Indice
Prefazione, di Jean-Philippe Drouhard
Introduzione
I. I (molti) linguaggi de... more Indice
Prefazione, di Jean-Philippe Drouhard
Introduzione
I. I (molti) linguaggi della matematica
1. “Oggetti matematici” e registri rappresentativi
2. Il primo esempio
3. Processi e oggetti
4. Peirce e il ragionamento diagrammatico
II. Cominciamo con la geometria
1. Il secondo esempio
2. I registri sono “equivalenti”?
III. Insiemi e diagrammi di Eulero–Venn
1. Una celebre rappresentazione visuale
2. Un case study: S. e G., 11 anni
3. Un case study: K., 15 anni
4. Il terzo esempio
5. Il quarto esempio
6. Il quinto esempio
IV. Wittgenstein e il “meccanismo”
1. Immagine, movimento, proposizione
2. Ma si tratta di un “buon disegno”?
V. Artefatti
1. Alcune considerazioni teoriche
2. Didattica e artefatti
3. Didattica e algoritmi
4. Il sesto esempio
5. Il settimo esempio
6. Abbiniamo gli artefatti?
7. L’ottavo esempio
VI. La matematica tra realtà e convenzioni
1. Matematica e realtà
2. Matematica e convenzioni
VII. Conclusioni… aritmetiche
1. Geometrie e aritmetiche
2. Infiniti numeri
3. Un aiuto dall’antropologia
4. Funziona, dunque… esiste
Indice
Prefazione, di Luis Radford
Introduzione
Parte prima. Riflessioni teoriche
I. Wi... more Indice
Prefazione, di Luis Radford
Introduzione
Parte prima. Riflessioni teoriche
I. Wittgenstein e le regole (un primo esempio didattico)
II. Un agente di sistematizzazione: il concetto di mente
III. Discorso normale e discorso anormale, incommensurabilità
IV. Storia per la didattica?
V. Riferimenti storici e incommensurabilità
a. L’analisi matematica nella tradizione occidentale
b. L’analisi matematica nelle culture extraeuropee
VI. Dalla storia al dato: un mito da superare
VII. Giustificazione e fondazione
VIII. Oltre l’epistemologia: l’ermeneutica
IX. Il linguaggio
X. Interpretazione e traduzione
XI. Dalla razionalità alla verità
XII. La scelta di un vocabolario
XIII. Le “altre” culture: tra etnocentrismo e relativismo
XIV. Ermeneutica e razionalità
Parte seconda. Dalla filosofia alla didattica
XV. Storie, linguaggi
XVI. Il gioco
XVII. Linguaggio e rigore
XVIII. Ancora sul linguaggio
XIX. Uno sguardo alla giustificazione e alla dimostrazione
XX. L’analogia: da Euclide a Wittgenstein
XXI. Dagli artefatti…
XXII. …agli algoritmi
XXIII. Il linguaggio della natura
XXIV. Verso una conclusione
a. La didattica della matematica tra epos e romanzo
b. Didattica della matematica e linguaggio dal “primo” al “secondo” Wittgenstein
c. Un po’ di filosofia, un po’ di ironia
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Prefazione, di Jean-Philippe Drouhard
