Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny – uogólnienie pojęcia odległości na czterowymiarową czasoprzestrzeń. W najprostszym przypadku czasoprzestrzeni Minkowskiego (w szczególnej teorii względności) wzór na interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami '1' i '2' ma postać:

$\Delta s_{12}^{2}=c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-[(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}],$

(1)

gdzie:

$\Delta s_{12}^{2}$ – interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami mierzony w inercjalnym układzie odniesienia;

$t_{1}$ i $t_{2}$ – współrzędne czasowe zdarzeń '1' i '2', odpowiednio;

$x_{1},\,y_{1},\,z_{1}$ i $x_{2},\,y_{2},\,z_{2}$ – odpowiednie współrzędne przestrzenne zdarzeń;

$c$ – prędkość światła w próżni.

Dla bardzo małych różnic

$dt=t_{2}-t_{1},dx=x_{2}-x_{1},dy=y_{2}-y_{1},dz=z_{2}-z_{1}.$

interwał można zapisać w postaci

${\text{d}}s^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-({\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}+{\text{d}}z^{2}).$

(2)

Konwencja liczenia interwału

Istnieje również konwencja, w której do obliczenia interwału czasoprzestrzennego przy odstępie czasowym stawia się znak –, zaś część przestrzenna ma znak +. Jest to zależne od sygnatury tensora metrycznego. Powyższe wzory zakładają sygnaturę „+ − − −”.

Interwał jako wielkość geometryczna

Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, tzn. obliczony w pewnym inercjalnym układzie odniesienia ma tę samą wartość w dowolnym, inercjalnym układzie odniesienia. Interwał jest więc wielkością geometryczną w czasoprzestrzeni, niezależną od przyjętego układu odniesienia. Odległości przestrzenne między zdarzeniami

$dr^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}$

oraz odległości czasowe między nimi $dt$ nie są zaś niezmiennikami transformacji Lorentza.

Interwał pełni więc w szczególnej teorii względności taką samą rolę, jak odległość przestrzenna między punktami w przestrzeni euklidesowej, która nie zależy od tego, w jakim układzie współrzędnych odległość ta jest mierzona. Jednak rzeczywistość fizyczną poprawnie opisuje teoria względności, a nie geometria euklidesowa.

Zapis tensorowy

Korzystając z tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego $\eta _{\mu \nu },$ interwał czasoprzestrzenny można zapisać następująco:

$\Delta s^{2}=\eta _{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }=\Delta x_{\mu }\Delta x^{\mu }.$

(3)

Dla różniczek interwał czasoprzestrzenny przyjmuje analogiczną postać:

$ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dx_{\mu }dx^{\mu }.$

(4)

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności można otrzymać poprzez zastąpienie tensora z przestrzeni Minkowskiego $\eta _{\mu \nu }$ przez tensor metryczny OTW $g_{\mu \nu }{:}$

$\Delta s^{2}=g_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }=\Delta x_{\mu }\Delta x^{\mu }.$

(5)

W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy, czyli jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, również w poruszających się z przyspieszeniem względem danego układu odniesienia.

Typy interwałów czasoprzestrzennych

Interwały czasoprzestrzenne dzielimy na:

• czasopodobne $\Delta s_{12}^{2}>0,$
• zerowe $\Delta s_{12}^{2}=0,$
• przestrzennopodobne $\Delta s_{12}^{2}<0.$

Interwały czasowe i zerowe opisują zdarzenia, które mogły mieć na siebie wpływ (informacja o jednym mogła dotrzeć do drugiego), przy czym interwał zerowy dotyczy dwóch punktów połączonych linią geodezyjną (uogólnieniem prostej w czasoprzestrzeni), czyli drogą, po której poruszają się fotony. Natomiast zdarzenia, między którymi interwał jest typu przestrzennego, nie są ze sobą powiązane przyczynowo-skutkowo, chyba że dopuścimy możliwość poruszania się szybciej niż światło.

Interwał jako pseudometryka

Interwał czasoprzestrzenny definiuje tzw. pseudometryką w czasoprzestrzeni. Jak podano wyżej, odległości między zdarzeniami w czasoprzestrzeni mogą być zarówno dodatnie (jak w zwykłej przestrzeni), ale też ujemne i zerowe między zdarzeniami oddalonymi od siebie.

Te dwie cechy odróżniają pseudometrykę od metryki, która określa odległości np. w przestrzeni euklidesowej: odległość przyjmuje wartość zerową jedynie dla tego samego punktu, a dla różnych punktów jest zawsze dodatnia.

Bibliografia

• Andrzej Trautman: Względności teoria. W: Wielka encyklopedia powszechna PWN. Wyd. I. T. 12. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 585–586.

Literatura dodatkowa

• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 20–26.
• Leonard Susskind, Art Friedeman, Teoretyczne minimum: Szczególna teoria względności i klasyczna teoria pola, Prószyński i S-ka, Warszawa 2019, s. 85–86.