Resumen de Física II

FÍSICA II TERMODINÁMICA El concepto de temperatura se origina en las ideas cualitativas de frío y caliente. Para su medición, se utilizan propiedades físicas de materiales que dependen de la temperatura, como por ejemplo la longitud de una barra de metal, la presión de vapor de una caldera, la capacidad de un alambre para conducir la corriente eléctrica o el color de un objeto brillante muy caliente. Dos sistemas están en equilibrio térmico si no hay un flujo de energía entre ellos en forma de calor al estar conectados por un camino conductor (en este caso debe cumplirse que ambos estén a la misma temperatura). Ley cero de la termodinámica. Si inicialmente C está en equilibrio térmico con A y con B, entonces A y B también están en equilibrio térmico entre sí. Esta ley permite la definición de la temperatura, como una función que tiene el mismo valor para dos sistemas que están en equilibrio térmico. El calor requerido para aumentar la temperatura de un sistema dado, con un calor específico c es: 𝑄 = 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅ ∆𝑇 Para un cambio infinitesimal de temperatura, la ecuación se escribe: 𝑑𝑄 = 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑑𝑇 Los tres mecanismos de transferencia de calor son conducción, convección y radiación. Hay conducción dentro de un cuerpo o entre dos cuerpos que están en contacto. La convección depende del movimiento de una masa de una región del espacio a otra. La radiación es transferencia de calor por radiación electromagnética, sin que tenga que haber materia en el espacio entre dos cuerpos. Se define un gas ideal como aquella sustancia que sigue la ecuación de estado 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 A cualquier presión y temperatura. Otra ecuación de estado para modelar un gas es la ecuación de estado de Van der Waals: 1 (𝑃 + 𝑎𝑛2 ) (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇 𝑉2 La teoría cinética de los gases es un modelo basado en las propiedades microscópicas de un gas, que permite relacionar variables microscópicas con otras macroscópicas. Se basa en los siguientes supuestos: 1) Un recipiente con volumen V contiene un número muy grande N de moléculas idénticas, cada una con masa m. 2) Las moléculas se comportan como partículas puntuales; su tamaño es pequeño en comparación con la distancia media entre partículas y las dimensiones del recipiente. 3) Las moléculas están en constante movimiento y obedecen las leyes del movimiento de Newton. Las moléculas chocan ocasionalmente con las paredes del recipiente. Tales choques son perfectamente elásticos. 4) Las paredes del recipiente son perfectamente rígidas y con masa infinita; no se mueven. En un choque representativo de una molécula de gas con la pared del recipiente, la componente de velocidad paralela a la pared no cambia, mientras que la componente perpendicular invierte su signo, pero posee la misma magnitud, debido a que el choque es elástico. Por lo tanto, el cambio en la cantidad de movimiento para una molécula dada es: ∆𝑝𝑖 = 𝑚|𝑣𝑥,𝑖 | − (−𝑚|𝑣𝑥,𝑖 |) = 2𝑚|𝑣𝑥,𝑖 | Si una molécula va a chocar con una cierta región de la pared de área A durante un intervalo de tiempo dt, la misma debe estar a lo sumo a una distancia |vx|dt de la misma, y dirigiéndose hacia esta. Por lo tanto, el número de moléculas que chocarán con un área A de la pared son aquellas que están dentro de un cilindro con base de área A y longitud |vx|dt cuya componente en la velocidad del eje x se dirija hacia la pared. El volumen de ese cilindro está dado por A|vx|dt. Suponiendo una distribución uniforme de las moléculas en el recipiente, con una densidad de partículas de N/V, el número de moléculas totales dentro del cilindro es el producto entre la densidad de partículas y el volumen del mismo. Sin embargo, debido a que las mismas se mueven al azar de manera independiente, existe un 50% de probabilidades de que una molécula determinada dentro del cilindro esté moviéndose hacia la pared, y no alejándose de ella. Por lo tanto, el número de choques en el intervalo dt con el área A de la pared está dado por: 𝐶ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠 = 1𝑁 𝐴|𝑣𝑥 |𝑑𝑡 2𝑉 2 Si todas las partículas tuviesen la misma velocidad, el cambio total en la cantidad de movimiento en el intervalo dt sería igual a: 𝑑𝑝𝑥 = 1𝑁 𝑑𝑝𝑥 𝑁𝐴𝑚𝑣𝑥2 𝑁𝐴𝑚|𝑣𝑥 |2 𝐴|𝑣𝑥 |𝑑𝑡 2𝑚|𝑣𝑥 | = 𝑑𝑡 ⟹ = 2𝑉 𝑉 𝑉 𝑑𝑡 De acuerdo a la tercera Ley de Newton, la derivada de la cantidad de movimiento respecto del tiempo es igual a la fuerza resultante de un sistema. En este caso, la fuerza resultante hecha por la pared sobre las moléculas. Por la segunda Ley de Newton, las moléculas hacen sobre la pared una fuerza de igual magnitud, pero signo opuesto. Por lo tanto, la presión sobre la pared está dada por: 𝑃= 𝐹 𝑁𝑚𝑣𝑥2 = 𝑉 𝐴 Sin embargo, no todas las moléculas tienen el mismo valor de |vx|. Para solucionar este problema es posible agrupar las distintas moléculas en grupos de igual |vx|, calcular las presiones asociadas a estos grupos, y luego sumarlas para obtener la presión total. Esto es equivalente a reemplazar vx2 en la ecuación anterior, por <vx2>, el valor medio del cuadrado de la componente en x de la velocidad. A su vez, las componentes de la velocidad y la velocidad media están relacionados según: 𝑣 2 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 Como en un gas ideal las partículas se mueven independientemente de las otras y en cualquier dirección al azar, los valores medios del cuadrado de cada componente deben ser iguales (ya que ninguna dirección está favorecida respecto de otra). Por lo tanto, se tiene que <v2> = 3<vx2>. Por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en: 1 2 1 2 2 𝑃𝑉 = 𝑁𝑚 < 𝑣 2 > = 𝑁 ( 𝑚 < 𝑣 2 >) = 𝑁 < 𝑘𝑡𝑟 > = 𝐾𝑡𝑟 3 3 2 3 3 Reemplazando PV por nRT, de acuerdo al modelo del gas ideal, se obtiene que 3 𝐾𝑡𝑟 = 𝑛𝑅𝑇 2 Si se divide este resultado por el número de moléculas para obtener la energía cinética media traslacional de una molécula de gas, se obtiene: 𝑘𝑡𝑟 3𝑁 3𝑛𝑅𝑇 𝑁𝐴 𝑅𝑇 3 𝑅 3 = = = ( ) 𝑇 = 𝑘𝑇 2𝑁 2𝑁 2 𝑁𝐴 2 De lo anterior también puede obtenerse la rapidez cuadrática media de las moléculas de un gas: 3𝑘𝑇 3𝑅𝑇 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √< 𝑣 2 > = √ =√ 𝑚 𝑀 Un gas ideal posee energía únicamente cinética, no potencial. Por lo tanto, se obtuvo de la teoría cinética de los gases que: 3 3 𝑑𝐾𝑡𝑟 = 𝑑𝑈 = 𝑛𝑅 𝑑𝑇 2 A su vez, para un proceso a volumen constante: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 = 𝑛𝐶𝑣 𝑑𝑇 De esto se verifica que para un gas ideal de partículas puntuales se verifica que: 3 𝐶𝑣 = 𝑅 𝑔𝑎𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑎𝑡ó𝑚𝑖𝑐𝑜 2 El principio de equipartición de la energía dice que cada componente cuadrático en velocidad o en momento (lineal o angular) en la expresión de la energía interna de un sistema tiene, en promedio, una energía cinética asociada por molécula de ½ kT. El número de componentes cuadráticos necesarios para describir el movimiento de una molécula se denomina número de grados de libertad. Los gases monoatómicos tienen tres grados de libertad, por las tres direcciones en las que pueden desplazarse (x, y, z). Una molécula diatómica, además de los tres grados de libertad traslacionales, posee dos ejes de rotación independientes, por lo que tiene un total de cinco grados de libertad. Según esto, su capacidad calorífica molar a volumen constante sería: 5 𝐶𝑣 = 𝑅 𝑔𝑎𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑡ó𝑚𝑖𝑐𝑜 2 Un sólido elemental puede modelarse como una matriz de átomos unidos entre sí por resortes, que oscilan en sus posiciones de equilibrio como un oscilador armónico. Los átomos tienen tres grados de libertad traslacionales en los que vibrar. A su vez, para un objeto que vibra mediante un movimiento armónico, se cumple que la energía cinética media es igual que la potencial media. Por lo tanto, para un sólido elemental, debe cumplirse que: 3 𝐶𝑣 = 2 ( 𝑅) = 3𝑅 2 Esta es la llamada regla de Dulong y Petit. Un sistema termodinámico es cualquier conjunto de objetos que conviene considerar como una unidad, y que podría (aunque no necesariamente) intercambiar energía o materia con el entorno. Supóngase un sistema termodinámico compuesto por un recipiente lleno con una sustancia gaseosa, líquida o sólida, con un pistón encima de área A. La fuerza total F ejercida por esta sustancia sobre el pistón es PA, donde P es la presión en la cara del pistón. Si el mismo se mueve una distancia infinitesimal dx, el trabajo realizado por el sistema es: 𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑥 = 𝑃𝐴𝑑𝑥 Pero se cumple que Adx = dV. Por lo tanto, el trabajo de expansión puede escribirse como: 𝑑𝑊 = 𝑃 𝑑𝑉 4 En un cambio finito de volumen desde un estado 1 a un estado 2, el trabajo realizado por el sistema es: 𝑉2 𝑊 = ∫ 𝑃 𝑑𝑉 𝑉1 En particular, si la presión se mantiene constante, se tiene que: 𝑊 = 𝑃(𝑉2 − 𝑉1 ) Si el proceso es isotérmico, reversible y la sustancia de trabajo es un gas ideal, entonces: 𝑉2 𝑉2 𝑊 = ∫ 𝑃 𝑑𝑉 = ∫ 𝑉1 𝑉1 𝑛𝑅𝑇 𝑉2 𝑃1 𝑑𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ln = 𝑛𝑅𝑇 ln 𝑉 𝑉1 𝑃2 Se define la energía interna (U) de un sistema como la suma de las energías cinéticas de todas sus partículas constituyentes, más la suma de todas las energías potenciales de interacción entre ellas. La primera ley de la Termodinámica afirma que la energía interna de un sistema aislado permanece constante, y no es más que una reformulación del principio de conservación de la energía, aplicada a sistemas termodinámicos. Para sistemas cerrados, puede formularse matemáticamente como: ∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 La energía interna es una función de estado, por lo que depende únicamente del estado del sistema y no de la trayectoria necesaria para llevarlo al mismo. Para un proceso infinitesimal, la primera ley se expresa como: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 Si el trabajo realizado es únicamente de expansión, se tiene: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑃 𝑑𝑉 La energía interna de un gas ideal depende únicamente de su temperatura; no de su presión ni de su volumen. Por lo tanto, para un proceso isotérmico y un gas ideal, se cumple que ΔU = 0. Considérese el proceso de calentamiento a volumen constante para un gas ideal desde una temperatura T hasta otra T+dT. El diferencial de energía interna correspondiente en este caso es: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 = 𝑛𝐶𝑣 𝑑𝑇 Si se realiza el calentamiento de la misma cantidad de gas, y con las mismas temperaturas inicial y final, pero en cambio a presión constante, el cambio en la energía interna está dado por: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 = 𝑛𝐶𝑃 𝑑𝑇 − 𝑃 𝑑𝑉 = 𝑛𝐶𝑃 𝑑𝑇 − 𝑛𝑅 𝑑𝑇 5 Debido a que en ambos procesos las temperaturas inicial y final son las mismas, y se está trabajando con un gas ideal, dU debe ser igual en ambos casos, debido a que la energía interna de un gas ideal depende sólo de la temperatura. Por lo tanto, pueden igualarse las dos expresiones, obteniéndose: 𝐶𝑝 = 𝐶𝑣 + 𝑅 El cociente de capacidades caloríficas (γ) está definido por: 𝛾= 𝐶𝑝 𝐶𝑣 Para un proceso adiabático de un gas ideal, se cumple que: 𝑑𝑈 = 𝑛𝐶𝑉 𝑑𝑇 = −𝑃 𝑑𝑉 = −𝑑𝑊 𝑛𝐶𝑉 𝑑𝑇 = − 𝑑𝑇 𝑅 𝑑𝑉 𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑉 ⟹ + =0 𝑇 𝐶𝑉 𝑉 𝑉 𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 𝑅 = =𝛾−1 𝐶𝑉 𝐶𝑉 ⟹ 𝑑𝑇 𝑑𝑉 + (𝛾 − 1) =0 𝑇 𝑉 ln 𝑇 + (𝛾 − 1) ln 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ln 𝑇𝑉 𝛾−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑇𝑉 𝛾−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Si se sustituye T por PV/nR usando la ecuación del gas ideal, se tiene que para una determinada cantidad de gas: 𝑃𝑉 𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Para calcular el trabajo de un proceso adiabático de un gas ideal, se procede como sigue: 𝑊 = −∆𝑈 = −𝑛𝐶𝑉 (𝑇2 − 𝑇1 ) = − 1 𝐶𝑉 (𝑃2 𝑉2 − 𝑃1 𝑉1 ) = − (𝑃 𝑉 − 𝑃1 𝑉1 ) 𝛾−1 2 2 𝑅 En un proceso reversible, el sistema termodinámico siempre está muy cerca del equilibrio dentro de sí y con su entorno. Cualquier cambio de estado que se presente se podría revertir modificando infinitesimalmente las condiciones del sistema. Este tipo de procesos nunca se da por diferencias finitas en una variable de estado. Una máquina térmica es un dispositivo que transforma parcialmente calor en trabajo o energía mecánica. Se define la eficiencia de una máquina térmica, e, como: 𝑒= 𝑊 𝑄𝐻 + 𝑄𝐶 𝑄𝐶 𝑄𝐶 = =1+ =1−| | 𝑄𝐻 𝑄𝐻 𝑄𝐻 𝑄𝐻 Un refrigerador es una máquina térmica que funciona en reversa: extrae calor de una fuente fría, recibe un aporte de energía como trabajo, y libera calor a una fuente caliente. Se define el coeficiente de rendimiento de un refrigerador como: 6 𝐾= 𝑄𝐶 𝑄𝐶 = |𝑊| |𝑄𝐻 | − 𝑄𝐶 La segunda ley de la termodinámica (planteamiento de máquina, o de Kelvin – Planck) afirma que es imposible que un sistema efectúe un proceso en el que absorba calor de una fuente de temperatura uniforme y lo convierta totalmente en trabajo mecánico, terminando en el mismo estado en que inició. La segunda ley también puede enunciarse mediante el planteamiento de refrigerador (o de Clausius): es imposible que un proceso tenga como único resultado la transferencia de calor de un cuerpo más frío a uno más caliente. Ambos enunciados son equivalentes: si fuera posible que un refrigerador funcionara sin trabajo, junto con una máquina térmica ordinaria, podría usarse para crear una máquina 100% eficiente, convirtiendo el calor QH - |QC| totalmente en trabajo, bombeando todo el calor eliminado por la máquina en la fuente fría, hacia la fuente caliente con el refrigerador perfecto. A su vez, si fuera posible construir una máquina térmica 100% eficiente, junto con un refrigerador común, se obtiene un refrigerador que transfiere una cantidad neta QC de la fuente fría a la caliente. 7 Una máquina que opera mediante un ciclo de Carnot tiene la mayor eficiencia posible para dos temperaturas de trabajo TH y TC. El mismo consiste en los siguientes pasos: 1) El gas se expande isotérmicamente a la temperatura TH, absorbiendo calor QH (ab). 2) El gas se expande adiabáticamente hasta que su temperatura baja a TC (bc). 3) El gas se comprime isotérmicamente a TC, expulsando calor QC (cd). 4) El gas se comprime adiabáticamente, aumentando su temperatura hasta su estado inicial TH (da). Puede calcularse la eficiencia de una máquina de Carnot si se asume que su sustancia de trabajo es un gas ideal. Para cada proceso isotérmico, se cumple que: ∆𝑈 = 0 ⟹ 𝑄 = 𝑊 𝑄𝐻 = 𝑄𝑎𝑏 = 𝑊𝑎𝑏 = 𝑛𝑅𝑇𝐻 ln 8 𝑉𝑏 𝑉𝑎 𝑄𝐶 = 𝑄𝑐𝑑 = 𝑊𝑐𝑑 = 𝑛𝑅𝑇𝐶 ln 𝑉𝑑 𝑉𝑐 = −𝑛𝑅𝑇𝐶 ln 𝑉𝑐 𝑉𝑑 𝑉 𝑇𝐶 ln 𝑉𝑐 𝑄𝐶 𝑑 =− 𝑉𝑏 𝑄𝐻 𝑇𝐻 ln 𝑉𝑎 Además, como los procesos bc y da son adiabáticos, se cumple que: 𝛾−1 𝑇𝐻 𝑉𝑏 𝛾−1 𝛾−1 𝑇𝐻 𝑉𝑎 = 𝑇𝐶 𝑉𝑐 Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene: 𝛾−1 = 𝑇𝐶 𝑉𝑑 𝑉𝑏 𝑉𝑐 = 𝑉𝑎 𝑉𝑑 Por lo tanto, la eficiencia de un ciclo de Carnot se puede calcular como: 𝑒𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡 = 1 + 𝑄𝐶 𝑇𝐶 =1− 𝑄𝐻 𝑇𝐻 Si una máquina de Carnot se opera a la inversa, se tiene un refrigerador de Carnot. El coeficiente de rendimiento está dado por: 𝐾𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡 = 1 𝑇𝐶 𝑄𝐶 = = |𝑄𝐻 | − 𝑄𝐶 𝑇𝐻 − 1 𝑇𝐻 − 𝑇𝐶 𝑇𝐶 Ninguna máquina térmica puede ser más eficiente que una máquina de Carnot. De lo contrario, acoplando esta máquina súper-eficiente a un refrigerador de Carnot, se podría transformar totalmente calor en trabajo. Además, todas las máquinas de Carnot deben tener la misma eficiencia para dos temperaturas dadas que actúen como focos caliente y frío, independientemente de la sustancia de trabajo utilizada. La entropía (S) es una función de estado cuya definición surge de la segunda ley de la termodinámica. Se define como: 𝑑𝑆 = 𝑑𝑄𝑟𝑒𝑣 𝑇 Otra forma equivalente de enunciar la segunda ley de la termodinámica es que, en cualquier proceso, la entropía del universo aumenta (proceso irreversible) o se mantiene constante (proceso reversible). Preguntas de finales: 1) Enuncie las leyes de la termodinámica. Dé ejemplos. Ley cero de la termodinámica: Si dos sistemas están ambos en equilibrio térmico con un tercer sistema, entonces también están en equilibrio térmico entre sí. Por ejemplo, en una habitación, una silla y una mesa que están en equilibrio térmico con el aire que las rodea, deben estar también en equilibrio térmico entre sí, aunque no estén en contacto. Esto puede comprobarse, observando que ambas están a la misma temperatura. 9 Primera ley de la termodinámica: El cambio en la energía interna de un sistema cerrado es igual a la energía total agregada o quitada del mismo. Matemáticamente, se expresa como: ∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 Implica la conservación de la energía. Además, se desprende de esta ley que la energía en un sistema aislado debe permanecer constante. Cualquier ejemplo que involucre energía debe cumplirla: por ejemplo, al calentar agua en una olla, la energía interna de la misma aumenta debido a que absorbe calor, que a su vez se produce por la combustión de gas natural. Segunda ley de la termodinámica: Puede enunciarse con varios planteamientos, todos equivalentes. Enunciado de Carnot: La eficiencia de un ciclo reversible de Carnot depende únicamente de las temperaturas absolutas de los focos frío y caliente, y no de la sustancia de trabajo. Una máquina que opera según este ciclo es la más eficiente para las temperaturas dadas. Enunciado de Clausius: Es imposible que un proceso tenga como único resultado la transferencia de calor de un cuerpo más frío a uno más caliente. Es decir, es necesario realizar trabajo para lograr ese proceso. Enunciado de Kelvin: Es imposible que un sistema efectúe un proceso en el que absorba calor de una fuente de temperatura uniforme y lo convierta totalmente en trabajo mecánico, terminando en el mismo estado en que inició. Enunciado de la entropía: En cualquier proceso la entropía del universo debe aumentar (si se trata de un proceso irreversible) o permanecer constante (si es un proceso reversible). Un ejemplo es la expansión adiabática irreversible de un gas, en el que el mismo pasa de un estado con menor cantidad de microestados posibles (debido a un menor volumen) a uno con mayor aleatoriedad debido al aumento de las posibles posiciones de las partículas. Tercera ley de la termodinámica: La entropía de un sistema se acerca a un valor constante cuando la temperatura se acerca al cero absoluto. Para un cristal perfecto, este valor constante es cero. Esto se relaciona con la definición microscópica (estadística) de la entropía, S = k ln(w) + C, donde w es el número de microestados posibles. 2) Deduzca la relación entre CP y CV para un gas ideal. Si un gas ideal se calienta a presión constante desde una temperatura T hasta otra T+dT, el calor absorbido por el mismo puede calcularse según: 𝑑𝑄 = 𝑛𝐶𝑃 𝑑𝑇 A su vez, el trabajo realizado por el gas es igual a: 𝑑𝑊 = 𝑃 𝑑𝑉 = 𝑛𝑅 𝑑𝑇 10 El cambio en energía interna para este proceso infinitesimal está dado por: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 = 𝑛𝐶𝑃 𝑑𝑇 − 𝑛𝑅 𝑑𝑇 Debido a que la energía interna de un gas ideal es función únicamente de su temperatura, el cambio debe ser el mismo si el gas se calienta a volumen constante, desde la temperatura T hasta T+dT como en el caso anterior, donde se cumple que: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 = 𝑛𝐶𝑉 𝑑𝑇 Al igualar estas dos expresiones, se tiene que: 𝑛𝐶𝑉 𝑑𝑇 = 𝑛𝐶𝑃 𝑑𝑇 − 𝑛𝑅 𝑑𝑇 𝐶𝑃 = 𝐶𝑉 + 𝑅 3) Deducir la expresión del trabajo adiabático. En un proceso adiabático, el calor intercambiado es cero, y, por lo tanto: ∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 = −𝑊 A su vez, si la sustancia que hace trabajo es un gas ideal, debido a que su energía interna depende únicamente de su temperatura y no de su volumen, se cumple que: ∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑉 ∆𝑇 Igualando estas dos ecuaciones, se tiene que: 𝑊 = −𝑛𝐶𝑉 ∆𝑇 = 𝑛𝐶𝑉 (𝑇1 − 𝑇2 ) Aplicando la ecuación de estado del gas ideal, se llega a que: 𝑊= 𝐶𝑉 (𝑃 𝑉 − 𝑃2 𝑉2 ) 𝑅 1 1 A su vez, se puede relacionar Cv/R con el cociente de capacidades caloríficas de un gas ideal, según: 𝐶𝑉 𝐶𝑉 1 = = 𝑅 𝐶𝑃 − 𝐶𝑉 𝛾 − 1 Por lo tanto, las múltiples formas de calcular el trabajo adiabático de un gas ideal son: 𝑊 = 𝑛𝐶𝑉 (𝑇1 − 𝑇2 ) = 1 𝐶𝑉 (𝑃1 𝑉1 − 𝑃2 𝑉2 ) = (𝑃 𝑉 − 𝑃2 𝑉2 ) 𝛾−1 1 1 𝑅 4) Encuentra la relación entre las pendientes de las adiabáticas y las isotermas en un diagrama P-V. Para un gas ideal, una isoterma está dada por la ecuación general: 𝑃𝑉 = 𝐶 Donde C es una constante. Si se deriva esta ecuación, se tiene: 11 𝑃 𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑𝑃 = 0 𝑑𝑃 𝑃 =− 𝑑𝑉 𝑉 Para una adiabática, se cumple que: 𝑃𝑉 𝛾 = 𝐷 Donde γ es el cociente de capacidades caloríficas del gas, y D es una constante. Diferenciando de nuevo, se llega a que: 𝑉 𝛾 𝑑𝑃 + 𝛾𝑃𝑉 𝛾−1 𝑑𝑉 = 0 𝛾𝑃𝑉 𝛾−1 𝛾𝑃 𝑑𝑃 =− =− 𝛾 𝑉 𝑉 𝑑𝑉 Debido a que para un gas ideal γ es un número mayor que 1 porque CP es mayor que CV, entonces la pendiente de una adiabática en un punto dado es mayor en valor absoluto en un diagrama PV que para el mismo punto en una isoterma, en un factor γ. Notar que en realidad la pendiente de la adiabática es más negativa, lo que significa que está más inclinada que la isoterma. 