Entwurf (April 2024). Die Endfassung erscheint im Band zum Stuttgarter Hegel-Kongress 2023: Das Selbstverständnis der Philosophie und ihr Verhältnis zu anderen Wissenschaften Christian Martin (Stuttgart) Einleitung zum Kolloquium Logik und Mathematik Mit Logik und Mathematik sind scheinbar zwei wissenschaftliche Disziplinen benannt, zu denen sich Hegels philosophischer Ansatz in ein Verhältnis setzen lässt. Näher besehen ist die moderne formale Logik, wie sie nach Frege zumeist verstanden wird, jedoch methodisch ein Teilbereich der Mathematik. Auch wenn diese somit treffender als mathematische Logik zu bezeichnende Disziplin in manchen philosophischen Strömungen als unverzichtbares Instrument des Philosophierens gilt, bleibt häufig unklar, was sie zu der spezifischen Aufgabe beitragen kann, die für das tradierte philosophische Verständnis von Logik zentral ist, eine Selbsterkenntnis des Denkens hinsichtlich seiner eigenen Gesetze zu leisten. Diese Einleitung orientiert über das Problemfeld, das die Frage nach dem systematischen Verhältnis zwischen Hegels Logik, formaler Logik und Mathematik eröffnet. Dabei wird Hegels Verständnis von Logik zunächst grob zwischen Kants Logikkonzeption und einer zeitgenössischen Auffassung mathematischer Logik verortet. Anschließend wird nach dem Verhältnis von Hegels Logik der Quantität zu zwei tradierten mathematischen Disziplinen, Arithmetik und Geometrie, gefragt, um abschließend die Frage aufzuwerfen, welches Licht Hegels Logik des Maßes auf das Problem der Anwendbarkeit der Mathematik auf reale Phänomene wirft. Nach Frege wird die formale Logik zumeist als Disziplin aufgefasst, die sich mit „abstrakten Gegenständen“, also solchen Gegenständen befasst, die sinnlicher Anschauung unzugänglich bleiben müssen. Näher soll es die Logik mit abstrakten Gegenständen zu tun haben, denen die Eigenschaft zukommt, wahr oder falsch zu sein. Nennen wir sie Propositionen. Die der Logik eigentümlichen Propositionen sind solche, die allein aufgrund ihrer Form wahr sind. Obwohl die Auffassungen darüber, worin die Formalität der Logik besteht, variieren, kommen sie tendenziell darin überein, dass logisch wahre Sätze nicht von besonderen Gegenständen handeln, sondern entweder darum wahr sind, weil sie auf alle Gegenstände zutreffen, oder, insofern sie überhaupt keinen Gegenstands- und Weltbezug aufweisen1. Methodisch ist die formale Logik seit Frege eine mathematische Disziplin. Dies hat einen zentralen Grund darin, dass sie die Bestandteile von Propositionen mittels des aus der Mathematik entlehnten Begriffs der Funktion modelliert, indem sie begriffliche Bestandteile von Propositionen als Funktionen, Bestandteile, die sich auf Gegenstände beziehen, als Argumente von Funktionen, und Wahrheit und Falschheit als Funktionswerte auffasst2. Unter einer Funktion ist dabei eine Zuordnung zwischen für sich feststehenden Elementen zweier Bereiche von der Art zu verstehen, dass den Elementen, die den Ausgangspunkt der Zuordnung bilden, jeweils genau ein Element, das den Zielpunkt der Zuordnung bildet, entspricht, nämlich entweder das Wahre oder das Falsche. Logische Konstanten wie die Konjunktion oder der Allquantor werden dabei ebenfalls als Wahrheitsfunktionen aufgefasst. Die formallogische Darstellung von Propositionen ist somit, wie Frege festhält, der „arithmetischen Formelsprache nachgebildet“3. Diese methodische Orientierung an der Mathematik erlaubt es dabei, Propositionen zu formalisieren und ihre logischen Verhältnisse in einem Kalkül zu untersuchen. Formalisierung besteht dabei grob gesagt darin, Propositionen und ihre logisch für relevant erachteten Bestandteile auf eine reglementierte Weise derart durch Verwendung von Zeichen darzustellen, deren Sinn definitorisch fixiert wird, dass anhand der 1 Vgl. McFarlane 2000. Vgl. Frege 2007. 