Obszar (matematyka)

Od lewej: obszar jednospójny, obszar trzyspójny, obszar czterospójny

Obszar – zbiór otwarty i spójny w przestrzeni euklidesowej lub ogólniej w przestrzeni topologicznej. Obszar domknięty to domknięcie ${\overline {\mathfrak {O}}}$ obszaru (otwartego) ${\mathfrak {O}}$.

Zbiór domknięty $\mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}={\overline {\mathfrak {O}}}\setminus {\mathfrak {O}}$ nazywa się brzegiem obszaru ${\mathfrak {O}}.$ Punkty $X\in {\mathfrak {O}}$ nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru ${\mathfrak {O}},$ a także punktami wewnętrznymi obszaru domkniętego ${\overline {\mathfrak {O}}}.$ Punkty $X\in \mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}$ nazywane są punktami brzegowymi obszaru ${\mathfrak {O}},$ a także punktami brzegowymi obszaru domkniętego ${\overline {\mathfrak {O}}}$.

Pojęcia te mają podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

Obszar ${\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C}$ nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w ${\mathfrak {O}}$ ściągalna do punktu). Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Ogólniej, brzeg obszaru może mieć $k$ składowych, gdzie $0\leqslant k\leqslant \infty .$ Jeśli $k>1,$ to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba $k$ jest nazywana rzędem spójności. Jeśli $k=2,$ obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli $k=3$ – obszarem trzyspójnym itd. Jeśli $k<\infty ,$ to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli $k=\infty$ – obszarem nieskończeniespójnym.

Przykłady

Przykład obszaru, którego brzeg zawiera punkty niedostępne

• Na prostej $\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{1}$ obszarami są przedziały liczbowe. Brzeg takiego obszaru jest zawsze zbiorem co najwyżej dwupunktowym.
• Obszar nieskończeniespójny można uzyskać, usuwając z koła otwartego o promieniu 2 rozłączne koła domknięte o promieniach $1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4^{2}}},\dots ,{\frac {1}{4^{n}}},\dots$ Brzeg tego obszaru jest sumą mnogościową okręgu koła o promieniu 2 i okręgów ograniczających usunięte koła.
• Obszar jednospójny ${\mathfrak {O}}$ może mieć dość skomplikowany brzeg, zawierający punkty niedostępne w następującym sensie: nie istnieje krzywa ciągła $f\colon \langle a;b\rangle \rightarrow {\overline {\mathfrak {O}}},$ gdzie $\langle a;b\rangle$ jest przedziałem domkniętym na osi rzeczywistej, taka że obrazy wszystkich punktów przedziału, poza punktem $X=f(b)$ (należącym do brzegu ${\mathfrak {O}}$), należą do obszaru ${\mathfrak {O}}.$ Takimi punktami będą na przykład punkty prawego boku kwadratu na rysunku obok, z którego usunięto odcinki wychodzące prostopadle naprzemiennie z dolnego i górnego boku tego kwadratu, zbliżające się do prawego boku i o długościach dążących do długości boku kwadratu.
• Każde dwa punkty obszaru położonego w płaszczyźnie zespolonej dają się połączyć łamaną.

Niech będzie obszarem. Dla każdego $X\in {\mathfrak {O}}$ niech ${\mathfrak {F}}_{X}$ będzie zbiorem tych punktów obszaru ${\mathfrak {O}},$ które dadzą się połączyć z $X$ łamaną. Dla każdego $X\in {\mathfrak {O}}$ zbiór ${\mathfrak {F}}_{X}$ jest zbiorem otwartym, bo jeśli $A\in {\mathfrak {F}}_{X},$ to z punktem $X$ można połączyć łamaną każdy punkt kuli $k(A,r)\subset {\mathfrak {O}}.$ Z drugiej strony zbiór:

${\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\bigcup _{Y\in {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}}{\mathfrak {F}}_{Y}$

jest również zbiorem otwartym, a zatem ze względu na spójność zbioru ${\mathfrak {O}}$ zbiór ${\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\varnothing ,$ czyli ${\mathfrak {F}}_{X}={\mathfrak {O}}$.

• Własność ta jest spełniona dla obszarów w przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n},n\geqslant 1$ oraz dla obszarów przestrzeni zespolonej $\mathbb {C} ^{n},n\geqslant 1,$ przy czym istnieje wtedy łamana łącząca dwa punkty obszaru składająca się ze skończonej liczby odcinków.
• Powyższa własność jest również spełniona dla obszaru każdej topologicznej przestrzeni wektorowej.
• Każdy zbiór otwarty ${\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C}$ jest sumą obszarów, bo:

${\mathfrak {O}}=\bigcup _{X\in {\mathfrak {O}}}{\mathfrak {F}}_{X}.$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Domain, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].