Location via proxy:   [ UP ]  
[Report a bug]   [Manage cookies]                
İçeriğe atla

Leonardo Fibonacci

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Fibonacci sayfasından yönlendirildi)
Sayı dizisi için Fibonacci dizisi sayfasına bakınız. Prison Break dizi karakteri için Otto Fibonacci sayfasına bakınız.
Pisalı Leonardo (Fibonacci)
İtalya Camposanto di Pisa'daki Giovanni Paganucci'nin Fibonacci Heykeli (1863)[a]
Doğumy. 1170
Pisa,[2] Pisa Cumhuriyeti
Ölümy.1250 (79-80 yaşlarında)
Pisa, İtalya
Milliyetİtalyan
Diğer ad(lar)ıLeonardo Fibonacci, Leonardo Bonacci, Leonardo Pisano
Tanınma nedeni
babası
Ebeveyn(ler)Guglielmo "Bonacci" (father)
Kariyeri
DalıMatematikçi
Çalıştığı kurumlarİtalya

Fibonacci (/ˌfɪbəˈnɑːtʃi/;[3] aynı zamanda US /ˌfiːb-/,[4][5] İtalyanca telaffuz: [fiboˈnattʃi]; y. 1170 – y. 1240–50),[6] ayrıca Leonardo Bonacci, Pisalı Leonardo (Leonardo of Pisa) veya Leonardo Bigollo Pisano ('Pisalı Gezgin Leonardo'[7]) olarak da bilinen Pisa Cumhuriyetinden İtalyan matematikçi, "Orta Çağ'ın en yetenekli Batılı matematikçisi" olarak kabul edilir.[8]

Yaygın olarak "Fibonacci" olarak adlandırılan adı, 1838'de Fransız-İtalyan tarihçi Guillaume Libri tarafından kullanılmıştır.[9][10] ve kısaca Latince: filius Bonacci ('Bonaccinin oğlu') olarak bilinir.[11][b] Bununla birlikte, daha 1506'da Kutsal Roma İmparatorluğu'nun bir noteri olan Perizolo, Leonardo'dan "Lionardo Fibonacci" olarak bahseder.[12]

İtalya'da doğdu ve Bugiada (şu anda Cezayir) tüccarları için diplomatlık yapan babası Guglielmo'nun yanında Kuzey Afrika'da büyüdü. Birçok yolculuğunda babasına eşlik etti. 1202'de kaleme aldığı Liber Abaci eserinde Hint-Arap sayıları hakkında şunları söylemektedir: "Babam, Pisa'dan Bugia'ya gelen tüccarların menfaati için ülkesi tarafından Bugia gümrüğüne noter olarak atanmıştı. Geleceğimi düşünen babam, ben daha çocukken beni yanına çağırdı ve orada kalıp muhasebe okuluna devam etmemi istedi. Okulda Hinduların dokuz sembol kullandıkları sanatı çok iyi öğretmenlerden öğrendim. Bu sanata ait bilgiler beni her şeyden çok mutlu etti."[13]

Fibonacci modern çağda en çok Hint-Arap Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl başlarında yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama yöntemleri kitabıyla tanınır.[14][15] Liber Abaci'de bir örnek olarak yer alan çağdaş sayılarla hesaplanmış kendi adıyla anılan sayı dizisi Fibonacci dizisi olarak anılmaktadır.[16][17] Sadece Fibonacci dizisi ve özellikleri ile ilgili kitaplar hatta haftalık düzenli yayınlanan matematik dergileri bile bulunmaktadır.

Biyografisi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Leonardo 1170 yılında İtalya'nın Pisa şehrinde doğdu. Kesin doğum tarihi bilinmemektedir. Babası İtalyan bir tüccar ve gümrük memuru olan Guglielmo'dur.[7] Takma adı Bonaccio idi ve bu ad, iyi tabiatlı veya sade ruhlu anlamına gelmekteydi. Annesi Alessandra, Leonardo 9 yaşındayken öldü. Leonardo babasının takma adını miras olarak aldı. İtalyanca Filius Bonacci, Bonacci'nin oğlu anlamına gelmekteydi ve Leonardo bu nedenle Fibonacci diye anılmaya başlandı.[18]