5) Deduzca la eficiencia de un motor de Carnot. Un motor de Carnot consta de cuatro pasos, todos reversibles: 1) 2) 3) 4) Expansión isotérmica del gas a temperatura TH (ab), absorbiendo calor QH. Expansión adiabática del gas, cuya temperatura baja hasta TC (bc). Compresión isotérmica del gas a temperatura TC, donde cede calor QC (cd). Compresión adiabática del gas, cuya temperatura aumenta hasta TH (da). Para la deducción, puede suponerse que la sustancia de trabajo es un gas ideal. Sin embargo, la eficiencia de una máquina de Carnot es independiente de la sustancia de trabajo que use. Para calcular la eficiencia del ciclo de Carnot, se recuerda la definición de eficiencia de una máquina térmica: 𝑒= 𝑊 𝑄𝐶 =1+ 𝑄𝐻 𝑄𝐻 Por lo que deben calcularse los calores intercambiados. Debido a que se trabaja con un gas ideal, cuya energía interna es dependiente únicamente de la temperatura, entonces el calor QH puede calcularse como: 𝑄𝐻 = 𝑊𝑎𝑏 = 𝑛𝑅𝑇𝐻 ln Por lo tanto: 𝑄𝐶 = 𝑊𝑐𝑑 = 𝑛𝑅𝑇𝐶 ln 12 𝑉𝑏 𝑉𝑎 𝑉𝑑 𝑉𝑐 = −𝑛𝑅𝑇𝐶 ln 𝑉𝑐 𝑉𝑑 𝑉 𝑇𝐶 ln 𝑐 𝑄𝐶 𝑉𝑑 =− 𝑉 𝑄𝐻 𝑇𝐻 ln 𝑉𝑏 𝑎 Además, recordando que los procesos bc y da son adiabáticos, se recurre a que: 𝛾−1 𝑇𝐻 𝑉𝑏 𝛾−1 𝛾−1 𝑇𝐻 𝑉𝑎 = 𝑇𝐶 𝑉𝑐 𝛾−1 = 𝑇𝐶 𝑉𝑑 Dividiendo estas dos ecuaciones, se obtiene la siguiente relación: Por lo tanto, se llega a que: 𝑉𝑎 𝑉𝑑 = 𝑉𝑏 𝑉𝑐 𝑇𝐶 𝑇𝐶 𝑄𝐶 =− ⟹ 𝑒𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡 = 1 − 𝑇𝐻 𝑇𝐻 𝑄𝐻 6) La ecuación de Van der Waals está dada por: 𝑎𝑛2 (𝑃 + 2 ) (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇 𝑉 ¿Qué tienen en cuenta las constantes a y b? Las constantes de la ecuación de estado de Van der Waals corrigen la presión del gas respecto del gas ideal (a) y el volumen (b). Esto se hace considerando dos características que se asumen nulas en el modelo del gas ideal: el parámetro a se relaciona con las interacciones atractivas entre las partículas del gas (sean átomos si se trata de un gas monoatómico como los gases nobles, o moléculas para gases más complejos), es decir, las fuerzas intermoleculares. Debido a las mismas, las partículas se “frenan” entre sí al interaccionar, y golpean las paredes del recipiente con una menor fuerza, que provoca una menor presión de la estimada mediante el modelo del gas ideal. Mientras tanto, el parámetro b se relaciona con el volumen ocupado por las partículas. Numéricamente es similar al volumen de un mol de partículas en una fase condensada (líquida). Debido a que las partículas ocupan un volumen y no son puntuales como se supone en el modelo del gas ideal, esta corrección se realiza para tener esta cantidad en cuenta. 7) ¿Cuáles son las condiciones de un gas ideal? Termodinámicamente (es decir, a nivel macroscópico) un gas ideal se define como aquella sustancia que sigue la siguiente ecuación de estado para cualquier temperatura y presión: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 Microscópicamente, las condiciones que debería cumplir un gas ideal son las siguientes:  Moléculas indistinguibles, puntuales, sin tamaño (o tan pequeñas en relación a las distancias que las separan, que su tamaño puede ser ignorado). 13     Moléculas en constante movimiento, al chocar todas las colisiones del sistema son elásticas. Las partículas se mueven de acuerdo a las leyes del movimiento de Newton. Las partículas se mueven al azar en cualquier dirección, independientemente una de otra, con una distribución de velocidades. No existen fuerzas atractivas ni repulsivas entre las moléculas (excepto en el caso en que chocan). Por lo tanto, las mismas sólo tienen energía cinética. 8) ¿Puede enfriarse la cocina completamente cerrada de una casa dejando la puerta de la heladera abierta? ¿Y dejando una barra de hielo adentro? Justifique. No, no puede enfriarse una cocina dejando la puerta de la heladera abierta. Un refrigerador utiliza un suministro de trabajo para transferir calor desde el interior al exterior, que en este caso es la habitación donde está instalado el mismo. Si se deja la puerta abierta del refrigerador, estos dos sistemas son en realidad el mismo, y tarde o temprano terminarán en equilibrio térmico, con la misma temperatura. Sin embargo, el refrigerador libera a la habitación más calor del que toma del “interior” (|QH| = QC + |W|) por lo que el resultado de esto es que la temperatura de la habitación terminará aumentando. Sí es posible enfriar una habitación dejando una barra de hielo, debido a que, al intentar establecerse el equilibrio térmico entre esta y el ambiente, absorberá calor del mismo y bajará su temperatura. Para que esto funcione, sin embargo, la cocina debe estar bastante bien aislada del resto de habitaciones que podrían estar a mayor temperatura (este es el mecanismo de una heladera portátil). 9) Explicar la diferencia entre calor y temperatura. La temperatura es una función de estado, y es una variable que tiene un determinado valor para el estado de un sistema, por lo que podría obtenerse una función de estado que la vincule con otros variables tales como el volumen o la presión, T = T(V,P,n). En cambio, el calor no es una función de estado, y tampoco es correcto asignarle a un sistema un valor de “calor”. Calor es simplemente una transferencia de energía que ocurre entre sistemas que poseen distintas temperaturas. 10) Describir proceso cíclico. Un proceso cíclico consiste en una serie secuencial de estados termodinámicos conectados, en los que el sistema eventualmente retorna a su estado inicial. Para un proceso cíclico, se cumple que cualquier cambio en una función de estado es igual a cero (energía interna, entalpía, entropía, etc.) Un ejemplo clásico es un ciclo de Carnot. 14 CARGA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO La carga es una magnitud fundamental, tal como la masa. Dos cargas positivas se repelen entre sí, al igual que dos cargas negativas. Una carga positiva y una negativa se atraen. La carga eléctrica total se conserva: la suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema cerrado es constante. A su vez, la carga eléctrica está cuantizada, y su unidad natural es la carga del electrón (o del protón). Los materiales conductores permiten el movimiento de cargas a través de ellos, mientras que los aislantes no lo hacen. Un cuerpo puede cargarse por frotamiento con otro, por contacto con uno cargado, o por inducción. Ley de Coulomb: la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 𝐹=𝑘 |𝑞1 𝑞2 | 1 |𝑞1 𝑞2 | = 2 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑟 Se define un campo eléctrico E en un punto como la fuerza eléctrica F0 que experimenta una carga de prueba q0 en dicho punto, dividida por la carga de q0. ⃗⃗⃗ 𝐸 = ⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑞0 Esta definición aplica únicamente para cargas puntuales, debido a que en objetos masivos el campo eléctrico E llega a tener magnitudes y direcciones muy distintas en diversos puntos. Debido a que la presencia de q0 puede afectar la distribución de carga del objeto que genera el campo eléctrico, una definición más rigurosa minimiza este efecto hasta hacerlo despreciable tomando el límite: ⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑞0 →0 𝑞0 ⃗⃗⃗ = lim 𝐸 Si se considera que la distribución de carga es fija y no se ve afectada por la presencia de otras cargas, no es necesario tomar el límite. Se define un vector unitario r, que se encuentra en la dirección que une un determinado punto del espacio con el punto de origen (donde se encuentra la carga en cuestión). El campo eléctrico generado por una carga puntual q está dado por: 𝐸= 1 |𝑞𝑞0 | 1 |𝑞| 𝐹0 = = 2 𝑞0 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑞0 4𝜋𝜖0 𝑟 2 Esto puede escribirse de forma vectorial como sigue: ⃗⃗⃗ = 𝐸 1 𝑞 𝑟̂ 4𝜋𝜖0 𝑟 2 Por definición, el campo eléctrico de una carga positiva tiene dirección hacia fuera de la misma (saliente) y el de una carga positiva apunta hacia esta (entrante). 15 Campo de un anillo con carga: Un conductor en forma de anillo con radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente. Divídase el anillo en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cada segmento tiene una carga dQ que actúa como fuente puntual de campo eléctrico. Sea dE el campo generado por un segmento, entonces el campo eléctrico total en un punto P es la suma de todos esos diferenciales de campo. Si el punto P se ubica en el eje del anillo, entonces por simetría la componente y del campo E será nula. Por lo tanto, el campo del anillo queda totalmente descrito por la componente en su eje (que se denomina x). El diferencial de campo desarrollado por un segmento ds está dado por: 𝑑𝐸 = 𝑑𝐸𝑥 = 𝑑𝐸 cos 𝛼 = 𝑑𝐸 1 𝑑𝑄 4𝜋𝜖0 𝑥 2 + 𝑎2 √𝑥 2 𝑥 + 𝑎2 = 1 4𝜋𝜖0 𝑥 𝑑𝑄 3 (𝑥 2 + 𝑎2 )2 Al integrar esta expresión en todo el anillo, se llega a: ∫ 𝑑𝐸𝑥 = 1 4𝜋𝜖0 𝐸𝑥 = 3 ∫ 𝑑𝑄 (𝑥 2 + 𝑎2 )2 1 4𝜋𝜖0 Campo de una línea con carga: Tenga una línea de longitud 2a una carga Q. Divídase a la misma en segmentos infinitesimales, cada uno con un tamaño dy y una carga dQ. El campo eléctrico generado por este diferencial de carga en un punto P que se ubica en una recta en el centro de la línea está dado por: 𝑑𝐸 = 𝑥 𝑄𝑥 3 (𝑥 2 + 𝑎2 )2 1 𝑑𝑄 2 4𝜋𝜖0 𝑥 + 𝑦 2 La densidad lineal de carga λ está dada por λ = Q/2a. Usando la definición de densidad lineal de carga: 𝜆= 𝑄 𝑑𝑄 ⟹ 𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 2𝑎 𝑑𝑦 Reemplazando esto en la expresión anterior, se obtiene: 16 𝑄 𝑑𝑦 1 4𝜋𝜖0 2𝑎(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝐸 = Para descomponer esto en sus componentes, se ve que: 𝑑𝐸𝑥 = 𝑑𝐸 cos 𝛼 = 𝑑𝐸 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝐸𝑦 = −𝑑𝐸 𝑠𝑒𝑛𝛼 = −𝑑𝐸 𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 4𝜋𝜖0 =− 𝑄𝑥 2𝑎(𝑥 2 1 4𝜋𝜖0 + 3 𝑑𝑦 2 𝑦 )2 𝑄𝑦 2𝑎(𝑥 2 + 3 𝑑𝑦 2 𝑦 )2 Resta integrar entre los límites de la línea, desde –a hasta a. 𝐸𝑥 = 1 𝑄𝑥 𝑎 ∫ 4𝜋𝜖0 2𝑎 −𝑎 1 3 𝑑𝑦 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝐸𝑦 = 0 = 𝑄 1 2 4𝜋𝜖0 𝑥√𝑥 + 𝑎2 Si se sustituye Q mediante la densidad de carga lineal, se obtiene: 𝐸𝑥 = 1 2𝜋𝜖0 𝜆 𝑥2 𝑥 √( 2 + 1) 𝑎 Si se considera una línea de carga infinita (a = infinito) entonces el campo eléctrico que se obtiene está dado por: 𝐸𝑥 = 𝜆 2𝜋𝜖0 𝑥 Campo de un disco con carga uniforme: Téngase un disco de radio R con densidad superficial de carga uniforme σ. El mismo puede dividirse en un conjunto de anillos infinitesimales concéntricos con carga dQ. El campo generado por uno de estos anillos a un punto que se encuentra sobre el eje del disco está dado por, como se demostró en un caso anterior: 𝑑𝐸𝑥 = 𝜎= 𝑑𝐸𝑥 = 𝐸𝑥 = 𝐸𝑥 = 1 4𝜋𝜖0 𝑥𝑑𝑄 3 (𝑥 2 + 𝑟 2 )2 𝑑𝑄 𝑑𝑄 = 𝑑𝐴 2𝜋𝑟𝑑𝑟 1 2𝜋𝜎𝑥 𝑟𝑑𝑟 3 4𝜋𝜖0 2 (𝑥 + 𝑟 2 )2 𝜎𝑥 𝑅 ∫ 2𝜖0 0 𝑟 3 𝑑𝑟 (𝑥 2 + 𝑟 2 )2 𝜎𝑥 1 1 1 𝜎 1− [ − ]= 2 2 2 2𝜖0 𝑥 √𝑥 + 𝑅 2𝜖0 √1 + 𝑅2 [ 𝑥 ] 17 Si se tiene un disco de radio infinito, entonces la expresión se reduce a: 𝐸𝑥 = 𝜎 2𝜖0 Que es el campo eléctrico generado por una lámina de tamaño infinito. Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo que es tangente en cualquier punto que esté a la dirección del vector campo eléctrico en dicho punto. Las líneas de campo nunca pueden cruzarse: existe una única dirección para el vector campo eléctrico en un punto. LEY DE GAUSS Se define el flujo eléctrico sobre una superficie S como: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐸 = ∬ 𝐸 cos 𝜙 𝑑𝐴 = ∬ 𝐸⊥ 𝑑𝐴 = ∬ 𝐸 𝑆 𝑆 𝑆 Donde la integral es una integral de superficie sobre S. Este resultado es el valor medio de la componente perpendicular a la superficie del campo eléctrico, multiplicado por el área de esta. La ley de Gauss afirma que el flujo eléctrico total de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie, dividida entre ε0. Matemáticamente: ⃗⃗⃗ = Φ𝐸 = ∯ ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 La ley de Gauss es válida para cualquier distribución de carga y para cualquier superficie cerrada. Cuando en un conductor sólido se coloca un exceso de carga que se encuentra en reposo, la misma se encuentra en su totalidad en la superficie, no en el interior del material. Esto se debe a que en una situación electrostática (donde no hay cargas aceleradas) el campo eléctrico E en cada punto del interior de un material conductor debe ser igual a cero. De lo contrario, las cargas sufrirían una fuerza neta, se verían aceleradas y por lo tanto tendrían un determinado desplazamiento. Téngase un conductor, si se construye una superficie gaussiana en su interior, la aplicación de la ley de Gauss para una superficie donde el campo eléctrico es nulo indica que la carga encerrada debe ser también nula. Esta superficie puede comprimirse al punto de llegar a ser un punto P, donde se cumple la misma condición. Por lo tanto, ningún punto del interior de un conductor sólido puede tener una carga neta. Campo de una esfera conductora cargada: Por las razones anteriormente dadas, el campo eléctrico en el interior de una esfera conductora con carga q, de radio R, debe ser 0. Para averiguar el campo eléctrico en el exterior, se observa que el sistema tiene simetría esférica. Por lo tanto, el campo eléctrico debe ser radial desde el centro de la esfera, y debe ser uniforme para un radio determinado. Si se usa una superficie gaussiana esférica, de radio r, mayor que R, entonces debe cumplirse que: 18 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑⃗⃗⃗𝐴 = 𝐸 ∯ 𝑑𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = Φ𝐸 = ∯ 𝐸 𝑆 𝐸= 𝑆 1 𝑞 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝑞 𝜖0 Campo de una línea de carga: Tenga una línea de carga con longitud infinita una densidad de carga lineal λ. Este sistema tiene simetría cilíndrica. Por lo tanto, el campo eléctrico debe tener también únicamente una componente radial. Constrúyase una superficie gaussiana cilíndrica, de radio r y longitud l. La misma se puede separar en dos superficies planas, y una superficie curva. Debido a que el campo eléctrico es radial a la línea de carga, es tangente a las superficies planas y el flujo es nulo en las mismas. En la superficie curva, el campo es perpendicular a la superficie. Además, debe valer lo mismo en cada punto de la superficie debido a que esta es simétrica. Por lo tanto, aplicando la ley de Gauss se obtiene: ⃗⃗⃗ = 𝐸 ∯ 𝑑𝐴 = 𝐸(2𝜋𝑟𝑙) = Φ𝐸 = ∯ ⃗⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 𝐸= 𝑆 𝜆 2𝜋𝜖0 𝑟 𝜆𝑙 𝑞 = 𝜖0 𝜖0 Campo de una lámina plana infinita cargada: En este caso, la simetría es plana, por lo que el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie (no deben existir diferencias si se rota la superficie en torno al eje del plano). Para aprovechar esta simetría, se usa como superficie gaussiana un cilindro con extremos de área A. Como a lo largo del eje longitudinal del cilindro el campo eléctrico es tangente, el flujo es nulo para la superficie curva del mismo. En cada extremo del cilindro, el campo eléctrico es perpendicular y constante, por lo que aplicando la ley de Gauss se tiene para cada parte plana: ⃗⃗⃗ = 𝐸 ∬ 𝑑𝐴 = 𝐸𝐴 Φ𝐸,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 = ∬ ⃗⃗⃗𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 Φ𝐸 = 2𝐸𝐴 = 𝐸= 𝑆 𝑞 𝜎𝐴 = 𝜖0 𝜖0 𝜎 2𝜖0 Campo de una esfera aislante cargada uniformemente: En este caso la simetría es esférica, como en el caso de una esfera conductora, pero el campo en el interior no es necesariamente cero para que se dé una situación electrostática (debido a que en un aislante hay fuerzas adicionales que impiden la libre circulación de los transportadores de carga). Tenga la esfera un radio R, para un radio r < R se procede a construir una superficie gaussiana esférica, con el mismo centro que la esfera cargada. Debido a su simetría, se debe cumplir que: ⃗⃗⃗ = 𝐸 ∯ 𝑑𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = Φ𝐸 = ∯ ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 𝑆 19 𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜖0 𝑞𝑒𝑛𝑐 = 𝜌𝑉𝑒𝑛𝑐 𝐸= 4 3 𝜋𝑟 𝑟3 =𝑄3 =𝑄 3 4 3 𝑅 𝜋𝑅 3 𝑟 1 𝑄 3 4𝜋𝜖0 𝑅 Si se quiere calcular el campo fuera de la esfera, se procede de forma similar, con la diferencia de que la carga encerrada es Q: 𝐸= 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑟 2 En un conductor, el campo eléctrico sobre la superficie siempre es perpendicular a la misma (a demostrarse después). Por lo tanto, usando como superficie gaussiana un cilindro, cuya mitad está dentro del conductor, y su otra mitad fuera, puede demostrarse que para cualquier conductor el campo eléctrico en la superficie está dado por: 𝐸= POTENCIAL ELÉCTRICO 𝜎 𝜖0 El trabajo realizado por una fuerza F que mueve una partícula en una trayectoria desde a hasta b está dado por: 𝑏 𝑏 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐹 cos 𝜙 𝑑𝑙 𝑊𝑎→𝑏 = ∫ 𝐹 𝑎 𝑎 Además, si F es una fuerza conservativa, el trabajo realizado por esta puede ser expresado como un cambio en una determinada energía potencial U, según: 𝑊𝑎→𝑏 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = −Δ𝑈 Póngase una carga de prueba q0 entre dos placas cargadas con igual magnitud de carga, pero de signo contrario. En este entorno se genera un campo eléctrico constante, totalmente análogo a un campo gravitatorio. El trabajo que realiza este campo está dado por: 𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹𝑑 = 𝑞0 𝐸𝑑 De acuerdo a la definición de fuerza conservativa: ⃗⃗⃗ = −∇ ⃗ 𝑈 = (− 𝐹 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 ,− ,− ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Entonces se define la energía potencial eléctrica para este sistema (restringiendo el tratamiento a una única coordenada) como: 𝑈 = 𝑞0 𝐸𝑦 Calcúlese ahora el trabajo realizado por la fuerza eléctrica entre una carga puntual fija q que efectúa trabajo sobre otra carga q0. Si el desplazamiento es radial, entonces el trabajo para este sistema está dado por: 20 𝑏 𝑏 1 𝑞𝑞0 1 1 1 𝑑𝑟 = 𝑞𝑞0 ( − ) 2 4𝜋𝜖0 𝑟 4𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑊𝑎→𝑏 = ∫ 𝐹𝑟 𝑑𝑟 = ∫ 𝑎 𝑎 En realidad, el trabajo es el mismo para cualquier trayectoria, sea o no la misma radial. Para un desplazamiento cualquiera, el mismo está dado por: 𝑏 𝑏 𝑊𝑎→𝑏 = ∫ 𝐹 cos 𝜙 𝑑𝑙 = ∫ 𝑎 𝑎 𝑏 1 𝑞𝑞0 1 𝑞𝑞0 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝑙 = ∫ 𝑑𝑟 2 2 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑎 4𝜋𝜖0 𝑟 Ya que cosφdl = dr, un diferencial del desplazamiento radial de la carga de prueba q0 respecto de la carga q. De otra forma, el desplazamiento de la carga depende únicamente del cambio en dr, es decir la componente radial del desplazamiento. Como el trabajo realizado por la fuerza eléctrica de una carga puntual es independiente de la trayectoria, se demuestra que la misma es una fuerza conservativa. Además, de esto se desprende que: 𝑈= 1 𝑞𝑞0 4𝜋𝜖0 𝑟 Siendo esta la energía potencial eléctrica asociada a dos cargas puntuales situadas a una distancia r. Para una carga que se encuentra rodeada de otras, su energía potencial eléctrica está dada por la suma de la energía potencial asociada con cada carga: 𝑈= 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 1 𝑞𝑖 𝑞0 ( + + + ⋯ ) = 𝑞0 ∑ 4𝜋𝜖0 4𝜋𝜖0 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟𝑖 Se puede modelar cualquier campo eléctrico estático como un conjunto de cargas puntuales. Por lo tanto, de esto se deduce que la fuerza eléctrica provocada por cualquier campo electrostático (no sólo de cargas puntuales) es conservativa. Se define el potencial eléctrico V como: 21 𝑉= 𝑈 𝑞0 Usando la expresión para el trabajo realizado por la fuerza eléctrica, se tiene: 𝑊𝑎→𝑏 Δ𝑈 𝑈𝑎 𝑈𝑏 =− = − = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑉𝑎𝑏 𝑞0 𝑞0 𝑞0 𝑞0 Por lo tanto, el potencial eléctrico debido a una carga puntual está dado por: 1 𝑞 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑉= Si hay varias cargas puntuales, entonces: 𝑉= 𝑞𝑖 1 ∑ 𝑟𝑖 4𝜋𝜖0 𝑉= 1 𝑑𝑞 ∫ 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑖 Si se tiene una distribución continua de carga, se la divide en segmentos infinitesimales que actúan como cargas puntuales y se integra: Normalmente, en electrostática, se define que el potencial eléctrico en el infinito es igual a cero. A veces es más fácil calcular el trabajo de la fuerza eléctrica, o el potencial, a partir de medidas de campo eléctrico y no de fuerza eléctrica: 𝑏 𝑏 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ 𝑊𝑎→𝑏 = ∫ ⃗⃗⃗ 𝐹 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝑞0 𝐸 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐸 cos 𝜙 𝑑𝑙 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ 𝐸 𝑎 𝑎 Potencial eléctrico de una esfera conductora con carga: Se sabe que fuera de la esfera conductora el campo eléctrico está dado por: 𝐸= 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑟 2 Por lo tanto, el potencial eléctrico está dado por: ∞ 𝑉𝑎 − 0 = 𝑉 = ∫ 𝑟 1 𝑄 1 𝑄 𝑑𝑟 = 2 4𝜋𝜖0 𝑟 4𝜋𝜖0 𝑟 En cualquier punto dentro de la esfera, el campo eléctrico es nulo y por lo tanto el potencial debe ser constante, de lo contrario una carga en el interior de la misma sufriría un trabajo eléctrico y se aceleraría. Más aún, una carga en la superficie de la esfera también se aceleraría, por lo que el potencial dentro de la esfera debe estar dado por su valor en la superficie: 𝑉= 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑅 22 Para calcular el potencial entre dos placas cargadas con la misma carga, pero signo opuesto, se tiene: 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑊𝑎→𝑏 𝑞0 𝐸𝑑 = = 𝐸𝑑 𝑞0 𝑞0 Si se define como 0 el potencial de la placa negativa (b), se tiene que: 𝑉𝑎 = 𝐸𝑦 Donde y es la distancia del punto a la placa negativa. Potencial de una línea de carga infinita: Utilizando el campo eléctrico obtenido mediante la ley de Gauss para una línea de carga infinita o un cilindro conductor, se tiene: 𝑏 𝑟𝑏 𝑑𝑟 𝑟𝑏 𝜆 𝜆 ∫ ln = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ 𝐸𝑟 𝑑𝑟 = 2𝜋𝜖0 𝑟𝑎 2𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟 𝑎 Si se define a b como un punto en el infinito y su potencial cero, se ve que el potencial de cualquier punto a es infinito. Por lo tanto, esta no es una definición operativa útil. Se puede definir que el potencial es cero en cualquier punto determinado r0, y así el potencial de una línea de carga infinita es: 𝑉= 𝑟0 𝜆 ln 2𝜋𝜖0 𝑅 Potencial de un anillo cargado: Se divide al anillo de radio a en segmentos infinitesimales de longitud ds y carga dq. Entonces se procede como: 𝑉= 1 𝑑𝑞 1 𝑑𝑞 1 𝑄 ∫ = ∫( )= 4𝜋𝜖0 𝑟 4𝜋𝜖0 4𝜋𝜖0 √𝑥 2 + 𝑎2 √𝑥 2 + 𝑎2 Este el potencial generado en un punto sobre el eje del anillo. Potencial de una línea de carga finita: Tenga una línea de carga una longitud 2a y una densidad lineal de carga uniforme. El potencial en un punto de su bisectriz está dado por: 𝑑𝑉 = 1 𝑑𝑄 1 𝑑𝑄 = 4𝜋𝜖0 √𝑥 2 + 𝑦 2 4𝜋𝜖0 𝑟 𝑑𝑉 = 𝑉= 𝑑𝑄 𝑄 =𝜆= 𝑑𝑦 2𝑎 1 𝑄 𝑑𝑦 4𝜋𝜖0 2𝑎 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦 1 𝑄 √𝑎2 + 𝑥 2 + 𝑎 1 𝑄 𝑎 ∫ ln = 4𝜋𝜖0 2𝑎 −𝑎 √𝑥 2 + 𝑦 2 4𝜋𝜖0 2𝑎 √𝑎2 + 𝑥 2 − 𝑎 En una superficie equipotencial, el potencial eléctrico (y por lo tanto la energía potencial eléctrica) es constante. Esto significa que mientras una carga de prueba se traslada a lo largo de una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo 23 sobre ella. Por lo tanto, el campo eléctrico E debe ser perpendicular a la superficie en cada punto. En una superficie equipotencial, el campo eléctrico no tiene por qué ser constante. Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siempre es equipotencial. Esto se deduce ya que, en la superficie de un conductor, el campo eléctrico siempre es perpendicular a la superficie (de lo contrario, si existiera una componente tangencial, una carga libre del conductor podría desplazarse sobre la superficie y luego volver al punto de partida desde el interior, donde E = 0, habiéndosele realizado un trabajo neto, que violaría el hecho de que la fuerza eléctrica es conservativa). Se puede demostrar que el potencial eléctrico y el campo eléctrico están vinculados matemáticamente según: 𝑎 𝑏 𝑏 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ 𝑑𝑉 = − ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 𝐸 𝑏 𝑎 𝑎 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝐸𝑧 = − −𝑑𝑉 = ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝐸𝑥 𝑑𝑥 + 𝐸𝑦 𝑑𝑦 + 𝐸𝑧 𝑑𝑧 De esto se obtiene que: 𝐸𝑥 = − 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝐸𝑦 = − En notación vectorial, se expresa como: ⃗⃗⃗ = (− 𝐸 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 ⃗⃗⃗ 𝑉 ;− ; − ) = −∇ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Es decir que el campo eléctrico es el vector gradiente de la función de potencial eléctrico, pero cambiada de signo. CAPACITANCIA Se define la capacitancia C de un capacitor como: 𝐶= 𝑄 𝑉𝑎𝑏 El capacitor más sencillo es aquel formado por dos placas paralelas con carga +Q y –Q, separadas por una distancia d pequeña en comparación con las dimensiones de las placas. El campo eléctrico entre ambas placas es esencialmente uniforme, y este arreglo recibe el nombre de capacitor de placas paralelas. La magnitud del campo eléctrico de este capacitor está dada entonces por: 𝐸= 𝑄 𝜎 = 𝜖0 𝐴𝜖0 Para un campo uniforme de dos placas separadas una distancia d, el potencial está dado por: 𝑉𝑎𝑏 = 𝐸𝑑 = 24 𝑄𝑑 𝐴𝜖0 Por lo tanto, la capacidad de un capacitor de placas paralelas está dado por: 𝜖0 𝐴 𝑑 𝐶= Capacitor esférico: Dos corazas conductoras esféricas separadas por vacío forman un capacitor esférico. La coraza interior tiene una carga +Q y radio ra, y la exterior una carga –Q y radio rb. Para obtener el campo eléctrico entre las esferas, y obtener el potencial entre ambas, se usa la ley de Gauss. Para una superficie gaussiana esférica que se encuentre entre las dos corazas, se debe cumplir que: ⃗⃗⃗ = ∬ 𝐸 𝑑𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = Φ𝐸 = ∯ ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 𝑆 𝑄 𝜖0 La expresión obtenida es la misma que para una carga puntual, por lo que el potencial es también el mismo que para una carga puntual. 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 1 1 1 𝑄( − ) 𝑟𝑎 𝑟𝑏 4𝜋𝜖0 Por lo que la capacidad está dada por: 𝐶= 4𝜋𝜖0 𝑄 = 𝑉𝑎𝑏 1 − 1 𝑟𝑎 𝑟𝑏 Si se quiere obtener la capacidad de una única esfera sólida, se obtiene: 𝐶= 𝑄 = 4𝜋𝜖0 𝑅 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑅 Capacitor cilíndrico: Un conductor cilíndrico largo con radio ra y densidad lineal de carga λ rodeado de una coraza conductora cilíndrica coaxial de radio rb y densidad lineal de carga –λ forman un capacitor cilíndrico. Ya se demostró anteriormente que el potencial fuera de un cilindro conductor cargado está dado por: 𝑉= 𝜆 𝑟0 ln 2𝜋𝜖0 𝑟 Si se toma como nulo el potencial de la superficie externa, entonces se tiene que: 𝐶= 𝑉𝑎𝑏 = 𝑄 = 𝑉𝑎𝑏 𝑟𝑏 𝜆 ln 2𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝜆𝐿 2𝐿𝜋𝜖0 = 𝑟 𝜆 𝑟𝑏 ln 𝑏 ln 𝑟𝑎 2𝜋𝜖0 𝑟𝑎 Si se conectan dos capacitores en serie a las terminales de una batería, los mismos adquieren la misma carga Q. Por lo tanto, se tiene que: 1 1 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑄 ( + ) 𝐶1 𝐶2 25 Por lo que: 𝑉𝑎𝑏 1 1 = + 𝑄 𝐶1 𝐶2 La capacitancia equivalente de una conexión de capacitores en serie se define como la capacitancia de un solo capacitor para el que la carga Q es la misma que para el conjunto, cuando la diferencia de potencial es la misma. En otras palabras, la combinación puede ser reemplazada por un capacitor equivalente de capacidad Ceq. Para el arreglo anterior, puede verse que: 𝐶𝑒𝑞 = 𝑄 1 1 1 ⟹ = + 𝑉𝑎𝑏 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 Este resultado puede extenderse para un número arbitrario de capacitores conectados en serie, llegándose al resultado: 1 1 1 1 = + +⋯+ 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑛 Si los capacitores se conectan en paralelo, entonces la diferencia de potencial de cada uno es la misma. Sin embargo, las cargas no necesariamente son iguales: 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑉𝑎𝑏 (𝐶1 + 𝐶2 ) 𝑄 = 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑉𝑎𝑏 La capacidad equivalente para una conexión en paralelo tiene la carga de la suma del arreglo, y la misma diferencia de potencial. Más generalmente, se cumple que: 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑛 Se puede determinar la energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor evaluando el trabajo necesario para cargarlo (que es igual a esta cantidad). 𝑑𝑊 = 𝑣𝑑𝑞 = 𝑞𝑑𝑞 𝐶 El trabajo total necesario para cargar el capacitor es, por lo tanto: 26 𝑄 𝑊=∫ 0 𝑞𝑑𝑞 1 𝑄 2 = 𝐶 2 𝐶 Si se define como cero la energía potencial del capacitor descargado, entonces se tiene que: 𝑈=𝑊= 𝑄2 1 2 1 = 𝐶𝑉 = 𝑄𝑉 2𝐶 2 2 A veces es útil considerar que la energía eléctrica de un capacitor está contenida en el campo eléctrico formado entre las placas. Se define la densidad de energía u como: 1 2 1 𝐶𝑉 𝜖0 𝑉 2 1 2 2 = = 𝜖0 𝐸 2 𝑢= 2 𝐴𝑑 𝑑2 Si se coloca un dieléctrico entre las placas de un capacitor plano, la capacidad del mismo aumenta. Se define la permitividad relativa o constante dieléctrica como: 𝜖𝑟 = 𝐶 𝐶0 El campo eléctrico de un capacitor plano antes de agregado del dieléctrico y después está dado por: 𝐸0 = 𝜎 𝜖0 𝐸= 𝜎𝑖 = 𝜎 − 𝜖0 𝐸 = 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎𝑖 𝜖0 1 𝐸 = 𝜎 (1 − ) 𝜖𝑟 𝐸0 Se define la permitividad del dieléctrico como: 𝜖 = 𝜖𝑟 𝜖0 Por lo tanto, la capacitancia cuando hay un dieléctrico presente está dada por: 𝐶 = 𝜖𝑟 𝐶0 = 𝜖𝐴 𝑑 Si se tiene un dieléctrico, la Ley de Gauss se reformula según: ⃗⃗⃗ = ∯ 𝜖𝑟 ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 𝑄𝑒𝑛𝑐−𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝜖0 CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ Una corriente eléctrica es todo movimiento de carga de una región a otra. Se define la corriente a través del área de una sección A como la carga neta que fluye a través de esa área por unidad de tiempo: 𝐼= 𝑑𝑄 𝑑𝑡 La corriente se puede expresar en términos de la velocidad de deriva de las cargas. Supóngase que hay n partículas con carga positiva en movimiento (debido a un 27 campo eléctrico E) por unidad de volumen. Supóngase que todas las partículas se mueven con la misma velocidad de deriva de módulo vd. En un intervalo de tiempo dt, la partícula se mueve una distancia vddt. Si se toma un cilindro de longitud vddt, las partículas que fluyen fuera de él son las que estaban en su inicio antes del intervalo dt. El volumen del cilindro está dado por Avddt, y el número de partículas en su interior es de nAvddt. Si cada partícula tiene una carga q, la cantidad de carga que fluye a través del área A es: Y la corriente está dada por: 𝑑𝑄 = 𝑛𝐴𝑞𝑣𝑑 𝑑𝑡 𝐼= 𝑑𝑄 = 𝑛𝐴𝑞𝑣𝑑 𝑑𝑡 La corriente por unidad de área de la sección transversal se denomina densidad de corriente (J): 𝐽= 𝐼 1 𝑑𝑄 = = 𝑛𝑞𝑣𝑑 𝐴 𝐴 𝑑𝑡 Si las partículas fueran negativas, la velocidad de deriva para el mismo campo eléctrico E es de igual magnitud, pero signo opuesto. Sin embargo, se define la corriente de la misma forma que si las partículas fueran positivas, por lo que: 𝐼= 𝑑𝑄 = 𝑛𝐴|𝑞|𝑣𝑑 𝑑𝑡 La resistividad ρ de un material se define como la razón de la magnitud del campo eléctrico en su interior y la densidad de corriente generada: 𝜌= 𝐸 𝐽 Para algunos materiales, a una temperatura determinada esta razón es constante, aunque esto no se cumple para todos. Cuanto mayor sea la resistividad, mayor será el campo eléctrico necesario para generar una densidad de corriente de una magnitud dada. El recíproco de la resistividad es la conductividad: 𝜎= 1 𝐽 = 𝜌 𝐸 Para un conductor cuya resistividad es constante a una temperatura dada y se puede calcular como el cociente entre las magnitudes del campo eléctrico y la densidad de corriente, se dice que sigue la Ley de Ohm (conductor óhmico). La resistividad de un material normalmente aumenta con la temperatura. Este aumento está dado de forma aproximada por: 𝜌(𝑇) = 𝜌0 [1 + 𝛼(𝑇 − 𝑇0 )] Cuando se cumple la Ley de Ohm, el campo eléctrico en un conductor está dado por: ⃗⃗⃗ = 𝜌𝐽⃗ 𝐸 28 Si se tiene un conductor largo y cilíndrico de longitud L y área transversal A, como un alambre, donde el campo eléctrico y la densidad de corriente en su interior son constantes, entonces se cumple que: 𝐸= 𝑉 𝜌𝐼 = 𝐴 𝐿 O bien otra forma de enunciar la Ley de Ohm: 𝑉= 𝜌𝐿𝐼 𝐴 Se llama resistencia al cociente de V entre I: 𝑅= 𝑉 𝜌𝐿 = 𝐼 𝐴 Si la resistividad ρ de un material es constante, es decir que sigue la Ley de Ohm, entonces su resistencia también lo es y puede expresarse la Ley de Ohm de la forma: 𝑉 = 𝐼𝑅 Sólo cuando R es constante es correcto llamar a esta relación como Ley de Ohm. Un circuito eléctrico cerrado necesita en algún punto de la espira un dispositivo que lleve las cargas desde una zona con menor energía potencial, hasta su punto de partida con mayor energía potencial (el análogo de una bomba hidráulica). La influencia que hace que la corriente fluya del potencial menor al mayor se llama fuerza electromotriz (fem). Todo circuito completo con corriente constante debe tener algún dispositivo que provea una fem. Tal dispositivo recibe el nombre de fuente de fem. Una fuente ideal de fem mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales, independientemente de la corriente que pasa a través de ella. Para una fuente ideal de fem, se cumple que la diferencia de potencial generado entre las terminales de la misma es igual a la fuerza electromotriz: 𝜀 = 𝑉𝑎𝑏 Las fuentes de fem normalmente no son ideales, y tienen una caída de potencial debido a una resistencia interna r. La diferencia de potencial entre las terminales (voltaje terminal) de una fuente de fem no ideal está dada por: 𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝐼𝑟 La rapidez con que se entrega o se extrae energía a un elemento de un circuito está dado por: 𝑃= 𝑑𝑊 𝑉𝑎𝑏 𝑑𝑄 = = 𝑉𝑎𝑏 𝐼 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Si el elemento de circuito es una resistencia, la potencia entregada es: 𝑃 = 𝑉𝑎𝑏 𝐼 = 𝐼 2 𝑅 = 29 2 𝑉𝑎𝑏 𝑅 La potencia de salida de una fuente está dada por: 𝑃 = 𝑉𝑎𝑏 𝐼 = (𝜀 − 𝐼𝑟)𝐼 = 𝐼𝜀 − 𝐼 2 𝑟 Preguntas de finales: 1) ¿Cuál es el campo eléctrico generado por una esfera aislante, tanto fuera como dentro de esta? Calcular además el potencial eléctrico. Téngase una esfera sólida de material aislante, cargada uniformemente con una carga neta Q (supóngase positiva). Tenga además un radio R. Para calcular su campo eléctrico externo, se ve que, debido a la simetría esférica del sistema, el campo eléctrico debe tener también la misma simetría. Por lo tanto, enciérrese la esfera con una superficie gaussiana esférica de radio r > R. Entonces la ley de Gauss implica que: ⃗⃗⃗ = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = Φ𝐸 = ∯ ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑟 2 𝐸= 𝑄 𝜖0 Esta es la magnitud del campo eléctrico generado por la esfera en su exterior. Si se quiere dar el mismo en notación vectorial, y generalizar para cualquier carga (positiva o negativa) se obtiene la expresión: ⃗⃗⃗ 𝐸 = 1 𝑄 𝑟̂ 4𝜋𝜖0 𝑟 2 El potencial eléctrico puede calcularse como: 𝑏 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = ∫ 𝐸 𝑎 Usando la expresión anterior para el campo eléctrico, y definiendo como nulo al potencial en el infinito, se obtiene: 𝑉𝑎 = ∞ 1 1 1 1 1 𝑄 ∫ 2 𝑑𝑟 = − 𝑄( − ) 4𝜋𝜖0 ∞ 𝑟𝑎 4𝜋𝜖0 𝑟𝑎 𝑟 Por lo que se concluye que el potencial en el exterior de la esfera dieléctrica está dado por: 𝑉= 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑟 𝐸= 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑅 2 En particular, se ve que, en la superficie de la esfera, el campo eléctrico y el potencial están dados por: 𝑉= 1 𝑄 4𝜋𝜖0 𝑅 30 Para obtener el campo eléctrico en el interior de la esfera (r < R), de nuevo se usa la Ley de Gauss, utilizando una superficie gaussiana esférica concéntrica con la esfera aislante. Debido a la simetría del sistema, el campo eléctrico debe ser perpendicular a la misma y, si la carga es positiva, entonces paralela al vector área de la superficie. Por lo tanto, se tiene que: ⃗⃗⃗ = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐸 = ∯ 𝐸 𝑆 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 En este caso, para obtener la carga encerrada, se hace uso de que la carga está simétricamente distribuida en la esfera: 𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝜌𝑉𝑒𝑛𝑐 4 3 𝜋𝑟 4 3 𝑄𝑟 3 3 = 𝜌 ( 𝜋𝑟 ) = 𝑄 = 3 4 3 3 𝑅 𝜋𝑅 3 Al reemplazar esto en la expresión anterior se obtiene el campo eléctrico en el interior de la esfera: ⃗⃗⃗ = 𝐸 1 𝑄𝑟 𝑟̂ 4𝜋𝜖0 𝑅 3 De la misma forma que para el caso anterior, puede obtenerse el potencial dentro de la esfera, haciendo uso de saber cuánto vale el potencial en la superficie: 𝑉𝑎 − 𝑉𝑠𝑢𝑝 = 1 𝑄 𝑅 1 𝑄 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = (𝑅 2 − 𝑟 2 ) 3 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑟𝑎 4𝜋𝜖0 2𝑅3 𝑉𝑎 = 1 𝑟2 1 𝑄 [1 + − 2 ] 2 2𝑅 4𝜋𝜖0 𝑅 𝑉= 1 𝑄 3 𝑟2 ( − 2) 4𝜋𝜖0 𝑅 2 2𝑅 4 3 𝜋𝑅 𝜌 𝑟2 𝜌 3 2 𝑟2 3 𝑉=3 ( − 2) = ( 𝑅 − ) 2 3𝜖0 2 𝑅 4𝜋𝜖0 2 2𝑅 2) Supongamos que en el punto P1 retiene una carga Q1 que genera E1, en P2 una carga Q2 que genera E2. En P3, colocamos una carga de prueba q. Obtener la fuerza total a q. La fuerza total sobre q está dada por el producto entre su carga y el campo eléctrico resultante debido a las cargas Q1 y Q2. Para conocer este campo eléctrico, es necesario hacer la suma vectorial de los campos generados por ambas cargas, teniendo en cuenta la magnitud de sus cargas y las distancias de los puntos P1 y P2 a P3. 3) Sea V(q) = Q/C, el potencial de un capacitor de capacidad C asociado a una carga q. Obtener la energía necesaria para elevar la carga de un condensador desde q = 0 hasta q = a. Supóngase que se parte de un capacitor sin carga, y asóciese a este estado una energía potencial eléctrica igual a 0. Al iniciar el proceso de carga, el potencial del 31 capacitor variará desde 0 hasta su valor final como una función v que depende de q, es decir v = v(q). El aumento de la energía para este sistema está dado entonces por: 𝑑𝑈 = 𝑣 𝑑𝑞 = 𝑞 𝑑𝑞 𝐶 Por lo tanto, la energía final del sistema está dada por: 𝑎 𝑈=∫ 0 𝑎 𝑞2 𝑎2 𝑞 𝑑𝑞 = | = 2𝐶 0 2𝐶 𝐶 Esta cantidad es igual al trabajo externo necesario para cargar el capacitor. 4) A) Escriba la ecuación que define la diferencia de potencial entre dos puntos. Explique el significado de sus términos, ¿es una magnitud escalar o vectorial? Existen varias formas de obtener la diferencia de potencial de dos puntos, pero la definición de potencial está dada por: 𝑉= 𝑈 𝑞 Por lo que el potencial está dado por la energía potencial eléctrica por unidad de carga. Debido a que la energía potencial eléctrica depende del punto de referencia que se tome, se trabaja con diferencias de potencial, que están dadas por: 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑏 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 𝑊𝑎→𝑏 1 𝑏 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = = ∫ ⃗⃗⃗ 𝐹 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = ∫ ⃗⃗⃗ 𝑞 𝑞 𝑎 𝑞 𝑎 Todas estas son formas equivalentes de obtener la diferencia de potencial entre dos puntos a y b. Nótese que como la fuerza eléctrica es conservativa, las integrales de línea de las últimas dos expresiones dependen únicamente de los puntos iniciales y finales, y no de la trayectoria elegida, por lo que el potencial eléctrico no depende de la trayectoria con que se une a y b. Es una magnitud escalar. B) Una carga positiva, ¿tiende a desplazarse hacia regiones donde el potencial es mayor o menor? Dar un ejemplo que ilustre la respuesta. Una carga positiva tiende a desplazarse desde regiones de alto potencial eléctrico, hasta regiones de bajo potencial eléctrico. Para ver esto, nótese que, si el potencial de un punto a es mayor que el de un punto b, entonces debe cumplirse que: 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 > 0 ⟹ 𝑊𝑎→𝑏 >0 𝑞 Como la carga q es positiva, entonces el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre q también debe ser positivo, es decir que la carga se desplaza en el mismo sentido que apunta la fuerza eléctrica. A su vez se ve que al desplazarse desde a hasta b, la carga sufre una caída de energía potencial eléctrica. Un ejemplo con que se puede demostrar esto es mantener una carga puntual positiva en un punto fijo, y mostrar cómo se desplaza otra carga positiva, alejándose de 32 esta, desde zonas con potencial más alto (cerca de la carga fija) hasta zonas de bajo potencial (lejos de la carga). C) La fuerza eléctrica, ¿es disipativa o conservativa? La fuerza eléctrica es conservativa. Para demostrar esto, puede verse que el trabajo eléctrico realizado por la fuerza eléctrica es independiente de la trayectoria utilizada, dependiendo únicamente de los puntos inicial y final. 5) La fuerza electrostática que experimenta una carga q, debida a otra carga Q, queda expresada por la Ley de Coulomb. a) Calcular el trabajo necesario para trasladar la carga q desde un punto 1 hasta el punto 2. Para hacer esto es necesario integrar la expresión de la fuerza eléctrica dada por la Ley de Coulomb en una determinada trayectoria. En primer lugar, supóngase que las dos cargas, y los puntos 1 y 2, pueden ubicarse sobre una misma línea. Como la fuerza eléctrica es radial, el trabajo se calcula como: 2 𝑊1→2 = ∫ ⃗⃗⃗𝐹 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 1 𝑟2 1 1 1 1 1 𝑄𝑞 ∫ 2 𝑑𝑟 = 𝑄𝑞 ( − ) 4𝜋𝜖0 4𝜋𝜖0 𝑟1 𝑟2 𝑟1 𝑟 Ahora supóngase una trayectoria cualquiera. El integrando está dado por Fcosφdl, donde φ es el ángulo entre la fuerza eléctrica y un vector tangente a la trayectoria seguida. Pero esta cantidad da la variación entre la distancia de ambas cargas unidas mediante una línea recta, dr. Por lo tanto, la ecuación anterior es aplicable a cualquier trayectoria, y la fuerza eléctrica es conservativa. b) A partir de la definición de trabajo, deducir la expresión de la energía potencial electrostática. Para una fuerza conservativa, debe cumplirse que: 𝑊1→2 = −∆𝑈 = 𝑈1 − 𝑈2 De la expresión anterior se ve fácilmente que la energía potencial eléctrica entre dos cargas puntuales está dada por: 𝑈= 1 𝑄𝑞 4𝜋𝜖0 𝑟 6) Deduzca la expresión de capacitor equivalente para una conexión de dos capacitores en paralelo y para una conexión de dos capacitores en serie. Si se conectan dos capacitores, C1 y C2, en una conexión en paralelo, junto con una fuente de potencial eléctrico V, entonces ambos tendrán la misma diferencia de potencial eléctrico, V. La capacidad equivalente para dos capacitores en paralelo se define como aquella que debería tener un único capacitor para contener la misma cantidad de carga total que los capacitores que reemplaza, frente a la misma diferencia de potencial. Es decir: 𝐶𝑒𝑞 = 𝑄 (𝑄1 + 𝑄2 ) 𝑄1 𝑄2 = = + = 𝐶1 + 𝐶2 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 33 Dos capacitores conectados en serie no tienen por qué tener la misma diferencia de potencial, pero necesariamente deben tener la misma carga Q. La capacidad equivalente de dos capacitores en serie se define como la capacidad de un único capacitor que, con la misma cantidad de carga Q que los anteriores, presenta la diferencia de potencial V total, que es la suma de los potenciales de cada capacitor. Es decir: Por lo tanto: 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑄 𝑄 1 1 𝑄 + = 𝑄( + ) = 𝐶1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑒𝑞 1 1 1 = + 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 7) Definir conductividad eléctrica y polarizabilidad eléctrica. La conductividad eléctrica (σ) se define como el inverso de la resistividad (ρ), la cual a su vez es el cociente entre el campo eléctrico generado en un conductor, y su densidad de corriente J. Es decir: 𝜎= 𝐼 1 𝐽 = = 𝜌 𝐸 𝐴𝐸 Los materiales con una conductividad elevada (y, por lo tanto, baja resistividad) son buenos conductores eléctricos, generándose densidades de corriente elevadas con pequeños campos eléctricos. Para aquellos materiales cuya conductividad (y, por lo tanto, su resistividad) son constantes a una temperatura determinada, e independientes del campo eléctrico aplicado, se los llama materiales óhmicos debido a que siguen la ley de Ohm. La polarizabilidad eléctrica se define como la tendencia de una distribución de carga a deformarse debido a la aplicación de un campo eléctrico externo. La polarizabilidad α se calcula como el cociente del momento dipolar inducido debido a un campo eléctrico E: 𝛼= 𝑝 𝐸 8) Deduzca la capacidad de un capacitor plano paralelo con placas de área A y separadas una distancia d en vacío. Justifique. La definición de capacidad está dada por: 𝐶= 𝑄 𝑉 Donde Q es la carga de cada placa (+Q y –Q) y V es la diferencia de potencial entre ellas. Si se considera que la distancia d que separa las placas es pequeña respecto de sus dimensiones, puede aproximarse el comportamiento de este sistema como el de dos placas infinitas, sabiéndose que en su interior el campo eléctrico es constante. Además, la diferencia de potencial entre dos placas con un campo eléctrico constante entre ellas está dado por: 34 𝑉 = 𝐸𝑑 = 𝜎 𝑑 𝜖0 Si las placas están uniformemente cargas, la carga Q se obtiene según: 𝑄 = 𝜎𝐴 Reemplazando esto en la definición de capacidad, se obtiene: Preguntas de finales: 𝐶 = 𝜖0 𝜎𝐴 𝜖0 𝐴 = 𝜎𝑑 𝑑 1) Utilizando la ley de Gauss, encuentre el campo creado por una placa infinita cargada uniformemente con densidad superficial de carga σ, a una distancia d de ella, y el creado por una línea de carga infinitamente larga y uniformemente cargada con densidad lineal de carga λ a una distancia r de la distribución. Para encontrar el campo eléctrico generado por una placa infinita cargada con densidad superficial de carga σ, obsérvese que, debido a la simetría del sistema, se espera que el campo eléctrico sea perpendicular a esta lámina. Más aún, para que el potencial sobre la placa sea constante en todos los puntos de la misma, generando una superficie equipotencial, es necesario que se cumpla esta condición. Enciérrese parte de la placa con una superficie gaussiana cilíndrica que la atraviese. Según la ley de Gauss, el flujo eléctrico sobre la misma está dado por: ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐸 = ∯ 𝐸 𝑆 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 La superficie cilíndrica (con regiones circulares de área A) se puede separar en otras tres: aquella que es curva, y otras dos que son planas (las tapas). Nótese que el campo eléctrico es tangente a la superficie curva, y por lo tanto perpendicular a los vectores área de la misma, por lo que el flujo sobre esta región es nulo. Para las tapas del cilindro, si la carga de la placa es positiva el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, y forma un ángulo nulo con el vector área. Sumando el flujo eléctrico de ambas tapas, el flujo total obtenido es: 2𝐸𝐴 = 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜎𝐴 = 𝜖0 𝜖0 𝐸= 𝜎 2𝜖0 Nótese que en ningún momento fue necesario tener en cuenta la longitud del cilindro, por lo que el campo eléctrico de la placa es independiente de la distancia a la misma. Para una línea de carga infinita, obsérvese la simetría cilíndrica de esta. Debido a que el sistema debe ser indistinguible si se rota sobre su eje, se concluye que el campo eléctrico debe ser radial. Para calcularlo, se construye una superficie gaussiana cilíndrica, con el mismo eje que la línea de carga. Si el campo eléctrico es radial, entonces el flujo sobre las tapas de cilindro debe ser nulo, debido a que el campo es 35 tangencial a esta superficie. Por lo tanto, únicamente debe considerarse la superficie curva: ⃗⃗⃗ = 𝐸(2𝜋𝑟𝐿) = ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐸 = ∯ 𝐸 𝑆 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 Donde L es la longitud del cilindro y r es su radio. 