Competencias matemáticas en la enseñanza media
Hugo Barrantes Campos, Jose Alfredo Araya Vega
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
Yuri Morales López
Plataforma del discurso metodológico en docencia matemática: lo sociocultural y lo lingüístico como competencias guías
Eliana D. Rojas
Conocimientos y currículo en la educación matemática
Ángel Ruiz
Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en
el aprendizaje de la matemática
Claudia Matus, Hernán Miranda
EXPERIENCIAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Incorporación de la tecnología para la enseñanza y aprendizaje de la ecuaciones
diferenciales ordinarias (edo)
Yuri Morales López, Oscar Salas Huertas
Resolución de problemas como estrategia metodológica en la formación de
docentes de matemáticas: una propuesta
Jenifer Fonseca Castro, Cristian Alfaro Carvajal
PROPUESTAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Resolución de problemas como estrategia metodológica en la formación de
docentes de matemáticas: una propuesta
DOCUMENTOS
Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical
Instruction ICMI
XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática
Elena Chkryl
La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y
perspectivas
AÑO 5, NÚMERO 6, FEBRERO 2010
Jenifer Fonseca Castro, Cristian Alfaro Carvajal
CURRÍCULO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN
EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Edison De Faria Campos
CUADERNOS
La importancia de las competencias en la educación superior
CUADERNOS DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN
PROGRAMA INTERINSTITUCIONAL DE
INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
AÑO 5, NÚMERO 6, FEBRERO 2010
Cuadernos de Investigación y Formación
en Educación Matemática es una colección de publicaciones que incluye trabajos
de investigación, reseñas de experiencias
académicas, documentos informativos
orientados a la capacitación y formación de
estudiantes y profesores de matemáticas.
Busca nutrir la comunidad de Educación
Matemática con instrumentos teóricos que
permitan potenciar los quehaceres dentro
de esta comunidad.
Cuadernos de Investigación y Formación
en Educación Matemática es una iniciativa del Programa Interinstitucional de
Investigación y Formación en Educación Matemática, que integra proyectos
y actividades realizadas por el Centro de
Investigaciones Matemáticas y MetaMatemáticas y la Sede de Occidente de la
Universidad de Costa Rica, la Escuela de
Matemática de la Universidad Nacional, la
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
de la Universidad Estatal a Distancia, y el
Departamento de Investigaciones Educativas del Ministerio de Educación Pública de
Costa Rica. Se conciben como un medio
para expresar los resultados de investiga-
ción y docencia que obtiene este colectivo
de proyectos y personas.
Cuadernos tiene una doble presentación:
por un lado, de manera impresa, y, por
el otro, de forma digital que se pone a la
disposición de los usuarios por medio de
Internet.
Cuadernos no es una publicación abierta,
los artículos se escriben por invitación del
Consejo Editorial o del Director, pero en
ocasiones se aceptan algunos trabajos de
investigadores o académicos externos al
Programa, para lo cual se debe enviar una
solicitud formal al Director de Cuadernos.
Las reglas de publicación, en este último
caso, se encuentran en la página web de
Cuadernos.
Cada número de los Cuadernos se concentra en una temática especíica, aunque
incluye otros temas de interés.
Los Cuadernos cuenta, además, con el apoyo del Comité Interamericano de Educación
Matemática CIAEM, organismo regional de
la International Comission on Mathematical Instruction ICMI.
Consejo editorial
Anabelle Castro
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática / Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica; Escuela de
Matemática, Universidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia. – Año 4, Año 5, No. 6 (Febrero. 2010). San José, C.R.:
Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa
Rica;
Escuela de Matemática, Universidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia, 2010- vi.
Angel Ruiz (angelruizz@racsa.co.cr)
Edison De Faria
Universidad de Costa Rica.
Edwin Chaves
Universidad Nacional, Universidad de Costa
Rica.
Hugo Barrantes
Universidad de Costa Rica, Universidad Estatal
a Distancia.
Artes inales
Inportento S.A.
defaria@inportento.com
Versión en línea
José Alfredo Araya
Universidad Estatal a Distancia, Universidad
Nacional.
http://cimm.ucr.ac.cr/cuadernos
María de los Ángeles Jiménez
Olimpiada Costarricense para la Educación
Primaria.
Direcciones
Víctor Buján
Olimpiada Costarricense para la Educación
Primaria.
Angel Ruiz
Universidad de Costa Rica, Universidad
Nacional.
Consejo asesor internacional
Carlos Sánchez
Universidad de la Habana, Cuba.
510.1
C961c
Director
Eduardo Mancera
Vicepresidente Comité Interamericano de
Educación Matemática, México.
Eliana Rojas
University of Connecticut, EEUU.
Hernán Miranda
Universidad de Santiago, Centro Comenius,
Chile.
Luis Roberto Moreno
Universidad de Panamá, Panamá.
ISSN: 1659-2573
María Salett Biembengut
Universidade Estadual de Blumenau, Brasil.
1.MATEMATICAS – PUBLICACIONES SERIADAS
2. MATEMATICAS – ENSEÑANZA – COSTA RICA
Patrick Scott
New Mexico Department of Higher Education,
EEUU.
Centro de Investigaciones Matemáticas
y Metamatemáticas
Universidad de Costa Rica
Sede Rodrigo Facio
San José, Costa Rica
Escuela de Matemática
Universidad Nacional
Campus Omar Dengo
Heredia, Costa Rica
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad Estatal a Distancia
Sabanilla, Montes de Oca.
San José, Costa Rica.
Teléfono fax: (506) 25115742.
DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN
EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
CUADERNOS
CURRÍCULO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
PROGRAMA INTERINSTITUCIONAL DE
INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
AÑO 5, NÚMERO 6, FEBRERO 2010
TABLA DE ConTEnIDoS
EDIToRIAL
7
ARTíCuLoS DE InVESTIgACIón
11
LA IMPoRTAnCIA DE LAS CoMPETEnCIAS En LA
EDuCACIón SuPERIoR
13
Edison De Faria Campos
1. Introducción
2. El projecto tuning
3. Tuning América Latina
4. El proyecto 6x4 UEALC
Referencias y bibliografía
Anexos
14
18
25
30
35
37
CoMPETEnCIAS MATEMÁTICAS En LA EnSEÑAnZA MEDIA
39
Hugo Barrantes Campos
Jose Alfredo Araya Vega
1. Introducción
2. Concepto de competencia
3. Competencias generales en la enseñanza media
4. Algunos peligros en el uso de las competencias en educación
5. Concepto de competencia matemática
6. Competencias matemáticas en la enseñanza media
7. Implicaciones de un abordaje por competencias del proceso de enseñanza
aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza media
8. Las competencias en el sistema educativo costarricense
9. Conclusiones
Referencias y bibliografía
En BÚSQuEDA DE LAS CoMPETEnCIAS TECnoLógICAS
En LA FoRMACIón DE FoRMADoRES En MATEMÁTICAS
40
41
43
44
45
46
49
53
60
61
63
Yuri Morales López
1. Introducción
2. Competencias tecnológicas para la educación matemática
3. Discusión y conclusiones
Referencias y bibliografía
64
65
77
78
PLATAFoRMA DEL DISCuRSo METoDoLógICo En DoCEnCIA
MATEMÁTICA: Lo SoCIo-CuLTuRAL Y Lo LIngÜíSTICo CoMo
CoMPETEnCIAS guíAS
81
Eliana D. Rojas
1. Introducción
2. Fundamento teórico
3. El contexto social
4. Lenguaje y matemática
5. El docente matemático: el por qué de sus competencias
82
84
87
90
91
6. Proyecto REALL (Raising Expectations for All Learners)
7. Conversaciones instruccionales
8. Enseñanza/instrucción diferenciada en aulas inclusivas
9. La tecnología; recurso esencial en proceso de enseñanza-aprendizaje
10. Conclusiones
Referencias y bibliografía
93
96
99
99
101
101
ConoCIMIEnToS Y CuRRíCuLo En LA EDuCACIón MATEMÁTICA
107
Ángel Ruiz
1. Introducción
2. Conocimiento pedagógico del contenido y currículo
3. Conocimientos en la formación del educador matemático: propuesta
de un modelo teórico
4. Las matemáticas “aplicadas” en la formación inicial del profesional
en educación matemática
5. Proporciones
6. Conclusiones
Referencias y bibliografía
Lo QuE LA InVESTIgACIón SABE ACERCA DEL uSo DE
MAnIPuLATIVoS VIRTuALES En EL APREnDIZAJE DE LA
MATEMÁTICA
108
110
113
124
136
138
139
143
Claudia Matus
Hernán Miranda
1. Introducción
2. ¿Qué son los manipulativos virtuales?
3. Investigaciones realizadas en torno a los manipulativos virtuales
4. Conclusiones
Referencias y bibliografía
144
145
148
150
151
ExPERIEnCIAS En LA EDuCACIón MATEMÁTICA
153
InCoRPoRACIón DE LA TECnoLogíA PARA LA EnSEÑAnZA
Y APREnDIZAJE DE LA ECuACIonES DIFEREnCIALES
oRDInARIAS (EDo)
155
Yuri Morales López
Oscar Salas Huertas
1. Introducción
2. Marco referencial
3. Metodología
4. Consideraciones inales
Referencias y bibliografía
156
158
162
169
171
PRoPuESTAS En LA EDuCACIón MATEMÁTICA
173
RESoLuCIón DE PRoBLEMAS CoMo ESTRATEgIA
METoDoLógICA En LA FoRMACIón DE DoCEnTES DE
MATEMÁTICAS: unA PRoPuESTA
Jenifer Fonseca Castro
Cristian Alfaro Carvajal
175
1. Introducción
2. MEAS: una metodología de trabajo en resolución de problemas
3. El enfoque “open-ended” de los japoneses
4. Dinámica del seminario como una metodología de trabajo
en resolución de problemas
5. Elementos a considerar en la construcción de una propuesta
metodológica basada en resolución de problemas en la formación
de docentes de matemáticas
6. Conclusión
Instrumento
176
178
181
DoCuMEnToS
193
nuEVo CoMITé EJECuTIVo DE LA InTERnATIonAL
CoMMISSIon on MATHEMATICAL InSTRuCTIon ICMI
195
xIII ConFEREnCIA InTERAMERICAnA DE
EDuCACIón MATEMÁTICA
205
1. Introducción
2. Sobre el lugar
3. Temas
4. Consejos cientíicos
5. Programa académico
6. Cronograma de actividades
7. Ponencias
8. Inscripción
9. Exhibidores
10. Exhibidores
11. CIAEM
12. ICMI
13. ICMI
205
206
207
208
210
211
213
214
214
214
215
216
217
ELEnA CHKRYL
219
LA ESCuELA DE MATEMÁTICA DE LA unIVERSIDAD DE
CoSTA RICA: balance y perspectivas
221
Ángel Ruiz
Hugo Barrante Campos
Pilar Campos Bejarano
184
185
189
189
EDIToRIAL
Si se acepta la visión metodológica de asumir la práctica profesional como un
fundamento para la formación inicial de educadores, se requiere del desarrollo de
procesos de convergencia entre academias, formadores de formadores, educadores en formación y en servicio. Una sinergia constructiva que demanda plataformas sociales y académicas así como voluntades apropiadas. Solo si se posee esta
visión de la formación inicial se logrará una feliz convergencia con la formación
continua.
Lo que se planteamos aquí es la búsqueda de un “matrimonio” ediicante entre
academia, sociedad y usuarios (estudiantes y educadores). En la práctica profesional no intervienen solamente conocimientos, también habilidades, valores, actitudes. Y éstos no se encuentran por separado. ¿Cómo romper con los currículos
basados exclusivamente en contenidos y en las necesidades de las academias? No
hay una receta para hacerlo. En algunos casos, acciones y proyectos de trabajo
conjunto estrecho de los formadores de educadores con educadores en servicio
pueden resultar suicientes. En otros: una combinación de cambios curriculares y
acciones de educación continua pueden servir.
Pensamos que el concepto de competencia profesional puede ser utilizado para
darle cuerpo a esa perspectiva de reorientar los currículos de formación de educadores hacia la práctica profesional. El concepto posee varias ventajas y también desventajas. Pensamos, sin embargo, que las primeras son mayores que las
segundas.
Desde hace bastantes años, muchos sistemas educativos han adoptado un enfoque
por competencias educativas para establecer los lineamientos y el desempeño educativo. El concepto a veces se identiica con estándares o con capacidades logradas.
Este enfoque ha sido usado mucho en la educación preescolar y primaria, e implica la deinición del currículo escolar en términos orientados por las competencias
educativas que se establecen: forma de evaluación, métodos de enseñanza, etc. Las
palabras-fuerza de Aprender a conocer, Aprender a convivir, Aprender a hacer,
Aprender a ser, Aprender a aprender, que fueron potenciadas por la UNESCO desde hace bastantes años, reieren precisamente a competencias.
Tal vez la idea más fuerte sea el pasar del “saber” al “saber hacer”.
El concepto posee fuertes implicaciones en la construcción de currículos, en particular para los estudios universitarios. Si se entiende bien su signiicado, se da
un énfasis en procesos y no en colecciones de contenidos per se. El diseño de un
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 7-10.
Costa Rica
currículo por competencias apuntala una construcción por medio de problemas o
situaciones con invocación de diferentes disciplinas. Un tema o proceso permite
convocar diferentes disciplinas en su formación, por lo que se invoca la inter y
transdisciplinariedad. De igual manera, se enfatizan las acciones didácticas en el
aprendizaje y se coloca al estudiante como centro. Los mecanismos de evaluación apuntan a la medición no solo de resultados sino de los procesos mismos; las
metodologías didácticas de proyectos, resolución de problemas, enseñanza para
la comprensión, y trabajo grupal se ven beneiciadas. Por otra parte, apuntala la
deinición de periles profesionales: conjuntos de competencias que la formación
debe proporcionar.
Existen diferencias en el lugar de las competencias dentro de las carreras universitarias: cuando lo que se persigue, por ejemplo, es provocar profesionales en investigación matemática universitaria, o si se busca un profesional en la ingeniería
de construcción práctica de puentes. El papel de los requerimientos de la sociedad, de los entornos meta de trabajo o nichos profesionales afecta la estructura
de las competencias. Es decir: hay en el papel de las competencias una ecuación
que integra inlujos sociales globales, inlujos especíicos del entorno laboral, e
inlujos de la academia (condiciones profesionales y cognoscitivas) que forma
profesionales, todo en función de objetivos e intereses de aprendizaje.
Las competencias se han incorporado en la formación docente con gran intensidad. No obstante, este enfoque ha levantado, también, posiciones de precaución,
o abiertamente crítica, sobre varios aspectos: por un lado, en tanto que una reducción estrecha y minimalista de competencias profesionales puede deteriorar
la calidad de la formación del educador. Es decir, una debilitación de las condiciones del educador como profesional conspira contra la profesionalización
de la enseñanza. Si los niveles de competencias son inapropiadamente bajos, se
deteriora la formación del educador. No obstante, de lo que se trata es de tener
una visión estratégica y con el norte en la calidad. Es una sana advertencia para
deinir con mucha claridad los límites de la formación de educadores y de las
competencias de tal manera que incorporen como objetivo su desempeño como
un verdadero profesional, fuerte capacidad de investigación, pensamiento crítico
y autónomo. Se convoca una perspectiva histórica, una preparación para asumir
transformaciones de la práctica docente en un contexto que ha hecho del cambio
su quintaesencia.
Por otra parte, se ha criticado la utilización de las competencias como un recurso para gobernantes que desean “proletarizar” la labor educativa y construir un
sistema inapropiado e indigno de exigencias y controles del trabajo del maestro:
si el educador no posee las competencias se puede reducir su salario o despedirlos. Esta línea de argumentación basada en la “intencionalidad” de gobierno
no nos parece muy fuerte para desacreditar el valor de las competencias como
instrumento educativo y profesional. Gobernantes inescrupulosos pueden buscar
debilitar las condiciones socioeconómicas de los educadores con o sin las competencias como medio.
La crítica más fuerte en nuestra opinión es la que airma que el concepto de competencia profesional posee muchas acepciones o interpretaciones, y eso impide
un uso apropiado que permita incluso la comparación de experiencias. Es cierto
que existen muchas interpretaciones. Y eso es un verdadero problema. De lo que
se trataría es de trabajar en una conceptualización apropiada que uniformice las
interpretaciones. El tema no está agotado. ¿Cómo se debe operacionalizar la importancia que una institución o un país desee dar a cierto tipo de competencias?
¿Cómo se relaciona competencias y valores? ¿Cuál es el lugar de las competencias cognoscitivas?
No nos parecería apropiado airmar a las competencias profesionales como una
panacea para la ediicación curricular. Pero pensamos que deinidos los términos
adecuadamente, con suiciente precisión, es un marco útil para lograr distanciarnos de los modelos curriculares basados en la lógica cognoscitiva y en las academias solamente, e intentar plasmar una buena convergencia entre la formación
inicial y la continua, con base en la labor profesional. La inercia en las instituciones formadoras de maestros es todavía muy fuerte. En muchas universidades
lograr que se comprenda que el currículo debe responder a la práctica profesional
directamente representa una fuerte batalla, donde muchas veces reina la incomprensión, la ignorancia, o la defensa a ultranza de posiciones o feudos cognoscitivos y profesionales.
Diseñar un currículo por medio de competencias profesionales no es, en todo
caso, garantía de éxito. Se requieren otros ingredientes en la sopa. Se puede tener
en el papel un currículo perfecto en cuanto a periles profesionales y con base en
competencias, pero si la realidad de aula, la vida real, no da cuerpo a esa estrategia el resultado solo puede ser negativo. Nada cambiaría. Se requiere formación,
actitudes, voluntades, experiencias, vínculos sociales y académicos, valores. Y no
solo eso: los entornos sociales institucionales, nacionales o internacionales son
factores que afectan la práctica profesional, y a veces son decisivos.
Si entendemos las competencias dentro de esas fronteras y con esos objetivos
precisos, se dan menos posibilidades para que éstas sean solamente una moda
pasajera en la educación internacional.
Este número de nuestros Cuadernos posee como uno de sus temas centrales las
competencias. Se analizan sus perspectivas generales para toda la educación superior, se incide en las competencias propiamente matemáticas, su papel en la
formación de educadores de las matemáticas, y en particular se abordan las competencias tecnológicas en su relación con las matemáticas dentro de currículos de
formación en la Educación Matemática.
Cuadernos 6 incluye otros temas también relevantes: una propuesta sobre formación docente con la resolución de problemas, formación docente y contextos multilingües y multiculturales, el importante tema del conocimiento en la formación
inicial de los profesores de matemáticas, el estado del arte en los manipulativos
virtuales, la integración de métodos numéricos, tecnologías y ecuaciones diferenciales en un curso de formación de formadores en la Educación Matemática.
En esta ocasión, se incorpora una reseña de la elección de un nuevo comité ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction, un anuncio
sobre la XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, el capítulo
inal del libro La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica. Una
reseña histórica, publicado en 1993 y que contiene elementos de interés para la
Educación Matemática de nuestros días. Y, inalmente, publicamos el obituario
de una apreciada colega, investigadora y amiga que falleció inesperadamente en
el 2008.