Guglielmo, Cezayir'in Béjaïa limanı ile İtalya'nın Bugia kenti arasında bir ticaret merkezi yönetti.[19] Fibonacci genç bir çocukken babasına yardım etmek için onunla seyahat etti ve Hint-Arap rakam sistemi hakkında eğitim aldığı yer olan Bugia'deydi.[6][20]

Fibonacci, Akdeniz kıyılarını dolaştı, birçok tüccarla görüştü ve aritmetik yapma sistemlerini öğrendi.[21] O zaman kullanılan Roma rakamlarının aksine, konum-değer sistemi kullanarak kolay hesaplamaya izin veren Hindu-Arap sisteminin birçok avantajını kısa sürede fark etti. 1202 yılında Avrupa'da Hint-Arap rakamlarını popülerleştiren[6] Liber Abaci (Abaküs Kitabı, Book of Abacus veya Hesap Kitabı, The Book of Calculation) adlı eserini tamamladı.[22]

Fibonacci matematik ve bilimden hoşlanan İmparator II. Frederick'in konuğuydu. 1240 yılında, Pisa Cumhuriyeti Fibonacci'yi (Leonardo Bigollo olarak anılır),[23] vatandaşlara muhasebe ve eğitim konularında danışman olarak şehre verdiği hizmetlerden dolayı onu tanıyan bir kararname ile maaş vererek onurlandırdı.[24][25]

Fibonacci'nin 1240[26]-1250[27] yılları arasında Pisa'da öldüğü sanılıyor.

Liber Abaci

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Liber Abaci
Fibonacci'nin Floransa Ulusal Kütüphanesi'ndeki Liber Abaci adlı eserinin bir sayfası (sağdaki kutuda), dizideki konumu Latin rakamları ve Romen rakamlarıyla ve Hint-Arap rakamlarıyla gösterilen değeriyle Fibonacci dizisini göstermektedir.

Liber Abacide (1202), Fibonacci, bugün Hint-Arap rakam sistemi olarak bilinen modus Indorumu (Hintlerin yöntemi) tanıttı.[28][29] El yazması, sıfır ve rakamların konumsal gösterimi dahil olmak üzere on basamaklı numaralandırmayı desteklemekteydi. Kitap, ticari defter tutma, ağırlık ve ölçüleri dönüştürme, faiz hesaplama, para değiştirme ve diğer uygulamalara uygulayarak bu rakamların pratik kullanımını ve değerini gösterdi. Kitap, tahsilli Avrupa'da iyi karşılandı ve Avrupa düşüncesi, Avrupa'nın müspet bilimde ilerlemesi, üzerinde derin bir etkisi oldu. Antik Mısır çarpım yöntemi olan Roma rakamlarını değiştirmek ve hesaplamalar için abaküs kullanmak, iş hesaplamalarını daha kolay ve daha hızlı hale getirmede bir ilerlemeydi ve bu da Avrupa'da bankacılık ve muhasebe'nin büyümesine yardımcı oldu.[30][31]

Orijinal 1202 el yazmasının var olduğu bilinmemektedir.[32] El yazmasının 1228'lik bir kopyasında, ilk bölüm sayı sistemini tanıtır ve onu Roma rakamları gibi diğerleriyle ve sayıları ona dönüştürme yöntemleriyle karşılaştırır. İkinci bölüm, örneğin farklı para birimlerini dönüştürmek ve büyüyen bankacılık sektörü için önemli olan kar ve faizi hesaplamak gibi iş dünyasındaki kullanımları açıklar. Kitap ayrıca irrasyonel sayılar ve asal sayılar konusunu da tartışır.[30][31][32]

Liber Abaci'de ayrıca kapalı bir ortamdaki bir tavşan ailesinin artışını, her tavşan çiftinin bir ay sonra bir yavru yapıp onun da 1 ay sonra 1 yavru yapacağı gibi ideal varsayımlar altında hesaplanmasını gösterir. Bu problemin çözümünde tavşan çiftlerinin sayısının artışını gösteren sayı dizisi Fibonacci sayıları, diziye de Fibonacci dizisi denir. Bu sayı dizisi 6. yüzyıldan beridir Hint matematikçiler tarafından bilinmekteydi ancak Avrupa'ya ilk olarak Fibonacci tarafından tanıtılmıştır.[33][34]

Fibonacci sayı dizisi

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Fibonacci dizisi
Leonardo Pisano olarak da bilinen Leonardo Fibonacci'nin portresi.

