Оптимальне рішення

Оптимальне рішення — рішення, що приймається таким чином, що ніякі інші доступні варіанти не приведуть до кращого результату. Це важливе поняття в теорії прийняття рішень. Для того, щоб порівняти різні результати рішення, один зазвичай призначає відносну корисність для кожного з них. Якщо існує невизначеність у тому, що результат буде, оптимальне рішення максимізує очікувану корисність (корисність, усереднена по всіх можливих результатах рішення).

Іноді еквівалентним завданню мінімізації втрат вважається, зокрема, у фінансовій ситуації, завдання, де утиліта визначається як економічна вигода.

«Утиліта» тільки довільний термін для кількісної оцінки доцільності результатів конкретного рішення і не обов'язково пов'язаний з «корисністю». Наприклад, цілком можливо, оптимальне рішення для когось — покупка спортивного автомобіля, а не універсала, якщо результат з точки зору іншого критерію (наприклад, вплив на особистий імідж) є більш бажаним, навіть враховуючи високу вартість і відсутність універсальності спортивного автомобіля.

Задача знаходження оптимального рішення є проблемою математичної оптимізації. На практиці, мало хто переконався, що їхні рішення є оптимальними, але замість використання евристичних методів для прийняття рішень, які «досить непогані», вони керуються задовільним результатом.

Більш формальний підхід може бути використаний, коли рішення є досить важливим, щоб мотивувати час, необхідний для його аналізу, або коли воно занадто складне, щоб вирішити за допомогою більш простих інтуїтивних підходів.

Формальний математичний опис

Кожне рішення $d$ у встановленому $D$ наявних варіантів вирішення призведе до підсумкового $o=f(d)$. Всі можливі результати утворюють безліч $O$. Визначаючи утиліту $U_{O}(o)$ до кожного результату, ми можемо визначити корисність конкретного рішення $d$ як: $U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,$,

В умовах невизначеності в результаті

У випадку, якщо не можливо з упевненістю передбачити, яким буде результат конкретного рішення, необхідним є імовірнісний підхід. У найзагальнішому вигляді, це може бути виражено наступним чином: Враховуючи рішення $d$, ми знатимемо розподіл ймовірностей для можливих результатів, описаних в умовній щільності ймовірності $p(o|d)$. Враховуючи $U_{D}(d)$ у вигляді випадкової величини (умова $d$), ми можемо обчислити очікувану корисність прийняття $d$ як

${\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,$ ,

де інтеграл береться по всій множині $O$ (ДеГрут, стор 121).

Оптимальне рішення $d_{\mathrm {opt} }$ тоді те, яке максимізує ${\text{E}}U_{D}(d)$, як і вище:

$d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,$

Прикладом є проблема Монті Холла. Ми можемо визначити оптимальне рішення $d_{\mathrm {opt} }$ як таке, що максимізує $U_{D}(d)$:

$d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,$

Рішення проблеми, таким чином, може бути розділене на три етапи:

1. прогнозування результату виводу $o$ для кожного рішення $o$;
2. призначення утиліти $U_{O}(o)$ до кожного результату виводу;
3. знаходження рішення $d$, яке максимізує $U_{D}(d).$.

Див. також

• Теорія рішень
• Прийняття рішень програмного забезпечення
• Двохальтернативний вимушений вибір

Посилання

• Morris DeGroot Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill. New York. 1970. ISBN 0-07-016242-5.
• James O. Berger Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Second Edition. 1980. Springer Series in Statistics. ISBN 0-387-96098-8.