Angel Ruiz
Director
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática
3 de julio del 2009.
Artículos de investigación
LA IMPoRTAnCIA DE LAS CoMPETEnCIAS En LA
EDuCACIón SuPERIoR
Edison De Faria Campos
Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas,
Escuela de Matemática
Universidad de Costa Rica
edefaria@cariari.ucr.ac.cr
Resumen
En este artículo analizamos la importancia de las competencias en el
sistema de educación superior, y describimos cuatro proyectos importantes en este ámbito: DeSeCo, Tunning Europa, Tunning América Latina y el 6x4 UEALC.
Palabras Clave
Competencias clave, curriculum, competencias matemáticas.
Abstract
In this article we analyze the importance of the competencies in the
higher education system, and describe four important projects in this
area: DeSeCo, Tunning Europe, Tuning Latin America and the 6x4
UEALC.
Key Words
Key Competencies, Curriculum, Mathematical Competencies.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 13-37.
Costa Rica
14
Edison De Faria Campos
1. Introducción
Estamos viviendo cambio de tiempo y tiempo de cambio en dónde lo único que
parece no cambiar es el propio cambio. La globalización está impulsando a la
sociedad, y en particular a las universidades hacia una transformación en sus
prácticas de enseñanza, líneas de investigación, procesos de evaluación y oferta
educativa. Parte del fenómeno de la globalización es el desarrollo cientíico y
tecnológico que demanda una educación superior de calidad, actualizada y que
responda a los nuevos retos y necesidades sociales y económicas. Como airma
Pérez (2007, p. 9) la sociedad de la información y del conocimiento dirige a la
educación demandas distintas de las tradicionales, claramente relacionadas con
el desarrollo en todos los ciudadanos de la capacidad de aprender a lo largo de
toda la vida, sujetos autónomos, capaces de tomar decisiones informadas sobre
su propia vida y de participar de manera relativamente autónoma en la vida profesional y social.
Todo esto conlleva al desarrollo de planes de estudios profesionales lexibles,
abiertos a cambios permanentes, de carácter inter, multi y transdisciplinarios, que
enfatice ciertos principios como la ética profesional, el trabajo colaborativo, la
capacidad de aprender y actualizarse, la capacidad de aplicar los conocimientos
en la práctica y la capacidad para identiicar, plantear y resolver problemas, entre
otros.
En este sentido, las universidades como responsables por una gran parte de la
producción cientíica por la formación de recursos humanos competentes, tienen
que asumir el papel de actor clave en este proceso de transformación. Según
Malo (2008, p. 14), las universidades deben ser capaces de combinar lexibilidad
con especialización: es decir; programas de estudios tradicionales y generales
con los de educación continua y de posgrado, líneas de investigación sólidas en
campos de frontera con mecanismos de acercamiento y vinculación con empresas
e industrias. Esto conlleva cambios profundos en la pedagogía, nuevos enfoques
y formas respecto del aprendizaje y la enseñanza, y diferentes papeles para el
profesor y el estudiante.
Hoy, nuestras universidades se centran en conocimientos disciplinarios, están
organizadas en escuelas y facultades independientes, y enfatizan los procesos
de enseñanza sobre el aprendizaje, una estructura que diiculta la movilidad de
estudiantes de una universidad a otra y cambios de carrera. Por otro lado, existe
una apreciación por personas fuera del ámbito universitario, de que existe poca
relevancia social de la investigación realizada en las universidades y poca vinculación de éstas con los sectores públicos y privados. Concuerdo con Malo (2008)
en que si las universidades latinoamericanas han de preparar a los jóvenes para
La importancia de las competencias en la educación superior
15
enfrentar adecuadamente el mundo que les rodea, contribuir al cambio social,
político y estructural que las naciones de la región requieren, y tener la fuerza
para impulsar la inventiva, creatividad y productividad de la sociedad, necesita
dar respuesta cabal a todos estos desafíos.
Una de las posibles respuestas a los retos mencionados consiste en desarrollar
planes de estudio fundamentados en competencias profesionales.
Según Verdejo (2008, p. 155), la introducción del enfoque de competencias profesionales en el ámbito educativo responde a una creciente demanda de la sociedad
de conocer las capacidades que se desarrollan a través de los diferentes procesos
de formación, y por el interés de mejorar la preparación para lograr una mayor
pertinencia para incorporarse al ambiente laboral. Esta demanda se basa en los
diferentes estudios e investigaciones que se han realizado, tanto en el ámbito académico como en el laboral, sobre las competencias que necesitan los egresados
de las universidades para incorporarse al trabajo.
Para Pérez (2007, p. 5) el término competencias tiene una larga tradición y se
encuentra contaminado por una carga pesada de interpretaciones conductistas
que poco han contribuido a hacer comprender la complejidad de los procesos
de enseñanza y aprendizaje de los seres humanos. La interpretación conductista
considera que las competencias y habilidades tienen un carácter estrictamente
individual y pueden contemplarse como libres de valores e independientes del
signiicado de sus aplicaciones concretas. En un contexto más amplio, integrado
y holístico, el documento DeSeCo (Deinición y Selección de Competencias fundamentales) elaborado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo
Económico, OCDE, presenta el concepto de competencias dentro de una interpretación comprensiva claramente distinta en dónde se identiican tres ejes de competencias fundamentales, con los que difícilmente se puede estar en desacuerdo. La propuesta de la OCDE recoge aportaciones de estudios socioculturales y
constructivistas sobre el desarrollo y los aprendizajes humanos y busca acercar
el aprendizaje escolar a los problemas y exigencias de la vida contemporánea al
fundamentarse en las competencias que permitan a los individuos conocerse y
gobernarse a sí mismos, a relacionarse con los demás en diversos contextos y a
elaborar sus propios proyectos de vida personal, social y profesional.
En el documento DeSeCo (OCDE, 2005), se deine la competencia como “la
capacidad de responder a demandas complejas y llevar a cabo tareas diversas
de forma adecuada. Supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes
sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una
acción eicaz.
16
Edison De Faria Campos
Se consideran competencias fundamentales, las competencias imprescindibles
que necesitan todos los seres humanos para hacer frente a las exigencias de los
distintos contextos de su vida como ciudadanos. Las competencias clave o fundamentales son aquellas que son importantes para muchas áreas de la vida, que
contribuyen a una vida satisfactoria y al buen funcionamiento de la comunidad
social. Por lo tanto el concepto de competencias involucra dimensiones cognitivas y no cognitivas: conocimientos, habilidades cognitivas, habilidades prácticas,
actitudes, valores y emociones.
Fundamentado en el documento DeSeCo y en sus desarrollos críticos posteriores,
Pérez (2007, pp. 13-16) destaca las siguientes características principales del concepto de “competencias clave”, en cuanto a su carácter:
Holístico e integrado. Los conocimientos, capacidades, actitudes valores y emociones no pueden entenderse de manera separada.
Contextual. Las competencias se concentran y se desarrollan vinculadas a los
diferentes contextos de acción.
Ética. Las componentes se nutren de las actitudes, valores y compromisos que los
sujetos van adoptando a lo largo de la vida.
Creativo de la transferencia. La transferencia debe entenderse como un proceso
de adaptación creativa en cada contexto.
Relexivo. Las componentes clave suponen un proceso permanente de relexión.
Evolutivo. Se desarrollan, perfeccionan, amplían, o se deterioran y restringen a
lo largo de la vida.
En el concepto de competencia se entrelaza e integra lo afectivo, lo psicomotor
y lo cognitivo en una nueva síntesis en el momento de llevar a cabo la acción, la
evaluación y la relexión sobre la acción (Verdejo, 2008, p. 158). Comúnmente,
bajo el enfoque de competencias, el peril de egreso se entiende como un conjunto articulado de competencias profesionales que se supone permitirán un desempeño exitoso (pertinente, eicaz y eiciente) del egresado en la atención y resolución de los problemas más comunes en el campo de su profesión. Desde esta
perspectiva, la competencia se demuestra en la acción o ejecución. Para poder
evaluar el grado de dominio de la competencia es necesario contar con variables
observables y criterios de valoración (Verdejo, 2008 p. 159).
La incorporación de competencias en el currículo demanda la descripción de los
conocimientos, habilidades y actitudes necesarias para llevar a cabo las acciones
que demuestren las competencias, así como el diseño de los procesos de aprendizaje necesarios para la adquisición de tales competencias. Durante el proceso de
La importancia de las competencias en la educación superior
17
enseñanza y de aprendizaje, el énfasis que tienen los conocimientos, habilidades
y actitudes varía de acuerdo al proceso de desarrollo de la competencia, es decir,
existen niveles de competencias.
Es importante destacar que bajo el enfoque de competencias, el proceso de enseñanza y de aprendizaje se centra en el alumno, en cómo enseñarlo a aprender a lo
largo de la vida, mientras que las evaluaciones se basan en modelos centrados en
las evidencias que se pueden observar y valorar y que evidencian el dominio de la
competencia. Para esto se hace necesaria la descripción de los elementos operacionales de la competencia en términos de evidencias clave, recogidas a partir de
la ejecución de tareas y ejercicios pertinentes, y sus criterios de valoración.
Según Verdejo (2008), para elaborar una prueba de competencias, es necesario
contar con el peril de referencia deinido por competencias en términos de excelencia y no de criterios mínimos, identiicar cuáles son las competencias que se
van a evaluar en el examen, elaborar la Tabla de especiicaciones que asegure que
todas las competencias están presentes en el examen y asegurar que cada competencia se evalúe en su contexto y no aisladamente. Los criterios de aprobación se
determinan no por el porcentaje de aciertos sino a través de una metodología en
la que un grupo de expertos determinan el puntaje en la escala de competencia
que deberá ser alcanzado por el sustentante. La evaluación de las competencias
no debe considerarse de forma aislada sino de forma sistémica para asegurar la
congruencia con los planes de estudio y las formas de enseñanza-aprendizaje.
Referente a la evaluación, podemos mencionar que el concepto clave de evaluación en el Programa para la Evaluación Internacional para Estudiantes (PISA,
por sus siglas en Inglés) es el de competencia, que se deine como “la capacidad
de los alumnos para aplicar conocimientos y habilidades, y para analizar, razonar
y comunicarse con eicacia cuando plantean, resuelven e interpretan problemas
relacionados con distintas situaciones”.
Las competencias clave del proyecto DeSeCo se dividen en tres categorías: usar
herramientas interactivamente, interactuar en grupos heterogéneos y actuar de
forma autónoma (OCDE, 2005, pp. 9-15):
1. Usar herramientas interactivamente
a. Capacidad para usar el lenguaje, los símbolos y el texto interactivamente
b. Capacidad para usar conocimiento e información interactivamente
c. Capacidad para usar tecnología interactivamente
2. Interactuar en grupos heterogéneos
a. Capacidad para relacionarse bien con los otros
b. Capacidad para cooperar
18
Edison De Faria Campos
c. Capacidad para gestionar y resolver conlictos
3. Actuar de forma autónoma
a. Capacidad para actuar dentro de un amplio panorama/compleja situación
b. Capacidad para elaborar, conducir y gestionar los propios planes de vida y proyectos personales
c. Capacidad para manifestar y defender derechos, intereses, límites y necesidades.
En el documento mencionado se analiza cada una de las competencias anteriores.
A seguir menciono algunos esfuerzos importantes para introducir las competencias en el currículum universitario, los proyectos Tuning-Europa, Tuning-América Latina y 6x4 UEALC.
2. El proyecto tuning
En 1999, los Ministros de Educación Europeos iniciaron, en Bolonia, un proceso
de reforma y decidieron llevar a cabo algunas acciones tendientes a desarrollar,
antes del 2010, un Espacio Europeo de Educación Superior que sea competitivo y
atractivo para estudiantes y docentes. En este proceso, ministros de 29 países europeos irmaron la declaración de Bolonia que busca fomentar un aprendizaje de
calidad, la movilidad de estudiantes, profesores e investigadores por las universidades europeas, así como la adopción de un sistema que permita la construcción
de un espacio común de educación superior y de armonización de los sistemas
de títulos universitarios y de grados académicos en toda Europa. Las metas planteadas fueron revisadas y ampliadas en reuniones posteriores realizadas en Praga
(2001), Berlín (2003), Bergen (2005) y Londres (2007).
En este marco se creó el proyecto Tuning que pretende la potenciación del Espacio Europeo de Educación Superior, tratando de uniformar los programas de
formación docente europeos en algunas disciplinas, entre ellas las Matemáticas,
por medio de las competencias profesionales, y el proyecto inspiró la creación de
dos proyectos latinoamericanos que enfatizan las competencias en la educación
superior: el Tuning América Latina y el 6x4 UEALC.
Como respuesta al reto planteado por la Declaración de Bolonia, el proyecto Tuning inició sus actividades en el año 2001 con la participación de 77 universidades europeas. Este número aumentó a 135 universidades en el 2004 (González;
Wagenaar y Beneitone, 2004, p. 151) y actualmente involucra a más de 175 universidades europeas.
A inales del año 2000 el proyecto “Sócrates-Erasmus Tuning Educational Struc-
La importancia de las competencias en la educación superior
19
tures in Europe” fue presentado a la Comisión Europea como un proyecto piloto
para dos 2 años, bajo la coordinación de la Universidad de Deusto en Bilbao,
España, y la Universidad de Groningen, de los Países Bajos. El proyecto, entre
otras metas, aspiraba lograr que los programas de estudio fueran comparables y
compatibles, facilitar la transparencia y el reconocimiento académico a nivel europeo y promover la conianza entre las instituciones, brindando una metodología
que garantice y mejore la calidad de los programas de estudio. El lema de Tuning
es “Sintonía en las estructuras y programas educativos respetando su diversidad
y autonomía”.
Según González y Wagenaar (2006, p. 27) Tuning propone y promueve programas con orientación en “salidas” que se basen en resultados de aprendizaje expresados en términos de competencias genéricas y especíicas de cada área y
créditos ECTS (European Credit Transfer and Accumulation System) basados en
el volumen de trabajo del estudiante.
En la primera fase del proyecto (2001-2002) se formularon deiniciones de los
términos “peril”, “resultados de aprendizaje” y “competencias” (González y
Wagenaar, 2003, p. 23) y se seleccionaron siete disciplinas: administración de
empresas, química, ciencias de la educación, historia, geología, matemáticas y
física. En la segunda fase (2003-2004) fueron agregadas enfermería y estudios
europeos (cada fase tenía una duración de dos años).
En el proyecto mencionado, la deinición propuesta para peril académico y profesional se relaciona con las necesidades y demandas sociales de la comunidad
académica nacional e internacional y se encuentra íntimamente ligada con la
identiicación y el desarrollo de competencias y habilidades necesarias para su
logro, en todo el plan de estudios. En este sentido, los resultados de aprendizaje
son formulaciones de lo que el estudiante debe conocer, comprender o ser capaz
de demostrar tras la inalización del proceso de aprendizaje y pueden estar referidos a una sola unidad o módulo del curso o a un periodo de estudio, además se
especiican los requisitos mínimos para la concesión de un crédito. Así, las competencias representan una combinación dinámica de conocimientos, comprensión, habilidades y capacidades y pueden ser genéricas o especíicas.
El proyecto reconoce la importancia de las competencias especíicas de cada área
y que éstas deben ser la base para los programas conducentes a la obtención de
un título universitario, pero también enfatiza el desarrollo de competencias genéricas, elementos cada vez más importantes en la preparación de los estudiantes de
cara a su futuro papel en la sociedad como profesionales y ciudadanos. Además
distingue tres tipos de competencias genéricas:
•
Instrumentales: las que tienen una función instrumental, incluyendo capacidades cognitivas, metodológicas, tecnológicas y lingüísticas.
20
Edison De Faria Campos
•
Interpersonales: capacidades individuales tales como habilidades sociales
(interacción y cooperación sociales).
• Sistémicas: capacidades y habilidades relacionadas con sistemas globales
(combinación de comprensión, sensibilidad y conocimientos).
Como mencionamos anteriormente, en la primera fase se desarrolló una metodología para el diseño de programas de titulación basados en periles identiicados, que se traducían en resultados de aprendizaje expresados en competencias y
vinculados con créditos ECTS (González y Wagenaar, 2006, p. 11). El peril de
titulación se basó en un proceso de consulta a gran escala a profesores, estudiantes, graduados, empleadores y organizaciones profesionales, para identiicar las
competencias genéricas más importantes para cada uno de los campos académicos implicados. Correspondería a las universidades involucradas el diseño inal
de cada programa, pues se consideró que “los órganos y el personal universitario,
en último termino, son los que están mejor equipados para identiicar los recursos
necesarios para ofrecer un programa académico, y ello tanto en lo referente al
personal docente, los apoyos logístico y técnico, etc., como a las unidades educativos y el diseño del programa” (González y Wagenaar, 2006, p. 12).
El conjunto de competencias genéricas académicas comunes a todas las áreas
implicadas en el proyecto, identiicadas como las más importantes fueron: capacidad de análisis y de síntesis, capacidad de aprender y resolución de problemas.
Mientras tanto, los graduados y los empleadores coincidieron en identiicar como
importantes, para el campo laboral, las competencias: capacidad de aplicar los
conocimientos adquiridos, capacidad de adaptarse a nuevas situaciones, preocupación por la calidad, habilidad para gestionar la información, capacidad para
trabajar de forma autónoma, para trabajar en equipo, para organización y planiicación, para la comunicación oral y escrita y habilidades interpersonales. Los
resultados de la consulta pueden ser consultados en la publicación del proyecto
Tuning I y en la página web de Tuning. En el anexo 1 aparece la lista con las
30 competencias genéricas resultantes del proceso de consulta. También fueron
identiicadas competencias especíicas de cada una de las nueve áreas de conocimiento pertenecientes a la segunda fase del proyecto.
Lo esencial de la propuesta Tuning es la promoción de programas con orientación
en salidas basadas en resultados de aprendizaje expresados en términos de competencias genéricas y especíicas de cada área, es decir, a partir de los periles de
titulación identiicados se vinculan los créditos ECTS a resultados de aprendizaje
que son expresados en términos de las competencias adquiridas por el estudiante.
Esta conexión es bastante evidente en las deiniciones dadas por Tuning:
Los resultados de aprendizaje son formulaciones de lo que el estudiante debe conocer, comprender o ser capaz de demostrar tras la inalización de una experiencia
de aprendizaje. Los resultados del aprendizaje pueden estar referidos a una sola
unidad o módulo de curso o a un período de estudios, por ejemplo un programa
La importancia de las competencias en la educación superior
21
de primer o segundo ciclo. Por último, los resultados de aprendizaje especiican
los requisitos mínimos para la concesión de un número determinado de créditos y
deben su formulación al cuerpo docente.
Las competencias representan una combinación dinámica de conocimientos, habilidades, capacidades y valores. La promoción de estas competencias es el objeto
del programa educativo. Las competencias cobran forma en varias unidades de
curso y son evaluadas en diferentes etapas. Quien las obtiene es el estudiante.