Liber Abaci idealize edilmiş varsayımlara dayalı olarak bir tavşan popülasyonunun büyümesini içeren bir problem ortaya koydu ve çözdü. Nesilden nesle çözüm, daha sonra Fibonacci sayıları olarak bilinen bir sayı dizisiydi. Fibonacci'nin eseri Liber Abaci, dizi hakkında Hindistan dışında bilinen en eski açıklamayı içermesine rağmen, dizi altıncı yüzyılda Hint matematikçiler tarafından tanımlanmıştı.[35][36][37][38]

Fibonacci dizisinde her sayı kendinden önceki iki sayının toplamıdır. Fibonacci, bugün dahil edilen "0" ve ilk "1" i atladı ve diziye 1, 2, 3, ... ile başladı. Her ardışık elemanı da önceki iki elemanın değerinin toplamı alınarak bulunur ve bu halde 0, 1, 1(1+0), 2(1+1), 3(2+1), 5(3+2), 8(5+3), 13(8+5), 21(13+8)... şeklinde artar. Hesaplamayı on üçüncü sıraya, 233 değerine kadar taşıdı, ancak başka bir el yazması onu bir sonraki yere, 377 değerine taşıdığı görülmektedir.[39][40] Fibonacci, bu dizideki ardışık sayıların oranının limiti olan altın oran hakkında hiçbir şey belirtmemiştir.

Altın oran

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Altın oran

Bu dizinin ileri elemanlarında, bir sonraki elemanın bir öncekine oranı Altın oran adı verilen ve yaklaşık 1,618 (1:0,618) değerine eşit bir sayıyı verir.

Altın oran matematikte genellikle harfi ile gösterilir.

Tabiattaki canlılarda uzuvların oranı altın oran adı verilen 1.618... sayısına uygunluk gösterir. Antik mimari eserler ve bazı modern mimari eserler bu orana uygun tasarlanırlar. Altın orana uygun ölçülerdeki nesnelerin ve canlıların daha estetik olduğu ve güzel göründüğü savunulur.

Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir. Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur. Fibonacci dizisinde ardışık elemanlar bir önceki elamanın oranındaki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci dizisidir. Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar. Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir. Bitkilerin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Mimar Sinan'ın da birçok eserinde Fibonacci dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur.[kaynak belirtilmeli]

Mirası

[değiştir | kaynağı değiştir]

19. yüzyılda, Pisa'da bir Fibonacci heykeli yapılmış ve buraya dikilmiştir. Heykel bugün Camposanto, Piazza dei Miracoli üzerindeki tarihi mezarlığın batı galerisinde yer almaktadır.[1][41][42]

Fibonacci sayılarıyla bir bağlantıları nedeniyle Fibonacci'den sonra adlandırılan birçok matematiksel kavram vardır. Örnekler arasında Brahmagupta–Fibonacci özdeşliği, Fibonacci arama tekniği ve Pisano periyodu sayılabilir. Matematiğin ötesinde, Fibonacci'nin adını taşıyan şeyler arasında asteroit 6765 Fibonacci[43] ve art rock grubu The Fibonaccis de bulunur.

Çalışmaları

[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Fibonacci'nin gerçek görünümü bilinmiyor.[1]
  2. ^ Bonacci kelimesinin etimolojisi "iyi huylu"dur, bu nedenle tam adı "iyi huylu bir aileden gelen oğul" anlamına gelir.[7]

