Boolesk algebra

Boolesk algebra är ursprungligen en överföring av satslogiken till kalkyl, som introducerades av George Boole år 1854. Den är även ekvivalent med mängdalgebran, med operatorerna union, snitt och komplement. Formellt kan en boolesk algebra definieras som ett distributivt gitter, vars alla element har ett komplement.

Logik, Formellt system
Bivalent logik Boolesk algebra Deontisk logik Filosofisk logik Flervärd logik Matematisk logik Metalogik Modallogik Satslogik Temporal logik
Logiska system
Första ordningens logik Andra ordningens logik Deontisk logik Intuitionistisk logik Klassisk logik Kontemporär logik Linjär logik Parakonsistent logik Predikatlogik Relationell logik Relevanslogik Sannolikhetslogik Satslogik Substrukturell logik Suddig logik (fuzzy logic) Syllogistisk logik

Ytterligare ett exempel på en boolesk algebra är ringen $(Z_{2},+,{\cdot },{-},0,1)$, där de binära operationerna ${\lor }$, ${\land }$ och ${\neg }$ definieras enligt

$a\lor b=a+b+ab$

$a\land b=ab$

$\neg a=a+1$

En boolesk algebra kan uppfattas som en boolesk ring. De är således ekvivalenta begrepp. En boolesk algebra $(A,{\lor },{\land },{\neg },0,1)$ kan omformas till en boolesk ring $(A,{+},{\cdot },{-},0,1)$ genom definitionerna

$a+b=(a\land \neg b)\lor (b\land \neg a)$

$a\cdot b=a\land b$

$\,-a=a$.

Booles logiska algebra förbättrades och utvecklades vidare av bland andra matematikerna Charles Peirce, Ernst Schröder och Giuseppe Peano, som moderniserade Booles beteckningar och uttryckssätt. Om man i Booles kalkyl låter 0 och 1 representera sanningsvärdena falskt respektive sant och operatorerna + och ${\cdot }$ motsvara konnektiven $\lor$ respektive $\land$, fås enligt ovan endast ett undantag från ordinarie räkneregler, nämligen att 1 + 1 = 1.

Venndiagram för de logiska konnektiven OCH, ELLER och ICKE.

Med venndiagram kan man åskådliggöra de logiska funktionernas sanningsvärden.

Den booleska algebran har tillämpningar bland annat inom områdena digitalteknik, kretskonstruktion, datorer och programkonstruktion.

Den nedre figuren visar booleska funktionsvärdestabeller, kretskonstruktioner och venndiagram för de logiska konnektiven och, eller, materiell implikation och antingen-eller. Det sistnämnda konnektivet motsvaras i algebran av addition modulo 2 och betecknas med symbolen ${\oplus }$.

Se även

• Boolesk ring
• Digitalteknik
• Datavetenskap
• Logicism
• Lattice
• Logisk grind

Källor

• Whitesitt, J.E., Boolean Algebra and its Applications, Addison-Wesley, 1961.
• von Wright, G.H., Logik, filosofi och språk, Berlingska, Lund, 1957.
• Abbott, J.C., Sets, Lattices and Boolean Algebra, Allyn and Bacon, 1969.
• Bäckström, Karl-Johan, Diskret matematik, Studentlitteratur, 1986.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Boolesk algebra.
  Bilder & media