Stepenovanje
Stepenovanje ili potenciranje je matematička binarna operacija, u zapisu ab. U ovom zapisu a se naziva osnova, a b eksponent. Čita se „a na b-ti stepen“ ili kraće „a na b“, gde je a kardinalni, a b redni (ordinalni) broj; na primer, 57 se čita „pet na sedmi (stepen)“.
Ako je n ∈ ℕ, onda stepen predstavlja osnovu pomnoženu samom sobom n puta:
Osobine stepenovanja
urediStepenovanje ima viši prioritet od množenja. abc znači a(bc), a ne (ab)c.
Za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje nije komutativno (23 = 8 ≠ 32 = 9), niti asocijativno .
- ac · bc = (a · b)c
- ab · ac = ab + c
- ab : ac = ab − c (za a ≠ 0)
- (ab)c = ab · c
Posledica osobine 3 su
- a0 = ab − b = ab : ab = 1
- a−b = a0 − b = 1 / ab
čime se, polazeći od definicije stepenovanja sa eksponentom koji je prirodan (odnosno pozitivan ceo) broj, definiše stepenovanje za svaki celobrojni eksponent.
Stepenovanje sa necelobrojnim eksponentima
urediRacionalni eksponent
urediPo definiciji,
Neka je eksponent b ∈ ℚ racionalan broj. Tada se može napisati b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, pri čemu je
Kako parni korenovi negativnih brojeva nisu definisani, to nije definisano ni za parno q i negativno a.
Iracionalni eksponent
urediNeka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj. Tada je vrednost ab definisana samo za a ∈ ℝ+, kao granična vrednost
stepena ap / q sa racionalnim eksponentima p / q, koji teže ka datom eksponentu b.
Konkretna numerička vrednost računa se preko približnih vrednosti, sa željenom preciznošću eksponenta. Npr, ako je x = aπ, tada je a3,141 < x < a3,142.
Stepenovanje kompleksnih brojeva
urediKako se svaki kompleksan broj z ∈ ℂ može zapisati u obliku (videti Ojlerovu formulu) to važi
- .
- Stepenovanje matrica
Stepenovanje matrica identično je po definiciji stepenovanju realnih brojeva sa prirodnim eksponentima. Definisano je za kvadratne matrice i prirodan broj kao eksponent.
Inverzne funkcije
urediIz stepenovanja se mogu izvesti dve funkcije, u zavisnosti od toga da li je nezavisna promenljiva osnova ili eksponent. Prvi slučaj daje stepenu funkciju ( ), a drugi eksponencijalnu funkciju ( ).
Inverzna funkcija stepenoj funkciji je korena funkcija ( ).
Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija ( ).
Povezano
uredi- e – osnova prirodnog logaritma
- Stepena funkcija
- Eksponencijalna funkcija
- Koren
- Logaritam