Los resultados del aprendizaje se expresan en términos de competencias. Estas
últimas pueden desarrollarse en mayor grado que el requerido en el caso de unos
determinados resultados de aprendizaje marcados por una unidad educativa. (González y Wagenaar, 2006, p. 14)
Se argumenta que la utilización de los resultados del aprendizaje permite una lexibilización muy superior a la habitual en el caso de los programas de estudio de diseño
más tradicional debido a que muestra que distintos caminos pueden llevar a resultados
comparables. Por otro lado, su utilización respeta íntegramente la autonomía de otras
instituciones y culturas educativas. Lo que importa son los resultados de aprendizaje
y no las distintas y variadas rutas que conducen a ellos.
Todo esto conlleva a un modelo curricular centrado en el estudiante que se orienta a
las salidas, en contraposición al modelo centrado en el docente que se orienta a las
entradas, pues en aquél se requiere que los conocimientos y habilidades más importantes que el estudiante debe de adquirir durante el proceso de aprendizaje sean los
que determinen los contenidos del programa de estudios. Además, los resultados del
aprendizaje y las competencias están centrados en los requerimientos de la disciplina
y las necesidades sociales en términos de preparación para el trabajo y la ciudadanía.
Se sugiere que en los programas de estudio basados en ciclos, cada ciclo debería
contar con su propio grupo de resultados de aprendizaje, formulados en términos de
competencias y orientados a un peril de salida para el ciclo. Hilando más ino, cada
curso tendría que contar con sus resultados de aprendizaje que a la vez son parte de
los resultados de aprendizaje del ciclo y que son parte de los resultados de aprendizaje
globales del programa. Como consecuencia, cada curso tendrá sus propias competencias con niveles pertinentes de acuerdo al curso y al ciclo considerados. Tuning
recomienda no incluir más de ocho competencias en los resultados del aprendizaje
para cada unidad o módulo individual de cada curso, y que sean competencias que
puedan ser realmente evaluadas.
Para lograr un currículo eiciente, todas las unidades deberían de estar relacionadas
entre sí tanto en los cursos de un mismo nivel como en cursos de distintos niveles y
ciclos, un todo armonizado, coherente, lexible e interdependiente que asegure calidad y pertinencia.
22
Edison De Faria Campos
Para poder comparar las distintas áreas disciplinares del proyecto, Tuning elaboró una
plantilla para que los distintos grupos de discusión pudieran sintetizar la información
relacionada con los aspectos solicitados por el proyecto. La plantilla busca información sobre los siguientes aspectos (González y Wagenaar, 2006, p. 43):
• Una introducción al área de conocimiento
• Periles de titulación y profesiones
• Resultados del aprendizaje y competencias: descriptores de niveles de ciclo
• Volumen de trabajo del estudiante y ECTS
Cada grupo de discusión, después de intensos debates, buscó llegar a un consenso
acerca de lo que los estudiantes deberían saber, comprender y ser capaces de hacer
en términos de resultados de aprendizaje que debían obtenerse y competencias que
debían adquirirse.
Otro elemento de análisis importante consiste en la referencia a créditos ECTS
fundamentados en el volumen de trabajo del estudiante. Es indispensable que el
volumen de trabajo y la calidad del programa tengan correspondencia con el tiempo que dispongan los estudiantes para alcanzar los resultados del aprendizaje.
Finalmente, se incluye en la plantilla elementos acerca de enfoques de aprendizaje, enseñanza y evaluación y la mejora de la calidad. Se pide por ejemplo, tres
ejemplos de buena práctica en aprendizaje, enseñanza y evaluación, de cara a la
adquisición de competencias relevantes para el área disciplinar.
Matemática en tuning
A modo de ejemplo, comento brevemente los resultados de la aplicación de la
metodología Tuning para el área de matemática.
La conclusión relacionada con competencias genéricas es que se espera que los
estudiantes desarrollen competencias genéricas tales como: la elaboración y sostenimiento de argumentos, resolución de problemas, habilidades comunicativas,
capacidad de análisis y síntesis.
Se sugieren además las competencias especíicas: capacidad de idear una demostración; capacidad de construir un modelo matemático de una situación dada y la
capacidad para resolver problemas utilizando herramientas matemáticas.
En las tablas que siguen se describen las competencias especíicas para los dos
primeros ciclos (González y Wagenaar, 2006, pp. 129-130).
La importancia de las competencias en la educación superior
23
Tabla 1. Competencias especíicas para el Primer Ciclo
Primer ciclo
Competencias clave especíicas del área
Competencias
clave genéricas
Descriptor del ciclo:
Para inalizar con éxito
un título de primer ciclo
en Matemáticas, los
estudiantes deberán ser
capaces de:
• Mostrar un conocimiento y comprensión
de conceptos, principios, teorías y resultados
básicos de la matemática;
• Conocer y explicar el
signiicado de enunciados complejos empleando la notación y el
lenguaje matemáticos;
• Demostrar destreza
en el razonamiento,
manipulación y cálculos
matemáticos;
• construir demostraciones rigurosas;
• demostrar competencia
en diferentes métodos
de demostración matemáticos.
Nivel 1
Contenido.
Las Matemáticas que todo cientíico debería
conocer: álgebra básica y aritmética, álgebra
lineal, cálculo, ecuaciones diferenciales básicas, estadística y probabilidad básicas.
Resultados del aprendizaje
Para completar el nivel 1, los estudiantes
deberán ser capaces de:
(a) Comprender algunos teoremas matemáticos y sus demostraciones;
(b) Resolver problemas matemáticos que,
sin ser triviales, sean similares a otros ya
conocidos por el estudiante;
(c) Traducir a términos matemáticos problemas simples expresados en lenguaje no
matemático con el in de resolverlos.
Nivel 2
Contenido
Teoría básica de las “áreas principales” de
la matemática, incluyendo la mayoría de
las citadas a continuación y preferiblemente
todas ellas:
• ecuaciones diferenciales a nivel básico
• funciones complejas a nivel básico
• algo de probabilidad
• algo de estadística
• algo de métodos numéricos
• geometría de curvas y supericies a nivel
básico
• algunas estructuras algebraicas
• algo de matemáticas discretas
Resultados del aprendizaje:
Para completar el nivel 2, los estudiantes deberán
ser capaces de:
(d) suministrar pruebas de resultados
matemáticos que no sean idénticos a las
ya conocidas anteriormente, pero que
guarden relación con ellas;
(e) traducir a términos matemáticos problemas de diicultad moderada planteados
en lenguaje no matemático y apoyarse en
dicha traducción para resolverlos;
(f) resolver problemas en una diversidad
de campos matemáticos que requieran
algo de originalidad;
(g) construir modelos matemáticos para describir y explicar procesos no matemáticos.
• Conocimientos
profundos de “Matemáticas elementales
” (como las que
formarían parte de la
educación secundaria).
• Capacidad para
construir y desarrollar argumentos
matemáticos lógicos
identiicando claramente presupuestos y
conclusiones.
• Capacidad para
pensar cuantitativamente.
• Capacidad para
extraer información
cualitativa de datos
cuantitativos.
• Capacidad para
formular problemas
matemáticamente y
en forma simbólica,
con el in de facilitar
su análisis y su solución.
• Capacidad para
diseñar estudios basados en la observación
y la experiencia y
analizar los datos de
ellos resultantes.
• Capacidad para
emplear herramientas
informáticas como
apoyo a los procesos
matemáticos y para
obtener información
suplementaria.
• Conocimiento de
software o lenguajes
de programación
especíicos.
24
Edison De Faria Campos
Tabla 2. Competencias especíicas para el Segundo Ciclo
Segundo ciclo
Competencias clave especíicas del área
Descriptor de ciclo:
Para completar con éxito un título de segundo
ciclo, los estudiantes
deberán ser capaces de:
• leer y comprender un
tema de la bibliografía
matemática y demostrar
pericia en un informe
argumentado por escrito
o verbalmente;
• Iniciar una investigación en un campo
especializado.
• Familiaridad con la abstracción, incluyendo el desarrollo lógico de teorías formales y sus relaciones.
• Capacidad para modelar matemáticamente una
situación del mundo real y aplicar las destrezas
matemáticas a contextos no matemáticos
• Disposición a afrontar problemas nuevos de áreas
nuevas.
• Capacidad para comprender problemas y abstraer
sus elementos esenciales.
• Capacidad para formular problemas complejos de
optimización y toma de decisiones e interpretar las
soluciones en sus contextos originales.
• Capacidad para exponer argumentos matemáticos y sus conclusiones con claridad y precisión y
en concordancia con la audiencia respectiva tanto
oralmente como por escrito.
• Conocimiento de procesos de enseñanza y de
aprendizaje de las matemáticas.
En nuestro contexto costarricense, el primer ciclo equivale a bachillerato mientras
que el segundo ciclo equivale a la licenciatura o bien a una maestría académica.
En cuanto al aprendizaje, enseñanza y evaluación en matemática, se sugiere una
combinación de clases magistrales, sesiones de ejercicios individuales o en grupo,
tareas, uso de laboratorios informáticos y la realización de proyectos en pequeños
grupos para fomentar el trabajo colaborativo. El componente de investigación es
sugerido en el segundo ciclo, para la confección de la tesina o de la tesis.
Considero que hace falta considerar otras estrategias de enseñanza, aprendizaje y
evaluación como por ejemplo la creación de portafolios, incorporación de investigaciones desde el primer nivel y la incorporación de la historia de la matemática
como recurso metodológico.
No cabe duda que el enfoque basado en competencias tiene un fuerte impacto
en la gestión curricular, en la docencia y en los diferentes procesos de evaluación. Está contribuyendo a la transformación de los procesos de enseñanza y
de aprendizaje pues articula la teoría con la práctica, contextualiza la formación
profesional dentro de un marco social, político, económico y cultural y procura
dar una formación integral al futuro ciudadano o ciudadana. Por lo tanto merece
un estudio cuidadoso, relexivo y crítico, principalmente debido a que se trata de
una metodología que se está generalizando en el ámbito mundial.
La importancia de las competencias en la educación superior
25
3. tuning América Latina
Durante la IV Reunión de Seguimiento del Espacio Común de Enseñanza Superior de la Unión Europea, América Latina y el Caribe (UEALC) en Córdoba (España) en Octubre de 2002, los representantes de América Latina que participaron
en el encuentro, tras escuchar la presentación de los resultados de la primera fase
del Tuning, expusieron la inquietud de proponer un proyecto similar con América
Latina. Desde ese momento se empezó a preparar la iniciativa, que fue presentada
por un grupo de universidades europeas y latinoamericanas a la Comisión Europea a inales de octubre de 2003 (Beneitone y cols., 2007, p. 14).
Las 8 universidades latinoamericanas que presentaron la propuesta fueron: Universidad Nacional de La Plata (Argentina), Universidad Estadual de Campinas
(Brasil), Universidad de Chile (Chile), Pontiicia Universidad Javeriana (Colombia), Universidad de Costa Rica (Costa Rica), Universidad Rafael Landívar (Guatemala), Universidad de Guanajuato (México) y Universidad Católica Andrés
Bello (Venezuela). Las 7 universidades europeas fueron: Technische Universität
Braunschweig (Alemania), Universidad de Deusto (España), Universidad París
IX-Dauphine (Francia), Universidad de Pisa (Italia), Universidad de Groningen
(Países Bajos), Universidad de Coimbra (Portugal) y Universidad de Bristol (Reino Unido).
La propuesta fue aceptada por la Comisión Europea, y durante los meses de Julio
y Agosto de 2004 los coordinadores generales visitaron a 18 países latinoamericanos para presentar la propuesta a las instancias pertinentes – Ministerios de
Educación, Conferencias de Rectores entre otras – y para posteriormente proceder a los cambios y ajustes necesarios. De esta forma el proyecto Tuning América
Latina se inició formalmente en Octubre de 2004, con la participación de 62 universidades latinoamericanas y con 4 grupos de trabajo: administración de empresas, educación, historia y matemáticas. En un segundo momento se incorporaron
120 nuevas universidades latinoamericanas y 8 grupos de trabajo: arquitectura,
derecho, enfermería, física, geología, ingeniería civil, medicina y química. Las
182 universidades provienen de 18 países latinoamericanos. Posteriormente se
incorporó República Dominicana con 8 universidades. Las universidades participantes fueron escogidas por los Ministerios de Educación, Consejos de Educación superior y la Conferencia de Rectores de cada país, basados en criterios de
excelencia nacional en el área que representan, capacidad de diálogo con otras
instituciones que trabajan en la misma disciplina, tamaño de la institución, trayectoria y autoridad académica.
En Costa Rica participan las siguientes universidades: Universidad de Costa Rica
(arquitectura, educación, enfermería), Universidad Nacional (historia y química)
26
Edison De Faria Campos
y el Instituto Tecnológico de Costa Rica (ingeniería civil). En la página Web
(http://Tuning.unideusto.org/Tuningal) están publicados los documentos de trabajo, la lista de las universidades participantes de cada país y los resultados alcanzados.
El objetivo del proyecto es el de la búsqueda de un debate para identiicar e
intercambiar información y mejorar la colaboración entre las instituciones de
educación superior, para el desarrollo de la calidad, efectividad y transparencia,
respetando las particularidades de las diferentes instituciones.
Según Beneitone y cols (2007, p. 15), uno de los propósitos centrales del proyecto es contribuir al desarrollo de titulaciones fácilmente comparables y comprensibles “desde adentro”, en base a los objetivos que la titulación se marque, desde
los periles buscados para los egresados, ofreciendo elementos que posibiliten
ampliar la articulación entre los sistemas de educación superior de los países de
América Latina. Mediante la búsqueda de perspectivas que pudiesen facilitar la
movilidad de los poseedores de títulos universitarios y profesionales en América
Latina y quizás también en Europa, el proyecto tiene como meta impulsar consensos a escala regional sobre la forma de entender los títulos, desde el punto de
vista de las competencias que los poseedores de dichos títulos serían capaces de
alcanzar. De esta forma, el inicio del proyecto está dado por la búsqueda de puntos comunes de referencia, centrados en las competencias.
Utilizando la misma metodología del Tuning Europeo, el Tuning América Latina
tiene cuatro grandes líneas de trabajo: competencias (genéricas y especíicas);
enfoques de enseñanza, aprendizaje y evaluación de estas competencias; créditos
académicos y calidad de los programas.
Para encontrar una deinición apropiada de cuáles son las competencias genéricas
para América Latina, el proyecto Tuning América Latina solicitó a cada Centro
Nacional Tuning (CNT) una lista de las competencias genéricas consideradas relevantes a nivel nacional. Tomando como punto de partida la lista de las 30 competencias genéricas identiicadas en Tuning Europa, cada CNT procedió a elaborar su propia lista mediante consultas a expertos a nivel nacional y utilizando los
mecanismos que consideraron pertinentes. Fueron consultados académicos de las
universidades (4558), estudiantes graduados (7220), estudiantes no graduados
(9162) y empleadores (1669). Las listas fueron enviadas al núcleo técnico del
proyecto que se encargó de seleccionar 85 competencias genéricas. En la primera
reunión general del proyecto realizado en Buenos Aires en Marzo de 2005 fueron
discutidas las competencias propuestas y al inal la lista fue reducida a 27 competencias genéricas para América Latina (Beneitone y cols., 2007, p. 44):
1. Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
2. Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.
La importancia de las competencias en la educación superior
27
3. Capacidad para organizar y planiicar el tiempo.
4. Conocimientos sobre el área de estudio y la profesión.
5. Responsabilidad social y compromiso ciudadano.
6. Capacidad de comunicación oral y escrita.
7. Capacidad de comunicación en un segundo idioma.
8. Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación.
9. Capacidad de investigación.
10. Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente.
11. Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes
diversas.
12. Capacidad crítica y autocrítica.
13. Capacidad para actuar en nuevas situaciones.
14. Capacidad creativa.
15. Capacidad para identiicar, plantear y resolver problemas.
16. Capacidad para tomar decisiones.
17. Capacidad para trabajo en equipo.
18. Habilidades interpersonales.
19. Capacidad de motivar y conducir hacia metas comunes.
20. Compromiso con la preservación del medio ambiente.
21. Compromiso con su medio socio-cultural.
22. Valoración y respecto por la diversidad y multiculturalidad.
23. Habilidad para trabajar en contextos internacionales.
24. Habilidad para trabajar en forma autónoma.
25. Capacidad para formular y gestionar proyectos.
26. Compromiso ético.
27. Compromiso con la calidad.
De las 27 competencias, 22 concuerdan con las elaboradas por el Tuning europeo.
En la tabla abajo podemos ver cuáles son las seis competencias más importantes para cada grupo latinoamericano consultado (Beneitone y cols., 2007, pp.
52,55,58 y 60).
28
Edison De Faria Campos
Tabla 3. Competencias importantes en América Latina
Académicos
graduados
Estudiantes
Empleadores
Compromiso ético
Compromiso con la
calidad
Compromiso con la
calidad
Compromiso ético
Capacidad de aprender
y actualizarse
Compromiso ético
Capacidad para aprender y actualizarse
Compromiso con la
calidad
Capacidad de abstracción, análisis y síntesis
Capacidad para aprender y actualizarse
Compromiso ético
Capacidad para aprender y actualizarse
Capacidad de aplicar
los conocimientos en
la práctica
Capacidad para
identiicar, plantear y
resolver problemas
Capacidad de aplicar
los conocimientos en
la práctica
Capacidad de aplicar
los conocimientos en
la práctica
Capacidad para
identiicar, plantear y
resolver problemas
Capacidad para tomar
decisiones
Capacidad para tomar
decisiones
Capacidad para
identiicar, plantear y
resolver problemas
Compromiso con la
calidad
Capacidad para aplicar los conocimientos
en la práctica
Capacidad para
identiicar, plantear y
resolver problemas
Capacidad de trabajo
en equipo
En la tabla vemos una intersección muy alta en algunas competencias, principalmente el compromiso ético y con la calidad. Se esperaría que la capacidad de
comunicación en un segundo idioma estuviera entre las más importantes, pero
curiosamente está en la lista de las menos importantes para los cuatro grupos consultados, en particular fueron los empleadores los que otorgaron un menor valor
para ella. Otra competencia clasiicada entre las más importantes es la capacidad
para identiicar, plantear y resolver problemas, sin duda alguna es algo fundamental en cualquier profesión.
Para los más de 22000 cuestionarios recibidos, se evidenció una alta correlación
entre los cuatro grupos consultados acerca de las 27 competencias genéricas, y
todas éstas fueron caliicadas como importantes por los grupos consultados. Los
académicos y los graduados asignaron una caliicación cercana a la máxima para
la competencia “conocimientos sobre el área de estudio y la profesión” pues la
consideran como la mejor competencia desarrollada en las universidades.
