Antes de definir una ecuación diferencial ordinaria observar en la siguiente tabla algunas simili... more Antes de definir una ecuación diferencial ordinaria observar en la siguiente tabla algunas similitudes y diferencias entre una ecuación algebraica y una ecuación diferencial ordinaria. Ecuación algebraica Ecuación diferencial Ejemplo: í µí±¥ 2 − í µí±¥ − 6 = 0 Ejemplo: í µí±¦ ′′ − 4í µí±¦ ′ + í µí±¦ − 3í µí±¥ = 0 Variable: í µí±¥ es variable numérica Variable: í µí±¦ es la variable que es una función de í µí±¥ Solución: í µí±¥ = −2 Solución: í µí±¦ = í µí±(í µí±¥) Proceso de solución: Encontrar un valor numérico de í µí±¥ que satisfaga la ecuación Proceso de solución: Encontrar una función que satisfaga la ecuación Métodos de solución: Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones algebraicas Métodos de solución: Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias Forma general: í µí°¹(í µí±¥) = 0 Forma general: í µí°¹ (í µí±¥, í µí±¦, í µí±¦ ′ , í µí±¦ ′′) = 0 Tabla 1. Algunas similitudes y diferencias entre una ecuación algebraica y una ecuación diferencial ordinaria Definición Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación formada por una expresión matemática que puede involucrar a la variable independiente í µí±¥, a la variable dependiente í µí±¦ con sus respectivas derivadas. Formalmente se puede escribir como í µí°¹ (í µí±¥, í µí±¦, í µí±¦ ′ , í µí±¦ ′′ , … , í µí±¦ í µí±) = 0, donde í µí±¦ ′ , í µí±¦ ′′ , … , í µí±¦ í µí± son las derivadas hasta de orden í µí± que a su vez indica el orden de la ecuación diferencial. Definición. La solución de una ecuación diferencial es una función í µí±¦ = í µí±(í µí±¥) que la satisface. Ejemplo 1. Probar que í µí±¦ = í µí± í µí±¥ es solución de í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 Solución Una de las formas de probar consiste en determinar las derivadas y reemplazarlo en la ecuación original hasta llegar a una identidad. En efecto: í µí±¦ = í µí± í µí±¥ , í µí±¦ ′ = í µí± í µí±¥ , í µí±¦ ′′ = í µí± í µí±¥ Reemplazando en la ecuación í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 , se tiene í µí± í µí±¥ − 2í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ = 0 0 = 0 Luego í µí±¦ = í µí± í µí±¥ es solución de í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 Ejemplo 2. Probar que í µí±¦ = í µí±¥í µí± í µí±¥ es solución de í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 Solución í µí±¦ = í µí±¥í µí± í µí±¥ , í µí±¦ ′ = í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ , í µí±¦ ′′ = í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ Reemplazando í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ − 2 (í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥) + í µí±¥í µí± í µí±¥ = 0 í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ − 2í µí± í µí±¥ − 2í µí±¥í µí± í µí±¥ + í µí±¥í µí± í µí±¥ = 0 0 = 0 Ejercicios propuestos Probar que las funciones dadas son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales 1. í µí±¦ = 1 (í µí±¥+í µí±) 2 , í µí±í µí¼ℝ, í µí±¦ ′ = −2í µí±¦ 3 2 2. í µí±¦ = í µí± 1 cos (í µí±¥) + í µí± 2 í µí± í µí±í µí± (í µí±¥) , í µí± 1 , í µí± 2 í µí¼ℝ í µí±¦ ′′ + í µí±¦ = 0
Antes de definir una ecuación diferencial ordinaria observar en la siguiente tabla algunas simili... more Antes de definir una ecuación diferencial ordinaria observar en la siguiente tabla algunas similitudes y diferencias entre una ecuación algebraica y una ecuación diferencial ordinaria. Ecuación algebraica Ecuación diferencial Ejemplo: í µí±¥ 2 − í µí±¥ − 6 = 0 Ejemplo: í µí±¦ ′′ − 4í µí±¦ ′ + í µí±¦ − 3í µí±¥ = 0 Variable: í µí±¥ es variable numérica Variable: í µí±¦ es la variable que es una función de í µí±¥ Solución: í µí±¥ = −2 Solución: í µí±¦ = í µí±(í µí±¥) Proceso de solución: Encontrar un valor numérico de í µí±¥ que satisfaga la ecuación Proceso de solución: Encontrar una función que satisfaga la ecuación Métodos de solución: Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones algebraicas Métodos de solución: Existen diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias Forma general: í µí°¹(í µí±¥) = 0 Forma general: í µí°¹ (í µí±¥, í µí±¦, í µí±¦ ′ , í µí±¦ ′′) = 0 Tabla 1. Algunas similitudes y diferencias entre una ecuación algebraica y una ecuación diferencial ordinaria Definición Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación formada por una expresión matemática que puede involucrar a la variable independiente í µí±¥, a la variable dependiente í µí±¦ con sus respectivas derivadas. Formalmente se puede escribir como í µí°¹ (í µí±¥, í µí±¦, í µí±¦ ′ , í µí±¦ ′′ , … , í µí±¦ í µí±) = 0, donde í µí±¦ ′ , í µí±¦ ′′ , … , í µí±¦ í µí± son las derivadas hasta de orden í µí± que a su vez indica el orden de la ecuación diferencial. Definición. La solución de una ecuación diferencial es una función í µí±¦ = í µí±(í µí±¥) que la satisface. Ejemplo 1. Probar que í µí±¦ = í µí± í µí±¥ es solución de í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 Solución Una de las formas de probar consiste en determinar las derivadas y reemplazarlo en la ecuación original hasta llegar a una identidad. En efecto: í µí±¦ = í µí± í µí±¥ , í µí±¦ ′ = í µí± í µí±¥ , í µí±¦ ′′ = í µí± í µí±¥ Reemplazando en la ecuación í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 , se tiene í µí± í µí±¥ − 2í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ = 0 0 = 0 Luego í µí±¦ = í µí± í µí±¥ es solución de í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 Ejemplo 2. Probar que í µí±¦ = í µí±¥í µí± í µí±¥ es solución de í µí±¦ ′′ − 2í µí±¦ ′ + í µí±¦ = 0 Solución í µí±¦ = í µí±¥í µí± í µí±¥ , í µí±¦ ′ = í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ , í µí±¦ ′′ = í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ Reemplazando í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ − 2 (í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥) + í µí±¥í µí± í µí±¥ = 0 í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ + í µí± í µí±¥ í µí±¥ − 2í µí± í µí±¥ − 2í µí±¥í µí± í µí±¥ + í µí±¥í µí± í µí±¥ = 0 0 = 0 Ejercicios propuestos Probar que las funciones dadas son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales 1. í µí±¦ = 1 (í µí±¥+í µí±) 2 , í µí±í µí¼ℝ, í µí±¦ ′ = −2í µí±¦ 3 2 2. í µí±¦ = í µí± 1 cos (í µí±¥) + í µí± 2 í µí± í µí±í µí± (í µí±¥) , í µí± 1 , í µí± 2 í µí¼ℝ í µí±¦ ′′ + í µí±¦ = 0
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