3 Frege 1964: VII. 2 Zeichengestalten transparent wird, inwiefern die Wahrheit einer Proposition von der Wahrheit anderer abhängt. Die logische Gültigkeit der Ableitung einer beliebigen Proposition aus anderen, also der Sachverhalt, dass der Übergang von jenen zu dieser wahrheitserhaltend ist, lässt sich so an der Gestalt der Zeichen selbst ablesen. Aufgrund ihrer methodischen Orientierung an der mathematischen Unterscheidung von Argument und Funktion fasst die formale Logik nach Frege ihren Themenbereich gänzlich anders, als die überlieferte philosophische Logik es getan hat. So verschiedenartig die Logikkonzeptionen Kants und Hegels, Freges und Wittgensteins sein mögen, handelt die Logik allen zufolge nicht von abstrakten Objekten und ihren Verhältnissen, sondern vom Denken: Kant zufolge ist Logik die „Wissenschaft der Verstandesregeln überhaupt“4, also der zum Vermögen zu denken gehörigen Regeln, während Hegel sie als „Wissenschaft des reinen Denkens“5 kennzeichnet. Dass die Logik auch Frege zufolge vom Denken handelt, kommt nicht nur in seiner Feststellung zum Ausdruck, ihr Thema seien zwar nicht einzelne Geister, aber der Geist6, sondern konkret darin, dass er ein logisches Zeichen für den Urteilsakt, den sogenannten Urteilsstrich, einführt7. Allgemein spiegelt die „begriffsschriftliche“, also formalsprachliche Darstellung von Gedanken, d. h. von etwas, was wahr oder falsch ist8, ihm zufolge keineswegs eine Struktur wider, die Gedanken an sich zukommt. Vielmehr fasst er Gedanken als Gebilde auf, die an sich amorph sind, sich jedoch auf unterschiedliche, wenngleich nicht beliebige Weisen artikulieren oder „zerfällen“ lassen9. Die begriffsschriftliche Darstellung eines Gedankens ist somit keine Repräsentation eines abstrakten Objekts, sondern eine ursprüngliche logische Leistung. Wittgenstein seinerseits bindet die Gedanken selbst, enger als Frege es tut, an Denktätigkeit, insofern er feststellt: „Das angewandte, gedachte Satzzeichen ist der Gedanke“10, und Logik als Disziplin fasst, die von besonderen, die Grenzen des Denkens markierenden Satzzeichen handelt, nämlich den Tautologien und Kontradiktionen11. Freges Stellung zur Frage, ob die Logik vom Denken handelt, ist freilich zweideutig und bereitet aufgrund dessen die seit dem 20. Jahrhundert in der Logik dominante Auffassung vor, die den Urteilsstrich aus der Logik verbannt und Propositionen als abstrakte Objekte auffasst, denen unabhängig von denkender Artikulation eine bestimmte Struktur zukommen soll. Der damit verbundenen Entfremdung der formalen Logik vom Thema Denken hat maßgeblich die Weise Vorschub geleistet, in der Frege die Logik von der Psychologie unterschieden wissen möchte. Ihm zufolge kann die Logik als nicht-empirische Disziplin nicht von tatsächlichen Denkakten einzelner Denker handeln12, woraus Frege den Schluss zieht, dass die Gedanken, die ihren Gegenstand bilden, unabhängig vom Denken bestehen müssen, auch wenn sie dies nur als an sich amorphe abstrakte Gegenstände tun. Ist der Gegenstandsbereich der Logik aber erst einmal auf diese Weise bestimmt, wird fraglich, ob und inwiefern formale Logik überhaupt einen Beitrag zur philosophischen Selbsterkenntnis des Denkens leisten kann. Frege zufolge tut sie dies indirekt, insofern sie zwar nicht vom Denken handelt, jedoch Gesetze behandelt, denen alles Denken darum Folge zu leisten hat, weil es sich um schlechthin universelle Gesetze handelt13. Scheinbar kann Frege damit an Kants Feststellung aus der Jäsche-Logik anschließen, dass es der Logik im Unterschied zur Psychologie nicht darum geht, „wie wir denken, sondern wie wir denken sollen“14. Allerdings gründet sich diese Feststellung 4 Kant, KrV A52/B76. Hegel, GW21,45. 6 Vgl. Frege 1966: 50. 7 Vgl. Frege 1962: 9-10, Frege 1964: 1-2. 8 Vgl. etwa Frege 1966: 56. 9 Vgl. Frege 1983, 8 f., 273. 10 Wittgenstein 1960: 25 (Satz 3.5). 11 Wittgenstein 1960: 67 (Satz 6.1). 12 Frege 1966: 50. 13 Frege 1966: 30-31, Frege 1962: XIV-XVI. 14 Kant, AA IX, 14. 