pierścienie różniczkowe i algebry różniczkowe są często badane za pomocą pierścienia operatorów pseudoróżniczkowym na nich określonych.

Niech dany będzie pierścień

$R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}\colon r_{n}\in R\right\}.$

Mnożenie w tym pierścieniu określone jest wzorem

$(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){\tbinom {m}{k}}\xi ^{m+n-k},$

gdzie ${\tbinom {m}{k}}$ oznacza symbol Newtona. Warta wspomnienia tożsamość

$\xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}$

wynika z innych tożsamości:

${\tbinom {-1}{n}}=(-1)^{n}$

oraz

$r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).$

Różniczkowania z gradacją

Jeżeli dana jest algebra z gradacją $A,$ a $\operatorname {D}$ jest jednorodnym przekształceniem liniowym o gradacji $d=|\operatorname {D} |$ w $A,$ wtedy $\operatorname {D}$ jest różniczkowaniem jednorodnym, jeżeli $\operatorname {D} (ab)=\operatorname {D} (a)b+\varepsilon ^{|a||\operatorname {D} |}a\operatorname {D} (b),$ $\varepsilon =\pm 1,$ działa na elementach jednorodnych $A.$

Różniczkowanie z gradacją jest sumą różniczkowań jednorodnych o tym samym $\varepsilon .$

Jeżeli współczynnik komutujący $\varepsilon =1,$ to definicja ta redukuje się do zwykłego przypadku.

Jeżeli jednakże $\varepsilon =-1,$ to jest $\operatorname {D} (ab)=\operatorname {D} (a)b+(-1)^{|a|}a\operatorname {D} (b)$ dla parzystych $|\operatorname {D} |.$ Nazywa się je wtedy antyróżniczkowaniami.

Przykładami antyróżniczkowań są pochodna zewnętrzna i produkt wewnętrzny (ang. interior product, nie mylić z iloczynem wewnętrznym, ang. inner product) działający na formach różniczkowych.

Różniczkowania z gradacją superalgebr (np. algebry z gradacją $\mathbb {Z} _{2}$) są często nazywane superróżniczkowaniami.

Zobacz też

• algebra różniczkowa z gradacją
• ciało różniczkowo domknięte
• D-moduł – struktura algebraiczna z działającymi na niej kilkoma operatorami różniczkowymi
• pochodna arytmetyczna
• różniczka Kählera
• różniczkowa teoria Galois

Bibliografia

• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer i A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

Linki zewnętrzne

• David Marker’s home page has several online surveys discussing differential fields.