Прямокутний дельтоїд

Прямокутний дельтоїд — це дельтоїд (чотирикутник, який має дві пари суміжних сторін однакової довжини), який можна вписати в коло. Тобто це дельтоїд з описаним колом (вписаний дельтоїд). Прямокутний дельтоїд є опуклим чотирикутником і має два протилежні прямі кути.

Прямокутний дельтоїд із описаним і вписаним колами. Кути при вершинах ліворуч і праворуч прямі.

Вписане коло

Всі прямокутні дельтоїди є біцентричними чотирикутниками (які мають описане і вписане кола), оскільки всі дельтоїди мають вписане коло. Одна з діагоналей (яка служить віссю симетрії) ділить прямокутний дельтоїд на два прямокутні трикутники і є також діаметром описаного кола.

В описаному чотирикутнику (тобто, який має вписане коло), чотири відрізки між центром вписаного кола і точками дотику з чотирикутником розбивають чотирикутник на чотири прямокутні дельтоїди.

Особливий випадок

Особливим випадком прямокутних дельтоїдів є квадрати, в яких діагоналі мають однакову довжину і вписане та описане кола концентричні.

Опис

Дельтоїд є прямокутним дельтоїдом тоді й лише тоді, коли він має описане коло (за визначенням). Це еквівалентно тому, що дельтоїд має два протилежні прямі кути.

Формули

Оскільки прямокутний дельтоїд можна розбити на два прямокутні трикутники, наведені далі формули легко виходять з добре відомих властивостей прямокутних трикутників. У прямокутному дельтоїді ABCD, де два протилежні кути B і D прямі, два інші кути можна обчислити з

$\tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b}}$ ,

де a = AB = AD і b = BC = CD. Площа прямокутного дельтоїда дорівнює

$\displaystyle K=ab.$

Діагональ AC, яка є віссю симетрії, має довжину

$p={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

і, оскільки діагоналі перпендикулярні (так що прямокутний дельтоїд є ортодіагональним чотирикутником із площею $K={\frac {pq}{2}}$), інша діагональ BD має довжину

$q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Радіус описаного кола дорівнює (за теоремою Піфагора)

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

і, оскільки всі дельтоїди є описаними, радіус вписаного кола задає формула

$r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}$ ,

де $s$ — півпериметр.

Площа задається в термінах радіуса R описаного кола та радіуса r вписаного кола як

$K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).$

Якщо ми позначимо відрізки на діагоналях від точки перетину до вершин за годинниковою стрілкою через $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$, то

$d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}$

Це прямий наслідок теореми про середнє геометричне.

Двоїстість

Двоїстим многокутником для прямокутного дельтоїда є рівнобічна трапеція.

Альтернативне визначення

Іноді прямокутний дельтоїд визначають як дельтоїд зі щонайменше одним прямим кутом. Якщо є лише один прямий кут, він має бути між двома сторонами рівної довжини. І тут не діють формули, наведені вище.

Література

• Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Key Curriculum Press, 2009. — ISBN 978-0-557-10295-2.
• Michael de Villiers. The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals // For the Learning of Mathematics. — 1994. — Т. 14, вип. 1.
• Martin Josefsson. Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 237–241.