Manual de Matemática Elementar

Manual de Matemática Elementar

SIMONE MALACRIDA

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Este livro estabelece as bases da matemática, começando com lógica e operações elementares e passando para tópicos como trigonometria, números complexos, matrizes e notações vetoriais, abordando geometria plana, sólida e analítica, bem como os rudimentos de cálculo combinatório e numérico. .

Tais tópicos são necessários para a compreensão da análise matemática e de todos os desenvolvimentos modernos, ao mesmo tempo em que fornecem uma extensão útil do conhecimento para uma descrição matemática inicial dos fenômenos naturais que nos cercam.

Simone Malacrida (1977)

Engenheiro e escritor, trabalhou em pesquisa, finanças, política energética e plantas industriais.

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ÍNDICE ANALÍTICO

INTRODUÇÃO

I – LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAR

II – OPERAÇÕES BÁSICAS

III – LITERAL E CÁLCULO

IV – GEOMETRIA ELEMENTAR

V – TEORIA DE CONJUNTOS E FUNÇÕES

VI – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ELEMENTARES

VII – GEOMETRIA ANALÍTICA

VIII – FUNÇÕES GONIOMÉTRICAS E TRIGONOMETRIA

IX – FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E HIPERBÓLICAS

X – SUCESSÃO E SÉRIES

XI – CÁLCULO COMBINATÓRIO E ESTATÍSTICA ELEMENTAR

XII - NÚMEROS COMPLEXOS

XIII – MATEMÁTICA VETORIAL E MATRICIAL

XIV – CÁLCULO NUMÉRICO ELEMENTAR

INTRODUÇÃO

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Na sociedade atual, a matemática é a base da maioria das disciplinas científicas e técnicas, como física, química, engenharia de todos os setores, astronomia, economia, medicina, arquitetura. Além disso, os modelos matemáticos regem a vida quotidiana, por exemplo no setor dos transportes, na gestão e distribuição de energia, nas comunicações telefónicas e televisivas, na previsão meteorológica, no planeamento da produção agrícola e na gestão de resíduos, na definição dos fluxos monetários, na codificação de plantas industriais e assim por diante, já que as aplicações práticas são quase infinitas.

Portanto, a matemática é um dos fundamentos fundamentais para a formação de uma cultura contemporânea de cada indivíduo e fica claro tanto nos programas escolares que introduzem, desde os primeiros anos, o ensino da matemática, quanto na estreita relação entre o aprendizado proveitoso de matemática e o desenvolvimento social e econômico de uma sociedade.

Essa tendência não é nova, pois é consequência direta daquela revolução ocorrida no início do século XVII, que introduziu o método científico como principal ferramenta de descrição e la Naturacujo ponto de partida foi dado justamente pela consideração de que a matemática poderia ser a pedra angular para compreender o que nos rodeia.

A grande força da matemática reside em pelo menos três pontos distintos.

Em primeiro lugar, graças a ela é possível descrever a realidade em termos científicos, ou seja, prever alguns resultados antes mesmo de ter a experiência real. Prever resultados também significa prever as incertezas, erros e estatísticas que necessariamente surgem quando o ideal da teoria é trazido para a prática mais extrema.

Em segundo lugar, a matemática é uma linguagem que possui propriedades únicas.

É artificial, construído por seres humanos. Existem outras línguas artificiais, como o alfabeto Morse; mas a grande diferença da matemática é que ela é uma linguagem artificial que descreve la Naturasuas propriedades físicas, químicas e biológicas. Isso o torna superior a qualquer outra linguagem possível, pois falamos a mesma linguagem do Universo e suas leis. Nesta conjuntura, cada um de nós pode trazer suas próprias ideologias ou crenças, sejam seculares ou religiosas. Muitos pensadores destacaram como Deus é um grande matemático e como a matemática é a linguagem preferida para se comunicar com essa entidade superior.