Introduzione
I. I (molti) linguaggi de... more Indice
Prefazione, di Jean-Philippe Drouhard
Introduzione
I. I (molti) linguaggi della matematica
1. “Oggetti matematici” e registri rappresentativi
2. Il primo esempio
3. Processi e oggetti
4. Peirce e il ragionamento diagrammatico
II. Cominciamo con la geometria
1. Il secondo esempio
2. I registri sono “equivalenti”?
III. Insiemi e diagrammi di Eulero–Venn
1. Una celebre rappresentazione visuale
2. Un case study: S. e G., 11 anni
3. Un case study: K., 15 anni
4. Il terzo esempio
5. Il quarto esempio
6. Il quinto esempio
IV. Wittgenstein e il “meccanismo”
1. Immagine, movimento, proposizione
2. Ma si tratta di un “buon disegno”?
V. Artefatti
1. Alcune considerazioni teoriche
2. Didattica e artefatti
3. Didattica e algoritmi
4. Il sesto esempio
5. Il settimo esempio
6. Abbiniamo gli artefatti?
7. L’ottavo esempio
VI. La matematica tra realtà e convenzioni
1. Matematica e realtà
2. Matematica e convenzioni
VII. Conclusioni… aritmetiche
1. Geometrie e aritmetiche
2. Infiniti numeri
3. Un aiuto dall’antropologia
4. Funziona, dunque… esiste
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Prefazione, di Luis Radford
Introduzione
Parte prima. Riflessioni teoriche
I. Wi... more Indice
Prefazione, di Luis Radford
Introduzione
Parte prima. Riflessioni teoriche
I. Wittgenstein e le regole (un primo esempio didattico)
II. Un agente di sistematizzazione: il concetto di mente
III. Discorso normale e discorso anormale, incommensurabilità
IV. Storia per la didattica?
V. Riferimenti storici e incommensurabilità
a. L’analisi matematica nella tradizione occidentale
b. L’analisi matematica nelle culture extraeuropee
VI. Dalla storia al dato: un mito da superare
VII. Giustificazione e fondazione
VIII. Oltre l’epistemologia: l’ermeneutica
IX. Il linguaggio
X. Interpretazione e traduzione
XI. Dalla razionalità alla verità
XII. La scelta di un vocabolario
XIII. Le “altre” culture: tra etnocentrismo e relativismo
XIV. Ermeneutica e razionalità
Parte seconda. Dalla filosofia alla didattica
XV. Storie, linguaggi
XVI. Il gioco
XVII. Linguaggio e rigore
XVIII. Ancora sul linguaggio
XIX. Uno sguardo alla giustificazione e alla dimostrazione
XX. L’analogia: da Euclide a Wittgenstein
XXI. Dagli artefatti…
XXII. …agli algoritmi
XXIII. Il linguaggio della natura
XXIV. Verso una conclusione
a. La didattica della matematica tra epos e romanzo
b. Didattica della matematica e linguaggio dal “primo” al “secondo” Wittgenstein
c. Un po’ di filosofia, un po’ di ironia
Mathematicians’, teachers’ and students’ conceptions of mathematics are nowadays influenced by a ... more Mathematicians’, teachers’ and students’ conceptions of mathematics are nowadays influenced by a complex cultural climate, taking into account, for instance, some logical results on the 20th century and some recent philosophical positions. Mathematics education has to consider these aspects: in doing so, the traditional epistemological approach can be sometimes replaced by an hermeneutic approach that enables the consideration and the comparison of incommensurable positions.
In a theoretical framework taking into account an hermeneutic
perspective and Peirce’s classific... more In a theoretical framework taking into account an hermeneutic
perspective and Peirce’s classification of signs, we proposed to a group of 10–11 year–old pupils two problems from the Chinese treatise Jiuzhang Suanshu (1st cent. BC) that can be solved by simultaneous equations. Pupils’ behaviours allow to perform a semiotic analysis and emphasise the importance
of iconicity, and of a minor component of indexicality. The discussion of data suggests that the use of the artefact can be important in order to approach some mathematical contents, in a context related to the game.
In this paper we shall describe an hermeneutic approach to mathematics teaching and learning, wit... more In this paper we shall describe an hermeneutic approach to mathematics teaching and learning, with reference to the introduction of infinite series by some historical references. Our theoretical framework is based upon some ideas by Heidegger and Gadamer. More particularly, we shall consider a sequence of pre–suppositions that can influence students’ conceptions, and different kinds of inference (deductive, inductive, abductive inferences) leading them to change their viewpoints about infinite series.
Several studies claim that integrating the history of mathematics into mathematics education is a... more Several studies claim that integrating the history of mathematics into mathematics education is an important matter. In this article, some theoretical approaches are presented and the importance of the correct cultural contextualization is emphasized. Our purpose is to discuss, from an educational viewpoint, the problem of knowledge development within specific cultural contexts; cultural aspects play a cognitive and epistemological role in the way we think mathematically. More specifically, we provide a comparison of some strategies used by mathematicians in different periods in order to prove that primes are infinitely many. We conclude that historical examples should be understood in their cultural and social context and that the standards of symbolization and rigor depend on this context. In order to emphasize the use of history in education as a real tool for the teacher, we propose an outline of educational opportunities. The perspective presented requires a good level of epistemological skill on the part of teachers; therefore, it should be considered in teacher education.
Wittgenstein’s treatise Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (Remarks on the Foundation... more Wittgenstein’s treatise Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (Remarks on the Foundations of Mathematics) was published in 1956 and hence 50 years ago. In this paper we propose some reflections on Wittgenstein’s ideas about grammar and rules; then we shall consider some consequences of these for the foundations of set theory and, in particular, for the introduction of major concepts of set theory in education. For instance, a community of practice can decide to follow a particular rule that forbids the derivation of arbitrary sentences from a contradiction: since, according to Radford’s perspective, knowledge is the result of thinking, and thinking is a cognitive social praxis, the mentioned choice can be considered as a form of real and effective knowledge.
