ECUACIONES DIFERENCIALES-DENNIS G. ZILL

. _.-_ _--_‘- / J L 1 ECUACIONES DIFERENCIAlES CON APLICACIONES DE MODELADO Dennis G. Zill Loyola Marymount University International Thomson Editores An International Thomson Publishing Company I@PW México n Albany W Bonn W Bwtan H Cambri&e W Ctncinmti n Johannes- n L& n MaaW W Melbowne n New Y?k Parti n Sm Francisco n Sm Juan, PR n Santiago n S¿io Paulo n Singqvm H Tokio n Twonto 4 Washington Traducción del libro Dzflerential Equations with Modeling Applications, publicado por Brooks/Cole Publishing, 6th ed. ISBN 0-534-95574-6 Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones del modelado ISBN 968-7529-21-0 Derechos reservados respecto a la 1” edición en espaflol Q 1997 por Intemational Thomson Editores, S.A. de C. V. Intemational Thomson Editores es una empresa de Intemational Thomson Publishing 10 P. México y América Central Séneca 53, Col. Polanco México, D. F., C. P. 11560 Tel. 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No part of this book covered by the copyright hereon may be reproduced or used in any form or by any means -graphic, electronic, or mechanical, inchding photocopying, recording, taping or information storage and retrieval systems- without the written permission of the publisher. Impreso en México Printed in Mexico Prefacio ix Reconocimientos xiii / Introducción a las ecuaciones diferenciales 1 1.1 Definicionesy terminología 2 1.2 Problemas de valor inicial 12 1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 19 Ejercicios de repaso 33 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36 2.1 Variables separables 37 2.2 Ecuaciones exactas 45 2.3 Ecuaciones lineales 52 2.4 Soluciones por sustitución 63 Ejercicios de repaso 69 3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 71 3.1 Ecuaciones lineales 72 3.2 Ecuaciones no lineales 86 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 97 Ejercicios de repaso 108 La AZT y La supervivencia con SIDA (Ap. N) Dinámica de una población de lobos (Ap. Iv) 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 112 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 113 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 113 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 116 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 123 4.2 Reducción de orden 130 V vi CONTENIDO 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 133 4.4 Coeficientes indeterminados método de la superposición, 142 4.5 Coeficientes indeterminados método del anulador 153 4.6 Variación de parámetros 163 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 169 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 177 4.9 Ecuaciones no lineales 186 Ejercicios de repaso 193 5 Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior 195 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 196 5.1.1 Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 196 5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 20 1 5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 206 5.1.4 Sistemas análogos 2 ll 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 222 5.3 Ecuaciones no lineales 233 Ejercicios de repaso 244 Degeneración de las órbitas de los satélites (Ap. IV) Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows (Ap. IV) 6 Soluciones en forma de series de potencias de ecuaciones lineales 247 6.1 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 248 6.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios 257 6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 265 6.4 Dos ecuaciones especiales 278 Ejercicios de repaso 294 . . CONTENIDO Vii 7 La transformada de Laplace 295 7.1 Definición de la transformada de Laplace 296 7.2 Transformada inversa 305 7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 3 1 2 7.4 Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas 325 7.5 Aplicaciones 333 7.6 Función delta de Dirac 349 7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 354 Ejercicios de repaso 362 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 365 8.1 Teoría preliminar 366 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 376 8.2.1 Valores propios reales y distintos 376 8.2.2 Valores propios repetidos 380 8.2.3 Valores propios complejos 384 8.3 Variación de parámetros 390 8.4 Matriz exponencial 395 Ejercicios de repaso 398 Modelado de una carrera armamentista (Ap. Iv) 9 Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias 400 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 Campos direccionales 401 Métodos de Euler 405 Métodos de Runge-Kutta 414 Métodos multipasos 421 Ecuaciones y sistemas. de ecuaciones de orden superior 424 9.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden 430 Ejercicios de repaso 435 . . .. Vlll CONTENIDO 70 Funciones ortogonales y series de Fourier 437 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Funciones ortogonales 438 Series de Fourier 444 Series de Fourier de cosenos y de senos 449 El problema de Sturm-Lìouville 460 Series de Bessel y de Legendre 468 10.5.1 Serie de Fourier-Bessel 469 10.5.2 Serie de Fourier-Legendre 472 Ejercicios de Repaso 475 77 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y problemas de valor en la frontera en coordenadas rectangulares 477 ll.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables 478 ll .2 Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera 483 ll .3 Ecuación de transmisión de calor 49 1 ll.4 Ecuación de onda 494 ll .5 Ecuación de Laplace 501 ll .6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la frontera 505 ll .7 Empleo de series de Fourier generalizadas 509 ll.8 Problemas de valor en la frontera con series de Fourier con dos variables 5 14 Ejercicios de repaso 518 Apéndice Apéndice Apéndice Apéndice 1 II III IV Función gamma AP-1 Introducción a las matrices AP-4 Tabla de transformadas de Laplace AP-24 Aplicaciones del modelado AP-27 A La AZT y la supervivencia con SIDA AP-28 B Dinámica de una población de lobos AP-30 C Degeneración de las órbitas de los satélites AP-33 D Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows AP-35 E Modelado de una carrera armamentista AP-37 Apéndice V Tabla de transformadas de Laplace AP-39 Apéndice VI Tabla de integrales AP-41 Respuestas a los problemas de número impar R-l Índice I-l Las modificaciones que se hicieron para la sexta edición, en inglés, de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, tuvieron dos fines: asegurar que la información fuera actual y relevante para los alumnos y, al mismo tiempo, mantener las bases que se usaron en las ediciones anteriores. Este nuevo libro, escrito teniendo en cuenta al alumno, conserva el nivel básico y el estilo directo de presentación de las ediciones anteriores. En ecuaciones diferenciales, igual que en muchos otros cursos de matemáticas, los profesores comienzan a dudar de algunos aspectos de los métodos pedagógicos tradicionales. Esta saludable valoración es importante para que el tema no sólo tenga más interés para los alumnos, sino también para que sea más aplicable en el mundo en que se desenvuelven. Los cambios de contenido y estilo de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Sexta edición (incluyendo el subtítulo) reflejan las innovaciones que ha observado el autor en el ámbito general de la ensefíanza de las ecuaciones diferenciales. Resumen de los cambios principales w Más énfasis en las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos. Ahora se entreteje la noción de un modelo matemático en todo el libro y se describe la formulación y fallas de esos modelos. w Cinco nuevas aplicaciones de modelado. Estas aplicaciones son contribuciones de expertos en cada campo y cubren áreas profundas de estudio, desde la AZT y la supervivencia con SIDA, hasta los efectos de la reintroducción del lobo gris al Parque Nacional Yellowstone. En la edición en español se han concentrado en el apéndice IV: Aplicacion al modelado; pero se conserva su relación didáctica con los capítulos que enriquecen mediante su referencia en el indice. w Más énfasis en las ecuaciones dlyerenciales no lineales, así como en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Tres capítulos contienen secciones nuevas (3.3, 4.9,5.2 y 5.3). w Más énfasis en problemas de valores en la frontera, para ecuaciones diferenciales ordinarias. En el capítulo 5 se presentan como novedad los valores y funciones propios. Mayor utilización de la tecnología. Cuando es adecuado, se usan calculadoras graficadoras, programas de graficación, sistemas algebraicos computacionales y programas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE Solver) en aplicaciones y ejemplos, así como en los conjuntos de ejercicios. n x PREFACIO w Mayor cantidad de problemas conceptuales en los ejercicios. En muchas secciones se han agregado ‘Problemas para discusión”. En lugar de pedir al alumno que resuelva una ecuación diferencial, se le pide que medite en lo que comunican o dicen esas ecuaciones. Para impulsar el razonamiento del estudiante a fin de que llegue a conclusiones e investigue posibilidades, las respuestas se omitieron intencionalmente. Algunos de estos problemas pueden servir de tareas individuales o grupales, según el criterio del profesor. Cambios por capítulo en esta edición El capítulo 1 se ha ampliado con las nociones de un problema de valor inicial y programas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias en la sección 1.2. Se ha vuelto a redactar la descripción de las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos en la sección 1.3, a fin de que el alumno la comprenda con más facilidad. Ahora, el capítulo 2 combina la descripcion de las ecuaciones homogeneas de primer orden con la de la ecuación de Bernoulli, en la sección 2.4, Soluciónpor sustitución. El material sobre las ecuaciones de Ricatti y de Clairaut aparece en los ejercicios. El capitulo 3 tiene una nueva sección 3.3, Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, que presenta sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden como modelos matemáticos. Las trayectorias ortogonales se dejaron para los ejercicios. El capítulo 4 presenta el concepto de un operador diferencial lineal, en la sección 4.1, con objeto de facilitar las demostraciones de algunos teoremas importantes. La forma ligeramente distinta de exponer las dos ecuaciones que definen los “paranretros variables” se presenta en la sección 4.6, y se la debemos a un estudiante, J. Thoo.* La ecuación de Cauchy-Euler se describe en la sección 4.7. Los sistemas de solución de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes han pasado a la sección 4.8. Hay una nueva sección, la 4.9, Ecuaciones no lineales, que comienza con una descripción cualitativa de las diferencias entre ecuaciones lineales y no lineales. El capítulo 5 contiene dos nuevas secciones. La 5.2, Ecuaciones lineales: problemas de presenta los conceptos de valores propios y funciones propias (eigenvalores y eigenfunciones). La sección 5.3, Ecuaciones no lineales, describe el modelado con ecuaciones diferenciales no lineales de orden mayor. valores en Zaj-ontera, El capítulo 6 sólo trata las soluciones en forma de serie de las ecuaciones diferenciales lineales. La sección 7.7 presenta la aplicación de la transformada de Laplace a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. En la sección 7.3 se agregó una forma alternativa del segundo teorema de traslación. El capítulo 8 se limita a la teorfa y solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, porque lo referente a las matrices se ha pasado al Apéndice II. Con esta distribución, el profesor puede decidir si el material es de lectura, o si lo intercala para exponerlo en clase. *J. Thoo, “Timing is Everything,” The College Mathematical Jodrnal, Vol. 23, No 4, septiembre de 1992. PREFACIO xi El capítulo 9 se volvió a escribir. El análisis de errores de las diversas tecnicas se presenta en la sección respectiva que se destina a cada método. numéricas Complementos Para los profesores* Complete Solutions Manual (Warren W. Wright), donde aparece el desarrollo de las respuestas a todos los problemas del texto. Experiments for Dift*erential Equations (Dermis G. Zill/Warren S. Wright), que contiene un surtido de experimentos para laboratorio de computación, con ecuaciones diferenciales. Programas ODE Solver: Numerical Procedures for Ordinary Differential Equations (Thomas Kiffe/William Rundel), para computadoras IBM y compatibles, y para Macintosh. Es un paquete que presenta representaciones tabulares y gráficas de los resultados, para los diversos métodos numericos. No se requiere programación. Programas en BASIC, FORTRAN y Pascal (C. J. Knickerbocker), para PC compatibles y Macintosh. Contienen listados de programas para muchos de los métodos numéricos que se describen aquí. *Estos materiales (en inglés) se proporcionan a profesores que usen el libro como texto, para informaci6n enviar un correo electdnico a: clientes@mail.intemet.c4xn.mx. l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee l l l l l l l l l l Estoy muy agradecido con las siguientes personas, que contribuyeron a esta edicion su ayuda, sugerencias y criticas: con Scott Wright, Loyola Marymount University Bruce Bayly, University of Arizona Dean R. Brown, Youngstown State University Nguyen P. Cac, University of lowa Philip Crooke, Vanderbilt University Bruce E. Davis, St. Louis Community College at Florissant Valley Donna Farrior, University of Tulsa Terry Herdman, Virginia Polytechnic Institute and State University S. K. Jain, Ohio University Cecelia Laurie, University of Alabama James R. McKimrey, California Polytechnic State University James, L. Meek, University of Arkansas Brian M. O’Connor, Tennessee Techonological University Mi especial reconocimiento a John Ellison, Grove City College C. J. Knickerbocker, St. Lawrence University Ivan Kramer, University of Maryland, Baltimore County Gilbert Lewis, Michigan Technological University Michael Olinick, Middlebury College que, con mucha generosidad y escamoteando tiempo a sus apretadas agendas, proporcionaron los nuevos ensayos sobre aplicaciones del modelado. Por ultimo, una nota personal: quienes se hayan fijado, habrán notado que ya no está el logo acostumbrado de PWS, un leon, en el lomo del libro. Al trabajar con el personal de Brooks/Cole, otra filial de ITP, la empresa matriz, no puedo olvidar a tantas y tan buenas personas que encontré, con las cuales trabajé -e incluso contendí-, durante los últimos veinte años en PWS. Así que, a todas las personas de producción, mercadotecnia y departamento editorial, en especial a Barbara Lovenvirth, mi editora de fucto, les digo adiós y les deseo buena suerte. Gracias por el trabajo que han hecho; el ultimo. Dennis G. Zill Los Angeles xii INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 1.2 1.3 Definiciones y terminología Problemas de valor inicial Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Ejercicios de repaso Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se I invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 5x + 4 = 0 con la variable x, en este curso vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” + 2y’ + y = 0, para conocer la función y. Pero antes de comenzar cualquier cosa, el lector debe aprender algo de las definiciones y terminología básicas en este tema. 1 2 CAPíTUlO 1 INíRODUCCdN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICIONES Y TERMINOLOGiA n n n n Ecuaciones diferenciales onlinarias y en derivadas parciales n orden de una ecuación Ecuaciones lineales y no lineales W Solucibn de una ecuación diferencial Soluciones explícitas e implícitas n Solución tn.vial n Familia de soluciones Solución particular n Solución general n Sistemas de ecuaciones diferenciales Ecuación diferencial En cálculo aprendimos que la derivada, dy/a!q de la función y = &x) e;s en sí, otra función de xZque se determina s&uiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si y = 8, entonces dyldx = 2x3. Al reemplazar ti por el símbolo y se obtiene (1) 2 = 2xy. El problema al que nos encararemos en este curso no es “dada una función y = &), determinar su derivada”. El problema es “dada una ecuación diferencial, como la ecuación 1, ¿hay algún método por el cual podamos llegar a la función desconocida y = $(x)?” Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Clasificación según el tipo Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo 4 &+lOy=ex y - d2y - 4+sy,() aPdx son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o mgs variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo, -au = - av- ay ax 3 a2u - a2u Y a2 ai son ecuaciones en derivadas parciales, Clasificación según el orden El orden de una ecuacibn diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo, segundo orden 4 1 primer orden ic?!+ 43- 4y = ex caz ( dx 1 Sección 1 .l Definiciones y terminohgía 3- es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación (y - x) ch + 4x u’y = 0 se puede escribir en la forma 4xz+y=x si se divide entre la diferencial ~5, es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se suele representar mediante los símbolos W, Y, Y’, . . ., y’“‘) = 0. (2) En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la derivada de orden máximo, yc”), de una ecuación diferencial de orden n, como la ecuación (2); esto es, y’“’ = f(x., y, y’, . . . , y”-1’). Clasificación según la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(“) =f(x, y, y’, . . ., y(” - ‘)) es lineal cuandofes una función lineal dey, y’, . . ., y(” - ‘). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma a n (x) Q + a - l(X) d”- ‘v + . . + al(x) fa!ch+ ao y = g(x). dr” n UV-l En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: i) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1. ii) Ca& coeficiente sólo depende de X, que es la variable independiente. Las funciones dey como sen y o las funciones de las derivadas dey, como e Y no pueden aparecer en una ecuación lineal. Cuando una ecuacih diferencial no es lineal, se dice que es no lineai. Las ecuaciones (y-x)dx+4xdy=O, y”-2y’+y=O, X3d3y- UY 4+6y-;ef ufc son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otro lado, el coeficiente depende dey función no lineal dey J 4 ( 1 +y)y’+2y=eX, potencia distinta de 1 4 d4v+yZ”O g+seny=O, dr4 son ecuaciones diferenciales no lineales de primero, segundo y cuarto ordm, respectivamente. 4 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Soluciones soluciones Como dijimos, uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las de las ecuaciones diferenciales. Solución de una ecuoc%n diferencial Cuando una fkncibn ql, definida en afgGn intervalo 1, se sustituye en una ecua~iSn y transforma esa ecuaci6n en una identidad, se dice que es una #~~~c~~~ de Ia el intervalo. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación (2), es una función 4 con al menos n derivadas y m> w, f(x), . . ., #“)(x)) = 0 para todo x en 1. Se dice que y = $(x) satisface la ecuación diferencial. El intervalo I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [u, b], infinito, (a, -), etcétera. Para nuestros fines, también supondremos que una solución 4 es una función de valores reales. Comprobación de una solución Comprobar que y = x4/1 6 es una solución de la ecuación no lineal en el intervalo (-CO, CO). SOLUCIÓN Un modo de comprobar que la función dada es una solución es escribir la ecuación diferencial en la forma dyldx - xy’” = 0, y ver, despues de sustituir, si la suma dyldx - xy’” es cero para toda x en el intervalo. Con, vemos que dx-” dY 1/2=--x x3 4 0 x4 _ 1/2 =g 16 4 --= x3 0 4 para todo numero real. Obsérvese que y’” =x’ 14 es, por definición, la raíz cuadrada no negativa de x4/1 6. Comprobación de una solución La función y = xe” es una solución de la ecuación lineal y"- 2y'+y= 0 I Sección 1 .l Definiciones y terrninobgía 5 en el intervalo (--, -). Para demostrarlo, sustituimos y’ = Xe’ + ex y y” = xex + 2e”. Vemos que , yf’ _ zy’ + y = (Xe” + 2eX) - 2(xeX + e”) + Xe’ = 0 para todo número real. n No toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene, necesariamente, una solución. Para resolver el problema 5 1 de los ejercicios 1.1, el lector debe meditar en lo anterior. Al estudiar cálculo uno se familiariza con los términos funciones explícitas e implícitas. Como algunos métodos de solución de ecuaciones diferenciales pueden llevar directamente a estas dos formas, las soluciones de las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en soluciones explícitas o implícitas. Una solución en que la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explícita. Para nuestros fines, podemos decir que una solución explícita es una fórmula explícita y 7 4(x) que podemos manipular, evaluar y diferenciar. En la descripción inicial vimos que y = e’ es una solución explícita de dyldx = 2xy. En los ejemplos 1 y 2, y = x4/16 y y = xe’ son soluciones explícitas de dyldx = xy’” y y” - 2y’ + y = 0, respectivamente. Obsérvese que, en los ejemplos 1 y 2, cada ecuación diferencial tiene la solución constante y = 0, -m < x < m. Una solución explícita de una ecuación diferencial, que es idéntica a cero en un intervalo Z, se llama solución trivial. Una relación G(x, y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación (2), en un intervalo 1, siempre y cuando exista al menos una función 4 que satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en Z. En otras palabras, G(x, y) = 0 define implícitamente a la función 4. Soluciones explícitas e implícitas Comprobación de una solución implícita La relación x2 + 3 - 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial (3) en el intervalo -2 < x < 2. Derivando implícitamente obtenemos d d LL4,bO dxx2+iiiy dx dx obien 2~+2y$=o. Al despejar el símbolo dyldx de la última ecuación se obtiene la ecuación (3). Además, el lector debe comprobar que las funciones yl = my y2 = -‘&? satisfacen la relación (en otras palabras, que x2 + y1 2 - 4 = 0 y x2 + y22 - 4 = 0) y son soluciones de la ecuación diferencial en -2 <x (2. m .: ‘Toda relación de la forma x2 + y2 - c = 0 satisface formalmente la ecuación (3) para cua@.uér constante c; sin embargo, se sobreentiende que la relación siempre debe tener sentido 6 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES en el sistema de los números reales. Así, por ejemplo, no podemos decir que x2 + J + 4 = 0 sea una solución implícita de la ecuación. (iPor qué no?) Debe quedar intuitivamente clara la distinción entre una solución explicita y una implícita, porque en lo sucesivo ya no haremos la aclaración “es una solución explicita (o implicita)“. Más terminología El estudio de las ecuaciones diferenciales es semejante al del cálculo integral. A veces, a una solución se le llama integral de la ecuación y a su gráfica, cuwa integral o cuwa de solución. En cálculo, al evaluar una antiderivada o una integral indefinida empleamos una sola constante c de integración. En forma parecida, al resolver una ecuación diferencial de primer orden, F(x, y, y’) = 0, por lo general obtenemos una solución con una sola constante arbitraria, o parámetro c. Una solución con una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c) = 0 de soluciones y se llama familia monoparamétrica de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial de orden n, F(x, JJ, y’, . , y(“)) = 0, se busca una familia n-paramétrica de soluciones G(x, y, CI, ~2, , . . , c,) = 0. Esto sólo quiere decir que una sola ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, poderno demostrar que, por sustituci6n directa, toda función de la familia monoparam&rica y = cd; también satisface la ecuación (1). La solución original y = d; corresponde a c = 1 y, por consiguiente, es una solución particular de la ecuación. La figura 1.1 muestra algunas de las curvas integrales de esta familia. La solución trivial y = 0, que corresponde a c = 0, también es una solución particular de la ecuación (1). FIGURA 1.1 Soluciones particulares La función y = CI e” + c2eeX es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación lineal de segundo orden y” - y = 0. Algunas de las soluciones particulares sony = 0 (cuando ct = cz=O),y=eX(cuandoc~=1yc2:=O),y~=5d(-2e-X(cuandoc~=5ycz=-2). w En todos los ejemplos anteriores hemos usado x y y para representar las variables independiente y dependiente, respectivamente. Pero en la práctica, esas dos variables se repre- Sección 1.1 Definiciones y terminobgía 7 sentan mediante muchos símbolos distintos. Por ejemplo, podríamos representar con t la variable independiente y con x la variable dependiente. Uso de distintos símbolos Las funciones x = cr cos 4t y x = c2 sen 4t, donde cr y cq son constantes arbitrarias, son soluciones de la ecuación diferencial I x”+ 16x10. Para x = cl cos 4t, las primeras dos derivadas con respecto a t son x’ = -4~1 sen 4t, y d’ = -16 CI cos 4t. Al sustituir x” y x se obtiene, x”+ 16x = -16~~ cos 4t + 16(cl cos 4t) = 0. Análogamente, para x = cz sen 4t, vemos que x” = -16~ sen 4t, y así x”+ 16x=-16~2 sen 4t + l6(~2 sen 4t) = 0. Por último, es fácil comprobar que la combinación lineal de soluciones -0 sea, la familia biparamétrica x = CI cos 4t + c2 sen 4t- es una solución de la ecuación dada. n En el próximo ejemplo mostraremos que una solución de una ecuación diferencial puede ser una función definida por tramos. Solución definida por tramos El lector debe comprobar que toda función de la familia monoparamétrica y = cx4 es una solución de la ecuación diferencial xy’ - 4y = 0 en el intervalo (--, -) -Fig. 1.2a-. La función definida por tramos y -x4, =1 x4, x<o xro es una solución particular de la ecuación, pero no se puede obtener a partir de la familia y n = cx4 escogiendo sólo una c (Fig. 1.2b). En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en una familia de soluciones. Esa solucidn se llama solución singular. Solución singular d En la sección 2.1 demostraremos que y = (x2/4 + c)~ proporciona una familia monoparamé* trica de soluciones dey’ = xy ’ “. Cuando c = 0, la solución particular que resulta es y f x4/I 6. En este caso, la solución trivial y = 0 es una solución singular de la ecuacion porque no se n puede obtener partiendo de la familia y eligiendo algún valor del parámetro c. 8 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y H c=l X c=-1 (4 (b) FIGURA 1.2 Solución general Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y’, ., J@ = 0, en un intervalo 1, se puede obtener partiendo de una familia n-paramétrica G(x, JJ, cl, ~2, . . ., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros ci (i = 1,2, . . ., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Al resolver las ecuaciones diferenciales lineales vamos a imponer restricciones relativamente sencillas a los coeficientes de esas ecuaciones. Con estas restricciones siempre nos aseguraremos no sólo de que exista una solución en un intervalo, sino también de que una familia de soluciones contenga todas las soluciones posibles. Las ecuaciones no lineales, a excepción de algunas de primer orden, son difíciles de resolver -e incluso resultan irresolubles-, en términos de las funciones elementales comunes (combinaciones finitas de potencias o raíces enteras de x, de funciones exponenciales y logarítmicas, o funciones trigonométricas o trigonométricas inversas). Además, si en cierto momento nos encontramos con una familia de soluciones de una ecuación no lineal, no es obvio cuando la familia es una solución general. Por lo anterior, y en un nivel práctico, el nombre “solución general” sólo se aplica a las ecuaciones diferenciales lineales. Sistemas de ecuaciones diferenciales Hasta ahora hemos descrito ecuaciones diferenciales aisladas con una función desconocida; pero muchas veces, en teoría y en muchas aplicaciones, debemos manejar sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es un conjunto de dos o más ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente; por ejemplo, si x y y representan variables dependientes y t es la variable independiente, el conjunto siguiente es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden: (4) & z=x+y. Sección 1 .l Definiciones y terminología Una solución de un sistema como el anterior es un par de funciones diferenciables, y = &(t), que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común 1. 9 x = &(t) y Es necesario exponer algunos conceptos finales acerca de las soluciones implícitas de las ecuaciones diferenciales. A menos que sea importante o adecuado, por lo general no es necesario tratar de despeiar y de una solución implícita, G(x, y) = 0, para que aparezca una forma explícita en términos de X. En el ejemplo 3 podemos despejar fácilmente y de la relación J.J+yz- 4 = 0, en términos de x para llegar a las dos soluciones, y1 = CFy y2 = - G, de la ecuación diferencial dyldx = -x/y; pero no debemos engañarnos con este único ejemplo. Una solución implícita, G(x, y) = 0, puede definir una función 4 perfectamente diferenciable que sea una solución de una ecuación diferencial; pero incluso así resulte imposible despejar en G(x, y) = 0 con métodos analíticos como los algebraicos. En la sección 2.2 veremos que xe2y xy + 3 + c = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial de primer orden. La tarea de despejar y de esta ecuación, en términos de X, p r e s e n t a m á s p r o b l e m a s q u e e l t e d i o sen de manipular símbolos, ya que no es posible. En los problemas 1 a 10, establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal. Indique el orden de cada ecuación. no 3. yy’ + 2y = 1 + x2 -.; s; 4. x2 dy + (y - xy - xex) dx = 0 vas 5.~~y(~)-x~y”+4xy’-3y=0,~~6.~+9y=seny L” no 9. (senx)y’” - (cos x)y’ = 2 -W). (1 - y*) dx + x dy = 0 6~ En los problemas ll a 40, compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada. En algunos casos, suponga un intervalo adecuado de validez de la solución. Cuando aparecen, los símbolos CI y c2 indican constantes. 11.2y’+y=O; y=e-“* dy - 2y = e3x; 13. z y = e3x + 10e2” 15.y’=25r+y2; y=5tan5x 16. ” = 12.yt+4y=32; 14. dy z + 2Oy = 24; ;; y = (6 + cl)*, x > 0, CI > 0 J 17. y’ + y = senx; y = ksenx - f cos x + loe-” y=8 y = Q - &20’ 10 CAPíTULO 1 INTRODUCCdN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 18. 2xy dx + (x” + 2y) dy = 0; x’y + y2 = Cl 19. x*dy+2xydx=O; y=-$ 20. (y’)” + xy’ = y; y = x + 1 21. y = 2xy’ + y(y’)2; yz = CI(X + tc1) 22. y’ = 22/iyi; y = XIXI 2 3 . y’--iy=l; y=xlnx,x>O 24. !$ = p(* - bp); p = uclea’ 1 + bqe” 25. 9 = (2 - X)(l - X); In E$ = t 26. y’+2xy=l; y=ewx ’ ó ef2 dt + cle-** I 27. (x’ + y”) dx + (x’ - xy) dy = 0; q(x + y)’ = xeYIX 28. y’ + y’ - 12y = 0; y = cle3* + c2e-4x 29. y” - 6y’ + 13y = 0; y = e3x cos 2x 30. $$--4%+4y=0; 31. y” 32. y” 33. y” 34. y” y=e2X+xe2X = y; y = cosh x + senh x + 25~ = 0; y = cl cos 5x + ( y ‘)* = 0; y = In Ix + cr 1+ c2 + y = tan x; y = -cos x ln(sec x + tan x) 35. x$$ + 22 = 0; y = Cl + czx-r,x > 0 36. x*y” - xy’ + 2y = 0; y = x cos(ln x), x > 0 37. x*y’ - 3xy’ + 4y = 0; y = x* + x* In x, x > 0 38. y “’ - y” + 9y’ - 9y = 0; y = cl sen 3x + cz cos 3x + 4e” 39. y’” - 3y”+3y’-y=O; y=x2eX 40. x3$$+2x2s-xz+y=12x2; y=cIx+c2xlnx+4x2,x>0 En los problemas 41 y 42, compruebe que la función definida por tramos sea una solución de la ecuación diferencial dada. 41. xy’-2y=O; y= 42. (Y’)*=~~YCY; -X2, x2 x<o ) xso 0 , x-co Y= x3, xrO 43. Una familia monoparamétrica de soluciones dey’ = y’ - 1 es 1 + cea -. y = 1 - ce2” P Seccibn 1.1 Definiciones y terminología 11 Determine por inspección una solución singular de esa ecuación diferencial. son soluciones de dyldx = -xIy, en el intervalo (-2,2). Explique por quh 44. EnlapAgina5,quey=nyy=-m no es una solución de esa ecuación diferencial en el intervalo. En los problemas 45 y 46, determine valores de m tales que y = emx sea una solución de la ecuación diferencial respectiva. 45. y” - 5y’ + 6y = 0 46. y” + 1Oy’ + 25y = 0 En los problemas 47 y 48, determine los valores de m tales que y = xm sea una solución de la ecuación diferencial respectiva. 48. x2y” + 6xy’ + 4y = 0 47. x2y” - y = 0 En los problemas 49 y 50 compruebe que cada par de funciones sea una solución del sistema respectivo de ecuaciones diferenciales. -=x+3y dx ’ dt 4 9 dy = 5x + 3y; -g x = e-2t + 3e6t, y = -@ + 5@ 50. dt2 d2x = 4y + ef 4! = 4x - & dt2 ’ 1 x = cos 2t + sen 2t + -j el, 1 y = - cos 2t -sen 2t - -j et Problemas para discusión 51. a) Forme, cuando menos, dos ecuaciones diferenciales que no tengan soluciones reales. b) Forme una ecuación diferencial cuya solución real única sea y = 0. 52. Suponga que y = C#I(X) es una solución de una ecuación diferencial de orden n, F(x, y, y’, ., yC”‘) = 0, en un intervalo Z. Explique por qué 4, @‘, . . ., c#I(” - *) deben ser continuas en I. 53. Suponga que y = c$(x) es una solución de una ecuación diferencial dyldx = y(a - by), donde a y b son constantes positivas. a) Determine por inspección dos soluciones constantes de la ecuación. b) Use sólo la ecuación diferencial para determinar en el eje y intervalos en que una solución y = c$(x) no constante sea decreciente y los intervalos en que y = $(x) sea creciente. 12 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES c) Use sólo la ecuación diferencial, explique por qué y = a/2b es la ordenada de un punto de inflexión de la gráfica para la solución y = 4(x) no constante. d) En los mismos ejes coordenados trace las gráficas de las dos soluciones constantes que determinó en la parte b), y una gráfica de la solución no constante y = +(x), cuya forma se sugirió en las partes b) y c). 54. La ecuación diferencial y = xy’ +f(y’) se llama ecuación de Clairaut. a) Derive ambos lados de esa ecuación con respecto a x para comprobar que la familia de rectas y = cx +f(c), cuando c es una constante arbitraria, es una solución de la ecuación de Clairaut. b) Con el procedimiento de la parte a), describa cómo se descubre en forma natural una solución singular de la ecuación de Clairaut. c) Determine una familia monoparamétrica de soluciones y una solución singular de la ecuación diferencial y = xy’ + (Y’)~. . PROBLEMAS DE VALOR INICIAL n Problema de valor inicial W Condición inicial W Existencia y unicidad de una solución W Intervalo de existencia W Programas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias Problema de valor inicial A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen ay(x) o a sus derivadas. En algún intervalo Z que contenga a XO, el problema Resolver: Sujeta a: g=f(x,y,y’>...) y’“-1’) Y(Xo) = Yo, Y’(X0) = y,, . ..> (1) y'"-"(Xo) = y,-1, en donde yo, yl, . . . , y,, - 1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n - 1 derivadas en un solo punto xo: y(xo) = yo, y’(x0) = ~1, . . . , y(” - ‘)(xo) = y(, _ 1) se llaman condiciones iniciales. Problemas de valor inicial de primero y segundo orden EI problema emmciado con las ecuaciones (1) también se denomina problema de valor inicial de enésimo orden; por ejemplo, Resolver: Sujeta a: Resolver: 2 =f(xPY,Y'> Sujeta a: Y(XO> = yo, Y’(XO> = Yl (3) Sección 1.2 Problemas de valor inicial 13 son problemas de valor inicial de primero y segundo orden, respectivamente. Son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para las ecuaciones (2) estamos buscando una solución de la ecuación diferencial en un intervalo 1 que contenga a xg, tal que mia curva de solución pase por el punto prescrito (~0, yo) -Fig. 1.3. soluciones de la ecuación diferencial Y l / I (xo, Yo) 1 E l-------I x FIGURA 1.3 Problema de valor iniciol de primer orden Para las ecuaciones (3), deseamos determinar una solución de la ecuación diferencial cuya gráfica no sólo pase por (~0, yo), sino que también pase por ese punto de tal manera que la pendiente de la curva en ese lugar seayl (Fig. 1.4). El término condición inicia2 procede de 10s sistemas físicos en que la variable independiente es el tiempo t y donde y(h) = yo, y y’(h) = y~ representan, respectivamente, la posición y la velocidad de un objeto en cierto momento o tiempo inicial t0. A menudo, la solución de un problema de valor inicial de orden n entraña la aplicación de una familia n-paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada para determinar n constantes especializadas, de tal modo que la solución particular que resulte para la ecuación “se ajuste” (0 satisfaga) a las n condiciones iniciales. soluciones de la ecuación diferencial FIGURA 1.4 Problema de valor iniciol de segundo orden Problema de valor inicial de primer orden Se comprueba fácilmente que y = ce” es una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación y’ = y, de primer orden, en el intervalo ( -OO,-). Si especificamos una condición inicial, por ejemplo, y(O) = 3, al sustituir x = 0, y = 3 en la familia, se determina la constante 3 = ceo = c; por consiguiente, la función y = 38 es una solución del problema de valor inicial y'=y, y(O)=3. Ahora bien, si pedimos que una solución de la ecuación diferencial pase por el punto (1, -2) y no por (0,3), entonces y(l) = -2 dará como resultado -2 = ce; o sea, c = -2e-‘. La función y = -28 - ’ es una solución del problema de valor inicial y’ = y, y(l) = -2. 14 CAPíTULO 1 INTRODUCCbN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES En la figura 1.5 vemos las gráficas de esas dos funciones. FIGURA 1.5 n Soluciones de problemas de valor inicial Problema de valor inicial de segundo orden En el ejemplo 5 de la sección 1.1 vimos que x = CI cos 4t + c2 sen 4r es una familia biparamétrica de soluciones de x” + 16~ = 0. Determinemcs una solución del problema de valor inicial x” + 16~ = 0, +)=-2, x(+. (4) SOLUCIÓN Primero sustituimos x(?r/2) = -2 en la familia dada de soluciones: CI cos 2n + c2 sen 2~ = -2. Como cos 2~ = 1 y sen 27r = 0, vemos que CI = -2. A continuación sustituimos x’(n/2) = 1 en la familia monoparam&rica x(t) = -2 cos 4r + c2 sen 4t. Primero derivamos y después igualamos j = 1rl2 y x’ = 1, y obtenemos 8 sen 21r + 4~2 cos 27~ = 1, con lo que vemos que cz = a; por lo tanto, x = -2 cos 4t + jsen 4t es una solución de (4) n Existencia y unicidad Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales: iExiste una solución al problema? Si la hay, ies única? Para un problema de valor inicial, como el de las ecuaciones (2), lo que se pregunta es: Existencia Unicidad ¿La ecuación diferencial dyldx =f(x, y) tiene so- ¿ Cuándopcdemos estar seguros de que hayprecisamente una curva solución que pasa por el punto (~0, YO)? luciones? iAlguna de las curvas solución pasapor elpunto (XOT YO)? Sección 1.2 Problemas de valor inicial 15 Nótese que en los ejemplos 1 y 2, empleamos la frase “una solución” y no “la soluci6n” del problema. El artículo indefinido se usa deliberadamente para indicar la posibilidad de que existan otras soluciones. Hasta ahora no hemos demostrado que haya *ka solución única para cada problema. El ejemplo siguiente es de un problema de valor inicial con dos soluciones. Un problema de valor inicial puede tener varias soluciones Ambas funciones y = 0 y y = x4/16 satisfacen la ecuación diferencial dyldx = xyi, y la condición inicial y(O) = 0, de modo que el problema de valor inicial dy - = xyln, dx Y(O) = 0 tiene dos soluciones cuando menos. Como vemos en la figura 1.6, las gráficas de ambas funciones pasan por el mismo punto, (0,O). FIGURA 1.6 n Dos soluciones del mismo problema de valor inicial Dentro de los confines seguros de un curso formal de ecuaciones diferenciales, se puede asumir, que la mayor parte de las ecuaciones diferenciales tienen soluciones y que las soluciones de los problemas de valor inicial probablemente sean únicas. Sm embargo, en la vida real las cosas no son tan idílicas. Por consiguiente, antes de resolver un problema de valor inicial es preferible conocer, si existe una solución y, cuando exista, si es la única. Puesto que vamos a manejar ecuaciones diferenciales de primer orden en los dos capítulos siguientes, enunciaremos aqui, sin demostrarlo, un teorema que define las condiciones suficientes para garantizar la existencia y unicidad de una solución a un problema de valor inicial de primer orden, para ecuaciones que tengan la forma de las ecuaciones (2). Solo hasta el capítulo 4 examinaremos la existencia y unicidad de un problema de valor inicial de segundo orden. Existencia de una solución única Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a 5 x I b, c S y 5 d, que coniiánrt d , punto (~0, ya). Si&, y) y @¿ly son continuas en F, entonces existe un intervalo 1, en xg, y una función única, y(x) definida en 1, que satisface el problema de valor in.iok$l expresado por las ecuaciones (2). El resultado anterior es uno de los teoremas más comunes de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden, ya que es bastante fácil comprobar los criterios de continuidad de f(x, y) y afray. En la figura 1.7 podemos ver la interpretacidn geomkrica del teorema 1.1. CAPíTULO 16 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES FIGURA 1.7 Región rectangular R Regreso al ejemplo 3 En el ejemplo anterior vimos que la ecuación diferencial dyldr = xy’” tiene cuando menos dos soluciones cuyas gráficas pasan por (0,O). Al examinar las funciones f(x,y)=xy’n Y $=& se advierte que son continuas en el semiplano superior definido por y > 0; por consiguiente, el teorema 1.1 permite llegar a la conclusión de que para cada punto (xs, yo), yo > 0 de ese semiplano, hay un intervalo centrado en xg en que la ecuación diferencial tiene una solución única. Así, por ejemplo, sin resolverla, sabemos que existe un intervalo centrado en 2 en que el problema de valor inicial dy/dx = ~yr’~, ~(2) = 1, tiene una solución ímica. .: n El teorema 1.1 garantiza que, en el ejemplo 1, no hay otras soluciones de los problemas de valor inicial y’=y, y(O) = 3 y y’ =y, y(l) =-2, aparte dey= 3e”y y=-2eXm1, respectivamente. Esto es consecuencia de quef(x, y) = y y afray = 1 sean continuas en todo el plano xy. También se puede demostrar que el intervalo en que está definida cada solución es (-, -). Intervalo de existencia En la ecuación dyldx =x2 +g, vemos quef(x, y) =x2 + y” y afray = 2y son ambas polinomios en x y y y, por consiguiente, continuas en cualquier punto. En otras palabras, la región R del teorema 1.1 es todo el plano xy; en consecuencia, por cada punto dado (XO, yo) pasa una y sólo una curva de solución. Sin embargo, observemos que esto no significa que el intervalo máximo 1 de validez de una solución de un problema de valor inicial sea, necesariamente, (--, -). El intervalo I no necesita ser tan amplio como la región R. En general, no es posible hallar un intervalo específico Z en que se defina una solución sin resolver la ecuación diferencial (consulte los problemas 18, 19 y 29, en los ejercicios 1.2). Utilerías para solución de ecuaciones ordinarias 0 n ES posible llegar a una repre- sentación gráfica aproximada de una solución de una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales sin tener que obtener una solución explícita o implícita. Para tener esa representación gráfica se necesitan programas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE solver). En el caso de una ecuación diferencial de primer orden como dy/dx =f(x, y), Sección 1.2 Problemas de valor inicial 17 basta darf(x, y) y especificar un valor inicial JJ(Q) = yo. Si el problema tiene una solución, el programa presenta la curva de solución;* por ejemplo, según el teorema 1 .l tenemos la seguridad de que la ecuación diferencial dy dx= -y +senx sólo tiene una solución que pasa por cada punto (XO, yo) del plano xy. La figura 1.8 muestra las curvas de solución generadas con un programa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias que pasan por (-2.5, l), (-1, -l), (0, 0), (0,3), (0, -l), (1, l), (1, -2) y (2.5, -2.5). FIGURA 1.8 Algunas soluciones de y’ = -y + sen x l r i) El lector debe estar consciente de la diferencia entre afirmar que una solución existe y presentar una solución. Es claro que si llegamos a una solución proponiéndola, podemos decir que existe; pero una solución puede existir sin que podamos presentarla. En otras palabras, cuando decimos que una ecuación diferencial tiene solución, esto no sigífica también que exista un método para llegara ella. Una ecuación diferencial puede tener una solución que satisfaga las condiciones iniciales especificadas, pero quizá lo mejor que podamos hacer sea aproximarla. En el capítulo 9 describiremos los métodos de aproximación para las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales que forman la teoría en que se basan los programas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarios. ii) Las condiciones del teorema 1.1 son suficientes pero no necesarias. Cuando f(x, y) y &/+ son continuas en una región R rectangular, siempre se debe concluir que existe una solución de las ecuaciones como las representados en (21, y que es única, siempre que (~0, ~0) sea un punto interior de R. Sin embargo, si no son .válidas las condiciones descritas en la hipótesis del teorema 1.1, puede suceder cualquier cosa: que el problema (2) sigo teniendo uno solución y que esa solución sea única, o que el problema (2) tenga varias soluciones 0 ninguna. En los problemas 1 a 10, determine una región del plano xy para la cual la ecuación diferencial dada tenga una solución única que pase por un punto (xg, yo) en la región. *De aquí en adelante el lector debe recordar que una curva de solución generada por estos programar es upraximuda 18 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A IAS ECUACIONES DIFERENCIALES 5. (4 - yqy = x* 7. (x’ + y2)y’ = y2 9. dy -&=x3cosy 6. (1 + y3)y’ = x2 8. (y - x)y’ = y + x dy = (x - l)eYW) 10. -& En los problemas ll y 12 determine por inspección al menos dos soluciones del problema de valor inicial respectivo. 11. y' = 3y23, y(O) = 0 lz.x2=2y, y(O)=0 En los problemas 13 a 16 determine si el teorema 1.1 garantiza que la ecuación diferencial y’ = 7. J? - 9 tiene una solución única que pase por el punto dado. 13. {1,4) 15. (2, -3) 14. (5, 3) 16. (-1, 1) 17. a) Determine por inspección una familia monoparamhica de soluciones de la ecuacibn diferencial xy’ = y. Compruebe que cada miembro de la familia sea una solución del problema de valor inicial xy’ = y, y(O) = 0. b) Explique la parte a) determinando una región R del plano xy, para la que la ecuación diferencial xy’ = y tenga solución única que pase por un punto (xg, yo) de R. c) Compruebe que la función definida por tramos Y= 0, xco 1 X, xro satisfaga la condición y(O) = 0. Determine si la función tambih es una solución del problema de valor inicial en la parte a). 18. a) Para la ecuación diferencial y’ = 1 + y”, determine una región R, del plano xy, para la cual la ecuación diferencial tenga solución única que pase por un punto (xg, yo) en R. b) Demuestre que y = tan x satisface la ecuación diferencial y la condición y(O) = 0; pero explique por qué no es solución del problema de valor inicial y’ = 1 + g, y(O) = 0 en el intervalo (-2, 2). c) Determine el mayor intervalo I de validez, para el que y = tan x sea una solución del problema de valor inicial en la parte b). 19. a) Compruebe que la ecuación diferencial y’ = g tiene solución tica que pasa por cualquier punto (xg, yo) del plano xy. b) Con un programa ODE solver obtenga la curva de solución que pasa por cada uno de los siguientes puntos: (0, 0), (0,2), (1,3), (-2,4), (0, -1.5) y (1, -1) con una utileria. c) Use las gráficas que obtuvo en la parte b) a fin de conjeturar el intervalo Z máximo de validez para la solución de cada uno de los siete problemas de valor inicial. 20. a) Para la ecuación diferencial y’ = x/y determine una región R del plano xy para la cual la ecuación diferencial tenga solución única que pase por un punto (xg, yo) en R. ’ Sección 1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemtrticas 19 b) Use un programa ODE solver para determinar las curvas de solución de varios problemas de valor inicial para (xg, yo) en R. c) Con los resultados de la parte b), conjeture una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial. En los problemas 21 y 22 utilice el hecho de que y = l/( 1 + cr e-“) es una familia monoparamétrica de soluciones de y’ = y - yz, para determinar una solucion del problema de valor inicial formado por la ecuación diferencial y la condición inicial dada. 21. y(O) = - $ 22. y(-1) = 2 En los problemas 23 a 26 use el hecho de que y = cre’ + c2e-’ es una familia biparamétrica de soluciones dey” - y = 0, para llegar a una solución del problema de valor inicial formado por la ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas. 23. y(O) = 1, y’(O) = 2 25. y(-1) = 5, y’(-1) = -5 24. y(l) = 0, y’(l) = e 26. y(O) = 0, y’(O) = 0 Problemas para discusión 27. Suponga que& y) satisface las hipótesis del teorema 1.1 en una región rectangular, R, del plano xy. Explique por que dos soluciones distintas de la ecuación diferencial y’ =f(x, y) no se pueden intersectar ni ser tangentes entre sí en un punto (xc, ya) en R. 28. El teorema 1.1 garantiza que sólo hay una solución de la ecuación diferencial y’ = 3~~‘~ cos x que pase por cualquier punto (xc, yo) especificado en el plano xy. El intervalo de existencia de una solución depende de la condición inicial y(x0) = yo. Use la famila monoparam&rica de soluciones y = l/(c - sen x)~ para determinar una soluci6n que satisfagay = 1/8. Determine una solución que satisfaga y(?r) = 8. Con esas dos soluciones forme una base para razonar sobre las siguientes preguntas: a partir de la familia de soluciones dada, ¿cuándo cree que el intervalo de existencia del problema de valor inicial sea un intervalo finito? ¿Cuándo es un intervalo infinito? LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEtiTICOS n n n Modelo matemático n Nivel de resolución de un modelo n Segunda ley de Newton del movimiento Segunda ley de Kirchhof m Sistema dinámico H Variables de estado n Estado de un sisrema Respuesta de un sistema %ah+a-wd~ E n esta sección nos concentraremos en la formulación de ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos. Una vez examinados algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales, en los capítulos 2 y 4, regresaremos y resolveremos algunos de esos modelos en los capítulos 3 y 5. Modelo matemático Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algíin sistema o fenómeno de la vida real en términos maternaticos; dicho sistema puede ser físico, <, 20 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba. La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia: i) Mediante la identifcación de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especifìcamos el nivel de resolución del modelo. A continuación, ii) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema. Para algunos fines quizá baste contar con modelos de baja resolución; por ejemplo, en los cursos básicos de física el lector habrá advertido que al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra, se hace caso omiso de la resistencia del aire. Pero si el lector es un científico cuyo objeto es predecir con exactitud la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deberá tener en cuenta la resistencia del aire y demás factores, como la curvatura de la Tierra. Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más de las variables, el enunciado metemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado un modelo matemático (sea una ecuación diferencial o un sistema de ellas), llegamos al problema de resolverlo, que no es fácil en modo alguno. Una vez resuelto, comprobamos que el modelo sea razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en la solución son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado (Fig. 1.9). Al aumentar la resolución, aumentamos la complejidad del modelo matemático y la probabilidad de que debamos conformarnos con una solución aproximada. I Resolver las ecuaciones diferenciales I Si es nekesario, modifkar las hipótesis 0 aumentar la resolución del modelo Mostrar las predicciones del modelo, por ejemplo, en forma gráfica l FIGURA 1.9 Sección 1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 21 Con frecuencia, el modelo matemático de un sistemafsico inducirá la variable t, el tiempo. En este caso, una solución del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, para valores adecuados de t, los valores de la o las variables dependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro. Crecimiento y decaimiento Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798. En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar dP dtmp 0 sea 5 = kP, (1) donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (1) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos. El núcleo de un átomo está formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables; esto es, los átomos se desintegran, o se convierten en átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos; por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas radón, Rn 222, también radiactivo. Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con más precisión, el número) de núcleos, A(t), de la sustancia que queda cuando el tiempo es t (o en el momento t): aT4 -FA 0 sea $=kA. (2) Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica en la interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, como cabe esperar en (l), k > 0, y en el caso de la desintegración, en (2), k < 0. El modelo de desintegración (2) también se aplica a sistemas biológicos; por ejemplo, la determinación de la “vida media” o “periodo medio” de una medicina. Nos referimos al tiempo que tarda el organismo en eliminar 50% de ella, sea por excreción o metabolización. Veremos el mismo modelo básico de (1) y (2) en un sistema económico. Capitalización continua del interés El interés que gana una cuenta de ahorros, a menudo se capitaliza o se compone trimestralmente o hasta mensualmente. No hay razón para detenerse en esos intervalos; el interés también podría componerse cada día, hora, minuto, segundo, medio segundo, microsegundo, etcétera; es decir, se podría componer continuamente. Para modelar el concepto de la composición continua del interés supongamos que S(t) es la cantidad de dinero acumulada en una cuenta de ahorros al cabo de t años, y que r es la tasa de interés anual, compuesto continuamente. Si h > 0 representa un incremento en el tiempo, el 22 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES interés que se obtiene en el intervalo (t + h) - t es igual a la diferencia entre las cantidades acumuladas: S(t + h) - S(t). (3) Dado que el interés está definido por (tasa) x (tiempo) x (capital inicial), podemos determinar el interés ganado en ese mismo intervalo mediante AS(t), o también mediante rhS(t + h). (4) Vemos intuitivamente que las cantidades en (4) son las cotas inferior y superior, respectivamente, del interés real en la expresión (3); esto es, rhS(t) 5 S(t + h) - S(t) S rhS(t + h) rs(t) 5 ‘(’ + h, - ‘(‘) I rS(t + h). (5) h Como queremos que h sea cada vez menos, podemos tomar el límite de (5) cuando h + 0: Y de este modo se debe cumplir lím s(t + 4 - W = rS(t) h+O h 0 sea TE = rs dt ’ (6) Lo esencial de haber escrito las ecuaciones (l), (2) y (6) en este ejemplo es: Una sola ecuación diferencial puede ser modelo matemático de muchos fenómenos distintos. Con frecuencia, los modelos matemáticos se acompañan de condiciones definitorias; por ejemplo, en las ecuaciones (l), (2) y (6) cabría esperar conocer una población inicial, Po, una cantidad inicial de sustancia, As, disponible, y un saldo inicial, SO, respectivamente. Si el tiempo inicial se define como I = 0, sabemos que P(O) = PO, que A(O) = AO y que S(O) = SO. En otras palabras, un modelo matemático está formado por un problema de valor inicial, o también (como veremos en la sección 5.2) por un problema de valores en la frontera. Reacciones químicas La desintegración de una sustancia rediactiva, caracterizada por la ecuación diferencial (l), es una reacción de primer orden. En química hay algunas reacciones que se apegan a la siguiente ley empírica: si las moléculas de la sustancia A se descomponen y forman moléculas más pequeñas, es natural suponer que la rapidez con que se lleva a cabo esa descomposición es proporcional a la cantidad de la sustancia A que no ha sufrido la conversión; esto es, si X(r) es la cantidad de la sustancia A que queda en cualquier momento, entonces dxldt = kx, donde k es una constante negativa (porque X es decreciente). Un ejemplo de una reacción química de primer orden es la conversión del cloruro de t-butilo (cloruro de terbutilo) para formar alcohol t-butílico: kción 1.3 (CHs)sCCl Las ecuaciones diferenciales + NaOH + (CHs)sCOH como modelos matemáticos 23 + NaCI La rapidez de la reacción está determinada tan sólo por la concentración del cloruro de terbutilo. Ahora bien, en la reacción CH&1 + NaOH -+ CHsOH + NaCl, por cada molécula de cloruro de metilo se consume una molécula de hidróxido de sodio para formar una molécula de alcohol metílico y una de cloruro de sodio. En este caso, la razón con que avanza la reacción es proporcional al producto de las concentraciones de CHsCl y NaOH que quedan. Si X representa la cantidad de CHsOH que se forma, y a y b son las cantidades dadas de las dos primeras sustancias, A y B, las cantidades instantáneas que no se han convertido en C son a! - X y B - X, respectivamente; por lo tanto, la razón de formación de C está expresada por 5 = k(a - X)(P - X), (7) donde k es una constante de proporcionalidad. Una reacción cuyo modelo es la ecuación (7) se denomina reacción de segundo orden. Diseminación de una enfermedad Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa -la gripe, por ejemplo-, es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no sólo es proporcional a la cantidad de personas, x(r), que la han contraído en el momento t, sino también a la cantidad de sujetos, y(t), que no han sido expuestos todavía al contagio. Si la tasa es dxldt, entonces donde R es la acostumbrada constante de proporcionalidad. Si, por ejemplo, se introduce una persona infectada en una población constante de n personas, entonces x y y se relacionan mediante x + y = n + 1. Usamos esta ecuación para eliminar y en la ecuación (8) y obtenemos el modelo $=kx(n+ 1 -x) (9) Una condición inicial obvia que acompaña a la ecuación (9) es x(O) = 1. Ley de Newton del enfriamiento Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto en el momento t, T,,, es la temperatura constante del medio que lo rodea y dT/dt es la rapidez con que se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático %+T m dt 0 sea $$ = k(T - T,,,), 24 CAPiTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES en donde k es una constante de proporcionalidad. Como supusimos que el objeto se enfría, se debe cumplir que T > T,,,; en consecuencia, lo lógico es que k < 0. Mezclado Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla. Supongamos que un tanque mezclador grande contiene 300 galones de agua, en donde se ha disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a una tasa de 3 galones por minuto. El contenido se agita perfectamente, y es desalojado a la misma tasa (Fig. 1.10). Si la concentración de la solución que entra es 2 libras/galón, hay que formar un modelo de la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento. 300 gal, constante FIGURA 1.10 Sea A(t) la cantidad de sal (en libras) en el tanque en cualquier momento t. En este caso, la rapidez con qxe cambia A(r) es la tasa neta: = R, _ K 2 (11) Ahora bien, la razón, RI, con que entra la sal al tanque, en lb/min, es RI = (3 gal/min) . (2 lb/gal) = 6 lb/min, mientras que la razón, R2, con que sale la sal es Rz = (3 gal/min) . Entonces, la ecuación (ll) se transforma en $=6-&. Vaciado de un tanque (121 En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad v de eflujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este Sección 1.3 Las ecuaciones, diferenciales como modelos matemáticos 25 caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v = 112gh, donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, $TI$, con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Queremos determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque (Fig. 1. ll) en el momento t. FIGURA 1.11 Si el área transversal del agujero es Ao, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale del tanque es v = &@, en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es Ao 16& en pies cúbicos por segundo. Así, si V(r) representa al volumen del agua en el tanque en cualquier momento t, dV -= -A, k!@i, df (13) donde el signo menos indica que Y está disminuyendo. Obsérvese que no tenemos en cuenta la posibilidad de fi-icción en el agujero, que podría causar una reducción de la tasa de flujo. Si el tanque es tal que el volumen del agua en cualquier momento t se expresa como V(f) = A, h, donde A, son los pies cuadrados (ft2) de área consfanfe del espejo (la superficie superior) del agua (Fig. 1.1 l), dV/df = A, dhldf. Sustituimos esta última expresión en la ecuación (13) y llegamos a la ecuación diferencial que deseábamos para expresar la altura del agua en cualquier momento f: dh - - q l . dt= A, Es interesante observar que la ecuación (14) es válida aun cuando A, no sea constante. En este caso, debemos expresar el área del espejo del agua en función de h: A, = A(h). Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo dentro de un campo de fuerzas, con frecuencia se comienza con la segunda ley de Newton. Recordemos que en física elemental, la primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo quedará en reposo o continuará moviéndose con velocidad constante, a menos que sea sometido a una fuerza externa. En los dos casos, esto equivale a decir que cuando la suma de las fuerzas wk --o sea, la fuerza neta o resukante- que actúan sobre el cuerpo es cero, la akeleración a del cuerpo es cero. La segunda ley del movimiento de Newton indica que cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, la fuerza neta es proporcional a su aceleración a; con más propiedad, mk = ma, donde m es la masa del cuerpo. Segunda ley de Newton del movimiento 26 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Caída libre Supongamos ahora que se arroja una piedra hacia arriba, desde la azotea de un edificio. iCuál es su posición en el momento r? Como se ve en la figura 1.12, consideremos que su posición respecto al suelo es s(t). La aceleración de la piedra es la segunda derivada, d%ld?. Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva, que la masa de la piedra es m y que no hay otra fuerza, además de la de la gravedad (g), actuando sobre la piedra, la segunda ley de Newton establece que d=s “z = -mg osea - =d=s- g . d? Donde g es la aceleración de la gravedad y mg es el peso de la piedra. Se usa el signo menos porque el peso de la piedra es una fuerza que se dirige hacia abajo, opuesta a la dirección positiva. Si la altura del edificio es SO y la velocidad inicial de la piedra es VO, s queda determinada mediante el problema de valor inicial d2s s= -¿T, 40) = so> s’(O) = uo. piso FIGURA 1.12 Aunque no hemos estudiado las soluciones de las ecuaciones que hemos formulado, vemos que la ecuación (16) se puede resolver integrando dos veces la constante -g con respecto a t. Las condiciones iniciales determinan las dos constantes de integración. Caída de los cuerpos y resistencia del aire En ciertas circunstancias, un cuerpo que cae, de masa m, se encuentra con una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea, v. En este caso, si consideramos que la dirección positiva es hacia abajo, la fuerza neta que actúa sobre la masa es mg - kv, en que el peso, mg, del cuerpo es una fuerza que actúa en dirección positiva y la resistencia del aire, en dirección contraria -esto es, hacia arribao dirección positiva. Ahora bien, como v se relaciona con la aceleración a mediante a = dvldt, la segunda ley de Newton se enuncia como F = ma = m dvldt. Al igualar la fuerza neta con esta forma de la segunda ley, obtenemos una ecuación diferencial de la velocidad del cuerpo en cualquier momento: m$=mg-kv. En este caso, k es una constante de proporcionalidad positiva. (17) Sección 1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 27 Circuitos en serie Examinemos el circuito en serie simple que contiene un inductor, un resistor y un capacitar (Fig. 1.13). En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se representa con i(r) y la carga en el capacitar, cuando el tiempo es t, la corriente 1 se denota con q(t). Las letras L, C y R son constantes denominadas inductancia, capacitancia y resistencia, respectivamente. Según la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje E(t) a través de un circuito cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje en el mismo. La figura 1.13 también muestra los símbolos y fórmulas de las caídas respectivas de voltaje a través de un inductor, un capacitar y un resistor. Como la corriente i(t) se relaciona con la carga q(t) en el capacitar mediante i = dqldt, sumamos las caídas de voltaje inductor = L 4 = d2q dt dr? resistor = iR = R 2 C (4 Resistor: resistencia R: ohms (fl) caída de voltaje: iR +t----c (b) FIGURA 1.13 28 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES capacitar = i 4 e igualamos la suma al voltaje total para llegar a la ecuación diferencial de segundo orden LSR L-L+1 = E (t). dt Cq d? En la sección 5.1 examinaremos con detalle una ecuación diferencial análoga a la (18). ejemplo de esta sección describió un sistema dinámico; esto es, uno que cambia o evoluciona al paso del tiempo t. Como el estudio de los sistemas dinámicos es una rama de las mateniáticas de moda en la actualidad, a veces usaremos la terminología de esa rama con nuestras descripciones. En términos más precisos, un sistema dinámico consiste en un conjunto de variables Cada dependientes del tiempo, que se llaman variables de estado, más una regla que permite determinar (sin ambigüedades) el estado del sistema (que puede ser pasado, presente o futuro) en términos de un estado especificado en cierto momento to. Los sistemas dinámicos se clasifican como sistemas discretos o continuos en el tiempo, o de tiempos discretos o continuos. En este libro sólo nos ocuparemos de los sistemas dinámicos continuos en el tiempo, que son aquellos en que todas las variables están definidas dentro de un intervalo continuo de tiempo. La regla o modelo matemático en un sistema de éstos es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales. El estado del sistema en el momento t es el valor de las variables de estado en ese instante; el estado especificado del sistema en el instante to es, tan sólo, el conjunto de condiciones iniciales que acompañan al modelo matemático. La solución de un problema de valor inicial se llama respuesta del sistema; por ejemplo, en el caso de la desintegración radiactiva, la regla es dA/dt = ti. Ahora, si se conoce la cantidad de sustancia radiadiva en cierto instante to, y es, por ejemplo, A(to) = Ao, entonces, al resolver la regla se ve que la respuesta del sistema cuando t 2 t. es A(t) = A,#-‘J (Sec. 3.1). Esta solución es única y A(t) es la variable única de estado para este sistema. En el casdde la piedra arroiada desde la azotea de un edificio, la respuesta del sistema es la solución a la ecuación diferencial dsld? = -g, sujeta al estado inicial s(O) = so, s’(O) = vo, y es la conocida fórmula s(t) = - 1 gt’ + vd + so, 0 I t I T, en donde T representa el valor del tiempo en que la piedra llega al suel%. Las variables de estado son s(t) y s’(t), la posición y la velocidad verticales de la piedra, respectivamente. Obsérvese que la aceleración, s”(t), no es una variable de estado parque basta conocer cualquier posición y velocidad iniciales en el momento t. para determinar, en forma única, la posición, s(t), y la velocidad, s’(t) = v(t), de la piedra en cualquier momento del intervalo t. I t I T. La aceleración, s”(t) = a(t), en cualquier momento está definida por la ecuación diferencial s”(t) 7 -g, 0 < t < T. Ultima observación: no todo sistema que se estudia en este libro es un sistema dinámico. También revisaremos algunos sistemas estáticos en que el modelo es una ecuación diferencial. UERC/C/OS 1.3 1 . Con base en las hipótesis del modelo de la ecuación (l), determine una ecuación diferencial que describa la población, P(t), de un país, cuando se permite una inmigración de tasa constante r. Sección 1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 29 2 . El modelo descrito por (1) no tiene en cuenta la tasa de mortalidad; esto es, el crecimiento demográfico es igual a la tasa de natalidad. En otro modelo de población variable en una comunidad se supone que la tasa de cambio de la población es una tasa neta; o sea, la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad. Formule una ecuación diferencial que describa la población P(C), si las tasas de natalidad y mortalidad son proporcionales a la población presente en cualquier momento 1. 3 . Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un flujo constante de r g/s. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con una razón proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier momento t. Formule una ecuación diferencial que describa la cantidad x(t). 4. En el momento t = 0, se introduce una innovación tecnológica en una comunidad de n personas, cantidad fija. Proponga una ecuación diferencial que describa la cantidad de individuos, x(t), que hayan adoptado la innovación en cualquier momento t. 5 . Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galones de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras de sal. Al tanque entra agua pura con un flujo de 3 gal/min y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque cuando el tiempo es t. 6 . Suponga que un tanque grande de mezclado contiene al principio 300 galones de agua, en los que se han disuelto 50 Ib de sal. Al tanque entra otra sahnuera a un flujo de 3 gal/mLn y, estando bien mezclado el contenido del tanque, salen tan sólo 2 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es 2 lb/gal, deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad de sal, A(r), que hay en el tanque cuando el tiempo es t. 7 . Por un agujero circular de área&, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a CAO@, donde 0 < c < 1. Deduzca una ecuación diferencial que exprese la altura h delagua en cualquier momento t, que hay en el tanque cúbico de la figura 1.14. El radio del agujero es 2 in y g = 32 fI/s2. FIGURA 1.14 8 . Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto, de 2 ft de radio y 10 ft de altura, parado sobre una de sus bases. Al principio, el tanque está lleno de agua y ésta sale por un agujero circular de f in de radio en el fondo. Con la información del problema 7, formule una ecuación diferencial que exprese la altura h del agua en cualquier momento t. 9. Un circuito en serie tiene un resistor y un inductor (Fig. 1.15). Formule una ecuación diferencial para calcular la corriente i(t), si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje aplicado es E(t). 1 0 . Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitar (Fig. 1.16). Establezca una ecuación diferencial que exprese la carga q(t) en el capacitar, si la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicado es E(t). ll. En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad que que& por memorizar. Suponga que Mrepresenta la cantidad 30 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES FIGURA 1.15 FIGURA 1.16 total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es t. Deduzca una ecuación diferencial para determinar la cantidad A(r). 12. Con los datos del problema anterior suponga que la cantidad de material olvidado es proporcional a la cantidad que se memorizb cuando el tiempo es t. Formule una ecuación diferencial para A(t), que tome en cuenta los olvidos. 13. Una persona P parte del origen y se mueve en la dirección positiva del eje x, tirando de una carga que se mueve a lo largo de la curva C. Esa curva se llama tractriz (Fig. 1.17). La carga, que al principio se hallaba en el eje y, en (0, s), está en el extremo de la cuerda de longitud constantes, que se mantiene tensa durante el movimiento. Deduzca la ecuación diferencial para definir la trayectoria del movimiento (o sea, la ecuación de la tractriz). Suponga que la cuerda siempre es tangente a C. 14. Cuando un cuerpo -como el del paracaidista que se ve en la figura 1.18 antes de que se abra el paracaídas- se mueve a gran velocidad en el aire, la resistencia del mismo se describe mejor con la velocidad instantánea elevada a cierta potencia. Formule una ecuación diferencial que relacione la velocidad V(C) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. (0,s) ’ mg P FIGURA 1.17 x ’ e FIGURA 1.18 15. Cuando se fija una masa m a un resorte, éste se estira s unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio que muestra la figura 1.19b). Al poner en movimiento el sistema resorte y masa, sea X(T) la distancia dirigida desde el punto de equilibrio hasta la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una línea recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa. También suponga que las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso mg de la masa y la fuerza de restauración del resorte alargado que, según la ley de Hooke, es proporcional a su alargamiento total. Deduzca una ecuación diferencial del deplazamiento x(t) en cualquier momento t. Sección 1.3 Los ecuaciones diferenciales como modelos matemóticas 31 0 .x=o 0 deequilibrio (4 (b) m B (c) -1 FIGURA 1.19 16. En el agua Bota un barril cilíndrico de s ft de diámetro y w Ib de peso. Después de un hundimiento inicial, su movimiento es oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, en línea vertical. Gui&ndose por la figura 1.20b), deduzca una ecuación diferencial para determinar el desplazamiento vertical y(t), si se supone que el origen esta en el eje vertical y en la superficie del agua cuando el barril esta en reposo. Use el principio de Arquimedes, el cual dice que la fuerza de flotación que ejerce el agua sobre el barril es igual al peso del agua que desplaza éste. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva, que la densidad del agua es 62.4 Ib/ft3 y que no hay resistencia entre el barril y el agua. 17. Como vemos en la figura 1.21, los rayos luminosos chocan con una curva C en el plano, de tal manera que todos los rayos L paralelos al eje x se reflejan y van a un punto único, 0. Suponga que el &ulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión y deduzca una ecuación diferencia1 que describa la forma de la curva C. [Sugerencia: al examinar la figura vemos que se puede escribir 4 = 28. ¿Por qué? A continuación use la identidad trigonomb trica adecuada.] m SI2 - -- -%L i 'CO 1 , I I.$J $ (al tangente fb SI2 - - - -0 --- )YW -- -(b) FIGURA 1.20 FIGURA 1.21 32 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A IAS ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas para discusión 18. La ecuación diferencial z=(k cos t) P, en que k es una constante positiva, modela la población humana, P(t), de cierta comunidad. Proponga una interpretación de la solución de esta ecuación; en otras palabras, ¿qué tipo de población (en cuanto a cantidad) describe esta ecuación diferencial? 19. Una gran bola de nieve tiene forma de esfera. A partir de determinado momento, que podemos identificar como t = 0, comienza a fundirse. Para fines de discusión, suponga que la fusión es de tal manera que la forma permanece esférica. Comente las cantidades que cambian con el tiempo durante la fusión. Describa una interpretación de la “fusión” como una rapidez. Si es posible, formule un modelo matemático que describa el estado de la bola de nieve en cualquier momento t > 0. 20. A continuación veamos otro problema con la nieve: el “problema del quitanieves”. Se trata de un clásico que aparece en muchos textos de ecuaciones diferenciales y fue inventado por Ralph Palmer Agnew. Un día comenzó a nevar en forma intensa y constante. Un quitanieves comenzó a medio día, y avanzó 2 millas la primera hora y 1 milla la segunda. iA qué hora comenzó a nevar? El problema se encuentra en DQ@rential Equations, por Ralph Palmer Agnew (McGrawHill Book Co.). Describa la construcción y solución del modelo matemático. 21. Suponga que se perfora un agujero que pasa por el centro de la Tierra y que por él se deja caer un objeto de masa m (Fig. 1.22). Describa el posible movimiento de la masa. Formule un modelo matemático que lo describa. Sea r la distancia del centro de la Tierra a la masa, en el momento t, y Mla masa de la Tierra. Sea M, la masa de la parte de la Tierra que está dentro de una esfera de radio r, y sea 6 la densidad constante de la Tierra. superficie FIGURA 1.22 22. Una taza de café se enfría obedeciendo a la ley de Newton del enfriamiento (Ec. 10). Con los datos de la gráfica de la temperatura T(t), figura 1.23, calcule T,,,, TO y k, con un modelo de la forma $=k(~-T,), T(O) = To. Sección 1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 33 t (minutos) FIGURA 1.23 Sin consultar el texto, conteste los problemas 1 a 4. Llene el espacio en blanco o conteste cierto/falso. 1 . La ecuación diferencial y’ = 1/(25 - I? - 9) tiene solución única que pasa por cualquier punto (xg, ys) en la o las regiones definidas por . 2 . El problema de valor inicial xy’ = 3y, y(O) = 0 tiene las soluciones y = x3 y . 3 . El problema de valor inicial y’ =yln,y(0) = 0 no tiene solución, porque afray es discontinua en la recta y = 0. 4 . Existe un intervalo centrado en 2, en que la solución única del problema de valor inicial y’=(y- 1)3,y(2)= 1 esy= 1. En los problemas 5 a 8 mencione el tipo y el orden de la ecuación diferencial respectiva. En las ecuaciones diferenciales ordinarias mencione si son lineales o no. -y,’ 6. (senxy)y”’ + 4xy’ = 0 .) : Lar ” 5. (2xy - y’) dx + ex dy = 0 ir ‘?) ;s -, I .> 7 -u+!?Lu * ax2 ay* 8. x2$3x$+y=x2 ! , ., <: , ’ * ’ . , . Ll c -3 1 e.. a:jo En los problemas 9 a 12 compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuacion diferencial respectiva. 9.y’+2xy=2+x2+y2; 10. x2yv -t xy’ + y = 0; y=x+tanx,-z<x<: y = c1 cos(ln x) + c2sen(ln x), x > 0 ll. y “’ - 2y” - y’ + 2y = 6; y = clex + c2emx f c3ez’ + 3 12. yt4) - 16y = 0; y = sen 2x + cosh 2x 34 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN A IAS ECUACIONES DIFERENCIALES En los problemas 13 a 20, determine por inspección al menos una solución de la ecuacibn diferencial dada. 13. y’ = 2x 14. ” = 5y 15. y” = 1 16. y’ = y3 - 8 17. y” = y’ 18. 2yz= 1 19. y” = -y 20. y” = y 21. Determine un intervalo en el cual 4 - 2~ = x* - x - 1 defina una solución de 20, - 1)dy + (1 - 2X)dX = 0. 22. Explique por qué la ecuación diferencial no tiene soluciones reales cuando 1x1 < 2, bl > 2. ¿Hay otras regiones del plano xy donde la ecuación no tenga soluciones? 23. El tanque cónico de la figura 1.24 pierde el agua que sale de un agujero en su fondo. Si el área transversal del agujero es $ de ftz, defina una ecuación diferencial que represente la altura h del agua en cualquier momento. No tenga en cuenta la fricción ni la contracción del chorro de agua en el agujero. 24. Un peso de 96 Ib resbala pendiente abajo de un plano inclinado que forma un ángulo de 30” con la horizontal. Si el coeficiente de fricción dinámica es p, deduzca una ecuación diferencial para la velocidad, v(t), del peso en cualquier momento. Aplique el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al movimiento es @, donde N es la componente del peso normal al plano inclinado (Fig. 1.25). 25. De acuerdo con la ley de Newton de la gravitación universal, la aceleración a de caída libre de un cuerpo (como el satélite de la figura 1.26) que cae una gran distancia hacia la superficie no es la constante g. Más bien, esa aceleración, que llamaremos a, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al centro de la Tierra, a = k/?, donde k es la constante de proporcionalidad. a) Emplee el hecho de que en la superficie de la Tierra, r = R y a = g, para determinar la constante de proporcionalidad R. 8ft fricción R FIGURA 1.24 FIGURA 1.25 Sección 1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 35 satélite RliI w=mg+ 7 superficie I r R ,‘1 ., : i 11 ; M . FIGURA 1.26 b) Aplique la segunda ley de Newton y el resultado de la parte a) para deducir una ecuación diferencial para la distancia r. c) Aplique la regla de la cadena en la forma -d2rE d- vz dbdr - dr dt d? dt para expresar la ecuación diferencial de la parte b) en forma de una ecuación diferencial donde intervengan v y dvldr. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 2.1 Variables separables 2.2 Ecuaciones exactas 2.3 Ecuaciones lineales 2.4 Soluciones por sustitución Ejercicios de repaso ‘0) -Ya podemos resolver algunas ecuaciones diferenciales. Comenzaremos con las de primer orden y veremos cómo hacerlo; el método dependerá del tipo de ecuación. A través de los años, los matemáticos han tratado de resolver muchas ecuaciones especializadas. Por ello hay muchos métodos; sin embargo, lo que funciona bien con un tipo de ecuación de primer orden no necesariamente se aplica a otros. En este capítulo nos concentraremos en tres tipos de ecuaciones de primer orden. 36 I sección VARIABLES n n 2.1 Variables separables 3’7 SEPARABLES Solución por integración n Definición de una ecuación diferencial separable Método de solución n Pérdida de una solución n Formas alternativas Con frecuencia, para resolver las ecuaciones dikrenciales se tendrá que integrar y quizá la integración requiera alguna técnica especial. Convendrá emplear algunos minutos en un repaso del texto de cálculo, o si se dispone de un SAC {sistema algebraico de computación: computer algebra sysfem), repasar la sintaxis de los comandos para llevar a cabo las integraciones básicas por partes o fracciones parciales. Solución por integración Comenzaremos nuestro estudio de la metodología para resolver ecuaciones de primer orden, dy/dx =f(x, y), con la más sencilla de todas las ecuaciones diferenciales. Cuandofes independiente de la variable y -esto es, cuandof(x, y) = g(x)- la ecuación diferencial se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de (1) se llega a la solución y = f g(x) dx = G(x) + c, en donde G(x) es una antiderivada (o integral indefinida) de g(x); por ejemplo, Si dY z = 1 + e2x entonces y= f (1 + ezx) dx = x + i e21 + c. La ecuación (l), y su método de solución, no son más que un caso especial en quef, en dyldx =f(x, y) es un producto de una función de x por una función dey. 38 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Obsérvese que al dividir entre la función he), una ecuación separable se puede escribir en la forma P(Y) g = g(x), (2) donde, por comodidad,p(y) representa a l/h(y). Así podemos ver de inmediato que la ecuación (2) se reduce a la ecuación (1) cuando h(y) = 1. Ahora bien, si y = 4 (x) representa una solución de (2), se debe cumplir Pero dy = +‘(x) dx, de modo que la ecuación (3) es lo mismo que J-PWdY = J-&)~ en donde H(y) y G(x) son antiderivadas H(y) = G(x) + c, 0 (4) de p(y) = l/h(y) y de g(x), respectivamente. Método de solución La ecuación (4) indica el procedimiento para resolver las ecuaciones separables. Al integrar ambos lados dep(y) dy = g(x) u!x se obtiene una familia monoparamétrica de soluciones, que casi siempre se expresa de manera implícita. Na hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación separable, porque si escribimos Z-I(~) + CI = G(X) + ~2, la diferencia c2 - CI se puede reemplazar con una sola constante c, como en la ecuación (4). En muchos casos de los capítulos siguientes, sustituiremos las constantes en la forma más conveniente para determinada ecuación; por ejemplo, a veces se pueden reemplazar los múltiplos o las combinaciones de constantes con una sola constante. W~ción de una ecuación direncial separable Resolver (1 + x) dy -y a!x = 0. SOLUCIÓN Dividimos entre (1 + x)y y escribimos dyly = Q!x/( 1 + x), de donde lnj yl = InI1 + XI + cl y = elnll+xl+c, = elnll+xl . & = Il + x(& = 2 ecl(l + x). t leyes de los exponentes )l+xl=-(l+x),x<-1 Definimos c como tic’, con lo que llegamos ay = c(l + x). Sección 2.1 Variables separables 39 SOLUCIÓN Como cada integral da como resultado un logaritmo, la elección ALTERNATIVA más prudente de la constante de integración es lnlcl, en lugar de c: lnbl = InI1 + XI + lnlcl, y entonces o bien lnbl ) = lnlc(1 + x)l, y = c(1 + x). Aun cuando no todas las integrales indefinidas sean logaritmos, podría seguir siendo más conveniente usar lnlcl. Sin embargo, no se puede establecer una regla invariable. n Problema de valor inicial Resolver el problema de valor inicial $=i SOLUCIÓN Partimos dey dr = -x & para obtener /ydy=+dx y ‘2’=-;+cl. Esta solución se puede escribir en la forma x2 + y’ = c?, si sustituimos la constante 2cl con c2. Vemos que la solución representa una familia de círculos concéntricos. Cuando x = 4, y = 3, de modo que 16 + 9 = 25 = 2. Así, el problema de valor inicial determina que x2 + J? = 25. De acuerdo con el teorema 1.1, podemos concluir que, es el ímico círculo de la familia que pasa por el punto (4,3) (Fig. 2.1). n FIGURA 2.1 Se debe tener cuidado al separar las variables porque los divisores variables podrían ser cero en algún punto. Como veremos en los dos ejemplos siguientes, en ocasiones se puede perder una solución constante mientras resolvemos un problema. Consúltese también el problema 58, en los ejercicios 2.1. Pérdida de una solución Resolver xy4 h + (3 + 2)em3”dy = 0. (5) z+k *+ = Z-ñ p2 Á sornauaiqo Á ¿Z+ñ y z3 + xp = Fñ l / ~~~~+x=(z-x~uI~+(z+x(u~~xp=ñp anb oporu ap z-x+z+x WI- 1 [ PII samows *op.xambz! opal Ia ua salymd sauoicmg ap opogxu Ia sou.maIdtua X mIl0J lqeu~p??tna "1 SOUII3Wd NQDfllOS ‘z- = (o)k ‘p - 8 = $ ~apv! .~OIEA ap etualqoid Ia layosax L n ID?!ll! JOIDA i3p DlUalqOJd ‘(L) uopmDa EI auyap anb sauoptyos ap ownfuo:, lap o.rqmaInr un sa ou olad ‘(s) u~pama EI ap apauo:, ugmlos mn sa 0 = k anb asaA.x?sq() ‘136 awt3$suo:, I?I B +hJ!lSnS 3 apuop ua ‘3 + $ + g = (1 - x&a I?~~OJ al ua nqpcxa apand as uyquml sauo!mlos ap ecygmemdouom eg!um~ el .r3=,_XE-,_X-.Ea6-.,ax2 2 1 1 (9) ‘0 = LP (,kz + z29 + XP .p sowaua)qo eas 0 4 ax + oo!lll.l~~ e oo!m.l+q oq!s!A!p o=kpz+& +xpxE #I awa e~.up+!p Á XEa lod u~~cwn~a al msgdplnw IV N3CklO U3WIUd 3Cl S31Vl3N3~34Cl N~lXllOS S3N013Vl-03 Z Olnl!dV3 Op ‘diA kción 2.1 Variables separables -2+ 41 o bien-l + c = 1 + c o bien-l = 1. Al llegar a la ultima igualdad vemos que debemos examinar con más cuidado la ecuación diferencial. El hecho es que la ecuación ” = (y + 2)(y - 2) queda satisfecha con dos funciones constantes, que son y = -2 y y = 2. Al revisar las ecuaciones (8), (9) y (10) advertimos que debemos excluir ay = -2 y y = 2 de esos pasos de Ia solución. Es interesante observar que después podemos recuperar la solución y = 2 si hacemos que c = 0 en la ecuación (ll). Sin embargo, no hay valor finito de c que pueda producir la solución y = -2. Esta última función constante es la única solución al problema de valor inicial (Fig. 2.2). n J & Y c=l c=o y=2 c=-1 X (0, -2) y=-2 c=l if FIGURA 2.2 Si en el ejemplo 4 hubiéramos empleado lnlcl como constante de integración, la forma de la familia monoparamétrica de soluciones sería c + e4r Y=2=- w Obsérvese que la ecuación (12) se reduce ay = -2 cuando c = 0; pero en este caso no hay valor finito de c que pueda dar como resultado la solución constante y = 2. Si al determinar un valor específico del parámetro c en una familia de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden llegamos a una solución particular, la mayoría de los estudiantes (y de los profesores) tenderá a descansar satisfechos. Pero en la sección 1.2 vimos que una solución de un problema de valor inicial quizá no sera única; por ejemplo, en el ejemplo 3 de esa sección el problema dy - = xyy du y(O) = 0 tiene dos soluciones cuando menos, las cuales sony = 0 y y = x4/1 6. Ahora ya podemos resolver esa ecuación. Si separamos variables obtenemos Y -ll2 dy = x ~5, 42 CAPíTUlO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN que al integrar da 2Y Ir2 -$+c, 0 sea x= = Y= z+c . ( 1 Cuando x = 0, y = 0, así que necesariamente c = 0; por lo tanto, y = ~~116. Se perdió la solución y = 0 al dividir entre y’“. Además, el problema de valor inicial, ecuación (13), tiene una cantidad infinitamente mayor de soluciones porque por cada elección del parámetro a 2 0 la función definida en secciones y= 0, (x’ - u2)2 16 ’ x<li xza satisface al mismo tiempo la ecuación diferencial y la condición inicial (Fig. 2.3). r / - FIGURA 2.3 En algunos de los ejemplos anteriores vimos que la constante de la familia monoparam&rica de soluciones de una ecuación diferencial de primer orden se puede redefinir para mayor comodidad. También se puede dar con facilidad el caso de que dos personas lleguen a expresiones distintas de las mismas respuestas al resolver en forma correcta la misma ecuación; por ejemplo, separando variables se puede demostrar que familias monoparamétricas de soluciones de cl+ J> di + (I+ Xz) ~JJ = o son arctan x + arctan y = c o bien x+Y l-xy = c. Al avanzar en las siguientes secciones, el lector debe tener en cuenta que las familias de soluciones pueden ser equivalentes, en el sentido de que una se puede obtener de otra, ya sea por redefinición de la constante o por transformaciones algebraicas o trigonométricas. En los problemas 1 a 40 resuelva la ecuación diferencial respectiva por separación de variables. 1 by = sen 5x ’ dx 2. 2 = (x + 1)2 Sección 3. d-x + e3x dy = 0 4. dx - x2 dy = 0 5. (x+ l)$= x+6 6 . ex% = 2x 7. xy' = 4y 8. 2 + 2xy = 0 2.1 Variables separabk 43 dx g dyd ’ dx x2 11 -=dx x2y2 1+x ’ dY 12 & = 1+ 2Y2 ysenx ’ dy 13. 2 = 14 e3x+2Y exy !i!& = e-Y + em2X-Y 15. (4y + yx') dy - (2x + xy2)dx = 0 16. (1 + x2 + y* + x”y’) dy = y2 dx 17. 2y(x + 1) dy = xdx 18. x'y' dy = (y + 1) dx 19. y In x GS = dr 21 dS = kS *z 22 de = k(Q - 70) * dt 24. $f + N = Nte’+ 25. sec2x dy + csc y dx = 0 24. sen 3x dx + 2y cos33x dy = 0 27. eysen 2x dx + cos x(e*Y - y) dy = 0 28. sec x dy = x cot y dx 29. (ey + 1)2e-Y dx + (ex + 1)3e-” dy = 0 30. YdY ;z = (1 + x2)-‘D(l + y2)‘fl 2 ---=dY 1 2x .hY Y 31. (y - yx')-& dy = (y + 1)2 32 33 9, xy+3x-y-3 34 dy=xY+2Y--x-2 ’ dx xy - 2x + 4y - 8 ’ dx xy - 3y + x - 3 35.2 = sen x(cos 2y - cos2y) 36. sec y 2 + sen(x - y) = sen(x + y) 37. xVí=-&ix=dy 38. y(4 - x2)ln dy = (4 + y2)ln dx 3 9 . (ex + e-x) $f = y2 En los problemas 41 a 48 resuelva la ecuación diferencial, sujeta a la condición inicia) respectiva. 44 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 41. (e-y + 1) sen x dx = (1 + cos x) dy, y(O) = 42. (1 + x”) dy + ~(1 + 4y2) dx = 0, y(l) = 0 43. y dy = 4x(y2 + l)ln dr, y(O) = 1 0 44. z + ty = y, y(l) = 3 46 by=Y2-l 45. - = 4(x2 + l), x *dx dy 47. x2y’ = y - xy, y(-1) = -1 i=i’ Y(2) =2 48. y’ + 2y = 1, y(O) = 4 En los problemas 49 y 50 determine una solución de la ecuación diferencial dada que pase por los puntos indicados. (al 640) (b) 643) 50. x 2 = y2 - y (4 641) (b) (RO) ( c ) (-;y; -) 51. Determine una solución singular de la ecuación en el problema 37. 52. Halle una solución singular de la ecuación en el problema 39. Con frecuencia, un cambio radical en la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas 53 a 56 compare las soluciones de los problemas de valor inicial respectivos. 53. ” = (y - l)‘, y(O) = 1 54. -& dr = (y - 1)2, y(O) = 1.01 55. 2 = (y - l)!. ,+ 0.01, y(O) = 1 56. 2 = (y - l)* - O:Ol, y(O) = 1 Problemas para discusión 57. Antes de discutir las dos partes de este problema, analice el teorema 1.1 y la definición de una solución implícita. a) Determine una solución explícita del problema de valor inicial dyldr = -x/y, ~(4) = 3. Defina el máximo intervalo, 1, de validez de esta solución. (Véase el ejemplo 2.) b) iCree que 2 + y’ = 1 es una solución implícita del problema de valor inicial dyldx = -x/y, y( 1) = O? 58. Se tiene la forma general dyldx = g(x)h(y), de una ecuación diferencial separable de primer orden. Si r es un número tal que h(r) = 0, explique por qué y = r debe ser una solución constante de la ecuación. Sección 2.2 Ecuaciones exactas 45 ECUACIONES n EXACTAS Diferencial exacta n Defnición de una ecuación diferencial exacta W Método de solución La sencilla ecuación y dx + x dy = 0 es separable, pero también equivale a la diferencial del producto de x por y; esto es, y a!x + x dy = d(xy) = 0. Al integrar obtenemos de inmediato la solución implícita xy = c. En cálculo diferencial, el lector debe recordar que si z =f(x, y) es una función con primeras derivabas parciales continuas en una región R del plano xy, su diferencial (que también se llama la diferencial total) es Entonces, sif(x, y) = c, de acuerdo con (l), $fx+$dy=O. En otras palabras, dada una familia de curvas f(x, y) = c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial total; por ejemplo, si 2 - 5xy + y3 = c, de acuerdo con la ecuación (2) (2~ - 5~) dx + (-5 + 3y2) dy = 0 o sea 2 = -~x~~y2* Para nuestros fines, es más importante darle vuelta al problema, o sea: dada una ecuación como 5y - 2x & Z’ -5x + 3y*’ kpodemos demostrar que la ecuación equivale a d(x2 - 5xy + y3) = O? q E c u a c i ó n e x a c t a Una ecuación diferencial M(x, y) + N(; plano xy si corresponde a la diferencial de primer orden de la forma es una ecuación diferencial exacta (di del lado izquierdo es una diferencial ex (3) 4 46 CAPiTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ecuackh diferencial exacta La ecuación x?$ dx + x’$ dy = 0 es exacta, porque x3y2 dy. Obsh-vese que, en este ejemplo, si M(x, y) = 2$ y N(x, y) = x3fl, entonces &U/+ = 323 = ¿IN/¿3x. El teorema 2.1 indica que esta igualdad de derivadas parciales no es una casualidad. Criterio para una ecw&n diferencial ~xach~ Sean continuas M(x, y) y N(x, y), con derivadas parciales ocmtinws ea una región rectangw 18% R, tkdinida por u C x < b, c < y < d. Entonces, la comiicih necesaria y suficiente par+ qw M(x, y) h f N(x, y) & sea una diferencial exacta es que al aN -=ay ax (4) DEMOSTRACIÓN DE IA NECESIDAD Para simplificar supongamos que M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas en toda (x, y). Si la expresión M(x, y) U!T + N(x, y) dy es exacta, existe una funciónftal que, para todo x de R, M(x,y)dr + N(x,y)dy = 3 ,dx + $dy. En consecuencia WX7Y) = 2 ax’ N(X,Y) = 2 ay’ Y La igualdad de las derivadas parciales mixtas es consecuencia de la continuidad de las primeras n derivadas parciales de M(x, y) y N(x, y). La parte de la suficiencia del teorema 2.1 consiste en demostrar que existe una fimción,J; para la cual afrar = M(x, y), y @ay = N(x, y) siempre que se aplique la ecuación (4). En realidad, la construcción de la fhnciónfconstituye un procedimiento básico para resolver las ecuaciones diferenciales exactas. Método de solución Dada una ecuación de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, se determina si es válida la igualdad (4). En caso afiiativo, existe una funciónfpara la cual Secci6n 2.2 Ecuaciones exactas 47 Podemos determinar f si integramos M(x, JJ) con respecto a x, manteniendo y constante: en donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. Ahora derivamos (5) con respecto ay, y suponemos que ay+ = N(x, y): --a wx, aY - aY f Esto da Y) ab + g’(y) = WY Y)- g’(y) = WV Y) - -L$ \ WC Y) dx (6) Por último integramos (6) con respecto a y y sustituimos el resultado en la ecuación (5). La solución de la ecuación es f(x, y) = c. Es pertinente hacer algunas observaciones. La primera, es importante darse cuenta de que la expresión N(X, y) - <&i)y~ j~(.x, y) u!x en la ecuación (6) es independiente de x porque En segundo lugar, también pudimos iniciar el procedimiento anterior suponiendo que afray = N(X, y). Después de integrar N con respecto a y y derivar el resultado, llegaríamos a los análogos de las ecuaciones (5) y (6) que serían, respectivamente, f(nv Y) = 1 W, Y) h’(x) = W, Y> - 5 / Nx, Y) dy. Y 4+W En ambos casos, no se deben memorizar las Fórmulas. Solución de una ecuación diferencial exacta Resolver 2xy U!X + (x2 - 1) u” = 0. SOLUCIÓN Igualamos M(x, y) = 2xy y N(x, y) = x2 - 1 y tenemos aM=2x=!!c! ax' aY En consecuencia, la ecuación es exacta y, de acuerdo con el teorema 2.1, existe una función f(x, Y) tal que $=2xy y $=x’-1. l 48 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Al integrar la primera de estas ecuaciones obtenemos fc% Y) = X’Y + g(y). Determinamos la derivada parcial con respecto a y, igualamos el resultado a N(x, y) y obtenemos af=x*+g~cy)=x*-l. aY Por lo tanto, g’ot) = -1 + N-5 Y) sw = -Y* Y No es necesario incluir la constante de integración en este caso porque la solución esf(x, y) = c. En la figura 2.4 se ilustran algunas curvas de la familia ?y -y = c. FIGURA 2.4 La solución de la ecuación no esf(x, y) = X’Y -y, sino que esf(x, r)= c of(x, v) = 0, si se usa una constante en la integración de g’(y). Obsérvese que la ecuación también se podría haber resuelto por separación de variables. Solución de una ecuación diferencial exacta Resolver (e” -y SOLUCIÓN cos xy) dr + (2xeZY - x cos xy + 2y) dy = 0. La ecuación es exacta, porque aM = 2e*v + xysenxy - cos xy = $* aY Entonces, existe una funciónf(x, y) para la cual af wx,Y)=~ Para variar, comenzaremos con la hipótesis que Y %Y) afray = N(x, af = ay’ y); n Sección 2.2 Ecuaciones exactas esto es, af -=2xe*Y-xcosxy+2y aY f(x,y)=2xle2ydy-xlcosxydy+2]ydy. Recuérdese que la razón por la que x sale del símbolo j es que en la integración con respecto ay se cohsidera que x es una constante ordinaria. Entonces f(x, y) = xe*Y -sen xy + y2 + h(x) af - e2Y - y cos xy + h’(x) = e2Y - y cos xy, si- - M(X> Y) así que h’(x) = 0, o h(x) = c; por consiguiente, una familia de soluciones es xe5-senxy+y’+c=O. Un problema de valor inicial Resolver el problema de valor inicial (cosxsenx-xg)dx+y(l SOLUCIÓN Entonces -x2)dy=0, y(O)=2. La ecuación es exacta, porque af aY = y(l - x2) f(x, y) = ‘2’ (1 - x’) + h(x) af = -xy2 + h’(x) = cosxsenx - xy2. - ax La última ecuación implica que h’(x) = cos x sen x. Al integrar obtenemos h(x) = - 1 (cos x)( -senx dx) = - k cos x. Así $ (1 - x’) - ; cos*x = Cl 0 sea y2(1 - X’) - COS2X = C, 49 50 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN en donde c reemplazó a 2cr. Para que se cumpla la condición inicial y = 2 cuando x = 0, se requiere que 4( l> - cos2(0) = c -es decir, que c = 3-. Así, una solución del problema es y2(1 4) - cos2x = 3. n Al probar si una ecuación es exacta se debe asegurar que tiene la forma precisa M(X, y) dx + %(x, y) u’y = 0. Quizá en ocasiones haya una ecuación diferencial de la forma C(X, y) dx = H(X, y) dy. En este caso se debe reformular primero como c(x, y) dr - H(X, y) dy = 0, y despubs identificar M(x, y) = G(x, y), y N (x, y) = -H(x, y), y sólo entonces aplicar la ecuación (4). En los problemas 1 a 24 determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es, resuélvala. 1. (2x - 1) a!X + (3y + 7) dy = 0 2. (2~ + y) dx - (x + 6y) dy = 0 3. (5x + 4y) dx + (4x - 8y3) dy = 0 4 (seny - y sen x) dx + (cos x + x cos y - y) dy = 0 5. (2yZx - 3) dr + (2yx2 + 4) dy = 0 2 + -$ - 4x3 + 3ysen3x = 0 7. (x + y)(x - y) a!x + x(x - 2y) dy = 0 8 . (l+lnx+i)&=(l-1nx)dy 9 . (y3-y*senx-x)dr+(3xy2+2ycosx)dy=0 10. (x’ + y’) dx + 3xy* dy = 0 ll. (ylny-C~r)dr+(~+xlny)dy=O 12 2x -d.+y=o l Y 13. x dY dx = 2x@ - y + 6x2 14 (3x2y + ey) dx + (x’ + xey - 2y) dy = 0 15. (1-;,,),+ (1 -;+x)dY =o 16. (ey + 2xy cosh x)y’ + xy*senh x + y* cosh x = 0 1 1 f!Z + x3y* = 0 17. ( x’y’ - 1 + 9x2 dy 18. (5y - 2x)y’ - 2y = 0 19. (tan x - sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0 ==a Secclln 2.2 Ecuacianesawclos 51 20. (3.~ cos 3x + sen 3x - 3) dx + (2y + 5) dy = 0 -& = 2l. (1 - 2x * - 2y) dy 4x3 + 4xy 22. (2y sen x cos x - y + 2y2ery2) dx = (x - sen2x - 4xyeXY2) dy 23. (4x3y - 15x2 - y) dx + (x4 + 3y2 - x) dy = 0 dy = 0 24. En los problekas 25 a 30 resuelva cada ecuación diferencial sujeta a la condición inicial indicada. 25. (x + y)’ dx + (2xy + x2 - 1) dy = 0, y(l) = 1 26. (ex + y) dx + (2 + x + ye’) dy = 0, y(O) = 1 27. (4y + 2x - 5) dx + (6y + 4x - 1) dy = 0, 28. y (- 1) = 2 y Z+$=o, y(l)=1 1 29. (y2~~~~-3x2y-2x)dx+(2ysenx-x3+lny)dy=0, ( 30. -+cosx-2xy l ( 1 +y2 1 dY z = y(y +senx), y(O)=e y(O) = 1 En los problemas 3 1 a 34 determine el valor de k para que la ecuación diferencial correspondiente sea exacta. 31. (y" + kxy4 - 2~) dx + (3xy* + 20x2y3) dy = 0 32. (2~ - ysenxy + ky4)dx - (20xy3 + xsenxy) dy = 0 33. (2xy2 + ye”) dx + (2x*y + ke” - 1) dy = 0 34. (6xy3 + cos y) dx + (kx*y* - x sen y) dy = 0 35. Deduzca una función M(x, y) tal que la siguiente ecuación diferencial sea exacta: ~(x,y)dx+ 36. Determine una función N(x, y) tal que la siguiente ecuación diferencial sea exacta: y’v’n + -& dx + N(x, y) dy = 0. A veces es posible transforhar una ecuación diferencial no exacta, M(x, y) dx + N(x, y) 4 = 0 en una exacta multiplicándola por un factor integrante cl(x, y). En los problemas 37 a 42 resuelva la ecuación respectiva comprobando que la función indicada, &, y), sea un factor integrante. 37. 6xy d.x + (4y + 9~') dy = 0, p(x, y) = y* 38. -y* dx + (x’ + xy) dy = 0, p(x, y) = & 39. (-xy sen x + 2y cos x) dx + 2x cos n dy = 0, 3 p(x, y) = xy 52 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 40. y(x + y + 1) dx + (x + 2y) dy = 0, 41. (2y2 + 3~) dr + 2xy dy = 0, p(x, y) = ex p(x, y) = x 42. (x” + 2xy - y’) dx + (y’ + 2xy - x’) dy = 0, p(x, y) = (x + y)-’ Problema para discusión 43. Revisemos el concepto de factor integrante que se presentó en los problemas 37 a 42. Las dos ecuaciones, Mdx + N dy = 0 y w dx + fl dy = 0, ¿son necesariamente equivalentes en el sentido que una solución de la primera también es una solución de la segunda o viceversa? ECUACIONES LINEALES W Defìnición de una ecuación diferencial lineal n Forma normal de una ecuación lineal W Variación de parámetros kUétodo de’solución W Factor integrante n Solución general n Función depnida por una integral En el capítulo 1 definimos la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n como sigue: d”-‘y d "Y un(x) z + k(x) dx”-’ + * * * + a,(x) 2 + ao(x)y = g(x). Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes sólo son funciones de x y que y y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden. Ecuación lineal Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma es una ecuación lineal. Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coeficiente, al(x), se obtiene una forma más útil, la forma esthndar de una ecuación lineal: 4! & + W>Y =fix>. (2) Debemos hallar una solución de (2) en un intervalo 1, sobre el cual las dos funciones P yfsean continuas. Sección 2.3 Ecuaciones hea~es 53 En la descripción que sigue ilustraremos una propiedad y un procedimiento, y terminaremos con una fórmula que representa una solución de (2). La propiedad y el procedimiento son más importantes que la fórmula, porque ambos se aplican también a ecuaciones lineales de orden superior. Propiedad El lector puede comprobar por sustitución directa que la ecuación diferencial (2) tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones, y = yC + y,,, donde yC es una solución de & -& + P(x)y = 0 (3) y y, es una solución particular de (2). Podemos determinar yC por separación de variables. Escribimos la ecuación (3) en la forma dY Y + p(x) dx = OT al integrar y despejar ay obtenemos yC = ce -jp(X)dr. Por comodidad definiremos yC = cy&), en dondeyt = e-Ip(x)dr. Aplicaremos de inmediato el hecho que dylldx + P(x)yt = 0, para determinar aY,. Procedimiento Ahora podemos definir una solución particular de la ecuación (2), siguiendo un procedimiento llamado variación de parámetros. Aquí, la idea básica es encontrar una función, U, tal que y, = u(x)yt(x), en que y I, que está definida en el párrafo anterior, sea una solución de la ecuación (2). En otras palabras, nuestra hipótesis de yp equivale ay, = cy,( excepto que el “parámetro variable” u reemplaza a c. Al sustituir yp = uy1 en (2) obtenemos -$ [UY11 + WbYl = f(x) de modo que Separamos variables, integramos y llegamos a De acuerdo con la definición de yr, tenemos y, = uy, = e-JP@V~ eJp(“)dtf(x) dx. 54 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Así, y = yc + y, = ce -fPWx + e-fPW efP(“)dxf(x) dx. (4) Entonces, si (1) tiene una solución, debe poseer la forma de la ecuación (4). Recíprocamente, por derivación directa se comprueba que la ecuación (4) es una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación (2). No se debe tratar de memorizar la ecuación (4). Hay un modo equivalente y más fácil de resolver la ecuación (2). Si se multiplica (4) por y después se deriva efW)d~y = c + eff”“‘d2f(x) & f &)d.ry] = efP@)dxf(x), llegamos a efP(.r)d.r 3 + P(x)elOldxy = el’(“)*f(x). dx (6) (7) (8) Al dividir este resultado entre e~pWdx obtenemos la ecuación (2). Método de solución El método que se recomienda para resolver las ecuaciones (2) consiste, en realidad, en pasar por las ecuaciones (6) a (8) en orden inverso. Se reconoce el lado izquierdo de la ecuación (8) como la derivada del producto de e kW por y. Esto lleva a (7). A continuación integramos ambos lados de (7) para obtener la solución (6). Como podemos resolver (2) por integración, después de multiplicar por e Jpdr)dr , esta función se denomina factor integrante de la ecuación diferencial. Por comodidad resumiremos estos resultados. Solución de una ecuación lineal de primer orden i) Para resolver una ecuación lineal de primer orden, primero se convierte a la forma de (2); esto es, se hace que el coeficiente de dy/dx sea la unidad. ii) Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante, e JP@)dr iii) La ecuación obtenida en el paso i se multiplica por el factor integrante: eJp~w ” + pcx> ,Pwy = eJwq-Cx>. iv) El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso iii es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es, 4 Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso iv. Sección 2.3 Ecuaciones heales 55 Solución de una ecuación diferencial lkeal Resolver x 2 - 4y = ~8.8. SOLUCIÓN Al dividir entre x llegamos a la forma normal (9) Así escrita, reconocemos que P(x) = -41~ y entonces el factor integrante es Hemos aplicado la identidad básica b “aN= N, N > 0. Ahora multiplicamos la ecuación (9) por este término, d dx -4 2 - x 4x-5y = xex, $ [x-4y] = xf?. y obter and obtain (11) Si integramos por partes, llegamos a x-“y = xex - ex + c 0 sea y = x5ex - x4ex + cx4. 8 Solución de una ecuación diferencial lineal Resolver ~du- 3y = 0. Esta ecuación diferencial se puede resolver separando variables. También, como la ecuación se encuentra en la forma normal (2), tenemos que el factor integrante es ej(-3)d = e-3Xe M ultiplicamos la ecuación dada por este factor y el resultado es ew3”dy/dx 3e-3Xy = 0. Esta última ecuación equivale a SOLUCIÓN -$ [e-3xy] = 0. Al integrar obtenemos em3”y = c y, por consiguiente, y = ce3’. Solución general 8 Si se supone que P(x) y f(x) son continuas en un intervalo l y que xe es cualquier punto del intervalo, entonces, según el teorema 1.1, existe sólo una solución del problema de valor inicial ” + P(X)Y = f(x), y(x0) = yo. 56 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Pero habíamos visto que la ecuación (2) posee una familia de soluciones y que toda solución de la ecuación en el intervalo Z tiene la forma de (4). Así, para obtener una solución de la ecuación (12) basta hallar un valor adecuado de c en la ecuación (4). Por consiguiente, el nombre solución general que aplicamos a (4) está justificado. Recuérdese que, en algunos casos, llegamos a soluciones singulares de ecuaciones no lineales. Esto no puede suceder en el caso de una ecuación lineal si se pone la atención debida a resolver la ecuación en un intervalo común, en que P(x) y f(x) sean continuas. Solución general Determinar la solución general de (2 + 9) ~4 + xv - -0. SOLUCIÓN Escribimos k+Ly=o. Q!x 2+9 La función P(x) = x/(x2 + 9) es continua en (- 00, -). Entonces, el factor integrante para la ecuación es y así x&T-+ - yx = hv2T-3 o . Al integrar -$ [m y] = 0 da como resultado my = C. Así pues, la solución general en el intervalo es C A excepción del caso en que el primer coeficiente es 1, la transformación de la ecuación (1) a la forma normal (2) requiere dividir entre a,(x). Si al(x) no es una constante, se debe tener mucho cuidado con los puntos donde al(x) = 0. En forma específica, en la ecuación (2), los puntos en que P(x) -obtenida dividiendo ac entre al(x)- sea discontinua son potencialmente problemáticos. Problema de valor inicial Resolver el problema de valor inicial x @+y=2x, dr SOLUCIÓN y(l)=O. Escribimos la ecuación dada en la forma Sección 2.3 Ecuaciones heaies 57 y vemos que P(x) = llx es continua en cualquier intervalo que no contenga al origen. En vista de la condición inicial, resolveremos el problema en el intedalo (0, -). El factor integrante es ejdx = eI”* = x, y así que es igual a xy = x* + c. Despejamos y y llegamos a la solución general (13) y=x+z. Pero y( 1) = 0 implica que c = - 1; por consiguiente, la solución es y=x-1 x’ (14) O<x<m. La gráfica de la ecuación (13), como familia monoparamétrica de curvas, se presenta en la figura 2.5. La solución (14) del problema de valor inicial se indica como la línea gruesa en la gráfica n FIGURA 2.5 El ejemplo siguiente muestra cómo resolver la ecuación (2) cuandoftiene una discontinuidad. Una f(x) 1 discontinua Determinar una solución continua que satisfaga en donde y la condición inicial y(O) = 0. 1 , OSXSl f(x) = 0, x>l 58 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN FIGURA 2.6 SOLUCI6N En la figura 2.6 vemos quefes continua en intervalos, con una discontinuidad en x = 1. En consecuencia, resolveremos el problema en las dos partes que corresponden a los dos intervalos en quefestá definid& Para 0 I x I 1, & z+y=1 0, lo que es igual, -$ [exy] = ex. Al integrar la última ecuación y despejar y, obtenemos y = 1 + cte-‘. Como y(O) = 0, se debe cumplir que CI = -1 y, por consiguiente, y = 1 - emx, 0 I x 5 1. & z+y=o Parax > 1, da como resultado y = c2eeX. Por lo anterior podemos escribir y= l - e - “ , 05x51 x > 1. 1 c&X, Ahora, para que y sea función continua, necesitamos que lím, .+ r+y(x) = y( 1). Este requisito equivale a cze-’ = 1 - e-t, o bien, c2 = e - 1. Como vemos en la figura 2.7, la función 05x51 1 - emx, ’ = (e - l)e-X, x> 1 1 es continua pero no es diferenciable en x = 1. FIGURA 2.7 . Sección 2.3 Ecuaciones hmaies 59 Funciones definidas por integrales Algunas funciones simples no poseen antideri- vadas que sean funciones elementales, y las integrales de esas funcione; se llaman no elementales. Por ejemplo, el lector habrá aprendido en cálculo integral que ]eX dx e J sen x2 dx no son integrales elementales. En matemáticas aplicadas se dejhen algunas funciones importantes en términos de integrales no elementales. Dos de esas funciones son la función de error y la función de error complementario: x erf(x) = $Io e-‘dt y erfc(x) = -$ jXw c-t dt. Como (2/$)Jow e+ dt = 1, tenemos que la función de error complementario, erfc(x), se relaciona con erf(x) mediante erf(x) + erfc(x) = 1 [Ec. (15)]. Debido a su importancia en áreas como probabilidad y estadística, se cuenta con tablas de la función de error. Sin embargo, obsérvese que erf(0) = 0 es valor obvio de la función. Los valores de la función de error tambien se pueden determinar con un sistema algebraico de computación (SAC). la función de error Resolver el problema de valor inicial ~ 4 - 2xy = 2, y(O) = 1. Como la ecuación ya se encuentra en la forma normal, el factor integrante es e -“, y entonces, partiendo de SOLUCIÓN obtenemos y = 28 k e-” dt + cex’. (16) Sustituimos y(O) = 1 en la última expresión y obtenemos c = 1; por consiguiente, la solución del problema es y = 2ex* 1; e-’* dt + ex2 = e”‘[l + I& erf(x)]. La gráfica de esa solución, que aparece en línea gruesa en la figura 2.8, junto a otros miembros de la familia definida por la ecuación (16), se obtuvo con un sistema algebraico de cómputo. w FIGURA 2.8 Empleo de computadoras Algunas soluciones de f- í!xy = 2 Algunos sistemas algebraicos de computación (programas matemáticos) son capaces de dar soluciones explícitas para algunos tipos de ecuaciones diferenciales; por ejemplo, para resolver la ecuación y’ + 2y = x, se teclea 60 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERFNCIALES DE PRIMER ORDEN DSolve[y’[x] + 2y[x] = = x,y[x],x] dsolve(diff(y(x),x) + 2*y = x,y(x)); Y (en Mnthemrticr) (en Mnple) y se obtiene, respectivamente, WI Yb1 - > - ($ + ; + E2” Y y(x) = 1/2 x - 1/4 + exp( - 2 x)-Cl Traducidos a la simbología normal, ambos son y = - f + f x + ceek. r I - veces, una ecuación diferencial de primer orden no es lineal en una variable, pero sí en la otra; por ejemplo, o causa del término y2, la ecuación diferencial A dy - 1 dx-x+y2 no es lineal en la variable y; mas su recíproca dx &=x+y2 o bien dx &-x=y2, sí lo es en x. El lector debe comprobar que el factor integrante sea ej(-l)@ = ey y que se obtenga x = -y - 2y - 2 + cey, integrando por partes. En los problemas 1 a 40, determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Especifique un intervalo en el cual esté definida la solución general. 1. "=5y 3. 3$+12y=4 ll. (x + 4yZ)dy + 2y dx = 0 Sección 2.3 Ecuaciones lineales 61 13.xdy=(xsenx-y)dx 14. (1 + x?) dy + (xy + x3 + x) dx = 0 15. (1 + ex)2 + e"y = 0 16. (1 - x’) ” = 3x”y 1% ..sx~ +ysenx = 1 18. drz + y cot x = 2 cos x 19.xg+4y=x3-x 20. (1 + x)y’ - xy = x + x* 21. x*y' + x(x + 2)y = ex 22. xy’ + (1 + x)y = eeX sen 2x 23. cos2x sen x dy + (y cos3x - 1) dx = 0 24. (1 - cosx) dy + (2ysenx - tanx) dx = 0 25. y dx + (xy + 2x - yey) dy = 0 26. (x’ + x) dy = (x” + 3xy + 3y) dx 27. xz+(3x+l)y=e 3x 28. (x + 1) 2 + (x + 2)y = 2xe-’ 29. y dx - 4(x + y”) dy = 0 30. xy’ + 2y = ex + In x 31. g+y=s 32. g-y =senhx 33. y dx + (x + 2xyz - 2y) dy = 0 34. y dx = (yey - 2x) dy 3 5 e+i-secO=cosO ’ do 3 6 -+2tP=P+4t-2 dt 37. (x+2)$=5-8y-4xy 38. (x’ - 1) $ + 2y = (x + l)* 39. y’ = (10 - y) cosh x 40. d x = (3ey - 2x) dy l En los problemas 41 a 50 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a la condición inicial indicada. 41. g+ 5y = 20, y(O)= 2 42. y’ = 2y + x(e3x - e*I), y(O) = 2 43. L $ + Ri = E; L, R y E son constantes, i(O) = io 4 4 . y$-x=2y2, y(l)=5 45. y’ + (tan x)y = cos*x, y(O) = -1 46. ” = 5x4Q, Q(O) = -7 47. g = k( T - 50); k es una constante, T(O) = 200 62 , CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4 8 . x dy + (xy + 2y - 2e-“) dx = 0, y(l) = 0 49. (x+l)Z+y=lnx, 4 y(l)=10 50. xy’ + y = ex, y(l) = 2 Determine una solución continua que satisfaga la ecuación general dada en los problemas 5 1 a 54 y la condición inicial indicada. Emplee una graficadora para trazar la curva solución. 5l.g+2Y=m fíx>= 1 1, o x>3 01x53 7 Y(O) = 0 52. $+y=f(x), f(x)={m;y y, Y(O) = 1 f(x)={;3 y, Y(O) = 2 53. g+2xy=f(x), 01x<l 54. (1 +x2$ + 2xy =f(x), f(x, = { -1: x B 1 , Y(O) = 0 55. La función integral seno se define por Si(x) = jX sen dt, donde se define que el integran0 t do sea 1 cuando t = 0. Exprese la solución del problema de valor inicial d dx x3 y + 2x2y = lOsenx, Y(l) = 0 en términos de Si(x). Utilice tablas o un sistema algebraico de computación para calcular ~(2). Use un programa para ecuaciones diferenciales (ODE solver) o un SAC para graficar la solución cuando x > 0. 56. Demuestre que la solución del problema de valor inicial dr -&-2xy= -1, VG Y(O) = 2 es y = $/2)8’ erfc(x). Use tablas o un sistema algebraico de cómputo para calculary(2). Grafique la curva de solución con un programa ODE solver o un SAC. 57. Exprese la solución al problema de valor inicial 32*Y= 1, y(l)= 1 en términos de la erf(x). Problemas para discusión 58. El análisis de las ecuaciones diferenciales no lineales comienza, a veces, omitiendo los términos no lineales de la ecuación o reemplazándolos con términos lineales. La ecuación Sección 2.4 Soluciones por sustitución 63 diferencial que resulta se llama linealización de la primera ecuación; por ejemplo, la ecuación diferencial no lineal (17) donde r y K son constantes positivas, se usa con frecuencia como modelo de una población creciente pero acotada. Se puede razonar que cuando P se acerca a cero, el término no lineal P* es insignificante. Entonces, una linealización de la primera ecuación es !!Lrp dt WV ’ Supongamos que r = 0.02 y que K = 300. Con un programa compárese la solución de la ecuación (17) con la de la (1 S), con el mismo valor inicial P(O). Haga lo anterior para un valor inicial pequeño, P(O) = 0.5 o P(O) = 2, hasta P(O) = 200 por ejemplo. Escriba sus observaciones. 59. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales aparece al estudiar un tipo especial de elementos de una serie radiactiva: $ = - x*x !i!!dt - AlX - hY, en donde XI y /\2 son constantes. Describa cómo resolver el sistema, sujeto a x(O) =XO, y(O) ‘Yo. 60. En las dos partes de este problema, suponga que ay b son constantes, que P(x),f(x),ji(x> y f*(x) son continuas en un intervalo Z y que xg es cualquier punto en 1. a) Suponga que yl es una solución del problema de valor inicial y’ + P(x)y = 0, y(xo) = a, y que y2 es una solución dey’ + P(x)y =f(x), y(xo) = 0. Determine una solución dey’ + P(x)y =f(x), y(xo) = a. Demuestre que su solución es correcta. b) Suponga que y1 es una solución dey’ + P(x)y =fi(x), y(x0) = a y que y2 es una solución dey’ + P(x)y ‘f*(x), y = /3. Si y es una solución dey’ + P(x)y =fi(x) +f&), ¿cuál es el valor y(xo)? Demuestre su respuesta. Si y es una solución dey’ + P(x)y = cJi + c&(x), donde cI y c2 son constantes especificadas arbitrariamente, ¿cuál es el valor de y(xo)? Justifique su respuesta. SOLUCIONES POR SUSTITUCIÓN n Sustitución en una ecuación diferencial n W Ecuación general de Bernoulli Función homogénea l Ecuación diferencial homogénea Sustituciones Para resolver una ecuación diferencial, reconocemos en ella cierto tipo de ecuación (separable, por ejemplo), y a continuación aplicamos un procedimiento formado por 64 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN etapas específicas del tipo de ecuación que nos conducen a una función diferenciable, la cual satisface la ecuación. A menudo, el primer paso es transformarla en otra ecuación diferencial mediante sustitución. Por ejemplo. supongamos que se quiere transformar la ecuación de primer orden dyldc =f(x, y) con la sustitución y = g(x, u), en que u se considera función de la variable x. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces, la regla de la cadena da, -&dy = gxc6 u> + gu(x, u) 2. Al sustituir dyldx conf(x, y) y y cong(x, u) en la derivada anterior, obtenemos la nueva ecuación diferencial de primer orden que, después de despejar dulak, tiene la forma duldx = F(x, u). Si podemos determinar una solución u = $(x) de esta segunda ecuación, una solución de la ecuación diferencial ordinaria es Y = gh 4W). Uso de sustituciones: ecuaciones homogéneas Cuando una funciónftiene la pro- piedad f(k 04 = ff(x9 Y) para un número real aY, se dice quefes una función homogénea de grado cu; por ejemplo,f(x, y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque f(rx, ry) = (fX)3 + (ry)’ = t3(x3 + y’) = r3f(x, y), mientras quef(x, y) = x3 + y3 + 1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (1) es homogénea si los coeficientes My N, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación (1) es homogénea si M(w ty> = t”M(x, y) Y N(rx, ry) = tW(x, y). Método de solución Una ecuación diferencial homogénea como M(x, y) a!x + N(x, y) dy = 0 se puede resolver por sustitución algebraica. Específicamente, alguna de las dos sustituciones y = ux, o x = vy, donde u y v son nuevas variables dependientes, reducen la ecuación a una ecuación diferencial separable, de primer orden. Para demostrarlo, sustituimos y = ux y su diferencial, dy = u dr + x, en la ecuación (1): M(x, ux) dx + N(x, ux)[u dx + x du] = 0. Aplicamos la propiedad de homogeneidad para poder escribir x”M(1, u) dx + xW(1, u)[u dx + x du] = 0 Sección o bien 2.4 Soluciones por sustitución 65 [M(l, U) + uN(1, u)] dx + xN(1, U) du = 0, &+ x que da N(1, U) du 0. M(l,U) + uN(1, U) = Volvemos a insistir en que esta fórmula no se debe memorizar; más bien, cada vez se debe aplicar el método. La demostración de que la sustitución x = vy en la ecuación (1) también conduce a una ecuación separable es análoga. Solución de una ecuación diferencial homogénea Resolver (x2 + y’) u!x + (x2 - xy) dy = 0. SOLUCIÓN Al examinar M(x, y) = x2 + 2 y N(x, y) = x2 - xy vemos que los dos coeficientes son funciones homogéneas de grado 2. Si escribimos y = ux, entonces dy = u dx y así, después de sustituir, la ecuación dada se transforma en (x’ + u*x*) dx + (x’ - ux’)[u dx + x du] = 0 x2(1 + U) dr +x3(1 - U) du = 0 l - U =du+$=O [-l+$---]du+$=O. tdivisiónlarga Luego de integrar, el último renglón se transforma en -24 + 2 InI1 + U] + ln(x] = ln]c] tsustitución inversa u = y/x Aplicamos las propiedades de los logaritmos para escribir la solución anterior en la forma ln 6 + Y)’ _ Y / cx I - -X 0, lo que es lo mismo, (x + y)” = cxf+. Aunque se puede usar cualquiera de las sustituciones en toda ecuación diferencial homogénea, en la práctica probaremos con x = vy cuando la función M(x, y) sea más simple que N(x, y). También podría suceder que después de aplicar una sustitución, nos encontrkamos con integrales difíciles o imposibles de evaluar en forma cerrada; en este caso, si cambiamos la variable sustituida quizá podamos tener un problema más fácil de resolver. USO de sustituciones: la ecuación de Bernoulli 2 + fYx> Y =Ax) y”, La ecuación diferencial (2) 66 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN en que n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. Obsérvese que cuando n = 0 y n = 1, la ecuación (2) es lineal. Cuando n # 0 y n f 1, la sustitución u = yt -’ reduce cualquier ecuación de la forma (2) a una ecuación lineal. Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli Resolver x 2 + y = x’J?. SOLUCIÓN Primero reformulamos la ecuación como sigue: & 1 z+;y=xy2 dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con n = 2, t regla de la cadena en la ecuación dada, y simplificamos. El resultado es du - - 1- u = -x. dx x El factor integrante para esta ecuación lineal en, por ejemplo (0, -), es Integramos y obtenemos x%=-x+c, 0 sea, u = -x* + cx. Como y = U-‘, entonces y = llu y, en consecuencia, una solución de la ecuación es 1 Y= -x2+ cx’ w Nótese que en el ejemplo 2 no hemos llegado a la solución general de la ecuación diferencial no lineal original, porque y = 0 es una solución singular de esa ecuación. Uso de sustituciones: reducción a separación de variables Una ecuación diferencial de la forma 2 =f(Ax + By + c> siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables, con la sustitución u = Ax + Br + C, B # 0. En el ejemplo 3 mostraremos esa técnica. Sección 2.4 Soluciones por sustitución 67 Empleo de una sustitución Si hacemos que u = -5x + y, entonces dulak = -5 + dyldx, y así la ecuaciòn dada se transforma en SOLUCIÓN ’ sea 1 !&=+g dx ’ Separamos variables, empleamos fracciones parciales e integramos: 1 =dX (u - 3::u + 3) = dx 1 1 1 6 u-3-z-5 [ iln s =x+c1 I I u - 3 = &x+6c, u+3 = ch. t se sustituye eti por c Al despejar u de la última ecuación para resustituirla, llegamos a la solución 3(1 + ce6X) ’ = 1 - ce6r osea 3(1 + ce6X). y =5x + 1 _ ce6x fxRcIcIos 2.4 Resuelva cada una de las ecuaciones en los problemas 1 a 10, con la sustitución apropiada. 2. (x + y) dx + x dy = 0 1. (x - y) dx + x dy = 0 3. x dx + (y - 2x) dy = 0 4. y dx = 2(x + jo) dy 5. (y2+yx)dx-x2dy=0 6. (y2+yx)dx+x2dy=0 , &-y-x g by=x+3y *dx 3x+y l dx y+x 9. -y dx +(x + &j) dy = 0 10. xg-y=vz?+yi Resuelva la ecuación homogénea de cada uno de los problemas ll a 14, sujeta a la condición inicial respectiva. l l . xy$=y3-x3, y ( l ) = 2 13. (x + yey’“) dx - xeYix dy = 0, 12. (x”+2y”)$=xy, y(l) = 0 y(-l)=l n 68 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 14. y dx + x(ln x - In y - 1) dy = 0, y(l) = e En los problemas 15 a 20 resuelva la ecuación respectiva de Bernoulli empleando una sustitución adecuada. ls..~.,=:, 16. 2 - y = e"y* 17.dyz = y(xy’ - 1) dY - (1 + x)y = xy* 18. X& 19. $2 + y* = xy 20. 3(1 + x’)dy& = 2xy(y3 - 1) En los problemas 21 y 22, resuelva la respectiva ecuación de Bernoulli sujeta a la condición inicial indicada. 21. x$2xy=3y4, Y(l) = ; 22. 1n Y by + 30 dx Y = 1 7 Y(O) = 4 Use el procedimiento indicado en el ejemplo 3 para resolver cada ecuación de los problemas 23 a 28. 23. ” = (x + y + l)* 24 &J-x-Y ‘dx x+Y 25. dY z = tan*(x + y) 26. 2 = sen(x + y) dY 27.z=2+vy-2x+3 28. 2 = 1 + eY-r+5 En los problemas 29 y 30 resuelva la ecuación respectiva, sujeta a la condición inicial indicada. 29. 2 = cos(x + y), y(O) = ; TJO 3 = d x l 3x + 2Y 3x+2y+2’ y(-1) = -1 Problemas para discusión 31. Explique por qué siempre es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 en la forma $7 0 + x. X i) 0Y Puede comenzar escribiendo algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales que tengan esas formas. LEstas formas generales sugieren la causa de que las sustituciones y = ux y x = vy sean adecuadas para las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden? 32. La ecuación diferencial iYh - P(x) + se llama ecuación de Ricatti. Q(x)Y + WX)Y~ Sección 2.4 Soluciones por sustitución 69 a) Una ecuación de Ricatti se puede resolver con dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conozcamos una solución particular, yl, de la ecuación. Primero emplee la sustitución y = y1 + y, y después describa cómo continuar. b) Halle una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dv4 1 ---x2-xy+y2, dx en donde yl = 2lx es una solución conocida de la ecuación. En los problemas 1 a 14 clasifique (no resuelva) el tipo de ecuación diferencial: si es separable, exacta, homogénea o de Bernoulli. Algunas ecuaciones pueden ser de más de un tipo. &-X-Y ‘dx x pY 1 -=l dx y-x 1 3. (x+l)$ -y+lO ($dY 1 -=l 5 d x x ( x - y ) 6. 4 dx=5y+y2 dy=YZ+Y *dx x2+x 7. y dx = (y - xy’) dy 9. xyy’ + y2 = 2x 8. x 2 = yer’Y - x 10. 2xyy’ + y2 = 2x2 ll. y dx + x dy = 0 dx=(3-lnx2)dy 1 3 !!LX+Y+1 *dx y x Resuelva la ecuación diferencial en los problemas 15 a 20. 15. ( y2 + 1) dx = y sec’x dy 16. y(ln x - In y) dx = (x In x - x In y - y) dy 17. (6~ + l)y2 2 + 3x* + 2y3 = 0 18 &=-4y2 +~XY 3y2+ 2x ’ dy 19. tz+Q=t”lnr 20. (2x + y + 1)y’ = 1 Resuelva cada uno de los problemas de valor inicial 2 1 a 26. 21 P!Le', ’ t dt In y y(l)=1 22. tx % = 3x2 + t2, x(-l) = 2 70 CAPíTULO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 23. (x’ + 4) ” + 8xy = 2x, y(O) = -1 24. x 2 + 4 y = x4y2, Y(l) = 1 25. y ’ = e*y-x, y(O) = 0 26. (2r2 cos Osen 6 + r cos 0) df3 + (4r + sen 8 - 2r cos2fl) dr = 0, MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.1 Ecuaciones lineales 3.2 Ecuaciones no lineales 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales Ejercicios de repaso ‘@B - En la sección 1.3 explicamos que muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, l las reacciones químicas, un líquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito en serie, son ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora ya podemos resolver algunas de las ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, que surgen con frecuencia en las aplicaciones. El capítulo termina con el tema de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden como modelos matemáticos. 71 72 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES LINEALES w Crecimiento y decaimiento exponencial n Periodo medio n Datación con radiocarbono w Ley de Newton del enji-iamiento w Mezclas n Circuitos en serie n Tirmino transitorio H Término de estado estable Crecimiento y decaimiento El problema de valor inicial dx - kx, z- x(to) = xo, en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En la sección 1.3 describimos que, en biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solución de (1) nos sirve para predecir la poblacion en el futuro -esto es, para t > 0-. En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química, la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1). La constante de proporcionalidad k, en (l), se puede hallar resolviendo el problema de valor inicial, con una determinación de x en un momento tl > to. Crecimiento bacteriano Un cultivo tiene una cantidad inicial NO de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida de bacterias es $0. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos. SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial $=kN sujeta a N(O) = NO. A continuación se define la condición empírica N( 1) = $Vs para hallar k, la constante de proporcionalidad. Con ello, la ecuación (2) es separable y lineal, a la vez. Cuando se escribe en la forma podemos ver por inspección que el factor integrante es c-kl . Multiplicamos ambos lados de la ecuación por ese factor y el resultado inmediato es f [eekrN] = 0. Sección 3.1 Ecuaciones lineales 73 Integramos ambos lados de la última ecuación para llegar a la solución general e*‘N = c, 0 sea N(t) = ceA’. Cuando t = 0, NO = ceo = c y, por consiguiente, N(t) = Noekt. Cuando t = 1, entonces :NO = Nsek, o bien ek = G. Con la última ecuación obtenemos k = In z = 0.4055. Así N(t) = N0e”,4055t. Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, despejamos t de 3No = Noe0.4055’; por consiguiente, 0.4055t = In 3, y así In 3 - = 2.71 h. t = 0.4055 Véase la figura 3.1. FIGURA 3.1 En el ejemplo 1 obsérvese que la cantidad real, NO, de bacterias presentes en el momento t = 0, no influyó para la definición del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara. El tiempo requerido para triplicar una población inicial de 100 o 1 000 000 bacterias siempre es de unas 2.71 horas. Como muestra la figura 3.2, la función exponencial ekr se incrementa al aumentar t, cuando k > 0, y disminuye al crecer t cuando k < 0; por ello, los problemas de describir el crecimiento FIGURA 3.2 74 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (sea de poblaciones, bacterias o capitales) se caracterizan con un valor positivo de k, mientras que cuando interviene un decrecimiento (como la desintegración radiactiva), se tiene un valor negativo de k. Por lo anterior, se dice que k es una constante de crecimiento (k > 0) o una constante de descrecimiento o de declinación (k < 0). Periodo medio En fisica, el periodo medio es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. Es, simplemente, el tiempo que transcurre para que se desintegre o transmute la mitad de los átomos en una muestra inicial, Ao, y se conviertan en átomos de otro elemento. Mientras mayor sea su semivida, más estable es una sustancia; por ejemplo, la semivida del radio Ra-226, muy radiactivo, es unos 1700 afíos. En ese lapso, la mitad de determinada cantidad de Ra-226 se transmuta y forma radón, Rn-222. El isótopo más común del uranio, el U-238, tiene periodo medio de 4500 millones de años. Es el tiempo que tarda en transmutarse la mitad de una cantidad de U-238 en plomo 206. Periodo medio del plutonio Un reactor de cría convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial, Ae, de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente. Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda en cualquier momento t. Como en el ejemplo 1, la solución del problema de valor inicial SOLUCIÓN $=kA, A(O) = Ao es A(t) = Ace&‘. Si se ha desintegrado el 0.043% de los átomos de Ao, queda el 99.957%. Para calcular la constante k (o declinación) empleamos 0.99957Ac = A(15), esto es, 099957Ao = Aoelsk. Despejamos k y tenemos k = h In 0.99957 = -0.00002867. En consecuencia, Si el periodo medio es el valor que corresponde a A(t) = Ad2, despejando a t se obtiene Ad2 = Aoe-O~OO”02867’, es decir, f = e -0.00002867’. De acuerdo con esta ecuación, In 2 t = o.oooo2867 = 24,180 tios Datación con radiocarbono Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría de la datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 al carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-l4 sea por Sección 3.1 Ecuaciones hdes 75 respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de C- 14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera, es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que el periodo medio del C-l4 radiactivo es, aproximadamente, 5600 años. Por este trabajo, Libby ganó el Premio Nobel de química en 1960. Su metodo se usó para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto. Antigüedad de un fósil Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la centésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. El punto de partida es, de nuevo, A(t) = Acekc. Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que Ac/ = A(5600), o sea, Ao/ = Aoe5600k. Entonces, 5600k = In i = -In 2, de donde k = -(hr 2)/5600 = -0.00012378; por consiguiente SOLUCIÓN Tenemos, para A(t) = Ao/lOOO, que Ao/lOOO = Aoe 4.000*2378t, de modo que -0.00012378r In &- = - In 1000. Así In 1000 ’ = 0.00012378 = 55,800 años = n En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a unos 9 periodos medios del isótopo, que son unos 50 000 anos. Una razón para ello es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-l4 remanente presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de Ao/lOOO. También, para este método se necesita destruir una muestra grande del espécimen. Si la medición se realiza en forma indirecta, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación normal de fondo. Pero en últimas fechas, los científicos han podido separar al C-l4 del C-12, la forma estable, con los aceleradores de partículas. Cuando se calcula la relación exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar hasta antigüedades de 70 a 100 000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer antigüedades de varios millones de años. A veces, también es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos. Ley de Newton del enfriamiento En la ecuación (10) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden en que k es una constante de proporcionalidad, T(r) es la temperatura del objeto cuando t > 0 y T,,, es la temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 supondremos que T,,, es constante. 76 CAPíTULO 3 MODELADO m CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Enfriamiento de un pastel Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos, 2OO’F. ¿En cuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 7O”F? SOLUCIÓN En la ecuación (3) vemos que T,,, = 70. Por consiguiente, debemos resolver el problema de valor inicial g= k(T- 70), T(O) = 300 y determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200. La ecuación (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables, & = kdt, cuyo resultado es ln/T - 701 = kt + cl, y así T = 70 + c2ekt. Cuando t = 0, T= 300, de modo que 300 = 70 + c2 define a c2 = 230. Entonces, T= 70 + 230 ekt. Por ultimo, la determinación T(3) = 200 conduce a e3k = g, osea,k=fln~=-O.19018.Así T(t) = 70 + 230e-0.19018’. (5) Observamos que la ecuación (5) no tiene una solución finita a T(t) = 70 porque límt + m T(t) = 70; no obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Cuán largo es “largo “‘7 No nos debe inquietar el hecho de que el modelo (4) no se apegue mucho a nuestra intuición física. Las partes u) y b) de la figura 3.3 muestran que el pastel estará a la temperatura ambiente pasada una media hora. w (4 TV) 1 (min) 75" 74" 73" 72" 20.1 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3 71” 70.5" (b) FIGURA 3.3 Sección 3.1 Ecuaciones h-des 77 Mezclas Al mezclar dos fluidos, a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras (Sec. 1.3), supusimos que la razón con que cambia la cantidad de sal, A’(r), en el tanque de mezcla es una razón neta: dA t= =R,-R2 (6) En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (12) de la sección 1.3. Mezcla de dos soluciones de sal Recordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 300 galones de una solución de sahnuera. Al tanque entraba y salía sal porque se le bombeaba una solución a un flujo de 3 gal/min, se mezclaba con la solución original, y salía del tanque con un flujo de 3 gabmin. La concentración de la solución entrante era 2 lb/gal; por consiguiente, la entrada de sal era RI = (2 lb/gal) . (3 gal/min) = 6 lb/min, del tanque salía con una razón RZ = (3 gal/min) . (N300 lb/gal) = A/l OO lb/min. A partir de esos datos y de la ecuación (6) obtuvimos la ecuación (12) de la sección 1.3. Surge esta pregunta: si había 50 Ib de sal disueltas en los 300 galones iniciales, ¿cuánta sal habrá en el tanque pasado mucho tiempo? SOLUCIÓN Para hallar A(t), resolvemos el problema de valor inicial 4+-$-, A(O) = 50. Aquí observamos que la condición adjunta es la cantidad inicial de sal, A(O) = 50, y no la cantidad inicial de líquido. Como el factor integrante de esta ecuación diferencial lineal es e “roo, podemos formular la ecuación así: Al integrar esta ecuación y despejar A se obtiene la solución general A = 600 + ce-f’1oo. Cuando t = 0, A = 50, de modo que c = -550. Entonces, la cantidad de sal en el tanque en el momento t está definida por A(t) = 600 - 550e-f’1m. (7) Esta solución se empleó para formar la tabla de la figura 3.4b). En la ecuación (7) y en la figura 3.4 también se puede ver, que A + 600 cuando t + m. Esto es lo que cabría esperar en este caso; pasado un largo tiempo, la cantidad de libras de sal en la solución debe ser 8 (300 ga1)(2 lb/gal) = 600 lb. En el ejemplo 5 supusimos que la razón con que entra la solución al tanque es la misma que la razón con que sale. Sm embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la sahnuera mezclada se puede sacar a un flujo mayor o menor que el flujo de entrada de la otra solución; por ejemplo, si la solución bien mezclada del ejemplo 5 sale a un flujo menor, digamos de 2 gal/min, se acumulará líquido en el tanque a una tasa de (3 - 2) gal/min = 1 gal/min. Cuando 78 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN A lff,-----_ A=600 - - 500 t (8) t (min) A (Ib) 50 ’ 100 266.41 397.67 477.27 525.57 572.62 589.93 150 200 300 400 (b) FIGURA 3.4 hayan transcurrido t minutos, en el tanque habrán 300 + I galones de salmuera. La razón con que sale la sal es, entonces, R2 = (2 gal/min) &t lbigal) . Así, la ecuación (6) se transforma en $=6-$& osea g+&A=6. El lector debe comprobar que la solución de la última ecuación, sujeta a A(O) = 50, es A(t) = 600 + 2t - (4.95 X 107)(300 + t)-‘. Circuitos en serie Cuando un circuito en serie sólo contiene un resistor y un inductor (circuito LR), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje a través del inductor (L(dildt)) y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, (E(t)), al circuito (Fig. 3.5). FIGURA 3.5 Circuito LR en serie Sección 3.1 Ecuaciones hdes 79 Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corriente i(t), L 2 + Ri = E(t), (8) en que L y R son las constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, también, respuesta del sistema. 4_1‘3 R E c FIGURA 3.6 Circuito RC en serie La caída de voltaje a travCs de un capacitar de capacitancia C es q(t)lC, donde q es la carga del capacitar; por lo tanto, para el circuito en serie de la figura 3.6 (circuito RC), la segunda ley de Kirchhoff establece Ri + $ q = E(t). (9) Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante i = dqldt, así, la ecuación (9) se transforma I en la ecuación diferencial lineal R-z Ldt + @ - E(t)- (10) ‘0. Circuito en serie -1 m Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en señe LR, con una inductancia de f hem-y y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero. SOLUCIÓN Lo que debemos resolver, según la ecuación (8), es i$+lOi=12 sujeta a i(O) = 0. Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es eZof. A continuación lo sustituimos $ [ezO’i] = 24e”‘. 80 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Al integrar cada lado de esta ecuación y despejar i obtenemos i = f -t ce-“*. Si i(O) = 0, entonces 0 = 4 + c, o bien c = - 4; por consiguiente, la respuesta es i(t) = g - g e-20r. A partir de la ecuación (4) de la sección 2.3, podemos formular una solución general de (8): eW)‘E(t) dt + &Wr. (11) En especial, cuando I?((r) = EO es una constante, la ecuación (ll) se transforma en i(t) = $ + Ce-WW. w Observamos que cuando t + 00, el segundo término de la ecuación (12) tiende a cero. A ese término se le suele llamar término transitorio; los demás miembros se llaman parte de estado estable (o estado estacionario) de la solución. En este caso, EdR también se denomina corriente de estado estable o de estado estacionario; cuando el tiempo adquiere valores grandes, resulta que la corriente está determinada tan sólo por la ley de Ohm, E = iR. Examinemos la ecuación diferencial en el ejemplo 1, que describe el crecimiento de un cultivo del problema de valor inicial dN/dt = kN, N(to) = No de bacterias. La solución, NQ) = NOeo.4055’, es una función continua; pero en el ejemplo se habla de una población de bacterias, y el sentido común nos dice que N sólo adopta valores enteros positivos. Además, la población no crece en forma continua, -esto es, a cada segundo, microsegundo, etc.- como predice la función puede haber intervalos, [t,, t2], durante los que no haya crecimiento alguno. Quizá, entonces, la gráfica de la figura 3.7a) sea una descripción más real de N que la gráfica de una función exponencial. Muchas veces es más cómodo que exacto usar una función continua en la descripción de un fenómeno discreto. Sin embargo, para ciertos fines nos podemos dar por satisfechos si el modelo describe con gran exactitud el sistema, considerado macroscópicomente en el transcurso del tiempo, como en las figuras 3.7b) y c), y no considerado microscópicamente. N(t) = Noe0.4055t; (4 (b) FIGURA 3.7 (cl Sección 3.1 Ecuaciones hwaies 81 1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta eon una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco anos, Len cuanto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. Suponga que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de tres anos. ¿Cuál era la población inicial? ¿Cuál será en 10 anos? 3 . La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 anos. ¿Cuál será la población pasados 30 anos? 4 . En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 5. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%? 6. Cuando t = 0, había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad disminuyó el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule la cantidad que queda después de 2 horas. 7 . Calcule el periodo medio de vida de la sustancia radiactiva del problema 6. 8. a) El problema de valor inicial dAldt = kA, A(O) = Ao es el modelo de desintegración de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, el periodo medio de vida, T, de la sustancia es T = -(in 2)lk. b) Demuestre que la solución del problema de valor inicial en la parte a) se puede escribir A(t) = Ao2-T 9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente, la razón con que decrece su intensidad Z es proporcional a Z(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 ft bajo la superficie, es el 25% de la intensidad inicial le del rayo incidente. iCuál es la intensidad del rayo a 15 ft bajo la superficie? 10. Cuando el interés se capitaliza (o compone) continuamente, en cualquier momento la cantidad de dinero, S, aumenta a una tasa proporcional a la cantidad presente: dSldt = rS, donde r es la tasa de interés anual [Ec. (6), Sec. 1.31. a) Calcule la cantidad reunida al término de cinco anos, cuando se depositan $5000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5$% de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuantos años se habrá duplicado el capital inicial? c) Con una calculadora compare la cantidad obtenida en la parte a) con el valor de Este valor representa la cantidad reunida cuando el interés se capitaliza ca& trimestre. ll. En un trozo de madera quemada o carbón vegetal se determinó que el 85.5% de su C-l4 se había desintegrado. Con la información del ejemplo 3 determine la edad aproximada de 82 CAPíTULO 3 MODEIADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN la madera. Éstos son precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar los murales prehistókos de una caverna en Lascaux, Francia. 12. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5°F. Después de un minuto, el termómetro indica 55”F, y después de cinco marca 30°F. ¿Cuál era la temperatura del recinto interior? 13. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70°F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10°F. Pasado j minuto el termómetro indica 50°F. ¿Cuál es la lectura cuando t = 1 min? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15”F? 1 4 . La fórmula (3) también es válida cuando un objeto absorbe calor del medio que le rodea. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es 20°C se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ¿cuánto tiempo tardara en alcanzar 90°C si se sabe que su temperatura aumentó 2°C en un segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a 98”C? 1 5 . Se aplica una fuerza electromotriz de 30 v aun circuito en serie LR con 0.1 h de inductancia y 50 R de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(O) = 0. Halle la corriente cuando t 4 00. 16. Resuelva la ecuación (8) suponiendo que E(t) = EO sen wt y que i(O) = io. 17. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, donde la resistencia es 200 R y la capacitancia es lo4 f. Determine la carga q(t) del capacitar, si q(O) = 0. Halle la corriente i(t). 18. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que la resistencia es 1000 Q y la capacitancia es 5 x 10” f. Determine la carga q(t) del capacitar, si i(O) = 0.4 amp. Halle la carga cuando t + 00. 19. Se aplica una fuerza electromotriz 120, Osts20 E(t) = o t>20 L a un circuito en serie LR, en que la inductancia es 20 h y la resistencia es 2 IR. Determine la corriente, i(r), si i(O) = 0. 20. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor variable. Si la resistencia, en cualquier momento t es R = kr + kzt, donde kl y k2 > 0 son constantes conocidas, la ecuación (10) se transforma en (k, + k,t) ” + $q = E(t). Demuestre que si E(t) = EO y q(O) = qo, entonces q(f) = -W + tqo - EoC) 21. Un tanque contiene 200 1 de agua en que se han disuelto 30 g de sal y le entran 4 L/min de solución con 1 g de sal por litro; está bien mezclado, y de él sale líquido con el mismo flujo (4 L/min). Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. 22. Resuelva el problema 21 suponiendo que entra agua pura. Sección 3.1 Ecuaciones lineales 83 23. Un tanque tiene 500 gal de agua pura y le entra salmuera con 2 Ib de sal por galón a un flujo de 5 gal/min. El tanque está bien mezclado, y sale de él el mismo flujo de solución. Calcule la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. 24. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale a un flujo de 10 gal/min, permaneciendo igual lo demás. ¿CuAndo se vacía el tanque? 25. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 Ib de sal disuelta. Le entra salmuera con + Ib de sal por galón a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale un flujo de 4 gal/min de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. 26. En el ejemplo 5, el tamafio del tanque con la solución salina no apareció entre los datos. Como se describió en la página 78 el flujo con que entra la solución al tanque es igual, pero la salmuera sale con un flujo de 2 gal/min. Puesto que la salmuera se acumula en el tanque a una rapidez de 4 gal/min, en cualquier tanque finito terminara derramándose. Suponga que el tanque esta abierto por arriba y que su capacidad total es de 400 galones. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque cuando se comienza a derramar? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando al flujo de 3 gal/min, que el contenido está bien mezclado y que la solución sigue saliendo a un flujo de 2 gal/min. Determine un método para calcular la cantidad de libras de sal que hay en el tanque cuando t = 150 min. d) Calcule las libras de sal en el tanque cuando t + 00. ¿Su respuesta coincide con lo que cabría esperar? e) Use una graficadora para trazar la variación de A(t) durante el intervalo [0, -). 27. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa m en caída sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es m-=rng-kv, dt en que k es una constante de proporcionalidad positiva. a) Resuelva la ecuación, sujeta a la condición inicial v(O) = VO. b) Calcule la velocidad límite (o terminal) de la masa. c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad por medio de dsldt = v, deduzca una ecuación explícita para s, si también se sabe que s(O) = se. 28. La razón con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con la ecuación diferencial dx kx > -=rdt r y k son constantes positivas. La función x(t) describe la concentración del fátmaco en sangre en el momento t. Determine el valor límite de x(t) cuando t + 00. ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite? Suponga que x(O) = 0. 29. En un modelo demográfico de la población P(t) de una comunidad, se supone que dP dB dD -=---, dt dt dt en donde dBldt y dDldt son las tasas de natalidad y mortalidad, respectivamente. 84 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN a) Determine P(t) si $= klP y f$ = k,P. b) Analice los casos RI > ka, kl = k2 y kl < Rz. 30. La ecuación diferencial $ = (k cos t)P, en que k es una constante positiva, se usa con Cecuencia para modelar una población que sufre fluctuaciones estacionales anuales. Determine P(t) y grafique la solución. Suponga que P(O) = PO. 31. Cuando se tiene en cuenta lo olvidadizo de un individuo, la rapidez con que memoriza está definida por g = kl(M - A) - k2A, en que kl > 0, k2 > 0, A(t) es la cantidad de material memorizado en el tiempo t, M es la cantidad total por memorizar y M-A es la cantidad que resta por memorizar. Halle A(t) y grafique la solución. Suponga que A(O) = 0. Determine el valor límite de A cuando t + 00 e interprete el resultado. 32. Cuando todas las curvas de una familia G(x, y, CI) = 0 cortan ortogonalmente todas las curvas de otra familia, H(x, y, 4 = 0, se dice que las familias son trayectorias ortogonales entre sí (Fig. 3.8). Si dyldr =f(x, y) es la ecuación diferencial de una familia, la ecuación diferencial de sus trayectorias ortogonales es dy/uk = -1 lf(x, y). FIGURA 3.8 a) Formule una ecuación diferencial para la familia y = -x - 1 + cle’. b) Determine las trayectorias ortogonales a la familia de la parte a). 33. Los censos poblacionales en Estados Unidos de 1790 a 1950 aparecen en millones en la tabla adjunta. Sección AñO 3.1 Ecuaciones iinea!es 85 Población 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.433 38.558 50.156 62.948 75.996 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697 a) Con esos datos formule un modelo del tipo z=kP, P(O) = Po. b) Forme una tabla donde se compare la población predicha por el modelo de la parte a) con 10s censos de población. Calcule el error y el porcentaje de error para cada par de datos. Problemas para discusión 34. Suponga que un forense que llega a la escena de un crimen ve que la temperatura del cadáver es 82°F. Proponga datos adicionales, pero verosímiles, necesarios para establecer una hora aproximada de la muerte de la víctima, aplicando la ley de Newton del enfriamiento, ecuación (3). 35. El Sr. Pérez coloca al mismo tiempo dos tazas de café en la mesa del desayunador. De inmediato vierte crema en su taza, con una jarra que estaba desde hace mucho en esa mesa. Lee el diario durante cinco minutos y toma su primer sorbo. Llega la Sra. Pérez cinco minutos después de que las tazas fueron colocadas en la mesa, vierte crema la suya y toma un sorbo. Suponga que la pareja agrega exactamente la misma cantidad de,crema. ¿Quién y por qué toma su café más caliente? Base su aseveración en ecuaciones matemáticas. 36. Un modelo lineal de la difusión de una epidemia en una comunidad de n personas es el problema de valor inicial dx - = r(n - x), dt 40) = xo> en donde x(t) representa la población cuando el tiempo es t, r > 0 es una rapidez constante y xa es un entero positivo pequeño (por ejemplo, 1). Explique por qué, según este modelo, 86 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN todos los individuos contraerán la epidemia. Determine en cuanto tiempo la epidemia seguirá su curso. ECUACIONES NO LINEALES W Modelos demográficos n Rapidez relativa de crecimiento n n Función logística W Reacciones químicas de segundo orden Ecuación diferencial logística Modelos demográficos Si P(t) es el tamaño de una población en el momento t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPldt = kP para cierta k > 0. En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por dPldt P (1) se supone constante, igual a k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento demográfico. Así, cabe esperar que la razón (1) disminuya a medida que P aumenta de tamaño. La hipótesis que la tasa con que crece o decrece una población sólo depende del numero presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenómenos estacionales (consúltese el problema 18, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como sigue: !E$e = f(P) 0 sea $ = Pf(P). (2) Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos demográficos animales, se llama hipótesis de dependencia de densidad. Ecuación logística Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. Dicha cantidad se llama capacidad de sustento, o de sustentación, del ambiente. Entoncesf(K) = 0 para la fknciónfen la ecuación (2) y se escribe tambiénf(0) = r. En la figura 3.9 vemos tres funciones que satisfacen estas dos f(P) 4 K FIGURA 3.9 . P Sección 3.2 Ecuaciones no hmales 87 condiciones. La hipótesis más sencilla es que f(P) es linea!; esto es, que f(P) = CIP + ~2. Si aplicamos las condiciones f(O) = r y f(K) = 0, tenemos que c2 = r y CI = -rlK, respectivamente, y f adopta la forma f(P) = r - (r/K)P. Entonces la ecuación (2) se transforma en $=P ( r-XP . 1 (3) Si redefinirnos las constantes, la ecuación no lineal (3) es igual a la siguiente: (4) Alrededor de 1840, P. F. Verhufst, matemático y biólogo belga, investigó modelos matemáticos para predecir la población humana en varios países. Una de las ecuaciones que estudió fue la (4), con a > 0 y b > 0. Esa ecuación se llamó ecuación logística y su solución se denomina función logística. La gráfica de una función logística es la curva logística. La ecuación diferencial dPldt = kP no es un modelo muy fiel de la población cuando ésta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativos sobre el ambiente (como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible). Esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento demográfico. Según veremos a continuación, la solución de (4) está acotada cuando t + =. Si se rearregla esa ecuación en la forma dP/dt = aP - bP2, el término no lineal -bP2, se puede interpretar como un término de “inhibición” o “competencia.” Asimismo, en la mayor parte de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b. Se ha comprobado que las curvas logísticas predicen con bastante exactitud las pautas de crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Daphnia) y moscas de la fruta (Drosophila) en un espacio limitado. Solución de la ecuación logística Uno de los métodos para resolver la ecuación (4) es por separación de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dPIP(a - bP) = dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene bla lla+ dP=dt P a-bP 1 iln[PJ - ilnla - bPI = t + c P - = clea’. a - bP Como consecuencia de la última ecuación, p(t) = war = acl 1 + bcle”’ bc, + emor’ Si P(O) = PO, Po + alb, llegamos a ct = Pol(a - bP0) y así, sustituyendo y simplificando, la solución es 88 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN P(r) = apO bP0 + (a - bP&?““ (5) Gráficas de P(t) La forma básica de la gráfica de la función logística P(f) se puede conocer sin mucha dificultad. Aunque la variable t suele representar al tiempo -y casi no nos ocupamos de aplicaciones en que t < 0-, tiene cierto interés incluir ese intervalo al presentar las diversas gráficas. Según (5) vemos que aP0 P(t)+-=aasf+w bP, b Y P(t)+Oast+ -03. La línea de puntos P = a/2b de la figura 3.10 corresponde a la ordenada de un punto de inflexión de la curva logística. Para caracterizarlo diferenciamos la ecuación (4) aplicando la regla del producto: $=P ( -bg ) +(a-bP)$=$(a-2bP) = P(a - bP)(a - 2bP) =,,,(P-$(P-&). Recuérdese, del cálculo diferencial, que los puntos en donde &P/d? = 0 son posibles puntos de inflexión, pero se pueden excluir P = 0 y P = alb; de aquí que P = al2b sea el único valor posible para la ordenada a la cual puede cambiar la concavidad de la gráfica. Entonces, P” = 0 cuando 0 < P < af2b, y al2b < P < alb significa que Pr’ < 0; por consiguiente, al avanzar de izquierda a derecha la gráfica cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P = a/2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 <Po < a/2b, la gráfica de P(f) toma la forma de una S [Fig. 3. loa)]. Cuando a/2b C PO C a/b, la gráfica sigue teniendo la forma de S, pero el punto de inflexión está en un valor negativo de t [Fig. 3. lOb)]. ta) - - - - - - - FIGURA 3.10 89 Sección 3.2 Ecuaciones no lineales Ya vimos la ecuación (4) en la ecuación (9) de la sección 1.3, donde tenía la forma aWdr = kx(n + 1 -x), k > 0. Esta ecuación diferencial es un modelo razonable para describir la difusión de una epidemia que comienza cuando un individuo infectado se introduce en una población estática. La solución x(l) representa la cantidad de sujetos que contraen la enfermedad en cualquier momento. Crecimiento logístico Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de tados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se cuatro días ~(4) = 50. Suponiendo que nadie sale del campus el problema de valor inicial SOLUCIÓN dx -jy = kx(1000 - x), escuela, donde hay es proporcional no alumnos no infecobserva que a los durante la epidemia, debemos resolver x(O) = 1. Sustituimos a = 1 OOOk y b = k en la ecuación (5) y vemos de inmediato que x(t) = 1000k k + 999ke-lmk’ 1000 = 1 + 999e-lwk” Usamos la condición ~(4) = 50 y calculamos k con 50 = 1000 1 + 999emmk’ Esto da como resultado -1 OOOk = a ln s = -0.9906. Entonces x(t) = La respuesta es ~(6) = 1000 1 + 999e-O.‘M” 1000 = 276 alumnos 1 + 999e-5.9436 En la tabla de la figura 3. ll b) hay otros valores calculados de x(t). n Curvas de Gompertz Otra ecuación que tiene la forma de la ecuación (2) es una modikación de la ecuación logística $ = P(a - b In P), (6) 90 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ta) x (number infected) t (days) 50 (observed) 124 4 5 276 507 73s 882 953 6 7 8 9 10 (b) FIGURA 3.11 en donde a y b son constantes. Por separación de variables se comprueba con facilidad (consúltese el problema 5 en los ejercicios 3.2) que una solución de la ecuación (6) es p@) = &be-ce?‘, (7) en donde c es una constante arbitraria. Cuando b > 0, P + edb cuando t + 00, mientras que 00. La gráfica de la función (7) se llama curva de cuandob<Oyc>O,P+Ocuandot+ Gompertz y se parece mucho a la gráfica de la función logística. La figura 3.12 muestra dos formas de la gráfica de P(t). Las funciones como la ecuación (7) surgen, por ejemplo, al describir el aumento o la disminución de ciertas poblaciones, en el crecimiento de tumores, en predicciones actuariales y en el incremento de las utilidades por la venta de un producto comercial. Supongamos que se combinan a gramos de la sustancia A con b gramos de la sustancia B. Si, para formar X(t) gramos de la sustancia C se necesitan Mpartes de A y N partes de B, los gramos de las sustancias A y B que quedan en cualquier momento son, respectivamente, Reacciones químicas a-MX y M+N b-N M+NX’ Según la ley de acción de masas, la rapidez de reacción se apega a +NX )( (8) Sección 3.2 Ecuaciones no lineales 91 6) 7 (b) FIGURA 3.12 Sacamos a M(M + N) como factor común del primer factor, a NI(A4 + N) del segundo e introducimos una constante de proporcionalidad, k > 0, con lo cual la ecuación (8) adquiere la forma % = k(a - X)(/3 - X), en que ct = a(M + N)IM y p = b(M + N)IN. De acuerdo con la ecuación (7) de la sección 1.3, una reacción química que responde a la ecuación diferencial no lineal (9) se llama reacción de segundo orden. Reacción química de segundo orden Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C. La reacción entre ambas es tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C en función del tiempo si la velocidad de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solución cuando t + w. SOLUCIÓN Sean X(t) los gramos del compuesto C presentes cuando el tiempo es f. Está claro que X(O) = 0 y X( 10) = 30 g. Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b gramos de B, de tal modo que a + b = 2 y b = 4a; por consiguiente, debemos emplear a = 2 = 2(‘) g de la sustancia A y b = 5 = 2(:) de B. En general, para obtener Xgramos de C debemos implear $gdeA y $YgdeB. 92 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Entonces, las cantidades de A y B que quedan en cualquier momento son 50-5 y 32-;X, respectivamente. Sabemos que la rapidez de formación del compuesto C está definida por Para simplificar las operaciones algebraicas, sacaremos a + como factor común del primer término, 0 del segundo e introduciremos la constante de proporcionalidad: 9 = k(250 - X)(40 - X). Separamos variables y por fracciones parciales llegamos a -exdX+ exdX= kdt. Al integrarla obtenemos 0 sea 250 -x m=c2e 210kr . (10) Cuando t = 0, X= 0, y en consecuencia CL = y. Cuando X= 30 g cuando t = 10, vemos que 21 Ok = 6 In E = 0.1258. Con estos datos despejamos X de la última de las ecuaciones (10): 1 _ e-0.1258r X(t) = 1000 25 _ 4e-0.1258t’ (11) En la figura 3.13 se muestra el comportamiento de X en íkncjón del tiempo. Según la tabla de esa figura y la ecuación (1 l), está claro que X + 40 cuando t + 00. Esto quiere decir que se forman 40 gramos de la sustancia C y que quedan 50-$(40)=42gdeA y 32-4(40)=OgdeB. No obstante contar con la integral 20 en la Tabla de integrales al final del libro, podría ser más útil la forma alternativa, en función de la tangente hiperbólica inversa = s! tah-’ !! + c, ha a al resolver algunos de los problemas en los ejercicios 3.2. w Sección 3.2 Ecuaciones no lineales 10 1.5 20 25 30 35 93 30 (medido) 34.78 37.25 38.54 39.22 39.59 09 FIGURA 3.13 1. La cantidad C(r) de supermercados que emplean cajas computarizadas en un país esta definida por el problema de valor inicial $ = C(1 - 0.0005c), C(O) = 1, en donde r > 0. ¿Cuántos supermercados utilizan el método computarizado cuando t = 10? ¿Cuántos lo adoptaran después de un tiempo muy largo? 2 . La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio se apega a la ecuación logística. Al principio, N(O) = 500 y se observa que N(l) = 1000. Se pronostica que habrá un límite de 50 000 individuos que verán el anuncio. Determine N(t)3. El modelo demográfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad esta descrito por el problema de valor inicial dP dt = P(lO-’ - lo-‘P), P(O) = xloo, en donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuándo la población la mitad de ese valor límite? igualara 94 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4. Determine una solución de la ecuación logística modificada 5 = P(a - bP)(l - CP), a, b, c > 0. 5. a) Resuelva la ecuación (6): dP dt = P(a - b In P). b) Determine el valor de c en la ecuación (7), si P(O) = PO. 6. Suponga que 0 < PO < ealb, y que a > 0. Use la ecuación (6) para determinar la ordenada del punto de inflexión de una curva de Gompertz. 7. Dos sustancias, A y B, se combinan para formar la sustancia C. La rapidez de reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en C. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se consumen 2 de A. Se observa que a los cinco minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cuánto de C se forma en 20 minutos? Cual es la cantidad límite de C al cabo de mucho tiempo? ¿Cuánto de las sustancias A y B queda después de mucho tiempo? 8 . Resuelva el problema 7 si hay al principio 1 OO gramos del reactivo A. ¿Cuándo se formará la mitad de la cantidad límite de C? 9. Obtenga una solución de la ecuación que describe las reacciones de segundo orden. Describa los casos Q f ,B y û: = /?. 10. En una reacción química de tercer orden, los gramos X de un compuesto que se forma cuando se combinan tres sustancias se apegan a $ = k(a - X)@ - X)(y - X). Resuelva la ecuación suponiendo que Q f /3 f y. ll. La profundidad h del agua al vaciarse un tanque cilíndrico vertical por un agujero en su fondo está descrita por dh -v5&, X=-A, g = 32 ft/s2, en donde A, y Ao son las áreas transversales del tanque y del agujero, respectivamente [Ec. (14), Sec. 1.31. Resuelva la ecuación con una profundidad inicial del agua de 20 ft, A, = 50 ftz y Ao = i ft*. ¿En qué momento queda vacío el tanque? 1 2 . ¿Cuánto tarda en vaciarse el tanque del problema ll si el factor por fricción y contracción en el agujero es c = 0.6? (Vea el problema 7 de los ejercicios 1.3.) 13. Resuelva la ecuación diferencial de la tractriz Sección 3.2 Ecuaciones no hea~es 95 (vea el problema 13, en 10s ejercicios .13). Suponga que el punto inicial en el eje y es (0, 10) y que la longitud de la cuerda es s = 10 pies. 14. Según la ley de Stefan de la radiación, la rapidez de cambio de la temperatura de un objeto cuya temperatura absoluta es T, es $ = k(T4 - T,,,4), en donde Tm es la temperatura absoluta del medio que lo rodea. Determine una solución de esta ecuación diferencial. Se puede demostrar que, cuando T - T,,, es pequeña en comparación con T,,,, esta ecuación se apega mucho a la ley de Newton del enfriamiento [Ec. (lo), Sec. 1.31. 15. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa m que cae cuando la resistencia que le opone el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, es rn-=rng-ku2, dt en que k es una constante de proporcionalidad positiva. a) Resuelva esta ecuación sujeta a la condición inicial v(O) = vg. b) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa. c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad de caída mediante dsisldt = v, deduzca una ecuación explícita de s, sabiendo que s(O) = SO. 16. a) Deduzca una ecuación diferencial para describir la velocidad v(t) de una masa m que se sumerge en agua, cuando la resistencia del agua es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y, al mismo tiempo, el agua ejerce una fuerza de flotación hacia arriba, cuya magnitud la define el principio de Arquímedes. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. b) Resuelva la ecuación diferencial que obtuvo en la parte a). c) Calcule la velocidad límite, o terminal, de la masa que se hunde. 17. a) Si se sacan o “cosechan” h animales por unidad de tiempo (h constante), el modelo demográfico P(t) de los animales en cualquier momento t es $=P(a-bP)-h, P(O) = Po, en donde a, b, h y PO son constantes positivas. Resuelva el problema cuando a = 5, b = 1 yh=4. b) Use un programa para determinar el comportamiento a largo plazo de la población en lapartea),cuandoPo>4, 1 <Po<4yO<P,~<l. c) Si la población se extingue en un tiempo finito, determine ese tiempo. 18. a) Use los datos censales de 1790, 1850 y 1910, para Estados Unidos (tabla anexa al problema 33, ejercicios 3.1) y forme un modelo demográfico del tipo $ = P(a - bP), P(O) = Po. b) Forme una tabla para comparar la población predicha por el modelo en la parte a) con la población según el ceso. Calcule el error y el porcentaje de error con ca& par de datos. 96 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1 9 . Determine las trayectorias ortogonales de la familia y = l/(x + CI) (problema 32, ejercicios 3.1). Use una graficadora para trazar ambas familias en el mismo conjunto de ejes coordenados. 20. Si se supone que una bola de nieve se funde de tal modo que su forma siempre es esférica, un modelo matemático de su volumen es en donde S es el área superficial de una esfera de radio r, y k < 0 es una constante de proporcionalidad (problema 19, ejercicios 1.3). a) Replantee la ecuación diferencial en términos de V(t). b) Resuelva la ecuación en la parte a), sujeta a la condición inicial V(O) = Vo. c) Si r(O) = ro, determine el radio de la bola de nieve en función del tiempo t. ¿Cuándo desaparece la bola de nieve? 21. La ecuación diferencial &= -X+W dx Y describe la forma de una curva plana, C, que refleja todos los rayos de luz que le llegan y los concentra en el mismo punto (problema 17, ejercicios 1.3). Hay varias formas de resolver esta ecuación. a) Primero, compruebe que la ecuación diferencial sea homogénea (Sec. 2.4). Demuestre que la sustitución y = ux da como resultado dx udu -\/l+ui(l-ViTTr)=x* Use un sistema algebraico de computación (SAC) o alguna sustitución adecuada para integrar el lado izquierdo de la ecuacion. Demuestre que la curva C debe ser una parábola con foco en el origen, simétrica con respecto al eje X. b) A continuación demuestre que la primera ecuación diferencial se puede escribir en la forma alternativa y = 2xy’ + Y(JJ’)~. Sea w = J? y aplique el resultado del problema 54, ejercicios 1.1, para resolver la ecuación diferencial resultante. Explique cualquier diferencia que exista entre esta respuesta y la que obtuvo en la parte a). c) Por último, demuestre que la primera ecuación diferencial también se puede resolver con la sustitución u = x2 + y’. 22. Un modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto es 1 dW2 ( - ) zdx =2w2-- w3, en donde W(x) es la altura de la ola en función de su posición relativa a un punto determinado en alta mar. a) Por inspección, determine todas las soluciones constantes de la ecuación diferencial. b) Use un sistema algebraico de computación para determinar una solución no constante de la ecuación diferencial. c) Con una graficadora, trace todas las soluciones que satisfagan la siguiente condición inicial: W(O) = 2. Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineoles y no lineales 97 \/.\, *-‘y caída libre t FIGURA 3.14 Problema para discusión 23. Un paracaidista que pesa 160 Ib, se arroja de un avión que vuela a 12 000 ft de altura. Después de caer libremente durante 15 s, abre su paracaídas. Suponga que la resistencia del aire es proporcional a 2 cuando no se abre el paracaídas y a la velocidad v después de abrirlo (Fig. 3.14). Para una persona con este peso, los valores normales de la constante k en los modelos del problema 27, ejercicios 3.1, y el problema 15 anterior, son k = 7.857 y k = 0.0053, respectivamente. Calcule el tiempo que tarda el paracaidista en llegar al suelo. iCuál es su velocidad de impacto con el suelo? SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES n Sistema de ecuaciones diferenciales como modelo matemático W Sistemas lineales y no lineales W Desintegración radiactiva n Mezclas n Modelo de Lotka-Volterra depredador-presa n Modelos de competencia W Redes eléctricas Hasta ahora, todos los modelos matemáticos descritos han sido ecuaciones diferenciales únicas. Una sola ecuación diferencial puede describir una población en un ambiente; pero si hay, por ejemplo, dos especies que interactúan y compiten en el mismo ambiente (por ejemplo, conejos y zorros), el modelo demográfico de sus poblaciones x(t) y y(t) podría ser un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, como (1) 98 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Cuando gt y g2 son lineales en las variables x y y +sto es, gr(x, y) = CIX + cu +fi(t), y g2(x, se dice que el sistema (1) es un sistema lineal. Un sistema de ecuaciones diferenciales que no es lineal se denomina no lineal. En esta sección describiremos unos modelos matemáticos partiendo de algunos de los temas expuestos en las dos secciones anteriores. Esta sección se parece a la 1.3 porque abordaremos algunos modelos matemáticos que son sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, sin desarrollar método alguno para resolverlos. Hay motivos para no resolver ahora esos sistemas: en primer lugar, todavía no conocemos las herramientas matemáticas necesarias y, en segundo, algunos de los sistemas que describiremos simplemente no se pueden resolver. En el capítulo 8 examinaremos los métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales de primer orden, y en los capítulos 4 y 7, para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Y)=c3x+cey+.h(~)-, Series radiactivas Para describir la desintegración radiactiva en las secciones 1.3 y 3.1, supusimos que la razón de desintegración es proporcional al numero A(r) de núcleos de la sustancia presentes en el momento t. Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no sólo se transmuta en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decae y forma una tercera sustancia, etc. Este proceso se llama serie de desintegración radiactiva (o serie radiactiva) y continúa hasta llegar a un elemento estable. Por ejemplo, la serie del uranio es U-238 + Th-234 + . . + Pb-206, donde este último es un isótopo estable del plomo. Los periodos medios de vida de los diversos elementos en una serie radiactiva pueden ser de miles de millones de años (4.5 x 10’ tios para el U-238) hasta una fracción de segundo. Supongamos que una serie radiactiva se esquematiza con X % Y * Z , y que kr = -XI < 0 y k2 = -AZ < 0 son las constantes de desintegración de los elementos Xy Y, respectivamente, y que Z es un elemento estable. Supongamos también que x(t), y(t) y z(t) representan las cantidades de los elementos X, Y y Z, respectivamente, que quedan en cualquier momento. La desintegración del elemento X está definida por mientras que la razón con que desintegra el segundo elemento, Y, es la razón neta dY z = h,x - h2y porque gana átomos cuando desintegra X, y al mismo tiempo pierde átomos por su propia desintegración. Como Z es un elemento estable, sólo está ganando átomos por el desintegramiento del elemento Y: dz z= AZY. En otras palabas, un modelo de la serie radiactiva de tres elementos es el sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden &=-Ax dt ’ Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 99 dz x = h2Y. Mezclas Examinemos los dos tanques de la figura 3.15. Para fines de nuestra descripción, supongamos que el tanque A contiene 50 galones de agua en que se disolvieron 25 libras de sal. Consideremos que el tanque B contiene 50 galones de agua pura. El líquido es bombeado dentro y fuera de los tanques, como se ve en la figura; la mezcla se intercambia entre ambos y se supone que el líquido que sale de B ha recibido una buena agitación. Deseamos formar un modelo matemático que describa los números XI(~) y n(t) de libras de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el momento t. mezcla, agua pura, 3 gidhnill 1 gal/min B A \ 5-- L-( I-T + mezcla, 3 gal/min mezcla, 4 gal/min FIGURA 3.15 -* Mediante un análisis parecido al de la página 24 en la sección 1.3 y en el ejemplo 5 de la sección 3.1, para el tanque A, la tasa neta de cambio de XI(~) es I tasa de entrada de la sal * \ % = (3 gal/min) *(0 lb/gal) + (1 gal/min) . r tasa de salida de la sal .A - (4 gal/min) * 2 1 = - 25x1 + 50x2. De igual forma, para el tanque B, la tasa neta de cambio de XZ(~) es dxz=4.L3.?L@ dt 50 50 50 2 2 = 25x1 - 25x2. Así llegamos al sistema lineal d-x-Zx +Ix -dt 25 ’ 50 2 (3) 100 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dx2 -dt - _ 25x12 2 - 25x2. Observamos que el sistema anterior tiene las condiciones iniciales x](O) = 25, ~(0) = 0. Modelo depredador-presa Supongamos que dos especies animales interactúan en el mismo ambiente o ecosistema; la primera sólo come plantas y la segunda se alimenta de la primera. En otras palabras, una especie es depredador y la otra es la presa; por ejemplo, los lobos cazan a los caribús que se alimentan de pasto, los tiburones devoran a los peces pequeños y el búho de las nieves persigue a un roedor ártico llamado Zemming. Para fines de nuestra descripción, imaginemos que los depredadores son zorros y las presas, conejos. Sean x(t) y JJ(~) las poblaciones de zorros y conejos en cualquier momento t. Si no hubiera conejos, cabría esperar que los zorros disminuyeran en numero siguiendo la ecuación dx z=-MT a > 0. Al carecer del suministro alimenticio adecuado. Por otro lado, cuando hay conejos en el ecosistema parece lógico imaginar que la cantidad de encuentros o interacciones por unidad de tiempo entre ambas especies, es proporcional simultáneamente a sus poblaciones, x y y; o sea, es proporcional al producto xy. Así, cuando hay conejos, hay alimento para los zorros y éstos aumentan en el ecosistema a una tasa bxy > 0. Al sumar esta tasa a la ecuación (4) se obtiene un modelo demográfico para estos depredadores: dx - -ax + bxy. z- Por otro lado, cuando no hay zorros y si se supone además que las reservas de alimento son ilimitadas, los conejos aumentarían con una rapidez proporcional al número de especímenes existentes en el momento t: & x= d y , d>O. Pero cuando hay zorros, el modelo demográfico para los conejos es la ecuación (6) menos cxy, c > 0; esto es, disminuye según la rapidez con que son comidos: 4 = dy - cxy. z Las ecuaciones (5) y (7) forman un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales $ = -ax + bxy = x(-a + by) !!L dt - dy - cxy (8) = y(d - cx), en donde a, b, c y d son constantes positivas. Éste es un sistema famoso de ecuaciones y se llama modelo depredador-presa de Lotka-Volterra. Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 101 A excepción de las dos soluciones constantes x(t) = 0, r(r) = 0, y x(t) = dlc, r(f) = ulb, el sistema no lineal (8) no se puede resolver en términos de funciones elementales; sin embargo, podemos analizar en forma cuantitativa y cualitativa esos sistemas. Véase el capítulo 9, Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelo depredador-presa Supongamos que dx dt = -0.16~ + 0.08~~ dy = 4.5y - 0.9xy x representa un modelo depredador-presa. Como estamos manejando poblaciones, x(t) L 0, y(t) 2 0. La figura 3.16 se obtuvo con ayuda de un programa, y muestra las curvas características de las demografías de depredadores y presas para este modelo, sobrepuestas en los mismos ejes coordenados. Las condiciones iniciales empleadas fueron x(O) = 4, y(O) = 4. La curva en negro representa la población x(t) del depredador (zorros) y la curva en color a la JJ(~) de la presa (conejos). Obsérvese que el modelo parece predecir que ambas poblaciones, x(t) y y(r), son periódicas. Esto tiene sentido intuitivamente, porque cuando disminuye la cantidad de presas, la cantidad de depredadores terminará reduciéndose por el menor suministro alimenticio; pero a causa de un decremento en la cantidad de depredadores, aumenta la cantidad de presas; esto, a su vez, origina un mayor número de depredadores, que más adelante originan otra disminución en la cantidad de presas. n depredador FIGURA 3.16 Modelos de competencia Ahora consideremos que hay dos especies animales distintas que ocupan el mismo ecosistema, no como depredador y presa, sino como competidores en el uso de los mismos recursos, como alimentos o espacio vital. Cuando falta una especie, supongamos que la razón de crecimiento demográfico de cada especie es dx d;=l= respectivamente. Y 4 z=cy, 102 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En vista de que las dos especies compiten, otra hipótesis podría ser que cada una se ve menguada por la influencia (o existencia) de la otra población. Así, un modelo de las dos poblaciones es el sistema lineal en que a, b, c y d son constantes positivas. Por otra parte, podríamos suponer, como lo hicimos en la ecuación (5), que cada rapidez de crecimiento en las ecuaciones (9) debe disminuir a una tasa proporcional a la cantidad de interacciones entre las dos especies: dx - = ax - bxy dt dY - = cy - dxy. dt (11) Vemos por inspección que este sistema no lineal se parece al modelo depredador-presa de Lotka-Volterra. Sería más real reemplazar las tasas en las ecuaciones (9) -que indican que la población de cada especie aislada crece en forma exponencial- con tasas que reflejen que cada población crece en forma logística (esto es, que la población permanece acotada): dx - = a,x - blx2 dt dy = a2y - bzy2. z Y W) Si a esas nuevas tasas se les restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones, llegamos a otro modelo no lineal ak -g = alx - bg* - clxy = x(al - blx - qy) &dt - a2.y - bu* - c2xy = y(a2 - bu - qx), (13) en que todos los coeficientes son positivos. El sistema lineal (10) y los sistemas no lineales (ll) y (13) se llaman modelos de competencia. Redes Una red eléctrica con más de un ciclo también origina ecuaciones diferenciales simultáneas. Como vemos en la figura 3.17, la corriente i,(t) se divide en las direcciones indicadas en el punto BI, que se llama nodo de la red. Según la primera ley de Kirchhoff podemos escribir i,(t) = i*(t) + if(t) (14) Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales Al 4 Cl A2 B2 c2 103 FIGURA 3.17 Además, podemos aplicar también la segunda ley de Kirchhoff a cada circuito. Para el circuito ,4$&&4,, sumamos las caídas de voltaje a través de cada uno de sus elementos y llegamos a E(t) = ilR1 + Ll f + i2R2. (15) De igual manera, para el circuito A $1 CI C&A2Al, vemos que E(t) = ilR1 + Ll%. (16) Usamos la ecuación (14) a fin de eliminar il de la (15) y (16), y obtenemos dos ecuaciones lineales de primer orden para las corrientes iz(t) e h(t): di2 Ll -g + (RI + R+z + Rli3 = E(t) (17) Rli2 + R,is = E(t). Dejamos como ejercicio (problema 14) demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe las corrientes i,(t) e i2(t) de la red con un resistor, un inductor y un capacitar (Fig. 3.18) es L 2 + Ri2 = E(t) (18) RC $f + i2 - il = 0. FIGURA 3.18 104 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1. No hemos descrito método alguno para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden; sin embargo, los sistemas como el (2) se pueden resolver con sólo saber resolver una sola ecuación lineal de primer orden. Determine una solución del sistema (2), sujeta a las condiciones iniciales x(O) = XO, y(O) = 0 y z(O) = 0. 2 . En el problema 1 suponga que el tiempo se mide en días, que las constantes de desintegración son Rr = -0.138629 y k2 = -0.00495 1, y también que xg = 20. Con una graticadora, trace las curvas de las soluciones x(t), y(t) y z(t) en el mismo conjunto de coordenadas. Con las gráficas estime los periodos medios de los elementos Xy Y. 3. Use las gráficas del problema 2 para aproximar los tiempos en que son iguales las cantidades x(l) y y(t), x(l) y z(l) y(t), y z(t). ¿Por qué se puede aceptar intuitivamente el tiempo determinado por igualación de y(r) y z(j)? 4. Establezca un modelo matemático de una serie radiactiva de cuatro elementos, fl X; Y y Z, donde Z es un elemento estable. 5 . Se tienen dos tanques, A y B, a los que entra y sale líquido con los mismos flujos, de acuerdo con lo que describe el sistema de ecuaciones (3). ¿Cuál sería el sistema de ecuaciones diferenciales si, en lugar de agua pura, entrara al tanque A una salmuera con 2 Ib de sal por galón? 6. Con la información de la figura 3.19 formule un modelo matemático para el mínimo de libras de sal, x,(t), x*(t) y xi, en cualquier momento en los tanques A, B y C, respectivamente. agua pura, 4 gal/min mezcla, 2 gal/min mezcla, 1 gal/min mezcla, 6 gallmin mezcla, 5 gal/min mezcla, 4 gal/min FIGURA 3.19 7. Hay dos tanques A y B, y al principio hay 100 gal de salmuera en cada uno. El tanque A contiene 100 Ib de sal disueltas y el B, 50 lb. El sistema es cerrado, porque los líquidos bien agitados sólo pasan de un tanque a otro como vemos en la figura 3.20. Use la información de la figura para formar un modelo matemático de las libras de sal XI(T) y x2(t) en cualquier momento t en los tanques A y B, respectivamente. 8. En el problema 7 del sistema de dos tanques, hay una relación entre las variables x](t) y xz(r) válida para cualquier momento. ¿Cuál es? Use esta relación como ayuda para hallar la cantidad de sal en el tanque B cuando I = 30 min. Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 105 mezcla, 2 gal/min FIGURA 3.20 9 . Se tiene un modelo depredador-presa de Lotka-Volterra dx, dt definido por -O.lX + 0.02xy 4 -& = 0.2y - o.o25xy, en que las poblaciones x(t) del depredador, y y(t), de la presa, se expresan en miles. Con un programa, calcule, aproximadamente, el momento I > 0 cuando se igualan por primera vez las poblaciones suponiendo x(O) = 6, y(O) = 6. Use las gráficas para hallar el periodo aproximado de cada población. 10. Se tiene el modelo de competencia defínido por dx -& = x(2 - 0.4x - 0.3y) dy = y(1 - O.ly - 0.3x), d; en que las poblaciones, x(t) y y(r) se expresan en miles y I en anos. Con un ODE solver, analice las poblaciones a través de un largo periodo en cada uno de los casos siguientes: a) x(O) = 1.5, y(O) = 3.5 b) x(O) = 1, y(O) = 1 c) x(O) = 2, y(O) = 7 d) x(O) = 4.5, y(O) = 0.5 l l . Se tiene el modelo de competencia definido por dx -& = X(1 - 0.1.X - 0.05y) & x = y(1.7 - O.ly - O.l5x), en que las poblaciones x(t) y y(t) se expresan en miles y t en años. Con un ODE solver, analice las poblaciones en un largo periodo en cada uno de los casos siguientes: a)x(O)= 1, y(O)= 1 b) x(O) = 4, y(O) = 10 c) x(O) = 9, y(O) = 4 d) x(O) = 5.5, y(O) = 3.5 106 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN FIGURA 3.21 12. Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales para describir las corrientes iz(t) e &(t) en la red eléctrica de la figura 3.21 es el siguiente: L$f + L$? + Rli2 = E ( t ) -Ri!?+R&+li =o ’ dt 2dt C3 ’ 13. Formule un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que describa las corrientes iz(t) e is en la red eléctrica de la figura 3.22. RI AL 4 i3 ‘Q2 FIGURA 3.22 14. Demuestre que el sistema lineal de las ecuaciones (18) describe las corrientes i](t) e iz(t) en la red de la figura 3.18. [Sugerencia: dq/dt = i3.1 15. Una enfermedad contagiosa se difunde en una comunidad pequeña, con población fija de n personas, por contacto directo entre los individuos infectados y los susceptibles al padecimiento. Suponga que al principio todos son susceptibles y que nadie sale de la comunidad mientras se difunde la epidemia. Cuando el tiempo es t, sean s(t), i(t) y r(t), la cantidad de personas -en miles- susceptibles pero no infectadas, las infectadas por la enfermedad y las que se recuperaron de la enfermedad, respectivamente. Explique por qué el sistema /de ecuaciones diferenciales ds - = -klsi dt !!L-ki+k~~ dt 2 ’ Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 107 en que kl (tasa de infección) y k2 (tusa de eliminación o recuperación) son constantes positivas, es un modelo matemático razonable para describir la difusión de la epidemia en la comunidad. Proponga unas condiciones iniciales plausibles asociadas con este sistema de ecuaciones. 16. a) Explique por qué en el problema 15 basta con analizar &= -ksi dt ’ @=-ki+ksi dt 2 ” b) Sean kl = 0.2, k2 = 0.7 y n = 10. Escoja diversos valores de i(O) = io, 0 < io < 10. Con un ODE solver prediga el modelo acerca de la epidemia en los casos so > k2/kl y SO 5 k2Ikl. En el caso de una epidemia, determine la cantidad de personas que se contagiaran en último término. Problemas para discusión 17. Suponga que los compartimientos A y B de la figura 3.23 están llenos de fluidos y que están separados por una membrana permeable. Dicha figura muestra el exterior e interior de una célula. También suponga que el nutriente necesario para el crecimiento de la célula pasa a través de la membrana. Un modelo de las concentraciones x(t) y y(t) del nutriente en los compartimientos A y B, respectivamente, en el momento t, es el sistema lineal de ecuaciones diferenciales dx d;‘$Y -4 dy ~=;(x-Y)? en donde VA y VB son los volúmenes de los compartimientos y k > 0 es un factor de permeabilidad. Sean x(O) = xs y y(O) = ys las concentraciones iniciales del nutriente. Con base sólo en las ecuaciones del sistema y en la hipótesis xo > yc > 0, trace curvas probables fluido a la concentración NO fluido a la concentración .HO membrana FIGURA 3.23 108 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN de solución del sistema en el mismo sistema de ejes coordenados. Explique su razonamiento. Discuta el comportamiento de las soluciones cuando t tiende a infinito 18. El sistema del problema 17, al igual que el de las ecuaciones (2), se puede resolver sin grandes conocimientos. Despeje x(t) y y(t) y compare las gráficas con su conjetura respecto del problema 17. [Sugerencia: reste las dos ecuaciones y haga z(l) =x(t) -y(t).] Determine los valores límite de x(l) y r(t) cuando t + 03. Explique por qué concuerdan con lo que cabría esperar intuitivamente. 1 9 . Con base en la pura descripción física del problema de mezclas de las páginas 99 y 1 OO y la figura 3.15, describa la naturaleza de las funciones XI(~) y xi. ¿Cuál es el comportamiento de cada función durante un periodo amplio? Trace las posibles gráficas de xt(t) y xi. Compruebe sus conjeturas empleando un programa para obtener las curvas de solución de las ecuaciones (3), sujetas a XI(O) = 25, x2(0) = 0. 1. En marzo de 1976, la población mundial llegó a 4000 millones. Una revista predijo que con una tasa de crecimiento anual promedio de 1.8%, la población mundial sería de 8000 millones al cabo de 45 anos. ¿Cómo se compara este valor con el que predice el modelo según el cual la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cualquier momento? 2 . A un recinto de 8000 fi3 de volumen entra aire con 0.06% de dióxido de carbono. El flujo de entrada es 2000 fi3/min y sale con el mismo flujo. Si hay una concentración inicial de 0.2% de dióxido de carbono, determine la concentración en el recinto en cualquier instante posterior. ¿Cuál es la concentración a los 10 min? ¿Cuál es la concentración de estado estable, o de equilibrio, del dióxido de carbono? 3. Un marcapasos cardiaco (Fig. 3.24), está formado por una batería, un capacitar y el corazón, que funciona a modo de resistor. Cuando el conmutador S está en P, el capacitar conmutador FIGURA 3.24 se carga; cuando está en Q, se descarga y manda un estímulo eléctrico al corazón. En este intervalo, el voltaje E que se aplica al corazón está determinado por dE -= +E, dt t,<t<t2> Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 109 en donde R y C son constantes. Determine E(t), cuando E(t) = 0. (Naturalmente, la abertura y cierre del interruptor son periódicas, para estimular los latidos naturales.) 4. Suponga que una célula está en una solución de concentración constante C, de un soluto. La célula tiene un volumen constante Vy el área de su membrana permeable es la constante A. Según la ley de Fick, la rapidez de cambio de su masa m (la del soluto) es directamente proporcional al área A y a la diferencia C, - C(t), donde C(t) es la concentración del soluto en el interior de la célula en cualquier momento t. Determine C(t), si m = W(t) y C(O) = CO (Fig. 3.25). ?flconcentrackn ao concentración c, las molhlas del soluto se difunden por la _ membrana celular FIGURA 3.25 5. La ley de Newton del enfriamiento es dT/dt = k(T - Tm), k < 0; en este caso, la temperatura del medio que rodea a un objeto T,,, cambia en el tiempo. Suponga que la temperatura inicial del objeto es TI y la del medio, T2, y suponga que T,,, = T2 + B(Tl - T), en donde B > 0 es una constante. a) Determine la temperatura del objeto en cualquier momento t. b) ¿Cuál es el valor límite de la temperatura, cuando t + =? c) ¿Cuál es el valor límite de T,,, cuando t -+ =? 6. Un circuito LR en serie tiene un inductor variable cuya inductancia es L= l-h, i 0, Ost<lO t> 10 Determine la corriente i(t), si la resistencia es 0.2 Q el voltaje aplicado esE = 4 e i(O) = 0. Grafique i(t). 7. Un problema clásico del cálculo de variaciones es determinar la forma de una curva % tal que una cuenta, por la influencia de la gravedad, se deslice del punto A(0, 0) al punto B(xl, YI) en el tiempo mínimo (Fig 3.26). Se puede demostrar que una ecuación diferencial no lineal de la formau de la trayectoria esy[ 1 + @‘)2] = k, donde k es una constante. Primero despeje & en función de y y dy, y a continuación sustituya y = k sen20 para llegar a la forma paramétrica de la solución. La curva % resulta ser una cicloide. 110 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN FIGURA 3.26 8 . Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba, al aire, con una velocidad inicial VO Ns. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, un par de ecuaciones diferenciales describen al movimiento: m$= -mg-kv2, k > 0, con la dirección de las y positivas hacia arriba, el origen al nivel del piso, para que v = VO cuando y = 0; la otra ecuación es Y m-=rng-kv2, dt k > 0, con el eje de las y positivas hacia abajo, el origen en la altura máxima, para que v = 0 cuando y = h. Estas ecuaciones describen al movimiento del proyectil cuando sube y baja, respectivamente. Demuestre que la velocidad de impacto \>i del proyectil es menor que la velocidad inicial vg. También se puede demostrar que el tiempo tl necesario para que el proyectil llegue a su altura máxima h es menor que el tiempo t2 que tarda en caer desde esa altura (Fig. 3.27). FIGURA 3.27 9. Las poblaciones de dos especies animales se apegan al sistema no lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden dx z = klx(a - x) & z = kgy. Determine x y y en función de t. Sección 2 lb/gal 1 galhnin 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mezcla, 5 gal/min B 100 gal A loo gal mezcla, 3 gal/min 111 Ll7mezcla, 1 gal/min iY mezcla, 4 gal/min FIGURA 3.28 10. Dos tanques, A y B, contienen 1 OO galones de salmuera cada uno al principio del proceso. El líquido, bien agitado, pasa entre ambos como muestra la figura 3.28. Con la información de la figura, formule un modelo matemático para el número de libras de sal XI y ~2, en los tanques A y B, respectivamente, en cualquier momento. &. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas Reducción de orden Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Coeficientes indeterminados, método de la superposición Coeficientes indeterminados, método del anulador Variación de parámetros Ecuación de Cauchy-Euler Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En las siete primeras secciones del capítulo examinaremos algo de la teoría y métodos para resolver ciertos tipos de ecuaciones lineales. En la sección 4.8 presentamos el método de eliminación, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, porque es un método básico, que simplemente desacopla un sistema para llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada variable dependiente. El capítulo termina con un breve estudio de ecuaciones no lineales de orden superior. 112 Sxción 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones heales TEORíA 113 PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES n n n Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior n Problema de valores iniciales Existencia y unicidad n Problema de valores en lafiontera Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas n Operador diferencial lineal H Dependencia Zineal n Independencia lineal H Wronskiano n Conjuntofundamental de soluciones H Principios de superposición n Solución general n Función complementaria n Solución particular 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera Problema de valores iniciales En la sección 1.2 definimos qué es un problema de valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es Sujeta f.7: y(n) = yo, y’(x0) = yl, . . ., y(“-‘)XO = y,-1. (1) Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo I que contenga a XO, y satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especifiYa vimos que en el caso de un problema cadasenxo:y(xo)=yo,y’(xo)=yl,. . .,y(*-‘)(xg)=y,-1. de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (~0, yo) y tener ia pendiente y1 en ese punto. Existencia y unicidad En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especifica las condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de un problema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de existencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones (1). sean a,(x), ua-1 (Tc), . . ., q(x), a&) y g(x) contìmutg edlm int%rvaio r, p toda x del intervalo. Si x = xo es cualquier pu& en el iWerv8& @xis& @%I SJ intervalo y(x) del problema de valores i&i&ea representa& por &z!+ ~i# única. Solución única de un problema de valores iniciales El problema de valores iniciales 3y’” + 5y” - y’ + 7y = 0, y(l) = 0, y’(l) = 0, y”(l) = 0 I tiene la solución trivial y = 0. Como la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, se satisfacen todas las condiciones del teorema 4.1; en consecuencia, y = 0 es la única solución en cualquier intervalo que contenga x = 1. n 114 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR m Solución única de un problema de valores iniciales El lector debe comprobar que la función y = 3e& + e-b - 3x es una solución del problema de valores iniciales y”- 4y = 12x, y(O) = 4, y’(O) = 1. La ecuación diferencial es lineal, los coeficientes y g(x) son continuos y q(x) = 1 f 0 en todo intervalo Z que contenga a x = 0. Según el teorema 4.1, debemos concluir que la función n dada es la única solución en Z. Ambos requisitos del teorema 4.1: 1) que Q(X), i = 0, 1,2, . . . , n sean continuos, y 2) que u,(x) f 0 para toda x en Z, son importantes. En forma específica, si u,,(x) = 0 para una x en el intervalo, la solución de un problema lineal de valores iniciales quizá no sea única o incluso no exkta; por ejemplo, el lector debe comprobar que la función y = cx2 + x + 3 es una solución del problema de valores iniciales ?y” - 2xy’ + 2y = 6, y(O)=3, y’(O)= 1 para x en el intervalo (-, -) y cualquier valor del parámetro c. En otras palabras, no hay solución única para el problema. Aunque se satisface la mayor parte de las condiciones del teorema 4.1, las dificultades obvias estriban en que uz(x) = x2 es cero cuando x = 0, y en que las condiciones iniciales se han impuesto en ese valor. Problema de valor en la frontera Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal de segundo ordeno mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, estén especificadas en puntos distintos. Un problema como Resolver: 4~) $$ + UI(~) 2 +ao(x)Y = &) Sujeta u: y(u) = yo, y(b) = y1 se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = yo y y(b) = ~1, se denominan condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo Z que contiene a u y b, cuya gráfica pasa por los dos puntos (u, yo) y (b, yr). Véase la figura 4.1. soluciones de la ecuacih diferencial FIGURA 4.1 Sección 4.1 Teoría pdiminar: ecuaciones hales 115 Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser Y’(U) = YO, y(b) =YI ~(4 = yo, y’(b) = y, Y’(U) = YO, y’(b) = YI, en donde yo y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones sólo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera: RY (4 + PlY ‘(a) = Yl w(b) + W(b) = ~2. Los ejemplos que siguen demuestran que aun cuando se satisfagan las condiciones del teorema 4.1, un problema de valor en la frontera puede tener i) varias soluciones (Fig. 4.1); ii) solución única, 0 iii) ninguna solución. Un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, una 0 ninguna En el ejemplo 5 de la sección 1.1 vimos que la familia a dos parámetros de soluciones de la ecuación diferencial x” + 16x = 0 es x = cl cos 4t + c2 sen4t. (2) a) Supongamos que queremos determinar la solución de la ecuación que además satisfaga las condiciones de frontera x(O) = 0, x(7r/2) = 0. Obsérvese que la primera condición, 0 = cl cos 0 + c2 sen 0, implica que CI = 0, de modo que x = c2 sen 4t. Pero cuando t = ~12, 0 = c2 sen 27r es satisfactoria para cualquier elección de ~2, ya que sen 27~ = 0. Entonces, el problema de valores en la frontera X” + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0 0 tiene una cantidad infinita de soluciones. En la figura 4.2 vemos las gráficas de algunos de los miembros de la familia a un parámetro x = c2 sen 4t que pasan por los dos puntos, (0,O) y (7a 0). FIGURA 4.2 116 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR b) Si se modifica como sigue el problema de valores en la frontera expresado por (3), x” + 16~ = 0, x(O) = 0, x 0 ; = 0 x(O) = 0 sigue determinando que cl = 0 en la solución (2). Pero al aplicar x(7rl8) = 0 a x = c2 sen 4t se requiere que 0 = c2 sen(rr/2) = c2 1; en consecuencia, x = 0 es una solución de este nuevo problema de valor en la frontera. En realidad, se puede demostrar que x = 0 es la solución única del sistema (4). c) Por último, al transformar el problema en x” + 16x = 0, x(O) = 0, x ; = 1 0 (5) vemos, que cr = 0 porque x(O) = 0 pero, al aplicar x(rr/2) = 1 a x = c2 sen 4t, llegamos a la contradicción 1 = c2 sen 2n = c2 . 0 = 0. En consecuencia, el problema de valores en la frontera descrito por (5) no tiene solución. n 4.1.2 Ecuaciones homogéneas Una ecuación lineal de orden n de la forma d”-‘y a,(x) 2 + a,-](x) & n-l + . + al(x) 2 + ao(x)y = 0 (6) se llama homogénea, mientras que una ecuación d”-‘y a,(x) $ + a,-l(x) & n-l + . . + al(x) f$ + ao(xly = g(x) (7) donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea; por ejemplo, 2~” + 3y’ - 5y = 0 es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que x3y”’ + 6y’ + 1 Oy = ex es una ecuación diferencial de tercer orden, lineal y no homogénea. En este contexto, la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas, como sucedía en la sección 2.4. Para resolver una ecuación lineal no homogénea como la (7), en primera instancia debemos poder resolver la ecuación homogénea asociada (6). Para evitar repeticiones inútiles en el resto del libro, establecemos las siguientes hipótesis importantes al enunciar definiciones y teoremas acerca de las ecuaciones lineales (6) y (7): En un intervalo común I: n n n Los coeficientes ai( i = 0, 1,2, . . . , n son continuos El lado derecho, g(x), es continuo un(x) # o para toda x en el intervalo Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 117 Operadores diferenciales En cálculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es, u’y/uk = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función; por ejemplo, D(cos 4x) = -4 sen 4x y D(5x3 - 6x*) = 15x2 - 12~. Las derivadas de orden superior se pueden exp! esar en términos de D en forma natural: = 2 = D(Dy) = Dzy y en general d"y z = D “y, en dondey representa una función suficientemente diferenciable. Las expresiones polinomiales donde interviene D, como D + 3, fl+ 3D- 4 y 5x3D3 - 6x*d + 4xD f 9 también son operadores diferenciales. En general, el operador diferencial de orden n se define: L = a,(x)D" + a,&)D"-' + e.0 + a&)D f@(x). (8) Como consecuencia de dos propiedades básicas de la diferenciación, D(cf(x)) = cDf(x), donde c es una constante y D{f(x) + g(x)} = Df(x) + Dg(x), el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L, operando sobre una combinación lineal de dos fünciones diferenciables, es lo mismo que una combinación lineal de L operando sobre las funciones individuales. En símbolos, esto significa que (9) Lkf~~) + k%(x)1 = ~Jw-(x)) + mg(x)), en donde Q y ,B son constantes. A causa de la propiedad (9), se dice que el operador diferencial de orden n, L, es un operador lineal. Ecuaciones diferenciales Toda ecuación diferencial lineal se puede expresar en notación D; por ejemplo, la ecuación diferencial y” + 5y’ + 6y = Sx - 3 se puede escribir en la forma o’y + 5Dy ‘+ 6y = 5x - 3 o como (I? + 5D + 6)y = 5x - 3. Al aplicar la ecuación (8), las ecuaciones diferenciales (6) y (7) de orden n se pueden escribir en forma compacta como UY) =o Y aY) = g(x), respectivamente. Principio de superposición En el siguiente teorema veremos que la suma o superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución. Principio de superposici¿n, ecuaciones homogbneus . . , yk soluciones de la ecuación diferencial homogénea de ardm n, ~~~~ ,.< (6), do& x esta en un intervalo 1. La combinación lineal al ‘j sean Yl, Y2, * Y = ClYl w + w2c4 endondelasc~,i=1,2 x está en el intervalo. + . . ’ + wm ’ ,..., R son constantes arbitrarias, también es una soluciâa cmm&t 118 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DEMOSTRACIÓN Probaremos el caso k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean yt(x) y yz(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) = 0. Si definimos y = ct yt(x) + c2y&), entonces, por la linealidad de L, Superposición, ecuación diferencial homogénea Las funciones yt = x2 y y2 = x2 In x son soluciones de la ecuación lineal homogénea X3Y"' - 2xy’ + 4y = 0 para x en el intervalo (0, -). Según el principio de superposición, la combinación lineal y = c1x2 + c2.x’ In x también es una solución de la ecuación en el intervalo. n La función y = e7’ es una solución de y” - 9y’ + 14y = 0. Como la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y = ce” también es una solución. Cuando c tiene diversos valores, y = 9e7x, y = 0, y = -6 e7x, . . . son soluciones de la ecuación. Dependencia e independencia lineal Citaremos un par de conceptos básicos para estudiar ecuaciones diferenciales lineales. Se dice que un conjunto de fum3ones,~(~~&&~, un intervalo I si existen constantes, CI, . . ,, C, no to&s para toda x S i e l conjunto intervalo, s e dice que es linealmente En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las que se cumple c,f,(x) + czfi(x> + . . . + cnh(x) = 0 para toda x en el intervalo son cl = c2 = . . . = c, = 0. Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 119 Es fácil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, h(x) y fz(x). Si las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, existen constantes, CI y ~2, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo, clfl(x) + c&(x) = 0; por consiguiente, si suponemos que CI f 0, entonces c2 ji(x) = - $iw; esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es un múltiplo constante de la otra. Al revés, sifi(x) = c*&(x) para alguna constante CZ, entonces (-1) .fi(x) + c2.f!44 =0 para toda x en algún intervalo. Así, las funciones son linealmente dependientes porque al menos una de las constantes no es cero (en este caso CI = -1). Llegamos a la conclusión de que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en un intervalo. Por ejemplo, las funciones f,(x) = sen 2x y yi = sen x cos x son linealmente dependientes en (--, -) porquefi(x) es múltiplo constante defi(x). Con base en la fórmula de doble ángulo para el seno, recuérdese que sen 2x = 2 sen x cos x. Por otro lado, las funciones fl(x) = x yfi(x) = 1x1 son linealmente independientes en (-, -). Al ver la figura 4.3 el lector se debe convencer de que ninguna de las funciones es un múltiplo constante de la otra, en el intervalo. (W FIGURA 4.3 De lo anterior se concluye que el cocientef2(x)/fl(x) no es constante en un intervalo en que A(x) yfz(x) son linealmente independientes. En la siguiente sección utilizaremos este detalle. 120 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR m Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = cos2x, So = sen2x, f3(x) = sec2x, dependientes en el intervalo (-7r/2,7r/2) porque f4(x) = tan2x son linealmente c, cos2x + c2sen2x + c3 sec2x + c4 tan2x = 0, cuando CI = c2 = 1, cg = -1, c4 = 1. Hemos aplicado cos2x + sen2x = 1 y 1 + tan2x = sec2x. n Un conjunto de fhnciones,fi(x),f2(x), . . . , fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo si se puede expresar al menos una función como combinación lineal de las funciones restantes. Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = G + 5, fi(x) = C + 5x, h(x) = x - 1, h(x) = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, -) porquef2 se puede escribir como una combinación lineal deji, f3 y f4. Obsérvese que ji(x) = 1 fl(X) + 5 . fj(X) + 0 . f4(x) para toda x en el intervalo (0, -). n Soluciones de ecuaciones diferenciales Ante todo, nos interesan las funciones linealmente independientes o, con más precisión las soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal. Aunque siempre podemos recurrir a la definición 4.1, sucede que el asunto de si son linealmente independientes las n soluciones, ~1, ~2, . . . , yn de una ecuación diferencial lineal de orden n como la (6) se puede definir mecánicamente recurriendo a un determinante. El wronskiano Supóngase que cada una de las funciones h(x), h(x), . . . , J,(x) posee n - 1 derivadas al menos. El determinante fi f2 . . . fn f; f; f,(n-1) p-l) ‘.’ ‘. si . 2 . pe-li en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones. Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales I Critario para soluciones linealmente 121 independientes yn, de la ecuación diferencial (6), lineal, homog&rea . . . , n, en un intervalo 1. Entonces, el conjunto de soluciones es y de orden linealmente independiente en I sean n soluciones,y~ ,y2, si y ~610 si 4% Y2, -* *,Yn)+O para toda x en el intervalo. De acuerdo con el teorema 4.3, cuandoyr,yz, . . ., yn son n soluciones de (6) en un intervalo I, el wronskiano W(y1, ~2, . . ., y,) es idéntico a cero o nunca cero en el intervalo. Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene un nombre especial. Conjunto fundamental de soluciones Todo conjunto yl, ~2, . . ., y,, de n soluciones linealmente independientes de la ecuaci6n diferencial lineal homogénea de orden n, ecuación (6), en un intervalo 1, se llama conjunta fundamental de soluciones en el intervalo. El asunto básico de si existe un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación lineal se contesta con el siguiente teorema. Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogenea de orden n, (6), en un intervalo 1. Así como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una combinación lineal de los vectores i, j, k, linealmente independientes, toda solución de una ecuación diferencial lineal homogénea y de orden n, en un intervalo Z, se puede expresar como una combinación lineal de n soluciones linealmente independientes en Z. En otras palabras, n soluciones linealmente independientes (,vr , ~2, . . ., y,J son las unidades constructivas básicas de la solución general de la ecuación. Soluci6n general, ecuaciones homogéneas Seww2,. . ., y,, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, (6), en un intervalo 1. La solución general de la ecuación en el intervalo es y = ClJo) + C2Y2c4 + . . . + W”(X), dondeci, i= 1,2,. . ., n son constantes arbitrarias. > 122 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR El teorema 4.5 establece que si Y(x) es cualquier solución de (6) en el intervalo, siempre se pueden determinar las constantes Cr, C2, . . ., C,, de tal modo que Y(x) = Cly&) + C&x) + . . . + Cfln(x). A continuación demostraremos el caso cuando n = 2. DEMOSTRACIÓN Sea Y una solución y seanyr y y2 soluciones linealmente independientes de g y” + UI y’ + soy = 0 en un intervalo 1. Supongamos que x = t es un punto en 1 para el que W(yr(t), yz(l)) f 0. Consideremos, también, que Y(r) = Kr y que Y’(t) = K2. Si examinamos las ecuaciones GYl(4 + GY2(f) = kl Gy;W + Gy;(f) = kz> veremos que podemos determinar CI y C2 en forma única, siempre que el determinante de los coeficientes satisfaga x(t) I Yi(O YzO) # 0. YW 1 Pero este determinante no es más que el wronskiano evaluado en x = t, y, por hipótesis, W+ 0. Si definimos G(x) = Cryr(x) + C&X), veremos que i) G(x) satisface la ecuación diferencial porque es una superposición de dos soluciones conocidas, ii) G(x) satisface las condiciones iniciales G(t) = C,y&) + GY&) = kl G’(t) = Cly; + Gy;(t) = kz; iii) Y(x) satisface Za misma ecuación lineal y Zus mismas condiciones iniciales. Como la solución de este problema lineal de valor inicial es única (teorema 4. l), entonces Y(x) = G(x), o bien Y(x) = Cryr(x) + C&x). n Solución general de una ecuación diferencial homogénea Las funciones yr = e3”yyz = eT3’ son soluciones de la ecuación lineal homogénea/’ - 9y = 0 en el intervalo (-, -). P or inspección, las soluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todo R. Podemos corroborar esto al observar que el wronskiano W(e3x, ee3X) = e3x 3e3” e-3* -3e-3* =-6#0 para toda x. Llegamos a la conclusión de que yr y ~3 forman un conjunto fundamental de soluciones y, en consecuencia, y = cle3’ + c2ee3’ es la solución general de la ecuación en el intervalo. w Sección Solución obtenida 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones 123 heales a partir de una solución general 1 La función y = 4 senh 3x - 5e3* es una solución de la ecuación diferencial del ejemplo 7. (Confíe esta afirmación.) Según el teorema 4.5, podremos obtener esta solución a partir de la solución general y = ct e3* + cse -3X . Obsérvese que si elegimos cl = 2 y c2 = -7, entonces y = 2e3X - 7e-3X se puede escribir en la forma y= - xe3x &-3~ 5e-3~ = 4 - 5e-3X. n Esta última expresión es y = 4 senh 3x - 5e-3X. Solución general de una ecuación diferencial homogénea Las funciones yl = 8, y2 = eti y y3 = e3’ satisfacen la ecuación de tercer orden Como ex W(ex, e”, e”) = ex ex ek 2e*X 4e2’ e3* 3e3X = 2@ # Cl 9e3X para todo valor real de x, las funciones yr, y2 y y3 forman un conjunto fundamental de soluciones en (-, -). En conclusión, y = clex + c2e2’ + c3e3X es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo. 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas Toda función yP libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yP = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y ” + 9y = 2 7 . Siyby2,. . ., yk son soluciones de la ecuación (6) en un intervalo Zy y, es cualquier solución particular de la ecuación (7) en Z, entonces, la combinación lineal y = ClYl(X) + C2Yd-4 + * ** + CkYk(X) + Y P (10) también es una solución de la ecuación (7) no homogénea. Si el lector lo medita tiene sentido, ya que la combinación lineal ctyl(x) + czyy~(x) + . . + ckyk(x) se transforma en 0 mediante el operador L = u,D” + u,&“- + . . . + alD + ac, mientras que yP se convierte en g(x). Si usamos R = n soluciones linealmente independientes de la ecuación (6) de orden n, la expresión (10) viene a ser la solución general de (7). 124 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 1 Solución general, ecuaciones no homogbas Sea y,, cualquier solución particular de la ecuacibn diferenciai lineal, no homogénea, de orden n, ecuacion (7), en un intervalo 1, y sean yr,‘y2, . . ., yn un conjunto fundanlental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada (6), en 1. Entonces, la solucián general de la ecuación en el intervalo es y = ClyI(X) + c2yz(x) + * ' . + cnyfI(x) + yp, en donde las ci, i = 1,2, . . . , n son constantes arbitrarías. DEMOSTRACIÓN Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean Y(x) y y&) soluciones particulares de la ecuación no homogénea L(y) = g(x). Si definimos u(x) = Y(x) - y&), por la linealidad de L se debe cumplir Uu) = Jw(4 - yp(4>= W(x)) - ~(Y,W = g(x) - g(x) = 0. Esto demuestra que u(x) es una solución de la ecuación homogénea L(y) = 0; por consiguiente, según el teorema 4.5, u(x) = CV,(X) + c~yz(x) + . + cny,( y así Y(x) Y(x) 0 sea Y,(X) = ClY&) + CzY2(X) + - * * + C”Y&) n = ClY, + czy*(x) + * * * + c,y,(x) + y,(x). Función complementaria En el teorema 4.6 vemos, que la solución general de una ecuación lineal no homogénea consiste en la suma de dos funciones: y = GY&) + C2Y2(4 + * - * + cnyn(x) + y,(x) = ydx) + yp(x). La combinación lineal yC = c~yt(x) + czyz(x) + . . . + cnyn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras,.para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces, y = función complementaria + cualquier solución particular. Solución general de una ecuación diferencial no homogénea Se demuestra fácilmente por sustitución que la función yp = - { - $x es una solución particular de la ecuación no homogénea d3y d;j-6~+II$6y=3x. (11) Para llegar a la solución general de (1 l), también debemos resolver la ecuación homogénea asociada Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 125 Pero en el ejemplo 9 vimos, que la solución general de esta última ecuación era yc = cre’ + czf? + cse3’ en el intervalo ( -00, -); por lo tanto, la solución general de (ll) en el intervalo es 1 y = y, + y, = clex + c2ez’ + c3e+- -ll - -x. 12 2 Otro principio de superposición El último teorema en esta discusión nos será útil en la sección 4.4, cuando estudiemos un método para determinar soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas. Principio de sqetpsici6n, ecuackmes M) hamogkWaS Sean k soluciones particulares, ypz ypll, . . ., ym de la ecuacion (7), diferencial lineal no homogénea de orden n, en el interwlo I que, a su vez, corresponden a k funciones dWitas, gt,gz, * ’ *, gk. Esto es, supongamos queyp, representa una sohrción particuk de la ecuati6n diferencial correspondiente .- u,(x)y@’ + u, . *(x)y@- ‘f + . - *+ al (x)y’ + uo(x)y = gdx), en donde i = 1,2, . . ., k. Entonces Yp es una soluci6n = Yp,W + Yp&9 f ’ **+ Y&) particular de u,(x)y@’ + u, - ,(x)y@ - l) + . . *+ ar(x)y’ + u&)y = gdx) + gzw + *. *+ gkm. 5 @4) DEMOSTRACIÓN Probaremos el caso en que k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean y&) y y,,,(x) soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas L(y) = g](x) y L(y) = gz(x), respectivamente. Si definimos y, = y&) + yp,(x), demostraremos que y,, es una solución particular de L(y) = gr(x) + gz(x). De nuevo, el resultado, es consecuencia de la linealidad del operador L: Superposición, ecuaciones diferenciales no homogéneas El lector debe comprobar que y,,, = -42 es una solución particular dey” - 3y’ + 4y = -16x2 + 24x - 8, yp2 = e 2x es una solución particular dey” - 3y’ + 4y = 2e” Yp, = xf? es una solución particular de y” - 3y’ + 4y = 2x8 - e’ 126 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR De acuerdo con el teorema 4.7, la superposición de yP,, yh Y ym y = yp, + y,, + yp, = -4x* + e21 + xex, es una solución de y” - 3y’ + 4y = -16~~ + 24~ - 8 + 2e2” + 2xex - ex. -i,r&W gdx) &W Si las y,,¡ son soluciones particulares de la ecuación yp = Clyp, + (12) para i = 1,2, . . ., k, la combinación lineal czyp, + * ’ * + ckYpk* en donde las ci son constantes, también es una solución particular de de la ecuación es la combinación lineal C,&(X) + C&(x) + * * ’ + (14), cuando el lado derecho ckgk(x)* Antes de comenzar a resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas, veamos algo de la teoría que presentaremos en la próxima sección. I Esta observación es la continuación de la cita sobre los sistemas dinámicos que apareció al final de la sección 1.3. Un sistema dinámico cuya regla o modelo matemático es una ecuación diferencial lineal de orden n, a,(t)y(“) + u,l(t)y(“-‘) + . . + a,(t)y’ + ao(t)y = g(t) se llama sistema lineal de orden n. Las n funciones dependientes del tiempo, r(t), y’(t), . ., y@‘+(t) son las variables de estada del sistema. Ya sabemos que sus valores, en el momento t, determinan el estado del sistema. La función g tiene varios nombres: función de entrada, forzamiento, entrada o función de excitación. Una solución r(t) de la ecuación diferencial se llama salida o respuesta del sistema. En las condiciones mencionadas en el teorema 4.1, la salida o respuesta y(t) está determinada en forma única, por la entrada y el estado del sistema en el momento to; esto es, por las condiciones iniciales Ato), y’(to), . . . , y(“‘)(to). En la figura 4.4 vemos la dependencia entre la salida y la entrada. FIGURA 4.4 Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 127 Para que un sistema dinámico sea sistema lineal, se necesita que el principio de superposición, teorema 4.7, sea válido en él; o sea, que la respuesta del sistema a una superposición de entradas sea una superposición de salidas. Ya examinamos algunos sistemas lineales sencillos en la sección 3.1 (ecuaciones lineales de primer orden); en la sección 5.1 examinaremos los sistemas lineales para los cuales los modelos matemáticos son ecuaciones diferenciales de segundo orden. - 4.1‘1 1. Dado que y = cle’ + cze-* es una familia a dos parhmetros de soluciones de y” - y = 0 en el intervalo (-00, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones iniciales y(O) = 0, y’(O) = 1. 2. Determine una solución de la ecuación diferencial del problema 1 que satisfaga las condiciones en la fkontera y(O) = 0, y(l) = 1. 3 . Dado que y = cI eAr + czeTX es una familia a dos parámetros de soluciones dey” - 3y’ - 4y = 0 en el intervalo (-OD, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones iniciales y(O) = 1, y’(O) = 2. 4. Dado que y = CI + c2 cos x + c3 sen x es una familia a tres parhetros de soluciones de y”’ + y’ = 0 en el intervalo ( -00, -), defina un miembro de la familia que cumpla las condiciones iniciales y(7r) = 0, y’(n) = 2, y”(7r) = -1. 5 . Como y = CIX + czx ln x es una familia a dos parámetros de soluciones de x2y” - xy’ + y = 0 en el intervalo (-, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones inicialesy(1) = 3,y’(l) = -1. 6. Puesto que y = CI + ~2x2 es una familia a dos parámetros de soluciones de xY” - y’ = 0 en el intervalo (-, -), demuestre que las constantes cl y CL no pueden ser tales que un miembro de la familia cumpla las condiciones iniciales y(O) = 0, y’(O) = 1. Explique por qué lo anterior no contradice al teorema 4.1. 7. Determine dos miembros de la familia de soluciones de xy” - y’ = 0, del problema 6, que satisfagan las condiciones iniciales y(O) = 0, y’(O) = 0. 8. Halle un miembro de la familia de soluciones a xy” - y’ = 0 del problema 6, que satisfaga las condiciones a la ffonteray(0) = 1, y’(l) = 6. ¿El teorema 4.1 garantiza que esta solución sea única? 9. Puesto que y = cle” cos x + C# sen x es una familia a dos parámetros de soluciones de y” - 2y’ + 2y = 0 en el intervalo (--, -), determine si es posible que un miembro de la familia pueda satisfacer las siguientes condiciones en la contera: a) y(O) = 1, y’(O) = 0 b) y(O) = 1, Y(T) = -1 d)y(O)= 0, Y(T)= 0. 10. En virtud de iue; = c,x2 + c2x4 + 3 es una familia a dos parámetros de soluciones de x2y” - 5xy’ + 8y = 24, en el intervalo (- =, -), determine si es posible que un miembro de la familia satisfaga estas condiciones en la frontera: a) y(-1) = 0, y(l) = 4 b)y(O) = 1, YU) = 2 d)y(l) = 3, ~(2) = 15. c)y(O)=3, y(l)=0 128 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En los problemas 11 y 12, defina un intervalo que abarque x = 0 para el cual el problema de valor inicial correspondiente tenga solución única. ll. (x - 2)y”+ 3y =x, y(O)= 0, y’(O)= 1 12.y”+(tanx)y= e’, y(O)= 1, y’(O)= 0 13. En vista de que x = cr cos wt + c2 sen wt es una familia a dos parámetros de soluciones de x” + Jx = 0 en el intervalo (--, -), demuestre que una solución que cumple las condiciones iniciales x(O) = XO, x’(O) = xr es X ( t ) = x0 COS wt + z s e n w t . 14. Use la familia a dos parámetros x = cl cos wt + c2 sen wt para probar que una solución de la ecuación diferencial que satisface x(h) = XO, x’(h) = x1 es la solución del problema de valor inicial en el “problema 13”, desplazada o recorrida la cantidad to: x(t) = x. cos w(t - to) + z sen w(t - ro). - 4.1.2 En los problemas 15 a 22 compruebe si las funciones respectivas son linealmente independientes o dependientes en (-, w). 15. fi(X) = x, f*(x) = x2, fj(X) = 4x - 3xy 16. h(x) = 0, h(x) = x, h(x) = ex 17. fi(x) = 5, f*(x) = cos2x, f3(x) =sen*x 18. J(x) = cos 2x, h(x) = 1, h(x) = cos*x 19. fi(x) = x, f*(x) = x - 1, f3(x) = x + 3 20. fi(x) = 2 + x, fi(x) = 2 + 1x1 21. fi(X) = 1 + x, fz(x) = x, ji(x) = ir2 22. fi(x) = ex, f*(x) = emx, f3(x) = senh x En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general. 23. y” - y’ - 12y = 0; em3*, e4x, (-m, m) 24. y” - 4y = 0; cosh 2x, senh 2x, (- m, m) 25. y” - 2y’ + 5y = 0; ex cos 2x. e”sen2x, (-m, m) 26. 4~” - 4y’ + y = 0; ex’*, xex’*, (- m, m) 27. x*y” - 6xy’ + 12~ = 0; x3, x4, (0, m) 28. x2y” + xy’ + y = 0; cos(ln x),sen(ln x), (0, m) 29. x3y”’ + 6x*y” + 4xy’ - 4y = 0; x, x-*, xm2 In x, (0, m) 30. yc4) + y” = 0; l,x,cosx,senx, (-03, m) Problemas paro discusión 31. a) Compruebe que yl = x3 y y2 = lxl3 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial x’y” - 4xy’ + 6y = 0 en el intervalo (-, -). b) Demuestre que W(y,, y2) = 0 para todo numero real x. LEste resultado contradice el teorema 4.3? Explique su respuesta. Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 129 c) Compruebe que Yl = x3 y Y2 = X? también son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial en la parte a), en el intervalo (--, -). d) Halle una solución de la ecuación diferencial que satisfaga y(O) = 0, y’(O) = 0. e) Según el principio de superposición, teorema 4.2, las combinaciones lineales y=clY1 +w2 Y Y= ClYl + CZYZ son soluciones de la ecuación diferencial. Diga si una, ambas o ninguna de las combinaciones lineales es una solución general de la ecuación diferencial en el intervalo (--2 -1. 32. Suponga que yt = e” y y2 = e-’ son dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explique por qué y3 = cosh x y y4 = senh x también son soluciones de la ecuación. - 4.1.3 Compruebe que la familia biparamétrica de funciones dadas en los problemas 33 a 36 sea la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado. 33. y” - 7y’ + 1Oy = 24e” y = cle2’ + c2e5x + 6e”, 34. y” + y = sec x (-00, m) y = cl cos x + q sen x + x sen x + (cos x) ln(cos x), 35. y” - 4y’ + 4y = 2e2” + 4x - 12 y = cle2” + c2xeh + x2@ + x - 2, (- 03, “) 36. 2xZy” + 5xy’ + y = x* - x 1 1 y = clx-ln + c*x-l + -x* - -x, (03 00) 15 6 37. Si y,, = 3ek y yP2 = x2 + 3x son soluciones particulares de y” - 6y’ + 5y = -9e** y” - 6y’ + 5y = 5x2 + 3x - 16, Y respectivamente, determine soluciones particulares de y” - 6y’ + 5y = 5x2 + 3x - 16 - ge*’ Y 38. a) b) c) d) y" - 6~' + 5y = -lOx* - 6x + 32 + e*‘. Halle, por inspección una solución particular de y” + 2y = 10. Determine por inspección una solución particular dey” + 5 = -4~. Halle una solución particular de y” + 2y = -4x + 10. Determine una solución particular dey” + 2y = 8~ + 5. L. 130 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REDUCCbN DE ORDEN Reducción de una ecuación diferencial de segundo orden a una de primer orden W Forma reducida de una ecuación dijèrencial lineal homogénea de segundo orden n Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, yz, de al(x + q(x)y’ + a()(x)y = 0 (1) en un intervalo Z a partir de una solución yr no trivial. Buscamos una segunda solución, y&), de la ecuación (1) tal que yr y y2 sean lineahnente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son lineahnente independientes, su relacióny2/yr es no constante en r; esto es, yz/y~= u(x) o yz = u(x)yl(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo yz(x) = u(x)yr(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer orden para hallar ü. Segunda solución por reducción de orden Si yt = e” es una solución dey” -y = 0 en el intervalo (-00, -), aplique la reducción de orden para determinar una segunda solución, ~2. SOLUCIÓN Si y = u(x)yr(x) = u(x) según la regla del producto y’ = uex + exu’, \ y’ = ue” + 2e*u’ + e”u”, y” - y = ex(u” + 2~‘) = 0. y así Puesto que e” # 0, para esta ultima ecuación se requiere que u” + 2~’ = 0. Al efectuar la sustitución w = u’, esta ecuacrón lineal de segundo orden en ZJ se transforma en w’ + 2w = 0, una ecuación lineal de primer orden en w. Usamos el factor integrante eti y así podemos escribir -$ [e*Xw] = 0. Despues de integrar se obtiene w = creT2’, o sea que u’ = cte-&. Integramos de nuevo y llegamos a U=--e c1 -2x+C2. 2 Por consiguiente, y = u(x)@ = -32 e - X + c2eX. (2) Al elegir c2 = 0 y cl = -2 obtenemos la segunda solución que buscábamos, yz = e-‘. Dado que W(eX, e”) # 0 para toda x, las soluciones son lineahnente independientes en (--, -). W Sección 4.2 Reducción de orden 131 Como hemos demostrado que yt = e” y y2 = e -’ son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la ecuación (2) es la solución general de y” - y = 0 en (--, -). Caso general Si dividimos por uz(x) para llevar la ecuación (1) a la forma estándar y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0, (3) en donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo 1. Supóngase, ademas, que yl(x) es una solución conocida de (3) en I y que JJ~(X) # 0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y = u(x)yt(x), entonces y’ = uy; + y,u’, y” = uy; + 2y;zd + y& y” + Py’ + Qy = u[y; + Py; + Qyl] + yg” + (2~; + Pyl)u’ = 0. \ / Y cero Para lo anterior se debe cumplir yd + (2yi + zJy,)u’ = 0 0 sea y~w’ + (2yi + Pyl)w = 0, (4) en donde hemos igualado w = u’. Observese que la última de las ecuaciones (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables e integrar obtenemos -~+2~dx+mx=o W lnlwylq = - pdx + c 0 sea wy? = qe-‘Pd’. De la última ecuación despejamos w, regresamos a w = u’ e integramos de nuevo: u = Cl e-SPdx -d.x+ c2. f Y12 Si elegimos ct = 1 y c2 = 0, vemos en y = u(x)yr(x) que una segunda solución de la ecuación (3) es (5) Un buen repaso de la derivación sera comprobar que la furici6n y&) definida en la ecuación (5) satisface la ecuación (3) y que yt y yz son lineahnente independientes en cualquier intervalo en que yt no sea cero. Vease el problema 29, de los ejercicios 4.2. Segunda solución con la fórmula (5) La función yt = xz es una solución de gy” - 3xy’ + 4y = 0. Determine la solución general en el intervalo (0, -). 132 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN Partimos de la forma reducida de la ecuación, y”-xy’+xiy= ,3 4 0) e3Jdrlx y2 = x2 j x4 du y vemos, de acuerdo con (5), que t e31mlx = p x’ = x3 = x2 -x2 lnx. I x La solución general en (0, -) esta definida por y = cryl + c2 yz; esto es, y = c1x2 + c2x2 In x. l Hemos deducido la ecuación (5) e ilustrado cómo usarla porque esa fórmula aparecerá de nuevo en la siguiente sección y en la sección 6.1. Usamos la ecuación (5) sólo para ahorrar tiempo en la obtención del resultado deseado. El profesor dirá si se debe memorizar la ecuación (5) o dominar las bases de la reducción de orden, Determine una segunda solución en cada ecuación diferencial de los problemas 1 a 24. Use la reducción de orden o la fórmula (5) como acabamos de explicar. Suponga un intervalo adecuado de validez. 1. y” + 5y’ = 0; y, = 1 2. y” - y’ = 0; y, = 1 3. y” - 4y’ + 4y = 0; yl = eh 4. y” + 2y’ + y = 0; yl = xemx 5. y” + 16~ = 0; yl = cos 4x 6. y” + 9y = 0; y1 = sen 3x 7. y” - y = 0; y, = cosh x 8. y” - 25~ = 0; yl = e5r 9. 9~” - 12~’ + 4y = 0; yl = eh” 10. 6~” + y’ - y = 0; yl = ed3 ll. 2~” - 7xy’ + 16~ = 0; yl = x4 12, x*y” + 2xy’ - 6y = 0 ; y, = x* J13. xy” + y’ = 0; y, = In x 14. 4x*y” + y = 0; yl = xln In x J 15. (1 - 2x - x2)y” + 2(1 + x)y’ - 2y = 0; y1 = x + 1 Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constontes 133 16. (1 - x’)y” - 2xy’ = 0; y, = 1 417. x2yn - xy’ + 2y = 0; y1 = x sen(ln x) 18. x2yu - 3xy’ + 5y = 0; y1 = x2 cos(ln x) 4 19. (1 + 2x)y” + 4xy’ - 4y = 0; y1 = F2* 20. (1 + x)y” + xy’ - y = 0; y1 = x J 21. x2y” - xy’ + y = 0; y; = x 22. x2y” - 2oy = 0; y, = x-4 J23. x2y” - 5xy’ + 9y = 0; 24. x2yv + xy’ + y = 0; y1 = x3 In x yl = cos(ln x) Aplique el método de reducción para determinar una solución de la ecuación no homogénea dada en los problemas 25 a 28. La función indicada, y,(x), es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determine una segunda solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea. 425. y” - 4y = 2; y1 = em2” J26. y” + y’ = 1; y1 = 1 :z ;” 1 i;’ 1 i; z *““;, = ; e” I 1 . II 7 29. a) Compruebe por sustitución directa que la ecuación (5) satisface la ecuación (3). b) Demuestre que W(yr(x), yz(x)) = u’yt2 = e-Ip(X)dx. Problema para discusión ! 30. a) Haga una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden uy” + by’ + cy = 0, a, b y c constantes siempre tiene cuando menos una solución de la forma yl = emI’, donde mr es una constante. b) Explique por qué la ecuación diferencial en la parte a) debe tener, en consecuencia, una segunda solución de la forma y2 = emp o de la forma y2 = xemlx, donde mr y m2 son constantes. c) Vuelva a revisar los problemas 1 a 10. ¿Puede explicar por qué las respuestas a los problemas 5 a 7 no contradicen las afirmaciones en las partes a) y b)? ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES n Ecuaciôn auxiliar H Raíces de una ecuaci& auxiliar cuadrática n Fórmula de Euler n Formas de la solución general de una ecuación diferencial Iineal y homogénea de segundo orden con coeficientes constantes W Ecuaciones diferenciales de orden superior n Raíces da ecuaciones auxiliares de grado mayor que dos Hemos visto que la ecuación lineal de primer orden, dy/dx + uy = 0, donde a es una constante, tiene la solución exponencial y = cl eear en el intervalo (--, -); por consiguiente, lo más natural 134 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR es tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en (-, -) de las ecuaciones lineales homogéneas de orden superior del tipo a,y(“) + a,-ry(n-‘) + * * * + a*y” + qy’ + UOY = 0, (1) en donde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales y u, # 0. Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o están formadas rl partir de funciones exponenciales. Método de solución Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden ay” + by’ + cy = 0. (2) Si probamos con una solución de la forma y = emr, entonces y’ = memr y y” = m2emï, de modo que la ecuación (2) se transforma en am2emr + bmem’ + ce- = 0 o sea em’(am2 + bm + c) = 0. Como emr nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática am2+bm+c=0. (3) Esta ecuación se llama ecuacián auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial (2). Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuación auxiliar que corresponden a raíces reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas. CASO 1: Raíces reales distintas Si la ecuación (3) tiene dos raíces reales distintas, rnl y mz, llegamos a dos soluciones, yt = emlx y y2 = emg. Estas funciones son lineahnente independientes en (-00, -) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la solución general de la ecuación (2) en ese intervalo es y= cle mlx + c2emp. (4) CASO II: Raíces reales e iguales Cuando rn1 = m2 llegamos, necesariamente, sólo a una solución exponencial, yt = emlX. Según la fórmula cuadrática, rnl = -b/2a porque la única forma de que rnl = rn2 es que b* - 4ac = 0. Así, por lo argumentado en la sección 4.2, una segunda solución de la ecuación es En esta ecuación aprovechamos que -b/a = 2mt. La solución general es, en consecuencia, y = qeml” + c2xem1’. (6) Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 135 Raíces complejos conjugados Si rn1 y ma son complejas, podremos escribir ml=ff+ipymz=a- ip, donde cr y p > 0 y son reales, e i2 = -1. No hay diferencia formal entre este caso y el caso 1; por ello, CASO III: Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Con este objeto se usa la formula de Euler: e “=cosB+isen8, en que 8 es un número real. La consecuencia de esta fórmula es que eiflX = cos Bx + i sen fix Y e+*x = cos /?x - i sen /3x, (7) en donde hemos empleado cos = cos px y sen(-ox) = -sen @x. Obsérvese que si primero sumamos y después restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos respectivamente Y Como @3x _ e-‘BX = 2i sen /3x. y = CleCa + VW + C2eCa’-‘@ es una solución de la ecuación (2) para cualquier elección de las constantes Ct y C2, si Ci = C2 = 1 y Ct = 1, C2 = -1 obtenemos las soluciones: YI = e (atip)x + e(a-iS)r Y y2 = &+W - &-W. Pero y, = e”(e’@ + e -@“) = 2e” cos /3x Y y2 = e”(e’@ - emia”) = 2ie”senpx. En consecuencia, según el corolario (A) del teorema 4.2, los dos últimos resultados demuestran que las funciones reales eaï cos /?x y ear sen /3x son soluciones de la ecuación (2). Además, esas soluciones forman un conjunto fundamental en (-00, -); por lo tanto, la solución general es y= cle ‘Ix cos /?x + c*e’* sen @x =ec w [ (cl cos j!Jx + c2 sen /?x). (8) Ecuaciones diferenciales de segundo orden Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes: (a) 2~” - 5y’ - 3y = 0 (b) y” - lOy’ + 25~ = 0 (c) y” + y’ + y = 0 . *Se puede deducir, formalmente, la fórmula de Euler a partir de la serie de Maclaurin k = I:-x” -, con la sustitución x = “ZO n! i0, utilizando ? = -1, i3 = - i, , y separando despu& la serie en sus partes real e imaginaria Luego de establecer esta posibilidad, podremos adoptar cm 6’ + i sen 0 como definición de e? 136 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN Presentaremos las ecuaciones auxiliares, raíces y soluciones generales co- rrespondientes. (a) 2m2 - 5m - 3 = (2m + l)(m - 3) = 0, m, = - +, m2 = 3, y = C$ -“’ + c2e3+ (b) m2 - 10m + 2.5 = (m - 15)~ = 0, y = cle sI + c2xesX m, = m2 = 5, ti (c)m2+m+1=0, mI=-l+-i, 1 ti mz=----i, 2 2 2 2 ’ 21 y = e-x’2 (ccos~x+cse~-X ’ 0 m Problema de valor inicial 4, ’ Resuelva el problema de valor inicial y”-4y’+ 13y=o, y(O) = -1, y’(O) = 2. SOLUCIÓN Las raíces de la ecuación auxiliar m2 - 4m + 13 = 0 son rnl = 2 + 3i y m2 = 2 - 3i, de modo que y = e2X(c1 cos 3x + c2 sen 3~). Al aplicar la condición y(O) = -1, vemos que -1 = e’(ct cos 0 + c2 sen 0) y que CI = -1. Diferenciamos la ecuación de arriba y a continuación, aplicando y’(O) = 2, obtenemos 2 = 3~2 - 2, 0 sea, CT = :; por consiguiente, la solución es y = e2* 4 -cos3x+-sen3x 3 ( 1 . Las dos ecuaciones diferenciales, y” + py = 0 y y” - .k2y = 0, k real, son importantes en las matemáticas aplicadas. Para la primera, la ecuación auxiliar m2 + k2 = 0 tiene las raíces imaginarias rnl = ki y m2 = -ki. Según la ecuación (8), con cx = 0 y 0 = k, la solución general es y = cl cos kx + c2 sen kx. (9) La ecuación auxiliar de la segunda ecuación, m2 - p = 0, tiene las raíces reales distintas rnl = k y m2 = -k; por ello, su solución general es y = cleh + c2e+. (10) Obsérvese que si elegimos cl = c2 = f y después ct = f, c2 = - f en (lo), llegamos a las soluciones particulares y = (ek” + eeh)/ = cosh kx y y = (ek” - emk”)/2 = senh k. Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en cualquier intervalo del eje x, una forma alternativa de la solución general dey” - py = 0 es y = CI cosh kx + c2 senh kx. Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Ecuaciones de orden superior 137 En general, para resolver una ecuación diferencial de orden n como .Jn) + an-lyk-‘) + . + Qy” + qy + soy = 0, endondelasai,i=O,l,... de grado n: (11) , n son constantes reales, debemos resolver una ecuación polinomial a,m” +a,-lrn 14 + . . + a2m2 + alm + ao = 0. (12) Si todas las raíces de la ecuación (12) son reales y distintas, la solución general de la ecuación (ll) es y= qe mlx + c2emp + . . . + c,emn’. Es más difícil resumir los análogos de los casos II y III porque las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos pueden presentarse en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres raíces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, cinco reales pero iguales, cinco reales pero dos iguales, etcétera. Cuando rn1 es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de grado n (esto es, k raíces son iguales a ml), se puede demostrar que las soluciones linealmente independientes son emI’, xem) x2emix, . . ., x k - l emp y que la solución general debe contener la combinación lineal qemlx+ c2xemlx+ c3x 2 e w + . . . + Ckxk-lemlx. Por ultimo, recuérdese que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de una ecuación auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener dos raíces complejas cuando mucho. Ecuación diferencial de tercer orden Resolver y”’ + 3~” - 4y = 0. SOLUCIÓN Al examinar m3 + 3m2 - 4 = 0 debemos notar que una de sus raíces es mt = 1. Si dividimos m3 + 3m2 - 4 entre m - 1, vemos que m3 + 3m* - 4 = (m - l)(m’ + 4m + 4) = (m - l)(m + 2)2, y entonces las demás raíces son rn2 = m3 = -2. Así, la solución general es y = clex + c2e -2X + c3xe -2x . n 138 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ecuación diferencial de cuarto orden Resuelvafi+2~+y=O. uY UT2 SOLUCIÓN La ecuación auxiliar es m4 + 2m2 + 1 = (m2 + 1)2 = 0 y tiene las raíces rn1 = m3 = i y rnz = rn4 = -i. Así, de acuerdo con el caso II, la solución es y = Cleu + C2emú + C3xek + C,xe+. Según la fórmula de Euler, se puede escribir el agrupamiento Cleti + Cze-‘” en la forma CI cos x + c2 sen x con un cambio de definición de las constantes. Igualmente, x(C3eL” + C4eei”)se puede expresar en la forma x(c3 cos x + q sen x). En consecuencia, la solución general es y = cl cosx + c2senx + c3x cosx + c4xsen x. n El ejemplo 4 mostró un caso especial en que la ecuación auxiliar tiene raíces complejas repetidas. En general, si rn1 = Q + i/3 es una raíz compleja de multiplicidad k de una ecuación auxiliar con coeficientes reales, su raíz conjugada, m2 = (Y - ip, también es una raíz de multiplicidad k. Con base en las 2k soluciones complejas e(n+i/3)x, e(a-ij3)x, xe(u+iS)x, x2e(a+Wx xe(cX-@)“, . . x2&iS)x’ > . , . . . > &l&+iNx Xk-le(a-i/3)x llegamos a la conclusión, con ayuda de la fórmula de Euler, de que la solución general de la ecuación diferencial correspondiente debe contener una combinación lineal de las 2k soluciones reales y linealmente independientes e” cos ,bx, xe” cos Bx, x2em cos px, . . . , xk-‘ear e(lx sen ,Bx, xeux sen Bx, x2eux sen px, . . . , xk-‘ear sen @x. cos Bx Enelejemplo4vemosque,k=2,cr=Oy/3=1. Naturalmente, el punto más dificil al resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es la determinación de las raíces de las ecuaciones auxiliares de grado mayor que dos; por ejemplo, para resolver 3~“’ + 5,” + lOy’ - 4y = 0, primero debemos resolver 3m3 + 5m2 + 10m - 4 = 0. Algo que podemos intentar es probar si la ecuación auxiliar tiene raíces racionales. Recordemos que si rn1 = p/q es una raíz racional reducida a su expresión mínima de una ecuación auxiliar u,,m” + . . . + alm + ao = 0, con coeficientes enteros, p es un factor de UO y q es factor de u,. Para nuestra ecuación auxiliar cúbica, todos los factores de UO = -4 y u, = 3 sonp: +l, f 2, f4 y q: fl, ti, de modo que las raíces racionales posibles sonplq: fl, ti, *4, $, 7 y *t. Entonces se puede probar con cada uno de estos números, por ejemplo, con división sintética. Así se descubren, a la vez, la raíz rn1 = t y la factorización Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 139 Con ello la fórmula cuadrática produce las demás raíces, m2 = -1 + 6 i y m3 = -1 - 6 i. Entonces, la solución general de 3~“’ + 5~” + lOy’ - 4y = 0 es y = cled3 + e?(c2 cos tix + c3,sen tix). Empleo de computadoras Cuando se cuenta con una calculadora o un programa de computación adecuados, la determinación o aproximación de las raíces de ecuaciones polinomiales se convierte en un asunto rutinario. Los sistemas algebraicos de computación, como Mathematica y Maple, pueden resolver ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor de cinco mediante fórmulas algebraicas. Para la ecuación auxiliar del párrafo anterior, los comandos Solve[3 m”3 + 5 mA2 + 10 m - 4 = = 0, m] (en Mathematica) solve(3*mA3 + 5*mA2 + lO*m - 4, m); (en Maple) dan, como resultado inmediato, sus representaciones de las raíces $ -1 + fii, -1 - 6i. Cuando las ecuaciones auxiliares son de orden mayor, quizá se reqmeran comandos numéricos, como NSolve y FindRoot en Mathematica. Por su capacidad de resolver ecuaciones polinomiales, no nos debe sorprender que algunos sistemas algebraicos de computación también son capaces de presentar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales, homogéneas y de coeficientes constantes; por ejemplo, al teclear DSolve [y”[x] + 2 y’[x] + 2 y[x] = = 0, y[x], x] dsolve(diff(y(x),x$2) + 2*diff(y(x),x) (en Mathematica) +2*y(x) = 0, y(x)); (en Maple) se obtiene, respectivamente yLxl -, WI Cos [XI - CPISen [XI E” Y y(x) = -Cl exp( -x)sen(x) + -C2 exp( -x) cos Las expresiones anteriores quieren decir que y = cze-X cos x + cle-’ sen x es una solución de y” + 5 + 5 = 0. Obsérvese que el signo menos frente a C[ 1 ] en el primer resultado es superfluo. ¿Por qué? En el texto clásico Dijkentid Equations, de Ralph Palmer Agnew,* que usó el autor de estudiante, se afirma que: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la destreza y el equipo computacional necesarios para resolver con eficiencia ecuaciones como 4.317 2 + 2.179 2 + 1.416 $$ + 1.295 2 + 3.1691, = 0. w Aunque se puede discutir si la destreza en computación ha mejorado en todos estos aRos o no, el equipo sí es mejor. Si se tiene acceso a un sistema algebraico computacional, se puede *McGraw-Hill, New York, 1960. CAPíTULO 140 4 ECUACIONES DIFERENC!ALES DE ORDEN SUPERIOR considerar que la ecuación (13) es razonable. Después de simplificar y efectuar algunas sustituciones en los resultados, con Mathematica se obtiene la siguiente solución general (aproximada); y = cle -0.728852r cos(O.6186O5x) + c2e-0~728852xsen (0.618605~) + c3eo.476278x cos(O.759081~) + c4e0.47M78x sen (0.759081~). De paso haremos notar que los comandos DSolve y dsolve, en Mathematica y Maple, al igual que la mayor parte de los aspectos de cualquier sistema algebraico computacional, tienen sus limitaciones. En los problemas 1 a 36 determine la solución general de cada ecuación diferencial. 1. 3. 5. 7. 4y” + y’ = 0 y” - 36y = 0 y” + 9y = 0 y” - y’ - 6y = 0 9. $$+8g+16y=o / 2. 4. 6. 8. 2y” - 5y’ = 0 y” - 8y = 0 3~” + y = 0 y” - 3y’ + 2y = 0 10. $$102+25y=O ll. y” + 3y’ - 5y = 0 13. 12y” - 5y’ - 2y = 0 15. y” - 4y’ + 5y = 0 17. 3y” + 2y’ + y = 0 19. y “’ - 4y” - 5y’ = 0 21. y “’ - y = 0 23. y “’ - 5y” + 3y’ + 9y = 0 25. y “’ + y ” - 2y = 0 27. y “’ + 3~” + 3y’ + y = 0 12. y” + 4y’ -y = 0 14. 8y” + 2y’ -y = 0 16. 2~” - 3y’ + 4y = 0 18. 2y” + 2y’ + y = 0 20. 4y” + 4y” + y’ = 0 22. y “’ + 5y” = 0 24. y” + 3y” - 4y’ - 12y = 0 26. y “’ - y” - 4y = 0 28. y “’ - 6~” + 12~’ - 8y = 0 29 !!3+!iY+!!b!=o 30. $$-2$$+y=o 31. 16%+24%+9y=O 32. $$7$-18y=O 33 !%16f!&O 34 dSY-2dqy+~7!!Y=O ’ * dx4 dxs dx3 dx2 dx ’ d4y d3y 35. $$+5Z-2d;?-10~+~+5y=0 36.2$$-7~+12$+8~=0 dx’ dx4 dx3 Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 141 En los problemas 37 a 52 resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas. 37. y” + 16~ = 0, y(O) = 2, y’(O) = -2 38. y” - y= 0, y(O) = y’(O) = 1 3 9 . y” + 6y’ + 5y = 0, y(O) = 0, y’(O) = 3 40. y” - 8y’ + 17y = 0, y(O) = 4, y’(O) = -1 41. 2y” - 2y’ + y= 0, y(O) = -1, y’(O) = 0 42. y” - 2y’ + y= 0, y(o) = 5, y’(o) = 10 43. y” + y’ + 2y = 0, y(O) = y’(O) = 0 44. 4y” - 4y’ - 3y = 0, y(O) = 1, y’(O) = 5 45. y” - 3y’ + 2y = 0, y(l) = 0, y’(l) = 1 46y”+y=O, y(g)=o,Y’(9)=2 47. y”’ + 12~” + 36~’ = 0, y(O) = 0, y’(O) = 1, y”(o) = -7 48. y”’ + 2~” - 5y’ - 6y = 0, y(O) = y’(O) = 0, y”(O) = 1 49. y “’ - 8y = 0, y(O) = 0, y’(O) = -1, y”(o) = 0 50. fj$ = 0, y(O) = 2,y’(O) = 3,y”(O) = 4,y”(O) = 5 51. 2 - 3 2 + 3 2 - g = 0, y(O) = y’(O) = O,y”(O) = y”‘(O) = 1 52. 2 - y = 0, y(O) = y’(O) = y”(O) = 0, y”‘(O) = 1 En los problemas 53 a 56 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales señaladas. 53. y” - lOy’ + 25~ = 0, y(O) = 1, y(l) = 0 54. y” + 4y = 0, y(O) = 0, y(r) = 0 , 55. y” + y = 0, y’(O) = 0, y’ ; = 2 0 5 6 . y” - y = 0, y(O) = 1, y’(l) = 0 En la solución de los problemas 57 a 60 use una computadora para resolver la ecuación auxiliar o para obtener directamente la solución general de la ecuación diferencial dada. Si usa un sistema algebraico de computación (SAC) para llegar a la solución general, simplifique el resultado y escriba la solución en términos de funciones reales. 57. y “’ - 6~” + 2y’ 58. 6.11~“’ + 8.59y” 59. 3.15~‘~’ - 5.34~” 60. y’4’ + 2y” - y’ + +y = 0 + 7.93y’ + 0.778~ = 0 + 6.33~’ - 2.03~ = 0 2y = 0 142 CAPíTUlO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Problemas para discusión 61. a) Las raíces de una ecuación auxiliar cuadrática son mt = 4 y rnz = -5. ¿Cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente? b) Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica, con coeficientes reales, son rnl = f y rnz = 3 + i. ¿CuAl es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente? c) y1 = t?+ cos x es una solución de y”’ + 6y” + y’ - 34y = 0. ¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial? 62. ¿Qué condiciones deben llenar los coeficientes constantes u, b y c para garantizar que todas las soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden uy” + by’ + cy = 0 sean acotadas en el intervalo [0, -)? 63. Describa cómo la ecuación diferencial xy” + y’ + xy = 0 (o sea, y” + (l/x)y’ + y = 0), para x > 0 nos permite discernir el comportamiento cualitativo de las soluciones cuando x + 00. Compruebe sus conjeturas con un ODE solver. COEFICIENTES INDETERMINADOS, MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN n Solución general para una ecuación diferencial lineal no homogéneam Forma de una solución particular n Principio de superposición para ecuaciones diferenciales no homogéneas W Casos para aplicar coeficientes indeterminados %%Z+w.ad~ En esta sección se desarrolla el método de los coeficientes indeterminados a partir del principio de superposición para ecuaciones diferenciales no homogeneas (teorema 4.7). En la seccion 4.5 presentaremos un método totalmente distinto, donde se utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Haga su elección. Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea u~(")+u,~*y("-')+.~.+a,y'+aoy=g(x) (1) debemos pasar por dos etapas: i) Determinar la función complementaria, yc. ii) Establecer cualquier solución particular, yp, de la ecuación no homogénea. Entonces, como vimos en la sección 4.1, la solución general de (1) en un intervalo es y =yc + yp. La función complementaria yc es la solución general de la ecuación homogénea asociada ,#(“) + an-tvw) + . . . + aty’ + acy = 0. En la última sección vimos cómo resolver estas ecuaciones cuando los coeficientes son constantes. El primero de dos metodos que debemos considerar para obtener una solución particular, yp, se llama método de los coeficientes indeterminados. La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de yp originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El metodo es básicamente directo, pero está limitado a ecuaciones lineales no homogeneas, como la ecuación (l), en que W Los coeficientes Ui, i = 0, 1, . . . , n son constantes n g(x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial ear, funciones seno o coseno como sen /3x, cos Bx, o sumas y productos finitos de esas funciones. Sección 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 143 En términos estrictos, g(x) = k (una constante) es una función polinomial. Como es probable que una función constante no sea lo primero que se viene a la mente con el concepto de funciones polinomiales, en lo sucesivo, para recordar citaremos la redundpncia “funciones constantes, polinomios . . ” A continuación veremos algunos ejemplos de las clases de funciones g(x) adecuadas para nuestra descripción: g(x) = 10, g(x) = x2 - 5x, g(x) = 1% - 6 + 8eeX, g(x) = sen 3x - 5x cos 2x, g(x) = ex cos x + (3x2 - l)e-‘, etc.: esto es, g(x) es una combinación lineal de funciones del tipo k (constante), x”, Ye”, PP cos /3x y x”eLw[ sen @XT, en donde n es un entero no negativo y cr y ,0 son números reales. El método de los coeficientes indeterminados no se aplica a ecuaciones de la forma (1) cuando g(x) = lnx, g(x) = i, g(x) = tan x, g(x) = sen-%, etc. En la sección 4.6 se trataran ecuaciones diferenciales en que la “entrada” (input) de la ecuación, g(x), sea una función como estas últimas. El conjunto de funciones formado por constantes, polinomios, exponenciales eax, senos y cosenos tiene la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productosson, de nuevo, sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales eax, senos y cosenos. Como la combinacion lineal de las derivadas u,&‘) + a,typ-‘) + . . . + a& + UQQ debe ser idéntica a g(x), parece lógico suponer que yp tiene la misma forma que g(x). Ilustraremos el metodo básico con dos ejemplos. Solución general con coeficientes indeterminados Resolver y” + 4y’ - 5 = w! - 3x + 6. (2) SOLUCIÓN Paso 1. Primero resolveremos la ecuación homogénea asociada y” + 4y’ 2y = 0. Al aplicar la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar rn2 + 4m - 2 = 0 son rnl = -2 - Gy rn2 = -2 + 6 Entonces, la función complementaria es yc = cle-(2+G)x + c2e(-2+ti)x* Paso 2. Como la función g(x) es un polinomio cuadrático, supondremos una solución particular que también tenga la forma de un polinomio cuadr&ico: yp = Ax2 + Bx + C. 144 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Tratamos de determinar coeficientes A, B y C especzjhs para los que y, sea una solución de (2). Sustituimos yP y las derivadas y;=2Ax+B s y y;=2A en la ecuación diferencial dada, la ecuación (2), y obtenemos y;+4y;-2yp=2A+8Ax+4B-2Ax*-2Bx-2C = 2x2 - 3x + 6. Como se supone que esta ecuación es una identidad, los coeficientes de potencias de x de igual grado deben ser iguales: igual Esto es, -2A = 2, BA - 2B = -3, 2A + 4B - 2C = 6. Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen A = -1, B = - i y C = -9. Así, una solución particular es y,=-x*-Ix-g 2 * Paso 3. La solución general de la ecuación dada es y = Y, + Y, = cle -(2+6)* + Solución particular mediante qe(-2+ti)x coeficientes - X2 - s x - 9. 3 indeterminados Determine una solución particular de y” - y’ + y = 2 sen 3~. Una primera estimación lógica de una solución particular sería A sen 3~; pero como las diferenciaciones sucesivas de sen 3x dan sen 3x y también cos 3x, tenemos que suponer una solución particular que posea ambos términos: SOLUCIÓN y,=Acos3xi-Bsen3x. Al diferenciar yP, sustituir los resultados en la ecuación diferencial original y reagrupar, tenemos y;-y;+y,=(-8A-3B) cos 3x + (3A - 8 B) sen 3x = 2 sen 3x n Sección 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la 145 superposición igual th F -8A-3B Del sistema cos3x+ 3A-8B -8A-3B=O, sen3x=O cos3xi-2 sen3x. 3A-8B=2, obtenemos A = 4 y B = - g. Una solución particular de la ecuación es 6 y, = 73cos3x 16 - Esen3x. Como ya mencionamos, la forma que supongamos para la solución particular y, es una estimación coherente, no a ciegas. Dicha estimación ha de tener en cuenta no sólo los tipos de funciones que forman a g(x), sino (como veremos en el ejemplo 4), las funciones que forman la función complementaria yf. Formación de y,, por superposición (3) Resuelva y” - 2y’ - 3y = 4x - 5 + 6xek. Paso 1. Primero se determina la solución de la ecuación homogénea asociada, y” - 2y’ - 3y = 0, solución que es yc = cte-’ + c2e3’, SOLUCIÓN Paso 2. A continuación, la aparición de 4x - 5 en g(x) sugiere que la solución particular contiene un polinomio lineal. Además, como la derivada del producto xeti produce 2xea y eZX, también supondremos que en la solución particular hay términos en x? y en e”; en otras palabras, g es la suma de dos tipos básicos de funciones: g(x) = gl(x) + gx(x) = polinomio + exponenciales. En consecuencia, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7) sugiere que busquemos una solución particular YP = YP, + YP*> donde yp, = Ax + B y yp2 = Cxe2” + EeZX. Sustituimos: yp = Ax + B + Cxe2” + Eezx en la ecuación dada (3) y agrupamos los términos semejantes: yp” - 2~; - 3y, = -3Ax - 2A - 3B - 3Cxe” + (2C - 3E)e2” = 4x - 5 + 6xe2”. (4) 146 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR De esta identidad se obtienen cuatro ecuaciones: -3A = 4, - 2 A - 3B = -5, - 3 C = 6 , 2C - 3E = 0 . La ultima ecuación del sistema proviene de la interpretación de que el coeficiente de e> en el lado derecho de (4) es cero. Al resolver el sistema llegamos a A = - f, B = $, C = - 2 y E = - 4. En consecuencia, Paso 3. La solución general de la ecuación es 4 y = qe-” + c2e SLx+z?- 3 9 zx+4 ( 3) e2x . De acuerdo con el principio de superposición, teorema 4.7, también podemos atacar al ejemplo 3 resolviendo dos problemas más sencillos. El lector debe comprobar que al sustituir Y yp, = Ax + B en y” - 2y’ - 3y = 4x - 5 yp2 = CxeZX + Eek en y” - 2y’ - 3y = 6xek se tiene, y,, = - 5 x+yyy,,=-(2x+,;)e 4 2r. Entonces, una solución particular de la ecuación (3) esy, =yp, +yp2. En el próximo ejemplo veremos que, a veces, la hipótesis “obvia” de la forma de yp no es una conjetura correcta. Un tropiezo del método Determine una solución particular dey” - 5y’ + 4y = 88. SOLUCIÓN Al derivar d; no se obtienen funciones nuevas. Así, si procedemos como en los ejemplos anteriores, es lógico suponer una solucibn particular de la forma yp = Ae”. Pero al sustituir esta expresion en la ecuación diferencial obtenemos la afirmación contradictoria 0 = Se', y vemos que nuestra hipótesis de yp fue incorrecta. Aqui, la dificultad se aclara al examinar la función complementaria yC = cle’ + cze&. Vemos que la supuesta Ad( ya está presente en yC. Esto quiere decir que e’ es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada, y al sustituir un múltiplo constante Ae” en la ecuación diferencial se obtendra, necesariamente, cero. LEntonces, cuál debe ser la forma dey,? Siguiendo el caso II de la sección 4.3, veamos si podemos tener una solución particular de la forma yp = Axe”. Sección 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 147 Sustituimos yP = Axër + Ae’ y y; = AxeT + 248 en la ecuación diferencial, simplificamos y obtenemos y; - 5r;, + 4yp = -3Ae” = 8e”. En esta ecuación vemos que el valor de A es A = - t; por consiguiente, una solución particuhr de la ecuación dada es 8 yp = - 7 xex. ¿a diferencia entre los procedimientos que empleamos en los ejemplos 1 a 3 y 4 nos lleva a considerar dos casos. El primero refleja lo que sucede en los ejemplos 1 a 3. CASO 1: Ninguna función en la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. En la tabla 4.1 mostramos algunos ejemplos específicos de g(x) en (l), con la forma correspondiente de la solución particular. Naturalmente, suponemos que ninguna función, en la solución particular yP supuesta esta duplicada (o reproducida) por una función en la solución complementaria yti TABLA 4.1 Soluciones particulares tentativas Forma de yP g(x) 1 . 1 (una constante) A 2. 5x+ 7 Ax+B 3. 3x2-2 Ax’+Bx+C 4. x3-x+ 1 Ax3+B$+Cx+E 5. sen 4x Aws4x+Bsen4x á./ cos 4x Aws4x+Bsen4x 7. eIr AP 8. (9x - 2) esx (Ax+B)eSX 9. x2e5x (Ax2+Bx+C)eSX 10. e3xsen4x ll. 5x2 sen 4x 12. XP ws 4x At? ws 4x + Bek sen 4x , (Ax2+Bx+C)cos4x+(hk2+Fx+G)sen4x (Ax+B)e3xws4x+(Cx+E)e3Xsen4x Formas de soluciones particulares, caso I Determine la forma de una solución particular de (a) yc - 8y’ + 25~ = 5x3eeJ - 7e-” (b) y” + 4y = x COS X I 148 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR a) Podemos escribir g(x) = (5x3 - 7)e”. Tomamos nuestro modelo del renglón 9 de la tabla 4.1, y suponemos que una solución particular tiene la forma SOLUCIÓN y, = (Ax3 + Bx* + Cx + E)e-*. Obsérvese que no hay duplicación entre los términos dey,, y los de la función complementaria yC = e4”(ct cos 3x + c2 sen 3~). b) La función g(x) = x cos x se parece a la del renglón ll de la tabla 4.1 excepto que usamos un polinomio lineal y no cuadrático, y cos x y sen x en lugar de cos 4x y sen 4x, en la forma dey,: y, = (Ax + B) cos x + (Cx + E) sen x. Nótese que no hay duplicación de términos entre y,, y yC = ct cos 2x + c2 sen 2x. n Si g(x) está formada por una suma de, digamos, m términos del tipo de los de la tabla, entonces, como en el ejemplo 3, la hipótesis de una solución particular yp consiste en la suma de las formas tentativas yp,, yp2, . . . , yp, que corresponden a los términos Y,=Y,,+Y,,+--*+Ypm. Lo que acabamos de decir se puede formular también como Regla de formación para el caso I La forma dey,, es una combinación lineal de todas las funciones linealmente independientes generadas por diferenciaciones repetidas de g(x). Formación de y,, por superposición, caso I Determine la forma de una solución particular de y” - 9y’ + 14y = 3x2 - 5 sen 2x + 7xe61. SOLUCIÓN Suponemos que 3x2 corresponde a yP,=Ax2+Bx+C. Suponemos que -5 sen 2x corresponde a y,,=Ecos2x+Fsen2x. Suponemos que 7xe6X corresponde a yp, = (Gx + H)e6”. Entonces, la propuesta de solución particular es y, = yp, + yp, + y,, = Ax* + Bx + C + E cos 2x + Fsen2x + (Gx + H)e6”. Ningún término de esta propuesta repite, o duplica, un término de yC = ctezx + c2e7’. n CASO II: Una función en la solución particular supuesta también es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada. El ejemplo que sigue se parece al 4. Sección 4.4 149 Coeficientes indeterminados, método de la superposición Solución particular, caso II Determine una solución particular dey” - 2y’ + y = 8. La solución complementaria es y, = cte” + ~2x8. Al igual que en el ejemplo SOLUCIÓN 4, la hipótesis yp = Ae” no dará resultado porque se ve, en yC, que e” es una solución de la ecuación homogénea asociada y” - 2y’ + y = 0. Además, no podremos determinar una solución particular de la forma yp = Anti, ya que el término xex también está duplicado en yc. Probaremos a continuación con yp = Ax2eX. Al sustituir en la ecuación diferencial dada se obtiene 2Ae” = e”, de modo que A=+. n Entonces, una solución particular es y, = i x2ex. Supongamos de nuevo que g(x) está formada por m términos de los tipos que aparecen en la tabla 4.1 y que la hipótesis normal de una solución particular es YP = YP, + YP, + ’ * . + YP m’ endondelasyp,,i= 1,2,. . ., m son formas tentativas de solución particular que corresponden a esos términos. En las condiciones descritas en el caso II podemos establecer la siguiente regla general: Regla de multiplicacidn para el caso II Si alguna yPi contiene términos que duplican los términos en y, entonces yPi se debe multiplicar por A?‘, donde n es el entero positivo mhimo que elimina esa duplicación. Un problema de valores iniciales Resuelva el problema de valores iniciales y” + y = 4x + losenx, y(n) = 0, y’(n) = 2. La solución de la ecuación homogénea asociada, y” + y = 0, es yC = CI cos x + c2 sen x. Como g(x) = 4x + 10 sen x es la suma de un polinomio lineal y una función senoidal, nuestra tentativa lógica de y,, según los renglones 2 y 5 de la tabla 4.1, seria la suma de 5OlUClóN y,,=Ax+Byy,,=Ccosx+Esenx: y, = Ax + B + Ccosx + Esenx. (5) Pero hay una duplicación obvia en los términos cos x y sen x en esta forma tentativa y dos términos de la función complementaria. Podemos eliminar esta repetición con sólo multiplicar yp2 por x. En lugar de la ecuación (5) usaremos ahora y, = Ax + B + Cxcosx + Exsenx. (6) 150 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Al derivar esta expresión y sustituir los resultados en la ecuación diferencial se obtiene yj: + y, = Ax + B - 2Csenx + 2Ecosx = 4x + lOsenx, y así A = 4, B = 0, - 2 C = 10, 2E = 0 . Las soluciones del sistema se ven de inmediato: A = 4, B = 0, C = -5 y E = 0. Entonces, de acuerdo con (6), obtenemos yp = 4x - 5x cos x. La solución general de la ecuación dada es Ahora aplicaremos las condiciones iniciales a la solución general de la ecuación. Primero, y(r)-CI cosrr+c2senrr+4r-5rrcos7r=Odact=9rr,porquecos7r=-l ysenrr=O.A continuación, a partir de la derivada y’ = -9rrsenx + c2cosx + 4 + 5xsenx - 5cosx Y y’(?r)=-97rsenn+c2cosn+4+5nsenn-5cosa=2 llegamos a c2 = 7. La solución del problema de valor inicial es y = 97r cos x + 7 sen x + 4x - 5x cos x. Empleo de la regla de multiplicación Resuelva y” - 6y’ + 9y = 6x2 + 2 - 1 2e3’. SOLUCIÓN La función complementaria es yc = cl e3’ + c2xe3X. Entonces, basándonos en los renglones 3 y 7 de la tabla 4.1, la hipótesis normal de una solución particular sería y, = Ax2 + Bx + C + Ee3”. -ir’ Y4 h Al revisar estas funciones vemos que un término de yp2 está repetido en yE. Si multiplicamos yp2 por x el término xe3* sigue siendo parte de yc. Pero si multiplicamos yp2 por 2 se eliminan todas las duplicaciones. Así, la forma operativa de una solución particular es y, = Ax2 + Bx + C + Ex2e3X. Si derivamos esta forma, sustituimos en la ecuación diferencial y reunimos los términos semejantes, llegamos a y; - 6~; + 9y, = 9Ax2 + (-12A + 9B)x + 2A - 6B + 9C + 2Ee’” = 6x2 + 2 - 12~~~“. De acuerdo con esta identidad, A = $ B = $, C = 5 y E = -6. Por lo tanto, la solución general y = yc + y,, es 2 8 2 y = c1e3’ + c2xe31 + -x2 + -x + - - 6x2e3”. 3 9 3 kcción 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 151 Ecuación diferencial de tercer orden, caso I Resuelva y”’ + y” = ex cos x. SOLUCIÓN Partimos de la ecuación característica m3 + m2 = 0 y vemos que rnl= m2 = 0, y ms = -1. Entonces, la función complementaria de la ecuación es yc = CI + czx + che-‘. Si g(x) = ex cos n, de acuerdo con el renglón 10 de la tabla 4.1, deberíamos suponer y, = Ae” cos x + Bexsen x. Como no hay funciones en yp que repiten las funciones de la solución complementaria, procederemos normalmente. Partimos de y; + y; = (-2A + 4B)e”cosx + (-4A - 2B)e”senx = e’cosx y obtenemos -2A + 4B = 1, -4A - 2B = 0. Con este sistema tenemos A = -i y B = +, de tal suerte que una solución particular es yp = - hti cos x + $z? sen x. La solución general de la ecuación es 1 y=y,+y,=cI+crx+c3e-‘-,e”cosx+ke’senx. IV n J Ecuación diferencial de cuarto orden, caso II Determine la forma de una solución particular de yc4) + y”’ = 1 - x2e-‘. SOLUCIÓN solución Comparamos y, = ct + c2x + ~3x2 + c4eeX con nuestra tentativa normal de particular y, = A + Bx2emX + Cxe-” + Ee-“, +Y4 YP* vemos que se eliminan las duplicaciones entre yc y yp cuando se multiplica yp, por x3 y yp, por x. Así, la hipótesis correcta de una solución particular es yp = Ax3 + Bx3emX + CxW f Exe-“. n En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide al lector resolvix problemas de valores iniciales, y los problemas 37 y 38 son de valores en la frontera. Según se expuso en el ejemplo 8, el lector se debe asegurar de aplicar las condiciones iniciales (o las condiciones en la frontera) a la solución general y =yc + yP. Con frecuencia se cae en el error de aplicar esas condiciones sólo a la función complementaria yc porque es la parte de la solución donde aparecen las constantes. 152 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EJERCKiOS 4.4 En los problemas 1 a 26 resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados. 2. 4y” + 9y = 15 4. y” + y’ - 6y = 2x 1. y ” + 3y’ + 2y = 6 3. y” - 1Oy’ + 25y = 3ox + 3 5. ;yvy +y=x2-2x 6. y” ‘- 8y’ + 2Oy = lOOx2 - 26xe” 8. 4y” - 4y’ - 3 y = cos 2x 10. y” + 2y’ = 2x + 5 - ew2X 7. y ” + 3y = -48x2e3r 9. y" - y' = - 3 ll. y” - y’ + i y = 3 + ex’2 12. y” - 16y = 2e4X 13. y” + 4y = 3 sen 2x 14. y” + 4y = (x’ - 3) sen 2x 16. y” - 5y’ = 2x3 - 4x2 - x + 6 15. y” + y = 2x sen x 17. y” - 2y’ + 5y = ex cos 2x 18. y” - 2y’ + 2y = e21(cos x - 3 sen x) 19. y” + 2y’ + y = senx + 3 cos 2x 20. y” + 2y’ - 24y = 16 - (x + 2)e4” 21. y “’ - 6y” = 3 - cos x 22. y “’ - 2~” - 4y’ + 8y = 6xezx 23. y “’ - 3y” + 3y’ - y= x - 4e” 24. y “’ - y” - 4y’ + 4y = 5 - ex + e2r 25. yc4) + 2~” + y = (x - l)* 26. yc4) - y” = 4x + 2xeex En los problemas 27 a 36, resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales indicadas. 27. y”+4y= - 2 , y(;) =;>Y’(;) =2 28. 2y” + 3y’ - 2 y = 14x2 - 4 x - 11, y(O) = 0, y’(O) = 0 29. 5~” + y’ = -6x, y(O) = 0, y’(O) = -10 30. y” + 4y’ + 4y = (3 + x)e-“, y(O) = 2, y’(O) = 5 31. y” + 4y’ + 5y = 35em4”, y(O) = -3, y’(O) = 1 32. y” -y = cosh x, y(O) = 2, y’(O) = 12 33. $+w2x=Fosenwt, x(O)=O,x’(O)=O 34. $ + w*x = Fo cos yt, x(O) = 0, x’(O) = 0 Sección 4.5 35. y”’ - 2~” + y’ = 2 - 24e” + 40eS”, 36. y “’ + 8y = 2x - 5 + 8em21, Coeficientes indeterminados, método del anulador 153 y(O) = i, y’(O) = g, y”(O) = - i y(O) = -5, y’(O) = 3, y”(O) = -4 En los problemas 37 y 38, resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condiciones en la frontera indicadas. 37. y” + y = 2 + 1, y(O) = 5, y(l) = 0 38. y” - 2y’ + 2y = 2x - 2, y(O) = 0, y(r) = ã 39. Muchas veces, la función g(x) es discontinua en las aplicaciones. Resuelva el problema de valores iniciales y” + 4y = g(x), y(O) = 1, y’(O) = 2, en donde senx, 05x9t 0, X>E g(x) = i 2 [Sugerencia: resuelva el problema en los dos intervalos y después determine una solución tal que y y y’ sean continuas en x = 7ri2.1 Problemas paro discusión 40. a) Describa cómo resolver la ecuación uy” + by’ = g(x) de segundo orden sin ayudarse con coeficientes indeterminados. Suponga que g(x) es continua. También tenga en cuenta que. uy” + by’ = 2 (ay’ + by). b) Como ejemplo de su método, resuelva y” + y’ = 2x c) Describa cuando se puede aplicar el método de la lineales no homogéneas de orden mayor que dos. 41. Describa cómo se puede emplear el método de esta particular de y” + y = sen x cos 2x. Ponga en práctica - e-‘. parte a) a las ecuaciones diferenciales sección para determinar una solución su idea. COEFICIENTES INDETERMINADOS, MÉTODO DEL ANULADOR n Factorización de un operador diferencial H Operador anulador H Determinación de la forma de una solución particular W Coeficientes indeterminados En la sección 4.1 planteamos que una ecuación diferencial lineal de orden n se puede escribir como sigue: a,D”y + un-JIn-‘y + . . * + a$y + UOY = g(x), (1) 154 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR endonde&=dky/dxk,k=O, l,... , n. Cuando nos convenga, representaremos también esta ecuación en la forma L(x) = g(x), donde L representa el operador diferencial lineal de orden n: L = an D” + u,-lD”-l + * * * + fqD + ao. (2) La notación de operadores es más que taquigrafía útil; en un nivel muy práctico, la aplicación de los operadores diferenciales nos permite llegar a una solución particular de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Antes de hacerlo, necesitamos examinar dos concepto%: Factorización de operadores Cuando las ui, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales, se puede factor-izar un operador diferencial lineal (2) siempre que se factorice el polinomio característico u,m” + un-lm”-’ + . . . + ulm + UO. En otras palabras, si 1-1 es una raíz de la ecuación U”rn” + u”-gn”-l + *. *+ U]nz f uo = 0, entonces L = (D - @(II), donde la expresión polinomial P(D) es un operador diferencial lineal de orden n - 1; por ejemplo, si manejamos D como una cantidad algebraica, el operador ti + SD + 6 se puede factorizar como (D + 2)(D + 3) o bien (D + 3)(D + 2). Así, si una función y = f(x) tiene segunda derivada, (ll* + SD + 6)y = (D + 2)(D + 3)y = (D + 3)(D + 2)~. Lo anterior es un ejemplo de una propiedad general: Los factores de un operador diferencial lineal con coejicientes constantes son conmutativos. Una ecuación diferencial como y” + 4~’ + 4y = 0 se puede escribir en la forma (ll* + 40 + 4)y = 0 o sea (D + 2)(D + 2)y = 0 o sea (D + 2)*y = 0. Operador anulador Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una función suficientemente diferenciable tal que Jww = 0, se dice que L es un anulador de la función; por ejemplo, una función constante como y = k es anulada por D porque Dk = 0. La función y = x es anulada por el operador diferencial 02 porque la primera y segunda derivadas de x son 1 y 0, respectivamente. En forma similar, D3x2 = 0 7 etcétera. El operador diferencial D” anula cada una de las siguientes funciones: 1, x, 2, . . ., X=-l. Como consecuencia inmediata de la ecuación (3) y del hecho de que la diferenciaciónse puede llevar a cabo término a término, un polinomio co + ClX + c*x* + . . . + c,-lx”-l (4) Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, método del anulador 155 se puede anular definiendo un operador que anule la potencia máxima de x. Las funciones que anula un operador diferencial lineal L de orden n son aquellas que se pueden obtener de la solución general de la ecuación diferencial homogénea Lb) = 0. El operador díferenCaL (D - aY $nula cada una de las siguientes funciones e”“r, Xe?=, 2e) . . . , f-‘e*. (3 Para comprobarlo, observemos que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea (D 0)“~ = 0 es (m - a)” = 0. Puesto que cy es una raíz de multiplicidad n, la solución general es y = c,e” + c2xeax + **. + cnx”-leax. (6) Operadores anuladores Determine un operador diferencial que anule la función dada (a) 1 - 5x2 + 8x3 (b) e-3X (c) 4e2” - 10xe2X x SOLUCIÓN a) De acuerdo con (3), sabemos que D4x3 = 0 y, como consecuencia de (4), D4( 1 - 5x2 + 8x3) = 0. b) De acuerdo con (5), con cr = -3 y n = 1, vemos que (D + 3)e-3X = 0. c) Según (5) y (6), con a! = 2 y n = 2, tenemos (D - 2)2(4e” - 10x8) = 0. w Cuando cr y fl son números reales, la fórmula cuadrática indica que [m2 - 2am + (cr2 + @)]” = 0 tiene las raíces complejas Q: + ip, Q - ip, ambas de multiplicidad n. De acuerdo con la explicación al final de la sección 4.3 llegamos al siguiente resultado. Operador anulador Determine un operador diferencial que anule a 5e” cos 2x - 9e” sen 2x. 156 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Al examinar las funciones e-’ cos 2x y e-’ sen 2x se ve que cy = -1 y ,R = 2. Entonces, según (7), llegamos a la conclusión de que d + 20 + 5 anulara cada función. Dado que d + 20 + 5 es un operador lineal, an@rá cualquier combinación lineal de esas funciones, como 5e” cos 2x - 9e” sen 2x. SOLUCIÓN n Cuando (-Y = 0 y n = 1 se tiene el caso especial de (7): . I Por ejemplo, D* + 16 anula cualquier combinación lineal de sen 4x y cos 4x. Con frecuencia desearemos anular la suma de dos o más funciones. Según acabamos de ver en los ejemplos 1 y 2, si L es un operador diferencial lineal tal que Lo/t) = 0 y L&) = 0, entonces anula la combinación lineal CI yr(x) + CZJQ(X). Esto es consecuencia directa del teorema 4.2. Supongamos que Ll y L2 son operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes, tales que Lr anula ay,(x) y L2 anula ay&), pero Ll&) f 0 y Lz(y1) # 0. Entonces, elproducto de los operadores lineales, LI&, anula la suma CI yt(x) + c&x). Esto se demuestra con facilidad aplicando la linealidad y el hecho de que L& = L2Lr: ~IL(Yl + Y2) = LJqYl) + ~lL(Y2) = L-L(Yl) + LL(Y2) = ~î[~IoI1)1 + ~I[L(Y2)1 = 0. \ I \ I cero cero Por ejemplo, de acuerdo con (3), sabemos que 02 anula a 7 - x y según (8), 02 + 16 anula sen 4x. Entonces, el producto de los operadores, que es @(d + 16), anula la combinación lineal 7-x+6sen4x. El operador diferencial que anula a una función no es único. En la parte b) del ejemplo 1 señalamos que D + 3 anula a ev3’, pero también la anulan operadores diferenciales de orden superior, siempre que D + 3 sea uno de los factores del operador; por ejemplo, (D + 3)(D + l), (D + 3)* y D~(D + 3) anulan, todos, a ee3’. (Compruébelo.) Para este curso, cuando busquemos un anulador de una función y =f(x) obtendremos el operador del orden mínimo posible que lo haga. Coeficientes indeterminados Lo anterior nos conduce al punto de la descripción anterior. Supongamos que L@) = g(x) es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, y que la entradag(x) consiste en sumas y productos finitos de las funciones mencionadas en (3), (5) y (7), esto es, que g(x) es una combinación lineal de funciones de la forma k (constante), xm, xmeux, xmecrr cos px y xmeax sen ,&, en donde m es un entero no negativo y (Y y p son números reales. Ya sabemos que esa íünción g(x) se puede anular con un operador diferencial, Ll, de orden mínimo, formado por un producto de los operadores D”, (D - a)” y (0’ - 2cQ + CV* + PT. Aplicamos Ll a ambos lados de la ecuación Lb) = g(x) y obtenemos LlLo>) = Lt(g(x)) = 0. Al resolver la ecuación homogénea y Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, método del 157 anulador de orden superior LrL(,v) = 0, descubriremos la forma de una solución particular, y,, de la ecuación original no homogénea L(y) = g(x). A continuación sustituimos esa forma supuesta en L(y) = g(x) para determinar una solución particular explícita. Este procedimiento de determinación de yp se llama mbtodo de los coeficientes indeterminados y lo aplicaremos en los próximos ejemplos. Antes de seguir, recordemos que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea Uy) = g(x) es y = yc + yp, donde yc es la función complementaria; esto es, la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y) = 0. La solucion general de cada ecuación L(y) = g(x) está definida en el intervalo (-, oo). mm Solución general mediante coeficientes indeterminados 1 (9) Resuelva y” + 3y’ + 2y = 4x2. Paso 1. Primero resolvemos la ecuación homogénea y” + 3y’ + 5 = 0. A continuación, a partir de la ecuación auxiliar m* + 3m + 2 = (m + l)(m + 2) = 0, determinamos que rnl = -1 y m2 = - 2; por lo tanto, la función complementaria es SOLUCIÓN y, = ele-X + c2e? Paso 2. Como el operador diferencial Ds anula a 43í*, vemos que d(Dz + 30 + 2)y = 4D3x2 es lo mismo que D3(D2 + 30 + 2)y = 0. (10) La ecuación auxiliar de la ecuación (lo), de quinto orden m3(m2 + 3m + 2) = 0 0 sea KQ”(m + l)(m + 2) = 0, tiene las raíces rnl = m2 = m3 = 0, m4 = -1 y rns = -2. Así, su solución general debe ser y=~,+~~~+~3X2+jcqe-x+cse‘z’i~ (11) Los tkminos en la zona sombrea& de la ecuación (ll) constituyen la función complementaria de la ecuación original, (9). Entonces podemos decir que una solución particular, yp, de (9) también deberia satisfacer la ecuación (10). Esto significa que los términos restantes en la ecuación (ll) han de tener la forma básica de yp: y=A+Bx+Cx* , (12) en donde, por comodidad, hemos sustituido CI, cz y cs por A, B y C, respectivamente. Para que la ecuacion (12) sea una solución particular de la (9), se necesita determinar los coeficientes específicos A, B y C. Derivamos la funcion (12) para obtener y;=B+2Cx, y sustituimos en (9) para llegar a y; = 2c, 158 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Como se supone que esta ultima ecuación tiene que ser una identidad, los coeficientes de las potencias de igual grado en x deben ser iguales: igual 2C=4, Esto es, 2B+6C=O, 2A+3B+2C=O. (13) Resolvemos las ecuaciones en (13), para obtener A = 7, B = -6 y C = 2. En esta forma, yP = 7-6x+ti. Paso 3. La solución general de la ecuación (9) es y = yc + yP, o sea Y = clevx -t c2e-2x + 7 - 6x + 2x2. n Solución general empleando coeficientes indeterminados Resuelva y” - 3y’ = 8e3’ + 4 sen x. (14) Paso 1. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociaday” - 3y’ = 0 es m2 - 3m = m(m - 3) = 0, así que yc = CI + c2e3’. SOLUCIÓN Paso 2. En vista de que (D - 3)e3X = 0 y (0” + 1) senx = 0, aplicamos el operador diferencial (D - 3)(@ + 1) a ambos lados de (14): (D - 3)(02 + l)(W - 3D)y = 0. (15) La ecuación auxiliar de la ecuación (15) es h - 3)(m2 + l)(m2 - 3m) = 0 De modo que 0 sea m(m - 3)2(m2 f 1) = 0. + cge3’ + c4 cos x + is sen x. Después de excluir la combinación lineal de términos indicada en gris que corresponde ay,, llegamos a la forma de yP: yp=Axe3’+Bcosx+Csenx. Sustituimos yP en (14), simplificamos y obtenemos yp - 3~; = 3Ae3” + (-B - 3C) cos x + (3B - C)sen x = 8e3* + 4 senx. Igualamos coeficientes: 3A = 8, -B-3C=O, 3B-C=4. Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, rn&do 159 del anulador Vemos que A = 5, B = ! y C = - 7 y, en consecuencia, 8 6 yP=3xe3”+Jcosx-$senx. Paso 3. Entonces, la solución general de (14) es 2 8 6 - -senx y = cl f c2e 3x + 3-xe3* + -cosx 5 5 Solución general mediante coeficientes n * indeterminados Resuelva y” + y = x cos x - cns x. (16) SOLUCIÓN La función complementaria es yc = cl cos x + c2 sen x. Si comparamos cos x y x cos x con las funciones del primer renglón de (7), veremos que a = 0 y n = 1, así que (0’ + 1)2 es un anulador del lado derecho de la ecuación (16). Aplicamos ese operador a la ecuación y tenemos (02 + l)“(o’ + 1)y = 0, 0 sea (02 + 1)3y = 0. Como i y -i son, a la vez, raíces complejas de multiplicidad 3 de la ecuación auxiliar de la ultima ecuación diferencial, concluimos que + c3x cos x + cqx sen x c5x2 cos x + c&u2 sen x. Sustituimos yp = Axcosx + Bxsenx + Cx2cosx + Ex2senx en la ecuación (16) y simplificamos: y; +y, = 4Excosx - 4Cxsenx + (2B + 2C)cosx + (-2A + 2E)sax = xcosx - cosx. Igualamos los coeficientes y obtenemos las ecuaciones 4E = 1, -4C = 0, 2B + 2C = -1, -2A + 2E = 0, cuyas soluciones son A = $, B = - i, C = 0 y E = $. En consecuencia, la solución general de (16) es y = clcosx + c2senx + ~xcosx - ixsenx + ix2senx. 160 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular de y” - 2y’ + y = 1 oc-2X cos X. (17) SOLUCIÓN La función complementaria, para la ecuación dada, es yc = cl$ + czx$. De acuerdo con (7), con cx = - 2, /3 = 1 y n = 1, sabemos que (02 + 40 + 5)f+ cos x = 0. Aplicamos el operador L? + 40 + 5 a la ecuación 17 para obtener (D* + 40 + 5)(D* - 20 + 1)y = 0. (18) Como las raíces de la ecuación auxiliar de (18) son -2 - i, -2 + i, 1 y 1, Se llega a una solución particular de (17) de la forma y, = Ae-2X cos x + Be-** sen x. n Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular de Y”’ - 4y” + 4y’ = 5x2 - 6x + 4x*e” + 3eSX. SOLUCIÓN (1% Primero vemos que D3(5x2 - 6~) = 0 , ( D - 2)3x2e2” = 0 , y (Ll - 5)eS” = 0. Entonces, al aplicar D3(D - 2)3(D - 5) a (19) se obtiene D3(D - 2)3(D - 5)(D3 - 4D2 + 4D)y = 0 0 sea D4(D - 2)‘(D - 5)y = 0. Fácilmente se advierte que las raíces de la ecuación auxiliar de la última ecuación diferencial son 0, 0 , 0 , 0 , 0,2,2,2,2,2 y 5. De aquí que Como la combinación lineal CI + cge + c~t?” corresponde a la función complementaria de (19), los términos restantes en la ecuación (20) expresan la forma que buscamos: y, = Ax + Bx* + Cx3 + Ex*e*l + Fx3e2” + Gx4e2* + He5”. n Sección Resumen del método tientes 4.5 Coeficientes indeterminados, método del anulador 161 Para comodidad del lector resumiremos el método de los coeti- indeterminados. Caficicantes indeñsrminados, mittodo deI anulpdor La ecuación diferencial Uy) = g(x) tiene coeficientes con@antes y la @nción g(x)Ic‘ ~onsíste r+xxu&te en sumas y productos fUos de eonsmntes, polinomios, funciones e~~~~i~~s e) e) 8eno8 senos y cosenos. i) Se determina la solución complementaria, yc, de :, dela laecuací6n ecuací6n homogénea homogénea J;c1-, J;(F) == 0.0. íi) Ambos lados de la ecuación no homogénea Lo/) = g(x) se Someten a Ia acción de un operador diferencial, LI, que anule ule lala función g(x). iii) Se determina la solueidn general de la ecuación ción diferencial homogénea de de orden orden ’ superior LlL(y) = 0. iv) De la solución obtenida en el paso iii), se eliminan todos los términos duplicados en la solucion complementaria, yc, que se determin~ en el paso ì). Se forma una combinación lineal, y,, con los terrnbms restantes. Esta será la forma de una soluci&r particular de L@) = g(x). v) Se sustituye yp que se determinó en el paso iv) en Ltjo = g(x). Se ignalan los coeficientes de las díversas funciones a cada lado de la igualdad y se despejan los coeficientes desconocidos enyp del sistema de ecuaciones resultante. vi) Con la solución particular que se determino en el paso v), se forma la solución general y = yc + yF de la ecuación diferencial dada. El método de los coeficientes indeterminados no se puede aplicar a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables ni a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando g(x) sea una función como las siguientes: g(x) = In x, g(x) = i, g(x) = tan x, g(x) = sen-‘x, etc. En la próxima sección trataremos las ecuaciones diferenciales en que la entrada g(x) es una función como estas últimas. En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial dada en la forma L(y) = g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice L. 1 . 9y” - 4y = sen x 2. y" - 5y = x2 - 2 x 3. y" - 4y' - 12y =x - 6 4. 2y" - 3y' - 2y = 1 5. y”’ + lOy” + 25~’ = ex 6. y"' + 4y' = ex cos 2x 7. y'" + 2y" - 13y' + 1Oy = xemx 9. y'4' + 8y' = 4 8.y"'+4y"+3y'=x2cosx-3x 1 0 . yc4) - 8~” + 16y = (x’ - 2x)e4” 162 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferencial mencionado anula la función indicada. ll. 04; y = 10x3 - 2x 12. 20 - 1; y = 4eX’* 13. (D - 2)(0 + 5); y = eh + 3emsX 14. D* + 6 4 ; y = 2 cos 8x - 5 sen 8x En los problemas 15 a 26, determine un operador diferencial lineal que anule la función dada. 15. 17. 19. 21. 23 . 25. 1 + 6x - 2x3 1 + 7e** cos 2x 13~ + 9x2 - sen 4x emx + 2xe* - x2ex 3 + ex cos 2x 16. 18. 20. 22. 24. 26 . n’(1 - 5~) x + 3xe6X 1 +sen x 8x - sen x + 10 cos 5x (2 - ex)* evx sen x - ezX cos x En los problemas 27 a 34, determine funciones linealmente independientes que anulen el operador diferencial dado. 27. 29. 31. 33. D5 (D - 6)(2D + 3) D2 + 5 D3 - 1OD2 + 250 28. 30. 32. 34. D* + D2 D2 D*(D 40 9D - 36 60 + 10 - 5)(D - 7 ) En los problemas 35 a 64 resuelva la respectiva ecuación diferencial por el método de los coeficientes indeterminados. 35. y” - 9y = 54 37. y” + y’ = 3 39. y” + 4y’ f 4y = 2x + 6 41. y “’ + y” = 8x2 43. y’ - y’ - 12y = e4* 45. y’ - 2y’ - 3y = 4e” - 9 47. y” + 25y = 6 sen x 49. y” + 6y’ + 9y = -xe4x 51. y” - y = x2eX + 5 53. y” - 2y’ + 5y = ex sen x 36. 2y” - 7y’ + 5y = -29 38. y’” + 2y” + y’ = 10 40. yu -l- 3y’ = 4x - 5 42. y” - 2y’ + y = x3 + 4x 44. y” + 2y’ + 2y = 5e6X 46. y” + 6y’ + 8y = 3e-” + 2x 48. y” + 4y = 4 cosx + 3senx - 8 50. y” + 3y’ - 1Oy = x(ex + 1) 52. y” + 2y’ + y = x2emx 54. y’ + y’ + i y = ex( sen3x - cos 3~) 55. y” + 25y = 20 sen 5x 56. y” + y = 4 cos x - sen x 57,y”+y’+y=xsg1x 58. yu + 4y = cos*x 59. y “’ + 8~” = -6x* + 9x + 2 (jo, yJ” - y” f y’ - y = xex - emx + 7 61. y “’ - 3~” + 3y’ - y = ex - x + 16 Sección 4.6 Variación 62. 2~"' - 3y” - 3y’ + 2y = (ex + e-X)2 63. yc4) - 2~“’ + yR = ex + 1 64. y (4) de parámetros 163 - 4y” = 5x2 - e*x Resuelva la ecuación diferencial de cada uno de los problemas 65 a 72, sujeta a las condiciones iniciales dadas. 65. y" - 64y = 16, y(O) = 1, y’(O) = 0 66. y” -t y’ = x, y(O) = 1, y’(O) = 0 67. y” - 5y’ = x - 2, y(O) = 0, y’(O) = 2 68. y” + 5y’ - 6y = loe*“, y(O) = 1, y’(O) = 1 69. y” +y = 8 cos 2x - 4senx, y(q) = -l,y’(I) = 0 70. y “’ - 2~” + y’ = xex + 5, y(O) = 2, y’(O) = 2, y”(O) = -1 71. y” - 4y’ + 8y = x3, y(O) = 2, y’(O) = 4 72. yc4) - “’y = x + ex, y(O) = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 0, yyo) = 0 Problema para discusión 73. Suponga que L es un operador diferencial lineal factorizable, pero que tiene coeficientes variables. iLos factores de L se conmutan? Defienda su aseveración. VARIAdN DE PARÁMitROS W Forma reducida de una ecuación diferencial lineal, no homogénea y de segundo orden n Una solución particular con parámetros variables n Determinación por integracidn de parcimetros variables n El wronskiano n Ecuaciones diferenciales de orden superior El procedimiento que seguimos en la sección 2.3 para llegar a una solución particular de una ecuación diferencial lineal de primer orden 2 + WY = f(x) (1) en un intervalo se aplica también a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden, a*(x)y M+ &)Y’ + @o( = gw (2) comenzaremos igual que en la sección 4.2; es decir, llevaremos la ecuación diferencial a su forma reducida Y” + WY’ + Q(x)Y = f(x) (3) 164 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR dividiéndola por el primer coeficiente, u&). Suponemos que P(x), Q(x) yf(x) son continuas en algún intervalo 1. La ecuación (3) es el análogo de la ecuación (1). Según vimos en la sección 4.3, no hay dificultad en obtener la función complementaria, yc, de (2), cuando los coeficientes son constantes. Hipótesis Es similar a la hipótesis yp = u(x)yl(x) que usamos en la sección 2.3 a fin de hallar una solución particular, yp, de la ecuación lineal de primer orden (1). Para la ecuación lineal de segundo orden (2) se busca una solución de la forma en que yt y y2 formen un conjunto fundamental de soluciones, en 1, de la forma homogénea asociada de (2). Aplicamos dos veces la regla del producto para diferenciar y, y obtenemos JJ; = u1.Y; + YlUí + UzYl + Y24 yp = u1yy + y; u; + y1l.d; + uíy; + uzy; + y; 2.4; + y*u; + u;y;. Sustituimos (4), las derivadas de arriba en la ecuacion cero Y,” + P(x)Y; + (2) y agrupamos los términos: cero Q<x>Y, = ul[ yt + Pyí + Qy11 + uz[ y; + Py; + Qyz] + y1ul+ uíyí + yzuf + u;y; + P[y,uí + y*z&] + y;u; + y;u; = 2 [y1uíl+ $ [Y&l + P[y*ul + y&] + yíu; + y;u; = & [YlUí + Y&] + P[y,uí + y24] + yíu; + y;u; =f(x). (5) Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, UI y UZ, es de esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos la hipótesis adicional de que las funciones ~1 y u2 satisfacen ylu; + y& = 0. Esta hipótesis es pertinente porque si pedimos que ylu; +y2& = 0, la ecuación (5) se reduce ay;u; + y;u; =f(x). Con ello ya tenemos las dos ecuaciones que deseábamos, aunque sea para determinar las derivadas U; y u;. Aplicamos la regla de Cramer y la solución del sistema y*uí + y*u; = 0 YíUí + y;u; = f(x) se puede expresar en términos de los determinantes en donde (7) Sección 4.6 Variación de parámetros 165 Las funciones ut y 2.~ se determinan integrando los resultados en (6). Se ve que el determinante IV es el wronskiano de yl y y2. Sabemos, por la independencia lineal entre yt y y2 en Z, que W(‘yt(x), yz(x)) # 0 para toda x en el intervalo. Resumen del método Por lo general, no se aconseja memorizar fórmulas, sino más bien comprender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largo y complicado para recurrir a él cada que deseemos resolver una ecuación diferencial. En este caso lo más eficaz es usar las formulas (6). Así, para resolver av” + aty’ + soy = g(x), primero se halla la función complementaria y, = ctyt + ~2~2, y después se calcula el wronskiano W(yr(x), y&)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reduciday” + Py’ + Qy =f(x) para hallar-f(x). Se determinan ut y u2 integrando, respectivamente, u; = WtIWy u; = WzIW, donde se definen WI y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular es y, = ulyl + 2~2~2. La solución general de la ecuación es, por consiguiente, y = yc + y,. Solución general mediante variación de parámetros Resuelva y” - 4y’ + 4y = (x + 1)e”. Partimos de la ecuación auxiliar m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 = 0, y tenemos que SOLUCIÓN yc = qe2 + c2xP. Identificamos yt = e& y y2 = xeti y calculamos el wronskiano W(e*“, Xe”) = e2* Xe** = 2e2* 2xe2X + e** e4x Como la ecuación diferencial dada está en la forma reducida (3) (esto es, el coeficiente de y” es l), vemos quef(x) = (x + 1)e”. Aplicamos (7) y efectuamos las operaciones 0 w1 = (x + l)e*” xe*X = -(x + 1)xe4X, 2xe2X + e*X w, = 0 e** = (x + l)e4X, 2e*” (x + l)e*” y así, según (6), l)xe4” _ x* -x, u; = - (x + e4x -En consecuencia, Entonces, Y x3 2 u1=-3-2, y,= (-$-ZT)++ u; = tx ‘,-‘“” =x + 1. y 2 u2=5+x. ($+x).,U= ($+g)eL1 y = y, + y, = clezx + c2xe2* + Solución general mediante variación de parámetros Resuelva 4~” + 36y = csc 3~. 166 CAPíTlJLO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCIÓN Primero llevamos la ecuación a su forma reducida (6) dividiéndola por 4: y” + 9y = $ csc 3x. En virtud de que las raíces de la ecuación auxiliar rn2 + 9 = 0 son ml = 3i y m2 = -3i, la función complementaria es yC = CI cos 3x + c2 sen 3~. Sustituimos y1 = cos 3x, y2 = sen 3x yf(x) = $ csc 3x en las definiciones (7) y obtenemos W(cos 3x, sen 3~) = w,= sen 3x =--1 O 4’ f csc 3x 3 cos 3x cos 3x sen 3x 3 -3sen3x 3 cos3x = w, = cos 3x 0 = 1 cos 3x. 4 sen 3x -3 sen 3x f csc 3x Al integrar obtenemos Wl1 u;=---W 12 y 1 ul=-?zx y w*- 1 cos3x ” = W- 12sen3x uz = $lnlsen3x1. Así, una solución particular es Ix YP = - 12 cos 3x + $j (sen3x) ln~sen3x~. La solución general de la ecuación es y=y,+yp=cIcos3x+czsen3x - Ix cos 3x + $ (sen3x) lnjsen3xlt 12 (8) . La ecuación (8) representa la solución general de la ecuación diferencial en, por ejemplo, el intervalo (0,7r/6). Constantes de integración Al determinar las integrales indefinidas de u; y u;, no necesitamos introducir constantes. Porque Y = Yc + Yp = WI + c2y2 + (Ul + al) y1 + (U2 + b,)yz = (Cl + a1)v1+ cc2 + WY2 + WY1 + u2y2 = ClYl + c2y2 + Ulyl + u2y2. Solución general por variacith Resuelva y” - y = i. de par¿metros .I Secci6n 4.6 Variación de par6metros 167 La ecuaci6n auxiliar, m2 - 1= 0 da como resultado ml = -1 y rn2 = 1. Entonces, = qeï + czemX. Tenemos W(eX, e-“> = - 2 y YC SOLUCIÓN P(llx) ‘z-p, -2 Ul Se sabe bien que las integrales que definen a ut y u2 no se pueden expresar en términos de funciones elementales. En consecuencia, escribimos y así En el ejemplo 3 podemos integrar en cualquier intervalo xg I t S x que no contenga al origen. Ecuaciones de orden superior El método que acabamos de describir para las ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden, se puede generalizar a ecuaciones lineales de orden n escritas en su forma est&ndar y'"' f P"&)y("-') + * - * -+ e(x f zl(4Y = f(x). (9) Siyc= qy1+ c2 y2 + *. . + c,, yn es la función complementaria de (9), una solución particular es Yp = W>Yl(X) enquelas&k= + ~Z(XlYZ(X) + . . . + UntxlYntx), 1,2,. . . , n están determinadas por ias n ecuaciones Yl4 + y2u; + * * * + yíu; + y;u; f * * * + yy)uí + ypu; + - . . + y,u; = 0 yAu,: = 0 ypu; = f(X)* Las primeras n - 1 ecuaciones del sistema, al igual que ylu; f y& f 0 en (S), son hipótesis hechas para simplificar la ecuación resultante después de sustituir yP = ut(x)yt(x) + . . *+ u,(x)r,(x) en (9). En este caso, la regla de Cramer da u;=%, k=1,2 ,..., n, 168 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR en donde W es el wronskiano de yt, y2, . . . , yn, y wk es el determinante obtenido al sustituir la k-ésima columna del wronskiano por la columna Cuando n = 2 se obtiene (6). i) El método de variación de parámetros tiene una clara ventaja sobre el de los coeficientes indeterminados, porque siempre llega a una solución particular, yP, cuando se puede resolver la ecuación homogénea relacionada. Este método no se limita a una funciónf(x) que sea una combinación de los cuatro tipos de funciones de la página 121. En las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables también se puede aplicar el método de la variación de parámetros, así el de los coeficientes indeterminados. ii) En los problemas que siguen, no se debe vacilar en simplificar la forma de yp. De acuerdo con la forma en que se haya llegado a las antiderivadas de uí y ui, quizá el lector no llegue a la misma yP que aparece en la parte de respuestas; por ejemplo, en el problema 3 tanto y,, = f sen x - f x cos x como yP = f sen x - f x cos x son respuestas válidas. En cualquiera de los casos, la solución general y = y, + yP se simplifica ay = c1 cos x + cz sen x - f x cos x. iPor qué? Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 24 por variación de parámetros. Proponga un intervalo en que la solución general esté definida. 1. y” + y = sec x 3. y” + y = sen x 5. y” + y = co& 7. y” - y = cosh x 9. y" - 4y = 5 2. 4. 6. 8. y” + y = tan x y” + y = sec x tan x y” + y = sec2x y” - y = senh 2x 10. y” - 9y = g ll. yv + 3jJ’ + 2y = & 12. yR - 3y’ + 2 y = & 13. y” + 3y’ + 2y = sen ex 14. y” - 2y’ + y = ex arctan x E y”-2y’+y=& 16. y” - 2y’ + 2y = ex sec x 17. y” + 2y’ + y = e-x In x 18. y” + lOy’ + 25~ = 9 19. 3~” - 6y’ + 3Oy = ex tan 3x 20. 4y” - 4y’ + y = ex’* Vi?2 Sección 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 21. y”’ + y’ = tan x 2 2 . y” + 4y’ = sec 2x 2 3 . y”’ - 2~” - y ’ + 2y = e3x 2 4 . 2~“’ - 6y” = x2 169 En los problemas 25 a 28 resuelva por variación de parámetros la ecuación respectiva, sujeta a las condiciones iniciales y(O) = 1, y’(O) = 0. 2 5 . 4y” - y = xeX12 26. 2~” + y ’ - y = x + 1 2 7 . y ” + 2y’ - 8y = 2e-2x - e-” 2 8 . y ” - 4y’ + 4y = (12~~ - 6x)e2” 29. Si y1 = x-l’* cos x y yz = x-l’* sen x forman un conjunto fundamental de soluciones de x’y” + xy’ + (x* - i)y = 0 en (0, -), determine la solución general de x2yfl+xy’+ ( 1 1 x*-z y=x3’2. 30. Si yl= cos(ln x) y y2 = sen@ x) son soluciones conocidas, linealmente independientes, de x*y” + xy’ + y = 0, en (0, -), determine una solución particular de x2y” + xy’ + y = sec(ln x). Problemas para discusión 31. Determine la solución general de la ecuación diferencial del problema 30. Diga por qué el intervalo de validez de la solución general no es (0, -). 32. Describa cómo se pueden combinar los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER n Una ecuación diferencial lineal con coejcientes variables especiales n Ecuación auxiliarm Raíces de una ecuación auxiliar cuadr&ica n Formas de la solución general de una ecuación diferencial de Cauchy-Euler, lineal, homogénea y de segundo orden n Uso de variación de parámetros n Ecuaciones diferenciales de orden superiorm Reducción a ecuaciones con coeficientes constantes La facilidad relativa con que pudimos determinar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en general no se consigue con las ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6, veremos que cuando una ecuación diferencial lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, por lo general, es deterniinar una solución en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que examinaremos en estasección es una excepción a la regla: se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en thminos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas y 170 CAPíllJcO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR exponenciales. Es más, este metodo de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes. Ecuación de Cauchy-Euler o ecuación equidimensional Toda ecuación diferencial lineal de la forma d”y + un-p a,xn ti n-l -+ d”-‘v UY- + al 2 + a0y = g(x), donde los coeficientes a,,, a,,-1, . , , , ao son constantes, tiene los nombres de ecuación de Cauchy-Euler, ecuación de Euler-Cauchy, ecuación de Euler o ecuación equidimensional. La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado k = n, n - 1, . . . , 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la diferenciación, dky/&: iguales iguales 1 J 1,1, dy + anmlx “I=, + *’ *. a,x nzn Al igual que en la sección 4.3, comenzaremos el desarrollo examinando detalladamente las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden ax2 2 + bx 2 + CY = 0. La solución de ecuaciones de orden superior será an&loga. Una vez determinada la función complementaria y,(x) también podemos resolver la ecuación no homogenea m*y” + bxy’ + cy = g(x) con el método de variación de parametros. El coeficiente de d2yldx2 es cero cuando x = O; por consiguiente, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1 se apliquen a la ecuación de Cauchy-Euler, concentraremos nuestra atención en determinar la solución general en el intervalo (0, A). Se pueden obtener las soluciones en e/ intervalo (-, 0) sustituyendo t = -x en la ecuación diferencial. Método de solución Intentaremos una solucibn de la forma y = x”, donde m esta por determinar. La primera y segunda derivadas son, respectivamente, dy -Cmm-l dx En Y cl! dx* = m(m - l)X”‘2. consecuencia ax’$$+bx~+cy=ax*. m(m - l)xm-* + bx . mx”‘-’ + cxm = am(m - 1)~~ + bmx” + cx” = x’“(u&z - 1) + bm + c). Sección 4.7 Ecuación de Cauchy-Eulsr 171 Así, y = x” es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una soluci6n de la ecuación auxiliar am(m-l)+bm+c=O o am2+(b-a)m+c=O. (1) Hay tres casos distintos por considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas. En el último caso las raíces seran un par conjugado. CASO 1: raíces reales distintas Sean rnl y m2 las raíces reales de (l), tales que rn1 f m2. Entonces y, = ~‘“1 y ys = x”* forman un conjunto fundamental de soluciones. Así pues, la solución general es y = c,xm’ + c2P’. (2) Ecuación de Cauchy-Euler: raíces distintas -1 B Resuelva x2 2 - 2x m-4y=o. & SOLUCIÓN En Iugar de memorizar la ecuación (l), para comprender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de la ecuación auxiliar y la que obtuvimos en la sección 4.3 las primeras veces es preferible suponer que la solucibn es y = xm. Diferenciamos dos veces bu, mm-‘, dx $ = m(m - l)xm-*, y sustituimos en la ecuación diferencial &Q dx2 - 2x dY z - 4y = x2 - m(m - l)x”-* - 2x *mii?-’ - 4x” =x”(m(m-l)-2m-4)=x”(m2-3m-4)=0 si m2 - 3m - 4 = 0. Pero (m + l)(m - 4) = 0 significa que m1 = -1 y m2 = 4, así que n y = c,x-’ + c2x4. CASO II: raíces reales repetidas Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si rnl = mz), solo llegaremos a una solución, que es y = Xml. Cuando las raíces de la ecuacion cuadratica am2 + (b - a)m + c = 0 son iguales, el discriminante de los coefícientes tiene que ser cero. De acuerdo con la formula cuadrática, la raíz debe ser rn1 = -(b - a)/2a. Podemos formar ahora una segunda solución, ~2, empleando (5) de la sección 4.2. Primero escribimos la ecuación de Cauchy-Euler en la forma d2y b& z+Lucz+ c zY= o 172 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR e identificamos P(x) = b/u.x e j (b/ux)dx = (Mu) In x. Así = Xm, x-bla . dx +m, = Xm, X-blo . x(b-+ dx c e-(bk,lnx = elnr-b’” c -2m, = ( b = X-bla - a)/a I = XT @=xmllnx. x Entonces, la solución general es y = clPI + c2Xm’ In x (3) Ecuación de Cauchy-Euler: raíces repetidas Resuelva 4x2 fi + 8x !!?! + y = 0 u!2AC SOLUCIÓN La sustitución y = xm da cuando 4m2 + 4m + 1 = 0, o (2m + 1)2 = 0. Como ~tll= -$ la solución general es y = c1x-112 + c~x-“~ In x. n Para las ecuaciones de orden superior se puede demostrar que si rnl es raíz de multiplicidad k, entonces PI, x”’ In x, fl’(ln x)~, . . ., z?l(ln x)!+l son k soluciones linealmente independientes. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de esas k soluciones. CASO III: raíces complejas conjugadas Si las raíces de (1) son el par conjugado ml = QI + ip, m2 = cx - i,B, donde CY y p > 0 son reales, una solución es y = c,x a+@ + Czxa-iS Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de ecuaciones con coeficientes constantes, conviene formular la solución ~610 en términos de funciones reales. Vemos la identidad Sección 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 173 que, según la fórmula de Euler, es lo mismo que x@ = cos(fi lnx) + isen@ lnx). x-@ = cos@ In x) - isen@ In x). De igual manera, Sumamos y restamos los últimos dos resultados para obtener x@ + x+ = 2 cos@ In x) xiP - x-i!3 = 2i sen@ In x), y respectivamente. Basándonos en quey = C#+@ + CzxcriO es una solución para todos los valores de las constantes vemos, a la vez, para CI = C2 = 1 y CI = 1, Cz = -1, que yl = Xn(XiS o bien + x-iB) Y y1 = 2x” cos@ In x) y y, = XqxiP - x-‘P) y, = 2ix”sen(@ In x) también son soluciones. Como W(.P cos(/3lnx), xa sen@ In x)) = @?’ f 0, ,0 > 0 en el intervalo (0, -), llegamos a la conclusión yl = xa cos@ In x) y y2 = xa sen@ In x) forman un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial; por lo tanto, la solución general es y = xa[cl cos (p In x) + c2 sen(p In x)]. (4) Un problema de valores iniciales Resuelva el problema de valor inicial xZ~+3x~+3y=0, SOLUCIÓN y(l)=l,y’(l)=-5. Tenemos que x&+ 3xdY d,+3y=x”(m(m-1)+3m+3)=xm(m2+2m+3)=0 ak2 cuando m2 + 2m + 3 = 0. Aplicamos la fórmula cuadrática y vemos que rnl = -1 + 6i y m2 = -1 - fii. Si identificamos CY = -1 y p = fi, de acuerdo con (4), la solución general de la ecuación diferencial es - y = .rl[cl cos( ti In x) + c,sen( ti In x)]. Al aplicar las condiciones y(l) = 1, y’(l) = -5 a la solución anterior, resulta que cl = 1 y c2 = - 2 6 Así, la solución al problema de valores iniciales es y = x-l[cos(tilnx) - 2Xhsen(tilnx)]. La gráfica de esa solución, obtenida con ayuda de sofhare, aparece en la figura 4.5. n 174 CAPílULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR FIFURA 4.5 A continuación mostraremos un ejemplo de solución de una ecuación de Cauchy-Euler de tercer orden. Ecuación de Cauchy-Euler de tercer orden d3y iz Resuelvax -+5x’~+7~,+8~=0. a!x3 a!2 3 SOLUCIÓN Las primeras tres derivadas dey = x” son $ = m”-l, $$ = m(m - ~)AF, $$ = mcrn - l)trn - 2p-3 así que la ecuación diferencial del problema se transforma en ” + 8y = x3m(m - l)(m - 2) .x”-~ + 5x2m(m - 1)~~ + ~xI>zT~-~ + 8~” = x*(m(m - l)(m - 2) + 5m(m - 1) + 7m -k 8) = xm(m3 f 2m2 + 4m + 8) = xm(m + 2)(m2 + 4) = 0. En este caso vemos que y = x”’ será una solución de la ecuación cuando mt = -2, m2 = 2i y ms = -2i. En consecuencia, la solución general es y = c1,c2 + c2 cos(2 In x) + qsen(2 In x). n Dado que el método de los coeficientes indeterminados solo se puede aplicar a ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, no es aplicable directamente a una ecuación no homogénea de Cauchy-Euler. En nuestro ultimo ejemplo emplearemos el método de variacion de parámetros. kción 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 175 Método de variación de parámetros Resuelva la ecuación no homogénea x2y” - 3xy’ + 3y = 2x4eX. SOLUCIÓN Sustituimos y = xm y llegamos a la ecuación auxiliar m(m-l)-3m+3=0 Entonces osea (m-l)(rn-3)=0. yc = qx + c2x3. Antes de emplear variación de parámetros para encontrar una solución particular yp = uryt + ~2~2, recordemos que las fórmulas u; = WtIW y ui = W2/W (donde WI, IV2 y W son los determinantes definidos en la pagina 164) se dedujeron segun la hipótesis de que la ecuación diferencial se había puesto en la forma reducida, y” + P(x)y’ + Q(x)y =f(x); por consiguiente, dividiremos la ecuación dada entre x2 y, de identificamosf(x) = 2.~~8. Entonces, con y1 = x, yz = x3 y x 2 WC I 1 3x2 I encontramos = 2x3, w, = / 0 2x2eX x3 3x2 2x5eX -x2eX ui=-2x3= / = -2x5eX 0 , W, = 1 2x2eX = 2x3eJ I Y l I - 2x3eX - ex u2 2x3 * La integral de la última función es inmediata; pero en el caso de u; integraremos dos veces por partes. Los resultados son ul= -28 + 2x8 -28 y 2.42 = 8; por consiguiente, y, = Wl f U2Y2 = (- x2ex + 2xex - 2e”)x + eJx3 = 2x2eX - 2xe”. n Por ultimo, llegamos ay = yC + yp = ctx + c2x3 + 2x2eX - 2xe’. la semejanza entre las formas de las soluciones a las ecuaciones de Cauchy-Euler y a las ecuaciones lineales con coeficientes constantes no es mera coincidencia; por ejemplo, cuando las raíces de las ecuaciones auxiliares de ay” + by’ + cy = o y ax2y” + bxy’ + cy = 0 son distintas y reales, las soluciones generales respectivas son y = cg+ + CpPI y y=c,fl+c2xDI, x>o. (5) En vista de la identidad Lsn’-x, x > 0, la segunda solución de (5) se puede expresar en la misma forma que la primera: y = c*$n,‘n’ + 44”” = c,d>ll' + CZP’, 176 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR donde t = III x. Este último resultado ilustra otro hecho matemático: toda ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir en la forma de una ecuación difereriial lineal con coeficientes constantes, mediante la sustitución x = e’. La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable t siguiendo los métodos de las secciones anteriores, y una vez obtenido la solución general, restituir t = un x. Dado que con este procedimiento se repasa muy bien la regla de la cadena para diferenciación, se recomienda no dejar de resolver los problemas 35 a 40 en los ejercicios 4.7. En los problemas 1 a 22 resuelva la ecuación diferencial respectiva. 2. 4xZy” + y = 0 4. xy” - y’ = 0 6. x2y” + 5xy’ + 3y = 0 8. x2yn + 3xy’ - 4y = 0 10. 4x2y” + 4xy’ -y = 0 12. x2y” + 8xy’ + 6y = 0 14. x2yN - 7xy’ + 41y = 0 16. 2x2y” + xy’ + y = 0 18. x3y”’ + xy’ -y = 0 1. x2y” - 2y = 0 3. xy” + y’ = 0 5. x2yn + xy’ + 4y = 0 7. x2y” - 3xy’ - 2y = 0 9. 2Wy” + 25xy’ + y = 0 ll. x2yv + 5xy’ + 4y = 0 13. x2yM - xy’ + 2y = 0 15. 3x2y” + 6xy’ + y = 0 17. x3y”’ - 6y = 0 d2y 19. x3~-2x’d;z-2x~+8y=o 2 0 . x3$2x2~+4xf$4y=0 21. .%+6$$=0 d4y ,d3y dy p+9x ,d2y dxZ+3xz+y=0 22. x~~+~x En los problemas 23 a 26 resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas. 23. 24. 25. 26. x2y” x2y” x2y” x*y” + + - 3xy’ = 0, y(l) = 0, 5xy’ + 8y = 0, ~(2) xy’ + y =.o, y(l) = 3xy’ + 4y = 0, y(l) y’(l) = 4 = 32, ~‘(2) = 0 1, y’(l) = 2 = 5, y’(l) = 3 En los problemas 27 y 28 resuelva la ecuación diferencial respectiva sujeta a las condiciones iniciales indicadas. [Sugerencia: sea t = -x.] 27. 4x2y” 28. x2y” +y = 0 , ~(-1) = 2,y’(-1) = 4 - 4xy’ + 6y = 0 , ~(-2) = 8 , ~‘(-2) = 0 Sección 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 177 Resuelva los problemas 29 a 34 por el método de variación de parámetros. 29. xy” + y’ = x 31. 2Sy” + 5xy’ + y = x* - x 33. x*yn - xy’ + y = 2x 30. xy” - 4y’ = x4 32. x*y” - 2xy’ + 2y = x4ex 34. x*y” - 2xy’ + 2y = x3 In x En los problemas 35 a 40 use la sustitución x = et para transformar la ecuación respectiva de Cauchy-Euler en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación mediante los procedimientos de las secciones 4.4 y 4.5. d2Y dr 35. x*-+10xdx+8y=x2 36. x2y” - 4xy’ + 6y = In x* dx* 37. x2y” - 3xy’ + 13y = 4 + 3x 38. 2x2y” - 3xy’ - 3y = 1 + 2x + x* 39. x2y” + 9xy’ - 2oy = 5 40. x3dlv -3x2$$+6xg-6y=3+lnx3 dx3 Problema para discusión 41. El valor del primer coeficiente, u,$, de toda ecuación de Cauchy-Euler es cero cuando x = 0. Se dice que 0 es un punto singular de la ecuación diferencial (véase sec. 6.2). Un punto singular es potencialmente problemático porque las soluciones de la ecuación diferencial pueden llegar a ser no acotadas o presentar algún comportamiento peculiar cerca del punto. Describa la naturaleza de los pares de raíces mt y m2 de la ecuación auxiliar de (1) en cada uno de los siguientes casos: 1) reales distintas (por ejemplo, rnl positiva y m2 positiva); 2) reales repetidas, y 3) complejas conjugadas. Determine las soluciones correspondientes y, con una calculadora graficadora o software graficador, trace ‘esas soluciones. Describa el comportamiento de esas soluciones cuando x + O+. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES W Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales W Operadores diferenciales lineales W Eliminación sistemática n Solución con determinantes Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas consisten en dos o más ecuaciones con derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente. Si x, y y z son funciones de la variable f, x’-3x+y’+ 4%= -5x+y 2d2y --$=3x-y Y x’ z’=5 - y’ + 22’ = t* x + y’ - 6~’ = t - 1 son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas. 178 CAPhJLO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Solución de un sistema Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente diferenciables x = &(t), y = &(t), z = &(t), etc., que satisfacen cada ecuación del sistema en un intervalo común 1. Eliminación sistemática El primer m&odo que describiremos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de la eliminación sistemhtica de variables. El análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar una ecuación diferencial con alguna combinación de derivadas. Para este fin, se reformulan las ecuaciones de un sistema en thninos del operador diferencial D. Recuérdese que, según la sección 4.1, una ecuación lineal única any@) + a,-,y@-‘) + * * * -t aIyr + soy = g(t), endondelasat,i=O,l,..., n son constantes, se puede escribir en la forma (a,D” + a,-IDn-l + * * * + aID + ao)y = g(t). El operador diferencial lineal de orden n, a,D” + a,-JY-’ f 3. . + A&I + ao se representa en la forma abreviada P(D). Como P(D) es un polinomio en el símbolo D, podremos factorizarlo en operadores diferenciales de orden menor. Ademas, los factores de P(D) son conmutativos. Sistema escrito en notacih de operador Escriba el sistema de ecuaciones diferenciales x”i2x’+y”-x+3y+sent x’ + y’ = -4x f 2y + e-l en notación de operador. SOLUCIÓN x” f 2x’ - El sistema dado se reescribe como sigue: x -k y” - 3y = sen t x’ + 4x + y’ - 2y = e-’ de modo que (02 + 20 - 1)~ + (D2 - 3)y = sen t (D f 4)~ f (D - 2)y = e-‘. H Método de solución Se tiene el sistema sencillo de ecuaciones lineales de primer orden Dy=2n Dx=3y (1) 0, lo que es igual, 2x-Dy=0 Dx - 3y = 0. (2) Sedn 4.8 Sistemor de ecuaciones heales 179 Si aplicamos D a la primera de las ecuaciones (2) y multiplicamos por 2 la segunda, para luego restar, se elimina la x del sistema. Entonces -D*y + 6y = 0 o sea D2y - 6y = 0. Puesto que las raices de la ecuación auxiliar son ml = í16y rn2 = -$, se obtiene (3) y(t) = c,efif + Qf+. Si multiplicamos por -3 la primera de las ecuaciones (2) y aplicamos D a la segunda para despu& sumar, llegamos a la ecuación diferencial dx - 6~ = 0 en X. De inmediato resulta que (4) x(t) = cîefit + c#?-+ Las ecuaciones (3) y (4) no satisfacen el sistema (1) para cualquier elección de cl, CZ, ~3 y ~4. Sustituimos x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1) y, después de simplificar, el resultado es (6, - 2c3)e\/6’ + (- tiC2 - 2c,)e-fi/6’ = 0. Como la última expresión debe ser cero para todos los valores de t, se deben cumplir las condiciones VGC, - 2c3 = 0 es decir, c3 y vz =-cl, 2 -G,-2c,=o ,232 (5) c2* En consecuencia, una solución del sistema será El lector puede sustituir las ecuaciones (3) y (4) en la segunda de las expresiones (l), para comprobar que rige la misma relación, (5), entre las constantes. Solución por eliminación Resuelva Dx + (D + 2)y = 0 (D - 3)~ 2y = 0. (6) SOLUCIÓN Al operar con D - 3 en la primera ecuación, con D en la segunda y restando, se elimina la x del sistema. Entonces, la ecuación diferencial para y es [(D - 3)(D + 2) + 2DJy = 0 o sea (D2 + D - 6)~ = 0. 180 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Dado que la ecuación característica de la ultima ecuación diferencial es m2 + m - 6 = (m 2)(m + 3) = 0, llegamos a la solución y(t) = clezl + c2e-31. (7) Eliminamos y en forma similar y vemos que (0’ + D - 6)~ = 0, de donde se obtiene x(t) = c3e2’ + c4e-3t. (8) Como hicimos notar en la descripción anterior, una solución de (6) no contiene cuatro constantes independientes, porque el sistema mismo establece una restricción en el numero de constantes que se puede elegir en forma arbitraria. Al sustituir los resultados (7) y (8) en la primera ecuación de (6), el resultado es (4Cl + 2c3)e2’ + (-c2 - 3c4)em3’ = 0. De 4cl + 2~3 = 0, y -c2 - 3~4 = 0 se obtiene cg = -2ct y q = - $ ~2. En consecuencia, una solución del sistema es 1 x(t) = -2cle2t - - c2em3’ 3 y(t) = cle*’ + c2e-31. n Como también pudimos despejar c3 y q en términos de CI y ~2, la solución del ejemplo 2 puede tener la forma alternativa x(t) = c3e2’ + c4em3’ y(t) = - ; c3e2’ - 3c4em3’. Al resolver los sistemas de ecuaciones conviene fijarse bien en lo que se hace pues a veces se consiguen ventajas. Si hubiéramos resuelto primero para x, luego podríamos haber hallado y y la relación entre las constantes mediante la última ecuación de (6). El lector debe comprobar que sustituir x(t) en y = $0~ - 3~) da como resultado y = - icse2’ - 3c4eV3’. Solución por eliminación Resuelva x’ - 4x + y” = t* x’+ SOLUCIÓN x+y’=O. Primero expresamos el sistema en notación de operadores diferenciales: (D - 4)x + LPy = t* (D + 1)x + Dy = 0. (10) Sección 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 181 A continuación eliminamos x y obtenemos [(D + 1)W - (D - 4)D]y = (D + l)t2 - (D - 4)O 0 sea (D3 + 4D)y = tz + 2t. Como las raíces de la ecuación auxiliar m(m2 + 4) = 0 son rnl = 0, rn2 = 2i y m3 = -2i, la función complementaria es y, =‘CI.+ c2 cos 2t + c3sen2t. Para determinar la solución particular y aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados, suponiendo que yp = A? + Bt !2 + Ct. Entonces y; = 3@ + 2Bt + C, y; = 6At + 2B, y; = 6A, y,“‘+4y;=12At2+8Bt+6A+4C=t2+2t. La última igualdad implica que 12A=l, 8B=2 y 6A+4C=O, porloqueA=$B=fyC=-$.Así Y = yc + YjJ = Cl + c2 cos 2t + c3 sen2t ‘t3 + $2 - + 12 (11) Eliminamos y del sistema (10) y se llega a [(D - 4) - D(D + l)]x = t2 o sea (D2 + 4)~ = -t2. Es obvio que xc = c4 cos 2t + c5 sen 2t y que el m&odo de los coeficientes indeterminados se puede aplicar para obtener una solucih particular de la forma Xi = A? + Bt + C. En este caso, al diferenciar y efectuar operaciones ordinarias de Igebra, se llega a x,., = - + ? + i, así que Ahora bien, c4y c5 se pueden expresar en términos de cz y c3 sustituyendo las ecuaciones (ll) y (12) en alguna de las ecuaciones (9). Si empleamos la segunda ecuación obtendremos, despu& de combinar los términos, (c5 - 2c, - 2c2) sen 2t + (2~ + c4 + 2c3) cos 2t = 0 de modo que c5 - 2c4 -2cz=o y 2c5 + c4 + 2c3 = 0. 182 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si despejamos c4 y cs en términos de c2 y cs, el resultado es c4 = - 5 (4c* + 2c3) y c5 = ; (2c* - 4c3). Finalmente se llega a una solución de (9), que es x(t) = - 5 (4Cz + 2Cj) COS 2t + 5 (2c, - 4c3)sen2t - + t2 + i y(t)=c~+c~cos2t+c3sen2t+~t3+$t2-it. Regreso a un modelo matemático Según la sección 3.3, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) describe las cantidades de libras de sal q(t) y xz(t), en una salmuera que circula entre dos tanques. En aquella ocasión no pudimos resolver el sistema. Pero ahora lo haremos escribiendo el sistema en términos de operadores diferenciales: Operamos la primera ecuación con D + -;“;, multiplicamos la segunda por $,, las sumamos y simplificamos. El resultado es (625D2 + 1000 + 3)x, = 0. la ecuación auxkrr, que es 625m2 + 100m + 3 = (25m + 1)(25m + 3) = 0, y vemos de inmediato que FOITIIU~XIIQS q(t) = c1e-t’z + c2e-3t’25. De igual forma llegamos a (6259 + 1000 + 3)~ = 0, así que x2(t) = c3e-t’25 + c4e-3t’25. Sustituimos XI(~) y x&) en, digamos, la primera ecuación del sistema y obtenemos (2cr - c3)e-t’2s + ( -2c2 - c4)e-3”25 * 0. De acuerdo con esta ecuación, cg = 2ct y c4 = -2~. Entonces, una solución del sistema es q(t) = cl e-r’25 + c2e-3t’25 x2(t) = 2cle-“25 - 2c2e-3t’z. Seccián 4.8 183 Sistemas de ecuaciones lineales En la descripción original supusimos que las condiciones iniciales eran XI(O) = 25 y ~(0) = 0. Aplicamos esas condiciones a la solución, por lo que CI + cz = 25 y 2ct - 2~2 = 0. Al resolver simultáneamente esas ecuaciones, llegamos a cl = c2 = ‘;-. Así tenemos una solución del problema de valor inicial: n Si Ll, L2, L3 y L4 representan operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes, es factible escribir un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en las dos variables x y y como sigue: Uso de determinantes LlX + L2Y = g,(O L3x + L4y = (13) g20). Eliminamos variables, como lo haríamos en las ecuaciones algebraicas, y tenemos (LA - Y Jx3)x = fi(4 (LlL4 - uJ3)Y = mr (14) en donde fa) = L4gdO - Ji(t) = Lg2(0 Y Lzgz(t) - L3g*(O. Los resultados de (14) se pueden expresar formalmente en términos de determinantes anftlogos a los que se usan en la regla de Cramer: (W El determinante del lado izquierdo de cada una de las ecuaciones (15) se puede desarrollar en el sentido algebraico usual y el resultado opera sobre las funciones x(t) y y(t). Sin embargo, hay que tener cuidado al desarrollar los determinantes del lado derecho de las ecuaciones ( 15). Se deben desarrollar cuidando que operadores diferenciales internos actúen realmente sobre las funciones gt(t) y g2(t). Si I l Ll L2 L3 L4 fo en (15) y es un operador diferencial de orden n, entonces n El sistema (13) se puede descomponer y formar dos ecuaciones diferenciales de orden nenxyy. n Las ecuaciones características y, por lo tanto las funciones complementarias de esas ecuaciones diferenciales, son iguales. n Como x y y contienen n constantes cada una, aparece un total de 2n constantes. n La cantidad total de constantes independientes en la solución del sistema es n. 184 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si 0 en (13), el sistema puede tener una solución que contiene cualquier cantidad de constantes independientes e incluso carecer de solución. Observaciones análogas se aplican a sistemas mayores que el de las ecuaciones (13). Solución con Resuelva determinantes x’ = 3x - y - 12 (16) y’ = x + y + 4e’. SOLUCIÓN Escribimos el sistema en notación de operadores diferenciales: y= -12 (D - 3)x + --ix + (D - 1)y = 4e’. Aplicamos los determinantes “-1’ D!&= 1, D!,I “-1’ .‘,ly= IDi3 ,;l( Desarrollamos y llegamos a (D - 2)2x = 12 - 4e’ y (D - 2)2y = -12 - 8e’. Entonces, con los métodos usuales, x = x, + x, = c1e2’ + c2fe2’ + 3 - 4e’ y = y, + y, = c3e2’ + c4te2’ - 3 - 8e’. (17) (18) Sustituimos estas expresiones en la segunda de las ecuaciones (16), y obtenemos (c3 - cl + c4)e2’ + (c4 - c2)te2’ = 0, de donde q = c2 y c3 = cl - q = cl - ~2. Así, una solución de las ecuaciones (16) es x(t) = cle21 + c2te2’ + 3 - 4e’ y(t) = (cl - c2)e2’ + c2te2’ - 3 - 8ef. n Sección 4.6 Sistemas de ecuaciones lineales 185 De ser posible resuelva cada sistema de ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 22 mediante eliminación sistemática o por determinantes. by, dt dr -=x-2y dt ’ 3&.d;--y+t 4. $-4y =l cLx-t x+!J=2 dt dt 5. (02 + 5)x - 2y=o -2x+(0*+2)y=O 6. (D + 1)~ + (D - 1)y = 2 3x+(D +2)y= -1 8 ’ 7. $=4y +et dt* dt h dy x+df=-x+4y d2y z=4x-e' 9. dZ1.+by=-5x Dx+ D*y = e3* (D + 1)~ + (D - 1)y = 4e31 10. D*x Dy=t (D + 3)~ + (D + 3)y = 2 ll. (D* - 1)~ - y= 0 (D - 1)~ + Dy = 0 12. (2D* - D - 1)~ - (20 + 1)y = 1 (D - 1)~ + 5x+!i!=& 13. 2$dt Dy= - 1 14. dx - - x + !J! = 5et 15. dt dt (D -1)~ + (D* + 1)y = 1 (D* - 1)~ + (D + 1)y = 2 17. Dx = y 16. D*x -2(D* + D)y =s e n t Dy=0 x+ z = et Dx + 18. (D-l)x+Dy+Dz=O X+ 2y+Dz=e’ = 0 dy z=-y+z by+,,o ‘- dt dz 0 x+y--&= 21. 2Dx + (D - 1)y = t Dx+ =e' -%+$+x+y=O Dy=z Dz=x 19.di.-6y dx b dy d;+z Dy=t* 22. !!L -x+y dt Dx 2Dy = t* (D + 1)~ - 2(D + 1)y = 1 186 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En los problemas 23 y 24 resuelva el sistema respectivo, sujeto a las condiciones iniciales indicadas. 23. $ = -5x-y ” = 4x - y; x(l) = 0, y(l) = 1 2P . d;=y-1 dy = -3x + 2y; -$ x(O) = 0, y(O) = 0 25. Un cafíón dispara un proyectil cuyo peso es w = mg y cuya velocidad v es tangente a su trayectoria. Sin tener en cuenta la resistencia del aire y demás fuerzas, salvo su peso, formule un sistema de ecuaciones diferenciales que describa el movimiento (Fig. 4.6). Resuelva ese sistema. [Sugerencia: emplee la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones x y y.] 26. Deduzca un sistema de ecuaciones diferenciales que describa el movimiento del problema 2.5, si el proyectil se encuentra con una fuerza de retardo k (de magnitud 4, que obra tangente a la trayectoria, pero opuesta al movimiento (Fig. 4.7). Resuelva ese sistema. [Sugerencia: k es un múltiplo de la velocidad, es decir, CV.] FIGURA 4.6 FIGURA 4.7 ECUACIONES NO LINEALES w Algunas diferencias entw las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales 1 Solución por sustitución n Empleo de series de Taylor n Empleo de programas ODE solver n Ecuaciones autónomas Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. En la sección 4.1 expusimos que las ecuaciones lineales homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de soluciones también es una solución (teorema 4.2). Las ecuaciones no lineales carecen de esta propiedad de superposición; por ejemplo, en el intervalo (-, -), yr = 8, y2 = e-‘, y3 = cos x y y4 = sen x son cuatro soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial no lineal de segundo orden @“)2 -g = 0. Pero las combinaciones lineales, como y = cle’ f c3 cos x, y = cse-’ + c4 sen x y y = cre’ + c2emX + c3 cos x + y sen x, no son soluciones de la ecuación para constantes ci arbitrarias distintas de cero (véase el problema 1 en los ejercicios 4.9.) Sección 4.9 Ecuaciones no lineales 187 En el capítulo 2 señalamos que se pueden resolver algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, si son exactas, separables, homogéneas o quizá de Bernoulli. Aun cuando las soluciones estaban en forma de una familia a un parámetro, esta familia no representaba invariablemente la solución general de la ecuación diferencial. Por otra parte, al poner atención en ciertas condiciones de continuidad obtuvimos soluciones generales de ecuaciones lineales de primer orden. Dicho de otra manera, las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden pueden tener soluciones singulares, mientras que las ecuaciones lineales no. Pero la diferencia principal entre las ecuaciones lineales y no lineales de segundo orden o mayor es la posibilidad de resolverlas. Dada una ecuación lineal, hay la posibilidad de establecer alguna forma manejable de solución, como una solución explícita o una que tenga la forma de una serie infinita. Por otro lado, la solución de las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior es todo un desafio. Esto no quiere decir que una ecuación diferencial no lineal de orden superior no tenga solución, sino más bien que no hay métodos generales para llegar a una solución explícita o implícita. Aunque esto parece desalentador, hay algunas cosas que se pueden hacer. Siempre es factible analizar cuantitativamente una ecuación no lineal (aproximar una solución con un procedimiento numérico, graficar una solución con un ODE solver), o cualitativamente. Para empezar, aclaremos que las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior son importantes -incluso más que las lineales-, porque a medida que se afina un modelo matemático (por ejemplo, el de un sistema físico) se aumenta la posibilidad de que ese modelo sea no lineal. Comenzaremos ejemplificando un método de sustitución que a veces permite determinar las soluciones explícitas o implícitas de tipos especiales de ecuaciones no lineales. Uso de sustituciones Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden F(x, y’, y”) = 0 en que falta la variable dependiente y, y las F(Y, y’, y”) = 0 donde falta la variable independiente,x, se pueden reducir a ecuaciones de primer orden mediante la sustitución u = y’. El ejemplo 1 muestra la técnica de sustitución para una ecuación tipo F(x, y’, y”) = 0. Si u = y’, la ecuación diferencial se transforma en F(x, U, u’) = 0. Si resolvemos esta última ecuación podremos determinar y por integración. Dado que estamos resolviendo una ecuación de segundo orden, su solución tendrá dos constantes arbitrarias. Falta la variable dependiente y 1 Resuelva y” = 2x(y’)*. Si u = y’, entonces du/a!x = y”. Después de sustituir, la ecuación de segundo orden se reduce a una de primer orden con variables separables; la variable independiente es x y la variable dependiente es U: SOLUCIÓN 0 sea $ = 2x dx I u-* du = j 2x dx -u-l = x* + q*. 188 CAPhULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por comodidad, la constante de integración se expresa como ct2. En los próximos pasos se aclarará la razón. Como 24-1 = Uy’, entonces L&1 --~ dx 2+C,2’ ak y=-I m o bien n Y= - i tan-’ : + c2. A continuación mostraremos la forma de resolver una ecuación de la forma F@, y’, y”) = 0. De nuevo haremos u = y’, pero como falta la variable independiente x, usaremos esa sustitución para transformar la ecuación diferencial en una en que la variable independiente sea y y la dependiente sea u. Con este fin usaremos la regla de la cadena para determinar la segunda derivada dey: yt, du - du - du du d x dydx=‘d;* Ahora, la ecuación de primer orden que debemos resolver es F(y, u, u du/dy) = 0. Falta la variable independiente x Resolver yy” = (Y’)~. Con la ayuda de u = y’ y de la regla de la cadena que mostramos arriba, la ecuación diferencial se transforma en SOLUCIÓN =u2 Partimos de I &= I dY U osea obtenemos du dy u=y. lnlul = lnly( + cl. Y Al despejar u de la última ecuación en función de y, obtenemos u = cu, en donde hemos redefinido la constante fec como ~2. A continuación restituimos u = Gy/dr, separamos variables, integramos y de nuevo redefinirnos las constantes: 1: = I dxosea c:, lnly(=c2x+c30sea y=c&X. Uso de la serie de Taylor En algunos casos se puede aproximar una solución a un problema de valor inicial en que las condiciones iniciales se especifiquen en xe mediante una serie de Taylor centrada en xc. Solución de un problema de valor inicial con una serie de Taylor - Supongamos que existe una solución del problema de valor inicial y” = x + y - y2, y(O) = -1, y’(O) = 1 (1) Sección 4.9 Ecuaciones no hales 189 Si además suponemos que la solución y(x) del problema es analítica en 0, entonces y(x) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0: Nótese que los valores del primero y segundo términos en la serie (2) son conocidos, ya que se establecen en las condiciones iniciales y(O) = -1, y’(O) = 1. Además, la misma ecuación diferencial define el valor de la segunda derivada en 0: y”(O) = 0 + y(O) -y(O)* = 0 + (-1) - (-l)* = -2. A continuación se pueden determinar expresiones para las derivadas superiores y”‘, yy . . , calculando las derivadas sucesivas de la ecuación diferencial: (3) y”(x)=$(x+y-y~)=l+y’-2yy’ y”“‘(X) = g (1 + y’ - 2yy’) = y” - 2yy” - 2(y’)” y'"'(x) = $y" -2yy"-2(y')2) = y"' - 2yy"'-fjy'y" (4) (5) etc. Sustituimos y(O) = -1 y y’(O) = 1 y vemos, de acuerdo con (3), que y”‘(O) = 4. Con base en los valores y(O) = -1, y’(O) = 1 y y”(O) = -2, determinamos y@)(O) = -8 con la ecuación (4). Con la información adicional de que y”‘(O) = 4 aplicamos la ecuación (5) y llegamos a y(“)(O) = 24. Entonces, según (2), los seis primeros términos de una solucih en serie del problema de valores iniciales (1) son 1 y(x)= -1 +x-x”+;x3-3x4+~x5+. ... n Empleo de un programa ODE soh?r Es posible examinar la ecuación del ejemplo 3 usando un ODE solver. En la mayor parte de los programas de cómputo, a fm de examinar num&icamente una ecuacih diferencial de orden superior se necesita expresar la ecuación diferencial en forma de un sistema de ecuaciones. Para aproximar la curva de solución de un problema de valores iniciales de segundo orden g =f(x,y,y’), Y (xo) = Yo, Y’(Xo) = Yl se sustituye dy/& = u y entonces d *y/& = du/ak La ecuación de segundo orden se transforma en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, en las variables dependientes YYU: cuyas condiciones iniciales son Y(Q) = yo, u(xo) = yl, 190 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Análisis gráfico del ejemplo 3 De acuerdo con el procedimiento anterior, el problema de valores iniciales de segundo orden, del ejemplo 3, equivale a du -=x+y-y2 dx cuyas condiciones iniciales Sony(O) = -1, u(O) = 1. Con ayuda de estos programas se obtiene la curva solución que aparece en gris en la figura 4.8. Para comparar se muestra también la curva en negro del polinomio de Taylor de quinto grado í”s(x) = -1 + x -x2 + %3 - $x” + 9’. Aunque no conocemos el intervalo de convergencia de la serie de Taylor que obtuvimos en el ejemplo 3, la cercanía de las dos curvas en la vecindad del origen sugiere la posibilidad de convergencia de la serie en el intervalo (-1, 1). w La gráfica en gris de la figura 4.8 origina algunas preguntas cualitativas: ¿La solución del problema original de valor inicial cuando x + 00 es oscilatoria? La gráfka, generada con un programa en el intervalo más grande de la figura 4.9 parecería sugerir que la respuesta es sí. Pero este solo ejemplo por sí solo, o hasta un conjunto de ejemplos, no contesta la pregunta básica de si todas las soluciones de la ecuación diferencial y” = x + y - y’ son de naturaleza oscilatoria. También, iqué sucede con la curva de solución en la figura 4.8 cuando x está cerca de -l? ¿Cuál es el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial cuando x + =? En general, Llas soluciones son acotadas cuando x + m? Preguntas como las anteriores Y t I ll/ polinomio de Tavlor curva - de solución generada con un programa Y FIGURA 4.8 Comparación de dos soluciones aproximadas FIGURA 4.9 Sección 4.9 Ecuaciones no lineales 191 no tienen respuesta fácil cuando se trata de ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, pero algunos tipos de estas ecuaciones se prestan a un anhlisis cualitativo sistemático. Las ecuaciones no lineales de segundo orden de la forma JYY, Y’, Y’? = 0 0 sea $$ =f((Y, Y’) (esto es, ecuaciones diferenciales sin dependencia explícita de la variable independiente X) se llaman autónomas. La ecuacih diferencial del ejemplo 2 es autónoma; la ecuación del ejemplo 3 es no authoma. En los problemas 1 y 2 compruebe que y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial dada, pero que y = CVI + c2y2 no lo es, en general. 1. (yU) = y2; y, = ex, yz = cos x 2. yy” = + (y’)2; y1 = 1, y2 = xz Resuelva la ecuación diferencial correspondiente a cada uno de los problemas 3 a 8, con la sustitución ec = y’. 3. y” + (y’)” + 1 = 0 4 y ” = 1 + (y’)” 6. (y + 1)~” = (y’)” 8. y”y” = y’ 5. x2y” + (y’)’ = 0 7. y” + 2y(y’)3 = 0 9. Determine la solución del problema de valor inicial y” + yy’ = 0, y(O) = 1, y’(O) = -1. Use un programa ODE solver para graficar la curva de solución. Trace la solución explicita con una calculadora graficadora. Determine un intenialo de validez de la soluci6n. 10. Establezca dos soluciones al problema de valor inicial (y’?Z + (y’)2 = 1, y(;)z+, y.(;)=$ Use un ODE solver para trazar las curvas solución. En los problemas ll y 12, demuestre que la sustitución u = y’ conduce a una ecuacih de Bernoulli. Resuelva esa ecuación (vt’ase Sec. 2.4). ll. xy” = y’ + (y’)3 12. xy” = y’ + x(y’)” En los problemas 13 a 16 proceda como en el ejemplo 3 para obtener los seis primeros tkminos distintos de cero de una solución en serie de Taylor, centrada en 0, del problema respectivo de 192 CAPíTULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR valor inicial. Use un ODE solver y una calculadora graficadora para comparar la curva solución y la gráfica del polinomio de Taylor. 13. y” = x + y*, 14. y” + y* = 1, 15. yv = x2 + y* 16. y” = ey, y(O) y(O) = 1, y’(O) = 1 y(O) = 2, y’(O) = 3 - 2y’, y(O) = 1, y’(O) = 1 = 0, y’(O) = -1 1 7 . En clculo diferencial, la curvatura de una curva representada por y =f(x) se define como sigue: Determine una función, y =f(x), para la cual K = 1. [Sugerencia: por simplicidad, no tenga en cuenta las constantes de integración.] 18. Un modelo matemhtico de la posición, x(t), de un cuerpo con movimiento rectilíneo en el eje x dentro de un campo de fuerzas que varhn con la inversa del cuadrado de la distancia es d2x k2 -=--* dt2 x2 Suponga que cuando t = 0, el cuerpo parte del reposo en la posiciónx =xo, xg > 0. Demuestre que la velocidad del objeto en cualquier momento está definida por Use esa ecuación en un sistema algebraico de computación para llevar a cabo la integración y expresar al tiempo t en función de x. Problemas poro discusión 19. Un modelo matemático de la posición, x(t), de un objeto en movimiento es e+senx=O. dt2 Use un ODE solver a fm de investigar las soluciones de la ecuación, sujetas a x(O) = 0, x’(O) = @, ,f3 2 0. Describa el movimiento del objeto cuando t 2 0 y para diversos valores de p. Investigue la ecuación d2x CEr z+z+senx=O del mismo modo. Describa una interpretación fisica posible del término uk/dt. 20. Vimos que sen x, cos x, e” y e* son cuatro soluciones de la ecuación no lineal (y”p -9 = 0. Sin tratar de resolverla, describa cómo determinar estas soluciones explícitas con nuestros Sección 4.9 Ecuaciones no hea~es 193 conocimientos acerca de las ecuaciones lineales. Sin tratar de comprobar, describa por qué las dos combinaciones lineales especiales, y = ctd; + csemX y yz = cg cos x + q sen x, deben satisfacer la ecuación diferencial. Resuelva los problemas 1 a 10 sin consultar el texto. Llene el espacio en blanco o conteste cierto o falso. En algunos casos quizás haya más de una respuesta correcta. 1. La solución única dey” + x’y = 0, y(O) = 0, y’(O) = 0 es 2. Si dos funciones diferenciables, J(x) y b(x), son linealmente independientes en un intervalo, WY;(x),fz(x)) # 0 para cuando menos un punto en el intervalo. 3. Dos funciones,ft(x) yf,(x), son linealmente independientes en un intervalo si una no es múltiplo constante de la otra. en el 4. Las funcionesft(x) = x2,f2(x) = 1 - x2 yf3(x) = 2 + x2 son linealmente intervalo (--, m). 5. Las funciones fi(x) = x2 y fi(x) =xx11son linealmente independientes en el intervalo y lineahnente dependientes en el intervalo 6. Dos soluciones, yt y ~2, de y” + y’ + y = 0 son linealmente dependientes si W@r, yz) = 0 para todo valor real de x. 7 . Un múltiplo constante de una solución de una ecuación diferencial también es una solución. 8 . Existe un conjunto fundamental de dos soluciones de (x - 2)~” +y = 0 en cualquier intervalo que no contenga al punto 9. Para el método de los coeficientes indeterminados, la forma supuesta de la solución particular, y,, dey” - y = 1 + ex es 10. Un operador diferencial que anula a e2”(x + sen x) es En los problemas ll y 12 determine una segunda solución de la ecuación diferencial, si YI es la primera solución. ll. y” + 4y = 0, y, = cos 2x 12. xy” - 2(x + 1)~’ + (x + 2)y = 0, yl = ex En los problemas 13 a 20 determine la solución general de cada ecuación diferencial. w. y” - 2y’ - 2y = 0 15. y”’ + lOy” + 25~’ = 0 17. 3y’” + 1Oy” + 15y’ + 4y = 0 14. 2y” + 2y’ + 3y = 0 16. 2~“’ + 9~” + 12~’ + 5y = 0 18 2!!Y+3tJ!+2blY+6dyz-4y=o l dx4 aY dx2 19. 6x2y” + 5xy’ - y = 0 20. 2x3y”’ + l9x2y” + 39xy’ + 9y = 0 194 CAPhULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En los problemas 21 a 24 resuelva cada ecuación, con el método de los coeficientes indeterminados. 21. y” - 3y’ + 5y = 4x3 - 2x 22. y” - 2y’ + y = x2ex 23. y “’ - 5y”+6y’=2senx+8 24.y”-y”=6 En los problemas 25 a 28 resuelva la ecuación diferencial correspondiente sujeta a las condiciones iniciales indicadas. 25. y” - 2y’ + 2y = 0, y0 ; = 0, y(a) = -1 26. y” - y= x + 3en x,y(O) = 2, y’(O) = 3 27. y’y” = 4x, y(l) = 5, y’(l) = 2 28. ayu = 3y2, y(O) = 1, y’(O) = 1 Resuelva cada ecuación de los problemas 29 a 32 aplicando el método de variación de parhmetros. 29. y” - 2y’ + 2y = e’ tan x 30. y-y=& 31. x2y” - 4xy’ + 6y = 2x4 + x2 32. x2y” - xy’ + y = x3 En los problemas 33 y 34 resuelva la ecuación diferencial respectiva sujeta a las condiciones iniciales indicadas. 33. (203 - 13D2 + 240 - 9)y = 36, 34, y” + y = sec3x, y(O) = -4, y’(O) = 0, y”(O) = ; y(O) = 1, y’(O) = $ En los problemas 35 a 38 aplique el mdtodo de eliminación sistemhtica para resolver ca& uno de los sistemas. 35. x’ + y’ = 2x + 2y + 1 x’ + 2y’ = y+3 37. (D - 2)x = -et -3x + (D - 4); = -7e’ 38. (D + 2)~ + (D + 1)y =sen2t 5x+(D+3)y=cos2t 0 .,=2x+ y + t - 2 & = 3x + 4y - 4t x o el de determinantes MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 5.1.4 Sistemas an&logos 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la Contera 5.3 Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de distintos fenómenos. Por este motivo, en la sección 5.1 examinaremos con mayor detalle una aplicación, el movimiento de una masa unida a un resorte. Aparte de la terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecuación lineal ay ” + by’ + cy = g(t), veremos que los procedimientos matemáticos para manejar, por ejemplo, un circuito eléctrico en serie son idénticos a los que se emplean en un sistema vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuación diferencial de segundo orden surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. En la sección 5.1 sólo estudiaremos problemas devalor inicial. En la sección 5.2 examinaremos aplicaciones descritas por problemas de valores en la frontera, además de algunos de los problemas que nos conducen a los conceptos de valores propios y funciones propias. La sección 5.3 se inicia con una descripción de las diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se demuestra cómo el péndulo simple y un alambre suspendido nos llevan a modelos no lineales. 195 196 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL n Sistema lineal dinámico H Ley de Hooke n Segunda ley de Newton del movimiento w Sistema de resorte y masa w Movimiento libre no amortiguado W Movimiento armónico simple n Ecuación del movimiento w Amplitud n Ángulo de f2ue n Resorte desgastable w Movimiento libre amortiguado w Movimiento forzado w Términos transitorios y de estado estable W Resonancia pura W Circuitos en serie En esta sección revisaremos varios sistemas dinhicos lineales (pág. 127) en donde cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes d*y dy ‘2% + al dt + soy = g(t). No olvidemos que la función g es la entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a co que satisface las condiciones iniciales prescritas y(h) = yo, y’(to) 5.1.1 =y1. Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.l(b), una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará. soporte rfgido resorte sin estirar 8 Ib 64 en reposo 0.4 Cc) FIGURA 5.1 Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F = Rs, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, 6ste está caracterizado Sección 5.1 Ecuaciones lineoles: problemas de valor inicial 197 esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte f de pie. Segunda ley de Newton Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2(b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso: mf$=-k(s+n)+ mg= -kx+mg-ks= -kx. (1) cero El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos (Fig. 5.3). sin estirar m f3 c;:, c;:, c;:, c;:, (27 ,+r--Le----I t LI: x<o --‘i - - posición de equilibrio mg-h=0 (al (b) x=o - - - ----i x>o 1 ----m !!!f movimiento (cl FIGURA 5.2 FIGURA 5.3 Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d2xldt 2 + (k/m)x = 0, 0 sea Le + w2x = 0 dt2 ’ (2) donde w2 = klm. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son 198 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR x(O) = o, la cantidad de desplazamiento inicial, y x’(O) = ,B, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si QI > 0, ,LI < 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si cr < 0, ,0 = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado IcyJ unidades arriba de la posición de equilibrio, etcétera. Solución y ecuación del movimiento Para resolver la ecuación (2) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar m2 + w2 = 0 son los números complejos mt = wi, m2 = -wi. Así, según (8) de la sección 4.3, la solución general de (2) es x(t) = cl cos wt + c2 sen of. (3) El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = 27r/w, y la frecuencia es f = l/T = wl2n. Por ejemplo, para x(t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t, el periodo es 21rf3 y la frecuencia es 3l21r. El número anterior indica que la gráfica de x(t) se repite cada 27r/3 unidades y el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la gráfica cada 27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa pasa por 3/27r vibraciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 27r/w es el intervalo entre dos máximos sucesivos de x(t). Téngase en mente que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima abajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento negativo cuando la masa llega a la altura máxima arriba de esa posición. Ambos casos se denominan desplazamiento extremo de la masa. Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes ct y c:! en la ecuación (3), se dice que la solución particular que resulta es la ecuación del movimiento. Interpretación de un problema de valor inicial Resuelva e interprete el problema de valor inicial 2 + 16~ = 0, x(O) = 10, x’(O) = 0. El problema equivale a tirar hacia abajo.una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio, sujetarla hasta que t = 0 y soltarla desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones iniciales a la solución SOLUCIÓN x(t) = CI cos 4t + c2 sen 4t se obtiene x(O) = 10 = ct 1 + c2 . 0, y entonces ct = 10; por consiguiente x(t) = 10 cos 4t + c2 sen 4t. Como x’(t) = -40 sen 4t + 4~2 cos 4, entonces x’ (0) = 0 = 4~2 . 1, así que c;! = 0; por consiguiente, la ecuación del movimiento es x(t) = 10 cos 4t. Está claro que la solución indica que el sistema permanece en movimiento una vez puesto en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posición de equilibrio x = 0. Como se advierte en la figura 5.4(b), el periodo de oscilación es 2n/4 = n/2. m Sección Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 5.1 199 ta) X masa abajo t de la posición de equilibrio / I masa arribah de la posicibn de equilibrio (b) FIGURA 5.4 Movimiento libre no amortiguado Una masa que pesa 2 Ib hace que un resorte se estire 6 in. Cuando t = 0, la masa se suelta desde un punto a 8 in abajo de la posición de equilibrio con una velocidad inicial, hacia arriba, de f ft/s. Deduzca la ecuación del movimiento libre. SOLUCIÓN Como empleamos el sistema técnico de unidades inglesas, las medidas expresadas en pulgadas se deben pasar a pies: 6 ín = i ft; 8 in = 3 ft. Además, debemos convertir las unidades de peso, que están en libras, en unidades de masa. Partimos de m = W/g y, en este caso, m = 1?; = h slug. También, según la ley de Hooke, 2 = k(i) implican que la constante del resorte es k = 4 lb/ft; por lo tanto, la ecuación (1) se transforma en hS=-4x 0 $ + 64.~ = 0. El desplazamiento y la velocidad iniciales son x(O) = f, x’(O) = - :, donde el signo negativo en la última condición es consecuencia de que la masa recibe una velocidad inicial en dirección negativa o hacia arriba. Entonces, w2 = 64, o sea, w = 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es x(t) = CI cos 8t + c2 sen 8t. (4) Al aplicarJas condiciones iniciales a x(t) y x’(t) se obtienen CI = f y c2 = - i. Así, la ecuación del movimiento es x(t) = $ cos 8t - i sen 8t. (5) n 200 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Cuando CI # 0 y c2 # 0, la amplitud A de las vibraciones libres no se puede conocer de inmediato examinando la ecuación (3). Esto es, aunque la masa tiene un desplazamiento inicial de : de pie respecto a la posición de equilibrio en el ejemplo 2, la amplitud de las vibraciones es mayor de f; por lo anterior, a menudo conviene pasar una solución de la forma (3) a la forma más simple Forma alternativa de x(t) x(t) = A sen(wt + 4), (6) donde A = dm y (b es un ángulo de fase definido por (7) Para comprobarlo, desarrollamos la ecuación (6) aplicando la fórmula del seno de la suma: A senot cos 6 + A cos ot sen 4 = (A sen 4) cos wt + (A cos 4) sen wt. En la figura 5.5 tenemos que si definimos 4 mediante sen4=v&=2, la ecuación (8) se transforma en FIGURA 5.5 Forma alternativa de solución de (5) En vista de lo que acabamos de explicar, podemos escribir la solución (5) del ejemplo 2 como sigue: x(t) = 5 cos 8t - i sen 8r La amplitud está definida por 0, lo que es lo mismo, x(t) = A sen@ + 4 ). (8) Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 201 El lector debe tener cuidado al calcular el ángulo de fase 4, definido por (7). Cuando cl = f y c2 = - t, resulta que tan 4 = -4 y con una calculadora obtenemos tan-‘(-4) = -1.326 rad.* Pero este ángulo está en el cuarto cuadrante y, por consiguiente, contraviene el hecho que sen #J > 0 y cos 4 < 0 (recordemos que ct > 0 y c2 < 0). Entonces, debemos suponer que 4 es un ángulo que está en el segundo cuadrante, 4 = T + (-1.326) = 1.8 16 rad. Así llegamos a -sen(St + 1.816). (9) . La forma (6) es útil porque con ella es fácil determinar valores del tiempo para los cuales la gráfica de x(t) cruza el eje positivo de las t (la línea x = 0). Observamos que sen(wt + 4 ) = 0 cuando wt + 4 = mr, donde n es un entero no negativo. Sistemas con constantes de resorte variables En el modelo anterior supusimos un mundo ideal, en que las características físicas del resorte no cambian con el tiempo. Sin embargo, en el mundo real es lógico esperar que cuando un sistema resorte y masa ha estado en movimiento durante largo tiempo, el resorte se debilite (o “pierda brío”); en otras palabras, la “constante” de resorte va a variar o, más concretamente, decaerá a través del tiempo. En el modelo del resorte desgastable, la función decreciente K(t) = ke”‘, k > 0, Q! > 0 sustituye a la constante de resorte k en (1). La ecuación diferencial mx” + ke-“Ix = 0 no se puede resolver con los métodos que vimos en el capítulo 4; sin embargo, podemos obtener dos soluciones linealmente independientes con los métodos del capítulo 6. Véanse los problemas 15, ejercicios 5.1; el ejemplo 3, sección 6.4, y los problemas 39 y 40, ejercicios 6.4. Cuando un sistema de masa y resorte se somete a un ambiente en que la temperatura es rápidamente decreciente, la constante k se podrá cambiar con K(t) = kt, k > 0, función que crece con el tiempo. El modelo resultante, mx” + ktx = 0 es una forma de la ecuación diferencial de Airy. Al igual que la ecuación de un resorte envejecido, la de Airy se puede resolver con los métodos del capítulo 6. Véanse el problema 16, en los ejercicios 5.1; el ejemplo 4, en la sección 6.2, y los problemas 41 a 43, en los ejercicios 6.4. 51.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la figura 5.6, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador. Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre Enmecát&a, se COn- sidera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dr/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton: *La imagen de la tangente inversa es 42 < tan-Ix < lr/2 202 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR (b) FIGURA 5.6 donde p es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento. Al dividir la ecuación (10) por la masa m, la ecuacion diferencial del movimiento amortiguado libre es d *xldt * + (p/m)a!x/dt + (Wm)x = 0, o sea d*x + 2x $ + w*x = 0, ~ dt2 2h ,P w2 ,k m’ m’ El símbolo 2X sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda m* + 2Xm + w* = 0 y las raíces correspondientes son ml=--h+XFG7, m2=-A-AG?. Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de X* - w*. Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento e-“, X > 0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande. CASO 1: X2 - 2 w 0. Aquí, se dice que el sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento, B, es grande comparado con la constante de resorte, k. La solución correspondiente de (11) es x(t) = cleml’ + c2emzf, o bien x(t) = e-Xt (c,edKx+ c2e-c7t)* (13) Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 203 7 (4 (al x t L- (b) (b) FIGURA 5.8 FIGURA 5.7 Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 5.7 muestra dos gráficas posibles de x(t). CASO II: X2 - J = 0. Se/dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminuc$jn de la fuerza de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación (ll) es x(t) = cr em1’ + c$emlf, es decir, ‘x(t) = emhf (CI + qt). (14) En la figura 5.8 vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen mucho a los de un sistema sobreamortiguado. También se aprecia, según la ecuación (14), que la masa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo más una vez. CASO III: X2 - J < 0. Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces 1121 y m2 son complejas: ml=-h+VLTCi, mz=-h--i. Entonces, la solución general de la ecuación (ll) es X(t) = e-“(cl COs 47TTt+ ~2 sen &FFt). (15) Como se aprecia en la figura 5.9, el movimiento que describe (15) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente emXf, las amplitudes de vibración tienden a cero cuando t + M. FIGURA 5.9 204 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Movimiento sobreamortiguado Se comprueba fácilmente que la solución del problema de valor inicial $+5$+4x=o, x(O) = 1, x’(O) = 1 x(t) = $ e-’ - $ e-Q, es El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobreamortiguado de una masa unida a un resorte. La masa comienza desde una posición 1 unidad abuso de la posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 1 Ns. Para graficar x(t), se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo; esto es, el valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuación (16) se llega a x’(t) = - feef + $z~~, así que x’(t) = 0 implica que e3’ = :, o sea t = f In! = 0.157. De acuerdo con el criterio de la primera derivada y con la intuición física, ~(0.157) = 1.069 ft es, en realidad, un máximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo de 1.069 ft abajo de la posición de equilibrio. También debemos comprobar si la gráfica cruza al eje t; esto es, si la masa pasa por la posición de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuación x(t) = 0, o e3t = $ tiene la solución t = i In t = -0.305 que es físicamente irrelevante. n En la figura 5.10 mostramos la gráfica de x(t) y algunos de sus valores. 1 0.601 2 2.5 3 0.370 0.225 0.137 0.083 1.5 (b) FIGURA 5.10 Movimiento críticamente amortiguado Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s. Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 205 SOLUCIÓN m De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da = 32&. =4 1 slug. Entonces la ecuación diferencial del movimiento es 1 d*x -4x-2& --= 4 dt2 dt ’ sea -cs~+l6x=o. dt2 (17) La ecuación auxiliar de (17) es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que rn1 = m2 = -4. Luego el sistema es críticamente amortiguado y x(t) = cle-4f + c2te-41. (18) Al aplicar las condiciones iniciales x(O) = 0 y x’(O) = -3 vemos, a su vez, que cl = 0 y ca = -3. Así, la ecuación del movimiento es x(t) = -3teL41. (19) Para graficar x(t) procedemos igual que en el ejemplo 4. De x’(t) = -3eA’( 1 - 4t) tenemos que x’(t) = 0 cuando t = a. El desplazamierito extremo correspondiente es x(i) = -3(-$e-’ = -0.276 ft. En la figura 5. ll vemos que poqemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una altura máxima de 0.276 ft sobre su posición de equilibrio. máxima sobre la posición de equilibrio FIGURA 5.11 Movimiento subamortiguado Un objeto que pesa 16 Ib se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. SOLUCIÓN El alargamiento del resorte, después de unir el peso, es 8.2 - 5 = 3.2 ft, de modo que, según la ley de Hooke, 16 = k(3.2), o sea k = 5 lb/ft. Además, m = $ = f slug y la ecuación diferencial es 1 d2x --= -5x 2 dt* dt - osea%+2$+1ox=o. (20) Las raíces de m2 + 2m + 10 = 0 son rnl = -1 + 3i y m2 = -l -3i, lo cual implica que el sistema es subamortiguado y que x(t) = ewf(cl cos 3t + c2sen 3t). W) 206 CAPíTUlO 5 MODEIADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por último, las condiciones iniciales x(O) = -2 y x’(O) = 0 determinan las constantes CI = -2 y c2 = - $ así que la ecuación de movimiento es x(t) = e-t ( -2cos3t-fsen3t . 