𝐸= 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜆𝐿 𝜆 = = 2𝜋𝜖0 𝑟𝐿 2𝜋𝜖0 𝑟𝐿 2𝜋𝜖0 𝑟 2) Encuentre la diferencia de potencial entre dos puntos situados a una distancia r1 y r2 de una placa infinita con densidad de carga superficial σ, siendo r2 > r1. Ya se calculó el campo eléctrico de una placa infinita cargada. La diferencia de potencial entre estos dos puntos está dada por: 2 𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2 = ∫ ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 3) Enuncie la ley de Gauss. 1 𝜎 𝜎 𝑟2 ∫ 𝑑𝑟 = (𝑟 − 𝑟1 ) 2𝜖0 2 2𝜖0 𝑟1 La ley de Gauss afirma que el flujo eléctrico neto sobre una superficie cerrada S es directamente proporcional a la carga encerrada por esta superficie Q, y es igual a esta carga dividida una constante, ε0. Es decir: ⃗⃗⃗ = Φ𝐸 = ∯ ⃗⃗⃗ 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 Para cualquier combinación de resistencias siempre es posible encontrar un resistor único que podría reemplazar la combinación y dar como resultado la misma corriente y diferencia de potencial totales. La resistencia de este resistor único se llama resistencia equivalente de la combinación. 𝑅𝑒𝑞 = 𝑉𝑎𝑏 /𝐼 Si se tienen tres resistores R1, R2 y R3, conectados en serie, entonces la corriente I que pasa a través de ellos debe ser la misma. La diferencia de potencial entre las terminales de cada resistor debe estar dada por: 𝑉1 = 𝐼𝑅1 ; 𝑉2 = 𝐼𝑅2 ; 𝑉3 = 𝐼𝑅3 La diferencia de potencial total es la suma de estas diferencias de potencial: 𝑉𝑎𝑏 = 𝐼(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 ) = 𝐼𝑅𝑒𝑞 Esto se puede generalizar a cualquier número de resistores en serie: 36 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛 Si los resistores se conectan en paralelo, la corriente que atraviesa cada resistor no necesariamente es la misma, pero sí las diferencias de potencial entre las terminales. La corriente total en el circuito está dada por: 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏 1 1 1 𝑉𝑎𝑏 + + = 𝑉𝑎𝑏 ( + + )= 𝑅1 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑒𝑞 Esto se puede generalizar para un número cualquiera de resistores en paralelo: 1 1 1 1 = + + ⋯+ 𝑅𝑛 𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 Una unión en un circuito es un punto en el que se unen tres o más conductores. Las uniones también reciben el nombre de nodos o puntos de derivación. Una espira es cualquier trayectoria cerrada de conducción. Para resolver circuitos eléctricos existen dos reglas, llamadas reglas de Kirchhoff, que aplican a cualquier circuito eléctrico estacionario. La primera es la regla de las espiras o mallas, y dice que la suma algebraica de las variaciones de potencial en cualquier espira de un circuito en estado estacionario debe ser igual a cero. Es decir, se cumple que para una determinada malla: ∑𝑉 = 0 Esta regla surge del enunciado de que la fuerza electrostática es conservativa (HUGO ACUÑA DICE QUE NO ES POR ESTO, ABORTEN LA MISIÓN). Según uno se desplaza a lo largo de una determinada espira, el potencial puede aumentar o disminuir, pero, al llegar al punto de partida, la variación de potencial neta debe ser igual a cero. De lo contrario, no podría asignársele un determinado valor de potencial a un punto. A su vez esto es una consecuencia directa del principio de conservación de la energía (A HUGO ACUÑA SÍ LE GUSTA ESA EXPLICACIÓN). Si se tiene una carga q en un punto donde el potencial es V, la energía potencial eléctrica de la carga es qV. Cuando la carga recorre una espira y vuelve a su punto de partida, su energía potencial eléctrica debe ser la misma. La segunda es la regla de los nodos o uniones, y dice que en un punto de un circuito donde puede dividirse la corriente, la suma de corrientes que entran en el nodo debe ser igual a la suma de las que salen. Es decir, que en un nodo debe cumplirse que: ∑𝐼 = 0 Esta regla se deduce del principio de conservación de carga. En un circuito estacionario no puede haber acumulación de carga en ninguno de sus puntos, por lo que la cantidad de carga que entra en un punto debe ser igual a la carga que sale del mismo. Debido a que la carga por unidad de tiempo es la corriente, se concluye que lo mismo debe ser cierto para la corriente. Es decir que toda la corriente que entra por un punto debe ser igual a la que sale del mismo. 37 Si en un circuito se conecta un capacitor junto con una resistencia y una fuente de fem (circuito R-C) los valores de potencial, corriente y carga del capacitor varían en función del tiempo. Para ese circuito (fuente de fem – resistencia – capacitor), aplicando la regla de Kirchhoff de las espiras, se tiene que: 𝜀 − 𝑖𝑅 − 𝑞 =0 𝐶 Si se despeja la corriente variable i, se tiene que: 𝑖= 𝜀 𝑞 − 𝑅 𝐶𝑅 Notar que en t = 0, el capacitor está descargado, por lo que q = 0 y se tiene que: 𝑖 = 𝐼0 = 𝜀 𝑅 Como en el caso típico. En cambio, cuando el capacitor está totalmente cargado, obteniendo una carga Qf, ya no pasa más corriente por el circuito, y se tiene que: 𝑄𝑓 = 𝐶𝜀 Si se reemplaza a la corriente por su definición, teniendo en cuenta que i es la cantidad de carga que llega a la placa positiva por unidad de tiempo, se tiene que: 𝑞 𝑑𝑞 𝜀 = − 𝑑𝑡 𝑅 𝐶𝑅 1 𝑞 𝑑𝑞 = ( ) (𝜀 − ) 𝑑𝑡 𝑅 𝐶 1 𝐶 1 𝑞 𝑑𝑞 = 𝐶𝜀 − 𝑞 𝑑𝑞 = 𝑅 𝑑𝑡 𝜀−𝐶 𝑞 ∫ 0 𝑡 𝑑𝑞 ′ 1 𝑑𝑡′ = −∫ 𝑞′ − 𝐶𝜀 0 𝑅𝐶 ln 𝑡 𝑞 − 𝐶𝜀 =− 𝑅𝐶 −𝐶𝜀 𝑡 𝑞 − 𝐶𝜀 = 𝑒 −𝑅𝐶 −𝐶𝜀 𝑡 𝑡 𝑞 = 𝐶𝜀 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ) = 𝑄𝑓 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ) Esta ecuación da la carga del capacitor en función del tiempo. La corriente instantánea i es la derivada respecto del tiempo de esta última función: 38 𝑖= 𝑡 𝑑𝑞 𝜀 − 𝑡 = 𝑒 𝑅𝐶 = 𝐼0 𝑒 −𝑅𝐶 𝑑𝑡 𝑅 Al producto RC en un circuito R-C se lo llama tiempo de relajación o constante de tiempo: 𝜏 = 𝑅𝐶 Supóngase que se tiene el mismo sistema, con el capacitor ya cargado hasta su carga final, pero que ahora se elimina la fuente de fem. Debido a esto, el capacitor se descargará, generando una corriente i a través de la resistencia R. La aplicación de las reglas de Kirchhoff a este sistema da: − 𝑞 𝑞 − 𝑖𝑅 = 0 ⟹ 𝑖 = − 𝑅𝐶 𝐶 𝑑𝑞 𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑡 =− ⟹ =− 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑞 𝑅𝐶 𝑡 𝑑𝑞 ′ 𝑑𝑡 = − ∫ ′ 𝑄0 𝑞 0 𝑅𝐶 𝑞 ∫ ln 𝑞/𝑄0 = − 𝑡 𝑅𝐶 𝑡 𝑞 = 𝑄0 𝑒 −𝑅𝐶 Esta es la carga en función del tiempo para un capacitor que se está descargando. De la misma forma, la corriente instantánea está dada por: Preguntas de finales: 𝑖= 𝑡 𝑄0 − 𝑡 𝑑𝑞 =− 𝑒 𝑅𝐶 = 𝐼0 𝑒 −𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑑𝑡 1) Deduzca la expresión para la resistencia equivalente en una conexión en paralelo y otra en serie de un conjunto de resistencias. Justifique. Cuando se tiene un conjunto de resistencias, conectadas de una determinada forma a una fuente de fem que provee una diferencia de potencial total Vab, se define la resistencia equivalente del sistema como la resistencia que debería tener una única resistencia que, frente a la misma diferencia de potencial, genere la misma corriente total. Es decir: 𝑅𝑒𝑞 = 𝑉𝑎𝑏 𝐼 Supóngase que se tiene un conjunto de n resistencias, todas conectadas en serie. Para este arreglo, necesariamente la corriente que atraviesa cada resistencia debe ser la misma para todas. A su vez, la diferencia de potencial de cada una está dada por: 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉1 + 𝑉2 + ⋯ + 𝑉𝑛 = 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 + ⋯ + 𝐼𝑅𝑛 = 𝐼(𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛 ) De esto se desprende que: 39 𝑅𝑒𝑞 = 𝑉𝑎𝑏 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛 𝐼 Es decir que la resistencia equivalente para un conjunto de n resistores todos conectados en serie es igual a la suma de las resistencias individuales. Si ahora se conectan n resistencias en paralelo, se ve que todas poseen la misma diferencia de potencial entre sus terminales, Vab. A su vez, aplicando la regla de Kirchhoff de los nodos, se ve que la corriente total I debe ser igual a la suma de las corrientes que atraviesan cada resistencia: 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + ⋯ + 𝐼𝑛 = 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏 1 1 1 + + ⋯+ = 𝑉𝑎𝑏 ( + + ⋯+ ) 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑛 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑛 1 𝐼 1 1 1 = = + + ⋯+ 𝑅𝑒𝑞 𝑉𝑎𝑏 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑛 Por lo que el recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las resistencias individuales. 2) Enunciar la ley de Ohm. Enunciar las leyes de Kirchhoff. ¿Qué significado físico tienen las leyes de Kirchhoff? ¿Cuáles son los dos principios básicos que describen? La ley de Ohm afirma que la diferencia de potencial entre dos puntos de un conductor es directamente proporcional a la corriente que pasa por él, I, multiplicado por una constante de proporcionalidad R, que es constante para una temperatura dada. Es decir: 𝑉 = 𝐼𝑅 Otra forma de expresar la ley de Ohm es mediante el concepto de resistividad, ρ, definido según: 𝜌= 𝐸 𝐽 Para un material que sigue la ley de Ohm, la resistividad a una temperatura dada es una constante y no depende del campo eléctrico. Se puede relacionar esta expresión con la anterior si se considera un campo eléctrico constante en el conductor, de forma que se obtiene: 𝜌= 𝑉𝐴 𝜌𝐿 ⟹𝑉= 𝐼 = 𝑅𝐼 𝐿𝐼 𝐴 Existen dos leyes de Kirchhoff, y su utilidad fundamental reside en la resolución de circuitos eléctricos. La regla de las espiras o mallas dice que la suma de las diferencias de potencial de todos los elementos presentes en una determinada espira debe ser igual a cero. Este enunciado se basa en la ley de la conservación de la energía: debido a que el potencial eléctrico se define como la energía potencial eléctrica por unidad de carga, una determinada carga que inicie su recorrido de un circuito en un determinado punto debe 40 tener la misma energía al volver a este. Por lo tanto, el potencial también debe ser el mismo, y la suma de las diferencias a lo largo del recorrido debe ser nula. La segunda regla es la de nodos o uniones, y afirma que la suma de las corrientes entrantes en una determinada unión de un circuito, debe ser igual a la suma de las corrientes salientes del mismo punto. Esto se basa en la conservación de la carga: debido a que en un circuito estable estacionario no puede acumularse la carga en ningún punto, y teniendo en cuenta que la corriente se define como la cantidad de carga que atraviesa una determinada área por unidad de tiempo, entonces debe aplicarse lo mismo para la corriente. Por lo tanto, la cantidad de corriente que entra en un determinado punto debe ser igual a la que sale. 41 MAGNETISMO La dirección de un campo magnético se define como la dirección de la fuerza que el campo ejercería sobre un polo norte magnético. Para cualquier imán, el campo magnético apunta hacia fuera de su polo norte y hacia adentro de su polo sur. El módulo de la fuerza magnética sobre una carga puntual que se mueve con velocidad v en un campo magnético B está dado por: 𝐹 = |𝑞|𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛𝜙 Donde φ es el ángulo entre el vector velocidad y el campo magnético. Vectorialmente, esta fuerza está definida por un producto vectorial, por lo que F siempre es perpendicular a los vectores velocidad y campo magnético: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝐹 = 𝑞𝑣 ⃗⃗⃗ × 𝐵 De la misma forma que se pueden dibujar líneas de campo eléctrico, también existe un concepto análogo para las líneas de campo magnético. En las mismas, el vector campo magnético es tangente a la curva en cualquier punto. El flujo magnético a través de una superficie se define de la misma manera que el flujo eléctrico: ⃗⃗⃗ = ∬ 𝐵 cos 𝜙 𝑑𝐴 Φ𝐵 = ∬ ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 𝑆 Debido a que no existen los monopolos magnéticos, si se aplicara la Ley de Gauss, pero al campo magnético, se obtiene que el flujo magnético total sobre una superficie cerrada siempre es igual a cero. Este resultado recibe el nombre de ley de Gauss del magnetismo, y se simboliza como: ⃗⃗⃗ = 0 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐵 = ∯ 𝐵 𝑆 De esta ecuación se deduce que las líneas de campo siempre forman curvas cerradas, por lo que no tienen extremos. En algunas ocasiones al campo magnético se lo llama densidad de flujo magnético. Esto sale de la expresión siguiente: ⃗⃗⃗ = 𝐵 cos 𝜙 𝑑𝐴 = 𝐵 𝑑𝐴⊥ ⟹ 𝐵 = 𝑑Φ𝐵 = ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝐴 𝑑Φ𝐵 𝑑𝐴⊥ Debe notarse que el movimiento de una partícula cargada bajo la sola influencia de un campo magnético siempre ocurre con rapidez constante. Esto es debido a que la fuerza magnética siempre es perpendicular al vector velocidad de la misma, por lo que nunca tiene una componente tangencial que cause una aceleración que modifique el módulo de la velocidad (sí puede afectar la dirección del vector velocidad). Si se coloca una carga positiva moviéndose con velocidad v en un campo magnético uniforme, perpendicular a la velocidad, entonces la partícula comienza a moverse según un movimiento circular uniforme (MCU) según: 𝐹 = |𝑞|𝑣𝐵 = 42 𝑚𝑣 2 𝑅 Donde R es el radio de la órbita descrita, y m es la masa de la partícula. 𝑅= 𝑚𝑣 |𝑞|𝐵 La velocidad angular de la partícula se calcula como: 𝜔= 𝑣 |𝑞|𝐵 = 𝑅 𝑚 Es posible calcular la fuerza magnética sobre un conductor por el que circula corriente, a partir de la ecuación fundamental para el campo magnético. Téngase un alambre de sección transversal A, longitud L, con corriente I. Supóngase por ahora que los portadores de carga tienen carga positiva y una velocidad de deriva vd. Aplíquese un campo uniforme B, perpendicular a la dirección de circulación de corriente. La fuerza magnética media en cada carga está dada por la ecuación de fuerza magnética. Como la velocidad de deriva y el campo magnético son perpendiculares, se tiene que para cada carga: 𝐹𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣 = 𝑞𝑣𝑑 𝐵 Para calcular la fuerza total sobre todas las cargas del conductor, se observa que la cantidad de cargas por unidad de volumen es n, y que el volumen del conductor es AL. Por lo tanto: 𝐹 = 𝑛𝐴𝐿(𝑞𝑣𝑑 𝐵) = (𝑛𝑞𝑣𝑑 𝐴)𝐿𝐵 𝐹 = 𝐼𝐿𝐵 Si el campo no es perpendicular a la velocidad de deriva, únicamente se debe considerar el término adicional senφ: 𝐹 = 𝐼𝐿𝐵𝑠𝑒𝑛𝜙 En notación vectorial, se tiene que: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗ 𝐹 = 𝐼𝐿 El vector L se define como un vector de magnitud L en la misma dirección que el conductor, y siempre tangente a él, y con el sentido de la corriente. Si el conductor no es recto, la dirección de L va cambiando a lo largo del mismo. Para calcular un diferencial de fuerza se toma: ⃗⃗⃗ = 𝐼𝑑𝐿 ⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗ 𝑑𝐹 Y se integra a lo largo del conductor. Si la carga de los portadores de carga fuera negativa, entonces la velocidad de deriva es opuesta a la corriente. Pero como la carga también es negativa, su producto sigue siendo positivo y las ecuaciones anteriores se mantienen. FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO El módulo del campo magnético generado por una carga puntual q que se mueve a velocidad v está dado por: 43 En notación vectorial: 𝐵= 𝜇0 |𝑞| 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜙 4𝜋 𝑟2 ⃗⃗⃗ = 𝐵 𝜇0 𝑞𝑣 ⃗⃗⃗ × 𝑟̂ 4𝜋 𝑟 2 Donde el vector r del producto vectorial es un vector unitario con dirección desde el punto de fuente hasta el punto de campo. La constante µ0 está definida para que su valor sea exactamente: 𝜇0 = 4𝜋 ⋅ 10−7 𝑇𝑚/𝐴 A su vez está relacionada con la velocidad de la luz en el vacío, según: 𝑐2 = Para obtener el campo magnético generado por un segmento de corriente, se parte del campo magnético de un segmento corto dl. El volumen del segmento es Adl, donde A es el área transversal del conductor. Si hay n partículas cargadas por unidad de volumen, cada una con carga q, la carga total dQ que se mueve en el segmento es: 1 𝜖0 𝜇0 𝑑𝑄 = 𝑛𝑞𝐴𝑑𝑙 Como la velocidad media de las cargas a lo largo del conductor es la velocidad de deriva, se tiene que: 𝑑𝐵 = 𝜇0 |𝑑𝑄|𝑣𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑟2 4𝜋 𝜇0 𝑛|𝑞|𝑣𝑑 𝐴𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛𝜙 = 𝑟2 4𝜋 𝑑𝐵 = 𝜇0 𝐼𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛𝜙 4𝜋 𝑟2 En forma vectorial, se tiene: ⃗⃗⃗ = 𝑑𝐵 𝜇0 𝐼𝑑𝑙⃗ × 𝑟̂ 4𝜋 𝑟 2 Este resultado recibe el nombre de Ley de Biot y Savart. Esta ley se utiliza para obtener el campo magnético total B debido a la corriente en un circuito completo en cualquier punto del espacio. 44 ⃗⃗⃗ = 𝐵 𝜇0 𝐼𝑑𝑙⃗ × 𝑟̂ ∫ 4𝜋 𝑟2 Campo magnético de un conductor recto: Téngase un conductor recto de longitud 2a, que transporta una corriente I. Se quiere encontrar la magnitud del campo magnético B sobre su bisectriz, a una distancia x. Primero es necesario utilizar la ley de Biot y Savart para encontrar el campo generado por un segmento infinitesimal dl, que en este caso se llama dy. Según esto, r = (x2+y2)1/2 y senΦ = sen(π-Φ) = x/(x2+y2)1/2. Si la corriente es ascendente, en un punto con x > 0, el campo magnético es entrante al plano del papel. Para encontrar el campo magnético total, se integra entre los extremos del conductor: 𝐵= 𝜇0 𝑎 ∫ 4𝜋 −𝑎 (𝑥 2 𝐼𝑥 + 3 𝑑𝑦 2 𝑦 )2 𝐵= 𝜇0 2𝑎𝐼 4𝜋 𝑥√𝑥 2 + 𝑎2 Para un conductor recto muy largo, x es despreciable frente a a y se tiene: 𝐵= 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑥 Esta es la magnitud del campo magnético generado por un conductor recto infinito. Además, el campo debe ser tangente en todos los puntos a un círculo concéntrico al conductor. Si se tienen dos conductores que transportan una corriente I e I’, ambos interaccionan entre sí. Supóngase que se tienen ambos colocados uno sobre otro, separados una distancia r. El conductor inferior genera un campo dado por: 𝐵= 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑟 La fuerza que este campo ejerce sobre el conductor superior está dada por: ⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗ 𝐵|= 𝐹 = |𝐼′𝐿 45 𝜇0 𝐼𝐼 ′ 𝐿 2𝜋𝑟 La fuerza por unidad de longitud experimentada por el conductor superior es: 𝐹 𝜇0 𝐼𝐼 ′ = 𝐿 2𝜋𝑟 Se puede ver que dos conductores paralelos que transportan corrientes en el mismo sentido se atraen uno al otro. Dos conductores paralelos que transportan corrientes en sentidos opuestos se repelen entre sí. Estas atracciones o repulsiones entre conductores paralelos se usan para definir el ampere: Un ampere es la corriente invariable que, si está presente en dos conductores paralelos de longitud infinita y separados por una distancia de un metro de espacio vacío, provoca que cada conductor experimente una fuerza de exactamente 2x10-7 newtons por metro de longitud. Campo magnético de una espira circular de corriente: Tenga una espira circular una corriente I y un radio a. Se quiere encontrar el campo magnético generado sobre su eje. Para eso, se ve que: 𝑑𝐵 = 𝜇0 𝐼𝑑𝑙 4𝜋 𝑥 2 + 𝑎2 Las componentes son: 𝜇0 𝐼𝑑𝑙 𝑎 2 2 4𝜋 𝑥 + 𝑎 √𝑥 2 + 𝑎2 𝜇0 𝐼𝑎𝑑𝑙 = 3 4𝜋 2 (𝑥 + 𝑎2 )2 𝑑𝐵𝑥 = 𝑑𝐵 cos 𝜃 = 𝑑𝐵𝑦 = 𝑑𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜇0 𝐼𝑑𝑙 𝑥 𝜇0 = 2 2 4𝜋 𝑥 + 𝑎 √𝑥 2 + 𝑎2 4𝜋 𝐼𝑥𝑑𝑙 3 (𝑥 2 + 𝑎2 )2 Debido a la simetría del sistema, la suma de los diferenciales en y se cancela y el campo sólo tiene componente en x. 