FUNCION LINEAL. Toda función de la forma: y= a.x+b es una función lineal. Se le llama función lineal porque su gráfica es una recta. y = a.x +b ordenada al origen. Este punto es donde la recta corta al eje y. pendiente de la recta: es un número real, puede ser fraccionario, racional, irracional, etc. puede tener signo positivo o negativo. Partes de la función lineal. Pendiente= la pendiente mide el grado de inclinación de la recta, con respecto al eje x. Pendiente positiva: si la pendiente es positiva, esto significa que la función es creciente y el ángulo que forma la recta con el eje de las x es menor que 90° Pendiente Negativa: si la pendiente es negativa, es decir tiene delante el signo (-) la función es decreciente y el ángulo que forma con el eje x, es mayor a 90°. Graficas. Pendiente positiva Este ángulo es el que marca la pendiente, al ser menor a 90° sabemos que la pendiente es positiva y la función es creciente. En el segundo gráfico se ve cual es la pendiente, y el triángulo que se forma. Si vemos la fórmula, y= 3x+6, vemos que 3 es la pendiente y es positiva, lo que indica que la función es creciente. Pendiente Negativa Este es el ángulo que forma la recta con el eje de las x, si nos fijamos es mayor a 90°, entonces podemos decir que la pendiente es negativa y la función es decreciente. La ecuación de la recta es y= -3x + 6. Ahora vamos a analizar los dos puntos mas importantes de una recta, que son la ordenada al origen y la raíz, definiendo a cada uno. ORDENADA AL ORIGEN. Se llama asi al punto de la recta que corta al eje Y. En una función lineal es UNO SOLO. No puede haber dos ordenadas al origen. La principal característica es que la variable independiente X,vale cero, es decir X=0. En forma de punto, la primera coordenada debe ser siempre cero. Calculo de la O a O Basándonos en la condición fundamental, que es que sea x=0 se calcula asi y= 3x+6 y x= 0 entonces y=3.0+6, y=6 si observamos veremos que la ordenada al origen corresponde siempre al término que NO ESTÁ ACOMPAÑADA POR UNA X el punto para graficar es (0,6) en nuestro ejemplo. RAÍZ La raíz corresponde al punto donde la gráfica de la recta corta al eje X, entonces el punto al que corresponde es el (x,0) La condición fundamental para calcular la raíz de la función es hacer la variable independiente y = 0 Cálculo de la Raíz. Como dijimos antes la raíz se calcula haciendo y=0 En nuestro ejemplo si y=3x + 6 entonces 0=3x + 6. Lo que debemos hacer ahora es despejar el valor de x, como una ecuación común. 0=3x+6 x=-6/3 x=2 El punto que debemos graficar es el punto (2,0) Conociendo esos dos puntos, la Ordenada al Origen y la Raíz, y sabiendo que el signo de la pendiente nos indica si la función es creciente o decreciente ya podemos graficar la recta. OTRAS FORMAS DE GRAFICAR UNA RECTA. Otra forma de graficar una recta es por medio de una tabla, es decir, asignamos valores a la variable independiente, puede ser cualquier valor, pero conviene que no sea muy grande. Entonces luego valuamos la función en cada uno de los valores de x que pusimos en la tabla y obtenemos el valor de y Ejemplo: X -1 -2 0 1 2 Y= 3X+6 3.(-1)+6=3 3.(-2)+6=0 3.(0)+6 =6 3.(1) + 6=9 3.(2) +6=12 Puntos a graficar (-1,3) (-2,0) (0,6) (1,9) (2,12) La gráfica está mas arriba. CALCULO DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA DADOS UN PUNTO Y LA PENDIENTE. Si tenemos un punto cualquiera de la recta, y la pendiente de la misma, podemos encontrar la ecuación de la misma. EJEMPLO Supongamos que nos dieron la pendiente a=3 y un punto cualquiera de la recta, por ejemplo A=(-3,-3) Para calcular la ecuación de la recta, primero escribimos la función Y=3x + b Y lo que debemos calcular ahora es el valor de b, que recordemos se llama término independiente. Para hacerlo, solo reemplazamos el punto que nos dieron en la ecuación y calculamos b Y = 3x + b sabemos que A=(-3,-3) donde x=-3 e y=-3 -3=3. (-3) + b Despejemos b independiente. -3 = -9 + b b= -3 + 9 b= 6 ese es el valor que nos faltaba, el término Entonces la ecuación de la recta nos queda asi Y= 3.x + 6. Que es la ecuación que estábamos buscando. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES. Dada la ecuación de una recta cualquiera, podemos encontrar una recta paralela y una perpendicular a la misma. Primero vamos a repasar que es una recta paralela y una recta perpendicular. Rectas Paralelas: dos o mas rectas son paralelas, si no se cortan en ningún punto. Como podemos ver las rectas f y g son paralelas. Rectas Perpendiculares: dos o mas rectas son perpendiculares, si se cortan en un único punto, y forman 4 ángulos rectos. Si nos fijamos en el gráfico, tenemos dos rectas paralelas, que se cortan en un punto,y forman entre si 4 ángulos rectos. Ahora vamos a ver como, conociendo la ecuación de la recta, podemos encontrar una recta paralela y una perpendicular. Supongamos que tenemos la siguiente ecuación de la recta Y = 4.x + 9 Donde vemos que la pendiente es a=4 Entonces para calcular otra recta paralela, solo debemos tener en cuenta una condición. DOS RECTAS SON PARALELAS SI Y SOLO SI SUS PENDIENTES SON IGUALES. Entonces encontrar una recta paralela a la dada, es simplemente escribir otra ecuación que tenga igual pendiente y distinta ordenada al origen o término independiente. Y= 4.x + 9 y su paralela es y=4.x + 5 Como sabemos podemos tener infinitas rectas paralelas, solo es condición que tengan igual pendiente, no importa que ordenada al origen tenga Vamos a escribir varias paralelas a la dada y = 4.x + 9 Paralela 1 y= 4.x + 2 Paralela 2 y= 4.x – 3 Paralela 3 y= 4.x -1/2 Y asi podemos seguir escribiendo rectas paralelas, siempre y cuando TENGAN LA MISMA PENDIENTE. Gráficos Para encontrar ahora la perpendicular a la recta que nos dieron y= 4.x + 9. Debemos tener en cuenta esta condición DOS RECTAS SON PERPENDICULARES SI LA PENDIENTE DE UNA DE ELLAS, ES LA INVERSA DE LA PRIMERA CAMBIADA DE SIGNO. Como sabemos la ecuación de la recta que nos dieron es y= 4.x + 9, y deacuerdo a la condición que nos dieron, la pendiente de la recta perpendicular, debe tener una pendiente igual al inverso de la pendiente dada , cambiada de signo Vamos por partes, primero calculemos el inverso la pendiente a= 4 entonces su inverso es a1=1/4. Y ahora le vamos a cambiar de signo. a es positiva, asi que a1 debe ser negativa o sea a1= -1/4 la ordenada al origen o el término independiente, puede ser cualquiera,con cualquier signo. GRAFICOS. Ahora que pasa si la recta original que nos dieron tiene como pendiente a= -3/5, el inverso de esa pendiente es A1= 5/3 con signo positivo. Y si la pendiente es a= -7, la pendiente de su perpendicular es a1=1/7. Aquí hay unos gráficos con pendientes inversas y cambiadas de signos