5 Kants gerade nicht auf die Annahme, dass die Gesetze der „reinen allgemeinen Logik“ die auf alle Gegenstände zutreffenden Gesetze sind, sondern darauf, dass sie es mit der „bloßen Form des Denkens“15, unabhängig vom Bezug auf Gegenstände, zu tun haben. Anders als Frege und anders, als es die zitierte Formulierung aus der Jäsche-Logik nahelegt, bestimmt Kant die Arbeitsteilung zwischen Psychologie und Logik in Sachen Denken näher besehen nicht dahingehend, dass erstere davon handelt, wie wir tatsächlich denken, letztere dagegen davon, wie wir denken sollten. Vielmehr handelt die Psychologie Kant zufolge überhaupt nicht vom Denken als solchem, da sie von der Frage nach der Wahrheit von Urteilen und der Gültigkeit von Schlüssen absieht, sondern lediglich von den „subjektiven empirischen Bedingungen“16, unter denen das Vermögen zu denken ausgeübt wird. Darin, dass die empirische Psychologie nicht vom Denken, sondern bloß von tatsächlichen „Bedingungen“ unter denen dieses sich vollzieht, handelt, stimmt Hegel mit Kant überein17. Dass Kant und Hegel Logik als Wissenschaft vom Denken verstehen, bedeutet somit gerade nicht, dass sie den Gegenstand der Logik psychologisieren. Kants Charakterisierung der Logik als „Wissenschaft der Verstandesregeln überhaupt“18 zufolge behandelt die Logik weder Regelmäßigkeiten eines tatsächlichen Geschehens noch Regeln, an denen ein tatsächliches Geschehen äußerlich gemessen wird, sondern die für das Vermögen zu denken konstitutiven Regeln19. Dies impliziert, dass es sich bei einem Vorgang, der einer derartigen Regel, etwa dem Satz vom Widerspruch, zuwiderläuft, insofern er dies tut, nur scheinbar um einen Akt des Denkens handelt. Allerdings bleibt Kant den Nachweis schuldig, dass logische Regeln ihren Grund allesamt im Denkvermögen selbst haben, dessen interne Normen sie artikulieren. Diesen Nachweis konkret zu erbringen, ist ein Anliegen von Hegels „Wissenschaft der Logik“. Denn diese zielt darauf, das System derjenigen Gedanken, die ihre Quelle rein im Vermögen zu denken haben, dadurch darzustellen, dass die Selbstentfaltung jenes Vermögens auf eine geregelte, von allen äußerlichen Gegebenheiten befreite Weise nachvollzogen wird. Hegel begreift Logik daher als „Wissenschaft des reinen Denkens“ oder als den „sein eigenes Wesen denkende[n] Geist“20. Sein Begriff des Denkens ist dabei nicht-psychologisch, da er unter Denken keine Stellungnahme eines einzelnen Subjekts zu einem denkbaren Gehalt versteht, sondern diejenige Leistung, der sich gewisse logische Gehalte oder „Denkbestimmungen“ verdanken, nämlich solche, die keinen Beitrag der Sinnlichkeit beinhalten. Der Sachverhalt, dass Hegel der „Wissenschaft des reinen Denkens“ mittelbar auch eine ontologische Bedeutung beimisst, soll an dieser Stelle nur genannt, aber nicht weiter verfolgt werden21. Unabhängig von ihren voneinander abweichenden Auffassungen der Logik als „Wissenschaft der Verstandesregeln“ oder als Selbsterkenntnis des Denkens hinsichtlich derjenigen Gedanken, die in ihm allein ihre Quelle haben, kommen Kant und Hegel darin überein, dass Logik eine philosophische Disziplin ist und Philosophie sich nicht nach mathematischer Methode betreiben lässt22. Dies liegt laut Kant grundlegend daran, dass die Mathematik Begriffe bilden und definitorisch festsetzen kann, während die Philosophie ihre Begriffe nicht „macht“, sondern vorgefundene reine Begriffe schrittweise zu klären hat, die unser Denken, wenn auch verworren, je schon begleiten23. Die philosophische Begriffsarbeit bringt es so aber mit sich, dass Begriffe nach und nach verdeutlicht, in synthetischen Urteilen a priori verbunden sowie anfänglich verzerrte Auffassungen ihres Gehalts korrigiert werden. Die für Hegels Logik charakteristische Entfaltung von Denkbestimmungen bringt es ihrerseits mit sich, dass sich ein 15 Kant, KrV A54/B78. Kant, KrV A53/B77. 17 Vgl. etwa Hegel, GW23.1,16. 18 Kant, KrV A52/B76. 19 Vgl. Boyle 2020. 20 Hegel, GW 21, 8. 21 Vgl. hierzu Houlgate 2006, Martin 2012, Pippin 2018, Martin 2020a. 22 Vgl. Kant, KrV A713/B741 ff. und Hegel, GW12,110. 23 Kant, KrV A727/B755-A732/B760. 