El caso de las matemáticas
Para las competencias especíicas para las matemáticas, el proyecto ALFA Tuning
– América Latina reunió en Agosto de 2005 en Belo Horizonte, Brasil, a los representantes de las 15 universidades latinoamericanas del área de Matemáticas, y
posterior al análisis de las propuestas de las competencias especíicas presentadas
por cada universidad, elaboró una lista inal con 23 competencias especíicas del
área (Beneitone y cols., 2007, pp. 241, 242):
1. Dominio de los conceptos básicos de la matemática superior.
La importancia de las competencias en la educación superior
29
2. Capacidad para construir y desarrollar argumentaciones lógicas, con una identiicación clara de hipótesis y conclusiones.
3. Capacidad para expresarse correctamente, utilizando el lenguaje de la matemática.
4. Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas
y las relaciones entre ellas.
5. Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que
se faciliten su análisis y su solución.
6. Conocimiento de la evolución histórica de los conceptos fundamentales de la
matemática.
7. Capacidad para iniciar investigaciones matemáticas, bajo la orientación de expertos.
8. Capacidad para formular problemas de optimización, tomar decisiones e interpretar las soluciones en los contextos originales de los problemas.
9. Capacidad para contribuir en la construcción de modelos matemáticos, a partir
de situaciones reales.
10. Capacidad para utilizar las herramientas computacionales de cálculo numérico y simbólico para plantear y resolver problemas.
11. Destreza en razonamientos cuantitativos.
12. Capacidad para comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos.
13. Capacidad para extraer información cualitativa de datos cuantitativos.
14. Disposición para enfrentarse a nuevos problemas en distintas áreas.
15. Capacidad para trabajar con datos experimentales y contribuir a su análisis.
16. Capacidad para comunicarse con otros profesionales no matemáticos.
17. Capacidad para trabajar en equipos interdisciplinarios.
18. Capacidad para presentar los razonamientos matemáticos y sus conclusiones,
con claridad y precisión y de forma apropiada para la audiencia a la que van dirigidos, tanto oralmente como por escrito.
19. Conocimiento básico del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
20. Dominio de la matemática elemental, es decir, la que se debe incluir en la
enseñanza preuniversitaria.
21. Capacidad de participar en la elaboración de los programas de formación
matemática en los niveles preuniversitarios.
22. Capacidad para detectar inconsistencias.
23. Conocimiento del inglés para leer, escribir y exponer documentos en inglés,
así como comunicarse con otros especialistas.
Seleccionadas las competencias especíicas, los representantes de las 15 universidades participantes decidieron aplicar cuestionarios a académicos (415), estudiantes (679) y graduados (304).
30
Edison De Faria Campos
Los resultados de la encuesta fueron analizados y discutidos durante la tercera reunión general del proyecto Tuning – América Latina realizada en San José, Costa
Rica en Febrero de 2006.
La competencia caliicada como la más importante en los 3 grupos consultados
fue la número 1 “dominio de los conceptos básicos de la matemática superior”.
La siguiente tabla presenta las competencias mejores y las peores caliicadas en
cada grupo (dentro de cada grupo aparecen en orden decreciente de importancia)
(Beneitone y cols., 2007, p. 243):
Tabla 4. Caliicacición de competencias
grupo
Académicos
Graduados
Estudiantes
Competencias con medias
altas
1, 2, 3, 5, 12, 18, 4
1, 3, 12, 2, 4, 18, 7
1, 12, 2, 7, 3, 18, 4
Competencias con medias
bajas
8, 19, 11, 15, 21, 6
8, 11, 15, 19, 6, 21
15, 8, 11, 19, 21, 6
La correlación entre los tres grupos fue muy alta, indicando un alto nivel de concordancia de opiniones entre ellos. Además, las 23 competencias especíicas de la
lista fueron consideradas importantes en la formación de un matemático.
Muchas de las 23 competencias especíicas para matemática contenidas en la lista
Tuning América Latina fueron tomadas de la lista de 15 competencias para matemática de Tuning Europa (González, J. y Wagenaar, R., 2003 pp. 292, 293).
Curiosamente, una de las competencias con baja caliicación fue la número 21,
“capacidad de participar en la elaboración de los programas de formación matemática en los niveles preuniversitarios”, la que considero fundamental en un proyecto de transformación curricular como el propuesto por el proyecto Tuning.
A continuación describiremos el proyecto 6x4 UEALC.
4. El proyecto 6x4 uEALC
Este proyecto es parte del esfuerzo de los gobiernos de la Unión Europea, América Latina y el Caribe (UEALC) para la creación de un espacio común en educación superior.
El Proyecto 6x4 UEALC es esencialmente latinoamericano debido a que la mayoría de sus participantes son latinoamericanos, su organización, conducción, i-
La importancia de las competencias en la educación superior
31
nanciamiento y reuniones han estado a cargo de, y tenido lugar en instituciones
latinoamericanas y principalmente porque los participantes consideraron que el
objetivo central del proyecto es la búsqueda de herramientas para la convergencia
de los sistemas educativos de educación superior de América Latina, la construcción de un espacio común de educación superior latinoamericano. Para esto,
entre otros objetivos, se busca relacionar las competencias profesionales necesarias para el ejercicio profesional y la calidad en cada profesión, con el uso de los
créditos académicos como un referente común que permite la comparación y el
reconocimiento de los resultados del aprendizaje en distintos sistemas.
El origen del nombre del proyecto 6x4 UEALC se debe a que se orienta al trabajo
con 6 profesiones: Medicina, Ingeniería Electrónica, Eléctrica y aines, Administración, Matemáticas, Historia y Química y cada una de ellas en los 4 ejes de
análisis: créditos académicos, evaluación y acreditación, competencias profesionales, y formación para la innovación y la investigación.
Entre sus logros encontramos propuestas de herramientas para la movilidad interinstitucional, un modelo de descripción y evaluación de competencias (MECO),
referentes comunes para la evaluación y la acreditación, y estrategias de formación para la investigación y la innovación.
En el proyecto participaron universidades de 9 países latinoamericanos y 4 países
europeos, para conformar un conjunto de 61 instituciones de educación superior.
Los países con mayor número de participantes fueron México, Argentina, Colombia, Bolivia y Costa Rica. Se conformó un comité de seguimiento integrado por
los responsables del proyecto, los coordinadores de los ejes, los coordinadores de
las carreras, y los expertos europeos y canadiense que apoyaron la iniciativa.
Según Burbano (2008, P. 29), al concluir la primera fase del Proyecto, se debe
destacar como uno de los logros, un mayor acercamiento regional e interregional entre profesores, investigadores y administradores de universidades de trece
países, quienes junto a expertos de asociaciones de universidades, gobiernos y
agencias de investigación y acreditación, participaron en el análisis de competencias profesionales, créditos académicos, evaluación y acreditación, y formación
para la innovación y la investigación en las profesiones o carreras predeinidas.
Los avances en el eje de competencias han permitido un acercamiento común
entre los participantes alrededor del tema, expresado en un marco de trabajo que
facilita la comparación de los aprendizajes individuales y el reconocimiento de
los periles de egreso en las profesiones o carreras seleccionadas; además, se han
sentado bases para la construcción de un modelo para la educación y la evaluación de las competencias en América Latina.
Similar a la metodología utilizada en Tuning, el Sistema de Créditos Académicos
(SICA) es un medio que facilita la valoración y comparación de los resultados
32
Edison De Faria Campos
del aprendizaje en el contexto de distintos programas y entornos de estudio y está
basado en el volumen total de trabajo que requiere el estudiante medio para lograr
las competencias profesionales o los objetivos del aprendizaje en los distintos
niveles de la educación superior.
Para Restrepo (2008, p. 87), cuando los créditos están relacionados con competencias y resultados del aprendizaje, resultan más fáciles de comparar. Los
créditos cuantiicados en términos de resultados del aprendizaje adquieren una
dimensión más precisa y expresan más claramente su “valor”. Los resultados del
aprendizaje son formulaciones donde se detalla lo que el estudiante puede hacer
una vez adquiridos los créditos.
Según Pol y Ferreira (2008, p. 126), el crédito SICA permite comparar los programas de formación entre instituciones de un mismo país y entre los países de
América Latina pero también de Europa ya que ha sido pensado en términos de
compatibilidad con el sistema ECTS.
Para recopilar la información relacionada con competencias, el proyecto 6x4 UEALC consultó a académicos, empleadores, alumnos y graduados. En el proyecto
se consideran tres tipos de competencias:
• Especíicas: competencias propias de la profesión-carrera.
• Transversales: competencias compartidas con la familia de la profesión-carrera.
• Genéricas: competencias compartidas con todas las profesiones-carrera.
Para describir las competencias profesionales se toma como referente fundamental el peril de egreso actual de la profesión-carrera de la institución de enseñanza,
considerando que para deinirlo se llevó a cabo una consulta tanto en el campo
académico como en el profesional. Posteriormente se describe las funciones típicas de la profesión en el país considerado, se identiica los problemas y situaciones que típicamente enfrenta el profesional en el ejercicio de estas funciones y se
describen, en términos de competencias profesionales, las tareas necesarias para
resolver estos problemas en forma adecuada.
Es importante mencionar que el proyecto considera niveles de dominio de competencias. Cada competencia considerada tiene una escala que considera desde
un nivel inicial de competencia hasta un nivel de desarrollo avanzado, como dado
en la tabla abajo:
La importancia de las competencias en la educación superior
33
Tabla 5. niveles de dominio
Competencias
novato
Desarrollo
inicial
Experto
Desarrollo
avanzado
Competencia 1
Competencia 2
Competencia n
Para (Verdejo 2008, p. 166) en la descripción de las competencias es necesario
especiicar el grado de desarrollo deseado en los distintos niveles de formación
con la inalidad de precisar los resultados esperados para cada programa de estudios. Esta información es la base para el diseño de los procesos de evaluación de
forma que exista congruencia entre los instrumentos de evaluación y el nivel esperado de desarrollo de la competencia. También se considera importante revisar
si las áreas curriculares actuales, en las instituciones consideradas, cubren todas
las competencias descritas en el peril:
Tabla 6. Áreas de competencias
Competencias
Competencia 1
Área 1
x
Competencia 2
Competencia n
Área 2
….
Área N
x
x
x
x
Como mencionamos anteriormente, para analizar las profesiones-carreras, el
proyecto comparó los periles de egreso de los programas académicos de las
instituciones participantes, expresados en competencias profesionales, para
identiicar un peril común, cuantiicar el trabajo de los estudiantes utilizando un
sistema de créditos común, determinar elementos e indicadores para la evaluación y acreditación del programa, identiicar las competencias especíicas para
desarrollar investigación e innovación y las estrategias para potenciarlas en los
programas de los distintos niveles académicos (Pol y Ferreira 2008, p. 174).
Un fruto del trabajo mencionado anteriormente es el Modelo para la Educación
y Evaluación de Competencias (MECO), para la incorporación del enfoque de
competencias como herramienta para favorecer el reconocimiento de cualiicaciones y la movilidad académica.
Las competencias genéricas encontradas en la descripción del peril de egreso
de las seis carreras son: dominio de los conocimientos de la profesión-carrera,
metodología de la profesión-carrera, pensamiento crítico y habilidades de razona-
34
Edison De Faria Campos
miento, investigación, resolución de problemas e innovación, liderazgo y gestión,
comunicación, trabajo colaborativo, ética profesional y responsabilidad social.
Las sugerencias dadas por los distintos actores participantes de los grupos focales
y los cuestionarios permitieron ampliar la lista con las competencias: habilidades
de aprendizaje independiente y a lo largo de la vida, capacidad de autoevaluación,
pensamiento global, habilidades de integración, administración del cambio, habilidades técnicas, habilidades tecnológicas, trabajo interdisciplinario para la resolución de problemas, conocimiento de las condiciones del contexto económico,
político, ético y social para ubicar los límites de las soluciones propuestas.
Acerca de las competencias en matemáticas, fueron consideradas tres énfasis:
matemática pura, matemática aplicada y educación matemática (Trejos 2008, pp.
592-602).
Matemática pura
• investigación (competencia especíica – competencia transversal)
• enseñanza y docencia (competencia genérica)
Matemática aplicada
• modelación matemática (competencia especíica)
Matemática educativa
• enseñanza y docencia (competencia genérica)
• investigación en matemática educativa (competencia especíica)
• difusión de conocimiento en matemática educativa (competencia genérica)
Para cada competencia se describen situaciones relacionadas con la competencia,
acciones a tomar, contexto o condición de realización de cada situación y los
criterios de ejecución de la acción.
Considero que el formato utilizado por el proyecto 6x4 para describir las competencias, oculta competencias genéricas y especíicas que son explícitas en el
proyecto Tuning – América Latina.
5. Conclusiones
Las universidades no pueden mantenerse ajenas a las profundas transformaciones
políticas, sociales, económicas, cientíicas y tecnológicas que son requeridas por
nuestras sociedades. Estas sociedades son bastante complejas y demandan de los
individuos un amplio rango de competencias para que éstos puedan enfrentar con
éxito los desafíos del mundo de hoy, y una competencia es más que conocimien-
La importancia de las competencias en la educación superior
35
tos y destrezas pues involucra entre otras cosas, actitudes, valores, principios,
capacidad para comunicar ideas, habilidad para seleccionar información y disposición para vivir con otros.
Como se airma en (OCDE, 2005, p. 5), los objetivos de una educación basada en
competencias son el éxito para los individuos (empleo con ingresos aceptables,
salud personal, seguridad, participación política), para la sociedad (solidaridad,
formación de redes sociales, derechos humanos, equidad y sostenibilidad ecológica).
La consideración del desarrollo de competencias como actividad de formación
educativa es una importante actividad con implicaciones epistemológicas y didácticas que conducen a una transformación del proceso educativo y de su evaluación.
Proyectos como DeSeCo, Tunning y 6x4 UEALC son importantes iniciativas en
la búsqueda de la identiicación de un número inito de competencias necesarias
para una vida exitosa y para el buen funcionamiento de nuestras sociedades, válida en distintos contextos. La educación por competencias busca una educación
de calidad y pretende ser un instrumento para reducir las desigualdades de oportunidades existentes en grupos de población, principalmente a los que pertenecen
a culturas minoritarias o a grupos sociales vulnerables debido a su condición
socioeconómica.
Pero no se trata de importar teorías provenientes de otras latitudes. Es necesario
que asumamos una actitud relexiva y abierta para analizar las propuestas de los
distintos proyectos y tomar lo que sea lo mejor para nosotros y para nuestra región. Esta es una iniciativa que nace en Europa y que se extiende por toda América Latina.
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La importancia de las competencias en la educación superior
37
AnExo 1
Lista de competencias genéricas resultantes de la primera fase de tuning
Competencias instrumentales:
• Capacidad de análisis y síntesis.
• Capacidad para organización y planeamiento.
• Conocimiento general básico.
• Conocimientos básicos de la profesión.
• Comunicación oral y escrita en el idioma nativo.
• Conocimiento de una segunda lengua.
• Habilidades computacionales elementales.
• Habilidades para manejar la información (recuperar y analizar la información
de distintas fuentes).
• Resolución de problemas.
• Toma de decisión.
Competencias interpersonales:
• Habilidades críticas y autocríticas.
• Trabajo en equipo.
• Habilidades interpersonales.
• Habilidad para trabajar en un equipo interdisciplinario.
• Habilidad para comunicar con expertos de otros campos.
• Apreciación de la diversidad y multiculturalidad.
• Habilidad para trabajar en un contexto internacional.
• Compromiso ético.
Competencias sistémicas:
• Capacidad para aplicar el conocimiento a la práctica.
• Habilidades de investigación.
• Capacidad para aprender.
• Capacidad para adaptarse a nuevas situaciones.
• Capacidad para generar nuevas ideas (creatividad).
• Liderazgo.
• Comprensión de culturas y costumbres de otros pueblos.
• Habilidad para trabajar de forma autónoma.
• Diseño y gestión de proyectos.
• Iniciativa y espíritu emprendedor.
• Preocupación por la calidad.
• Voluntad de triunfar.
CoMPETEnCIAS MATEMÁTICAS En LA EnSEÑAnZA MEDIA
Hugo Barrantes Campos
Centro de Investigación de Matemáticas y Metamatemáticas
Universidad de Costa Rica
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia
habarrant@cariari.ucr.ac.cr
hbarrantes@uned.ac.cr
Jose Alfredo Araya Vega
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia
Centro de Investigación y Docencia en Educación, Universidad Nacional
aaraya@uned.ac.cr
Resumen
En este trabajo se realiza una discusión sobre el concepto de competencia y, en particular, de competencia matemática. Se describen algunas
competencias matemáticas que han sido propuestas para la enseñanza
media. También se analizan algunas implicaciones de un enfoque por
competencias. Finalmente, se analiza el programa de estudios de matemáticas del III ciclo de la Educación General Básica costarricense
(grados 7-9), en cuanto a las competencias que pretende desarrollar en
los estudiantes.
Palabras clave
Competencia, competencia matemática, currículum.
Abstract
In this work, a discussion is realized about the concept of competence and, particularly, of mathematical competence. Some mathematical
competences that have been proposed for Secondary School (grades
7-9) are described. Also, some implications of the competences approach are analyzed. Finally, the mathematics study program for the III
cycle of the Costa Rican General Basic Education is analyzed regarding the Students competences pretended to be developed.
Key words
Competence, Mathematical Competence, Curriculum.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 39-62.
Costa Rica
40
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
1. Introducción
Las diicultades que se presentan en el aprendizaje de las matemáticas por parte
de los estudiantes, particularmente de enseñanza media, tiene múltiples aristas y
deben, por lo tanto, ser abordadas desde diversos ángulos. Pero antes de entrar en
discusiones al respecto debemos preguntarnos ¿qué signiica que un estudiante o
cualquier otra persona tiene un mal rendimiento en matemáticas? Un estudiante que
pasa el examen de bachillerato ¿tiene buen rendimiento en esta disciplina? Evidentemente, los resultados de una prueba, particularmente de cierto tipo de pruebas, no
pueden decirnos mucho al respecto.
Anualmente, la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica realiza un
examen denominado “Prueba de Diagnóstico en Matemática para estudiantes de
primer ingreso”. Quienes presentan esta prueba son estudiantes que han ganado
recientemente las pruebas nacionales y el temario y formato de ambas son muy
parecidos. Sin embargo, el desempeño de estos estudiantes en el examen de diagnóstico son completamente desalentadores. Arce y Jiménez (2008) reportan que en
el año 2008 el 62,5% de los estudiantes obtuvo un rendimiento inferior al 50% en
dicha prueba.
Lo anterior es solo un indicador, pero cabe, además, preguntarse ¿cómo se desempeñan estos estudiantes en otros ámbitos de la vida en los que las matemáticas pueden serles útiles o en cursos universitarios que requieran de algún tipo de destreza
matemática?
En los últimos años, el enfoque de competencias en el proceso educativo ha cobrado fuerza y, aunque no necesariamente resuelve todos los problemas en este
ámbito, puede arrojar luz en cuanto a posibles soluciones.
