Differentialekvation: Skillnad mellan sidversioner

Bläddra interaktivt i historiken

← Äldre redigering

Innehåll som raderades Innehåll som lades till

VisuellWikitext

Versionen från 17 november 2013 kl. 11.29 redigera 94.255.248.123 (Diskussion) →Ordning: * Det är väl rimligare att exemplifiera med x som variabel än t, x används i resten av artikeln. ← Äldre redigering		Nuvarande version från 22 juni 2024 kl. 19.11 redigera gör ogjord Plumbot (Diskussion \| Bidrag) Robotar 1 895 014 redigeringar m →Externa länkar: Lägger till * före mall-anrop
(48 mellanliggande sidversioner av 22 användare visas inte)
Rad 1: ~~Inom [[matematisk analys]] beskriver en~~En '''differentialekvation''' ~~sambandet~~är en [[ekvation]] som beskriver ett samband mellan en okänd [[funktion]] och dess [[derivata\|derivator]]. ~~Differentialekvationen~~Differentialekvationer är ~~ett~~en ~~slag~~typ av [[funktionalekvation]]er. De har mycket viktiga tillämpningar inom bland annat [[fysik]], [[biologi]] och [[nationalekonomi]]. Differentialekvationen kallas ''ordinär'', om den obekanta funktionen är en funktion av endast en [[variabel]]. Om funktionen är av flera variabler, så att dess derivator är [[partiell derivata\|partiella derivator]], kallas ekvationen en ''partiell differentialekvation''. == Tillämpningar == {{dubbel bild\|right\|Drum_vibration_mode01.gif\|160\|Spherical_wave2.gif\|160\|Svängande [[membran]] beräknat med en partiell differentialekvation\|[[Vatten\|Vattendroppar]] ger upphov till vågor som kan beskrivas med partiella differentialekvationer}} Differentialekvationer används bland annat för att konstruera [[matematisk modell\|matematiska modeller]] av fysikaliska fenomen inom ~~till exempel~~exempelvis [[flödesdynamik]] eller [[Klassisk mekanik\|mekanik]]. Därför är studiet av differentialekvationer ett omfattande område inom både ren och [[tillämpad matematik]]. En matematisk modell behandlar ofta en förändring av en [[variabel]] med avseende på en annan variabel. Förändringar kan uttryckas med hjälp av derivator och matematiska modeller innehåller därför ofta differentialekvationer. Lösningar till differentialekvationer ligger till grund för ~~till exempel~~exempelvis formgivning av [[Bro\|broar]], [[Bil\|bilar]] och [[flygplan]]. Differentialekvationer är också användbara inom andra områden så som framtagandet av ekonomiska modeller. == ~~Definitioner~~ Beteckningar== Låt <math>y</math> vara en funktion av <math>x</math>. ~~och~~Derivatorna kan skrivas med [[Derivata#Lagranges notation\|Lagranges notation]] som : <math>\ y', y'',\dots, y^{(n)}</math> eller med [[Leibniz notation]] som ~~beteckna derivatorna~~ : <math>{dy \over dx}, {d^{2}y \over dx^2}, ..., {d^{(n)}y \over dx^{(n)}}.</math> Exempel på en ordinär [[differentialekvation av andra ordningen]]: ~~Vi kan skriva differentialekvationen~~ :<math>y'' + 3 x\~~mathcal{L}(~~,y)' + y =~~h(x)~~ 0</math> ~~där <math>\mathcal{L}(y)</math> är en godtycklig samling termer som innehåller minst en faktor av ''y'' eller dess derivator, multiplicerade med kända funktioner av ''x''.~~ De partiella derivatorna upp till ordning 2, av en funktion <math display="inline">u</math> av två variabler kan skrivas som ~~=== Ordning ===~~ :<math> \frac{\partial u(x,y)}{\partial x},\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}, En differentialekvations '''ordning''' anger ordningen hos den högsta förekommande derivatan – en ekvation som innehåller funktionen och dess förstaderivata är av första ordningen, en som innehåller funktionen och dess andraderivata är av andra ordningen.<ref name="PB358" /> \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2},\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y \partial x} </math> (De två sista derivatorna är identiska för en stor klass funktioner, men inte för alla.) ~~Differentialekvationen <math>\alpha y''(x) + \beta y'(x) + \gamma y(x) = 0</math> är exempelvis av andra ordningen.~~ En enkel partiell differentialekvation är den ''linjära transportekvationen'' i en [[dimension]], som har formen ~~=== Beroende och oberoende variabel ===~~ :<math> \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + c \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0</math> ~~<math>y</math> är den [[beroende variabel]]n i differentialekvationen och<br />~~ ~~<math>x</math> är den [[oberoende variabel]]n.