Liczby Cullena

Liczby Cullena – liczby naturalne postaci $n\cdot 2^{n}+1$ (oznaczane przez $C_{n}$). Jako pierwszy liczby te badał James Cullen w 1905 roku.

Zostało wykazane, że istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Cullena. Jedyne odkryte dotychczas liczby pierwsze Cullena to liczby $C_{n}$ dla $n$ = 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (ciąg A005849 w OEIS). Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele pierwszych liczb Cullena.

W kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla $n=1\,354\,828.$

Liczba Cullena $C_{n}$ dzieli się przez $p=2n-1,$ jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą postaci $8k-3.$ Co więcej, na podstawie małego twierdzenia Fermata, jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą większą od 2, to $p$ dzieli $C_{m(k)}$ dla każdego $m(k)=(2^{k}-k)\cdot (p-1)-k$ (dla $k>0$). Pokazano też, że liczba pierwsza $p$ dzieli $C_{(p+1)/2},$ kiedy symbol Jacobiego $(2|p)$ wynosi –1, oraz że p dzieli $C_{(3p-1)/2},$ kiedy symbol Jacobiego $(2|p)$ wynosi +1.

Nie wiadomo, czy istnieje taka liczba pierwsza $p,$ że $C_{p}$ też jest liczbą pierwszą.

Czasami definiuje się uogólnione liczby Cullena jako liczby postaci $n\cdot b^{n}+1,$ gdzie $n+2>b.$ Jeżeli liczbę pierwszą można zapisać w tej postaci, to nazywa się ją uogólnioną liczbą pierwszą Cullena. Liczby Woodalla są czasem nazywane liczbami Cullena drugiego rodzaju.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cullen Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• The Primes Glossary: Cullen prime