1 (22) . Forma alternativa de x(t) De manera idéntica al procedimiento que empleamos en la página 200, podemos escribir cualquier solución 44 = e-*‘(cl cos VGFTiYt + c2 sen ViFA) en la forma alternativa x(t) = Ae-” sen (JZQFt + c$), en donde A = wy (23) el ángulo de fase C$ queda determinado por las ecuaciones En ocasiones, el coeficiente AewX’ se denomina amplitud amortiguada de las vibraciones. Dado que la ecuación 23) no es una función periódica, el mímero 27rlm se llama cuasiperiodo y d-3 - X2/2n es la cuasifrecuencia. El cuasiperiodo es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). El lector debe comprobar que en la ecuación de movimiento del ejemplo 6, A = 2 m/3 y 4 = 4.391. En consecuencia, una forma equivalente de (22) es 2m x(t) = 3 C’sen(3t 5.1.3 + 4.391). Sistemas de resorte y masa: movimiento forrado Ecuación diferencial del movimiento forzado con amortiguamiento Ahora tomaremos en cuenta una fuerza externa, f(t), que actúa sobre una masa oscilatoria en un resorte; por ejemplo,f(t) podría representar una fuerza de impulsión que causara un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte (Fig. 5.12). La inclusión dey(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial del movimiento forzado: d2x mz= -kx - /3$ + f(t). Al dividir esta ecuación por m se obtiene $+2,% + w2x = F(t) (25) Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial r--------* I---,,---A _--. ::7‘-2: :? ------2---- 207 t FIGURA 5.12 donde F(t) =f(t)lm y, al igual que en la sección anterior, 2X = /3/m, w2 = Wm. Para resolver esta ecuación no homogénea tenemos el método de los coeficientes indeterminados o el de la variación de parámetros. mm Interpretación de un problema de valor inicial Interprete y resuelva el problema de valor inicial ;2+ 1.2% +2X=5cos4t, x(O) = ;, x’(O) = 0. (W SOLUCIÓN Podemos ver el problema como la representación de un sistema vibratorio formado por una masa (m = 5 slug o kg) unida aun resorte (k = 2 lb/ft o N/m). La masa parte del reposo a f unidad (ft o m) abajo de su posición de equilibrio. El movimiento es amortiguado (B = 1.2) y está impulsado por una fuerza externa periódica (T = 7r/2 s) que se inicia cuando t = 0. Cabría esperar, intuitivamente, que aun con amortiguamiento el sistema permanecerá en movimiento hasta el momento en que la función forzada se “desconectara” y en adelante las amplitudes disminuyeran; sin embargo, tal como está enunciado el problema,f(t) = 5 cos 4t permanecerá “conectada” por siempre. Primero multiplicamos por 5 la ecuación diferencial (26) y la resolvemos con los métodos acostumbrados. Dado que rnl = -3 + i, rn2 = -3 - i, entonces x,(t) = ev3’(c1 cos t + c2 sen t). Aplicamos el metodo de los coeficientes indeterminados, suponiendo que una solución particular tiene la forma xp(t) = A cos 4t + B sen 4t. Entonces xp = -4A sen4t + 4B cos 4t, x; = -16A cos4t - 16Bsen4t 208 CAPiTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR de modo que x~+6x~+lOx,=(-6A+24B)cos4t+(-24A-6B)sen4t=25cos4t. El sistema resultante de ecuaciones -6A + 24B = 25. -24A - 6B = 0 tiene las soluciones A = - $ y B = g. En consecuencia x(t) = ew3’(c1 cos t + c*sen t) - $2 cos 4t + SDsen4t 51 * (27) Cuando hacemos t = 0 en la ecuacion de arriba obtenemos ct = $. Si diferenciamos la expresión y hacemos t = 0, obtenemos c2 = -$ por consiguiente, la ecuación de movimiento es x(t) 38 = e-3r - cos 51 t t 86 - -sen 51 -$jCOs4t+$sen4t. Términos transitorio JJ de estado estable (28) n Obsérvese que la función complemen- taria x,(t) = ev3’ g cos t - Esen t ( 1 en la ecuación (28) tiene la propiedad de que límt + _ xc(t) = 0. Como xc(t) se vuelve insignificante (es decir, + 0) cuando t + 00, se dice que es un término transitorio o solución transitoria. Así, cuando el tiempo es grande, los desplazamientos de la masa del problema anterior son muy bien aproximados por la solución particular x,,(t). Esta última función se llama también solución de estado estable, de estado estacionario o de estado permanente. Cuando F es una función periódica, como F(t) = FO sen yr o F(t) = FO cos -$, la solución general de la ecuación (25) esta formada por x(t) = parte transitoria + parte estable. Soluciones transitorias y de estado estable Se demuestra con facilidad que la solución del problema de valor inicial 2 %+2$+2x=4cost+2sent, es x(O) = 0, x’(O) = 3 x = x, + x, = e+sen t + 2 sen t. Wtransitorio estado estable Al examinar la figura 5.13 vemos que el efecto del término transitorio en la solución es insignificante en este caso, cuando t > 2~. n Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 209 ta) x(t) (b) FIGURA 5.13 Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamiento Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solución de un problema. Veremos también que si se ejerce una fuerza periódica cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema en un sistema mecánico oscilatorio. Movimiento forzado no amortiguado Resuelva el problema de valor inicial 2 g + w2x = Fo sen yt, x(O) = 0, x’(O) = 0, (2% 1 en donde FO es constante y y # w. La función complementaria es xc(t) = cl cos wt + c2 sen wt. Para obtener una solución particular supondremos que x,,(t) = A cos yt + B sen rt, de modo que SOLUCIÓN xp” + w2xp = A(w2 - 7”) cos yt + B(a2 - y2) sen yt = Fosen yt. Al igualar los coeficientes obtenemos de inmediato,4 = 0 y B = Fo/(w2 - q); por consiguiente Fo $4) = -6.l2 s- y2e n yt. Aplicamos las condiciones iniciales del problema a la solución general x(t)=clcosot+c2senot+ Fo sen yt cO2 - y2 210 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR y obtenemos cl = 0 y c2 = -~F&J(w~ x(t) = - y); por lo tanto, la solución es Fo flJ(w2 - y”) (-ysenot + osenyt), y # 0. (30) n Resonancia pura Aunque la ecuación (30) no está definida cuando y = w, es interesante observar que su valor límite, cuando y + w, se puede obtener aplicando la regla de L’Hôpital. Este proceso al límite equivale a una “sintonización” de la frecuencia de la fuerza impulsora ($2~) con la de las vibraciones libres (w/27r). Esperamos intuitivamente que al paso del tiempo podamos aumentar sustancialmente las ampitudes de vibración. Para y = w, la solución se define como x(t) = límFo Y-- % sen ot + 0 sen -ysenot + osenyt = F lfmdy 0 w(w” - y2) Y-t0 -$ (03 - wy2) -sen ot + wt cos = Folím -2oy Y-w -sen ot + ot cos ot = Fo -202 Fo Fo =-senot--tcosot. 202 20 yt) yt (31) Como lo esperábamos, cuando t + 00, los desplazamientos crecen; de hecho, Ix( + = cuando t,=n?riw,n=1,2,. . . El fenómeno que acabamos de describir se llama resonancia pura. La gráfica de la figura 5.14 muestra un movimiento característico de este caso. En conclusión, se debe notar que no hay una necesidad real de emplear un proceso al límite en (30) para llegar a la solución para y = w. También, la ecuación (31) es consecuencia de resolver el problema de valor inicial d2x 2 + 02x = Fo sen ot, x(O) = 0, x’(O) = 0 directamente por los métodos convencionales. Si una fuerza como la (31) representa en realidad los desplazamientos de un sistema de resorte y masa, este sistema se destruiría. En último término, las oscilaciones grandes de la masa forzarían al resorte a rebasar su límite elástico. También se podría decir que el modelo FIGURA 5.14 Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 211 resonante de la figura 5.14 es irreal por completo, porque no tiene en cuenta los efectos retardantes de las siempre presentes fuerzas de amortiguamiento. Si bien es cierto que no se puede tener resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento mínimo, también es cierto que se pueden desarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vibración (pero acotadas cuando t + -). Véase el problema 43 en los ejercicios 5.1. 5.1.4 Sistemas análogos Circuitos en serie LRC Según planteamos en la introducción a este capítulo, diversos sistemas físicos se pueden describir con una ecuación diferencial lineal de segundo orden semejante a la de las oscilaciones forzadas con amortiguamiento: m$+P$+kx=f(t). (32) Si i(t) representa la corriente en el circuito elhtrico en serie LRC de la figura 5.15, las caídas de voltaje a través del inductor, resistor y capacitar son las que muestra la figura 1.13. De acuerdo con la segur@ ley de Kirchhoff, la suma de esas caídas es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; esto es, Pero i = dq/&relaciona la corriente i(t) con la carga del capacitar q(t), de manera que la ecuación (33) se transforma en la ecuación diferencial lineal de segundo orden L~+R~++q=E(t). dt= La nomenclatura que se emplea en el análisis de circuitos es similar a la que se usa en los sistemas de resorte y masa. Si E(t) = 0, las vibraciones elhctricas del circuito se llaman libres. Como la ecuación auxiliar de la (34) es Lm2 + Rm + l/C = 0, habrá tres formas de la solución cuando R # 0, dependiendo del valor del discriminante @ - 4L/C. Se dice que el circuito es sobreamortiguado Y si Rz-4L/C>O, críticamente amortiguado si R2 - 4LIC = 0, subamortiguado R2 - 4LIC < 0. si FIGURA 5.15 212 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En cada uno de esos tres casos, la solución de (34) contiene el factor eeRaL, así que q(t) + 0 cuando t + 00. En el caso subamortiguado, cuando q(O) = qo, la carga en el capacitar oscila según decrece; en otras palabras, el capacitar se cargay descarga cuando t + 00. Cuando E(t) = 0 y R = 0, se dice que el circuito es no amortiguado, y las vibraciones eléctricas no tienden a cero cuando t aumenta sin límite; la respuesta del circuito es armónica simple. Circuito en serie subamortiguado Determine la carga q(t) en el capacitar de un circuito en serie LRC, cuando L = 0.25 henry (h), R = 10 ohms (Q), C = 0.001 farad (f), E(t) = 0, q(O) = qo coulombs (C) e i(O) = 0 amperes (A). SOLUCIÓN Como 1 lC = 1000, la ecuación 34 se transforma en i q” + 1Oq’ + 1OOOq = 0 0 sea q” + 4Oq’ + 4oooq = 0. Al resolver esta ecuación homogénea como de costumbre, tenemos que el circuito es subamortiguado y que q(t) = e-‘Ot(cr cos 60t + c2 sen 60t). Aplicamos las condiciones iniciales y obtenemos que cl = qo y c2 = qo/3. Entonces q(t) = qOe-*Of cos 60t + isen 60t . ( 1 Mediante la ecuación (23) podemos escribir la solución anterior en la forma qom q(t) = 3 e 20’sen(60t + 1.249). n Cuando hay un voltaje E(t) aplicado en el circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. Cuando R # 0, la íunción complementaria qc(t) de (34) se llama solución transitoria. Si E(t) es periódico o una constante, la solución particular, q,(t), de (34), es una solución de estado estable. Corriente de estado estable Determine la solución q,,(t) de estado estable y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando el voltaje aplicado es E(t) = EO sen y. SOLUCIÓN La solución de estado estable qp(t) es una solución particular de la ecuación diferencial Ld2q+Rdqz + cq 1 dt2 = Eosenyt. Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 213 Al aplicar el método de los coeficientes indeterminados, suponemos una solución particular de la forma qp(t) = A sen rt + B cos rt. Sustituimos esta expresión en la ecuación diferencial, simplificamos e igualamos coeficientes y los resultados son A = -y Conviene expresar a A y B en función de nuevos símbolos: X=Ly-L CY’ Si Z = lh?TS, Por consiguiente, A = E&/(-yZ2) estable es &tenemcx obtenemos 2L 1 X2 = L2y2 - c + C2y2’ Z2 = L2y2 - $ •t & f R2. y B = &R/(~Z2), de suerte que la carga de estado EoX sen yt - 2 EoR cos yt. 4P(Q = - yz2 YZ Ahora bien, la corriente de estado estable está definida por &(t) = qp’(t): . (35) n Las cantidades X = Ly - l/Cy y Z = m, definidas en el ejemplo ll, se llaman, respectivamente, reactancia e impedancia del circuito. Ambas se expresan en ohms. Barra de torsión La ecuación diferencial que describe el movimiento de torsión de una masa colgada en el extremo de un eje elástico es (36) ‘z.- ,W-‘.) Como vemos en la figura 5.16, la función O(t) representa la magnitud del giro de la masa en cualquier momento. 7 FIGURA 5.16 214 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Al comparar las ecuaciones (25) y (34) con la (36) resulta que -excepto por la terminología- no existe diferencia alguna entre la descripción matemática de los resortes con masa, los circuitos simples en serie y las oscilaciones de torsión. 1. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/fi. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? 2. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 211~ oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k del resorte? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una de 80 kg? 3 . Al fijar un contrapeso de 24 Ib al extremo de un resorte, lo estira 4 in. Deduzca la ecuación del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que está 3 in arriba de la posición de equilibrio. 4. Formule la ecuación del movimiento si el contrapeso del problema 3 parte de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 2 ft/s hacia abajo, 5. Un contrapeso de 20 Ib estira 6 in a un resorte. En ese sistema, el contrapeso se suelta, partiendo del reposo, a 6 in abajo de la posición de equilibrio. a) Calcule la posición del contrapeso cuando t = 1rl12, ~rlS,?rl6,1rl4 y 9rl32 segundos. b) ¿Cuál es la velocidad del contrapeso cuando t = 3n/16 s? ¿Hacia dónde se dirige el contrapeso en ese instante? c) ¿Cuándo pasa el contrapeso por la posición de equilibrio? 6. Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Después, al extremo de ese resorte, se fija una masa de 50 kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento. 7. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soporte rígido, pero en posición paralela a la del sistema resorte y masa del problema 6. Al segundo resorte se le fija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su posición de equilibrio con una velocidad de 10 m/s hacia arriba. a) iCuál masa tiene la mayor amplitud de movimiento? b) ¿Cuál masa se mueve con más rapidez cuando t = 7r/4 s? ¿Y cuando t = 7r/2 s? c) ¿En qué momento están las dos masas en la misma posición? ¿Dónde están en ese momento? ¿En qué direcciones se mueven? 8. Un contrapeso de 32 Ib estira 2 ft a un resorte. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si el contrapeso parte de 1 ft arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad inicial de 2 ft/s hacia arriba. iCuántas vibraciones completas habrá hecho el contrapeso hasta los 47r segundos? 9. Un contrapeso de 8 Ib, fijo a un resorte, tiene movimiento armónico simple. Deduzca la ecuación del movimiento si la constante del resorte es 1 lb/ft y el contrapeso parte de 6 in abajo del punto de equilibrio, con una velocidad de f ft/s hacia abajo. Exprese la solución en la forma de la ecuación (6). Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 215 10. Una masa pesa 10 Ib, y estira f ft un resorte. Se quita esa masa y se reemplaza con una de 1 y 6 slugs que parte de 1 ft sobre la posición de equilibrio con una velocidad de : ft/s hacia abajo. Exprese la solu&n en la forma (6). ¿En qué momento llega la masa a un desplazamiento numéricamente igual a f de la amplitud abajo de la posición de equilibrio? ll. Un contrapeso de 64 Ib está unido al extremo de un resorte y lo estira 0.32 ft. Si parte de una posición 8 in sobre la posición de equilibrio, con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo. a) Deduzca la ecuación del movimiento. b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? c) ¿Cuántas oscilaciones completas habrá hecho el contrapeso a los 37r segundos? d) ¿En qué momento pasa el contrapeso por la posición de equilibrio al ir hacia abajo por segunda vez? e) ¿En qué momento alcanza el contrapeso su desplazamiento extremo en ambos lados de la posición de equilibrio? f) iCuál es la posición del contrapeso cuando t = 3 s? g) iCuál es su velocidad instantánea cuando t = 3 s? h) ¿Cuál es su aceleración cuando t = 3 s? i) ¿Cuál es la velocidad instantánea al pasar por la posición de equilibrio? j) ¿En qué momentos está a 5 in abajo de la posición de equilibrio? k) LEn qué momentos está 5 in abajo de la posición de equilibrio y se mueve hacia arriba? 1 2 . Se cuelga una masa de 1 slug de un resorte cuya constante es 9 lb/ft. Al principio, la masa parte de un punto a 1 ft arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad de fi ft/s hacia arriba. Determine los momentos en que la masa se dirige hacia abajo con una velocidad de 3 ftls. 13. En algunos casos, cuando dos resortes paralelos de constantes kt y kz sostienen un solo contrapeso W, la constante efectiva de resorte del sistema es k = 4krk2/(kr + k2). Un contrapeso de 20 Ib estira 6 in un resorte y 2 in otro. Estos resortes están fijos a un soporte rígido común por su parte superior y a una placa metálica en su extremo inferior. Como se ve en la figura 5.17, el contrapeso de 20 Ib está fijo al centro de la placa del sistema. Determine la constante efectiva de resorte de este sistema. Deduzca la ecuación del movimiento, si el contrapeso parte de la posición de equilibrio, con una velocidad de 2 ft/s hacia abajo. 14. Cierto contrapeso estira f ft un resorte, y i ft otro. Los dos resortes se fijan a un soporte rígido, como se indicó en el problema 13 y en la figura 5.17. El primer contrapeso se quita y en su lugar se pone uno de 8 lb. El periodo de movimiento es rr/l5 s; determine el valor numérico del primer contrapeso. 67 20 Ib FIGURA 5.17 216 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Problemas para discusión 1 5 . Sólo por inspección de la ecuación diferencial 4~” + durante un gran periodo de un sistema de resorte y 16. Sólo por inspección de la ecuación diferencial 4x” durante un gran periodo de un sistema de resorte y e -‘.“,x = 0, describa el comportamiento masa regido por la ecuación. + tx = 0, describa el comportamiento masa regido por la ecuación. - 5.1.2 En los problemas 17 a 20 la figura respectiva representa la gráfica de una ecuación del movimiento de una masa unida a un resorte. El sistema masa-resorte es amortiguado. Con la gráfica, determine a) Si el desplazamiento inicial de la masa ocurre arriba o abajo de la posición de equilibrio b) Si la masa está inicialmente en reposo o si está moviéndose hacia abajo o si está moviéndose hacia arriba. FIGURA 5.18 FIGURA 5.19 FIGURA 5.20 FIGURA 5.2 1 21. Una pesa de 4 Ib se une a un resorte cuya constante es 2 lbkt. El medio presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si la pesa se suelta de un punto a 1 ft arriba de la posición de equilibrio con una velocidad de 8 ft/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el momento en que la pesa llega a su desplazamiento extremo respecto ala posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante? 22. Un resorte de 4 ft alcanza 8 ft al colgarle una pesa de 8 lb. El medio a través del cual se mueve ofrece una resistencia numéricamente igual a fi veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo. Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante? Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 217 23. Una masa de 1 kg está unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones del movimiento, si a) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m abajo de la posición de equilibrio b) El contrapeso se suelta partiendo de la posición de equilibrio con una velocidad de 12 m/s hacia arriba. 24. En las partes a) y b) del problema 23, determine si la pesa pasa por la posición de equilibrio. En cada caso calcule el momento en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la pesa en ese instante? 25. Una fuerza de 2 Ib estira 1 ft un resorte. A ese resorte se le une un contrapeso de 3.2 Ib y el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 0.4 la velocidad instantánea. a) Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso parte del reposo 1 ti arriba de \a posición de equilibrio. b) Exprese la ecuación del movimiento en la forma de la ecuación (23). c) Calcule el primer momento en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio dirigiéndose hacia arriba. 26. Después de unir una pesa de 10 Ib a un resorte de 5 ft, éste mide 7 ft. Se quita y se reemplaza con otra de 8 Ib, y el sistema se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea. a) Deduzca la ecuación del movimiento, si se suelta la pesa a f ft abajo de la posición de equilibrio a una velocidad de 1 ft/s hacia abajo. b) Exprese la ecuación del movimiento en forma de la ecuación (23). c) Calcule los momentos en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio al dirigirse hacia abajo. d) Grafique la ecuación del movimiento. 27. Al unir una pesa de 10 Ib a un resorte, éste se estira 2 ft. La pesa también está unida a un amortiguador, que ofrece una resistencia numéricamente igual a ,B (p > 0) veces la velocidad instantánea. Calcule los valores de la constante de amortiguamiento p para que el movimiento que se produce sea a) sobreamortiguado; b) críticamente amortiguado, y c) subamortiguado. 28. Una pesa de 24 Ib estira 4 ft un resorte. El movimiento que se produce se lleva a cabo en un medio que presenta una resistencia numéricamente igual a ,0 (p > 0) veces la velocidad instantánea. Si la pesa parte de la posición de equilibrio con una velocidad de 2 ft/s hacia arriba, demuestre que si /3 > 3 fi, la ecuación de movimiento es - 5.1.3 29. Una pesa de 16 Ib estira f ft un resorte. Al principio, parte del reposo a 2 ft arriba de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa está impulsada por una fuerza externa igual af(f) = 10 cos 3t. 30. Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es 5 lb/ft. Se suelta la masa a 1 ft abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo; el movimiento 218 CAPiTULO 31. 32. 33. 34. 35. 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. a) Deduzca la ecuación del movimiento si una fuerza externa igual af(t) = 12 cos 2t + 3 sen 2t actúa sobre la masa. b) Grafique las soluciones transitoria y de estado estable en el mismo conjunto de ejes coordenados. c) Grafique la ecuación del movimiento. Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 ít, y llega al reposo en su posición de equilibrio. A partir de t = 0, se aplica una fuerza externa al sistema, igual a f(t) = 8 sen 4t. Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza amortiguadora numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea. En el problema 31, deduzca la ecuación del movimiento si la fuerza externa esf(t) = eet sen 4t. Analice los desplazamientos cuando t 4 00. Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posición de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza igual ay(t) = 68em2’ cos 4t. Deduzca la ecuación del movimiento cuando no hay amortiguamiento. En el problema 33, escriba la ecuación del movimiento en la forma x(t) = A sen(wt + 4 ) + Bee2’ sen(4t + 0). iCuál es la amplitud de las oscilaciones cuando el tiempo es muy grande? Una masa m se une al extremo de un resorte cuya constante es k. Después de alcanzar el equilibrio, su soporte comienza a oscilar verticalmente a ambos lados de una línea horizontal, L, de acuerdo con una función h(t). El valor de h representa la distancia, en pies, medida a partir de L. Vea la figura 5.22. a) Deduzca la ecuación diferencial del movimiento si el sistema se mueve por un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a ,d(dx/dt). b) Resuelva la ecuación diferencial en la parte a) si un contrapeso de 16 Ib estira el resorte 4fiy/3=2,h(t)=5c0st,x(0)=x’(0)=0. FIGURA 5.22 36. Una masa de 1 OO g se cuelga de un resorte cuya constante es 1600 dinas/cm. Luego que alcanza el equilibrio su soporte oscila de acuerdo con h(t) = sen 8t, donde h representa al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. Vea el problema 35 y la figura 5.22. a) Cuando no hay amortiguamiento, determine la ecuacion del movimiento si la masa parte del reposo en la posición de equilibrio. b) ¿En qué momento pasa la masa por la posición de equilibrio? c) ¿En qué momento la masa llega a sus desplazamientos extremos? d) iCuáles son los desplazamientos máximo y mínimo? e) Gratique la ecuación del movimiento. Sección 5.1 Ecuaciones hales: problemas de valor inicial 219 En los problemas 37 y 38 resuelva el problema de valor inicial correspondiente. 37. $ + 4x = -5sen 2t + 3 cos 2t, 38. $ + 9x = 5 sen 3t, x(O) = -1, x’(O) = 1 x(O) = 2 , x’(O) = 0 39. a) Demuestre que la solución al problema de valor inicial 2 $ + w2x = F,, cos yt, x(O) = 0, x’(O) = 0 x(t) = --& (cos yt - cos ot). Y2 es b) Evalúe y-o --& (cos yt - cos wt). 40. Compare el resultado obtenido en la parte b) del problema 39, con la que se obtiene aplicando el método de variación de parámetros, cuando la fuerza externa es FO cos wt. 41. a) Demuestre que x(t) expresada en la parte a) del problema 39 se puede expresar x(t) = * sen; (y - w)tseni (y + w)t. Y2 b) Si definimos E = $7 - w), demuestre que cuando E es pequeño, una solución aproximada es x(t) = FO-sen ctsenyt. 2-v Cuando E es pequeño, la frecuencia, yl2n de la fuerza aplicada se acerca a la frecuencia, w/27r de las vibraciones libres. Cuando esto sucede, el movimiento es el que se ve en la figura 5.23. Las oscilaciones de este tipo se llaman pulsaciones o pulsos y se deben a que la fiecuencii de sen Et es bastante pequeña en comparación con la de sen Tt. Las curvas punteadas, o envolvente de la gráfica de x(t), se obtienen de las gráficas de f(Fo/2&~) sen Et. Use una grafícadora y con varios valores de FO, E y y compruebe la figura 5.23. FIGURA 5.23 220 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Problemas para discusión 4 2 . ¿Puede haberpulsos cuando se agrega una fuerza de amortiguamiento al modelo en la parte a) del problema 39? Compruebe su respuesta con gráficas obtenidas de la solución explícita del problema 2 ~+2l$+w?x=F,cosyt, x(O) = 0, x’(O) = 0 o con curvas de solución obtenidas con un ODE solver. 43. a) Demuestre que la solución general de 2 + 2h$ + 02x = Fosen yt 2 es x(t) = Ae-*‘sen(mt + 4) + FO L$lJ2 - y2)2 + 4Py2 sen(yt + e), en que A = my los ángulos de fase $ y 6’ están definidos, respectivamente, por sen 4 = cllA, cos q5 = c2IA y sen 19 = qto2 _ -2Ay y2)2 + w2 - y2 4~2~2’ ‘Os ’ = dto2 1 y2)2 + 4~2~2’ b) La solución de la parte a) tiene la forma x(t) = x,(t) + +(t). Por inspección, se ve que xc(t) es transitoria y, por consiguiente, cuando los valores del tiempo son grandes, está definida aproximadamente por xp(t) = g(r) sen(yt + e), donde g(Y) = Fo d(o” - Y’)~ + 4A2y2’ Aunque la amplitud g(y) de xp(t) está acotada cuando t + 00 demuestre que las oscilaciones máximas se resentarán en el valor yt = 67TZ ¿Cuál es el valor máximo de g? El numero + w - 2X /27r se llama frecuencia de resonancia del sistema. c) CuandoFo=2,m=lyk=4,ges g(y) = q4 _ 2 y2)2 + pzy2’ Forme una tabla de valores de yt y g(n) que corresponda a los coeficientes de amortiguamiento @ = 2, p = 1, p = f, B = f y /? = a. Use una graficadora para trazar las gráficas de g que correspondan a esos coeficientes. Utilice las mismas coordenadas. Esta familia de gráficas se llama curva de resonancia o curva de respuesta a la frecuencia del sistema. ¿Hacia qué tiende yt cuando ,8 + O? ¿Qué sucede con las curvas de resonancia cuando j3 + O? Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 221 44. Se tiene un sistema resorte y masa forzado y no amortiguado, descrito por el problema de valor inicial $ + dx = Fosen” yt, x(O) = 0, x’(O) = 0. a) Describa para n = 2 por qué hay una sola frecuencia, yt/27r, en que el sistema está en resonancia pura. b) Para n = 3, explique por qué hay dos frecuencias, yt/27r y y2/27r en las cuales el sistema esta en resonancia pura. c) Suponga que w = 1 y FO = 1. Use un ODE solver para obtener la gráfica de la solución del problema de valor inicial para n = 2 y y = yt en la parte a). Trace la gráfica de la solución del problema de valor inicial para n = 3 que corresponde, sucesivamente, a y = yl y y = 72 en la parte b). 45. Determine la carga del capacitar en un circuito en serie LRC cuando t = 0.01 s, L = 0.05 h, R = 2 R, C = 0.01 f, E(t) = 0 V, q(O) = 5 C e i(O) = 0 A. Encuentre el primer momento en el que la carga en el capacitar es cero. 46. Determine la carga en el capacitar de un circuito en serie LRC cuando L = f h, R = 20 R, C = $ f, E(t) = 0 V, q(O) = 4 C e í(O) = 0 A. x ¿En algún momento la carga del capacitar es igual a cero? En los problemas 47 y 48 determine la carga en el capacitar y la corriente en el circuito en serie LRC. Calcule la carga máxima en el capacitar. 47. L=~h,R=10R,C=~f,E(t)=300V,q(O)=OC,i(O)=OA. 48. L = 1 h, R = 100 Q C = 0.0004 f, E(t) = 30 V, q(O) = 0 C, i(O) = 2 A. 49. Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando L = 1 h,R=2QR,C=0.25fyE(t)=50costV. 5 0 . Demuestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito en serie LRC del ejemplo ll está expresada por Eolí?, donde 2 es la impedancia del circuito. 51. Demuestre que la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC está definida por ip(t) = (4.160) sen(60t - 0.588) cuando L = i h, R = 20 R, C = 0.001 f y E(t) = 100 sen 60t V. (Sugerencia: use los resultados del problema 50.) . 52. Determine la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando L = i h, R = 20 R, C = 0.001 f, y E(t) = 100 sen 60t + 200 cos 40t V. 5 3 . Calcule la carga en el capacitar de un circuito en serie LRC cuando L = f h, R = 10 Q C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(O) = 1 C e i(O) = 0 A. iCuál es la carga en el capacitar cuando ha transcurrido mucho tiempo? 54. Demuestre que si L, R, C y EO son constantes, la amplitud de la corriente de estado estable del ejemplo ll es máxima cuando y = l/e. ¿Cuál es la amplitud máxima? 55. Demuestre que si L, R, EO y y son constantes, la amplitud de la corriente de estado estable en el ejemplo ll es máxima cuando la capacitancia es C = l/Lg. 222 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 56. Determine la carga en el capacitar y la corriente en un circuito LC cuando L = 0.1 h, C = O.lf,E(t)=100senytV,q(O)=OCei(O)=OA. 57. Calcule la carga en el capacitar y la corriente en un circuito LC cuando E(t) = Eo cos -yr V, q(O) = qo C e i(O) = io A. 58. En el problema 57 determine la corriente cuando el circuito se encuentre en resonancia. ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA W Ecuación diferencial de la flexión de una vigam Condiciones en laji-ontera n Valores propios y finciones propias n Soluciones no triviales n Soluciones numéricas n Curvatura de una columna delgada n Carga de Euler n Ecuación diferencial de la cuerda de brincar La sección precedente se centró en sistemas en los que un modelo matemático de segundo orden estaba acompañado con las condiciones iniciales prescritas; esto es, condiciones adjuntas de la función desconocida y su primera derivada, que se especifican en un solo punto. Pero, con frecuencia, la descripción matemática de un sistema físico requiere la solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones en la frontera; esto es, condiciones especificadas para la función desconocida o una de sus derivadas, e incluso para una combinación de la función desconocida y una de sus derivadas, en dos o más puntos distintos. Desviación de una viga Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se desvían o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a continuación, esta desviación y(x) está determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetria. [Fig. 5.24(a)]. Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría, sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de desviación, curva ebtica o simplemente elhstica. La elástica aproxima la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría al / eje de simetría ,’ curva elástica FIGURA 5.24 Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 223 y que la desviación (o flecha) y(x), medida desde el eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación d2M - = w(x). dx2 (1) Además, el momento flexionante M(x) es proporcional a la curvatura, K, de la elástica: M(x) = EIK, (2) en que E e 1 son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta (respecto de un eje llamado eje neutro). El producto EZ se denomina rigidez a la flexión de la viga. Según el cálculo diferencial, la curvatura es K = ~“41 + (Y’)~]~“. Cuando la desviación y(x) es pequena, la pendiente y’ = 0, de modo que [ 1 + (y’)2]3’2 = 1, Si K, = y”, la ecuación (2) se transforma en M = EIy”. La segunda derivada de esta ecuación es Aplicamos el resultado de la ecuación (1) para reemplazar d2M7drZ en la (3) y vemos que la desviación y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden Las condiciones en la frontera asociadas a esta ecuación dependen de la forma en que están sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en cantilíver) está empotrada en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, el ala de un avión y una marquesina son ejemplos comunes de este caso, pero hasta los arboles, las astas de banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que están empotrados en su base y sufien la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la desviación y(x) debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x = 0: w y(O) = 0 porque no hay desviación en ese lugar, y n y’(O) = 0 porque la curva de desviación es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto). Cuando x = L las condiciones del extremo libre son W y”(L) = 0 porque el momento flexionante es cero W y”‘(L) = 0 porque la fuerza cortante es cero. La función F(x) = dWa!x = EI d3y/dx3 se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga está simplemente apoyado (a esto también se le llama embisagrado, articulado o empernado), se debe cumplir que y = 0 y y” =0 en ese extremo. La tabla siguiente es un resumen de las condiciones en la frontera asociadas con la ecuación (4). 224 CAPhUlO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Extremos de la viga Condiciones en la frontera empotrado y=O,y’=O y” = 0, y”’ = 0 libre simplemente Viga apoyado y=O,y’/=O empotrada Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante, WO, uniformemente distribuida en su longitud; esto es, w(x> = wo, 0 < x < L. SOLUCIÓN Según lo que acabamos de plantear, la desviación y(x) satisface a &!Lw dx4 ” Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo (X = 0) y en su extremo derecho (x = L), no hay desviación vertical y la elástica es horizontal en esos puntos. Así, las condiciones en la frontera son Y(O) = 0, y’(O) = 0, y(L) = 0, y’(L) = 0. Podemos resolver la ecuación diferencial no homogénea en la forma acostumbrada (determinar yC teniendo en cuenta que m = 0 es una raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar m4 = 0, para después hallar una solución particular y, por el método de coeficientes indeterminados) o simplemente integramos la ecuación d4y/dx4 = wo/EZ cuatro veces sucesivas. De cualquier forma, llegamos a que la solución general de la ecuación es y(x) = Cl + c2x + c3x2 + c4x3 + szx4. Ahora bien, las condiciones y(O) = 0 y y’(O) = 0 dan cl = 0 y c2 = 0, mientras que las condiciones restantes, y(L) = 0 y y’(L) = 0, aplicadas ay(x) = csx2 + c4x3 + (wo/24EZ)x4 originan las ecuaciones qL2 + c4L3 + SzL’=O 2c3L + 3c4L2 + SzL3=0. Al resolver este sistema se obtiene c3 = w,&~/~~EZ ción es y c4 = -w~/12EZ. Entonces, la desvia- y(x) = gzx2 - gzx3 + Szx' = Szx2(x - L)2. Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 225 Si wa = 24EI y L = 1, se obtiene la gráfica de la elástica de la figura 5.25. n FIGURA 5.25 Valores propios y funciones propias (eigenvalores y eigenfunciones) En las aplicaciones hay muchos problemas, que son problemas de valor en la frontera en dos puntos, donde interviene una ecuación diferencial que contiene un parámetro X. Se trata de hallar los valores de X para los cuales el problema de valor en la frontera tenga soluciones no triviales. Soluciones no triviales de un problema de valor en la frontera Resuelva el problema de valor en la frontera yR + Ay = 0, SOLUCIÓN y(O) = 0, y(L) = cl. Consideraremos tres casos: X = 0, X < 0 y X > 0. Caso 1. Cuando X = 0, la solución de y” = 0 es y = crx + ~2. Las condiciones y(O) = 0 y y(L) = 0 implican, a su vez, que c2 = 0 y cl = 0; por consiguiente, cuando X = 0, la única solución al problema de valor en la frontera es la trivial y = 0. Caso II. Cuando X < 0, y = cl cosh ax + c2 senh fix.* De nuevo, y(O) = 0 da ct = 0 y así y = c2 senh ax. La segunda condición, y(L) = 0 obliga a que c2 senh 6% = 0. Puesto que senh q. # 0, se debe cumplir c2 = 0; por consiguiente, y = 0. Caso III. Cuando X > 0, la solución general dey” + Ay k 0 es y = CI cos fix + c2 sen 6 Como antes, y(O) = 0 conduce a cl = 0, pero y(L) = 0 ímplica que c2 sen CL = 0. Si c2 = 0, se tiene y = 0; empero, si c2 + 0, entonces sen CL = 0. La última condición indica que el argumento de la función seno ha de ser un múltiplo entero de rr: tiL=nlT osea h=T? II = 1,2,3,.. . . *Se ve raro a, pero no olvidemos que X < 0 equivale a 4 > 0. 226 CAPíTULO 5 MODELAIX CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Por lo tanto, para todo real c2 distinto de cero, y = c2 sen(nrrx/l) es una solución del problema para cada n. Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, no necesitamos escribir c2 si así lo deseamos; en otras palabras, para un numero dado de la sucesión 7T2 4n2 9?? --$--$-$...> la función correspondiente en la sucesión 2n sen -x, 37l . . . senEx, sen -x, L L L es una solución no trivial del problema original. w Los números X, = n2?/L2, n = 1,2,3, . . . para los que el problema de valor en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales se llaman valores característicos o valores propios. Las soluciones que se basan en esos valores de X,, como y,, = c2 sen(n&L), o simplemente yn = sen(nnx/Q se llaman funciones características, funciones propias. Curvatura de una columna vertical esbelta En el siglo XVIII Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema de valores propios al analizar cómo se curva una columna elástica esbelta sometida a una fuerza axial de compresión. Examinemos una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme y longitud L. Seay la curvatura de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión, o carga, P, en su extremo superior (Fig.5.26). Al comparar los momentos flexionantes en cualquier punto de la columna obtenemos E& = -pJ) o!? 0 sea E&+Py=O, ak2 donde E es el módulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de una sección transversal con respecto a una recta vertical por el centroide. (4 (b) FIGURA 5.26 Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 227 Un problema de valores propios Determine la desviación de una columna homogénea, delgada y vertical de altura L, sometida a una carga axial P constante. La columna se encuentra articulada en sus dos extremos. SOLUCIÓN El problema de valor en la frontera que se debe resolver es EI$$+Py=O, y(O) = 0, y(L) = 0. y = 0 es una solución válida para este problema. Tiene la sencilla interpretación que si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexión. La pregunta, entonces, es la siguiente: ¿para qué valores de P se curva la columna? En términos matemáticos: ipara qué valores de P el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales? Hacemos la sustitución X = PIEI y vemos que y” + Ay = 0, y(O) = 0, y(L) = 0 es idéntica al problema del ejemplo 2. En el caso III de ese problema vemos que las curvas de desviación son yn = cz sen(nnx/l), que corresponden a los valores propios X, = PJEI = n2r21L2 n = 1 2 3 . . . Esto quiere decir, físicamente, que la columna se desvia solo cuando la fuerza de compresión tiene uno de los valores P,, = n2r2EZ/L2, n = 1, 2, 3, . . . . Esas fuerzas se llaman cargas críticas. La curva de deflexión que corresponde a la mínima carga crítica, PI= gEI/L2 se denomina carga de Euler y es y,(x) = c2 sen(rx/L); esta función se conoce como primer modo de desviación. n En la figura 5.27 vemos las curvas de desviación del ejemplo 3, que corresponden a n = 1, n = 2 y n = 3. Si la columna original tiene algún tipo de restricción fisica o guía en x = L/2, la carga critica mínima será P2 = 47?EI/L2, y la curva de deflexión será la de la figura 5.27(b). Si se ponen guías a la columna en x = Ll3 y en x = 2L/3, la cohunna no se desviará sino hasta aplicarle la carga crítica P3 = 9gEI/L2 y la curva de desviación será la que se ilustra en la figura 527(c). ¿Dónde se deberían poner guías en la columna para que la carga de Euler sea Pd? / i; -I; ta) (b) FIGURA 5.27 (4 228 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Juego de la cuerda La simple ecuación diferencial lineal y de segundo orden y” + Ay = 0 (6) sirve de nuevo como modelo matemático. En la sección 5.1 la vimos en las formas d*x/d? + (k-/m)x = 0 y d*q/dr! + (1ILC)q = 0 como modelos respectivos del movimiento armónico simple de un sistema de resorte y masa, y la respuesta armónica simple de un circuito en serie. Surge cuando el modelo de curvatura de una columna delgada en (5) se escribe en la forma d*yld.x* + (P/Elly = 0, que es igual a (6). Una vez más, nos encontramos con la misma ecuación (6) en esta sección: como modelo que define la curva de deflexión o la forma y(x) que adopta una cuerda que gira. El caso físico es análogo a cuando dos personas sujetan una cuerda de saltar y la giran en forma sincrónica [Fig.5.28(a) y (b)]. (b) FIGURA 5.28 Supongamos que una cuerda de longitud L y densidad lineal constante p (en masa por unidad de longitud) se estira a lo largo del eje x y se fija en x = 0 y x = L. A continuación, esa cuerda se pone a girar respecto a su eje a una velocidad angular constante w. Examinemos un tramo de la cuerda, en el intervalo [x, x + Ax], donde es pequefio. Si la magnitud T de la tensión T que actúa en dirección tangencial a la cuerda es constante en su longitud, podemos obtener la ecuación diferencial que deseamos igualando dos expresiones de la fuerza neta que actúa sobre la cuerda en el intervalo [x, x + Ax]. Primero, vemos en la figura 5.28(c) que la fuerza neta vertical es F = TsentJ- Tsen@. (7) Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 229 Cuando los ángulos 191 y 02, expresados en radianes, son pequeños, sen 192 = tan 92, y sen 01 = tan 01. Además, puesto que tan 02 y tan 81 son, a su vez, las pendientes de las líneas que contienen a los vectores Tl y TI, también podremos escribir tan e2 = y’(x + Ax) tan 8, = y’(x). y De esta forma, la ecuación (7) se transforma en F = T[ y ‘(x + Ax) - y’(x)]. (8) Luego podemos obtener una forma distinta de la misma fuerza neta recurriendo a la segunda ley de Newton, F = mu. En este caso, la masa de la cuerda en el intervalo es m = p Ax; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular w en un círculo de radio r es a = rw2. Si AX es pequeño, podemos hacer r = y. Así, la fuerza vertical neta también está expresada aproximadamente por F= -(p Ax)yo2, (9) donde el signo menos proviene de que la aceleración apunta en dirección opuesta a la dirección positiva de las y. Ahora, igualando las ecuaciones (8) y (9), T[y’(x + Ax) - y’(x)] = - (pAx)yw2 o sea 픓(’ + ‘Li - “(‘) z - po2y. (10) Cuando AX tiende a cero, el cociente de la diferencia v(x + Ax) - y’(x)]/bx, en la ecuación (lo), se puede aproximar por la segunda derivada, d 2yldx2. Por último llegamos al modelo 0 sea &!=-pw2y=0. dx2 Dado que la cuerda está tija en sus extremos x = 0 y x = L, esperamos que la solución y(x) de la última de las ecuaciones en (ll) también satisfaga las condiciones en la frontera y(O) = 0 y y(L) = 0. En los problemas 1 a 4 la viga tiene longitud L y WIJ es constante. 1 . a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre en el derecho, y w(x) = wg, 0 < x < L. b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wa = 24EI y L = 1. 2 . a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga sólo está apoyada en ambos extremos y w(x) = WO>O<X<L. b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wg = 24EI y L = 1. 3 . a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga está empotrada en su extremo izquierdo y sólo apoyada en el derecho, y w(x) = wa, 0 < x < L. b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wg = 48EZ y L = 1. 230 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4. a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga está empotrada en su extremo izquierdo, ~610 apoyada en el derecho y W(X) = wa sen(7w/L), 0 < x < L. b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wa = 27?EI y L = 1. 5. a) Determine la desviación máxima de la viga en voladizo (o cantilíver) del problema 1. b) ¿C!ómo se compara la desviación máxima de una viga de la mitad de la longitud con el valor obtenido en la parte a)? 6 . a) Calcule la desviación máxima de la viga simplemente apoyada del problema 2. b) ¿Cómo se compara la desviación máxima de la viga simplemente apoyada con la desviación de la viga de extremos empotrados del ejemplo l? 7. Una viga en voladizo, de longitud L, está empotrada en su extremo derecho y se aplica al extremo izquierdo una fuerza horizontal de tensión de P lb. Si el origen se sitúa en su extremo libre (Fig. 5.29), se puede demostrar que la desviación y(x) de la viga satisface la ecuación diferencial Ely” = Py - w(x) ;. Calcule la desviación de la viga en voladizo cuando W(X) = w@, 0 < x < L y y(O) = 0, y’(L) = 0. FIGURA 5.29 8. Si se aplica una fuerza de compresión en lugar de la de tensión en el extremo libre de la viga del problema 7, la ecuación diferencial de la elástica es EZy” = -Py - w(x) ;. Resuelva esta ecuación cuando w(x) = wp, 0 < x < L y y(O) = 0, y’(L) = 0. En los problemas 9 a 22 determine los valores propios y las funciones propias del respectivo problema de valor en la frontera. 9. y” + Ay = 0, y(O) = 0, y(7r) = 0 10. y” + Ay = 0, y(O) = 0, y f = 0 0 ll. y” + Ay = 0, y’(O) = 0, y(L) = 0 1 2 . y” + Ay = 0 , y(O) = 0 , y ’ 0 ; = 0 1 3 . y” + A y = 0 , y’(O) = 0, y’(n) = 0 !kcción 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 231 14. y” + Ay = 0, y(-?T) = 0, y(r) = 0 15. y” + 2y’ + (h + l)y = 0; y(O) = 0, y(5) = 0 16. y” + (h + 1)y = 0, y’(O) = 0, y’(l) = 0 17. y” + Py = 0, y(O) = 0, y(L) = 0 18. y” + A2y = 0, y(O) = 0, ~‘(397) = 0 19. x2ya + xy’ + Ay = 0, y(l) = 0, y(P) = 0 20. x2yv + xy' + Ay = 0, y'(e-') = 0, y(l) = 0 21. X~Y” + xy’ + Ay = 0, y’(l) = 0, y’(e’) = 0 22. ,t?y” + 2xy’ + Ay = 0, y(l) = 0, y(e’) = 0 23. Demuestre que las funciones propias del problema de valor en la frontera y” + Ay = 0, y(O) = 0, YO) + Y’(l) =0 sonyn = sen fin*, en donde los valores propios X, del problema son X, = x,,* donde los x,,, n=l,2,3,... son las raíces positivas consecutivas de la ecuación tan fi = -6 24. a) Convénzase, usando una graticadora, de que la ecuación tan x = -X tiene una cantidad infinita de raíces. Explique por qué se pueden pasar por alto las raíces negativas de la ecuación y por qué X = 0 no es valor propio en el problema 23, aun cuando es una raíz obvia de la ecuación tan fi = -6. b) Aplique un procedimiento numérico o un sistema algebraico de computación para aproximar los primeros cuatro valores propios, XI, AZ, X3 y X4. 25. Se tiene el problema de valor en la frontera que presentamos como modelo matemática de la forma de una cuerda de saltar: T$$ + pdy = 0, y(O) = 0, y(L) = 0. Con T y p constantes, defina las velocidades críticas de rotación angular, w,,, como los valores de w para los que el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales. Calcule las velocidades críticas w,, y las curvas correspondientes de desviación, yn( 26. Cuando la magnitud de la tensión T no es constante, un modelo de la curva de desviación o forma y(x) que toma una cuerda rotatoria es $ 1 Ti 1 + pdy = 0. Suponga que 1 < x < e, y que T(x) = x*. a) Si y(l) = 0, y(e) = 0 y pw* > 0.25, halle las velocidades críticas w,, y las curvas correspondientes de desviación yn( b) En la ecuación de yn habrá una constante arbitraria, por ejemplo, cz. Con una graficadora trace las curvas de desviación en el intervalo [ 1, e], para n = 1,2,3. Haga c*= 1. 232 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 27. Se tienen dos esferas concéntricas de radio r = a y r = b, a < b (Fig. 5.30). La temperatura u(r) en la región entre ellas está determinada por el problema de valor en la frontera rd2U+2&L0 dr2 dr u(a) = uo, ’ u(b) = ul, donde UO y ~1 son constantes. Despeje u(r). FIGURA 5.30 FIGURA 5.3 1 2% La temperatura u(r) en el anillo circular de la figura 5.3 1 está definida por el problema de valor en la frontera rd2U+&=o dr2 dr ’ u(a) = uo, u(b) = ul, donde UO y ~1 son constantes. Demuestre que u(r) = uo ln(rlb) - u1 ln(rla). ln(alb) Problemas para discusión 29. Para el problema de valor en la frontera y” + 16~ = 0, Y(O)=Yo, y ; =y1. 0 indique si es posible hallar valores de yo y yt tales que el problema tenga a) exactamente una solución no trivial; b) más de una solución; c) ninguna solución, y d) la solución trivial. 30. Se tiene el problema de valor en la frontera y” + 16y = 0, y(O) = 1, y(L) = 1. Señale si es posible calcular valores de L > 0 tales que el problema tenga a) exactamente una solución no trivial; b) más de una solución; c) ninguna solución, y d) la solución trivial. Sección 5.3 Ecuaciones no lineales 233 ECUACIONES NO LINEALES W Resortes lineales y no lineales n Resortes duros y suaves H Ecuación dtferencial de un péndulo no lineal w Linealización W Ecuación diferencial de un cable colgado W La catenaria n Movimiento de un cohete Resortes no lineales El modelo matemático en la ecuación (1) de la sección 5.1 tiene la forma donde F(x) = kx. Como x representa el desplazamiento de la masa respecto a su posición de equilibrio, F(x) = k es la ley de Hooke; esto es, la fuerza que ejerce el resorte, que tiende a regresar la masa a su posición de equilibrio. Un resorte que ejerce una fuerza lineal de restitución F(x) = kx se llama resorte lineal; pero los resortes casi nunca son perfectamente lineales. Según cómo se fabriquen y el material que se use, un resorte puede ser desde “flexible” o suave, hasta “rígido” o duro, y su fuerza de restitución puede variar desde algo menos a algo más de la que determina la ley lineal. En el caso del movimiento libre, si suponemos que un resorte no envejecido tiene algunas características no lineales, sería lógico suponer que la fuerza de restitución F(x) es proporcional, por ejemplo, al cubo del desplazamiento x de la masa con respecto a su posición de equilibrio, o que F(x) es una combinación lineal de potencias del desplazamiento, como la de la función no lineal F(x) = kx + krx3. Un resorte cuyo modelo matemático presenta una fuerza no lineal de restitución, como mdz,+kx3z0 dt2 0 sea rn~+kx+kx3=0, 1 dt2 se llama resorte no lineal. Además, hemos descrito modelos matemáticos en que el amortiguamiento del movimiento era proporcional a la velocidad instantánea dx/dt y la fuerza de restitución del resorte estaba determinada por la función lineal F(x) = Kx; pero sólo se trataba de suposiciones. En los casos más reales, el amortiguamiento puede ser proporcional a alguna potencia de la velocidad instantánea, dx/dt. La ecuación diferencial no lineal md2x+fl dx &+kx=O dt* I dt I dt es un modelo de un sistema libre de resorte y masa, con un amortiguamiento proporcional al cuadrado de la velocidad. Es posible imaginar otros tipos de modelo: amortiguamiento lineal y fuerza de restitución no lineal, amortiguamiento no lineal y fuerza de restitución no lineal, etcétera. El hecho es que las características no lineales de un sistema físico originan un modelo matemático no lineal. Obsérvese que, en la ecuación (2), F(x) = kx3 y F(x) = kx + ktx3 son funciones impares de x. Para ver por qué una función polinomial que sólo contiene potencias impares de x es un modelo razonable de la fuerza de restitución, expresaremos F en forma de una serie de potencias centrada en la posición de equilibrio x = 0: F(x) = co + clx + c2x2 + c3x3 + . . . . 234 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Cuando los desplazamientos x son pequeños, los valores de x” son despreciables si n es suficientemente grande. Si truncamos la serie de potencias en, digamos, el cuarto término, entonces F(x) = co + ClX + c2x2 + c3x3. Para que la fuerza en x > 0 (F(x) = CO + ctx + c2x2 + csx3) y la fuerza en -X < 0 (F(-X) = ce - cI(x) + c2x2 - c3x3) tengan la misma magnitud y direcciones opuestas, se debe cumplir F(-x) = -F(X). Esto quiere decir que F es una función impar, de modo que CO = 0 y c2 = 0, y así F(x) = cl(x) + c3x3. Si hubiéramos empleado sólo los dos primeros términos de la serie, habríamos llegado a F(x) = clx con el mismo argumento. Para fines explicativos, escribiremos cl = k y c2 = kl. Se dice que una fuerza de restitución con potencias mixtas, como F(x) = kx + kt~‘, así como las oscilaciones que resultan, son no simétricas. resorte suave FIGURA 5.32 Resortes duros y suaves Examinemos con más detalle la ecuación (l), cuando la fuerza de restitución está expresada por F(x) = kx + ktx3, k > 0. En la figura 5.32 aparecen las gráficas de tres tipos de fuerzas de restitución. Se dice que el resorte es duro si kt > 0, y suave si kt < 0. En el ejemplo 1 mostraremos estos dos casos especiales de la ecuación diferencial m d2x/d? + kx + klx3 = 0, m > 0, k > 0. Comparación de resortes duros y suaves Las ecuaciones diferenciales $+x+x3=o 2 Y %+x-x3=o son casos especiales de la ecuación (2) y los modelos de un resorte duro y uno suave, respectivamente. La figura 5.33(a) muestra dos soluciones de (4) y la figura 5.33(b) muestra dos soluciones de (5), obtenidas con un programa para resolver ecuaciones. Las curvas en negro son las soluciones que satisfacen las condiciones iniciales x(O) = 2, x’(O) = -3, y las curvas en gris son las soluciones que cumplen x(O) = 2, x’(O) = 0. Estas curvas solución Sección 5.3 Ecuaciones no lineales a) 235 Resorte duro b) Resorte suave FIGURA 5.33 FIGURA 5.34 indican que el movimiento de una masa en el resorte duro es oscilatorio, mientras que en el resorte suave no lo es. Pero debemos tener cuidado al llegar a conclusiones basadas sólo en n dos curvas de solución. Consúltese también el problema 2 de los ejercicios 5.3. no lineal Todo objeto que oscila se llama péndulo fisico. El péndulo simple es un caso especial de péndulo físico y consiste en una varilla de longitud 1 con una masa m unida a su extremo inferior. Al describir el movimiento de un péndulo simple en el plano vertical, se establecen las hipótesis simplificatorias de que la masa de la varilla es insignificante y que no actúan fuerzas externas, de amortiguamiento ni de impulso. El ángulo 0 de desplazamiento del péndulo medido respecto a la vertical (Fig. .5.34), se considera positivo cuando está hacia la derecha de OP y negativo cuando está a la izquierda. Ya sabemos que el arco s, de un circulo de radio Z, se relaciona con el ángulo central 0 por la fórmula s = 10; por lo tanto, la aceleración angular es Péndulo De acuerdo con la segunda ley de Newton, F=ma=ml$j. 236 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR En la figura 5.34 tenemos que la componente tangencial de la fuerza, debido al peso W, es mg sen 0. Igualamos las dos expresiones de la fuerza tangencial y obtenemos ml d2Bld? = -mg sen e, 0 sea d28+8 sen e = 0. dt2 1 Linealización Por la presencia de sen 8, el modelo de la ecuación (6) es no lineal. Para tratar de comprender el comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior, a veces se trata de simplificar el problema, reemplazando los términos no lineales con algunas aproximaciones. Por ejemplo, la serie de Maclaurin para el sen e es e3 eS senB=e-3?+5!-..., y entonces, si empleamos la aproximación sen e = 6’ - @/6, la ecuación (6) se transforma en d20/d? + (g/Z)e - g/6Z)e3 = 0. Esta ecuación es igual a la segunda ecuación no lineal de (2), donde m = 1, k = g/l y kl = -gl61; sin embargo, si suponemos que los desplazamientos 0 son lo suficientemente pequeños para justificar el empleo de la sustitución sen 0 = 8, la ecuación (6) se transforma en Si hacemos w2 = g/Z, reconocemos en (7) la ecuación diferencial (2) de la sección 5.1, que describe las vibraciones no amortiguadas de un sistema lineal de resorte y masa. En otras palabras, la ecuación (7) nuevamente es la ecuación lineal básica y” + Xy = 0, que describimos en la página 228 de la sección 5.2; en consecuencia, se dice que la ecuación (7) es una linealización de la ecuación (6). Puesto que la solución general de (7) es e(t) = cl cos wt + c2 sen wt, esa linealización nos sugiere que el movimiento del péndulo descito por (6), es periódico para las condiciones iniciales compatibles con oscilaciones pequeñas. Péndulo no lineal Las ,gráficas de la figura 5.35(a) se obtuvieron con ayuda de un programa que resuelve ecuaciones y que representa las curvas de solución de la ecuación (6) cuando w2 = 1. La curva de gris representa la solución de (6) que satisface las condiciones iniciales e(O) = f, e’(O) = f, mientras que la gráfica en negro es la solución que satisface a e(o) = i, B(O) = 2. La curva de gris representa una solución periódica, el péndulo que oscila hacia uno y otro lado [Fig. 5.35(b)], con una amplitud aparente A I 1. La curva en negro muestra que 0 crece sin límite a medida que aumenta el tiempo. A partir del mismo desplazamiento inicial, el péndulo tiene una velocidad inicial con la magnitud suficiente para mandarlo despedido sobre el centro de giro; en otras palabras, da vueltas alrededor de su pivote [Fig. 5.35(c)]. Cuando no hay amortiguamiento, el movimiento continúa indefinidamente en ambos casos. I Sección 5.3 x Ecuaciones no hales 237 2n Ca) (b)W = f. (c) EYO) = ;, eyo) = i eyo) = 2 FIGURA 5.35 Cable colgado Supongamos que un cable cuelga sujeto a la acción de su propio peso. Como vemos en la figura 5.36(a), un modelo físico podría ser un conductor telefónico largo tendido entre dos postes. Nuestra meta es deducir un modelo matemático que describa la forma que adopta el cable colgante. Para comenzar, supondremos que se define al eje y en la figura 5.36(b) pasando por el punto mínimo PI de la curva y que el eje x está a unidades abajo de PI. Examinemos sólo la parte del cable que está entre el punto mínimo PI y un punto arbitrario P2. Sobre el cable actúan tres fuerzas: el peso del segmento PlP2 y las tensiones Tl y T2 en los puntos PI y Pz, (b) (4 FIGURA 5.36 238 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR respectivamente. Si w es la densidad lineal del cable (expresada, por ejemplo, en lb/ft) y s la longitud del segmento P1P2, su peso será ws. La tensión TZ se puede descomponer en las direcciones horizontal y vertical, y las correspondientes cantidades escalares son T2 cos 8 y T2 sen 8. Puesto que el sistema está en equilibrio podemos escribir, IT11 = í”r = T2 cos 8 ws = T2 sen 8. Y Dividimos las dos últimas ecuaciones y vemos que tan 0 = ws/T~. Esto es, dy ws z=r,. 09 Dado que el arco entre los puntos PI y P2 tiene la longitud (9) de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, la derivada de (9) es Derivamos (8) con respecto a X, aplicamos la ecuación (10) y obtenemos d2y w& -=-- & T,dx osea d2y w -=dx2 Tl UU Según la figura 5.36 cabría concluir que la forma que adopta el conductor colgante es parabólica. En el ejemplo siguiente veremos que no es así; la curva que forma el cable colgado se llama catenaria. Antes de proseguir, obsérvese que la ecuación diferencial no lineal (ll) es una de las ecuaciones Ny, y’, y”) = 0 que describimos en la sección 4.9,_ y podemos resolverla mediante sustitución. Problema de valor inicial De acuerdo con la posición del eje y en la figura 536(b), las condiciones iniciales asociadas con la segunda de las ecuaciones diferenciales (11) Sony(O) = ay y’(O)= 0. Si sustituimos 24 =y’, Separamos variables y d” w I dx I -=v’iT-7 TI da senh-lu=~x+cl. 1 Sección 5.3 Ecuaciones no lineales 239 Pero y’(O) = 0 equivale a u(O) = 0. Como senh-’ 0 = 0, entonces CI = 0, así que 24 = senh(wxlT1). Por último, al integrar dY = senhwx dx T obtenemos Tl y = -coshKx + c2. W Tl Si aplicamos y(O) = a, cosh 0 = 1, la última ecuación da c2 = a - Tl/w. Vemos así que la forma del cable colgante está definida por y = -cosh;x W 1 + a - 2. n Si en el ejemplo 3 hubiéramos tenido la astucia de elegir al principio a = Tlhv, la solución del problema habría sido simplemente el coseno hiperbólico y = (TI/w) cosh(wxlTt). Movimiento de un cohete En la sección 1.3 expusimos que la ecuación diferencial de un cuerpo en caída libre de masa m cercano a la superficie de la Tierra, es 2 m @ = -mg 0 simplemente dt2 d2s - = -g, dt2 donde s representa la distancia de la superficie terrestre al objeto y se considera que la dirección positiva es hacia arriba. En otras palabras, lo que se supone aquí es que la distancias que recorre el objeto es pequeña en comparación con el radio R de la Tierra; dicho de otra manera, la distancia y del centro de la Tierra al objeto es aproximadamente igual a R. Si, por otro lado, la distancia y a un objeto como un cohete o una sonda espacial es grande en comparación con R, se puede combinar la segunda ley del movimiento de Newton con la ley de la gravitación universal (también de Newton), para deducir una ecuación diferencial en la variable y. Supongamos que se dispara un cohete en dirección vertical desde la superficie terrestre (Fig. 5.37). Si la dirección positiva es hacia arriba y no se toma en cuenta la resistencia del aire, la ecuación diferencial del movimiento después de quemar el combustible, es md2y=-@?! dt2 Y2 Osea FIGURA 5.37 62y= -k$ dt2 w 240 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR donde k es una constante de proporcionalidad, y es la distancia del centro de la Tierra al cohete, Mes la masa de la Tierra y m es la masa del cohete. Para calcular la constante k aprovechamos que cuando y = R, kMm/R2 = mg, o bien, k = g$IM. Entonces, la última de las ecuaciones (12) se transforma en (13) Velocidad de escape Como u = dyldt es la velocidad, podemos expresar la aceleración del cohete de los párrafos anteriores en la forma d2y dv dv dy dv dt2=--&=&~=v&. Por lo tanto, la ecuación (13) se transforma en una ecuación de primer orden en w; esto es, dv R2 (14) udy= -g7’ Esta última ecuación se puede resolver por separación de variables. A partir de I v dv = -gR2 yw2 dy obtenemos I v2 R2 ,=gY+c- (1% Si suponemos que la velocidad del cohete es v = UO cuando se acaba el combustible y que y c- R en ese momento, podemos aproximar el valor de c. Con la ecuación (15) obtenemos c = -gR + wa2/2. Al sustituir ese valor de nuevo en esa ecuación y multiplicar por dos la ecuación resultante, se obtiene v2 = 2g$ - 2gR + vo2. (16) El lector podrá objetar que no hemos resuelto la ecuación diferencial original (13) en función de y. En realidad, la solución particular (16) de la ecuación (14) suministra bastante información. Es la solución que se puede emplear para determinar la velocidad mínima (llamada velocidad de escupe), necesaria para que un cohete salga de la atracción gravitatoria terrestre. Como hemos recorrido el tramo más diñcil para llegar a (16), dejaremos la determinación real de la velocidad de escape de la Tierra como ejercicio. Véase el problema 14 de los ejercicios 5.3. n En los problemas 1 a 4, cada ecuación diferencial es un modelo de un sistema no amortiguado de resorte y masa, en que la fuerza de restitución, F(x) en (1) es no lineal. En cada problema %cción 5.3 Ecuaciones no lineales 241 emplee un programa para resolver ecuaciones para obtener las curvas de solución que satisfagan las condiciones iniciales dadas. Si las soluciones son periódicas, utilice la curva de solución para estimar el periodo T de las oscilaciones. 1 d2X+X3=() ’ dt2 x(O) = 1, x’(O) = 1; x(O) = $x’(O) = -1 2 d2x + 4x - 16x3 = 0 ’ dt2 x(O) = 1, x’(O) = 1; x(O) = -2, x’(O) = 2 3 dz,+2x-x2=0 - dt2 x(O) = 1, x’(O) = 1; x(O) = :,x’(o) = -1 4 d2x + ’ dt2 =0 xeo.ol” x(O) = 1, x’(O) = 1; x(O) = 3, x’(O) = -1 5. Suponga que en el problema 3 la masa se suelta de una posición inicial x(O) = 1, con una velocidad inicial x’(O) = XI. Use un programa para resolver ecuaciones para estimar el valor mínimo de 1x11 en que el movimiento de la masa es aperiódico. 6. En el problema 3 suponga que la masa parte de una posición inicial x(O) = XO, con una velocidad inicial x’(O) = 1. Use un programa a fm de estimar un intervalo, a I xo 5 b, para el cual el movimiento sea oscilatorio. 7. Calcule una linealización de la ecuación diferencial del problema 4. 8. El siguiente modelo es el de un sistema de resorte y masa no amortiguado no lineal: Use un programa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a fin de describir la naturaleza de las oscilaciones del sistema que corresponden a las condiciones iniciales siguientes: x(O) = l,x’(O) = 1; x(O) = -2, x’(O) = 0.5; x(O) = di, x’(O) = 1; x(O) = 2,x’(O) = 0.5; x(O) = -2,x’(O) = 0; x(O) = - ti,xl(O) = -1. En los problemas 9 y 10, la ecuación diferencial respectiva es el modelo de un sistema de resorte y masa, amortiguado y no lineal. a) Prediga el comportamiento de cada sistema cuando t + m. b) Use un programa en cada ecuación a fin de obtener las curvas de solución que satisfagan las condiciones iniciales dadas. 9 d23C+-+X+x3=0 l dt2 dt x(O) = -3, x’(O) = 4; x(O) = 0, x’(O) = -8 242 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 10 dlu+&+x-x3=0 ’ dt2 dt x(O) = 0, x’(O) = ;; x(O) = -1, X’(O) = 3 ll. El modelo mx” + kx + ktx3 = FO cos wt de un sistema de resorte y masa, no amortiguado y periódicamente forzado, se llama ecuación diferencial de Duffhg. Se tiene el problema de valor inicial x” + x + klx3 = 5 cos t, x(O) = 1, x’(O) = 0. Con un programa investigue el comportamiento del sistema con los valores de kt > 0 entre kt = 0.01 y kt = 100. Escriba sus conclusiones. 12. a) En el problema ll determine los valores de kt < 0 para los cuales el sistema sea oscilatorio. b) Para el problema de valor inicial x”+x+klx3=cos% 2 ’ x(O) = 0, x’(O) = 0. Determine los valores de kt < 0 para los cuales el sistema es oscilatorio. 13. El modelo del péndulo libre amortiguado no lineal es Use un programa para investigar si el movimiento en los dos casos cuando X2 - w2 > 0 y X2 - w2 < 0 corresponde, respectivamente, a los casos sobreamortiguado y subamortiguado descritos en la sección 5.1, para sistemas de resorte y masa. Escoja las condiciones iniciales y los valores de X y w adecuados. 14. a) Con la ecuación (16) demuestre que la velocidad de escape del cohete es 210 = m. [Sugerencia: haga y + 00 en (16) y suponga que v > 0 para todo tiempo t.] b) El resultado de la parte a) es válido para cualquier planeta del Sistema Solar. Use los valores g = 32 fvs y R = 4000 mi para demostrar que la velocidad de escape en la Tierra es, aproximadamente, va = 25,000 mik. c ) Calcule la velocidad de escape en la Luna, si allí la aceleración de la gravedad es 0.165g y R= lOSOmi. 15. En un ejercicio naval, un submarino S2 persigue a un barco St (Fig. 5.38). El barco St comienza en el punto (0,O) en el momento t = 0 y sigue un rumbo recto (por el eje y) a la velocidad constante VI. El submarino S2 mantiene el contacto visual con SI, lo cual se indica mediante la línea punteada L y al mismo tiempo viaja a velocidad constante, 212, siguiendo una curva C. Suponga que & comienza en el punto (u, 0), a ? 0, cuando t = 0 y L es tangente a C. a) Determine un modelo matemático que describa la curva C. [Sugerencia: 2 = $2, donde s es la longitud del arco medido sobre C.] b) Calcule una solución explícita de la ecuación diferencial. Por comodidad, defina r = v,/v*. sección FIGURA 5.38 5.3 Ecuaciones no lineales 243 FIGURA 5.39 c) Examine los casos r > 1, r < 1 y r = 1 y determine si las trayectorias de St y S2 se intersectan alguna vez. 16. En otras maniobras navales, un destructor St persigue a un submarino &. Considere que SI, cuando está en (9,O) del eje X, detecta a SZ, que está en (0, 0), y que al mismo tiempo Sz descubre a St. El capitán del destructor St supone que el submarino intentara de inmediato una acción evasiva y que su nuevo curso probable será la recta indicada en la figura 5.39. Cuando SI está en (3, 0), cambia su curso en línea recta hacia el origen para seguir una curva de persecución C. Suponga que la velocidad del destructor es constante de 30 mikr, y que la del submarino, como está sumergido, es de 15 mi/h, constante también. a) Explique por qué el capitán espera que St llegue a (3, 0) para ordenar el cambio de rumbo hacia la curva C. b) Use coordenadas polares y deduzca una ecuación, r =f(t9), de C. c) Explique por qué el tiempo en el cual el destructor interce ta al submarino, contado a partir de la detección inicial, debe ser menor de (1 + e2” P 3)/5. Problemas para discusión 1 7 . a) Se tiene el péndulo no lineal cuyas oscilaciones están definidas por (6). Use un programa para resolver ecuaciones ordinarias como auxiliar para determinar si un péndulo de longitud 1 oscilará con mayor rapidez en la superficie terrestre o en la superficie lunar. Utilice las mismas condiciones iniciales pero selecciónelas para que el péndulo realmente oscile. b) ¿Cuál de los péndulos de la parte a) tiene mayor amplitud? c) ¿Las conclusiones de las partes a) y b) cambian cuando se usa el modelo lineal (7)? 18. Considere el problema de valor inicial 2 $-j + sen 8 = 0, e(o) = ;, W(O) = - ; del péndulo no lineal. Como no podemos resolver la ecuación diferencial, resulta imposible obtener una solución explícita de este problema. Pero, supóngase que se desea determinar el primer momento, tl > 0, en que el péndulo, que parte de su posición inicial en el lado 244 CAF’íTUl.0 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR derecho, llega a la posición OP en la figura 5.34; esto es, calcule la primera raíz positiva de e(t) = 0. En este problema y en el siguiente examinaremos varios modos de proseguir. a) Estime tt resolviendo el problema lineal d 2S/dr? + 6’ = 0, e(o) = E, e’(o) = - f. b) Use el método del ejemplo 3, sección 4.9, para hallar los primeros cuatro términos distintos de cero de una solución en forma de serie de Taylor, e(t), centrada en 0 para el problema no lineal de valor inicial. Dé los valores exactos de todos los coeficientes. c) Use los dos primeros términos de la serie de Taylor de la parte b) para aproximar tt . d) Use los tres primeros términos de la serie de Taylor en la parte b), aproxime tt . e) Con una calculadora que determine raíces (o un sistema algebraico de computación) y los primeros cuatro términos de la serie de Taylor en la parte b), aproxime, tt . Problema de programación en Mathematica 19. En la parte a) de este problema guiaremos al lector por los comandos, en Mathematica, que le permitan aproximar la raiz rl de la ecuación B(t) = 0, donde B(t) es la solución del problema no lineal de valor inicial del problema 18. El procedimiento se modifica con facilidad para aproximar cualquier raíz de e(t) = 0. (Si el lector no cuenta con Mathematica, adapte el procedimiento descrito con la sintaxis correspondiente al sistema algebraico que tenga a la mano.) a) Copie exactamente cada paso de programa (renglón) y a continuación ejecútelo en la siguiente secuencia de comandos sol = NDSolve[{y”[t] + Sin[y[t]] = = 0, y[O] == Pül.2, y’[O] == -lf3}, y, {t, 0,5}]/IFlattensolution = y[t] 1. sol Clear[y] YP-1 : = Evaluate[solution] YDI grl = Plot[y[t], {t, 0, 5}] root = FindRoot[y[t] = = 0, {t, l}] b) Modifique la sintaxis de la parte a) según sea necesario y halle las dos raíces positivas siguientes de e(t) = 0. Conteste los problemas 1 a 9 sin consultar el texto. Llene el espacio en blanco o responda “cierto” 0 ‘falso”. 1. Si un contrapeso de 10 Ib estira 2.5 ft un resorte, uno de 32 Ib lo estirará ft. 2 . El periodo del movimiento armónico simple de un contrapeso de 8 Ib, colgado de un resorte cuya constante es 6.25 lb/ft, es segundos. Sección 5.3 Ecuaciones no lineales 245 3. La ecuación diferencial de un contrapeso fijo en un resorte es x” + 16~ = 0. Si el peso se suelta cuando t = 0 desde 1 m arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad de 3 m/s hacia abajo, la amplitud de las vibraciones es metros. 4. La resonancia pura no se puede presentar cuando hay una fuerza de amortiguamiento. 5 . Cuando hay amortiguamiento, los desplazamientosdeun contrapeso en un resorte siempre tienden a cero cuando t + 00. 6. Un contrapeso colgado de un resorte cuyo movimiento esté críticamente amortiguado, posiblemente pase dos veces por la posición de equilibrio. 7. Cuando el amortiguamiento es crítico, cualquier aumento en amortiguación dará un sistema 8. Si un movimiento armónico simple se puede representar por x = (fi/2) sen(2r + 4 ), el cuando x(O) = - ; y x’(O) = 1. ángulo de fase, 4 , es 9. Un contrapeso de 16 Ib, colgado de un resorte presenta movimiento armónico simple. Si la frecuencia de las oscilaciones es 3/2rr vibraciones por segundo, la constante del resorte es igual a 1 0 . Un contrapeso de 12 Ib estira 2 ft a un resorte. A continuación, se suelta el contrapeso desde 1 punto abajo de la posición de equilibrio a una velocidad de 4 ftk hacia arriba. a) Deduzca la ecuación que describe al movimiento armónico simple originado. b) ¿Cuáles son la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento? c) ¿En qué momento el contrapeso regresa al punto de partida? d) ¿En qué momento el contrapeso pasa por la posición de equilibrio al ir hacia arriba? Responda la misma pregunta cuando va hacia abajo. e) ¿Cuál es la velocidad del contrapeso cuando t = 3rr/l6 s? f) ¿En qué momento la velocidad es cero? ll. Una fuerza de 2 Ib estira 1 ft un resorte. Una masa cuyo peso es 8 Ib se une al resorte. El sistema está sobre una mesa que le transmite una fuerza de fricción numéricamente igual a 4 por la velocidad instantánea. Al empezar, el contrapeso está desplazado a 4 in arriba de la posición de equilibrio y parte del reposo. Deduzca la ecuación del movimiento, si éste tiene lugar en una recta horizontal que se toma como eje X. 1 2 . Una pesa de 32 Ib estira 6 in un resorte. La pesa se mueve en un medio que desarrolla una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a ,B veces la velocidad instantánea. Determine los valores de ,0 para los cuales el sistema desarrolla movimiento oscilatorio. 1 3 . Un resorte, cuya constante es k = 2, está suspendido en un líquido que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 4 veces la velocidad instantánea. Si se cuelga una masa m del resorte, determine los valores de m para los que el movimiento resultante es no oscilatorio. 14. El movimiento vertical de un contrapeso fijo a un resorte se describe con el problema de valor inicial 2 ‘d+-+x=o, 4 dt2 dt x(O) = 4, Calcule el desplazamiento vertical máximo. x’(O) = 2. 246 CAPíTULO 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 1 5 . Una pesa de 4 Ib estira 18 in un resorte. A este sistema se aplica una fuerza periódica igual ay(t) = cos rt + sen rj, comenzando en I = 0. Sin una fuerza amortiguadora, ¿para qué valor de y el sistema se encuentra en resonancia pura? 2 16. Determine una solución particular de dx + 2X $ + w2x = A, donde A es una fuerza d? constante. 17. Una pesa de 4 Ib cuelga de un resorte cuya constante es 3 lb/ft. Todo el sistema está sumergido en un liquido que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. A partir de I = 0, se aplica al sistema una fuerza externa igual a f(t) = e-‘. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa se suelta partiendo del reposo en un punto a 2 ft abajo de la posición de equilibrio. 1 8 . a) Hay dos resortes en serie (Fig. 5.40). Sin tener en cuenta la masa de cada uno, demuestre que la constante efectiva de resorte R esta definida por lk = l/kt + llkz. b) Un contrapeso de W Ib estira f ft un resorte y t fi a otro. Ambos se fijan como en la figura 5.40 y se cuelga de ellos la pesa W. Suponga que el movimiento es libre y que no hay fuerza amortiguadora presente. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa parte de un punto a 1 ft abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad de % ft/s hacia abajo. c) Demuestre que la velocidad máxima del contrapeso es f m. k? FIGURA 5.40 19. Un circuito en serie contiene una inductancia L = 1 h, una capacitancia C = lOA f y una fuerza electromotriz de E(t) = 100 sen 50t V. Al principio, la carga q y la corriente i son cero.. a) Deduzca la ecuación que describe la carga en cualquier momento. b) Deduzca la ecuacibn que describe la corriente en cualquier momento. c) Calcule los momentos en que la carga del capacitar es cero. 20. Demuestre que la corriente i(t) en un circuito en serie LRC satisface la ecuación diferencial L $ + R 2 + i i = E’(j), en que E’(t) representa la derivada de E(t). 21. Se tiene el problema de valor en la frontera y” + Ay = 0, Y(O) = Ycw, y’(O) = y’(27r). Demuestre que, excepto cuando X = 0, hay dos funciones propias que corresponden a cada valor propio. SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES 6.1 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 6.2 Soluciones en tomo a puntos ordinarios 6.3 Soluciones en tomo a puntos singulares 6.4 Dos ecuaciones especiales Ejercicios de repaso Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. La única excepción fue la ecuación de Cauchy-Euler. En las aplicaciones se observa que las ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes variables tienen la misma importancia, si no es que más, que las de coeficientes constantes. Como mencionamos en la introducción a la sección 4.7, una ecuación lineal sencilla de segundo orden con coeficientes variables, como es y” + xy = 0, no tiene soluciones elementales. Podemos encontrar dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación pero, según veremos en las secciones 6.2 y 6.4, estas soluciones están representadas por series infinitas. 247 248 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES REPASO DE LAS SERIES DE POTENCIAS; SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS n n Series de potencias n Radio de convergencia n Intervalo de convergencia Analiticidad de las soluciones en un punto n Aritmética de las series de potencias w Solución en serie de potencias de una ecuación diferencial. Repaso de las series de potencias No obstante lo que describe la sección 4.7, la mayor parte de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables no se puede resolver en términos de funciones elementales. Una técnica normal para resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes variables, es tratar de encontrar una solución en forma de serie infinita. Con frecuencia se puede expresar la solución en forma de una serie de potencias; razón por la cual es adecuado citar una lista de algunas de sus propiedades más importantes. Para un repaso detallado del concepto de series infinitas, consúltese un libro de cálculo infinitesimal. n Definición de una serie de potencias Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma X;f= 0 c,(x - a)“. También, se dice que esa serie es una serie de poten- (-l)“+ ’ cias centrada en a; por ejemplo, IX;= 1 ~ xn es una serie de potencias en x centrada Tl* en cero. w Convergencia Dado un valor de X, una serie de potencias es una serie de constantes. Si la serie equivale a una constante real finita para la x dada, se dice que la serie converge en x. Si no converge en x, se dice que diverge en x. w Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie. n Radio de convergencia Todo intervalo de convergencia posee un radio de convergencia, R. Para una serie de potencias de la forma XT=0 c,,(x - a)” sólo hay tres posibilidades: i) La serie sólo converge en su centro a. En este caso, R = 0. ii) La serie converge para toda x que satisfaga Ix - al < R, donde R > 0. La serie diverge para Ix - al > R. iii) La serie converge para toda x. En este caso, R = OO. w Convergencia en un extremo Recuérdese que la desigualdad de valor absoluto Ix - al < R equivale a -R < x - a < R o bien a a - R < x < a + R. Si una serie de potencias converge para Ix - al < R, donde R > 0, puede converger o no en los extremos del intervalo a - R < x < a + R. La figura 6.1 muestra cuatro intervalos de convergencia posibles. [u-R,u+R] La serie converge en ambos extremos b) (n-R,a+R) La serie diverge en ambos extremos. C) La - R, a + R) La serie converge en a - R y diverge en a + R. FIGURA 6.1 d) Ca - R, a + RI La serie diverge en a - R y converge en a + R. Sección 6.1 Reposo de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 249 W Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente; en otras palabras, cuando x está en el intervalo de convergencia, la serie de valores absolutos Zy= 0 Icnll(x - u)“l converge. n Determinación del intervalo de convergencia Muchas veces se puede determinar la convergencia de una serie de potencias mediante el criterio de Za razón:* lím c,+1 Ix -aI = L. n-m I c, / La serie converge absolutamente para aquellos valores de x para los que L < 1. Con esta prueba vemos que el radio de convergencia es R = “-+lím rn l -5 l Cn+l n siempre y cuando exista el límite. Una serie de potencias define a una función Para una función dada se puede escribir f(x) = z. Cr& - aln = co + Cl(X - a) + cz(x - a)” + c3(x - u)’ + * * * cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Si ésta tiene un radio de convergencia R > 0, f es continua, diferenciable e integrable en el intervalo (u - R, u + R). Además, f ‘(x) e I f(x) dx se pueden determinar por derivación e integración término a término: f’(x) = Cl + 2c,(x - u) + 3c3(x - a)’ + * * * = 2 nc,(x - uy-1 f(x) dx = C + cO@ - u) + cl v + c2 (-r;-i + - . . = C + 2 c, ‘“--:r”. n=O Aunque el radio de convergencia de ambas series es R, el intervalo de convergencia puede ser distinto de la serie original, ya que la convergencia en un extremo se puede perder por diferenciación, o ganar por integración. Si ZZY= 0 c,(x - u)” = 0, R > 0, para todo número real n Series que son idénticas a cero x en el intervalo de convergencia, entonces c,, = 0 para toda n. W Analiticidad en un punto En cálculo infinitesimal se demuestra que funciones como ex, cos x y ln(x - 1) se pueden representar por medio de una serie de potencias desarrolladas en series de Maclaurin o de Taylor. Se dice que una tünciónfes analítica en el punto u si se puede representar por una serie de potencias en x - u, con radio de convergencia positivo. La noción de analiticidad en un punto será de importancia en las secciones 6.2 y 6.3. W Aritmética de las series de potencias Las series de potencias se pueden manipular mediante las operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos son parecidos al modo en que se suman, multiplican o dividen dos polinomios; esto es, se suman los coeficientes de las potencias iguales de x, se aplica la propiedad distributiva, se agrupan los términos semejantes y es válido llevar a cabo la división larga; por *Tambith llamado criterio del cociente. 250 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES ejemplo, si las series de potenciasf(x) cuando 1x1 < R, entonces = Z~=O c,,x” y g(x) = IZy= 0 b,$ convergen ambas f(x) + g(x) = (co + b,) + (Cl + bl)X + (cz + b2)X2 + *** f(x)&) = cobo + (cl41 + c1bo)x + (Cr& + Clbl + c,¿Qx* + ’ **. Intervalo de convergencia - (x-3)” Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias C ~ n=l 2% ’ SOLUCIÓN convergencia La serie de potencias está centrada en 3. De acuerdo con (l), el radio de es R = lím2”‘Yn + 1) = 2 n-+m 2% ’ La serie converge absolutamente cuando Ix - 31 < 2, o 1 < x < 5. En el extremo izquierdo, x = 1, vemos que la serie de constantes Zr= r ((-l>“/n) es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alterna. En el extremo derecho, x = 5, la serie es la serie armónica z= r (l/n), que es divergente. Así, el intervalo de convergencia es [ 1,5). n Multiplicación de dos series de potencias Encuentre los cuatro primeros términos de una serie de potencias en x para $ cos x. SOLUCIÓN En el curso de cálculo se ve que las series de Maclaurin para ex y cos x son, respectivamente, x2 x3 x4 e*=l+x+2+6+%+*.. y x2 x4 cosx=l-~+~--. Al multiplicar y agrupar los términos semejantes se obtiene x3 x4 “l+x-3-6+..., En el ejemplo 2, el intervalo de convergencia de las series de Maclaurin de d; y cos x es (-co, CO); en consecuencia, el intervalo de convergencia para ex cos x expresado como serie de potencias también es (-, -). sección 6.1 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 251 División entre una serie de potencias Halle los cuatro primeros términos de sec x como serie de potencias en x. SOLUCIÓN Una opción es emplear la serie de Maclaurin para cos x citada en el ejemplo 2, para después usar la división larga. Como sec x = l/cos x, entonces x2 5x4 61x6 1+2+24+720+ 2 x4 + . . . cosx=l-2+~- .* 0 x2 x4 x6+... l-y+ ii- 720 x2-- x4 x2 z+ x4 x6 Ei-** X6 . . --. 4 8 -ir-- 4+ 5x4 7x6+... ? % i - 360 5x4 6 k+... %- 4 8 61xh --. *. 720 Por consiguiente, secx=l+z+-+61X6+...* 2 24 720 (2) El intervalo de convergencia de esta serie es (-7r/2, 7r/2). (¿Por qué?) n Es evidente que los procedimientos aplicados en los ejemplos 2 y 3 son tediosos cuando se hacen a mano. Los problemas de este tipo se pueden resolver con un mínimo de esfuerzo mediante un paquete computacional con capacidades algebraicas, como Mathematica o Maple. En el primero, se puede evitar la división del ejemplo 3 por medio de la instrucción Series[Sec[x], {x, 0, S}]. Véanse los problemas ll a 14 de los ejercicios 6.1. En lo que resta de esta sección y capítulo, es importante que el lector se adiestre en la simplificación de la suma de dos o más series de potencias, cada una expresada en notación de sumatoria (sigma) formando una expresión con una sola X. Para ello, a menudo se requiere un c,orrimiento de los índices de suma. Suma de dos series de potencias Exprese Cy; ’ .2nc,,x”-’ SOLUCIÓN + Z;= 0 6c,$+’ como una sola serie. Para sumar la serie se necesita que ambos índices de las sumatorias comiencen en el mismo número y que las potencias de x en cada serie estén “enfasadas”; esto es, 252 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES ’ que si una serie comienza con un múltiplo de, digamos x a la primera potencia, la otra serie empiece con la misma potencia. Si escribimos la serie la serie comienza con x comienza con x paran=0 paran=2 1 1 2 2nc,x”-’ f i 6c,x”+l= n=O n=l 2 - 1 . c,x” + 2 2nc,,~“-~ n=2 + i 6c,x”+l, n=O / (3) las dos series del lado izquierdo comienzan con xr. Para obtener el mismo índice de suma nos basamos en los exponentes de x; se define k = n - 1 en la primera serie y k = n + 1 en la segunda. Así, el lado derecho de la ecuación (3) se transforma en 2Cl + 2 2(/¿ + 1) Ck+lXk + i 6Ck-,Xk. k=l (4) k=l Recuérdese que el índice de suma es una variable ‘muda”. El hecho de que k = n - 1 en un caso y k = TI + 1 en el otro no nos debe confundir si tenemos en mente que lo importante es el valor del índice de la sumatoria. En ambos casos k adopta los mismos valores sucesivos, _ 1,2,3,. . . cuando n = 2,3,4, . . . (para k = n - 1) y n = 0, 1,2, . . . (para k = n + 1). Con lo anterior ya podemos sumar las series en (4) término a término: . -: 2 n=l 212C,X”-1 + 5 6c,x”+l = n=O 2Cl +2 [2(k + l)ck+l +.6Ck-1]Xk, (5) k=l Si el lector no se convenció, desarrolle algunos términos de ambos lados de (5). n Solución en forma de serie de potencias $e una ecuación diferencial En la sección 1.1 establecimos que la función y = e’ es una solución explícita de la ecuación, diferencial lineal de primer orden -& - 2xy = 0. (6) Si reemplazamos x con x2 en la serie de Maclaurin para ex, podemos escribir la solución de (6) en la forma y = Z= 0 (~~“ln!). Esta serie converge para todos los valores reales de X. En otras palabras, cuando se conoce la solución por adelantado, es posible hallar una solución en forma de una serie para la ecuación diferencial. A continuación nos proponemos obtener una solución en forma de serie de potencias de la ecuación (6) en forma directa; el método de ataque se parece a la técnica de los coeficientes indeterminados. . Empleo de una serie de potencias para resolver una ecuación diferencial Determine una solución de dy~ 2xy = 0 como una serie de potencias en X. I . Sección SOLUCIÓN 6.1 253 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias Si suponemos que la solución de la ecuación dada existe y tiene la forma (7) y = 2 CJ”, n=O nos preguntaremos: ¿se pueden calcular los coeficientes, c,, para los cuales la serie de potencias converge hacia una función que satisfaga a (6)? Una derivación formal* término a término de la ecuación (7) da como resultado by, Cm nc,xnml = 2 nc,x”-‘. dx n=O Obsérvese que, dado que el primer término de la primera serie (que corresponde a n = 0) es cero, la suma comienza con n = 1. Con la ecuación anterior y la solución propuesta (7) se llega a 2 - 2xy = i nc,.F1 - i 2c,x”+l. n=O n=l (8) Si queremos sumar las dos series en (8) escribimos 4 z - 2xy = 1 *clxo + i nc.5’ - i 2c,x”+l n=O n=2 (9) y procedemos igual que en el ejemplo 4, con k = n - 1 en la primera serie y R = n + 1 en la segunda. El lado derecho de (9) se transforma en Cl + 2 (k + l)Q+rXk - 2 2Q-IXk. k=l k=l Después de sumar término a término las series, se sigue que 2 - by = cl + k=l 2 [(k + l)ck+l,- 2Ck-l]Xk = 0. Por lo tanto, para que (10) sea idéntica a 0 es necesario que los coeficientes de las potencias iguales de x sean cero; esto es, que Cl = 0 Y (k + 1)cktl - 2~;-~ = 0, k = 1,2, 3, . . . . (11) La ecuación (ll) es una relación de recurrencia o relación recursiva que determina las ck. Dado que k + 1 # 0 para todos los valores indicados de k, se puede expresar (ll) en la forma , cktl - 2ck-1 - k + 1 * Por iteración, esta fórmula genera los siguientes resultados: k = 1, 2 c2=-co=co 2 *Hasta ahora no conocemos el intervalo de convergencia. 0.3 254 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES k = 2, cg=G1=o 3 k = 3, c4=4c2=p=5jco k = 4, 2 cg=-c3=0 5 k = 5, G=~c4=~co=~co k = 6, 2 CI = -c5 = 0 7 k = 7, 2 1 2 c8 = 2 cc6 1 1 1 1 1 = GCo = $0 y así sucesivamente; por lo tanto, a partir de la hipótesis original, ecuación (7), llegamos a r=C C”X” = co + cg + c2x2 + c3x3 + cqx4 + qx5 + c& + * * * n=O =c0+0+c0x2+0+&x4+0+&x6+0+. . . = co 1 1 1 1+X2+2!X4+3!X6+... 1 =c,;g. (13) En vista de que la iteración de (12) dejó a CO totalmente indeterminado, hemos hallado la n solución general de (6). La ecuación diferencial del ejemplo 5, al igual que la del siguiente, se puede resolver con facilidad con métodos ya conocidos. Estos dos ejemplos sirven de antecedentes de las técnicas que describiremos en las secciones 6.2 y 6.3. Empleo de una serie de potencias para resolver ,una ecuación diferencial Determine en forma de serie de potencias en x las soluciones de 4~” + y = 0. SOLUCIÓN Si y = c;f= 0 CS”, ya se vio que y’ = Zr= t nc,Xn-‘, y de ello se desprende que y” = 2 n(n - l)c,x”-2 = 2 n(n - l)&P. ii=1 n=2 Al sustituir las expresiones dey” y dey en la ecuación diferencial, se tiene: 4y” + y = i 4n(n - I)c,.v-2 + 2 c,x”. n=2 n=O ambas series comienzan con x” Sección 6.1 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 255 Con la sustitución k = n - 2 en la primera serie y k = n en la segunda (despues de usar n = k + 2 y n = k) obtenemos: 4,” + y = i 4(k + 2)(k + l)Ck+*Xk + i C& k=O k-O = g k=O [4(k + 2)(k + l)ck+z + Ck]X’ = 0. De acuerdo con esta última identidad, vemos que cuando k = 0, 1, 2, . . . 4(k + 2)(k + l)ck+2 + ck = 0 o sea ck+Z = 4(k + iF(k + l). La última fórmula es de tipo iterativo y da -co c2=4’2’= -2Zco2! -cl c3=4= - J - 22c1y -c2 co c4=4’4’3=24.4! Cl ‘5 = 4:,“: 4 = 24 . 5! -c4 c6=4.6.5= - -6 - zt”6! -- c7=4’7’6= 26:‘, ! etc. Con esta iteración CO y CI son arbitrarios. Según la hipótesis original, y = co + ClX + c2x2 + c3x3 + c4x4 + cgx5 + c& + = co + ClX - 22c2! x2 -x3 + - 22:;! -x4 24?4! + c7x7 + * * * -x’ $5! - x6 - - 26T6! 2& x7 +* ’ - 0 es una solución general. Cuando la serie se expresa en notación de sumatoria, YlW = co5&g (2r)‘” Y Y2W = 2cI~~ (;)““, 256 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES se puede aplicar el criterio de la razón para demostrar que ambas Series convergen para toda x. El lector también puede reconocer que la solución está formada por las series de Maclaurin para y1 (x) = co cos(x/2) y yz(x) = 2~1 sen(x/2). n Determine el intervalo de convergencia de cada serie de potencias en los problemas 1 a 10. 1. a (-l)“xn n=~ n 3. ,,xk 5. i (x - 3)” n=l n3 4. go$xk 2 (‘+ 7)” 6. n=l ‘* 2 (k G : 32 (’ -4)k 9. 2 k!2kxk k=O En los problemas ll a 14 calcule los cuatro primeros términos de la serie de potencias en x para la función dada.* Haga los cálculos a mano o con un paquete computacional con capacidades algebraicas. ll. ex sen x 13. sen x cos x 12. e-‘cosx 14. ex ln(1 - x) En los problemas 15 a 24 resuelva la ecuación diferencial respectiva como en los capítulos anteriores, y compare los resultados con las soluciones obtenidas suponiendo una serie de potencias y = Z= 0 cti. 15. y’ + y = 0 l’.y’-x*y=o 19. (1 - x)y’ - y = 0 21. y” + y = 0 23. y” = y’ 16. y ’ = 2y 18.y’+x3y=o 20. (1 + x)y’ - 2y = 0 22. y” - y = 0 24. 2y” + y’ = 0 25. La función y = Jo(x) está definida por la serie de potencias que converge para toda x. Demuestre que Jo(x) es una solución particular de la ecuación diferencial xy” + y’ + xy = 0. *Suponga que la serie se centra en a = 0. Sección 6.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios 257 Problema paro discusión 26. Suponga que la serie de potencias XT= 0 c& - 4)k converge en -2 y diverge en 13. Investigue si la serie converge en 10, 7, -7 y ll. Las respuestas posibles son sí, no y podría. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS ORDINARIOS w Puntos ordinarios de una ecuación diferencial n Puntos singulares de una ecuación dìferencial w Existencia de una solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario w Determinación de una solución en forma de serie de potencias Supongamos que la ecuación diferencial lineal de segundo orden a&)y” + q(x)y’ + ao(x)y = 0 (1) se expresa en la forma reducida y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0 (2) dividiéndola entre el primer coeficiente, a&). Damos la siguiente definición: Puntos ordinarios 1 Todo valor finito de x es un punto ordinario dey” + (8)~ + (sen x)~ = 0. En particular vemos que x = 0 es un punto ordinario porque e” y sen x son analfticas en este punto; o sea, ambas funciones se pueden representar en forma de series de potencias centradas en 0. Recuérdese que, según el cálculo infinitesimal, x2 eX=1+;+2!+... x3 xs senx=x-jj+g-*** y convergen para todos los valores finitos de x. Puntos ordinarios y puntos m singulares a) La ecuación diferencial xy” + (sen x)y = 0 tiene un punto ordinario en x = 0, puesto que Q(x) = (sen x)/x se puede desarrollar en la serie de potencias Q(+&+$$+... . . que converge para todos los valores finitos de x. . 258 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES b) La ecuación diferencial y” + (In x)y = 0 tiene un punto singular en x = 0 porque Q(X) = In x no se puede desarrollar como serie de potencias en x centrada en ese punto. n Coeficientes polinomiales Nos ocuparemos principalmente del caso en que la ecua- ción (1) tiene coeficientespolinomiales. Como consecuencia de la definición 6.1, cuando az(x), al(x) y ao son polinomios sin factores comunes, un punto x = xg es i) Un punto ordinario si a&) f 0 ii) Un punto singular si a&) = 0. Puntos singulares y puntos o bien ordinarios a) L20s puntos singulares de la ecuación (x2 - 1)~” + 2xy’ f 6y = 0 son las soluciones de x - 1 = 0; o sea, x = kl. Todos los demás valores finitos de x son puntos ordinarios. b) Los puntos singulares no necesitan ser números reales. La ecuación (x2 + 1)~” + xy’ y = 0 tiene puntos singulares en las soluciones de x2 + 1 = 0, que son x = +i. Todos los demás valores finitos de x, sean reales o complejos, son puntos ordinarios. c) La ecuación de Cauchy-Euler, ux2y” + bxy’ + cy = 0, donde a, b y c son constantes, tiene un punto singular en x = 0. Todos los demás valores finitos de x, sean reales o complejos, son puntos ordinarios. 1 n Para nuestros fines, los puntos ordinarios y los puntos singulares siempre serAn finitos. Es posible que una ecuación diferencial tenga, por ejemplo, un punto singular en el infinito. (Veanse las observaciones en la página 277.) Enunciaremos, sin demostrarlo, el siguiente teorema sobre la existencia de soluciones en forma de series de potencias. Se dice que una solución de una ecuación diferencial en la forma de (3) es una solución en torno al punto ordinario xg. La distancia R que menciona el teorema 6.1 es el valor mínimo del radio de convergencia. Una ecuación diferencial puede tener un punto singular finito y sin embargo una solución puede ser válida para toda x; por ejemplo, la ecuación diferencial puede tener una solución polinomial. Para resolver una ecuación lineal de segundo orden, como la ecuación (l), se calculan dos conjuntos de coeficientes c,, tales que se construyan dos series de potencias distintas, yl(x) y Sección Soluciones en torno a puntos ordinarios 6.2 259 yz(x), desarrolladas ambas en tomo al mismo punto ordinario xa. El procedimiento que usamos para resolver una ecuación de segundo orden es el mismo que el del’ejemplo 6, sección 6.1; esto es, se supone una solución y = Zn= 0 c,(x - x#’ y se procede a determinar las c,,. La solución general de la ecuación diferencial es y = Cly, + C&x). De hecho, se puede demostrar que Ct = co y C2 = cl, donde co y ct son arbitrarias. Para simplificar, supondremos que un punto ordinario está localizado en x = 0 en caso de que no lo estuviera, siempre es posible usar la sustitución t = x - xo para trasladar el valor x = xo a t = 0. Solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario - Resuelva y” + xy = 0. SOLUCIÓN x = 0 es un punto ordinario de la ecuación. Puesto que no hay puntos singulares finitos, el teorema 6.1 garantiza que hay dos soluciones en forma de series de potencias centradas en 0, convergentes para 1x1 < 00. Al sustituir, y = i CJ” y y” = 2 n(n - l)c,.X-2 n=2 n=O en la ecuación diferencial, se obtiene = 2 * lc& + i n(n - l)c,x”-2 + i c,X”+l. n=3 n=O ambas series comienzan con x En la primera serie k = n - 2, y en la segunda k = n + 1: y” + xy = 2c2 + i (k + 2)(k + l)Q+2Xk + 2 C/&xk k=l = 2c2 k=l + 2 [(k + 2)(k + l)ck+2 + &.&tk = 0. k=l Se debe cumplir que 2~2 = 0, lo cual obliga a c2 = 0 y (k f 2)(k + l)ck+2 + ck-1 = 0. La última expresión equivale a ckt2 = - (k + ck-1 2)(k + 1), k = 1,293,. . . . 260 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES La iteración da lugar a CO c3=-3 1 c3 c6=-6’5=6.5.3.2co 1 c4 c7= -7=7.6.4.3c3 c6 1 ‘+= -fi= -~+8.6,.5.3.2~~ ClO zz - & = - 1 10+9.7*6*4.3” CE --= cll = ll. 10 0 etc. Se ve que CO y CI son arbitrarias. Entonces y = cO + clx + c2x2 + c3x3 + + cqx9 + Cl(&‘O + c4x4 + c5x5 + c6x6 + c,x’ + c& CllXll + - - * 1 = co + ClX + 0 - &cox3 - -&,x’ + 0 + 6 . 5 . 3 .2 ‘Ox6 +7.6.4.3c’x7+o- 19.&(j.5.3.2c”9- 1 10.9. ;. 6 . 4 . 3 ““’ + ’ + ’ ’ ’ = co . . .2x6-9 S . . 615 . 3 . 1-&x3+6 . 513 1 1 1 n-4x4+7.664433’10.9.7.6.4.3 1 xlo+. . . n Aunque está clara la tendencia o pauta de los coeficientes en el ejemplo 4, a veces es útil expresar las soluciones en notación sigma (sumatoria). Al aplicar las propiedades del factorial se puede escribir 1 y2(x) = c1 x + i (- ljkL2 ’ 5 * 8 * ’ ’ W - l)] x3k+l 1 yl(x)=co [ Y l+~(-1)k[1’4’7...(3k-2)]x3k (3k)! k=l k=l (3k + l)! De este modo se puede emplear el criterio de la razón para demostrar que cada serie converge cuando 1x1 -C 00. Sección 6.2 Soluciones en torno CI puntos ordinarios 261 La ecuación diferencial del ejemplo 4 se llama ecuación de Airy y aparece al estudiar la difracción de la luz, la difracción de las ondas de radio en torno a la superficie de la Tierra, en aerodinámica y en el pandeo de una columna vertical uniforme que se flexiona bajo su propio peso. Hay otras formas comunes de esta ecuación, que sony” - xy= 0 y y” + o’xy = 0. (Véase el problema 43, en los ejercicios 6.2, con una aplicación de esta ecuación.) Solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario Resuelva (x* + 1 ly” + xy’ - y = 0. SOLUCIÓN En virtud de que los puntos singulares son x = fi, una solución en forma de serie de potencias converge, cuando menos, en 1x1 < l.* La hipótesis y = Z;= 0 c,$’ nos conduce a (x” + 1) Z*n(n - l)c,.F + x c I1c”Y-l - r: c,x” n=l =iy - 1) n=O c,x” + i n(n - l)c,,F + i nc,x” - 2 c,x” n=l n=2 n=O = 2c2xo - coxo + 6c3x + clx - clx + i n(n - l)c,x” n=2 , 1 , k=n + i n(n - l)c,x”-2 + -$ I1C”X” - r: c,x” n=2 n=4 n=2 w-v k=n k=n-2 k=n =‘2c, - co + 6c3x + 2 [k(k - 1)~ + (k + 2)(k + l)ck+2 + kck - Q]X~ k=2 = 2c2 - co + 6c3x + 2 [(k + l)(k - l)ck + (k + 2)(k + l)ck+z]x” = 0. k=2 2c* - co = 0, Por consiguiente, c3 =0 (k + l)(k - l)ck + (k + 2)(k + l)ck+2 = 0 0 1 c* =-co, c3 = 0 2 ck+2 l - k = k+2 ck, k = 2,3,4, . . . . Al iterar la última fórmula obtenemos 1 1 c4-c2--co=-1co 4 2.4 222! *El módulo o magnitud del número complejo x = i es bl= 1. Si x = a + bi es un punto singular, entonces kl= m. 262 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES cg=--cj=o 2 5 3 3 1.3 233! ’ c6=-;c4=~&3=-c0 c7=-4c 5--0 r 7 5 3.5 1.3.5 cs=--cg=co= ---co 8 2.4.6.8 cg=--c,=o 6 9 7 3.5.7 1.3*5*7co c10= -5y8=2*4*6.8.10co= 255! etc. Por lo tanto = ClX + co Las soluciones son el polinomio y2(x) = CIX y la serie yl(x) 1 1 1*3*5x,+1*3*5*7xIo1 + 1-x* - -x4 + 1.3 -x6 - 2551 2 222! 233! 244! = co 1 + ix* [ + i (-l)"-1 1 1x1 < l * 3 * 5 &@" - 3jx2" > n=2 *’ * 1. n Relación de recurrencia de tres términos Si se propone una solución de la forma y = F= 0 cnx” para la ecuación y” - (1 + x)y = 0, -7 se obtienen c2 = ~012 y la relación de recurrencia de tres términos B+z=~~~:)~;~~, k=l,2,3 ,.... Para simplificar la iteración podemos escoger, primero, CO # 0 y CI = 0; con esto llegamos a una solución. La otra solución se obtiene al escoger después CO = 0 y CI + 0. Con la primera elección de constantes obtenemos 1 c2 = -co 2 Cl + co _ co -1 c3=--G-p 2.3 1 c2 + Cl c4=-=5?--q=z4co 3.4 Sección 6.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios c3 + cz co cs=-== 4.5 [ 1+11 = 2.3 2 263 1 $jco etc. Por lo tanto, una solución es De igual modo, si escogemos CO = 0, entonces c2 = 0 Cl + co _ Cl -1 c3=--s-p 2.3 1 c2 + Cl _ Cl _ c4=--3’4Cl 3.4 1 c3 + cz _ CS=-- 2.3:14.5=~c1 y así sucesivamente. En consecuencia, otra solución es yz(x)=q 1 1 X+$3+-x4+-x5+. 12 120 [ 1 . . . Cada serie converge para todos los valores finitos de x. n Coeficientes no polinomiales En el ejemplo que sigue veremos cómo determinar una solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario de una ecuación diferencial, cuando sus coeficientes no son polinomios. También presentaremos una aplicación de la multiplicación de dos series de potencias, que describimos en la sección 6.1. Ecuación diferencial con coeficientes no polinomiales Resuelva y” + (cos x)y = 0. SOLUCIÓN 2 x4 x6 Yaquecosx= 1 --+z-g+” ., es claro que x = 0 es un punto ordinario. Entonces, la solución propuesta y = c;f= 0 c,$’ da y” + (cosx)y = 2 n(n - 1)c,x”-2 + 1 - $ + f - . ** 2 C”X” . . n=2 ( ) n=O = (2~ + 6~3~ + 12c4x2 + 20~5~~ + * * *) ( c o + ClX + c2x2 + c3x3 + * ’ -) 264 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES La expresión correspondiente al último renglón tiene que ser idéntica a cero, de modo que se debe cumplir que 2cz + co = 0, 6~ + cl = 0, 12c~+c*-;co=o, 2oc5 + c3 - ; Cl = 0, etc. Puesto que CO y cr son arbitrarias, yl(x)=co [ 1++&4-... Y 1 yz(x)=q [ x-$3+&- 1 * ** . La ecuación diferencial no tiene puntos singulares y, por consiguiente, ambas series convergen para todos los valores finitos de X. n En los problemas 1 a 14 determine dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias de cada ecuación diferencial en torno al punto ordinario x = 0. 1. y” - xy= 0 3 . yw - 2xy’ +y = 0 5.y”+x2y’+xy=0 7 . (x - 1)y” + y’ = 0 9 . (2 - 1)y” + 4xy’ + 2y = 0 ll. (x’ + 2)y” + 3xy’ - y = 0 13. y” - (x + 1)y’ - y = 0 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. yR + x2y = 0 y” - xy’ + 2y = 0 y” + 2xy’ + 2y = 0 (x + 2)y” + xy’ - y = 0 (x” + 1)~” - 6y = 0 (x’ - 1)y” + xy’ - y = 0 yM - xy’ - (x + 2)y = 0 En los problemas 15 a 18 aplique el método de las series de potencias para resolver la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales indicadas. 15. (x - 1)~” - xy’ + y = 0, y(O) = -2, y’(O) = 6 16. (x + 1)~” - (2 - x)y’ t y = 0, y(O) = 2, y’(O) = -1 17. y” - 2xy’ + sy = 0, y(O) = 3, y’(O) = 0 18. (x” + 1)y” + 2Xy’ = 0, y(O) = 0, y’(O) = 1 En los problemas 19 a 22 aplique el procedimiento del ejemplo 7 para determinar dos soluciones en forma de series de potencias en torno al punto ordinario x = 0 de la ecuación diferencial respectiva. 19. y” + (sen zJy = 0 20. xy” + (sen x)y = 0 [Sugerencia: vea el ejemplo 2.1 21. y” + e-“v = 0 22.y”+ eXy’-y= 0 En los problemas 23 y 24 aplique el método de las series de potencias para resolver la ecuación no homogénea respectiva. 23.~“-xy= 1 24. y” - 4xy’ - 4y = ex Sección 6.3 Soluciones en torno CI puntos singulares 265 SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES Puntos singulares regulares de una ecuación diferencial W Puntos singulares irregulares de una ecuación diferencial n Existencia de una solución en forma de serie alrededor de un punto singular n Método de Frobenius n La ecuación de indices o indicativa W Raíces de la ecuación indicativa o de indices n En la sección anterior explicamos que no hay problema de tipo fundamental para determinar dos soluciones linealmente independientes y en forma de series de potencias de a&x)y” + a&)Y + U&)Y = 0 (1) en torno a un punto ordinario x = XO; sin embargo, cuando x = x. es un punto singular, no siempre es posible llegar a una solución de la forma y = Zr= 0 c,(x - ~0)“; sucede entonces que podríamos llegar a una solución en serie de potencias de la forma y = Xlf= 0 c,(x - XO)‘+‘, donde r es una constante que se debe determinar. Si r no es un entero no negativo, la última serie no es una serie de potencias. Puntos singulares regulares y puntos singulares irregulares singulares se subdividen en regulares e irregulares. Para definirlos, ponemos la ecuación (1) en su forma reducida LOS puntos y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0. Coeficientes polinomiales (2) Cuando los coeficientes de la ecuación (1) son polinomios sin factores comunes, la definición 6.2 equivale a la siguiente: Sea Uy = 0. Fórmense P(x) y Q( x ) re duciendo u,(x)/a&) y a&~)lu~(x) a sus términos más simples, respectivamente. Si el factor (x - XO) está, cuando mucho, elevado a la primera potencia en el denominador de P(x), y cuando más u la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x = xo es un punto singular regular. Clasificación de los puntos singulares Debe ser obvio que x = - 2 y x = 2 son puntos singulares de la ecuación (2 - 4)2y” + (x - 2)y’ + y = 0. 266 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES Al dividir la ecuación entre (x’ - 4)2 = (x - 2)2 (x f 2)2, hallamos p(x) = (x - 2)ix + 2y Q(x) = (x - 2j’(n + y 2)2- Ahora investigaremos P(x) y Q(x) en cada punto singular. Para que x = - 2 sea un punto singular regular, el factor x + 2 puede aparecer elevado, cuando mucho, a la primera potencia en el denominador de P(x) y, también cuando más, a la segunda potencia en el denominador de Q( X). Al examinar P(x) y Q(x) se advierte que no se cumple la primera condición y, por consiguiente, x = - 2 es un punto singular irregular, Para que x = 2 sea un punto singular regular, el factor x - 2 puede aparecer elevado, cuando más, a la primera potencia en el denominador de P(x) y, también cuando mucho, a la segunda potencia en el denominador de Q(x). Al examinar P(x) y QJx) se comprueba que n se cumplen ambas condiciones, de modo que x = 2 es un punto singular regular. Clasificación de puntas singulares x = 0 y x = -1 son puntos singulares de la ecuación diferencial x*(x + 1)2y” + (9 - 1)y’ + 2y = 0. Al examinar P(x) = x*(xx -+l 1) Q(x) =x*(x 2+ 1)2 y se ve que x = 0 es un punto singular irregular porque (x - 0) aparece elevado al cuadrado en el denominador de P(x). Pero obsérvese que x = -1 es un punto singular regular.. m Clasificación de puntas singulares 1 a) x = 1 y x = -1 son puntos singulares regulares de (1 - x2)y” - 2xy’ + 3oy = 0. b) x = 0 es un punto singular irregular de x3y” - 2xy’ + 5y = 0 porque P(x) = -$ y QW =$ c) x = 0 es un punto singular regular de xy” - 2xy’ + 5y = 0, puesto que P(x) = -2 y Q(x) = ;. n Sección 6.3 Soluciones en torno a puntck singulares 267 Obsérvese que, en la parte c) del ejemplo 3 (x - 0) y (X - O)* ni siquiera aparecen en los denominadores de P(x) y Q(x), respectivamente. Recuérdese que esos factores pueden aparecer, cuando mucho, en esa forma. Para un punto singular x = ~0, toda potencia no negativa de (X xo) menor de uno (es decir, cero) y toda potencia no negativa menor de dos (es decir, cero o uno) en los denominadores de P(x) y Q(x), respectivamente, implican que xc es un punto singular regular. También debemos recordar que los puntos singulares pueden ser números complejos. Así, x = 3i y x = - 3i son puntos singulares regulares de la ecuación (x* + 9)y” - 3xy’ + (1 - x)y = 0 porque P(x) = @ - 3;);; + 34 y Q(x) = (x - $+ 3i)’ Ecuación de Cauchy-Euler De acuerdo con lo que explicamos sobre la ecuación de Cauchy-Euler en la sección 4.7, podemos demostrar que yr = X* y y2 = x* In x son soluciones de la ecuación coy” - 3xy’ + 4y = 0 en el intervalo (0, -). Si intentáramos el procedimiento del teorema 6.1 en torno al punto singular regular x = 0 (esto es, una solución supuesta en la forma y = Zr=0 c,x”), sólo podríamos obtener la soluciónyr = x*. El hecho de no poder obtener la segunda solución no es de sorprender, porque In x no posee un desarrollo en forma de serie de Taylor en tomo a m x = 0; por lo tanto, es imposible expresar y2 = X‘ In x como serie de potencias en x. Una ecuación diferencial sin solución en forma de serie de potencias* n 1 La ecuación diferencial 6x*y” + 5xy’ + (x* - 1)y = 0 tiene un punto singular regular en x = 0, pero no tiene solución alguna que esté en forma y = CIp=o cti. Pero de acuerdo con el procedimiento que describiremos a continuación, se puede demostrar que existen dos soluciones en serie de la forma: y = 2 c,y+l/2 n=O y y=2 cJ”4/3. n=O n Método de Frobenius Para resolver una ecuación diferencial como la (1) en tomo a un punto singular regular, se aplica el siguiente teorema, debido a Georg Ferdinand Frobenius. *N. del R. C: Las series introducidas en el ejemplo 5 suelen llamarse series de potenciasfiuccionarias series de potencias enteras. y las ordinarias, 268 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES Nótense las palabras al menos al principio del teorema 6.2. Significan que, a diferencia del teorema 6.1, éste no garantiza que haya dos soluciones de la forma indicada. El método de Frobenius consiste en identificar un punto singular regular, xc, sustituir y = Cr=0 C,(X - x#+’ en la ecuación diferencial y determinar el exponente r desconocido y los coeficientes c,. Al igual que en la sección anterior para simplificar siempre supondremos, sin pérdida de generalidad, que xg = 0. Solución en serie en torno a un punto singular regular Como x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial 3xy” + y’ - y = 0, (4) Propondremos una solución del tipo y = CyP, 0 c,,x” + r. Vemos que cgy& j-TV .yl m cpn+ v y” = z. (n + r)(n + T - l)c,xn+‘-2 y y’ = c (n + r)C,X”+‘-l n=O de modo que 3xy” + y’ - y = 3 2 (n + r)(n + r - l)c,x”+‘-l n=O + 5 (n + r)c#+‘-* - i c,p+r n=O n=O = 2 (n + r)(3n + 3r - 2)c,x”+‘-l =x’ [ = y [ \ - i c,x”+’ n=O Y /\ 1 1 > r(3r - 2)cox-’ + 2 (n + r)(3n + 3r - 2)c,x”4 - 2 c,x” IL=1 n=O r(3r - 2)c0x-’ k = n - 1 k=n + 2 [(k + r + 1)(3k + 3r + l)cktl - ck]xk k=O = 0 r(3r - 2)~ = 0 y por lo anterior (k + r + 1)(3k + 3r + l)ck+l - ck = 0, k = 0, 1, 2, . . . . (5) Como no ganamos nada al escoger ca = 0, se debe cumplir que r(3r - 2) = 0 Y ck+l = tk + r + 1)<3k + 3r + 1), (6) k = o,l, 2,. . . . (7) Los dos valores de r que satisfacen la ecuación (6) son rt = f y r2 = 0 y, al sustituirlos en la ecuación (7), dan lugar a dos relaciones de recurrencia distintas: r, =2: 3 ck+l = (3k+;;(k+ 1)’ k= 0, 1,2.. .; (8) Sección ‘2 = 0: 6.3 ck+l = (k+ lj;k+ 1>, Soluciones en torno a puntos singulares 269 (9) k= 0, 132 . . . . Al iterar (8) obtenemos Cl “ = -_ = co CO c3=-_= 11.3 - 2i5.8 3!5*8.11 c3 c4=-= 14.4 CO 4!5.8*11.14 mientras que al iterar (9) obtenemos Cl =fi Cl Q=zT4=2!~.4 Q - c3=~-3!1?4., c3 c4 = G = co 4!1.4.7 f 10 C” = n!l.4.7.c:.(3n-2)’ n=1y2939”” Hemos llegado así a dos soluciones en serie: 1 Y Con el criterio de la razón se puede demostrar que (10) y (ll) convergen ambas para todos los valores finitos de x. Asimismo, por la forma de (10) y (1 l), es posible ver que ninguna de esas series es múltiplo constante de la otra y, por consiguiente, que yl(x) y yz(x) son soluciones linealmente independientes en el eje x. Entonces, de acuerdo con el principio de . ., superposicion, y = cly&)+ C2y&)= c, P+ .=,n!5.8.11~.~~3n+2)*.t2’3 2 1 270 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES 1 +G es otra solución de (4). En cualquier intervalo que no contenga el origen, esta combinación representa la solución general de la ecuación diferencial. n Aunque el ejemplo 6 muestra el procedimiento general de aplicación del método de Frobenius, hacemos notar que no siempre podremos determinar con tanta facilidad dos soluciones o determinar dos soluciones que sean series infinitas formadas totalmente por potencias de x. Ecuación de índices o indicativa La ecuación (6) se llama ecuación indicativa del problema, y los valores q = f y ~2 = 0 son las raíces o exponentes indicativas o simplemente Índices de la singularidad. En general, si x = 0 es un punto singular regular de (l), las funciones XI’(X) y x2Q(x) obtenidas de (2) son analíticas en cero; es decir, los desarrollos xP(x) =plJ+plx +p,x2+ **’ Y x2Q(x)=q~+q~x+q2x2+~~~ (la son válidos en intervalos que tengan un radio de convergencia positivo. Después de sustituir y = Zn= IJ c$+’ en (1) o (2) y simplificar, la ecuación indicativa es cuadrática en r, y se origina al igualar a cero el coeficiente total de la potencia mínima de x. Un desarrollo directo muestra que la ecuación indicativa general es r(r - 1) + por + qo = 0. (13) Con esta ecuación se obtienen los dos valores de los exponentes y se sustituyen en una relación de recurrencia como la (7). El teorema 6.2 garantiza que se puede encontrar al menos una solución en serie de la forma supuesta. Casos de las raíces indicativas Al aplicar el método de Frobenius se pueden diferenciar tres casos, que corresponden a la naturaleza de las raíces indicativas. Para fines de nuestra descripción, supondremos que rt y r2 son las soluciones reales de la ecuación indicia1 y que, cuando difieran, rl representa la raiz mayor. Caso 1: las raíces no difieren en un entero Si rl y rz son distintas y no difieren en un entero, existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1), cuya forma es Yl rc, Cd+“, y2 =: b,,x+‘z, n=O Caso I:‘dos co * 0 (144 bo #OO. Wb) soluciones de la forma (3) Resuelva 2xy” + (1 + x)y + y = 0. SOLUCIÓN (15) Si y = X= 0 wn+‘, entonces 2XY” + (1 + X)y’ + y = 2 2 (n + r)(n + r - l)c,~~+‘-~ + i (n + r)cnxn+r-l n=O n=O Sección 6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 271 + 2 (n + r)c,x”+ + t C,X”+’ n=O n=O = i (n + r)(Zn + 2r - 1)C”X”“-1 + 2 (n + r + l)c”x”+’ n=O = X’ n=O [ r(2r - l)c0x-’ + I: (n + r)(2n + 2r - l)c,~n-~ + 2 (n + r + l)c,xn n=l n=O / v Y m X’ [ , k=n k = n - 1 = L r(2r - l)cox-’ + 2 [(k + r + 1)(2k + 2r 4- l)ckcl + (k + r + l)ck]xk k=O lo cual implica que r(2r-l)=O 1 1 = 0, (16) (k + r + 1)(2k + 2r + l)~+~ + (k + r + 1)ck = 0, k = 0, 1,2, . . . . (17) En la ecuación (16) vemos que las raíces indicativas son rl = f y r2 = 0. Dado que la diferencia entre ellas no es un número entero, tenemos la garantía de contar con las soluciones indicadas en (14a) y (14b), linealmente independientes y con la forma yI = ix;= 0 c&x”+“2 yyz=c;=ocf$. Para rl = f podemos dividir la ecuación (17) entre k + i para obtener Ch1 = 2(& Cl =z -cl -_ co 22.2! Q== -c2 -co c3=2’3=m in=*, entonces n=l,2,3 ,.... *1 y1 = cox1’2 1 + g gxn [ = co $ogxn+1/2, (18) que converge cuando x 2 0. Tal como aparece, esta serie no tiene validez para x < 0 por la presencia de x”~. La ecuación (17), para r2 = 0, genera los coeficientes ck+l -ck = 2k Cl = 3 1 -cl co c2=-=3 1.3 272 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES -co c”=T=l,3m5 -c3 CO c4=7=1.3.5.7 (-l>“co c~=1.3.5..7...(2n-1)’ II = 1,2,3, . . . . Por consiguiente, una segunda solución de (15) es 1 (-1)” yz = co 1 + n=l i 1 .3.5.7. . . pn - l)X” ’ [ H< toa (19) n La solución general es y = Ct~~t(x) + CV+), en el intervalo (0, -). Cuando las raíces de la ecuación diferencial difieren en un entero positivo, podremos determinar o no dos soluciones de (1) en la forma de (3). Si no es posible, la solución que corresponde a la raíz menor contiene un término logarítmico. Cuando las raíces de la ecuación indicativa son iguales, una segunda solución contiene siempre un logaritmo. Este último caso es análogo a las soluciones de la ecuación diferencial de Cauchy-Euler cuando las raíces de la ecuación auxiliar son iguales. Pasaremos a los dos casos siguientes. Si rt - r2 = N, donde N es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) con la forma CASO II: las raíces difieren en un entero positivo Yl =,F, Cnffrl, W-G co # 0 y2 = Q(x) In x nE b,,ci’fr2, bo # 0, (20b) en donde C es una constante que podría ser cero. CASO III: raíces indicativas iguales Si rl = r2, siempre existen dos soluciones, linealmente independientes de la ecuación (1) que tienen la forma y1 EZo Cnf+rl, co # 0 y2 = y,(x) In x n$, b,x”+‘l. Caso ll: dos soluciones con la forma de (3) Resuelva xy” + (x - 6)~’ - 3y = 0. SOLUCIÓN La hipótesis y = r= 0 c,,x” + r conduce a Pa) Pb) Sección 6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 273 xy” + (x - 6)~’ - 3y = 2 (n + r)(n + r - l)c,x”+‘-l - 6 2 (n + r)c,x”+‘-1 + i (n + r)c,x”+r - 3 2 c,xn+r n=O n=O n=O =y [ r(r - 7)cK’ + 2 (n + r)(n + r - 7)c,x”-’ + 2 (n + r - 3)c.*1] \ =x’ , v k=n-l \ v I k=n r(r - 7)cox-’ + t [(k + r + l)(k + r - 6)~+~ + (k + r - 3)ck]xk k=O 1 = 0. Así r(r - 7) = 0, de suerte que r1 = 7, r2 = 0, rl - r2 = 7 y (k + r + l)(k + r - 6)ck+l + (k + r - 3)ck = 0, k = 0, 1, 2, . . . . (23) Para la raíz más pequeña r2 = 0, la ecuación (23) se transforma en (k + l)(k - 6)Ck+l + (k - 3)ck = 0. (24) Como k - 6 = 0 para k = 6, no dividiremos entre este término sino hasta que k > 6. Vemos que 1 v(-6)~~ + (-3)~~ = 0 2 *(-5)c2 + (-2)c, = 0 3 *(-4)c3 + (-l)c, = 0 4 * (-3)c4 + 0 *c3 = 0 5 - (-2)c5 + 1 . c4 = 0 6 - (-1)~~ + 2 *cs = 0 7 *oC7 + 3 - c6 = 0 Por implica cq = cg = qj = 0 t pero cg y CT pueden ser elegidas en forma arbitraria 1 Cl = - -co 2 1 1 cz = - sc1 = $0 consiguiente, 1 1 c3= -p= -Eco. Para k 2 7, -(k - 3) ck+* = (k + l)(k - 6) ck’ Al iterar esta fórmula obtenemos c8 -4 =x c7 -5 4.5 c9=~~8=22!8~9c7 Cl0 -6 = fi c9 = -4~5.6 3!8*9*10C7 (25) 274 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES c = (-l)“+l4 *5.6. . . (n - 4) n (n-7)!8.9.1()...n c77 Si escogemos c7 (26) n=8’9’10”‘** = 0 y co f 0, llegamos a la solución polinomial y1=co 1-$+&2-&3 120 1 (27) > pero cuando CT + 0 y co = 0, una segunda solución en serie, si bien infinita, es -1)“+‘4.5.6...