Valna funkcija

Valna funkcija u kvantnoj fizici se koristi za opis kvantnog stanja izolovanog kvantnog sistema. Valna funkcija $\Psi$ je kompleksna funkcija koja predstavlja amplitudu verovatnoće, a kvadrat modula talasne funkcije $|\Psi |^{2}$ ima značenje gustine verovatnoće. Ako se talansna funkcija definiše kao funkcija koja zavisi od prostornih i vremenskih koordinata, $|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}$ je realan broj i predstavlja verovatnoću da se čestica u vremenskom trenutku $t$ nađe na poziciji ${\vec {x}}$ .^[1]

Poređenje pojmova klasičnog i kvantnog harmonijskog oscilatora za izolovane čestice bez spina. Opisivanje kretanja kod klasičnog i kvantnog oscilatora se prilično razlikuje. Klasični oscilator (A–B) predstavljen je kao kretanje čestice duž putanje. Kvantni oscilator (C–H) nema tačno definisanu putanju kako se poznaje u klasičnoj fizici. Umesto toga, putanja kod kvantnog oscilatora je opisana kao talas; ovde, vertikalna osa prikazuje realni (plav) i imaginarni deo talasne funkcije (crven). Na animacijama (C–F) prikazana su četiri različita rešenja stojećeg talasa Šredingerove jednačine. Animacije (G–H) prikazuju dve različite talasne funkcije koje su rešenja Šredingerove jednačine, ali nisu stojeći talasi, ali su talasi koji prenose energiju kroz prostor.

Najčešći simboli za talasnu funkciju su grčka slova $ψ$ ili $Ψ$ (malo i veliko psi, respektivno). Sama valna funkcija definisana kao kokmpleksna funkcija $\Psi$ nije opservabla u fizici (ne može se direktno izmeriti), ali kvadrat modula talasne funkcije $|\Psi |^{2}$ i relativna faza talasne funkcije se mogu izmeriti. Princip dualnosti u kvantnoj mehanici podrazumeva da se kvantni sistemi mogu ekvivalentno opisati i kao čestice i kao talasi (npr. preko talasne funkcije). Oba opisa su ekvivalentna i oba se koriste zbog toga što je za opis različitih pojava jedan ili drugi pristup jednostavniji i intuitivniji.

Valna funkcija se nalazi kao rešenje jednačine zadate kvantnim Hermitskim operatorima (npr. kvantni Hamiltonijan u Šredingerovoj jednačini). Rešavanjem ovakvih jednačina, dobijaju se svojstvene vrednosti koji predstavljaju spektar mogućih rezultata merenja i svojstveni vektori koji predstavljaju talasne funkcije date jednačine.

Istorija

Prvi put talasnu funkciju za opisivanje mikroskopskog kvantnog ponašanja čestica iskoristio je Ervin Šredinger 1926. godine kada je napravio analogiju ponašanja kvantne čestice sa ponašanjem talasa. U tom trenutku Šredinger nije smatrao da je valna funkcija dovolja da opiše realan fizički talas, ali iste godine Maks Born je predložio interpretaciju talasne funkcije preko gustine verovatnoće i od tad je valna funkcija u značenju kakvo se danas shvata zauzela fundamentalno mesto za opis pojava u kvantnoj mehanici.^[1]

Definicija

Valna funkcija je funkcija zadana preko stepena slobode, kao što su prostorne koordinate, vremenska koordinata, spin čestice, itd. Kada se za jedan sistem odabere maksimalan skup komutacionih opservabli za stepene slobode, odnosno odaberu se svi međusobno nezavisni stepeni slobode (prostorna koordinata i spin jesu nezavisni stepeni slobode, ali impuls i odgovarajuća prostorna koordinata nisu međusobno nezavisni stepeni slobode, zato što su jedan direktno zavise od drugog), za dati sistem se može definisati valna funkcija.

Za dati sistem, izbor komutacionih stepena slobode koji će se koristiti nije jedinstven, i shodno tome domen talasne funkcije takođe nije jedinstven. Na primer, valna funkcija se može zapisati kao funkcija prostornih koordinata čestica, ili kao funkcija impulsnih koordinata čestica u impulsnom prostoru. Te dve različite definicije talasne funkcije daju iste fizički opservabilne rezulatate i različito definisane talasne funkcije u realnom i impulsnom prostoru međusobno su povezane Furijeovom transformacijom.

Neke čestice, poput elektrona i fotona, imaju spin različit od nule. Ako je spin čestice značajan za posmatranu pojavu koja želi da se opiše, u definiciju talasne funkcije za tu česticu potrebno je pored prostornih i/ili vremenskih koordinata uključiti i spin kao unutrašnji, diskretni stepen slobode. Tako je dalje moguće uključiti i druge stepene slobode kao što je izospin, itd. Diskretni stepeni slobode se najčešće predstavljaju matričnim kolonama. Npr. za spin $s={\frac {1}{2}}$ koristi se matrična kolona $2\times 1$ , za spin $s=1$ , koristi se matrična kolona $3\times 1$ , itd.