16 angemessenes Verständnis von deren Gehalt erst nach und nach herauskristallisiert und damit die Weise, wie sie sich anfänglich darstellen, rückwirkend modifiziert wird. So erweist sich Unmittelbarkeit etwa rückwirkend als Vermittlung, Sein als Schein. Da die Mathematik darauf beruht, dass der definitorisch festgesetzte Sinn von Zeichen im Zuge mathematischer Ableitungen unverändert bleibt und dass Axiome und Theoreme ihre Gültigkeit im weiteren Fortgang uneingeschränkt behalten, während dies für die philosophische Begriffsarbeit nicht zutrifft, lässt sich philosophische Logik im Sinne Kants und Hegels weder nach mathematischer Methode betreiben noch formalisieren. Welchen indirekten Beitrag zu der für die philosophische Logik im Sinne Kants und Hegels leitenden Frage nach dem Denken könnte die mathematische Logik leisten? Kein System mathematischer Logik kann den Anspruch erheben, die Gesetze des Denkens zu kodifizieren, weil mathematische Logik, wie gezeigt, unmittelbar weder vom Denken handelt noch einen Begriff des Denkens beinhaltet. Die formalisierte Behandlung von wahrheitserhaltenden Beziehungen zwischen Propositionen kann, mit Wittgenstein zu sprechen, allenfalls als „Vergleichsobjekt“24 dienen, das logische Leistungen, etwa das Schließen, in gewisser Hinsicht beleuchtet. Noch Frege verstand seine „Formelsprache des reinen Denkens“25 entsprechend als bloßes „Hilfsmittel“, das es wie ein „Mikroskop“ zwar erlaubt, einen Gegenstand in gewisser Hinsicht genauer unter die Lupe zu nehmen, ohne selbst an die Stelle des Gegenstands treten und diesen ersetzen zu können26. So erlaubt es formale Logik Frege zufolge in erster Linie, die Lückenlosigkeit von Schlussketten in Mathematik und mathematisierter Naturwissenschaft sicherzustellen27. Daraus folgt aber keineswegs, dass sie die Gesetze in sich schlüssigen Denkens jeglicher Art vollumfänglich kodifiziert. Dass sie dies nicht tut, ergibt sich von der Warte Kants und Hegels insbesondere daraus, dass philosophische Begriffsarbeit zwar ihre eigene Stringenz hat, sich jedoch nicht formalisieren lässt. Während formale Logik als mathematische Disziplin nur ihren eigenen Konsistenz- und Kohärenzansprüchen untersteht, kann sie einen etwa mit ihr verbundenen, philosophischen Geltungsanspruch hinsichtlich des Denkens nicht selbst einlösen. Insoweit ihr eine philosophische Bedeutung bezüglich der Natur des Denkens zuerkannt wird setzt die mathematische Logik somit eine philosophische Logik, wenngleich nicht notwendig im Sinne Kants oder Hegels, voraus. Denn nur vor dem Hintergrund eines (Vor-)Begriffs des Denkens und somit auf der Grundlage einer im Ansatz philosophischen Selbsterkenntnis des Denkens ist es möglich zu beurteilen, inwieweit eine formalisierte Untersuchung abstrakter Gegenstände vergleichend Licht auf das Denken zu werfen vermag. Steht der kategorische Unterschied von formaler und philosophischer Logik klar vor Augen, kann sinnvoll gefragt werden, inwieweit bestimmte Systeme formaler Logik Hegels philosophische Logik erhellen können. Als besonders aussichtsreicher Kandidat hierfür gilt gemeinhin die parakonsistente Logik, in der die Ableitung eines Widerspruchs es nicht mit sich bringt, dass Satzsysteme trivial werden, also jeder beliebige Satz abgeleitet werden kann. Dafür, Hegels Dialektik mit parakonsistenter Logik in Beziehung zu setzen, spricht, dass eine konsequente Entfaltung des Denkens ihm zufolge notwendig auf Widersprüche führt28, bei denen es sich weder um vermeidbare Irrtümer noch um logische Spielzüge handelt, aus denen alles Beliebige gefolgert werden kann. Dieser Sachverhalt macht Hegel aber keineswegs zu einem Dialetheisten, also einem Vertreter der Auffassung, dass logisch widersprüchliche Aussagen wahr sein können. Denn auch wenn Denken notwendig auf Widersprüche führt, kann konsequentes Denken bei diesen nicht stehen bleiben, da ein notwendiger Widerspruch darin besteht, etwas, was eigentlich zusammengehört, denkend auf eine Weise nebeneinander zu 24 Wittgenstein 1960: 346 (§130). Frege 1964: VII. 26 Frege 1964: XI. 27 Vgl. 1964: X-XII. 28 Vgl. etwa Hegel, GW21, 30. 