𝐵𝑥 = 𝜇0 4𝜋 (𝑥 2 𝐼𝑎 + 3 ∫ 𝑑𝑙 2 𝑎 )2 Como la longitud del conductor es 2πa, entonces se tiene: 𝐵𝑥 = 𝜇0 𝐼𝑎2 3 2(𝑥 2 + 𝑎2 )2 Esta es la magnitud del campo magnético en x en el eje de la espira circular. Supóngase ahora que, en lugar de una espira, se tienen N espiras concéntricas que forman una bobina. Si la separación entre las espiras es tan pequeña que el plano 46 de cada una está prácticamente a la misma distancia x de un punto sobre el eje, el campo magnético simplemente está dado por: 𝐵𝑥 = 𝜇0 𝑁𝐼𝑎2 3 2(𝑥 2 + 𝑎2 )2 La Ley de Ampère sirve para obtener el campo magnético a partir de un arreglo de corrientes. Está dada por: ∮ ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑐 Esta forma de la ley de Ampère es válida únicamente si las corrientes son estables y si no están presentes materiales magnéticos o campos eléctricos que varíen con el tiempo. La ley de Ampère puede usarse para obtener el campo magnético en arreglos de conductores simétricos, de forma mucho más sencilla que integrando los segmentos del conductor. Campo magnético de un conductor largo, recto, y portador de corriente: Tómese una trayectoria circular concéntrica con el conductor, ubicada a una distancia r del centro del mismo. Supóngase que la corriente es saliente, hacia fuera del plano de la página, y la trayectoria va en sentido antihorario. Aplicando la ley de Ampère se tiene: ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = ∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0 𝐼 ∮𝐵 𝐵= 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑟 Campo en el interior de un conductor largo y cilíndrico: Un conductor largo y cilíndrico con radio R transporta una corriente I. La corriente está distribuida de manera uniforme sobre la superficie de la sección transversal del conductor. Se desea encontrar el campo magnético tanto dentro como fuera del cilindro. Debido a la simetría cilíndrica del conductor, el campo magnético debe ser nuevamente de la misma simetría, y por lo tanto tangente al conductor. Para encontrar el campo magnético dentro del mismo, se usa una trayectoria circular concéntrica con r < R. Si la corriente es saliente y se integra de forma antihoraria, B apunta en la misma dirección que la trayectoria. La ley de Ampère da: ∮ ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑐 𝐼𝑒𝑛𝑐 = 𝐽𝜋𝑟 2 = 𝐼 𝐼𝑟 2 2 𝜋𝑟 = 𝜋𝑅 2 𝑅2 Por lo tanto, el campo magnético en el interior del conductor está dado por: 𝐵= 𝜇0 𝐼𝑟 2𝜋𝑅 2 47 Para un radio r > R es claro que se aplican los mismos argumentos que para un conductor infinitamente largo, y se cumple que: 𝐵= 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑟 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA El elemento común en todos los fenómenos de inducción es el flujo magnético cambiante a través de un circuito. La ley de Faraday de la inducción establece lo siguiente: la fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio del flujo magnético a través de la espira con respecto al tiempo. 𝜀=− 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 Un alternador consiste de una espira rectangular que gira con rapidez angular constante ω alrededor de un eje. Además, existe un campo magnético uniforme B que la atraviesa. Para calcular la fem inducida en este sistema, se ve que el flujo magnético está dado por: ⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 cos 𝜙 = 𝐵𝐴 cos 𝜔𝑡 Φ𝐵 = ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅𝐴 La fem inducida está dada por la ley de inducción de Faraday: 𝜀=− 𝑑Φ𝐵 𝑑(cos 𝜔𝑡) = −𝐵𝐴 = 𝜔𝐵𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Supóngase que se tiene un conductor en forma de U, situado en una zona con campo magnético B constante, y perpendicular al mismo. Se coloca una varilla de longitud L sobre las barras del conductor, y se la mueve a velocidad constante v. Supóngase que esta velocidad es hacia la derecha, de forma que aumenta el área del conductor al desplazarse la barra. La fem inducida para este sistema está dada por: 𝜀=− 𝑑(𝐵𝐴) 𝑑(ℎ + 𝑣𝑡) 𝑑Φ𝐵 =− = −𝐵𝐿 = −𝐵𝐿𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 La Ley de Lenz es una forma alternativa para determinar la dirección de una corriente o fem inducida. La ley de Lenz no es un principio independiente, y se obtiene de la ley de Faraday. Establece lo siguiente: la dirección de cualquier efecto de la inducción magnética es la que se opone a la causa del efecto. 48 El flujo magnético cambiante genera sobre un conductor un campo eléctrico inducido, que es el que provoca que las cargas se desplacen. A su vez, este campo eléctrico inducido generado no es conservativo, y se cumple la relación: ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝜀 = − ∮𝐸 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 Esta clase de campos eléctricos reciben el nombre de campos no electrostáticos, debido a que no son conservativos. Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Ley de Gauss para campos eléctricos: ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐸 = ∯ 𝐸 𝜕Ω 1 𝑄𝑒𝑛𝑐 = ∭ 𝜌 𝑑𝑉 𝜖0 Ω 𝜖0 Ley de Gauss para campos magnéticos: ⃗⃗⃗ = 0 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐵 = ∯ 𝐵 𝜕Ω Ley de Ampére: ∮ ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝜇0 (𝑖𝑐 + 𝜖0 𝜕Σ Ley de Faraday: 𝑑Φ𝐸 𝑑 ⃗⃗⃗ + 𝜖0 ∬ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ) = 𝜇0 (∬ ⃗𝐽 ⋅ 𝑑𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑑𝑡 Σ 𝑑𝑡 Σ ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = − 𝜀=∮ 𝐸 𝜕Σ 𝑑 𝑑Φ𝐵 ⃗⃗⃗ = − ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 ∬𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Σ Notar que el campo eléctrico en la ley de Faraday es el campo eléctrico inducido por el cambio en el flujo magnético. A su vez, la cantidad en la ley de Ampére dentro del paréntesis que no es ic, es también llamada id o corriente de desplazamiento (en contraposición de la corriente de inducción). Estas cuatro ecuaciones, sumadas a la que da la relación entre fuerzas magnéticas y eléctricas para cargas puntuales, llamada ley de Lorentz, dada por: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ + 𝑣 ⃗⃗⃗ ) 𝐹 = 𝑞(𝐸 ⃗⃗⃗ × 𝐵 Permiten obtener todas las otras relaciones del electromagnetismo. Preguntas de finales: 1) Enuncie las leyes de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell son las cuatro siguientes: Ley de Gauss de campos eléctricos: Afirma que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada S es igual a la carga total encerrada por la misma, dividida por la permitividad eléctrica del vacío, ε0. Esta relación es válida para cualquier distribución de carga. 49 ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 Φ𝐸 = ∯ 𝐸 𝑆 𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜖0 Ley de Gauss de campos magnéticos: Afirma que el flujo magnético total a través de una superficie cerrada S siempre es nulo. ⃗⃗⃗ = 0 Φ𝐵 = ∯ ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆 Ley de Ampére: La integral de línea del campo magnético total sobre una trayectoria cerrada es igual a la permeabilidad magnética del vacío, µ0, por la suma de la corriente de conducción y la corriente de desplazamiento: ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝜇0 (𝑖𝑐 + 𝜖0 ∮ 𝐵 𝜕Σ 𝑑Φ𝐸 𝑑 ⃗⃗⃗ + 𝜖0 ∬ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ) = 𝜇0 (∬ ⃗𝐽 ⋅ 𝑑𝐴 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 𝑑𝑡 Σ 𝑑𝑡 Σ En el caso más común en el que no hay una variación del flujo eléctrico en el tiempo, se tiene: ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑐 ∮ 𝐵 𝜕Σ Ley de inducción de Faraday: La fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo del cambio de flujo magnético respecto del tiempo: 𝜀=− 𝑑 𝑑Φ𝐵 ⃗⃗⃗ = ∮ 𝐸 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = − ∬𝐵 𝑑𝑡 𝑆 𝑑𝑡 𝜕𝑆 2) Enuncie la ley de Ampère y determine el campo magnético, originado por una corriente I en un conductor infinitamente largo, a una distancia r del mismo. La ley de Ampère para sistemas en las que no hay campos eléctricos variables dice que la integral del campo magnético sobre una trayectoria cerrada determinada es igual a la permeabilidad magnético del vacío por la corriente total encerrada dentro de la superficie cuya frontera es la trayectoria usada. Es decir: ∮ ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝜇0 𝐼𝑒𝑛𝑐 𝜕Σ Si se tiene un hilo conductor de longitud infinita y corriente I, enciérrese una sección del mismo mediante una trayectoria circular, concéntrica al conductor, de radio r. Nótese que, debido a su simetría cilíndrica, el campo magnético debe ser constante para una distancia r constante al conductor. Además, el mismo debe ser tangente a una trayectoria como la descrita, por lo que el ángulo entre el campo magnético y un diferencial de la trayectoria será de 0º o de 180º. Oriéntese la trayectoria de forma que el ángulo sea 0º (en sentido antihorario si la corriente es saliente, u horario si es entrante). Aplicando la ley de Ampère se tiene: ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0 𝐼 ∮𝐵 𝐵= 𝜇0 𝐼 2𝜋𝑟 50 3) Encuentre la fem inducida sobre una espira cerrada que gira con velocidad angular ω alrededor de un eje, en una zona donde existe un campo magnético B uniforme. De acuerdo a la ley de inducción de Faraday, la fem inducida sobre este sistema está dada por: 𝜀=− 𝑑Φ𝐵 𝑑𝑡 Como el campo magnético al que está sometida la espira es constante, al igual que su área, el flujo magnético puede calcularse como: ⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 cos 𝜙 = 𝐵𝐴 cos 𝜔𝑡 Φ𝐵 = ∬ ⃗⃗⃗ 𝐵 ⋅ 𝑑𝐴 La derivada cambiada de signo es igual a la fem inducida en la espira: 𝜀=− 𝑑 (𝐵𝐴 cos 𝜔𝑡) = 𝐵𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 4) Un haz de electrones ingresa en una caja con velocidad v. En el interior de la caja existen campos E y B. Indicar un diagrama de posibles direcciones y sentidos de los campos para que las partículas salgan sin desviarse (va a hacerlo). Para que los electrones salgan con velocidad constante de la caja, la suma total de fuerzas sobre un electrón determinado debe ser igual a cero. Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el electrón debe ser igual y de sentido opuesto a la fuerza eléctrica. Supóngase que el electrón viaja en la dirección +y. Si se aplica un campo magnético en dirección –x, entonces el electrón sufrirá una fuerza magnética hacia el eje –z. Para contrarrestar esta fuerza magnética, se necesita una fuerza eléctrica de igual magnitud, pero en el sentido +z. Para lograr esto, es necesario aplicar un campo eléctrico que tenga dirección –z, debido a que la fuerza eléctrica de una partícula con carga negativa es contraria al campo eléctrico que la genera. 5) Enuncie la ley de inducción de Faraday. Dé ejemplos. La ley de inducción de Faraday afirma que la fem inducida en una espira cerrada es igual al negativo del cambio del flujo magnético respecto del tiempo: 𝜀=− 𝑑 𝑑Φ𝐵 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⋅ 𝑑𝐴 = − ∬𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Existen muchos ejemplos, como puede ser un alternador, que es una espira que gira en un campo magnético constante, o la fem generada por el desplazamiento de una barra conductora sobre un conductor en forma de U en un determinado campo. 6) Una partícula cargada se traslada por una región del espacio con una velocidad constante. Si el campo magnético externo es cero en esa región, ¿se puede concluir que el campo eléctrico externo también es cero en la región? Si ahora el campo eléctrico es cero en la región, ¿se puede concluir que el campo magnético externo en la región es cero? Si una partícula cargada atraviesa una región donde no existe un campo magnético, con velocidad constante, entonces necesariamente el campo eléctrico debe ser cero, ya que de lo contrario existiría una fuerza neta sobre la misma, que causaría 51 una aceleración y por lo tanto modificaría su velocidad, en módulo, en dirección, o en ambas cantidades. Por lo tanto, se concluye que el campo eléctrico para este caso debe ser cero. Sin embargo, si la misma partícula se mueve con velocidad constante en una región donde el campo eléctrico es nulo, no se puede asegurar que el campo magnético también lo es. Debido a que la fuerza magnética depende también de la velocidad de la partícula, si la misma se mueve en una dirección paralela o antiparalela al campo magnético, entonces no se generará ninguna fuerza magnética, y seguirá con velocidad constante, a pesar de existir un campo magnético distinto de cero. 7) Dos hilos largos paralelos están suspendidos por cuerdas de longitud L de un eje común. Los cables tienen una masa por unidad de longitud λ y transportan la misma corriente I. ¿Cómo deben ser las direcciones y el valor de las corrientes si las cuerdas forman un ángulo α con la vertical? En primer lugar, debe notarse que la fuerza magnética entre los conductores debe ser repulsiva, para que los mismos se alejen, por lo que las corrientes que van a través de ellos deben tener direcciones opuestas. Para calcular la magnitud de la corriente, considérese uno de los hilos, por ejemplo, el de la derecha, y aplíquese la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que el sistema se encuentra en equilibrio: ∑ 𝐹𝑦 = 𝑇𝑦 − 𝑚𝑔 = 𝑇 cos 𝛼 − 𝜆𝐿′ 𝑔 = 0 Donde L’ es la longitud de los conductores. Por lo tanto, el módulo de la tensión está dado por: 𝑇= 𝜆𝐿′ 𝑔 cos 𝛼 A su vez la distancia entre los conductores está dada por: 𝑟 = 𝐿 sin 𝛼 ⟹ 𝑟 = 2𝐿 sin 𝛼 2 ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝐵 − 𝑇𝑥 = 𝐼𝐿′𝐵 sin 𝜙 − 𝑇 sin 𝛼 = 𝐼𝐿′𝐵 − 𝜆𝐿′ 𝑔 tan 𝛼 = 0 𝐼2 = 𝜇0 𝐼 ) − 𝜆𝑔 tan 𝛼 = 0 𝐼( 2𝜋𝑟 2𝜋𝑟𝜆𝑔 tan 𝛼 4𝜋𝐿𝜆𝑔 sin 𝛼 tan 𝛼 = 𝜇0 𝜇0 4𝜋𝐿𝜆𝑔 sin 𝛼 tan 𝛼 𝐼=√ 𝜇0 8) Un campo eléctrico E y un campo magnético B actúan sobre un protón en movimiento con velocidad v de tal manera que no producen ningún efecto sobre el mismo. Describa al menos una configuración posible de los vectores E, B y v. Es igual al 4), lo va a hacer~ 52 ONDAS MECÁNICAS Una onda mecánica es una perturbación que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las partículas que lo constituyen sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. Si los movimientos de las partículas del medio son perpendiculares a la dirección en que viaja la onda, se trata de una onda transversal. Si las partículas se mueven en la misma dirección que la onda, se trata de una onda longitudinal. Todos los tipos de onda mecánica tienen tres cosas en común. Primero, la perturbación se propaga por el medio con una rapidez definida, llamada rapidez de propagación o rapidez de la onda (v). Segundo, el medio no viaja por el espacio, sino que sus partículas se mueven en torno a sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es el patrón general de la perturbación ondulatoria. Tercero, para poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, se debe aportar energía en forma de trabajo mecánico. Las ondas transportan energía, pero no materia, de una región a otra. Se obtiene una onda periódica cuando cada una de las partículas del medio se mueven con un movimiento periódico. Un caso particular son las ondas periódicas con movimiento armónico simple, llamadas ondas senoidales. En el caso de una onda periódica, la longitud de un patrón completo es la distancia entre dos crestas o dos valles. Se llama a esta cantidad la longitud de onda, λ. El patrón se mueve a velocidad constante v y avanza una longitud de onda λ en un período T. Por lo tanto: 𝑇= 𝜆 𝑣 𝑜 𝑣 = 𝜆𝑓 En una onda longitudinal, la longitud de onda está dada por la distancia entre expansiones o compresiones sucesivas. Una onda transversal queda definida por una ecuación de onda, y = y(x,t). Supóngase que se tiene una onda transversal con una amplitud A, frecuencia f y velocidad angular ω. Debido a que las partículas del medio se mueven según un movimiento armónico simple, la partícula en la posición x = x0 se mueve según: 𝑦(𝑥 = 𝑥0 , 𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑡 − 𝜙) La perturbación ondulatoria viaja desde x = 0 hasta cualquier otro punto x = x1 en un tiempo dado por x1/v. Así, el movimiento en el punto x = x1 en el tiempo t es el mismo que el dado en x = 0 en el tiempo t – x1/v. Si se reemplaza t por esta expresión, se tiene: 𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos [𝜔 (𝑡 − ) − 𝜙] 𝑣 Dado que cosφ = cos(-φ), esto se puede escribir como: 𝑥 𝑥 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos [𝜔 ( − 𝑡) + 𝜙] = 𝐴 cos [2𝜋𝑓 ( − 𝑡) + 𝜙] 𝑣 𝑣 53 Esta es la ecuación de una onda que se desplaza hacia el semieje +x. Otra forma de expresar esta ecuación de onda está dada por: 𝑥 𝑡 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos [2𝜋 ( − ) + 𝜙] = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 𝜆 𝑇 Donde se define el número de onda k como: 𝑘= 2𝜋 𝜆 𝑣= 𝜔 𝑘 Además, sustituyendo la definición de k y la de ω en la ecuación de velocidad de una onda mecánica se tiene: Si la onda viaja en la dirección –x, la única diferencia es que delante del término que incluye al tiempo t, el signo cambia a positivo (+). Se pueden calcular la aceleración y la velocidad de una partícula en una onda senoidal derivando a la ecuación de onda respecto del tiempo: 𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝑎𝑦 = 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝜔𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝜔𝑦(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 𝜕 2 𝑦(𝑥, 𝑡) = −𝜔2 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) = −𝜔2 𝑦(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 2 La ecuación de onda está dada por: 𝜕2𝑦 1 𝜕2𝑦 = 𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2 Cualquier onda, sea periódica o no, cumple con esta ecuación. Para deducir la rapidez de propagación de una onda en una cuerda, tómese un segmento de cuerda, cuya longitud en la posición de equilibrio sea dx. La masa de ese segmento está dada por m = µdx, donde µ es la masa por unidad de longitud o densidad de masa lineal. Las fuerzas en sus extremos tienen componentes x e y. Las componentes x deben tener igual magnitud F y su suma debe ser cero, debido a que el movimiento de los segmentos es transversal y no existe una aceleración a lo largo de eje x. Para obtener Fiy y Fdy se observa que el cociente Fiy/F es la pendiente del segmento de cuerda a la izquierda, en posición x, y que Fdy/F es la pendiente de la cuerda en x+dx. Por lo tanto: 54 𝐹𝑖𝑦 𝜕𝑦 =− | 𝜕𝑥 𝑥 𝐹 𝐹𝑑𝑦 𝜕𝑦 = | 𝜕𝑥 𝑥+𝑑𝑥 𝐹 La componente izquierda tiene un signo negativo debido a que apunta hacia abajo. Por lo tanto, la componente total en y está dada por: 𝐹𝑦 = 𝐹𝑖𝑦 + 𝐹𝑑𝑦 = 𝐹 (− 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ) | + | 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑥 𝑥+𝑑𝑥 Según la segunda ley de Newton, esta fuerza en y debe ser igual a la masa por la aceleración en ese eje experimentada por las partículas de segmento de cuerda: 𝐹𝑦 = 𝐹 (− 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕2𝑦 ) = 𝜇𝑑𝑥 2 | + | 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑥 𝑥+𝑑𝑥 𝜕𝑡 Si se divide por Fdx, se tiene (− 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ) | + | 𝜕𝑥 𝑥 𝜕𝑥 𝑥+𝑑𝑥 𝜕2𝑦 𝜇 𝜕2𝑦 = 2= 𝜕𝑥 𝐹 𝜕𝑡 2 𝑑𝑥 Esta ecuación obtenida tiene la forma de la ecuación de onda, con: 𝐹 𝑣=√ 𝜇 Para una gran cantidad de ondas, se cumple que su velocidad de propagación está dada por: 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑣=√ 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 Para obtener una expresión de la energía del movimiento ondulatorio, primero recuérdese que la fuerza en el eje y realizado por la sección a la izquierda de un segmento de cuerda sobre otro, está dado por: 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑡) = −𝐹 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 La potencia, o la tasa de trabajo en el tiempo, está dada entonces por: 𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑡)𝑣𝑦 (𝑥, 𝑦) = −𝐹 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 Esta potencia es la razón instantánea con que se transfiere energía a lo largo de la cuerda, y su valor depende de x y del tiempo t. Esta expresión es válida para cualquier clase de onda. En particular, si la onda es senoidal, se tiene: 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) = −𝑘𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 𝜕𝑥 𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝐹𝑘𝜔𝐴2 𝑠𝑒𝑛2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) A su vez, v = ω/k, por lo que: 55 𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝐹𝜔2 2 𝐴 𝑠𝑒𝑛2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑣 𝑃(𝑥, 𝑡) = √𝐹𝜇𝜔2 𝐴2 𝑠𝑒𝑛2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) El valor máximo de potencia está dado por: Y su valor medio por: 𝑃𝑚á𝑥 = √𝐹𝜇 𝜔2 𝐴2 1 𝑃𝑚𝑒𝑑 = √𝐹𝜇 𝜔2 𝐴2 2 Para ondas que viajan en tres dimensiones, se define su intensidad, denotada con I, como la rapidez media con que la onda transporta energía por unidad de área, a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación. Si las ondas se propagan en todas las direcciones, entonces a una distancia r dada la intensidad es: 𝐼= 𝑃 4𝜋𝑟 2 A una distancia mayor, la relación entre las intensidades está dada por la ley del inverso del cuadrado: 𝐼1 𝑟22 = 𝐼2 𝑟12 Cuando una onda choca contra las fronteras de su medio, se refleja parcial o totalmente. Si dos ondas (o más) interaccionan o se superponen, formando una nueva onda resultante, se dice que presentan el fenómeno de interferencia. Las condiciones en los extremos del medio de la onda se denominan condiciones de frontera. El principio de superposición de ondas afirma que cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto en cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento que tendría si sólo estuviera presente la primera onda, con el desplazamiento que tendría si sólo estuviera presente la segunda onda. Es decir: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1 (𝑥, 𝑡) + 𝑦2 (𝑥, 𝑡) La superposición de una onda incidente con una onda reflejada puede llevar a la formación de una onda estacionaria. En la misma, existen puntos donde el desplazamiento siempre es cero, y son llamados nodos (interferencia destructiva). Los puntos donde se consigue la amplitud máxima son los antinodos (interferencia constructiva). La distancia entre nodos o antinodos sucesivos es de λ/2. Para obtener la función de onda de una onda estacionaria, se suman dos funciones de onda iguales pero que se mueven en sentidos opuestos: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1 (𝑥, 𝑡) + 𝑦2 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝐴 cos(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴[cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − cos(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)] 56 Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica: cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴[cos 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − cos 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡] 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 Se ve que la amplitud de la onda estacionaria es dos veces la amplitud de las ondas viajeras. A su vez, existen nodos para los puntos en que la función seno se anula, es decir, cuando 𝑘𝑥 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, … , 𝑛𝜋 𝜋 2𝜋 3𝜋 𝑛𝜋 𝑥 = 0, , , ,…, 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑛𝜆 𝜆 3𝜆 𝑥 = 0, , 𝜆, , … , 2 2 2 A diferencia de una onda viajera, una onda estacionaria no transfiere energía de un extremo al otro, y su potencia media es nula, debido a que surge de la superposición de dos ondas iguales, pero en direcciones opuestas. Si los dos extremos de una cuerda están fijos, se tienen nodos en ambos extremos. Por lo tanto, la longitud L de la cuerda debe ser igual a: 𝐿= 𝑛𝜆 , 2 𝑛𝜖ℕ 𝜆𝑛 = 2𝐿 , 𝑛 𝑛𝜖ℕ Por lo tanto, los valores posibles de longitud de onda para una cuerda sujeta en ambos extremos son: Pueden existir ondas en la cuerda si la longitud de onda no es igual a uno de estos valores; sin embargo, no puede haber un patrón de onda estacionaria estable. A cada longitud de onda estacionaria, existe una frecuencia relacionada. Para longitud de onda más larga (y por lo tanto frecuencia más pequeña, f 1) la misma está dada por: 𝑓1 = 𝑣 2𝐿 Esta se llama frecuencia fundamental. Todas las otras frecuencias son múltiplos de esta, y todas pueden ser expresadas como: 𝑓𝑛 = 𝑛𝑣 = 𝑛𝑓1 , 2𝐿 𝑛𝜖ℕ Estas frecuencias se llaman armónicos, y la serie es una serie armónica. Algunos músicos llaman a f2, f3, …, sobretonos. Por lo tanto, f2 es el segundo armónico o primer sobretono, f3 es el tercer armónico o segundo sobretono, etc. El primer armónico es la frecuencia fundamental. 