Relacija

U matematici, relacija je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova.

Definicije

Relacija ρ dužine n je neprazan podskup Dekartovog proizvoda n skupova. Kada je n = 2 tada govorimo o binarnoj relaciji, dakle o relaciji između elementa x sa elementom y, odnosno o uređenom paru (x, y) iz Dekartovog proizvoda $A\times B.$ Ako je $(x,y)\in \rho$ tada kažemo da je element $x\,$ u relaciji sa elementom $y\,$ i pišemo $x\rho y\,$.

Za binarnu relaciju $\rho \subset A\times B$ moguće je definisati sledeće izraze:

• Domen, tj. oblast definisanosti ${\mathcal {D(\rho )}}=\{x\in A|(\exists y\in B)x\rho y)\};$
• kodomen, tj. oblast vrednosti ${\mathcal {K(\rho )}}=\{y\in B|(\exists x\in A)x\rho y\};$
• inverzna relacija $\rho ^{-1}=\{(y,x)\};\,$
• komplement ${\bar {\rho }}=(A\times B)\backslash \rho ;$
• kompozicija relacija $\rho \circ \sigma :$

ako je $\sigma \subset A\times B$ i $\rho \subset B\times C,$ tada relaciju $\rho \circ \sigma \subset A\times C,$ datu sa $\rho \circ \sigma =\{(x,y)|(\exists z\in B)x\rho z\wedge z\rho y\}$ nazivamo kompozicija relacija $\rho \,$ i $\sigma \,.$

Primer relacija

Graf relacije

1. Dati su skupovi: $A=\{a,b,c\},\;B=\{1,2,3\},\,$ Dekartov proizvod je skup uređenih parova $A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)\},\,$ a (jedna od) relacija je $\rho =\{(a,1),(a,2),(b,2),(c,2)\},\,$ na slici desno. Pišemo npr. $(a,2)\in \rho .\,$ i kažemo uređen par a, 2 je element relacije ro, odnosno čitamo, a je u relaciji ro sa 2.
2. Relacija jednakosti brojeva. Pišemo i $x\rho y\,$ odnosno $x=y\,$ i čitamo, broj h jednak je broju u.
3. Relacija je biti paralelan, u skupu pravih. Za dve prave $a,\;b\,$ kažemo da su paralelne i pišemo $a||b\,$ ako je to jedna ista prava, ili ako su to dve prave koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.
4. Relacija manje ili jednako u skupu realnih brojeva.

Osnovne osobine

Osnovne četiri osobine su:

• Refleksivnost: $(\forall x)(x\in X)x\rho x$. Drugim rečima, data relacija je refleksivna ako i samo ako je svaki element u relaciji sa sobom.
• Simetričnost: $(\forall x,y)(x,y\in X)\;x\rho y\Rightarrow y\rho x.$ Drugim rečima, ako za svaki uređeni par elemenata koji je u relaciji postoji i par sa obrnutim poretkom.
• Antisimetričnost: $(\forall x,y)(x,y\in X)\;x\rho y\land y\rho x\Rightarrow x=y.\,$ Drugim rečima, ako u datoj relaciji imamo oba poretka jednog para elemenata, onda ih ne možemo imati na način da to mora biti samo jedan element (taj je u relaciji sam sa sobom).
• Tranzitivnost: $(\forall x,y,z)(x,y,z\in X)\;x\rho y\land y\rho z\Rightarrow x\rho z.$ Ako je prvi element u relaciji sa drugim, drugi sa trećim, onda mora biti i prvi sa trećim!

Kada neka relacija ima osobinu refleksivnosti, simetričnosti, antisimetričnosti, ili tranzitivnosti kažemo da je ta relacija refleksivna, simetrična, antisimetrična, odnosno tranzitivna.

Relacija ekvivalencije je ona koja ima sve tri osobine RST zajedno (Refleksivnost, Simetričnost i Tranzitivnost). Privremeno je možemo označavati sa "~" tilda.

Klasa ekvivalencije je mnoštvo međusobno ekvivalentnih elemenata: $C_{x}=\{y|y~x\}.\,$

Količnički skup je skup klasa ekvivalencije.

Relacija poretka je ona koja ima osobine RAT (Refleksivnost, Antisimetričnost, Tranzitivnost).

Ostale osobine

Iz definicija se lako mogu dobiti sledeća svojstva relacija:

• ${\mathcal {D}}(\rho )={\mathcal {K}}(\rho ^{-1}),\;{\mathcal {D}}(\rho ^{-1})={\mathcal {K}}(\rho );$
• $\left(\rho ^{-1}\right)^{-1}=\rho ;$
• $\left({\bar {\rho }}\right)^{-1}={\overline {\rho ^{-1}}};$
• $\left(\rho \circ \sigma \right)^{-1}=\sigma ^{-1}\circ \rho ^{-1};$
• $(\rho \cap \sigma )^{-1}=\rho ^{-1}\cap \sigma ^{-1};$
• $(\rho \cup \sigma )^{-1}=\rho ^{-1}\cup \sigma ^{-1}.$

Relacija $\rho \subset A^{2}$ je linearna ili totalna ako važi $(\forall x,y\in A)x\rho y\vee y\rho x.$ Primetite da su linearne relacije obavezno refleksivne.

Antisimetrična, tranzitivna i linearna relacija nekog skupa naziva se relacija linearnog poretka (ili totalnog uređenja) datog skupa.

Relacija preduređenja je refleksivna i tranzitivna. Relacija kvaziuređenja je tranzitivna relacija. Poslednja dva naziva pojavljuju se u Teoriji društvenog izbora, tj. oblasti matematičke ekonomije.

Povezano

• Dr Nevenka Skakić i Dr Ratko Kravarušić, Matematika I, Ekonomski fakultet, Banja Luka, 2000.