~~ med den [[Reella tal\|reella]] konstanten <math>c</math>. ~~=== Ordinär och partiell differentialekvation ===~~ [[Ordinära differentialekvationer]] (ODE) innehåller endast derivator med avseende på en enda oberoende variabel. I [[partiella differentialekvationer]] (PDE) är <math>y</math> en funktion av flera variabler och differentialekvationen innehåller [[partiell derivata\|partiella derivator]] med avseende på mer än en oberoende variabel.<ref name="PB358" /> ==~~= Linjära och ickelinjära ordinära~~Ordinära differentialekvationer === {{huvudartikel\|Ordinär differentialekvation}} ~~För att en ordinär differentialekvationen skall vara '''linjär''' måste den uppfylla<ref name="PB376" />~~ En ekvation för bestämning av en obekant funktion <math>y(x)</math> av en variabel, där förutom funktionen även dess derivator ingår, kallas en ''ordinär differentialekvation'' (ODE) och kan skrivas :<math>F\left(x,y(x),y'(x), \ldots, y^{(n)}(x)\right ) = 0</math> och sägs vara av <math>n</math>:e ordningen. Allmänna lösningen till en ekvation av <math>n</math>:e ordningen innehåller <math>n</math> godtyckliga konstanter. Vid praktiska problem bestäms konstanterna av givna ''begynnelse-'' eller ''randvärden''. En ekvation som innehåller funktionen och dess förstaderivata är en [[Differentialekvationer av första ordningen\|differentialekvation av första ordningen]] och så vidare. Exempelvis är differentialekvationen :<math>\alpha y''(x) + \beta y'(x) + \gamma y(x) = 0</math> av andra ordningen. ===Homogena och inhomogena differentialekvationer=== En ekvation :<math> \mathcal{L}(y)=h(x)=0</math> där <math>h(x)</math> är alla termer som endast beror av <math>x</math>, kallas homogen, i annat fall inhomogen. Lösningen till en inhomogen, [[linjär ekvation]] kan skrivas :<math>y=y_h+y_p</math> där <math>y_h</math> är den [[Homogenlösning\|homogena lösningen]] och <math>y_p</math> är den [[Partikulärlösning\|partikulära lösningen]], det vill säga, den specifika lösningen då <math>h</math> är [[nollskild]]. === Linjära och icke-linjära ekvationer === En differentialekvation kan skrivas på den förenklade formen :<math> \mathcal{L}(y)=h(x)</math> där <math>h(x)</math> är alla termer som endast beror av <math>x</math>. För att en ordinär differentialekvation skall vara ''linjär'' måste den uppfylla :<math> \mathcal{L}(y_1+y_2)=\mathcal{L}(y_1)+\mathcal{L}(y_2)</math> och :<math> \mathcal{L}(\alpha(x)y)=\alpha(x)\mathcal{L}(y).</math> Alltså gäller ~~att vi kan skriva~~ :<math>\mathcal{L}(y)=f_n(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}\dots f_1(x) y'+f_0(x) y</math> Rad 45 ⟶ 74: är linjär. <math>x^3</math> i högerledet inverkar inte på lineariteten. === Beroende och oberoende variabel === ~~===Homogen===~~ I till exempel differentialekvationen ~~En ekvation för vilken <math>h(x)=0</math> kallas homogen, i annat fall kallas den inhomogen. Lösningen till en inhomogen, linjär ekvation kan skrivas~~ :<math>{d^{2}y~~=y_h~~ \over dx^2} +~~y_p~~ y^2 = 0</math> ~~där~~är <math>~~y_h~~y</math> ~~kallas~~den ~~'''homogenlösning'''~~[[beroende ~~och löser motsvarande homogena ekvation,~~variabel]]n och <math>~~y_p~~x</math> ~~kallas~~är ~~'''partikulärlösning'''.<ref~~den ~~name="PB376"~~[[oberoende />variabel]]n. ==Partiella differentialekvationer== ~~=== Lösningar ===~~ {{huvudartikel\|partiell differentialekvation}} Problemet att lösa en differentialekvation består i att finna funktionen <math>y</math> (och indirekt också dess derivator) som uppfyller ekvationen. Till exempel så har differentialekvationen <math>y'' + y = 0</math> allmän lösning <math>y = A \cos{x} + B \sin{x}</math>, där <math>A</math> och <math>B</math> är konstanter som bestäms av [[randvillkor]] eller [[begynnelsevärde]]n. [[Partiella differentialekvationer]] (PDE) är ekvationer av en eller flera okända funktioner, som uppfyller kriterierna * Den okända funktionen beror av åtminstone två variabler ~~En differentialekvation har oändligt många lösningar. Däremot finns det [[sats (matematik)\|satser]] som visar att det finns en unik lösning till vissa [[begynnelsevärdesproblem]].