Análise complexa

A análise complexa, também conhecida como a teoria das funções de variável complexa, é o ramo da matemática que investiga as funções de números complexos. Ela é útil em muitas áreas da matemática, incluindo geometria algébrica, teoria dos números, análise combinatória e matemática aplicada; além disso, ela é amplamente utilizada em vários ramos da física, como hidrodinâmica, termodinâmica e, em particular, mecânica quântica. Por consequência, o escopo teórico da análise complexa também possui aplicações nas várias divisões da engenharia, como nas engenharias nuclear, aeroespacial, mecânica e elétrica.

Já que uma função diferenciável de variável complexa é igual à soma de sua série de Taylor — isto é, também é uma função analítica — a análise complexa tem interesse particular nas funções analíticas de variável complexa, denominadas funções holomorfas.

Funções complexas

A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do cálculo diferencial e integral para o domínio dos números complexos.^[1] Seja A um conjunto de números complexos. Se $z$ denota qualquer um dos números do conjunto A, então $z$ é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa $z$ para com uma outra variável complexa $w$ para cada valor possível de $z$ (elementos do conjunto A), então $w$ é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como $w=f(z).$ O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função $w.$

Como todo número complexo pode ser escrito na forma $z=a+bi,$ em que $a=R(z),b=Im(z)$ indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa $w=f(z)$ na forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y).$ Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

$P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n},$ em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de funções complexas

Seja $f (z)$ uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto $z 0$ , sendo possivelmente não definida no próprio ponto $z 0$ . De forma análoga ao caso real, define-se o limite $L$ dessa função quando a variável $z$ tende ao ponto $z 0$ como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme $z$ fica arbitrariamente próximo de $z 0$ . Em linguagem matemática formal, diz-se que

\lim _{z\to z_{0}}f(z)=L

,

se, para cada número $ε > 0$ existe um outro número $δ > 0$ com a propriedade de que a desigualdade $| f (z) - L | < ε$ é válida para todos os valores de $z$ tais que $| z - z 0 | < δ$ e $z \neq z 0$ .^[2] Nessa definição, as barras $||$ representam o módulo de um número complexo, definido como $| z | = \sqrt x 2 + y 2$ para $z = x + yi$ , em que $x$ e $y$ são as partes real e complexa de $z$ , respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é $f(z)\to L$ para $z\to z_{0}$ .^[2]

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

Derivada de uma função complexa

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite $\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})={\frac {df}{dz}}(z_{0}),$ denominado "derivada" da função $f$ em relação a $z$ no ponto $z_{0}.$ Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

Condições de Cauchy-Riemann

Suponha que a função f seja derivável em $z_{0},$ em que $z_{0}=x_{0}+iy_{0}:$

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

$f'(z)=a+ib$

$\Delta f=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})$

$\Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{o}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})$

e $\Delta v,$ para a mudança correspondente em v(x,y). Então $\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}=a+ib$

e também:

$\lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Re}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=a$

$\lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Im}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=b$

Em particular, quando $\Delta y=0,$ em que $\Delta z=\Delta x,$ esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=a$

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=b$

ou seja, as derivadas parciais ${\frac {\partial u}{\partial x}}$ e ${\frac {\partial v}{\partial x}}$ com relação a x existem no ponto $(x_{0},y_{0})$ e

${\frac {\partial u}{\partial x}}=a$ e ${\frac {\partial v}{\partial x}}=b$

O procedimento análogo pode ser feito observando quando $\Delta x=0(\Delta z=i\Delta y)$ de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-b$ e ${\frac {\partial v}{\partial y}}=a,$ no ponto $(x_{0},y_{0})$

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como $f'(z)=a+ib,$ chegamos à expressão $f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}},$ no ponto $(x_{0},y_{0}).$ Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada $f'(z)$ de uma função $f=u+iv$ existe num ponto $z,$ então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a $x$ e $y,$ de cada componente $u$ e $v$ devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, $f'(z)$ é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação $f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.$