(~4) yz = ” Por último, la solución general de la ecuación (22) en el intervalo (0, -) es Y = GYl(4 + GYZW 1 1 1 l-~x+i¿jx2-~x l n Es interesante observar en el ejemplo 8 que no usamos la raíz mayor, ~1 = 7. Si lo hubiéramos hecho, habríamos obtenido una solución en serie* y = IZ>p= 0 c,,.Yt7, donde las c, están definidas por la ecuación (23), con rl = 7: - k+4) cktl = Ck +s)(, + 1> ck> k = O,l, 2,. - . . Al iterar esta relación de recurrencia sólo tendríamos una solución, la que aparece en la ecuación (28), en donde CO correspondería a ~7. Cuando las raíces de la ecuación indicativa difieren en un entero positivo, puede ser que la segunda solución contenga un logaritmo. En la práctica esto es algo que no sabemos por anticipado, pero que queda determinado al calcular las raíces de la ecuación indicativa y examinar con detenimiento la relación de recurrencia que define a los coeficientes c,. Como acabamos de ver en este ejemplo, también puede suceder que -por suerte-, determinemos dos soluciones que ~610 comprenden potencias de X. Por otra parte, si no podemos hallar una segunda solución en serie, siempre podremos recurrir a (29) que también es una solución de la ecuación y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0, siempre y cuando y1 sea una solución conocida (véase Sec. 4.2). *Obsérvese que tanto la serie (28) como ésta comienzan en la potencia x7. En el caso II siempre se aconseja trabajar primero con la raíz menor. 275 Sección 6.3 Soluciones en torno o puntos singulares Caso II: una solucih de la forma (3) Determine la solución general de xy” + 3y’ - y = 0. SOLUCIÓN Aquí el lector debe comprobar que las raíces indicativas son rl = 0, r2 = - 2, 11 - r2 = 2 y que con el método de Frobenius sólo se llega a una solución: 1 1 1 n=Cn=O n!(n2+ 2)! n”=1+~r+24n2+360X3+.... (W Con la ecuación (29) obtenemos una segunda solución: dx 1 1 1 g+36ox3+ * * * dx = Yl(4 1 2 7 1 1+3X+36X2+30X3+... 2 1 t cuadrada = YlW j 5 [ l-$x+;x2-$$3+...]dx t división larga = YI \ [$ - $ + -& - gj+ - *.] dx 1 -&+z+$lnx-%x+-v* 0 sea Yz=iy,(x)lnx+y&) -&+$-%.x+. [ 1 (31) . . , Por consiguiente, en el intervalo (0, -) la solución general es , Y = GYdX) + c2 n donde yl(x) está definida por (30). Caso III: determinacih (32) de la segunda solución Halle la segunda solución de xy” + y’ - 4y = 0. SOLUCIÓN La solución propuesta y = Zr= 0 c,$+~ conduce a 1 xy” + y’ - 4y = g (n + r)(n + r - l)c”x”+‘-l + 2 (n + r)c,x”+‘-l n=O n=O = 2 (n + r)*c”x”+‘-1 - 4 2 c,x”+’ - 4 $. c,x”+’ r 276 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES - -1 = x’ r2cox-’ + 2 (n + r)2cnx”-l - 4 2 c,x” ll=1 n=O k = n - 1 k=n = xr r*cox-l + 2 [(k + r + l)*ck+I - 4ck]xk] = 0. Por lo tanto, r2 = 0 y, por lo mismo, las raíces indicativas son iguales: rl = r2 = 0. Además, tenemos que (k + r + 1)2ck+I - 4~ = 0, k = 0, 1, 2, . . . . (33) Está claro que la raíz rl = 0 sólo da una solución, que corresponde a los coeficientes definidos por iteración de k = 0, 1,2, . . . . C x+1 = &, El resultado es ,1=co5$c lxI<w. (34) Para obtener la segunda solución linealmente independiente escogemos CO = 1 en (34) y empleamos (29): dx x C 1 1+4x+4x*+~x3+ . . . 2 9 dx = Yle) 1 x 1+8x+24x2+-x3+ 9 [ . *. 1 1 1472 =Yl(x)j;[ 1-8x+40x2---x3+~~~ = /[; Yl(X) =yl(x) dx -8+4Ox-yx’+*..]dx 1472 lnx-8x+20x2-Fx3+*** 1 . Así, en el intervalo (0, -), la solución general es y = Gyl(x) + C2 [ y,(x) In x + yI en donde y](x) está definida por (34). ( -8x + 20x2 - $x3 + +. . )l , Sección 6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 277 Empleo de computadoras Resulta obvio que las operaciones de los ejemplos 9 y 10, como elevar una serie al cuadrado, la división larga entre una serie y la integración del cociente, se pueden realizar a mano; pero nuestra existencia se puede facilitar porque todas esas operaciones, incluyendo la multiplicación indicada en (31), se pueden efectuar con relativa facilidad con ayuda de un sistema algebraico de computación como Mathematica, Maple o Derive. i) A propósito no hemos mencionado algunas otras complicaciones que surgen cuando se resuelve una ecuación diferencial como la (1) alrededor de un punto singular xo. Las raíces índices rl y r2 pueden ser números complejos. En este caso, la igualdad rl > rz carece de significado y se debe reemplazar con Re@,) > Re&) [si r = (Y + i/3, entonces Re(r) = a]. En particular, cuando la ecuación indice (o indicativa) tiene coeficientes reales, las raíces serán un par complejo conjugado rl = cx + ip, r2 = CY - ip, y r, - r2 = 2ip # entero. Así, para x. = 0, siempre existen dos soluciones, yl = S,“=~ c,J”+~I y y 2 = c~,O C,J “+Q. Ambas soluciones dan valores complejos de y para toda selección de x real. Podemos superar esta dificultad aplicando el principio de superposición y formando las combinaciones lineales adecuadas de y,(x) y yz(x> para producir soluciones reales (véase el caso III en la sección 4.7). ii) Si x. = o es un punto singular irregular, es posible que no podamos determinar solución alguna de la forma y = z;= o c,sr>’ +r. iii) En los estudios más avanzados de ecuaciones diferenciales, a veces es importante examinar la naturaleza de un punto singular en =. Se dice que una ecuación diferencial tiene un punto singular en = si, después de sustituir z = UX, la ecuación que resulta tiene un punto singular en z = O. Por eiemplo, la ecuación diferencial y” + xy = o no tiene puntos singulares finitos; sin embargo, de acuerdo con la regla de la cadena, la sustitución z = llx transforma la ecuación en z5 $ + 2z4 2 + y = 0. (Compruébelo.) Al examinar P(Z) = 2/z y az) = l/z’ se demuestra que z = 0 es un punto singular irregular de la ecuación; en consecuencia, m es un punto singular irregular. Determine los puntos singulares de cada ecuación diferencial en los problemas 1 a 10. Clasifique cada punto singular en regular o irregular. 1. x3y” + 4xZy’ + 3y = 0 2. xy” - (x + 3)-2y = 0 3. (x’ - 9)Zy” + (x + 3)y’ + 2y = 0 4. Y”-;Y’+(x!l)3y=o 5. 6. 7. 8. (x’ + 4x)y” - 2xy’ + 6y = 0 x”(x - 5)*y” + 4xy’ + (x2 - 25)~ = 0 (x” + x - 6)~” + (x + 3)~’ + (x - 2)y = 0 x(x’ + 1)Zy” + y = 0 278 CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES 9 . xyx* - 25)(x - 2)2y” + 3x(x - 2)y’ + 7(x + 5)y = 0 1 0 . (x’ - 2x2 - 3x)Zy” + x(x - 3)2y’ - (x + l)y = 0 En los problemas 11 a 22 demuestre que las raíces indicativas no difieren en un entero. Use el método de Frobenius para llegara dos soluciones linealmente independientes en serie alrededor del punto singular regular xo = 0. Forme la solución general en (0, -). ll. 2xy” - y’ + 2y = 0 1 3 . 4xy” + y3 12. 2xy” + 5y’ + xy = 0 y’ 14. + = xy’ 0 +2xZy” + - (x’ l)y = 0 1 5 . 3xy” + (2 - x)y’ -y = 0 16. x*y” - ( x - ; 1 y= 0 1 7 . 2xy” - (3 + 2x)y’ +y = 0 18. x2y” + xy’y + ( x* - ; i = 0 1 9 . 9x2y” + 9x2y’ + 2y = 0 20. 2x*yfl 21. 2xZy” - x(x - 1)y’ - y= 0 22. x(x - 2)y” + y’ - 2y = 0 + 3xy’ + (2x - 1)y = 0 En los problemas 23 a 30 demuestre que las raíces de la ecuación indicativas difieren en un número entero. Aplique el método de Frobenius para obtener dos soluciones linealmente independientes en serie alrededor del punto singular regular xg = 0. Forme la solución general en (0, -). 2 3 . xy” + 2y’ xy - = 0 24. x2y” + xy’ + ( x* - ; 1 y= 0 2 5 . x(x - 1)y” + 3y’ - 2y = 0 26. y” + ; y’ - 2y = 0 27. xy” + (1 - x)y’y - = 0 28. xy” + y= 0 2 9 . xy” + y’y + = 0 30. xy” - xy’ + y= DOS ECLiACIONES 0 ESPECIALES Ecuación de Bessel n Ecuación de Legendre n Solución de la ecuación de Bessel H Funciones de Bessel de primera clase n Funciones de Bessel de segunda clase 1 Ecuación paramétrica de Bessel W Relaciones de recurrencia W Funciones de Bessel esféricas # Solución de la ecuación de Legendre n Polinomios de Legendre n Las dos ecuaciones x2y” + xy’ + (x2 - 2) y = 0 (1 4y”-2xy’+n(n+ l)y=O (1) (2) aparecen con frecuencia en estudios superiores de matemáticas aplicadas, fisica e ingeniería. Se llaman ecuación de Bessel y ecuación de Legendre, respectivamente. Para resolver la (1) supondremos que v 2 0, mientras que en la (2) sólo consideraremos el caso en que n es entero no negativo. Como se trata de obtener soluciones de cada ecuación en serie alrededor de x = 0, Sección 6.4 Dos ecuaciones especiales 279 advertimos que el origen es un punto regular singular de la ecuación de Bessel pero es un punto ordinario de la ecuación de Legendre. Solución de la ecuación de Bessel Si suponemos que y = C;= o c,$‘+‘, entonces $y” + xy’ + (x’ - y2)y = 2 c,(n + r)(n + r - l)x”+’ + 2 c,(I1 + r)x”+’ + $ C,X”+‘+* n=O n=O n=O - Y2 2 c,x”+’ n=O = co(r2 - r + r - zJ’2)x’ + xri c,[(n + r)(n + r - 1) + (n + r) - v2]x” + x’zo c,xnt2 Il=1 = co(r2 - v2)x’ + x’ 2 cn[(n + r)2 - v2]x” + x’ 2 c,x”+~. n=l (3) n=O En (3) vemos que la ecuación indicativa es r2 - z? = 0, de modo que las raíces índice son r1 = v y r2 = -v. Cuando rl = V, la ecuación (3) se transforma en xv2 c,n(n + 2v)x” + xv2 cnxnt2 ll=1 n=O = xy (1 + 2V)CrX + 2 c,n(n + 2V)X” -l- 2 ,*n+j n=O k = n - 2 = y k=n (1 + 2Y)CrX -l- i [(k + 2)(k + 2 + 2V)Q+* + Ck]Xk+* k=O 1 = 0. Por lo tanto, se debe cumplir que (1 + 2V)Cr = 0 (k + 2)(k + 2 + h)ck+2 + ck = 0 0 sea que ckt2 (k + 2jc;f 2 + = 2vj, k = 0,172,. . . . (4) La opción cl = 0 en esta ecuación trae como consecuencia que cs = c5 = CI = . . = 0, así que cuandok=0,2,4,... vemos, después de hacer k + 2 = 2n, n = 1,2,3, . . . , que C2n-2 Czn = - 22n(n + v)’ Así co c2 = - 22 *1 *(1 + V) c2 c4 = - 22 *2(2 c4 co + v) = 24 *1 *2(1 + V)(2 + V) co ‘6 = - 22 .3(3 + v) = - 26 *1 *2 *3(1 + V)(2 + V)(3 + V) (5) 280 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES (-l)“co c*n=2%!(l+~)(2+r+**(n+Y)’ n = 1,2,3, . . . < 05) Se acostumbra elegir un valor patrón específico para ca, que es 1 co = 2’r(l + lJ)’ en donde r(l + v) es la función gamma. (Véase el Apéndice 1.) Como esta función posee la cómoda propiedad de que r(l + a) = crT(a), podemos reducir el producto indicado en el denominador de (6) a un solo término; por ejemplo, r(1 + v+ 1) = (1 + v)r(l + v) r(i + Y+ 2) = (2 + q(2 + v) = (2 + v)(i + q(i + VI. Por consiguiente, podemos expresar (6) en la forma (-1) (-1) C2n =22~+‘nqi + ~)(2 + v) -+ + +-yi + v) = 22"+wr(i + v+ n) paran=O, 1,2, . . . . Funciones de Bessel de primera clase La solución en serie y = CY= cané”+” se suele representar mediante J,(x): (7) Si v 2 0, la serie converge al menos en el intervalo [0, -). También, para el segundo exponente r2 = -v, obtenemos, exactamente del mismo modo, (-1)” x 2n-u J&) = i n=od-(i-v+n) 0 5 . Las funciones J,(x) y J-,(x) se llaman funciones de Bessel de primera clase o de primera especie, de orden v y -v, respectivamente. Según el valor de Y, la ecuación (8) puede contener potencias negativas de x y, por consiguiente, converger en (0, OO).* Es necesario tener cierto cuidado al escribir la solución general de (1). Cuando v = 0, (7) y (8) son iguales. Si v> 0 y rt -r2 = Y-(-V) = 2vno es un entero positivo; entonces, de acuerdo con el caso 1 de la sección 6.3, J&) y J+(x) son soluciones linealmente independientes de (1) en (0, -), así que la solución general del intervalo es y = clJ&) + c&,(x). Pero también sabemos que, de acuerdo con el caso II de la sección 6.3, cuando rt - r2 = 2v es un entero positivo, quizá exista una segunda solución de (1) en forma de serie. En este segundo caso hay dos posibilidades: cuando v = m = entero positivo, J-,(x), definido por (8) y J,(x) no son soluciones linealmente independientes. Se puede demostrar que J-, es un múltiplo constante de J, [véase la propiedad i) en la página 2831. Además, rl -r2 = 2vpuede ser un entero positivo *AI reemplazar x por 1x1, las series de las ecuaciones (7) y (8) convergen para 0 < Ix[< =. Sección 6.4 Dos ecuaciones especiales 281 cuando v es la mitad de un entero positivo impar. Se puede demostrar que, en este caso, J&x) y J-,(x) son linealmente independientes; en otras palabras, la solución general de (1) en (0, -) es y = CI Jv (x) + c2 J-,, (x), uf entero. (9) La figura 6.2 ilustra las gráficas dey = Jo(x) y y = JI(X). FIGURA 6.2 Solución general: v no es entero Si $ = f y v = f, la solución general de la ecuación x’y” + xy’ + (x2 - f)y = 0 en (0, -) es y = c,J,;z(x) + c;J-,,z(x). Funciones de Bessel de segunda clase Si v f entero, la función definida por la combinación lineal Y,(x) = cos zm J,,(x) -J-,,(x) sen UT (10) y la función J,,(x) son soluciones linealmente independientes de (1); por consiguiente, otra forma de la solución general de (1) es y = CI J,,(x) + c2Y;Xx), siempre y cuando vf entero. Cuando v + m (donde m es entero), la ecuación (10) tiende a la forma indeterminada 010; sin embargo, con la regla de L’Hôpital se puede demostrar que lím, .+ *Y,,(x) existe. Además, la función Y,(x) = lím Y,(x) v+m y J,(x) son soluciones linealmente independientes de x’y” + xy’ + (2 - m*)y = 0; por lo tanto, para cualquier valor de V, la solución general de (1) en (0, -) se puede escribir y = CI Jv(x) + c2Y,(x). (11) Y,,(x) se llama función de Bessel de segunda clase, o de segunda especie, de orden II. En la figura 6.3 aparecen las gráficas de YO(X) y Y,(x). Y 0.4 yo(x) y, 0) 5 e FIGURA 6.3 X 282 CAPÍTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES Solución general: Y entero La solución general de la ecuación x2y” + xy’ + (x2 - 9)r = 0, en (0, co), es y = c&(x) + czY&). Esto lo podemos ver con la ecuación (ll) si identificamos a 2 = 9 y, por consiguiente, u = 3. n Aveces es posible transformar determinada ecuación diferencial en la forma de la ecuación (1) cambiando la variable. Entonces se puede expresar la solución general de la ecuación original en términos de funciones de Bessel. En el ejemplo 3 se muestra esta técnica. Regreso al resorte desgastable En la sección 5.1 describimos que un modelo matemático del movimiento libre no amortiguado de una masa fija a un resorte que se desgasta es mx” + ke-‘“‘x = 0, a > 0. Ahora ya podemos determinar la solución general de esta ecuación. Se deja como problema demostrar que el cambio de las variables s = i resorte que se desgasta en la forma Uf’2 transforma la ecuación diferencial del ,d2x dx s -g + s -g + s2x = 0. Reconocemos que esta ecuación tiene la forma de (1) con v = 0, donde los símbolos x y s desempeñan las funciones dey y x, respectivamente. La solución general de la nueva ecuación es x = c&(x) + c2Yo(s). Si restituimos s, la solución general de mx” + keeu’x = 0 es Véanse los problemas 39 y 40 en los ejercicios 6.4. n El otro modelo de un resorte de la sección 5.1, c&yas características cambian al paso del tiempo, era mx” + ktx = 0. Al dividir entre m reconocemos que se trata de la ecuación de Airy, y” + cr2xy = 0. Véase el ejemplo 4, sección 6.2, La solución general de la ecuación diferencial de Airy también se puede expresar en términos de funciones de Bessel. Véanse los problemas 41 a 43 en los ejercicios 6.4. Ecuación paramétrica de Bessel Si reemplazamos x con Xx en la ecuación (1) y aplicamos la regla de la cadena, llegaremos a una forma alternativa de la ecuación de Bessel, la ecuación paramétrica de Bessel: x2y” + xy’ + (X2x2 - v2)y = 0. (12) y = C,J”(XX) + QY&iX). (13) La solución general de (12) es Sección 6.4 Dos ecuaciones especiales 283 Propiedades A continuación citaremos algunas de las propiedades más útiles de las funciones de Bessel de orden m, m = 0, 1, 2, . . . . (i) J-&) = (-l)mJ,(X> (ii) Irn = (-l)mJ,(x> (ii ) Jm(0) = 1 yT 1 z 0 (iv) límX_tO +Y,(x) = -co , Obsérvese que la propiedad ii) indica que J,(X) es una función par si m es un entero par, y una función impar si m es entero impar. Las gráficas de YO(X) y YI en la figura 6.3 ilustran la propiedad iv): Y,(x) no es acotada en el origen. Esto último no es obvio al examinar (10). Se puede demostrar, sea a partir de (10) o por los métodos de la sección 6.3 que cuando x > 0, 2 [ 1x ... Yo(x) = ;.lo(x) y + In 2 > en donde y = 0.57721566. . . es la constante de Euler. A causa de la presencia del término logarítmico, YO(X) es discontinua en x = 0. Valores numéricos En la tabla 6.1 se presentan algunos valores de las funciones JO(X), J,(x), YO(X) y Y,(x) para determinados valores de x. Los primeros cinco ceros no negativos de esas funciones aparecen en la tabla 6.2. TABLA 6.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ll 12 13 14 15 Valores numéricos de JO, 51, YO y Yl 1 .oooo 0.0000 0.7652 0.4401 0.2239 0.5767 -0.2601 0.3391 -0.3971 -0.1776 0.1506 0.3001 0.1717 -0.0903 -0.2459 -0.1712 0.0477 0.2069 - - 0.0883 -0.7812 0.5104 -0.1070 0.3769 0.3247 -0.0660 -0.0169 0.3979 -0.3276 -0.3085 0.1479 -0.2767 -0.0047 0.2346 0.2453 0.0435 -0.1768 -0.2234 -0.0703 0.1711 0.1334 -0.0142 0.2051 -0.2882 -0.0259 0.2235 0.2499 0.0557 -0.1688 -0.2252 -0.0782 0.1272 0.2055 -0.1750 -0.3027 -0.1581 0.1043 0.2490 0.1637 -0.0571 -0.2101 -0.1666 0.0211 Relación de recurrencia diferenciaal Las fórmulas de recurrencia que relacionan las funciones de Bessel de distintos órdenes son importantes en teoría y en las aplicaciones. En el ejemplo siguiente deduciremos una relación de recurrencia diferencial. 284 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES TABLA 6.2 Ceros de Jo, 51, YO y Yl 2.4048 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 0.0000 3.8317 7.0156 10.1735 13.3237 0.8936 3.9577 7.0861 10.2223 13.3611 2.1971 5.4297 8.5960 ll .7492 14.8974 Deducción mediante definición de series Deduzca la fórmula X&(X) = vJu(x) - xJ,+l (x). SOLUCIÓN Una consecuencia de (7) es que ,Jl@) = 2 t-l)“@ + 4 5 2n+u Y n=O n!r(l + V + n) 02 = vz n!r(l’+l!+ n) (3’“” + 22 n!,(K);+ n) (5)2n+” x 2ntrl (-1) = vJJy(x) + x-g n=l (n - l)!r(l + V + n) 02 ” k = n - 1 = VJ”(X) - xi 2k+v+l Wk k=,, k!r(i? + v + k ) 0; = d”(X) - XJ,,~(X). El resultado del ejemplo 4 se puede escribir en forma alternativa. Al dividir X&(X) - z&(x) = -X&I (2) entre x se obtiene J:(x) - ZJ”(X) = -Ll(X). Esta última expresión es una ecuación diferencial lineal de primer orden en Jdx). Multiplicamos ambos lados de la igualdad por el factor integrante x+ y llegamos a $ [x-“J”(X)] = -x-“JI>+1(x). En forma parecida se puede demostrar que i [x”Jv(x)] = x”&,(x). (15) Sección 6.4 Dos ecuaciones especiales 285 Véase el problema 20 de los ejercicios 6.4. Las relaciones de recurrencia diferenciales (14) y (15) también son válidas para la función de Bessel de segunda clase, Yo(x). Nótese que cuando v = 0, una consecuencia de (14) es Ji(X) = -J1(x) Yó(x) = -Yl(X). Y (16) En el problema 40 de los ejercicios 6.4 aparece una aplicación de estos resultados. Cuando v = la mitad de un entero impar, se puede expresar J&) en términos de sen x, cos x y potencias de x. Estas funciones de Bessel se denominan funciones de Bessel esféricas. Función de Bessel esférica con v = f Determine una expresión alternativa de J&). SOLUCIÓN Con v = i, de acuerdo con (7), l En vista de la propiedad r( 1 + a) = aT(a), obtenemos En general, Por consiguiente, JlI2W (-1)” (y”‘2 n=on, (2n + l)!G 2 = 2 ’ = & (gY>! X2n+l. 22n+lnl Puesto que la serie del último renglón es la serie de Maclaurin para sen x, hemos demostrado que Jl12(x) = $senx. d- n 286 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES Solución de la ecuación de Legendre Dado que x = 0 es un punto ordinario de la ecuación (2), suponemos una solución en la forma y = Zr= 0 c&; en consecuencia, (1 - x*)y” - 2xy’ + n(n + l)y = (1 - x’) 2 c,k(k - 1)Xk-2 - 2 i ckkxk + n(n + 1) 2 k=O = 2 c,k(k - l)Xk-* - ; ckk(k - l)Xk - 2 $ Ckbk CkXk k=O + n(n + 1) 2 CkXk = [n(n + l)co + 2c2]xo + [n(n + 1)~ - 2~1 + 6~31~ + i ckk(k - l)xk-* - i ckk(k - l)Xk - 2 g ckhk + TZ(TZ + 1) 5 ckXk k=4 k=2 MM j = k - 2 k=2 k=2 - \ j = k I j = k j = k = [n(n + l)co + 2c2] + [(n - l)(n + 2)cl + 64~ + i [(j + 2)(j + l)Cj+* + (II -i)(n +i+ l)Cj]Xj= 0 j=2 n(n + 1)co + 2c, = 0 (n - l)(n + 2)~ + 6~3 = 0 lo cual significa que (j + 2)(j + l)Cj+* + (t2 -i)(Tl +i+ l)Cj= 0 0 sea c 2 = -4n+1)co 2! cg = _ (n - ll@ + 2) c1 3! Cj+* = - (n - i)(n + i + 1) cj, (i + w + 1) j = 2,3 ,4 ,.... (17) Al iterar esta fórmula se obtiene c4 = _ (n - 2)(n + 3) c2 = (n - 2)nb + l>(n + 3) co 4.3 4! (n 3)(n l)(n + 2)(n + 4) + 4) ch = cs = - tn - w 5.4 Cl 5! (n - 4)(n - 2)n(n + l)(n + 3)(n + 5) 6.5 6! co c6 = c7 = _ (n - 4(n + 5) ci - (n - 5)@ + 6) c5 = _ 7.6 = _ (n - 5)(n - 3)(n - l)(n + 2)(n + 4)(n + 6) Cl 7! etc. Entonces, cuando menos para IxI< 1 se obtienen dos soluciones linealmente independientes en series de potencias: y1(x)=co [ l- a+ux2+ 2! (n - 2)n(n + l)(n + 3)x4 4! Sección 6.4 Dos ecuaciones especiales _(n-4)(n-2)n(n+l)(n+3)(n+5)n6+... 1 287 (18) y2(x) = c1 x _ (n - 131” + 21x’ t’b - 3xn - 1;y + 2)(n + 4)$ 1 _(n-5)(n-3)(n-l)(n+2)(n+4)(n+6)x,+... 7! Obsérvese que si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que-&) es una serie infinita; por ejemplo, si n = 4, entonces x4 4! 2.4.5.7 1 1 =co 1 - lOx2f~x’ 1 De igual manera, cuando n es un entero impar, la serie de yz(x) termina con x”; esto es, cuando n es un entero no negativo, se obtiene una solución en forma de polinomio de grado n de la ecuación de Legendre. Como sabemos que un múltiplo constante de una solución de la ecuación de Legendre también es una solución, se acostumbra elegir valores específicos de CO o cl, dependiendo de si n es un entero positivo par 0 impar, respectivamente. Para n = 0 se elige CO = 1, y para n = 2, 4, 6, . . . . cO=(-1Y’2 1*3***(n- 1); 2.4... n mientras que para n = 1 se escoge CI = 1, y para n = 3,5,7, . . . . Por ejemplo, cuando n = 4, YI(X) = (-1)“‘; 1 - 10x2 + $4 * [ 1 = ; (35x4 - 30x2 + 3). Polinomios de Legendre Estas soluciones polinomiales específicas de grado n se llaman polinomios de Legendre y se representan con P,(x). De las series parayl(x) y yz(x), y con las elecciones de CO y CI que acabamos de describir, vemos que los primeros polinomios de Legendre son Po(x) = 1, m4 =x, P2(x) = $ (3x2 - l), P3b) Pd(X) = $ (35x4 - 3ox2 + 3), = i(5x3 - 3x), PS (x) = $ (63~~ - 70x3 + 1%). (19) 288 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES Recuékdese que PO(X), PI(X), Pz(x), Po, . . . son, a su vez, soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales Tl=& n = 1: n = 2: n = 3: (1 (1 (1 (1 - x2)y” x2)y” x*)y” x2)y” - 2xy’ 2xy’ 2xy’ 2xy’ =0 + 2y = 0 + 6y = 0 + 12y = 0 (20) Las gráficas de los primeros cuatro polinomios de Legendre en el intervalo -1 S x I 1 aparecen en la figura 6.4. FIGURA 6.4 Propiedades En las ecuaciones (19) y en la figura 6.4 se pueden apreciar las siguientes propiedades de los polinomios de Legendre: (i) P,(--x) = (-l)“zJ,(x) (ii) P”(l) = 1 (iv) P,(O) = 0, n impar (iii) P,(-1) = (-1)” (u) PA(O) = 0, n par La propiedad i) indica que P,(x) es función par o impar cuando n es par o impar. Relación de recurrencia Las relaciones de recurrencia que relacionan los polinomios de Legendre de diversos grados son muy importantes en algunos aspectos de las aplicaciones. Deduciremos una mediante la fórmula (1 - 2xt + P)-“2 = i P,(x)t”. n=O (21) La función del lado izquierdo se llama función generadora para los polinomios de Legendre. Su deducción es consecuencia de la serie binomial y se deja como ejercicio. Wase el problema 49 en los ejercicios 6.4. Al derivar ambos lados de (21) con respecto a t se obtiene (1 - 2xt + t2)-3/2(~ - t) = z. nP,(x)t”-l = 2 nfJ&)~“-l Sección 6.4 Dos ecuaciones especiales 289 de modo que, después de multiplicar por 1 - 2xt + 2 tenemos (x - t)(l - 2xt + ty = (1 - 2xt + t2) 2 nP,(x)t”-l (x - t) g. P,(x)t” = (1 - 2xt + t2) z1 nP,(x>t”-1. 0 sea (22) Efectuamos la multiplicación y reformularnos esta ecuación como sigue: 2 xP,(x)t” - 2 P,(x)tn+l - i nP,(x)T1 + 2x 2 nP,(x)t” - 2 nP”(X)t”+l n=O n=l n=l n=l ll==0 0 sea =0 x + x*t + $zxPn(x)tn - t - r: Pn(X)t”+l - x - 2 y t tZ=l ( 1 - 2 nP,(x)t”-l + 2x*t + 2x $* nP,(x)t” - g1 I1P”(X)t”+’ = 0. PI=3 Con las simplificaciones, anulaciones y cambios adecuados de índices llega a en las sumatorias se g [-(k + l)Pk+l(x) + (2k + l)XPk(X) - kPk-l(X)]tk = 0. Igualamos a cero el coeficiente total de tk para obtener la relación de recurrencia con tres términos (k+ l)Pk+,(X)-(2k+ l)XPk(x)+kPk-1(x)=O, k=2,3,4,. . . . (23) Esta fórmula también es válida cuando k = 1. En las ecuaciones (19) presentamos los seis primeros polinomios de Legendre. Si, por ejemplo, hubiéramos querido determinar Po, pudimos usar (23) con k = 5. Esta relación expresa P6(x) en función de las cantidades conocidas Pa(x) y PS(X). Véase el problema 51 en los ejercicios 6.4. En los problemas 1 a 8 determine la solución general de la ecuación diferencial respectiva en (0, ->. y=o 2. x2y” + xy’ + (x’ - 1)y = 0 3. 4x2y” + 4xy’ + (4x2 - 25)y = 0 4 16x*y” + 16xy’ + (16~~ - 1)y = 0 5. xy” + y’ + xy = 0 7. x*y” + xy’ + (9x2 - 4)y = 0 6. $[xy’]+ (x-;)y=o 290 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES d e t ermine la solución general de la ecuación 9. Con el cambio de variable y = x-~‘~v(x) x2y” + 2xy’ + x2x2y = 0, x > 0. 10. Compruebe que la ecuación diferencial xy” + (1 - 2n)y’ + xy = 0, x>o posee la solución particular y = x”J&). 11. Compruebe que la ecuación diferencial xy” + (1 + 2n)y’ + xy = 0, x>o tiene la solución particular y = x”J,(x). 12. Compruebe que la ecuación diferencial x2y” + ( Ay - Y2 + $ y=o, 1 x>o tiene la solución particular y = G.,,(k), donde X > 0. En los problemas 13 a 18 aplique los resultados de los problemas 10, ll y 12 para hallar una solución particular en (0, -) de la ecuación diferencial dada. 13. y” + y = 0 14. xy” - y’ + xy = 0 15. xy” + 3y’ + xy = 0 16. 4x2y” + (16~~ + 1)y = 0 17. x2y” + (x’ - 2)y = 0 18. xy” - Sy’ + xy = 0 Deduzca la relación de recurrencia en los problemas 19 a 22. 19. xJl(x) = - vJv(x) + x.L(x) [Sugerencia: 2n + v = 2(n + v) - v.] 20. -$ [x%(x)] = XV-l(X) 21. 2vJ,(x) = XJ”,l(X) + xJy-l(x) 22. 2&(x) = L(x) - J&x) En los problemas 23 a 26 aplique (14) o (15) para llegar al resultado respectivo. 23. 10 r&(r) dr = xJl(x) 25. 1 xn.&(x) 24. J;(x) = J-&) = -JI(x) dx = xfi.qx) + (n - l)x”-l&(X) - (n - 1)’ 1 xn+.&(x) dx 26. 1 XV~(X) dx = xV1(x) + 2X2Jo(X) - 4XJl(X) + c 27. Proceda como en el ejemplo 5 para expresar a J-t&) en términos de cos x y una potencia de x. En los problemas 28 a 33 aplique la relación de recurrencia del problema 21 y los resultados que obtuvo en el problema 27 y en el ejemplo 5, a fin de expresar la función de Bessel respectiva en términos de sen x, cos x y potencias de x. Sección 6.4 Dos ecuaciones especiales 23. J3,2(x) 29. J-d4 30. J5/2@) 31. J-5/2@) 291 33. J-712b) 32. 412 (4 34. Demuestre que i”Ju(ix), i* = -1 es una función real. Esta función, definida por IU(x) = i”Jv(ix) se llama función modificada de Bessel de primera clase de orden V. 35. Determine la solución general de la ecuación diferencial x2y” + xy’ - (2 + r2)y = 0, x > 0, v f entero. [Sugerencia: i*x* = -x*.] 36. Si yt = JO(X) es una solución de la ecuación de Bessel de orden cero, compruebe que otra solución es x* 3x4 y2=Jo(x)lnx+---+~4 128 13,824 *** * 37. .Emplee (8) con v = m (donde m es un entero positivo) con el hecho de que l/T(N) = 0 (donde N es un entero negativo) y demuestre que Jmm(x) = (-l)rnj,(x). 38. Emplee (7) con v = M (donde m es entero no negativo), para demostrar que Jm( -x) = (-l)mJ,(x). ;k e -cuto para demostrar que la ecuación diferencial $ de un resorte que se desgasta, mx” + ke-% = 0, ct > 0, se transforma en 39. Aplique el cambio de variables s = $ s2d2x+s~+s2~-o ds2 ds - * 40. a) Emplee la solución general del ejemplo 3 para resolver el problema de valor inicial 4~” + e-O,l’x = 0 > x(O) = 1, x’(O) = - ;* Use la tabla 6.1 y las ecuaciones (16) o un SAC para evaluar los coeficientes. b) Con un SAC grafíque la solución que obtuvo en la parte a), en el intervalo 0 I t 5 200. ¿La gráfica corrobora su conjetura en el problema 15, ejercicios 5.17 41. Demuestre que y = x”*w($ o.x3’*) es una solución de la ecuacih diferencial de Airy, y” + cr*xy = 0, x > 0 siempre que w sea una solución de la ecuación de Bessel ?w” + tw’ + (r? - d)w = 0, t > 0. [Sugerencia: después de derivar, sustituir y simplificar, proponga t = f Qp.] 292 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES 42. Aplique el resultado del problema 41 a fin de expresar la solución general de la ecuación de Airy para x > 0, en thninos de funciones de Bessel. 43. a) Aplique la solución general que obtuvo en el problema 42 para resolver el problema de valor inicial 4x” + tx = 0, X(O.1) = 1, x’(O.1) = - ;. Evalúe los coeficientes con un SAC. b) Con el SAC grafique la solucih obtenida en la parte a) en el intervalo 0 < t 5200. LEsta gráfica corrobora su conjetura del problema 16, ejercicios 5. l? 44. Una columna delgada uniforme, vertical, con su base empotrada en el piso, se pandea apartándose de la vertical, por la influencia de su propio peso, cuando su longitud es mayor que determinada altura crítica. Se puede demostrar que la deflexión angular e(x) de la columna respecto de la vertical y en un punto P(X) es una solución del problema de valores en la frontera Eld28 ~+6g(L-x)e=o, e(o) = 0, e’(L) = 0, en donde E es el módulo de elasticidad, 1 el momento de inercia de la sección transversal, 6 es la densidad lineal constante y x es la distancia a lo largo de la columna, a partir de la base (Fig. 6.5). La columna ~610 se pandea si este problema de valor en la frontera tiene una solución no trivial. FIGURA 6.5 a) Primero cambie las variables t = L - x y formule el problema de valor inicial que resulta. Luego use el resultado del problema 42 para expresar la solución general de la ecuación diferencial en términos de funciones de Bessel. b) Con ayuda de un sistema algebraico de computación (SAC) calcule la longitud crítica L de una varilla maciza de acero de radio r = 0.05 in, Sg = 0.28 A lbhn, E = 2.6 x 10’ lb/in*, A = n? e Z = f m4. 45. a) Emplee las soluciones explícitas YI y ti(x) de la ecuación de Legendre y los valores adecuados de CO y CI para determinar los polinomios de Legendre PS(X) y PT(X). !kcción 6.4 Dos ecuaciones especiales 293 b) Escriba las ecuaciones diferenciales para las que Pb(x) y PT(X) son soluciones particu- lares. 46. Demuestre que la ecuación de Legendre tiene la forma alternativa 47. Demuestre que la ecuación sen 0% + cos 192~ + n(n + l)(sen@y = 0 se puede transformar en la ecuación de Legendre con la sustitución x = cos 0. 48. El polinomio general de Legendre se puede escribir en la forma p&) = wz. (-1)“(2n- /q!(n- 2/¿)! - X”-2kv 2”k!(n 2k)! en donde [n/2] es el máximo entero no mayor que nl2. Compruebe los resultados para n = 0,1,2,3,4y5. Emplee la serie binomial para demostrar formalmente que 49. (1 - 2xt + tZ)-“2 = 2 P,(x)t”. n=O 50. Aplique el resultado del problema 49 para demostrar que P,,(l) = 1, y que Pn(-1) = (-1)“. 51. Utilice la relación de recurrencia (23) y PO(X) = 1, Pt(x) = x para generar los siguientes cinco polinomios de Legendre. 52. Los polinomios de Legendre también se generan mediante la fórmula de Rodrigues P”(X) = &$ (x” - 1)“. Compruebe los resultados para n = 0, 1,2,3. froblemas pafa discusión 53. Para fines de este problema haga caso omiso de las graticas de la figura 6.2. Emplee la sustitución y = al& para demostrar que la ecuacion de Bessel(1) tiene la forma alternativa Ésta es una forma de la ecuación diferencial del problema 12. Para un valor fijo de V, describa cómo la ecuación anterior permite seguir el comportamiento cualitativo de (1) cuando x 4 00. 294 CAPíTULO 6 SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS DE ECUACIONES LINEALES 54. Como consecuencia del problema 46, observamos que 2 [(l - x*)P:(x)] = -n(n + l)P,(x) y $ [(l - x2)PA(x)] = -m(m + l)P,(x). Describa cómo se pueden usar estas dos identidades a fin de comprobar que 1. Especifique los puntos ordinarios de (x3 - 8)~” - 2xy’ + y = 0. 2. Especifique los puntos singulares de (x4 - 16)~” + 2~ = 0. En los problemas 3 a 6 especifique los puntos singulares regulares e irregulares de la ecuación diferencial respectiva. 3. (x” - 10x2 + 25x)y” + y’ = 0 4. (x3 - 10x2 + 25x)y” + y = 0 5 . xyx2 - 9)2y” - (x” - 9)y’ + xy = 0 6. x(x” + 1)3y” + y’ - 8xy = 0 En los problemas 7 y 8 especifique un intervalo en torno a x = 0 para el que converja una solución en serie de potencias de la ecuación diferencial respectiva. 7. y” - xy’ + 6y = 0 8. (x’ - 4)y” - 2xy’ + 9y = 0 En los problemas 9 a 12 determine dos soluciones en series de potencias de cada ecuación diferencial en torno al punto x = 0. 9. y” - xy’ - y = 0 ll. (x - 1)y” + 3y = 0 10. y” - x2y’ + xy = 0 12. (cos x)y” + y = 0 Resuelva los problemas de valor inicial 13 y 14, 13. y” + xy’ + 2y = 0, y(O) = 3, y’(O) = - 2 14. ( x + 2)y” + 3y = 0, y(O) = 0, y’(O) = 1 Determine dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial respectiva en los problemas 15 a 20. 15. 17. 19. 20. 2xZy” + xy’ - (x x(1 - x)y” - 2y’ xy” - (2x - 1)y’ x2yn - x2y’ + (x” + 1)y = 0 16. 2xy” + y’ + y =’ 0 +y =0 18. x*yv - xy’ + (x’ + 1)y = 0 + (x - 1)y = 0 - 2)y = 0 IA TRANSFORMADA DE IAPLACE 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 Definición de la transformada de Laplace Transformada inversa Teoremas de traslación y derivadas de una transformada Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones Funchh delta de Dirac Sistemas de ecuaciones lineales Ejercicios de repaso En el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa y resorte o de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial +p$+kX=f(t) 0 sea L ~+Rdt+Cq=-W) d2q dq 1 es una función forzada, y puede representar a una fuerza externa f(t) o a un voltaje aplicado E(t). En la sección 5.1 resolvimos problemas en que las funcionesfy E eran continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas por tramos; por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser uno de los que se muestran en la figura 7.1. Es difícil, pero no imposible, resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso. La transformada de Laplace que estudiaremos en este capítulo es una valiosa herramienta para resolver problemas como el anterior. I 296 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE FIGURA 7.1 DEFINICIÓN DE IA TRANSFORMADA DE IAPLACE HPropiedad de linealidad n Transformada integral WDejinición de la transformación de Laplace n Funciones continuas por tramos n Funciones de orden exponencial n Existencia de la transformada de Laplace w Transformadas de algunas funciones básicas Propiedad de linealidad En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo, la función f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones polinomiales cúbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida: bXL~~ ak ’ I 2+ x2 dx = 3 c, 3 2 dx = 9 . I0 Además, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes (Y y p, siempre y cuando exista cada derivada e integral. Sif(x, y) es una función de dos variables, una integral definida defcon respecto a una de las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, j,’ 2$ & = 3~‘. De igual forma, una integral definida como j: K (s, r) f(t) transforma una funciónf(t) en una función de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales de este último tipo, cuando el intervalo de integración es [0, -) no acotado. . Sección 7.1 Definición de la transfarmada de Laplace 297 Definición básica Sif(t) estit definida cuando t 2 0, la integral impropia j: K (s, t)f(t) dt se define como un límite: m K(s, t)f(t) dt = 0 Si existe el límite, se dice que la integral existe 0 que es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el límite anterior existe ~610 para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s, t) = e”’ proporciona una transformación integral muy importante. Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una función de s. En la descripción general emplearemos letras minúsculas para representar la función que se va a transformar y la mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo, su-co>= F(s), 3 kW> = G(s), wJw>= Y(s). Aplicación de la definición 7.1 EvalúeY{l). SOLUCIÓN Ce(l) = 1: e-$‘( 1) dt = Et 10 eeS’ dt b = límy b-m S 0 = lh -e-Sb + b-m s 1 = 1 s siempre que s > 0; en otras palabras, cuando s > 0, el exponente -sb es negativo, y e-sb + 0 cuando b + m. Cuando s < 0, la integral es divergente. n El empleo del signo de límite se vuelve tedioso, así que adoptaremos la notación ITj’ como versión t~quigrhfica de límb + _ ( )$; por ejemplo, (e(l) = 1: e-Sr& = $f m = i, s > 0. 0 Se sobreentiende que en el límite superior queremos decir que e”’ + 0 cuando t + 00 y cuando s > 0. 2% CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPlACE 2 es una transformación lineal Rara una suma de funciones se puede escribir 11 eesf[af(t) + &(t)] dt = a /i e-“‘f(t) dt + B 1: e-“g(t) dt siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente, x{~f@)) + PgWl = ~~Cf(O> + W{g(t>l = cyF(s) + W(s). Se dice que Ce es una transformada lineal debido a la propiedad senalada (3) en (3). Condiciones suficientes para la existencia de zv(t)} No es necesa.+ que converja la integral que define ala transformada de Laplace; por ejemplo, ni Ce{ llt} ni Cee’ }existen. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de 3 (f(t)} son que f sea continua por tramos en [0, -), y quef sea de orden exponencial cuando t > T. Recuerdese que una función es continua por tramos en [0, -) si, en cualquier intervalo 0 L a 5 t L b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk, k = 1,2, . . . , n (tk-r < tk) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto tk-1 < t < tk. (Fig. 7.2). A continuación definiremos el concepto de orden exponencial. FIGURA 7.2 Si f es una función creciente, la condición 1f(t)1 I Me”, t > T tan sólo expresa que la gráfica de f en el intervalo (T, -) no crece con más rapidez que la gráfica de la función exponencial Mect, donde c es una constante positiva (Fig. 7.3). Las funciones f(t) = t, f(t) = eer y f(t) = 2 cos t son de orden exponencial c = 1, para t > 0 porque, respectivamente, (2 cos tl 5 2e’. le-‘] 5 e’, MeC’ (c > 0) f(t) k f(t) T FIGURA 7.3 t Sección 7.1 Definición de la transformada de Laplace 299 En la figura 7.4 se comparan la? gráficas en el intervalo [0, -). Una función comof(t) = et no es de orden exponencial porque, como vemos en la figura 7.5, su gráfica crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e en t > c > 0. Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0, It”l5 Me” o sea $ 5 M cuando t> T / / equivale a demostrar que límt + oo t”/eC’ es finito para n = 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene con n aplicaciones de la regla de L’Hôpital. Ca) fW 4e’ t (b) FIGURA 7.4 FIGURA 7.5 300 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE LAPIACE DEMOSTRACIÓN Ce{f(t)} = /iewsif(t) dt + 1; e-“f(t) dt = Il + Z2. La integral Zr existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que e-‘y(t) es continua. Ahora 1121 5 1; Ie-“f(t)1 dt 5 M\r eTs’ec’dt ,-(x-c)t =M\:e -(s-c)1 dt = -MS - C e-(~-c)T CMT S - C cuando s > c. Como 1; Me-(s-c)tdt converge, la integral jw Ie-‘tf(t)ldt converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. E~&I, a su vez, implica que IZ existe para n s > c. La existencia de 11 e 12 implica que Y{ f(t)} = fc e-$tf(t) dt existe cuando s > c. En todo el capítulo nos ocuparemos solo de las funciones que son, a la vez, continuas por tramos y de orden exponencial; sin embargo, debemos notar que esas condiciones son suficientes, pero no necesarias, para la existencia de una transformada de Laplace. Ahora, la función f(t) = i’” no es continua por tramos en el intervalo [0, -), pero sí existe su transformada de Laplace. Véase el problema 40 de los ejercicios 7.1. Aplicación de la definición 7.1 Evalúe T(t). SOLUCIÓN De acuerdo con la definición 7.1, Ce { t} = j: e-“t dt. Al integrar por partes y con lím te”’ = 0, s > 0 y el resultado del ejemplo 1, llegamos a t+- 1-. =- n S2’ Aplicación de la definición 7.1 Evalúe Ce { ee3’}. SOLUCIÓN De acuerdo con esa definición, CJ{e-jf} = 1: e-sre- dt = m @+3)’ f0 dt Sección 7.1 -e-(s+3)t Definición de la transformada de Laplace 301 m =- s+3 1 =s+3’ o s>-3. El resultado se desprende del hecho de que Iím, -t _ CT-@+~)~ = 0 para s + 3 > 0 o bien s > -3. n Aplicación de la definición 7.1 Evalúe (e{sen 2t). SOLUCIÓN De acuerdo con la definición 7.1 e integrando por partes, tenemos Ce(sen2f) = 1: e-“’ sen2t dt = -e-Sy 2t =-2 m emSr cos 2t dt, s I0 - 2 + ; å e+ cos 2t dt I0 1 s>0 Transformada de Laplace de sen 2t lím e-” cos 2t = 0, s > 0 = $ - s (e(sen2t). Hemos llegado a una ecuación con X{sen 2t) en ambos lados del signo igual. Despejamos esa cantidad y llegamos al resultado Z{sen2t} = -&, s > 0. Empleo de la linealidad Evalúe Z{3t - 5 sen 2t). SOLUCIÓN De acuerdo con los ejemplos 2 y 4, y la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, podemos escribir Se(3t - 5 senlt} = 3X{t} - 5S{sen2t} = 3+5.-& -7s*+ 1 2 s>. = s2(s2 + 4) ’ - n 302 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE Aplicación de la definición 7.1 Evalúe SOLUCIÓN a) ~{te-2’} b) ~{~e-2’} a) Según la definición 7.1, e integrando por partes, 2.Z{te-2} = 1: e-“‘(teT2) dt = [f te++*)’ dt OD -te-(s+2)' 1 e-(s+*)r dt =- / +Im s+2 o s+2 0 0) -,-(st2)r SB-2 =(s + 2)2 o’ 1 =- (s + 2y s> -2. b) De nuevo, integrando por partes llegamos al resultado m y{t2e-2'} = -Rif+*)' s+2 I o + & ; &-(st*)'& 1 = & f 0 e-sr(te-2) dt, s > -2 + según la parte a) Transformada de una función definida por tramos 0 , Oste3 Evalúe Lf{f(t)} cuandof(t) = 2 t 1 3 > En la figura 7.6 se ilustra esta función continua por tramos. Puesto quefesth definida en dos partes, expresamos Ce{ f(t)} como la suma de dos integrales: SOUJCIÓN Y L 2 3 FIGURA 7.6 t Sección 7.1 Definición de la transformada de Laplace 303 ~{f(t)) = 1; e+f(t) dt = 10 e-"'(O) dt + 1: P(2) dt = -2ems1- m s 2e+ =s ’ n 3 s > 0. Presentaremos la generalización de algunos de los ejemplos anteriores en forma del teorema siguiente. De aquí en adelante no citaremos las restricciones en s; se sobreentiende que s tiene las restricciones suficientes para garantizar la convergencia de la transformada de Laplace correspondiente. La parte b) del teorema anterior se puede justificar como sigue: al integrar por partes se obtiene 0 sea W”~ = f w-9, n = 1,2,3,. . . . Pero S{ 1) = lh, así que, por iteración, X(t) = ${l} = $, ce{P} = ; Y(f) = $, ce(P) = $3?{l’} = 2.$ = z!, Aunque para una demostración rigurosa se requiere la inducción matemática, de los resultados anteriores parece razonable concluir que, en general Dejamos al lector la demostración de las partes f) y g) del teorema 7.2. Vhnse los problemas 33 y 34, en los ejercicios 7.1. 304 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Identidad trigonométrica y linealidad Evalúe 3 { sen2t}. SOLUCIÓN Con ayuda de una identidad trigonomkica, de la linealidad y de las partes a) y e) del teorema 7.2, llegamos a S{sent)=Y{1-~2t}=~9(lj-~S(COS2t] =L.l---.1 s 2 s 2 s2+4 = ,*.2 .\. S(S” + 4) n En los problemas 1 a 18 aplique la definición 7.1 para determinar 3 {f(t)}. 1. f(t) = { -1, 05t<l 2. f(t) = 1 4, Ost<2 1, trl t , 05tc1 3. f(t) = {1 , t r l 0 5 t C 9r 5. f(t) = sent, 0 , tr2 2t+l, Ost<l 4. = f(t) { 0, trl 0, tra 6. f(t) = O7 cos t, Oz=t<n/2 tz nl2 7. FIGURA 7.7 9. FIGURA 7.8 10. fOI h 1 f(t) C 1 FIGURA 7.9 ll. f(t) = e’+’ 13. f(t) = te& 15. f(t) = e-’ sen t 17. f(t) = t cos t t I -L-L u 6 t FIGURA 7.10 12. f(t) = emaT5 14 f(t) = Pe” 16. f(t) = e’ cos t 18. f(t) = t sen t Sección 7.2 Transformada inversa 305 Aplique el teorema 7.2 para determinar Ce{ f(t)) en los problemas 19 a 38. 20. f(t) = ts 19. f(t) = 2t4 22. f(t) = 7t + 3 21. f(t) = 4t - 10 24. f(t) = -4t* + 16t + 9 23. f(t) = tz + 6t - 3 26. f(t) = (2t - 1)3 25. f(t) = (t + 1)3 28. f(t) = t* - emg’ + 5 27. f(t) = 1 + e4 30. f(t) = (et - e-‘)* 29. f(t) = (1 + @)’ 32. f(t) = cos 5t + sen 2t 31. f(t) = 4P - 5 sen 3t 33. f(t) = senh kt 34. f(t) = cosh kt 36. f(t) = e-’ cosh t 35. f(t) = e’senh t 37. f(t) = sen 2t cos 2t 38. f(t) = cos*t 39. La función gamma se define mediante la integral r(a) = ( P- le-’ dt, Q > 0. l-(a + 1) Véase el apéndice 1. Demuestre que Ce{ t “ } = su+1 (Y > -1. Con el resultado del problema 39 determine Ce{ f(t)} en los problemas 40 a 42. 4O.f(t) = t-‘” 41.f(t) = t’” 42. f(t) = P”. 43. Demuestre que la ftmciónf(t) = llr 2 no tiene transformada de Laplace. [Sugerencia: Cef(t)} = ,,’ ewsff(t) dt + j; eSSff(t) dt. Ap 1’ ique la definición de integral impropia para demostrar que no existe ji e-síf(t) dt.] Problema para discusión 44. Forme una función, F(t), que sea de orden exponencial, pero que f(t) = F ‘(t) no sea de orden exponencial. Construya una función f que no sea de orden exponencial, pero cuya transformada de Laplace exista. TRANSFORMADA INVERSA n Transformada inversa de Laplace WLinealidad n Algunas transformadas inversas n Uso dej?acciones parciales En la sección anterior nos ocupan~os del problema de transformar una funcion f(t) en otra función F(s) mediante la integral j, e-‘y(t) dt. La representamos simbolicamente de la siguiente manera: Z{f(t)} = F(s). Ahora invertiremos el problema; es decir, da& F(s), hallar la funciónf(t) que corresponde a esa transformación. Se dice quef(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa: f(t) = Y-‘{F(s)}. 306 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE IAPLACE El análogo del teorema 7.2 para la transformada inversa es el teorema 7.3, que presentamos en seguida. 2-l es una transformación lineal Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si (Y y p son constantes, Ce-‘{ctF(s) + w(s)} = aY-‘{F(s)} + @{G(s)}, en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g. La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que (e{ J(t)} = Y{ fz(t)} y, sin embargo, fi #fi. Pero para nuestros fines no nos ocuparemos de este caso. Sifi yh son continuas por tramos en [0, -) y de orden exponencial cuando t > 0, y si Ce { fi (t)} = Ce { h(t)}, las funciones fi y fi son esencialmente iguales. Véase el problema 35, ejercicios 7.2. Sin embargo, sifr yf2 son continuas en [0, -) y Ce{ fl(t)} = L!?e( fi(t)>, entonces ft = f2 en dicho intervalo. Aplicación del teorema 7.3 Evalúe Ce-’ f . {} SOWClbN Para coincidir con la forma que aparece en la parte b) del teorema 7.3, vemos que n = 4, y después multiplicamos y dividimos entre 4!. En consecuencia, I n Aplicación del teorema 7.3 Evalúe Ce-’ & I 1 SOLUCIÓN Como R2 = 64, arreglamos la expresión multipli&dola entre 8. Segun la parte d) del teorema 7.3, 2-‘{&}=+P {&}=$sengt. y dividiéndola n Sección 7.2 Transfarmada División tirmino SOLUCIÓN a tirmino inversa 307 y linealidad La función dada de s se puede expresar en dos partes, con un común denominador: 3s + 5 3s 5 s2+7 =s2+s++77. De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada inversa y las partes e) y d) del teorema 7.3, tenemos que r{~}=3P{&}++P{-&} =3cosxh+~ sen VS. Fracciones parciales Las fracciones parciales desempefhn un papel importante para determinar las transformadas inversas de Laplace. Como dijimos en la sección 2.1, esta descomposición en fracciones se puede efectuar con rapidez ~610 con un comando en algunos sistemas algebraicos computacionales. En realidad, algunos paquetes cuentan con dotados con comandos para la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace. Para los lectores que no tienen acceso a estos programas, en los tres ejemplos siguientes repasaremos las operaciones algebraicas básicas para los tres casos de descomposición en fracciones parciales; por ejemplo, los denominadores de contienen, respectivamente, factores lineales distintos, factores lineales repetidos y una expresión cuadrkica sin factores reales. Consúltese la descripción mas completa de esta teoría en un libro de chlculo infinitesimal. Fracciones parciales y linealidad Eva1úe se-1 SOLUCIÓN I 1 (s - l)(s + 2)(s + 4) 1 * Existen constantes A, B y C únicas, tales que A B C s - +l s+2+s+4 (s - l)(s : 2)(s + 4) = = A(s + 2)(s + 4) + B(s - l)(s + 4) + C(s - l)(s + 2) (s - l)(s + 2)(s + 4) Dado que los denominadores son idénticos, los numeradores deben ser idénticos: 1 = A(s + 2)(s + 4) + B(s - l)(s + 4) + C(s - l)(s + 2). 308 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Comparamos los coeficientes de las potencias des en ambos lados de la igualdad y tenemos que esta ecuación equivale a un sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas A, B y C, sin embargo, debemos recordar el método siguiente para determinarlas. Si hacemos s = 1, s = -2 y s = -4, que son los ceros del común denominador (s - I)(s + 2)(s + 4), obtenemos, a su vez, 1 = A(3)(5), 1 = B(-3)(2), 1 = C(-5)(-2) oseaqueA=$,B= - f y C = h; por consiguiente, podremos escribir 1/15 - ll6 + l/lO(s - l)(s : 2)(s + 4) = s - -l s+2 s+4 y así, según la parte c) del teorema 7.3, (s - l)(s : 2)(s + 4) ce-1 }=&P{-&}-g!-l{--&}++?‘{&} =l,r&*r+ 1 - 4 15 6 \ n iöe* Fracciones parciales y linealidad Evalúe Y-’ \ s+l s2(s +2)3 1 * 1 SOLUCIÓN Suponemos que s+l A B -C E Ds2(s + 2)3 = s + 2 + s + 2 + (s + 2>* + (s + 2)3 , de modo que s + 1 = As@ + 2)3 + B(s + 2)3 + Cs*(s + 2)* + Ds*(s + 2) + Es*. Cons=Oys =-2seobtienenB=$yE=-f, de s4, s3 y s llegamos a O=A+C, respectivamente. 0 = 6A + B + 4C + D, Igualamos los coeficientes 1 = 8A + 12B, de donde se sigue que A = - A, C = i y D = 0; por consiguiente, de acuerdo con las partes a), b) y c) del teorema 7.3, ~-l{~~}=~-l{-~+~+~-~} =-~~-l{~}+~~-l{~}+~~-l{~}-~~-l{~} 1 = -iL+it+-e-“+2e-2f. 16 En lo anterior también aplicamos Y-’ { 2/(s + 2)3} = t 2e-2’ del ejemplo 6, sección 7.1. n Sección 7.2 Transformada inversa 309 Fracciones parciales y linealidad Evalúe Ce-’ SOLUCIÓN Suponemos que I 3s - 2 =A+B+C+Ds+E s3(s2 + 4) s s2 s3 s2 + 4 de modo que 3s - 2 = AsZ(s2 + 4) + Bs(s2 + 4) + C(s’ + 4) + (Ds + E)s3. Con s = 0 se obtiene de inmediato C = - i. Ahora bien, los coeficientes de s4, s3, s2 y s son, respectivamente, O=A+D, O=B+E, 0 = 4A + C, 3 = 4B, de donde obtenemos B = $ E = - f, A = $ y D = - i; así pues de acuerdo con las partes a), b), e) y d) del teorema 7.3, Según sefíala el teorema siguiente, no toda función arbitraria de s es una transformada de Laplace de una función continua por tramos de orden exponencial. DEMOSTRACIÓN Dado quef(t) es continua parte por parte en 0 I t I T, necesariamente es acotada en el intervalo; o sea, [f(t) 1I Mt I Mt eot. También, 1f(f) 1I MzeV cuando t > T. Si Mrepresenta el máximo de {MI, M2) y c indica el máximo de { 0, y}, entonces 1Z{f(t)}l 5 1: e-“‘/f(t)1 dt 5 M 10 e+. e”‘dt = -iVE m = & 0 para s > c. Cuando s + 00, se tiene que IZ(f(r)}) + 0, de modo que X( f(t)} + 0. 3 10 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE De acuerdo con el teorema 7.4 podemos decir que F,(s) = 1 y Fo = S/(S + 1) no son transformadas de Laplace de funciones continuas por tramos de orden exponencial en virtud de que F](s) + 0 y Fo f, 0 cuando s + 00. El lector no debe sacar como conclusión, por ejemplo, que no existe Ce-’ {F,(s)}. Hay otros tipos de funciones. I Esta observación va dirigida a quienes se les pidan descomposiciones en fracciones parciales a mano. Hay otra forma de determinar los coeficientes en esas descomposiciones, en el caso especial cuando Y{f(t)} = P(S)@(S), donde P y Q son polinomios, y Q es un producto de factores distintos: P(s) F(s) = (s - r,)(s - ~-2) . (s - r,,)’ Veamos un ejemplo específico. De acuerdo con la teoría de las fracciones parciales, sabemos que existen constantes A, B y C únicas tales que s2+4s- 1 A B C (s - l)(S - 2)(S + 3) = s-l + s-2 + s+3’ (1) Supongamos que multiplicamos ambos lados de esta ecuación por, digamos, s - 1, simplificamos e igualamos s = 1. Como los coeficientes de B y c son cero, obtenemos s2 + 4s - 1 (~-2)(~+3) s=, =A 0 sea A=-1. Expresado de otro modo, 2 + 4s - 1 =A, (s - 1) (s - 2)(S + 3) s-l en donde hemos sombreado, o cubierto, el factor que se anuló cuando el lado izquierdo de (1) fue multiplicado por s - 1. No evaluamos este factor cubierto en s = 1. Para obtener B y C, tan sólo evaluamos el lado iz uierdo de (1) cubriendo, en Su turno, a s - 2 y a s + 3: 7 s2 + 4s - 1 = (s - 1) (8 - 2) (S + 3) s=2 B s2 + 4s - 1 = (s - l)(s - 2) (S f 3) s--3 C osea B=fi 5 osea C=-i. Obsérvese con cuidado que en el cálculo de c evaluamos en s = -3. Si reconstruye los detalles de la llegada a esta última expresión, el lector descubrirá por qué es así. También debe comprobar con otros métodos que s2 + 4s - 1 LL+ 1115 -ll5 (s - l)(s - 2)(s + 3) s - l s-2+s+3. Este m&odo de cubierta es una versión simplificada de algo que se conoce como teorema de desarrollo de Heaviside. Sección 7.2 Transfarmada inversa 311 Aplique el problema 7.3, en los problemas 1 a 34, para determinar la transformada inversa que se pide. 312 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE IAPLACE Problema para discusión 35. Forme dos funciones, f y g, que tengan la misma transformada de Laplace. complicaciones. No busque TEOREMAS DE TRASLACIÓN Y DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA n Primer teorema de traslación n Forma inversa del primer teorema de traslación W Función escalón unitario W Funciones expresadas en términos defunciones escalón unitario w Segundo teorema de traslación w Transformada de una función escalón unitario N Forma inversa del segundo teorema de traslación n Derivadas de una transformada No conviene aplicar la definición 7.1 cada vez que se desea hallar la transformada de Laplace de una función f(t); por ejemplo, la integración por partes que se usa para evaluar, digamos Z{e’$ sen 3t) es imponente, y el calificativo es modesto. En la descripción siguiente presentaremos varios teoremas que ahorran trabajo, sin necesidad de recurrir a la definición de la transformada de Laplace. En realidad, es relativamente fácil evaluar transformadas como Ce{e4’ cos 6t}, Ce{? sen 2t) y Z{t”e”}, siempre y cuando conozcamos Ce{cos 6t}, Z{sen 2t) y Y{t”}, respectivamente. Si bien se pueden formar tablas extensas (y en el apendice III aparece una tabla) se aconseja conocer las transformadas de Laplace de las funciones básicas como t”, ea’, sen kt, cos kt, senh kt y cosh kt. Si conocemos (ev(t)} = F(s), podemos hallar la transformada de Laplace Z{e”‘j’(t) sin más que trasladar, o desplazar, F(s) a F(s - u). Este resultado se llama primer teorema de traslación. DEMOSTRACIÓN La demostración es inmediata porque, según la definición 7.1, %e”tf(r)) = 10 e-s’e”rf(t) dt = 10 e-(s-a)lf(t) dt = F(s - a). n Si s es una variable real, la grafica de F(s - u) es la gráfica de F(s) desplazada Ial unidades sobre el eje s. Si u > 0, el desplazamiento de F(s) es u unidades hacia la derecha, mientras que si u < 0, es hacia la izquierda (Fig. 7. Il). A veces es útil, para enfatizar, emplear el simbolismo ~{e"ff(t)> = ~{f(O>s--ts-a, en donde s + s - u indica que reemplazamos s en F(s) con s - u. Sección 7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una tmnsformada 313 F t yq...-& s=a,a >O desplazamiento en el ejes FIGURA 7.11 ’ 0 m Evalúe Primer teorema de traslación ‘~1 a) Ce{ e5’?} SOLUCIÓN b) Ce { ee2’ cos 4t). Los resultados son consecuencia del teorema 7.5. (a) (e{e5’t3} = Ce{t3}s_,s-5 = 5 (b) (e{e-*’ cos 4t) = ~{COS 4f}s+s+2 ta=-2sos-a=s-(-2)=s+2 s+2 s ==(s+2)*+ 16’ S2 + l6 s-w+2 Forma inversa del primer teorema de traslación Sif(t) = (e-‘(F(S)}, la forma inversa del teorema 7.5 es Ce-’ {F(s - a)} = 2-’ {F(s)l,,,} = eay( (1) Completar el cuadrado para determinar 2-l -1 EvalúeY~‘{~2+~+ll}. Si s2 + 6s + ll tuviera factores reales, emplearíamos fracciones parciales; pero como este término cuadrático no se factoriza, completamos su cuadrado. SOLUCIÓN (e-1{s2+~+,,}=Z-1{(~+~)2+2} +-completarelcuadrado + sumar cero en el numerador I = ce-l (s +” g+ 2 - (s + i)2 + 1 2 =Y-1{(s~&3+2}-331{(s+:)2+2} t división término a término -1inealidaddeZ’ 314 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE IAPLACE =~-l{~li-ii)}-~~-‘{~l~~~+,j t de acuerdo con (1) y el teorema 1.3 = em3’ cos tit - -& ev31 sen VS. Completar el cuadrado y linealidad Evahíe T’ 1 ~ (s - 1)3 Completamos el cuadrado en el segundo denominador y aplicamos la lineaSOLUCIÓN lidad como sigue: = Jj e’t* + f e-’ senh 3t. Función escalón unitario En ingeniería se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar “encendidas” o “apagadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar después de cierto tiempo. Por ello, conviene definir una función especial, llamada función escalón unitario. Obsérvese que definimos a %(t - a) sólo en la parte no negativa del eje t porque es todo lo que interesa al estudiar la transformada de Laplace. En sentido más amplio, õu(t - a) = 0 cuando t < a. Gráficas de funciones escalán unitario Grafique a) Q(t) b) ‘%(t - 2) SOLUCIÓN a)%t)=L, t20 b) %(t - 2 ) = 1 Las gráficas respectivas están en la figura 7.12. 0 , 05t<2 7 tr2 Sección I I I 1 2 7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 315 L t (b) FIGURA 7.12 FIGURA 7.13 Cuando se multiplica por otra función definida para t 2 0, la función escalón unitario “apaga” una parte de la gráfica de esa función; por ejemplo, en la figura 7.13 vemos la gráfica de sen t, t 2 0, multiplicada por %(t - 279: f(t) =sen táU(t - 2~) = O’ {sen t, Ortc2n tr2n. La función escalón unitario también se puede usar para expresar funciones definidas por tramos en forma compacta; por ejemplo, la función g(t), f(t) = {h(t), OsKa t2a 0, = sN + -g(t) + h(t), I OStea t 2a (2) equivale a f(t) = g(t) - g(t)%(t - a) + h(t)%(t - a). De igual forma, una función del tipo 0, f(t) = g(t), 0, se puede escribir en la forma f(t) OSt<a a 5 t< b trb = g(t)[%(t - a) - %(t - b)]. Función expresada en términos de una función escalón unitario ost<5 El voltaje de un circuito está definido por E (t) = 2ot, o t25 *Grafique E(t). 7 / Exprese E (t) en términos de funciones escalón unitario. (3) (4) (5) 316 CAPíTULO 7 LA TRANSFORM@A DE IAPLACE FIGURA 7.14 SOLUCIÓN La gráfica de esta función definida parte por parte aparece en la figura 7.14. De acuerdo con (2) y (3), y con g(t) = 20t y h(t) = 0, llegamos a E(t)= 20t-20t%(t-5). Comparación de n funciones Para la función y =f(t), definida por f(t) = k’, compare las gráficas de (a) f(t), -03 < t < ~0 (b) f(t), t 2 0 (c) f(t - 2), t 2 0 (d) f(t - 2) %(t - 2), SOLUCIÓN ta) t 2 0 En la figura 7.15 se muestran las gráficas respectivas. (b) Cc) (4 FIGURA 7.15 En general, si a > 0, la gráfica dey =f(t - u) es la dey =f(t), t 2 0 desplazada a unidades hacia la derecha, sobre el eje t; sin embargo, cuando se multiplica ay =f(t - u) por la función escalón unitario õu(t - u) como en la parte d) del ejemplo 6, la gráfica de la función y = f(t - a)%(t - u) (6) coincide con la dey =f(t - u) cuando t 1 u, pero es idéntica a cero cuando 0 I t c u (Fig. 7.16). En el teorema 7.5 dijimos que un múltiplo exponencial dey(t) origina una traslación, o desplazamiento, de la transformada F(s) sobre el eje S. En el teorema que sigue veremos que Sección 7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 317 64 .fW. t 2 0 I c t t desplaGnient0 en el eje t (b) f(t-4%;?l(t-4 FIGURA 7.16 siempre que F(s) se multiplica por una función exponencial adecuada, la transformada inversa de este producto es la función desplazada de la ecuación (6). Este resultado se llama segundo teorema de traslación. DEMOSTRACIÓN Expresamos a j: e-‘y(t - u) ‘%(t - a) dt como la suma de dos integrales: Ze(.f(t - a)(ll(t - a)} = \ie-“f(t - a)Q(t - a) dt + 1: e-$ff(t - u) y(t ; u)dt \ / cero cuando ost<u = <m1 e-“f(t - u) dt. I Ahora igualamos u = t - u, du = dt y entonces %{f(t - u)%(t - u)} = \i e-s(vt”)f(u) du I e-m 0 @‘j(u) du = e-BsZ{f(t)}. I uno cuando t2u 318 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Segundo teorema de traslación Evalúe (e{ (t - 2)3 %(r - 2)). SOLUCIÓN Si identificamos a = 2, entonces, según el teorema 7.6, %{(t - 2)3%(t - 2)) = e+Lt{t3} = e+$ = se-“. n Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace sólo de la función escalón unitario. Esto se puede hace,. partiendo de la definición 7.1, o bien del teorema 7.6. Si identifícamosf(t) = 1 en el teorema 7.6, entoncesf(t - a) = 1, F(s) = Ce{ 1 } = lls y así Y{Q(t-a)} =f+. Función expresada en terminos (7) de funciones escalón unitario Determine la transformada de Laplace de la función de la figura 7.17. f(r){ FIGURA 7.17 SOLUCIÓN Con ayuda de la función escalón unitario se puede escribir f(t) = 2 -3 %(r-2)+ oU(t- 3). Aplicamos la linealidad y el resultado en la ecuación (7), ce{f(t)} = 9{2} - 3ce{%(t- 2)) + syi?.qt-- 3)) = :-3c$+c. s n Forma alternativa del segundo teorema de traslación Con frecuencia sucede que debemos determinar la transformada de Laplace de un producto de una función g por una función escalón unitario %(t - a), cuando la función g carece de la formaf(t - a) desplazada que se requiere en el teorema 7.6. Para hallar la transformada de Laplace de g(t) %(t - a) es posible “arreglar” a g(r) con manipulaciones algebraicas, para forzarla a adquirir la forma deseadaf(t - a); pero como esas maniobras son tediosas y a veces no son obvias, es más sencillo Sección 7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 319 contar con una versión alternativa del teorema 7.6. Emplearemos la definición 7.1, la definición de %(t - a) y la sustitución u = r - a, para obtener %{g(t)%(t - u)} = 11 e-“‘g(t) dt = 1: e-s(u+a)g(u + a) du. Esto es, Y{g(r) %(t - a)} = e- Y{g(t + u)}. (8) Segundo teorema de traslación, forma alternativa Evalúe Ce{ sen t %(r - 279). Hacemos g(t) = sen t, u = 29~ y tenemosg(t + 27r) = sen (t + 24 = sen t porque la función seno tiene periodo 27r. De acuerdo con la ecuación (8), SOWCIbN %{sent%(t - 2n)) = e-*“9{sent} = &. n Segundo teorema de traslación, forma alternativa Determine la transformada de Laplace de la función que se ilustra en la figura 7.18. Y (393) t (1, -1) g FIGURA 7.18 SOLUCIÓN Una ecuación de la recta que pasa por esos puntos es y = 2t - 3. Para “apagar” la gráfica y = 2t - 3 en el intervalo 0 5 t c 1 usamos el producto (2t - 3) Ou (t - 1). En este caso, con g(t) = 2t - 3, a = 1 y g(t + 1) = 2(t + 1) - 3 = 2t - 1, según la ecuación 8, Z((2t - 3)%(t - 1)) = e-“Z{2t - 1) = e-s 2 1 ?-; . ( ) Forma inversa del segundo teorema de traslación Sif(t)=T’{F(s)},laforma inversa del teorema 7.6, cuando u > 0, es 5P{e-aSF(s)} =f(t - u) %(t - u). (9) 320 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE la inversa según la fórmula (9) identidad trigonométrica + n Si F(s) = Ce { f(t)} y si suponemos que es posible intercambiar diferenciación e integración, entonces f F(s) = 2 10 e-“f(t) dt = 10 $ [e-“f(t)] dt = - 10 eesftf(t) dt = -Y@(t)}; esto es, De igual manera, Ce{t2f(t)} = ce{t *f(t)} = - -$ ce{tf(t)} Los dos casos anteriores sugieren el resultado general para 3 {t”‘(t)}. Aplicación del teorema 7.7 Evalúe (a) Ce{te3’} (b) Z{tsen kt} (c) Y{tz senkt} (d) %!{te-l cos t} SOLUCIÓN Usaremos los resultados c), d) y e) del teorema 7.2. a) En este primer ejemplo observamos que también pudimos usar el primer teorema de traslación. Para aplicar el teorema 7.7, n = 1 yf(t) = e3C 2{te3f) = - -$ (e{e”‘} = - 2 -+q =&y Cd 1 Sección b) 7.3 Teoremas de traslación (e{t sen kt} = - -$(e{senkrJ y derivadas de una transformada 321 2ks = - $ & = ( 1 (s2 + k*)* c) Con n = 2 en el teorema 7.7, esta transformada se puede escribir como sigue: %{t* senkt} = $ Ce{senkt}, y así, efectuando las dos derivaciones, tenemos el resultado. También podemos aplicar el resultado que ya obtuvimos en la parte b). Como 3 sen kt = t(t sen kt), llegamos a t de la parte b) Al diferenciar y simplificar obtenemos 6ks* - 2k3 (s* + k2)3 ’ %{t* sen kt} = d) (e{fe-’ cos t} = - f Y{e+ cos t} =-i t primer teorema de traslación +icos Os+s+l = G(&):+1) En los problemas 1 a 44 determine F(s) of(f), según se indique. 1. Ce{telOt} 2. Z(fe-“‘} 3. 3{t3e-u} 4. Ce{t10e-7’} 5 . Ce{e’sen 3t} 6. Y{emzt cos 4t} 7. L!Z{e5’senh 3t} 9. Y{f(er + e”)“} 11. Y{e-‘se&} 10. %{ez’(t - 1)2} 12. Zt?{e’ cos23t} 322 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 17* z-$+L+5} 19. ce-l r (s + 1)2 1 ce-* { 1 - s2(s2s+ 11y 21. 23. Y{(t - l)%(t - 1)) 25. ce{t%(t - 2)) 24. .9{e2+%(t - 2)) 27. L!?{cos 2t%(t - r)} 28. Y{sen f%(f - z)} 29. 2{(t - 1)3e’-1%(t - l)} 30. 2{tefms%(t - 5)) 31. Le-1 { 7 e-2s 1 33. s2 + 1 1 2-1 I -c- 26. Z((3t + l)%(t - 3)) 32. Ce-l {(l;;;"} ce-1 {- 1 s(s + 1) e-s 35. 37. ce(t cos 2t} 38. L!?(t senh 3t} 39. 2{t* senh t} 40. Z{t2 cos t} 41. Ce{te*’ sen 6t) 42. Ce{tee3’ cos 3t} 43. ce-1 I s (9 + 1)2 1 44. L-f?-l { + ;: 1 (s2 q2 En los problemas 45 a 50 haga corresponder cada gráfica con una de las funciones de a) a f); por ejemplo, la gráfica def(r) está en la figura 7.19. (4 (b) w W f(4 - fWW - 4 f(t - bWl(t - b) fww - 4 f(t) - f(OQ(t - b) f(r) ic , l I I a b FIGURA 7.19 c r Sección 7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 323 W f(OQ(t - 4 - f(t) Wt - b) (f) f(t - a)%(t - a) - f(t - a)%(t - b) 45. 46. fW ’ .fW ’ t b a I I0 I, a FIGURA 7.20 b . t FIGURA 7.21 47. 48. fCS fo) ’ t I ,I1 I a m t b I J\ a b FIGURA 7.22 t FIGURA 7.23 50. 49. fu t f(t) I I, I 1 b a P! c t I a FIGURA 7.24 ,, b . t FIGURA 7.25 En los problemas 51 a 58 exprese cada funcih en términos de funciones escalón unitario. Determine la transformada de Laplace de la función respectiva. 51. f(t) I 1 = 53. f(t) = ostc3 2, -2, tr3 0 , Ost<l tZ > t r l 52. f(t) 1, = i 0, 1, 54. f(t) = ;int, I t ost<4 45 ¿5 tr5 fz ;,:y2 324 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE t 05 C 28 t12ã 57. +z-z pulso rectangular FIGURA 7.26 función escalera (0 escalonada) FIGURA 7.27 En los problemas 59 y 60 trace la gráfica de cada función. 5 9. f(t)=%-1 L-C s2 1 { s2 60. f(t) = Le-1 2 3e-” 5em2” {;- 7 + 71 En los problemas 61 y 62 aplique el teorema 7.7 en la forma (n = 1) f(t) = - +P {-$(s)} para evaluar cada transformada inversa de Laplace. 61. Ce-l 1,s { 1 62. 2-P In s I 1 63. Aplique el teorema 7.6 para determinar Ce{ (? - 3t) oll(t -2)). Primero necesitara “arreglar” g(t) = 9 - 3t reformulándolo en términos de potencias de t - 2. Compruebe su respuesta aplicando la ecuación (8) de esta sección. Problema para discusión 64. ¿Cómo “arreglaría” cada una de las funciones siguientes para poder aplicar directamente el teorema 7.6 con objeto de hallar directamente la transformada de Laplace? (a) 3((2t + l)%(t - 1)) (c) ~{cas t%(t - n)} (b) L!T{e%(t - 5)) (d) Z{t sent%(t - 2~)) Sección 7.4 Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas 325 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS, INTEGRALES Y FUNCIONES PERIÓDICAS n n n Transformada de una derivada n Convolución de dos funciones n Teorema de convolución Forma inversa del teorema de convolución n Transformada de una integral Transformada de una firnción periódica Nuestra meta es aplicar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Para ello necesitamos evaluar cantidades como Ce{ dy/dt} y Ce{ dar/&}; por ejemplo, sif’ es continua para t 2 0, al integrar por partes obtenemos 0 sea Y(f’(t)} = sF(s) -f(O). (1) Para ello hemos supuesto que e-‘y(t) + 0 cuando t + 00. De igual forma, la transformada de la segunda derivada es (e{f”(t)} = \r e-"'f"(t) dt = e-srf'(t) m + s 0 e-slf’(t) dt I j = -f’(O) +” sZ{f’(t)) = mw - f(O)1 -f’(O) 0 sea ce{f”(r)} = s2F(s) - sf(0) -f’(O). (2) De manera análoga se puede demostrar que cecf”(1)) = s3F(s) - sy- - sf’(0) -f”(O). (3) Por los resultados en (l), (2) y (3), se ve que la transformada de Laplace de las derivadas de una tünciónfes de naturaleza recursiva. El siguiente teorema determina la transformada de Laplace de la enésima derivada deJ: Omitiremos su demostración. 326 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE Aplicación del teorema 7.8 Obsérvese que la suma kt cos kr + sen kr es la derivada de t sen kt. En consecuencia, I 9?{kt cos kt + sen kt} = Ce = sY{t sen kt} C de acuerdo con (1) =s -$S {sen kt} C según el teorema 7.7 Convolución Si las funcionesfy g son continuas parte por parte en [0, -), la convolución de f y g se representa por f * g y se define con la integral f* g = (fC7) g(t - 7) c-h-a Por ejemplo, la convolución de f(t) = ec y g(t) = sen t es e’ * sen, t = i e%en(t - T) d? = i (-sent - cos t + e’). I (4) Se deja como ejercicio demostrar que f*g=g*f. Esto es, que Vdase el problema 29 de los ejercicios 7.4. Esto significa que la convolución de dos funciones es conmutativa. Es posible determinar la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones sin tener que evaluar la integral como lo hicimos para la ecuacih (4). El resultado que veremos se conoce como teorema de la convolucih. DEMOSTRACIÓN Y Sean F(s) = Y{ f(f)} = ji e+f(T)dT G(s) = X{g(t) } = ji e-spg(B, d/3. Sección 7.4 Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas 327 Al proceder formalmente obtenemos m = 0 0 JJ e-s(T+p)f(7)g(/3) dTd@ =Jrn i.fWd~ J re -““‘“‘g(p) dp. Mantenemos fija uy escribimos t = T+ /?, dt = db, de modo que F(s)G(s) = /uf(~) drJ: ems’g(t - 7) dt. Estamos integrando en el plano tT sobre la parte sombreada de la figura 7.28. Puesto quefy g son continuas por tramos en [0, w) y son de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integración: W G(s) = Jo-e-“dtJ~f(~)g(t-7)d7= Jre-“{J:f(T)g(t--~)d~}dt=~~frg~. n FIGURA 7.28 Transformada de una convolución Evalúe 3 Ir 0 Si f(t) = e’ y g(t) = sen t, el teorema de la convolución establece que la transformada de Laplace de la convolución defy g es el producto de sus transformadas de Laplace: SOLUCIÓN e’sen(t - 7) dT 1 = Y{et}. (e{sent} = --& d-f& = (s - l)$ + 1) . . A veces, el teorema de la convolución es hil para determinar la transformada inversa de Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace. Según el teorema 7.9, Forma inversa del teorema de convolución 27’{F(s)G(s)} =f* g. (5) 328 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Transformada inversa como convolución SOLUCIÓN Podríamos usar el método de fracciones parciales, pero si identificamos y G(s) =$p y 5’{G(s)} = g(t) = em4’. entonces P{F(s)} = f(t) = e’ Por lo tanto, con la ecuación (4) obtenemos =e -4f 1_ e5r r 5 0 =-1 e’ - 1- e-4r. 5 Transformada inversp 5 como convolución Evalúe Ce-’ SOLUCIÓN Sea F(s) = ‘3s) = & de modo que L senkt. k En este caso, la ecuación (5) conduce a 9-1{(~2:k2j2}=$/~senkrsenk(l- 7)dr De acuerdo con la trigonometría, cos(A+B)=cosAcosB-senAsenB Y cos(A-B)=cosAcosB+senAsenB. Restamos la primera de la segunda para llegar a la identidad sen A sen B = i [cos(A - B) - cos(A + B)]. (6) Sección 7.4 Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas 329 Si A = kry B = k(t - T), podemos integrar en (6): 9-~{(s,~k2)*}=~~~[COSk(21-t)-CoSkt,d7 7coskt = sen kt - kt cos k t 1 I 0 2k3 Transformada de una integral c uando g(t) = 1 y Ce{g(t)} = G(s) = l/s, el teorema de la convolución implica que la transformada de Laplace de la integral defes (7) La forma inversa de esta ecuación, se puede usar en algunas ocasiones en lugar de las fracciones parciales cuando sn es un factor del denominador y f(t) = Ce-’ {F(s)} sea fácil de integrar; por ejemplo, sabemos que cuando f(t) = sen t, entonces F(s) = l/(s2 + l), así que, según (8), etcétera. También emplearemos la ecuación (7) en la próxima sección sobre aplicaciones. Transformada de una función periódica si el peno& de una función periódica es T > 0, entoncesf(t + T) =f(t). Se puede determinar la transformada de Laplace de una función periódica por una integración sobre un periodo. DEMOSTRACIÓN Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales: ~{.f(t>> = Ji Pf(t) dt + \F e-slf(t) dt. 330 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Escribiendo t = u + T, la última de las integrales de (9) se transforma en m T Pt(t) dt = m e -s(u+T)f(~ + T) du = PT \o Puf(u) du = e-“‘LE{f(t)}. I I0 Por consiguiente, la ecuación (10) es Ce{ Al despejar Z{ f(t)} f(t)} = 1: e-“‘f(t) dt + e-‘*3{ f(t)}. n se llega al resultado de la ecuación (9). Transformada de laplace de una función periódica Determine la transformada de Laplace de la función periódica que muestra la figura 7.29. FIGURA 7.29 SOLUCIÓN La función se puede definir en el intervalo 0 5 t c 2 como sigue: y fuera del intervalo mediante integración por partes: f(t f(t) = {; > + 2) = f(t), Con T = 2 aplicamos la ecuacibn (9) y la y(f & Ji e-“‘f(t) dt = & [[ie-“rdt + /fe?ldt] - (s -!- l)e-8 = 1,Z(i - e-“) - 1 (11) El resultado en la ecuación (ll) del ejemplo anterior se puede obtener sin necesidad de integrar, aplicando el segundo teorema de traslación. Si definimos t , O=t<l g(t) = { 0 , trl, entoncesf(t) = g(t) en el intervalo [0, 픑J, donde T = 2. Pero podemos expresar g en términos de una función escalón unitario, en fonna g(t) = t - t %(t - 1). Asi, Sección 7.4 Transformadas de derivadas, integrales >’ funciones periódicas 1. 331 = $-#{t - t%(t - 1)) t según (8), sección 7.3 Al examinar la expresión dentro de los paréntesis rectangulares vemos que es idéntica a (ll). 1 . Aplique el resultado (d/dt)e’ = et y la ecuación (1) de esy sección para evaluar Ce { e’} . 2. Aplique el resultado (CV&) cos’t = - sen 2t y la ecuacih (1) de esta sección para evaluar ce{cos2t}. En los problemas 3 y 4 suponga que una función y(t) cuenta con las propiedades y(O) = 1 y y’(O) = - 1. Determine la transformada de Laplace de las expresiones siguientes. 3. y” + 3y’ 4. y” - 4y’ + sy En los problemas 5 y 6 suponga que una función y (t) tiene las propiedades y (0) = 2 y y’(O) = 3. Despeje la transformada de Laplace Yb(t)} = Y(S). 5. y” - 2y’+y=0 6.y”+y= 1 En los problemas 7 a 20 evalúe la transformada de Laplace en cada uno, sin evaluar la integral. 12. Y 1; senTcos(t - T) dr 13. Y.{t[:skn~d~} 1 4 . 2 {t,;wd,} 15. ce{1 * P} 16. (e{l * e-*l} 17. (e{P * t4) 18. Z{t2 * te’} 19. %{eef * el cos t} 20. L!?{e2’ * sen t} En los problemas 21 y 22 suponga que T’ {F(s)} =f(r). Determine la transformada inversa de Laplace de cada función. 21. 5 F(s) 22. & J’(s) 332 CAPíTULO 7 L4 TRANSFORMADA DE LAPLACE En los problemas 23 a 28 use las ecuaciones (4) o (7) para calcularf(t). 29. Demuestre la propiedad conmutativa de la integral de convolución f*g=g*f: 30. Demuestre la propiedad distributiva de la integral de convolución f*(g+h)=f*g+f*h. En los problemas 3 1 a 38 aplique el teorema 7.10 para hallar la transformada de Laplace de la función periódica respectiva 31. 32. fW 1 f(í) -1 7 I I I- a I 2a 13a 14a I I II 1 7 I I t a 2a 3a l4a t t onda cuadrada +-función meandro FIGURA 7.30 FIGURA 7.3 1 34. fOI k 1 1 función diente de sierra 3 4 t onda triangular FIGURA 7.32 35. 2 FIGURA 7.33 36. f"'j rectificación de onda completa de sen t FIGURA 7.34 rectificación de media onda de sen t FIGURA 7.35 Sección 7.5 Aplicaciones 37.f(t) = sen t fo + 274 38.f@) = cos t fe + = f-w 333 279 =m Problemas para discusión 39. Explique la ecuación I * %(t - u) = i (I - a)’ %(t - a). 40. En la ecuación (7) vimos que el resultado Ce{j&r) dr} = F(s)/s, cuando F(s) = (e{ f(f)}, es consecuencia del teorema de la convolución cuando g(f) = 1. Aplique las definiciones y teoremas en este capítulo para hallar dos maneras más de llegar al mismo resultado. APLICACIONES n Uso de la transformada de Laplace para resolver un problema de valor inicial W Ecuación integral de Volterra n Ecuación integrodgerencial W Uso de la transformada de Laplace para resolver un problema de valor en la frontera Como Ce { y(“)(r)}, n > 1, depende de y(r) y de sus n - 1 derivadas, evaluadas en t = 0, la transformada de Laplace es lo ideal en problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Este tipo de ecuación diferencial se puede reducir a una ecuación algebraica en la función transformada, Y(s). Para comprenderlo, veamos el problema de valor inicial Y(O) = YO, y ’ ( O ) =y1> . .) y(qO) =y,-1, endondeai,i=O, l,..., nyyo,yl,. .., y,-l son constantes. De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace podemos escribir Según el teorema 7.8, la ecuación (1) equivale a a,[s”Y(s) - s”-‘y(O) + u,-@‘-~Y(~) - - * * - y’“-“(O)] - s”-*y(O) - - . . - y(“-*j(O)] + . - - + aoY(s) = G(s) 0 sea [uns” + u,-ls”-’ + - - * + ao]Y(s) = u,[s”-lyo + * - *+ ynq] + un-@-*yo + - . . + yn- + - . - + G(s), (2) en donde Y(S) = (e{y(r)} y G(s) = e{g(t)}. Despejamos Y(s) de (2) y llegamos a y(t) determinando la transformada inversa y(f) = ce-’ {Y(s)}. 334 CAPíTULO 7 LA TRANSFORhtADA DE LAPLACE FIGURA 7.36 El procedimiento se describe en la figura 7.36. Obsérvese que este método incorpora las condiciones iniciales dadas directamente en la solución; en consecuencia, no hay necesidad de las operaciones separadas para hallar las constantes en la solución general de la ecuacion diferencial. Ecuacih diferencial transformada en ecuación algebraica ‘-1 Resuelva Ti& dt -3y=e”,y(O)=l. SOLUCIÓN Primero sacamos la transformada de ca& lado de la ecuación diferencial dada: ce s - 3Y{y} = ze{e2’}. Il A continuación desarrollamos Ee{ u”M} = sY - y (0) = sY - 1, y Ce { e”} = l/(s - 2). Entonces sY - 1 - 3Y(S) = -J- s-2 despejamos Y(S) y descomponemos en fracciones parciales: 2 Y(s) = (s $$3) = - + s-2 s-3’ así que 1 ly(t) = -ce-* p2j+21f { s - 3} - De acuerdo con la parte c) del teorema 7.3, y(t) = -e2’ + 2e3’. Sección 7.5 Aplicaciones Un problema de valor inicial Resuelva y” - 6y’ + 9y = t 2e3y, y(O) = 2, y’(O) = 6. SOLUCIÓN Ce - 6%{y’} f 9(e{y} = ifY{tze3’} s’Y(s) - sy(0) -y’(O) - ó[sY(s) -y(O)] + 9Y(s) = &. Aplicamos las condiciones iniciales y simplificamos: (s2 - 6s + 9)Y(s) = 2s - 6 + Tsz;jjs (s - 3)2Y(S) = 2(S - 3) + & Y(s) = -2. + - s - 3 Así, (s-3)5’ y(t) = 22-1 ~s~3]+$&]. - De acuerdo con el primer teorema de traslación, 2-1 $ {I 1 = t4e3* . s-M-3 Por consiguiente, llegamos a y(t) = 2e3’ f I 12 &3’, Apkacibn del primer teorema de traslacih Resuelva y” + 4y’ + 6y = 1 + LI-~, y(O) = 0, y’(O) = 0. SOLUCIÓN Z’{y”} + 4 (e{y’} + 6 (e(y) = Z{l} + Cee-‘} s”Y(s) - sy(0) - y’(O) + 4[sY(s) - y(O)] + 6Y(s) = 3 + --& 2s f 1 (s* + 4s + 6)Y(s) = - s(s + 1) 2s -l- 1 Y(s) = s(s -+ 1)(s2 + 4s + 6)’ La descomposicih de Y(s) en fracciones parciales es 335 336 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE Dispondremos lo necesario para sacar la transformada inversa; para ello arreglamos como sigue a Y(s): (-1/2)(s + 2) - 2/3 (s + 2)2 + 2 2 1 ll6 1/3 1 s+2 z-+-vS s + l 2(s+2)*+2-3(s+2)2+2’ Y(s) = F + $ + Por ultimo, de acuerdo con las partes a) y c) del teorema 7.3 y el primer teorema de traslación, llegamos a y(t)=g?l {‘} ; +jcel 1{&}-;~-1{(sI$2+2}-&+(s+$+2} =~+;e-‘-;~-21 cos tit - 2 e-2t sen VS. 3 n Aplicación de los teoremas 7.3 y 7.7 Resuelva x” + 16~ = cos 4t, x(O) = 0, x’(O) = 1. SOLUCIÓN Recuérdese que este problema de valor inicial podría describir el movimiento forzado, no amortiguado y resonante de una masa en un resorte. La masa comienza con una velocidad inicial de 1 ft/s, en dirección hacia abajo, desde la posición de equilibrio. Transformamos la ecuación y obtenemos (9 + 16)X(s) = 1 + -& S X(s) = -J-s2+16+(s2+16)*’ Con ayuda de la parte d) del teorema 7.3, y de acuerdo con el teorema 7.7, = Isen4t + 1 t sen4t. 4 8 Empleo de una función escalón unitario Resuelva x” + 16~ =f(t), x(O) = 0, x’(O) = 1, en donde SOLUCIÓN cos4t, f(t) = {() 9 Ost<?r t 2 ?r. Se puede interpretar que la funciónf(t) representa una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico sólo durante un corto intervalo de tiempo, y despu6s n Sección 7.5 Aplicaciones 337 FIGURA 7.37 desaparece (Fig. 7.37). Aunque este problema se podría resolver con métodos convencionales, el procedimiento no conviene de ninguna manera, cuando se define ay(t) por tramos. Con ayuda de las ecuaciones (2) y (3) de la sección 7.3 y la periodicidad del coseno, podremos reformularfen thninos de la función escalón unitario como sigue: f(f) = cos 4t - cos 4t %(r - 7r). Para transformarfaplicamos la ecuación (8) de la sección 7.3, y obtenemos Ce{.?‘} + 16%‘{x} = Ce{f(t)} $X(S) - SX(O) - X’(O) + 16X(s) = & - -& eens (9 + 16)X(s) = 1 + & - Ae-” 1 x(s) = $ + 16 + @2 +” l(j)2 - ($ + l(j)2 e-“* Empleamos la parte b) del ejemplo 12, sección 7.3 (con k = 4), junto con la ecuación (8) de esa sección: = isen4t + i tsen4t - f (t - a)sen4(t - n) %(t - a). La solución anterior es lo mismo que asen4t+itsen4t, 40 = OltC7r 2 + 1T - sen4t, 8 tzn. En la gráfica de x(t) de la figura 7.38 se puede ver que las amplitudes de oscilación se estabilizan tan pronto como la fuerza externa se “apaga”. n 338 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE IAPLACE FIGURA 7.38 Ecuación integral de Volterra El teorema de la convolucih es útil para resolver otros tipos de ecuaciones, cuando aparece una función desconocida bajo un signo integral. En el ejemplo que sigue resolveremos una ecuacibn integral de Volterra, para determinarf(t). Se conocen las funciones g(t) y h(f). Una ecuación integral Resuelva f(t) = 3t 2 - e-’ - ( f(~)e’-~&y determinef(t). SOLUCIÓN De acuerdo con el teorema 7.9, (e{f(t)> = 3Ce{t*} - ce(P) - e{f(t)}e{c?} F(s)=3.5--&- F(s) *-L S-l Despejamos F(s) de la última ecuacih y llegamos a F@) = !e$ - s-l s(s + 1) 6 6+‘/2- “7-3 s scl’ C divisibn tkmino a thnino y fracciones parciales La transformada inversa es = 3t2 - t3 + 1 - 2e-‘. n Circuitos en serie En un circuito simple (de un “lazo”) o en serie, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caidas de voltaje a través de un inductor, un resistor y un capacitar es igual al voltaje aplicado E(t). Se sabe que las caidas de voltaje a través de cada elemento son, respectivamente, Sección 7.5 Aplicaciones 339 FIGURA 7.39 di Li% Ri(t) y $ ji i(T) dT, donde i(f) es la corriente y L, R y C son constantes. La corriente en un circuito como el de la figura 7.39 está definida por la ecuación integrodiferencial Una ecuación inbgrodiferencial Determine la corriente i(t) en un circuito LRC en serie, cuando L = 0.1 h, R = 20 f2, C = lOe3 f, i(O) = 0 y el voltaje aplicado es el que muestra la figura 7.40. FIGURA 7.40 SOLUCIÓN Puesto que el voltaje esta apagado cuando f 2 1, podemos escribir E(r) = 120t - 120t%(t - 1). (4) Entonces, la ecuacibn (3) se transforma en 0.1 $ -t 20i f lol[ i(7) d7 = 120t - 120t%(t - 1). (5) RecordemosqueT{~~i(r) d7) =Z( 5 )/s, como vimos en la ecuación (7) de la sección 7.4, donde Z(s) = Se(i(f)} . Entonces, la transformada de la ecuack’m (5) es O.lSl(S) + 2OZ(S) + 10 3+ 120 l&+~ [ sz s2 1 t según (8), sección 7.3 Multiplicamos esta ecuación por 10s y a continuación despejamos Z(S) para obtener 340 CAPíTULO 7 LATRANSFORMADA DE IAPLACE Descomponemos en fracciones parciales: l/lO 000Z(s) = 1200 L S [ l/lO L 000 - l/lOO e-s 1/10,000 s + 100 (S + lOO)2 s + 1/10,000 e-s + l/lOO s + 100 (s + loo)* e-- - (s +ioo,2 e--S1 * Al aplicar la forma inversa del segundo teorema de traslación llegamos a 3 3 i(t) = 81 - %(t - l)] - 25 [e- 1001 - e-lw-l) cqf - l)] - 12te-‘O”’ - 1188(t - l)e-lOO(‘-l)%(t - 1). n Un voltaje periódico aplicado La ecuación diferencial de la corriente i(t) en un circuito LR en serie es 0 Determine la corriente, i(t), cuando i(O) = 0 y E(t) es la función de onda cuadrada que muestra la figura 7.41. FIGURA 7.41 SOLUCIÓN La transformada de Laplace de la ecuación es LsZ(s) + RZ(s) = Y{E(t)}. Como E(t) es periódica, con periodo T = 2, aplicamos la ecuación (9) de la sección 7.4: Ce{E(t)} = & i 1 . e-s’ dt + 1: 0 *emS’ dt -l-e-” 1 1 -eeZS S 1 = ~(1 + e-J)’ t 1 - 6~~~’ = (1 + e”)(l - e”) Por consiguiente, de acuerdo con (7), Z(s) = l/L s(s + RIL)(l + P)’ (7) Sección 7 . 5 A p l i c a c i o n e s 341 Para determinar la transformada inversa de Laplace de esta función, primero emplearemos una serie geométrica. Recordemos que, cuando 1x1~ 1, Si x = e*, cuando s > 0 tenemos que 1 1 _ e-s + -= 1 + e-s e-2s - e-3s +... 1 _L LIR I R s(s+ R I L ) s s+RIL’ Si escribimos la ecuación (8) se transforma en (1 - e-s + e-2s - e-3s + . . .) e-3s e-2s e-s ---+... s-RIL-s+ RIL s + RIL Al aplicar la forma inversa del segundo teorema de traslación a cada término de ambas series obtenemos i(t) = f (1 - %(t - 1) + %(t - 2) - %(t - 3) + ***) - f (e-RrlL - e-R(r-l)lL ~&(t _ 1) + e-R(r-2)/LQ(t _ 2) _ e-R(t-3)lL%(t _ 3) + . . .) 0, lo que es lo mismo, i(t) = i (1 - emRrIL) + f g (-l)“(l - e-R(r-n)‘L) %(t - n). n 1 Para interpretar la solución del ejemplo 8 supongamos, como ejemplo, que R = 1, L = 1 y 0 I t < 4. En ese caso, i(t) = 1 - eer - (1 - &‘)óu(t - 1) + (1 - e+*))Q(t - 2) - (1 - e-(‘-3))%(t - 3); En otras palabras, (1 - e-‘, -e-’ + e-@-‘) i(t) = 1 1 - e-t + e-C:‘) - e-(fe2) 7 -e-t + e-(f-l) - e-(r-2) + e*(r-3), O<t<l 11tc2 21tc3 3 5 t < 4. En la figura 7.42 vemos la gráfica de i(t) en el intervalo 0 5 t C 4. n 342 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE IAPLACE FIGURA 7.42 Vigas En la sección 5.2 dijimos que la deflexión estática y(x) de una viga uniforme de longitud L que resiste una carga w(x) por unidad de longitud se calcula con la ecuación diferencial de cuarto orden en que E es el módulo de elasticidad e Z es el momento de inercia de la sección transversal de la viga. El método de la transformada de Laplace se presta muy bien a resolver la ecuación (9) cuando w (x) está definida por tramos. Para aplicar esta transformada, supondremos ticitamente que w(x) y y(x) están definidas en (0, -), más que en (0, L). Nótese también que el ejemplo siguiente es un problema de valores en la frontera, y no un problema de valor inicial. Problema de valores en la frontera Una viga de longitud L está empotrada en sus extremos (Fig. 7.43). Calcule la flecha de la viga cuando la carga se define como sigue: I wo w(x) = l-E, > ( 1 O<x<L/2 L/2<x<L. i 0, SOLUCIÓN Como la viga está empotrada en sus dos extremos, las condiciones en la frontera son y (0) = 0, y’(O) = 0, y(L) = 0, y’(L) = 0. También, el lector debe comprobar que ,,=,(1+)-,(l-~+o-$) =9[$-,+ (++-g)]. muro FIGURA 7.43 Sección 7.5 Aplicaciones 343 Al transformar a (9) respecto a la variable x, se obtiene EZ(dY(s) - Sy - sy - sy”(0) - y 11’(0)) = 2 S4y($ 0 Sea - sy” - y”‘(()) = 2 Si CI = y”(O) y c2 = y”‘(O), entonces 2wo L/2 Y(s)=$+$+Ei¿ 1 ss-,ó+$+2 [ en 1 > consecuencia, Aplicamos las condiciones y(L) = 0 y y’(L) = 0 a este resultado para obtener un sistema de ecuaciones en cl y ~2: Cl cL+cLz+85woLs=() 1 22 960EZ * Al resolverlas vemos que CI = 23~0 L2/960EI y c2 = -9~0 Ll4OEI. De esta forma queda definida la deflexión mediante Y(X) r - 23woL2 x2 1920EZ 5L 4-x~+(x-gyx-g)]. 2’ m---- rn Y(s) Esta observación continúa presentando la terminología de los sistemas dinámicos. A la luz de las ecuacionesJ( 1) y (2) de esta sección, la transformada de Laplace se adapta bien al análisis de los sistemas dinámicos lineales. Si despejamos de la ecuación general transformada (2), obtenemos la expresión y@) = G(s) + ecs> P(s) P(s)’ (10) Aquí, P(s) = a,,S + anmls,,+ +. . + ao es igual al polinomio auxiliar de grado n si reemplazamos el símbolo normal m con S, y G(s) es la transformada de Laplace de g(r) y Q(s) es un polinomio de grado n - 1 en s, formado por los diversos productos de los coeficientes at, i = 1,2, . . . , n, 344 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE y las condiciones iniciales dadas, yo, yl, . . .,yn-1; por ejemplo, el lector debe comprobar que cuando n = 2, Q(s)/P(s) = (aoy,,s + azyl + a,yo)/(azsZ + ap + so). Se acostumbra llamar función de transferencia a la recíproca de P(S), o sea, W(S) = W(s), del sistema, y expresar la ecuación (1 O),en la forma Y(s) = W(s) G(s) + W(s) Q(s). (11) De este modo hemos separado, en sentido aditivo, los efectos de la respuesta originados por la función de entrada g (esto es, W(s) G(s)) y por las condiciones iniciales (es decir, W(S) Q(s)); por consiguiente, la respuesta del sistema es una superposición de dos respuestas: ~(0 = ~-‘{W> G(s)} + ~-‘{W) Q(s)} =YOW +vd4 La función yo(r) = (e-l{ V(S) G(s)} es la salida originada por la entrada g(r). Si el estado inicial del sistema es el estado cero, con todas las condiciones iniciales cero (yO = O,y, = 0,. . . ,JJ,,-~ = 0), entonces Q(s) = 0, así que la única solución del problema de valor inicial es yo(t). Esta solución se llama respuesta de estado cero del sistema. Si se razona en términos de resolver la ecuación diferencial, digamos por el método de coeficientes indeterminados, la solución particular obtenida sería yo(t). Obsérvese también que, de acuerdo con el teorema de convolución, la respuesta de estado cero se puede expresar como una integral ponderada de la entrada: yo(r) = J~w(T) g(t - 7) dr = w(t) * g(t). En consecuencia, la inversa de la función de transferencia, w(t) = Se-‘{ W(S)> se llama función de peso o de ponderación, del sistema. Por último, si la entrada esg(t)=O, la solución del problema esr,(t)=(e-‘{Q(s) W(S)}, y sedenomina respuesta de entrada cero del sistema. En el ejemplo 2, la respuesta de estado cero es yO (r) = r4e3’/12, la respuesta de entrada cero es y,(t) = 2e3’, la función de transferencia es W(S) = l/(s* - 6s + 9) y la función peso del sistema es w(t) = Y-‘{ W(S)} = te”. En el apéndice III se encuentra una tabla de las transformadas de algunas funciohes básicas. En los problemas 1 a 26 use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales indicadas. Cuando sea apropiado, exprese f en términos de funciones escalón unitario. 1. “- y = 1, y(O) = 0 2. 4+2y = t, y(O)= -1 3 . y’ + 4y = em41, y(O) = 2 4. y’ - y = sen t, y(O) = 0 5 . y” + 5y’ + 4y = 0, y(O) = 1, y’(O) = 0 6 . y” - 6y’ + 13y = 0, y(O) = 0, y’(O) = -3 7 . y” - 6y’ + 9y = t, y(O) = 0, y’(O) = 1 8 . yn - 4y’ + 4y = t3, y(O) = 1, y’(O) = 0 9 . y” - 4y’ + 4y = t3eZt, y(O) = 0, y’(O) = 0 1 0 . y” - 2y’ + 5y = 1 + t, y(O) = 0, y’(O) = 4 ll. y” + y = sen t, y(O) = 1, y’(O) = -1 12. y” + 16y = 1, y(O) = 1, y'(O) = 2 1 3 . y” - y’ = e’cos t, y(O) = 0, y’(O) = 0 Sección 7.5 Aplicaciones 345 1 4 . y” - 2y’ = et senb t, y(O) = 0, y’(O) = 0 15. 2~" + 3y" - 3y' - 2y = e-‘, y(O) = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 1 16. yn’ + 2~” - y’ - 2y = sen 3t, y(O) = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 1 1 7 . y(4) - y = 0, y(O) = 1, y’(O) = 0, y”(O) = -1, y”‘(O) = 0 18. y’4’ - y= t, y(O) = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 0, yyo) = 0 0 , Ost<l 5 tL 1 3 1 , Ost<l 20. y’ + y = f(t), y(O) = 0, en donde f(t),= -1 t ~ 1 { > t, Ost<l 21. y’ + 2y = f(t), y(O) = 0, en donde f(t) = o t > 1 I, 19. y’ + y = f(t), y(O) = 0, en donde f(t) = 22. y” + 4y = f(t), y(O) = 0, y’(O) = -1, en donde f(t) = 23. y” + 4y = sen t%(t - 2z7), y(O) = 1, y’(O) = 0 2 4 . y” - 5y’ + 6y = %(t - l), y(O) = 0, y’(O) = 1 25. y” + y = f(t), y(O) = 0, y’(O) = 1, en donde f(t) = 0 , Ost<n 1 , T 5 t < 277 0, 26. y” + 4y' + 3y = 1 - %(t - 2) - %(t - 4) + %(t - 6), y’(O) = 0 tr2lr y(O) = 0, En los problemas 27 y 28, aplique la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial dada sujeta a las condiciones indicadas en la frontera. 27. y” + 2y’ + y = 0, y’(O) = 2, y( 1) = 2 28.y”-9y’+2Oy=l, y(O)=O,y’(l)=O En los problemas 29 a 38 resuelva la ecuación integral o integrodiferencial respectiva con la transformada de Laplace. 29. f(t) + 1; (t - T)~(T) dr = t 30. f(t) = 2t - 4 /isen Tf(t - T) dr 31. f(t) = te’ + 1: Tf(t - T) dr 32. f(t) + 2 \if(~) cos (t - T) dT = 4e-’ + sen t 33. f(t) + ~-O)(T) d7 = 1 f 34. f(t) = cos t + o e-‘f(t - T) d7 I 35. f(t) = 1 + t - i 1; (7 - t)3f(T) d7 36. t - 2f(t) = 1: (eT - e-‘)f(t - T) d7 37.y’(t)=l-sent-/iy(~)d~, 38. ;- 6y(t) + 9 j-i ~(7) d7 = 1, y(O)=0 y(O) = 0 346 CAPíTULO 7 IA TRANSFORMADA DE IAPLACE 39. Mediante la ecuación (3) determine la corriente i(t) en un circuito LRC en serie, cuando L = 0.005 h, R = 1 R, C = 0.02 f, E(r) = lOO[l - all(t - l)] V e i(O) = 0. 40. Resuelva el problema 39 cuando E(t) = lOO[t - (I - 1) p(r - l)]. 41. Recuerde que la ecuación diferencial que describe la carga q(t) en el capacitar de un circuito RC en serie es Rh+ 1 = (j) dt Cq ’ ’ donde E(t) es el voltaje aplicado (véase Sec. 3.1). Emplee la transformada de Laplace para determinar la carga, q(t), cuando q (0) = 0 y E(t) = &emkt, k > 0. Examine dos casos: cuando k * 1 IRC y cuando k = 1 IRC. 42. Aplique la transformada de Laplace para calcular la carga en el capacitar de un circuito en serie RC, cuando q(O) = qo, R = 10 R, C = 0.1 f y E(t) es la que aparece en la figura 7.44. FIGURA 7.44 FIGURA 7.45 43. Use la transformada de Laplace para determinar la carga en el capacitar de un circuito en serie RC, cuando q(O) = 0, R = 2.5 R, C = 0.08 f y E(t) es la que aparece en la figura 7.45. 44. a) Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(t) en el capacitar de ‘un circuito RC en serie, cuando q(O) = 0, R = 50 R, C = 0.01 f y E(t) es la que aparece en la figura 7.46. b) Suponga que Eo = 100 V. Con un programa de gráficas trace la función q(t) en el intervalo 0 I t 5 6. Con esa gráfica estime qmh, el valor mkimo de la carga. FIGURA 7.46 FIGURA 7.47 4 5 . a) Use la transformada de Laplace para calcular la corriente i(t) en un circuito en serie LR, con i(O) = 0, L = 1 h, R = 10 Q y E(t) es la que aparece en la figura 7.47. b) Con algún sofhvare para graficas, trace i(t) en el intervalo 0 It I 6. Con esa grafica estime i,,,h e imí”, los valores máximo y mínimo de la corriente. 46. Resuelva la ecuación (6) sujeta a i(O) = 0, y E(t) es la función meandro de la figura 7.48. [Sugerencia: vea el problema 31 de los ejercicios 7.4.1 347 FIGURA 7.49 FIGURA 7.48 47. Resuelva la ecuación (6), sujeta a i(O) = 0, y E(t) es la fknci6n diente de sierra de la figura 7.49. Especifique la solución cuando 0 I t < 2. [Sugerencia: vea el problema 33 de los ejercicios 7.4.1 48. Recuerde que la ecuación diferencial que expresa la carga instantánea, q(t), del capacitar de un circuito en serie LRC es Vea la sección 5.1. Aplique la transformada de Laplace para hallar q(t) cuando L = 1 h, R = 20 !i2, C = 0.005 f, E(t) = 150 V, t > 0, q(O) = 0 e i(O) = 0. ¿Cuál es la corriente i(t)? ¿Cuál es la carga q(t) si se desconecta el mismo voltaje constante para f 2 2? 49. Determine la carga, q(t), y la corriente, i(t), en un circuito en serie, en el que L = 1 h, R = 20 R, C = 0.01 f, E(t) = 120 sen 10t V, q(O) = 0 C e i(O) = 0 A. iCuál es la corriente deestado estable? FIGURA 7.50 50. Una batería de voltaje constante, Es V, carga al capacitar de la figura 7.50. Si dividimos entre L y definimos X = R/2L y 2 = l/LC, la ecuación (12) se transforma en d2q z+2A 4’34=$. dt Use la transformada de Laplace para demostrar que la solución de esta ecuación, sujeta a q(O) = 0 y a i(O) = 0, es (,C[l -e-“‘(cosh~~+~;ise~~~)], q(t) = E&[l - e-“‘(1 + At)], I E,C 1 - e-*’ cos GT& + senkGT% VA [ ( h>o h=fd )1 , h < w. 348 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 51. Aplique la transformación de Laplace para determinar la carga, q(t), en el capacitar de un circuito en serie LC, cuando q(O) = 0, i(O) = 0 y E(t) = EgeTkt, k > 0. 52. Suponga que una pesa de 32 Ib estira 2 ft un resorte. Si se suelta partiendo del reposo desde la posición de equilibrio, deduzca la ecuación de su movimiento, cuando una fuerzaf(r) = sen I actúa sobre el sistema durante 0 I t < 2n y luego desaparece. No tenga en cuenta fuerzas de amortiguamiento. [Sugerencia: exprese la fuerza actuante en términos de la función escalón unitario.] 53. Una pesa de 4 Ib estira 2 ft un resorte. Dicha pesa parte del reposo a 18 in arriba de la posición de equilibrio y el movimiento se produce en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a % por la velocidad instantánea. Con la transformación de Laplace encuentre la ecuación del movimiento. 54. Una pesa de 16 Ib se cuelga de un resorte cuya constante es k = 4.5 lb/ft. A partir de t = 0, se aplica al sistema una fuerza igual ay(t) = 4 sen 3t + 2 cos 31. Suponiendo que no hay fuerzas de amortiguamiento, use la transformada de Laplace para deducir la ecuación del movimiento, cuando la pesa se suelta y parte del reposo desde la posición de equilibrio. 55. Una viga en voladizo esta empotrada en su extremo izquierdo y libre en el derecho. Determine la flecha y(x) cuando la carga está expresada por w(x) = 1 wo, 0, 0<x<L/2 Ll2 < x < L. 56. Resuelva el problema 55 cuando la carga es 0, w(x) = wo, 0, O<x<L/3 Ll3 < x c 2Ll3 2Ll3 <x<L. &l 57. Determine la flecha y(x) de una viga en voladizo cuando la carga es la del ejemplo 9. 58. Una viga empotrada en su extremo izquierdo está simplemente apoyada en su extremo derecho. Determine la flecha y(x) cuando la carga es como la del problema 55. Problema para discusión 59. La transformada de Laplace no se presta bien para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables; sin embargo, se puede usar en algunos casos. LCuales teoremas de las secciones 7.3 y 7.4 son adecuados para transformar q” + 29 + 2y = t? Determine la solución de la ecuación diferencial que satisface ay(O) = 0. Problema de programación 60. En la parte a) de este problema guiaremos al lector por los comandos de Mathematica que le permitirán obtener la transformación simbólica de Laplace de una ecuación diferencial y la solución del problema de valor inicial determinando la transformación inversa. En Mathematica, la transformada de Laplace de una función y(t) se obtiene tecleando LaplaceTransform [y,[t], t, 51. Sección 7.6 Función delta de Dirac 349 En el segundo renglón de la sintaxis se reemplaza el comando anterior con el símbolo Y. (Si el lector no dispone de Mathematica, adapte el procedimiento descrito para software que tenga a la mano.) a) Se tiene el problema de valor inicial y” + 6y’ + 9y = t sen t, y(O) = 2, y’(O) = -1. Cargue el paquete de la transformada de Laplace. Capture exactamente cada renglón de la secuencia de comandos que sigue y ejecútelos en su momento. Copie la salida a mano o imprima los resultados diffequat = y”[t] + 6y’[t] + 9y[t] == t Sin[t] transformdeq = LaplaceTransfonn [diiequat, t, s] /. {y[O] - > 2, > -1, LaplaceTransform [y[t], t, s] - > Y} y’uu soln = Solve[transformdeq, Y] // Flatten Y = Yl. solu InverseLaplaceTransform[Y, s, t] b) Modifique el procedimiento de la parte a) lo necesario para llegar a una solución de y “’ + 3y’ - 4y = 0, y(O) = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 1. c) La carga q(t) de un capacitar en un circuito en serie LC está determinada por $++=1-4491(t-ír)+6%(t-3a), q(O) = 0, q’(O) = 0. Modifique el procedimiento de la parte a) lo necesario para hallar q(t). En Mathematica, la función escalón unitaria, %(t - a) se escribe UnitStep[t - a]. Grafique la solución. FUNCIÓN DELTA DE DIRAC H Impulso unitario n Lafunción delta de Dirac n Transformada de lafunción delta de Dirac n Pkpiedad de cernido Impulso unitario Con frecuencia, sobre los sistemas mecánicos actúan fuerzas externas (o fem sobre los circuitos eléctricos) de gran magnitud solo durante un lapso muy breve; por ejemplo, en un ala de aeroplano que se encuentre oscilando, puede caer un rayo, se puede dar un golpe brusco a tma masa en un resorte con un martillo de bola, o una bola de béisbol (golf o tenis), podría mandarse volando golpeándola violentamente con algún tipo de garrote, como un bate, un palo de golfo una raqueta. La función (0, &(t - to) = +#, i 0, Olt<tO-a to-alt<to+a t 2 t. + a, (1) 350 CAPíTULO 7 LA TRANSFOfWADA DE LAPIACE FIGURA 7.5 1 cuando a > 0, to > 0 se ven en la figura 7Sla), y podrían servir como modelo matemático de este tipo de fuerzas. Para valores pequeños de a, &(t - to) es, esencialmente, una funci6n constante de gran magnitud que se encuentra “encendida” ~610 durante un lapso muy pequeño, alrededor de to. El comportamiento de &(t - to) cuando a + 0 se muestra en la figura 75lb). Esta funcih, ¿&(t - to), se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integración, jo 6,(t-to)dt= 1. Función delta de Dirac En la prhctica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una “fbnción” que aproxima &(t - to), definida con el límite 6(t - fo) = lím 6, (t - fo). ll-10 (2) Esta última expresión, que por ningún motivo es una función, se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes: (i) ¿T(t - 20) = ;> I > ;; :” 0 y (ii) 1: 8(t - to) dt = 1. Impulso unitario 6(t - to), se denomina función delta de Dirac. Sección 7.6 Función delta de Dirac 351 Es posible obtener la transformada de Laplace de la función delta de Dirac con la hipótesis formalde que 5?{6(t- to)) = lím,,~Ce{&(t-10)). DEMOSTRACIÓN Comenzaremos expresando a &(t - fc) en términos de la fimcibn escalón unitario, de acuerdo con las ecuaciones (4) y (5) de la sección 7.3: ¿3,(t - to) = $ [%!(t - (to - a)) - %(t - 00 + a>)l. Según la linealidad y la ecuación (7) de la sección 7.3, la transformada de Laplace expresión es de esta (4) Como esta ecuacion tiene la forma indeterminada O/O cuando a + 0, aplicamos la regla de L’Hôpital: Z{s(t - to)} = ~~ .2?{¿3,(t - to)} = e+‘o i% y = Po. ( 1 Cuando ro = 0, parece lógico suponer, de acuerdo con la ecuación (3), que L!?{S(t)} = 1. Este resultado subraya el hecho de que a(t) no es el tipo normal de función que hemos manejado porque, de acuerdo con el teorema 7.4, esperariamos que (e{ f(t)} + 0 cuando s + 0~. Dos problemas de valor inicial Resuelva JJ” + y = 46(t - 27r), sujeta a a) y(O) =I 1, y’(O) = 0; b) y(O) = O,/(O) = 0. Estos dos problemas de valor inicial podrían servir de modelos para describir el movimiento de una masa en un resorte en un medio en que el amortiguamiento sea insignificante. Cuando t = 27r, se imparte un fuerte golpe a la masa. En a), la masa parte del reposo a una unidad abajo de la posición de equilibrio. En b), la masa se encuentra en reposo en la posición de equilibrio. SOLUCIÓN a) Según (3), la transformada de Laplace s2Y(s) - s + Y(s) = 4fP” 0 sea de la ecuación diferencial es &pJ Y(s) = -!- + -. s2 + 1 s* l- 1 352 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Aplicamos la forma inversa del segundo teorema de traslación para obtener y(t) = cos t + 4sen(t - 2n)%(t - 2~). Como sen(t - 2~) = sen t, la solución anterior se puede expresar y(t) = cos t, { cos t + 4sent, Q5t<2n tr2a. (5) En la figura 7.52 -la gráfica de (5)-vemos que la masa tenía movimiento armónico simple hasta que fue golpeada cuando t = 27~. La influencia del impulso unitario es aumentar la amplitud de oscilacion hasta fi, cuando t > 2n. b) En este caso, la transformada de la ecuación es, sencillamente, y(t) = 4 sen(t - 27r) %(t - 27r) y así 0, = { 4sent, OIt<211 t227T. (6) La gráfica de esta ecuación (Fig. 7.53) muestra que, como era de esperarse por las condiciones iniciales, la masa no se mueve sino hasta que se le golpea cuando t = 27r. n FIGURA 7.52 FIGURA 7.53 i) Si b(t-to) fuera una función en el sentido normal, la propiedad i) de la página 350 significaría que jrb(t - t,,) dt = 0, y no = 1. Dado que la función delta de Dirac no se “comporta” como una función ordinaria, aunque su aplicación produce resultados correctos, al principio sólo mereció el desdén de los matemáticos; sin embargo, en la década de los 40, Laurent Schwartz, matemático francés, colocó esta controvertida función sobre una base rigurosa en su libro La Théorie de distribution que, a su vez, abrió una nueva rama de las matemáticas, la teoría de distribuciones o funciones generalizadas. En esa teoría, la ecuación (2) no es la definición aceptada de 6(t - to), ni se habla de una función cuyos valores no sean = ni 0. Aunque no Sección 7.6 Función delta de Dirac 353 desarrollaremos más este tema, baste señalar que la función delta de Dirac se caracteriza mejor por su efecto sobre otras funciones. Entonces, sifes una función continua, se puede tomar como la definición de 6(t - to). Este resultado se llama propiedad cernidora porque 6(t - to> tiene el efecto de cernir y apartar el valor def(to) del conjunto de valores def en [o, ->. Obsérvese que la propiedad ii), conf(t) = 1, y la ecuación (3), conf(t) = e”‘, son consistentes eón la ecuación (7). i) En la observación de la sección 7.5 indicamos que la función de transferencia de una ecuación diferencial general de orden n, con coeficientes constantes, es W(S) = W(s), donde P(s) = a, E + un-pn-’ + + ao. La función de transferencia es la transformada de Laplace de la función w(t), la función peso de un sistema lineal. Pero w(t) también se puede caracterizar en términos de lo que se esté maneiando. Por simplicidad, veamos una ecuación lineal de segundo orden, donde la entrada es un impulso unitario cuando t = 0: a2yv + aly’ + uoy = s(t), y(O) = 0 , y'(O) = 0. Aplicamos la transformada de Laplace (e{~(t)} = 1, con la cual vemos que la transformada de la respuesta y, en este caso, es la función de transferencia Y(s) = l = & = W(s) a2sz + als + ao y así 1 y=T-l p(s) = w(t). 1 1 Según lo anterior -y en términos generales- la función peso y = w(t) de un sistema lineal de orden n es la respuesta de estado cero del sistema a un impulso unitario. Por este motivo, w(t) también se llama respuesta al impulso del sistema. Con la transformada de Laplace resuelva la ecuación diferencial respectiva en los problemas 1 a 12 sujeta a las condiciones iniciales indicadas. 1. 2. 3. 4. y’ y’ y” y” + + + 3y = s(t - 2), y(O) = 0 y = s(t - l), y(O) = 2 y = qt - 2a), y(O) = 0, y’(O) = 1 16y = s(t - 274 y(O) = 0, y’(O) = 0 6. y” + y = cT(t - 277) + 8(t - 47r), y(O) = 1, y’(O) = 0 7. y ” + 2y’ = s(t - l), y(O) = 0, y’(O) = 1 8. y” - 2y’ = 1 + c3(t - 2), y(O) = 0, y’(O) = 1 9. y” + 4y’ + 5y = qt - 2n), y(O) = 0, y’(O) = 0 10. y” + 2y’ + y = qt - l), y(O) = 0, y’(O) = 0 354 CAPhULO 7 LA TRANSFORMADA DE IJWACE ll. y” + 4y’ + 13y = ¿T(t - Ir) + s(t - 3n), 12. y” - 7y’ + 6y = e’ + s(t - 2) + s(t - 4), y(O) = 1, y’(O) = 0 y(O) = 0, y’(O) = 0 13. Una viga uniforme de longitud L sostiene una carga concentrada wc en x = L/2. Está empotrada en su extremo izquierdo y libre en el derecho. Emplee la transformada de Laplace para determinar la fíecha y(x) partiendo de en donde y(O) = 0, y’(O) = 0, y”(L) = 0 y y”‘(L) = 0. 14. Resuelva la ecuación diferencial del problema 13 con las cor@ciones y(O) = 0, y’(O) = 0, y(L) 5 0, y’(L) = 0. En este caso, la viga esta empotrada en ambos extremos (Fig. 7.54). FIGURA 7.54 Problema paro discusión 1 5 . Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial y” f dy = S(t), y(O) = 0, y’(O) = 0. ¿Reconoce algo raro en la solución? SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES W Uso de la transformada de Laplace para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales Wesortes acoplados Wedes eléctricas Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultaneas para las funciones transformadas. m Sistema de ecuaciones diferenciales que se transforma en un sistema algebraico Resuelva 2x’+y’-y=t X’+y’ sujetas ax(0) = l,y(O) = 0. =t2 (1) Sección 7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 355 SOLUCIÓN Si X(s) = Lf?{x(r)} y Y(s) = eti(t entonces, después de transformar cada ecuación, llegamos a 2[sX(s) -x(O)] + SU(S) -y(O) - Y(s) = $ sX(s) - x(O) + sY - y(O) 0 sea =f zrX(s)+(.?l)Y(4=2+$ $X(S) + SU(S) = 1+ $ (2) Al multiplicar por 2 la segunda de estas ecuaciones y restar se obtiene (-s - l)Y(s) = f - $ 4-s 0 sea Y(s) = ~ s3(s + 1)’ (3) Desarrollamos en fracciones parciales 5 5 4 Y(s)=;-;i+p--&9 y así y(r) = 52-1 {3-W’{$}+zce-‘{$}-*(e-l{-&} = 5 - 5t + 2t2 - Se-‘. De acuerdo con la segunda ecuación de (2), 1 2 X(s) = -W)+;+p en consecuencia, x(t) = -ce-‘{Y(s)} + L-t-’ (5) ++l{$} = -4 + 5t - 2t2 + i,f3 + 5e-‘. Entonces, llegamos a la solución del sistema (l), que es x ( t ) = -4+5t-2tz+;P+5e-’ y(t) = 5 - 5t + 2t2 - 5e-‘. (4) n 356 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE IAPIACE Aplicaciones Pasemos a describir algunas aplicaciones elementales donde intervienen sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las soluciones de los problemas que veremos se pueden obtener tanto por el mhodo de la sección 4.8 como con la transformada de Laplace. Resortes acoplados Dos masas, m1 y mz, están unidas a dos resortes, A y B, de masa insignificante cuyas constantes de resorte son kl y k2, respectivamente, y los resortes se fijan como se ve en la figura 7.55. Sean XI(~) y xz(t) los desplazamientos verticales de las masas respecto a sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B que& sometido a alargamiento y a compresión, a la vez; por lo tanto, su alargamiento neto es x2 - xl. Entonces, según la ley de Hooke, vemos que los resortes A y B ejercen las fuerzas -klxl Y ~2@2 - XI), respectivamente, sobre ml. Si no se aplican fuerzas externas al sistema, y en ausencia de fuerza de amortiguamiento, la fuerza neta sobre ml es 41x1 + kz(xz - XI). De acuerdo con la segunda ley de Newton podemos escribir De igual forma, la fuerza neta ejercida sobre la masa rn2 sólo se debe al alargamiento neto de B; esto es, -&(x2 - XI). En consecuencia, d2xz - _- -kZ(XZ - XI). m2 dt2 En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa con el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden mlx;) = -klxl + k2(xz - xl) m2x;’ = - 4x2 - XI). (5) En el próximo ejemplo resolveremos ese sistema suponiendo que RI = 6, kz = 4, rnl = 1, m2 = 1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas. FIGURA 7.55 Sección 7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 357 Resortes acoplados 1 x;’ + 10x1 Resuelva - - 4x2 = 0 (6) 4x1 + xp + 4x2 = 0 sujetas a x,(O) = 0, x,‘(O) = 1, x2(0) = 0, ~‘(0) = -1. SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es s2X1(s) - SXl(0) - xi(O) + lOX,(S) - 4X*(S) = 0 -4x,(S) + s’&(S) - SX2(0) - X;(o) + 4&(S) = 0, en donde XI(s) = Ce {xi(t)} y XZ(S) = Z{x#)}. El sistema anterior equivale a (s2 + lO)X,(S) - 4X*(s) = 1 -4X,(s) + (9 + 4)X*(S) = -1. DespejamosXI (7) de las ecuaciones (7) y descomponemos el resultado en Cacciones parciales: X,(s) = (2 s* + 2)(s2 + 12) = 1/5 615 _d s2 + 2 + s2 + 12’ por lo tanto 1 fi XI(t) = - 5k I s2 + 2 1 + &~-‘{~] ti = -zsentit+Jsen2tit. fi Sustituimos la expresión de XI(S) X2(s) = - en la primera de las ecuaciones (7) y obtenemos s2 + 6 - 215(s2 + 2)(s2 + 12) = s2 + 2 - 315 s2 + 12 Y ti = - fi --sen tit - 10sen 2V5t. Por último, la solución del sistema dado (6) es x 1 (t>= -9sentit+Ssen2tit 5 ti x2(t) = - -j- sed5 - esen2tit 10 Redes eléctricas * En la ecuación (18) de la sección 3.3, dijimos que las corrientes il(t) e en la red que contiene un inductor, un resistor y un capacitar (Fig. 7.56) están definidas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden iz(t) 358 CAPíTULO 7 LA TRANSFOfMADA DE LAPLACE t!YrlIl i3 il L E i2 R c FIGURA 7.56 L 2 + Ri2 = E(t) RC!!!Z+i -i ~0 dt 2 ’ ’ En el proximo ejemplo resolveremos este sistema aplicando la transformada de Laplace. Una red ektrica Resuelva el sistema de ecuaciones (9) con las condiciones E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 51, C = 1 O4 f y las corrientes ir e i2 iguales a cero en el momento inicial. sowclóN Debemos resolver 2 + 50i2 = 60 50(10e4) 2 f i2 - i, = 0 sujetas a i,(O) = 0, i2(0) = 0. Aplicamos la transformación de Laplace SZl(S) + a cada ecuación del sistema y simplificamos, 60 5OZ*(s) = J- -2OOZ1(s) + (s + 2OO)Zz(s) = 0, en donde Il(s) = Ce{ i](t)} e Z&) = Ce{ is(t Despejamos Zr e 12 del sistema y descomponemos los resultados en fracciones parciales para obtener 60s + 12,000 615 615 60 Z,(s) = s(s + loo)2 = T - s +- 100 - (s + 1oo)2 615 120 z2(s) = 12@00 =6/5 - s+lOO (s+lOO)2 s(s + 1oo)2 s Sacamos la transformada inversa de Laplace y las corrientes son iI = 5’ - J6 e -100r _ (j&?‘~’ iz(t) = J6 - j6e *Oo1 - 120te-lw. L (9) Sección 7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 359 Obsdrvese que il(t) e iz(t) en el ejemplo anterior tienden al valor E/R = f cuando t + op Además, como la corriente que pasa por el capacitar es h(t) = il(t) - h(t) = 60te-loo’, observamos que h(f) + 0 cuando f + 00. En los problemas 1 a 12 aplique la transformada de Laplace para resolver el sistema respectivo de ecuaciones diferenciales. 1 GE, -x+y 2& . d;=2y+e’ ’ dt dy z=2X i?2!=fjx-t x(O) = 0, y(O) = 1 x(O) = 1, y(O) = 1 dt 4 3. d;-x-2y &- g+3x+dy =l Tt ’ dt 4 z=5x-y x(O) = -1, y(O) = 2 5 ’ 2bx+524 dt dt El 6 &+x -d;+ dy y = o ’ dt & dx dY z+z-3x-3y=2 x(O) = 0, y(O) = 0 , d2x . z+x-y=o 8 &+dx 9 ’ &=, dt dt2 dt+ d2y >+Y -.X=O d2y dy x(O) = O,x’(O) = -2 y(O) = 0, y’(O) = 1 x(O) = l,x’(O) = 0, y(O) = -1, y’(O) = 5 l d2x+dlyct2 dt2 dt2 dx dt >-k-d;-4-=o 10. d; dx - 4x + d3y 2 = 6 sent d2x - fi = dt dt2 dt* !!TY $+2x-2dt’=0 x(O) = 8, x'(O) = 0, y(O) = 0, y'(O) = 0 x(O) = 0, y(O) = 0, y’(O) = 0, y”(O) = 0 360 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPIACE 12. $=4x-2y+2%(t-1) d2x dt’ + 3y = fe-’ %=3x- x(O) = O,x’(O) = 2,y(O) = 0 y+ %(r-1) x(O) = 0, y(O) = 1/2 1 3 . Resuelva el sistema(5) cuando kr = 3, k2 =2, mt = 1, m2 = 1 yq(O)=O,x;(O)= l,xz(O) = 1, xi(O) = 0. 14. Deduzca el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento vertical de los resortes acoplados de la figura 7.57. Emplee la transformada de Laplace para resolverelsistemacuandok~=1,k~=1,k~=1,m~=1,m;!=1yx~(0)=O,x~(O)=-1,x~(O)=0, xi(O) = 1. FIGURA 7.57 FIGURA 7.58 15. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para describir las corrientes e i3(r), en la red eléctrica de la figura 7.58 es i2(r) L, 2 + Ri2 + Ri3 = E(r) .12 2 + Ri2 + Rif = E(t). b) Resuelva el sistema de la parte a) cuando R = 5 51, Ll = 0.01 h, L2 = 0.0125 h, E = 100 V, iz(0) = 0 A e is = 0 A. c) Determine la corriente i](t). 1 6 . a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se le pidió demostrar que las corrientes iz(r) e is( en la red eléctrica de la figura 7.59, satisfacen a L $& + L f$ + Rli2 = E(t) -R1ff+R2$+$i3=0. Sección 7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 361 FIGURA 7.59 Resuelva el sistema para RI = 10 Q, R2 = 5 R, L = 1 h, C = 0.2 f, i2(0) = 0 A e is = 0 A. b) Determine la corriente il(t). 17. Resuelva el sistema de las ecuaciones (17), en la sección 3.3, cuando RI = 6 R, R2 = 5 Sz, Ll = 1 h, L2 = 1 h, E(r) = 50 sen t V, i2(0) = 0 A e i3(0) = 0 A. 18. Resuelva las ecuaciones (9) cuando E = 60 V, L = i h, R = 50 Sl, C = lo4 f, i,(O) = 0 A e iz(0) = 0 A. 19. Resuelva el sistema (9) para E = 60 V, donde L = 2 h, R = 50 R, C = lo4 f, il(0) = 0 A e iz(O) = 0 A. 20. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe la carga en el capacitar, q(t), y la corriente is en la red eléctrica de la figura 7.60 es dq 1 Rlz+~q+Rlis=E(t) di3 1 L;+R$3-zq=O. b) Determine la carga en el capacitar, cuando L = 1 h, RI = 1 Q, R2 = 1 R, C = 1 f, i3(0) = 0 Ay q(O) = 0 C. FIGURA 7.60 362 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE IAPLACE 21. Un péndulo doble oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad (Fig. 7.61). Cuando los desplazamientos @t(t) y &(t) son pequeños, se puede demostrar que las ecuaciones diferenciales del movimiento son (m, + m2)1,2eí’ + m&l2e2 + (rnl + m$@, = 0 m2122eg + ~21,12~ + m21& = 0. Aplique la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando 1111 = 3, m2 = 1,11= 12 =16,8,(0)=1,&(0)=-l,s;(O)=Oy8;(0)=0. 4 1, / / --’ Lfnl / ’ F /‘2 (32 --’ /‘m2 /’ FIGURA 7.61 En los problemas 1 y 2 aplique la definición de transformada de Laplace para determinar %f(Ol. 0 , oste2 2.f(t)= 1, 2stc4 i 0 , t>4 En los problemas 3 a 24 llene los huecos o conteste cierto/falso. 3 . Si f no es continua por tramos en [0, -), Z{ f(t)} no existe. 4. La función f(t) = (et)” no es de orden exponencial. 5. F(s) = s2/(s2 + 4) no es la transformada de Laplace de una función que sea continua por tramos y de orden exponencial. 6 . Si Ce{ f(t)} = F(s) y Y{g(t)} = G(s), entonces Ce-‘{F(s) G(s)} = f(t) g(t). 7 . 2{e-7’) = 9 . Ce{ sen 2t} = ll. %{t sen2t) = - 8 . Y{te-‘If} = 10. 2{e-3t sen 2t) = 12. Ce{sen2t%(t - $1 = - 13. 14. ce-l -J- =r 3s - 1 1 ce-1 (1 $ = Sección 7.7 Sistemas 15 Lf2-l {(s I5)3 1 =- s 17. ce-' s2-los+29 1= { de ecuaciones lineales 363 == - 19. P{j+S} =- - 20. 3-1{L’s2:n2n2} =- 21. S{ep5’} existe cuandos > . 22. Si Ce{ f(t)} = F(s), entonces Z{re”f(r)} =. 23. Si Ce{ f(t)} = F(s) y k > 0, entonces Z{e’tf(t - k) Q(I - k)} = . 24. 1 * 1= . En los problemas 25 a 28, a) exprese afen términos de funciones escalón unitario, b) determine Ce{ f(r)} y c) determine Ce { e ‘f(t)}. 26. 25. FIGURA 7.63 FIGURA 7.62 28. 27. FIGURA 7.65 FIGURA 7.64 En los problemas 29 a 36 aplique la transformada de Laplace para resolver la ecuacih respectiva. 29. 30. 31. 32. y" y" y" y" + 2y' 8y' 4y' 6y' + + + + y = e', y(O) = 0, y'(O) = 5 2Oy = te', y(O) = 0, y'(O) = 0 6y = 30%(t - a), y(O) = 0, y'(O) = 0 5y = t - r%(t - 2), y(O) = 1, y’(O) = 0 33. y’ - Sy = f(t), en donde f(t) = 34. f(t) = 1 - 2 1; e-3Tf(t - T) d7 t2, 0 1 t < 1 , y(O) = 1 o t=1 > 364 CAPíTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 35. y’(t) = cos t + ly(7) cos(t - 7) d7, I y(O) = 1 36. j-;f(~)f(t - 7) d7 = 6t3 En los problemas 37 y 38 aplique la transformada de Laplace para resolver cada sistema. 38. x” + y" = e2t 37. x’+y=t 2x’ + y" = -&p 4x+y’=0 x(O)= l,y(O)=2 x(O) = 0, y(O) = 0 x’(O) = 0, y’(O) = 0 39. La corriente i(t) en un circuito en serie RC se puede determinar con la ecuación integral Ri + h ji i(T) dr = E(t), en donde E(t) es el voltaje aplicado. Halle i(t) cuando R = 10 Q, C= 0.5 fy E(t) = 2(t 2 + t) V. 40. Un circuito en serie cuenta con un inductor, un resistor y un capacitar, para los cuales L = f h, R = 10 Sz y C = 0.01 f, respectivamente. A ese circuito se aplica el voltaje EO) = 10, OItc5 t25 > o Determine la carga instantánea, q(t), en el capacitar, cuando t > 0, si q(O) = 0 y q’(O) = 0. 41. Una viga uniforme en voladizo, de longitud L, está empotrada en su extremo izquierdo (x = 0) y libre en su extremo derecho. Determine la flecha y(x) si la carga por unidad de longitud es 42. Cuando una viga uniforme está sostenida en una base elástica, la ecuación diferencial de su flecha, y(x), es a”y + 4Ll4y = w(x) EI’ dx4 en donde a es constante. Cuando a = 1, determine la flecha y(x) de una viga elásticamente soportada, de longitud rr, empotrada en concreto en ambos extremos, cuando se aplica una carga concentrada en x = 7r/2. [Sugerencia: emplee la tabla de transformadas de Laplace del apéndice III.] SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.1 Teoría preliminar 8.2 Sistemas lineales homogdneos con coeficientes constantes 8.2.1 Valores propios reales y distintos 8.2.2 Valores propios repetidos 8.2.3 Valores propios complejos 8.3 Variación de parámetros 8.4 Matriz exponencial Ejercicios de repaso En las secciones 3.3, 4.8 y 7.7 describimos sistemas de ecuaciones diferenciales y resolvimos algunos por eliminación sistemática o con la transformada de Laplace. En este capítulo nos concentraremos en los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Si bien la mayor parte de los sistemas que estudiaremos se podrían resolver mediante la eliminación o la transformada de Laplace, desarrollaremos una teoría general para estos sistemas y, en el caso de sistemas con coeficientes constantes, un método de solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices. Veremos que esta teoría general y el procedimiento de solución se parecen a los que se usan en las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior que vimos en las secciones 4.1,4.3 y 4.6. Este material es fundamental para el análisis de los sistemas de ecuaciones no lineales de primer orden. 