Evert Willem Beth (1908–1964) was a Dutch logician, mathematician and philosopher, whose work mai... more Evert Willem Beth (1908–1964) was a Dutch logician, mathematician and philosopher, whose work mainly concerned the foundations of mathematics. Beth was among the founders of the Commission Internationale pour l’Étude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques and was a member of the Central Committee of the International Commission on Mathematics Instruction, founded in Rome in 1908. Beth and Piaget made an important contribution to research in cognitive development.
In this paper we shall describe an hermeneutic approach to mathematics teaching and learning, wit... more In this paper we shall describe an hermeneutic approach to mathematics teaching and learning, with particular reference to the introduction of infinite series taking into account some well–known historical examples (Nicole Oresme, Guido Grandi).
Richard McKay Rorty passed away on June 8, 2007 at age 75. His philosophical approach can be very... more Richard McKay Rorty passed away on June 8, 2007 at age 75. His philosophical approach can be very relevant to reflection in the field of mathematics education.
Richard Rorty, one of the most important American philosophers and intellectuals, passed away on ... more Richard Rorty, one of the most important American philosophers and intellectuals, passed away on June 8, 2007 at 75. His philosophical approach can be very important for the reflection in the field of mathematics education.
E.W. Beth (1908–1964) was a Dutch philosopher and logician, whose work mainly concerned the found... more E.W. Beth (1908–1964) was a Dutch philosopher and logician, whose work mainly concerned the foundations of mathematics. With regard to mathematics education, Beth was among the founders of the Commission Internationale pour l’Étude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques (CIEAEM) and was a member of the Central Committee of the International Commission on the Teaching of Mathematics (ICMI). In this paper we shall discuss some features of Beth’s method of tableaux in order to point out the role of diagrammatic reasoning (Peirce).
In this paper we shall consider some educational issues related with the use of history into math... more In this paper we shall consider some educational issues related with the use of history into mathematics education: we shall discuss the possibility to propose historical elements after the first educational introduction of mathematical concepts, taking into account an hermeneutic perspective. Two examples, referred to complex numbers and infinite series, will be discussed in order to clarify educational roles of historical references.
In particular, we shall try to give answers to the following questions: why do we use historical references into mathematics education? When, in what step of the presentation of a topic to students, should we use historical references? Is it always useful to propose all historical references connected to a topic? And in what order must they be proposed to students? We shall not give general, absolute answers to such questions: as a matter of fact, it is impossible to provide effective suggestions for every triple teacher, pupil, knowledge. The historical introduction of a topic can take place, for instance, just by the presentation of the historical references related with it, e.g. in the chronological order. This would imply the following answers to aforementioned questions: historical references are proposed in order to introduce a topic, so they must be considered at the beginning of the educational introduction; all available references (taking into account the school level) can be used, following the chronological order: our mathematical knowledge would be the final step of historical development. We shall call this way of doing a priori use of the history into mathematics education: by that we should recognize an introductory role to historical references. However, this is not the one and only way to use the history into mathematics education: interpretation of historical data lead us to consider an hermeneutic perspective. According to Hans-Georg Gadamer, history does not belong to us; but we belong to it.
Finally, we shall underline that a cultural perspective on mathematics makes us attend to different mathematical histories in different societies, and this leads us to consider the remarkable importance of multidisciplinary and multicultural issues as part of our reflection about mathematics education.
The celebrated Euler’s formula allowed 18th century mathematicians to close the debate about loga... more The celebrated Euler’s formula allowed 18th century mathematicians to close the debate about logarithms of negative numbers, a debate dating back to a letter by Gottfried Wilhelm Leibniz to Johann Bernoulli (march 16th, 1712). In this paper we summarise the debate taking into account its description provided by the mathematician Francesco Maria Franceschinis of Udine.
In this paper some ideas by Leonhard Euler are presented, with reference to educational purposes.... more In this paper some ideas by Leonhard Euler are presented, with reference to educational purposes. In particular, we shall discuss some important elements from Euler’s Algebra (1770), dealing with diophantine equations, and from his Lettres à une princesse d’Allemagne (written in 1760–1762 and published in 1768–1772), dealing with his celebrated method of sets representations.
Two original manuscripts by the Italian mathematician Giulio Bellavitis (Bassano, 1803–Tezze, 188... more Two original manuscripts by the Italian mathematician Giulio Bellavitis (Bassano, 1803–Tezze, 1880) collected in a private library in Treviso (Italy) have been reproduced. They can be downloaded from the website www.syllogismos.it. In this paper we shall briefly present the mentioned manuscripts, after a concise presentation of Bellavitis’ life and work.