Buena parte de la literatura indica que el modelo denominado “educación por competencias”, tuvo su origen en Australia, Nueva Zelanda, Estados Unidos, Inglaterra
y Canadá. En este modelo educativo se propone estrechar la distancia que separa la
escuela de las necesidades sociales y el mundo laboral, de manera que una educación por competencias requería que la escuela formara de manera eiciente y exitosa desempeños laborales que le permitieran al futuro trabajador realizar de manera
ética, eiciente y exitosa su ejercicio laboral y profesional. Actualmente el énfasis
ha cambiado en el sentido de que no solamente importa la competencia en el campo
laboral, sino también en todos los ámbitos personales y sociales de los individuos.
De acuerdo con Rey (1999), uno de los puntos de referencia centrales de las concepciones actuales acerca del término competencia es el concepto de “competencia
lingüística” de Noam Chomsky. Según el concepto de Chomsky, la competencia es
una condición de potencialidad, una “capacidad para”, que determina la puesta en
ejecución pero que es independiente de ella.
Competencias matemáticas en la enseñanza media
41
2. Concepto de competencia
En primer lugar analizaremos el sentido del término competencia. Aunque algunos elementos, en las deiniciones dadas al término competencia, en diferentes
momentos, son concordantes, no existe aún un acuerdo completo al respecto.
Algunas de las deiniciones dadas aluden explícitamente a lo laboral. Así, por
ejemplo Guy Le Boterf dice que una competencia es el “saber actuar en un contexto de trabajo, combinando y movilizando los recursos necesarios para el logro
de un resultado excelente y que es validado en una situación de trabajo” (Le
Boterf, 2001).
Por otra parte, el Consejo Federal de Cultura y Educación de Argentina, deine competencia como: “un conjunto identiicable y evaluable de conocimientos,
actitudes, valores y habilidades relacionados entre sí que permiten desempeños
satisfactorios en situaciones reales de trabajo, según estándares utilizados en el
área ocupacional” (citado en Corvalán y Hawes, 2006, p. 6).
Estas dos deiniciones reieren las competencias al desempeño laboral del individuo; es decir, la competencia es algún tipo de capacidad que puede verse relejada
en el contexto de una situación de trabajo.
Existen otras deiniciones de carácter más abarcador. Tal es el caso de la que proporciona el Gobierno de la Provincia de Quebec que enfatiza aspectos cognitivos,
psico-sociales e interpersonales; expresa que “una competencia es el conjunto de
comportamientos socio-afectivos y habilidades cognoscitivas, psicológicas, sensoriales y motoras que permiten llevar a cabo adecuadamente un rol, una función,
una actividad o una tarea” (citado en Corvalán y Hawes, 2006, p. 6).
Perrenoud (1999) dice que es la “capacidad de actuar de manera eicaz en un
tipo deinido de situación, capacidad que se apoya en conocimientos, pero no se
reduce a ellos” (p.7).
Estas dos deiniciones se salen de lo puramente laboral y consideran otras actividades, situaciones o tareas en general. Tienen en común, con las dos anteriores,
la referencia a conocimientos y modos de comportamiento que pueden ser movilizados en la actuación eicaz ante algún tipo de tarea o actividad.
También se ha deinido las competencias desde el punto de vista educativo. Cullen (1997), dice que son “complejas capacidades integradas, en diversos grados,
que la educación debe formar en los individuos para que puedan desempeñarse
como sujetos responsables en diferentes situaciones y contextos de la vida social
y personal, sabiendo ver, hacer, actuar y disfrutar convenientemente, evaluando
42
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
alternativas, eligiendo las estrategias adecuadas y haciéndose cargo de las decisiones tomadas” (p. 93).
El proyecto Tuning Europa las deine como “una combinación dinámica de atributos, en relación a conocimientos, habilidades, actitudes y responsabilidades,
que describen los resultados del aprendizaje de un programa educativo o lo que
los alumnos son capaces de demostrar al inal de un proceso educativo”. (Tuning,
2003, p. 80)
En estas dos deiniciones, además de mencionar las características de las competencias en la acción por parte del sujeto, se establece el papel que juega el proceso
educativo en el desarrollo de tales competencias.
Las diversas deiniciones enuncian ciertos componentes esenciales del concepto
de competencia. Por una parte, la posibilidad de movilizar el conocimiento; esto
es, ante una situación o tarea dada, poder utilizar el conocimiento que se posee.
Por otra parte, la posibilidad de integrar diversos conocimientos en aras de resolver un problema. El otro aspecto se reiere a la actuación en contexto, aquí se destaca la importancia de poder utilizar el conocimiento en una situación de contexto
especíico fuera del ámbito escolar. Finalmente el desarrollo de capacidades meta
cognitivas que permitan el aprendizaje autónomo (Coll y Martín, 2006).
En síntesis, consideraremos que una competencia es una capacidad que le permite al individuo actuar en contexto para realizar una actividad, función o tarea.
Garagorri (2007) clasiica las competencias en dos tipos:
1) Generales, transversales o generativas: están caracterizadas por tener la potencialidad de engendrar una ininidad de conductas adecuadas respecto a una
ininidad de situaciones nuevas. En el ámbito educativo son aquellas comunes a
todas las áreas disciplinares.
2) Especíicas o particulares: se aplican a una situación o familia de situaciones
dentro de un contexto particular. Se reiere al saber hacer en una situación y
contexto concreto. En el ámbito escolar son las que se relacionan con cada área
temática.
Eurydice, la red europea de información en educación, considera además algunas
competencias como claves; al respecto expresa que
A pesar de las diferentes concepciones e interpretaciones del término, la mayoría de
los expertos parecen coincidir en que para que una competencia merezca el atributo
de clave, fundamental, esencial o básica, debe ser necesaria y beneiciosa para cualquier individuo y para la sociedad en su conjunto. Debe permitir que un individuo se
integre apropiadamente en un número de redes sociales, al tiempo que permanece
Competencias matemáticas en la enseñanza media
43
independiente y personalmente eicaz tanto en situaciones que le son conocidas como
en otras nuevas e imprevisibles. Finalmente, puesto que todas las situaciones están
sujetas a cambios, una competencia clave debe permitir a las personas actualizar sus
conocimientos y destrezas constantemente con el in de mantenerse al corriente de los
nuevos avances (Eyrydice, 2002, p. 14).
El concepto de competencia clave es fundamental en el campo educativo puesto
que permite concentrarse en aquellas alrededor de las cuales girarán los diversos
elementos del currículum.
Por otra parte, al analizar las competencias, tanto genéricas, claves o particulares,
deben considerarse tres categorías que se reieren a competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales o interpersonales.
Entre los rasgos que hacen de las competencias un concepto útil y que deben tenerse en cuenta desde el punto de vista educativo se pueden citar los siguientes:
1. Implican la movilización de los recursos personales tales como conocimientos, actitudes y otros, para desempeñarse con excelencia en la realización de una
tarea.
2. Las competencias se dan a partir de la relación entre los procesos de aprendizaje y de desarrollo.
3. Al desarrollar una competencia se da un cambio personal integral. (Molina,
2006)
4. Tiene un carácter integrador puesto que incluye diversos elementos de manera
integrada. Una competencia en algo implica el empleo coordinado de conceptos,
procedimientos y actitudes.
5. Son transferibles y multifuncionales; esto es, se aplican en múltiples situaciones de tipo diverso (transferible) y se usan para conseguir varios objetivos (multifuncionales). Esta característica se aplica fundamentalmente a las competencias
clave y generales.
6. Son dinámicas e ilimitadas. Cada individuo responde con niveles variables en
una competencia especíica a lo largo de su vida.
7. Son evaluables. Esto se reiere a que es posible veriicar si una persona en particular posee determinada competencia. (Garagorri, 2007)
3. Competencias generales en la enseñanza media
Se denota en todo lo anterior una tendencia a considerar las competencias como
algo útil para el campo laboral. En ese sentido, en el campo educativo estarían
particularmente referidas a la educación técnica y a la educación de nivel superior.
44
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
Sin embargo, el concepto se puede aplicar a los diferentes niveles educativos. Se
pueden establecer competencias generales que deben adquirir los estudiantes al
concluir la enseñanza preescolar, primaria y media y, también, particularmente en
este último caso, las competencias en cada una de las disciplinas particulares que
se enseñan en este nivel.
Las competencias generales del nivel medio de enseñanza deberán dirigirse al
desarrollo integral del individuo como persona y como miembro de la sociedad,
dentro del marco de la globalización y la inmersión en la sociedad del conocimiento. El tipo de competencia que se logre formar en este nivel reviste una gran
importancia puesto que determina mucho del accionar futuro de la persona; tanto
si sigue estudios superiores como si se suma al campo laboral una vez concluida
la educación media. Entre estas competencias, que le permiten a los estudiantes
construir las bases de su aprendizaje, podemos mencionar como clave la interpretación y comunicación apropiada de la información, la posibilidad de razonar de
manera creativa y el resolver problemas. Estas competencias deben complementarse con algunas competencias más bien de tipo personal y social tales como la
de trabajar en equipo, actuar éticamente, entre otras.
En este sentido, OCDE/PISA (2006) establece que “existen asimismo una serie
de habilidades generales de carácter muy amplio que es esencial que los alumnos
desarrollen. Entre ellas se incluyen la comunicación, la adaptabilidad, la lexibilidad, la capacidad de solucionar problemas y la utilización de las tecnologías de
la información (p. 10).
4. Algunos peligros en el uso de las competencias en educación
Aunque el enfoque de competencias en la educación, en general, representa un
serie de ventajas en cuanto al proceso de aprendizaje por parte de los estudiantes,
en particular porque permite que este sea activo, algunos autores como Garagorri
(2007) han señalado los siguientes riesgos en los que se puede caer con el uso de
las competencias:
1. Reducir el currículo a las competencias especíicas observables o medibles
olvidando las transversales.
2. Hacer un planteamiento de currículo basado en competencias transversales sin
ligazón con las competencias especíicas y dando por supuesto su transferencia
automática
3. Reducir el currículo a las competencias, olvidando las experiencias y los saberes que nos constituyen.
Competencias matemáticas en la enseñanza media
45
4. Reducir el planteamiento del currículo basado en competencias a puro formalismo.
Más que peligros del modelo de competencias, lo anterior se reiere a un uso inadecuado del mismo. Particularmente son problemas conceptuales y de criterio que
deben evitarse.
5. Concepto de competencia matemática
Marín y Guerrero (2005) y Rico (2005) subrayan la importancia de la noción de
competencia dentro de las inalidades del currículo de matemáticas de secundaria. Por otra parte, de acuerdo con Puig (2008), “la competencia considerada en el
ámbito de las matemáticas debe explicar y predecir el conjunto, potencialmente
ininito, de las actuaciones del sujeto. Sin embargo, también se puede hablar de la
competencia en un dominio más o menos concreto de las matemáticas, de manera
que el modelo de competencia tiene que describir la conducta del sujeto ideal en
ese dominio y, así, explicar y predecir su conjunto de actuaciones posibles en ese
dominio” (p. 93).
En ese sentido, Niss (2002) deine primero lo que considera como competencia:
“Poseer una competencia (ser competente) en algún dominio de la vida personal, profesional o social es dominar (a un nivel apropiado, módulo condiciones
y circunstancias) aspectos esenciales de la vida en tal dominio” (p. 6). Luego
establece que la competencia matemática: “Es la habilidad para entender, juzgar,
hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos y situaciones intra
y extra matemáticos en los que las matemáticas juega o puede jugar un papel”
(Niss, 2002, p. 7).
Por su parte, OCDE/PISA (2006) establece que la competencia matemática es
“la capacidad que tiene un individuo de identiicar y comprender el papel que
desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados y utilizar
e implicarse en las matemáticas de una manera que satisfaga sus necesidades vitales como un ciudadano constructivo, comprometido y relexivo. (p. 13). Posteriormente agrega: “el área de la competencia matemática deinido por PISA hace
referencia a la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse
eicazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos en diversas situaciones. ( p.74). Aclara que el término “mundo” hace
referencia al marco natural, social y cultural en que vive el individuo y explica
que la “situación” es la parte del mundo del estudiante en la que se localizan las
tareas que se le plantean.
46
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
En ambos casos está implícito en la idea de competencia matemática la capacidad
para plantear, formular, resolver, e interpretar problemas utilizando las matemáticas dentro de una variedad de situaciones y contextos, desde aquellos que son
puramente matemáticos hasta los que no tienen una apariencia matemática. Esto
reiere a dos aspectos muy importantes: la situación y el contexto.
Según Proenza y Leiva (2006), se han considerado cuatro tipos de situación: personales, educativas o laborales, públicas y cientíicas y, también, dos tipos de
contexto: intra-matemático y extra-matemático.
Las situaciones personales son las que están relacionadas con la actividad diaria
del alumno. Se reieren a la forma como el individuo percibe una tarea que le
afecta de modo inmediato y cómo puede afrontarla matemáticamente. Las educativas o laborales, son aquellas situaciones que se encuentran de modo natural en
la escuela o el lugar de trabajo. Las públicas son situaciones que requieren que los
alumnos activen su comprensión, conocimiento y habilidades matemáticas para
evaluar los aspectos de una situación externa con repercusiones importantes en la
vida pública. Las cientíicas son situaciones más abstractas y pueden implicar la
comprensión de un proceso tecnológico, una interpretación teórica o un problema
especíicamente matemático.
Un contexto intra-matemático es aquel en el que la tarea especíica a realizar
se reiere solamente a objetos matemáticos tales como estructuras o símbolos;
usualmente se da en situaciones de tipo cientíico o escolar. Mientras que un
contexto extra-matemático incluye elementos externos que inluyen en la interpretación y solución.
6. Competencias matemáticas en la enseñanza media
Niss (2002) plantea ocho competencias matemáticas organizadas en dos “grupos”: competencias para preguntar y responder acerca de, dentro y por medio de
las Matemáticas y competencias de comprensión y uso del lenguaje y los instrumentos matemáticos.
El primer grupo se proporciona en la tabla 1.
Competencias matemáticas en la enseñanza media
47
Tabla 1. Competencias para preguntar y responder acerca de, dentro y
por medio de las matemáticas
1. Pensar matemáticamente (dominio plantear preguntas que son la característica de las Matemátide modos matemáticos de pensamien- cas, y saber las clases de respuestas (no necesariamente dar
to), por ejemplo:
las respuestas ellos mismos o decir cómo obtenerlas) que las
Matemáticas pueden ofrecer;
entender y manejar el alcance y limitaciones de un concepto
dado.
ampliar el alcance de un concepto abstrayendo algunas de sus
propiedades;
generalizar resultados a clases más amplias de objetos;
distinguir entre clases diferentes de airmaciones matemáticas
(incluso aseveraciones condicionadas (‘si-entonces’), airmaciones basadas en cuantiicadores, asunciones, deiniciones,
teoremas, conjeturas, casos).
2. Plantear y solucionar problemas identiicar, plantear, y especiicar clases diferentes de
matemáticos, por ejemplo:
problemas matemáticos -puros o aplicados; sin límites
determinados (abiertos) o cerrados;
solucionar clases diferentes de problemas matemáticos
(puros o aplicados, sin límites determinados o cerrados), ya sea planteados por otros o por uno, y, de ser
apropiado, de modos diferentes.
3. Modelar matemáticamente (es de- analizar fundamentos y propiedades de modelos exiscir analizar y construir modelos), por tentes, incluyendo evaluación de su rango y validez
ejemplo:
descifrar modelos existentes, es decir traducir e interpretar elementos de modelos en términos de “realidad
modelada”.
realizar modelización activa en un contexto dado
estructurar el campo
matematizar
funcionar con o dentro del modelo, incluyendo la solución de los problemas que provoca el modelo
validar el modelo, interna y externamente
analizar y criticar el modelo, en sí mismo y vis-à-vis
alternativas posibles
comunicar sobre el modelo y sus resultados
monitorear y controlar el proceso de modelación completo.
4. Razonar matemáticamente, por hacer seguimiento y evaluación de cadenas de argumentos
ejemplo:
propuestos por otros
saber lo que una prueba matemática es y no es, y cómo
esto se diferencia de otras clases del razonamiento matemático, p.ej las heurísticas
identiicar y mostrar las ideas básicas en una argumentación dada (sobre todo una prueba), incluyendo distinguir
líneas principales de detalles, ideas de detalles técnicos;
idear argumentos matemáticos formales e informales, y
transformar argumentos heurísticos en pruebas válidas.
Fuente: Niss (2002).
48
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
El segundo grupo se proporciona en la tabla 2.
Tabla 2. Competencias de comprensión y uso del lenguaje y
los instrumentos matemáticos.
5. Representar entidades matemáticas (objetos y situaciones), por ejemplo
comprender y utilizar (descifrando, interpretando, distinguiendo entre) diversas clases de
representaciones de objetos, de fenómenos y de
situaciones matemáticos;
entender y utilizar las relaciones entre diversas
representaciones de la misma entidad, incluyendo saber sobre sus fuerzas y limitaciones
relativas;
elegir y cambiar entre representaciones.
6. Manipular símbolos matemáticos y formalismos, por ejemplo:
descifrar e interpretar lenguaje matemático simbólico y formal, y entender sus relaciones con el
lenguaje natural;
entender la naturaleza y las reglas de los sistemas matemáticos formales (sintaxis y semántica);
traducir de lenguaje natural al lenguaje formal/
simbólico
manejar y manipular airmaciones y expresiones
que contienen símbolos y fórmulas.
7. Comunicar dentro de, con, y sobre las
Matemáticas, por ejemplo
entender los escritos, visuales o textos orales
de otros, en una variedad de registros lingüísticos sobre las materias que tienen un contenido
matemático;
expresión propia sobre tales materias, en diversos niveles de precisión teórica y técnica, en
forma oral, visual o escrita
8. Hacer uso de los soportes y de las herramientas (incluyendo TICs), por ejemplo
saber la existencia y las propiedades de varias
herramientas y soportes para la actividad matemática, su gama y limitaciones;
utilizar relexivamente estos soportes y herramientas.
Fuente: Niss (2002).
Este enfoque ha tenido una inluencia muy grande en el proyecto PISA de la
OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico), en particular en las pruebas que se realizaron en los años 2003 y 2006. De hecho, el
marco teórico de estas pruebas, aunque enuncia una deinición de competencia
matemática algo distinta de la de Niss, adopta el listado propuesto por éste.
Este es un punto de partida importante para orientar los currículos de la Educación
Matemática con base en competencias. Sin embargo, desde luego, esto requiere
una mayor relexión y un análisis de la situación particular de cada entorno educativo que permita deinir cuáles son, en realidad, las competencias matemáticas
que se desea que adquieran los estudiantes.
Competencias matemáticas en la enseñanza media
49
De hecho, Puig critica los enunciados muy generales para ciertas competencias
que aparecen en el informe PISA; se reiere, particularmente, por ejemplo a “plantear y resolver problemas”. Propone la necesidad de un modelo de competencias
proveniente de dos fuentes: una que examina al sujeto ideal y otra a los sujetos
reales. En ese sentido indica que los elementos de la competencia no pueden ser
simplemente una lista, sino que deben combinarse formando una estructura. Además, considera que “la oposición entre contenidos conceptuales y competencias
en el terreno curricular es una falacia. Lo que es crucial es la concepción de la
naturaleza de las matemáticas subyacente y las consecuencias que de ella se derivan” (Puig, 2008, p. 103)
En síntesis, podemos considerar la lista de competencias matemáticas de Niss
como un referente del cual partir, pero que debe ser analizado con el in de dilucidar cuáles de esas competencias queremos para los estudiantes de nuestro
sistema educativo, eventualmente cuáles otras que no están en esa lista, hasta qué
nivel de competencia queremos que los estudiantes lleguen al inalizar la educación media o al inalizar cada ciclo de la educación general básica.