365 366 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN TEORíA PRELIMINAR n n n n Sistemas lineales I Sistemas homogéneos y no homogéneos n Vector solución Problema de valor inicial n Principio de superposición n Dependencia lineal Independencia lineal n El wronskiano n Conjunto fundamental de soluciones Solución general n La solución complementaria n Solución particular En este capítulo emplearemos mucho la notación matricial y las propiedades de las matrices. El lector debería repasar el apéndice II si no está familiarizado con estos conceptos. En la sección 4.8 del capítulo 4 manejamos sistemas de ecuaciones diferenciales en la forma P,l(D)Xl + Pn2(D)x2 + ’ ’ *+ P”,(D)X, = b,(t), en donde las Pg representaban polinomios de diversos grados en el operador diferencial D. Aquí restringiremos el estudio a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, como el siguiente: - - g1(4q,x2, * * * TX,) &2-$ - gz(t,x1,x2,. ’ . ,xn> dt dx Este sistema de n ecuaciones de primer orden se llama sistema de orden n. Sistemas lineales Si cada una de las funciones gl, g2, . . . , gn es lineal en las variables dependientes ~1, ~2, . . ., Xi, entonces las ecuaciones (2) son un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Ese sistema tiene la forma normal o estándar - = m(t)x1 + a12(t)xa + . * ’ + al,(t)& dt G52 x = u21(t)x1 +fi(t) + azz(t)xz + . . * + azn(t)xn +.fi(t> (3) h” -$- = U,l(T)Xl + an2(t)x2 + . * hzn(t)xn +fnw. Sección 8.1 Teoría preliminar 367 Un sistema con la forma de las ecuaciones (3) se denomina sistema lineal de orden n, o simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, a,, y las funciones, $, son continuos en un intervalo común, Z. Cuandoj(t) = 0, i = 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineal es homogckeo; en caso contrario, es no homogéneo. Forma matricial de un sistema lineal Si X, A(t) y F(t) representan las matrices respectivas el sistema (3) de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar como sigue: 0 simplemente como (4) X’=AX+F. Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es X’ = AX. (5) Sistemas expresados en notación matricial a) Si X = y , la forma matricial del sistema homogéneo 0 dx 5 = 3x + 4y s = 5x - 7y es ‘3 4 x’ = ( 5 - 7 1 X. la forma matricial del sistema no homogéneo 368 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Comprobación de soluciones Compruebe que, en el intervalo (-CO, CO), son soluciones de SOLUCIÓN Y Gran parte de la teoría de los sistemas de P ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se parece a la de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Problema de valor inicial Sean t0 un punto en un intervalo I y %(to ) 1 xz(to) Wto) = ,+oo> Y &= en donde las ñ, i = 1,2, . . . . n son constantes dadas. Entonces, el problema Resolver: X’ = A(t)X + F(t) Sujeto a: Wo) = xo es un problema de valor inicial en el intervalo. (7) Sección 8.1 Teoría preliminar 369 Sistemas homogéneos En las próximas definiciones y teoremas solo nos ocuparemos de los sistemas homogéneos. Sin decirlo explícitamente, siempre supondremos que las UV y las J; son funciones continuas en un intervalo común 1. Principio de superposición El siguiente resultado es un principio de superposición para soluciones de sistemas lineales. Como consecuencia del teorema 8.2, un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden también es una solución. .m Aplicación del principio de superposición El lector debe practicar comprobando que los dos vectores son soluciones del sistema (8) De acuerdo con el principio de superposición, la combinación lineal es una solución más del sistema. 370 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Dependencia lineal e independencia lineal Ante todo nos interesan las soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo, ecuación (5). Debe quedar claro el caso cuando k = 2; dos vectores solución XI y X2 son linealmente dependientes si uno es un múltiplo constante del otro, y recíprocamente. Cuando k > 2, un conjunto de vectores solución es linealmente dependiente si podemos expresar al menos un vector solución en forma de una combinación lineal de los vectores restantes. El wronskiano Igual que cuando explicamos la teoría de una sola ecuación diferencial ordinaria, podemos presentar el concepto del determinante wronskiano como prueba de independencia lineal. Lo enunciaremos sin demostrarlo. Se puede demostrar que si XI, XZ, . . . , X,, son vectores solución del sistema (5), entonces, para todo t en I se cumple W’(Xt , XZ, . . ., Xn) # 0, o bien W(Xt , XZ, . . ., X,J = 0. Así, si podemos demostrar que W f 0 para algún to en 1, entonces W z 0 para todo f y, por consiguiente, las soluciones son linealmente independientes en el intervalo. Sección 8.1 Teoría preliminar 371 Obsérvese que a diferencia de nuestra definición de wronskiano de la sección 4.1, en este caso no interviene la diferenciación para definir el determinante (9). Soluciones linealmente independientes 6-1 soluciones del sistema (6). En el ejemplo 2 dijimos que XI =( -11)e-~5x,=(3) 5 e son Está claro que XI y X2 son linealmente independientes en el intervalo (-, -) porque ninguno de los vectores es múltiplo constante del otro. Además, 1 n para todos los valores reales de t. Los dos teoremas siguientes para sistemas lineales equivalen a los teoremas 4.5 y 4.6. Solución general del sistema (6) pendientes de (6) en (-QO, -); por lo tanto, XI y X2 forman un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. En consecuencia, la solución general del sistema en el intervalo es x = c*x1 + q,x* = Cl (3-“+c2(3e? (lQ) n 372 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Solución general del sistema (8) Los vectores / cos t \ /oi / sen t \ son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (véase el problema 16 en los ejercicios 8.1). Ahora bien, cos t W(XI,X2,&) = -icost+*sent -cost-sent 0 e ’ 0 sen t -+sent-tcosf =el#O -sent + cos t para todos los valores reales de t. Llegamos a la conclusión de que XI, XZ y Xs constituyen un conjunto fundamental de soluciones en (-OD, co). Así, la solución general del sistema en el intervalo es la combinación lineal X = ~1x1 + ~2x2 + ~3x3; esto es, Sistemas no homogéneos Para los sistemas no homogeneos, una solución particular X, en un intervalo I es cualquier vector, sin parámetros arbitrarios, cuyos elementos sean funciones que satisfagan al sistema (4). Solución general, sistema no homogéneo El vector X, = es una solución particular del sistema no homogéneo (11) Sección 8.1 Teoría preliminar 373 en el intervalo (-, -). (Compruébelo.) La función complementaria de (ll) en el mismo intervalo, que es la solución general de X’= 1 3 ( 5 3 x, ) se determinó en (lo), en el ejemplo 5, y era x, = 4 3!-2l+ c2(3e~~. Entonces, según el teorema 8.6, es la solución general de (ll) en (-, -). Las respuestas a los problemas de número impar comienzan en la página A-12. En los problemas 1 a 6 exprese el sistema respectivo en forma matricial. Ldxd;=3x-5y 2 . $=4x - 7 y dy z = 4x + 8y 4 d; = 5x dw 3 . z= -3x+4y-92 ddx dT=x-y %=6x-y dy -x+2z z- dz z = 1ox + 4y + 3z dz z=-x+z 5. $=x-y+z+t-1 z = 2x + y - z - 3t2 6. $ = -3x + 4y + e?en2t dy z=5x+9y+4em’cos2t ~=x+y+z++t+2 En los problemas 7 a 10 exprese al sistema dado sin usar matrices. 7 . 8. X’= (-1 $x+ (J? xl=(H -1 -~)x+(p)eq~)e-2t 374 CAPíTULO 8 StSTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LNEALES DE PRIMER ORDEN 9. ;i)=(-i ‘i a,(g+(;)e-t-(-;)r 10. -$) = (y -T)(z) + (l)senr+ (;gJe‘Q En los problemas ll a 16 compruebe que el vector X sea una solución del sistema dado. ll. $ = 3x - 4y 1 dY d; = 4x - 7y; X = 2 e-*’ 0 En los problema3 17 a 20 los vectores respectivos son soluciones de un sistema X’ = AX. Determine si los vectores constituyen un conjunto fundamental en (-, -). 17. Xl=(:)e-2f, X2= (-i)e-6t 18. Xl=(-:)et, X,= (ijet+ (-:)ret Sección 8.1 Teoría preliminar 375 En los problemas 21 a 24 compruebe que el vector X, sea una solución particular del sistema dado. 21.2 = x + 4y + 2t - 7 f$-3x+2y-4t-18; 22. x,= (-3+ (3 xl=(: -:)x+(-z); xp=(i) 2 3 . X’=(; ;)X-(;)d; Xp=($?+($,f 25. Demuestre que la solución general de en el intervalo (-, -) sea 26. Demuestre que la solución general de en el intervalo (-, -) sea 376 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES n n Ecuación característica de una matriz cuadrada n Valores propios de una matriz n Vectores propios Formas de la solución general de un sistema lineal homogéneo con coejcientes constantes 8.2.1 Valores propios reales y distintos En el ejemplo 5 de la sección 8.1 ya vimos que la solución general del sistema homogéneo X’= 15 35 XesX=el(-:)r-2’+R(:)e6f. Dedo que ambos vectores solución tienen i 1 la forma Xi = h eXi’, i = 1,2, en donde kl y k2 son constantes, nos vemos precisados a preguntar kz 0 si siempre es posible determinar una solución de la forma (1) \ ka I del sistema homogéneo, lineal y de primer orden X’ = AX, (2) en donde A es una matriz de constantes, de n x n. Valores propios y vectores propios (eigenvalores y eigenvectores) Para que (1) sea un vector solución de (2), X’ = KXek, de modo que el sistema se transforma en Kk” = AKe’. Al dividir por exr y reordenar, se obtiene AK = XK; o sea (3) (A - hI)K = 0. La ecuación (3) equivale al sistema de ecuaciones algebraicas simultaneas (au - A)kt + alzkz + . . . + al,,kn = 0 ankt + (au - A)kz + . . . + a&k,, = 0 a,lh + u,,zkz + . . . + (a, - h)k, = 0. Así, para determinar una solución X no trivial de (2), debemos llegar a una solución no trivial del sistema anterior; en otras palabras, hay que calcular un vector K no trivial que cumpla con (3). Pero para que (3) tenga soluciones no triviales, se requiere det(A - XI) = 0. Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 377 Ésta es la ecuación característica de la matriz A; en otras palabras, X = Ke* será solución del sistema (2) de ecuaciones diferenciales si, y sólo si X es un valor propio de A, y K es un vector propio correspondiente a X. Cuando la matriz A de n x n tiene n valores propios reales y distintos, XI, Xz, . . . , &,, siempre se puede determinar un conjunto de n vectores propios linealmente independientes, Kl, K2> . . . , Ka Y X1 = KIeAl’, X, = K2eAz’, . . . , X, = K,e*J es un conjunto fundamental de soluciones de (2) en (-, -). Valores propios distintos dx z=2x+3y Resuelva dy -$=2x+y. (4) Primero determinaremos los valores y vectores propios de la matriz de SOLUCIÓN coeficientes. En la ecuación característica det(A - AI) = 2-A 2 3 = ~2 - 3A - 4 = (h + l)(A - 4 ) = 0 l - h los valores propios son XI = -1 y X2 = 4. Cuando XI = -1, la ecuación (3) equivale a 3k, + 3k2 = 0 2kl + 2k2 = 0. Por consiguiente, kl = -kz. Cuando k2 = -1, el vector propio relacionado es K1 = Cuando X2 = 4, -2k, + 3k2 = 0 2k, - 3k2 = 0 de modo que kl = 3k2/2 y, por lo tanto, con k2 = 2, el vector propio correspondiente es Kz= 0 3 2. 378 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Como la matriz A de coeficientes es de 2 x 2, y en vista de que hemos llegado a dos soluciones de (4) linealmente independientes que son ( 1 1 x, = -1 e-’ y x, = 0 3 e4’ 2 ’ concluimos que la solución general del sistema es x = c,x1+ czx, = cy (-:)e++c2(~)e‘? (5) n Para fines de repaso, el lector debe tener grabado en su mente que cuando una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden se escribe en notación matricial, tan sólo se está aplicando una alternativa del método que empleamos en la sección 4.8; es decir, presentar las funciones individuales y las relaciones entre las constantes. Si sumamos los vectores del lado derecho de (5) e igualamos los elementos con los elementos correspondientes del vector de la izquierda, tenemos el enunciado mas familiar x(t) = c$?-’ + 3C#4’ y(f) = -cle-’ + 2c2eq. Valores propios distintos dx d;=-4x+ y + Resuelva !$= x+5y- z !!L y - 32. dt SOLUCIÓN z Usaremos los cofactores del tercer renglón, con lo cual 1 1 S-h 1 det(A - AI) = -4-h 1 0 1 -1 = -(A + 3)(A + 4)(A - 5 ) = 0 , -3-Aj de modo que los valores propios son Xr = -3, AZ = -4, As = 5. Para Xr = -3, una eliminacion de Gauss-Jordan conduce a 0 1 0 Por lo tanto, kr = correspondiente k3 y k2 -1 0 0 0 . 0 01 = 0. La opción k3 = 1 produce un vector propio y su vector solución G(A). x*@3. (7) Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con 379 coeficientes constantes De igual forma, para XZ = -4, 0 0 01 implica que Rr = 1Oks y kz = -ks. Si optamos por ks = 1, obtenemos un segundo vector propio y el vector solución correspondiente dan (9) La solución general del sistema (6) es una combinación lineal de los vectores solución (7),@) Y (9): Empleo de computadoras Hay paquetes de programas (MATLAB, Mathematica, Maple, DERIVE, etc.) que pueden ahorrar mucho tiempo en la determinación de los valores y vectores propios de una matriz; por ejemplo, para hallar los valores y los vectores propios de la matriz de coeficientes (6) usando Mathematica, primero teclearnos la definición de la matriz renglón por renglón: m = ti--4,1,1>, {1,5, -11, VJ, 1, -311. Al teclear los comandos Eigenvalues[m] y Eigenvectors[m] en secuencia se obtiene (-4, -3351 Y {{lo, -1, 11, {l,O, 11, {1,8, 111, respectivamente. En Mathematica también es posible obtener al mismo tiempo los valores y vectores propios tecleando Eigensystem[m]. 380 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 8.2.2 Valores propios repetidos Es natural que no todos los n valores propios, XI, XZ, . . . , X, de una matriz A de n x n necesiten ser distintos; esto es, algunos pueden repetirse. Por ejemplo, la ecuación característica de la matriz de coeficientes en el sistema X’= ( 3 2 1 -18 X -9 (10) se obtiene con’facilidad y es (X + 3)2 = 0; por lo tanto, XI = AZ = -3 es una raiz de multiplicidad dos. Para este valor se obtiene el vector propio 0 K, = 3 ’ de modo que XI = 03 1 1 ,-r es una solución de (10). Mas como lo que nos interesa es formar la solución general del sistema, necesitamos saber si hay una segunda solución. En general, si m es un entero positivo y si (X - XI)” es un factor de la ecuación característica, mientras que (X - XI)~+~ no lo es, se dice que Al es un valor propio de multiplicidad nz. En los tres ejemplos siguientes revisaremos estos casos: i ) Para algunas matrices A de n x n se podrá determinar m vectores propios linealmente independientes, Kr, K2,. . . , K,,,, correspondientes aun valor propio XI de multiplicidad m 5 n. En este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal crKre*Q + caKZerQ + *- - + cm&eAl’. ii) Si sólo hay un vector propio que corresponda al valor propio XI, de multiplicidad m, siempre será posible hallar m soluciones lineahnente independientes de la forma X1 = KneAQ X2 = KnIteAl’ + K22eA1r X, = K,r (m:l)! e*+ + Km2 ,mI;,! erlf + *. . + K,,,,,,e*Q en que Kfi son vectores columna. Valor propio de multiplicidad dos Comenzaremos con valores propios de multiplicidad dos. En el primer ejemplo tendremos una matriz para la que se pueden hallar dos vectores propios distintos, correspondientes a un valor propio doble. Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constuntes SOLUCIÓN 381 Desarrollamos el determinante en la ecuación característica l-A -2 2 det(A - A I ) = - 2 1 -A -2 2 - 2 l - h =o y obtenemos - (X + 1)2(X - 5) = 0. Vemos que Xr = X2 = -1, y que Xs = 5. Para XI = -1, la eliminación de Gauss-Jordan da (A + 110) = El primer renglón de la última matriz indica que RI - k2 + ks = 0; o sea, kr = ka - ks. Las opciones kz = 1, k3 = 0 y KZ = 1, k3 = 1 producen, a su vez, RI = 1 y kr = 0. Así, dos vectores propios que corresponden a Xr = -1 son K=(b) y Kz=($ Puesto que ninguno de los vectores propios es múltiplo constante del otro, hemos llegado a dos soluciones linealmente independientes que corresponden al mismo valor: XI = 1 0 0 1 e-’ 0 X, = 1 e-‘. 1 0 y Por último, cuando Xs = 5, la reducción ( A - 5110) (-; _: -3 ($?zzEy(i = -2 -4 8 -i 0) implica que kl = ks, y kz = 4s. Escogemos k3 = 1, y obtenemos RI = 1 y k2 = -1; de este modo, un tercer vector propio es K3= 0 1 -1 1 Resulta que la solución general del sistema es En el ejemplo 3, la matriz de coeficientes es de un tipo especial llamado matriz simkica. Se dice que una matriz A de n x n es simétrica si su transpuesta AT (con los renglones y 382 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN columnas intercambiados) es igual a A; es decir, si AT = A. Se puede demostrar que si la matriz A del sistema X’ = AX es simétrica y tiene elementos reales, siempre sera posible hallar n vectores propios linealmente independientes, Kl, Kz, . . . , K,,, y la solución general de ese sistema es la que indica el teorema 8.7. De acuerdo con el ejemplo 3 este resultado es valido, aun cuando se repitan algunos de los valores propios. Segunda solución Ahora supongamos que Xi es un valor propio de multiplicidad dos y que solo hay un vector propio asociado con él. Se puede determinar una segunda solución de la forma X2 = Kte*l’ + PeV, (12) en donde Para comprobarlo, sustituimos la ecuación (12) en el sistema X’ = AX y simplificamos: (AK - hlK)teAl’ + (AP - AIP - K)e*l’ = 0. Dado que esta ecuación debe ser válida para todos los valores de t, se deben cumplir Y (A - hJ)K = 0 (13) (A - hJ)P = K. (14) La ecuación (13) dice, simplemente, que K debe ser un vector propio de A, asociado con XI. Al resolverla, llegamos a una solución, X1 = Ke’ 1’ . Para hallar la segunda solución XZ, basta resolver el sistema adicional (14) para obtener P. Valores propios repetidos Determine la solución general del sistema (10). SOLUCIÓN 31 e-31 . De acuerdo con (1 l), sabemos que Xt = -3 y una solución es Xi = 0 TenemosK=(f]y P=tt), según ( 14), debemos resolver ahora 6pl- 18~2 = 3 (A+W’= K osea 2pl -6p = 2 1 * Como está claro que este sistema equivale a una ecuación, tenemos una cantidad infinita de opciones parapi yp2; por ejemplo, sipI= 1, se ve quep2 = b. Sin embargo, para simplificar, optaremos por p1 = i, de modo que p2 = 0. Entonces, P = i . Así, según (12), resulta 0 X2= (:)te-3t+ (i)eT3t Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 383 La solución general de (10) es Cuando una matriz A sólo tiene un vector propio asociado con un valor Xt de multiplicidad tres, se puede determinar una solución en la forma de la ecuación (12) y una tercera solución de la forma Valores propios de multiplicidad tres KfJ;~teA’tyQ=[). (15) en donde Al sustituir (15) en el sistema X’ = AX, los vectores columna K, P y Q deben cumplir con Y (A - AJ)K = 0 (16) (A - AJ)P = K (17) (A - hJ)Q = P. (18) Naturalmente, se pueden emplear las soluciones de (16) y (17) para formar las soluciones XI Y x2. Valores propios repetidos SOLUCIÓN La ecuación característica (X - 2)3 = 0 indica que Xr = 2 es un valor propio de multiplicidad tres. Al resolver (A - 21)K = 0 se halla un solo vector propio, que es 1 K = 0. 0 Luego resolvemos los sistemas (A - 2I)P = K y (A - 21) Q = P sucesivamente y obtenemos P=(i) yo Q (= 0 -i?. ) B 384 CMíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Usamos las ecuaciones (12) y (15) y la solución general del sistema es Cuando un valor propio x1 tiene multiplicidad m, podrá suceder que determinemos m vectores propios linealmente independientes, oque la cantidad de vectores propios correspondientes sea menor de m. En consecuencia, los dos casos de la página 380 no constituyen todas las posibilidades en que se puede presentar un valor propio repetido; por ejemplo, es posible que una matriz de 5 x 5 tenga un valor propio de multiplicidad cinco y que existan tres vectores propios linealmente independientes. (Véanse los problemas 29 y 30, ejercicios 8.2.) 8.2.3 Valores propios complejos Si XI = cx + ip y XZ = cy - ip, i2 = -1 son valores propios complejos de la matriz A de coeficientes, cabe esperar que sus vectores propios correspondientes también tengan elementos complejos.* Por ejemplo, la ecuación característica del sistema $=6x-y (19) dy x = 5.x + 4y es det(A - hI) = 6-A 5 1 = ,i2 - 10h + 29 = 0. 4-h Aplicamos la fórmula cuadrática y tenemos XI = 5 + 2i, x2 = 5 - 2i. Ahora, para XI = 5 + 2i, debemos resolver (1 - 2i)kl kz = 0 5kl - (1 + 2i)kz = 0. Puesto que k2 = (1 - 2i)kl> la opción k1 = 1 produce los vectores propio y solución siguientes: De igual manera, cuando X2 = 5 - 2i llegamos a *Cuando la ecuación característica tiene coeficientes reales, los valores propios complejos siempre se dau en pares conjugados. +N6tese que la segunda ecuación tan sólo es (1 + 24 multiplicado por la primera. Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constuntes 385 Con el wronskiano podemos comprobar que esos vectores solución son linealmente independientes, así que la solución general de (19) es Obsérvese que los elementos de K2 que corresponden a X2 son los conjugados de los elementos de K1 que corresponden a XI. El conjugado de XI es X2. Expresamos lo anterior en la forma X2 = 1, y K2 = Kl. Hemos ilustrado el siguiente resultado general: Se aconseja -y es relativamente fácil-expresar una solución como la de (20) en términos de funciones reales. Con este fin primero aplicaremos la fórmula de Euler para escribir dstzi)’ = esteu = e5t(cos 2t + i sen 2t) eC5-2i)r = $re-2n’ = $‘(cos 2t - i sen 2t). Luego, después de multiplicar los números complejos, se agrupan los términos y CI + c2 se reemplazan con CI y (CI - c2)i con C2; la ecuación (20) se transforma en x = CIX, + c,x,, en donde XI= [(:)cos2~-(-~)sen2~]esf Y X2= [(-i)cos2r+ (:)sen21]eY. (21) Ahora es importante reconocer que los dos vectores, XI y X2 en (21) son, en sí mismos, soluciones reales linealmente independientes del sistema original. En consecuencia, podemos pasar por alto la relación entre Cl, C2 y cl, cz para considerar que Cl y C2 son completamente arbitrarios y reales; en otras palabras, la combinación lineal, ecuaciones (21), es una solución general alternativa de (19). Se puede generalizar el procedimiento anterior. Sea K1 un vector propio de la matriz de coeficientes A (con elementos reales) que corresponde al valor propio complejo XI = (lr + ip. Entonces los dos vectores solución del teorema 8.8 se pueden expresar como sigue: KIeAl’ = KIe%?’ = KIeti(cos /3t + isen /3t) K,& = KlfYfe+@ = Kled(cos Pt - isen Pt). 386 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN De acuerdo con el principio de la superposición, teorema 8.2, los siguientes vectores tambih son soluciones: X1 = i (K1eAQ + z,&) = i (K, + K1)enr cos Pt - $ ( -K1 + Kl)eursenflt X2 = i ( -KleV f &eñlf) = k ( -K1 + Kl)euf cos Pt + i (K, + &)e%en/3t. Para cualquier número complejo z = a + ib, ambos $z + Z) = a e $-z +Z) = b son números reales. Por consiguiente, los elementos de los vectores columna ~(KI + EI) e $-Kc + &) son números reales. Si definimos B,=;(Kl+á,) y Bz=$(-K1 +Ki) (22) llegamos al siguiente teorema: ì ,, ,‘L’ Las matrices B1 y B2 en (22) suelen representarse así: BI = WJG) y B2 = Im(K1) (24) porque esos vectores son, respectivamente, la.parte real y la imaginaria del vector propio K1; por ejemplo (21) es consecuencia del teorema (23) con Kl=(1’zi)=(:)+i(-;) 1 B1 = Re(K1) = 1 0 y Valores propios complejos SOLUCIÓN Primero obtenemos los valores propios a partir de = AZ + 4 = 0. Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes Así, esos valores propios son XI= 2i y Xz = 1, = -2i. Para XI, el sistema (2 - 2i)kl + 8kz = 0 -k, + (-2 - 2i)kz = 0 da como resultado kl = -(2 + 2i)kz. Si optamos por kz = -1 I&=(‘~~)=(-f)+i(3. De acuerdo con (24) formamos las partes Y 0 2 B2 = Im(KJ = o I Puesto que (I! = 0, según las ecuaciones (23), la solución general del sistema es X=c,[(-t)cos2t-(i)senZr] = Cl ( 2cos2t - 2sen2t + -cos 2t ) c2 +c,[(i)cos2*+ (_:),,n2t] 2 cos 2t + 2aen 2t -sen2t 1’ ( En los problemas 1 a 12 determine la solucih general del sistema respectivo. dz x=y-z 387 388 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN En los problemas 13 y 14 resuelva el sistema sujeto a la condición inicial indicada. En los problemas 15 y 16 emplee un sistema algebraico de computación o un programa de álgebra lineal como auxiliar para hallar la solución general del sistema respectivo. -2.8 0 -3.1 0 4 0 - 8.2.2 Determine la solucion general del sistema correspondiente a cada uno de los problemas 17 a 26. 17. $=3x-y dy d; = 9x - 3y 19. $= -x*3y 9, -3x + 5y dt 21. g=3x-y- 2 dY z=x+y-z dz d;=x-y+z IS.%=-6x+5y TL -5.x + 4y dt 20. g = 12x - 9y 4 d; = 4x 22. $ = 3x + 2y + 42 $x+2z $ = 4x + 2y + 32 Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes En los problemas 27 y 28 resuelva el sistema dado sujeto a la condición inicial indicada. 389 - 27. X’ = 2 8 . X’=(; 2 $X, X(O)=(;) - 2 9 . Demuestre que a) La matriz de 5 x 5 2 1 0 0 0 tiene un valor propio Xt de multiplicidad cinco. b) Es posible hallar tres vectores propios linealmente independientes correspondientes a XI. Problema poro discusión 30. Para la matriz de 5 x 5 del problema 29, resuelva el sistema X’ = AX sin métodos matriciales; pero exprese la solución general en notación matricial. Con la solución general como base describa cómo resolver el sistema aplicando los métodos matriciales de esta sección. Lleve a cabo sus ideas. - 8.2.3 En los problemas 3 1 a 42 determine la solución general del sistema respectivo 3 1 . 2 = 6x - y dr = 5x + 2y z 33. $ = 3x + y by, -2x+3y dt 32. $= x+ y dy --2x-y z- 34. g = 4.x + 5y 4 -=-2x+6y dt 390 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN CAPíTULO 35. X’ = X 36. 37 Lz X’ = ( 1 1 1 -8 X -3 3 8 . 4 = 2.x + y + 22 ’ dt 4 dt=- m = 3x + 62 dz -= dt ’ dz = -4x - 3z dt En los problemas 43 y 44 resuelva el sistema respectivo sujeto a la condición inicial indicada. 43. x4; -‘? -jx, x(o)-(..%) 44. X’ = VARIACIÓN DE PARÁMETROS n Matriz fundamental w Determinación de una solución particular por variación de parbmetros Antes de desarrollar la versión matricial de variación de parametros para sistemas lineales no homogéneos X’ = AX + F, necesitamos examinar una matriz especial que se genera con los vectores solución del sistema homogéneo correspondiente X’ = AX. Una matriz fundamental Si XI, XZ, . . . , X, es un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo X’ = AX en un intervalo I; su solución general en el intervalo es Sección 8.3 Variación de parámetros 391 La última matriz en (1) se puede ver como producto de una matriz de n x n por una de n x 1; en otras palabras, se puede expresar la solución general (1) en la forma x = @(t)C, (2) en donde C es un vector columna de n x 1 de constantes arbitrarias, y la matriz de n x n, cuyas columnas consisten en los elementos de los vectores solución del sistema X’ = AX, es una matriz fundamental del sistema en el intervalo. Para seguir requeriremos dos propiedades de una matriz fundamental: n Una matriz fundamental a>(t) es no singular n Si Q(t) es una matriz fundamental del sistema X’ = AX, entonces W(t) = A@(t). (3) Si volvemos a examinar (9) del teorema 8.3, veremos que det o(t) es igual que el wronskiano WXI, x2,. * * , X,). Por lo tanto, la independencia lineal de las columnas de @(t) en el intervalo I garantiza que det Q(t) # 0 para todo t en el intervalo. Puesto que Q(t) es no singular, existe la inversa multiplicativa, W’(t) para toda t en el intervalo. El resultado en la ecuación (3) es consecuencia inmediata del hecho de que toda columna de B(t) es un vector solución de X’ = AX. Variación de parámetros Al igual que en el procedimiento de la sección 4.6, nos preguntamos si sería posible reemplazar la matriz C de las constantes en la ecuación (2) por una matriz columna de funciones de modo que X, = @(t)U(t) (4) sea una solución particular del sistema no homogéneo X’ = AX + F(t). (5) Según la regla del producto, la derivada de la última ecuación en (4) es xp = aqt)U’(t) + W(t)U(t). (6) Obsérvese que el orden de los productos en (6) es muy importante. Dado que U(t) es una matriz columna, los productos U’(t)@>(t) y U(t)@‘(t) no están definidos. Al sustituir (4) y (6) en (5) se obtiene @(t)U’(t) + W(t)U(t) = A@(t)U(t) + F(t). (7) 392 CAPíTULO ’ 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Ahora, si empleamos (3) para reemplazar W(t), esta ecuación se transforma en @(t)U’(t) + A@(t)U(t) = AQ>(t)U(t) + F(t) @(t)U’(t) = F(t). 0 sea (8) Multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 0-l para obtener U’(t) = W’(t) F(t) y por tanto U(t) = j. W(t) F(t) dt. Como X, = <r>(t)U(t), concluimos que una solución particular de (5) es X, = Q(t) j W’(t)F(t) dt. Para calcular la integral indefinida de la matriz columna W’(t)F(t) en esta expresión, integramos cada elemento. Así, la solución general del sistema (5) es X = X, + X,, o sea X = @(t)C + Q(t) j W’(t)F(t) dt. Variación de (10) parámetros Determine la solución general del sistema no homogéneo X’= (-2 Jx+(C) (11) en el intervalo (-, -). SOLUCIÓN Primero resolvemos el sistema homogéneo X’ = X. W) La ecuación característica de la matriz de coeficientes es det(A - AI) = -3 - h 2 -,’ * = (A + 2)(h + 5) = 0, de modo que los valores propios son Xt = -2 y XZ = -5. Aplicamos el método habitual y vemos que los vectores propios que corresponden a Xt y Xz son, respectivamente, 1 01 Los vectores solución del sistema (ll) son Y Sección 8.3 Variación de parámetros 393 Los elementos en XI forman la primera columna de Q(t) y los elementos de XZ, la segunda; por consiguiente De acuerdo con (9), así pues, según (lo), la solución general del sistema (ll) en el intervalo es =cl(:)~-2~+c2(-:)e-~~+ (i)t- (i) + (ge-t Problema de valor inicial La solución general de (5) en un intervalo se puede expresar en la forma alternativa X = @(t)C + Q(t) j-:, W(s)F(s) ds, (13) en la que t y to son puntos en el intervalo. Esta última forma es útil para resolver (5) sujeta a una condición inicial X(t0) = XO, ya que se escogen los límites de integración de tal modo que la solución particular se anule cuando t = 10. Al sustituir t = to en (13) se obtiene XO = @(to)C, de donde obtenemos C = W’(to)Xo. Al reemplazar este resultado en la ecuación (13) se llega a la siguiente solución del problema de valor inicial: .x = @(t)W(t,)X,, + Q(t) I:, W(s)F(s) ds. (14) En los problemas 1 a 20 aplique el método de variación de parámetros para resolver el sistema dado. 1. g= 3 x - 3y +4 dy z=2x-2y-l 2 . f$ = 2x - y 4 = 3x - 2y + 4t z 394 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN En los problemas 21 y 22 use la ecuación (14) a fin de resolver el sistema dado sujeto a la condición inicial indicada. 21. X'= (_: -;)x+(;g, x(o>=(:) 22. X'=(i Jx+($, X(l,=(J 23. En la red eléctrica de la figura 8.1, el sistema de ecuaciones diferenciales para determirkx las corrientes il(t) e iz(t), es -(R, +R,)IL, R2IL R21L2 -R,IL,)(3 + (03' Resuelva el sistema para RI = 8 Q donde R2 = 3 Q, Ll = 1 h, L2 = 1 h, E(r) = 100 sen t V, il(O) = 0 A e i2(0) = 0. Sección 8.4 Matriz exponencial 395 R2 FIGURA 8.1 24. Es casi imposible resolver a mano un sistema lineal no homogéneo X’ = AX + F(t) por variación de parámetros, cuando A es una matriz de 3 x 3 o mayor. Se tiene el sistema a) Con un sistema algebraico de computación o un programa algebraico, determine los valores y vectores propios de la matriz de coeficientes. b) Forme una matriz fundamental O(r) y con la computadora determine Q-‘(f). c) Con una computadora realice las operaciones de @-‘(t)F(t), .f Q>-‘(t)F(t) dt, @(t) .f W(t)F(t) dt, @(t)C, @(c)C + a’(t) j- W(t)F(t) dt, Y donde C es una matriz columna de las constantes CI, cz, cs y ~4. d) Reformule la presentación en computadora de la solución general del sistema en la forma X = X, + X,, donde X, = ~1x1 + ~2x2 + ~3x3 + ~4x4. MATRIZ n EXPONENCIAL Sistemas homogéneos n Serie de potencias para ea’ n Matriz exponencial n Sistemas no homogéneos Sistemas homogéneos Recuérdese que la sencilla ecuación diferencial lineal de primer orden, x’ = OX, donde a es una constante, tiene la solución general x = ce”. Parece lógico preguntar si se puede definir una matriz exponencial (o quizá con más propiedad, exponencial matricial) e*’ tal que el sistema homogeneo X’ = AX, donde A es una matriz de n x n de las constantes, tenga una solución X = eA’C. (1) 396 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Dado que C debe ser una matriz columna de n x 1 de constantes arbitrarias, deseamos que eAr sea una matriz de n x n. Aunque una explicación completa del significado y la teoria de la matriz exponencial necesita un conocimiento profundo del álgebra matricial, una forma de definir eAt se basa en la representación en serie de potencias de la función escalar exponencial ea5 t” e”=l+at+a *t* jj+***+U”z+** . =g+ Esta serie converge para toda t. Con ella y reemplazando 1 con la identidad 1, y la constante a con una matriz A de n x n de las constantes, llegamos a la definición de la matriz eAt de n x n. Se puede demostrar que la serie definida por (3) converge a una matriz de n x n para cualquier valor de t. También, que A2 = AA; que A3 = ,4(A2), etcétera. Además, a semejanza de la propiedad de diferenciación de la exponencial escalar 2 eat = ueat, Para visualizar lo anterior, derivamos (3) término a término: I+At+A*$+ . . . I+At+A*$+... +*x+... 1 1 1 =A+AQ+-A3tZ+... 2! = AeA’. Aplicaremos (4) para demostrar que (1) es una solución de X’ = AX para todo vector C, de n x 1, de constantes: X’ = $eAtC = AeA’C = A(eAT) = AX. eAt es una matriz fundamental Si representamos a la matriz exponencial eAf con el símbolo Y(t), la ecuación (4) equivale a la ecuación diferencial matricial Y’(t) = AY(t) (véase (3) de la sección 8.3). Además, de la definición 8.4 se deduce de inmediato, que Y(O) = eAo = 1, y por tanto det Y(O) # 0. Es evidente que estas dos propiedades bastan para concluir que Y(t) es una matriz fundamental del sistema X’ = AX. Sección 8.4 Matriz exponencial 397 Sistemas no homogéneos De acuerdo con la expresión (4) de la sección 2.3, la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden x’ = ax +f(t), donde a es una constante, se puede expresar como sigue: I x = x, + x, = cen’ + ent t. e-“f(s) ds. I Para un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se puede demostrar que la solución general de X’ = AX + F(t), donde A es una matriz de n x n de constantes, es t x=x c +x P = pc + e*t I eASF(s) ds. fo (5) Puesto que la matriz exponencial eAt es una matriz fundamental, siempre es no singular y evkî = (eA”)-‘. En la práctica se puede obtener edAs a partir de eAt cambiando t por -s. EJEKIC~OS 8.4 Aplique la definición (3) en los problemas 1 y 3 para hallar eAt y eeA’. 1. A= 2. A= Aplique la definición (3) en los problemas 3 y 4 para determinar eAt. En los problemas 5 a 8 use la ecuación (1) a fin de hallar la solución general de cada sistema. 5. X'= ( 1 1 0 0 2 X 6. X'= X Aplique la ecuación (5) para determinar la solución general de los sistemas correspondientes a los problemas 9 a 12. 9. xq; gx+(J ll. X'= (1 gx+ (;) 10. X’= (0 !Jx+ (e:,) 12. X'=(Y ;)xi-(";) 398 CAPíTULO 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 13. Resuelva el sistema del problema 7 sujeto a la condición inicial 1 X(O) = -4 . 0 6 14. Resuelva el sistema del problema 9 sujeto a la condición inicial 0 4 X(O) = 3 . Sea P una matriz cuyas columnas son los vectores propios K1, K2, . . , , & que corresponden a distintos valores propios, XI, XZ, . . . , &,, de una matriz A de n x n. Se puede demostrar que A = PDP-‘, donde D SC? define así: D= (6) En los problemas 15 y 16 compruebe el resultado anterior para cada matriz. 17. Suponga que A = PDP-‘, donde D se define como en (6). Aplique la definición (3) para demostrar que eAr = PeDtP-‘. 18. Use la definición (3) para demostrar que donde D es la matriz definida en (6). En los problemas 19 y 20 use los resultados de los problemas 15 a 18 para resolver el sistema dado. 2 1 19. X’ = X 1 X 2 2 0 . X’ = ( 1 Seccibn 8.4 Matriz exponencial 399 1. Compruebe que, en el intervalo (-m, -), la solución general del sistema X’ = es x = Cl ( 4 -2 5 2 ( 1 X 2 cos 3t 2sen 3t e3r + c2 e3’ cos 3t + 3 sen3t 1 ( sen3t-3cos3t ) ’ 2. Compruebe que en el intervalo (-w, -), la solución general del sistema dx z=Y iJ!= -x+2y-2cost dt es X=cl(i)e’+cT[(i)tef+ (Je’] + ci). En los problemas 3 a 8 aplique los conceptos de valores y vectores propios para resolver cada sistema. 4 &= -4x + 2y ’ dt En los problemas 9 a 12 aplique el método de variación de parámetros a fin de resolver el sistema respectivo. 9. X’= (0 $x+ (l;i) by, dt -ix+y+e’tanf MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS 9.1 Campos direccionales 9.2 Métodos de Euler 9.3 Métodos de Runge-Kutta 9.4 Métodos multipkos 9.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior 9.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden Ejercicios de repaso Una ecuación diferencial no necesita tener una solución, y aun si la tiene, no siempre podemos expresarla en forma explícita o implícita; en muchos casos tendremos que contentarnos con una aproximación. si existe una solución de una ecuación diferencial, ella representa un conjunto de puntos en el plano cartesiano. A partir de la sección 9.2 explicaremos procedimientos que emplean la ecuación diferencial para obtener una sucesión de puntos distintos cuyas coordenadas (Kg. 9.1) se aproximen a las coordenadas de los puntos de la curva real de solución. En este capítulo nos centraremos en los problemas de valores iniciales de primer orden: uj~/& =f(x, JJ), JJ(Q) = yo. Veremos que los procedimientos numéricos para las ecuaciones de primer orden se pueden adaptar a sistemas de ecuaciones de primer orden; en consecuencia, podremos aproximar soluciones de problemas de valores iniciales de orden superior, reduciendo la ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones de primer orden. El capítulo termina con algunos procedimientos para aproximar soluciones de problemas de contorno lineales y de segundo orden. , '400 Sección 9.1 Campos direccionales 401 FIGURA 9.1 CAMPOS DIRECCIONALES W Elementos lineales W Campo de direcciones n Campo de pendientes W Campo de elementos lineales Elementos lineales Examinemos la ecuación diferencial de primer orden dy/u!x = y. Esta ecuación significa que las pendientes de las tangentes a la gráfica de una solución están determinadas por la funciónf(x, y) = y. Cuandof(x, y) se mantiene constante -esto es, cuando y = c, donde c es cualquier constante real- estamos obligando a que la pendiente de las tangentes a las curvas de solución tenga el mismo valor constante a lo largo de una línea horizontal; por ejemplo, para y = 2 podemos trazar una serie de segmentos lineales cortos o elementos lineales (cada uno de pendiente 2) con su punto medio en la línea. Como vemos en la figura 9.2, las curvas de solución cruzan esta recta horizontal en cada punto tangente a los elementos lineales. curvas de solución FIGURA 9.2 Isoclinas y campos de direcciones La ecuación y = c representa una familia a un parámetro de líneas horizontales. En general, cualquier miembro de la familiaf(x, y) = c se llama isoclina, que literalmente significa curva a lo largo de la cual la inclinación de las tangentes es igual. Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas en que los elementos lineales se construyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo de pendientes o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial dy/dx =f(x, y). Según apreciamos en la figura 9.3a), el campo de direcciones recuerda las “líneas de flujo” de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial y’ = y. Si deseamos una solución que pase por el punto (0, l), debemos formar una curva, como se indica en gris en la figura 9.3b), que pase por este punto de modo que atraviese las isoclinas con las inclinaciones adecuadas. 402 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS y = constante \ yA l I I I I (0, I I I I I 1) : : 1’ I / , P ,, . , , / / I I I I I I . X \ \ \ \ \ ta) (b) FIGURA 9.3 Campo de direcciones Trace el campo de direcciones e indique varios posibles miembros de la familia de curvas de solución de dyh = x/y. SOLUCIÓN Antes de trazar el campo de direcciones que corresponde a las isoclinas x/v = c o y = x/c, se debe examinar la ecuación diferencial para cerciorarse de que proporcione la siguiente información. i) Si una curva de solución cruza el eje x (y = 0), lo hace tangente aun elemento lineal vertical en cada punto, excepto quizá en (0,O). ii) Si una curva de solución cruza el eje y (x = 0), lo hace tangente a un elemento lineal \ horizontal en cada punto, excepto quizá en (0,O). iii) Los elementos lineales correspondientes a las isoclinas c = 1 y c = -1 son colineales con las rectas y = x y y = -x, respectivamente. En realidad, y = x y y = -x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada (compruébelo). Obsérvese que, en general, las isoclinas no son soluciones de una ecuación diferencial. La figura 9.4 muestra el campo de direcciones y varias curvas de solución posibles en gris. Recuerdese que sobre una isoclina todos los elementos lineales son paralelos. También se pueden trazar los elementos lineales de tal manera que sugieran el curso de determinada curva; en otras palabras, podemos imaginar que las isoclinas están tan próximas que si se unieran los elementos lineales tendríamos una curva poligonal que indicara la forma de una curva suave de solución. n Solución aproximada La ecuación diferencial dy/& = x2 + 3 no se puede resolver en términos de funciones elementales. Por medio de un campo de direcciones, determine una solución aproximada que satisfaga y(O) = 1. %cción 9.1 Campos direccionales 403 =-3 2 = -x FIGURA 9.4 SOLUCIÓN Las isoclinas son circunferencias conc&ricas definidas por x2 +J? = c, c > 0. Cuando c = $ c = 1, c = $ y c = 4 se obtienen circunferencias de radio .i, 1, i y 2 [Fig. 9.5a)]. Los elementos lineales que se trazan en cada círculo tienen una pendrente que corresponde al valor elegido de c. Al estudiar la figura 9.5a) parece lógico que una curva de solución aproximada que pase por el punto (0, 1) tenga la forma que se ilustra en la figura 9.5b). w (b) (4 FIGURA 9.5 Uso de computadora El trazo de un campo de dirección es sencillo pero muy tardado; es una de las tareas de las que se puede discutir si vale la pena hacerlas a mano una. o dos veces en la vida, pero se pueden efectuar con eficiencia mediante el software adecuado. Si dy/du = x/y y se usa el programa idóneo se obtiene la figura 9.6a). Obsérvese que en esta versión computadorizada de la figura 9.4 los elementos lineales se trazan con espaciamiento uniforme en sus isoclinas (que no se dibujan). El campo de direcciones que resulta sugiere aun más la forma de las curvas de solucion. En la figura 9.6b), obtenida con un programa ODE solver, hemos sobrepuesto la curva aproximada de solución para la ecuación diferencial del ejemplo 2, que pasa por (0, l), a su campo de direcciones generado por computadora. 404 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 111111~111111 I I I I I I I I I I I I I I l I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I (b) FIGURA 9.6 En los problemas 1 a 4 use el respectivo campo de direcciones generado por computadora para trazar diversas curvas de solución posibles de la ecuación diferencial indicada. 1. y’ = xy 2. y’= 1 -xy Y Y I I Il \ \-/ I I I I I I \ \ \ \ \.-/ I l I I I ll\\\\-111111 \\\\\\-.///lll \\\\\\--ffffll \\\\\\--/fffll I I I I I I \\\\Il I I I I I I <‘\ \ \ \ \ l lllllf8\\\\\l lllf,f.‘..\\\l llllff.‘-~\\\l llflf/.‘-\\\\l 1 \-\\--.‘/f f I I I l\\\~~.‘ff/fll l\\\\-/lfflII l\\\\~.‘lll1ll .I 1 \ \ \ \ 0 I I I I I I I I \ \ \ \ 1’ I I I I I I X lllfff..\\\\\\ lllff/..\\\\\\ lllfff..\\\\\\ llll1f..\\\\\l I I I I II..\ \ \ \ I I I I I III-.\ \ l I I I FIGURA 9.7 x FIGURA 9.8 4. y’ = fg Y .r,,r. .r,,r. llllffd’/-\\\\ llff//d’-\\\\\ .: lf///-‘,\\\\\\ ////-\‘.\\\\\\ /// - N k ‘, \ \ \ \ \ \ /, - N \ \ 0 \ \ \ \ l \ /-~\\\‘,\\lIII -\\\\\ IIIIII FIGURA 9.9 \Hff@\ /N\\Nf .-\\5. .-\\-. ..-/,r. ,.-//-. ,\HffH\ 'f\\\Nf ,,-\\-/ '.-\\-, X x .r,,r. ,.-,,-. .-/,r. .r,,r. \M//H\ \Hff,\ f\\\Nf ,.\\., .-\\-, .-\\-r .r\\-. .r\\-, FIGURA 9.10 Sección 9.2 Métodos de Euler 405 En los problemas 5 a 12 trace u obtenga con computadora el campo de direcciones de la ecuación diferencial dada. Indique diversas curvas posibles de solución. 5. y’=x 6.y’=x+y dy -x 7. yz= 8 by2 ‘dx 9. -& dy = 0.2x2 + y ; 10. by= xey dx 11. y'=y-co+ 12. y#=l-i MÉTODOS DE EULER n Método de Euler n Linealización W Error absoluto n Error relativo n Error relativo porcentual n Error de redondeom Error local de truncamiento n Error global de truncamientou Método de Euler mejorado Método de Euler Una de las técnicas más sencillas para aproximar soluciones del problema de valor inicial Y’ =.m Y>, Axo> = YO se llama método de Euler o método de las tangentes. Aplica el hecho que la derivada de una ftmcion y(x), evaluada en un punto xo, es la pendiente de la tangente a la gráfica dey(x) en este punto. Como el problema de valor inicial establece el valor de la derivada de la solución en (xo,yo), la pendiente de la tangente ala curva de solución en este punto esf(xo, yo). Si recorremos una distancia corta por la línea tangente obtenemos una aproximación a un punto cercano de la curva de solución. A continuación se repite el proceso en el punto nuevo. Para formalizar este procedimiento se emplea la linealización Jqx) = Y’(&>(X - xo) + Yo (1) de y(x) en x = XO. La gráfica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica dey = y(x) en el punto (~0, VO). Ahora se define h como un incremento positivo sobre el eje x (Fig. 9. ll). Reemplazamos x con XI= xg + h en (1) y llegamos a Yt curva de solución FIGURA 9.11 406 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS u-d = y’(xo)(xo + h - xo) + yo = yo + hyó 0 sea Yl = yo + v-~xo, YO), en donde yo’ = y’(xo) = f(xo, yo) y yl = Ll(x). El punto (XI, ~1) sobre la tangente es una aproximación al punto (XIY( en la curva de solución; esto es, L(xl) = y(xl), o yl =y(xl) es una aproximación lineal local de y(x) en XI. La exactitud de la aproximación depende del tamaño h del incremento. Por lo general se escoge una magnitud de paso “razonablemente pequeña”. Si a continuación repetimos el proceso, identificando al nuevo punto de partida (~1, y1) como (~0, yo) de la descripción anterior, obtenemos la aproximación y(x2) = y(x0 + 2h) = y(x1 + h) = Yz = Yl + WI, Yd La consecuencia general es que .Yn+l = yn + J??(&l, YA (2) en donde x,, = xg + nh. Para ilustrar el mdtodo de Euler usaremos el esquema de iteración de la ecuación (2) en una ecuación diferencial cuya solución explícita es conocida; de esta manera podremos comparar los valores estimados (aproximados) yn con los valores correctos (exactos) y(xJ. Mtodo de Euler Para el problema de valor inicial y’ = 0.2xy, Y(l) = 1, utilice el metodo de Euler a fin de obtener una aproximación a y( 1 S) con h = 0.1 primero y después h = 0.05. SOLUCIÓN Primero identificamosf(x, y) = 0.2xy, de modo que la ecuación (2) viene a ser Y,+I = yn + h(0.2xn.G. Entonces, cuando h = 0.1, y1 = yo + (0.1)(0.2xoy(J = 1 + (0.1)[0.2(1)(1)] = 1.02, que es un estimado del valor de y(1.1); sin embargo, si usamos h = 0.05, se necesitan dos iteraciones para llegar a 1.1. En este caso, y1 = 1 + (0.05)[0.2(1)(1)] = 1.01 y2 = 1.01 + (0.05)[0.2(1.05)(1.01)] , = 1.020605. Observamos que yl =y( 1.05), y que y2 = y(l.1). En las tablas 9.1 y 9.2 se ven los resultados del resto de los cálculos. Cada resultado está redondeado a cuatro decimales. Sección 9.2 Métodos de Euier TABLA 9.1 TABLA 9.2 Método de Euler con h = 0.1 X” Y. Valor exacto Error abs. % Error rel. 1.00 1.10 1.20 1 .oooo 1.0200 1.0424 1.oooo 1.0212 1.0450 0.0000 0.0012 0.00 0.12 1.30 1.40 1.50 1.0675 1.0714 1.0952 1.1259 1.1008 1.1331 0.0025 0.0040 0.0055 0.0073 0.24 0.37 0.50 0.64 407 Método de Euler con h = 0.05 xn Ytl Valor exacto Error abs. % Error rel. 1.00 1.05 1.10 1 .oooo 1.0100 1.0206 1 .oooo 1.0103 1.0212 0.0000 0.00 0.0003 0.0006 0.03 0.06 1.15 1.20 1.25 1.0318 1.0437 1.0562 1.0328 1.0450 0.0009 0.09 0.0013 0.12 0.0016 1.30 1.35 1.0694 1.0833 1.0980 1.1133 1.1295 1.0579 1.0714 1.0857 1.1008 1.1166 1.1331 0.16 0.19 1.40 1.45 1.50 0.0020 0.0024 0.0028 0.0032 0.0037 0.22 0.25 0.29 0.32 Fn el ejemplo 1, los valores correctos 0 “‘exactos” se calcularon con la solución y = eo.‘@ - ‘), que ya se conoce. El error absoluto se define así: Ivalor exacto - valor aproximado/. El error relativo y el error relativo porcentual son, respectivamente, Ivalor exacto - valor aproximado1 Ivalor exacto1 Y [valor exacto - valor aproximado1 x 1 oo = error absoluto x 100. Ivalor exacto1 /valor exacto1 El software permite examinar aproximaciones a la gráfica de la solución y(x) de un problema de valores iniciales porque grafica rectas que pasan por los puntos (xn, y,) generadas por el método de Euler. En la figura 9.12 hemos comparado, en el intervalo [ 1, 31, la gráfica de la solución exacta del problema de valor inicial en el ejemplo 1 con las obtenidas con el método de Euler usando tamaños de paso h = 1, y = 0.5 y h = 0.1. En dicha figura se aprecia que la aproximación aumenta al disminuir el tamaño del paso. Aunque en las tablas 9.1 y 9.2 el error relativo porcentual crece, no nos parece demasiado malo; pero el lector no se debe decepcionar con el resultado del ejemplo 1 y la figura 9.12. Hay h = 0.1 h = 0.5 h=l -J FIGURA 9.12 < 408 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS que observar lo que sucederá en el próximo ejemplo, cuando cambiemos a 2 el coeficiente 0.2 de la ecuación diferencial en el ejemplo 1. Comparación de los valores exactos y aproximados Con el método de Euler obtenga el valor aproximado de y( 1.5) en la solución de y’ = 2xy, y(l) = 1. SOLUCIÓN El lector debe comprobar que la solución exacta, o analitica, es y = ti2- ‘. Si procedemos como en el ejemplo 1, obtenemos los resultados de las tablas 9.3 y 9.4. TABLA 9.3 Método de Euler con h = 0.1 TABLA 9.4 Método de Euler con h = 0.05 x. v. Valor exacto Error abs. % Error rel. 1.00 1 .oooo 1.2000 1.4640 1.8154 2.2874 2.9278 1 .oooo 1.2337 1.5527 1.9937 2.6117 3.4904 0.0000 0.0337 0.0887 0.1784 0.3244 0.5625 0.00 2.73 5.71 8.95 12.42 16.12 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 xn 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 Yll 1 .oooo 1.1000 1.2155 1.3492 1.5044 1.6849 1.8955 2.1419 2.4311 2.7714 3.1733 Valor exacto Error abs. % Error rel. 1 .oooo 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.9937 2.2762 2.6117 3.0117 3.4904 0.0000 0.0079 0.0182 0.0314 0.0483 0.0702 0.0982 0.1343 0.1806 0.2403 0.3171 0.00 0.72 1.47 2.27 3.11 4.00 4.93 5.90 6.92 7.98 9.08 En este caso, el error relativo de 16% que se obtiene con un tamtio de h = 0.1 al calcular la aproximación a y( 1.5) es totalmente inaceptable. Si se duplica la cantidad de cálculos, se logra cierta mejora en exactitud; para ello, se corta a la mitad el tamaño del paso, a h = 0.05. Errores en los métodos numéricos n Para elegir y aplicar un método numérico en la solución de un problema de valores iniciales, debemos estar prevenidos de las diversas fuentes de errores. Para algunos tipos de cálculos, la acumulación de errores podría reducir la exactitud de una aproximación hasta el grado de volver incorrectos los resultados. Por otro lado, dependiendo del uso que se dara a una solución numCrica, quizá no valiera la pena alcanzar una gran exactitud por los costos y complicaciones adicionales en que se incurriría. Una fuente sempiterna de error en los cálculos es el error de redondeo. Se debe a que en cualquier computadora o calculadora solo se pueden representar números con una cantidad finita de dígitos. Como ejemplo, supongamos que contamos con una calculadora que emplea aritmetica de base 10 y que muestra cuatro dígitos. En ella, f se representa como 0.3333, y d como 0. ll ll. Si empleamos esta calculadora para calcular (x2 - $/(x - i), cuando x = 0.3334, el resultado será (0.3334)2 - 0.1111 = 0.1112 - 0.1111 =-1 0.3334 - 0.3333 0.3334 - 0.3333 * Sección 9.2 Métodos de Euler 409 Sin embargo podemos notar que con operaciones algebraicas 2 - 1/9 (x - 1/3)(x + 113) = x + 1 -= x - ll3 x - ll3 3’ de modo que cuando x = 0.3334, (x2 - $l(x - $) = 0.3334 + 0.3333 = 0.6667. Con este ejemplo queda claro que los efectos del error de redondeo pueden ser muy grandes, a menos que se tomen ciertas precauciones. Una manera de reducir este error es minimizar la cantidad de operaciones. Otra técnica en computadora es emplear el modo de doble precisión a fin de comprobar los resultados. En general, el error de redondeo es impredecible, difícil de analizar y no lo mencionaremos en el siguiente análisis de errores; nos concentraremos en la investigación de errores introducidos al usar una fórmula o algoritmo para calcular los valores aproximados de la solución. Errores de truncamiento en el método de Euler Al iterar la fórmula de Euler se obtiene una sucesión de valores, yl, ~2, ~3, . . . En general, el valor de y1 no coincidirá con el de y(xl), la solución exacta evaluada en ~1, debido a que el algoritmo sólo proporciona una aproximación en línea recta a la solución (Fig. 9. ll). La diferencia se conoce como error local de truncamiento, error de fórmula o error de discretización y se presenta en cada paso; esto es, si suponemos que y,, es exacto, entonces y,+l tendrá un error local de truncamiento. Para obtener una fórmula del error local de truncamiento en el método de Euler usaremos una serie de Taylor con residuo. Si una función y(x) tiene k + 1 derivadas continuas en un intervalo abierto que contenga a a y a x, entonces (x - 4 + ) Yb> = Y(U) + Y’M~ . . . + y’“‘(u) iy!T + ywl)(C) (x(k-+aY+’ l)! en donde c es algún punto entre u y x. Con k = 1, u = x, y x = x,+l = x, + h, llegamos a Y(X,+J = Y(&) + Y ‘(4 k + Y”(C) !g 0 sea Y(Xn+l) = Yn \ + &f(Xn,Yn) / + Y”(C) !g. y.+1 El m&odo de Euler es esta fórmula sin el último término; en consecuencia, el error local de truncamiento en y,+l es en donde x,<c<x,+1. Pero casi siempre se desconoce el valor de c (teóricamente existe), de modo que no se puede calcular el error exacto; pero una cota superior del val& absoluto de ese error es en donde M = x zn; ly”(x)I. n “+l 410 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Al describir los errores originados en el empleo de metodos numéricos es útil usar la notación O(V). Para definir este concepto, representaremos con e(h) el error en un calculo numérico que dependa de h. Entonces, se dice que e(h) es de orden V, lo que se representa con O(F), si existe una constante C y un entero positivo n tales que le(h)] I Ch” cuando h es suficientemente pequeña. Así, para el método de Euler el error local de truncamiento es O(h*). Observamos que, en general, si un método numérico tiene un orden h” y h se reduce a la mitad, el nuevo error es, aproximadamente, C(h/2)” = Ch”/2”; esto es, se reduce en un factor de 1/2”. Cota de errores locales de truncamiento Determine una cota de los errores locales de truncamiento para el método de Euler cuando se aplica a y’ = 2xy, y(l) = 1. SOLUCIÓN Ya e$tulkunos esta ecuación diferencial en el ejemplo 2 y su solución analítica es y(x) = e’ - r . El error local de truncamiento es f’(C) !g = (2 + 4c~p-1) 5 en donde c está entre xn y xn + h. En particular, cuando h = 0.1, podemos tener una cota superior del error local de truncamiento para yt si reemplazamos c con 1.1: [2 + (4)(l.l)‘]e”‘.“‘-” @!2 = 0 0422 2 * < En la tabla 9.3 vemos que el error después del primer paso es 0.0337, menor que el valor de la cota. De igual forma podemos tener una cota del error local de truncamiento de cualquiera de los cinco pasos en la tabla 9.3, si sustituimos a c con 1.5 [con este valor se obtiene el valor máximo de y”(c) para cualquiera de los pasos, y puede ser demasiado grande para los primeros]. Al hacerlo obtenemos [2 + (4)(1.5)2]e((1~5)2-1) ‘2 = O.lgYO como cota superior del error local de truncamiento en cada paso. (4) n Obdrvese en el ejemplo 3 que si h se divide a la mitad, a 0.05, la cota de error es 0.0480, alrededor de la cuarta parte del calculado en (4). Esto era de esperarse porque el error local de truncamiento es O(h*) para el método de Euler. En el análisis anterior supusimos que el valor dey, con que se calcula y,+t era exacto; pero no lo es, ya que contiene los errores locales de truncamiento debidos a los pasos anteriores. El error total en y,,+t es una acumulación de los errores en cada una de las etapas anteriores. A este error total se le llama error global de truncamiento. En este libro no podemos presentar un análisis completo del error global de truncamiento, pero se puede demostrar que es O(h) para el método de Euler. Sección 9.2 h4Bbdos de Euler 411 Con el método de Euler esperamos que cuando se reduce ala mitad de paso, el error tambi6n baje a la mitad. Esto se apreció en el ejemplo 2, donde el error absoluto en x = 1.5, cuando h = 0.1, es 0.5625, y cuando h = 0.05, es 0.3171, aproximadamente la mitad del anterior. Véanse las tablas 9.3 y 9.4. En general, se puede demostrar que si un método de solución numérica dwma ecuación diferencial tiene un error local de truncamiento O(h&‘), el error global de truncamiento es O(F). Método de Euler mejorado Aunque la fórmula de Euler atrae por su simplicidad, casi nunca se usa en cálculos serios. En lo que falta de esta sección, y en las secciones que siguen, estudiaremos métodos que alcanzan una exactitud bastante mayor que el de Euler. La f6rmula yn+l = y” + h sch en donde Yi+ Yn) +fh+l, Yi+l> 2 ‘Yn + wn, ’ Yn), (5) se llama fhmula de Euler mejorada o fórmula de Heun. Con la fórmula de Euler se obtiene la estimación inicial, ykr . Los valores f(xn, yn) y f( x,+l, yi+r) son aproximaciones de las pendientes de la curva de solución en (x,,, y(x,,)) y (xn+t, y(x,+t)) y, en consecuencia, se puede interpretar que el cociente f(&,Yn) +f(&+l,Y,+l) 2 es una pendiente promedio en el intervalo de x, a x”+r- Luego se calcula el valor de y,+t en forma semejante a la que se empleó en el metodo de Euler, pero se usa una pendiente promedio en el intervalo en lugar de la pendiente en (xn, y(x,J). Se dice que el valor de ykr predice un valor de y(xn), mientras que Yn+l = y, + ,fhY.) +f(Xn+l>Y,*+l) 2 corrige esa estimación. Método de Euler meiorado Aplique la fórmula de Euler mejorada a fin de hallar el valor aproximado de ~(1.5) para resolver el problema de valor inicial en el ejemplo 2. Compare los resultados para h = 0.1 y h = 0.05. 5OUJClóN Primero se calcula para n = 0 y h = 0.1, y; = yo + (0*1)(2xlJyc) = 1.2. En seguida, de acuerdo con (5), y.$ = yo + (0.1) 2royo '2 2u1yp = 1 + (0 . 1) 2(1)(1) + 2(1*1)(1*2) = 1232 . . 2 En las tablas 9.5 y 9.6 aparecen los valores comparativos de los ckrlos para h = 0.1 y h = 0.5, respectivamente. 412 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CAPíTULO TABLA 9.5 Método de Euler mejorado, con h = 0.1 xn Yn Valor exacto 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1 .oooo 1.2320 1.5479 1.9832 1.0000 1.2337 lSSi7 1.9937 2.5908 3.4509 2.6117 3.4904 Error abs. % Error rel. 0.0000 0.0017 0.0048 0.0106 0.0209 0.0394 0.00 0.14 0.31 0.53 0.80 1.13 TABLA 9.6 Método de Euler mejorado, con h = 0.05 x, Ylt Valor exacto 1.00 1.05 1.10 1 .oooo 1.1077 1.2332 1.15 1.20 1.25 1.3798 1.5514 1.7531 1.0000 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.30 1.9909 1.9937 1.35 1.40 1.45 1.50 2.2721 2.6060 3.0038 3.4795 2.2762 2.6117 3.0117 3.4904 Error abs. 0.0000 0.0002 0.0004 0.0008 0.0013 0.0020 0.0029 0.0041 0.0057 0.0079 0.0108 % Error rel. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11 0.14 0.18 0.22 0.26 0.31 n Es preciso hacer una advertencia. No podemos calcular primero todos los valores de JJ: y luego: sustituirlos en la primera fórmula de (5); en otras palabras, no es posible usar los datos de la tabla 9.3 para ayudarnos a llegar a los valores de la tabla 9.5. ¿Por qué no? Errores de truncamiento para el método de Euler mejorado ~1 error local de truncaniiento, en el caso del método de Euler mejorado, es O(p). La deducci6n de este resultado se parece a la del error local de truncamiento para el método ,de Euler y se dejará para que el lector la desarrolle (véase el problema 16). Puesto que el truncamiento local es O(Iz3) con el m’étodo de Euler mejorado, el error global de truncamiento es U(p). Esto se puede ver en el ejemplo 4; cuando el tamaño del paso se reduce a la mitad, de h = 0.1 a h = 0.05, el error atkoluto, cuando x = 1 SO, disminuye de 0.0394 a 0.0108, un factor aproximado de (i)’ = a. Programas ODE solver Como ya dijimos, el mdtodo de Euler emplea aproximaciones lineales ‘locales para generar la secuencia de puntos (xn, y,J. Si los unimos con segmentos de recta, obtenemos una poligonal que se acerca a la curva de solución real. Esto se muestra en la figura 9.12 con los tamaílos de paso h = 1, h = 0.5 y h = 0.1. En esa figura se ve que la aproximación mejora cuando el tamafío de paso disminuye. Cuando h es suficientemente pequefia; la poligonal parecerá ser uniforme y -esperamos- se aproximar& a la curva real de solución. Esta aproximación poligonal es muy adecuada para las computadoras, y los programas que la realizan se suelen llamar ODE solvers o programas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Con frecuencia, estos programas forman parte de un paquete de software mayor y más versátil. 1. Se tiene el problema de valor inicial y’ = (x + y - l)‘, y(O) = 2. Sección 9.2 Métodos de Euler 413 a) Resuelvalo en tk-minos de funciones elementales. [Sugerencia: sea u = x + y - 1.1 b) Aplique la formula de Euler, con h = 0.1 y h = 0.05, para obtener valores aproximados de la solucion en x = 0.5. Compare los valores aproximados con los exactos, calculados con la solución obtenida en la parte a). 2. Repita los cálculos del problema 1 b) con la fórmula de Euler mejorada. En los problemas de valor inicial 3 a 12, aplique la fórmula de Euler para hallar una aproximación al valor indicado con cuatro decimales de precisión. Primero use h = 0.1 y despues h = 0.05. 3. y’ = 2x - 3y + 1, y(l) = 5; y(1.5) 4. y’ = 4x - 2y, y(O) = 2; y(O.5) 5. y’ = 1 + y2, y(O) = 0; y(O.5) 6. y’ = x* + y*, y(O) = 1; ~(0.5) 7. y’ = e-y, y(O) = 0; y(O.5) 8. y’ = x + y*, y(O) = 0; y(O.5) 9. y’ = (x - y)“, y(O) = 0.5; y(O.5) 10. y’ = xy + vg, y(O) = 1; y(O.5) ll. y’ = xy2 - x, y(l) = 1; y(1.5) 12. y’ = y - y*, y(O) = 0.5; y(O.5) 13. Como partes a) a e) de este ejercicio, repita los c&ulos de los problemas 3, 5, 7, 9 y ll aplicando la fórmula de Euler mejorada. 14. Como partes a) a e) de este ejercicio, repita los cálculos de los problemas 4,6,8, 10 y 12 usando la fórmula de Euler mejorada. 1 5 . Aunque no sea obvio a partir de la ecuación diferencial, su solución se podría ‘portar mal” cerca de un punto x en que desearamos aproximar a y(x). Cerca de este punto, los procedimientos numéricos quizá den resultados muy distintos. Sea y(x) la solución del problema de valor inicial y' = ** + y3, y(l) = 1. a) Trace una gráfica de la solución en el intervalo [ 1, 1.41 con un programa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. b) Con el tamafio de paso h = 0.1 compare los resultados que se obtienen con la formula de Euler con los de la fórmula mejorada de Euler para aproximar y(1.4). 16. En este problema demostraremos que el error local de truncamiento, para el método de Euler mejorado, es O(h3). a) Aplique la fórmula de Taylor con residuo para demostrar que y”(x,> = Y ‘(4 - Y ‘(4 - ; hy”(c). h [Sugerencia: haga k = 2 y diferencie el polinomio de Taylor, ecuación (3).] b) Use el polinomio de Taylor con k = 2 para demostrar que y(x.,,) = y(x,) + hy’(xn) +2y”““+1’ + O(h3). 414 CAPíTULO 9 MÉrooOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 17. La solucibn analitica del problema de valor inicial y’ = 2y, y(O) = 1 es y(x) = eti. a) Aproxime ~(0.1) con una etapa y el metodo de Euler. b) Determine una cota del error local de truncamiento en yl. c) Compare el error real en yt con la cota del error. d) Aproxime ~(0.1) con dos etapas y el método de Euler. e) Compare los errores obtenidos en las partes a) y d) y compruebe que el error global de truncamiento es O(h) con el metodo de Euler. 18. Repita el problema 17 con el metodo mejorado de Euler. El error global de truncamiento es o(h*). 19. Repita el problema 17 para el problema de valor inicial y’ = -2y + x, y(O) = 1. La solucion analítica es y(x) = +x - f + {eS2”. 20. Repita el problema 19 aplicando el método de Euler mejorado. El error global de truncamiento es o(Q). 21. Para el problema de valor inicial y’ = 2x - 3y + 1, y( 1) = 5, cuya solución analítica es y(x) = + + p + 9-3@ - 1): a) Deduzca una formula donde intervengan c y h para hallar el error local de truncamiento en el enésimo paso si se aplica el método de Euler. b) Determine una cota del error local de truncamiento en cada etapa si se usa h = 0.1, para aproximar ay(1.5). c) Determine el valor aproximado y( 1.5) empleando h = 0.1 y h = 0.05 con el metodo de Euler. Vea el problema 3. d) Calcule los errores en la parte c) y compruebe que el error global de truncamiento del método de Euler es O(h). 22. Repita el problema 21 aplicando el método de Euler mejorado, cuyo error global de truncamiento es O(h*). Vea el problema 13a). Quid requiera más de cuatro cifras decimales para apreciar el efecto de reducir el orden del error. 23. Repita el problema 21 para y’ = eeY, y(O) = 0. La solución analitica es y(x) = ln(x + 1). Aproxime y(0.5). Vea el problema 7. 24. Repita el problema 23 con el metodo de Euler mejorado, cuyo error global de truncamiento es o(p). Vea el problema 13a). Quizá precise más de cuatro cifras decimales a fin de apreciar el efecto de reducir el orden del error. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA W4étodo de Runge-Kutta de primer orden n Método de Runge-Kutta de segundo orden n Método de Runge-Kutta de cuarto orden n Errores de truncamiento n Método adaptativos Es probable que uno de los procedimientos más difundidos y a la vez rnsls exactos para obtener soluciones aproximadas al problema de valor inicial y’ = f(x, y), y(xo) = yo sea el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Como indica el nombre, hay metodos de Runge-Kutta de distintos ordenes, los cuales se deducen a partir del desarrollo de y(x,, + h) en serie de Taylor con residuo: y(xn+l) = y(xn + h) = y(x.) + hy’(n,) + ; Y”(A) + ; y”lx.) + . . - + &Y”il’o), Sección 9.3 Métodos de Runge-Kutta 415 en donde c es un número entre xn y x,, + h. Cuando k = 1 y el residuo y”(c) es pequefio, se obtiene la fórmula acostumbrada de iteración y,t1 = Yn + hYL = Y” + wc%l, Yn). En otras palabras, el método básico de Euler es un procedimiento de Runge-Kutta de primer orden. Pasemos ahora al procedimiento de Runge-Kutta de segundo orden. Consiste en hallar las constantes u, b, cy y /3 tales que la fórmula y,+l = en la cual Y, + ah + bkz, (1) kl = hf(Xn,yn) kz = h.f(xn + ah, yn + Nb), coincide con un polinomio de Taylor de segundo grado. Se puede demostrar que esto es posible siempre y cuando las constantes cumplan con a+b=l, bol=; y b/?=+. (2) Este es un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas y tiene una cantidad infinita de soluciones. Obsérvese que cuando a = b = $ o = /3 = 1, las condiciones (1) vienen a ser las de la fórmula de Euler mejorada. Como la fórmula coincide con un polinomio de Taylor de segundo grado, el error local de truncamiento para este m&odo es 0(h3) y el error global de truncamiento es @II’). Nótese que la suma ah+ bk2 en la ecuación (1) es un promedio ponderado de AI y 4 porque LI + b = 1. Los números kl y 4 son múltiplos de aproximaciones a la pendiente de la curva de solución y(x) en dos puntos distintos en el intervalo de x, a x,+l. Fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden ~1 procedimiento de Runge-Kutta de cuarto orden consiste en determinar las constantes adecuadas para que la fhnula en que coincida con un polinomio de Taylor de cuarto grado. Con lo anterior se obtienen ll ecuaciones con 13 incógnitas. El conjunto de valores de las constantes que más se usa produce el siguiente resultado: ka = hf(x, + p, yn + $1) k3 = hf(x,j + +h, y,, f 92) k4 = hf(xn -t h, yn + k3). (3) 416 CAPíTULO 9 MhOD0.S NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Se recomienda al lector examinar con cuidado estas fórmulas; obsérvese que kz depende de KI; k3, de kz, y k4 de k3. También, en KZ y k3 intervienen aproximaciones a la pendiente en el punto medio del intervalo entre xn y x,+l. Método de Runge-Kutta Con el método de Runge-Kutta con h = 0.1 obtenga una aproximación a ~(1.5) para la solución de y’ = 2xy, SOLUCIÓN y(l) 7 1. Con fines de ilustración, calcularemos el caso en que n = 0. De acuerdo con (3), kl = (O.l)f(xo, yo) = (0.1)(2xlJyf)) = 0.2 k2 = (O.l)f(xo + ii (al), yo i- t (0.2)) =(o.1)2(X~+;(o.1))(y,+;(o.2)) =0.233 k3 = (O..l)f(xo + S (O.l), y,, + li (0.231)) ‘ks, = (O:l)f(xo + 0.1, yo + 0.234255) = (0.1)2(~, + O.l)( yo + 0.234255) = 0.2715361 y en consecuencia yl = yo + ; (k, + 2k, + 2k, + k.,) = 1 + ; (0.2 + 2(0.231) + 2(0.234255) + 0.2715361) = 1.23367435. En la tabla 9.7, cuyos elementos se redondearon a cuatro decimales, se resumen los chhlos restantes. TABLA 9.7 Método de Runge-Kutta con h = 0.1 xn YII Valor exacto Error abs. % Error rel. 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1 .oooo 1.2337 1.5527 1.9937 2.6116 3.4902 1 .oooo 1.2337 1.5527 1.9937 2.6117 3.4904 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Sección 9.3 Métodos d e Runge-Kuíta 417 TABLA 9.8 y’ = 2xy, y(l) = 1 Comparación de métodos numkicos -Gl 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 Euler 1 .oooo 1.2000 1.4640 1.8154 2.2874 2.9278 Euler mejorado 1 .oooo 1.2320 1 s479 1.9832 2.5908 3.4509 Comparación de mbtodos numbricos con Ir = 0.05 con /I = 0.1 Runga Kutta Valor exacto 1 .oooo 1.2337 1.5527 1.9937 2.6116 3.4902 1 .oooo 1.2337 1.5527 1.9937 2.6117 3.4904 xII Euler Euler mejorado 1.00 1.05 1,lO 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1 .oooo 1.1000 1.2155 1.3492 1.5044 1.6849 1.8955 2.1419 2.4311 2.7714 3.1733 1 .oooo 1.1077 1.2332 1.3798 1.5514 1.7531 1.9909 2.2721 2.6060 3.0038 3.4795 RungeKutta 1 .oooo 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.9937 2.2762 2.6117 3.0117 3.4903 Valor exacto 1 .oooo 1.1079 1.2337 1.3806 1.5527 1.7551 1.9937 2.2762 2.6117 3.0117 3.4904 Al revisar la tabla 9.7 vemos por qué es tan utilizado el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Si todo lo que basta es exactitud al cuarto decimal, no se necesita un tamaño menor de paso. En la tabla 9.8 se comparan los resultados de aplicar los m&odos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta de cuarto orden, al problema de valor inicial y’ = 2xy, y(l) = 1 (véanse los ejemplos 2 y 3 en la sección 9.2). Errores de truncamiento para el método de Runge-Kutta Como la primera de las ecuaciones (3) coincide con un polinomio de Taylor de cuarto grado, el error local de truncamiento es y”‘(c) !c 5! 0 sea O(h5), y, por consiguiente, el error global de truncamiento es O(h4). Esto justifica el nombre de método de Runge-Kutta de cuarto orden. m. Cota de errores de truncamiento local y global Analice los errores local y global de truncamiento para el método de Runge-Kutta de cuarto orden aplicado a r’ = 2xy, y( 1) = 1. SOLUCIÓN Al diferenciar la solución conocida y(x) = ti’- ’ obtenemos y”‘(c) $ = (120~ + 160~~ + 32c5)& $ Así, con c = 1 S, se obtiene una cota de 0.00028 para el error local de truncamiento en cada una de las cinco etapas, cuando h = 0.1. Obsérvese que, en la tabla 9.7, el error real de yl’es bastante menor que esa cota. 418 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS En la tabla 9.9 vemos las aproximaciones a la solución del problema de valor inicial, en x = 1.5, que se obtienen con el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Al calcular el valor de la solución exacta en x = 1.5, es posible determinar el error en las aproximaciones. Puesto que el metodo es tan exacto, se requieren muchas cifras decimales en la solución numérica para apreciar el efecto de reducir a la mitad el tamafIo de paso. Es de notar que cuando h se reduce a la mitad (de h = 0.1 a h = 0.05), el error que& dividido por un factor aproximado de 24 = 16, que era lo que se esperaba. TABLA 9.9 Método de Runge-Kutta h Aproximación Error 0.1 3.49021064 1.323210889 x 10”’ 0.05 3.49033382 9.137760898 x 10” I Métodos adaptativos Hemos explicado que la exactitud de un metodo numérico se mejora disminuyendo el tamaño de paso, h. Está claro que la mayor exactitud se obtiene a un costo; más tiempo de cálculos y mayores posibilidades de error de redondeo. En general, en el intervalo de aproximacion pueden existir subintervalos en que baste un tamafío mayor de paso, y otros subintervalos en que sea menor el tamaño de paso para mantener el error de truncamiento dentro de cierto límite deseado. Los metodos num&icos que emplean tamtios variables de paso se llaman métodos adaptativos. Uno de los más difundidos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales es el algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg. 1. Aplique el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.1 para determinar una aproximación, con cuatro decimales, a la solución del problema de valor inicial y’=(x +y- 1)2, Y(O) = 7. en x = 0.5. Compare los valores aproximados con los valores exactos obtenidos en el problema 1 de los ejercicios 9.2. 2. Resuelva las ecuaciones en (2) con la hipótesis a = f. Aplique el metodo de Runge-Kutta de segundo orden que resulta, para obtener una aproximación, con cuatro decimales, a la solución del problema de valor inicial y’ = (x + y - 1)2, Y(O) = 2 en x = 0.5. Compare los valores aproximados con los obtenidos en el problema 2, ejercicios 9.2. Use el método de Runge-Kutta con h = 0.1 para obtener una aproximación, con cuatro decimales, al valor indicado en los problemas de valor inicial 3 a 12. 3. y’ = 2x - 3y + 1, y(l) = 5; y(1.5) Sección 9.3 Métodos de Runge-Kuta 419 4. y’ = 4x - 2y, y(O) = 2; y(O.5) 5. y’ = 1 + y*, y(O) = 0; y(O.5) 6. y’ = 2 + y2, y(O) = 1; ~(0.5) 7. y’ = e-y, y(O) = 0; y(O.5) 8. y’ = x + y*, y(O) = 0; y(O.5) 9. y’ = (x - y)“, y(O) = 0.5; y(O.5) 10. y’ = xy + 6, y(O) = 1; y(O.5) ll. y’ = xy* - f, y(l) = 1; y(1.5) 12. y’ = y - y*, y(O) = 0.5; y(O.5) 13. Si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, la velocidad v de un objeto de masa m que cae desde una altura h se determina con m-=rng-kV*, dt k > 0. Sean V(O) = 0, k = 0.125, m = 5 slug y g = 32 ftls2. a) Use el método de Runge-Kutta con h = 1 para hallar la velocidad aproximada del objeto que cae, cuando t = 5 s. b) Use un programa ODE solver para graficar la solución al problema de valor inicial. c) Emplee el método de separación de variables a tin de resolver este problema de valor inicial y calcule el valor real ~(5). 14. Un modelo matemático del area A, en cm2, que ocupa una colonia de bacterias (B. dendroides) es el siguiente: f = A(2.128 - 0.0432,4).* Suponga que el k-ea inicial es 0.24 cm2. a) Aplique el método de Runge-Kutta con h = 0.5 para completar la siguiente tabla. t (días) A (observado) 1 2 3 4 5 2.78 13.53 36.30 47.50 49.40 A (aproximado) b) Con un programa ODE solver grafique la solución dé1 problemazde valor inicial. Estime los valores A(l), A(2), A(3), A(4) y A(5) con esa gráfica. c) Aplique el método de separación de variables para resolver el problema de valor inicial y calcule los valores de A(l), A(2), A(3), A(4) y A(5). 15. Se tiene el problema de valor inicial Jf=xZ +y3, Y(l) = 1. (Vea el problema 15 en los ejercicios 9.2.) l Vhse V. A. Kostitzin, Mathematical Biology (London: Harrap, 1939). 420 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS a) Compare los resultados obtenidos con la fórmula de Runge-Kutta en el intervalo [ 1,1.4] con pasos h = 0.1 y h = 0.05. b) Use un programa ODE solver para trazar una gráfica de la solución en el intervalo [l, 1.41. 16. La solución analítica del problema de valor inicial y’ = 5, y(O) = 1 es v(x) = ea. a) Aproxime ~(0.1) empleando una etapa y el método de Runge-Kutta de cuarto orden. b) Determine una cota del error local de truncamiento en yt . ‘c) Compare el error real en yt con la cota de error. d) Aproxime ~(0.1) con dos etapas y el método de Runge-Kutta de cuarto orden. e) Compruebe que el error global de truncamiento del método de Runge-Kutta de cuarto orden es O(h4), comparando los errores en las partes a) y d). 1 7 . Repita el problema 16 con el problema de valor inicial JJ’ = -2~ + x, y(O) = 1. La solución analítica es y(x) = $ x - d + +-2X. 1 8 . La solución analítica del problema de valor inicial y’ = 2x - 3~ + 1, y( 1) = 5 es y(x) = f + 3 + g/3(x-I)* a) Deduzca una fórmula donde intervengan c y h para el error local de truncamiento en el enésimo paso al emplear el método de Runge-Kutta de cuarto orden. b) Determine una cota del error local de truncamiento en cada etapa al usar h = 0.1 para aproximar y( 1.5). c) Aproxime .v( 1.5) con el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.1 y h = 0.05 (vea el problema 3). Necesitará más de seis decimales para apreciar el efecto de reducir el tamaño de paso. 19. Repita el problema 18 para y’ = emY, y(O) = 0. La solución analítica es y(x) = ln(x + 1). Calcule el valor aproximado de ~(0.5). Vea el problema 7. 20. El método de Runge-Kutta para resolver un problema de valor inicial en el intervalo [a, b] da como resultado un conjunto finito de puntos que deben aproximar los puntos de la gráfica de la solución exacta. Para ampliar este conjunto de puntos discretos y tener una solución aproximada definida en todos los puntos del intervalo [u, b], podemos emplear una función interpolante. Es una función incluida en la mayor parte de los sistemas algebraicos de computación, que concuerda exactamente con los datos y supone una transición uniforme entre los puntos. Estas funciones interpolantes pueden ser polinomios o conjuntos de polinomios con unión mutua uniforme. En Mathematica se puede emplear el comando y = Interpolation[data] para obtener una función interpolante que pase por los puntos data = { {XO, YO), {XI, YI 1, . . . , {xn, yn}}. Con ello, la función interpolante, y[x] se puede manejar como cualquier otra función del programa. a) Determine la solución exacta del problema de valor inicial y’ = -y + 10 sen 3x, y(O) = 0 en el intervalo [0,2]. Grafique esta solución y calcule sus raíces positivas. b) Con el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden y h = 0.1, halle una solución aproximada del problema de valor inicial de la parte a). Obtenga una función interpolante y grafiquela. Determine las raíces positivas de la función interpolante en el intervalo P, 21. Problema para discusión 21. Con objeto de medir la complejidad computacional de un método numerico se emplea el conteo de la cantidad de evaluaciones de la funciónfque se usa para resolver el problema de valor inicial y’ =f(x, v), y(xs) = yo. Determine la cantidad de evaluaciones defque se Secci¿n 9.4 Métodos multipasos 421 requiere para ca& etapa de los métodos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta. Mediante algunos ejemplos específicos, compare la exactitud de dichos métodos, aplicados con complejidad computacional comparable. MÉTODOS MULTIPASOS w Métodos de un paso n Métodos en varios pasos H Métodos de predictor y corrector w Método de Adams-BashforthLAdams-Moulton w Estabilidad de los métodos numérkos Los metodos de Euler y de Runge-Kutta descritos en las seccionas anteriores son ejemplos de los métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivo y,+l solo con base en información acerca del valor inmediato anterior y,,. Por otra parte, un método en varios pasos o continuo utiliza los valores de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de y,,+l. Hay numerosas f&nmlas aplicables en la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no intentamos describir el vasto campo de los procedimientos numéricos, solo presentaremos uno de esos métodos. Éste, al igual que la fórmula de Euler mejorada, es un método de prediccibcorrecckb; esto es, se usa una fórmula para predecir un valor y>r, que a su vez se aplica para obtener un valor corregido de y,+l . Método de Adams-BashforWAdams-Moulton Uno de los métodos en multipasos más populares es el método de Adams-BashforWAdams-Moulton de cuarto orden. En este metodo, la prediccion es la f&nmla de Adams-Bashforth: yn+, =yn + $ (55YL - 59y;+, + 37yk* - 9yLq), (1) Yk =mn, Yn) YL = f(xn-1, Yn-1) YL-2 =f(Xn-2, Yn-2) Yi- =mn-3, Yn-3) para n 2 3. Luego se sustituye el valor de y>r en la corrección Adam,+Moulton yn+ =y, + $ <gyn+, + yn+, =.f(xn+1, yn+1>. 19YA - 5yn-1 + YL-21, (2) Observese que la fórmula (1) requiere que se conozcan los valores de yo, yr, yz y ys para obtener el de ~4. Por supuesto, el valor de yo es la condición inicial dada. Como el error local de truncamiento en el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton es @Ir’), los valores de yr, yz y ys se suelen calcular con un metodo que tenga la misma propiedad de error, como la f&nula de Rtmge-Kutta de cuarto orden. 422 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton Use el método de Adams-BashfortMAdams-Moulton mación a ~(0.8) de la solución de y’=x +y- 1, con h = 0.2 para llegar a una aproxiy(O) = 1. Dado que el tamtio de paso es h = 0.2, entonces y4 aproximaráy(0.8). Para comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con xg = 0, yo = 1 y h = 0.2 con lo cual SOLUCIÓN yl = 1.02140000, yz = 1.09181796, y3 = 1.22210646. Ahora definimos xg = 0, XI = 0.2, x2 = 0.4, xg = 0.6 yf(x, y) = x + y - 1, y obtenemos Yó = f(xo, Yo) = (0) + (1) - 1 = 0 yí =f(xl,y,) = (0.2) + (1.02140000) - 1 = 0.22140000 Yi =fhYz)= - 1 = 0.49181796 ( 0.4> + 1.09181796) ( y; =f(xs,y3) = (0.6) + (1.22210646) - 1 = 0.82210646. Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da y$" =y3 ++y; - 59~; + 37yí - 9yó)= 1.42535975. Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero y$ =f(xq,y$*)= 0.8 + 1.42535975 - 1 = 1.22535975. Por último, la ecuación (2) da y4 =y, +g(9y: + 19~; - 5y; +y;)= 1.42552788. n El lector debe comprobar que el valor exacto de y(0.8) en el ejemplo 1 es y(0.8) = 1.42554093. Estabilidad de los métodos numéricos Un aspecto importante del uso de métodos muhicos para aproximar la solución de un problema de valor inicial es la estabilidad de los mismos. En tthninos sencillos, un método numérico es estable si cambios pequefios en la condición inicial ~610 generan pequeflas modificaciones en la solución calculada. Se dice que un método numérico es inestable si no es estable. La importancia de la estabilidad radica en que en cada paso subsecuente de una técnica numérica, en realidad se comienza de nuevo con un nuevo problema de valor inicial en que la condición inicial es el valor aproximado de la solución calculado en la etapa anterior. Debido a la presencia del error de redondeo, casi con seguridad este valor varía respecto del valor real de la solución, cuando menos un poco. Ademhs del error de redondeo, otra fuente común de error se presenta en la condición inicial misma; con frecuencia, en las aplicaciones físicas los datos se obtienen con mediciones imprecisas. Un posible método para detectar la inestabilidad de la solución numérica de cierto problema de valor inicial, es comparar las soluciones aproximadas que se obtienen al disminuir Sección 9.4 Métodos multipasos 423 los tamaiios de etapa utilizados. Si el método numérico es inestable, el error puede aumentar con tamafíos menores del paso. Otro modo de comprobar la estabilidad es observar que sucede a las soluciones cuando se perturba ligeramente la condición inicial; por ejemplo, al cambiar y(O) = 1 ay(O) = 0.999. Para conocer una descripción detallada y precisa de la estabilidad, consúltese un texto de análisis numérico. En general, todos los métodos descritos en este capítulo tienen buenas características de estabilidad. Ventajas y desventajas de los métodos multipasos En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos en un paso -en especial el de Runge-Kutta- suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de sus mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas veces en cada etapa. Por ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de función en cada paso (vease el problema 21 en los ejercicios 9.3). Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa anterior, con un método multipasos sólo se necesita una evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo. Por ejemplo, para resolver numéricamente y’ = f(x, y), y(xo) = yo con el método de Runge-Kutta de cuarto orden en n pasos, se necesitan 4n evaluaciones de función. Con el método de Adams-Bashforth se necesitan 16 evaluaciones de función para iniciar con el método de Runge-Kutta de cuarto orden y n - 4 evaluaciones para los pasos de Adams-Bashforth; el total es n + 12 evaluaciones de función. En general, el método de Adams-Bashforth requiere un poco más de la cuarta parte de las evaluaciones de función que precisa el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Si la evaluación def(x, y) es complicada, el método multipasos será más eficiente. Otro asunto que interviene en los metodos en multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual aumenta la precisión al costo de perder una de las ventajas del método en varios pasos. En la práctica, el corrector solo se calcula una vez, y si el valor de y,+l cambia mucho, se reinicia todo el problema con un tamaiio menor de paso. Con frecuencia, esto es la base de los métodos de tamafio variable de paso, cuya descripción sale del propósito de este libro. 1. Determine la solución exacta del problema de valor inicial en el ejemplo 1. Compare los valores exactos de y(O.2), y(O.4), y(0.6) y ~(0.8) con las aproximaciones yt, ~2, ys y ~4. 2. Escriba un programa de computación para el método de Adams-BashfortWAdamsMoulton. En los problemas 3 y 4 aplique el método de Adams-BashforWAdams-Moulton para aproximar y(O.8), donde y(x) es la solución del problema respectivo de valor inicial. Use h = 0.2 y el metodo de Runge-Kutta para calcular yt , y2 y ys. 3. y’ = 2x - 3y + 1, y(O) = 1 4. y’ = 4x - 2y, y(O) = 2 424 CAPíTULO 9 MÉrODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS En los problemas 5 a 8 aplique el método de Adams-Bashforth/Adams-Moulton para aproximar y( 1 .O), dondey es la solución del problema respectivo de valor inicial. Use h = 0.2 y h = 0.1, y el metodo de Runge-Kutta para calcular yt , y2 y ys. 5. y’ = 1 + y2, y(O) = 0 6. y’ = y + cos x, y(O) = 1 7. y’ = (x - y)‘, y(O) = 0 8. y’ = xy + 6, y(O) = 1~ ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR n Problema de valores iniciales de segundo orden como sistema w Sistemas de ecuaciones diferenciales reducidos a sistemas de primer orden n Métodos numéricos aplicados a sistemas de ecuaciones Problemas de valores iniciales de segundo orden En las secciones 9.2 a 9.4 describimos técnicas numéricas aplicables en la aproximación de una solución al problema y’ = f(x, y), Y(Q) = ya de valor inicial y de primer orden. Para aproximar la solución de un problema de valores iniciales de segundo orden como Ybo) = Yo, Y’(Xo) = Yl Y”=m,Y,Y’h (1) se reduce la ecuación diferencial a un sistema de dos ecuaciones de primer orden. Cuando se sustituye y’ = u, el problema de valores iniciales de las ecuaciones (1). se transforma en y’=u u’ =f(x,r,ldS. Ybo) = Y o , (2) 4x0) = Y l . Ahora podemos resolver numéricamente este sistema, adaptándole las técnicas descritas en las secciones 9.2 a 9.4. Lo haremos con solo aplicar un metodo particular a cada ecuación del sistema; por ejemplo, el método de Euler aplicado al sistema (2) sería Mhodo de Euler Con el método de Euler halle el valor aproximado de y(O.2), donde y(x) es la solución del problema de valores iniciales y” + xy’ + y = 0, SOLUCIÓN y(O) = 1, y’(O) = 2. En términos de la sustitución y’ = u, la ecuación equivale al sistema y’=u u’= - x u - y . Sección 9.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden supetior 425 Así, según (3), Y,+I = Y, + hun un+1 = un + h[-w, - ynl. Empleamos el paso h = 0.1 y yo = 1, UO = 2 y llegamos a y1 = yo Ul = uo y2 = y1 up = 241 + (O.l)uo = 1 + (0.1)2 = 1.2 + (O.l)[-xouo -yo] = 2 + (O.l)[-(0)(2) - l] = 1.9 + (O.l)Ul = 1.2 + (0.1)(1.9) = 1.39 + (O.l)[- XIUI - yo] = 1.9 + (O.l)[-(0.1)(1.9) - 1.21 = 1.761. n En otras palabras, ~(0.2) = 1.39, y ~‘(0.2) = 1.761. En general, toda ecuación diferencial de orden n, como y(“) =f(x, y, y’, . . . , y(“-‘1) se puede reducir a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden, con las sustituciones y = 241, y’ = 242, y” = 243, . . . ) y(“-1) = u,. Sistemas reducidos a sistemas de primer orden si empleamos m procehien- to como el que acabamos de describir, con frecuencia podemos reducir un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior a uno de ecuaciones de primer orden, despejando primero la derivada de orden máximo de cada variable dependiente y luego haciendo las sustituciones adecuadas para las derivadas de orden menor. Sistema transformado en uno de primer orden Exprese X”-x’+5x+2y”=ef -23 + y” + 2y = 3t2 como sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. SOLUCIÓN Escribimos el sistema en la forma xv + 2y” = e’ - 5x + x’ y” = 3t2 + 2x - 2y y a continuación eliminamos y” multiplicando la segunda ecuación por 2 y restando. Con ello obtenemos x” = -9x + 4y + x’ + e’ - 6t*. Como la segunda ecuación del sistema ya tiene expresada la derivada dey de orden máximo en tkminos de las funciones restantes, podemos introducir nuevas variables. Si x’ = u y y’ = 2r, las ecuaciones de x” y y” se transforman, respectivamente, en u ’ = x” = -9~ + 4y + u + e’ - 6t2 U’ = y"Z 2x - 2y + 3P. 426 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS El sistema original se puede expresar como x’ = u y’=v u’ = -9x + 4y + u + e’ - 6t2 v’=2x-2y+3tz. No siempre se podrán realizar las reducciones que mostramos en el ejemplo 2. Solución numérica de un sistema La solución de. un sistema de la forma ~=fl(t,xl,x* ,...> AJ $=f*(t,x+z ,.**, X”> ~=%(f,x1,x2 ,.*.> xn) se puede aproximar con una versión adoptada al sisterma del método de Euler, de Runge-Kutta o de Adams-BashforWAdams-Moulton; por ejemplo, al aplicar el método de Runge-Kutta de cuarto orden al sistema x’ =f(t,x,y) Y’ = &X,Y) (4) x(to> = xo> y(to) = yo se obtiene x,+~ = x, + f (ml + 2m2 + 2m3 + m4) Yfl+i =yn + i (kl + 2k2 + 2k3 + k4), (5) en donde ml = hf(b, x,, y,) kl = hg(tn> xm YJ m2=hf(t,,+~h,x,+~m,,yn+~kl) k2=hg(t,+fh,x,+tml,y,+$kl) m3 = hf(t,, + +h, x,, + fm2, yn + fkz) k3 = hg(t, + +h, xn + im2, y, -t ik2) me = hf(t, + h, x,, + m3, yn + k3) k4 = hg(t,, + h, x,, + m3, yn + k3). (6) kcción 9.5 427 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de arden superior Método de Runge-Kulta Se tiene el problema de valores iniciales x’=z?x+4y y’= -x+6y x(O) = -1, y(O) = 6. Con el método de Runge-Kutta con h = 0.2 y h = 0.1. aproxime ~(0.6) ~~(0.6). Compare los resultados obtenidos Mostraremos los cálculos de XI y ~1, con el tamaño de paso h = 0.2. Hacemos las sustitucionesf(t, X, y) = 2x + 4y, g(t, x, y) = -x + 6y, ro = 0, xo = -1 y yo = 6; de acuerdo con las ecuaciones (6), SOLUCIÓN ml = hf(t,, xo> yo) = 0.2f(O, -1,6) = 0.2[2( -1) + 4(6)] = 4.4000 ka = hg(to,xo,yo) = 0.2g(O, -1,6) = 0.2[-l(-1) + 6(6)] = 7.4000 rnz = hf(t, + $h>xO + Bml>yo + +kJ = 0.2f(O.l, 1.2,9.7) = 8.2400 k2 = hg(to + ih,xo + &ml, yo + ik,) = 0.2g(O.l, 1.2,9.7) = 11.4000 m3 = hf(t, + +h, x. + $m2, yo + &k,) = 0.2f(O.l, 3.12,11.7) = 10.6080 k3 = hg(to + $h, x. + Bmz, yo + $k2) = 0.2g(O.l, 3.12,11.7) = 13.4160 m4 = hf(t, + h, x. + m3, yo + k3) = 0.2f(0.2,8,20.216) = 19.3760 k4 = hg(to + h, x. + m3, yo + k3) = 0.2g(O.2,8,20.216) = 21.3776. En consecuencia, según (5), xl=xo+~(ml+2m~+2m3+m4) = -1 + ; (4.4 + 2(8.24) + 2(10.608) + 19.3760) = 9.2453 yl = yo + ; (k, + 2k2 + 2k3 + k4) = 6 + $7.4 + 2(11.4) + 2(13.416) + 21.3776) = 19.0683, en donde, como siempre, los valores calculados están redondeados a cuatro decimales. Con estos números se determinan las aproximaciones XI = ~(0.2) y y1 = ~(0.2). Los valores siguientes, obtenidos con ayuda de computadora, aparecen en las tablas 9.10 y 9. ll. TABLA 9.10 Método de Ruuge-Kutta con h = 0.2 ml ntz m3 m4 4.4000 18.9527 8.2400 31.1564 37.8870 63.6848 62.5093 97.7863 116.0063 187.3669 h k2 k3 k4 hl 21.0329 11.4000 31.7573 13.4160 36.9716 21.3776 57.8214 0.20 0.40 56.9378 84.8495 98.0688 151.4191 0.60 0.00 10.6080 19.3760 7.4000 xII -1.0000 9.2453 46.0327 158.9430 Yn 6.0000 19.0683 55.1203 150.8192 428 CAPíTULO TABLA 9.11 ml 2.2000 4.8321 9.5208 17.6524 31.4788 54.6348 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Método de RungeKutta con h = 0.1 ny m3 m4 kl kz B 3.1600 3.4560 4.8720 3.7000 4.7000 4.9520 6.5742 7.0778 9.5870 6.2946 7.9413 8.3482 12.5821 13.4258 17.7609 10.5461 13.2339 13.8872 22.9090 24.3055 31.6554 17.4569 21.8114 22.8549 40.3496 42.6387 54.9202 28.6141 35.6245 37.2840 69.4029 73.1247 93.4107 46.5231 57.7482 60.3774 k4 tn -G Yn 0.00 0.10 -1.0000 6.3256 6.0000 10.8883 10.5957 17.5358 28.7393 46.7207 75.4370 2.3840 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 9.3379 19.1332 22.5541 32.8539 46.5103 55.4420 88.5729 93.3006 160.7563 152.0025 n El lector debe comprobar que la solución del problema de valor inicial del ejemplo 3 es x(t) = (26t - l)e4’, y(t) = (13t + 6)e4’. Con estas ecuaciones determinamos los valores exactos dex(0.6) = 160.9384 ~~(0.6) = 152.1198. En conclusión, el método de Euler para resolver el sistema general (4) es Yn+l = Yn + hg(tn, 1 . Con el método de Euler aproximey(0.2), iniciales x,, yn). dondey es la solución del problema de valores y” - 4y’ + 4y = 0, y(O) = -2, y’(O) = 1. Use h = 0.1. Halle la solución exacta y compare el valor exacto de ~(0.2) con ~2. 2 . Aplique el mCtodo de Euler para aproximar ay( 1.2), dondey es la solución del problema de valores iniciales xzyn - 2xy’ + 2y = 0, y(l) = 4, Y’(l) = 9, en donde x > 0. Use h = 0.1. Determine la solución exacta del problema y compare el valor exacto de y( 1.2) con y2. 3. Repita el problema 1 aplicando el metodo de Runge-Kutta con h = 0.2 y h = 0.1. 4 . Repita el problema 2 con el método de Runge-Kutta con h = 0.2 y h = 0.1. 5 . Con el método de Runge-Kutta, obtenga el valor aproximado de y(O.2), donde v(x) es una solución del problema de valores iniciales y” - 2y’ + 2y = e’ cos t, Useh=0.2yh=O.l. y(O) = 1, y’(O) = 2. Sección 9.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior 429 FIGURA 9.13 6. Cuando E = 100 V, R = 10 L2 y L = 1 h, el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes i](t) e i3(t) en la red eléctrica de la figura 9.13 es di1 -20il + lOi3 + 100 dt= di3 x = 1Oil - 20i3, en donde il(O) = 0 e is = 0. Aplique el metodo de Runge-Kutta para aproximar ir(j) e i&), cuando t = 0.1,0.2,0.3,0.4 y 0.5. Use h = 0.1. En los problemas 7 a 12 aplique el metodo de Runge-Kutta para aproximar ~(0.2) y ~(0.2). Compare los resultados obtenidos con h = 0.2 y h = 0.1. 7. x’=2x-y -x Y Ix(O) = 6,y(O) = 2 9. x’= -y+t Y ‘=x-j x(O) = -3,y(O) = 5 ll. x’ + 4x - y’ = 7t x’+y’-2y=3t x(O) = 1, y(O) = -2 8. x’=x+2y y’=4x+3y x(O) = 1, y(O) = 1 10. x’=6x+y+6t y’ = 4x + 3y - 1ot + 4 x(O) = 0.5, y(O) = 0.2 12. xC+y’=4t -x” + y’ + y = 6P + 10 x(O) =‘3,y(O) = -1 Problema poro discusión 13. En la sección 5.3 dijimos que la ecuación diferencial no lineal d28 g -p+ 1sen8=0 es un modelo del movimiento de un pendulo simple de longitud 1. Para valores pequefios de 0, una linealización de esa ecuación es d28 g -$+p=o. a) Describa ¿para qué “valores pequeflos de 0” la ecuación diferencial lineal es una buena aproximación a la ecuación diferencial no lineal? 430 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS b) Determine la solución exacta de la ecuación diferencial lineal sujeta a e(O) = 80, B(O) = -1. c) Aplique el método de Rtmge-Kutta de cuarto orden en el intervalo [0,3] y con h = 0.1 para aproximar la solución de la ecuación no lineal cuyas condiciones iniciales son f?(O) = eo, 0’(0) = -1 para diversos valores de 00. Describa ¿para qué valores de 00 la solución del problema de valor inicial es una buena aproximación a la solución numérica del problema no lineal de valor inicial? ¿ Esto concuerda con su hipótesis de la parte a)? PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA DE SEGUNDO ORDEN W Cocientes de diferencias q DiferenciaJinitas n Diferencia hacia adelante n Diferencia hacia atrás n Diferencia central w Puntos interiores de malla W Ecuación en diferencias finitas n Método de disparos En las secciones 9.2 a 9.4 describimos las técnicas para obtener una aproximación a la solución de un problema de valor inicial de primer orden, como y’ =f(x, y), y(xa) = yo. Además, en la sección 9.5 explicamos que podemos adaptar las técnicas de aproximación a un problema de valores iniciales de segundo orden, como y” =f(x, y, y’), Y(Q) = yo, y’(x0) = yt, reduciendo la ecuación diferencial de segundo orden a un sistema de ecuaciones de primer orden. En esta sección examinaremos un método para aproximar una solución de un problema de valores en Za fronfera (o de contorno) de segundo orden, como y” = f(x, y, y’), y(a) = (Y, y(b) = /?. De inmediato observamos que este método no requiere reducir la ecuación diferencial de segundo orden a un sistema de ecuaciones. Aproximaciones por diferencias finitas serie de Taylor centrada en un punto a es El desarrollo de una función y(x) en una y(x) = y(a) + y’(a) ‘y + y”(a) v + y”‘(a) 31 + * * * . Si definimos h = x - a, la ecuación anterior equivale a y(a + h) = y(a) + y’(a) h + y”(a) E + y”(a) g + - - * . Para el análisis que sigue, conviene reescribir esta última ecuación en dos formas altemativas: y(x - h) = y(x) - y’(x)h + y”(x); - yyx); + * - * . Si h es pequeña, podemos omitir los términos donde aparezcan h4, h’, . . . porque esos valores son despreciables. En realidad, si se desprecian todos los términos donde aparezca hz u otra Sección 9.6 Problemas de valor en la frontem de segundo orden 431 potencia, las ecuaciones (1) y (2) dan, respectivamente, las siguientes aproximaciones para la primera derivada, y’(x): Y’(X) -;[Y(x+wY(x)l (3) Y’(X) - ; [Y(X) - Yb - h)l. (4) Y’(X) = & [y(x + h) - y(x - h)]. (5) Restamos (1) y (2) y obtenemos Por otro lado, si no se toman en cuenta los tkrninos donde intervienen h3 o potencias mayores, al sumar (1) y (2) se tiene una aproximación a la segunda derivada, y”(x): Y “(4 = & [y(x + h) - 2y(x) + y(x - h)]. (6) Los lados derechos de las ecuaciones (3), (4), (5) y (6) se llaman cocientes de diferencias. Las expresiones Yb + h) -Y(x) Yb + h) -Yb - h) ~(-4 - Y(X - h) Y(X + h) - UY + Y(X - h) Y se denominan diferencias finitas. En especial, se llama diferencia hacia adelante ay(x + h) y(x), diferencia hacia atrh ay(x) - y(x - h) y diferencias centrales al par: y(x + h) - y(x -h) y a y(x + h) - 2y(x) + y(x - h). Los resultados representados por (5) y (6) se llaman aproximaciones por diferencias centrales para las derivadas y’ y y”. Ecuación de diferencias finitas Veamos ahora un problema lineal de valores en la frontera de segundo orden: Y” + WY + Q<x>r = f(x), y(a) = Q, Y(b) = P. (7) Supongamos que a =xg ex1 < ~2, . . 1<x,-t c xn = b representa una partición regular del intervalo [u, b]; esto es, que xi = a + ih, donde i = 0, 1,2, . . . , n y h = (b - a)/n. Los puntos x1 = u + h, x2 = u + 2h, . . . , x,-l = u + (n - 1)h se llaman puntos interiores de mallaSdel intervalo [u, b]. Si definimos Yi = Y(Xi), Pi = P(x,), Qi = Qh), Y x = f(Xi) y si y” y y’ en (7) se reemplazan por sus aproximaciones por diferencia central, ecuaciones (5) y (6), llegamos a Yi+l - 2.$i + Yi-l + pi Yi+12hYi-1 + Qiyi =f; 432 CAPíTULO 9 MÉrODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS o bien, después de simplificar, ( 1 1 + i Pi yi+i + (-2 + h2Qi)yi + 1 - $ Pi yi- = h2J. t 1 Esta ecuación se llama ecuación en diferencias finitas y representa una aproximación a la ecuación diferencial. Nos permite aproximar la solución y(x) de (7) en los puntos interiores de malla XI, ~2, . . . , X,-I del intervalo [u, b]. Si hacemos que i tome los valores 1,2, . . . , n - 1 en la ecuación (8), obtenemos n - 1 ecuaciones en las n - 1 incógnitas yr, yz, . . ., yn-]. Téngase en cuenta que conocemos yo y yn porque son las condiciones especificadas en la frontera, yo = Y(Xo) = YW = Q, Y Yn = YW = YC@ = P. En el ejemplo 1 describiremos un problema de valores en la frontera en que podremos comparar los valores aproximados con los valores exactos de una solución explícita. Uso del método de diferencias finitas Con la ecuación (8) de diferencias finitas y n = 4 aproxime la solución al problema de valores a la Contera y” - 4y= 0, Y(O) = 0, y(l) = 5. SOLUCIÓN Para aplicar (8) identificamos P(x) = 0, Q(x) = -4,f(x) = 0 y h = (1 - 0)/4 = f. Entonces, la ecuación de diferencias es yi+ - 2.25yi + yi- = 0. (9) Los puntos interiores son XI = 0 + f, x2 = 0 + $, x3 = 0 + $; así, para i = 1,2 y 3, la ecuación (9) establece el siguiente sistema para las yt, y2 y y3 respectivas: y2 - 2.25y, + yo = 0 y3 - 2.25y2 + y1 = 0 y, - 2.25~~ + yz = 0. Puesto que las condiciones en la frontera son yo = 0 y transforma en -2.25y1 + y, y, - 2.25~~ + y4 = 5, el sistema anterior se =0 Y3 = 0 y, - 2.25~~ = -5. Al resolverlo, se obtienen yr = 0.7256, y2 = 1.6327 y y3 = 2.9479. Ahora bien, la solución general de la ecuación diferencial dada es y = CI cosh 2x + cz senh 2x. La condición y(Q) = 0 implica CI = 0. La otra condición en la contera determina a ~2. Así pues, una solución explícita del problema de valores a la frontera es y(x) = (5 sen 2x)lsenh 2; por lo tanto, los valores exactos (redondeados a cuatro decimales) de esta solución en los puntos interiores son y(0.25) = 0.7184, ~(0.5) = 1.6201 y ~(0.75) = 2.9354. W La exactitud de las aproximaciones en el ejemplo 1 se puede mejorar con un valor menor de h. En este caso la contrapartida es que un valor menor de h necesita la solución de un sistema Sección 9.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden 433 de ecuaciones mayor. Se deja como ejercicio demostrar que con h = i las aproximaciones a y(O.25), ~(0.5) y ~(0.75) son, respectivamente, 0.7202, 1.6233 y 2.9386. Véase el problema ll en los ejercicios 9.6. Aplicación del método de diferencias finitas Use la ecuación (8) en diferencias finitas con n = 10 para aproximar la solución de y” + 3y’ + 2y = 4x2, y(l) = 1, ~(2) = 6. En este caso P(X) = 3, Q(X) = 2,f(x) = 4x2 y h = (2 - l)/lO = 0.1, de modo que (8) se transforma en SOLUCIÓN 1.15yi+1 - 1.98Yi + 0.85y+1 = 0.04x;. (10) Ahora los puntos interiores son ~1 = 1.1, x2 = 1.2, ~3 = 1.3, x4 = 1.4, xg = 1.5, x6 = 1.6, XT = 1.7,xs=1.8yx9=1.9.Cuandoi=1,2 ,..., 9 y yo = 1, ylo = 6, la ecuación (10) produce un sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas: l.l5y, 1.15~~ 1.15~4 1.15~5 1.15~6 1.15y, 1.15~8 1.15~~ - 1.98y, - 1.98~~ - 1.98~~ - 1.98~~ - 1.98~~ - 1.98~~ - 1.98y, - 1.98~~ - 1.98~~ + 0.85~~ + 0.85~~ + 0.85~~ + 0.85~~ + 0.85~~ + 0.85~~ + 0.85y, + 0.85~~ = -0.8016 = 0.0576 = 0.0676 = 0.0784 = 0.0900 = 0.1024 = 0.1156 = 0.1296 = -6.7556. Podemos resolver este sistema grande mediante eliminach de Gauss, o bien, con relativa facilidad, con un sistema algebraico computacional como Mathematica. El resultado es yl = 2.4047, y2 = 3.4432, y3 = 4.2010, y4 = 4.7469, y5 = 5.1359,ys = 5.4124, y7 = 5.6117, yE = 5.7620 y y9 = 5.8855. n Método de disparos Otra manera de aproximar una solución del problema de valor en la frontera y” =f(x, y, y’), y(u) = (Y, y(b) = p es el método de disparos, donde el punto de partida es reemplazar el problema de valores en la frontera con un problema de valores iniciales Y” = fe> Y, Y’), Y(U) = a, y’(u) = ml. (11) La cantidad rn1 en las ecuaciones (ll) ~610 es una propuesta de la pendiente desconocida de la curva de solución en el punto conocido (a, y(a)). A continuación aplicamos una de las tknicas numéricas de un paso a la ecuación de segundo orden en (ll) para llegar a una aproximación BI del valor de y(b). Si PI concuerda con el valor dado y(b) = R dentro de una tolerancia preestablecida, los cálculos se detienen; en caso contrario se repiten, comenzando con una propuesta distinta y’(u) = m2, para obtener una segunda aproximación, pZ, de y(b). Se puede 434 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS continuar este método con la modalidad de prueba y error o ajustar las pendientes sucesivas m3, m4, . . . , en alguna forma sistemática. La interpolación lineal es particularmente útil cuando la ecuación diferencial en (ll) es,lineal. El procedimiento es análogo a tirar al blanco (la “mira” es la elección de la pendiente inicial) hasta llegar a la diana, que es y(b). La base del uso de todos estos metodos numéricos es la hipótesis -no siempre válidade que existe una solución al problema de valores iniciales. El método de aproximación por diferencias finitas se puede ampliar a los problemas de valor inicial en que se especifique la primera derivada en una frontera; por ejemplo, un caso como y” =f(x, y, y’), y’(u) = cy, y(b) = B. Vhe el problema 13 en los ejercicios 9.6. En los problemas 1 a 10 aplique el metodo de diferencias finitas, con el valor indicado de n para aproximar la solución del problema respectivo de valores en la Contera. 1. y” + 9y = 0, y(O); = 4, y(2) = 1; n = 4 2. y” - y = 9, y(O) = 0, y(l) = 0; II = 4 3. y” + 2y’ + y = 5x, y(O) = 0, y(l) = 0; n = 5 4. y” - 1Oy’ + 25y = 1 , y(O) = 1, y(l) = 0; ?I = 5 5. y” - 4y’ + 4y = (x + l)e2x, y(O) = 3, y(l) = 0; n = 6 6. y” + 5y’ = 4&, y(l) = 1, ~(2) = -1; n = 6 7. x2y” + 3xy’ + 3y = 0, y(l) = 5, ~(2) = 0; n = 8 8. x2y” - xy’ + y = In X, y(l) = 0, ~(2) = -2; n = 8 9. y” + (1 - x)y’ + xy = x, y(O) = 0, y(l) = 2; n = 10 10. y” + xy’ + y = x, y(O) = 1, y(l) = 0; n = 10 ll. Repita el ejemplo 1 con n = 8. 12. El potencial electrostático ZJ entre dos esferas conc&rtricas de radios r = 1 y r = 4 está definido por !!$+g=o, u(l) = 50, U(4) = 100. Con el método de esta sección y con n = 6 aproxime la solución de este problema de valores en la frontera. 1 3 . Para el problema de valores en la Contera y” + xy = 0, y’(O) = 1, y( 1) = -1 a) Deduzca la ecuación en diferencias que corresponde a la ecuación diferencial. Demuestrequecuandoi=0,1,2 ,..., n- 1, la ecuación en diferencias produce n ecuaciones con n + 1 incógnita que son y-t, ya, yt , y2, . . ., y,,-l . En este caso, y-t y yo son incógnitas Sección 9.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden 435 porque y-l representa una aproximación a y en el punto exterior x = -h, y yo no esth especificado en x = 0. b) Utilice la aproximación (5) por diferencias centrales para demostrar que y1 -y-l = 2h. Con esta ecuación, elimine ay-1 del sistema en la parte a). c) Use n = 5 y el sistema de ecuaciones determinado en las partes a) y b) para aproximar la solución del problema original de valores en la frontera. 14. En el problema y” = y’ - sen( y(O) = 1, y( 1) = 1.5, de valores en la frontera, aplique el método de disparos para aproximar su solución. (La aproximación real se puede obtener con una técnica numérica, por ejemplo, el m&odo de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.1 -todavía mejor-, si se tiene acceso a un sistema algebraico de computacih, como Mathematica o Maple, con la función NDSoIve.) E.!fiMClUSDfRfl?ASC? En los problemas 1 y 2 trace el campo de direccioges curvas de solución posibles. de la ecuación respectiva. Indique las 2. y’ = 2x -y l.ydx-xdy=O En los problemas 3 a 6 elabore una tabla donde se comparen los valores indicados de y(x) obtenidos con los métodos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta. Redondee sus cálculos a cuatro decimales y use h = 0.1 y h = 0.05. 3. y’ = 2 In xy, y(l) = 2; Y(l.l), y(1.21, Y(1.31, Y(1.4), 4. y’ = sin x2 + cos y2, y(O) = Y W), Y (0.21, Y (0.31, Y (0.4), 5. y’ = %GTy, y(O.5) = 0.5; Y (0.61, Y (0.71, Y @.8), Y (0.91, 6. y’ = xy + y*, y(l) = 1; Y W), Y (1.21, Y (1.31, Y (1.4), YU.5) 0; Y (0.5) Y (1.0) Y (1.5) 7 . Con el método de Euler obtenga el valor aproximado de y(O.2), donde y(x) es la solucih del problema de valores iniciales y” - (2x + 1)y = 1, y(O) = 3, y’(O) = 1. Primero emplee un tamaño de etapa h = 0.2 y luego repita los cálculos con h = 0.1. 8 . Aplique el método de AdameBashfortkdAdams-Moulton para aproximar el valor dey(O.4), donde y(x) es la solución de y’ = 4x - 2y, y(O) = 2. Use la fórmula de Runge-Kutta y h = 0.1 para obtener los valores de yl, y2 y ys. 436 CAPíTULO 9 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 9. Use el mdtodo de Euler y h = 0.1 para aproximar los valores de x(O.2), y(O.2), donde x(t) y y(t) son soluciones de x’=x+y y’ = x - y, x(O) = 1, y(O) = 2. 1 0 . Con el método de diferencias finitas y n = 10 aproxime la solución al problema de valores en la frontera y” + 6.55(1 + x)~ = 1, Y(O) = 0, y( 1) = 0. FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 10.1 Funciones ortogonales 10.2 Series de Fourier 10.3 Series de Fourier de cosenos y senos 10.4 El problema de Sturm-Liouville 10.5 Series de Bessel y de Legendre 10.5.1 Serie de Fourier-Bessel 10.5.2 Serie de Fourier-Legendre Ejercicios de repaso El lector ha estudiado ya, en el cálculo infiriitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado y’es muy común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida. El concepto de funciones ortogonales es fundamental en el estudio de los temas del siguiente capítulo y otros. Otro concepto que se vio en cúlculo infinitesimal fue el desarrollo de una función fcomo serie infinita de potencias de x - a, llamada serie de potencias. En este capítulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un conjunto infinito de funciones ortogonales. 437 438 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER FUNCIONES ORTOGONALES H Producto interno W Funciones ortogonales W Conjunto ortogonal n Norha W Norma cuadrada n Conjunto ortonormal n Ortogonalidad con respecto a unajünción peso H Serie de Fourier generalizada En matemhticas superiores se considera que una función es la generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u . v, posee las propiedades siguientes: 9 (4 VI = CV, 4 ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar iii) (u, u) = 0, si u = 0, y (u, u) > 0 si u f 0 iv) (u + v, w) = (ll, w) + (v, w). Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades. Producto interno Supongamos ahora quefi yf2 son funciones’defínidas en un intervalo [u, b].* Como una integrar del producto fi(x)fi(x) definida en el intervalo tambih posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición: Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto interno es cero, definiremos 1aS funciones ortogonales en forma semejante: *El intervalo tambih podría ser (--, -), [0, -), etcktera. Sección 10.1 Funciones orbgonoles 439 A diferencia del @lisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico. Funciones Las funcionesfi(x) ortogonales = x2 yfi(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, l] porque (.fl Ji) = \yl fi(x>f2(4 dx = I Conjuntos ortogonales nes 1 -lx2*x3dx=&6 6 1 =o. -1 Nos interesan principalmente los conjuntos infinitos de funcio- ortogonales. La norma, o longitud IIuII, de un vector u se uede expresar en términos del producto interno; concretamente, (u, u) = Ilull’, o bien Ilull= ?-(u, II) . La norma, o lon$tud generalizada, de una función b, es IlbW = a es decir, El número (3) se llama norma cuadrada de &. Si {4&)} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [u, b] y tiene la propiedad que Ilc#&)II = 1 par& n = 0, 1,2, . , . , se dice iúe {C&(X)} es un conjunto ortonormal en el intervalo. Conjunto ortogonal de funciones Demuestre que el conjunto ( 1, cos x, cos ti, . . .} es ortogonal en el intervalo [+r, T]. I 440 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER SOLUCIÓN Si definimos &(x) = 1 y CJ~,&C) = cos nx, debemos demostrar que j ?r $&x)I$,(x) U!X = 0 para n # 0 y que JTn &,&)&(x) h = 0 cuando m # n. En el primer caso,-X (60, 44 = j-1. GONG dx = j-y, cos nx dx 1 = = -sennx n -7! = t [sennn -sen( -nn)] = 0, n # 0, y en el segundo, -= cos mx cos nx dx = $d [ cos(m + n)x + cos(m - n)x] dx m sen@ +n)x I sen@- 4~ mi-n m-n 1 > T =o t identidad trigonométrica fn. -7r n Normas Determine las normas de cada función en el conjunto ortogonal del ejemplo 2. SOLUCIÓN Para h(x) = 1, de acuerdo con la ecuación (3), de modo que ~~~~(x)~~ = fi. Para c#J,(x) = cos nx, n > 0, se debe cumplir ll~n(x)~~2 Así, para n > 0, Ilq&(x)II = Iy, cos%x dx = i IIr [l + cos 2nx] dx = 7~. = 6. Todo conjunto orti>gonal de funciones {C&(X)} distintas de cero, n = 0, 1,2, . . . , se puede normalizar, -esto es, transformar en un conjunto ortonormal- dividiendo cada función por su norma. Conjunto ortonormal de funciones Según los ejemplos 2 y 3, el conjunto 1 cosx i G%T’ es ortonormal en [-7r, ~1. cos 2x VG ‘... 1 n Sección 10.1 Funciones ortogonales 441 Vamos a establecer una analogía más entre vectores y funciones. Suponga que VI, v2 y vg son tres vectores no cero, ortogonales entre sí en el espacio tridimensional. Ese conjunto ortogonal se puede usar como una base para el espacio en tres dimensiones; esto es, cualquier vector tridimensional se puede escribir en forma de una combinación lineal u = ClVl + c2v2 + c3v3, (4) en donde las ci, i = 1,2,3, son escalares y se llaman componentes del vector. Cada componente ci se puede expresar en términos de u y del vector Vi correspondiente. Para comprobarlo tomaremos el producto interno de (4) por VI : (ll, v*) = Cl(VI, Por Vl) + cz(v2, Vl> + c3@3, Vl) = w1112 + c2 * 0 + c3 . 0. c, = (UY VI> I v111 2 . consiguiente En forma semejante podemos comprobar que los componentes c2 y c3 se pueden expresar como sigue: c2 = tu, v2) llv2112 y c3 = (UY v3) 2’ Ilv311 Entonces, la ecuación (4) se puede escribir en la siguiente forma: (UY Vl) (UY v2) v 2 + (UY v3) v 3 = i (u, vn. u=----VI+llvIl llv2112 Ilvil12 n=l llvnl12 (5) Serie de Fourier generalizada Supongamos que {&&)} es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [u, b]. Nos preguntamos,: si y =f(x) es una función definida en el intervalo [u, b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes c,,, n = 0, 1,2, . . ., para el cual Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes c,, mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación (6) por &(x) e integrar en el intervalo [u, b] se obtiene Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m = n. En este caso tendremos Entonces, los coeficientes que buscamos son 442 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER En otras palabras, (7) en la que (8) La ecuación (7), en notación de producto interno (o producto punto), es Vemos así que esta ecuación es el análogo funcional del resultado vectorial expresado en la ecuación (5). La hipótesis habitual es que w(x) > 0 en el intervalo de ortogonalidad [a, b]. Ortogonalidad y funcih peso El conjunto { 1, cos x, cos ti, . . .} es ortogonal con respecto a la función peso constante w W(X) = 1 en el intervalo [-rr, n]. Si [&(x)} es ortogonal con respecto a una función peso W(X) en [u, b], al multiplicar (6) por w(x)c#J,(x) e integrar se llega a CI, = s~:fw4.+M Il4dm d.x ’ (10) en donde La serie (7) en que los coeficientes están expresados por las ecuaciones (8) o (lo), se llama serie de Fourier generalizada. Conjuntos completos Podemos apreciar que el procedimiento descrito para determinar las c, era formal; esto es, no tuvimos en cuenta las cuestiones básicas acerca de si en realidad es posible un desarrollo en serie como el de la ecuación (7). También, para desarrollar f en forma de una serie de funciones ortogonales, es necesario que no sea ortogonal a cada & del conjunto ortogonal {&(x)}. (Si f fuera ortogonal a toda &,,, entonces c,, = 0, n = 0, 1, 2, . . .) Para evitar este problema supondremos, en lo que queda del capítulo, que un conjunto ortogonal es completo. Esto quiere decir que la única función ortogonal a cada miembro del conjunto es la función cero. Sección 10.1 Funciones oficgonales 443 Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. En los problemas 1 a 6, demuestre que las funciones respectivas son ortogonales en el intervalo indicado. 1. fi(x) = x,fgx) = x2; [-2, 21 2. fi(x) = x3,f2(x) = x* + 1; [-1, l] 3. fi(x) = ex,f2(x) = Xe-X - e-"; EO, 21 4. J(x) = cos x, f2(x) = sen*x; [0, a] 5. fi(xy= x,.f-+) = cos 2x; [-d2, 8/2] 6. f,(x) = ex,f2(x) = senx; [?r/4, 5a/4] En los problemas 7 a 12 demuestre que el conjunto dado de funciones es ortogonal en el intervalo indicado. Calcule la norma de cada función del conjunto. 7. {senx, sen 3x, sen 5x, . . .}; [0, &2] 8. {cos x, cos 3x, cos sx, . ..}. [O, n/2] 9. {sennx}, n = 1, 2, 3, . . . ; [0, P] ,ra=1,2,3 ,...; [O,p] ll. {l,cos~x},n=1,2,3 12. >...; [O,pJ 1, cos yx, sen?, , n = 1,2,3.. . . , m = 1,2,3,. . . ; [-p,p] Compruebe por integracih directa que las funciones de los problemas 13 y 14 son ortogonales con respecto a la función peso indicada en el intervalo especificado. l3. H,(x) = 1, H,(x)= 23, H,(x) = 4x2 - 2; w(x) = e-z, (-03, 00) 14. L,(x) = 1, Ll(X) = -x+1,L2(x)=kx2-2x+l; w(x)=e-x,[O,m) 1 5 . Sea (&(x)} un conjunto ortogonal de funciones en [u, b] tal que &(x) = 1. Demuestre que ji q&(x) dx = 0 para n = 1,2, . , . 16. Sea {&,(x)) un conjunto ortogonal de funciones en [u, b] tal que &(x) = 1 y #l(x) = x. Demuestre que $ (CU + P)&,(x) du = 0 para n = 2,3, , . . y todas (Y y fi constantes. 17. Sea (A(x)} un conjunto ortogonal de funciones en [u, b]. Demuestre que I!&(X)+ $&)l12 = I14&>H2 + 11d~&11*, m + n. 18. De acuerdo con el problema l,.sabemos queA = x yfi(x) = x2 son ortogonales en [-2, 21. Determine ras constantes CI y c2 tales quefi(x) = x + ~1x2 + czx3 sea ortogonal afi yfi a la vez, en el mismo intervalo. 19. El conjunto de funciones (sen nx}, n = 1, 2,3, . . . es ortogonal en el intervalo I-T, n]. Demuestre que el conjunto no es completo. 20. Sean fi, fi y fo funciones continuas en el intervalo [u, b]. Demuestre que (fi + fi, f3) = ui,“! + ViA). 444 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER SERIES DE FOURIER n n Serie de Fourier n Coeficientes de Fourier W Convergencia de una serie de Fourier Extensión periódica El conjunto de funciones 11 3 cos-xP’ cos-xP’“’ , sennP x , sen-x, 2% P sen-x, 3a P . . . 1 es ortogonal en el intervalo [-p, p] (véase el problema 12 de los ejercicios 10.1). Supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p, p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica Entonces, los coeficientes uo, al, ~2,. . . , bl, b2, *. . se pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior. Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde -p hastap, se obtiene (3) Como cada función cos(nm/p), sen(nrx/p), n > 1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia, l”,f(x)dx=~~pdx=~x~; =Pa,,, P Al despejar UO se obtiene (4) Ahora multipliquemos la ecuación (2) por cos(mm/p) I e integremos: ;pf(x)cos~xdx=2~pcos~xdx cos.Excos-xdx + b, ’ coszxsen-xdx -P P P (5) Por la ortogonalidad tenemos que Y I ’ coszxdx=O, -P P I ’ cosExcos-xdx -P P P I’ -P cosExsen-xdx P P m>O = 0 , p, m#n m=n = 0. *Hemos optado por escribir el coeficiente de 1 en la serie (2) en la forma ad2, y no como ao. Es sólo por comodidad; la fórmula para u,, se reducirá entonces a ao cuando n = 0. Sección lo.2 Series de Fourier 445 Entonces, la ecuación (5) se reduce a y así (6) Por último, si multiplicamos a (2) por sen(m?rx/p), integramos y aplicamos los resultados I ’ sen=x dx = 0, I sen-x cosFx I senm?