Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.

Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes a dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto $A$ fechado, seu complementar $A^{c}$ é aberto e vice versa. Então $A$ é aberto se, e somente se, $A^{c}$ é fechado.

Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos.

Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto.

Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto.

Demonstração: Dado $A_{1}$ e $A_{2}$ abertos, a união destes dois é $\cup (A_{1},A_{2})=A$. Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à $A_{1}$ ou à $A_{2}$ (possivelmente à ambos), se estiver em $A_{1}$ existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de $A_{1}$, o mesmo para $A_{2}$. Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de $\cup (A_{1},A_{2})=A$. Isso se generaliza para $A_{1}\cup A_{2}\cup {...}\cup A_{n};n\in \mathbb {N}$ é aberto, se cada $A_{i}$ é aberto, $i=1,...,n$..

Definição

Espaços topológicos

Ver artigo principal: Espaço topológico

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia $T$ em um conjunto $X$ é definida como um subconjunto do conjunto das partes de $X$ (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de $T$ é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Espaços métricos

Ver artigo principal: Espaço métrico

Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos. Ou seja, dado um espaço métrico $S\,\!$, um subconjunto $X\,\!$ de $S\,\!$ é aberto se, para cada ponto $a\in X$, existe $\delta >0\,\!$ tal que a bola aberta $B(a,\delta )\,\!$ ainda esteja contida em $X\,\!$.

Propriedades

• Em um espaço topológico ou espaço métrico $X$, o conjunto vazio e o próprio conjunto $X$ são abertos.
• Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
• Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
• A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
• A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de $\mathbb {R}$

Como $\mathbb {R}$ (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto $X\,\!$ de $\mathbb {R}$ é aberto se, para cada ponto $a\in \mathbb {R}$, existe $\epsilon \,\!$ tal que $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset X$.

Em $\mathbb {R}$, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company