Augustin-Louis Cauchy died in 1857, 150 years ago, and is considered one of the most important ma... more Augustin-Louis Cauchy died in 1857, 150 years ago, and is considered one of the most important mathematicians of the 19th century. His mathematical work is characterized by a deep research of a rigorous approach to the concepts of the Calculus. Both from an historical and from an educational points of view, a correct hermeneutic approach (based, for instance, upon Gadamer’s work) can be very useful in order to interpret, nowadays, Cauchy’s research.
In this paper we shall discuss a well–known historical reference in order to introduce an importa... more In this paper we shall discuss a well–known historical reference in order to introduce an important chapter of mathematical curricula. In the theoretical framework based upon some reflections by Radford, and taking into account Peirce’s semiotic perspective, we proposed to a group of 15–18 years–old pupils an example from the treatise entitled Algebra (1572) by Rafael Bombelli. We conclude that the historical analysis can be important in order to approach some mathematical contents and to comprehend some features of the semiosic chain.
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Prefazione, di Jean-Philippe Drouhard
Introduzione
I. I (molti) linguaggi della matematica
1. “Oggetti matematici” e registri rappresentativi
2. Il primo esempio
3. Processi e oggetti
4. Peirce e il ragionamento diagrammatico
II. Cominciamo con la geometria
1. Il secondo esempio
2. I registri sono “equivalenti”?
III. Insiemi e diagrammi di Eulero–Venn
1. Una celebre rappresentazione visuale
2. Un case study: S. e G., 11 anni
3. Un case study: K., 15 anni
4. Il terzo esempio
5. Il quarto esempio
6. Il quinto esempio
IV. Wittgenstein e il “meccanismo”
1. Immagine, movimento, proposizione
2. Ma si tratta di un “buon disegno”?
V. Artefatti
1. Alcune considerazioni teoriche
2. Didattica e artefatti
3. Didattica e algoritmi
4. Il sesto esempio
5. Il settimo esempio
6. Abbiniamo gli artefatti?
7. L’ottavo esempio
VI. La matematica tra realtà e convenzioni
1. Matematica e realtà
2. Matematica e convenzioni
VII. Conclusioni… aritmetiche
1. Geometrie e aritmetiche
2. Infiniti numeri
3. Un aiuto dall’antropologia
4. Funziona, dunque… esiste
Riferimenti bibliografici
Prefazione, di Luis Radford
Introduzione
Parte prima. Riflessioni teoriche
I. Wittgenstein e le regole (un primo esempio didattico)
II. Un agente di sistematizzazione: il concetto di mente
III. Discorso normale e discorso anormale, incommensurabilità
IV. Storia per la didattica?
V. Riferimenti storici e incommensurabilità
a. L’analisi matematica nella tradizione occidentale
b. L’analisi matematica nelle culture extraeuropee
VI. Dalla storia al dato: un mito da superare
VII. Giustificazione e fondazione
VIII. Oltre l’epistemologia: l’ermeneutica
IX. Il linguaggio
X. Interpretazione e traduzione
XI. Dalla razionalità alla verità
XII. La scelta di un vocabolario
XIII. Le “altre” culture: tra etnocentrismo e relativismo
XIV. Ermeneutica e razionalità
Parte seconda. Dalla filosofia alla didattica
XV. Storie, linguaggi
XVI. Il gioco
XVII. Linguaggio e rigore
XVIII. Ancora sul linguaggio
XIX. Uno sguardo alla giustificazione e alla dimostrazione
XX. L’analogia: da Euclide a Wittgenstein
XXI. Dagli artefatti…
XXII. …agli algoritmi
XXIII. Il linguaggio della natura
XXIV. Verso una conclusione
a. La didattica della matematica tra epos e romanzo
b. Didattica della matematica e linguaggio dal “primo” al “secondo” Wittgenstein
c. Un po’ di filosofia, un po’ di ironia
Riferimenti bibliografici
Indice dei nomi
Prefazione
Introduzione. Uno sguardo alla storia...
All’alba - Laboratorio
Ahmes - Laboratorio
Talete - Laboratorio
Ippaso - Laboratorio
Zenone - Laboratorio
Euclide - Laboratorio
Archimede - Laboratorio
Eratostene - Laboratorio
Yü il Grande - Laboratorio
Bhaskara - Laboratorio
Dante - Laboratorio
Bombelli - Laboratorio
Descartes
Fermat - Laboratorio
Newton - Laboratorio
Goldbach - Laboratorio
Abel
Galois
Gauss - Laboratorio
Cantor - Laboratorio
Russell - Laboratorio
Hardy
Nash
Appendice. Ricordando Goldbach
Ancora uno sguardo alla storia...