Definicija preko prostornih koordinata i vremena

Valna funkcija za jednu izolovanu česticu koja se kreće nerelativističkom brzinom čiji se spin ne uzima u obzir, može se predstaviti u funkciji samo prostornih koordinata i vremena kao kompleksna funkcija realnih varijabli ${\vec {x}}$ i $t$ :

$\Psi ({\vec {x}},t)$

Kvadrat modula talasne funkcije $|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}$ ima značenje gustine verovatnoće:

$|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}=\Psi ^{*}({\vec {x}},t)\Psi ({\vec {x}},t)=\rho ({\vec {x}},t)$

Na osnovu standardne definicije verovatnoće, nameće sa uslov normiranosti talasne funkcije. Valna funkcija mora biti normirana, tako je ukupna verovatnoća da se čestica nađe negde u prostoru jednaka 1:

$\int _{-\infty }^{\infty }d{\vec {x}}\;|\Psi ({\vec {x}},t)|^{2}=1$

Na pitanje da li se čestica u određenom trenutku nalazi na određenoj poziciji moguće je odgovoriti samo preko informacije kolika je verovatnoća da se čestica u tom trenutku nađe na toj poziciji. Verovatnoća da se čestica koja se kreće duž jedne dimenzije u trenutku $t$ nađe u prostornom intervalu između tačaka $a$ i $b$ data je integralom:

$P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}dx\;|\Psi (x,t)|^{2}$

Definicija preko vremena i koordinata u impulsnom prostoru

Valna funkcija čestice ne mora biti zadana preko koordinata prostora i vremena. Ekvivalentne fizičke rezultate daje i definicija talasne funkcije preko impulsa i vremena kao:

$\Phi ({\vec {p}},t)$

Na sličan način se zadaje uslov normiranosti i slično kvadrat modula talasne funkcije $|\Phi ({\vec {p}},t)|^{2}$ ima značenje verovatnoće da čestica u trenutku $t$ poseduje impuls ${\vec {p}}$ .

Prostor talasnih funkcija

Prostor talasnih funkcija na kojem su one definisane je Hilbertov prostor. Talasne funkcije koje predstavljaju rešenje Šredingerove jednačine zadovoljavaju:

osobinu superpozicije: Kako je Šredingerova jednačina linearna diferencijalna jednačina, ako su funkcije $\Psi _{1}$ i $\Psi _{2}$ dva različita rešenja Šredingerove jednačine, onda je i njihova linearna kombinacija $a\Psi _{1}+b\Psi _{2}$ , gde su $a$ i $b$ kompleksni brojevi, rešenje Šredingerove jednačine.
definisanost do na konstantu Ako je $\Psi$ rešenje Šredingerove jednačine, onda je i $\Psi +C$ , gde je $C$ proizvoljna konstanta, rešenje date jednačine.

Unutrašnji proizvod između dve talasne funkcije:

$\langle \Psi _{1}(x)|\Psi _{2}(x)\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }dx\;\Psi _{1}^{*}(x)\Psi _{2}(x)$

je mera preklapanja između odgovarajućih fizičkih stanja i ima značenje verovatnoće prelaza iz stanja opisanog talasnom funkcijom $\Psi _{1}(x)$ u stanje opisanom talasnom funkcijom $\Psi _{2}(x)$ , ili obrnuto.

Šredingerova jednačina

Valna funkcija $\Psi$ je rešenje Šredingerove jednačine:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

koja opisuje promenu sistema u funkciji od vremena. Šredingerova jednačina opisuje kako talasne funkcije evoluiraju tokom vremena. Kako je Šredingerova jednačina matematički tip talasne jednačine, njeno rešenje koje predstavlja valna funkcija $\Psi$ se kvalitativno ponaša kao i makroskopski talasi, kao što su vodeni talasi ili talasi na žici. ^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

Atom vodonika

Elektronska gustina verovatnoće

|\Psi _{n\ell m}|^{2}

različitih orbitala koje grade celokupnu talasnu funkciju atoma vodonika kao rešenje Šredingerove jednačine.

Rešenje vremenski-nezavisne Šredingerove jednačine za atom vodonika (ne uzimajući u obzir spin atoma) je valna funkcija koja se može izraziti preko radijalne funkcije koja $R(r)$ koja zavisi samo od radijalne koordinate $r$ i sfernog harmonika $Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )$ koji zavisi od ugaonih koordinata $\theta$ i $\phi$ .