~~ * I ekvationen förekommer partiella derivator med avseende på åtminstone två variabler Det finns metoder för att bestämma lösningar till vissa typer av differentialekvationer. I de flesta fall saknas sådana metoder, men alla differentialekvationer kan lösas [[approximativ]]t med [[numeriska metoder]]. * I ekvationen förekommer endast partiella derivator av den obekanta funktionen En '''[[explicit]] lösning''' till en differentialekvation är en funktion av den oberoende variabeln som löser differentialekvationen. En '''[[implicit]] lösning''' är ett förhållande mellan den beroende och den oberoende variabeln som indirekt definierar en funktion som är en explicit lösning. Den implicita formen av en partiell differentialekvation för en funktion <math>u</math> av två variabler <math>x</math> och <math>y</math>, kan skrivas ~~=== Differentialekvationer då oberoende term saknas ===~~ Ett viktigt specialfall är då ekvationerna inte involverar någon oberoende term <math>x</math>. Dessa differentialekvationer kan representeras som [[vektorfält]], och har den viktiga egenskapen att rummet kan delas upp i [[ekvivalensklass]]er, där två punkter är [[ekvivalent]]a om de ligger på samma [[lösningskurva]]. Eftersom fysikens lagar antages vara konstanta över tiden, så styrs den fysiska världen av sådana differentialekvationer. (Se även [[symplektisk topologi]] för en abstrakt diskussion.) :<math> F\left(x,y,u(x,y),\frac{\partial u(x,y)}{\partial x},\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}, ~~== Exempel==~~ \ldots,\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x \partial y},\ldots \right) = 0, </math> ~~=== Bakterietillväxt ===~~ Ett typiskt skolexempel som brukar användas för att introducera differentialekvationer är bakterietillväxt i en lösning. Eftersom varje bakterie delar sig med en viss hastighet är bakterietillväxten proportionell mot det totala antalet bakterier vid en given tidpunkt. Om <math>N</math> anger antalet bakterier vid tiden <math>t</math> vet vi därför att där <math>F</math> är en godtycklig funktion. ~~:<math>N'(t) = k \cdot N(t)</math>~~ ===Linjära och olinjära ekvationer=== Lösningen till denna differentialekvation är en funktion som har egenskapen att funktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. Exponentialfunktionen har precis denna egenskap. Man inser alltså att lösningen måste vara en exponentialfunktion. En partiell differentialekvation är linjär om den okända funktionen och alla förekommande derivator uppträder linjärt. Detta innebär att [[Koefficient\|koefficienterna]] endast beror på funktioner av variablerna hos den okända funktionen och inte av själva funktionen. Exempel på en icke-linjär partiell differentialekvation är ~~Man inser att denna modell av bakterietillväxten bara är approximativ - bland annat genom att bakterietillväxten i en lösning så småningom måste avstanna i brist på näring.~~ :<math>\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + u(x,t) \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0</math> == Lösningar till ordinära differentialekvationer== Att lösa en differentialekvation innebär att finna den funktion som uppfyller ekvationen. Exempelvis har den [[Homogena ekvationssystem\|homogena ekvationen]] av första ordningen :<math>y'+ay=0</math> där <math>a</math> är en [[konstant]], lösningen :<math>y = C e^{-ax}</math> där <math>C</math> är en konstant, som bestäms av [[randvillkor]] eller [[begynnelsevärde]]n. En differentialekvation har oändligt många lösningar, men det finns [[sats (matematik)\|satser]] som visar att det finns unika lösningar till vissa [[begynnelsevärdesproblem]]. Det finns metoder för att bestämma lösningar till vissa typer av differentialekvationer. I de flesta fall saknas sådana metoder, men alla differentialekvationer kan lösas approximativt med [[numeriska metoder]]. En ''[[explicit]] lösning'' till en differentialekvation är en funktion av den oberoende variabeln som löser differentialekvationen (av formen <math>y(x) =\ ...