25 stellen, auf die es sich nicht zusammenbringen lässt. Der Widerspruch verlangt also Hegel zufolge Auflösung29. Ein notwendiger Widerspruch ist somit eine unwahre Darstellung eines Gedankens, insofern diese Bestimmungen, die an sich als unselbständige Aspekte eines konkreten Gedankens miteinander verträglich wären, als vermeintlich selbständige Glieder eines Gegensatzpaares unverträglich gegenüberstellt. So ist es etwa eine zwar nicht einfach irrtümliche, aber unwahre Darstellung des Begriffs der Bewegung, wenn Bewegung als der Sachverhalt gefasst wird, dass etwas an einem Ort und bereits nicht mehr an diesem Ort ist. Parakonsistente Logik als formallogische Darstellung notwendiger Widersprüche hat ihre Grenze daran, dass sich die Auflösung eines notwendigen Widerspruchs darum nicht formalisieren lässt, weil dazu der Sinn der entsprechenden Zeichen derart modifiziert werden müsste, dass sie nicht mehr selbständig auftretende Glieder eines konträren oder kontradiktorischen Gegensatzes, sondern unselbständige, miteinander verträgliche Momente einer konkreten Einheit bezeichnen. Für eine derartige Modifikation des Sinns von Zeichen ist im Rahmen einer mathematischen Disziplin, die ihre Grundzeichen definitorisch festlegt und die Struktur von Gedanken durch die Struktur von Zeichengestalten repräsentiert, kein Platz. Wie sich Hegels philosophischer Ansatz zur Mathematik verhält, lässt sich in historischsystematischer Absicht dadurch beleuchten, dass gefragt wird, wie er sich zwischen Kants These von der Angewiesenheit der Mathematik auf Anschauung und der durch mathematische Grundlagenforschung des 19. Jahrhunderts nahegelegten, im 20. Jahrhundert unter anderem von Seiten des logischen Positivismus wissenschaftsphilosophisch vertretenen These verhält, dass Mathematik nicht auf Anschauung angewiesen, sondern eine rein intellektuelle Disziplin ist. Um dieser Frage einen präzisen Sinn abgewinnen zu können, müsste zunächst geklärt werden, wie Kants These von der Angewiesenheit der Mathematik auf Anschauung überhaupt zu verstehen ist. Den Ausgangspunkt für diese These bildet Kants Unterscheidung zwischen Anschauung und Begriff als zwei Vorstellungsarten, die sich dadurch kategorisch unterscheiden, dass der Gehalt einer Anschauung ein kontinuierliches Mannigfaltiges, der eines Begriffs dagegen ein diskretes Mannigfaltiges ist30. Ein kontinuierliches Mannigfaltiges, beispielsweise der Raum, ist ein Mannigfaltiges, das nicht aus einer bestimmten Zahl wohlunterschiedener Einheiten zusammengesetzt ist, es als Mannigfaltiges aber mit sich bringt, dass sich unbegrenzt viele derartige Einheiten, etwa Punkte oder Teilräume, in ihm unterscheiden lassen31. Ein diskretes Mannigfaltiges besteht dagegen aus einer bestimmten Zahl wohlunterschiedener Einheiten, die intern miteinander verknüpft sein können, so etwa der Begriff der Kausalität aus den für diesen Begriff konstitutiven, wenngleich nicht notwendig in aller Deutlichkeit vor Augen stehenden Merkmalen. Reine Anschauung als Erkenntnisquelle der Mathematik bildet nun nicht etwa eine eigene Vorstellungsart neben den empirischen Anschauungen, sondern besteht in einem anhand diskursiver Regeln methodisch gehandhabten Umgang mit diesen. Derartige Regeln – Definitionen und Postulate – erlauben es der auf Euklid zurückgehenden mathematischen Tradition zufolge, an die Kant anschließt, räumliche Gestalten als Darstellungen definitorisch fixierter mathematischer Begriffe aufzufassen, beispielsweise einen Kreidestrich auf einer Tafel als Strecke32. Dass die Mathematik ihre Begriffe Kant zufolge „konstruiert“33, bedeutet somit, dass sie durch ein geregeltes Darstellungsverfahren sicherstellt, dass Gestalten im wahrgenommenen oder vorgestellten Anschauungsraum, ihrer Einzelheit ungeachtet, ein Allgemeines, beispielsweise ein Dreieck überhaupt repräsentieren können. Geometrische Beweise bestehen entsprechend darin, mittels diagrammatischer Darstellungen, die im Lichte von Definitionen und Postulaten gelesen 29 Vgl. Hegel GW21, 232; GW11, 280. Vgl. Kant, KrV, A25/B39-40; A169/B211. 31 Zu Kants Auffassung des Raums als Kontinuum vgl. Martin 2020b 32 Vgl. Lampert 2017. 33 Vgl. Kant, KrV A837/B865. 