7. Implicaciones de un abordaje por competencias del proceso de
enseñanza aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza media
Abordar el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas mediante un
modelo de competencias tendría una serie de implicaciones importantes en diferentes ámbitos. Entre ellas podemos mencionar las siguientes:
El currículo. La fundamentación del currículo pasaría, en primer lugar, por un debate con la participación de múltiples actores, que permita establecer qué competencias generales y especíicas de la disciplina se quiere lograr en los estudiantes
al inalizar el proceso educativo de enseñanza media y, también, cuáles competencias y en qué medida deben obtenerse al inal de cada ciclo. En este proceso
debe tenerse en cuenta algunas componentes que deberían estar presentes en un
currículo basado en competencias; entre ellas:
•
•
•
La capacidad que debe adquirir el estudiante a través del proceso educativo
de integrar los distintos tipos de conocimiento.
La capacidad de poder transferir los aprendizajes a situaciones concretas.
La necesidad de desarrollar en los estudiantes capacidades metacognitivas
que le permitan seguir aprendiendo a lo largo de la vida.
50
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
Planes y programas. Los planes y programas de estudio deberían enfatizar en la
identiicación de los desempeños que se espera de los estudiantes, considerados
éstos como expresión de las competencias. Por otra parte, en el campo especíico
de las matemáticas, no sería útil hacer la separación tan tajante que se da actualmente entre diferentes áreas dentro de las mismas matemáticas. El currículo debería relejar la estrecha relación que se da entre el álgebra, la geometría, etc.
En el aula. La mediación pedagógica, el tipo de materiales y los métodos con
los que se manejan los contenidos, tendrían que cumplir con características acordes con la adquisición de competencias por parte de los estudiantes. Perrenoud
(2005) establece como una de las competencias del profesor la de organizar y animar situaciones de aprendizaje. Como competencias más especíicas que llevan a
esta competencia general propone:
• Conocer, a través de una disciplina determinada, los contenidos que hay qu
enseñar y su traducción en objetivos determinados.
• Trabajar a partir de las representaciones de los alumnos.
• Trabajar a partir de los errores y de los obstáculos de aprendizaje.
• Construir y planiicar dispositivos de secuencias didácticas.
• Implicar a los alumnos en actividades de investigación, en proyectos de conocimiento. (p. 15)
Estas capacidades del profesor, que se pondrían de maniiesto en el contexto del
aula durante el desarrollo de la lección y las tareas asignadas, serían coadyuvantes importantes en la adquisición de competencias por parte de los estudiantes.
En este sentido, en la lección de matemáticas, debería privilegiarse el uso de la
resolución de problemas como estrategia didáctica. Este tipo de estrategia brindaría a los estudiantes la posibilidad de hacer conjeturas, veriicar resultados, en in,
de hacer matemáticas y, por lo tanto, le permitiría el desarrollo de competencias
matemáticas como las que propone Niss.
Papel del alumno. A través de estrategias de aprendizaje apropiadas debe asignársele al estudiante un papel activo en el proceso educativo. Esto le permitiría
la adquisición de conocimientos y la formación de sus capacidades. Desde luego,
aquí también es fundamental el papel del profesor. Al respecto, una de las competencias del profesor que menciona Perrenoud (2005) es implicar a los alumnos en
su aprendizaje y en su trabajo. Esto pasa por el fomento del interés por el aprendizaje en el estudiante, hacer explícita su relación con el conocimiento y desarrollar
su capacidad de autoevaluación.
También debería inducir al alumno a la realización de investigación matemática,
el desarrollo de proyectos y trabajo colaborativo.
Competencias matemáticas en la enseñanza media
51
La evaluación. Uno de los aspectos más complejos y que es objeto de mayor debate en el marco de las competencias es el de la evaluación. Sin embargo, hay consenso en cuanto a que la evaluación tradicional, al menos en el caso de matemáticas, no permite el desarrollo de competencias.
Esto está ligado con el hecho de que la adquisición del conocimiento por sí sola
no es suiciente para realizar un análisis apropiado de una situación o resolver
problemas; se requiere también tener la disposición para usar las habilidades y
estrategias así como el conocimiento de cuándo y cómo aplicarlas.
Algunas condiciones a considerar de la evaluación por competencias son las siguientes:
•
•
Priorización de los criterios de evaluación y sus indicadores de logro.
Realización de tareas en contexto de evaluación; esto implica la necesidad
de un escenario o contexto que promueva los desempeños esperados según
el grado y el área.
• Comprender que las competencias aparecen entrelazadas; es decir, no existe
una competencia pura, por ejemplo al resolver un problema matemático contextualizado, hay un enunciado lingüístico y procedimientos matemáticos.
Formación del profesorado. Dado que los profesores deben poseer las competencias matemáticas de los estudiantes en un nivel superior y, también, otras competencias tanto de tipo matemático como no matemático, se haría necesario un cambio curricular en los programas de formación inicial de los profesores. También
sería necesario establecer mecanismos de capacitación continua de los profesores
en servicio.
Tanto los planes de formación inicial como los de formación continua del profesor deben tener en cuenta cuáles serían las competencias que éste debe tener para
realizar su labor de manera eiciente. Esto debe ser motivo de debate y relexión
para determinar aquellas que sean pertinentes en las circunstancias particulares
de una región o país; sin embargo, algunas competencias han sido propuestas.
Perrenoud (2005) ofrece una lista de diez competencias de referencia y para cada
una de ellas menciona competencias especíicas a tener en consideración para
trabajar en formación continua. Estas diez competencias son:
•
•
•
Organizar y animar situaciones de aprendizaje. Las competencias especíicas
que incluye fueron mencionadas arriba.
Gestionar la progresión de los aprendizajes. Entre otras, incluye: concebir y
hacer frente a situaciones problema, adquirir una visión longitudinal de los
objetivos de enseñanza y observar y evaluar a los alumnos en situaciones de
aprendizaje según un enfoque formativo.
Elaborar y hacer evolucionar dispositivos de diferenciación.
52
•
•
•
•
•
•
•
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
Implicar a los alumnos en su aprendizaje y en su trabajo.
Trabajar en equipo.
Participar en la gestión de la institución.
Informar e implicar a los padres.
Utilizar las nuevas tecnologías. Esto implica, entre otros, explotar los potenciales didácticos de programas en relación con los objetivos de los dominios
de enseñanza.
Afrontar los deberes y dilemas éticos de la profesión.
Organizar la propia formación continua. Para esto es necesario establecer
un programa personal de formación, negociarlo, implicarse en tareas a nivel
general de la enseñanza, etc.
En cuanto a las competencias en el campo de las matemáticas y su enseñanza en
el nivel medio, Rico (2004) hace una propuesta, que nos parece apropiada, para
la formación inicial del profesor de matemáticas (pp. 8-9):
•
Dominio de los contenidos matemáticos de Educación Secundaria desde una
perspectiva matemática superior y su conocimiento como objetos de enseñanza-aprendizaje.
• Dominio de la organización curricular y planiicación de estos contenidos
matemáticos para su enseñanza.
• Capacidad para el análisis, interpretación y evaluación de los conocimientos
matemáticos de los alumnos a través de sus actuaciones y producciones matemáticas.
• Capacidad de gestión del contenido matemático en el aula.
También propone algunas competencias más especíicas entre las que podemos
señalar:
•
•
•
Reconocer los tipos de razonamiento de los estudiantes, proponer tareas que
los orienten, diagnosticar sus errores, y proponer los correspondientes procesos de intervención.
Seleccionar y secuenciar actividades para el aprendizaje escolar; analizar los
diversos problemas que surgen en situaciones de aprendizaje.
Disponer de criterios, técnicas e instrumentos especíicos para la evaluación
del conocimiento matemático.
Competencias matemáticas en la enseñanza media
53
8. Las competencias en el sistema educativo costarricense
Los Programas de Estudio de Matemática del III Ciclo y de Educación Diversiicada
contienen los lineamientos del Ministerio de Educación Pública respecto a los derroteros
de la educación matemática costarricense, por lo tanto, si se desea orientar los currículos
de la Educación Matemática con base en competencias, se hace necesario un análisis de
este entorno educativo que permita determinar cuál es la realidad de las competencias
matemáticas que se desea desarrollar en los estudiantes de educación media.
Anteriormente hemos presentado una perspectiva teórica de estas competencias matemáticas que se deben desarrollar en los estudiantes de educación media, pero ¿establecen los Programas de Estudio de Matemáticas, ya sea en forma explícita o implícita,
las competencias a desarrollar mediante los procesos de enseñanza y aprendizaje de la
matemática en nuestro país?
En los Programas de estudio se logran identiicar cuatro grandes componentes, una
primera denominada “La transversalidad en los programas de estudio”, luego encontramos las orientaciones y estrategias metodológicas y de evaluación; una tercera parte la constituye las características y objetivos de los programas de cada ciclo,
para terminar con la concreción de lo anterior en las tablas de objetivos, contenidos
procedimientos, valores y actitudes y aprendizajes por evaluar. Aunque el propósito
es hacer una revisión de estos documentos desde una perspectiva de competencias
matemáticas, es importante hablar sobre la primera parte, pues aunque es de carácter general presenta explícitamente un enfoque por competencias.
En esta sección encontramos el concepto de qué se entenderá por competencias a
través de todo el documento, a saber:
Las Competencias se entienden como: “Un conjunto integrado de conocimientos,
procedimientos, actitudes y valores, que permite un desempeño satisfactorio y autónomo ante situaciones concretas de la vida personal y social” (Comisión Nacional Ampliada de Transversalidad, 2002). Las mismas deben orientar los procesos
educativos y el desarrollo mismo de la transversalidad. (MEP, 2005a, p. 2)
Puede observarse que se adopta, en mucho, la posición del Consejo Federal de
Cultura y Educación de Argentina.
A la deinición anterior, se debe agregar la deinición de competencia de transversalidad, que se hace pertinente dado el carácter general y transversal de esta
sección, como se indicó anteriormente, al respecto se adopta la deinición dada
por Beatriz Castellos en el 2002:
Aquellas que atraviesan e impregnan horizontal y verticalmente, todas las
asignaturas del currículo y requieren para su desarrollo del aporte integra-
54
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
do y coordinado de las diferentes disciplinas de estudio, así como de una
acción pedagógica conjunta.
Si se revisan los programas de estudio, se encontrarán explícitamente las competencias a desarrollar para cada uno de los temas transversales de éstos, así como
una propuesta para el abordaje metodológico de la Transversalidad desde los Programas de Estudio y en el planeamiento didáctico, que en resumen dice:
En este caso, se presenta como tarea para las y los docentes identiicar -a partir de
una lectura exhaustiva de los conocimientos previos del estudiantado, del contexto
sociocultural, de los acontecimientos relevantes y actuales de la sociedad-, cuáles
de los objetivos de los programas representan oportunidades para abordar la transversalidad y para el desarrollo de las competencias. (MEP, 2005a, p. 2)
Pese a su carácter general, lo anterior se describe como una evidencia de que el
enfoque en competencias no es ajeno a los Programas de estudio para la educación media y esto nos posiciona para hacer un análisis de las secciones siguientes
que son especíicas para el área de matemáticas.
Aunque de aquí en adelante, no encontraremos explícitamente el término competencias ni una referencia directa a su desarrollo en el estudiante de educación
media, resultará interesante analizar algunas referencias implícitas a éstas.
Los programas de estudio se estructuran, en torno a cuatro aprendizajes fundamentales según lo sugiere Jacques Delors, en su libro La Educación Encierra un Tesoro,
a saber: aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a vivir juntos y aprender a
ser. Además, se instaura como meta una educación cientíica y tecnológica sin descuidar la perspectiva integral y humanista. Establecen que en la educación matemática en enseñanza media no sólo debe buscar la obtención de contenidos teóricos o
culturales por parte del estudiante, sino que es esencial -y es importante destacar la
similitud con el concepto de competencia que hemos adoptado- “fomentar las destrezas, habilidades y recursos mentales indispensables que debe tener el ciudadano
del nuevo orden histórico en las nuevas condiciones” y se visualiza a la formación
matemática como un mecanismo fundamental y necesario para el desarrollo de las
capacidades superiores en el estudiante como: capacidades analíticas, lógicas, de
síntesis y criticidad cognoscitivas, del razonamiento inductivo y la abstracción; claramente se está hablando de capacidades que le permitirán al joven un desempeño,
el juego de un rol dentro del cual está la comprensión y resolución de situaciones
de la vida cotidiana en la actualidad; se está entendiendo a la matemática como un
medio para desarrollar en los jóvenes el pensamiento abstracto y riguroso y la independencia de criterio, para su realización plena.
Todo lo anterior se airma en diferentes puntos de los programas de estudio, en
donde también se agrega:
Competencias matemáticas en la enseñanza media
55
Las Matemáticas son un factor importante para la formación de valores porque:
desarrolla la imaginación, la creatividad, el razonamiento, la criticidad, la capacidad de hacer estimaciones y también contribuye al aprecio por la naturaleza, a
través de su aplicación en el arte, y propician el desarrollo de modelos matemáticos que contribuyen al desarrollo sustentable y sostenible de la naturaleza. (MEP,
2005a, p.12)
y continúa diciendo
Propicia el desarrollo de la capacidad para realizar juicios críticos, valora las relaciones que se establecen entre los diferentes hechos, fenómenos y las Matemáticas, para construir su conocimiento, confrontar la información, los resultados y
otros, con la realidad. (MEP, 2005a, p.13)
Con todo lo anterior, se comienza a fundamentar la idea de que aunque los programas de estudio, en sus orientaciones y estrategias metodológicas y de evaluación no explicita un enfoque por competencias, sí se logra identiicar a través de
todos sus enunciados una visión hacia el desarrollo de éstas. Esta idea se reairma
cuando se leen los ines fundamentales de los programas, que indican qué se espera de los estudiantes:
1. Aprendan a valorar las matemáticas.
2. Se sientan seguros de su capacidad para hacer matemáticas y confíen en su
propio pensamiento matemático.
3. Lleguen a resolver problemas matemáticos.
4. Que aprendan a comunicarse mediante la matemática.
5. Aprendan a razonar matemáticamente.
6. Experimenten situaciones abundantes y variadas, relacionadas entre sí, que
los lleven a valorar las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales matemáticos, entender y apreciar el papel que las Matemáticas cumplen en los asuntos
humanos.
7. Exploren y puedan predecir e incluso cometer errores y corregirlos de forma
que ganen conianza en su propia capacidad de resolver problemas simples y
complejos.
8. Puedan leer, escribir y debatir sobre las matemáticas y formular hipótesis, comprobarlas y elaborar argumentos sobre la validez de las hipótesis.
9. Se familiarice con una Matemática integrada en todas sus áreas.
10. Tengan experiencias variadas en relación con la evolución cultural, histórica
y cientíica de las matemáticas, de forma que puedan apreciar el papel que cumplen las matemáticas en el desarrollo de nuestra sociedad y el impacto que tienen
en la cultura y la vida diaria.
11. Exploren las relaciones existentes entre las matemáticas y las disciplinas con
las que interactúan.
56
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
Puede observarse que la mayoría se reieren a capacidades dirigidas al desarrollo
integral del individuo como persona y como parte integral de la sociedad, en
el contexto de globalización. Un análisis pormenorizado nos lleva a encontrar
coherencias con el concepto de competencias matemáticas, en particular la esbozada por Niss, pues describen habilidades que le permitirán al alumno “entender,
juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos y situaciones
intra y extra matemáticos en los que las matemáticas juega o puede jugar un
papel” y muy bien complementado con el concepto de OCDE/PISA (2006), en
cuanto a que en los ines se encuentran implícitas capacidades que le permitirán
al estudiante “identiicar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas
en el mundo”.
Aspecto importante a señalar en los programas de estudios es que se plantea la resolución de problemas como estrategia didáctica privilegiada para llevar al logro
de los ines descritos, ya que con ello se estimula en el estudiante procedimientos
de observación, comparación, análisis, deducción, etc., para lograr no solamente
la adquisición de contenidos, sino el desarrollo de estructuras de pensamiento.
Los programas de estudio centran el logro de los ines propuestos en el desarrollo
de habilidades mentales, el desarrollo de estas habilidades debe ser el hilo conductor de la labor docente. El conocer las habilidades mentales propuestas y su
concepción lleva a establecer la conexión entre los fundamentos de los programas
de estudios y las concepciones de competencias que se han citado, estas habilidades son:
1. Identiicación: estará preparado para reconocer una realidad tomando como
base sus características, ya sea en forma real o sobrentendida.
2. Diferenciación: Si se reconoce un concepto o una situación por las características que este presenta, pero se diferencian aquellas que son esenciales de las
irrelevantes.
3. Representación mental: interiorizar las características de un objeto o de una
situación ya sea concreta o abstracta y se representan los rasgos esenciales que
permiten deinir el concepto o la situación como tal.
4. Transformación mental: modiicar o combinar características de uno o varios
objetos para producir representaciones de un grado mayor de abstracción o complejidad.
5. Comparación: establecer relaciones entre parejas de características de objetos
o situaciones, de tal forma que se establezcan semejanzas y diferencias.
6. Clasiicación: se agrupan elementos de acuerdo con atributos deinitorios, a
partir de categorías, se está clasiicando. Se puede agrupar con base en categorías
denominadas clases o con base en el establecimiento de categorías conceptuales.
7. Codiicación: establece símbolos o interpreta símbolos que permiten la ampliación a los términos, evitando la ambigüedad aunque se aumente la abstracción, se
Competencias matemáticas en la enseñanza media
57
denomina codiicación.
8. Decodiicación: capacidad para decidir cómo traducir las instrucciones verbales a actos motores, y descifrar algún mensaje o símbolo. Se interpretan símbolos
para dar amplitud a los términos y símbolos a medida que aumenta la abstracción.
9. Proyección de relaciones virtuales: consiste en percibir estímulos externos en
forma de unidades organizadas que luego se proyectan ante estímulos semejantes. Se proyectan imágenes haciéndolas ocupar un lugar en el espacio.
10. Análisis: implica la separación de un todo en sus partes, conservando sus
cualidades, funciones, usos, relaciones, estructuras y operaciones.
11. Síntesis: percibir la realidad a través de un proceso, integrar para formar un
todo signiicativo.
12. Inferencia lógica: se realizan deducciones y se crean nuevas informaciones a
partir de los datos percibidos.
13. Razonamiento analógico: establecer o analizar relaciones de orden superior
entre diferentes elementos, conceptos, hechos o situaciones pertenecientes a uno
o más conjuntos.