‘xsenr41rxdx -P P -P P rnn P P P P P -P llegamos a m>O dx = 0 = (7) La serie trigonométrica (2) en que las ecuaciones (4), (6) y (7) definen respectivamente los coeficientes ao, un y b,, es una serie de Fourier de la fhnción$ Los coeficientes que así se obtienen se llaman coeficientes de Fourier clef: Al determinar los coeficientes ao, u,, y b, supusimos que f es integrable en el intervalo y que la ecuación (2) -al igual que la serie obtenida multiplicando dicha ecuación por cos(mm/p)converge en tal forma que permite la integración término a término. Hasta no demostrar que la ecuación (2) es convergente para determinada función& no se debe tomar el signo igual en sentido estricto o literal. Algunos textos emplean el símbolo - en lugar del =. En vista de que en las aplicaciones la mayor parte de las funciones son del tipo que garantiza la convergencia de la serie, usaremos el signo igual. Sinteticemos los resultados: 446 CAP’hULO 10 FUNCIONES ORTOGOfWLES Y SERIES DE FOURIER Desarrollo en serie de Fourier Desarrolle en una serie de Fourier. Y --kn -7C a X FIGURA 10.1 En la figura 10.1 vemos la gráfica de J: Con p = T tenemos, según las ecuaciones (9) y (lo), SOLUCIÓN 1 = - 1 cosnxff m n o = -cos n77 + 1 c cos nn = (-1)” n27r En forma semejante vemos que, según (1 l), Por (13) consiguiente, f(x) = a + s {’ -n\, l)” cos nx + i semx} . n Observe que u, definida por la ecuación (10) se reduce a UO da& por la ecuación (9), cuando se hace n = 0. Pero como muestra el ejemplo 1, esto quizá no sea el caso después de evaluar la integral para u,. Convergencia de una serie de Fourier El teorema que sigue especifica las condiciones suficientes de convergencia de una serie de Fourier en un punto. kción 10.2 Series de Fourier 447 El lector puede encontrar una demostración de este teorema en el texto clásico de Churchill y Brown.? Convergencia en un punto de discontinuidad La función (12) del ejemplo 1 satisface las condiciones del teorema 10.1. Así, para todo x del intervalo (-n, T), excepto cuando x = 0, la serie (13) convergerá hacia f(x). Cuando x = 0 la función es discontinua y por consiguiente la serie convergerá a f(o+) +f(O-) _ 7r + 0 77 --ce. 2 2 n 2 Extensión periódica Observamos que las funciones del conjunto básico (1) tienen un periodo común 2~; por consiguiente, el lado derecho de la ecuación (2) es periódico. Deducimos entonces que una serie de Fourier no solo representa a la función en el intervalo (-p, p), sino que también da la extensión periódica deffuera de este intervalo. Ahora podemos aplicar el teorema 10.1 a la extensión periódica de f o suponer, desde el principio, que la función dada es periodica, con periodo 2p (esto es, f(x + 2~) =f(x)). Cuando fes continua por tramos y existen las derivadas derecha e izquierda en x = -p y en x = p, respectivamente, la serie (8) converge hacia el promedio [f(p-) +f(p+)]/2 en esos extremos, y hacia este valor extendido periódicamente a f3p, 45p, 1Í’p, etcétera. + En otras palabras, cuando x es punto en el intervalo y h > 0, f(x+) = limf(x + h), h-r0 f(x-) = limf(x - h) h+O t Ruel V. Churchill y James Ward Brown, Fourier Series und Boundary Value Problems (New York: McGraw-Hill). 448 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER Convergencia a la extensión periódica La serie de Fourier (13) converge hacia la extensión periódica de (12) en todo el eje x. Los puntos llenos de la figura 10.2 representan el valor en 0, k21r, k47r, . . . . En fo, f31r, f5n, . . . . la serie converge hacia el valor f(n-> + A-r+) = 0 2 Y +-+-L n :\, ix, -+.2+’ -4z -3rr - 2 n -7r :\, :\, --H w 2K 3n-----3 4w FIGURA 10.2 n Las respuestas ri los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. Determine las series de Fourier de cada 7. f(x) =x + ?r, 0, 9.f(x)= O7 r senx, ll. f(x) = 1 -71 <x < ?r -lrr<x<o Olx<?l -2<x<-1 -lSX<O -2, 15. f(x) = ex, 0:1 OSx<l 15x<2 -r < x < r7 f en el intervalo dado en los problemas 1 a 16. -7T<x<O 6. f(x) = =" ã2 - x2, Olx<?r 8.f(x)=3-2x, -n<x<n -??/2<x<o 0, 10. f(x) = cos x, Orx<n/2 i 0, 12. f(x) = 1 x, 1, -2<x< :o osx< :1 lSx< :2 -n<x<O 9 05x-c7r Sección Series de Fourier de cosenos y de senos 10.3 449 17. Con el resultado del problema 5 demuestre que ?=1+1+1+1+... 6 22 32 y 42 18. Con el resultado del problema anterior determine una serie cuya suma sea ?/8. 19. Aplique el resultado del problema 7 para demostrar que 20. Emplee el resultado del problema 9 para demostrar que !!=1+1-L+L-L+... 4 2 1.3 3.5 5.7 7.9 21. a) Emplee la forma exponencial compleja del coseno y del seno &nx/p + cos-x P = e-innx/p 2 e’“nx/p _ e-in”x/p ’ sen-x = P 2i ’ para demostrar que la ecuación (8) se puede expresar en la forma compleja f ( x ) = i c,e”“X’P, “=-m en que CO = aol2, c,, = (a,, - ibJ2, y c, = (a,, + ibJ2:donde n = 1,2,3, . . . b) Demuestre que CO, c,, y c+ de la parte a) se pueden expresar en la forma de integral c, = +j rpf(x)e+n”x/P dx, n = 0, kl, 22, . . . . 22. Aplique los resultados del problema 21 para hallar la forma compleja de la serie de Fourier dey(x) = e-’ en el intervalo -T < x < T. SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS Funciones pares e impares W Propiedades de las funciones pares e impares Weries de Fourier de cosenos y de.senos W’ucesión de sumas parciales W Fenómeno de Gibbs H Desarrollos en mitad de intervalo n Funciones pares e impares El lector recordará que se dice que una ftmciónfes par si f(-x) =f(x), e impar si f(-x) = -f(x). 450 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER Funciones pares e impares a)f(x) = 2 es par porquef(-x) = (-x)’ = 2 =f(x). Figura 10.3. I b)f(x) = x3 es impar porquef(-x) = (-x)~ = -x3 = -f(x). Figura 10.4. Y fc-x), y = w .2 ) f(x) -x X X + FIGURA 10.3 FIGURA 10.4 Como se ilustra en las figuras 10.3 y 10.4, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y y la de una función impar lo es con respecto al origen. Funciones pares e impares Como cos = cos x y sen = -sen x, el coseno y el seno son función par e impar, respectivamente. Propiedades de las funciones pares e impares I n ~1 teorema que sigue menciona algunas propiedades de las funciones pares e impares. Supongamos quefy g son funciones impares. En ese caso tendremos que f(-x) = -f(x) y g(-x) = -g(x). S i de fmimos el producto de f y g como F(x) = f(x)g(x), entonces DEMOSTRACIÓN DE b) F(-x) = f(-xM---4 = (--n4>c-&)) = fWg(x) = W). Esto demuestra que el producto F de dos funciones impares es una función par. Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. (Problemas 45 a 49 de los ejercicios n 10.3.) Sección 10.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 451 Series de senos y de cosenos Sifes una función par en (-p, p), entonces, en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9), (10) y (ll) de la definición mencionada en la sección 10.2 se transforman en ao = 1 jlf(x) cos 7 x dx = ; j;f(x) cos 5 x dx b, = b 0 f(x) sen y x dx = 0. \ J impar En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p, p), a,=O, n=0,1,2 ,..., b, =f\if(x)senyxdx. Resumiremos los resultados en la definición siguiente. Desarrollo en una serie de senos Desarrolle f(x) = x, -2 < x c 2 en forma de una serie de Fourier. Desarrollaremos f como una serie de senos porque al ver la figura 10.5 advertiremos que la función es impar en el intervalo (-2,2). Hacemos que 2p = 4, o p = 2, y podemos escribir la ecuación (5) como sigue: SOWClbN 6. = j-o’ x sen? x dx. 452 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER +k++ Y X f y=x, -i<x<2 FIGURA 10.5 Integramos por partes para obtener b = 4(--lY+l n na Por consiguiente, f(x) = ; $ -(--lP+l s e n ” n * 2 EX. (6) n Convergencia a la extensión periódica La función del ejemplo 3 satisface las condiciones del teorema 10.1; y en consecuencia la serie (6) converge hacia la función en el intervalo (-2,2) y la extensión periódica (de periodo 4), ilustrada en la figura 10.6. FIGURA 10.6 w Desarrollo en una serie de senos La función 9 cuya gráfica se muestra en la figura 10.7 es impar en el intervalo (-T, T). Si p = K y de acuerdo con (5), FIGURA 10.7 Sección 10.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 453 x x - 1 - 1 (b) (al (cl Cd) FIGURA 10.8 bn=$,;(l, sennx& = 21- (-1)” ?in ’ de modo que f(x) = : 2 ’ - ~vl)nsennx. Sucesión de sumas parciales Es interesante ver cómo la sucesión de sumas parciales de una serie de Fourier se aproxima a una función. En la figura 10.8 se compara la gráfica de la funciónfdel ejemplo 5 con las de las tres primeras sumas parciales de la ecuación (7): S,=$enx, Sr=% ( senx+ y2), ,32(~n,+s~+s~). La figura 10.8d) muestra la gráfica de la suma parcial Sts, que tiene picos notables cerca de las discontinuidades en x = 0, x = T, x = -?r, etcétera. Este “exceso” de las sumas parciales sN, respecto a los valores de la función cerca de un punto de discontinuidad no se empareja, sino que permanece bastante constante, aunque el valor de N sea muy grande. A este comportamiento de una serie de Fourier cerca de un punto en el que f es discontinua se le llama, fenómeno de Gibbs. Desarrollos en mitad de intervalo En lo que va del capítulo hemos dado por supuesto que una función f esta definida en un intervalo con el origen en su punto medio -esto es, que-p <x Cp-. Sin embargo, en muchos casos nos interesa representar, mediante una serie trigonométrica, una función definida sólo para 0 < x < L. Lo podemos hacer de muchas formas distintas si dando una definición arbitraria de la fünción en el intervalo 4 <x c 0. Por brevedad sólo describiremos los tres casos más importantes. Si y = f(x) está definida en el intervalo 0 < x C L, entonces i) Reflejar la grafica de la función respecto al eje y, en -L c x < 0; la función ahora es par en -L < x < L (Fig. 10.9) Y ,j ‘\\\ L L x + FIGURA 10.9 454 CAPíTUlO 10 FUNCIONES ORTCGONALES Y SERIES DE FOURIER Y ,/-\ Y +-P- ,’ - L . \ \,/’ ,/ L \ - L x L x r: fc4 = f(x + L) FIGURA 10.10 FIGURA 10.11 ii) Reflejar la gráfica de la función respecto al origen, en -L < x < 0; la función viene a ser impar en -L < x C L (Fig. 10.10) o tambi6n iii) Defmafen -L < x C 0 como@) =f(x + L) (Fig. 10.11). Obsérvese que en los coeficientes de las series (1) y (4) ~610 se utiliza la definición de la función en 0 < x c p (esto es, la mitad del intervalo -p < x < p). Por esta razón, en la práctica no hay necesidad de reflejar como se describió en i) y en ii). Si se define f en 0 <x < L, tan ~610 identificamos la mitad del periodo, o semiperiodo, como la longitud del intervalo p = L. Tanto las fórmulas (2), (3) y (5) de los coeficientes como las series correspondientes danuna extensión periódica par o impar, de periodo 2L como función original. Las series de cosenos y senos que se obtienen con este método se llaman desarrollos en mitad de intervalo. Por último, en el caso iii), igualamos los valores funcionales en el intervalo -L < x < 0 con los del intervalo 0 < x < L. Como en los dos casos anteriores, no hay necesidad de hacerlo. Se puede demostrar que el conjunto de funciones en la ecuación (1) de la sección 10.2 es ortogonal en a I x I a + 2p para todo número real a. Si elegimos a = -p, obtendremos los límites de integración en las ecuaciones (9), (10) y (ll) de esa sección. Pero cuando u = 0, los límites de integración son de x = 0 a x = 2p. Así, si f está definida en el intervalo 0 < x < L, podemos identificar 2p = L o p = L/2. La serie de Fourier que resulta dará la extensión periódica def, con periodo L. De esta manera los valores hacia los que converge la serie serán los mismos en -L < x < 0 que en O<x<L. Desarrollo en tres series Desarrolle f (x) = x2, 0 < x < L, a) En una serie de cosenos b) en una serie de senos c) en una serie de Fourier. SOLUCIÓN En la figura 10.12 vemos la gráfica de esta función. ?‘t Jíí-- y=x*,o<x< L x FIGURA 10.12 L Seccibn 10.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 455 a) Partimos de 2 L ao = L - ox2dx=$L2 I e, integrando por partes, L 2 L L 0 Lx2seriyx L a, = - I X2COS+X 2 =-n77 4 [ 2L L 1277 xsen-xdx n7r I 0 L - - n?T 0 -LXCC+ L 1 +L LcosK.dx nlr I 0 L na 0 = 4L2( -1)” n2a2 ’ Entonces b) En este caso 1 UV b, = $/~x2sen~,dx. Después de integrar por partes llegamos a b _ 2L2( -1)n+l + 4L2 ngg rm Por consiguiente ll-1)” - ll- f(x) = Ts {y + & [(-1)” - l]}seny x. = (9) c) Hacemos p = Lf2; entonces, llp = 2fL y ndp = PnnlL. Entonces 2 a0=¿ I 2 Lx2&=2 o sL 2 L a, = L I0 b, = $/rx’senFxh = -5. Por lo que (10) Las series (8), (9) y (10) convergen hacia la extensibn periódica par de período 2L def, la extensión impar de período 2L de f y la extensión periódica de período L def, respectivamente. En la figura 10.13 vemos las gráficas de esas extensiones. n 456 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FQURIER Y ‘\ A \ í ‘1 \ f ‘\ \,,y , \-, ,’ , \ \I I I , -4L -3L -2L -L í\ t \ \ , I L \ La,’ I 2L / /‘\ ’\ , \,,p I r 3L 4L lf I x a) Serie de cosenos b) Serie de senos c) Serie de Founer FIGURA 10.13 Fuerza de impulsión periódica En ocasiones, las series de Fourier sirven para determinar una solución particular de la ecuación diferencial que describe a un sistema físico en que la entrada, o fuerza de impulsiónf(t), es periódica. En el siguiente ejemplo llegaremos a una solución particular de la ecuación diferencial representando primerofpor el desarrollo en serie de senos y en medio intervalo f(t) = 2 b.senyt para después suponer que una solución particular tiene la forma xp(t) = 2 B, sen: t. (12) n=l Solución particular de una ecuación diferencial En un sistema no amortiguado de resorte y masa en que la masa es m = i slug y la constante del resorte es k = 4 lb/ft, una fuerza externa de periodo 2,f(t), impulsa a la masa y la gráfica defse ve en la figura 10.14. Aunque la fuerzay actúa sobre el sistema cuando t > 0, si se prolonga la gráfica de la función hacia la parte negativa del eje t para que su periodo sea 2, Sección I 0.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 457 obtenemos una funciónimpar. En la práctica esto significa que basta determinar el desarrollo en serie de senos y en medio intervalo def(r) = nt, 0 < t < 1. Conp = 1, entonces, de acuerdo con (5) e integrando por partes, llegamos a b, = 2 j-o rtsennnt dt = 2(-1)nt1. n FIGURA 10.14 Según la ecuación (1 l), la ecuación diferencial del movimiento es $%+4x=cm w)n+lsennat n=l n (13) Para llegar a una solución particular xp(t) de la ecuación (13), sustituimos en ella la ecuación (12) e igualamos los coeficientes de sen n?rt. Así obtenemos 12 -?gnW1 + 4 1 B, = 2(-1)n+* Por ,, sea B, % n 32(-1)“+1 ( 6 4 n2rr2)’ - consiguiente (14) n Observamos que en la solución (14) no hay un entero n 2 1 para el cual el denominador -de B,,, que es 64 - n2?, sea cero. En general, cuando sí hay un valor-de n, digamos que sea N, para el que Nrip = w, donde w = G, el estado del sistema que describe la ecuación (ll) es de resonancia pura. En otras palabras, se presenta resonancia pura si el desarrollo de la función f(t) de la fuerza impulsora en serie de Fourier contiene un término sen(Nr/L)t (o cos(Nr/L)t) que tenga la misma frecuencia que la de las vibraciones libres. Naturalmente, si la extensión de la fuerza impulsorafcon periodo 2p sobre el eje negativo de t da como resultado una función par,fse puede desarrollar en una serie de cosenos. Las respuestas a los preblemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. En los problemas 1 a 10 determine si la función es par, impar o ninguno de esos tipos. 1. f(x) = sen3x 2. f(x) = x cosx 3. f(x) = x2 + x 5. f(x) = e'"' 4. f(x) = x3 - 4x 6. f(x) = Ix51 458 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FWRIER 7. f(x) = x29 -y y -x2, { 9. f(x) = x3, 0 5 x 5 2 x + 5, { -x +.5, 10. f(x) = 21x1 - 1 8. f(x) = -2<x<O 01x<2 Desarrolle cada función de los problemas ll a 24 en I’a serie de cosenos o senos adecuada. ll. f(x) = -?rT<x<o -1, 1 1 ) Orx<n 13. f(x) = 1x1, -?r < x < VT 15. f(x) = x*, -1 < x < 1 17. f(x) = Tr2 - x2, -?7 < x < 7r -a<xKO 19. f(x) = ;; ;? O~X<?r I , 1, 21. f(x) = -; -2<x< -1 -lrx<O OSx<l l<x<2 1, 12. f(x) = 0 , ‘L l -2<x< -1 -1 < x < 1 l<x<2 14.f(x)=x,-15<x<?r 16. f(x) = ~1x1, -1 <x < 1 18. f(x) = x 3, -Ir < x-c li20. f(x) = x + 1, 1x - l 3 -l<x<O Ozsx<l -2sCx-C -Ir f(x) = x, -nsx<a nsx<2rr l 71, -n, 22. l 1: 23. f(x) = Isenxl, -1~ < x < B 24. f(x) = cos x, -al2 < x < al2 En los problemas 25 a 34, halle los desarrollos en series de cosenos o senos, en medio intervalo, de la funcion respectiva. 1 , ocx<a 0 , irx<l 27. f(x) = cos x, 0 < x C ~12 0 < x < SI2 29. f(x) = ” P - x, RI2 5 x c ll x , O<x<l 31. f(x) = { 1 , 11xC2 33. f(x) = x2 + x, 0 c x < 1 25. f(x) = 26. f(x) = 0, O<xCi 11, ISxCl 28. f(x) = senx, 0 < x < 7r 30. f(x) = o<x<lr aIx<27r 34. f(x) = x(2 -x),OCx<2 Desarrolle la función de ca& uno de los ejercicios 35 a 38 como serie de Fourier. 35. f(x) = x2, 36. f ( x ) = x, 0 < x c 2ff 0 < x < 77 3 7 . f ( x ) = x + 1 , 0 -C x < 1 38. f ( x ) = 2 - x, 0 C x < 2 En los problemas 39 y 40, proceda como en el ejemplo 7 y halle una solución particular de la ecuación (11) cuando m = 1, k = 10 y la fuerza impulsoraf(t) es la especificada en ambos casos. Suponga que cuandof(t) se prolonga hacia el eje negativo de t en forma periódica, la función que resulta es impar. 5 , oct<n ; f(t + 2n) = f(t) { - 5 , n<t<2?7 = 1 - t, 0 < t < 2; f(t + 2) = f(t) 39. f(t) = 40. f(t) Sección 10.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 459 Halle una solución particular de la ecuación (ll) con m = f, k = 12 y la fuerza de impulsión, f(t) dada en los problemas 41 y 42. Suponga que cuandof(t) se prolonga a valores negativos de I en forma periódica, la función que resulta es par. 41. f(t) = 2nt - t*, 0 < t c 27r; 9 f(t + 24 = f(t) ;ztt=:; f(t + 1) = f(t) Suponga que una viga uniforme de longitud L está simplemente apoyada en x = 0 y x = L. Cuando la carga por unidad de longitud es w(x) = wg x/L, 0 c x c L, la ecuación diferencial de la flecha (desviación) y(x) de esa viga es en que E, I y we son constantes. (Vea la ecuación (4), sección 5.2.) a) Desarrolle w(x) en forma de una serie de senos en medio intervalo. b) Emplee el metodo del ejemplo 7 para hallar una solución particular-y(x) de la ecuación diferencial. 44. Siga el método del problema 43 para encontrar la deflexión, y(x), cuando w(x) es la que aparece en la figura 10.15. wo 11 I I I I II I I Ll3 2Ll3 I c L ’ FIGURA 10.15 45. Demuestre la propiedad a) en el teorema 10.2. 46. Demuestre la propiedad c) en el teorema 10.2. 47. Demuestre la propiedad d) en el teorema 10.2. 48. Demuestre la propiedad f) en el teorema 10.2. 49. Demuestre la propiedad g) en el teorema 10.2. 50. Demuestre que cualquier ftmciónfse puede expresar como una suma de una función par y una función impar. ; +f(-x) Sugerencia: aplique la identidad f<x> 2 f(x) 51. Forme la serie de Fourier de f(x) = {X7 -7i-<X<O OIx<?r -f(-XI 2 1 460 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER empleando la identidadf(x) = ([XI+ x)/2, -T < x -C T y los resultados de bos problemas 13 y 14. Observe que IxI/ y x/2 son par e impar, respectivamente, en ese intervalo (vea el problema 50). 52. La doble serie de senos para una fhciónf(x, y), definida en una región rectangular OIxSb,OlyIc,es ,.senI-xseny y, fk~)=%b b m=l n=l en donde A,, = ~lulu”f(x,y)sen~xsennC-ydxdy. Halle la doble serie de senos def(x, y) = 1,O I x I T, 0 I y I T. 53. La doble serie de cosenos para una funciónf(x, OIx<b,OlyIc,es y), definida en una región rectangular f(x, Y) = AYJ + 2 A ,,cos~x + iA,cosyy n=l m=l +~~Amn m=l n=l cos~xcos~y, b &=1 bc ,-; ,-; f(‘? Y) dx dy donde Amo = ; j-i j-u f(x, y) cos y x dx dy A,,=2 bc~~~~f(X.Y)coS~ydXdy cosnl;lixcosyydxdy. Forme la doble serie de senos def(x, y) = xy, 0 I x I 1,O I y I 1. EL PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE 8 Valores propios y.fünciones propias W Problema normal de Sturm-Liouville H Propiedades W Problema singular de Sturm-Liouville W Forma autoadjunta de una ecuación diferencial Iineal de segundo orden n Relación de ortogonalidad Repaso Por conveniencia, repasaremos aquí algunas de las ecuaciones diferenciales, y sus soluciones generales, que se& importantes para las secciones que siguen. i) Ecuación lineal de primer orden: y’ + ky = 0; k es constante. Solución general: y = cle* ii) Ecuación lineal de segundo orden: y” + Ay = 0, X > 0. Solución general: y = cl cos Cix + c2 sen Gix Sección 10.4 El problema de Sturm-Liauville iii) 461 Ecuación lineal de segundo orden: y” - Ay = 0, X > 0. La solución general de esta ecuacion diferencial tiene dos formas reales: y = cl cosh 6 + c;,senb fix y = qe-fi~ + qefi” Debe hacerse notar que, en la práctica, con frecuencia se emplea la forma exponencial cuando el dominio de x es un intervalo* infinito o semiintinito, y que se usa la forma hiperbólica cuando el dominio de x es un intervalo finito. iv) Ecuación de Cauchy-Euler: x’y” + xy’ - X*y = 0 Solución v) general: X # 0: y = ctx ’ + c2x-’ X = 0: y = cl + c2 In x Ecuación paramktrica de Bessel: x*y”+Xy’+(X*x*-n*)y=O,n=0,1,2,... Solución general: y = c&(xX) + czY,(x11) Es importante que el lector reconozca el caso de la ecuación diferencial de Bessel cuando n = 0: xy” + y’ + x*xy = 0. Solución general: y = c&(xX) + csYo(Xr) Recordemos que Y,(h) + -m cuando x + O+. vi) Ecuación diferencial de Legendre: (1 - x)2y” - 2xy’ + n(n + I)y = 0, n = 0, 1,2, . . . Las soluciones particulares son los polinomios de Legendre y = P,(x), en donde Po(x) = 1, Pt(x) =x, P*(x) =; (3x2 - 11, - ** Las funciones ortogonales suelen surgir al resolver ecuaciones diferenciales. Además, se puede generar un conjunto ortogonal de funciones al resolver un problema de valor de frontera con dos puntos, donde intervenga una ecuación diferencial de segundo orden que contenga un parámetro X. Valores propios y funciones propias (eigenvalores y eigenfunciones) En el ejemplo 2 de la sección 5.2 vimos que las soluciones al problema de valor en la frontera y” + Ay = 0, y(O) = 0, y(L) = 0 (1) no son triviales sólo cuando el parámetro X adopta ciertos valores. Los números X = n*&L*, n=l,2,3,.. . y sus soluciones no triviales correspondientes, y = cs sen(nîrx/L), o simplemente y = sen(n?rx/L) se llaman, respectivamente, valores propios y funciones propias del problema. Por ejemplo, *Infinito: (-, -); semiinfínito: (-, 01, (1, -), etcétera. 462 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER l valor proplo /--\ y”+, 1’ 9n 4 ‘;y=o ‘,LCd/ / y(O) = 0, ,-C- función la solución es y=sen3A.L Y(L) = 0 i no es un valor propio y”:_-jy = 0 1 propia i ’ solución trivial la solución es i y = 0. Para nuestros fines en este capítulo es importante reconocer que el conjunto { sen(ndL)} , n = 1,2, 3, . . . es el conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [0, L] que se usa como base para la serie de Fourier de senbs. Valores propios y funciones propias Se deja como ejercicio comprobar que los valores propios y las funciones propias del problema de valor en la frontera y” -l- Ay = 0, y’(O) = 0, y’(L) = 0 (2) son, respectivamente, X = nV!L’, n = 0, 1,2, . . . y y = CI cos(ndL), CI # 0. En contraste con las ecuaciones (l), X = 0 es un valor propio de este problema y y = 1 es la función propia correspondiente. Esto último proviene de resolver y” = 0 sujeta a las mismas condiciones en la frontera, y’(O) = 0, y’(L) = 0; pero se puede incorporar en y = cos(nm/L) si permitimos que n = 0 y que CI = 1. El conjunto { cos(mx/L)}, n = 0, 1,2,3, . . . es ortogonal en el intervalo [0, L] y se usa en el desarrollo de Fourier de cosenos para funciones definidas en ese intervalo. n Problema normal de Sturm-Liouville Los problemas de valor en la frontera en las ecuaciones (1) y (2) son casos especiales del siguiente problema general: Seanp, q, r y r’ $unciones de valor real continuas en un intervalo [u, b], y sean r(x) > 0 y p(x) > 0 para todo x en el intervalo. El problema de valor en la frontera con dos puntos Resolver: -$ [r(x)y’] + (q(x) + hp(x))y = 0 (3) Sujeta a: cqy(a) + Bly'(a) = 0 (4) WY(b) + BzY’@) = 0 (5) se llama problema normal de Sturm-Liouville. Los coeficientes en las ecuaciones (4) y (5) se suponen reales e independientes de X. Además, crl y PI no son cero ambas ni (~2 y pZ son cero ambas. Como la ecuación diferencial (3) es homogdnea, el problema de Sturm-Liouville tiene siempre la solución trivial y = 0. Sin embargo, esta solución carece de interés para nosotros. Sección 10.4 El problema de Sturm-Liouville 463 Como en el ejemplo 1, al resolver uno de estos problemas tratamos de buscarnúmeros X (los valores propios) y soluciones y no triviales que dependan de X (las funciones propias). Las condiciones en la frontera en las ecuaciones (4) y (5) (combinación lineal de y y y’ igual a cero en un punto) también son homogéneas. Las dos condiciones en la frontera de los ejemplos 1 y 2 (este último mas adelante), son homogéneas; una condición en la frontera como crv(a) + Pr/(a) = c, cuando la constante c es distinta de cero, es no homogénea. Naturalmente, se dice que un problema de valor en la frontera que consista en una ecuación diferencial lineal homogénea y condiciones homogeneas en la Contera es homogeneo; de no ser así es no homogéneo. El problema de Sturm-Liouville expresado en las ecuaciones (3) a (5) es un problema homogéneo de valor en la frontera. Propiedades El teorema 10.3 es una selección de las propiedades más importantes del problema normal de Sturm-Liouville. Sólo demostraremos la última. DEMOSTRACIÓN DE d) Sean JJ,,, y y,, las funciones propias que corresponden a los valores propios X, y X,,, respectivamente. Entonces 2 wMJ + W) + klP(~))Ym = 0 g [#)YLl + (4W + kIPW)Yn = 0. (6) (7) Al multiplicar la ecuación (6) por yn y la ecuación (‘7) por ym,y restar los resultados se obtiene (Am - AJP(4YmYn = Ym 2 [r(xMl - Yn g [r(x)yA!]. Integramos por partes este resultado, desde x = a hasta x = b, y llegamos a (Am - 4J ~~P(~Y~~Y. dx = r(b)b,db)yNf’b) - Yn(b>Y,‘db>l - r@>[yda>yXa> - r,,(~>~:l~(~)l. (8) Ahora bien, las funciones propias y,,, yyn deben satisfacer, ambas, las condiciones en la frontera (4) y (5). En particular, de acuerdo con (4) tenemos que 464 CAPíTUlO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER Para que (~1 y Pt satisfagan este sistema, no nulos simultáneamente, el determinante de los coeficientes debe ser igual a cero: Y&)YXU) - Yn(U>YfxU) = 0. Aplicamos un argumento semejante a la ecuación (5) y obtenemos Ym@)YX~> - Yn@)YAl(~) = 0. Como los dos miembros del lado derecho de (8) son cero, hemos establecido la relación de ortogonalidad Un problema regular de Sturm-Liouville Resuelva el problema de valor en la frontera y” + Ay = 0, y(O) = 0, y(l) + y’(l) = 0. (10) El lector debe oomprobar que para X < 0 y para X = 0, el problema planteado por la ecuación (10) sólo posee la solución trivial y = 0. Cuando X > 0, la solución general de la ecuación diferencial es y= cl cos Gx + c2 sen fix. Ahora bien, la condición y(O) = 0 implica que en esta solución CI = 0. Cuandoy = c2 sen flx, se satisface la segunda condición en la frontera y( 1) + y’( 1) = 0, siempre que SOLUCIÓN c2 sen VT¡ + c22/h cos X.4 = 0. Con c2 + 0, tendremos que esta ultima ecuación equivale a tan ti = -ti. Si hacemos que x = 6, entonces vemos que la figura 10.6 muestra la factibilidad de que exista una cantidad mfmita de raíces de la ecuación tan x = -x. Los valores propios del = tan x FIGURA 10.16 Sección 10.4 El problema de Sturm-Liouville 465 problema (10) son, entonces, X, = xn2, donde x,,, n = 1, 2, 3, . . . son las raíces positivas consecutivas. Con ayuda de un sistema de computación (SAC) se demuestrá con facilidad que, redondeando a cuatro decimales, XI = 2.0288, x2 = 4.9132, xg = 7.9787 y x4 = 10.0855, y que las soluciones correspondientes sony] = sen 2.0288x,y2 = sen 4.9132x,y3 = 7.9787x y y4 = sen 10.0855~. En general, las funciones propias del problema son {sen Gx}, n = 1, 2,3,. . . Al identificar r(x) = 1, q(x) = 0, p(x) = 1, QI= 1, /31 = 0, CQ = 1, pZ = 1, vemos que la ecuación (10) es un problema regular de Sturm-Liouville. Así, {sen ax}, n = 1,2,3, . . . es n un conjunto ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en el intervalo [0, 11. En algunos casos se puede demostrar la ortogonalidad de las soluciones de (3) sin necesidad de especificar una condición en la frontera en x = a y en x = b. Problema singular de Sturm-Liouville Si r(a) = 0, o r(b) = 0 o si r(a) = r(b) = 0, el problema de Sturm-Liouville que consiste en Ia ecuación diferencial (3) y las condiciones (4) y (5) en la Contera es un problema singular. En el primer caso, x = a puede ser un punto singular de la ecuación diferencial y, en consecuencia, una Solución de la ecuación (3) puede crecer sin límite cuando x + u. Sin embargo, de acuerdo con (S), si r(u) = 0 no se necesita condición en la fròntera en x = u para demostrar la ortogonalidad de las funciones propias, siempre que esas soluciones sean acotadas en ese punto. Este requisito garantiza la existencia de las integrales que intervinieron. Suponiendo que las soluciones de la ecuación (3) son acotadas en el intervalo cerrado [u, b], podemos afirmar que i ) Si r(u) = 0, la relación (9) de ortogonalidad es válida, sin ninguna condición en la frontera en x = u ii) Si r(b) = 0, la relación (9) de ortogonalidad es válida sin ninguna condición en la frontera en x = b* iii) Si r(u) = r(b) = 0, la relación (9) de ortogonalidad es válida sin ninguna condición en la frontera, en x = u ni en x = b. De paso, observamos que un problema de Sturm-Liouville es singular cuando el intervalo que se considera es infinito. Véanse los problemas ll y 12 de los ejercicios 10.4. Forma autoadjunta Si los coeficientes son continuos y u(x) f 0 para todo x en algún intervalo, cualquier ecuación diferencial de segundo orden a(x + b(x)y’ + (c(x) + hd(x))y = 0 se puede llevar a la llamada forma autoadjunta, ecuación (3), si se multiplica por el factor integrante 1 el(hw~l(r~)dr 0 (XI Para comprobarlo, observemos que la ecuación diferencial ef(bio)d.~y” + b(x) ao eJ(bWd*y’ + c(x) &hla)dx + A i$ &bWd+ y = 0 a(x) *Las condiciones i) e ii) equivalen a elegir (Y, = 0, /$ = 0 y ~22 = 0, /I$ = 0, respectivamente. (12) 466 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER es la misma que Ecuación paramétrica de Bessel En la sección 6.4 explicamos que la solución general de la ecuación param6trica de Bessel 2y” + xy’ + (AY - r?)y = 0, n = 0, 1, 2, . . . es y = c&(h)+ c2Yn(xX). De acuerdo con la expresión (12) nos encontramos con que lh es un factor integrante. Al multiplicar la ecuacih de Bessel por ese factor obtenemos la forma autoadjunta -$ [xy’] + (AZ, - ;) y = 0, en que podemos identificar T(X) = X, q(x) = -F?/x, a p(x) = x y X se sustituye por X2. Ahora bien, r(O) = 0 y de las dos soluciones, J,(h) y Y,(h), ~610 J,(h) es acotada en x = 0. Así, de acuerdo con i), el conjunto {J,&Iix)}, i= 1,2,3,. . ., es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = x en un intervalo [0, b]. La relación de ortogonalidad es b xJ,(hiX)J~(hjX) U!X = 0, I0 hi f Aj, siempre y cuando los valores p?opios, Xi, i = 1,2,3, . . ., se definan mediante una condición en la frontera en x = 6, del tipo aJ,,(hb) + &W(Ab) = O.* (13) Para cualquier elección de CQ y pZ, que no sean cero a la vez, se sabe que la ecuación (13) tiene una cantidad infiita de raíces xi = Xib, de donde despejamos a Ai = xdb. En el siguiente capítulo abundaremos sobre 16s valores propios. n Ecuación de legendre Los polinomios de Legendre, P,(X), son soluciones acotadas de la ecuación diferencial de Legendre (1 - 2)~” -2xy’+n(n+l)y=O,n=0,1,2,...,enelintervalo[-1,1].Apartir de la forma autoadjunta -g [(l - x2)y’] + n(n + 1)y = 0 vemos que r(x) = 1 - 2, q(x) = 0, p(x) = 1 y X = n(n + 1). Al observar que r(-1) = r( 1) = 0, de acuerdo con (iii) deducimos que el conjunto {P,(x)}, n = 0, 1,2, , . . es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [-1, 11. La relación de ortogonalidad es I 1, P,(x)P,(x) dx = 0, m f n. *El factor adicional de X se debe a la regla de la cadena: (aM)J,,(h) = XJ,,‘(k). n Sección 10.4 El problema de ~tutm-~iouville 467 Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. En los problemas 1 y 2 halle las funciones propias y la ecuación que define los valores propios de cada problema de valor en la frontera. Con un sistema algebraico de computación (SAC), calcule el valor aproximado de los cuatro primeros valores propios, XI, X2, Xs y X4. Proporcione las funciones propias que corresponden a esas aproximaciones. 1. y” + Ay = 0, y’(O) = 0, y(l) + y’(l) = 0 2. y” + Ay = 0, y(O) + y’(O) = 0, y(l) = 0 3 . Se tiene la ecuación y” + Xy = 0, sujeta ay’(O) = 0, y’(L) = 0. Demuestre que las funciones propias son 1, cos z X, cos $ X, . . . . Este conjunto, que es ortogonal en [0, L], es la 1 1 base de la serie de Fourier de cosenos. 4, Se tiene la ecuación y” + Xy = 0, sujeta a las condicion9s periódicas de frontera y(-L) = y(L), y’(-L) = y’(L). Demuestre que las funciones propias son 19 cos-X L’ co& L’... , senEx L’ sen-x L’ Este conjunto, que es ortogonal en [-L, L], es la base de las series de Fourier. 5. Encuentre la norma cuadrada de cada función propia en el problema 1. 6. Demuestre que, para las funciones propias del ejemplo 2, ]]sen*x112 = i [l + cos 61. 7 . a) Halle los valores y funciones propios del problema de valor en la frontera x2y” + xy’ + Ay = 0, y(l) = 0, y(5) = 0. b) Exprese la ecuación diferencial en la forma autoadjunta. c) Establezca una relación de ortogonalidad. 8. a) Encuentre los valores y funciones propios del problema de valor en la frontera y” + y’ + Ay = 0, y(O) = 0, y(2) = 0. b) Exprese la ecuación diferencial en la forma autoadjunta. c) Establezca una relación de ortogonalidad. 9. a) DB una relación de ortogonalidad para el problema 1, de Sturm-Liouville. b) Con un SAC compruebe la relación .de ortogonalidad para las funciones propias como apoyo, yt y ~2, que corresponden a XI y X2, los dos primeros valores propios, respectivamente. 10. a) Establezca una relación de ortogonalidad para el problema 2 de Sturm-Liouville. b) Compruebe la relación de ortogonalidad para las funciones propias yr y y2 que corresponden a XI y X2, los dos primeros valores propios, respectivamente, con un SAC como ayuda. 468 CAP’hUlO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER ll. La ecuación diferencial de Laguerre, xy” + (1 - x)y’ + ny = 0, n = 0, 1, 2, . . ., tiene soluciones polinomiales L&c). Escriba la ecuación en su forma autoadjunta y deduzca una relación de ortogonalidad. 12. La ecuación diferencial de Hermite, y” - 2xy’ + 2ny = 0, n = 0, 1,2,. . . tiene soluciones polinomiales H,(x). Escriba Ia, ecuación en su forma autoadjunta y deduzca una relación de ortogonalidad. 13. Se tiene el problema normal de Sturm-Liouville & [(l + x”)y’] + & y = 0, y(O) = 0, y(l) = 0. a) Halle los valores y funciones propios del problema de valor en la frontera. [Sugerencia: permita que x = tan 6 y a continuación aplique la regla de la cadena.] b) Establezca una relación de ortogonalidad. 14. a) Encuentre las funciones propias y la ecuación que define los valores propios del problema de valor en la frontera x2y” + xy’ + (X2x2 - 1)y = 0, y está acotada en x = 0, y(3) = 0. b) Con la tabla 6.1 halle los valores aproximados de los cuatro primeros valores propios, Al, AZ, x3 Y x4. Problema para discusión 15. Veamos el caso especial del problema regular de Sturm-Liouville en el intervalo [u, b]: g [r(x)y’] + Ap(x)y = 0, y’(u) = 0 y’(b) = 0. X = 0 ies un valor propio del problema? Respalde su respuesta. SERIES DE BESSEL Y DE LEGENDRE n n Conjunto ortogonal defunciones de Bessel n Serie de Fourier-Bessel Relaciones de recurrencia diferenciales W Formas de la serie de Fourier-Bessel H Convergencia de una serie de Fourier-Bessel W Conjunto ortogonal de polinomios de Legendre n Serie de Fourier-Legendre n Convergencia de una serie de Fourier-Legendre La serie de Fourier, I’a serie de Fourier de cosenos y la serie de Fourier de senos son tres formas de desarrollar una función en tkrninos de un conjunto ortogonal de funciones. Pero esos desarrollos de ninguna manera se-limitan a conjuntos ortogonales de funciones trigonométricas. En la sección 10.1 vimos que una funciónf; definida en un intervalo (u, b), se puede desarrollar, cuando menos formalmente, en términos de cualquier conjunto de funciones {I&(X)} que es ortogonal con respecto a una funcion peso en [u, b]. Muchas de estas llamadas series generalizadas de Fourier se originan en problemas de Sturm-Liouville planteados en las aplicaciones físicas de ecuaciones (diferenciales en derivadas parciales) lineales. Las series de Fourier Sección 10.5 Series de Bessel y de Legendre 469 y las series generalizadas de Fourier, al igual que las dos series que describiremos en esta sección, reaparecen en consideraciones subsecuentes de estas aplicaciones. 10.5.1 Serie de Fourier-Bessel En el ejemplo 3 de la sección 10.4 vimos que el conjunto de funciones de Bessel {Jn(Xix)}, i=l,2,3,. . . , es ortogonal con respecto a la función pesop(x) =x en un intervalo [0, b] cuando se definen los valores propios mediante una condición en la frontera aJ,(hb) + &Lqhb) = 0. (1) De acuerdo con (7) y (8) de la sección 10.1, el desarrollo generalizado de Fourier de una función fdehida en (0, b), en términos de este conjunto ortogonal es en donde (3) La serie (2) con coeficientes definidos por la ecuación (3) se llama serie de Fourier-Bessel. Relaciones diferenciales de recurrencia Estas relaciones, que aparecieron en (15) y (14) de la sección 6.4, son (4) & [x-n&(x)] = -x-nj,+l(x), (5) y se usan con frecuencia para evaluar los coeficientes con la ecuación (3). Norma cuadrada El valor de la norma cuadrada llJ,,(Xix)112 = J,bxJ”2(Xix) uk depende de cómo se definan los valores propios Xi. Si y = J,(Ax), según el ejemplo 3 de la sección 10.4 sabemos que $ [xy’] + ( A2x - ;) y = 0. Después de multiplicarla por 2xy’, esta ecuación se puede escribir como sigue: 2 [xy’12 + (A2x2 - n’) $ [ yl2 = 0. Integramos por partes esta ecuación, en [0, b] y obtenemos 2A2 /oxy dx = ([xy’12 + (A2x2 - n’)y’)lb n 470 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER En vista de que y = &(xW), el límite inferior es cero para n > 0, porque J,(O) = 0. Cuando n = 0, la cantidad [xy’]’ + X’?J? es cero en x = 0. Entonces 2hZj~xJ.Z(Ax)dx = A*b*[J;(hb)]* + (Pb2 - n*)[J$Ab)]*, (6) en que hemos aplicado y’ = W,‘(k). Pasaremos a describir tres casos de la ecuación (1). CASO I Si escogemos (~2 = 1 y p2 = 0, la ecuación (1) queda J,,(Ab) = 0. (7) Hay una cantidad infinita de raíces positivas, xi, de (7) (Fig. 6.2), de modo que los valores propios son positivos, y están definidos por x’i = qlb. No se óbtienen valores propios nuevos partiendo de las raíces negativas de la ecuación (7) porque .I,(-x) = (-l)“Jn(x). (Véase el problema 38 en los ejercicios 6.4.) El numero 0 no es un valor propio para alguna n porque J,(O)=Oparan=1,2,3.. . , y Jo(O) = 1. En otras palabras, si X = 0, llegamos a la función trivial (que nunca es función propia) para n = 1,2,3, . . . . y para n = 0, X = 0 no satisface a la ecuación (7). Cuando la ecuación (5) se expresa en la forma xJ,,‘(x) = nJ,,(x) - nJ,+t(x), de acuerdo con (6) y (7) se deduce que la norma cuadrada de Jn(Xix) es CASO II Si escogemos (~2 = h 10, & = b, entonces la ecuación (1) queda hJ,,(Ah) + AbJ:,(Ab) = 0. (9) Esta ecuación tiene una cantidad infinita de raíces positivas xi para cada entero positivo n = 1, 2,3,... . Como antes, los valores propios se obtienen partiendo de Xi = xilb. El valor X = 0 no es valor propio para n = 1, 2, 3, . . . Al sustituir XibJn’(Xib) = -hJn(Xib) en la ecuación (6), encontramos que la norma cuadrada de Jn(Xix) es ahora llJ,,(A,x)11* CASO III = A'2b2 2;; + h2 J,,'(A;b). , Si h = 0 y n = 0 en (9), los valores propios Xi se definen a partir de las raíces de J(,(Ab) = 0. (11) Aun cuando esta ecuación es sólo un caso especial de (9), es el único para el cual X = 0 sí es un valor propio. Para verlo, notemos que para n = 0, el resultado en (5) implica que J;(Ab)= 0 equivale a J,(Ab) = 0. (12) Como xt = 0 es una raíz de esta ecuación y Jo(O) = 1 no es trivial, llegamos a la conclusión de que Xt = 0 sí es un valor propio. Pero es obvio que no podemos aplicar (10) cuando h = 0, n = 0 y Xr = 0. Sin embargo, por la definición de norma cuadrada, !kcción 10.5 Series de Bessel y de Legendre 471 Para Xi > 0 podemos aplicar (10) con h = 0 y n = 0: (14) El resumen siguiente muestra las tres formas correspondientes de la serie (2). Convergencia de una serie de Fourier-Bessel Las condiciones de suficiencia para la convergencia de una serie de Fourier-Bessel no presentan muchas restricaones. 472 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER Desarrollo en serie de Fourier-Bessel Desarrollef(x) = x, 0 < x < 3, en una serie de Fourier-Bessel aplicando funciones de Bessel de primer orden que satisfagan la condición en la frontera JI&!) = 0. SOLUCIÓN Usamos la ecuación (15), cuyos coeficientes ci están dados por la ecuación (16): Para evaluar esta integral hacemos que t = Xix y usamos la ecuación (4) en su forma (um)[&(t)] = t2J&): 2 3Aid [P.h(t)] dt = &. ci = 9hi3.T~(3hi) 50 dt I Por consiguiente, el desarrollo que buscamos es f(x) = 2 2 &g I Jlbw. n Desarrollo en serie de Fourier-Bessel Si se definen los valores propios Xi del ejemplo 1 como Jt(3X) + Wr’(3X) = 0, lo único que cambia en el desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Al multiplicar por 3 la condición en la frontera, obtenemos 3jt(3X) + 3Wr’(3X) = 0, que ya coincide con la ecuación (9) cuando h = 3, b = 3 y n = 1. Entonces, las ecuaciones (18) y (17) dan como resultado, respectivamente, 18A&(3Ai) ” = (9A; + 8)1,*(3Ai) Y f(X) = l8 2 (9A’ A, J@A > + 8) J,2(3&) J1(Aix)’ n 10.5.2 Serie de Fourier-Legendre Por el ejemplo 4 de la sección 10.4, sabemos que el conjunto de polinomios de Legendre, {f,(x)},n=O, 1,2,. . . es ortogonal con respecto ala función pesop(x) = 1 en [-1, 11. Además, se puede demostrar que La serie generalizada de Fourier de los polinomios de Legendre se define como sigue. Sección 10.5 Series de Bessd y de Legendre 473 Convergencia de una serie de Fourier-Legendre En el siguiente teorema se dan las condiciones de suficiencia para la convergencia de una serie de Fourier-Legendre. Desarrollo en serie de Fourier-Legendre Escriba los cuatro primeros términos distintos de cero de la serie de Fouk-Legen&e para f(x) = {y9 9 -l<x<O O~x<l. En la página 287 aparecen los primeros cinco polinomios de Legendre. Con ellos y la ecuación (22) determinamos SOLUCIÓN co = ; /y1 f(x)Po(x) dx = ; 1; 1 -1 dx = ; n=~~-,fX)PI(X)dn=~~~l.xdr=~ c2 = ; 1y1 f(x)&(x) dx = ; 1; 1 * ; (3x2 - 1) dx = 0 c3 = ; 11, f(x)&(x) dx = ; Ji 1 * ; c4 = ; \‘, f(x)P4(x) dx = ; 1; 1 ’ i (5x3 - 3x) dx =- - & (35x4 - 30x2 + 3) dx = 0 cs = ‘i’ Jyl f(x)P5(x) dx = ‘i’/; 1. f (63~~ - 70x3 + 15~) dx = $ Por consiguiente, f(x) = i Po(x) + a PI(x) - & P3(x) + 5 PS(x) + . . . . 474 CAPíílO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER Forma alternativa En sus aplicaciones, la serie de Fourier-Legendre se maneja en una forma alternativa. Si hacemos que x = cos 0, entonces clx = -sen 0 de, y las ecuaciones (21) y (22) se transforman en F(B) = i c,P,(cos l9) (23) 2n+l = F( e)P,,(cos e) sen e d 8, n c=y-I0 (24) h=O dondef(cos 0) se ha remplazado con F(B). Las respuestas a loe problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. - 10.5.1 1. Halle los cuatro primeros valores propios xk definidos por Jt(3X) = 0. [Sugerencia: vea la tabla 6.1 en la página 283.1 2. Encuentre los cuatro primeros valores propios xk, definidos por Jc’(2X) = 0. En los problemas 3 a 6 desarrolle a f(x) = 1, 0 c x c 2, en una serie de Fourier-Bessel con funciones de Bessel de orden cero que satisfagan la respectiva condición en la frontera. 3. Jo(2h) = 0 5. Jo(2h) + 2hJ;(2A) = 0 4. Jó(2h) = 0 6. J,,(2A) + A&(2A) =0 En los problemas 7 a 10 desarrolle la función respectiva en una serie de Fourier-Bessel, usando funciones de Bessel del mismo orden que el indicado en la condición en la frontera. 8. f(x) = x2, 0 < x < 1 JdN = 0 7. f(x) = 5x, 0 -=z x < 4 3J,(4A) + 4AJ1(4A) = 0 9. f(x) = x2, 0 < x -=c 3 J1,(3A) = 0 [Sugerencia: 3 = t2 * t.] 10. f(x) = 1 - x2, Jo(A) = 0 0 -=I x < 1 - 10.5-2, El desarrollo como serie de Fourier-Legendre de una función polinomial definida en el intervalo (-1, 1) debe ser una serie finita. (¿Por qué?) En los problemas ll y t 2 halle el desatrollo de Fourier-Legendre de la función dada. ll.f(x)=x2 12.f(x)=x3 En las problemas 13 y 14, escriba los primeros cuatro términos distintos de cero en el desarrollo de la función respectiva como serie de Fourier-Legendre. 13. f(x) = ,"? 1. -l<x<O O<x<l 14*f(x)=e". -l<x<l Sección 10.5 Series de Bessel y de Legendre 475 15. Los tres primeros polinomios de Legendre son Po(x) = 1, PI(X) = x y P2(x) = $3~~ - 1). Si x = cos 0, entonces PO(COS 0) = 1 y Pl(cos 0) = cos 8. Demuestre que PZ(COS 0) = +(3 COS 28 + 1). 16. Con los resulthdos del problema 15 encuentre un desarrollo en serie de Fourier-Legendre, ecuación (23), de F(e) = 1 - cos 28. 1 7 . Un polinomio de Legendre P,(x) es una función par o impar, dependiendo de si n es par o impar. Demuestre que sifes una función par en (-1, l), las ecuaciones (21) y (22) se transforman respectivamente, en C Zn (26) 18. Demuestre que sifes una función impar en ei intervalo (-1, l), las ecuaciones (21) y (22) se transforman, respectivamente, en CZn+l~2n+lW fc4 = i n=O Czn+1 = (4n + 3) (27) [;fmn+l(X) h. w4) Las series (25) y (27) también se pueden emplear cuando f sólo está definida en (0, 1). Ambas series representan afen (0, 1); pero la ecuación (25) representa su extensión par en (-1,O) y la (27) su extensión impar. En los problemas 19 y 20 escriba los primeros tres términos distintos de cero en el desarrollo indicado de la función respectiva. ¿Qué función representa la serie en (-1, l)? 19.f(x) =x, 0 <x < 1; (25) 2O.f(x)=l,O~x<l;(27) Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. Conteste los problemas 1 a 10 sin consultar el texto. Llene el espacio en blanco o conteste cierto 0 falso, según el caso. 1. Las funcionesf(x) = x2 - 1 y f(x) = x5 son ortogonales en [-T, n]. 2. El producto de una función impar por otra función impar es 3. Para desarrollar af(x) = 1x1 + 1, -T < x < T en una serie de Fourier se usa una serie de 4. Comof(x) = x2, 0 < x c 2 no es una función par, no se puede desarrollar en una serie de Fourier de cosenos. 5. La serie de Fourier def(x) = 3o , -lr<x<o converge a O<x<n > enx=O. 6. La ecuación y = 0 no es una función propia de problema alguno de Sturm-Liouville. 476 CAPíTULO 10 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 7. El valor X = 0 no es valor propio de problema alguno de Sturm-Liouville. 8. Cuando X = 25, la función propia correspondiente del problema de valor en la frontera y” + Ay = 0, y’(O) = 0, y(7d2) = 0 es 9. La ecuación diferencial de Chebyshev (1 - x$” - xy’ + n’y = 0 tiene un polinomio solución y = T,(x) para n = 0, 1,2, . . . El conjunto de los polinomios de Chebyshev {T,&)} es ortogonal con respecto a la función peso en el intervalo 10. El conjunto {P,(x)} es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [-1, 11, y Po(x) = 1. En consecuencia, j!, P,(x) u!x = cuando n > 0. ll. Demuestre que el conjunto i 577 3n senK X, sen- x, sen-x, . . . 2L 2L 2L 1 es ortogonal en el intervalo 0 I x I L. 12. Encuentre la norma de cada una de las funciones del problema ll. Forme un conjunto ortonormal. 13. Desarrollef(x) = Ix]- x, -1 < x < 1 en una serie de Fourier. 14. Desarrollef(x) = 2x2 -1, -1 < x < 1 en una serie de Fourier. 15. Desarrollef(x) = e*, 0 < x < 1 en una serie decosenos. 16. Desarrolle la función del problema 15 en forma de una serie de senos. 17. Halle los valores y funciones propios del problema de valor en la frontera x2y” + xy’ + 9xy = 0, y’( 1) = 0, y(e) = 0. 18. Formule una relación de ortogonalidad para las funciones propias del problema 17. como una serie de Fourier-Bessel y emplee funciones de Bessel de orden cero que satisfagan la condición en la frontera Jo(4X) = 0. 20. Desarrollef(x) = x4, -1 < x < 1, como una serie de Fourier-Legendre. ’ ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 11.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables ll.2 Ecuaciones clasicas y problemas de valor en la frontera ll.3 Ecuación de transmisión de calor ll.4 Ecuación de onda ll.5 Ecuación de Laplace ll.6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la frontera ll.7 Empleo de series de Fourier generalizadas ll.8 Problemas de valor en la frontera con series de Fourier en dos variables Ejercicios de repaso En este capítulo veremos dos procedimientos para resolver ecuaciones en derivadas parciales que surgen con frecuencia en .problemas donde aparecen vibraciones, potenciales y distribuciones de temperatura. Estos problemas se llaman problemas de valor en la frontera y se describen mediante ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, que son relativamente simples. Lo que se hace es hallar las soluciones particulares de una ecuación en derivadas parciales reduciendola a dos o más ecuaciones diferenciales ordinarias. Comenzaremos con el método de separación de variables para ecuaciones en derivadas parciales lineales. Su aplicación nos regresa a los importantes conceptos del capítulo 10, de los valores y funciones propios, y del desarrollo de una función en una serie infinita de funciones ortogonales. 477 478 CAP’hUlO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS OE VALOR EN LA FROMERA ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES SEPARABLES .EDP* lineal de segundo orden W Homogénea W No homogénea W Soluci& W Ecuaciones separables n Constante de separación n Principio de superposición W Clasificación de las EDP lineales de segundo orden Ecuaciones lineales La forma general de una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden (EDP) con dos variables independientes, x y y, es en que A, B, C, . . . , G son funciones de x y y. Cuando G(x, y) = 0, la ecuación se llama homogénea; en cualquier otro caso es no homog6nea. EDP lineal homogénea a2u a2 a2u a2 azu aY au ay La ecuación - + - - u = 0 es homogénea, mientras que - - - = 2 es no homogénea. n Una solución de una ecuación en derivadas parciales con dos variables independientes x y y es una función u(x, y) que posee todas las derivadas parciales que indica la ecuación y que la satisface en alguna región del plano xy. Como dice la introducción a este capítulo, no pretendemos concentrarnos en los procedimientos de determinación de las soluciones generales de las ecuaciones en derivadas parciales. Desafortunadamente, para la mayor parte de las ecuaciones lineales de segundo orden -aun con las que tienen coeficientes constantes- no es facil llegar a una solución. Sin embargo, las cosas no están tan mal como parecen porque casi siempre es posible, y bastante sencillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales importantes que se originan en muchas aplicaciones. Separación de variables Aunque hay varios métodos que pueden ensayarse para encontrar soluciones particulares (véase los problemas 28 y 29 de los ejercicios ll. l), solo nos interesara uno: el m6todo de Separación de variables. Cuando se busca una solución particular en forma de un producto de una función de x por una función dey, como u(x, Y) = -WY(Y), a veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales, lineal con dos variables en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Para hacerlo notemos que Y que donde la “prima” denota derivación ordinaria. *Notu del editor: Tcuación diferencial en derivadas parciales” se abreviar8 en “ecuación en derivadas parciales” y ocasionalmente como EDR Sección ll Ecuaciones diferenciales en derivados parciales separables .l 479 Separación de variables (1) Determine las soluciones producto de e = 4 - a2 SOLUCIÓN ai Si U(X, y) = X(x)Y(y), la ecuación se transforma en XUY = 4xY’. Dividimos ambos lados entre 4XY, con lo cual separamos las variables: X” Y’ -=-* 4x Y Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es independie?te dey e igual al iado derecho, que es independiente de x, llegamos a la conclusion que ambos lados son independientes tanto de x como dey. En otras palabras, cada lado de la ecuación debe ser una constante. En la práctica se acostumbra escribir esta constante de separtición real como X2 o -X2. Distinguimos los tres casos siguientes. CASO I Si X2 > 0, las dos igualdades xv Y’ ** -=-= 4x Y dan X” -4x2x=o y Y’ - X2Y = 0. Estas ecuaciones tienen las soluciones siguientes: X= CI cosh 2xW + c2 senh 2Xr y Y = cse”“, respectivamente. Así, una solución particular de la ecuación es u=xY = (cl cosh 2hx + c2 senh2hx)(c3e^‘Y) = A,@*Ycosh 2Ax + BIeA2ysenh2Ax, CASO II Si -X2 < 0, las dos igualdades x” Y’ -A2 -=-= 4x Y equivalen a X” + 4xZx = 0 Y Y’ + X2Y = 0 En vista de que las soluciones de estas ecuaciones son X= c4 cos 2xX + c5 sen 2Xr y Y = csex*y, (2) 480 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA respectivamente, otra solución particular es u = A2esAZY cos 2Ax + BzcA2y sen2hx, (3) en donde AZ = c& y BZ = c5c6. CASO III Si X2 = 0, entonces X”=O En este caso y entonces y x=c7x+c8 Y’ = 0. y u=Ag+Bj, Y= c9 (4) n en donde A3 = cm y B3 = cSe9. Se deja como ejercicio comprobar que las ecuaciones (2), (3) y (4) satisfacen la ecuación del ejemplo. (Véase el problema 30, en los ejercicios ll. 1.) La separación de variables no es un método general para hallar soluciones particulares; algunas ecuaciones diferenciales simplemente no son separables. El lector debe comprobar que la hipótesis u = XYno conduce a una solución de a2ulax2 - dulay = x. Principio de superposición El teorema siguiente es análogo al teorema 4.2 y se denomina principio de superposición. En lo que resta del capítulo supondremos que siempre que haya un conjunto infinito de soluciones de una ecuación lineal homogénea, se puede construir otra solución, a, formando la serie infinita x u = c ckuk k=l en que las cj, i = 1,2, . . . , son constantes. Clasificación de las ecuaciones Una ecuación en derivadas parciales, lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes, puede pertenecer a uno de tres tipos generales. Esta clasificación sólo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Naturalmente, suponemos que al menos uno de los coeficientes A, B y C no es cero. Sección ll .l Ecuaciones diferenciales en dariiadas parciales sepambles Clasificación de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Clasifique las siguientes ecuaciones: (a) 3% = g (b) $ =$ SOLUCIÓN (c) 481 1 !!$ + $= 0 a) Escribimos esta ecuación como ., ~!Z!-!%=O ax2 ay e identificamos de esta forma los coeficientes: A = 3, B = 0 y C = 0. En vista de que & - 4AC = 0, la ecuación es parabólica. b) Rearreglamos la ecuación a*u a2u o ---= ax2 aY2 y vemos que A = 1, B = 0, C = -1 y B2 - 4AC = -4(1)(-1) > 0. La ecuación es hiperbólica. C) Con A = 1, B = 0, C = 1, entonces B2 - 4AC = -4(l)(l) C’O. La ecuación es elíptica. La explicación detallada de propósito de este libro, pero la ‘. * sujetas a ciertas condrctones adecuadas para cierta ecuación n por qué se clasífican las ecuaciones de segundo orden sale del respuesta está en el hecho de que se desea resolver ecuaciones que pueden ser de frontera o iniciales. El tipo de condiciones depende de si es hiperbólica, parabólica o elíptica. Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. En los problemas 1 a 16 aplique la separación de variables para hallar, si es posible, soluciones producto para la ecuación diferencial respectiva. 482 CAPÍTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DFRIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA 1 !g=au *ax ay 2 3. u, + u, = u 4. u, = uy + u 5. xg=yg 6. yg+x$=O ,.!!k+z!k+eL() axay 8. y -a2u+ u = o dX¿Q ay2, ,.k$&=$, !e+~!cL() * ax ay 10. ks=$, k>O k>O ll. d$=$ 12. a2f$=%+2k$, 13.S+$=o 14.x2~+$=o 15. u,, + uyy = u 16. u2u, - g = utr, k>O g = constante En los problemas 17 a 26 clasifique la respectiva ecuación diferencial parcial como hiperbólica, parabólica o elíptica. 1, a2u * ax2 I a2u axay I a2u aY2 - o 2. -a2u- a2u - - &LO * ax2 axay aY2 19 a2u+&L+~a2u=(J ' ax2 21. axay aY2 !+“” axay 22. -Ai+ a2u axay aY2 23. $!+2-!%+i!?!+~-fj~=O axay aY2 24 azU+a2u=u ' ax* aY2 25 . 26 a2a'u=a2u ax2 at2 ' ki!hau ax2 5' k>O 27. Demuestre que la ecuación tiene Ia solución en forma de producto u = e+“*‘(AJo(Ar) + BY,(hr)). 28. a) Demuestre que la ecuación a2a2u=a2u ax2 at2 se puede escribir en la forma a2ulaq a< = 0 mediante las sustituciones < = x + at, 11 = x - at. Sección ll .2 Ecuaciones dásicas y problemas de valor en la frontara 483 b) Demuestre que la solución de la ecuación es u = F(x + at) + G(x - at), en que F y G son funciones arbitrarias doblemente diferenciables. a2u a2 a% axay 29. Halle las soluciones de - + - - 6 ?f?! = 0 que tengan la forma u = emx+“‘. ay” 30. Compruebe que los productos en las ecuaciones (2), (3) y (4) satisfacen la ecuación (1). 31. La definición ll. 1 se generaliza a las ecuaciones lineales con coeficientes función de x y y. Determine las regiones del plano xy para las cuales la ecuación e + xy2u = 0 cv+l)~+(~+2Y)~ + ay2 es hiperbólica, parabólica o elíptica. ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA n Ecuación de transmisión unidimensional de calora El laplaciano w Ecuación de Laplace con dos variables W Condiciones iniciales w Tipos de condiciones en la frontera W Problemas de valor en la frontera w Ecuaciones en derivadas parciales clásicas modifcadas Durante el resto de este capítulo nos ocuparemos principalmente en hallar soluciones en forma de producto de las ecuaciones en derivadas parciales k$=$, k>O u&=a’u ax2 at2 o pequenas variaciones de las mismas. A estas ecuaciones clásicas de la física matemática se les conoce, respectivamente, como ecuación en una dimensión del calor, ecuación de onda unidimensional y ecuación de Laplace en dos dimensiones. “En una dimensión” indica que x representa .una dimensión espacial y que representa al tiempo. La ecuación de Laplace se abrevia V2u = 0, donde t vzu - ax2a*u ; a2u aY2 es el laplaciano en dos dimensiones de la función U. En tres dimensiones, el laplaciano de u es 172u=a2u+a2u+a2u ax2 aY2 az2' 484 CAPíTUlO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA Obsérvese que la ecuación (1) de transmisión de calor es parabólica, la ecuación de onda (2) es hiperbólica y la ecuación de Laplace (3) es elíptica. Ecuación de transmisión de calor La ecuación (1) se origina en la teoría del flujo de calor; esto es, el calor transferido por conducción en una varilla o alambre delgado. La función U(X, t) es la temperatura. Los problemas de vibraciones mecánicas conducen con frecuencia a la ecuación de onda (2). Para los fines que se analizan aquí, una solución u(x, t) de la ecuación (2) representa el desplazamiento de una cuerda ideal. Por último, una solución u(x, r) de la ecuación (3) de Laplace se puede interpretar como la distribución de estado estable (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa delgada y bidimensional. Aun cuando debamos hacer muchas hipótesis simplificadoras LO nó?, vale la pena ver cómo se originan ecuaciones como la (1) y la (2). Supongamos que una varilla circular delgada de 1ongitudL tiene una sección transversal de área A y que coincide con el eje x en el intervalo [0, L] (Fig. ll. 1). También supongamos que sección pnsversal de tiea A 0 x x+Ax L i FIGURA ll. 1 El flujo de calor dentro de la varilla solo tiene la dirección x. W La superficie lateral, ó curva, de la varilla está aislada; esto es, no escapa calor de esa superficie. n No se genera calor dentro de la varilla. W La varilla es homogénea -es decir, su masa por unidad de volumen p es constante. W El calor específico y y la conductividad térmica del material de la varilla K son constantes. n Para derivar la ecuación gferencial parcial que satisface la temperatura u(x, t), necesitamos dos leyes empíricas de la conducción de calor: i) La cantidad de calor Q en un elemento de masa m es Q = ww (4) donde u es la temperatura del elemento. ii) La tasa de jlujo de calor Qt a través de la sección transversal de la figura 11.1 es proporcional al área A de esa sección y a la derivada parcial de la temperatura con respecto a x: Qt=-KAu,. (5) Puesto que el calor fluye en dirección de la temperatura decreciente se incluye el signo menos en la ecuación (5) a fin de asegurar que Qt sea positivo para U, < 0 (flujo de calor hacia la derecha) y negativo para U, > 0 (flujo de calor hacia la izquierda). Si el corte circular de la varilla Sección ll .2 Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera 485 (Fig. 11.1) entre x y-x + Ax es muy delgado, cabe suponer que u(x, t) es la temperatura aproximada en todo punto del intervalo. Ahora bien, la masa del corte es m = p(A Ax), de manera que, según la ecuación (4), la cantidad de calor en él es, Q = ypAAxu. (6) Ademas, cuando el calor fluye hacia la dirección de las x positivas, vemos que, de acuerdo con la ecuación (5), ese calor se acumula en el corte con la razón neta -KAu,(x, t) - [-KAu,(x + Ax, t)] = KA[u&-+ Ax, t) - u,(x, t)]. (7) Al diferenciar la ecuación (6) con respecto a t vemos que esa razón neta también está expresada por Qt = WA Ax u,. (8) Igualamos (7) y (S), y de ello resulta Tomamos el límite de esta ecuación cuando Ax + 0, y llegamos a la ecuación (1) en la forma* K -24, = u<. YP Se acostumbra que k = Uyp y llamar difusividad térmica a esta constante positiva. Ecuación de onda Se tiene una cuerda de longitud L, -como una cuerda de guitarra-, estirada entre dos puntos en el eje x: por ejemplo, x = 0 y x = L. Cuando comienza a vibrar, supongamos que el movimiento se lleva a cabo en-el plano xy, de tal modo que cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular al ejex (vibraciones transversales). Como vemos en la figura ll .2(a), u(x, t) representa el desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda, medido a partir del eje.x, cuando t > 0. Además se supone que: La cuerda es perfectamente flexible. w La cuerda es homogenea esto es, p, su masa por unidad de longitud, es constante. n Los desplazamientos u son pequefíos en comparación con la longitud de la cuerda. w La pendiente de la curva es pequeña en todos sus puntos. w La tensión T actúa tangente a la cuerda y su magnitud T es la misma en todos los puntos. n La tensión es considerable en comparación con la fuerza de gravedad. n No hay otras fuerzas externas actuando subre la cuerda. n En la figura ll .2(b), las tensiones Tl y T2 son tangentes a los extremos de la curva en el intervalo [x, x + Ax].-Para 191 y 02 pequeños, la fuerza vertical neta que actúa sobre el elemento b correspondiente de la cuerda es, por consiguiente, *Recordamos, del cálculo difiencial, que u, = lím AK+0 u& + Ax, t) - u&, t) A x 486 CAP’hJLO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA (al I x+Ax x x detalle del segmento (b) FIGURA ll .2 Tsene2-Tsenel=Ttan82-Ttan81 = T[u,(x + Ax, t) - ux(x, t)},* en donde T = ITl( = lT21. Ahora, p As c- p Ax es la masa de la cuerda en [x, x + Ax) y al aplicar la segunda ley de Newton obtenemos í+,(x + Ax, t) - l¿,(x, t)] = p Ax ufl 0 sea Si se toma el límite cuando Ax + 0, esta última ecuación se transforma en U, = (p/í’)u,,. Esto es la ecuación (2) en que 2 = Tlp. Ecuación de Laplace Aunque no presentaremos su derivación, esta ecuación en dos o tres dimensiones surge en problemas independientes del tiempo que conciernen potenciales como el electrostático, el gravitacional y la velocidad en mecánica de fluidos. Además, una solución de la ecuación de Laplaee se puede interpretar como la distribución de temperatura en un estado estable. Según la figura II .3, una solución u(x, t) podría representar la temperaura que varía de un punto a otro -pero no con el tiempo- en una placa rectangular. Con frecuencia hay que hallar las soluciones de las ecuaciones (l), (2) y (3) que satisfagan ciertas condiciones adicionales. Condiciones iniciales Puesto que las soluciones de las ecuaciones (1) y (2) dependen del tiempo I, podemos indicar qué sucede cuando t = 0; esto es, podemos establecer las *tan 8, = u&x + Ax, t) y tan CI = u&, t) son expresiones equivalentes para la pendiente. Sección ll .2 Ecuaciones dásicus y problemas de valar en la frontero 487 la temperatura es función de la posicibn en la placa FIGURA ll.3 condiciones iniciales (CI). Sif(x) representa la distribucion iniciaMe temperatura en la varilla de la figura ll. 1, entonces una solución U(X, t) de (1) debe satisfacer la condición inicial única U(X, 0) =f(x), 0 c x < L. Por otro lado, en el caso de una cuerda vibratoria es posible especificar su desplazamiento (o forma) inicial&)-y su velocidad inicial g(x). En términos maternaticos, se busca una función U(X, t) que satisfaga la ecuación (2) y las dos condiciones iniciales: U(& 0) = f(x), $itzo = g(x), 0 < x < L. Por ejemplo, la cuerda se puede tocar como muestra la figura 11.4, soltandola del reposo k(4 = 0). enx=O enx=L FIGURA ll.4 Condiciones en la. frontera La cuerda de la figura 11.4 está fija en el eje x en x = 0 y x = L. Esto lo traducimos en las dos condiciones en la frontera (CF) siguientes: u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0. Nótese que en este contexto la fbnciónfes continua en la ecuación (10) y, en consecuencia, f(O) = 0 y f(L) = 0. En general hay tres tipos de condiciones en la frontera relacionadas con ecuaciones como la (l), (2) o (3). En una frontera podemos especificar los valores de una de las siguientes cantidades: 9 u, au ii) - , &7 o bien iii) -t + an hu, h constante. 488 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA Aquí ¿Iul&r representa la derivada normal de u (la derivada direccional de u en la dirección perpendicular a la frontera). Una condición a la frontera del primer tipo, i), se llama condición de Dirichlet; del segundo tipo, ii), condición de Neumann, y del tercer tipo, iii), condición de Robin. Por ejemplo, cuando t > 0, una condición frecuente en el extremo derecho de la varilla en la figura ll. 1 puede ser i)’ u(L, t) = UO, au ii)’ =g x=L~ au ax iii)’ - 240 = constante, Obien = -h(u(L, t) - urn), h > 0 y um constantes. x=L La condición i)’ tan sólo expresa que la frontera x = L se mantiene a una temperatura UO constante en todo momento t > 0 por algún medio. La condición ii)’ indica que la frontera x = L está aislada. Según la ley empírica de la transmisión de calor, el flujo del mismo a través de una sección (esto es, la cantidad de calor por unidad de área y por unidad de tiempo que es conducida a través de la frontera) es proporcional al valor de la derivada normal &.hn de la temperatura u. Así, cuando la frontera x = L está térmicamente aislada, no entra ni sale calor de la varilla y au ax x=L = 0. Podemos interpretar que la condición iii)’ representa el calor que se pierde del extremo derecho de la varilla al estar en contacto con un medio como aire o agua, que permanece a una temperatura constante. Según la ley de Newton del enfriamiento, el flujo del calor que sale de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la misma u(L, t) en el extremo y la temperatura u, del medio que la rodea. Observamos que si se pierde calor del extremo izquierdo, la condición en la frontera es f3.l z =” = h(u(O,O x - hn). El cambio de signo algebraico concuerda con la hipótesis de que la varilla tiene una temperatura mayor que el medio que rodea sus extremos; de manera que, ~(0, t) > u, y u(L, t) > u,. En x = 0 y x = L, las pendientes de ~~(0, t) y u,.(L, t) deben ser positiva y negativa, respectivamente. Está claro que podemos especificar condiciones distintas al mismo tiempo en los extremos de la varilla; por ejemplo, au 0 ax x=n = and u(L,t)=uo, t>o. Nótese que la condición en la frontera (CF) en i)’ es homogénea si ug = 0; ahora bien, si ug # 0, es no homogénea. La condición en la frontera ii)’ es homogénea y en iii)’ es homogénea si u,,, = 0 y no homogénea si u,,, # 0. Sección ll .2 Ecuaciones clásicos y problemas de valor en la frontero Problemas de valor en la frontera Resolver: ,d2u d2Ll as=af2, Sujeta a: (BC) ~(0, t) = 0, (IC) u(x, 0) = f(x), 489 Los problemas como O<x<L, t>O u(L, t) = 0, t>O (11) Y 2 Resolved: Sujeta a: $++=O, O<x<a, O<y<b aY2 au dx x-a = 0, O<y<b u(x,b)=f(x), O<x<a se llaman problemas de valor en la frontera. Modificaciones Las ecuaciones diferenciales parciales (l), (2) y (3) se deben modificar para tener en cuenta los factores internos o externos que actúan sobre el sistema físico. Formas más generales de las ecuaciones de transmisión de calor y de onda en una dimensión son, respectivamente, kf$+ G(x,t,u) =$f Y a2f$ + F(x, t, u, u,) = $. Por ejemplo, si hay flujo de calor de la superficie lateral de una varilla hacia el medio que la rodea, y éste se mantiene a una temperatura constante um, la ecuación (13) de transmisión de calor es k 2 - h(u - u,) = 2. En la ecuación (14), la función F puede representar las fuerzas que actúan sobre la cuerda; por ejemplo, cuando se consideran las fuerzas externas de fricción y de restauración elástica, la ecuación (14) adopta la forma a2u 2 azu au a s+f(x, t)=s+c,+ku. 1‘ fuerza externa î fuerza de amortiguamiento (15) t fuerza de restauración En el análisis de una gran variedad de fenómenos físicos se llega a ecuaciones como la (1 ), (2) o (3), o sus generalizaciones donde interviene una mayor cantidad de variables espaciales; 490 CAPíTULO l l ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA por ejemplo, en ocasiones la ecuación (1) se denomina ecuación de difusión porque la difusión de sustancias disueltas en una solución es análoga al fluio de calor en un sólido. En este caso, la función u(x, t> que satisface la ecuación diferencial, representa la concentración de la sustancia disuelta. De igual forma, la ecuación (1) surge en el estudio del fluio de la electricidad por un cable largo o línea de transmisión. En este cgntexto, la ecuación (1) se llama ecuación del telégrafo. Se puede demostrar que, baio ciertcis hipótesis, la corriente y el voltaje en el conductor son funciones que sáiisfqcen dos ecuaciones de forma idéntica a la de (1). La ecuación de onda (2) también aparece en la teoría de las líneas de transmisión con alta frecuencia, en mecánica de fluidos, acústica y elasticidad. La ecuación (3) de Laplace, se maneia en problemas técnicos de desplazamientos estáticos de membranas. Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. En los problemas 1 a 4, una varilla de longitud L coincide con el eje x en el intervalo [0, L]. Plantee el problema de valor en la frontera. para la temperatura u(x, t). 1. El extremo izquierdo se mantiene a la temperatura cero y el derecho esta aislado. La temperatura inicial en toda la varilla es&). 2. El extremo izquierdo se mantiene a la temperatura ug y el derecho, a ut. La temperatura inicial es cero en toda la varilla,. 3. El extremo izquierdo se mantiene a la temperatura 100 y hay transmisión de calor desde el extremo derecho hacia el ambiente, que se encuentra a la temperatura cero. La temperatura inicial en toda la varilla esf(x). 4 . Los extremos están aislados y hay flujo de calor de la superficie lateral hacia el medio que la rodea, el cual está a la temperatura 50. La temperatura inicial en toda la varilla es 100. En los problemas 5 a 8, una cuerda de longitud L coincide con el eje x en el intervalo [0, L]. Plantee el problema de valor en la frontera para el desplazamiento u(x, t). 5. Los extremos están fijos en el eje x. La cuerda parte del reposo desde el desplazamiento inicial x(L - x). 6 . Los extremos están fijos en el eje x. Al principio, la cuerda no está desplazada, pero tiene la velocidad inicial sen(nx/L). 7. El extremo izquierdo está fijo en el eje x, pero el derecho se mueve transversalmente de acuerdo con sen 7~. La cuerda parte del reposo desde un desplazamiento inicialf(x). Para t > 0, las vibraciones transversales se amortiguan con una fuerza proporcional a la velocidad instantánea. 8 . Los extremos están fijos en el eje x y la cuerda está inicialmente en reposo en ese eje. Una fuerza vertical externa, proporcional a la distancia horizontal al extremo izquierdo, actúa sobre la cuerda cuando t > 0. En los problemas 9 y 10, plantee el problema de valor en la frontera para la temperatura u(x, y) de estado estable. 9. Los lados de una placa rectangular delgada coinciden con los de la región definida por 0 S x I 4,0 5 y I 2. El lado izquierdo y la cara inferior de la placa están aislados. La cara superior se mantiene a la temperatura de cero y el lado derecho a la tempJ(y). Sección ll .3 Ecuación de tmnsmisión de calar 491 10. Los lados de una placa semiinfínita coinciden con los de la región definida por 0 I x I T, y 2 0. El lado izquierdo se mantiene a La temperatura e-y, y el derecho a la temperatura 1 OO cuando 0 < y I 1 y a cero cuando y > 1, La cara inferior permanece a la temperaturaf(x). ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE CALOR W Solución de un problema de valor en la frontera por separación d6 variables H Valores propios W Funciones propias Una varilla delgada de longitud L tiene una temperatura inicialy y sus extremos se mantienen ala temperatura cero en todo momento t > 0. Si la varilla de la figura 11.5 satisface las hipótesis de la página 484, el problema de valor en la frontera establece su temperatura u(x, t) kf$=-$ O<x.:L, u(0, t) = 0, t>O u(L,t)=O, u(x, 0) = f(x), t>O 0 < x -=z L. (1) (2) (3) FIGURA ll .5 Con el producto u = X(x)T(t) y la constante de separación -X2, llegamos a x”= -= T’ +z X kT (4) X”+h2X=O T’+kh2T=0 (5) X=clcoshx+c2senhx T = C3e-kA2’. (6) ~(0, t) = X(O) T(t) = 0 u(L, t) = X(L)T(t) = 0, Ahora bien, como (7) u(0, t) = x(o)T(t) = 0 u(L, t) = X(L)T(j) = 0, debemos tener X(O) = 0 y X(L) = 0. Estas condiciones homogéneas en la frontera, junto con la ecuación homogénea (5), son un problema normal de Sturm-Liouville. Al aplicar la primera de estas condiciones a la ecuación (6) obtenemos CI = 0, de inmediato. En consecuencia 492 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA La segunda condición en la frontera implica que X(L) = c2 sen XL = 0. Si c2 = 0, entonces X = 0, de modo que u = 0. Para obtener una solución u no trivial, se debe cumplir cz # 0, y de este modo la última ecuación se satisface cuando sen XL = 0. Esto implica que XL = mr, o sea X = ndL, donde n = 1,2,3, . . . . Los valores A=y,. u=l,2,3,... (8) n = 1,2,3,. . . (9) y las soluciones correspondientes X = clsenyx, son los valores propios (0 eigenvalores) y las funciones propias (0 eigenfunciones) respecti- vamente, del problema. Según la ecuación (7)j T = c3e-k(n2*2’L2)t; por consiguiente en donde hemos reemplazado la constante ~2~3 por A,. Los productos u,(x, t) satisfacen la ecuación en derivadas parciales (1) y las condiciones en la frontera (2) para todo valor del entero positivo n.* Sin embargo, para que las funciones que aparecen en la ecuación (1) satisfagan la condición inicial (3), tendríamos que definir el coeficiente A, de tal forma que u,(x, 0) = f(x) = A, seny x. (11) En general, no esperamos que la condición (ll) se satisfaga con una elección arbitraria, aunque razonable, de f, en consecuencia, tenemos que admitir que u,(x, t) no es una solución del problema dado. Ahora bien, por el principio de superposición, la función m u(x, t) = c un = i A,e-‘(“2”i’~*)~sen~X n=l ll=1 tambien debe satisfacer, aunque formalmente, la ecuación (1) y las condiciones (2). La sustitución de t = 0 en la ecuación (12) implica u(x, 0) = f(x) = i A,,seny x. II=1 *El lector debe comprobar que si la constante de separación se define como AZ = 0, o como X2 > 0, la única solución de (1) que satisface las condiciones (2) es u = 0. Sección ll .3 Ecuación de transmisión de calor 493 Se advierte que esta última expresión es el desarrollo defen una serie de senos de mitad de intervalo. Al identificar A, = b,,, n = 1,2,3, ., entonces, de acuerdo con la ecuación (5) de la sección 10.3, 2 L A, = - f(x)sen-xdx. L I0 L Concluimos que una solución del problema de valor en la frontera descrito en (l), (2) y (3) está dada por la serie infinita u(x,t) = 2$, (/if(x)senyxdr) e-k(n*R’/Li)lsen~x. En el caso especial en que U(X, 0) = 100,L = n y R = 1, el lector debe comprobar que los coeficientes A, están dados por An=y[l-;-l)n], de modo que (13) con ayuda de un sistema algebraico de computación (SAC), en la figura ll.6 mostramos las gráficas de la solución u(x, t) en el intervalo [0, T] para varios valores del tiempo t. La gráfica confirma lo que es evidente en la ecuación (13), principalmente que u(x, t) + 0 cuando t + 00. 100 80 60 40 20 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Y -- FIGURA ll .6 Las respuestas a 1osprobIemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. En los problemas 1 y 2 resuelva la ecuación de transmisión de calor (1) sujeta a las condiciones respectivas. Suponga una varilla de longitud L. 1. u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 u(x, 0) = 1 1 , O<x<L/2 0 , L/2<x<L 2. u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 u(x, 0) = x(L - x) 3. Halle la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud L cuando ella es f(x) y los extremos, x = 0 y x = L, están aislados. ia temperatura inicial en 494 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA 4. Resuelva el problema 3 para L = 2 y f(x) = : > fzx5 i. 5. Suponga que se pierde calor a travds de la superficie lateral de una varilla delgada de longitud L, el cual pasa al medio ambiente que está a la temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de transferencia de calor, la ecuación adopta la forma k&&x* - hu = aula& 0 < x c L, t > 0, donde h es una constante. Halle la temperatura u(x, 4 si la temperatura inicial en toda la varilla esf(x) y los extremos x = 0 y x = L están aislados (Fig. ll .7). 6. Resuelva el problema 5 cuando los extremos x = 0 y x = L se mantienen a la temperatut ra cero. aislado 0” 1 0’ 7 + + aislado T”T + 0” + + L L x traasmisi¿m de calor de la superficie lateral de la varilla FIGURA ll .7 Iml ‘ ECUACIÓN, DE ONDA Wolucidn de un problema de valor en lafiontera por separación de variables H Ondas estacionarias W Modos normales n Primer modo normal W Frecuencia fundamental W Armónicas Ya podemos resolver el problema (ll) de valor en la frontera de la sección ll .2. El desplazamiento vertical u(x, t) de la cuerda vibratoria de longitud L se muestra en la figura 1 I .2a), y se determina a partir de ,a2u. a2u as=s, u(0, t) = 0, O-Cx-CL, t>Q u(L, t) = 0, t>0 Separamos variables en (1) para obtener xii Tl! -z--z X de modo que a2T -AZ X”+ X2X= O\y’, T”+ X2a2T=0, en consecuencia X = cl cos hx + c2 senhx T = c3 cos hat + c,,senhat. Secciin ll.4 Ecwciánde anda 495 Como antes, las condiciones (2) en la frontera se traducen enX(0) = 0 yX(L) = 0. Asi vemos que q-o y CL sen XL = 0. Esta ultima ecuación define los valores propios X = ML, donde n = 1,2,3, . . . . Las funciones propias respectivas son X= c?senyx, n = 1,2,3,. . . . Las soluciones de la ecuación (1) que satisfacen las condiciones en la frontera (2) son un= Y ( n7ra A,cosL t+ B.sinyt m u(x,t)=x n=l 1 A,,cosEt+B,BenEt L L sen-x L 1 (4) sen-x. (5) L Con t = 0 en (5) obtenemos u(x, 0) = f(x) = 2 A, sen? x, que es un desarrollo de f en forma de serie de senos, de mitad de intervalo. Igual que cuando describimos la ecuación de transmisión de calor, podemos definir A, = bn: (6) Para determinar B,,, derivamos la ecuación (5) con respecto a te hacemos t = 0: *= m -A,ysenyt at CC n=l + B.ycosyt sen!ffx $I,-, = g(x) = $$ (B, 7) sen?,. Para que la última serie sea desarrollo de g en senos de mitad de intervalo en el intervalo, el coeficiente total, B,,nna/L debe estar en la forma de la ecuación (5) de la sección 10.3, o sea nra 2 L Bny=z I o g(x) sen? x dx, de donde obtenemos (7) La solución del problema está formada por la serie (5), con A, y B,, definidos por (6) y (7), respectivamente. Obsérvese que cuando la cuerda se suelta partiendo del reposo, g(x) = 0 para toda x en 0 I x S L y, en consecuencia, B,, = 0. 496 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERNADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN L4 FRONTERA Ondas estacionarias De la obtención de la ecuación de onda, en la sección 11.2, recordamos que la constante Q que aparece en la solución del problema de valor en la frontera (l), (2) y (3), es m, donde p es la masa por unidad de longitud y T la magnitud de la tensión de la cuerda. Cuando T es suficientemente grande, la cuerda vibratoria-produce un sonido musical, originado por ondas estacionarias. La solución (5) es una superposición de soluciones producto, llamadas ondas estacionarias o modos normales: u(x, t) = Ul(X, t) + LL&, t) + z&, t) + **. . De,acuerdo con las ecuaciones (6) y (7) de la sección 5.1, las soluciones producto (4) se púeden escribir en la forma u,(x, t) = C, sen (yt+ d,)senmx, (8) en donde C, = my @i está definido por sen &, = A,JC, y cos $,, = B,/C,. Para n = 1, 2,3,. . . las ondas estacionarias son, en esencia, las gráficas de sen(nnxll) con amplitud variable en el tiempo, En forma alternativa, de acuerdo con la ecuación (B), vemos que en un valor fijo de x, cada función producto u,(x, t), representa un movimiento armónico simple, cuya amplitud es C,Jsen(n7rx/L)l y cUya frecuencia esfn = naJ2L. En otras palabras, cada punto en una onda estacionaria vibra con distinta amplitud, pero con la misma frecuencia. Cuando n = 1, ul(x, t) = Cl sen yt + #, sen:, ( ) y se llama primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración. En la figura 11.8 se presentan las primeras tres ondas estacionarias o modos normales. Las gráficas punteadas representan las ondas estacionarias sn distintos valores del 69 Primera onda estacionaria nodo (4 Segunda onda estacionaria nodos -g+&&y; Cc) 3 3 Tercera onda estacionaria FIGURA ll .8 Sección ll .4 Ecuación de onda 497 tiempo. Los puntos del intervalo (0, L) para los que sen(n&l) = 0, corresponden a puntos de una onda estacionaria en los que no hay movimiento. Estos puntos se denominan nodos; por ejemplo, en las figuras ll .8b) y c) se ve que la segunda onda estacionaria tiene un nodo en L/2 y que la tercera tiene dos nodos, en LI3 y en 2L/3. En general, el n-ésimo modo normal de vibración tiene n - 1 nodos. La frecuencia del primer modo normal se llama frecuencia fundamental o primera armónica y se relaciona directamente con la altura del sonido que produce un instrumento de cuerda. Mientras mayor es la tensión de la cuerda, más alto (agudo) será el sonido que produce. Las frecuencias fn de los demás modos normales, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se llaman armónicas o sobretonos. La segunda armónica es el primer sobretono y así sucesivamente. Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el aphdice de respuestas. Resuelva la ecuación de onda (1), sujeta a las condiciones citadas en los problemas 1 a 8. 1. U(0, t) = 0, u(L, t) = 0 2. u(0, t) = 0, u(x, 0) = $L - x), $y I=. = 0 3 . u(0, t ) = 0 , u(L, t) = 0 U(X, 0), como se especifica en u(x, 0) = 0, $ f =. = x(L - x) 4 . u(0, t) = 0 , u(Ti-, t ) = 0 u(x, 0) = ;xx(7r2 - x2), au 0 dt r=o = latigura11.9 g =0=0 f 5 . u(0, t) = 0 , U(~,, t) = 0 6 . ~(0, t) = 0 , u(l,‘t) = 0 u(x, 0) = 0.01 sen 37rx, u(x, 0) = 0, % =. = senx , o<x<g u(x, 0) = u(L, t) = 0 L Sx<L 2 au 0 at r=o = au 0 dt r=o = FIGURA ll.9 498 CAPíl’UlO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERNADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA La constante h es positiva pero pequeña, en comparaAh con L; esto se llama “problema de la cuerda rasgada”. 8. g x ‘o= 0, EI =L = 0 L u(x,O) =x, 2 t= o= 0 Este problema podria describir el desplazamiento longitudinal u(x, r) de una barra elástica vibratoria. Las condiciones en la frontera, para x = 0 y x = L, se llaman condicionés del extremo libre (Fig. ll. 10). FIGURA 11.10 9 . Una cuerda se tensa y se asegura en el eje x en x = 0 y en x = TT para t > 0. Si las vibraciones transversales se presentan en un medio con una resistencia proporcional al movimiento a la velocidad instantánea, la ecuación de onda toma la forma $%+2+, 0</3<1, t>o. Halle el desplazamiento u(x, t) si la cuerda parte del reposo desde un desplazamiento inicial 10. Demuestre que una soiuctin del problema de valor en la frontera a% a% -= yp+u, ax2 u(0, t) = 0, 1 o<x<lT, t>O u(n,t)=O, t>O u(x,O) = “,‘- x ) 0 < x < n.12 nI2 Ix< Ti- au =o, O<x<n at r=o es u(x,t) 2ce sen(2k - 1)x cos V(2k - 1)’ + 1 t. Tk=l(2k - 1)2 ll. El desplazamiento transversal u(x, t) de una viga vibratoria de longitud L está determinado por una ecuación diferencial parcial de cuarto orden a4u s=o, a2s+ O<x<L, t>o. Sección ll.4 Ecuación de anda 499 Si la viga está simplemente apoyada (Fig. ll. 1 l), las condiciones en la frontera (CF) y condiciones iniciales (CI) son u(0, t) = 0, u(L,t)=O, ah o 2 xdJ = ’ ab 2 x=L =o, t>O t>O Determine u(x, t). [Sugerencia: por comodidad, use X4 en lugar de AZ al separar variables.] FIGURA ll .l 1 Viga simplemente apoyada 1 2 . ¿Cuáles son las condiciones en la frontera cuando los extremos de la viga del problema ll están empotrados en x = 0 y x = L? 13. En el problema de valor en la frontera expresado en las ecuaciones (1), (2) y (3) de esta sección, si g(x) = 0 en 0 <X c L, demuestre que la solución derproblema se puede expresar en la forma u(x, t) = ; [f(x + ar) + f(x - at)]. [Sugerencia: aplique la identidad 2 sen 81 cos 62 = sen(B~ + 69 f sen@+ - &).] 14. El desplazamiento vertical u(x, f) de una cuerda infinitamente larga esta determinado por el problema de valor inicial a2 a*u - a*u ax* at*’ uk 0) = fc+ -W<X<cCr, t>O yzo = g(x). el cual se puede resolver sin separar las variables. a) De acuerdo con el problema 28 de los ejercicios 11.1, la ecuación de onda se puede expresar en la ,forma aZula+< = 0 con las sustituciones 5 = x + at y q = x - at. Si integramos la última ecuación diferencial parcial con respecto a 7 y despuh con respecto a <, veremos que U(X, t) = F(x + at) + G(x - ar) es una solución de la ecuación de onda, donde F y G son funciones arbitrarias dos veces derivables. Emplee esta solución y las condiciones iniciales dadas para demostrar que Y 500 CAPíTULO l l ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA en que xo es arbitraria y c es una constante de integración. b) Aplique los resultados de la parte a) para demostrar que u(x, t) = ; [f(x + at) + f(x - at)] + & j-:Iy:g(s) ds. w Observe que cuando la velocidad inicial g(x) = 0, se obtiene u(x, t) = ; [f(x + at) + f(x - ut)], -eJ <x -=c w. Esta última solución se puede interpretar como superposición de dos ondas viajeras, una que se mueve hacia la derecha (esto es, $f(x - at)) y una hacia la izquierda (#x + at)). Ambas viajan con velocidad u y tienen la misma forma básica que la del desplazamiento inicial f(x). La forma de u(x, t) de la ecuación (10) se llama solución de d’Alembert. En los problemas 15 a 17 emplee la solución de d’Alémbert, ecuación (lo), para resolver el mismo problema de valor inicial, pero sujeto a lasrespectivas condiciones iniciales. 15. f(x) = senx, g(x) = 1 16. f(x) = senx, g(x) = cos x 17. f(x) = 0, g(x) = sen2x 18. Suponga quef(x) = 1/(1 + x2), g(x) = 0 y u = 1 en el problema de valor inicial planteado como problema 14. Grafique la solución de d’Alembert para este caso, cuando el tiempo est=O,j=lyt=3. 19. Un modelo de una cuerda infinitamente larga que inicialmente se sujeta en tres puntos (-1, 0), (1, 0) y (0, 1) y a continuación se suelta simultáneamente de esos puntos cuando t = 0, es la ecuación (9) en que 1 - f(x) = io > (XI, 5 1 1x1 IXI ’ 1 Y g(x) = 0 . a) Grafique la posición inicial de la cuerda en el intervalo [-6, 61. b) Con un sistema algebraico de computación grafique la solución de d’Alembert, ecuación (lo), en 1-6, 61 cuando t = 0.2k, R = 0, 1,2, . . . ., 25. c) Con la función de animación del SAC tome una película de la selución. Describa el movimiento de la cuerda a través del tiempo. 20. Una cuerda infinitamente larga, que coincide con el eje x, es golpeada con un martinete en el origen; la bola del martillo tiene 0.2 pulgadas de diámetro. Un modelo del movimiento de la cuerda es la ecuación (9) en que a) Con un SAC grafique la solución de d’ Alembert, ecuación (lo), en [-6,6] para t = 0.2k, k = 0, 1) 2, . . . .) 25. b) Emplee la función de animación del dicho sistema para tomar una película de la solución. Describa el movimiento de la cuerda a través del tiempo. Sección ll .5 Ecuación de Laplace 501 ECUACIÓN DE IAPLACE n Solución de un problema de valor en la frontera por separación de variables W Problema de DirkhIetM Principio de superposición Supongamos que se trata de hallar la temperatura de estado estable u(x, y) en una placa rectangular con bordes aislados (Fig. ll. 12). Cuando no escapa calor de los lados de la placa, se resuelve la ecuación de Laplace f$+G=O, aY2 sujeta a ¿h ax x=o = 0, O<x<a, au ax x=<l Li@, 0) = 0, =O, O<y<b O<y<b u(x, b) = f(x), 0 < x < a. FIGURA ll. 12 La separación de variables lleva a x” =--=-/+Z Y” x Y X”+/vx=o y” - A2y = () X = cl cos hx + c2 senhx, (1) (2) (3) y como 0 < y < b es intervalo finito, aplicamos la solución Y= c3 cosh Ay + c4 senh Ay. (4) Las tres primeras condiciones en la frontera se traducen en X’(O) = 0, X’(a) = 0 y Y(O) = 0. Al derivar X y establecer x = 0, se hace que c2 = 0 y en consecuencia, X= cl cos Xx. Derivamos esta última expresión y con x = a, obtenemos -clX sen Xa = 0. Esta condición se satisface Obsérvese que X = 0 significa que la cuandoX=OocuandoXa=n~oX=n?r/a,n=1,2,... ecuación (1) es X” = 0, La solución general de esta ecuación es la función lineal dada por X= cl + czx, y no por la ecuación (3). En este caso, las condiciones en la frontera X’(O) = 0, X’(a) = 0 exigen que X= CI. En este ejemplo, a diferencia de los dos anteriores, nos vemos forzados 502 CAP’hULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA a concluir que X = 0 sí es un valor propio. Mediante Ia correspondencia X = 0 con n = 0, se obtienen las funciones propias x = Cl, n = 0, X=c,cos~x, ,n=l,2 ,.... Y Por último, la condición Y(O) = 0 obliga a que cg = 0 en la ecuación (4) cuando X > 0. Sin embargo, cuando X = 0, la ecuación (2) se transforma en Y” = 0, y en consecuencia la solución tiene la forma Y= cs + c4y, y no la de la ecuación (4). Pero Y(O) = 0 significa nuevamente que c3 = 0, de modo que Y = c4y. Así, las soluciones producto de la ecuación que satisface las tres primeras condiciones en la frontera son AOY, n = 0, Y A,senhyycosyx, n = 1,2,. . . . Con el principio de superposición se obtiene otra solución: u(x,y) = A,y + c A,,senh-y cos-x. a a n=I (5) Al sustituir y = b en esta ecuación se obtiene u(x,b) =f(x) = Aob + que en este caso es un deswollo de f en serie de cosenos de mitad de intervalo. Al aplicar las definiciones Aob = ao/ y A, = senh(mrbla) = a,,, n = 1,2,3, . . . se obtiene, de acuerdo con las ecuaciones (2) y (3) de la sección 10.3, 2Aob = t @x) dx 4, = $ ji; f(x) dx Y A senh y b = i [if(x) A,, = COS YX (6) dx * j; f(x) cos =.Y dx. a asenh- b a (7) La solución de este problema consiste en la serie de la ecuación (5), en que Ao y A, se definen con las igualdades (6) y (7), respectivamente. Problema de Dirichlet Un problema de valor en la frontera en que se busca una solución de una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico, como la ecuación de Laplace, V2u = 0, dentro de una región tal que u adopte valores prescritos en el contorno total de esa región, se llama problema de Dirichlet. Principio de superposición Un problema de Dirichlet para un rectángulo se puede resolver con facilidad separando variables cuando se especifican condiciones homogéneas para dos fronteras paralelas; sin embargo, el método de separación de variables no se aplica a un ll Sección .5 Ecuación de Laplace 503 problema de Dirichlet cuando las condiciones en la frontera en los cuatro lados del rectángulo son no homogéneas. Para salvar esta dificultad se descompone el problema $+e=Cl, aY2 O<x<a, O<y<b u(a,y) = G(Y), O<y<b u(x,b)=g(x), O<x<a UaY) = F(Y), 4% 0) = f(x), (8) en dos problemas, cada uno con condiciones homogéneas en la frontera, en lados paralelos: I Problema 1 h azul !$+ -y = 0, aY Ul(O,.Y) = 0, Ud& 0) = f(x), \ O<x<a, Problema 2 A r O<y<b O<y<b uda, Y) = 0, ul(x, b) = g(x), 0 <x < a !%+d2u2=(), aY2 u2@ y) = F(Y), O<x<a, \ O<y<b u2(a,y)=G(y), uz(x, 0) = 0, uz(x, b) = 0, O<y<b O<x<a Supongamos que ~1 y 242 son las soluciones de los problemas 1 y 2, respectivamente. Si definimos. u(x, y) = ut(x, y) + ZQ(X, y), veremos que u satisface todas las condiciones en la frontera en el problema original (8); por ejemplo, 40, Y) = UI@, Y> + uz(O, Y) = 0 + F(Y) = F(y) u(x, b) = ul(x, b) + uz(x, b) = g(x) + 0 = g(x) y así sucesivamente. Además, u es una solución de la ecuación de Laplace, según el teorema ¡l .l . En otras palabras, al resolver los problemas 1 y 2 y sumar las soluciones, ya resolvimos el problema original. Esta propiedad aditiva de las soluciones se llama principio de superposición (Fig. 11.13). FIGURA ll. 13 Solución u = Solución u1 del problema 1 + Solución y del problema 2 Dejaremos como ejercicio (véase los problemas ll y 12 de los ejercicios ll S) demostrar que una solución del problema 1 es A,cosh-y a en donde + B,senh-y a 2 n A, = ; J(x) sen-x dx I a B,= l senhyb ig(x)senyxdx-A,,coshyb , 504 CAP’hULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERNADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA y que una solución del problema 2 es CC uz(x,y) = c A,coshyx tl=l + B,senhyi en donde B,, = ’ iG(y)senyydy-A,,coshya senh-a b Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas En los ejercicios 1 las condiciones en 1. u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0, a 8 encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con la frontera dadas. 2. u(0, y) = 0, u(a, y) = 0 u(a, y) = 0 u(x, b) = f(x) au ay y=o = 0, 3. u(0, y) = 0, 46 Y) = 0 u(x, 0) = f(x), u(x, b) = 0 u(x, b) = f(x) 4. g =. = 0, x g = 3 0 x I u(x, 0) = x, u(x, b) = 0 5. u(0, y) = 0, u(1, y) = 1 - y au = 0, au = 0 aY y=l aY y=o 7. $ =.= 40, Y), + u(rIT, Y) = 1 u(x, 0) = 0, u(x, 7r) = 0 6. 40, Y) = g(y), au 0, ay y=o = 8. ~(0, y) = 0, au = u(x, O), ay y=o ~~xcl = 0 au y=n= 0 ay 4, Y) = 0 U(& 1) = f(x) En los problemas 9 y 10 halle la temperatura de estado estable en la placa semiinfinita que se prolonga hacia la dirección de las y positivas. En cada caso suponga que u(x, y) es acotada cuando y + 00. 10. aislado FIGURA 11.14 FIGURA ll .15 Sección ll .6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la fmntem 505 Encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular cuyas condiciones en la frontera se especifican en los problemas ll y 12. ll. u(0, y) = 0, u(a, y) = 0 u(x, 0) = f(x), u(x, b) = g(x) 12. 40,~) = F(Y), u(a,y) = G(Y) u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0 En los problemas 13 y 14 aplique el principio de superposición para hallar la temperatura de estado estable en una placa cuadrada cuyas condiciones en la frontera se mencionan. 13. u(0, y) = 1, u(x, 0) = 0, U(?T, y) = 1 u(x, ?T) = 1 14. 40, Y) = 0, u(2, Y) = y(2 - JJ) u(x, 0) = 0, u(x, 2) = ;‘I x yg;; > ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS Y CONDICIONES EN IA FRONTERA n Empleo de un cambio de variable dependiente w Solución de estado estable w Solución transitoria Puede suceder que el método de separación de variables no sea aplicables a un problema de valor en la frontera, cuando la ecuación diferencial en derivadas parciales o las condiciones en la frontera sean no homogéneas; por ejemplo, cuando se genera calor a una tasa constante r en una varilla de longitud finita, la forma de la ecuación de transmisión de calor es Esta ecuación es no homogénea, y se advierte con facilidad que no es separable. Por otro lado, supongamos que se desea resolver la ecuación acostumbrada de conducción de calor ku, = Q, cuando las fronteras x = 0 y x = L se mantienen a las temperaturas KI y k2 distintas de cero. Aun cuando la hipótesis U(X, t) = X(x) T(t) separa ‘la ecuación diferencial, llegamos rápidamente a un obstáculo en la determinación de los valores y las funciones propias porque no se pueden obtener conclusiones de ~(0, t) = X(O)T(t) = kt y u(L, t) = X(L)T(t) = kz. Es posible resolver algunos problemas en que intervienen ecuaciones o condiciones en la Contera no homogeneas mediante un cambio de la variable dependiente: u=v+q!L La idea básica es determinar $, una función de una variable, de tal modo que v , función de dos variables, pueda satisfacer una ecuación en derivadas parciales homogénea y condiciones homogéneas en la frontera. En el siguiente ejemplo exponemos el procedimiento. Condición no homogénea en la frontera Resuelva la ecuación (1) sujeta a u(0, t) = 0, u(x,O)=f(x), U(1, t) = Ug, O<X<l. t>0 506 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERNADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA Tanto la ecuación como la condición en la frontera son no homogéneas en x = 1. Si U(X, r) = 21 (x, f) + ti(t) entonces, SOLUCIÓN a2u a2v +*" -=ax2 ax2 au au z=-$ y Al sustituir estos resultados en la ecuación (1) se obtiene (2) Ésta se reduce a una ecuación homogénea si hacemos que $J satisfaga a k$“+r=O QSea f’= -i. Integramos dos veces la última ecuación y llegamos a l)(x) = - 5x2 + CIX + Q. Además ( 3 ) u(0, t) = v(0, t) + l)(O) = 0 u(1, t) = v(1, t) + @(l) = ug. Tenemos que ~(0, r) = 0, y que V( 1, t) = 0 siempre que Y w9 = 0 $0) = uo. Al aplicar estas dos condiciones a la ecuación (3) obtenemos, c2 = 0 y cl = r/2k + UO, asi que r @>= -zX2+ Por último, la condición inicial u(x, 0) = V(X, 0) + $J(x) entraña que v(x, 0) = U(X, 0) - ti(x) =f(x) - q(x). Entonces, para determinar V(X, r), resolvemos el nuevo problema de valor en la frontera k$=$, v(0, t) = 0, O<x<l, v(l,t)=O, t>O t>O r v(x, 0) = f(x) + 5x2 - por separación de variables. En la forma acostumbrada llegamos a v(x, t) = 2 A,e-k”22’sennm, n=l (4) Sección ll .6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la frontera 507 Para terminar, obtenemos una solución al problema original sumando g(x) y w(x, I): n en donde las A, se definen en (4). Obsérvese que u(x, t) + g(x) cuando t + 00 en la ecuación (5). En el contexto de solución de la ecuación de transmisión de calor, 1c, se llama solución de estado estable. Como V(X, t) + 0 cuando t + m,u se denomina solución trnsitoria. La sustitución u = II + T/J también es aplicable en problemas donde intervengan formas de la ecuación de onda, así como de la ecuación de Laplace. Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. Resuelva la ecuación de transmisión de calor ku, = uf, 0 < x < 1, t > 0, sujeta a las condiciones descritas en 1 y 2. 1. U(0, t) = 100, u(x,O) = 0 2 . u(O,t)=uo, u(l,t)=O u(x, 0) = f(x) U(1, t) = 100 Resuelva la ecuación en derivadas parciales (1) sujeta a las condiciones dadas en 3 y 4. 3. u(0, t) = uo, u(x, 0) = 0 u(1, t) = uo 4. u(0, t) = uo, u(1, t) = u1 4x7 0) = f(x) 5. Resuelva el problema de valor en la frontera k$+Ae-+ u(0, t) = 0, u(x,O)=f(x), B>O, u(l,t)=O, O<x<l, t > os t>O O<x<l. La ecuación diferencial es una forma de la ecuación de conducción de calor cuando se genera calor dentro de una varilla delgada, por ejemplo, por decaimiento radiactivo del material. 6. Resuelva el problema de valor en la frontera k$-h,=$, u(0, t) = 0, u(x,O)=O, O<X<T, u(n,t)=u,, o<x<7r. t>O t>O 7. Halle una solución de estado estable q(x) del problema de valor en la frontera 508 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA k$h(u-uJ=$, 49 = uo, O<x<l, u(l,t)=O, O<X<l. u(x,O)=f(x), t>O t>O 8 . Encuentre una solución de estado estable $J(x) si la varilla del problema 7 es semiinfínita, se prolonga hacia la dirección positiva de las x e irradia de su superficie lateral hacia un medio de temperatura cero y si lím u(x, t) = 0, X-m u(x, 0) = f(x), x > 0. @, t) = uo, t>0 9 . Al someter una cuerda vibratoria a una fuerza vertical externa, que varía en bción de la distancia horizontal al extremo izquierdo, la ecuación de onda tiene la forma 2 a2u a2ãxi+Ax=$. Resuelva esta ecuación diferencial sujeta a u(0, t) = 0, u(l,t)=O u(x,O)=O, 2 t =o=o t>O O<x<l. 10. Una cuerda está inicialmente en reposo sobre el eje x, asegurada en x = 0 y x = 1; se deja caer bajo su propio peso cuando t > 0 y el desplazamiento u(x, t) satisface la ecuación a2u a2u a2s-g=p O<x<l, t>o, en que g es la aceleración de la gravedad. Obtenga u(x, t). ll. Halle la temperatura de estado estable u(x, y) en la placa semiinfinita de la figura ll .6. Suponga que la kmperatura está acotada para x + 00. [Sugerencia: pruebe con u(x, y) = 4x7 Y) + NY>.1 Y 1 u = ug ll=0 0 kU=U, x FIGURA 11.16 12. La ecuación de Poisson $+$=-h, h > O Sección ll .7 Empleo de series de Fourier generalizadas 509 se presenta en muchos problemas donde intervienen potenciales eléctricos. Resuélvala sujeta a las condiciones 40, Y) = 0, u(x,O)=O, u(~,Y)=L o<x<?r. Y>O EMPLEO DE SERIES DE FOURIER GENERALIZADAS n n Problemas de valor en lafrontera que no conducen a series de Fourier Uso de las series de Fourier generalizadas Para ciertos principio de métrica que concepto de tipos de condiciones en la frontera, el método de separación de variables y el superposición conducen al desarrollo de una función en forma de serie trigonono es serie de Fourier. Para resolver los problemas de esta sección utilizaremos el serie de F.ourier generalizada (Sec. 10.1). Empleo de la serie de Fourier generalizada La temperatura en una varilla de longitud unitaria en que la transmisión de calor es de su extremo derecho hacia un ambiente a la temperatura constante cero, se determina a partir de ks=$, u(0, t) = 0, u(x,O)=l, O<x<l, t>O g _ = -hu(l,t), x-l h>O, t>O O<X<l. Determine u(x, t). SOLUCIÓN Con el método de separación de variables se obtiene T” + kA2T = 0 x” + PX = 0, X(x) = CI cos Ax + c2 sen Ax y (1) T(t) = C3&. Puesto que u = XT, las condiciones en la frontera son X(O) = 0 y X’(l) = -+X(l) (2) La primera condición en (2) da como resultado inmediato CI = 0. Al aplicar la segunda a X(x) = c2 sen XE se obtiene ACOSA= -hsenh osea tanA= -p. ‘(3) 510 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA De acuerdo con el análisis del ejemplo 2 de la sección 10.4, sabemos que la última de las ecuaciones (3) tiene una cantidad infinita de raíces. Las raíces positivas consecutivas X,, n = 1, 2, 3, . . . > son los valores propios del problema y sus funciones propias correspondientes son X(x) = c2 sen X9, n = 1,2,3, . . . Por consiguiente u, = XT = A,e-kh~rsenA,x u(x, t) = i A,,emkh;’ senA,x. y n=l Ahora bien, cuando t = 0, u(x, 0) = 1,O < x < 1, así que 1 = i A, senA,x. ll=1 (4) La serie (4) no es de senos de Fourier, sino un desarrollo en términos de las funciones ortogonales que se producen en el problema normal de Sturm-Liouville que consiste en la primera ecuación diferencial en (1) y las condiciones (2) en la frontera. Por consiguiente, el conjunto de las funciones propias {sen X,,x}, n = 1,2,3, ,, en que las X se definen mediante tan X = -Xlh, es ortogonal con respecto a la función pesop(x) = 1 en el intervalo [0, 11. Con f(x) = 1 en la ecuación (8), sección 10.1, podemos escribir A, = Ji sen A,x dx (5) J$en2A,x dx Para evaluar la norma cuadrada de cada función propia recurrimos a una identidad trigonométrica: 1 0sen2h,x1 dx = i 1: [l - cos 2h,x] dx = i 1 - &sen2A, . n (6) Con sen 2X, = 2 sen X, cos X, y X, cos X, = -h sen X,, simplificamos la ecuación (6) a la forma I isen’h.x También dx = $ [h + cos2A,,]. 1 1 senA,xdx = - h cos A,x o = + [l - cos An]. 0 n ” 1 En consecuencia, la ecuación (5) se transforma en A = 2h(l - cos An). ” A.(h + cos’h,) Por último, una solucih del problema de valor en la frontera es u(x, t) = 2h 2 A ~hF+c~~s~ ) e-kA~‘senA,x. n=l n n mm Empleo de la serie de Fourier generalizada El ángulo de torcimiento 13(x, t) de un eje de longitud unitaria que vibra torsionalmente se determina a partir de n Sección ll .7 511 Emplea de series de Fourier generalizadas gp, O<x<l, fqo, 0 = 0, $1 _ =o, qx, 0) = x, $1 _ f-O t>O t>O X-l =o, OCx<l. La condición en la frontera, en x = 1, se llama condición de extremo libre. Determine @(x, t). FIGURA 11.17 SOLUCIÓN Con 8 = XT tenemos que X” + x2x= 0, X(x) = CI cos Xx + c2 sen Xx T” + a2X2T = 0 > entonces y T(t) = c3 cos aXt + c4 sen aXt. Las condiciones en la fronteraX(0) = 0 y X’( 1) = 0 dan CI = 0 y c2 cos X = 0, respectivamente. Como la función coseno es cero en múltiplos impares de 7r/2, los valores propios del problema son X = (2n - l)(d2), n = 1,2,3, . . . . La condición inicial T’ (0) da c4 = 0, de modo que Para satisfacer la condición inicial restante, formamos e(x, t) = i A .cosa(+$) at sen(y) 7rx. ?l=l (7) Cuando t = 0 se debe tener, para 0 < x < 1, nx. Al igual que en el ejemplo 1, el conjunto de funciones propias { sen(y),},.= 3 1,2, ’ . >es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en el intervalo [0, 11. La serie ;,4. sen(v) XX no es una serie de Fourier de senos porque el argumento del seno no tl=l es múltiplo entero de nx/L (L = 1, en este caso). De nuevo, la serie es una serie de Fourier 512 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERNADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA generalizada; por consiguiente, de acuerdo con (8) de la sección 10.11, los coeficientes de la ecuación (7) son Al realizar las dos integraciones llegamos a An = S(-l)n+l - 1)Za2’ (Zn Entonces, el ángulo de torcimiento es Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apdndice de respuestas. 1. En el ejemplo 1, indique-la temperatura U(X, t) cuando se aisla el extremo izquierdo de la varilla. 2 . Resuelva el problema de valor en la frontera &Qu ax2 t>O O<X<l, Z' u(0, t) = 0, g1 _ = x-l u(x,O)=f(x), -h(u(l,t)-uo), h>O, t>O O<x<l. 3. Proporcione la temperatura de estado estable en una placa rectangular cuyas condiciones en la frontera son u(0, y) = 0, g _ = -hu(a, y), O<y<b u(x, 0) = 0, u(x, b) = f(x), O<x<a. x-a 4. Resuelva el problema de valor en la ffontera * $+Lo, aY2 U(O,Y) = uo> au aY = y=o O<y<l, x>o lím u(x, y) = 0, x-+m = -hu(x, l), O<y<l h > 0, x > 0. Sección ll .7 Empleo de series de Fourier genemlizados 5 . Encuentre la temperatura u(x, t) en una varilla de longitud L si la temperatura inicial es el extremo x = 0 se mantiene a la temperatura 0 y el extremo x = L está aislado. 513 f, 6. Resuelva el problema de valor en la frontera .*-t = 2’ a2u ax2 O-=x-=L u(0, t) = 0, EaU =F,, ax x=L u(x, 0) = 0, $y _ = 0, t>O t>O O<x-=L. I-O La solución u(x, t) representa el desplazamiento longitudinal de una barra elástica vibratoria anclada en su extremo izquierdo y sometida a una fuerza constante de magnitud FO en su extremo derecho (Fig. ll. 10). E es una constante que se llama módulo de elasticidad. 7. Resuelva el problema de valor en la frontera $+-=o, aY2 au ax x=o = 0, u(x, 0) = 0, O<x<l, O<y<l u(l,y)=uo, O<y<l au 0 <x <‘l. ay 1y=l co 8. La temperatura inicial en una varilla de 4on dos extremos, x = 0 y x = 1, que pasa al cero Demuestre que ’ es f(x). Hay flujo de calor en sus tenido a la temperatura constante u(x, t) = i A,e- kA,5( A,, cos AJ + h sen A,x), n=l en que An = (A,2 + ;h + h2) ylasX,,n=l,2,3 ;fw(h. cosA,x+hsenA,x)dx ,...., son las raíces positivas consecutivas de tan X = 2xhl(X2 - h’). 9. Una viga en voladizo (cantilíver) está empotrada en su extremo izquierdo (x = 0) y libre en su extremo derecho (x = l), que vibra (Fig. ll. 18). El desplazamiento transversal u(x, t) de la viga se define con el problema de valor en la frontera FIGURA 11.18 514 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DEVALOR EN IA FRONTERA $+Z=o, u(0, t) = 0, a2u 2 X-l = 0, u(x, 0) = f(x), O<x<l, t>O au z x5o = 0, a3u o se=' X-l $jE, = g(x), t>O t>O x > 0. a) Con la constante de separación A4 demuestre que los valores propios del problema se determinan mediante la ecuación cos X cosh X = -1. b) Con una calculadora o computadora dé aproximaciones a los dos primeros valores propios positivos. 10. a) Deduzca una ecuación que defina los valores propios cuando los extremos de la viga del problema 9 están empotrados en x = 0 y x = 1. b) Con una calculadora o computadora dé aproximaciones a los dos primeros valores propios positivos. PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA CON SERIES DE FOURIER CON DOS VARIABLES w Ecuación de transmisión de calor en dos dimensiones n W Serie de senos con dos variables Ecuación de onda en dos dimensiones Supóngase que la región rectangular en la figura ll. 19 es una placa delgada en que la temperatura u es función del tiempo t y de la posición (x, y). Entonces, en las condiciones adecuadas, se puede demostrar que u(x, y, t) satisface la ecuación en dos dimensiones del calor (1) FIGURA 11.19 Por otro lado, la figura ll .20 representa un marco rectangular sobre el cual se ha estirado una membrana delgada y flexible (un tambor rectangular). Si la membrana se pone en movimiento, su desplazamiento U, medido a partir del plano xy (vibraciones transversales), tambien es Sección ll .8 Problemas de valor en la frontera con series de fourier con dos variables 515 FIGURA ll .20 función del tiempo t y de la posición (x, y). Cuando las vibraciones son pequefias, amortiguadas, u(x, y, t) satisface la ecuación en dos dimensiones de onda libres y no (2) Como se verá en el proximo ejemplo, las soluciones de problemas de valor en la frontera donde intervienen ecuaciones como la (1) y (2), con el método de separación de variables, conducen a la noción de series de Fourier con dos variables. Ecuación del calor en dos dimensiones l Dé la temperatura u(x, y, r) de la placa que muestra la figura ll. 19, si la temperatura inicial esf(x, y) en toda ella y si los bordes se mantienen a la temperatura cero. SOLUCIÓN Debemosresolver k(~+$)=$, O<x<b, O<y<c, t>O sujeta a u(b,y,t)=O, O<y<c, u(x, 0, t) = 0, u(x, c, t) = 0, 0 c x < b, u(x,y,O)=f(x,y), O<x<b, O<y<c. u(O, y, t) = 0, t>O t >0 Para separar las variables en la ecuación en derivadas parciales contra variables independientes trataremos de hallar una solución producto, ‘u(x, y, t) =X(x)Y(y)T(t). Al sustituir esta hipótesis se obtiene k(X”YT + XY”T) = XYT’ X” -= -y,l+T’ X Y kT’ 0 sea (3) Dado que el lado izquierdo de la.ecuación (3) sólo depende de x, y el derecho nada más de y y t, debemos igualar ambos lados a una constante: -X2. X” -= X (4) 516 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA y así x”+ PX= 0 Y” -T’+p. Y-kT (5) Por las mismas razones, si ensayamos otra constante de separación -p2 en la ecuación (5), entonces Y” -=2 Y p Y”+p2Y=o Y y T’ + k(h* + p2)T = 0. (6) Las soluciones de ,las ecuaciones en (4) y en (6) son, respectivamente, (7) X(x) = cl cos hx + c2 sen Ax Y(y) = q cos py + c4 sen.py T(t) = C5e-~@z+~z)’ (8) (9) Pero las condiciones en la frontera @,.Y, 0 = 0, Q,Y, t) = 0 1 u(x, 0, t) = 0 , u(x, c, t ) = 0 implican 1 X(O) = 0, X(b) = 0 Y(O) = 0 , Y(c) = 0 . Al aplicar esas,condiciones a las ecuaciones (7) y (8) se obtiene cl = 0, cg = 0 y c2 sen Xb = 0, c4 sen PC = 0. Estas últimas implican a su vez A=y, m=l,2,3 p=-, ,...; C n = 1,2,3, . . . . Así, una solución producto de la ecuación del calor en dos dimensiones que satisface las condiciones en la frontera, es u,,(x, y, t) = A,,~-k[(m~~b)‘+(“~~c)*ltsen y x seny y, en que A,, es una constante arbitraria. Puesto que tenemos dos conjuntos independientes de valores propios, ensayaremos el principio de superposición en forma de una suma doble u(x, y, t) = i i A,,e-k[(mnib)‘i(nnic)21~ sin y xsen !!f y. m=l n=l Ahora bien, en t = 0 se debe cumplir u(x,y, 0) = f(x,y) = 2 2 A,sen~xsen~y. m=l n=l (11) Los coeficientes A,, se pueden hallar multiplicando la suma doble (ll) por el producto sen (mnx/b)sen(mry/c) e integrando en el rectánculo 0 I x I b, 0 < y L c. Entonces Sección ll .8 Problemas de valor en la frontera con series de fourier con dos variables 517 Por lo tanto, la solución del problema de valor en la frontera consiste en la ecuación (l), en que A,, se define con la ecuación (12). m La serie (ll) con los coeficientes (12) se llama serie de senos con dos variables o doble serie de senos (véase el problema 52 de los ejercicios 10.3). Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. Resuelva la ecuación del calor (1) sujeta a las condiciones que se mencionan en los problemas 1 y2. 2!?! l 1 . u(0, y , t) = 0 , u(n, y , t) = 0 u(x, 0 , t) = 0 , u(x, ?7., t) = 0 4% JJ, 0) = uo ax x=o dU dy y=o 0 au = =o ’ dx !?!! 0 x=, ’ ay y=~ = =o U(X,Y, 0) = XY [Sugerencia: Vea el problema 53, ejercicios 10.3.1 En los problemas 3 y 4 resuelva la ecuación de onda (2) sujeta a las condiciones respectivas. La temperatura u(x, y, z) de estado estable del paralelepipedo rectangular de la figura 11.21 satisface la ecuacih de Laplace en tres dimensiones: a2u a2u a2u s+-+-=o. aY2 a2* (13) 5. Resuelva la ecuación (13) de Laplace. La cara superior (z = c) del paralelepípedo se mantiene a la temperaturaf(x, y) y las caras restwtes a la temperatura cero. 6. Resuelva la ecuacih (13) de Laplace. La cara inferior (z = 0) del paralelepípedo se mantiene a la temperaturaf(x, y) y las caras restantes, a la temperatura cero. FIGURA ll .21 518 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERNADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas. 1. Mediante la separación de variables encuentre soluciones producto de a2u -=u axay ' 2. Use la separación de variables para hallar soluciones producto de iEs posible elegir una constante de separación tal que X y Y sean, a la vez, funciones oscilatorias? 3. Dé una solución de estado estable $J(x) del problema de valor en la frontera k$$=$, 449=uo> u(x,O)=O, O<x<?r, t.>O -g,;,= u(?r,t) - u1, t>O O<x<n. 4. Proporcione una interpretación física de las condiciones en la frontera del problema 3. 5. Cuando t = 0, una cuerda de longitud unitaria se encuentra tensa sobre el eje de las x positivas. Sus extremos están asegurados en x = 0 y x = 1 cuando t > 0. Halle el desplazamiento u(x, t) si la velocidad inicial es la que muestra la figura ll .22. 6. La ecuación en derivadas parciales 2 Le+x2=!$ es una forma de la ecuacíón de onda cuando se aplica a una cuerda una fuerza vertical externa, proporcional al cuadrado de la distancia horizontal al extremo izquierdo. La cuerda está asegurada en x = 0, una unidad arriba del eje x, y en x = 1, en el eje x, cuando t > 0. Halle el desplazamiento u(x, t) si la cuerda parte del reposo desde un desplazamientof(x). Sección I I .8 Problemas de valor en lo frontem FIGURA T con series de fourier con dos variables 519 1.23 7 . Dé la temperatura u(x, y) de estado estable en la placa cuadrada de la figura ll .23. 8 . Indique la temperatura de estado estable u(x, r) en la placa semiinfinita de la figura 11.24. Y t aislado k u=so 0 aislado FIGURA ll .24 9. Resuelva el problema 8 cuando las fronteras y = 0 y y = rr se mantienen siempre a la temperatura cero. 10. Halle la temperatura u(x, t) en la placa infinita cuyo ancho es 2L (Fig. 11.25). La temperatura inicial en toda la placa es UO. [Sugerencia: u(x, 0) = UO, -L < x < L es función par de x.] ll. Resuelva el problema de valor en la frontera a%l au g=x’ o<x<rr, t>O u(0, t) = 0, u(n,t) =o, t>O u(x, 0) = senx, 0 < x < IT. FIGURA ll .25 520 CAPíTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA 12. Resuelva el problema de valor en la frontera ks + sen2nx = 2, O<x<l, t>O u(l,t)=O, t>O =senflx, O<x<l. u(0, t) = 0, u(x,O) 13. Halle una solución formal en serie para el problema at.4 a*u + 2 $+.2áx=ã;T $.u, u(0, t) = 0, u(a, t) = 0, au - 0 , at r=o o<x<lT, t>O t>0 O<x<n. No trate de evaluar los coeficientes de la serie. 14. La concentración c(x, t) de una sustancia que se difunde y a la vez es arrastrada por corrientes de conveccih en el seno de un medio satisface la ecuación diferencial a*c k- ax2 h- ac ax ac-=h constante. at’ Resuelva esta ecuación, sujeta a c(0, t) = 0, c(l,t) =o, t>O c(x,O) = co, o<x< 1, en donde CO es una constante. FUNCIÓN GAMMA La definición de Euler de la función gamma, es r(x) = jr tx-‘e-’ dt. (1) Para que la integral converja se requiere que x - 1 > -1, o x > 0. La relacion de recurrencia T(x + 1) = XT(X), (2) (Sec. 6.4), se puede obtener de (1) con integración por partes. Cuando x = 1, r( 1) = j: eTt dt = 1 y la ecuación (2) da r(2)= ir(i)= i ry3)=2r(2)=2. i r(4)=3r(3)=3 .2. i etcétera. Así pues, cuando n es un entero positivo, r(n + i)=d. Por este motivo, la función gamma suele denominarse función factorial generalizada. Aunque la forma integral (1) no converge cuando x < 0, es posible demostrar, con defmiciones alternativas, que la función gamma está definida para todos los números reales y complejos, excepto x = -n, n = 0, 1, 2, . . .; en consecuencia, la ecuación (2) sólo es válida, cuando x # -n. Al considerarla como función de una variable real, x, la gráfica de I’(x) corresponde a la figura 1.1. Obsérvese que los enteros no positivos corresponden a asíntotas verticales de la gráfica. En los problemas 27 a 33 de los ejercicios 6.4 hemos aprovechado que I’(i) = & Este resultado se puede obtener partiendo de (1) e igualando x = t: r 3 = jy flnewf dt. 0 Cuando sé define t = u2, la ecuación (3) se puede expresar en la forma I’(i) = 2 ame-‘* du. Pero I 0 ewu2 du = jm eFU dv, 0 AP-1 AP-2 APÉNDICE I FUNCl6N GAMMA w i t l I I I I I I I I I I I I I I I Ipy;. l I I I I I I I I I I I I I I I X I I I I l I I I I I l I l Ií-l/i l I l l FIGURA 1.1 y entonces Al cambiar a coordenadas polares, u = r cos 8, w = r sen 8 permiten evaluar la integral doble: Por consiguiente, 0 sea (4) Valor de r(- i) Evalúe r(- i). SOLUCIÓN De acuerdo con las ecuaciones (2) y (4), para x = - i, r(i)=-+(-i} Por lo tanto r(-+)=-x(f)=-2G. n ApMice Las respuestas a los problemas 1. I Función gamma AI’-3 de número impar comienzan en la página R-24. Evalúe 8) r(5) b) r(7) cl rc- ;> 4 r(- f> 2. Aplique (1) y el hecho de que r(f) = 0.92 para evaluar j m x5 eeX dw. 0 [Sugerencia: sea t = x’.] 3. Aplique (1) y el hecho de que r(:) = 0.89 para evaluar j-x” eeX u!x. 4. Evalúe s,’ x3 ln i 3 dx. [Sugerencia: sea t = -In x.] 1 1 5. Use el hecho de que T(x) > ji r”’ e-’ dt para demostrar que T(x) no es acotada cuando x + O+. 