30 werden, allgemeingültige Eigenschaften gewisser Arten von geometrischen Gebilden herzuleiten. Dass die Geometrie nach Kant auf die reine Anschauung des Raumes angewiesen ist, bedeutet somit weder, dass reine Anschauung allein für geometrische Erkenntnis hinreichend wäre und diese nicht ebenso Verstandesleistungen erforderte, noch, dass Geometrie notwendig durch formale Merkmale unseres Anschauungsraums wie etwa die Dreidimensionalität eingeschränkt wäre. Denn dass sie sich auf reine Anschauung stützt, bedeutet nicht, dass beliebige Merkmale unseres Anschauungsraums in den Gehalt geometrischer Erkenntnis eingehen, sondern eben nur solche, die im Rahmen geometrischen Konstruktionen im Lichte diskursiv festgelegter Spielregeln zählen. Kant legt sich im Rahmen der Metaphysischen Erörterung des Raumbegriffs überhaupt nur darauf fest, dass wir in Gestalt der Raumanschauung über die Vorstellung eines koextensiven kontinuierlichen Mannigfaltigen verfügen, d. h. eines solchen, das gleichsam auf einen Schlag gegeben ist, und folgert daraus im Rahmen der Transzendentalen Erörterung, dass diese reine Anschauung Quelle weiterer reiner, nämlich geometrischer Erkenntnis ist. Der von Kant für apodiktisch gewiss befundene geometrische Satz, dass „der Raum [...] nur drei Abmessungen“ hat34, ist somit keine Voraussetzung seiner transzendentalphilosophischen Erörterung der Grundlagen der Geometrie, sondern eine über diese hinausgehende, zeitgebundene Annahme Kants. Dass auch die Arithmetik sich Kant zufolge auf reine Anschauung, und zwar diejenige der Zeit, stützt, mag zunächst abwegig scheinen, da Zahlen keine zeitlichen Eigenschaften haben. Ein derartiger Einwand übersieht jedoch, dass Konstruktionen in reiner Anschauung den konstruierten Gebilden keineswegs alle beliebigen Eigenschaften verleihen, die dem kontinuierlichen Mannigfaltigen zukommen, in dem konstruiert wird, sondern nur ganz bestimmte. Die Zeit ist als sukzessives kontinuierliches Mannigfaltiges Kant zufolge darum eine notwendige, aber keineswegs hinreichende Bedingung der Zahl, weil eine Zahl Ergebnis der sukzessiven Anwendung derselben Operation (der „sukzessive[n] Addition von Einem zu Einem“35) ist. Die Zeit ist hierfür Voraussetzung, weil sie es überhaupt erst ermöglicht, ein- und dieselbe Operation mehrfach, ja sogar beliebig oft nacheinander anzuwenden. Aus zwei Gründen liegt es nahe anzunehmen, Hegel müsse Kants Auffassung von der Angewiesenheit der Mathematik auf reine Anschauung ablehnend gegenüberstehen. Zum einen weist Hegel Kants Unterscheidung von Sinnlichkeit und Verstand als auf einander irreduziblen Stämmen der Erkenntnis darum zurück, weil es sich dabei ihm zufolge um eine unbegründete, dem Subjektivismus Vorschub leistende Voraussetzung handelt36. Scheinbar wird damit auch Kants Unterscheidung von Anschauung und Begriff hinfällig. Zugleich beansprucht Hegel, mit seiner Logik der Quantität eine philosophische Grundlegung der Mathematik zu liefern, wobei sich Logik in seinem Sinne nicht auf Anschauung, sondern allein auf das Denken stützen kann. Näher besehen hält Hegel im Rahmen seiner Philosophie des Geistes aber durchaus am irreduziblen Unterschied von Anschauung und Begriff fest, der recht besehen auch bei Kant kein Dualismus ist, weil beide Vorstellungsarten an der ursprünglichen Einheit des Selbstbewusstseins partizipieren, was Hegel in seiner Jenaer Zeit anzuerkennen bereit war37. Wohlwollend gelesen läuft Hegels Kritik an Kants Unterscheidung von Sinnlichkeit und Verstand somit nur darauf hinaus, dass diese Unterscheidung nicht unbegründet hinzunehmen, sondern im Zuge reinen Denkens herzuleiten ist. Was die Bedeutung der Unterscheidung von Anschauung und Begriff für die Möglichkeit von Mathematik betrifft, erkennt Hegel, wenn auch nur nebenbei, an, dass deren entscheidender Unterschied Kant zufolge darin besteht, dass die Anschauung ein kontinuierliches Mannigfaltiges gibt38. Dass Hegel seine Logik nicht auf 34 Kant, KrV B41. Kant, KrV A142/B182 36 Vgl. etwa GW20, 85; GW30.II, 754. 37 Hegel, GW4, 327. 38 GW21,185-186. 