14. Razonamiento hipotético: capacidad mental para realizar inferencias y predicciones de hechos a partir de los ya conocidos y de las leyes que los relacionan.
15. Razonamiento transitivo: capacidad de ordenar, comparar y transcribir una
relación hasta llegar a establecer una conclusión.
16. Razonamiento silogístico: operación mental que permite llegar a conclusiones a través de la proyección e interpretación de relaciones entre dos premisas.
17. Pensamiento divergente: establecer nuevos parámetros a través de los cuales
se pueden detectar diferencias entre similares.
18. Conceptualización: se agrupa objetos, eventos o situaciones con características comunes o esenciales, denominadas propiedades deinitorias.
Una revisión minuciosa de estas habilidades nos permitiría hacer una relación
directa con las competencias propuestas por NISS:
Tabla 3. Competencias y habilidades mentales
Competencias para preguntar y responder acerca de, dentro y por medio de las
matemáticas
Competencia
3)
Habilidad mental
1. Pensar matemáticamente (dominio de modos matemá- Análisis
ticos de pensamiento)
Síntesis
Pensamiento divergente
2. Plantear y solucionar problemas matemáticos
3. Modelar matemáticamente (es decir analizar y cons- Transformación mental
truir modelos)
Representación mental
Clasiicación
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Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
4. Razonar matemáticamente
Inferencia lógica
Razonamiento analógico
Razonamiento hipotético
Razonamiento transitivo
Razonamiento silogístico
Competencias de comprensión y uso del lenguaje y los instrumentos matemáticos.
5. Representar entidades matemáticas (objetos y situa- Identiicar
ciones)
Diferenciación
Comparación
6. Manipular símbolos matemáticos y formalismos
Codiicación
Decodiicación
7. Comunicar dentro de, con, y sobre las Matemáticas
Proyección de relaciones virtuales
8. Hacer uso de los soportes y de las herramientas (incluyendo TICs)
Como se indicó, la competencia dos es el hilo conductor para llevar al logro de
los ines y en los programas se presenta todo un apartado con las recomendaciones metodológicas de cómo utilizar resolución de problemas como estrategia
metodológica para la enseñanza, incluyendo características de los problemas, estrategias de solución y tipos de problemas.
Acerca de la competencia ocho, se presenta en los programas de estudio un apartado completo en donde se deja patente que ante el exceso de información se
debe ofrecer al estudiante elementos sobre cuál ha sido el proceso de creación
y desarrollo del conocimiento, la ciencia y la tecnología. Aunque se enfatiza en
el uso de la calculadora, su visión de que ésta permite clariicar, acentuar y profundizar el concepto, es decir, obtener información de mayor valor cognoscitivo,
es extensible a una concepción generalizada sobre tecnologías de información y
comunicación.
Respecto a valores y actitudes, los programas de estudio son claros en el rol que
debe jugar el desarrollo del pensamiento y la formación matemática, en la formación integral del joven, textualmente dice:
Si la educación de los adolescentes se caracteriza por ser integral, entonces la
formación de su personalidad, de su carácter, de su conciencia humanista y de
su convivencia social en una cultura para la paz y la democracia, y su valoración
subjetiva respecto de lo que se le enseña, del modo en que se le enseña y de quien
se lo enseña (actitudes), deben ir en forma paralela al desarrollo del pensamiento
y su formación matemática. (MEP, 2005b, p.54)
Las actitudes son vistas no solo como algo que debe desarrollarse en el alumno,
sino como vehículo que interviene decisivamente en la adquisición del conocimiento, ya que actitudes como el interés, la perseverancia, la curiosidad, la
Competencias matemáticas en la enseñanza media
59
búsqueda de la verdad, entre otras, son factores que favorecen el aprendizaje. Por
lo que los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática se apoyan en
los valores y actitudes de los estudiantes pero a la vez se fomenta su formación
porque en ellos se desarrolla la imaginación, la creatividad, el razonamiento, la
criticidad, entre otras.
Otro elemento importante de destacar en los programas de estudio que permite
visualizar una relación directa con competencias matemáticas es el considerar que
el desarrollo de estructuras conceptuales constituye un proceso a largo plazo; las
estructuras conceptuales se desarrollan, elaboran, profundizan y se van haciendo
más completas con el paso del tiempo, guardando esto último gran similitud con
el concepto de desarrollo gradual de las competencias, donde los autores hablas
de niveles de logro o de desarrollo de las competencias.
En el III Ciclo de la Enseñanza General Básica y Educación Diversiicada se establecen objetivos generales que están relacionados con los ines de la enseñanza de
la matemática descritos anteriormente y que permiten identiicar en ellos conceptos como: capacidad de abstracción, procedimientos y principios matemáticos,
lenguaje matemático, pensamiento lógico, análisis y la resolución de situaciones
problemáticas, razonamiento lógico, divergente y analógico, el pensamiento deductivo e inductivo y los procesos de análisis y síntesis; y construcción y reconstrucción de modelos matemáticos que como se ha dicho reiteradamente están
estrechamente relacionados con el desarrollo de competencias matemática.
Finalmente, la última parte constitutiva de los programas de estudio es una tabla
cuyos componentes son:
Objetivos
Contenidos
Procedimientos
Valores y
actitudes
Aprendizajes por
evaluar
Una breve descripción de los componentes es la siguiente:
•
Los objetivos representan los productos de aprendizajes que debe lograr el
estudiante.
•
Los contenidos constituyen el conocimiento básico del aprendizaje, en términos de teorías, conceptos, hechos, modelos, sucesos y datos aportados por
las distintas disciplinas del saber. Los procedimientos se reieren a procesos
cognoscitivos que debe llevar a cabo el estudiante, de acuerdo con el nivel
cognoscitivo del objetivo de aprendizaje.
•
Los valores y actitudes permiten el desarrollo afectivo de los estudiantes,
mediante la construcción de las habilidades morales.
60
•
Hugo Barrantes Campos - Jose Alfredo Araya Vega
Los aprendizajes por evaluar describen aquello de lo que debe ser capaz un
alumno para demostrar que ha logrado un objetivo de aprendizaje propuesto.
Todos estos componentes, guardan relación con todo lo descrito anteriormente,
los objetivos mantienen una perspectiva de desarrollo de habilidades, destrezas
y procedimientos, según se ha puntualizado y guardan coherencia horizontal con
los procedimientos. Los contenidos se constituyen en un listado, que en una adecuada concepción, deben ser concebidos como el vehículo para el logro de los
objetivos. En cuanto a valores y actitudes, el contenido de la columna relejan los
fundamentos dados para esta componente y inalmente, Sobre aprendizajes por
evaluar, son una sustantivación del objetivo por lo que su signiicado es el mismo
que los objetivos.
Todo el análisis realizado permite concluir que los programas de estudio de la
educación media, aunque en su mayoría no lo citan como tales, describen con
mucho detalle las competencias generales y matemáticas que se requiere desarrollar en los adolescentes, y cubren todos los rangos de competencias matemáticas
que diferentes autores han citado.
Un aspecto que sí debe citarse es que no existe garantía ni controles para indicar
que lo que se realiza en las aulas sea coherente con lo que se enuncia en los programas.
9. Conclusiones
La introducción de la discusión de las competencias en el debate relativo al currículo tiene la virtud de avanzar desde la concepción de la sola relación enseñanzaaprendizaje hacia un abordaje más integral, en el que se tome en consideración
diversos aspectos tales como el entorno de acción, los aspectos individual y social
en el que se desenvuelve el individuo.
Aunque no hay consenso sobre el concepto de competencia, sí existen algunos
elementos (Le Boterf, 2001; Molina, 2006; Molina, 2005) que deben estar abarcados por él; podemos mencionar los siguientes:
•
•
•
Las competencias movilizan e integran conocimientos, habilidades y actitudes, aunque ellas en sí mismas no corresponden a ninguno de ellos.
La movilización de recursos solo es pertinente en situación.
La acción producto de una competencia requiere de operaciones mentales
complejas que permiten determinar y realizar esa acción adaptada a una si-
Competencias matemáticas en la enseñanza media
61
tuación particular.
• Las competencias se crean en el proceso formativo, pero también se desarrollan y se pueden crear otras a través de las circunstancias en las que se
desenvuelve el individuo.
Estos elementos determinan que, al menos en el plano especíico de las matemáticas, un abordaje por competencias conllevaría que la persona se pueda encontrar más capacitada para analizar lo que el entorno le ofrece, puede decidir con
mayores elementos de juicio entre diferentes alternativas y, en general, sea más
crítica.
Por otra parte, un enfoque por competencias en la enseñanza media requeriría
tomar en consideración diversos elementos como la fundamentación del currículo, los planes y programas de estudio especíicos, el desarrollo de la lección y las
tareas asignadas, la evaluación y la formación inicial y continua del profesorado.
Todo esto requeriría de un debate previo con la participación de diversos actores,
que permitiera establecer las competencias tanto generales como especíicas de
cada asignatura que se desea lograr en los estudiantes.
En el caso particular de la enseñanza media costarricense, de acuerdo con el análisis realizado, se concluye que se tiene en mente que los estudiantes adquieran
ciertas competencias tanto generales como matemáticas acorde con aquellas que
diferentes autores han citado. Sin embargo, este es solo un aspecto entre muchos
puesto que podemos preguntarnos, entre otras cosas: ¿hay condiciones apropiadas para llevar a cabo las diversas labores requeridas para que los estudiantes
adquieran esas competencias?, ¿están formados los profesores para asumir un
enfoque por competencias de manera apropiada?
Referencias y bibliografía
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Yuri Morales López
Escuela de Matemática
Universidad Nacional
Costa Rica
ymorales@una.ac.cr
Resumen
En este artículo se pretende un acercamiento hacia cuáles deben ser las
competencias tecnológicas que deben estar presentes en los currículos
de los futuros docentes en matemática. Para esto, se analizan distintas
propuestas, tanto nacionales e internacionales, sobre lo que signiica la
tecnología en nuestra realidad y, con base en esto, se pretende ofrecer
al lector una panorámica global sobre este tipo de competencias.
Palabras clave
Competencias tecnológicas, enseñanza, aprendizaje, matemática, currículo, formación de docentes.
Abstract
This article seeks a rapprochement towards what should be the technological competencies that must be present in the curriculum of future
teachers in Mathematics. To do this, it analyzes different proposals,
both local and international, about the implications of technology in
our reality and, based on this, it is intended to provide the reader with
an overview on such competencies.
Key words
Technological Competencies, Teaching, Learning, Mathematics Curriculum, Teacher Training.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 63-80.
Costa Rica
64
Yuri Morales López
1. Introducción
La realidad nacional e internacional muestra que el impacto de la tecnología es
cada vez mayor en todos los sectores de la sociedad. Estos sectores, a su vez, urgen
de profesionales capacitados en el uso de la tecnología como una herramienta para
potenciar sus habilidades y así ofrecer mayores aportes en sus labores.
En este sentido, Costa Rica es un país que puede ofrecer al mundo profesionales
de este calibre, siempre y cuando las políticas de inversión en educación, investigación y tecnología estén acordes con las necesidades en equipo y de profesionales
capacitados. Asimismo, no sólo se trata de una inversión económica en estas áreas
prioritarias, sino que se trata de una gestión equilibrada entre las posibilidades que
ofrece nuestra economía y un replanteamiento de lo que se desea como país.
En el sector educación, las políticas deben dirigirse a inversión en infraestructura,
equipo, becas, entre otros, y al mismo tiempo, políticas sensatas de inversión en
investigación educativa e innovación tecnológica.
En este momento, parece claro que poseer tecnología no signiica saber cómo utilizarla y, cada vez, más académicos parecen encontrar en ésta una esperanza de
dotar de mayor calidad a todos los sectores de la educación. Lo que aún no parece estar claro es que para aprovechar esos recursos se deben plantear estrategias
para conocer cómo incorporarlas al currículo nacional, cuál es el impacto que éstas
pueden tener y, además, cuál es el papel de los profesionales especializados en la
incorporación de la tecnología en el sector educativo; a criterio del autor, uno de los
retos es, también, asimilar que el mayor nicho para generar un cambio en todos los
sectores de la educación costarricense es el lugar donde son formados los docentes:
las universidades.
Las problemáticas relacionadas con este tema se ven relejadas, por ejemplo, en estudios como el I Informe del Estado de la Educación Costarricense (2005) donde se
airmó que, desde un punto de vista institucional, uno de los problemas involucrados en las posibilidades de los jóvenes por permanecer en secundaria es la escasez
en los logros en la formación de formadores.
Indiscutiblemente, la enseñanza de la matemática en secundaria no escapa a estas
situaciones; en el ámbito nacional, han surgido investigaciones relacionadas con
la formación de docentes en esta área; por ejemplo, Chaves (2003) trabajó sobre
la percepción de los actores y determinó, entre otras, la siguiente problemática: el
empleo de herramientas tecnológicas (en la formación de formadores) no juega
un papel preponderante; a su vez, este autor señala que un programa que obvie el
impacto tecnológico en la sociedad “corre el riesgo de quedarse rezagado y sus
egresados tendrán serios problemas para incorporarse exitosamente a una sociedad
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
65
demandante de conocimiento tecnológico” (Chaves, 2003, p. 102).
Autores como Barrantes (2003) sugieren que las universidades deben revisar sus
planes de estudio en la formación de formadores y adecuarlos a los nuevos requerimientos acorde con lo que se espera de esta disciplina en la enseñanza media. De lo
anterior se desprenden dos preguntas fundamentales: ¿cuál es el cambio necesario
dentro del quehacer en la formación de formadores de matemáticas? Y, ¿qué papel
juega la tecnología en este nuevo orden?
Una pista podría encontrarse en lo que airmó Ruiz en el 2001: “En matemáticas,
para dar un ejemplo, las nuevas tecnologías permiten reorganizar el currículum
debilitando énfasis calculatorios y promoviendo los aspectos conceptuales, las aplicaciones, las interrelaciones con otras áreas cientíicas o tecnológicas, etc.” (pp.
142-143). Esto, en sí, puede puntualizar el hito a seguir: el currículum.
Las tendencias a nivel internacional actualmente apoyan esta posición; la necesidad de homogenizar criterios en lo que respecta a la calidad de la educación y
las oportunidades de los futuros profesionales se ha visto traducida en programas
especíicos como: El proyecto Tuning (2001) para Europa y Tuning para América
Latina (2004), el Programa para la Evaluación de Alumnos de la OECD (PISA,
2006), entre otros.
Estos se han convertido en algo más que una serie de programas; en el ámbito internacional, hoy son aceptados como una metodología mediante la cual, la educación
sea comparable, y aún más relevante, se dirijan esfuerzos para alcanzar los mejores
estándares en la calidad de la educación. Es en este sentido que la tendencia apunta
a una reorganización curricular basada en las competencias.
Retomando lo anterior, en este trabajo se pretende esclarecer cuáles pueden ser las
competencias tecnológicas que deben estar presentes en los currículos de los futuros docentes en matemática. Para esto, se analizan distintas propuestas, nacionales
e internacionales sobre lo que representa la tecnología en nuestra realidad y, con
base en esto, se pretende ofrecer al lector una panorámica global sobre este tipo de
competencias.
2. Competencias tecnológicas para la educación matemática
2.1 ¿Qué se entiende por competencia?
Existe una amplia literatura donde se ha tratado de deinir lo que signiica una
competencia; López y Flores (2006) mencionan como un ejemplo que existen
66
Yuri Morales López
autores que han presentado hasta veinte deiniciones distintas para lo que se puede entender por una competencia; en general, éstas hacen mención a conceptos
como conocimientos, aplicación, destrezas, actitudes y aspectos de la vida.
Otra fuente es el informe de Tuning para América Latina (2004-2007) donde se
mencionan las competencias que los portadores de un título deben ser capaces de
alcanzar. En este sentido, las competencias pueden ser caracterizadas porque se
pueden adquirir mediante un proceso (y son susceptibles a desarrollarse) y están
relacionadas con las capacidades; no se está predeinido para poder desarrollar
una competencia y no se trata, solamente, de lo que un individuo puede hacer en
un trabajo especíico.
En este mismo informe se deinen las competencias como “una combinación de
atributos respecto al conocer y comprender (conocimiento teórico de un campo
académico); el saber cómo actuar (la aplicación práctica y operativa a base del
conocimiento); y al saber cómo ser (valores como parte integrante de la forma de
percibir a los otros y vivir en un contexto” (Tuning para AL, 2007, p.25).
Como se desprende de la deinición anterior, una competencia no signiica que
todo deba ser valorado como una habilidad, sino que, también están en juego
factores como los conocimientos o saberes y la sociedad. Tal vez, estas últimas
consideraciones son más cercanas al concepto que expresa el Proyecto Tuning
para Europa: “las competencias representan una combinación dinámica de conocimiento, comprensión, capacidades y habilidades” (González y Wagenaar, eds,
2006, p. 37).
Dado esto, también se puede mencionar que, comúnmente, se deinen dos tipos
de competencias: competencias generales las cuales son competencias presentes
en todos los cursos y en todas las titulaciones (se deinieron 27 competencias
genéricas para América Latina ver la Tabla 1); concretamente son competencias
que todo profesional debe poseer; por otro lado, las competencias especíicas, las
cuales se relejan en un programa especíico (la Tabla 2 muestra las 23 competencias especíicas para el área de la Matemática).
Tabla 1. 27 competencias genéricas de Tuning para América Latina.
1) Capacidad de abstracción, análisis y síntesis 2) Capacidad de aplicar los conocimientos en
la práctica.
3) Capacidad para organizar y planiicar el 4) Conocimientos sobre el área de estudio y la
tiempo.
profesión.
5) Responsabilidad social y compromiso ciu- 6) Capacidad de comunicación oral y escrita.
dadano.
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
67
7) Capacidad de comunicación en un segundo 8) Habilidades en el uso de las tecnologías de la
idioma.
información y de la comunicación.
9) Capacidad de investigación.
10) Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente.
11) Habilidades para buscar, procesar y analizar 12) Capacidad crítica y autocrítica.
información procedente de fuentes diversas
13) Capacidad para actuar en nuevas situacio- 14) Capacidad creativa.
nes.
15) Capacidad para identiicar, plantear y resol- 16) Capacidad para tomar decisiones.
ver problemas.
17) Capacidad de trabajo en equipo.
18) Habilidades interpersonales.
19) Capacidad de motivar y conducir hacia me- 20) Compromiso con la preservación del metas comunes.
dio ambiente.
21) Compromiso con su medio socio-cultural.
22) Valoración y respeto por la diversidad y
multiculturalidad.
23) Habilidad para trabajar en contextos inter- 24) Habilidad para trabajar en forma autónonacionales.
ma.
25) Capacidad para formular y gestionar pro- 26) Compromiso ético.
yectos.
27) Compromiso con la calidad.
Fuente: Extraído de Tuning para AL, 2007, pp.44-45.
Tabla 2. 23 competencias especíicas para el área de Matemática según Tuning para
América Latina.