A última propriedade da matemática é que ela é uma linguagem universal. Em termos matemáticos, a Torre de Babel não poderia existir. Todo ser humano que possui alguns rudimentos de matemática sabe muito bem o que se entende por alguns símbolos específicos, enquanto tradutores e dicionários são necessários para entender uns aos outros com palavras escritas ou discursos orais.

Sabemos muito bem que a linguagem é a base de todo conhecimento. O ser humano aprende, nos primeiros anos de vida, uma série de informações básicas para o desenvolvimento da inteligência, justamente por meio da linguagem. O cérebro humano se distingue justamente por essa peculiaridade específica de articular uma série de linguagens complexas e isso nos deu todas as conhecidas vantagens sobre qualquer outra espécie do reino animal.

A linguagem também é um dos pressupostos do conhecimento filosófico, especulativo e científico e Gadamer destacou isso, de forma inequívoca e definitiva.

Mas há uma terceira propriedade da matemática que é muito mais importante. Além de ser uma linguagem artificial e universal que descreve la Natura, a matemática é propriamente a resolução de problemas , pois é a concretude tornada ciência, pois o homem sempre teve como objetivo resolver os problemas que o afligem.

Para tirar as últimas dúvidas sobre o assunto, convém relatar alguns exemplos concretos referentes a milênios atrás. A descoberta dos números irracionais feita por Pitágoras, sobretudo o pi e a raiz quadrada, não foi mera especulação teórica.

Na base desse simbolismo matemático estava a resolução de dois problemas muito concretos. Por um lado, como as casas tinham planta quadrada, a diagonal interna tinha que ser calculada exatamente para minimizar o desperdício de material na construção das paredes, por outro, pi era a ligação matemática entre as distâncias retas e curvilíneas, como o raio de uma roda e sua circunferência.

Diante de problemas concretos, o intelecto humano inventou essa linguagem matemática cuja propriedade é justamente a de resolver problemas descrevendola Natura.

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Este manual tem o propósito expresso de fornecer os rudimentos da matemática elementar, ou seja, de toda aquela parte da matemática anterior à introdução da análise matemática.

As noções e conceitos expostos neste manual eram, em parte, já conhecidos na antiguidade (na época dos gregos, por exemplo), principalmente no que diz respeito à parte da lógica elementar, juntamente com as operações elementares e as relações geométricas.

O restante do livro descreve o conhecimento adquirido pela humanidade ao longo dos séculos, principalmente após a grande explosão de pensamento ocorrida no Renascimento, até o final do século XVII. Este limite é considerado como uma demarcação entre a matemática elementar e avançada, precisamente porque a análise matemática, introduzida no final do século XVII por Newton e Leibnitz, permitiu o salto qualitativo para novos horizontes e para a descrição real da Natureza em termos matemáticos.

Sem as noções expostas neste manual, no entanto, é impossível abordar a análise matemática diretamente, pois o processo cognitivo matemático é uma evolução lenta que baseia seus resultados no conhecimento prévio. Justamente por isso, embora cada parágrafo constitua em si um tópico completo, a exposição dos tópicos segue uma ordem lógica, permitindo a progressão contínua do conhecimento com base no que foi aprendido anteriormente.

Além disso, na descrição da matemática elementar, serão trazidos à tona conceitos explicitamente elaborados muito além do século XVII, mas que, para uma continuidade lógica, completam o quadro das subdisciplinas individuais que discutiremos.

Estas ferramentas matemáticas são, portanto, necessárias para a compreensão plena da análise matemática e de todas as evoluções modernas e, ao mesmo tempo, fornecem também uma útil extensão de conhecimento para uma primeira descrição dos fenômenos naturais que nos cercam.

I

LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAR

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A lógica matemática lida com a codificação, em termos matemáticos, de conceitos intuitivos relacionados ao raciocínio humano. É o ponto de partida para qualquer processo de aprendizagem matemática e, por isso, faz todo o sentido expor as regras elementares desta lógica no início de todo o discurso.

Definimos um axioma como uma afirmação assumida como verdadeira porque é considerada auto-evidente ou porque é o