35 Anschauung, sondern allein auf das Denken gründen möchte, bedeutet nicht, dass sich im Rahmen der Wissenschaft der Logik keine Begriffe von kontinuierlichen Mannigfaltigkeiten ergeben könnten. Vielmehr kommen solche darin sogar auf Schritt und Tritt dadurch ins Spiel, dass solches gedacht wird, was zwar verschieden sein soll, ohne dass es sich begrifflich unterscheiden ließe, etwa Sein und Nichts, Etwas und Anderes, oder viele Eins. Auch wenn Hegel diesem Sachverhalt nicht ausreichend Rechnung trägt, kann dasjenige, was es überhaupt erst ermöglicht, denkend solches zu unterscheiden, dessen Unterschied sich nicht begrifflich bestimmen lässt, seinerseits nur eine Anschauung sein39. Obwohl Hegel auf Anschauung in seiner Quantitätslogik nur in didaktischer Absicht als geläufige Vorstellungsart zu sprechen kommt, die es erlaubt, sich den Begriff der Quantität vor Augen zu führen40, ist sein Begriff der reinen Quantität der Sache nach der Begriff eines Kontinuums und damit einer Mannigfaltigkeit, die sich in concreto nicht denken, sondern nur anschauen lässt. Unter reiner Quantität versteht Hegel nämlich ein Mannigfaltiges, das „noch keine Bestimmtheit an ihm hat“, sondern eine „gediegene sich in sich continuierende unendliche Einheit“ ausmacht41. Als solche ist sie dasjenige, was das Ausgrenzen von Quanta, also bestimmten Quantitäten, erlaubt, und ist somit „die reale Möglichkeit des Eins“42. Was Hegels Konzeption der reinen Quantität als Voraussetzung definiter Quanta gegenüber Kants Auffassung der reinen Anschauungen von Raum und Zeit als Quelle mathematischer Erkenntnis auszeichnet, ist, dass der Begriff der reinen Quantität das kontinuierliche Mannigfaltige, das die Voraussetzung aller bestimmten mathematischen Größen ist, ganz allgemein, ohne unmittelbaren Bezug auf geometrische oder arithmetische Gebilde, fasst. Fraglich bleibt dabei jedoch, wo die Geometrie ihren Ort in Hegels enzyklopädischem System haben könnte, da Geometrie es mit Figuren in einem Raumkontinuum von bestimmter Dimensionalität zu tun hat, Hegel Dimensionalität aber erst in seiner Philosophie der Natur behandelt, während geometrische Figuren nicht in der Natur vorkommen. Der Zahlbegriff und damit die philosophischen Grundlagen der Arithmetik haben dagegen einen klar erkennbaren Ort in Hegels Quantitätslogik selbst43. Die Tragfähigkeit von Hegels Konzeption der natürlichen Zahl müsste sich daran messen lassen, ob sie mit Freges Einsicht vereinbar ist, dass die Annahme, es gebe mehrere numerische Einsen, verworren ist44. Unter dieser Voraussetzung ließe sich Frege zufolge etwa nicht mehr verständlich machen, dass 11=0, da sich Verschiedenes nicht voneinander abziehen lässt. Ob Hegels Rede von der natürlichen Zahl als Ergebnis des „Zusammenfassen[s] von beliebig vielen Eins“45, welches in sich eine „Anzahl von Einheiten“ enthält, mit jener Einsicht Freges vereinbar ist, wäre genauerer Prüfung wert46. Eine tiefergehende Untersuchung Verhältnis von Hegels Philosophie der Mathematik zur modernen Mathematik müsste einem langwierigen disziplinären Wandel der Mathematik in der Neuzeit Rechnung tragen, der in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts seinen Abschluss fand. Im Zuge dessen wurde die tradierte, von Kant und Hegel geteilte Auffassung der Mathematik als „Wissenschaft von den Größen“, d. h. von homogenen Mannigfaltigkeiten, durch eine symbolische Konzeption der Mathematik abgelöst47. Während eine Wissenschaft von den Größen ihren Gegenstandsbereich in realen Mannigfaltigkeiten sieht, die unter Absehen von ihren konkreten qualitativen Beschaffenheiten als homogene Mannigfaltigkeiten überhaupt in den Blick genommen werden, gewinnt die symbolische Mathematik den Zugang zu ihren 39 Vgl. Koch 2006, 116 ff. und Martin 2020: 241-263. Vgl. Hegel, GW21,179. 41 Hegel, GW21,173.. 42 Hegel, GW21,177. 43 Hegel, GW21,193-207. 44 Frege 1961: 39-51. 45 Hegel, GW 20, 138. 46 Zum Verhältnis von Hegels und Freges Zahlbegriff vgl. Stekeler 2019, 766-769 und Houlgate 2021, 91-138. 47 Vgl. hierzu grundlegend Stenlund 2014. 