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ a b "Fibonacci's Statue in Pisa". Epsilones.com. 22 Şubat 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Ağustos 2010. 
  2. ^ Smith, David Eugene; Karpinski, Louis Charles (1911), The Hindu–Arabic Numerals, Boston and London: Ginn and Company, s. 128, 18 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ağustos 2021 .
  3. ^ "Fibonacci, Leonardo". [[İfade hatası: Beklenmedik < operatörü.]] UK Dictionary. Oxford University Press. Erişim tarihi: 23 Haziran 2019. 
  4. ^ "Fibonacci series"". 23 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi.  ve "Fibonacci sequence". Collins English Dictionary. HarperCollins. 12 Haziran 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Haziran 2019. 
  5. ^ "Fibonacci number". Merriam-Webster Dictionary. 
  6. ^ a b c O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Leonardo Fibonacci", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
  7. ^ a b c Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback bas.). New York City: Broadway Books. ss. 92-93. ISBN 0-7679-0816-3. 31 Mart 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Aralık 2018. 
  8. ^ Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. Brooks Cole, 1990: 0-03-029558-0 (6th ed.), p. 261.
  9. ^ Devlin, Keith (2017). Finding Fibonacci: The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World. Princeton University Press. s. 24. 
  10. ^ Colin Pask (7 Temmuz 2015). Great Calculations: A Surprising Look Behind 50 Scientific Inquiries. Prometheus Books. s. 35. ISBN 978-1-63388-029-0. 18 Nisan 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Ağustos 2021. 
  11. ^ Keith Devlin, The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution,A&C Black, 2012 p. 13.
  12. ^ Drozdyuk, Andriy; Drozdyuk, Denys (2010). Fibonacci, his numbers and his rabbits. Toronto: Choven Pub. s. 18. ISBN 978-0-9866300-1-9. OCLC 813281753. 17 Şubat 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Ağustos 2021. 
  13. ^ Ian Stewart (2018). Matematiğin Kısa Tarihi, Alfa Yayınları (çev. Sibel Sevinç)., s.56
  14. ^ "Fibonacci Numbers". www.halexandria.org. 30 Mayıs 2003 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  15. ^ "Leonardo Pisano: "Contributions to number theory"". Encyclopædia Britannica Online. 2006. s. 3. 17 Haziran 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Eylül 2006. 
  16. ^ "Leonardo Pisano - page 3: "Contributions to number theory"". 17 Haziran 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. . Encyclopædia Britannica Online, 2006. Accessed 18 September 2006.
  17. ^ Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28-30, 1986. ISSN 0047-6269]
  18. ^ "Liber abbaci - Prologus". 28 Eylül 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Latince Wikikaynaktaki Liber Abaci: "Incipit liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano" bu şekilde geçmektedir. 
  19. ^ G. Germano, "New editorial perspectives in Fibonacci's Liber abaci" (PDF), «Reti medievali rivista», 14 (2), ss. 157-173, 9 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi 
  20. ^ Thomas F. Glick; Steven Livesey; Faith Wallis (2014). Medieval Science, Technology, and Medicine: An Encyclopedia. Routledge. s. 172. ISBN 978-1-135-45932-1. 21 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Ağustos 2021. 
  21. ^ Liber abaci'nin Prologunda şunları söyledi: “Orada bu sanatla Hintlerin dokuz figürü aracılığıyla inanılmaz bir öğretim yöntemiyle tanıştırıldıktan sonra, onun bilgisini sevdim. Böyle bir sanat, diğer tüm sanatlardan o kadar fazlaydı ve aklımla kendimi ona o kadar adadım ki, daha sonra ticaret amacıyla ziyaret ettiğim yerler olan Mısır'da Suriye'de, Yunanistan'da, Sicilya'da ve Provence'ta kullanılan çeşitli yöntemlerle ve onunla ilgili çalışılacak her şeyi çok ciddi bir uygulama ve çelişki tekniği ile öğrendim."(, G. Germano tarafından çevrildi, "New editorial perspectives in Fibonacci's Liber abaci" (PDF), «Reti medievali rivista», 14 (2), ss. 157-173, 9 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi ).
  22. ^ The English edition of the Liber abaci was published by L.E. Sigler, Leonardo Pisano’s book of calculation, New York, Springer-Verlag, 2003
  23. ^ See the incipit of Flos: "Incipit flos Leonardi bigolli pisani..." (quoted in the MS Word document Sources in Recreational Mathematics: An Annotated Bibliography by David Singmaster, 18 March 2004 – emphasis added), in English: "Here starts 'the flower' by Leonardo the wanderer of Pisa..."