</math>). En ''[[implicit]] lösning'' är ett förhållande mellan den beroende och den oberoende variabeln som indirekt definierar en funktion som är en explicit lösning (exempelvis <math>\sin(x + y) = xy + 2x</math>). === Bakterietillväxt === En differentialekvation kan användas till att beskriva bakterietillväxt i en lösning. Eftersom varje [[Bakterier\|bakterie]] delar sig med en viss [[hastighet]], är bakterietillväxten [[Proportionalitet (matematik)\|proportionell]] mot antalet bakterier vid en given tidpunkt. Om <math>N</math> anger antalet bakterier vid tiden <math>t</math> gäller därför sambandet :<math>N'(t) = k \cdot N(t)</math> Lösningen till denna differentialekvation är en funktion som har egenskapen att funktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. Exponentialfunktionen är den enda funktion som har denna egenskap och lösningen måste således vara en exponentialfunktion. Uppenbarligen är denna modell av bakterietillväxten bara approximativ - bland annat genom att bakterietillväxten i en lösning så småningom måste avstanna i brist på näring. === Fritt fall === Ett föremål släpps från en viss höjd <math>h</math> och faller på grund av [[gravitation]]skraften <math>F</math>. Här görs ~~förenklingarna~~förenklingen att gravitationen är den enda ~~kraften~~kraft som verkar på föremålet, och att gravitationen är konstant. I verkligheten finns också andra krafter, till exempel luftmotstånd. Enligt [[~~Isaac Newton\|~~Newtons]] andra lag]] är ett föremåls [[massa]] <math>m</math> multiplicerat med dess [[acceleration]] <math>a</math> är lika med den ~~totala~~ kraft <math>F</math> som verkar på föremålet~~, eller~~: :<math>m \cdot a = F</math> Accelerationen är derivatan av hastigheten <math>v</math> med avseende på tid <math>t</math>, eller: :<math>a = {dv \over dt}</math> Hastigheten är i sin tur derivatan av sträckan, eller i detta fall höjden <math>h</math> med avseende på tid <math>t</math>~~, eller~~: :<math>v = {dh \over dt}</math> Alltså är accelerationen andraderivatan av höjden: :<math>a = {d^{2}h \over dt^2}</math> Den ~~totala kraften~~kraft <math>F</math> som verkar på föremålet antogs vara endast gravitationen. ~~<math>g</math>.~~[[Isaac Newton\|Newtons]] andra lag kan då skrivas som: :<math>m \cdot {d^{2}h \over dt^2} = -mg</math> (Minustecken eftersom man enligt konvention räknar krafter positiva ''från'' jorden.) Rad 95 ⟶ 148: :<math>h = h(t) = -{gt^2 \over 2} + C_{1}t + C_2</math> [[Integrationskonstant\|Integrationskonstanterna]] <math>C_1</math> och <math>C_2</math> kan bestämmas om ~~man vet~~ föremålets begynnelsehöjd och begynnelsehastighet är kända. Resultatet är en funktion, eller en formel, för föremålets höjdläge vid tiden <math>t</math>. == Metoder för lösning av differentialekvationer == Vissa differentialekvationer kan lösas analytiskt, och lösningen blir då exakt. I analytiska lösningar kan man använda [[Transformation (matematik)\|transformation]], oftast [[Laplacetransformation]] för ordinära differentialekvationer och [[Fouriertransformation]] för partiella. För de flesta differentialekvationer behövs [[numeriska metoder]]. Några vanliga numeriska metoder för lösning av differentialekvationer är [[Eulers metod]] och [[~~Runge-Kuttas~~Runge–Kuttas metod]] för [[begynnelsevärdesproblem]], och [[provskottsmetoden]] för [[randvärdesproblem]]. [[Partiella differentialekvationer]] är särskilt känsliga för [[fel]] i lösningen. == Programvara == Det finns programvara som kan lösa differentiella ekvationer: * [[ExpressionsInBar]] * [[Maple]]<ref>{{Webbref\|titel=dsolve - Maple Programming Help\|url=https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve\|verk=www.maplesoft.com\|hämtdatum=2020-05-12}}</ref>: dsolve * [[SageMath]] * [[Xcas]]<ref>{{Webbref\|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf\|titel=Symbolic algebra and Mathematics with Xcas\|hämtdatum=2020-05-12\|datum=\|utgivare=}}</ref>: desolve(y'=ky,y) == Se även == Rad 111 ⟶ 172: [[Begynnelsevärdesproblem]] * [[Differensekvation]] [[Lagranges ekvationer]] [[Laplacetransformen av differentialekvationer]] == Källor == * {{Bokref\|författare=Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer\|titel=Analys i en variabel\|utgivare=Studentlitteratur\|utgivningsort=Lund\|upplaga=2 uppl\|år=2001\|id={{ISBN \|91-44-02056-2}}}} === Fotnoter === <references/> == Externa länkar == ~~<ref name="PB358">Persson & Böiers (2001), sid. 358</ref>~~ *{{Commonscat\|Differential equations}} ~~<ref name="PB376">Persson & Böiers (2001), sid. 376</ref>~~ ~~</references>~~ {{auktoritetsdata}} ~~{{Portallänk Matematik}}~~ [[Kategori:Differentialekvationer\| ]] [[Kategori:Matematisk analys]]