57 Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia. Las longitudes de onda y frecuencias dadas anteriormente corresponden cada una a un determinado modo normal. Para una cuerda tensa, las frecuencias de los armónicos se pueden expresar incluyendo la magnitud de la velocidad de propagación de la onda, como: ONDAS SONORAS 𝑓𝑛 = 𝑛 𝐹 √ 2𝐿 𝜇 La definición más general del sonido es una onda longitudinal en un medio. Las ondas sonoras también pueden describirse en términos de variaciones de presión en diversos puntos. En una onda sonora senoidal en el aire, la presión fluctúa por arriba y por debajo de la presión atmosférica en forma senoidal con la misma frecuencia que los movimientos de las partículas de aire. Sea p(x,t) una función que de la presión manométrica en un punto x a un tiempo t para una onda sonora. Considérese un cilindro imaginario lleno de un material por el que se transporta la onda, con un área transversal S y sobre el eje de propagación de la misma. Si no está presente una onda, el cilindro tiene longitud Δx y volumen V = SΔx. Si una onda está presente al tiempo t, el extremo del cilindro que estaba en la posición x tendrá un desplazamiento dado por y1 = y(x,t), y el extremo que estaba en x + Δx se desplazará en y2 = y(x+Δx,t). Si y2 > y1, el tamaño del cilindro aumentó y por lo tanto disminuyó la presión entre ambos puntos. De lo contrario, la presión aumenta o se mantiene igual. 58 Cuantitativamente, el cambio de volumen está dado por: ∆𝑉 = 𝑆(𝑦2 − 𝑦1 ) = 𝑆[𝑦(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − 𝑦(𝑥, 𝑡)] Si se divide esta expresión por el volumen y se toma el límite en el que Δx tiende a cero, se tiene: 𝑑𝑉 𝑆[𝑦(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡) − 𝑦(𝑥, 𝑡)] 𝜕𝑦 = lim = ∆𝑥→0 𝜕𝑥 𝑉 𝑆∆𝑥 A su vez, se define el módulo de volumen B como: 𝐵=− 𝑝(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑉/𝑉 Por lo tanto, la presión manométrica para cada punto está dada por: 𝑝(𝑥, 𝑡) = −𝐵 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑉 = −𝐵 𝜕𝑥 𝑉 Utilizando una onda y(x,t) senoidal, se tiene: 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) 𝜕 [𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙)] = −𝐴𝑘 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝐴𝑘 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) La amplitud de presión está dada por: 𝑝𝑚á𝑥 = 𝐵𝐴𝑘 Para obtener una expresión para la velocidad del sonido en un fluido, imagínese un fluido con densidad δ en un cilindro con área transversal A, y un pistón. En el estado de equilibrio, el fluido está sometido a una presión p. En el instante t = 0, el pistón comienza a moverse hacia +x con velocidad constante vy. En el instante t, sea P la línea que separa la parte de fluido que ya inició su movimiento, de la que aún sigue en reposo, la misma se movió una cantidad igual a la velocidad de la onda v por el tiempo t, o sea vt. A su vez el pistón se desplazó en vyt. La cantidad de fluido puesta en movimiento en el tiempo t es la cantidad que originalmente ocupaba un cilindro de volumen vtA. La masa de esa cantidad es δvtA, y su momento lineal en el eje del tubo es: 𝑝 = (𝛿𝑣𝑡𝐴)𝑣𝑦 59 Para calcular el cambio de presión asociado a este proceso, Δp, se ve que el volumen del fluido disminuye desde vtA en una cantidad vyAt. 𝐵=− 𝑣𝑦 ∆𝑝 ∆𝑝 =− ⟹ ∆𝑝 = 𝐵 𝑣𝑦 𝐴𝑡 ∆𝑉 𝑣 − 𝐴𝑣𝑡 𝑉 La presión en el fluido en movimiento está dada por p + Δp, y la fuerza ejercida por el pistón está dada por (p + Δp)A. La fuerza neta del fluido en movimiento es ΔpA, y el impulso está dado por: ∆𝑝𝐴𝑡 = 𝐵𝐴𝑡 𝑣𝑦 𝑣 Dado que inicialmente el fluido está en reposo, la aplicación del teorema de impulso y cantidad de movimiento da: Despejando v se obtiene: 𝐵𝐴𝑡 𝑣𝑦 = 𝛿𝑣𝑡𝐴𝑣𝑦 𝑣 𝐵 𝑣=√ 𝛿 Para un gas, B depende de la presión en equilibrio según: 𝐵 = 𝛾𝑃0 Si se tiene un gas ideal, entonces la velocidad del sonido en él está dada por: 𝛾𝑃0 𝑉0 𝛾𝑛𝑅𝑇 𝛾𝑅𝑇 𝐵 =√ =√ 𝑣=√ =√ 𝑚 𝑀 𝑚 𝛿 Con γ el cociente de capacidades caloríficas. Para obtener la intensidad de una onda sonora, es decir su potencia por unidad de área, se ve que la presión es fuerza por unidad de área, por lo que, al multiplicar la presión por la velocidad de la partícula, se obtiene la potencia a la que está sometida la misma dividida el área. 𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝜔𝐴 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 𝜕𝑥 𝑝(𝑥, 𝑡)𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝜔𝐴2 𝐵𝑘 sen2 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) La intensidad es el valor medio del producto anterior, por lo que se tiene que: 1 1 𝜔2 2 1 2 𝐼 = 𝐵𝜔𝑘𝐴 = 𝐵 𝐴 = √𝐵𝛿𝜔2 𝐴2 2 2 𝑣 2 La intensidad de la onda sonora también puede expresarse en base a la amplitud de presión en lugar de la amplitud de desplazamiento, según: 60 2 2 2 1 𝑝𝑚á𝑥 2 𝜔𝑝𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑝𝑚á𝑥 𝑝𝑚á𝑥 𝐼 = 𝐵𝜔𝑘 ( ) = = = 2𝐵𝑘 2𝐵 𝐵𝑘 2 2√𝐵𝛿 El nivel de intensidad de sonido, β, está dado por: 𝛽 = 10 𝑑𝐵 log 𝐼 𝐼0 En esta ecuación, I0 es una intensidad de referencia que se toma como 10-12 W/m2, aproximadamente el umbral de audición humana a 1000 Hz. Los niveles de intensidad de sonido se expresan en decibeles (dB). Para las ondas sonoras estacionarias, se cumple que un nodo de presión es un antinodo de desplazamiento, y un antinodo de presión es un nodo de desplazamiento. Cuando hay reflexión en un extremo cerrado de un tubo, el desplazamiento de las partículas en ese extremo debe ser cero. Así, el extremo cerrado de un tubo es un nodo de desplazamiento y un antinodo de presión. Un extremo abierto de un tubo es un nodo de presión, porque está abierto a la atmósfera, y un antinodo de desplazamiento. Si se tiene un tubo abierto en sus dos extremos, entonces la longitud de las ondas estacionarias generadas debe estar dada por: 𝜆𝑛 = 2𝐿 , 𝑛 𝑛𝜖ℕ Y las frecuencias de los modos normales son: 𝑓𝑛 = 𝑛 𝑣 = 𝑛𝑓1 , 2𝐿 𝑛𝜖ℕ Si el tubo es abierto en un extremo, pero cerrado en el otro, entonces la longitud de la onda estacionaria y las frecuencias de los modos normales ahora sólo admiten múltiplos enteros impares: 𝜆𝑛 = 4𝐿 , 𝑛 𝑛 𝜖 ℕ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 61 𝑓𝑛 = 𝑛 𝑣 = 𝑛𝑓1 , 4𝐿 𝑛 𝜖 ℕ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 Los fenómenos ondulatorios que se presentan cuando dos o más ondas se traslapan en la misma región del espacio se agrupan bajo el concepto de interferencia. Las ondas estacionarias son un ejemplo sencillo de interferencia. Hay interferencia constructiva siempre que las distancias recorridas por las dos ondas difieran en un número entero de longitud de onda: 0, λ, 2λ, 3λ, … En todos estos casos las ondas llegan a un punto dado en fase. Si el recorrido de las ondas difiere en valores semienteros de la longitud de onda, es decir λ/2, 3λ/2, 5λ/2, … Entonces existe interferencia destructiva debido a que las ondas llegan totalmente desfasadas. Si dos ondas con la misma amplitud, pero frecuencias ligeramente diferentes interfieren entre sí, forman un pulso. Esto es una onda cuya amplitud varía con una frecuencia determinada, llamada frecuencia del pulso. Supóngase que interfieren dos ondas con frecuencias fa y fb, con fa mayor que fb. Por lo tanto, Ta < Tb. Si las ondas inician desfasadas en t = 0, volverán a estar fuera de fase cuando la primera onda haya pasado por exactamente un ciclo más que la segunda. Esto sucederá en t = Tpulso, el período del pulso. Sea n el número de ciclos de la primera onda en un tiempo Tpulso, la otra tuvo un ciclo menos y, por tanto: 𝑇𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = 𝑛𝑇𝑎 , Si se despeja y sustituye n se tiene: 𝑇𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = 𝑇𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑇𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = (𝑛 − 1)𝑇𝑏 𝑇𝑏 𝑇𝑎 𝑇𝑏 𝑇𝑏 − 𝑇𝑏 ⟹ 𝑇𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = − = 𝑇 𝑇𝑎 1 − 𝑇𝑏 𝑇𝑏 − 𝑇𝑎 𝑎 𝑓𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = 1 𝑇𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = 1 1 − = 𝑓𝑎 − 𝑓𝑏 𝑇𝑎 𝑇𝑏 Cuando una fuente de sonido y un receptor están en movimiento relativo, la frecuencia del sonido oído por el receptor no es el mismo que la frecuencia fuente. Este 62 fenómeno se llama efecto Doppler. Para el análisis se elige como positiva la dirección que va del receptor L (listener) a la fuente S (source). Imagínese primero un receptor L que se mueve con velocidad vL hacia una fuente S estacionaria. La fuente emite una onda sonora con frecuencia fs y longitud de onda λ = v/fs. Las crestas de onda que se acercan al receptor lo hacen con una rapidez de propagación relativa a L de (v + vL). Por lo tanto, la frecuencia que el receptor oye es: 𝑓𝐿 = 𝑣𝑟𝑒𝑙 𝑣 + 𝑣𝐿 𝑣 + 𝑣𝐿 𝑣 + 𝑣𝐿 𝑣𝐿 = = 𝑣 = 𝑓𝑆 = (1 + ) 𝑓𝑆 𝜆 𝜆 𝑣 𝑣 𝑓𝑆 Así, si un receptor se mueve hacia la fuente y su velocidad es positiva, se escucha una frecuenta más alta a la real (tono más agudo), y si el receptor se aleja (vL < 0) se escucha una frecuencia más baja y un tono más grave. Supóngase ahora que la fuente también se mueve, con velocidad vS. La velocidad de la onda respecto del medio en que se mueve sigue siendo v, debido a que la misma depende únicamente de las condiciones del medio. Sin embargo, la longitud de la onda ya no es más v/fs. Esto se debe a que el tiempo que tarde en emitirse un ciclo de onda es el período T = 1/fs. Durante este tiempo la onda viaja una distancia vT = v/fs, y la fuente se mueve una distancia vST = vS/fS. La longitud de onda es el desplazamiento entre crestas sucesivas, y depende del desplazamiento relativo de la fuente y la onda. Este es distinto delante y detrás de la fuente. En la región delante de la fuente, la longitud de onda es: 𝜆𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑣 𝑣𝑆 𝑣 − 𝑣𝑆 − = 𝑓𝑆 𝑓𝑆 𝑓𝑆 En la región detrás de la fuente, la longitud de onda está dada por: 𝜆𝑑𝑒𝑡𝑟á𝑠 = 𝑣 + 𝑣𝑆 𝑓𝑆 Por lo tanto, la frecuencia que oye el receptor delante de la fuente está dada por: 𝑣 + 𝑣𝐿 𝑓 𝑣 − 𝑣𝑆 𝑆 𝑓𝐿,𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 = (Esta forma está contenida en la última si se considera la convención de signos de que la velocidad de la fuente es negativa si va en la dirección contraria a la de receptor  fuente). Y la frecuencia que recibe si está atrás de la fuente es: Preguntas de finales: 𝑓𝐿,𝑑𝑒𝑡𝑟á𝑠 = 𝑣 + 𝑣𝐿 𝑓 𝑣 + 𝑣𝑆 𝑆 1) Ondas estacionarias en una cuerda de longitud L, densidad µ, tensionadas con tensión T y sujeta a ambos extremos. Encuentra las frecuencias posibles para las ondas en la cuerda. Repetir el caso de una cuerda de longitud L con un extremo fijo y otro libre. 63 En primer lugar, puede pensarse una onda estacionaria como la superposición de dos ondas de igual amplitud y longitud de onda, pero que viajan en direcciones opuestas. Por lo tanto, si se supone que ambas ondas que interfieren son senoidales, se puede obtener la función de la onda resultante como: 𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑦1 (𝑥, 𝑡) + 𝑦2 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) Se usa la siguiente identidad trigonométrica: 1 1 sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 cos ( (𝛼 − 𝛽)) sin ( (𝛼 + 𝛽)) 2 2 Por lo tanto, se tiene que la onda estacionaria tiene una función de onda siguiente: 1 1 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 cos ( (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)) sin ( (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)) 2 2 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 cos(𝜔𝑡) sin(𝑘𝑥) Por lo tanto, se ve que la onda se anula en los puntos en los que: 𝑘𝑥 = 0, 𝜋, 2𝜋, … , 𝑛𝜋 𝜆 𝑥 = 0, , 𝜆, … , 𝑛𝜆 2 Es decir que existen nodos que se ubican simétricamente a una distancia de media longitud de onda. Para el caso de una onda estacionaria en una cuerda, debe verse que los extremos están fijos, entonces necesariamente deben ser nodos. La longitud de onda más larga está dada por lo tanto por: 𝐿= 𝜆 ⟹ 𝜆 = 2𝐿 2 Si ahora se deja que haya un tercer nodo entre el de los extremos, se ve que 𝜆=𝐿 Esto se puede generalizar teniendo en cuenta que: 𝜆𝑛 = 2𝐿 𝑛 Donde λn es la longitud de onda del enésimo modo normal. Por lo tanto, las frecuencias de estos modos vibracionales están dados por: 𝑓𝑛 = 𝑣 𝑛𝑣 𝑛 𝑇 √ = = 𝜆𝑛 2𝐿 2𝐿 𝜇 Si ahora uno de los extremos de la cuerda se encuentra libre, entonces el mismo dejará de ser un nodo y se transformará en un antinodo. El otro extremo sigue siendo un nodo. Debido a que la distancia entre nodos y antinodos adyacentes en una onda 64 estacionaria es igual a λ/4, para el primero modo normal se tiene que la longitud de onda debe ser: 𝜆1 = 4𝐿 Si se agrega un nodo adicional, la nueva longitud de onda está dada por: 4 𝜆3 = 𝐿 3 Esto se generaliza como: 𝜆𝑛 = 4𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛 Y por lo tanto las frecuencias de los modos normales están dadas por: 𝑓𝑛 = 𝑛 𝑇 𝑛𝑣 √ 𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = 4𝐿 4𝐿 𝜇 2) Defina y explique el efecto Doppler. El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia o longitud de onda en relación con un observador que se está moviendo en relación con la fuente de ondas. Un ejemplo común es el cambio en el tono oído cuando un vehículo que toca una bocina se acerca a un receptor, y luego se aleja. Comparada con la frecuencia emitida por la fuente, la frecuencia recibida es más alta mientras se acerca, y más baja cuando se aleja. Para analizar este fenómeno, debe tenerse en cuenta que la frecuencia de una onda se relaciona con su velocidad y su longitud de onda según: 𝑓= 𝑣 𝜆 Si el receptor (L) está en movimiento respecto de la fuente (S) entonces la velocidad de propagación de la onda respecto del receptor deja de ser v, y pasa a ser v + vL, donde se definió como positiva la dirección desde el receptor hacia la fuente (por lo que la velocidad relativa al receptor es mayor si este se mueve a la fuente, o menor si se aleja de la fuente; la velocidad de propagación siempre se considera positiva). A su vez, si la fuente también está en movimiento, la longitud de onda de las ondas emitidas (definida como la distancia de separación entre crestas sucesivas) cambia, debido a que, aunque las ondas se propaguen con la misma velocidad v respecto del medio, las crestas estarán más juntas o más alejadas debido al movimiento de la fuente. Por lo tanto, la longitud de onda estará dada por: 𝜆= 𝑣 + 𝜈𝑆 𝑓𝑠 Notar que, usando la misma convención de signos, si la fuente se mueve hacia la derecha y el receptor se encuentra de ese mismo lado, vs es negativa y la longitud de onda es más corta. Esto puede resumirse en la siguiente fórmula: 𝑓𝐿 = 𝑣 + 𝑣𝐿 𝑓 𝑣 + 𝑣𝑆 𝑆 65 NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ Un frente de onda se define como el lugar geométrico de todos los puntos adyacentes en los cuales la fase de vibración de una cantidad física asociada con la onda es la misma. Es decir, en cualquier instante, todos los puntos del frente de onda están en la misma parte de su ciclo de variación. Para describir las direcciones en las que se propaga la luz, a menudo conviene representar una onda como rayos y no por frentes de onda. Un rayo es una línea imaginaria a lo largo de la dirección de propagación de la onda. Cuando las ondas viajan en un material isotrópico homogéneo (mismas propiedades en todas las regiones y direcciones) los rayos siempre son líneas rectas normales a los frentes de onda. Cuando una onda luminosa incide en una interfaz lisa que separa dos materiales transparentes, la onda en general es reflejada parcialmente y también refractada (transmitida) parcialmente hacia el segundo material. En óptica geométrica, se describen las direcciones de los rayos incidentes, reflejados y refractados en una interfaz lisa entre dos materiales ópticos en términos de los ángulos que forman con la normal a la superficie en el punto de incidencia. La reflexión con un ángulo definido desde una superficie muy lisa se llama reflexión especular. La reflexión dispersa a partir de una superficie irregular se llama reflexión difusa. Se define el índice de refracción, n, como: 𝑛= 𝑐 𝑣 Las siguientes leyes de reflexión y refracción surgieron de los estudios experimentales de las direcciones de rayos que inciden sobre una superficie lisa entre dos materiales ópticos: 1) Los rayos incidente, reflejado y refractado, así como la normal a la superficie, yacen todos en el mismo plano. 2) El ángulo de reflexión θr es igual al ángulo de incidencia θa para todas las longitudes de onda y para cualquier par de materiales (ley de reflexión). 𝜃𝑟 = 𝜃𝑎 3) Para la luz monocromática y para un par dado de materiales, a y b, en lados opuestos de la interfaz, la razón de los senos de los ángulos θa y θb, donde los dos ángulos están medidos a partir de la normal de la superficie, es igual al inverso de la razón de los dos índices de refracción: O puesto de otra forma: sen 𝜃𝑎 𝑛𝑏 = sen 𝜃𝑏 𝑛𝑎 𝑛𝑎 sen 𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 sen 𝜃𝑏 Este resultado se llama ley de refracción o ley de Snell. 66 Cuando una onda atraviesa una interfaz, la frecuencia de la misma no cambia, debido a que el número de ciclos de onda que llegan por unidad de tiempo debe ser el mismo que el número de ciclos que salen. Si se tiene en cuenta que v = λf, entonces al cambiar de material la longitud de onda normalmente cambia. 