40 Gegenständen rein durch Festsetzungen des Gebrauchs von Zeichen. Zwar könnte es so scheinen, als sei mit dem Ende der Mathematik als Wissenschaft von den Größen sowohl der von Kant unterstellte Anschauungsbezug wie seine von Hegel geteilte Auffassung hinfällig geworden, reine Quantität oder das Kontinuum als nicht-diskrete Mannigfaltigkeit sei Voraussetzung der mathematischen Untersuchung aller bestimmten Größen. Dementgegen ist festzuhalten, dass im 20. Jahrhundert zahlreiche Mathematiker und Philosophen wie Brouwer, Weyl und Wittgenstein, die auf die ein oder andere Weise an die klassische deutsche Philosophie anschließen, zur Auffassung gelangt sind, dass die Mathematik gerade vermöge ihres symbolischen Charakters Anschauung erfordert48, und dass sich kontinuierliche Mannigfaltigkeiten, den Forschungen Dedekinds und Cantors ungeachtet, nicht restlos auf diskrete zurückführen lassen. Eine philosophische Untersuchung dieser Zusammenhänge steht noch aus49. Die Frage nach Hegels Verhältnis zur Mathematik ist nicht nur mit Bezug auf die reine, sondern auch auf die angewandte Mathematik zu stellen. Philosophisch grundlegend ist diesbezüglich das Problem der Anwendbarkeit, also die Frage, aufgrund wovon eine mathematische Behandlung realer Zusammenhänge überhaupt möglich ist. Kant beantwortet diese Frage im 2. Buch der Transzendentalen Analytik dahingehend, dass alle Erscheinungen mittels der Anschauungsformen von Raum und Zeit an homogenen Mannigfaltigkeiten partizipieren und, insofern sie dies tun, mathematisierbar sind. Freilich muss im Rahmen von Kants Naturphilosophie für jede empirische Bestimmung, etwa Bewegung oder Materie, konkret nachgewiesen werden, dass sich Erscheinungen, insofern sie derart bestimmt, etwa bewegt oder materiell sind, als homogene Mannigfaltigkeiten auffassen und insofern mathematisieren lassen. Hegel entwickelt dagegen in der Logik des Seins eine allgemeinere Begründung der Mathematisierbarkeit des Realen, indem er zeigt, dass qualitative Bestimmtheit notwendig mit gleichgültig variierbarer, quantitativer Bestimmtheit einhergeht. Alles Bestimmte weist somit eine quantitative, mathematisch behandelbare Dimension auf; doch setzt quantitative Bestimmtheit umgekehrt qualitative und damit solche voraus, die sich nicht mathematisieren lässt. Hegels Logik liefert somit zugleich eine Begründung für die Mathematisierbarkeit des Realen wie dafür, dass mathematisierte Theorien das Reale einseitig betrachten und grundsätzlich nicht erschöpfen können. Die in Hegels Maßlogik entwickeln Überlegungen zur Mathematisierbarkeit des Realen gehen zugleich darin über Kant hinaus, dass es aus Hegelscher Sicht kein Zufall ist, dass Reales nicht nur eine Größe, sondern ein Maß hat, die quantitative Bestimmtheit von etwas Realem also nicht beliebig variabel ist, sondern es notwendig Punkte gibt, an denen eine fortgesetzte Variation der Größe einen „Umschlag“ der Qualität mit sich bringt. Meine Einleitung zielte darauf ab, die Beiträge dieses Kolloquiums als Beiträge zu einem einheitlichen Problemfeld erkennbar werden zu lassen. Der Beitrag von Elena Ficara untersucht anhand eines Fragments aus Hegels Frankfurter Zeit die Frage, inwieweit sich Hegels Dialektik mittels parakonsistenter Logik näher beleuchten lässt. Der Beitrag von Pirmin Stekeler setzt Hegels Begriff infinitesimaler Größen, die der Differentialrechnung zugrunde liegen, zur Behandlung derartiger Größen in der Mathematik des 18.-20. Jahrhunderts in Beziehung. Der Beitrag von Stephen Houlgate entwickelt Hegels logische Konzeption des Maßes unter der Prämisse, dass sich diese zwar nicht auf naturwissenschaftliche Erkenntnisse stützt, jedoch die Messbarkeit empirischer Phänomene und das Vorkommen von Maßverhältnissen in der Natur verständlich machen kann. 48 49 Vgl. etwa Wittgenstein 1960, 74 (TLP 6.233). Zum Problem des mathematischen Kontinuums vgl. Prauss 2018. Bibliographie Frege, Gottlob: Die Grundlagen der Arithmetik. Hildesheim: Olms, 1961. Frege, Gottlob: Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Hildesheim: Olms, 1962. Frege, Gottlob: Begriffsschrift und andere Aufsätze. Hildesheim: Olms, 1964. Frege, Gottlob: Logische Untersuchungen. Göttingen: Vandenhoeck & Rupprecht, 1966. Frege, Gottlob: Schriften zur Logik und Sprachphilosophie. Hamburg: Meiner, 1978. Hegel, Georg Wilhelm Friedrich: Gesammelte Werke. Hamburg: Meiner, 1968 ff. [Sigle: GW] Houlgate, Stephen: The Opening of Hegel’s Logic. From Being to Infinity. 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