0 6 . Aplique (1) para deducir (2) cuando x > 0. II.1 Definiciones y teoría básicas Si una matriz tiene m renglones y n columnas, su tamaño es de m por n (se escribe m x n). Una matriz de n x n se llama matriz cuadrada de orden n. El término aij representa el elemento del i-ésimo renglón y la j-ésima columna de una matriz A de m x n; con ello, una matriz A de m x n se escribe en la forma A = (UU), x n, o simplemente A = (a& Una matriz de 1 x 1 es sólo una constante o función. h x= ilbjzl =(b ) Matriz columna Una matriz columna X es cualquier matiz can n rcq$mtix3 y una columna: .il nxi- i lL AP-4 Apéndice II Introducción a las matrices AP..5 Una matriz columna se llama también vector columna o simplemente vector. Al respecto es de notar que para toda matriz A, el producto kA es igual al producto Ak; por ejemplo, En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementos correspondientes. Suma de matrices La suma de Ap-6 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES Matriz expresada en forma de suma de matrices columna La matriz única se puede expresar como la suma de tres vectores columna: / La diferencia de dos matrices de m x n se define en la forma acostumbrada: A - B = A + (-B), en donde -B = (-l)B. Obsérvese con detenimiento la definici6n 11.6, en donde sc510 se define el producto AB = C cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de renglones en B. El tamaño del producto se puede determinar con Amxn Bnxp = C lllxp. t 4 El lector también reconocerá que los elementos de, por ejemplo, el i-ésimo renglón de la matriz producto AB se forman aplicando la definición en componentes del producto interior, o producto punto, del i-ésimo renglón de A por cada una de las columnas de B. Apéndice II Introducción a las matrices AP-7 Multiplicación de matrices a)Si*=(: z)yB=(S -i), 4.(-2)+7.8 3.(-2)+5.8 3.9+5.6 )( = 78 48 57 34 1 .(-3)+0.0 = -4 2.(-3)+7.0 6 5.(-3)+8.0 lí-4 5.(++8,2 -3 . -6 -15 1 n En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa; esto es, AB #BA. En la parte 30 53 a) del ejemplo 4 obsérvese que BA = 48 82 , mientras que en la parte b) el producto BA no t 1 está definido porque en la definición II.6 se pide que la primera matriz, en este caso B, tenga el mismo numero de columnas que renglones tenga la segunda. Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna. Multiplicación de matrices Identidad multiplicativa Para un entero positivo n, la matriz de n x n 1= I: ;1 s0 1 0 0 1 000 “. 0 0i ... .” es la matriz identidad multiplicativa. Según la Definición 11.6, para toda matriz A de n x n, AI=IA=A. También se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna de n x 1, entonces IX = X. AP-8 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES Matriz cero Una matriz formada sólo por elementos cero se llama matriz cero y se representa con 0; por ejemplo, y así sucesivamente. Si A y 0 son matrices de m x n, entonces A+O=O+A=A. Propiedad asociativa Aunque no lo demostraremos, la multiplicación matricial es asociativa. Si A es una matriz de m xp, B una matriz dep x r y C una matriz de r x n, entonces A(BC) = (AB)C es una matriz de m x n. Propiedad distributiva Si todos los productos están definidos, la multiplicación es distributiva respecto a la suma: A(B+C)=AB+AC y (B+C)A=BA+CA. Determinante de una matriz Con toda matriz cuadrada A de constantes, hay un número asociado llamado determinante de la matriz que se representa mediante det A. Determinante de una matriz cuadrada , se desarrolla det A por cofactores del primer renglón: det A = 3 6 2 2 5 1 -1 2 4 =3(20-2)-6(8+ 1)+2(4+5)= 18 Es posible demostrar que un determinante, det A, se puede desarrollar por cofactores usando cualquier renglón o columna. Si det A tiene un renglón (o columna) con muchos elementos cero, por nuestra comodidad debemos desarrollar ese determinante por ese renglón (o columna). Apéndice II Introducción a las matrices AP-9 Transpuesta de una matriz b) Si X = 05 3 0 , entonces XT= ( 5 0 3). Sea A Una matriz de n x n. Si det A ñe 0, $e dice que A es IBO sUrgulw, A es singdw. n Si det A = 0, entcmces El siguiente teorema especifica una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa multiplicativa. Ap-10 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES El teorema que sigue describe un método para hallar la inversa multiplicativa de una matriz no singular. Cada Cu en el teorema II.2 es tan sólo el cofactor (o menor con signo), del elemento aij correspondiente en A. Obsérvese que en la fórmula (2) se utiliza la transpuesta. En lo que sigue, obsérvese que en el caso de una matriz no singular de 2 x 2 Para una matriz no singular de 3 x 3, C13= l a21 &2 a31 a32 l ’ etcétera. Trasponemos y llegamos a Cl1 C21 C 3 1 Cl2 C22 Cl3 C23 C 3 3 C32 Inverso de una matriz de 2 x 2 Determine la inversa multiplicativa de A = SOLUCIÓN Como det A = 10 - 8 = 2 # 0, A es no singular.; por el teorema II. 1, A-’ existe. De acuerdo con (3), A-l=+ ;)=(-; -;). (4) Aphdice II Intraduccibn a las matrices 2 No toda matriz cuadrada tiene inversa multinlicativa. La matriz A = f , porque det A = 0; por consiguiente, A-’ no existe: m AP-11 2 2 I es singular Inversa de una matriz de 3 x 3 . Puesto que det A = 12 # 0, la matriz dada es no singular. Los cofactores coSOLUCIÓN rrespondientes a los elementos de cada renglón de det A son De acuerdo con (4), Pedimos al lector que compruebe que A-IA = AA-’ = 1. n La fórmula (2) presenta dificultades obvias cuando las matrices no singulares son mayores de 3 x 3; por ejemplo, para aplicarla auna matriz de 4 x 4, necesitaríamos calcular dieciséis determinantes de 3 x 3.* Cuando una matriz es grande, hay métodos mas eficientes para hallar A-‘. El interesado puede consultar cualquier libro de álgebra lineal. Como nuestra meta es aplicar el concepto de una .matriz a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, necesitaremos estas definiciones: *Hablan& con propiedad, un determinante es un número, pero a veces conviene manejarlo como si fuera un arreglo. /ll’-12 APÉNDICE II INTRODUCCIbN A LAS MATRICES : p ,(,2:s2;,: Intqral de una matríz de hrnciones !, r&:l 3 ‘S1S,:!‘i( (,i‘r ‘, S/I : > i.“~.:>: r;,:‘, / :,‘,’ Si A(f) = (u&))~ x n es una matriz cuyos elementos son funciones continuas en un intervale~~ que contiene a t y a te, entonces Para derivar o integrar una matriz de funciones, tan solo se deriva o integra cada uno de sus elementos. La derivada de una matriz también se representa con A’(t). Derivada o integral de una matriz Si d ; sen 2t sen2t x(t) =i 2 j , 1 I 8t- J Y entonces d 3t dte $8*-1) t X(s) ds = I0 X’(t) = ,ó sen 2s ds I,’ e3’ ds :,‘(%- 1)ds II.2 Eliminaciones de Gauss y de Gauss-Jordan Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de n ecuaciones lineales con n incógnitas UllXl + ap$c2 + . . . + alfin = bl u2lxl + a22x2 + +. . + az,,x,, = b2 (5) u,,lxl + a,,2x2 + . . . + a,,,,x,, = b,. Si A representa la matriz de los coeficientes en (5), sabemos que se puede usar la regla de Cramer para resolver el sistema, siempre que det A # 0. Sin embargo, para seguir esta regla se necesita un trabajo hercúleo si A es mayor de 3 x 3. El procedimiento que describiremos tiene la ventaja de no solo ser un método eficiente para manejar sistemas grandes, sino tambien un método para resolver sistemas consistentes como las ecuaciones (5) en que det A = 0 y un método para resolver m ecuaciones lineales con n incógnitas. Apéndice II Introducción a las matrices LU’-13 Si B es la matriz columna de las bi, i = 1,2, . . ., n, La matriz aumentada de (5) se expresa como (A 1B). Operaciones elementales de renglón Se sabe que podemos transformar un sistema algebraico de ecuaciones en un sistema equivalente (es decir, un sistema que tiene la misma solución) multiplicando una ecuación por una constante distinta de cero, intercambiando el orden de dos ecuaciones cualesquiera del sistema y sumando un múltiplo constante de una ecuación a otra de las ecuaciones. A su vez, estas operaciones sobre un sistema de ecuaciones son equivalentes a las operaciones elementales de renglón en una matriz aumentada: i ) Multiplicación de un renglón por una constante distinta de cero ii) Intercambio de dos renglones cualesquiera iii) Suma de un múltiplo constante, distinto de cero, de un renglón a cualquier otro renglón Métodos de eliminación Para resolver un sistema como el (5) con una matriz aumentada, se emplea la eliminación de Gauss o bien el método de eliminación de Gauss-Jordan. Con el primero se efectúa una sucesión de operaciones elementales de renglón hasta llegar a una matriz aumentada que tenga la forma de renglón-escalón: i) El primer elemento distinto de cero en un renglón no cero es 1 ii) En los renglones consecutivos distintos de cero, el primer elemento 1 en el renglon inferior aparece a la derecha del primer 1 en el renglón superior iii) Los renglones formados únicamente por ceros están en la parte inferior de la matriz En el método de Gauss-Jordan, se continúa con las operaciones de renglón hasta obtener una matriz aumentada que esté en la forma reducida de renglón-escalón. Una matriz reducida de renglón-escalón tiene las mismas tres propiedades de arriba, además de la siguiente: iv) Una columna que contiene un primer elemento 1 tiene ceros en todos sus demás lugares Forma de renglón-escalón y reducida de renghescah a) Las matrices aumentadas 2 -1 1 0 Y (001-62 0 0 0 0 1 112 4 M-14 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES están en su forma renglón-escalón. El lector debe comprobar que se satisfacen los tres criterios. b) Las matrices aumentadas están en su forma reducida de renglón-escalón. Obsérvese que los elementos restantes son cero en las columnas que tienen un 1 como primer elemento. n En la eliminacion de Gauss nos detenemos una vez obtenida una matriz aumentada en su forma rengón-escalón. En otras palabras, al emplear operaciones de renglón en distintos órdenes podemos llegar a formas distintas de renglón-escalón; por consiguiente, para este metodo se requiere restituir. En la eliminación de Gauss-Jordan uno se detiene cuando ha llegado ‘a la matriz aumentada en su forma reducida de renglón-escalón. Cualquier orden de operaciones de renglón conduce a la misma matriz aumentada en su forma reducida de renglón-escalón. Para este método no se necesita restitución; la solución del sistema se conocerá por inspección de la matriz final. En términos de las ecuaciones del sistema original, nuestra meta en ambos metodos es igualar a 1 el coeficiente de XI en la primera ecuacion,* para luego emplear múltiplos de esa ecuación y eliminar a xt de las demás. El proceso se repite con las demás variables. Para mantener el registro de las operaciones de renglón que realizaron a cabo en una matriz aumentada, se utilizará la siguiente notación: Simbolo Significado R1, Intercambio de los renglones i yj CRi Multiplicación del i-6simo renglón por la wnstante CRi + Rj Multiplicación del i-6simo renglón por c y suma del resultado al j-6simo renglón c, distinta de cero Solución por eliminación Resuelva 2~1+ 6x2 + ~3 = 7 x1 + 2x2 - x3 = -1 5x1+7x2-4x3=9 empleando a) eliminación de Gauss y b) eliminaci&r de Gauss-Jordan SOUJCl6N a) Efectuamos operaciones de renglón en la matriz aumentada del sistema para obtener *Siempre se pueden intercambiar ecuaciones, de tal modo que la primera ecuación contenga a la variable xI. Apéndice II Introducción a las matrices AP-15 La última matriz está en su forma renglón-escalón y representa al sistema Xl + 2x2 - x3 = -1 3 9 x2 + - x3 = 2 2 x3 = 5. Al sustituir xg = 5 en la segunda ecuación se obtiene x2 = -3. Al sustituir ambos valores en la primera ecuación se obtiene XI = 10. b) Comenzamos con la última de las matrices anteriores. Puesto que los primeros elementos en el segundo y tercer renglón son 1, debemos hacer que los elementos restantes en las columnas dos y tres sean cero: La última matriz ya se encuentra en su forma reducida de renglón-escalón. Por el significado de esta matriz en términos de las ecuaciones que representa, se ve que la solución del sistema es XI = 10, x2 = - 3 y x3 = 5. ’ 0 m Resuelva Eliminación de Gauss-Jordan 9 x+3y-2z=-7 4x+ y+32=5 2x - 5y + 72 SOLUCIÓN I = 19. Resolveremos este sistema con la eliminación de Gauss-Jordan: AP-16 APÉNDICE II INTRODUCCIdN A LAS MATRICES En este caso, la ultima matriz en su forma reducida de renglón-escalón implica que el sistema original de tres ecuaciones con tres incógnitas equivale a uno de dos ecuaciones con tres incógnitas. Dado que sólo z es común a ambas ecuaciones (los renglones no cero), podremos asignarle valores arbitrarios. Si hacemos que z = t, donde r representa cualquier mímero real, vemos que el sistema tiene una cantidad inñnita de soluciones: x = 2 - t, y = -3 + t, z = t. Geom&ricamente, éstas son las ecuaciones param&ricas de la línea de intersección de los planosx+Oy+z=2yOx+y-z=-3. n II.3 El problema de los valores propios La eliminación de Gauss-Jordan sirve para hallar los vectores propios (eigenvectores) de una matriz cuadrada. vabres propios y veccilr8;r prapios Sea A una matriz de n x n. Se dice que un número X es un vaior propio de A si existe un, vector solución K, no cero, del sistema lineal El termino híbrido eigenvulor se usa como traduccion de la palabra alemana eigenwerf que significa ‘Lvalor propio.” A los valores propios y vectores propios se les llama también valores característicos y vectores característicos, respectivamente. Vector propio de una matriz Compruebe que K = SOLUCIÓN es un vector propio de la matriz Al multiplicar AK valor propio A K = [-; -; -;)[-i)= F]= (-2) [-i)= (-2jK. De acuerdo con la definición II.3 y lo que acabamos de decir, X = -2 es un valor propio de A. n Apéndice II Introducción a las matrices AP-17 Si aplicamos las propiedades del álgebra de matrices, podemos expresar la ecuación (6) en la forma alternativa (A - XI)K = 0, (7) en que 1 es la identidad multiplicativa. Si definimos la ecuación (7) equivale a q2kz + . . . + alnk,, = 0 azlk, + (~22 - X)k2 +. . . + u2,,k,, = 0 (~1 - WI + (8) anlh + u,,2k2 + . . + (un,, - X)k, = 0. Aunque una solución obvia de (8) es kl = 0, k2 = 0, . . ., k, = 0, solo nos interesan las soluciones no-triviales. Se sabe que un sistema homogeneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas [esto es,bi=O, i= 1,2,. . ., n en (5)] tiene una solución no trivial si y sólo si, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero. Así, para hallar una solución K distinta de cero de la ecuación (7) se debe cumplir det(A - XI) = 0. (9) Al examinar (8) se ve que el desarrollo del det(A - XI) por cofactores da un polinomio de grado n en X. La ecuación (9) se llama ecuación característica de A. Así, los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica. Para hallar un vector propio que corresponda al valor propio X, se resuelve el sistema de ecuaciones (A - XI) K = 0, aplicando la eliminación de Gauss-Jordan a la matriz aumentada (A - XI ] 0). Valores propios y vectores propios Determine los valores y vectores propios de A = 1 1 1 2 1 6 -1 0 . -1 -2 -1 SOLUCIÓN Para desarrollar el determinante y formar la ecuación característica usamos los cofactores del segundo renglón: det(A - XI) = l-X 6 -1 2 -l-X -2 1 0 -1 -x =-x3--x2+ 12x=o. Puesto que -X3 - X2 + 12X = -X(X + 4)(X - 3) = 0, los valores propios son Xt = 0, XZ = -4 y Xs = 3. Para hallar los vectores propios debemos reducir tres veces (A - XI ( 0), lo cual corresponde a los tres valores propios distintos. m-18 APÉNDICE II INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES Para XI = 0, < 4 Entonces, kl = - $3 y k2 = - $3. Si k3 es -13, obtenemos el vector propio* Si X2 = 4, (A+,,,,=[-; 2::: 1 I; ; i] -i -i $: k !]zl ; ; J ; -4R::: -; 1 i] ; Bi 0 0 0 esto es, kl = -k3 y k2 = 2k3. Con la opción k3 = 1 se obtiene el segundo vector propio -1 K2= 2 . 1 (1 Por último, cuando XJ = 3, la eliminación de Gauss-Jordan da (&3I,())f I; (j ~]“!?%!t!!.~ 1 i !] y así k1 = -k3 y k2 = - ik3. La opción k3 = -2 conduce al tercer vector propio: (1 2 K3= 3 -2 . *Naturalmente, k3 pudo ser cualquier número distinto de cero; en otras palabras, un múltiplo constante distinto de cero de un vector propio tambih es un vector propio. Apéndice II Introducción a las matrices AP-19 Cuando una matriz A de n x n tiene n valores propios distintos, Xr , Xz, . . . , &,, se demuestra que se puede determinar un conjunto de n vectores propios independientes* Kl, K2, . . ., &; sin embargo, cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas, quizá no sea posible hallar n vectores propios de A linealmente independientes. Valores propios y vectores propios Determine los valores y vectores propios de A = -1 7 . “‘)l I SOLUCIÓN Partimos de la ecuación característica det(A-XI)= 131: 7!x 1 =(X-5)2=0 y vemos que Xr = Xz = 5 es un valor propio de multiplicidad dos. En el caso de una matriz de 2 x 2, no se necesita la eliminación de Gauss-Jordan. Para determinar el o los vectores propios que corresponden a Xt = 5, recurriremos al sistema (A - 5110), en su forma equivalente -2k, + 4k2 = 0 -k, + 2k2 = 0. De aquí se deduce que kl = 2kz. Así, si escogemos k2 = 1, llegamos a un solo vector propio: Valores propios y vectores propios . SOLUCIÓN La ecuación característica det(A - XI) = 9-x -1 1 1 9-x 1 1 1 9-x =( x-ll)(X-8)2=0 indica que Xt = ll y que X2 = Xs = 8 es un valor propio de multiplicidad dos. Si XI = ll, la eliminación de Gauss-Jordan da *La independencia lineal de los vectores columna se define igual que la de las funciones. AP-20 APÉNDICE Il INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES Por consiguiente, KI = k3 y kz = k3. Si k3 = 1, Cuando X, = 8, En la ecuación kl + k2 + k3 = 0 podemos dar valores arbitrarios a dos de las variables. Si por una parte optamos por kz = 1 y k3 = 0 y, por otra k2 = 0 y k3 = 1, obtenemos dos vectores propios linealmente independientes: Las respuestas a los problemas de ntintero impar comienzan en la págiina R-24. - Il.1 a)A+B Z.SiA=l a)A-B LSiA=(-z b)B-A :]y~=[-i b)B-A b) BA a) AB b) BA a) BC :],determine c) 2(A + B) -i)yB=(-: 2),determine a) AB ,.SiA=(-i c)2A+3B c)A’=AA -i),B=(z b) NBC) d) B2 = BB :)yC=l cl WA) i),determine d) A(B + C) Apéndice 6.SiA=(5 - 6 a) AB b) BA 7),B=[-i)yC=b c) (WC II Introducción a las matrices AP-2 1 5 -i],determine d) (WC 4 7. Si A = í 8 y B = (2 4 5), determine -10 a) ATA 8.SiA=(i a)A+BT !kSiA=(8 a) (AWT ,&SiA=(: a)AT+BT 1 b) BTB c)A+BT i)yB=(-: :),determine b) 2AT - BT c) AT(A - B) l)yB=(-i !:),determine b) BTAT i)yB=(I: ‘l),determine b) (A + B)T En los problemas ll a 14 exprese la suma en forma de una sola matriz columna. En los problemas 15 a 22 seflale si la matriz dada es singular o no singular. Si es no singular, determine A-’ . AP-22 APÉNDICE II INTRODUCCbN A LAS MATRICES En los problemas 23 y 24 demuestre que la matriz dada es no singular para todo valor real de t. Encuentre A-‘(t). 24. A(t) = ‘;; cz ; “;: ;;;; En los problemas 25 a 28 determine dWdt. 26. X = 27.X=2(m:)e2t+4(f)e-3t 29. Sea A(t) = (2: dA a)dt sen 2t + 5 cos 25 28. x = (jzfij) 5-:). Determine b) j2A(t) dt 0 e) AWW c) I,’ A(s) ds c) I,’ AO) dj d) j12 B (0 dj d f) z NOW) g) ,: A(s)B(s) ds - Il.2 En los problemas 3 1 a 38 resuelva el sistema correspondiente de Gauss o por eliminación de Gauss-Jordan. de ecuaciones por elhina&n 31. x+ y-2z=14 2x - y + z = o 6x + 3y + 42 = 1 32.5x-2y+4z=lO x + y + z=9 4.x - 3y + 32 = 1 33. 34.3x+ y + z=4 4x+2y- z=7 x+ y-3z=6 y+ z=-5 5x+4y-162=-10 x - y - 5z=7 35. 2x+ y + z = 4 lOx--2y+2z=-1 6x-2y+4z=8 36. x+ 22 = 8 x+2y-2z=4 2x+5y-6z=6 Apéndice II 37. x1+x2- x1 + x2 + x3-x4=-1 x3 + x4 = 3 XI-x2+ xg-x4=3 4x1 + x2 - 2x3 + x4 = 0 Introducción a las matrices AP-23 38.2x1+ xq+ x 3 = 0 ~1 + 3x2 + X3 = 0 7x1 + x2 + 3x3 = 0 En los problemas 39 y 40 aplique la eliminación de Gauss-Jordan para demostrar que el sistema dado de ecuaciones no tiene solucidn. 39. x + 2y + 42 = 2 2x+4y+3z=l x+2y- z=7 x3 + 3x4 = 1 - 4x4 = 0 XI + 2x2 - 2x3 - x4 = 6 40. Xl + x2 - x2 - x3 4x1 + 7x2 - 7x3 =9 En los problemas 41 a 48 determine los valores propios y los vectores propios de la matriz respectiva. En los problemas 49 y 50 demuestre que cada matriz tiene valores propios complejos. Determine los vectores propios respectivos. 51. Si A(t) es una matriz de 2 x 2 de funciones diferenciables y X(r) es una matriz columna de 2 x 1 de funciones diferenciables, demuestre la regla de la derivada de un producto 2 [A(t)X(t)] = A(t)X’(t) + A’(t)X(t). 52. Demuestre la fórmula (3). [Sugerencia: determine una matriz B = hl h2 para la cual (h h 1 AB = 1. Despeje bll, bl2, b21 y &. A continuación demuestre que BA = 1.1 53. Si A es no singular y AB = AC, demuestre que B = C. 54. Si A y B son no singulares, demuestre que (AB)-’ = Be1 A-l. 55. Sean A y B matrices de n x n. En general, Les (A + B)2 = A2 + 2AB + B2? 1 -$, n es un entero positivo 7. sen kí 8.wskt 9 . sen2kt 10. cos2kf l l . e”’ 12. senh kt s4k2 s s2+k2 2k2 s(s’ + 4k 2, s2+2k2 s(s2 +4P) 1 s-a k S2-2 13. cosh kt 14. senh2kl 15. cosh2k 16. tea? AP-24 s s-k2 2k2 s(.? - 4k2) s2-2k2 ~(2 - 4k2) 1 (s - a)2 Apéndice III Tmnsformadas de Laplace f(t) PI! n + 1, n es un entero positivo 17. t”ed 6 -4 18. ea sen kt 19. eal ws kt 20. eaf senh kt 21. eat wsh kf 22.tsenkI 23.twskt 24.senkt+k.twskt 25..senkt-ktwskr 26. tsenhkt 27. t wsh kt eat - ebt 28. a-b 29. aea - bebt a-b 30.1 - cos kt 31.kt-senkt asenbt-bsenat ab(2 - b2) wsbt-wsat 33. ~3 -b2 32. 34. sen kt senh kt 35. sen kt wsh kz 36. wsktsenhkt 37. cos kt wsh kt k (s-a)2+k2 s-a (s-a)2+k2 k (s-a)‘-k2 s-a (s-a)2-k2 2ks (s2 + k 2)2 s2+k2 (s2 + k 2)2 2kY2 (s2 + k 2)2 22 (2 + k2)2 2kr (2 - k2)2 s2+k2 (2 - k2)2 1 (s - a)(s - b) s (s - a)(s - b) R2 s(2+k2) r( &g + k2) 1 (s2 + J)(s’ +b2) (s2 + &? + b2) 2k2s s4 + 4k4 k@+2k2) s4 + 4k4 k&2k2) s4 + 4k4 S3 s4 + 4k4 AP-25 íQ-26 APÉNDICE III TRANSFORMADAS DE LAPLACE f(r) %f (01 = FO) 38. J&t) 39. ebt + ea’ 7 4h s-a hls-b 4. 2(1 -cos kt) t 41 2( 1- cosh h?) hk+k2 2 t sen at 42.7 43. sen at tcos bt In “d2 arctan 0 f 1 a+b -aF3i3ll--2 S 44. a(t) 1 45. s(t - to) e -Sfo 46. e’ff(t) F(s -a) 47.f(t - a) Q(t - a) e* F(s) 1 a-b +pKt¿3ll--S eS 49. f’“‘(t) s”~(s)-S(n-l)f(0)_..._f(n-l)(O) 50. t “f(t) (-1y $ F(s) 51. (f(T)& - T) dr F(s) G(s) A B C D E La AZT y la supervivencia con SIDA Dinámica de una población de lobos Degeneración de las órbitas de los satélites Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows Modelado de una carrera armamentista AP-27 AP-28 APLICACIÓN AL MODELADO La AZT y la supervivencia con SIDA Universidad de Marvland, Baltimore Counív El autor obtuvo su licenciatura en ksica; matemáticas eiel City College of New York, en 1961, y un doctorado en la Universidad de California, en Berkeley, en 1969. En la actualidad es profesor asociado de física en la Universidad de Maryland, condado de Baltimore. El Dr. Kramer fue Director de Proyecto en las Proyecciones de Casos SIDA/VIH por Maryland, por lo que recibió una beca de la Administración SIDA del Departamento de Salud e Higiene de Maryland en 1990. A partir de 1987 ha publicado muchos artículos acerca del síndrome y ha sido orador invitado sobre el tema de modelado matemático de la epidemia de SIDA en varias conferencias y universidades. Ivan KrameR En este ensayo describiremos el impacto de la cidovudina (que antes se llamaba acidotimidina o AZT, del inglés uzidorhymidine) sobre la supervivencia de quienes desarrollan el síndrome de imnunodeficiencia adquirida (SIDA) por infección con el virus de la imnunodefíciencia humana (VIH o HIV, por human immunodefìciency virus). Como los demás virus, el VIH no es una célula, no tiene metabolismo ni se puede reproducir fuera de una célula viva. Su información genética está en dos cadenas idénticas de ARN (ácido ribonucleico). Para reproducirse, debe emplear el aparato reproductor de la Mula que invade a fin de producir copias exactas m. Lo que hace el VIH es transcribir su ARN pasándolo a ADN (ácido desoxirribonucleico) con una enzima, la transcriptasa inversa, que está presente en el virus. El ADN viral, de doble cadena, emigra al núcleo de la célula invadida y se intercala en el genoma de Bsta, con ayuda de otra enzima viral, la integrasa. Quedan así integrados el ADN vira1 y el ADN celular. Cuando la c6lula invadida recibe un estimulo para reproducirse, el ADN proviral se transcribe y forma ARN viral y se sintetizan nuevas particulas virales. Puesto que la cidovudina inhibe ala transcriptasa inversa del virus e interrumpe la síntesis de la cadena de ADN en el laboratorio, se esperaba que sirviera para desacelerar o detener el avance de la infección con VIH en los humanos. La causa de que el VIH sea tan peligroso es que, además de ser un virus rápidamente mutante, ataca en forma selectiva a los linfocitos ayudantes T (vitales en el sistema inmunológico del anfitrión) porque se enlaza a la molkula CD4 de la superficie celular. Los linfocitos T (células CD4 T o c6lulas T4) son fundamentales en la organización de una defensa contra cualquier infección. Aunque los parknetros inmunológicos del sistema inmunitario en un anfitrión infectado con VIH cambian cuasi estáticamente tras la etapa aguda de la infección, miles de millones de linfocitos T4 y VIH son destruidos y reemplazados cada día durante un periodo de incubación que puede durar dos décadas o más. En un 95% de las personas infectadas con VIH, el sistema inmunitario pierde, gradualmente, su larga batalla contra el virus. La densidad de linfocitos T4 en la sangre periférica de esos pacientes comienza a disminuir desde los niveles normales entre 250 y 2500 células por milímetro cúbico hacia cero hasta un punto decisivo en la infecci6n. El sujeto termina por desarrollar una de las veinte infecciones oportunistas que caracterizan clínicamente al SIDA. En este punto la infección por VIH alcanza su etapa potencialmente fatal. La densidad de linfocitos T4 es un marcador muy común para evaluar el avance de la enfermedad porque, por alguna razón que no se comprende, su disminución es paralela al deterioro del sistema imnunitario infectado por VIH. Es notable que en un 5% de los infectados por el virus, no se muestre signo de deterioro del sistema imnunitario durante los diez primeros tios de la infección; a esas personas se les llama “no progresores a largo plazo” y pueden ser, de hecho, imnunes al desarrollo del SIDA por infección de VIH. En la actualidad se les estudia de manera intensiva. Lo AZT y Ia supervivencia can SIDA AP-29 Para modelar la supervivencia con SIDA, t representa el tiempo transcurrido hasta la aparición del SIDA clínico en un grupo de personas infectadas. Sea S(t) la@acción del grupo que sigue viva en el momento f. Uno de los modelos de supervivencia postula que el SIDA no es una condición fatal para cierta fracción de este grupo -representada por Si- y que llamaremos “fracción inmortal”. Para el resto del grupo, la probabilidad de morir, por unidad de tiempo en el momento t, se supondrá constante, igual a K. Con lo anterior, la fracción de sobrevivientes S(t) para este modelo es una solución de la ecuación diferencial de primer orden 9 = -k(S(t) - Si), en que K debe ser positiva. Si aplicamos la técnica de separación de variables descrita en el capítulo 2, veremos que la solución de la ecuación (1) para la fracción sobreviviente es S(t) = Si + (1 - &)e*‘. Definimos T = k-‘ln 2 y podremos escribir la ecuación (2) en su forma equivalente S(t) = si + (1 - &)2”‘T, (3) en que, en forma análoga a la desintegración radiactiva, T es el tiempo necesario para que muera la mitad de la parte mortal del grupo; esto es, se trata del periodo medio de supervivencia. Vease el problema 8, en los ejercicios 3.1. Al emplear un programa de cuadrados mínimos para ajustar la función de fracción de supervivencia en la ecuación (3) a los datos reales de supervivencia de 159 habitantes de Maryland que desarrollaron el SIDA en 1985, se obtiene un valor de la fracción inmortal Si = 0.0665, y un valor de periodo medio de supervivencia de T = 0.666 afíos. De este modo, solo un 10% de estas personas sobrevivieron tres años con SIDA clfnico.’ La curva de supervivencia con SIDA para 1985 en Maryland es casi idéntica a las de 1983 y 1984. Como en 1985 no se sabía que la cidovudina afecta la infección con VIH y casi no se usaba trapéuticamente antes de 1987, se puede suponer que la supervivencia de los pacientes de SIDA en Maryland en 1985 no fue influida de una manera apreciable por el uso terapéutico del fármaco. El valor pequefío pero distinto de cero de la fraccion inmortal Si obtenido con datos de Maryland, quizá sea una manipulación que usan este y otros estados de la Unión Americana para determinar la supervivencia de sus habitantes. Los residentes con SIDA que cambiaron de nombre y murieron después o fallecieron en el extranjero, cuentan como vivos para el Departamento de Salud e Higiene Mental de Maryland. Por lo anterior, esta claro que el valor de la fracción inmortal Si = 0.0665 (6.65%) es un límite superior del valor real. Los detalles acerca de la superviencia de 1415 personas infectadas por VIH y tratadas con cidovudina, cuyas densidades linfocitarias T4 eran menores que los valores normales, fueron publicados por Easterbrook el al, en 1 993.2 Al tender hacia cero las densidades de sus linfocitos T4, estas personas desarrollan SIDA clinico y comienzan a morir. Los supervivientes a más largo plazo viven cuando la densidad de sus linfocitos T4 es menor de 10 por milímetro cúbico. Si se redefine el tiempo t = 0 como el momento en que la densidad de linfocitos T4 en una persona infectada con VIH baja de 10 por milímetro cúbico, la supervivencia, S(t), de las personas estudiadas por Easterbrook fue 0.470,0.316 y 0.178, luego de pasado 1 año, 1.5 tios y 2 tios, respectivamente. AP-30 APLICACbN AL MODELADO Un ajuste de mínimos cuadrados (3) de la función de fracción de supervivencia, a los datos de Easterbrook de individuos con densidades entre 0 y 10 linfocitos T4 por milímetro cúbico, produce un valor de la fracción inmortal Si = 0 y un periodo medio de vida T = 0.878 afíos [3]. Estos resultados demuestran con claridad que la cidovudina no es eficaz para suspender la replicación en todas las cepas de HIV, porque quienes la reciben terminan por fallecer casi tan pronto como quienes no la tomaron. De hecho, la pequeña diferencia de 2.5 meses entre el periodo de supervivencia de los infectados en 1993 con densidades menores que 10 linfocitos T4/mm3, tratados con cidovudina (T= 0.878 airo) y de los infectados en 1985 que no la tomaron (T = 0.666 año), se pudo deber por completo a mejor hospitalización y a mejoras en el tratamiento de las infecciones oportunistas asociadas con el SIDA durante esos años. Por consiguiente, la capacidad inicial de la cidovudina para prolongar la supervivencia con VIH desaparece en último término y la infección retorna su avance. Se estima que la farmacoterapia con cidovudina extiende la supervivencia de un paciente infectado con VIH cinco o seis meses en promedio.3 Sin embargo, como al final la medicina pierde su eficacia, es cara y produce efectos colaterales adversos, es dificil justificar el uso terapéutico prolongado de este único producto. Por ultimo, al comparar los resultados del modelado de ambos conjuntos de datos, vemos que el valor de la fracción inmortal está dentro de los límites 0 I Si I 0.0665. El porcentaje de personas para las que el SIDA no es fatal es menor que 6.65% y podría ser 0. Referencias 1. Kramer, Iva. 1s AIDS an invariably fatal disease?: Amodel analysis of AIDS survival cures. Mathematical and Computer Modelling 15, núm. 9 (1991): l-l 9. 2. Easterbook, Philipa J., Javad Emami, Graham Moyle, and Brian G. Gazzard. Progressive CD4 ce11 depletion and death in zidovudine-treated patients. JAIDS 6, núm. 8 (1993). 3. Kramer, Iva. The impact of zidovudine (AZT) therapy on the survivability of those with the progressive HIV infection. Mathematical and Computer Modelling, forthcoming. Dinámica de una población de lobos C. J. Knickerbocker St. lawrence University El autor recibió su doctorado en matemáticas en la Universidad Clarkson, en 1984. Actualmente es profesor de matemáticas en la St. Lawrence University, donde también es Rector Asociado de Asuntos de Facultad. El Dr. Knickerbocker es autor de muchos artículos, como (con T. Greene) Computer ana/ysis of Aesfhetic Districts (Análisis en computadora de distritos estéticos) parb la Asociación Psicológica Americana, en 1990. Contribuyó a este libro, en su quinta edición, y a Difkrential Equafions with Boundary-Value Profdems, 3a. edición, ambos por Dermis G. Zill, y también ha sido consultor di editores, empresas de sobare y agencias oficiales. A principios de 1995, después de grandes controversias, debates públicos y una ausencia de 70 años, volvieron los lobos grises al Parque Nacional Yellowstone y a la parte central de Idaho. Desde su exterminación en la década de 1920, se han notado cambios importantes en las poblaciones de otros animales residentes del parque; por ejemplo, la poblacion de coyotes y otros depredadores creció por no tener la competencia del lobo gris, bestia mayor. En consecuencia, con su reintroducción se esperan cambios en las poblaciones de depredadores y presas Dinámica de una población de lobos AP-31 en el ecosistema del Parque de Yellowstone; el éxito del lobo dependerá de cómo influya y sea influido por las demás especies. Como modelo simplificado de la interacción entre alces (A), coyotes (C) y lobos (L) en el ecosistema Yellowstone, se proponen las siguientes ecuaciones: a!A 0.04A -O.O03AC-0.85AL x= $=+06C+ O.OOlAC %=412L+ 0.005AL A(O)= 60.0, C(O)= 2.0, L(t)= 0.015, en que A(t) es la población de alces, C(t) es la de coyotes y L(t) la de lobos. Todas se expresan en miles de cabezas. La variable I representa al tiempo, en tios, a partir de 1995. Como condiciones iniciales tenemos 60 000 alces, 2000 coyotes y 15 lobos en 1995. Antes de dar una solución, el análisis cualitativo del sistema puede proporcionar varias propiedades interesantes de las soluciones; por ejemplo, en la ecuación dC/df = 4.06C + O.OOlAC, vemos que la población de coyotes tiene un efecto negativo sobre su propio crecimiento, porque más coyotes significan más competencia alimenticia. Pero la interacción entre alces y coyotes tiene un impacto positivo, porque así los coyotes encuentran más alimento. Dado que no se puede tener una solución explícita para este problema de valor inicial, necesitamos recurrir a la tecnología para hallar soluciones aproximadas; por ejemplo, a continuación mostramos un listado para determinar soluciones numtkicas con MAPLE: al :~diff(a(t),t)-O.04*a(t)+0.003*a(t)+c(t)+0.85*a(t)*l(t); a2:=diff(c(t),t)+O.O6*c(t)-O.ool*a(t)*c(t); sys:={al,a2,a3}; ic:={a(0)=60.0,c(0)=2.0,1(0)=0.015}; ivp:=sys union ic; H:=dsolve(ivp, { a(t),c(t),l(t)} ,numeric); En este ejemplo vemos que podemos comprender cómo afectan los lobos las poblaciones animales pero, Lsiempre es negativo el impacto? Detengámonos en un amílisis mas detallado de los cambios en la población de alces. Entre 1985 y 1995, dicha población aumento 40% en Yellowstone y muchos estudios indican que al introducir los lobos, podría decrecer hasta en 25%; pero los animales que aquellos cazan son muy jóvenes, muy viejos o con mala salud, lo cual, potencialmente, deja más alimento para los miembros más robustos de la comunidad, lo cual fortalece su población. AP-32 APLICACIÓN AL MODELADO El modelo clásico de depredador y presa -descrito en la sección 3.3- es $ = -a& + alAL $! = bc,,4 - blAL, en donde L(t) es la población de lobos y A(t) la de alces. Todas las constantes son positivas y ao indica la tasa de mortalidad de los lobos, bo la tasa de natalidad de los alces y al, bl las interacciones entre las dos especies. De acuerdo con este modelo, la probabilidad de captura por lobos es igual para cada alce. Entonces, con la hipótesis de que los animales más débiles son los cazados, el sistema clásico de depredador y presa no es adecuado como modelo. Para mejorarlo, definiremos la población total de alces con A(t) = A&) + At@, donde A&) y AF(t) son los alces debiles y fuertes, respectivamente. La nuevà ecuación que describe el cambio de población de lobos será muy parecida a la ecuación clásica. El único cambio es reemplazar a A(t) con A&t) porque los lobos solo cazan los animales más débiles. Así, se obtiene UfL - = -CY& + Cl&?. dt La nueva ecuación para los cambios demográficos de los alces débiles se determina observando que Adt) no solo depende de sí misma, sino tambien de la población de los alces fuertes, AF(t), porque ambas poblaciones compiten en la obtención de alimento. Tambien se debe tener en cuenta la interacción entre los alces débiles y los lobos. Esto da como resultado --$ = wd - PlAdL + &AF. La siguiente ecuación para los cambios en la población de los alces robustos, se parece a la de los cambios para los alces debiles, excepto que no hay contribución por parte de L(t) porque los lobos no cazan alces robustos: De este modo se puede formar con facilidad un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias para esta aplicación. 5 = -QOL + CZIAFL 9 = wd - ,hAdL + PAF Degeneración de las órbitas de los satélites AP-33 En Internet se pueden obtener informes acerca de la reintroducción de lobos en el Parque Yellowstone y en Idaho central; por ejemplo, tenemos al boletín del 23 de noviembre de 1994, del U. S. Fish and Wildlife Service. Se puede llegar a este informe con cualquier mecanismo de búsqueda en la World Wide Web. Referencias 1. Ferris, Robert M. Return of a natuve. Defenders (Winter 1994/95). 2. Fischer, Hank. Wolves for Yellowstone. Defenders (Summer 1993). 3. U.S. Fish and Wildlife Service. Final rules clear the way for wolf reintroduction in Yellowstone National Park and central Idaho. New release, November 23, 1994. Degeneración de las órbitas de los satélites John Ellison Grove Cify Colege El autor recibió su licenciatura en el Whitman College, su maestría en la Universidad de Colorado y su doctorado en matemáticas en la Universidad de Pittsburgh. Fue profesor de matemáticas en el Grove City College durante los últimos 25 años y en la actualidad es director del departamento. Desde que el primer Sputnik fue lanzado al espacio, los satélites artificiales circulan en torno a la Tierra. Van desde pequeños trozos de chatarra espacial hasta objetos de gran tamaño, como el telescopio espacial Hubble y las estaciones espaciales tripuladas. Durante la mayor parte de su existencia, la fuerza principal que actúa sobre ellos es el campo gravitacional terrestre; sin embargo, la resistencia causada por la atmósfera hace que su órbita degenere lentamente y, si se dejan abandonados, al final caerán a tierra. Los objetos pequeños se queman en la atmósfera sin llegar al suelo; los grandes cuentan con sistemas internos de propulsión para conservar sus órbitas. No obstante, en 1979 falló el sistema propulsor de un objeto grande, el Skylab, y entró en la atmósfera terrestre. El Skylab tenía el tamaño suficiente para que algunas de sus partes resistieran el calor y aterrizaran. Estaban ardiendo. Es difícil y complicado obtener un modelo matemático de las pocas revoluciones finales de la órbita degenerada de un satélite. Para llegar a una aproximación que podamos resolver, se deben plantear muchas hipótesis simplificadoras. Dos de las más comunes son que la Tierra es una esfera perfecta y que el movimiento del objeto es bidimensional en esencia. También se precisa una estimación de cómo afecta la resistencia atmosferica la trayectoria del objeto. Una de las hipótesis más importantes se refiere al modelado de la densidad de la atmósfera. Esta densidad varia mucho en la superficie terrestre y depende de la hora del día, de la época del año, de las condiciones meteorológicas y hasta de la actividad de las manchas solares. Las causas de las variaciones de la densidad todavía no se comprenden por completo y para nuestro modelo sencillo supondremos que la densidad atmosférica depende sólo de la altitud. Aun así, no es fácil contar con una fórmula para la densidad. Un método común es medirla a diferentes alturas experimentalmente y después calcular una curva (como la llamada spline) que se ajuste a los datos. Los meteorólogos también cuentan con fórmulas que modelan esta densidad. AP-34 APLICACIÓN AL MODELADO Las ecuaciones del movimiento de un satélite se pueden deducir en forma semejante a la que se empleó en el capítulo 5. En dos dimensiones, y suponiendo que el origen está en el centro de la Tierra, son x”(t) = - Megx - hx’ ? y”(t) = - y4.z - &’ en donde (x(t), v(t)) es la posición del objeto. En el primer término del lado derecho de cada ecuación, nre es la masa de la Tierra, g es la aceleración de gravedad y r = (x* + fl)“* es la distancia del satélite al centro de la Tierra. Obsérvese que en este término la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de r. En el segundo término del lado derecho, k tiene la forma CAp/m, donde C es una constante de proporcionalidad, A es el área del objeto que mira hacia la atmósfera, p la densidad de la atmósfera y m la masa del satélite; n = [(x’)* + (JJ’)*]“* es la velocidad del objeto; por consiguiente, en este término la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad. Es una buena aproximación pero no perfecta. Este sistema de ecuaciones diferenciales resulta demasiado no lineal y no se puede resolver en forma analítica. Se requieren métodos numericos y una computadora, y se obtiene una solución numérica. La figura 1 muestra la vuelta y media final de una órbita degenerada de satélite muy similar al Skylab. En nuestro caso usamos las rutinas nrmnkicas del programa Mathematica, que se parecen -pero son mucho más complicadas- a las que se describen en la sección 9.5. La trayectoria del satélite se rastreó desde una altura de 100 km, con una velocidad ligeramente inferior a 8 km/s. Vemos que el satélite sigue una trayectoria elíptica y que pasa la mayor parte de la primera revolución a mayor altura de 100 km. Al final de la primera revolución, la altura aproximada es 97 lun. Entonces aumenta la razón de degeneración y al final de la media vuelta siguiente la altura es un poco mayor de 80 km. A partir de ahi, el satélite (o lo que queda de él) cae a Tierra rápidamente. Esto es de esperarse, porque la densidad de la atmósfera aumenta con mucha rapidez a medida que disminuye la altitud. Repetimos que este análisis se basa en una buena cantidad,de hipótesis y simplificaciones. Para obtener una trayectoria exacta debemos mejorar las hipótesis, con lo cual se dificulta la solución. Por estos motivos es difícil predecir el punto de impacto de un satélite que cae a Tierra; sólo podemos esperar que sea en el oceano o en tierras deshabitadas. FIGURA 1 Úlhas órbitas de un satéhe que entra en la atmósfera terrestre. Derrumbe del puente colgante de Tacomo Narrows AP-35 Referencias 1. Danby, J. M. A. Computing Applications to Differential Equations. Reston, VA: Reston Publishing Comapny, 1985. 2. Heicklen, G. Atnospheric Chemistry. New York: Academic 3. Mathematica, v 2,2,3 for Windows. Champaign, IL: Wolfram Research Inc., 1995. Press, 1976. Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows Gilbert N. Lewis, Michigan khno/ogicd Universify El autor es profesor asociado de matemáticas en la Universidad Tecnológica de Michigan, donde ha dado clases desde 1977. Obtuvo su licenciatura en matemáticas aplicadas en la Universidad Brown, en 1969 y el doctorado, también en matemáticas aplicadas, en la Universidad de Wisconsin-Milwaukee en 1976. Además, el doctor Lewis es profesor visitante en la Universidad de Wisconsin-Parkside y se ha dedicado a la investigación en las áreas de ecuaciones diferenciales ordinarias, análisis asintótico, teoría de las perturbaciones y cosmología. Asimismo, contribuyó con un ensayo en la quinta edición de este libro. En el verano de 1940, el puente colgante Tacoma Narrows, estado de Washington, EUA, se terminó y abrió al ‘tráfico. Casi de inmediato se observó que cuando el viento soplaba en dirección transversal a la de la carretera, originaba grandes oscilaciones verticales en la plataforma o “tablero.” La obra se transformó en atracción turística porque las personas llegaban a observar -y quizá cruzar - el puente ondulante. Por fin, el 7 de noviembre de ese afío durante una racha intensa, las oscilaciones aumentaron hasta niveles nunca vistos y el puente íüe evacuado. Pronto las oscilaciones se tornaron giratorias, vistas desde el extremo del tablero. Finalmente, las grandes oscilaciones desarmaron el tablero y el puente se derrumbó. En la primera referencia consúltese una introducción a la descripción anterior y en la segunda, una serie de an&dotas interesantes -e incluso cbmicas- relacionadas con el puente. Se pidió a Theodor von Karman, conocido ingeniero, que determinara la causa del derrumbe. Él y sus colaboradores3 dictaminaron que el viento, al soplar perpendicularmente a la carretera, se separaba formando vórtices alternos arriba y abajo del tablero y con ello establecía una fuerza vertical que actuaba sobre el puente y causó las oscilaciones. Otras personas supusieron que la frecuencia de esa función forzada periódica coincidía exactamente con la frecuencia natural del puente, llegando a la resonancia, a las grandes oscilaciones y a la destrucción, como se describe en la ecuación (3 1) de la sección 5.1. Casi durante cincuenta años se supuso que la resonancia fue la causa del derrumbe del puente, aunque el grupo de von Karman lo rechazó diciendo que “es muy improbable que la resonancia con vórtices alternos desempefie una función importante en las oscilaciones de los puentes colgantes”.3 Como se puede ver en la ecuación (3 l), sección 5.1, la resonancia es un fenómeno lineal. Además, para que se presente debe haber una coincidencia exacta entre la frecuencia de la función fbrzada y la frecuencia natural del puente. Además, no debe haber amortiguamiento alguno en el sistema; por lo tanto, no nos debe sorprender que la resonancia no sea la culpable del derrumbe. Si la r&onancia no lo originó, ¿cuál fue la causa? Las investigaciones recientes ofrecen una explicación alternativa. Lazer y McKerma4 sostienen que fueron los efectos no lineales, y no la resonancia lineal, los factores principales que provocaron las grandes oscilaciones en el AP-36 APLICACIÓN AL MODELADO puente (véase un buen artículo de compendio en Peterson, I., Rock und rol1 bridge’). En su teoría intervienen ecuaciones diferenciales parciales; sin embargo, se puede establecer un modelo simplificado que conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. Examinemos lo que pasa con un cable vertical aislado del puente colgante, que funciona como un resorte lineal sin amortiguamiento. Sea y(r) la desviación vertical (dirección positiva hacia abajo) de la rebanada de tablero fija a ese cable, donde t es el tiempo y y = 0 representa la posición de equilibrio. Cuando el tablero está oscilando, el cable imparte una fuerza lineal de restauración, hacia arriba (ley de Hooke), mientras la desviación es hacia abajo; esto es, en tanto el cable esté estirado. Sin embargo, cuando el tablero sube con respecto a su posición de equilibrio, el cable ya no trabaja a tensión y no ejerce fuerza alguna sobre el tablero. En este momento, las únicas fuerzas que actúan sobre él son la fuerza vertical debida a los vórtices de von Karman y la gravedad, que se considera mínima. Esta transición discontinua, desde una fuerza lineal de restitución b cuando y > 0, hasta la fuerza de restitución cero, para y < 0, produce una no linealidad en la ecuación del modelo. Entonces nos vemos obligados a plantear la ecuación diferencial Y” + fW = ¿m * dondef(y) es la función no lineal expresada por fW= ky, Y>O i 0 , y<o. Aquí, k es la constante de la ley de Hooke y g(t) es una función forzada (pequeña) periódica. Si usamos el modelado más general con ecuaciones diferenciales parciales, llegamos a la ecuación diferencial ordinaria un poco más general Y” +fi w = c + g(t), donde fi y está definida por hW= b, ay, >0 Y<O. Y Aqui b = EZ(7r/Q4 + k, a = Z3Z(?r/L)4, EZ es una constante que representa ciertas propiedades de los materiales del puente, L es su longitud y c es un parámetro relacionado con las interacciones entre el puente y la función forzada. Las condiciones en la frontera asociadas con la naturaleza periódica de las oscilaciones son Y(O) = YGW, y’(O) = y’(27r). Obsérvese que el problema es lineal en cualquier intervalo en que y no cambie de signo y que la ecuación se puede resolver, en esos intervalos, mediante los procedimientos normales que se describen en el libro. Los detalles técnicos de la deducción se encuentran en la publicación original de Lazer y McKenna.4 Comprueban que existen soluciones múltiples cuando k es suficientemente grande. También parecen indicar la siguiente interpretación de la solución: una fuerza grande, c, que actúa junto con una función periódica pequeña, g(t), produce un desplazamiento c/b más una oscilación pequefia respecto a un equilibrio nuevo. Además, si k es grande, existen otras Modelado de una carrera armamentista AP-37 soluciones oscilatorias. Asimismo, las soluciones de gran amplitud pueden persistir, aun en presencia de amortiguamiento. Es posible inferir más conclusiones interesantes a partir de las ecuaciones diferenciales parciales implicitas. Como la investigación en que se basa la explicación de Lazer y McKemra no se ha terminado, es imposible decir con exactitud a qué se parecerá el modelo final de los puentes colgantes. Sin embargo, parece obvio que no se incluirá el fenómeno de la resonancia lineal. Referencias 1. Lewis, G. N. “Tacoma Narrows Suspension Bridge Collpase.” In A First Course in Equations, Dennis G. Zill, 253-256. Boston: PWS-Kent, 1993. DSfferential 2. Braun, M. DSfferential Verland, 1978. Equations and Their Applications (167- 169). New York: Springer- 3. Amann, 0. H., T. von Karman, and G. B. Wooddruff, The Failure ofthe Tucoma Nurrows Bridge, Washington, DC: Federal Works Agency, 194 1. 4. Lazer, A. C., and P. J. McKenna. Large amplitude periodic oscilations in suspension brindges: Some new connections witb nonlinear analysis. SIAM Revies 32 (December 1990): 537-578. 5. Peterson, 1. Rock and rol1 bridge. Science News 137 (1991): 344-346. Modelado de una carrera armamentista Michael Olinick Middlebury Colege El autor es profesor de matémáticai y ciencias de computación en el Middlebury College en Vermont, desde que recibió su doctorado en la Universidad de Wisconsin. El doctor Olinick también ha sido profesor visitante en el Colegio Universitario de Nairobi, la Universidad de California en Berkeley, la Universidad Estatal en San Diego, la Universidad Wesleyana y en la Universidad de Lancaster, Inglaterra. Es autor de un texto sobre modelado matemático, publicado por Addison-Wesley y es coautor de Calculus 6/e, de PWS Publishing Company. El siglo xx ha sido testigo de varias carreras armamentistas peligrosas, desestabilizadoras y costosas. El estallido de la Primera Guerra Mundial (1914-1918) fue el clímax de una rápida acumulación de armamentos entre las potencias europeas rivales. Hubo otra acumulación de armas convencionales justo antes de la Segunda Guerra Mundial (1939- 1945). Estados Unidos y la Unión Soviética se enfrascaron en una costosa carrera de armas nucleares durante los cuarenta años de la Guerra Fria. Actualmente y en muchas partes del mundo se ha vuelto costumbre la acumulación de armas más y más mortíferas, como en el Medio Oriente y en los Balcanes. Lewis F. Richardson, meteorólogo y educador inglés (188 l- 1953), inventó varios modelos matemáticos para tratar de analizar la dinámica de las carreras armamentistas. Su modelo primario se basó en el temor mutuo: una nación se ve acuciada a aumentar su arsenal con una razón proporcional al nivel de gastos de su rival en armamentos. El modelo de Richardson tiene en cuenta restricciones internas en un país que desaceleran la acumulación de armamento: mientras más gasta en armamentos, más se le dificulta aumentar sus gastos porque cada vez es más difícil desviar los recursos sociales para necesidades básicas (como comida y vivienda) AP-38 APLICACl6N AL MODELADO hacia armamentos. En su modelo, Richardson también incluyó otros factores que impulsan o detienen una carrera armamentista, independientes del dinero invertido en armas. La estructura matemática de este modelo es un sistema interrelacionado de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Si x y y representan la fracción del poderío invertida en armas por parte de dos países cuando el tiempo es I, el modelo tiene la forma rbc x=ay-mxi-r “= bx - ny + s, en donde a, b, m y n son constantes positivas y r y s son constantes que pueden ser positivas o negativas. Las constantes ay b representan el temor mutuo; m y n, factores de proporcionalidad para los “frenos internos” al aumento en armamentos. Los valores positivos de r y s corresponden a factores intrinsecos de mala voluntad o desconfianza que persistirfan aun cuando los presupuestos para armamento bajaran a cero. Los valores negativos de r y s indican una contribución basada en buena voluntad. El comportamiento dinámico de este sistema de ecuaciones diferenciales depende de los tamtios relativos de ab y mn, así como de los signos de r y s. Aunque el modelo es bastante sencillo, permite tener en cuenta varios resultados a largo plazo. Es posible que dos naciones evolucionen simultáneamente al desarme cuando x y y tienden, cada uno, a cero. Otro escenario posible es un círculo vicioso de aumentos sin límite en x y y. Un tercer caso es que los gastos en armamento tiendan de manera asintótica a un punto estable (x*, y*) independiente de los gastos iniciales. En otros casos ei resultado final depende mucho del punto de partida. La figura 2 muestra un caso posible con cuatro puntos de partida distintos y en cada uno se llega al “resultado estable. ” Referencias 1. 2. Richardson, Lewis F. Arms and Insecurity: A Matehamtical Stua’y of the Causes and Origins of War. Pittsburgh: Boxwodd Press, 1960. Olinick, Michael. An Introduction to Mathematical Models in the Social andlife Sciences, Reading MA: Assisob-Wesley, 1978. ak/dt = 0 FIGURA 2 TABLA DE TRANSFORMADAS DE IAPLACE f(f) rcn -1 s 17. t neat 1 2 18, eat sen kr 5, n es un entero positivo s 19. ea cos kt 1. 1 2. t 3.t” 4 . t-ll2 5 . P2 6 . ta 7 . sen kt 8. cos kt 9 . sen’ kt LO. cos kt Ll. eat 12. senh kt 13. cosh kt 14. senh2 kt 15. cosh’ kt 16. teat 2r3” 21. ea’ cosh kr m+lYa>-] s Cr+1 k s2+k2 s s2+k2 2k2 s(s2 + 4k 2, s2+2k2 s(s2 + 4k ‘) 1 s-a 22.tsenkt k s2-k2 ea’ - ebt 28. a-b S s2-k2 2k2 s(s2 - 4k ‘) s2-2k2 s(s2 - 4k ‘) 1 (s - a)Z Pt! n + 1, n es un entero positivo (s - 4 20. eat sen h I 22 {f(t)) = F(s) 23. t cos h 24.senkt+ktcoskf 25.senkt-ktcoskt 26. t senh kt 27. t cosh kt - bebt 29. ael _ b 30. 1 - cos kt 31.kt-senkt 32. asenbt-bsenat ab(d - b2) k (s-a)‘+k’ s-a (s - ITJ)~ + k 2 k (s-.)‘-k2 s-a (s-a)‘+k’ 2Frs (s2+k2)2 s2-k2 (s2 + k2)’ 2ks2 (s2 + k2)’ 2k3 (s2 + k ‘)’ 2ks (s2 - k ‘)’ s2+k2 (s2 - k ‘)’ 1 (s - a)(s - b) S (s - a)(s - b) k2 s(s2 + k ‘) 2 s2(s2 + k ‘) 1 (s2 + a2)(s2 + b2) AP-39 AP-40 33’ APÉNDICE V TABLA DE TRANSFORMADAS DE IAPLACE cos bt - cos at h-b2 34. sen kt senh kt 35. sen kt wsh kt 36. cos kt senh ki 37. cos kt cosh kt S (s2 + J)(s2 + b2) 2k2s s4 + 4k4 k(s2 + 2k 2, s4 + 4k4 k(s2 - 2k2) s4 + 4k4 S3 s4 + 4k4 38. Jo(kt) ,bt - e”’ 39. -j/4. 2(1 - cos kt) t 41 2( 1 - cosh AT) t sen al 42.7 43. sen at cos bt t 44. s(t) lns s2+k2 hlS2 2 2 lnS j” arctan a 0S a+b 1 u-b i arctan - +pKtZUl2 s s 1 e -Sfo 46. eaff(t) F(s - a) 17.f(t - a)Q(t - a) e-F(s) 18. ‘Q(t - a) e-as S s”F(s) _ S(n - ‘)f(()) _ -f’” - ‘j(O) 50. t “f(t) 51. j,&g(t - T) dr (-1)” 5 F(s) TABLA DE INTEGRALES 2. ju”du=&u’+‘+C,n;c-1 3. f$ = In Iul + C 4. jeUdu=eUtC 5. ja’du=&?+C 6. f senudu=-cosu+C 7. f cosudu=senu+C 8. f sec2udu=tauu+C 9* f csc2u du = -cot u + C 10. j sec u’tan u du = sec u t C ll. j csc u cot u du = -csc u + C 12. j tan u du = -lnlcos 13. j cot u du = Inlsen uJ + C 14. j secudu=Inlsecu+tanujtC 15. j csc u du = lnlcsc u - cot UI +C UI t C 16. j-q&-sen-‘f+C -‘!i+c 17. j~=$n d” a 19. j*=bl E +c 2 -,2 20 I I 21. j sen2udu=iu-fsen2u+C 22. j cos2udu=~u+fsen2utC 23. jtan2udu=tanu-u+C 24. jcot%du=-cotu-u+C 25. j sen3u du = - $2 + sen2u) cos u + C 26. j cos3u du = i (2+ cos2u) sen u t C 27. j tan3u du = ; tan2u + Inlcos UI + C 28. f cot3u du = -i cc& - lnjsen ul t C 29. j sec3udu=fsecutanu+flnlsecuttanultC 30. j csc3udu=-fcscucotu+ilnlcscu-cotul+C 31. j sk.n% du = -i sen” - ‘u cos u t 5 j sen”“u du 32. CQS”U du = ; cmn - ’ usenut~~wsn-2udu 33. j ta& du = & tan”-’ u - j tann-2u du 34. j cO& du = 2 cot=‘u - j cof-2u du 35. j sec”u du = & tan u sefu utzjsecnT2udu 36. f csc’u 37. j senousenbudu=w-WtC 38. j cos.ucosbudu=~t~tC 39. j senmcosbudu=--GtC 40. f u sen u du = sen u - u cos u du = 2 cot u cscn-2 ut2jcscn-‘udu +C AP-41 AP-42 41. APÉNDICE VI TABLA DE INTEGRALES I u cos u du = cos u + u sen u + C 42. j unsenudu=hosu+n~un-‘cosudu 43. I u”cosudu=u”senu-nIu’-‘senudu sen”u cosmu du = - se’ - b+yrn + ‘14 + z j se,,” - 2u cosmu du = se’ + b;zrn - ‘14 + 5 j sennu Cosm - 224 du . 44. jseñ’udu=usen-‘u+m+C 46. j cos-‘u du = u cos -L+Gz+c j t a n-1 udu= utan%+ln(l 48. j usen-‘u&,=?!!+en-lu+d$ I +u2)+C 50. j tan% du = -z” tanlu-u+c ucos-ludu=k!f+os-lu-~+~ ,2 I uenu du = -&u - l)eau + C a eau (a sen bu - b cos bu) + k senbudu=53. u2 + b2 55. lnudu=uInu-u+C I 57. -[(n+l)lnu-l]+C 52. lu”e”du=dunerm-~Iufl-leaudu em 54. j ea” cos bu du = -(acosbu+bsenbu)+C u2 + b2 56. j & du = In@ u[ + C - ... m+lln”u 58. ~u!In”udu=~-L um In”-’ udu, m#-1 m+l I 60. j lnlu2 - a21 du = u lnlu’ -a’I-2u+aln 59. ~ln(u2+42)du=uln(u2+42)-2u+24tan-1f+C I z+ C I 62. j cosudu=senhu+C 6 1 . I senhudu=coshu+C 63. I tanudu=lncoshu+C 64. j ~0th u du = In Jsenh ul+ C 65. I sech2u du = tanh u + C 66. j cschlu du = -cotb u + C 67. +C I sechutanhudu=-sechu+C 68. jcschucothudu=-cschu+C 9 69. j fldu = t m+4 lnlu + m+ C 70. j u2 mdu = 5 (a2 + 2~‘) s- $! lnlu + mi+ C 72. ~wdu=m+lnlu+~~I+C 3 U 76. ‘1+c 78. j u2 mdu = i (2u2 - 4’) .\lui_-;;2- $ lnlu + mi+ C - di77 79. j y- du=~-.cos-l;+C 80. ~mdu=m+lnlu+~~l+C U2 U 82. jq&=;~+$l.[u+~l+C 84. j d” = +c <u2 - u2)3n u2AK7 86. j u2 mdu = i (2u2 - u2) m+ : sen-’ t + C RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR EJERCICIOS 1.1 3. falso 5. ordinaria, primer orden, no lineal 1 . lineal, segundo orden 3. no lineal, primer orden 5. lineal, cuarto orden 7. no lineal, segundo orden 9. lineal, tercer orden 43. y = -1 7. parcial, segundo orden 13. y = x2 15. y = g 1 7 . y=O,y=eX 23.2=- 25G h-3” 167r b)!!&+j 21. x<Ooseax> 1 45.m=2ym=3 25. a)k=gZ@ EJERCICIOS 1.2 c)vz 1 . semiplanos definidos por y > 0 o por y c 0 3. semiplanos definidos por x > 0 o por x c 0 5. las regiones definidas por y > 2, y < -2, o por -2<y<2 7. cualquier región que no contenga a (0,O) 9. todo el plano xy ll. y = 0, y = x3 13. sí 15. no 17. a) y = cx b) toda región rectangular que no toque al eje y c) No, la función no es diferenciable en x = 0. 19. c) (---9 -); (--, +); (--, - $); (--, -2); (-2, -1; (- ;, -1; (0, -) 21. y= l/(l -4e”) 23.y=;eX-je-’ 25.y=5P1 EJERCICIOS 1.3 $=kP+r 19.y=O,y=cosx,y=senx 3.$+kx=r,k>O L$+Ri=E(t) 13.$-J$$ d v--= gR2 3 0 EJERCICIOS 2.1 1 . y=-;cos5x+c 3.y=+-3x+c 7.y=cx4 ll. -3 + 3x lnlxl = xg + cx 5 . y=x+5lnlx+l(+c 9. y-’ = 2x-’ + c 13. -3eTZY = 2e3” + c 15.2 + g = c(4 + x2) 17. y=x-lnlx+lI+c 19.; lnx-$x’=f$+2y+lnbl+c 21. S = cekr P 23. - = ce’ osea l-P t P=L 1 + ce’ 25. 4cosy=2x+sen2x+c 27. -2cosx+ey+ye-J’+e-Y=c 29. (8 + 1)-2 + 2(eY + l)-’ = c 3 1 . (y+l)-‘+lnly+ll=+ln x+l x-l +c 1 / 33. y - 5 lnly + 31 = x - 5 lnlx + 41 + c II.$=k(M-A),k>O 15.m$=-kx 3 5 . -coty=cosx+c 37.y=sen 39. -y-l =tan-‘(ti)+ c 41. (1 + cosx)(l + e4 =4 4 3 . qT=22+fi 45.x=tan .‘* ,,d&-*+w ak Y EJERCICIOS DE REPASO 47. iy = e- (1 + w l-eh l+e” 49. a)y=31 . las regiones definidas por x2 + 2 > 25 y .I? + 3 <25 5 1 . y = l 53.y=l WY=3 c)Y=~ 2-ehq2 2+eh-2 55.y=l+ +jtan; R-l R-2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR EJERCICIOS 2.2 1 . 35. (secB+tanB)r=B-cose+c,-~<e<S x2-x+;y2+7y=c 3.+x2+4xy-2y4=c 5. x?y’ - 3x + 4y = c 7. no exacta 9. xy3 + y’ cos x - +x2 = c ll. no exacta 13. xy-2xd(+2di-2x3=c 15. x + y + xy - 3 lnlxyl = c 17. x’y’ - tan-‘3x = c 19. -1nlcos XI + cos x sen y = c 21. y-2X2y-g--x4=c 23. x4y-5x3-xy+y=c 25. +3+?y+xfl-y=; 27. 4xy+x2-5x+3$-y=8 29. gsenx-x3y-x’+ylny-y=O 3 1 . k=lO 33.k=l 37. y = i(x + 2)-’ + c(x + 2)-4, -2 < x < 00 39. y=lO+ce-se*x,-dx<~ 41. y = 4 - 2p, -00 <x < co ,-m<l<= 45. y=senxcosx-cosx,-t<x<t 47. T(t)=50+ 150f?,-=<t<= 49. (x+ l)y=xlnx-x+21,O<x<= 01x13 ;(l - e-y, 51. y= 1 i(e6 - l)em2”, X>3 35. M(x, y) = yev + fl- =$ + h(x) 37. 3X2y3 + y” = c 41. x”r” + x3 = c 39. x’y’ cos x = c EJERCICIOS 2.3 1. y= ce”, -co<x<oo 3. y=f+ce-4X,-co<xCoo 5. y 53. y= 1 f+ p, 01x<l (3 + f)emx*, x 2l = $e3’ + ce-‘, -00 < x < 00 7. y = f + c$, -00 < x < OO 9. y = x-l In x + cx-1, 0 < x < OQ 11. x=-~~+cy-l~,o<y<ca 13. y=-cosx+~+~,o.x.~ 15. y=-c_ ,-oo<X<ca di+1 17. y=senx+ccosx,-;Cx<E 19. y=fx3-~x+cx~,0<x<00 55. y = -5) [Si(x) - Si(l)] 21. y = Y YU) = 23. y = sec x + c csc x, 0 < x t 1.64832 / 25. x=$Y-&y+J- Y+-$-Y,O<y<m 2 2Y 4yze y2 1 X 27. y = em3’ + P,-3x, 0 < x < oo \ 29. x=2y6+cy4,0<y<= 31. y = e” ln(e” + e”) + ce-‘, -00 C x < 33. x=$+~-y2,0<y<ca i’--1 Respuestas a los problemas de número impar R-3 57. y=e x2-1 + -2 ex2 [erf(x) - erf(l)] e-kr’m EJERCICIOS 2.4 1 . xlnlxl+y=cx 3. (x-y)lnIx-yl=y+c(x-y) 5. x+ylnlxl=cy f =c iI 9. 4x = y(lnlyl - c)~ ll. y3 + 3x3 lnlxl = 8x3 13. lnlxl = e y” - 1 15. y3 = 1 + cx-3 17. 21. 23. 25. 27. 29. yp3 7.1n(x2+y2)+2tan-’ = x + $ + ce3’ 19. e’lv = cx L3 = _ ox-l + Ex-6 5 ;=,11 +tan(x+c) 2y-2x+sen2(x+y)=c 29. a) P(t) = PoeCkl - kzN b) kl > k2, los nacimientos son mayores que las muertes y así aumenta la población. k1 = k2, una población constante, ya que la cantidad de nacimientos es igual a la cantidad de defunciones. kl < k2, las muertes son m8s numerosas que los nacimientos, con lo cual disminuye la población. 31. A = kl : k2 + ce -(k, + 41 4( y - 2x + 3) = (x + c)2 -cot(x+y)+csc(x+y)=x+&- 1 - - - - - - - - - - k:+:k 2 ;/- EJERCICIOS DE REPASO 1. 3. 7. ll. 13. homogénea, exacta, lineal en y separable, exacta, lineal en y 5. separable lineal en x 9. Bernoulli separable, homogénea, exacta, lineal en x y en y homogdnea 15.2~ + sen 2x = 2 ln($ + 1) + c 17. (6x+l)y’=-3x3+c19.Q=:+$51nr-1) 21. 2y2lny-$=4te’-4e’-1 23. y=f-320(?+4)-4 25.e”=2e2y-e2y+X EJERCICIOS 3.1 t lím A(t) = $$ t+1 2 Si k2 > 0, nunca se memorizará el material completo. 33. a) Sea t = 0 el arlo de 1790, de modo que P(O) = 3.929. La constante k de crecimiento en la solución P(r) = 3.929e” depende de cuál censo de población se use; por ejemplo, cuando I = 10, P( 10) = 5.308 da como resultado k = 0.030. Así, P(t) = 3.929e0.030! 1. 7.9~; 10 y 3 . 760 5 . l l h 7 . 136.5 h 9 . Z( 15) = 0.0009810; aproximadamente 0.1% de ZO l l . 15 600 y 13. T( 1) = 36.67”; aproximadamente 3.06’ 15. i(t) f - jTe-soor; i+icuandot+= 17. 1 . 1.834; 2000 3. 1 000 000; 5.29 meses 5. a) El resultado en (7) se puede obtener con el m&odo de separacibn 19. i(t) = 60 - 60e-“lo 60(e2 - l)e-‘Io, 21. A(t) = 200 - 1 70e-t’50 23. A(t) = 1000 - 1000e-“‘OO 27. EJERCICIOS 3.2 OItI20 t>20 25.64.38 Ib a) v(t) = 7 + ~0 - 7 emktlm ( 1 de variables b)c=;-lnPo 7 . 29.3g;X+60cuandot-,m;OgdeAy30g deB 1 ln & 9. Paraa+&=kt+c Cr-p p I - x I RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR R-4 Paraa=p,X=cY--_ kt +c ll. 2h’12=-&t+2j20; t=50a, 1 3 . Para evaluar la integral indefinida del lado izquierdo de EJERCICIOS 3.3 1 . x(t) = xoe+’ -40 = xo ii!!!kd dy = -dx Y se emplea la sustitución y = 10 cos 8, por consiguiente, x2 1 - m e AZ ___ e-bt -X,t AZ-Al 1 3 . 5, 20, 147 días. El momento en que y(t) y z(t) son iguales tiene sentido porque la mayor parte de A y la mitad de B desaparecen, de modo que se debe haber formado la mitad de C. 5. 15. 2 2 Q52 -$=p-25x2 en donde CI = tanh-’ k VO. mg h 7 . -= 3 x2 - -2x’ dt loo-t lOO+t b) E drz c) s(t) = y In cosh 9. x2 - Xl - dr=2 100+t-3 loo-t -k Y en donde c2 = sc - In cosh cl t depredadores I 4(Po - 1) - (PO - 4)eT3’ 1 7 . a) P(t) = (PO - 1) - (PO - 4)eT3’ b)CuandoPo>4o 1 <Po<4,1ímP(t)=4. r+Cuando 0 < PO < 1, P(t) + 0 para un valor finito del tiempo t. c) P(t)=OcuandoO<Poc 1 presas 25 50 75 a 8 t tiempo 19. .Y3 = Al principio, las poblaciones son iguales aproximadamente cuando t = 5.6. Los periodos aproximados son 45. 1 1 . En todos los casos, x(t) + 6 y y(t) 8 cuando 3x+c Y 4 t+-. di2 1 3 . Ll --g + (RI + R& + Rli3 = E(t) 2 X di3 L2 - + Rli2 + (RI + R& = E(t) dt 1 5 . i(O) = i0, s(O) = n - i0, r(O) = 0 2 EJERCICIOS DE REPASO 4 21.b)lacurvaes~=2c~x+c~2=2c~ x+; . ( 1 1. P(45) = 8,990 millones 3. E(t) = .&,e-(’ - WRC Respuestas a los problemas de número impar T2 + BTl Tl-T2 k(l+B)t 5. a) T(t) = 1+~ + 1+~ e T2 + BTl b) l+B 1 3 . l+B 1% uk,t x ( t ) = aclc 1 + cteuklt EJERCICIOS 9. ll. 19. 23. 25. , y(t) = ~(1 + cleuk17kz’k1 eT5’ 3. y2 = Xe2 y2=1 5. y2 = sen 4x ll. y2 = x4 lnlxl 9. y2 = xtP 15.y2=x2+x+2 17.y2=xcos(l1lx) yz’x 2l.y2=xlnx 23.y2=x3 27.y2=eZ1,y,,=$? 25. y2=8,y,=-i EJERCICIOS 4.3 1. y = CI + c2e-X’4 3. y = clek + cp+ 5. JJ = CI COS 3x + c2 sen 3x 7. y = cte3’ + cze-& 9. y = cI eAx + c2xe4’ 4.1 1 . Y=;d[+-X 5. y=3x-4xlnx = 5. y2 = senh x 7. x(e) RB - 5 sen 28 + c, y(o) = k sen2 0 9. EJERCICIOS 4.2 1. y2 T2 + BT, ‘) R-5 3. y = $4” + 3-X 7.y=0,y=x2 a)y=eXcosx-eXsenx b) no hay solución c)y=eXcosx+e-T%?senx d) y = cz e” sen x, donde c2 es arbitraria (--, 2) 15. dependiente 17. dependiente dependiente 21. independiente Las funciones satisfacen la ecuación diferencial y son linealmente independientes en el intervalo porque W(ew3*, e4”) = 7d[ # 0; y = cteT3’ + c2e4X. Las funciones satisfacen la ecuación diferencial y son linealmente independientes en el intervalo porque W(S cos 2x, e” sen 2x) = 2eti + 0; y=cteXcos2x+c#sen2x. 2 7 . Las funciones satisfacen la ecuación diferencial y son lineahnente independientes en el intervalo porque W(x3, x4) = x6 # 0; y = ctx3 + cf14. 29. Las funciones satisfacen la ecuación diferencial y son linealmente independientes en el intervalo porque W(x, xe2, xm2 In x) = 9xa +O; y = qx + czx-2 + cJ.Y2 ln x. 33. ek y esX forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea; 6e” es una solución particular de la ecuación no homogénea 3 5 . ea y xe zr forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogenea; x2ea + x - 2 es una solución particular de la ecuación no homogénea 37. yp=.x?+3x+3eZï;yp=-2zt?-6x-fe2r t 11. y= cle(-3+w2 + c2e(-3-mw2 13. y = cle2x/3 + c2e-x’4 15. y = e2”(q cos x + c2 sen x) 17. y = e-X’3 c, cos-x+c2sen-x 3 3 ( 19. y = ci + c2ed+ c3esx 1 21. y = cle” + emx12 c2 cos $x + c3 sen $x ( 1 23. y = cle-’ + c2e3’ + cgce3X 25. y = cd + e*(c2 cos x + q sen x) 27. y = cle-’ + c2xepx + cg2ewx 29.y=q+cgtevxn c3cos~x+c4sen~.x ( 31. y=ctcosgx+c2sen113X 1 .,,‘,-,+,“-, 2 2 c i - - 33. y = cl + c2em2* + c3e2’ + c4 cos 2x + c5 sen 2x 35. y = CleX + c2xd; + c3eqX + c4xeTx + c5eTsx 37. y = 2 cos 4x - f sen 4x 39. y = - iem5’ + ie” 41. y=-Pcos~+e%en~ 45. y=e2(“-‘)-& 43,y=o 47.y=&-Z-edr+ipdx 49. y=--g ’ eb + le-’ 6 cos 47x - $e-’ sen Gx 6 51. y=2-2eX+2xeX-$+d( 53.y=e5x-xe5X 55. y=-2cosx ‘ 57, y = c,e-0.270534~ + c2e0.658675x + c3e5.6118ti 59. y = Qe-1.74806x + c2e0.501219x + c3e0.62342r (0.588965~) + c4e”.62342r sen(0.588965x) cos R-6 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR EJERCICIOS 4.4 1. y = cle-’ + c2e -2x + 3 3. y = qe5’ + c2xesx + fx + ‘; 5. y = clee + c2xemk + x2 - 4x + 7 7. y = CI cos 6x + c2 sen 6x + (-4~~ + 4x - +)e3X 9. y=c,+c&+3X ll. y = c1eX’2 + c~x~X’~ + 12 + 3’s” 13. y=qcos2x+c2sen2x->cos2x 15. y=qcosx+c2senx-$c’cosx++senx 17. y = qe” cos 2x + c2e” sen 2x + ix8 sen 2x 19. y = cle-’ + c2xe+ - $ cos x + 122s sen 2x - & cos 2x 21. y=q+c2x+c3eti-+T2-$cosx+$senx 23. y = qd: + c2xex + cg2ex - x - 3 - $x’d: 25. y=qcosx+c2senx+qxcosx +cqXsenx+x’-2x-3 27. y=fisen2x-f 29. y = -200 + 200e”” - 3x2 + 30~ 31. y = -1 Oe-& cos x + 9e+ sen x + 7e+ 57. y = eexJ2 EJERCICIOS 4.5 1. 3. 7. 9. 19. 25. 31. 35. 39. 41. 43. 45. 47. 49. 51. 53. 55. (30 - 2)(30 + 2)y = sen x (D - 6)(0 + 2)y = x - 6 5. D(D + 5)2y = d: (D - l)(D - 2)(D + 5)y = xe-’ D(D + 2)(d - 20 + 4)y = 4 15. D4 1 7 . D(D - 2) ti+4 21.03(02+ 16) 23.(D+ l)(D- 1)3 D(d - 20 + 5) 27.1, x, 2, x3, x4 29. ek, e-3X/2 cos 6x, sen Gx 33. 1, eSX, xeSX y = cI ee3’ + c2e3X - 6 37.y=q+c2e”+3x y = c,ee2’ + c2xewt’ + +x + 1 y = CI + czx + c3edX + fx4 - 33 + 8x2 Y = qem3’ + c2e4’ + +e” y = qeJ + c2e3’ - e” + 3 y=clcos5x+qsen5x+fsenx y = clee3’ -k c2*e-3x - J-*e4” + -&4X y = qe-’ + ~28 + Lx3ff - L 28 + I*e” - 5 6 4* 4 y = eX(q cos 2x + c2 sen 2~) + $i? sen x y=c~cos5x+c~sen5x-2xcos5x cl cos -x + c2 sen-x 2 2 I +seix+2cosx-xcosx ’ 59. y = CI + c2x + c3emsx + Jk? + rx3 ix4 2% 61. y=C,$+C2Xd:+C3X%?+~X3e;+X-13 63. y = CI + QX + c3ex + c,p? + $?ex + 3’ 65. Y=?p-“+$$-Lf 67. y=-z++5x-+2+$ 69. y=-ncosx-y senx-fcos2x+2xcosx 71. y=2e”cos2x-de2xsen2x+jx3+&x2+$x EJERCICIOS 4.6 1. y=clcosx+czsenx+xsenx + cos x ln(cos x(; (7r/2,7r/2) 3. y=qcosx+c2senx+isenx-ixcosx =CI cosx+cjsenx-ixcosx;(-m,m) 5. y=clcosx+c2senx+i-:cos2x;(-m,m) 7. y = qeX + c2evX + $8 - ixeeX = qeX + c2emx + + senh x; (--, -) 33. x=$senwt-gfcoswf 35. y= ll- lleX+9x6+2x- 12x2e”+feL 37. y=6cosx-6(cot1)senx+x2-1 cos2x++sen2x+isenx, OlxLd2 39. y= fcos2x+isen2x, x > Tl2 i 9. y = qe2’ + c2emk + $ etr lnlxl - eeh Ix $ dt *o > 0; (0, -> ( 1 11. y = qemX + cze+ + Te-’ + e-2+) In(1 + ti); (-3 -1 13. y = c1e-2ï + c2eeX - e+ sen 8; (-- , -) 15. y = cle’ + c2xe” - iti ln( 1 + x2) + xti tan-‘x; (- 00, -1 17. y = cle-’ + c2xe” + $c2emx In x - +?e”; (0, -) 19. y = qe” cos 3x + c2$ sen x - $? cos 3x lnlsec 3x + tan 3x1; (- 7d6,7r/6) 21. y = CI + c2 cos x + c3 sen x - lnlcos XI - sen x lnlsec x + tan x(; (- 7d2,7r/2) 23. y = cl4 + c2e2’ + c3epx + #z3X; (-, -) 1 XI2 25. Y = $emx12 + fgl2 + ix2ex12 - i*e _ 27. y=+++2$~-+-~++-X 29. y = CIX-“~ cos x + C~X-‘” sen x + x-l/2 EJERCICIOS 4.7 1. y = qx-l + c2x2 3. y = CI + ~7, In x 5. y = CI cos(2 In x) + c2 sen(2 In x) 7. y = cIx(2-m + c2xc2+G) 9. yl = CI cos<: In x) + c2 sen<: In x) 11. y = qxm2 + c2xT2 In x 13. y = x[q cos(ln x) + c2 sen@ x)] Respuestas a los problemas de número impar + _ 17. y = c1x3 + c2 cos (filnx) + c3 sen(Cln x) 19. y = qx-1 + c2x2 + cgc4 21. y = Cl + c2x + Cd + cgt-3 25. y = cos(ln x) + 2 sen(ln x) 23. y = 2 - 2xe2 27. y = ~(-x)I’~ - 5(-x)‘” ln(-x) 29. y = CI + c2 In x + : J!x c2 _ 2 Lc3 e-tl2 cos fi, 2 2 1 19. x = - 6qe-’ - 3c2em2’ + 2c3e3’ y = cle-’ + c2e-2t + c3e3t z = 5qe-’ + c2em2’ + c3e3t 21. x = -cle-’ + c2 + f? - 2? + 5t y = cle-’ + 2? - 5t + 5 23. x= e-3t+3 + te-3t+3 l y = -e-3t + 3 + zte-3’+ 3 31. y = qx-“2 + c2x-’ + $2 - ix 33. y = c~x + c2x In x + x(ln x)~ 35. y = qx-1 + czx-8 + +p2 37. y = x2[q cos(3 In x) + c2 sen(3 In x)] + A + $x 39. y = c,x2 + c2x-1° - ix-’ EJERCICIOS 4.8 25. m=$=O d2y m=dt2=-mg x=qt+c2 y = - ;g;gt’ + cjt + c4 EJERCICIOS 4.9 1. x = qe’ + ctte’ 3. y = lnlcos(q - x)l + c2 y = (Cl - c2)e’ + c2te’ 3. x = CI cos t + c2 sen t + t + 1 5. y=J-lnJqx+1J--$x+c2 Ci2 y=cl sent-c2cost+t-1 5. x=~~sent++2cost-2c~sen6t-2c4cos6t y=clsent+c2cost+c3senGt+c4cosGt + c3 sen 2t + c4 cos 2t + ie’ 5 7. x = qe2* + c2ee2’ 7. $y3-c,y=x+c2 9. y=tm ( T-5 1 ,-z<x<2 2 Y y = cI e2,; ~e-~;~;;~~2; -cit cos 2t - 3 9. x = CI - y=q+c2sent+qcost-{e3’ 45 6 ll. x = qe’ + c2evflZ cos --p + eje-” sen -j-t y=-2c2-~c3 ( 2 e-t/2 cos 6 Tf - 1 +[‘C2-‘cj)e 42 sen fi, 2 2 2 13. x = qe4’ + te’ y=-+e .4: +c2+5e’ 15. x = cl + c2t + cse’+ qe-’ - ft’ y=(cl -c2+2)+(cz+ l)t+qe-‘-ft2 @ 17. x = qe’ + cie-t’2 sen --p + c3emtt2 cos $5 11. y=-~\/1+c2 1 3 . y = 1 +x+~2+~3+~4++x5+. Y II I 4- I 2: Ci/4 .: x R-7 Y R-S 15. RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR 5. a)x(~)=-~;x(a)=-~;x(a)=-a; y= 1 t+‘+$x3-$4+~5+. x(+~;x(~)=~ Y 4 solución _ del 2 programa ODE ' b) 4 MS; hacia abajo c)t=(2n+l)x,n=o 1 2 16 ’ ’ “‘* 7. a) la masa de 20 kg b) la masa de 20 kg; la masa de 50 kg c) t = nr, n = 0, 1, 2, . . .; en la posición de equilibrio; la masa de 50 kg se mueve hacia arriba, mientras que la de 20 kg se mueve hacia arriba cuando n es par, y hacia abajo cuando n es impar. di? 9. x(l) = + cos 2t + : sen 2t = 4 sen(2r + : .x b '1 wLpolinomio -de Taylor 2 4 17. y=-AG?EJERCICIOS DE REPASO 0.05880) 1. y=o 3. falso. Las funcionesfi(x) = 0 y&(x) = ex son linealmente dependientes en (--, -), perof2 no es múltiplo constante defi. 7. falso 9. yP = A + Bxe” 5. (--3 0); (0, -1 ll. y2 = sen 2x 13. y = cl e(’ + *b + cze(’ -*32r 15. y = cl + c2em5’ + cgem5’ 17. y = qemd3 + e-3x’2 c2 cos 5 + c3 2 sen SC 2 19. y = cp + cp 21. y = e3’12 cl cos dZ x + c2 sen Bx t 2 2 1 +4x3+~x2+46,-222 12s 625 5 25 23. y=cr+c2e2X+cse3X+fsenx-fcosx+:x 2 5 . y=eX-“cosx 27.y=x2+4 29. y = e”(cl cos x + c2 sen x) - ex cos x ln(sec x + tan XI 31. y=c1x2+c2x3+x4-x21nx 33 . y= 2&2 - $3X + xe3’ - 4 35 . x = lqet - ?c e2’ + 1 22 1 ’ y = -CI et - c2eZt - 3 37. x = qe’ + c2e5’ + te’ y = -cle’ + 3c2e5’ - te’ + 2e’ ll. a) x(l) = -i cos 10t + t sen 10t = i sen(lOt 0.927) b) 5 ft; ; c) 15 ciclos d) 0.721 s e) (2n + 1)~ + 0.0927, n = 0, 1,2 ,... 20 f) x(3) = - 0.597 ft g) ~‘(3) = - 5.814 fth ll) x”(3) = 59.702 fws2 i) f8f fth j) 0.1451 + y; 0.3545 + y, n = 0, 1,2 ,... k) 0.3545 + F, n = 0, 1,2 ,... 1 3 . 120 lb/ft* , x(t) = B sen 8 6t 12 1 7 . a) arriba b) hacia arriba 1 9 . a) abajo b) hacia arriba 21. 2; +, x(i) = ee2; esto es, el contrapeso está, aproximadamente, a 0.14 ft abajo de la posición de equilibrio. 23. a) x(t) = +em2’ - $,-” b) x(t) = - fe-2t + Se-” 25. a) x(t) = e-2t(-cos 4t - i sen 4t) EJERCICIOS 5.1 1 -En - 3.x(r)=-~cos41/6t * 8 b) x(t) = Se-zt sen(4t + 4.249) 2 c) t= 1.294s Respuestas a los problemas de número impar 2 7 . a)p>: b)p={ c)O<P<t 3. a) y(x) = SI (3LV - 5Lx3 4 29. x(t) = eTtí2 - 5 cos qt - $& sen Ft + 2x4) 04 ( + ‘3” (cos 3t + sen 3t) 31. x(t) = fe4’ + tee4’ - t cos 4t 33. x(t) = - f cos 4t + $ sen 4t + fe-2t cos 4t sen 4t -2e-2t 35. a) m$=-k(r-h)-,D$,osea Wd4 5. a).hh=E -+2X$+w’X=Jh(t), d? endonde2X=plmyw2=k/m b) x(t) = e-2t(- g cos 2t - g sen 2t) + g cos t + g sen t 37. x(t) = -cos 2t - + sen 2t + it sen 2t + it cos 2t b) hde la flecha máxima en la parte a) 39. b) $t sen wt Wn 1 45. 4.568 C; 0.0509 s 47. q(t) = 10 - 10e-3’(cos 3t + sen 3t) i(t) = 60ee3’sen 3t; 10.432 C 49. qp=Tsent+%cost j =E!!cost-ECsent P WnEI 9 . X=n2,n=1,2,3 ,... ;y=sennx 13. X = f, f = 0, 1,2 ,...; y = cos nx 53. q(t) f- t,-lot(cls 10t + sen 1Ot) + t; i C 15. X=$,n= 1,2,3 ,... ;y=eeXseny EoC 17. A=y,n= 1,2,3 ,... ;y=seny 1 --&Lc 1 cosGF + dZ¿Tio sen & + 1 “C cos i(t) = i0 cos & -&= 40 - 1 “c Sen & ( 1 EoCy sen yt yt 19. X = n2, n = 1,2,3 ,...; y = sen(n In x) 21. x=o;y= 1 n27? X=, n = 1,2, 3 ,...; y = cos 25. w,,=” n= 1,2,3 ,... -ayF 1 - y2LC EJERCICIOS 5.2 0-9 1. a) y(x) = &I(6L2x2 - 4Lx3 +x4) EJERCICIOS 5.3 x(O) = M 1. x 1, x'(O) = 1 x(O) = $, x'(O) = -1 t IX-9 R-l0 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR Para el primer problema de valor inicial, el periodo T es aproximadamente 6; para el segundo problema de valor inicial, el periodo T es aproximadamente 6.3. 3. x I I I x(O) = ;, x'(O) = -1 Cuandor=l,y(x)=$ &(x2-a2)+~ln~ 3 c) Las trayectorias se intersecan cuando r < 1. 19. a) 0.666404 b) 3.84411,7.0218 EJERCICIOS DE REPASO 1 . 8 f t 3.im 5. falso; podría haber una fuerza aplicada que im- pulsara al sistema 7. sobreamortiguado 9. z lb/ft ll. x(t) = - fe-2t + feAt 13. 0 < m I 2 86 15. 7’3 28í12 26 17. x(t) = e-4t ;cos2fit+ ~sen2fit ( 19. a) q(t) = - + sen 1 OOt + $ sen 50t Para el primer problema de valor inicial, el periodo T es aproximadamente 6; la solución del segundo problema de valor inicial no es periódica. 5 . 1x11 = 1.2 7. 2 dX+X=() d? 9. a) Se espera que x + 0 cuando t -+ 0~. (b) x x(O) = -3, 1 ++e-l b) i(t) = - f cos 1 OOt + ; cos 5t c) t = 2, n = 0, 1,2,. . . EJERCICIOS 6.1 1. (-1, l] 3. [-‘i, ;) 5. [2,4] 7. (-5, 15) 9. (0) 11 . x + 9 + 1x3 - 1x5 + . . . 3 30 13 . x-1x3+ziy5-4,7+... 3 15 315 - (-1)” 15. y = ce-‘; y = co C n!xn n=O - 1 x3” 17. y = ceX’“; y = co c 2 T n=O . ( 1 19. y=fi;y=coc x” n=O 21. y=Ctcosx+C;!senx ll. Cuando kl es muy pequeña, el efecto de no linealidad se reduce y el sistema se acerca a la resonancia pura. 13. Cuando X = 2 y w = 1, el movimiento corresponde al caso sobreamortiguado. Cuando X = i y w = 1, el movimiento corresponde al caso subamortiguado. 1 5 . a) xy” = rm. Cuando t = 0, x = a, y = 0, y dyh = 0. b) Cuando r # 1, Y = cozo ,X2n+ c,;o Izl;r_+ln>lx2n+l 23. y = Cl C2eX EJERCICIOS 6.2 1. y1(x)=co i 1 1 +=xs+ 1 6.5.3.2 X6 1 +9.8.6.5.3.2x9+... 1 P Respuestas a los problemas de número impar l x7 7.6.4.3 1 + ~&$7.(j.~&~+“’ 3. y,(x) = co yz(x) = Cl + $5 + $x7 + . . . 5 . y*(x) = co 1 1 EJERCICIOS 6.3 1 -TX9 7242 +.. . 1. x = 0, puntosingular irregular 3 . x = - 3,punto singular regular; x = 3 , punto singular irregular 5. x = 0, 2i, -2i, puntos singulares regulares 7 . x = -3,2,puntos singulares regulares 9 . x = 0,punto singular irregular; x = -5, 5, 2, puntos singulares regulares 1 ll. ~1 = $ r2 = 0 y(x) = c,x3” [ 1 - $x + 7.;?x2 22 1 7. YlW = co; Y2(X) = Cl c x” n=O .. .. 1 +$x2-424;x4+~xh-. .7 23 . 6 3 +-x145 -x34714 2 5! 4.7! 1 13. y,(x) = cg[ 1 + y + jx3 + 34 + *. .] y2(x)=c*[x+;x2+~3++4+. . .] 15. y(x) = -2 1 + &x2 + hx3 + hx4 + [ * = 8x - 2eX 17. y(x) = 3 - 12x* + 4x4 1 9 . y,(x) = co[l - Lx3 6 + Ix5 + . . 120 + 13. rl = i, r2 = 0 9. YI = coi 9; y2(x) = Cl 2 P’ ’ n=O n=O yz(x)=q x--x 1 11 1 -g.7.5.3!+‘- 23 + + 3 . 3! 23 - . . . c2 [ 1 2x - 2x2 ----ys y(x) = c,x7’8 1 -5x + 23. y5. 2x2 [ 22 23 +c2 1+2x+g.2 -x2-17~g~3!x3-.‘. [ 15. rl = f, r2 = 0 1 + 6x + -L.y(x) = c,x’” [ 1 + ix + Lx2 33 3! 32 2 .3+. 17. rl = i, r2 = 0 .l y(x) = c1x5” yz(x) = q[x - +x4 + &x6 + . . .] 1 + 2.2 + 97”2 22 3 -y-x 21. YI = co[l - ix2 + ix3 - ix5 + . . .] 1 +zx1 3 +zx 46 +~x7’49 + 23 4 1 .1 1 + 11 1 .g.7x3+- . 2 4 s7 8.5.2xIo+ +q x+Y&x + 7! x + lo! 1 2 3 5 -6.3 8 9.6.3xl1+... +jyx +Gx + 8! x + ll! 1 1 23 -31.23.15.3!x3+“’ 1 1 l+ix+5 2” + 8 . 5 . 2x3 + y2(x) = c*[x - s3 + +x4 - &x5 + . .] R-ll 19. rl = f, r2 = f 1 y(x) = c1x2’3[ 1 - 3 + J-$ - 33 + . .] + c2x”3[1 21. q=l,r2=-i - 3 + 32 - -&3 + . . .] 1 1 1 R-l2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR 31. &,2(x)= ~[;ssnx+(;-+o,.] 1 + c2x-‘f2 23. rl = 0, r2 = -1 y(x)=clx-‘C --J---x 2n+l -_xZn+c2x-lC = $[C 1cosh ~2 5 . &[(l-s)-X+(+WSX] 35. y = ciIV(x) + c2I.+(x), v f entero n=O (Zn)! . 33. J-7/2(x)= 43. a) x(t) = -0.809264x’nJl&3’2) + 0.782397x’i2J-,,+x3’2) n=O (Zn+ l)! 45. a) Pa(x) = +(23 1x6 - 3 1 5x4 + 1 05x2 - 5) x + C2 senh x] P7(x) = +(429x7 - 693x5 + 3 1 5x3 - 35~) b) PS(X) satisface a (1 - x2)y” - 2xy’ + 42~ = 0. rl=4,r2=0 P7(x) satisface a (1 - x2)y” - 2xy’ + 56y = 0. EJERCICIOS DE REPASO 27. r1 = r2 = 0 1 . Los puntos singulares son x = 0, x = -1 + Gi, ~(4 = Clydx) + C2 yh> ln x [ 1 1 -..-x4-. +yl(x) “‘2” -3. 3!x3 + 4 .4! L 1 2 . ) 11 en donde y,(x) = 2 $x? = ex n=O 29. rl = r2 = 0 . y(x) = Clyl(4 = C2FydX) ln x +y,(x)(2x+ Ax2+ -x3+ f f 4 27 .>l, - (-1)” en donde y,(x) = c - x” n=o W2” 1. - + C2y2(3X) y = qx -“2J1/2 (Xx) + c2x-“2J-1,2(xx> 13. Según el problema 10, y = x”~&~(x); del pro- blema ll, y = x”~J-&). 15. Del problema 10,~ =x-‘&(x); del problema ll, y = x-‘J,(x). Como J-i(x) =-Ji(x), no se produce una solución nueva. 17. Delproblema12conX=lyv=f$ y = ‘k J3/2(X) y Y = GJ-3,2(X). J-1/2(X) = 29. J-3/2(X) = îl [ 2 1 y(x)=C1x 1 +$x+---x2 7.5.2 [ 1 +g.7.5.3.2X3+... $[ 1 -x-+xL 1 cos x X - 1 1 15. rl= l,r2=-i 2 2 1 x-$x3+j+x5-&x7+. +c2p - cos x 7l-X ; -senx - . . [ y = ClJO + czYo(x) 27. . .] 13. y(x)=3 1 -xz+‘3x4-&x6+. + C2&/2(X) y = C,J2(3X) 1 1 yz(x) = Cl [x + f x3 + f x4 + .] y = CdIB(X) + C2&/3(X) y = C14/2(X) 1 1 ++x2+2.4x4+... [ 1 yz(x)=q x+fx’+3 . 5 xs +. . . 9. y1(x)=co [ ll. yt(x)=co[l +;x’+;x’+;x”+. EJERCICIOS 6.4 3. 5. 7. 9. x = -1 - 6i; todos los demás valores finitos de x, reales 0 complejos, son puntos ordinarios. 3. x = 0, punto singular regular; x = 5, punto singular irregular 5. x = -3, 3, puntos singulares regulares; x = 0, punto singular irregular 7. IXI < Oo 1 1 ---X3-... 32 .2 17. rl=3,r2=0 x3+$x4+yx5+... 1 1 Respuestas a los problemas de número impar 15. e3t sen t 19. e -t - te-’ 11 19. rl = r2 = 0; y(x) = Cle’ + C2e” In x EJERCICIOS 37. s2 - 4 (s2 + 4>2 43. it sen t 1 19. E 21.4-0 s5 s2 s 27.Se -77s s2 + 4 31. f(t - 2)%(t - 2) 39 35. %(t - 1) - e-(‘- ‘) oll(t - 1) 6s2+2 *(s2 45. (c) 41 12s-24 ’ [(s - 2)2 + 3612 47. (f) 49. (a) 51. f(t) = 2 - 4 Q(t - 3); Li!?{ f(t)} = 5 - !e-” s2- 1 (s2 + 1y 15. l s2+2s+2 21. 5 - t - .5e-’ - 4te-’ - +?e-’ (s - 1)4 33. -sen t Q(t - T) 7.1 13. ~ (s - 4)2 17 . e-2t cos t - 2ee2’ sen t 23. 6emS 29. ~ R-l3 17. ~ 53. f(t) = tz %(t - 1) = (t - l)%(t - 1) + 2(t - 1) %(t - 1) + %(t - 1) 23.2.6-3 s3 s2 s ce{f(t)} =2$+25+$ 55. f(t) = t - t %(t - 2) =t-(t-2)%(t-2)-2Q(t-2) ek - e-b 33. Use senh kt = ~ para demostrar que 2 %{senb 1 1 35* 2(s-2) 37 2 k kt} = -. s2- P 41tw-G *s2+ 16 *s3/2 ce(f(t)> =$$-2~ 57. f(t) = %(t - a) - %(t - b); ce(f(t)} = G - $ 59. f(t) 2.s3n 1 EJERCICIOS 7.2 1. f? 3.t-2t4 7. t - 1 + e2t 13. cos i t 1 /-- 5.1+3t+;?+iP 9. feefi4 15. f senh 4t emt - e3t 61. 7 ll. 5 sen 7t -3t 2l.+“‘+fe’ 19. L-L 3 3e 25 Le2t _ e3t + Lee’ 23. 0 jeo,‘t + 0 (je-o.2t ‘2 2 27. - +e-’ + +eZt - +ee31 29. at - $ sen 2t 31. -+-2’+tcos2t+asen2t 33.fsent-$sen2t 6 7. 3* (s + 3 (s - 5)2 - 9 11. .L [12 s+l EJERCICIOS 7.4 1. Como f’(t) = et, f(O) = 1, de acuerdo con (1) 3. EJERCICIOS 7.3 le (s -1loy 3 5- (s ;1’2 + 9 2)4 1 9.1 + - + ~ (s - 2)2 (s - 3)2 (s - 4>2 s+l (s+1)2+4 63.ev2’[-$-+-$-t] 17.2 cos 3t - 2 sen 3t 1 13 1 t2ew2’ ‘2 7. 13. 19. 23. Y{e’} = s Z{e’} - 1. Al resolver obtenemos 2{e’} = l/(s - 1). 28-1 (s2 + 3s) Y(s) - s - 2 5. Y(s) = cs - 1j2 s+l 1’ 9 ll. ___ s(s - 1) * s[(s + 1)2 + l] s2(s - 1) 3s2 + 1 6 48 s2(s2 + 1y 15 - s5 17 * s8 s-l 21. (f(r)e-5(t-ti dT (s + l)[(s - 1)2 + l] 1 - eet 25. - fe-’ + f e2’ 27. It 4 sen 2t l R-l4 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR 31 ( 1- e-y = 1 - e? * S(1 - e-y S(1 + e+> 35 coth(m/2) 3, 1 s2+ 1 *s2+1 33.q(&iq 47. j(t) = L + 4(emRtlL R ti + + 2 (e-R(t-W _ 1) qqt _ n> n=l EJERCICIOS 7.5 Cuando 0 I t < 2, t++,-RtlL- 11, R ti 1. y=-1 +e’ 3.y=teA4’+2ed’ 10 3t 5. y = 4e-I - fee4’ 7. y = it + 2”; - &P + $e 9. y = $t5e2’ - 1) ll.y=cost-isent-ftcost i(t) t L = < R+ 2 (e -Rt/L- 13. y=i-+e’cost++tsent 15. y = - fe-f’2 + $p + y + 3-’ + f (e-W- 1) 1W _ 11, 11tc2 L 17. y = cos t 19. y = [5 - 5e-(‘-‘)] oll(t - 1) 21. y=-$+;t+fp-fqqt- 1) -f(t- 1)%(t- 1) 49. q(t) = +-lot + 6te-Io’- $ cos 10t i(t) = - 60te-lo’ + 6 sen 10t La corriente de estado estable es 6 sen 10t. + lew2(’ - ‘1 Q(t - 1) 23. y = ~0”s 2t - f sen 2(t - 27r) %(t - 27r) + f sen(t - 279 %(t - 27r) 25. y = sen t + [l - cos(t - T)] õll(t - TT) -[l - cos(t - 2791 Q(t - 27r) 27. y = (e + l)te-‘+ (e - l)e-’ 29.f(t) = sen t 31. f(t) = - $e+ + $e’ + :te’+ itze’ OIt<l 33.f(t) = e-’ 35. f(t) = +i2t + $em2’ + : cos 2t + $ sen 2t 37. y sen t - ft sen t 39. i(t) = 20 OOO[te-‘OO’ - (t - l)fF’OO(‘- l) %(t - l)] 51. q(t) = di? 7 fi -7l/z 53. x(t) = - ;em7tD cas -p - 10 e sena --t 2 wd2 2 WCJ 3 wo 55. y(x) = EIX - x4 12EIx + 24EI 57. q(t) = $ te-‘lRC woL2 2 y(x)=48EIx +d 3 --x 24EI 43. q(t) = f oU(t - 3) - $ em5(’ - 3, %(t - 3) 45. a) i(t) = -$ e-lo’ - $ cos t + 5 sen t EJERCICIOS 7.6 1. y=e3(‘-2)õU(t-2) 3.y=sent+sentõll(t-27r) 5. y=-costou(t-q)+cost’u(t-li-) +&sen[t-%)%(t-$) b) i,,,k = 0.1 cuando t= 1.6 hin z-O.1 cuandotz4.7 i(t) 7. y=f-fe-2’+[~-~-2(‘-‘)]~(t- 1) 9. y = e-‘@- 2*) sen t õu(t - 27r) ll . y=e-2’cos3t+le-2’sen3t 1 + fe-2(t-d se1 3(t - 7r) aU(t - 7~) + ‘e-2(‘-3r) sen 3(t - 37r) %(t - 37r) 2 Respuestas a los problemas de número impar EJERCICIOS 7.7 b) (e{ f(t)} = f + se-& 1. x=-ie-2t++et 3.x=-cos3t-fsen3t y = +‘2t + fe’ y=2cos3t-:sen3t 5 . x = -2p + lp - I2 7.x=-tt-:dTsendTt 2 ,$p-?$L~ y=-ft+tfisenfit 9. x=8+$+&t4 13. 29. y = 5te’ + +?e’ 31. y=5Q(t-7r)-5e2(f-r)coSfi(t-7r)%(t-7r) + 5 4Fe2@- sen *) dT(t - x) oll(t - 7r) 33. y=-&-$-ff2+#?5t l)-f(t- 1)2 + 21e5Q - “ 1 Q(t - 1) 1 -e-t = - f + fe-f + fte-’ x=y+t+ y c) Ce { e ff(t)} = &- +$-gzm2” - ‘) -[-f&-;-(t- y=-+t3++t4 ll. X,=+t++mGt+++0&t 35. y = 1 +tq 37 . x=-L+!? -2t+L 21 *e se y = t i 9ee2’ - +e2f 39. i(t) = -6 + 2t + 9e-t’5 4z XZ=~sent-~Sen~t+~cost+~cos‘l6t 5 113cost+$sent i3 = $e-” + 3-‘5t - E cos t + z sen t i2 = _ -e-2t + 3ï5e-15t + 0 13 1469 . 6 6 -1oot 12=5-ze cosh [ +$(x-;i c) il = 20 - 20em9”’ 19. il = $! - feelOot cosh 5fit -Fe p12 -1001 L2 L3 -$x5+IX -5x3+-$ wo 41. v(x)= 12EIL 15, b) i2 = $! - $Qm900t i3 = ~ _ ~-900t 17. R-l5 EJERCICIOS % ( x-i )] 8.1 senh 50 *t 5mt - @ewlOo t senh 50 fit 5 21. 9, = $ cos 2 t + ; cos 2t 6 ~2=~cos2t+~cos2t 47 EJERCICIOS DE REPASO 1 . $ - Zg+ 3. falso 5. cierto 7. - 1 s+7 9. 2 11.4s 1 3 - ‘t5 1 5 ‘2 &5’ s2+4 (s2+4)2 6 1 7. e5t cos 2t + ,ew sen 2t 19. cos7r(t-l)2%(t-l)+sena(t-l)%(t-l) 21. -5 23. e-~s-a)F(s - a) 25. a)f(t)=t-(t-l)Q(t-l)-%(t-4) b) (e{ f(t)} en donde x = y 2 (1 7. %=4x+2y+e’ ti% -x+3y-e’ m= 9 . t=x-y+2z+e-‘-31 di = -$ - $ems - +e* 1 c) Z{eff(t)} = L- ~ -b-l) (s - y* (s - l)Ze _ -..-e-4(S - 1) S-l 27. a)f(t)=2+(t-2)%(t-2) 3x - 4y + 2 + 2e-’ + t 2 = -2x + 5y + 62 + 2e-’ - t 17. Sí; W(Xl, X2) = -2e-*’ # 0 significa que XI y X2 son linealmente independientes en (--, -). RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR R-l6 19. No; W(Xl, X2, X3) = 0 para toda 1. Los vectores solución son linealmente dependientes en (--, -). Observe que X3 = 2X1+ XZ. 0 Il Ll 1 0 25. X = cl 1 e’+ cz 1 1 t01 e’ + 0 1er et EJERCICIOS 8.2 1 . X=q(:jeit+c2(-:)e+ 1 2 , . X=-7(:je”+13(2:+” 3. x=C,(:),-)‘+,(q?t 29. Los vectores propios correspondientes al valor propio XI = 2, de multiplicidad cinco, son 5. X=c~G)e8t+c2[~)em10t 7. il 11 X=c~~]et+c2~]e2t+c3~ -1 9 . x = Cl 1 0 cf + c2 1 e -t 1. 1 -1 evZr 4 e3r + c3 3 3 e-3t/2 l l . x = c ,[-~]e-t+c2~~]e-t’2+c3~-~ \ / 33. X = cl (_,,,i:t,, *)e4’ + c2 [s8LL”,‘,, t)e4r 35. 13. X=3(:)eti2+20,- (-0.923562 \ ! 0.405 188 -0 676043 e2.25684r 0:615458 3,. Scos3t x=q t 4cos3t+3sen3t 1 ( 5sen3t +c2 4sen3t-3ux3t x=C,b]+C2[;;;;]+C3[-:;] 39. X=c,~]et+c2~~]et+c3[~~~~]et 0 il e2t+c2[(t]te2t+[j)e2t] 1 et + c2 0 1 1 e2’ + c3 (1 28 4 1 . X = -5 e2t + ci 25 5 cos 3t -4cos3*-3 sen3t‘i ee2’ 0 e2’ 1 . 43. x=- (“]et-~5tZZ~5t] +6 i 1 5 cos 5t + sen 5t sen 5t sen 5t 1 Respuestas a las problemas de número impar EJERCICIOS 8.4 EJERCICIOS 8.3 1 . t! t tt eAt= (0 ett); emAt= (0 e!2t) t+1 3 . eAt= -2t t+l - 2 t -2t-k 1 5. X=q(o),‘+c2~)e2’ 9. X=c3(b)et+c4(I)e2’+(-l) l l . x=c, p;)+c2(s4-(;) 1% x= fe3’ - !.est - fe3t + !pst c, L Te3 31-1le51 - 3” + 95t l(c2 1 EJERCICIOS DE REPASO 3. X=q(_t)e’+c2[(-:)tet+l)et] 19. x= c,~-~]+c2[~]e2t+c3~]e3t - %2t + .!te” 7. X=c*~~]+c2~]+c3[~]e3t + -et + lezt + Lte2’ 4 i $8 e3t 5 . X=q (fsenz:l)et+c2~~~)et 1 1 21. X=~)te2t+(-t)e2t+[~)te4t+~)e4f 23. (::) =*(h)e-i’+$(_~)e-“’ +[g)sent-[g]cost + ( sen t lnlcsc t - cot tl sent+cost 1 R-17 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR R-l8 EJERCICIOS 1. 7. 9.1 rIII\ \ IIIIII / V I ,c- t \ I 1 ,RC I I I I I I I I I //H I II \\ \ \ \ tttlll I I I ll \\ \ \ \ I l\ \ ll\\\\ //llll l\ \ l\\\\\ ///III I ‘Tl I /// \ I I \\\\\\ 1111// \\\\\\ I \\\\lI II / 111111 \\\\II 111111 \\\IlI I I I \\lIII l l I Idi? 3. Y \\\ \ \‘, ll \\ \ \\ \ \ \ \ .\\ / \ I I I I I I \ - x I I I \ I I I \\- \ \\ \ / I x ll I 0// I I I \.r,, III @ \\\\-\\\.-- \\\.-9. t/,/- 111111~ - f --\ t -.\ -.\ I III/// II --.\\\ ,4- I I I Il\\ I I /0 III\ I I Y ,,,/-- \ EJERCICIOS 9.2 b)h=O.l -c/,,, i -r/,,, --.,,, Respuestas a los problemas de número impar Y?l Valor verdadero 0.00 2.0000 2.0000 0.10 2.1000 2.1230 0.20 2.2440 2.3085 0.30 2.4525 2.5958 0.40 2.7596 3.0650 0.50 3.2261 3.9082 xn Yn Valor verdadero 0.00 2.0000 2.0000 0.05 2.0500 2.0554 0.10 2.1105 2.1230 0.15 2.1838 2.2061 0.20 2.2727 2.3085 0.25 2.3812 2.4358 0.30 2.5142 2.5958 5. h=O.l h = 0.05 xn Yll xn Yll 0.00 0.0000 0.00 0.0000 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.1000 0.2010 0.3050 0.4143 0.5315 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.0500 0.1001 0.1506 0.2018 0.2538 0.3070 0.3617 0.4183 0.4770 0.5384 h = 0.05 0.35 2.6788 2.7997 0.40 2.8845 3.0650 0.45 3.1455 3.4189 0.50 3.4823 3.9082 3. h=O.l R-l9 7 . h=O.l h = 0.05 xll Yn Xn Yll 0.00 0.0000 0.00 0.0000 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.1000 0.1905 0.273 1 0.3492 0.4198 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.0500 0.0976 0.1429 0.1863 0.2278 0.2676 0.3058 0.3427 0.3782 0.50 0.4124 h = 0.05 9. h=O.l h = 0.05 XII Yn xII Yll 1.00 5.0000 1.00 5.5000 xII Ytl xn Y?l 1.10 3.8000 1.05 4.4000 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.5000 0.5250 0.5431 0.5548 0.5613 0.5639 0.00 0.5000 0.5125 0.5232 0.5322 0.5395 0.5452 0.5496 0.5527 0.5547 0.5559 0.5565 1.20 2.9800 1.10 3.8950 1.30 2.4260 1.15 3.4707 1.40 2.0582 1.20 3.1151 1.50 1.8207 1.25 2.8179 1.30 2.5702 1.35 2.3647 1.40 2.1950 1.45 2.0557 1.50 1.9424 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 R-20 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR h = 0.05 l l . h=O.l h = 0.05 c) h=O.l xn Y?l xII Yn XII Yn xn Yn 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.0000 1.0000 1.0191 1.0588 1.1231 1.2194 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1 .oooo 1 .oooo 1.0049 1.0147 1.0298 1.0506 1.0775 1.1115 1.1538 1.2057 1.2696 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.0000 0.0952 0.1822 0.2622 0.3363 0.4053 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.0000 0.0488 0.0953 0.1397 0.1823 0.223 1 0.2623 0.3001 0.3364 0.3715 0.4054 1 3 . a) h = 0.1 h = 0.05 d) h = 0.1 h = 0.05 xn Y?l Gl Yn Xn Yn xn Yn 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 5.0000 3.9900 3.2545 2.7236 2.3451 2.0801 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 5.0000 4.4475 3.9763 3.5751 3.2342 2.9452 2.7009 2.4952 2.3226 2.1786 2.0592 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 5.0000 0.5215 0.00 0.05 0.10 0.15 0.5000 0.5116 0.5214 0.5294 0.5359 0.5408 0.5444 0.5469 0.5484 0.5492 0.5495 1.50 b) h = 0.1 h = 0.05 xn Yn 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.5362 0.5449 0.5490 0.5503 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 h = 0.05 e) h=O.l -% Yn xn Yn xn yn 0.0000 0.00 0.0000 1.00 0.1005 0.2030 0.3098 0.4234 0.5470 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.0501 0.1004 0.1512 0.2028 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1 .oooo 1.0095 1.0404 1.0967 1.1866 1.3260 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1 .oooo 1.0024 1.0100 1.0228 1.0414 1.0663 1.0984 0.2554 0.3095 0.3652 0.4230 0.4832 0.5465 1.1389 1.1895 1.2526 1.3315 R-21 Respuestas a los problemas de número impar 15. a) El aspecto de la gráfica dependerá del programa ODE solver que se use. La gráfica de abajo se obtuvo con Mathematica en el intervalo [l, 1.35561. b ) y”(c): <(l)y=O.OOS l l c) Si h = 0.1, y5 = 0.4198. Si h = 0.05, ylo = 0.4124. d) Con h = 0.1 el error es 0.0143 y con h = 0.05, Y es 0.0069. EJERCICIOS 9.3 1.1 1.2 1.3 b) xn 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Euler 1.0000 1.2000 1.4938 1.9711 2.9060 - - 1. Euler mejorado xn Yll Valor exacto 0.00 1 .oooo 1.2469 1.6668 2.6427 8.7989 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 2.0000 2.1230 2.3085 2.5958 3.0649 3.9078 2.0000 2.1230 2.3085 0.5958 3.0650 3.9082 17. a) yl = 1.2 3. b) y”(c) 4 = 4e 2c@& 2 - 0.02e2” I 0.02e0,2 = 0.0244 c) Valor exacto esy(O.l) = 1.2214. El error es 0.0214. d) si h = 0.05,~~ = 1.21. e) Con h = 0.1 el error es 0.02 14 y con h = 0.05, es 0.0114. 19. a) yl = 0.8 7. b) y”(c) z = 5ew2’ @f$ = 0.025e-2C SO.025 paraOIcI0.1. c) El valor exacto es ~(0.1) = 0.8234. El error es 0.0234. d) Si h = 0.05, y2 = 0.8125. e) Con h = 0.1 el error es 0.0234 y con h = 0.05, es 0.0109. 21. a) El error es 19@e”@- ‘1. b) y”(c)$ 19(0.1)2(1)=0.19 c) Si h = 0.1, y5 = 1.8207. Si h = 0.05, ylo = 1.9424. d) Con h = 0.1 el error es 0.2325 y con h = 0.05, es 0.1109. 1 h2 23. a) El error es ~ -. (c+ 1)2 2 11. X” Yn 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 5.0000 3.9724 3.2284 2.6945 2.3163 2.0533 X” Yll 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.0000 0.0953 0.1823 0.2624 0.3365 0.4055 X” YII 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1 .oooo 1.0101 1.0417 1.0989 1.1905 1.3333 5. 9. x* Yll 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.0000 0.1003 0.2027 0.3093 0.4228 0.5463 x, Yn 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.0500 0.5213 0.5358 0.5443 0.5482 0.5493 R-22 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR 1 9 . a)Y(~)(C) - =~ 24 -h5 13. a) ~(5) = 35.7678 b) Y 5! (c+ 1)s 5! b)---(c+ 24~<24(“~1)5=20000~10~ 1j5 5! 5! --* c) ~5 = Ó.405465 17, calculado con h = 0.1. ylo = 0.405465 ll, calculado con h = 0.05 EJERCICIOS 9.4 1. y(x) = -x + ex; y(0.2) = 1.0214, ~(0.4) = 1.0918, ~(0.6) = 1.2221, ~(0.8) = 1.4255 c) v(t)=~~tar+t;w(5)=35.7678 1 5 . a) h = 0.1 3. h = 0.05 xII Yn 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.0000 1.2511 1.6934 2.9425 903.0282 XII 1.00 Yn 1 .oooo 1.1112 1.2511 1.4348 1.6934 2.1047 2.9560 7.8981 1.1 E + 15 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 x, 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 5. b) El aspecto de la gráfica depende del progra- ma ODE solver que se use. La siguiente gráfica se obtuvo con Mathematica para el intervalo [l, 1.35561. Y Ytl 1 .oooo 0.7328 0.6461 0.6585 0.7232 x, Yn xn Yn 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 0.0000 0.2027 0.4228 0.6841 1.0297 1.5569 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.0000 0.1003 0.2027 0.3093 0.4228 0.5463 0.6842 0.8423 1.0297 1.2603 1.5576 x, Yll Xn Yn 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 0.0000 0.0026 0.0201 0.0630 0.1360 0.2385 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.0000 0.0003 0.0026 0.0087 0.0200 0.0379 0.0629 0.0956 0.1360 0.1837 0.2384 10 8 6 7. 4 2 ,i I 1.1 1.2 1.3 IX 17. a) y1 = 0.82341667 h5 = 40e-2C ti < 40,$0) @!f b) y(5)(c) _ 5! 5! 5! = 3.333 x 10” c) Elvalorexactoesy(0.1)=0.8234134413.E1 error es 3.225 x lo6 53.333 x 10”. d) Si h = 0.05, y2 = 0.82341363. e) El error con h = 0.1 es 3.225 x 10” y con h = 0.05 es 1.854 x 10m7. Respuestas a las problemas de número impar EJERCICIOS 9.5 3. Comparación de los métodos numéricos con h = 0.1 1. y(x) = -2ea + Zaeh; ~(0.2) = -1.4918, 3. yz = -1.6800 yl = -1.4928,y2 = -1.4919 x2 = 8.3055, y2 = 3.4199 9. x1 = -3.9123,y1 = 4.2857; x2 = -3.9123, y2 = 4.2857 ll. x1 = 0.4179,y1 = -2.1824; & Euler Euler mejorado RungeKtltta 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 2.0000 2.1386 2.3097 2.5136 2.7504 3.0201 2.0000 2.1549 2.3439 2.5672 2.8246 3.1157 2.0000 2.1556 2.3454 2.5695 2.8278 3.1197 Comparación de los métodos numéricos con h = 0.05 x2=0.4173,~2=-2.1821 EJERCICIOS 9.6 1. yl = -5.6774,y2 = -2.5807, y3= 6.3226 yl =-0.2259,y:! =-0.3356,~~ = - 0 . 3 3 0 8 , 3. y4=-0.2167 5. yl =3.3751,y2=3.6306,y3=3.6448, y4 = 3.2355,y5 = 2.1411 7. yl = 3 . 8 8 4 2 ,y2 = 2 . 9 6 4 0 , y3= 2 . 2 0 6 4 , y4 = 1.5826,~~ = 1.0681,~~ = 0.6430, y7 = 0.2913 9. yl = 0.2660,~~ y4 = o.9471,y5 = 0.5097,~~ = 0.7357, = 1.1465 y7= 1.5149,ys= 1.685,~;;~ ::;:::’ 11. yl= 0.3492,y2=0.7202,ys= 1.1363, y4= 1.6233,ys=2.2118,~~=2.9386, y7 = 3.8490 13. c) y=-2.2755,~~ o R-23 = -2.0755, yz=-1.8589,y3=-l.6126,y4=-1.3275 EJERCICIOS DE REPASO 1. Todas las isoclinas y = cx son soluciones de la ecuación diferencial xII Euler Euler mejorado RungeKutta 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 2.0000 2.0693 2.1469 2.2329 2.3272 2.4299 2.5410 2.6604 2.7883 2.9245 3.0690 2.0000 2.0735 2.1554 2.2459 2.3450 3.4527 2.5689 2.6937 2.8269 2.9686 3.1187 2.0000 2.0736 2.1556 2.2462 2.3454 2.4532 2.5695 2.6944 2.8278 2.9696 3.1197 5. Comparación de los métodos numéricos con h = 0.1 xn Euler Euler mejorado Rungô Kutta 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 0.5000 0.6000 0.7095 0.8283 0.9559 1.0921 0.5000 0.6048 0.7191 0.8427 0.9752 1.1163 0.5000 0.6049 0.7194 0.8431 0.9757 1.1169 Comparación de los métodos numéricos con h = 0.05 XII Euler Euler mejorado 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 0.5000 0.5500 0.6024 0.6573 0.7144 0.7739 0.8356 0.8996 0.9657 1.0340 1.1044 0.5000 0.5512 0.6049 0.6610 0.7194 0.7802 0.843 1 0.9083 0.9757 1.0453 1.1170 RungeKutta 0.5000 0.5512 0.6049 0.6610 0.7194 0.7801 0.8431 0.9083 0.9757 1.0452 1.1169 R-24 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO WAR EJERCICIOS 10.1 23. f(x) = 3 + i”G2 1 yl,>‘COSnx o1 sen25. f(x) = ++;--2 cos nírx EJERCICIOS n-l 10.2 n l-cosy f(x) = ‘2 8,=l sen n71x OD ;-1,n 27. f(x) = ~+~&-gos2nr n f(x) = iz&=nh ~ 2cos”i”- (-1y,- 1 29. f(x) = ;+fz I 1 tl2 cos nx 1. s e n f(x) = z,+senm n J'.f(x)=3+$ ~ COZ-1 f2 cos -x 2 n-l f(x) = 2 {-&seny - ;;2n(-l)“}senyx 33. f(x) 5 2” 3(-1)” - 1 cosnBx = ii+lr2,=, -2 d f(x) = 35. f(x) = 4d 37. f(x) = i - ~~~sen2tzfrx 19. Fijar x = a12. EJERCICIOS 4 2 (-l)“+l + (-1)” - 1 nn tl’l? 1 n=l { 3 +45 Lcosnx-nsennx “=, L n2 n sen nmx 1 39. X,(t) = F 2 $JI$sen nl n 1 10.3 1. impar 3. ninguno 5. par 7. impar 9. ninguno 11 . f(x) = 2p-(-1)”sennx n n,=, 41. xp(t) = $ + 16 #zI n2tn21T 48) cos nt 43. (b) y(x) = $$5ysenffx "-1 51. i+T (-~~2~1cos*+~sennx ll-1 I 53. f(x,y)= i+fZ (-1~2-1cosm, + ‘2 t-,)i_‘l cosnlry ã2,,, n2 +z..,~W-m,~;“” - 11 cos msx cos twy 19. f(x) = in:' -(-'T(' + ")senm n7r oD cos--l 2Lf(x)=;+$ ll=1 i2 EJERCICIOS cos-x 2 10.4 1. y = cosa x; udi = di; 0.7402,11.7349,41.4388, Respuestas a las problemas de número impar 90.8082; cos 0.8603x, cos 9.5293~ 5. t(l +sen WÁJ cos 3.4256x, cas 6.4373x, 7. (P) h = (~)<y=sen(~lnx),n=l,2,3 19. f(x) = $ g $$fj Jo(4x) ,... (b) $[xy’]+;y=O (0) I:rsen(~lnx)sen(~lnx)*=O,mfn 9. ta) 1: cos x,x cos x.x ak = 0, m st n, donde x, y x. son raíces positivas de x = x ll. -$ [xe-“y’] m#n W. (a) A = + ne-‘y = 0; 1: e-“&(x)&(x) dx = 0, 16nz, y =sen(4n tan-’ x), n = 1,2,3, . . . (b) ,;&2 sen(4m tan-lx) sen (4n tan-Ix) dx = 0, m f n EJERCICIOS 10.5 3. f(x) = g &j’oW Ab (2A.) 5. f(x) = 4 g (4A? L ;)J,;(2Ai) Jo(Aix) AJ2(4AJ 7. f(x) = 20 i is, (2A’ + l)J?(4Ai) J1tAix) 1. Los posibles usos se pueden sumarizar en una forma u = clec~(XsyJ, donde CI y ~2 son constantes. 3. u = cleY+++ 5. u = c,(xyp 7. no separable 9. u = e-‘(AlePA cosh hx + B,& senh Ax) u = e-‘(A2e-k’2’ cos Ax + B2emkAzr sen Ax) u = (c,x + c8)c9e+ ll. u = (cl cosh Ax + c2 senh Ax) X (c3 cosh Aat + c, senh Aat) u = (c5 cas Ax + c6 sen hx)(c7 cas hat + c8 sen hat) u = (w + c,o)(cd -t < 0 son similares. Para u = (qx + c2)(c3 cosh y + c4 senh y). - %P,(x) + * * * 15. Usar cos 20 = 2 COS* - 1. 19. f(x) = iPo + #P*(x) - paP,(x) + **. f(x) = 1x1 sobre (-1, 1) EJERCICIOS DE REPASO 1. verdadero 3. coseno 5. : 7. falso 9. &.-lCXS1 17. elíptica 19. parabólica 21. hiperbólica 23. paraMica 25. hiperbólica 29, u = en(-3x+Y), u = en(t+Yf 31. La ecuación x2 + 4y2 = 4 define una elipse. La ecuación diferencial parcial es hiperbólica al exterior de la elipse, parabólica sobre la elipse y elíptica dentro de la elipse. EJERCICIOS 11.2 - l] cosnsx +2(-1)“sennax II 1 1. ka2~-a~ j-g-;,o<.x<L, t>O u(O,t)=O,~~x=L=O,t~o cos n7rx u(x,O) =f(x),O<x< 3 . k$=$,O<x<L, y=cos(y*htx) c**) 13. u = (q cosh hx + c2 senh Ax)(q cos Ay + cO sen Ay) U = (C5 COS hX + C6 Sell hX)(C, cosh Ay + C8 SeIlh Ay) u = tw + clo)(cnY + CI21 15. Por AZ > 0 existen tres posibilidades Los resultados para el caso -AZ A2 = 0 tenemos 9. f(x) = ; - 4 z 13. f(x)=$+~~,{-j--[(--1)” EJERCICIOS 11.1 u = (c, cosh Ax + c2 senh Ax) x (c, cosh \/l-hiy + c4 senh my), A2 < 1 u = (c, cosh Ax + c2 senh Ax) X (c3 cos VFiy + c4 senVFTy), A2 > 1 u = (c, coshx + c, senhx)(c3y + ca), AZ = 1 l. 1.277, 2.339, 3.391, 4.441 &JO(AiX) IO 1 ll. f(x) = Po(x) + PP*(x) l3. f(x) = fPo(x) + iP*(x) + f&(x) R-25 L t>O u(0, t) = loo, g =L = -hu(L, t), t > 0 I R-26 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DE NÚMERO IMPAR m 5. a’$=$,O<x<L, u(O,t)=O, B 9. u(x, t) = ee@ 2 A,{cos q.t + Gsen q,t}sen nx, t>O n=l u(L,t)=O,t>O u(x,O)=x(L-x), donde A. = i 1: f(x) sen nx dx y qn = m ~,=O=o,o<x<L OD ll. u(x, 7. a2$-2/3~=$,O<x<L, t>O sen EX, L donde A,, = 2 jif(x)sen yx dx $l,=o = 0,o < x < L 9. s+$=O, c A, cos $ at + B,sen !$ at 1 “=l ( X ~(0, t) = 0, u(L, t) = sena4 t > 0 u(x, 0) = f(X), t) = 2L L B, = G I o &)sen~x dx O<x<4,O<y<2 au =o, u(4,y)=f(y), O<Y<2 ax r=O au = 0, u(x,2) = 0, o<x<4 ay y=o Eu(x,t)=t+senxcosat 17. u (x, t) = & sen 2x sen 2at 19. (a) EJERCICIOS 11.3 -6 ~-k(n2~‘lL2)t sin Ex L 3. u(x, t) = ; 10” f(x) dx EJERCICIOS 11.5 e-k(“z”*‘Lz)r~os~x +;z (/:f(x)cos~xdx n 1 e-k(n’n*/L’)r cos y x 1 dx EJERCICIOS 11.4 xsmh-(b a 1. u(x,t) =$$,l -~~l)“cos~tsen~x n A 6ti 3. u(x,t) =ã2 cos~tsen~x 1 Sra -y)senyx Sa -pcosytsenFx + ‘cos*tsen7Tx 72 L L - .. -1 5. u(x, t) = i senat sin x oi sen- n7ra ‘I.u(xJ)=$r;+ cos-tsen-x L L n 2 0 dx donde A, = - I f(x) sen-x a a 0 Respuestas a los problemas de número impar ;g(x)senyxdx R-27 f(x)sen - A,coshyb 1 7. u(x,y) = -oi 7r ‘=’ (2n - 1) cosh (y) n 13. u = u, + u2, donde DD u,(x, y) = 3 z ~~e~,~~ senhny sennx u*(x y) = 2; [l - (--1)“l n T*=l Xsenhnx+senhn(n-x) senhna x cosh (y) ,sen(y) ay 9. (b) 1.8751, 4.6941 sen ny EJERCICIOS 11.8 EJERCICIOS 11.6 1. u(x, t) = 100 + 7 t ‘-‘)I - ’ e-kn’n21sen n7rx n 1. u(x, y, t) = 5 2 A,,e-k(mz+n2)r m=l n=l sen mx senny, donde A,. = --&[l - (-l)“][l - (-l)“] 3 . U(X,f)=UO-&x(X-1)+2Cm [@ ;+ &] 3. u(x,y, t) = 2 ~A,senmxsennycosa~t, m=l n=* X [(-1)” - l]e-~2r’rsenn77x donde A,. = ---&-g [(-1)” - l][(-1)” - l] 5. u(x, t) = ti(x) + i A,e-k”2’z’sennnx, n=l 5. u(x, y, z) = 2 2 A ,senho,tsenyxsenyy, donde e(x) = f& [-e-b + (e-B - 1)x + l] Y m=l n=l donde 0,. = JpJqg A, = 2 /i [f(x) - e(x)] sen nlrx dx 7. l)(x) = uo 1 ( senhdEx senh VZZ 1 9. u(x, t) = $ (x - x’) + -2 (-1)” - cos n7ratsen nnx a27r3n=, n3 ll. u(x, y) = (ug - u1)y + u1 + ;z, “o’-l;’ - u1 p"Senn~y n EJERCICIOS 11.7 sin A. 1. u(x,t) =2hf e-kr.‘t cos A,x, ncl h,[h + sinzA,] donde las A, son las raíces positivas consecutivas de cot A = Alh 3. u(x, y) = 2 A, senh A,y sen A.x, “=l donde A, = Am = absen~(c~~~)~~~~f(x,y)sen~xsen~ydxdy senh,A,b[a?+ cos2A,a] !?(x)‘sen Anx dx ’ las A, son las raíces positivas consecutivas de ha = -Alh EJERCICIOS DE REPASO 1. u = cl&‘+Y’c*) 3. ti(X) = Uo + ex 3n?r _ cos-- cos5. u(x, 9 = g; 4 n* 4 sen mrat n sen 7. u(x, y) = f $, n,~~~~ senh nx sen ny n 9. u(~,y)=~$~-~-~)“e-“senny ” ll. u(x, t) = e-l sen x 13. u(x, t) = e-(x+r) i A,[m cos -\/ñ2+lt n-l + sen V%Tit] sennx EJERCICIOS DEL APÉNDICE I 1. a) 24 3. 0.297 b)720 447 c)~ 86 d)-15 n77x R-28 RESPUESTAS A LOS PROBLUIAS DE NÚMERO IMPAR EJERCICIOS DEL APÉNDICE II 0 Se4’ - f c) t2 ( 31. x=3,y= t (lln) sen t3.- 6 7rt 1 l,z=-5 33. x=2+4t,y=-5-t,z=t 35. x=-~,y=;,z=~ 37. XI = 1,x2 = 0, x3 = 2, x4= 0 41. XI = 6, AZ = 1, K1 = ; 43. Xl=Xz=-4,&= ll. (-1;) 13.(-:;) 15. singular 17. no singuiar; A-’ = f K1 = 21. no singular; A-* =$ 31 2e \-4e-’ ,K3= 47. X~=X~=XJ=-~, 19. no singular; A-l = f 23. A-‘(t) = 1 1 38 45. sil =0,&=4,&=-4, 49. X1 = 3i, AZ = -3i, -4 2e-’ K, =(’ ;3i),K2=(I :,j ll 1 9 1 1 l eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee l l e l l l 0 l l l l A Agnew, Ralph Palmer, 32 Amplitud: amortiguada, 206 de oscilaciones libres, 200 Analiticidad en un punto, 249 Ángulo de fase, 200 Aproximación(es): lineal local, 406 por diferencias centrales, 43 1 por diferencias finitas, 430-43 1 Aritmética de las series de potencias, 249-252 B Barra de torsión, 213 Bessel: ecuación paramétrica, 282 funciones esfericas de, 285 C Cable colgado, 237 Caída de cuerpos, modelos para, 26,29,82-84,94-96 campo: de direcciones, 401 de pendientes, 401 Capacidad, 86 Cargas críticas, 227 Catenaria, 238 Centro de una serie de potencias, 248 Ceros de funciones de Bessel, 284 Circuito(s): críticamente amortiguado, 2 ll ecuaciones diferenciales de, 78,2 ll en serie RC, ecuación diferencial de, 79 sobreamortiguado, 2 ll subamortiguado, 2 ll Clasificación de las ecuaciones diferenciales, 2-3 Cocientes de diferencias, 43 1 Coeficientes indeterminados, método de: con operadores anuladores, 154 con superposición, 142 Cofactor, AP-8, AP- 10 Condiciones: de extremos libres, 223 en la frontera, 114 iniciales, 12 Conjunto fundamental de soluciones: existencia de, 121,371 de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, 370 de una ecuación diferencial lineal, 121 Constante: de amortiguamiento, 202 de crecimiento, 74 de desintegración, 74 del resorte, 196 variable, 201 efectiva del, 215,245-246 Convergencia absoluta de una serie de potencias, 249 Corriente de estado estable, 80,2 12 Cosecha, 95 Crecimiento: demográfico, 20,72 modelos de, 86-91,84-86, loo-103 exponencial, 72-74,79 r y decaimiento, 2 1,72 Cuasifrecuencia, 206 Cuasiperiodo, 206 Cuenta deslizante, 7 3 Cuerda, juego de la, 228 Curva: de Gompertz, 89-91 de persecución, 243 de respuesta a la frecuencia, 220 elástica, 222 Curvatura, 223 de una columna vertical esbelta, 226 I-l 1-2 íNDICE D Datación con radiocarbono, 14 Dependencia lineal: de funciones, ll 8 de vectores solución, 370 Depredador-presa, modelo, 101 Desintegración radiactiva, 21, 72-74 Desplazamiento extremo, 198 Determinante de una matriz, AP-8 Diferencial: exacta, 45-46 criterio para, 46 total, 45 Diferencias: centrales, 43 1 finitas, 43 1 hacia adelante, 43 1 hacia atrás, 43 1 Diseminación de una enfermedad, 23,89 Disparos, método de, 433-434 División: entre una serie de potencias, 25 1,214-277 sintética, 138 E Ecuación: auxiliar, 134,171 característica, 134, 377 del movimiento, 198 diferencial autónoma, 19 1 diferencial de Aity, 201,261,291 diferencial de Bernoulli, 65-66 diferencial de Bessel, 278 paramétrica, 282 solución de, 279 diferencial de Cauchy-Euler, 169 método de solución para, 170 diferencial de Clairaut, 12 diferencial de Duffimg, 242 diferencial de Legendre, 278 solución de, 286 diferencial exacta, 45 diferencial homogénea, 64, 116 diferencial lineal no homogénea, 116 diferencial logística, 86 modificada, 94 solución de, 87 diferencial no lineal, 3 diferencial ordinaria, definición de, 2 diferencial separable, 37 diferencial, 2. Véase también Ecuaciones diferenciales como modelos matem&icos autónoma, 19 1 lineal, 52 no lineal, 3 ordinaria, 2 parcial, 2 en derivadas parciales, definición de, 2 en diferencias finitas, 431-432 en diferencias, 43 1-432 equidimensional, 170 indicial, 270 integral, 338 integrodiferencial, 339 logística modificada, 94 Ecuaciones diferenciales: como modelos matemáticos: cable colgado, 237-238 caída de cuerpos, 26 circuitos en serie, 27,78,211-214 competencia de especies, 101-102 crecimiento demográfico, 21,84-91 curvas de persecución, 243 curvatura de una columna vertical esbelta, 226 datación con radiocarbono, 74 desintegración radiactiva, 21,97-99 diseminación de una enfermedad, 23,89 enfriamiento, 23,75 fisica atómica, 21, 73 flecha de vigas, 223-225 interacción depredador-presa, 101 interés compuesto continuamente, 21 juego de la cuerda, 228-229 mezclas, 24,77,99 péndulo no lineal, 235-236 química, 22-23,90,94 redes eléctricas, 102-103,106,394 resortes acoplados, 356 resortes no lineales, 233-234 resortes que desgastables, 201 sistemas de resorte y masa, 196-2 ll vaciado de un tanque, 24 de primer orden: aplicaciones de, 72-80 soluciones de, 54 ordinarias lineales, 3 aplicaciones de, 72, 196,222 de orden superior, ll 3 de primer orden, 52 función complementaria para, 124 homogéneas, 116 no homogdneas, 116,123 principio(s) de superposicion para, 117, 125 solución general de, 55,121, 123 solución particular de, 123 Eigenvalores véase Valores propios ÍNDICE Eigenvectores véase Vectores propios Eje de simetría, 222 Elástica véase Curva elástica Elementos lineales, 40 1 Eliminación sistemática, 178 Enfriamiento, ley de Newton del, 23 Epidemias, 23,89 Error: absoluto, 407 de discretización, 409 de distribuciones, 352 de redondeo, 408 fórmula, 409 global datruncamiento, 410 local de truncamiento, 409 relativo, 407 porcentual, 396 Estabilidad de los método numérico, 422 Estado del sistema, 21, 28, 126 Euler, Leonhard, 226 carga de, 227 constante de, 283 ecuación diferencial de, 169 fórmula de, 135 métodos de: para ecuaciones diferenciales, 405,411 para sistemas de ecuaciones diferenciales, 428 Existencia: de un conjunto fundamental de soluciones, 121,37 1 y unicidad de una solución, 15, 113,369 Exponentes de una singularidad, 270 F Factor: de amortiguamiento, 202 integrante, 5 1,54 Familia de soluciones, 6 Fechamiento con carbono véase Datación con carbono Fick, ley de, 109 Flecha de una viga, 223 Forma: estándar de una ecuación diferencial lineal, 52, 13 1, 163,167,256 matricial de un sistema lineal, 367 normal véase Forma reducida de una ecuación diferencial lineal reducida rengl6n-escalón de una matriz, AP- 13 renglón-escalón de una matriz, AP- 13 Frecuencia, 198 Frobenius, método de, 267-269 Función: complementaria, 124,372 de error, 59 de excitación, 126 de transferencia, 344 delta de Dirac, 349 transformada de Laplace de la, 350 diente de sierra, 332 entrada, 196 escalbn unitario, 3 14 transformada de Laplace de, 3 18 escalón, 323 factorial generalizada, AP- 1 forzada, 196 forzada, 207 gamma, 280,305, Ap-1 generadora, 288 integral seno, 62 interpolante, 420 logística, 87 meandro, 332 modificada de Bessel de primera clase, 291 peso de un sistema, 344 salida, 10 Funciones: continuas por tramos (o por secciones), 298 de Bessel: ceros de, 283 de primera clase, 280 de segunda clase, 28 1 esféricas, 285 grticas de, 281-282 modificadas de primera clase, 291 propiedades de, 283 relación de recurrencia diferencial para, 283 valores numéricos de, 283 elementales, 8 homogéneas de grado cy, 64 periódicas, transformada de Laplace de, 329 propias de un problema de valor en la frontera, 225-226 ci Gauss-Jordan, eliminación de, AP-12 H Heun, f&nn.tla de, 411 Hipótesis de dependencia de densidad, 86 1 Impedancia, 213 Impulso unitario, 349 Independencia lineal: de funciones, 118-121 de soluciones, 121 1-3 1 - 4 íNDICE de vectores propios, 377, AP-18 a AP-19 de vectores solución, 370 Integral: de convolución, 326 no elemental, 59 Interés compuesto contiuuamente, 81-82 modelo para, 2 1-22 Isoclinas, 401 K Kirchhoff, leyes de, 103,211 L Laplace, transformada de: de derivadas, 325 de funciones periódicas, 329 de integrales, 329 de la funcih delta de Dirac, 35 1 de la función escalón unitaria, 3 18 definición de, 297 diferenciación de, 320 existencia de, 298-300 inversa de, 305 linealidad de, 296-298 tablas de, AP-24 a AI-26 teorema de convolución para, 326 teoremas detraslación de, 312-314,316,319 Legendre, polinomios de, 287 función generadora para, 288 grhficas de, 288 propiedades de, 288 relación de recurrencia para, 289 Ley: de acción de masas, 90 de Hooke, 196 de Stefan, de la radiación, 95 Libby, Willard, 74 Linealización, 236,405 LR, circuito en serie, ecuación diferencial de, 78 LRC, circuito en serie, ecuación diferencial de, 27,21 I212 M Magnitud de paso, 406 Malthus, Thomas R., 21 Matrices: aumentada, AP- 13 operaciones elementales de renglón en, AP- 13 aAP-14 cero, AP-8 columna, AP-4 cuadrada, Ap-4 derivada de, AP- ll determinante de, AP-8 diferencia de, AP-6 ecuación caracteristica de, AP- 17 exponencial, 395 fundamental, 390 igualdad de, AP-4 identidad multiplicativa, AP-7 integral, AP- ll inversa, AP-9, AP- 10 inversa multiplicativa de, AP-9 a AP- 10 propiedad asociativa de, AP-8 propiedad distributiva de, AP-8 multiplicación de, AP-6 múltiplos de, AP-5 no singular, AP-9 producto de, AP-6 singular, AP-9 suma de, AP-4 a AP-5 suma de, AP-4 simétrica, 381 tamaño de, AP-4 transpuesta de, 381, AP-9 valores propios de, 376-377, AP-16 a AP-17 vector, AP-5 Matricial véase Matrices Menor, Ap- 10 Método continuo, 42 1 Método: de Adams-BashfortlUAdams-Moulton, 421 de cubierta, 3 10 de Euler mejorado, 411-412 de Frobenius, 267-268 de las tangentes, 405 de un paso, 421 en varios pasos, 421 numérico inestable, 422 Métodos: de eliminación para sistemas: de ecuaciones algebraicas, AP-13 de ecuaciones diferenciales, 178 de predictor y corrector, 4 ll, 42 1 numéricos adaptativos, 418 numéricos: adaptativo, 4 18-4 19 de Adams-Bashforth/Adams-Moulton, 42 de diferencias finitas, 432 de disparos, 433-434 de Euler, 405 de Euler mejorado, 411-412 deHeun,411 de Runge-Kutta, 4 14-4 15 estabilidad de, 422 errores en, 408-410,412,417 íNDICE 1 - 5 Mezclas, 24,77,99-100 Modelo: de depredador y presa, de Lotka-Volterra, 100 de maremoto, 97 logístico de crecimiento, 89 matemático, 20. Véase también Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Modelos de competencia, 101 Movimiento: amortiguado, 202 armónico simple, 197 críticamente amortiguado, 203 forzado, 206 libre: amortiguado, 201 no amortiguado, 196- 199 sobreamortiguado, 202 subamortiguado, 203 Multiplicidad de valores propios, 380-385 N Newton: ley del enfriamiento, 23,75 leyes del movimiento, 25, 197 Nivel de resolución de un modelo matemático, 20 Nodo, 102 0 Onda: cuadrada, 332 senoidal rectificada, 332 triangular, 332 Operaciones elementales de renglón, AP-13 notacibn para, AP- 14 Operador: diferencial anulador, 154 diferencial, 117, 154 lineal, 117,154 Orden: de una ecuación diferencial, 2 exponencial, 298 Oscilaciones: eléctricas armónicas simples, 212 en sistemas de resorte y masa, 196-211 no simétricas, 234 P Pkndulo: fisico, 235 lineal, 236 no lineal, 235-237 simple, 235 Periodo, 198 Peso, 26 Posición de equilibrio, 197,356 Primer modo de desviación, 227 Primer teorema de traslación, 3 12-3 13 Principio(s): de Arquímedes, 3 1 de superposición: para ecuaciones lineales homogéneas, ll 7 para ecuaciones lineales no homogéneas, 125 para sistemas lineales homogéneos, 369 Problema(s): de la bola de nieve, 32 de valor en la frontera con dos puntos, 114,222 de valor inicial de orden n, 12 de valor inicial, 12 para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, 368 para una ecuación diferencial lineal, 55,113 de valores en la frontera, 114,222-229 del quitanieves, 32 Programa ODE solver, véase Programa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias Programa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, 16,189,412 Propiedad: cernidora, 353 de linealidad, 296 Prueba de la razon, 249 Pulsaciones, 219 Pulso rectangular, 323 Punto ordinario, 257 Punto: singular de una ecuación diferencial, 177,257 en -, 278 irregular, 265 regular, 265 singular irregular, 265 singular regular, 265 en =J, 277 Puntos interiores de malla, 43 1 R Radio de convergencia, 248 Raíces: indicativas, 270 racionales de una ecuación polinomial, 138 Reacciones: químicas de primer orden, 22 Reacciones químicas: de primer orden, 22 de segundo orden, 23,9 1 de tercer orden, 94 1-6 íNDICE Reactancia, 2 13 Rectificación: de media onda de sen t, 332 de onda completa de sen t, 332 Redes eléctricas, 86-87,357 Redondeo, error de, 408 Reducción de orden, 130 Regla de Cramer, 164 Resonancia: curva de, 220 frecuencia de, 220 pura, 210 Resorte: de “constantes” variables, 201 desgastable, 201,282 duro, 234 lineal, 233 no lineal, 233 suave, 234 acoplados, 356 Respuesta al impulso, 353 Respuesta, 79 de sistema, 126, 196 entrada cero, 344 estado cero, 344 impulso, 353 Ricatti, ecuación diferencial de, 68 Rodrigues, fórmula de, 293 Runge-Kutta: métodos de: de cuarto orden, 4 15 de primer orden, 4 15 de segundo orden, 415 errores de truncamiento para, 4 17 para sistemas, 426 algoritmo de, 4 18 S Schwartz, Laurent, 352 Segundo teorema de traslación, 3 17 forma alternativa de, 3 18 Semivida, véase periodo medio de vida, 74 Serie: de Taylor, uso de, 188-189 circuitos en, 78,211-214 potencia, 248 Series: de potencias, repaso de, 248 radiactivas, 98-99 Sistema: de orden n, 367 dinámico, 28 lineal, 297 de ecuaciones diferenciales, 366 no lineal de ecuaciones diferenciales, loo-102 Sistemas: algebraicos, soluciones de, Ap-11 a AP- 16 de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, 365-367 forma matricial de, 367 homogéneos, 367 no homogéneos, 367 solución general de, 371-372 superposición para, 369 valor inicial para, 368 métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales: matrices, 376 operadores diferenciales, 177 transformadas de Laplace, 354 homogéneos de ecuaciones diferenciales lineales, 367 no homogéneos de ecuaciones diferenciales lineales, 367,372,390 Solución: de estado estable, 208,212 explícita, 5 general: de una ecuación diferencial, 8 de una ecuación diferencial lineal, 55, 121, 123 de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, 371-372 implícita, 5 particular: de una ecuación diferencial, 6,123 de-un sistema lineal, 372 singular, 7 transítoria, 208,212 trivial, 5 Soluciones: de ecuaciones diferenciales en series de potencias, 252 de un sistema de ecuaciones diferenciales, 8,368 general, 371,372 particular, 372 de una ecuación diferencial, 4 cantidad de, 6 definidas por tramos, 7 explícitas, 5 familia n-paramétrica de, 6 general, 8,11-12 implícitas, 5 particulares, 6 singular, 7 trivial, 5 en forma de serie, de ecuaciones diferenciales ordinarias, 247,252,258,268 íNDICE 1 - 7 vectoriales de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, 368 Sustituciones en las ecuaciones diferenciales. 63 T Tabla de transformadas de Laplace, AP-24 a AP-26 Tangentes, método de, 405 Teorema(s): de convolución, 326 de traslación para la transformada de Laplace, 3 12, 317,318 de unicidad, 15,113,369 Término transitorio, 80,208 Tiempo de muerte, 85 Tractriz, 94 Transformación lineal, 298 Transformada integral, 296 Transpuesta de una matriz, 381, AP-9 Trayectorias ortogonales, 84-86 V Vaciado de un tanque, 24 Valores: característicos, AP- 16 propios: de un problema de valor en la frontera, 195, 224-227 deunamatriz,376-3771,AP-16aAP-17 Variables: de estado, 28, 126 separables, 37 Variación de parámetros: para ecuaciones diferenciales lineales, 53, 163 para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, 390 Vector(es): característicos, AP- 16 definición de, Ap-5 propios de una matriz, 376-377, AP-16 a AP-17 Velocidad: crítica, 23 1 de escape, 240 terminal de un objeto que cae, 83,95 Verhulst, f? F., 87 Vibraciones eléctricas, 211 Vida media véase periodo medio de vida, 74 Vigas: cantiliver véuse en voladizo deflexión estática (flecha) de, 222-224,339-343 empotradas, 224 en voladizo, 223 libres, 223 simplemente apoyadas, 223 Volterra, ecuación integral de, 338 W Wronskiano, 120,165,370 \TEhl,' m “Didáctico y con aplicaciones” “Un clásico” ewq~t”:~: CINC Y AMÉRICA CENTRA~m~~~ Tel. (525)281-2906 Fax f52!$&31-2656 ail:clientes@mail.internet.com. AMÉRICA DEL SUR “A prueba de pruebas” compuserve.com