𝑓= 𝜆 𝜆0 𝜆0 = ⟹𝜆= 𝑣 𝑐 𝑛 En ciertas situaciones es posible reflejar toda la luz sobre la interfaz, sin que se transmita nada de ella. Supóngase que se tiene un haz que sale del material a al material b, cumpliéndose que na > nb. Según la ley de Snell: sen 𝜃𝑏 = 𝑛𝑎 sen 𝜃𝑎 𝑛𝑏 Como na > nb, entonces el ángulo θb de refracción será mayor que el ángulo del haz incidente θa. El ángulo de incidencia para el cual el rayo refractado emerge en forma tangencial a la superficie se llama ángulo crítico. Más allá del ángulo crítico, el rayo no puede pasar hacia el material y queda atrapado, reflejándose por completo en la frontera. Esta situación, llamada reflexión interna total, sólo ocurre cuando un rayo incide sobre la interfaz con un segundo material cuyo índice de refracción es menor que el del material por el que viaja el rayo. sen 𝜃𝑐𝑟í𝑡 = 𝑛𝑏 𝑛𝑎 La rapidez de la luz en el vacío es la misma para todas las longitudes de onda, pero la rapidez en una sustancia material es diferente para distintas longitudes de onda. La dependencia de la rapidez de onda y del índice de refracción con respecto a la longitud de onda se llama dispersión. La polarización es una característica de todas las ondas transversales. Cuando una onda sólo tiene desplazamiento en un determinado eje, se dice que está linealmente polarizada en esa dirección. Una onda electromagnética es transversal. Los campos eléctrico y magnético fluctuantes son perpendiculares entre sí y con respecto a la dirección de propagación. Siempre se define la dirección de polarización de una onda electromagnética como la dirección del vector de campo eléctrico E. La onda electromagnética descrita por las ecuaciones: ⃗⃗⃗ 𝐸 (𝑥, 𝑡) = 𝑗̂𝐸𝑚á𝑥 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) ⃗⃗⃗ (𝑥, 𝑡) = 𝑘̂ 𝐵𝑚á𝑥 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 𝐵 Está polarizada en la dirección y, porque su campo eléctrico sólo tiene componente en este eje. Un polarizador ideal transmite sólo la componente del campo eléctrico que sea paralela al eje de polarización, por lo que sólo se transmite la mitad de la intensidad incidente. Considérese el caso en el que la luz linealmente polarizada atraviesa un segundo polarizador, que forma un ángulo φ con el primero. Sólo la componente paralela al eje de polarización del segundo polarizador lo atraviesa. Esta está dada por Ecosφ, con E 67 el campo eléctrico luego de pasar el primer polarizador. La intensidad de la luz transmitida está dada por la ley de Malus (utiliza deducciones de la energía de una onda electromagnética): 𝐼 = 𝐼𝑚á𝑥 cos2 𝜙 La luz no polarizada se puede polarizar, ya sea en forma parcial o total, por reflexión. El plano que contiene el rayo incidente y reflejado y la normal a la superficie se llama plano de incidencia. Para la mayoría de los ángulos de incidencia, las ondas para las que el vector campo eléctrico de la luz no polarizada es perpendicular al plano de incidencia se reflejan con más intensidad que aquellas cuyo campo eléctrico yace en el plano. En tal caso, la luz reflejada está parcialmente polarizada en la dirección perpendicular al plano de incidencia. Pero en cierto ángulo particular de incidencia, llamado ángulo de polarización θp, la luz cuyo E yace en el plano de incidencia no se refleja, sino que se refracta por completo. A ese mismo ángulo de incidencia, la luz cuyo E es perpendicular al plano de incidencia se refleja parcialmente y se refracta. Por consiguiente, la luz reflejada está totalmente polarizada en forma perpendicular al plano de incidencia. La luz refractada está parcialmente polarizada en forma paralela a este plano. Cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo de polarización θp, el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares entre sí. En este caso el ángulo de refracción θb se vuelve el complemento de θp, θb = 90º - θp. De acuerdo con la ley de refracción: 𝑛𝑎 sen 𝜃𝑝 = 𝑛𝑏 sen(90𝑜 − 𝜃𝑝 ) = 𝑛𝑏 cos 𝜃𝑝 tan 𝜃𝑝 = 𝑛𝑏 𝑛𝑎 Esta relación se conoce como ley de Brewster. El principio de Huygens dice que todo punto de un frente de onda puede considerarse la fuente de ondas secundarias que se dispersan en todas direcciones con rapidez igual a la rapidez de propagación de la onda original. El nuevo frente de onda en un momento posterior se obtiene entonces construyendo una superficie tangente a las ondas secundarias, conocida como envolvente. Para deducir la ley de reflexión mediante el principio de Huygens, considérese una onda plana que se acerca a una superficie reflectante plana. Ténganse rectas AA’, 68 OB’ y NC’ que representan posiciones sucesivas de un frente de onda que avanza hacia la superficie MM’. El frente de onda AA’ acaba de llegar a la superficie reflectante. Para encontrar la posición del frente de onda después de pasado el tiempo t, con los puntos sobre AA’ como centros, se dibujan varios frentes de onda secundarios con radio vt. Las ondas secundarias que se originan cerca del extremo superior de AA’ se dispersan sin encontrar obstáculos, y su envolvente da la parte OB’. Si la superficie reflectante no estuviera ahí, las ondas secundarias que se originan cerca del extremo inferior de AA’ seguirían la dirección del segmento OB’. En vez de ello, estas ondas secundarias inciden sobre la superficie reflectante. El efecto de la superficie reflectante es cambiar la dirección de propagación de las ondas secundarias que inciden en ella, por lo que parte de una onda secundaria que hubiese penetrado en la superficie en realidad se encuentra a la izquierda de ella. La primera de tales ondas secundarias tiene su centro en A; la envolvente de todas las ondas secundarias reflejadas es la parte OB. Analizando la geometría de este sistema puede confirmarse que el ángulo de reflexión es el mismo que el de incidencia. La ley de Snell también puede obtenerse del principio de Huygens. Considérese un frente de onda representado por el segmento AA’, para el cual el punto A acaba de llegar a la frontera SS’ entre dos materiales transparentes a y b, con índices de refracción na y nb, y rapidez de onda va y vb. Con los puntos AA’ como centros, se dibujan varias ondas secundarias. Las que se originan en la parte superior de AA’ viajan con velocidad va, y después de cierto intervalo de tiempo t son superficies esféricas de radio vat. Sin embargo, la onda secundaria que se origina en el punto A viaja en el segundo material b con rapidez vb y en el tiempo t es una superficie esférica de radio vbt. La envolvente de estas ondas es una línea quebrada BOB’. Los ángulos θa y θb entre las superficies y los frentes de onda incidente y refractado son el ángulo de incidencia y refracción respectivamente. Para encontrar la relación entre estos ángulos, se dibuja OQ = vat perpendicular a AQ, y AB = vbt perpendicular a BO. Del triángulo AOQ resulta: sin 𝜃𝑎 = sin 𝜃𝑏 = 𝑣𝑎 𝑡 𝐴𝑂 𝑣𝑏 𝑡 𝐴𝑂 69 Esto se combina y se obtiene: sin 𝜃𝑎 𝑣𝑎 𝑣𝑎 𝑐 𝑛𝑏 = = = sin 𝜃𝑏 𝑣𝑏 𝑐 𝑣𝑏 𝑛𝑎 Así, se obtiene la ley de Snell. ÓPTICA GEOMÉTRICA Por objeto se entiende cualquier cosa desde donde se irradian rayos de luz. Si se coloca un objeto puntual frente a un espejo plano, los rayos de luz provenientes del mismo se reflejarán en la superficie, con un ángulo igual al de incidencia. Los rayos tienen la misma dirección una vez reflejados que si hubieran provenido de un punto detrás del espejo, llamando punto de imagen. Si los rayos salientes no pasan no pasan por el punto de imagen, se dice que la imagen es virtual. Si los rayos salientes efectivamente pasan por un punto de imagen, la imagen resultante recibe el nombre de imagen real. Reglas de signos para superficies reflectantes o refractivas: 1) Regla de signos para la distancia de objeto: cuando el objeto está del mismo lado de la superficie reflectante o refractiva que la luz entrante, la distancia de objeto s es positiva; en caso contrario es negativa. 2) Regla de signos para la distancia de imagen: cuando la imagen está del mismo lado de la superficie reflectante o refractiva que la luz saliente, la distancia de imagen s’ es positiva; en caso contrario es negativa. 3) Regla de signos para el radio de curvatura de la superficie esférica: cuando el centro de curvatura C está del mismo lado que la luz saliente, el radio de curvatura es positivo; en caso contrario es negativo. Por lo tanto, aplicando estas convenciones, se cumple para un espejo plano que: 𝑠 = −𝑠 ′ La razón de la altura de la imagen con respecto a la altura del objeto en cualquier situación de formación de imágenes, es el aumento lateral m. 𝑚= 𝑦′ 𝑦 En un espejo esférico, el centro de curvatura de la superficie es el centro de la esfera del cual forma parte la superficie, y se denota con C. El vértice del espejo, V, es el centro de la superficie del espejo. La recta CV recibe el nombre de eje óptico. El radio de curvatura se denomina R. Todos los rayos provenientes de un punto P sobre el eje óptico se intersecan en un punto P’, siempre y cuando el ángulo que forman con el eje óptico sea pequeño. La distancia de objeto, medida desde V, es s. La distancia de imagen, medida desde el mismo punto, es s’. Para un espejo cóncavo, el radio de curvatura es positivo debido a que el centro de la esfera está del mismo lado que la luz saliente. 70 Si se aplica el teorema de que la suma de dos ángulos internos de un triángulo es la misma que el ángulo externo de aquel que no se sumó, se tiene: 𝜙 = 𝛼 + 𝜃, 𝛽 =𝜙+𝜃 Por lo que se tiene: 2𝜙 = 𝛼 + 𝛽 Sea h la altura del punto B (donde llega el rayo al espejo desde P) con respecto al eje óptico, y δ la distancia corta de V al pie de esta línea vertical. Se escriben las expresiones para las tangentes de los ángulos anteriores: tan 𝛼 = ℎ , 𝑠−𝛿 tan 𝛽 = tan 𝜙 = 𝑠′ ℎ 𝑅−𝛿 ℎ , −𝛿 Si el ángulo α es pequeño, entonces los ángulos β y φ también deben serlo. La tangente de un ángulo mucho menor que un radián es casi igual al ángulo mismo en radianes. A su vez, si α es pequeño, es posible ignorar las distancias δ respecto del radio, s y s’. Por lo tanto, se tiene: 𝛼= ℎ , 𝑠 𝛽= ℎ , 𝑠′ 𝜙= ℎ 𝑅 Si esto se reemplaza en la ecuación anterior, se tiene: 1 1 2 + = 𝑠 𝑠′ 𝑅 Esta ecuación no contiene al ángulo α. Por lo tanto, todos los rayos provenientes de P que forman un ángulo suficientemente pequeño con el eje se intersecan en P’ después de reflejarse. Estos rayos casi paralelos al eje, y próximos a él, se llaman rayos paraxiales (y el método de aproximación es una aproximación paraxial). Debido a que todos estos rayos reflejados convergen en el punto de imagen, a los espejos cóncavos también se los llama espejos convergentes. Si el radio de curvatura se vuelve infinito, el espejo se vuelve plano, obteniéndose la ecuación de un espejo plano. Cuando la distancia del objeto al espejo se vuelve infinita, los rayos entrantes son paralelos. Utilizando la ecuación anterior, la distancia de imagen s’ viene dada por: 1 2 𝑅 = ⟹ 𝑠′ = ′ 𝑠 𝑅 2 El punto F a una distancia R/2 donde los rayos paralelos convergen al reflejarse en el espejo se llama punto focal o foco. La distancia del vértice al punto focal se denota con f, y recibe el nombre de distancia focal: 71 𝑓= 𝑅 2 Por lo general, se expresa la relación entre las distancias de objeto e imagen en base a la distancia focal: 1 1 1 + = 𝑠 𝑠′ 𝑓 Para un objeto extenso, puede verse que, debido a la formación de triángulos semejantes por los rayos que salen de la parte superior del objeto, debe cumplirse que: 𝑚= 𝑠′ 𝑦′ =− 𝑠 𝑦 Para un espejo convexo, aplican las mismas ecuaciones derivadas para un espejo cóncavo, teniendo en cuenta la correcta aplicación de las reglas de signos. Cuando R es negativo (es decir en el caso de un espejo convexo), los rayos entrantes que son paralelos al eje óptico no se reflejan a través del punto focal F. En cambio, divergen como si provinieran del punto F situado a una distancia f detrás del espejo. F es un punto focal virtual. Es posible también determinar las propiedades de una imagen generada por un espejo mediante métodos gráficos. Para ello, se pueden dibujar algunos de estos cuatro rayos principales: 1) Un rayo paralelo al eje, después de reflejarse, pasa por el punto focal F de un espejo cóncavo, o parece provenir del punto focal (virtual) de un espejo convexo. 72 2) Un rayo que pasa por el punto focal F (o avanza hacia este), se refleja paralelamente al eje. 3) Un rayo a lo largo del radio que pasa por el centro de curvatura, o se aleja de él, interseca la superficie en dirección normal y se refleja de regreso por su trayectoria original. 4) Un rayo que incide en el vértice V se refleja formando ángulos iguales con el eje óptico. Una superficie refractiva también puede generar una imagen. Téngase una superficie esférica de radio R que forma una interfaz entre dos materiales con índices de refracción na y nb. La superficie forma una imagen P’ de un punto objeto P. Si el centro de curvatura está del lado saliente de la superficie, entonces R es positivo. Un rayo PB que forma un ángulo α con el eje, incide a un ángulo θa respecto de la normal, y se refracta a un ángulo θb. Un rayo que pasa por el vértice sigue en la misma dirección, al ser perpendicular a la superficie. Estos rayos se intersecan en P’ a una distancia s’ del vértice. Supóngase que na < nb. Si de nuevo se aplica el teorema de ángulos internos y externos, se tiene: Según la ley de Snell: 𝜃𝑎 = 𝛼 + 𝜙, 𝜙 = 𝜃𝑏 + 𝛽 𝑛𝑎 sin 𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 sin 𝜃𝑏 A su vez, las tangentes de los ángulos están dadas por: tan 𝛼 = ℎ ℎ ℎ , tan 𝛽 = ′ , tan 𝜙 = 𝑠 −𝛿 𝑅−𝛿 𝑠+𝛿 Si se aplica la aproximación paraxial, de aproximar ambas funciones trigonométricas al ángulo mismo, entonces se tiene: 𝑛𝑎 𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 𝜃𝑏 𝜙= 𝜃𝑏 = 𝑛𝑎 (𝛼 + 𝜙) 𝑛𝑏 𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑛𝑎 (𝛼 + 𝜙) + 𝛽 ⟹ (1 − ) 𝜙 = 𝛼+𝛽 𝑛𝑏 𝑛𝑏 𝑛𝑏 73 (𝑛𝑏 − 𝑛𝑎 )𝜙 = 𝑛𝑎 𝛼 + 𝑛𝑏 𝛽 𝛼= ℎ , 𝑠 𝛽= ℎ , 𝑠′ 𝜙= 𝑛𝑏 − 𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑛𝑏 = + ′ 𝑅 𝑠 𝑠 ℎ 𝑅 Para obtener el aumento lateral m correspondiente, se ve que para un rayo que pasa por el vértice, y otro por el centro de la superficie esférica: tan 𝜃𝑎 = 𝑦′ 𝑦 , tan 𝜃𝑏 = − ′ 𝑠 𝑠 De acuerdo con la ley de refracción, si los ángulos son pequeños, se puede considerar que: Por lo que se tiene: tan 𝜃 = sin 𝜃 𝑛𝑎 𝑦′ 𝑠 =− ′ 𝑠 𝑦 𝑛𝑏 𝑛𝑎 𝑚= 𝑦′ 𝑦 = −𝑛𝑏 ′ 𝑠 𝑠 𝑦′ 𝑛𝑎 𝑠 ′ =− 𝑦 𝑠 𝑛𝑏 Una lente es un sistema óptico que consiste de dos superficies refractivas. La lente más simple tiene dos superficies esféricas lo suficientemente próximas entre sí como para que se pueda despreciar la distancia entre ellas (el espesor de la lente). A este dispositivo se le llama lente delgada. Las lentes convergentes forman una imagen real en un punto al converger rayos paralelos después de atravesarla. A su vez, los rayos que emergen de sus dos puntos focales (uno a cada lado) son paralelos entre sí. Como en el caso de los espejos cóncavos, la distancia focal de una lente convergente se considera positiva, y las lentes de esta clase también se denominan como lentes positivas. 74 Para las lentes delgadas se sigue aplicando la misma ecuación para relacionar la posición de objeto y de imagen con la distancia focal y el aumento. En una lente divergente, el haz de rayos paralelos que incide sobre ella diverge después de refractarse. La distancia focal de una lente divergente es negativa, y también se llaman lentes negativas. Toda lente que sea más gruesa en su centro que en sus bordes es una lente convergente con f positiva, y toda lente que sea más gruesa en sus bordes que en su centro es una lente divergente con f negativa (siempre y cuando la lente tenga un índice de refracción mayor que el material circundante). Supóngase que se tienen dos interfases esféricas que separan tres materiales con índices de refracción na, nb y nc. Las distancias de objeto y de imagen correspondientes a la primera superficie son s1 y s1’, y las que corresponden a la segunda superficie son s2 y s2’. Se supondrá que la lente es delgada, por lo que la distancia t entre las dos superficies esféricas es pequeña en comparación con las distancias de objeto y de imagen. En estas condiciones, s2 y s1’ tienen la misma magnitud, pero signo opuesto. Por lo tanto, s2 = -s1’. Es necesario aplicar la ecuación de una superficie esférica refractiva dos veces: 𝑛𝑎 𝑛𝑏 𝑛𝑏 − 𝑛𝑎 + = 𝑠1 𝑠1 ′ 𝑅1 𝑛𝑏 𝑛𝑐 𝑛𝑐 − 𝑛𝑏 + = 𝑅2 𝑠2 𝑠2′ Ordinariamente, los materiales primero y tercero son aire o vacío, por lo que na = nc = 1. A nb, el índice de refracción del lente, se lo llamará simplemente n. Aplicando estas relaciones se tiene: 1 𝑛 𝑛−1 + ′= 𝑠1 𝑠1 𝑅1 − 1 1−𝑛 𝑛 ′ + ′ = 𝑅2 𝑠1 𝑠2 Si se suman ambas ecuaciones, se tiene: 1 1 1 1 + ′ = (𝑛 − 1) ( − ) 𝑠1 𝑠2 𝑅1 𝑅2 75 Eliminando los subíndices, se puede relacionar el objeto inicial y la imagen final como: 1 1 1 1 1 = + ′ = (𝑛 − 1) ( − ) 𝑓 𝑠 𝑠 𝑅1 𝑅2 Esta es la ecuación del fabricante de lentes. Los tres rayos principales cuando se están tratando con lentes son: 1) Un rayo paralelo al eje emerge de la lente en una dirección que pasa por el segundo punto focal de una lente convergente, o que parece provenir del segundo punto focal de una lente divergente. 2) Un rayo que pasa por el centro de la lente no se desvía en grado apreciable; en el centro de la lente las dos superficies son paralelas; por lo tanto, este rayo emerge prácticamente con el mismo ángulo que tenía al entrar y a lo largo de la misma recta. 3) Un rayo que pasa por el primer punto focal (o avanza hacia éste) emerge paralelo al eje. Se puede obtener la distancia focal para un arreglo de lentes en contacto: la distancia del objeto s para la segunda lente es la distancia de la imagen cambiada de signo, y se tiene: 1 1 1 + ′= 𝑠1 𝑠1 𝑓1 1 1 1 1 1 + ′ =− ′+ ′ = 𝑠2 𝑠2 𝑠1 𝑠2 𝑓2 Al sumar ambas ecuaciones, se obtiene: 1 1 1 1 1 + ′= + = 𝑠 𝑠 𝑓1 𝑓2 𝑓 Esto se puede repetir con una cantidad de n lentes delgadas, obteniendo: 1 1 1 1 = + + ⋯+ 𝑓𝑛 𝑓 𝑓1 𝑓2 Si se tienen dos lentes delgadas, separadas por una distancia d entre sí, la distancia focal del primer lente es (para una lente convergente) el punto en el que convergen los rayos que inciden paralelamente sobre ella, es decir: 1 1 1 1 1 1 + ′= + ′ = = ⟹ 𝑓1 = 𝑠1 ′ 𝑠 𝑠1 ∞ 𝑠 1 𝑠1 ′ 𝑓1 Esta imagen será el objeto de la próxima lente, pero como las mismas están separadas a una distancia d, se tiene: 1 1 1 ′ + ′ = 𝑑 − 𝑠1 𝑠2 𝑓2 La distancia focal del sistema compuesto está dada por: 76 Por lo tanto, se tiene que: 1 1 1 1 + ′ = ′ = 𝑠 𝑠2 𝑠2 𝑓 Preguntas de finales 1 1 1 = − 𝑓 𝑓2 𝑑 − 𝑓1 1) Deduzca la expresión que relaciona la posición imagen (s’), la posición objeto (s), y el radio de curvatura R para un espejo esférico en la aproximación paraxial. Realice un dibujo claro indicando los rayos considerados. Interprete la situación para R tendiendo a infinito (espejo plano). Tómese un espejo esférico cóncavo, de radio de curvatura R, y colóquese un objeto puntual P a una posición dada de su centro de curvatura C. La distancia entre P y el vértice del espejo es igual a s. Dibújense dos rayos, uno que sea radial y sobre el eje óptico, y que por lo tanto se refleja sobre sí mismo, y otro que forma un ángulo α con el eje óptico y un ángulo θ con la normal a la superficie esférica. Si se aplica el teorema de que la suma de dos ángulos de un triángulo es igual a la suma del ángulo externo del restante, se llega a que: 𝜙 = 𝛼 + 𝜃, 𝛽 =𝜙+𝜃 2𝜙 = 𝛼 + 𝛽 Sea h la altura vertical desde el punto B donde incide el rayo que forma el ángulo α con el eje óptico, y δ la distancia desde la intersección de h sobre el eje con el vértice V. Por lo tanto, se tiene que: tan 𝛼 = ℎ ℎ ℎ , tan 𝛽 = ′ , tan 𝜙 = 𝑠 −𝛿 𝑅−𝛿 𝑠−𝛿 Si el ángulo α es pequeño, por lo que los rayos emitidos por P son casi paralelos al eje óptico, entonces β y φ también deben serlo, por lo que las tangentes de estos ángulos deben ser aproximadamente iguales a los ángulos en sí (en radianes). Además, δ también debe ser pequeño, por lo que puede considerarse despreciable a las distancias de objeto, imagen y al radio. De esto, se tiene que: 𝛼= ℎ ℎ ℎ ,𝛽 = ′,𝜙 = 𝑠 𝑠 𝑅 Si estas expresiones se reemplazan en la inicial, se llega a que: 1 1 2 + = 𝑠 𝑠′ 𝑅 Si el radio R tiende a infinito, se ve de la ecuación anterior que: 1 1 1 1 + ′ = 0 ⟹ = − ′ ⟹ 𝑠 = −𝑠′ 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 77 Esta es la ecuación para un espejo plano, en la que la distancia del objeto al espejo es la misma que de la imagen al espejo, pero siempre se forma una imagen virtual, y por eso su distancia es negativa. 2) Deduzca la expresión que relaciona la posición imagen (s’), la posición objeto (s), y el radio de curvatura R para una superficie de separación esférica entre medios de índice de refracción n y n’, en la aproximación paraxial. Realice un dibujo claro de los rayos considerados. Supóngase una superficie esférica con radio positivo. Los rayos inciden desde una región con índice de refracción na y se refractan en una región con índice de refracción nb. Si se usa el teorema de ángulos internos y externos para los triángulos formados, se tiene que: 𝜃𝑎 = 𝛼 + 𝜙, 𝜙 = 𝜃𝑏 + 𝛽 A su vez, utilizando la ley de Snell se tiene que: 𝑛𝑎 sin 𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 sin 𝜃𝑏 Si el ángulo α es chico, entonces los ángulos de incidencia y refracción también lo serán, por lo que puede aproximarse la función seno al valor del ángulo, teniéndose: 𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 𝜃 𝑛𝑎 𝑏 Si se reemplaza esto en la primera ecuación, se tiene que: 𝜙= 𝑛𝑎 𝑛𝑏 (𝛼 + 𝜙) 𝜃 = 𝛼 + 𝜙 ⟹ 𝜃𝑏 = 𝑛𝑏 𝑛𝑎 𝑏 𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑛𝑎 (𝛼 + 𝜙) + 𝛽 ⟹ (1 − ) 𝜙 = 𝛼 + 𝛽 ⟹ (𝑛𝑏 − 𝑛𝑎 )𝜙 = 𝑛𝑎 𝛼 + 𝑛𝑏 𝛽 𝑛𝑏 𝑛𝑏 𝑛𝑏 A su vez, las tangentes de estos ángulos están dadas por: tan 𝛼 = ℎ ℎ ℎ , tan 𝛽 = ′ , tan 𝜙 = 𝑠+𝛿 𝑠 −𝛿 𝑅−𝛿 Si nuevamente se aproximan estas funciones a sus ángulos y se desprecia δ, se llega a que: 𝑛𝑏 − 𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑛𝑏 = + ′ 𝑠 𝑠 𝑅 3) Dos lentes delgadas de distancias focales f1 y f2 se ponen en contacto. Encontrar la distancia focal del conjunto. ¿Cómo se generaliza a N lentes convergentes en contacto de distancias focales f1, f2, …, fn? Ténganse dos lentes delgadas en contacto; debido a que las mismas prácticamente no tienen grosor, entonces se supone que la distancia entre las mismas es nula. La imagen generada por la primera lente actuará como objeto de la segunda, por lo que se debe cumplir que s1’ = -s2. Por lo tanto, se tiene que: 1 1 1 + ′= 𝑠1 𝑠1 𝑓1 78 1 1 1 1 1 + ′ =− ′+ ′ = 𝑠2 𝑠2 𝑠1 𝑠2 𝑓2 Si se suman estas dos expresiones, se tiene que: 1 1 1 1 + ′= + 𝑠1 𝑠2 𝑓1 𝑓2 La distancia focal del conjunto está dada por la posición de la imagen cuando el objeto se encuentra en el infinito, por lo que los rayos inciden paralelamente por los lentes. Por lo tanto: 1 1 1 1 1 1 = + ′ = ′= + 𝑓 ∞ 𝑠2 𝑠2 𝑓1 𝑓2 Por lo tanto, se concluye que para n lentes, la distancia focal del sistema compuesta está dada por: 1 1 1 1 = + + ⋯+ 𝑓 𝑓1 𝑓2 𝑓𝑛 4) Deduzca la ecuación llamada del constructor de lentes. La ecuación del constructor de lentes relaciona la posición de objeto y de imagen para una lente compuesta por dos superficies refractivas esféricas. Para obtenerla, es necesario usar dos veces la expresión para superficies refractivas de este tipo. Sea na el índice de refracción del medio donde se encuentra el objeto, nb el del material de las lentes, y nc el del medio donde se forma la imagen final. Por lo tanto, ignorando el grosor de la lente, y usando el hecho de que la primera imagen formada actúa como objeto para la segunda superficie, se tiene que: 𝑛𝑎 𝑛𝑏 𝑛𝑏 − 𝑛𝑎 + = 𝑠1 𝑠1′ 𝑅1 𝑛𝑏 𝑛𝑐 𝑛𝑐 − 𝑛𝑏 𝑛𝑏 𝑛𝑐 + ′ =− ′ + ′ = 𝑠1 𝑠2 𝑅2 𝑠2 𝑠2 Sumando ambas expresiones se obtiene que: 𝑛𝑎 𝑛𝑐 𝑛𝑏 − 𝑛𝑎 𝑛𝑐 − 𝑛𝑏 + = + 𝑠1 𝑠2′ 𝑅1 𝑅2 En particular, si el medio a y c es aire, entonces na = nc = 1, y se tiene que: 1 1 1 1 1 = + ′ = (𝑛 − 1) ( − ) 𝑅1 𝑅2 𝑓 𝑠 𝑠 5) Dos lentes con distancias focales f1 y f2 se encuentran separadas una distancia d. Encontrar la distancia focal del conjunto. Analizar a qué tiende la expresión cuando las lentes se ponen en contacto. Nuevamente, la imagen generada por la primera lente actúa como objeto de la segunda. Se tiene por lo tanto que: 79 1 1 1 + ′= 𝑠1 𝑠1 𝑓1 Como se quiere conocer el foco del conjunto, tómese que los rayos incidentes llegan al primer lente de forma paralela, por lo que: 1 1 ′ = 𝑠1 𝑓1 1 1 1 1 1 1 1 + ′ = + = ′ + ′ = 𝑠2 𝑠2 𝑑 − 𝑠1 𝑠2 𝑑 − 𝑓1 𝑠2 ′ 𝑓2 Como los rayos incidieron de forma paralela al conjunto, la imagen se formará en la distancia focal del mismo, por lo que: 1 1 1 1 = ′ = − 𝑓 𝑠2 𝑓2 𝑑 − 𝑓1 6) Describir elementos ópticos de un microscopio. Haga un trazado de rayos saliendo de un objeto que muestren la imagen formada y sus características. El objeto O que se examina en un microscopio se coloca inmediatamente después del primer punto focal F1 del objetivo, que es una lente convergente que forma una imagen real y ampliada I. En un instrumento correctamente diseñado, esta imagen se halla inmediatamente hacia dentro con respecto al primer punto focal F1’ de una segunda lente convergente, llamada ocular. Esta última lente forma una imagen virtual final I’ de I, ampliada e invertida. 