Riferimenti bibliografici
Prefazione, di Jean-Philippe Drouhard
Introduzione
I. I (molti) linguaggi della matematica
1. “Oggetti matematici” e registri rappresentativi
2. Il primo esempio
3. Processi e oggetti
4. Peirce e il ragionamento diagrammatico
II. Cominciamo con la geometria
1. Il secondo esempio
2. I registri sono “equivalenti”?
III. Insiemi e diagrammi di Eulero–Venn
1. Una celebre rappresentazione visuale
2. Un case study: S. e G., 11 anni
3. Un case study: K., 15 anni
4. Il terzo esempio
5. Il quarto esempio
6. Il quinto esempio
IV. Wittgenstein e il “meccanismo”
1. Immagine, movimento, proposizione
2. Ma si tratta di un “buon disegno”?
V. Artefatti
1. Alcune considerazioni teoriche
2. Didattica e artefatti
3. Didattica e algoritmi
4. Il sesto esempio
5. Il settimo esempio
6. Abbiniamo gli artefatti?
7. L’ottavo esempio
VI. La matematica tra realtà e convenzioni
1. Matematica e realtà
2. Matematica e convenzioni
VII. Conclusioni… aritmetiche
1. Geometrie e aritmetiche
2. Infiniti numeri
3. Un aiuto dall’antropologia
4. Funziona, dunque… esiste
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Prefazione, di Luis Radford
Introduzione
Parte prima. Riflessioni teoriche
I. Wittgenstein e le regole (un primo esempio didattico)
II. Un agente di sistematizzazione: il concetto di mente
III. Discorso normale e discorso anormale, incommensurabilità
IV. Storia per la didattica?
V. Riferimenti storici e incommensurabilità
a. L’analisi matematica nella tradizione occidentale
b. L’analisi matematica nelle culture extraeuropee
VI. Dalla storia al dato: un mito da superare
VII. Giustificazione e fondazione
VIII. Oltre l’epistemologia: l’ermeneutica
IX. Il linguaggio
X. Interpretazione e traduzione
XI. Dalla razionalità alla verità
XII. La scelta di un vocabolario
XIII. Le “altre” culture: tra etnocentrismo e relativismo
XIV. Ermeneutica e razionalità
Parte seconda. Dalla filosofia alla didattica
XV. Storie, linguaggi
XVI. Il gioco
XVII. Linguaggio e rigore
XVIII. Ancora sul linguaggio
XIX. Uno sguardo alla giustificazione e alla dimostrazione
XX. L’analogia: da Euclide a Wittgenstein
XXI. Dagli artefatti…
XXII. …agli algoritmi
XXIII. Il linguaggio della natura
XXIV. Verso una conclusione
a. La didattica della matematica tra epos e romanzo
b. Didattica della matematica e linguaggio dal “primo” al “secondo” Wittgenstein
c. Un po’ di filosofia, un po’ di ironia
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Appendice. Ricordando Goldbach
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perspective and Peirce’s classification of signs, we proposed to a group of 10–11 year–old pupils two problems from the Chinese treatise Jiuzhang Suanshu (1st cent. BC) that can be solved by simultaneous equations. Pupils’ behaviours allow to perform a semiotic analysis and emphasise the importance
of iconicity, and of a minor component of indexicality. The discussion of data suggests that the use of the artefact can be important in order to approach some mathematical contents, in a context related to the game.
In particular, we shall try to give answers to the following questions: why do we use historical references into mathematics education? When, in what step of the presentation of a topic to students, should we use historical references? Is it always useful to propose all historical references connected to a topic? And in what order must they be proposed to students? We shall not give general, absolute answers to such questions: as a matter of fact, it is impossible to provide effective suggestions for every triple teacher, pupil, knowledge. The historical introduction of a topic can take place, for instance, just by the presentation of the historical references related with it, e.g. in the chronological order. This would imply the following answers to aforementioned questions: historical references are proposed in order to introduce a topic, so they must be considered at the beginning of the educational introduction; all available references (taking into account the school level) can be used, following the chronological order: our mathematical knowledge would be the final step of historical development. We shall call this way of doing a priori use of the history into mathematics education: by that we should recognize an introductory role to historical references. However, this is not the one and only way to use the history into mathematics education: interpretation of historical data lead us to consider an hermeneutic perspective. According to Hans-Georg Gadamer, history does not belong to us; but we belong to it.
Finally, we shall underline that a cultural perspective on mathematics makes us attend to different mathematical histories in different societies, and this leads us to consider the remarkable importance of multidisciplinary and multicultural issues as part of our reflection about mathematics education.