    The basic meanings of "bigollo" appear to be "bilingual" or "traveller". A. F. Horadam contends a connotation of "bigollo" is "absent-minded" ("Eight hundred years young", 19 Aralık 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi  kaynağının ilk dipnotuna bakınız.), which is also one of the connotations of the English word "wandering". The translation "the wanderer" in the quote above tries to combine the various connotations of the word "bigollo" in a single English word.
  24. ^ Keith Devlin (7 Kasım 2002). "A man to count on". The Guardian. 17 Eylül 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Haziran 2016. 
  25. ^ «Considerantes nostre civitatis et civium honorem atque profectum, qui eis, tam per doctrinam quam per sedula obsequia discreti et sapientis viri magistri Leonardi Bigolli, in abbacandis estimationibus et rationibus civitatis eiusque officialium et aliis quoties expedit, conferuntur; ut eidem Leonardo, merito dilectionis et gratie, atque scientie sue prerogativa, in recompensationem laboris sui quem substinet in audiendis et consolidandis estimationibus et rationibus supradictis, a Comuni et camerariis publicis, de Comuni et pro Comuni, mercede sive salario suo, annis singulis, libre xx denariorum et amisceria consueta dari debeant (ipseque pisano Comuni et eius officialibus in abbacatione de cetero more solito serviat), presenti constitutione firmamus». F. Bonaini, Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci, novamente scoperta, «Giornale storico degli archivi toscani» 1, 4, 1857, pp. 239–246.
  26. ^ Koshy, Thomas (2011), Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley & Sons, s. 3, ISBN 9781118031315, 21 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ağustos 2021 .
  27. ^ Tanton, James Stuart (2005), Encyclopédia of Mathematics, Infobase Publishing, s. 192, ISBN 9780816051243, 21 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 21 Ağustos 2021 .
  28. ^ a b Fibonacci's Liber Abaci, Sigler, Laurence E. tarafından çevrildi, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95419-8 
  29. ^ Grimm 1973
  30. ^ a b "Fibonacci: The Man Behind The Math". NPR.org. 16 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Ağustos 2015. 
  31. ^ a b Devlin, Keith. "The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution [Excerpt]". 18 Haziran 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 29 Ağustos 2015. 
  32. ^ a b Gordon, John Steele. "The Man Behind Modern Math". 23 Ağustos 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Ağustos 2015. 
  33. ^ Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28-30, 1986. ISSN 0047-6269]
  34. ^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.
  35. ^ Singh, Pamanand (1985). "The so-called fibonacci numbers in ancient and medieval India". Historia Mathematica. 12 (3): 229-244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7. 
  36. ^ Goonatilake, Susantha (1998). Toward a Global Science. Indiana University Press. s. 126. ISBN 978-0-253-33388-9. Virahanka Fibonacci. 
  37. ^ Knuth, Donald (2006). The Art of Computer Programming: Generating All Trees – History of Combinatorial Generation; Volume 4. Addison-Wesley. s. 50. ISBN 978-0-321-33570-8. 22 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Ağustos 2021. 
  38. ^ Hall, Rachel W. (2008), "Math for poets and drummers" (PDF), Math Horizons, cilt 15, ss. 10-11, 12 Şubat 2012 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi 
  39. ^ "Sloane's A000045 ", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  40. ^ Pisanus, Leonardus; Boncompagni, Baldassarre (1 Ocak 1857). Scritti: Il Liber Abbaci. Tip. delle Scienze Fisiche e Matematiche. s. 231. 21 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Ağustos 2021 – Google Books vasıtasıyla. 
  41. ^ Devlin, Keith (2010). "The Man of Numbers: In Search of Leonardo Fibonacci" (PDF). Mathematical Association of America. ss. 21-28. 7 Eylül 2015 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  42. ^ "Fibonacci'nin Pisa'daki heykeli". 2 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Eylül 2008. 
  43. ^ 6765 Fibonacci Asteroidi

Konuyla ilgili yayınlar

[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
Vikikaynak the 1911 Encyclopædia Britannica ansiklopedisinde Leonardo of Pisa maddesine sahiptir.
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonardo_Fibonacci&oldid=34216620" sayfasından alınmıştır