80 INTERFERENCIA Los efectos ópticos que dependen de la naturaleza ondulatoria de la luz se estudian en el ámbito de la óptica física. El término interferencia se refiere a cualquier situación en la que dos o más ondas se traslapan en el espacio. Cuando esto ocurre, la onda en cualquier punto y en cualquier instante está gobernada por el principio de superposición: cuando dos o más ondas se traslapan, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en cualquier instante se encuentra sumando los desplazamientos instantáneos que producirían en el punto las ondas individuales si cada una se presentara sola. Se dice que dos fuentes monocromáticas de la misma frecuencia y con una relación de fase constante definida (no necesariamente en fase) son coherentes. Para ondas transversales como las ondas electromagnéticas, además se considera que tengan la misma polarización. Cuando dos o más fuentes llegan en fase a un punto, la amplitud de la onda resultante es la suma de las amplitudes de las ondas individuales; éstas se refuerzan una a la otra. Esto se llama interferencia constructiva. Para que haya interferencia constructiva, la diferencia de las distancias de las fuentes a un punto determinado debe ser un entero de la longitud de onda: 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑚𝜆, 𝑚𝜖ℤ La cancelación o anulación parcial de las ondas individuales al interferir recibe el nombre de interferencia destructiva. La condición para que haya interferencia destructiva es: 1 𝑟1 − 𝑟2 = (𝑚 + ) 𝜆, 2 𝑚𝜖ℤ En el experimento de Young, una fuente emite luz monocromática. Sin embargo, esta luz no es apropiada para usarla en un experimento de interferencia, porque las emisiones de las diferentes partes de una fuente ordinaria no están sincronizadas. Para remediar esto, se dirige la luz a una pantalla con una ranura angosta S0, de ancho aproximado de 1 µm. La luz que sale de la ranura proviene sólo de una pequeña región de la fuente luminosa, de manera que la ranura S0 se comporta de manera muy parecida a una fuente idealizada. La luz que emana de S0 ilumina otra pantalla, con otras dos ranuras S1 y S2, cada una con un ancho aproximado de también 1 µm, y separadas por una distancia de algunas decenas o centenas de micrómetros. A partir de S0, se propagan frentes de onda cilíndricos, que llegan a S1 y S2 en fase porque recorren distancias iguales desde S0. Por lo tanto, las ondas que emergen de S1 y S2 siempre están en fase y estas ranuras se comportan como fuentes coherentes. La interferencia de las ondas que salen de las ranuras genera un patrón de interferencia. Normalmente para estos experimentos, se considera que los rayos que emergen de cada ranura y van a un mismo punto sobre la otra pantalla son prácticamente paralelos. Por lo tanto, se llega a que: 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑 sin 𝜃 Por lo tanto, se presenta interferencia constructiva para los ángulos: 81 𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆, 𝑚𝜖ℤ Y se presenta interferencia destructiva en los casos en que: 1 𝑑 sin 𝜃 = (𝑚 + ) 𝜆, 2 𝑚𝜖ℤ De esto se obtiene un patrón de franjas de interferencia. A su vez, se debe cumplir que: tan 𝜃𝑚 = 𝑦𝑚 𝑅 Si el ángulo es muy pequeño, su tangente es prácticamente igual a su seno, y se cumple que: 𝑦𝑚 = 𝑅 𝑚𝜆 𝑑 Esto da las posiciones de las bandas de interferencia constructiva para un experimento de doble rendija de Young. Para obtener la intensidad de los patrones de interferencia, debe notarse que, si las dos fuentes están en fase, las ondas que llegan a un punto P difieren en fase en una cantidad proporcional a la diferencia en la longitud de sus trayectorias, r1 – r2. Si el ángulo de fase entre ambas ondas es φ, entonces el campo eléctrico provocado por cada onda en este punto estará dado por: 𝐸1 (𝑡) = 𝐸 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) 82 𝐸2 (𝑡) = 𝐸 sin 𝜔𝑡 La función de onda resultante está dada por: 𝐸𝑃 = 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐸[sin(𝜔𝑡 + 𝜙) + sin 𝜔𝑡] 1 1 𝐸𝑃 = 2𝐸 cos ( 𝜙) sin (𝜔𝑡 + 𝜙) 2 2 La amplitud del campo eléctrico resultante en el punto P es la parte de la función que no depende del tiempo. Como la intensidad de una onda electromagnética es proporcional al cuadrado de la amplitud de su campo eléctrico, se tiene que: 𝐼 = 𝐼0 cos2 𝜙 2 Donde I0 es la intensidad obtenida cuando las dos ondas llegan en fase a la pantalla. Cuando la diferencia de fase es de 2π rad, hay un desfase de una longitud de onda entre las ondas. Si la misma es de π rad, el desfase es de media longitud de onda. Por lo tanto, existe la relación: 𝜙= 𝜙 𝑟2 − 𝑟1 = 2𝜋 𝜆 2𝜋 (𝑟 − 𝑟1 ) = 𝑘(𝑟2 − 𝑟1 ) 𝜆 2 A su vez, si las distancias entre las fuentes son despreciables respecto de la distancia al punto P, se vio que r2 – r1 = dsenθ, por lo que: 𝜙 = 𝑘𝑑 sin 𝜃 = 2𝜋 𝑑 sin 𝜃 𝜆 Si se sustituye en la ecuación de la intensidad, se tiene: 𝐼 = 𝐼0 cos 2 ( 𝜋𝑑 sin 𝜃) 𝜆 Las intensidades máximas se presentan cuando: Que es equivalente a: 𝜋𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜋 𝜆 𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆 Es decir que la intensidad es máxima en las zonas con interferencia constructiva, como ya se había visto antes. Si el ángulo θ es pequeño, se vio que: sin 𝜃 ≅ tan 𝜃 = Y la intensidad se puede dar como: 83 𝑦 𝑅 DIFRACCIÓN 𝐼 = 𝐼0 cos 2 ( 𝜋𝑑𝑦 𝑘𝑑𝑦 ) = 𝐼0 cos2 ( ) 𝑅𝜆 2𝑅 La difracción se refiere a un conjunto de fenómenos que ocurren cuando ondas encuentran un obstáculo o una abertura. Se define como un cambio de dirección de las ondas alrededor de las esquinas de un obstáculo o abertura, en la región de la sombra geométrica del obstáculo. Para poder observar un patrón de difracción estable claro, se necesita de una fuente puntual y monocromática. Si en un experimento de difracción tanto la fuente como la pantalla están relativamente cerca del obstáculo que forma el patrón de difracción, esta situación se describe como una difracción de campo cercano o difracción de Fresnel. Si la fuente, el obstáculo y la pantalla están lo suficientemente alejados para considerar como paralelas todas las líneas de la fuente al obstáculo, y todas las líneas del obstáculo a un punto del patrón, el fenómeno se describe como una difracción de campo lejano o difracción de Fraunhofer. No existe una distinción fundamental entre interferencia y difracción. Típicamente, el término interferencia se aplica a los efectos en los que intervienen ondas de un número pequeño de fuentes, dos por lo regular. La difracción se relaciona normalmente con un número muy grande de aberturas o fuentes. Es posible deducir las características más importantes de un patrón de difracción de Fraunhofer para una sola ranura. Para eso, considérese en primer término dos tiras largas, una inmediatamente por debajo del borde superior de la ranura, y otra en su centro. La diferencia de longitud de trayecto para dos ondas que van hasta el punto P está dada aproximadamente por a/2 senθ, donde a es el ancho de la ranura y θ es el ángulo entre la perpendicular a la ranura y una recta del centro de la ranura a P. Supóngase que, para estas dos ondas, esta cantidad es de media longitud de onda, por lo que interfieren destructivamente y se cancelan en ese punto. Asimismo, la luz 84 proveniente de dos tiras debajo de las consideradas también llega a P desfasada medio ciclo. De hecho, la luz proveniente de cada una de las tiras de la mitad superior de la ranura cancela la luz proveniente de una tira correspondiente a la mitad inferior. El resultado es una cancelación total en P de la luz combinada que llega de toda la ranura, y se forma una franja oscura en el patrón. Es decir, se presenta una franja oscura siempre que: 𝑎 𝜆 𝜆 sin 𝜃 = ± ⟹ sin 𝜃 = ± 2 2 𝑎 En realidad, es claro que se presenta una franja oscura siempre que se cumpla: sin 𝜃 = 𝑚𝜆 ,𝑚 ≠ 0 𝑎 Como normalmente estos experimentos se realizan con luz, cuyas longitudes de onda suelen ser mucho más chicas que los anchos de ranura, los ángulos obtenidos suelen ser muy pequeños y la aproximación de que el senθ es aproximadamente igual a θ suele ser buena. Por lo tanto, puede escribirse: 𝜃= 𝑚𝜆 ,𝑚 ≠ 0 𝑎 Aproximando además que la tangente de ángulo es aproximadamente igual al ángulo, se tiene que: 𝑦𝑚 = 𝑥 𝑚𝜆 ,𝑚 ≠ 0 𝑎 Para obtener la intensidad de un patrón de difracción de Fraunhofer, se deben sumar todas las contribuciones de las ondas que llegan al punto P sobre una pantalla distante, a un ángulo θ con respecto a la normal del plano de la ranura. Para ello se representa por medio de un fasor el campo E sinusoidalmente variable que corresponde a cada tira individual. La magnitud de la suma vectorial de los fasores en cada punto P es la amplitud EP del campo total en ese punto. La intensidad en P es proporcional a EP2. Para el punto que está a la misma altura que el centro de la ranura, si x >> a, todos los fasores están prácticamente en fase ya que todas las ondas recorren prácticamente la misma distancia. Se denota la amplitud resultante de la suma de estos fasores con E0. Considérese ahora las ondas que llegan al punto P que forma un ángulo θ con la normal a la ranura. Debido a las diferencias de trayecto, ahora existen diferencias de fase entre las ondas. La suma vectorial de los fasores es ahora parte del perímetro de un polígono con muchos lados. 85 En el caso en el que se suman infinita cantidad de tiras, los fasores forman un arco de círculo, cuyo perímetro es igual a E0. El centro de este círculo se obtiene construyendo perpendiculares a A y B. Por lo tanto, el radio del círculo debe estar dado por E0/β. La amplitud EP del campo eléctrico en el punto P debe estar dada entonces por: 𝐸𝑃 = 𝛽 𝐸0 sin (2 ) 𝛽/2 Por lo tanto, la intensidad en P, que está relacionada con el cuadrado de la amplitud del campo eléctrico, es: 𝐼 = 𝐼0 ( 𝛽 sin 2 𝛽 2 ) 2 Es posible expresar el ángulo β de diferencia de fase total teniendo en cuenta que, como se vio para el caso de interferencia, la diferencia de fase es 2π/λ por la diferencia de trayecto entre las ondas. Ya se vio que la diferencia de trayecto entre dos rayos separados por una cantidad a/2 está dada por a/2 senθ. La diferencia de trayecto para los rayos en los extremos de la ranura es por lo tanto a senθ. De esto se tiene que: 𝛽= Y la ecuación se transforma en: 2𝜋 𝑎 sin 𝜃 𝜆 2 𝜋 sin ( 𝑎 sin 𝜃) 𝐼 = 𝐼0 [ 𝜋 𝜆 ] 𝑎 sin 𝜃 𝜆 Cuando se calcularon las posiciones de las bandas de interferencia en el experimento de Young, se ignoró el tamaño finito de las ranuras. Si el tamaño de estas es mucho más chico que la longitud de onda, podemos suponer que la luz proveniente de cada ranura se extiende de forma uniforme en todas las direcciones a la derecha de la ranura. Sin embargo, cuando las ranuras tienen un ancho finito, las crestas del patrón de interferencia de dos ranuras están moduladas por el patrón de difracción de una sola ranura característico del ancho de cada ranura. La intensidad del patrón final es el producto de las intensidades para el patrón de interferencia de dos ranuras y el de difracción: 𝛽 2 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝜙 2 𝐼 = 𝐼0 cos 2 ( ) [ ] 𝛽 2 2 𝜙= Preguntas de finales: 2𝜋 𝑑 sin 𝜃 , 𝜆 𝛽= 86 2𝜋 𝑎 sin 𝜃 𝜆 1) Experimento de Young de doble rendija. Deduzca la expresión para la posición de los máximos de interferencia, encuentre la expresión matemática para la distribución de intensidad en la pantalla y determine la separación de los máximos. Justifique. ¿Qué quiere decir que un patrón de interferencia esté modulado por difracción? En un experimento de doble rendija de Young, una fuente de luz monocromática se coloca iluminando a una rendija S0 de aproximadamente 1 µm. La luz la atraviesa formando un frente de ondas cilíndricas, que luego llegan a otras dos ranuras S1 y S2, también de un ancho similar a la primera, y que se encuentran a la misma distancia de S0. Debido al pequeño tamaño de las ranuras, al atravesarlas la luz se comporta como una fuente puntual, y ambas ranuras emiten ondas en fase. Por lo tanto, ambas se comportan como fuentes coherentes. Si se toma un punto P sobre una pantalla, que se encuentra a una distancia x de las ranuras, y si la misma está alejada de estas, se puede considerar que los rayos que emergen de las ranuras son prácticamente paralelos. Sea θ el ángulo formado por la normal al plano de las ranuras y una recta que une el punto medio entre las ranuras y el punto P de la pantalla, entonces según estas consideraciones el camino adicional que tenga que recorrer una onda respecto de la otra estará dado por: 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑 sin 𝜃 A su vez, se sabe que la interferencia entre dos ondas es constructiva cuando las diferencias entre sus caminos recorridos son iguales a un múltiplo entero de la longitud de onda, por lo que habrá interferencia constructiva, y se observarán franjas brillantes en la pantalla para los ángulos en los que: sin 𝜃 = 𝑚𝜆 𝑑 Y habrá interferencia destructiva, y por tanto franjas oscuras, cuando: 1 𝜆 sin 𝜃 = (𝑚 + ) 2 𝑑 Si el ángulo θ formado es pequeño, entonces su seno y su tangente serán muy parecidos. La tangente de este ángulo está dada por: tan 𝜃𝑚 = 𝑦𝑚 𝑥 Y, por lo tanto, las posiciones de las franjas brillantes respecto del punto central entre las dos ranuras estarán dadas por: 𝑦𝑚 = 𝑥 𝑚𝜆 𝑑 Si se puede utilizar esta aproximación, la distancia entre dos máximos sucesivos está dada por: 𝑦𝑚+1 − 𝑦𝑚 = 𝑥𝜆 𝑥𝜆 (𝑚 + 1 − 𝑚) = 𝑑 𝑑 87 Para encontrar la función de intensidad para este sistema, se deben sumar los campos eléctricos de las ondas al llegar a un punto cualquiera dado, llámese O. Represéntense los campos eléctricos de las ondas que llegan de cada ranura por: 𝐸1 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝐸2 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 La suma está dada por: 𝜙 𝜙 𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 = 2𝐴 cos ( ) sin (𝜔𝑡 + ) 2 2 Por lo tanto, la intensidad está dada por: 𝐼 = 𝐼0 cos2 𝜙 2 Donde I0 es la intensidad que llega al máximo central debido a la interferencia constructiva de las ondas provenientes de las dos ranuras. Para obtener φ, que es la diferencia de fase entre las ondas, se debe notar que cuando la trayectoria recorrida de las mismas difiere en λ, las mismas están en fase y φ = 2π. En cambio, cuando están desfasadas, la trayectoria varía en λ/2 y φ = π. Por lo tanto, estos valores están relacionados según: 𝜙 𝑟2 − 𝑟1 𝑑 sin 𝜃 = = 2𝜋 𝜆 𝜆 Y por lo tanto se tiene que: 𝜙= 2𝜋 𝑑 sin 𝜃 𝜆 Por lo que la expresión de intensidad para este experimento de interferencia está dada por: 𝜋 𝐼 = 𝐼0 cos2 ( 𝑑 sin 𝜃) 𝜆 Si nuevamente se puede aproximar el seno del ángulo a la tangente, se llega a: 𝜋𝑑𝑦 𝐼 = 𝐼0 cos2 ( ) 𝜆𝑥 En realidad, los fenómenos de interferencia y difracción ocurren juntos. Cuando el ancho de las rendijas es apreciable, la intensidad real del experimento está dada por el producto entre la de la función de interferencia y la de difracción. Así, el tamaño de los máximos en realidad no es igual para todos como se predice en la función de interferencia, sino que está afectada por la difracción, y es posible también que algunos de los máximos de interferencia no se observen porque están en mínimos de difracción. Este comportamiento se llama modulación del patrón de interferencia por difracción. 2) Defina reflexión, refracción, interferencia, difracción, dispersión, polarización de la luz. ¿Cuál es el ángulo de Brewster y el ángulo límite? 88 y Reflexión: La reflexión es el cambio en la dirección de una onda en una interfase que separa dos medios diferentes, por lo que la onda vuelve al medio del que provino. La ley de reflexión dice que, para la reflexión especular, el ángulo de incidencia, que es el ángulo del rayo respecto de la normal con la superficie, es igual al ángulo de reflexión. Refracción: La refracción es el cambio en la dirección de propagación de una onda al pasar de un medio con un determinado índice de refracción, a otro con un índice de refracción diferente. Se origina debido al cambio en las velocidades de las ondas en los dos medios diferentes, y se explica mediante la ley de Snell o ley de refracción. Interferencia: La interferencia es un fenómeno en el cual dos o más ondas se superponen para dar una onda resultante. La interferencia ocurre para cualquier tipo de ondas, tanto mecánicas como electromagnéticas, y está gobernada por el principio de superposición. Difracción: La difracción se refiere a varios fenómenos que ocurren cuando una onda encuentra un obstáculo o una abertura. Se define como el cambio de dirección de las ondas alrededor de las esquinas de un obstáculo o de una rendija. Dispersión: La dispersión es un fenómeno en el que la velocidad de propagación de una onda en un determinado medio depende de su frecuencia. Un ejemplo clásico de dispersión en óptica es la separación de la luz blanca en un espectro de todos sus colores constituyentes mediante un prisma. Polarización: Es la propiedad de las ondas transversales que especifica la orientación geométrica de las oscilaciones. En una onda transversal, la dirección de las oscilaciones es perpendicular a la dirección de propagación de la onda, por lo que las oscilaciones de las partículas del medio pueden tener distintas orientaciones. El ángulo de Brewster es un ángulo de luz incidente para el que al incidir luz no polarizada sobre una superficie que actúa como interfase entre dos medios, la luz que se refleja en la superficie está totalmente polarizada, y la dirección de su campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia. El mismo está dado por: tan 𝜃𝑃 = 𝑛2 𝑛1 sin 𝜃𝐶 = 𝑛2 𝑛1 El ángulo crítico es el ángulo de luz incidente para el que el ángulo de refracción es igual a 90º. Para cualquier ángulo mayor que el crítico, la luz es totalmente reflejada por la superficie y nada de ella es transmitida a través de esta. Aplicando la ley de Snell, el ángulo crítico está dado por: Con n1 > n2. 3) Defina el número de Fresnel. Explique sus propiedades. El número de Fresnel es un número adimensional utilizado en óptica, en particular en la teoría de difracción escalar. Para una onda electromagnética que pasa a través de una abertura de ancho a, donde la pantalla está ubicada a una distancia L 89 de la abertura y la onda tiene una longitud de onda λ, el número de Fresnel se define como: 𝐹= 𝑎2 𝜆𝐿 El número de Fresnel establece un criterio para definir las aproximaciones de campo cercano y campo lejano. Esencialmente, si F es un número pequeño (F << 1), se dice que la difracción es de campo lejano. En este caso, el fenómeno se explica adecuadamente mediante una difracción de Fraunhofer, donde se supone que los rayos que emergen de la rendija son aproximadamente paralelos. Si F ~ 1, la suposición de rayos paralelos no da buenos resultados, y debe considerarse una difracción de Fresnel, en la que se consideran los distintos ángulos para cada rayo al llegar a un punto de la pantalla. 4) Deduzca la expresión para la intensidad de energía en una pantalla como función de la posición en la misma, cuando se difracta luz de longitud de onda λ por una rendija de ancho a y a una distancia L. Cuando un frente de onda de rayos paralelos llega a una rendija de un ancho finito a, el principio de Huygens establece que cada punto de las ondas actúa como fuente de ondas secundarias, que se propagan formando ondas esféricas en el espacio entre la rendija y la pantalla. Si se puede considerar una difracción de Fraunhofer, donde los rayos son paralelos, se puede ver que la diferencia de trayectoria entre dos ondas que son emitidas a una distancia de a/2 está dada por: 𝑎 sin 𝜃 2 𝑟1 − 𝑟2 = Supóngase que en un punto P dado, la interacción entre estas dos ondas cuya fuente difiere en una cantidad de posición de a/2, la diferencia de posiciones dada corresponde a media longitud de onda, por lo que interfieren destructivamente. Si se supone que el ángulo θ hacia ese punto es el mismo para todas las ondas (debido a que son paralelas entre sí) entonces para cada onda, existe otra a una distancia de fuente de a/2 que la cancela. Por lo tanto, la cantidad a/2 sinθ daría una posición en la que todas las ondas que llegan se anulan y es un mínimo de difracción: 𝑎 𝑚𝜆 sin 𝜃 = ⟹ 𝑎 sin 𝜃 = 𝑚𝜆 2 2 Para obtener la intensidad de energía en un punto cualquiera de la pantalla, en primer lugar, obsérvese que en un punto O justo a una altura de a/2, todas las ondas llegan prácticamente en fase, por lo que sus campos eléctricos en fase se suman para obtener una cantidad E0. Ahora para un punto cualquiera Q, las ondas no necesariamente llegan en fase. Si se suman todos sus campos eléctricos, los cuales forman un arco de círculo de longitud E0, lo que se quiere obtener es la cuerda que parte del origen hasta el punto final de ese arco, EQ. Llámese β a la diferencia de fase total, entonces el radio del círculo al que pertenece el arco está dado por: 𝑅= 𝐸0 𝛽 90 Trácese una bisectriz en el ángulo β, entonces se tiene que la cantidad EQ debe estar dada por: 𝐸𝑄 = 𝐸0 ( 𝛽 sin 2 𝛽 2 ) Como la intensidad es proporcional al cuadrado del campo eléctrico, entonces se tiene que: 𝐼 = 𝐼0 ( 𝛽 sin 2 𝛽 2 ) 2 Para hallar β, el ángulo de fase total, debe tenerse en cuenta que: 𝛽 𝑟2 − 𝑟1 2𝜋 (𝑟 − 𝑟1 ) = ⟹𝛽= 2𝜋 𝜆 2 𝜆 Anteriormente se vio que para dos ondas separadas una distancia a/2, la diferencia de trayectoria está dada por a/2 senθ. Por lo tanto, para obtener el ángulo de fase total, se necesita conocer la diferencia de trayectoria entre las ondas separadas una distancia a (a los extremos de la rendija), que es sencillamente el doble. De esto se obtiene: 𝛽= 2𝜋 𝑎 sin 𝜃 𝜆 A su vez, si el ángulo formado es pequeño, el seno del mismo puede aproximarse a su tangente y se podría escribir β como: 𝛽= 2𝜋 𝑎𝑦 𝜆 𝐿 Y la expresión final de intensidad estaría dada por: 𝜋𝑎𝑦 2 sin ( ) 𝜆𝐿 ) 𝐼 = 𝐼0 ( 𝜋𝑎𝑦 𝜆𝐿 91