Matriz de Hurwitz
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Em matemática uma matriz de Hurwitz (em inglês: Hurwitz matrix), ou matriz de Routh–Hurwitz, em engenharia matriz de estabilidade, é uma matriz quadrada real estruturada construída com coeficientes de um polinômio real.
Matriz de Hurwitz e critério de estabilidade de Hurwitz
[editar | editar código-fonte]Dado um polinômio real
a matriz quadrada
é denominada matriz de Hurwitz correspondente ao polinômio . Adolf Hurwitz estabeleceu em 1895 que um polinômio real é estável (isto é, todas suas raízes tem parte real estritamente negativa) se e somente se todos os determinantes dos menores da matriz são positivos:
e assim por diante. Os menores são denominados determinantes de Hurwitz.
Matrizes Hurwitz estáveis
[editar | editar código-fonte]Em engenharia e teoria da estabilidade, uma matriz quadrada é denominada matriz estável se todo autovalor de tem parte real estritamente negativa, isto é,
para cada autovalor . é também denominada uma matriz estabilidade, porque então a equação diferencial ordinária
é assintoticamente estável, isto é, com
Se é uma função de transferência, então é denominada Hurwitz se os polos de todos os elementos de tem parte real negativa. Notar que não é necessário que para um argumento específico seja uma matriz Hurwitz. A conexão é que se é uma matriz de Hurwitz, então o sistema dinâmico
tem uma função de transferência de Hurwitz.
Referências
[editar | editar código-fonte]- Hurwitz, A. (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt». Mathematische Annalen, Leipzig (Nr. 46): 273–284
- Gantmacher, F.R. (1959). «Applications of the Theory of Matrices». Interscience, New York. 641 (9): 1–8
- Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
- Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
- Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
- Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)
Este artigo incorpora material de Hurwitz matrix do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.