Ребро (геометрія)

Ребро́ — в геометрії одновимірний відрізок, що з'єднує дві сусідні нульвимірні вершини многокутника, багатогранника або політопа довільної вимірності.^[1] В многокутнику ребро ще називають стороною.^[2] В багатограннику або, більш загально, у політопі ребро є відрізком в якому дві грані з'єднуються.^[3] Відрізок, який з'єднує дві вершини та проходить всередині або зовні не є ребром, натомість його називають діагоналлю.

Три ребра: AB, BC і CA — кожне між двома вершинами трикутника.	Багатокутник, обмежений чотирма сторонами; Цей квадрат має 4 ребра.
У багатограннику кожне ребро розділяє 2 грані, як у цьому кубі.	Кожне ребро розділяє 3 або більше граней у чотиривимірному багатограннику, як показано на цій проєкції тесеракту.

Замкнута послідовність ребер на площині утворює многокутник або грань багатогранника.

Ребра в графах

В теорії графів, ребра — це абстрактний об'єкт, що з'єднує дві вершини графу, на відміну від багатокутника і багатогранника, ребра якого мають конкретне геометричне подання у вигляді лінійного сегмента. Однак, будь-який поліедр може бути представлений у вигляді його кістяку, а саме графом, вершини якого є вершинами многогранника, і у геометричному вигляді^[4]. З іншого боку, графи, які є скелетами тривимірних багатогранників, можна охарактеризувати по теоремі Штайніца як з'єднані трьома вершинами планарні графи^[5].

Число ребер багатогранника

Будь-який опуклий багатокутник має Ейлерову характеристику:

$V-E+F=2$

де V — число вершин, Е — число ребер і F — число граней. Це рівняння відоме як формула Ейлера для багатогранника. Таким чином, число ребер на 2 менше, ніж сума числа вершин і граней. Наприклад, куб має 8 вершин і 6 граней, 12 ребер.

Належність граням

У полігоні два ребра зустрічаються у кожній вершині; в цілому за теоремою М. Балінського^[en] існує принаймні n граней в кожній вершині n-вимірного опуклого багатогранника^[6]. Аналогічно у багатограннику рівно дві грані відповідає кожному ребру^[7], у той час як у вищих вимірностях ребру може відповідати три грані або й більше.

Альтернативна термінологія

У теорії багатомірних опуклих багатогранників грані або сторони n-вимірного багатогранника є одними з його (n − 1)-вимірною особливостей, що хребет — це (n − 2)-вимірних просторових об'єктів, і пік це (n − 3)-вимірний просторовий об'єкт. Таким чином, ребрами полігону є його грані, ребрами 3-вимірного опуклого багатогранника є його хребти, а піки 4-вимірного багатогранника є його вершини^[8].

Примітки

↑ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, т. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, архів оригіналу за 15 лютого 2017, процитовано 25 червня 2016.
↑ Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html [Архівовано 26 липня 2020 у Wayback Machine.]
↑ Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html [Архівовано 24 травня 2016 у Wayback Machine.]
↑ Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, с. 81, ISBN 9780387927145, архів оригіналу за 7 січня 2014, процитовано 29 червня 2016.
↑ Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), Bridges between geometry and graph theory, у Gorini, Catherine A. (ред.), Geometry at work, MAA Notes, т. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, с. 174—194, MR 1782654. See in particular Theorem 3, p. 176 [Архівовано 20 лютого 2017 у Wayback Machine.].
↑ Balinski, M. L. (1961), On the graph structure of convex polyhedra in n-space, Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431—434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765, архів оригіналу за 11 травня 2019, процитовано 29 червня 2016.
↑ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, с. 1, ISBN 9780521098595, архів оригіналу за 21 березня 2015, процитовано 29 червня 2016.
↑ Seidel, Raimund (1986), Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face, Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), с. 404—413, doi:10.1145/12130.12172.

Див. також

Посилання

Координаційний поліедр
Weisstein, Eric W. Polygonal edge(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Polyhedral edge(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[1] Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, т. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, архів оригіналу за 15 лютого 2017, процитовано 25 червня 2016.

[2] Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html [Архівовано 26 липня 2020 у Wayback Machine.]

[3] Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html [Архівовано 24 травня 2016 у Wayback Machine.]

[4] Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, с. 81, ISBN 9780387927145, архів оригіналу за 7 січня 2014, процитовано 29 червня 2016.

[5] Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), Bridges between geometry and graph theory, у Gorini, Catherine A. (ред.), Geometry at work, MAA Notes, т. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, с. 174—194, MR 1782654. See in particular Theorem 3, p. 176 [Архівовано 20 лютого 2017 у Wayback Machine.].

[6] Balinski, M. L. (1961), On the graph structure of convex polyhedra in n-space, Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431—434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765, архів оригіналу за 11 травня 2019, процитовано 29 червня 2016.

[7] Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, с. 1, ISBN 9780521098595, архів оригіналу за 21 березня 2015, процитовано 29 червня 2016.

[8] Seidel, Raimund (1986), Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face, Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), с. 404—413, doi:10.1145/12130.12172.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]