1. Dominio de los conceptos básicos de la ma- 2. Capacidad para construir y desarrollar artemática superior.
gumentaciones lógicas, con una identiicación
clara de hipótesis y conclusiones.
3. Capacidad para expresarse correctamente, 4. Capacidad de abstracción, incluido el desautilizando el lenguaje de la Matemática.
rrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas.
5. Capacidad para formular problemas en len- 6. Conocimiento de la evolución histórica de
guaje matemático, de forma tal que se faciliten los conceptos fundamentales de la matemática.
su análisis y su solución.
7. Capacidad para iniciar investigaciones mate- 8. Capacidad para formular problemas de opmáticas, bajo la orientación de expertos.
timización, tomar decisiones e interpretar las
soluciones en los contextos originales de los
problemas.
9. Capacidad para contribuir en la construcción 10. Capacidad para utilizar las herramientas
de modelos matemáticos, a partir de situacio- computacionales de cálculo numérico y simbónes reales.
lico para plantear y resolver problemas.
11. Destreza en razonamientos cuantitativos.
12. Capacidad para comprender problemas y
abstraer lo esencial de ellos.
68
Yuri Morales López
13. Capacidad para extraer información cuali- 14. Disposición para enfrentarse a nuevos protativa de datos cuantitativos.
blemas en distintas áreas.
15. Capacidad para trabajar con datos experi- 16. Capacidad para comunicarse con otros promentales y contribuir a su análisis
fesionales no matemáticos y brindarles asesoría en la aplicación de las matemáticas en sus
respectivas áreas de trabajo.
17. Capacidad para trabajar en equipos inter- 18. Capacidad para presentar los razonamiendisciplinarios.
tos matemáticos y sus conclusiones, con claridad y precisión y de forma apropiada para la
audiencia a la que van dirigidos, tanto oralmente como por escrito.
19. Conocimiento básico del proceso de ense- 20. Dominio de la matemática elemental, es
ñanza-aprendizaje de las matemáticas.
decir, la que se debe incluir en a enseñanza preuniversitaria.
21. Capacidad de participar en la elaboración 22. Capacidad para detectar inconsistencias.
de los programas de formación matemática en
los niveles preuniversitarios
23. Conocimiento del Inglés para leer, escribir
y exponer documentos en inglés, así como comunicarse con otros especialistas.
Fuente: Extraído de Tuning para AL, 2007, pp.241-242.
En el próximo apartado se rastreará, especíicamente, la habilidad en el uso de las
tecnologías de la información y de la comunicación, y los resultados obtenidos
en Tuning para América Latina respecto a los académicos, graduados, estudiantes
y empleadores.
Por otro lado, aunque se desea, en este trabajo no es posible profundizar en las
distintas concepciones sobre los currículos basados en competencias y todas sus
relaciones con áreas especíicas; por esta razón, en los próximos apartados nos
enfocaremos en las competencias tecnológicas en el área de la Enseñanza de la
Matemática. (Para profundizar en el concepto de las competencias y competencias especíicas en Matemática, ver Puig (2008), OECD (2003), Proyecto 6X4
(2008))
2.2 Sobre las distintas competencias tecnológicas en la Educación Matemática
Como se mencionó anteriormente, una de las competencias generales deinidas
en Tuning para América Latina es la habilidad en el uso de las tecnologías de la
información y de la comunicación; en los resultados obtenidos en la investigación relacionada a Tuning se determinó que tanto en los grupos de estudiantes y
graduados, así como el grupo de los empleadores consideraron que esta competencia es una de las más importantes y de las que presenta mayor distancia con
los logros alcanzados; solamente el grupo de los académicos consideraron que
(siendo importante esta competencia) su distancia con los logros no es alta. Es
decir, el grupo de los académicos es el único que considera que la incorporación
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
69
de la tecnología en la educación ha sido satisfactoria.
Lo anterior es una buena señal para especular que la percepción de lo que el universitario académico considera que se logra en el aula con el uso de la tecnología
no es compartida por los otros sectores. ¿Es esto un indicador de que no se ha
sistematizado el proceso de la incorporación de la tecnología en las aulas universitarias, ni en la formación de docentes, mediante herramientas de investigación?
Esta hipótesis, también, puede estar marcando una escasa madurez en el sector de
la educación superior respecto al uso de la tecnología como herramienta; igualmente, queda pendiente relexionar sobre cuál es el impacto de esta percepción en la
calidad de la educación. Lo anterior también puede indicar que algunos estudiantes
están adquiriendo ciertas competencias y destrezas en ambientes computacionales
lúdicos – massively multiplayer online role-playing game (MMORPG) como Lineage 2, World of Warcraft y Sims – y en ambientes relacionados con comunidades
virtuales, como HI-5, FaceBook y Myspace, que parecen ser de interés para los empleadores y que la academia parece no aceptar como validas. De esta manera, muchos empleadores podrían desear que su personal tenga destrezas y conozca cómo
desenvolverse en ambientes virtuales, que conozca cómo interactuar con otros y, lo
más importante, que sea productivo inclusive, on line.
En este sentido, el Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA,
2006) es más abierto respecto al tema de competencias tecnológicas en áreas especíicas; por ejemplo, se menciona el uso de la tecnología como una habilidad
general y profundiza en un instrumento especializado que incluye emplazamiento, desenvoltura y actitudes; además, se realizan estudios relacionados con el momento para aprender a utilizar la tecnología computacional (Ver OECD, 2005).
Tomando en cuenta estos resultados, a continuación se analizan algunas posiciones respecto a estas competencias en la carrera de Enseñanza de la Matemática
tratando de construir, simultáneamente, una percepción coherente con las necesidades en la educación superior en Costa Rica.
En primera instancia, Quintanilla (2000) deinió las siguientes competencias tecnológicas respecto a los docentes en formación: el conocimiento y utilización de
los equipos informáticos estándar; conocimiento y uso funcional y creativo de los
programas informáticos instrumentales estándar y de páginas Web de referencia;
de tratamiento de la información: búsqueda, adquisición y procesamiento. En este
caso, es necesario señalar que en la propuesta de Quintanilla (2000) no se incluye explícitamente competencias relacionadas con CSCL (Computer Supported
Collaborative Learning). Esta última es relevante, pues existen estudios como
Ruiz, Jorrín y Villagrá (2007) donde demostraron mediante una serie de análisis
comparativos que los estudiantes no solamente pueden construir competencias
sobre aprendizaje colaborativo, sino que, además, se estimulan competencias tecnológicas relacionadas en el área de la investigación.
70
Yuri Morales López
Por otra parte, López y Flores (2006) señalan que las competencias que los futuros docentes deben poseer respeto al uso de las tecnologías están más relacionadas con su labor de aula, ejempliicando y viviendo los posibles usos. Estos
autores resaltan las siguientes competencias:
a) Competencias básicas en el uso de las TIC. Elementos necesarios para el manejo
y divulgación del conocimiento.
b) Competencias en el uso de las TIC para la navegación. Elementos necesarios
para la comprensión y gestión de recursos mediante redes (Internet).
c) Competencias en el uso de las TIC como medios de comunicación. Elementos relacionados con la comunicación por correos, foros, blogs y construcción de Wikis.
d) Competencias en el uso de las TIC como medios para el aprendizaje. Herramientas para mediación y formación continua.
El estudio realizado por Godoy (2006) sobre competencias tecnológicas y rendimiento académico de los estudiantes universitarios es fundamental pues, es uno
de los que, de forma causal, trata de explicar el impacto que tuvo la incorporación
del uso de las tecnologías en los currículos de educación superior (en este caso
en Venezuela); en este trabajo se utilizó un índice de habilidades en TIC construido por SEUSISS PROJECT (2003) llamado ICT Skills Index (ISI) el cual es
una escala de puntuación para medir las habilidades de los estudiantes respecto a
distintas herramientas.
Este estudio logró determinar que los tipos de software prioritarios (para cualquier
estudiante de educación superior) son los orientados al: diseño Web, manejador de
presentaciones, bases de datos, programas para elaborar gráicos, hojas de cálculo,
bases de datos bibliográicas en línea, navegadores Web, programas de correo electrónico, aplicaciones para Chat, y procesadores de texto. Entre los resultados más
relevantes de éste, sobresale el hecho de mostrar que los estudiantes que enfrentan
pequeñas situaciones del e – learning obtienen un valor más alto en el ICT Skills
Index y, por otro lado, se logró conirmar que “involucrarse en buenas prácticas
educativas relacionadas con la tecnología, inluye positivamente sobre el número
de aplicaciones software que se pueden manejar” (Godoy, 2006, p. 669).
Por otro lado, en un trabajo realizado por Silva, Gros, Garrido y Rodríguez (2006),
respecto a los estándares tecnológicos para la formación inicial docente en Chile,
se establecieron 6 dimensiones en las que deben circundar, según los autores, las
propuestas de competencias en la formación de formadores:
1.La primera (básica-mínima) relacionada con el manejo y uso propiamente operativo de hardware y software,
2. diseño de Ambientes de Aprendizaje entendida como la habilidad y/o destreza
para organizar entornos de enseñanza y aprendizaje con uso de tecnología,
3. vinculación TIC con el Currículo, donde se da importancia a realizar un proceso
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
71
de aprendizaje, desde las necesidades de los sectores curriculares (norma curricular) que permita contextualizar los aprendizajes,
4. evaluación de recursos y aprendizaje, centrada en las habilidades para evaluar
técnica y críticamente el impacto de uso de ciertos recursos y organización de
entornos de aprendizaje,
5. mejoramiento profesional entendido como aquellas habilidades y destrezas que
permiten a los docentes, dar continuidad a lo largo de la vida, a procesos de aprendizaje de y con TIC,
6. ética y valores orientada a elementos legales y de uso ético de recursos.(p. 7)
En un trabajo posterior, Garrido, Gros y Rodríguez (2008), mencionan que en este
tipo de enfoque, al menos deben existir cuatro grandes áreas temáticas o grupos
de competencias: pedagógica, colaboración y trabajo en red, aspectos sociales
y aspecto técnicos. En la propuesta principal, Silva, Gros, Garrido y Rodríguez
(2008) lograron establecer 16 estándares distintos, agrupados en 5 nuevas dimensiones (área pedagógica, aspectos sociales, éticos y legales, aspectos técnicos,
gestión escolar y desarrollo profesional) y que contienen 78 indicadores respecto
al uso de las TIC en la formación inicial docente.
2.3 Aproximando las competencias tecnología del futuro docente de enseñanza de la matemática.
Con base en los aportes anteriores, a continuación se brinda una primera oferta
sobre algunos temas que se deben incluir en relación con las competencias tecnológicas necesarias para la formación de los docentes en matemática; todo esto
buscando una apropiación de la herramienta por parte del futuro profesor.
Para esto, se hace necesario contar con los aportes de un último proyecto llamado Proyecto 6x4 UEALC que en su informe inal presenta un trabajo de Verdejo
(2008), quien se enfoca hacia la evaluación por competencias. Aunque este documento contiene elementos signiicativos sobre las mismas, en éste se realiza
una explicación sobre su diseño; en la medida de lo posible, se trató de aplicar
este modelo para la construcción de la siguiente propuesta, la cual es el producto
principal de este trabajo.
Competencias tecnológicas básicas
1. El docente explica los principales conceptos asociados a las TIC y, en especial,
al ordenador.
2. El docente manipula adecuadamente las funciones del ordenador.
3. El docente conoce funciones de administración de archivos en un sistema operativo.
4. El docente construye documentos para la comunicación de ideas pasadas en
72
Yuri Morales López
procesadores de texto, hojas de cálculo y WYSIWYG en sus versiones On y
OffLine.
5. El docente maneja información relacionada con bases de datos en hojas de
cálculo.
6. El docente conoce el concepto de redes de comunicación como la Internet.
7. El docente maneja motores de búsqueda especializados en estas redes.
8. El docente domina el concepto de WEB 1.0, 2.0 y 3.0, y sus herramientas relacionadas (Blogs, wikis, chats, IP – comunicaciones, entre otros).
9. El docente conoce cómo compartir sus ideas en estas redes.
Competencias tecnológicas relacionadas con diversidad y ética computacional
10. El docente puede diferenciar entre software propietario y libre.
11. El docente reconoce la importancia del uso de materiales con derechos de
autor.
12. El docente es capaz de proponer ofertas sobre el uso de software educativo
de carácter libre.
Competencias tecnológicas relacionadas con la administración del proceso educativo
13. El docente es capaz de usar las hojas de cálculo como herramientas para manejar información respecto a su quehacer.
14. El docente es capaz de utilizar los procesadores de texto como una herramienta para la presentación de información relacionada a su quehacer (exámenes,
informes, planes, minutas).
Competencias tecnológicas relacionadas con la administración pedagógica del
proceso educativo
15. El docente conoce el papel de la tecnología en el currículo nacional.
16. El docente es capaz de proponer estrategias para la incorporación efectiva de
la tecnología como elemento de mediación pedagógica.
17. El docente puede valorar el impacto de otras propuestas.
Competencias tecnológicas relacionadas con metodologías en el proceso educativo
18. El docente sabe incorporar metodologías como WebQuest.
19. El docente analiza la incorporación de la tecnología en modelos basados en la
resolución de problemas.
20. El docente puede plantear estrategias basadas en Computer Algebraic Systems (CAS), software de geometría dinámica (SGD), software estadístico y software orientados a la modelización de fenómenos.
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
73
Competencias tecnológicas relacionadas con comunidades virtuales y el Blended
Learning
21. El docente conoce los conceptos del e– learning y el Blended – learning.
22. El docente puede estimular el trabajo colaborativo on-line.
23. El docente conoce la jerarquía sobre la creación de identidades en la virtualidad.
Competencias relacionadas con software especíico
24. El docente puede crear construcciones en los SGD y problematizar las visualizaciones.
25. El docente puede utilizar los CAS como herramientas para la simpliicación
de cálculos.
26. El docente es capaz de esbozar diagramas de lujo respecto a rutinas basadas
en métodos numéricos.
27.El docente es capaz de comprender rutinas preconstruidas para el análisis de
datos y aproximaciones a soluciones en temas de matrices, ecuaciones, diferenciación e integración numérica).
2.4 Relación de las competencias tecnológicas propuestas con las competencias especíicas deinidas para el área de Matemática por Tuning para América Latina.
Las competencias planteadas anteriormente fueron la culminación de un proceso
de relexión, diseño y construcción por parte del autor. Con el objetivo de evaluar
su importancia y pertinencia en los currículos de formación en esta área se han
seleccionado las competencias enumeradas de la 18 hasta la 20. En este apartado
se explica de qué manera se concibieron y construyeron algunas de ellas y su relación con las 23 competencias especíicas planteadas en el Proyecto Tuning; en
los siguientes párrafos se explican algunas de estas relaciones.
Se puede empezar ilustrando las competencias relacionadas con metodologías en
el proceso educativo. En primer lugar, al proponer que el docente sabe incorporar metodologías como el WebQuest se prepara un escenario en el cual el profesor pueda atender, desde aspectos cognitivos hasta propuestas metodológicas.
Por ejemplo, la competencia especíica en el área de la matemática relacionada
con el conocimiento de la evolución histórica de los conceptos fundamentales de
la matemática (N°6 - tabla 2) podría plantearse a través de este tipo de trabajo;
para esto, se hace necesario que el currículo se adapte para estimular nuevas
destrezas en el estudiante; además, se hace necesario que el futuro docente sea
capaz de implementar metodologías basadas en el uso de redes y respectando los
principios de socialización.
74
Yuri Morales López
De esta manera, esta competencia tecnológica también puede estar relacionada
o puede estimular la capacidad de trabajar en equipos interdisciplinarios (N°17
- tabla 2) donde, por ejemplo, el profesor se haya enfrentado a una serie de situaciones contextualizadas. Además, conocer cómo plantear estas metodologías
puede estimular la capacidad para presentar los razonamientos matemáticos y sus
conclusiones, con claridad y precisión y de forma apropiada para la audiencia a
la que van dirigidos, tanto oralmente como por escrito (N°18 - tabla 2). De igual
importancia, también se puede planiicar formas de potenciar el conocimiento del
Inglés para leer, escribir y exponer documentos en inglés, así como comunicarse
con otros especialistas (N°23 - tabla 2); ver tabla 3.
Tabla 3
Competencia sobre con la incorporación de metodologías relacionada con las competencias N°6, N°17, N°18 y N°23 de las competencias especíicas para el área de
Matemática según Tuning para AL.
El docente sabe incorporar metodolog[ias como el WebQuest
Conocimiento
de la evolución
histórica de los
conceptos fundamentales de la
matemática
Presentar los razonamientos matemáticos y
sus conclusiones, con
claridad y presición y de
forma apropiada para la
audiencia a la que van
dirigidos, tanto oralmente
como por escrito
la capacidad de
trabajar en equipos
interdisciplinarios
Conociemiento de
inglés para leer, escribir
y exponer documentos
en inglés, así como
comunicarse con otros
especialistas
En segundo lugar, la propuesta relacionada con que el docente sea capaz de analizar
la incorporación de la tecnología en modelos basados en la resolución de problemas tiene, en comparación a la anterior, mayor correspondencia (pero no mayor o
menor relevancia) sobre aspectos relacionados a la componente de investigación. Es
decir, habilidades como la capacidad para contribuir en la construcción de modelos
matemáticos, a partir de situaciones reales (N°9 - tabla 2) pueden potenciarse mediante el análisis del uso de la tecnología para describir situaciones especíicas. Desde
luego, un punto esencial es que, tener como eje la resolución de problemas también
es decidir cuándo es conveniente, o no, su uso; esto puede estimular la capacidad para
comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos (N°12 - tabla 2) esto también
guarda estrecha relación con capacidad para utilizar las herramientas computacionales de cálculo numérico y simbólico para plantear y resolver problemas (N°10 - tabla
2).
Simultáneamente, se consideraron las siguientes competencias: capacidad para construir y desarrollar argumentaciones lógicas, con una identiicación clara de hipótesis
y conclusiones (N°2 - tabla 2), capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico
de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas (N°4 - tabla 2), capacidad para
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
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iniciar investigaciones matemáticas, bajo la orientación de expertos (N°7 - tabla 2),
destreza en razonamientos cuantitativos (N°11 - tabla 2), disposición para enfrentarse
a nuevos problemas en distintas áreas (N°14 - tabla 2) y la capacidad para trabajar con
datos experimentales y contribuir a su análisis (N°15 - tabla 2).
En la medida en que se construyeron las competencias anteriores, surgió la necesidad
de construir, además, un “par” que proporcionara información respecto al uso de software especializado en álgebra, geometría y/o estadística: el docente puede plantear
estrategias basadas en Computer Algebraic Systems (CAS), software de geometría
dinámica (SGD), software estadístico y software orientados a la modelización de fenómenos.
Para esta competencia es necesario, no solo un manejo computacional básico, sino
que, se hace necesario capacidades para expresarse correctamente, utilizando el lenguaje de la Matemática; la capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de
teorías matemáticas y las relaciones entre ellas; capacidad para formular problemas
en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución; capacidad para contribuir en la construcción de modelos matemáticos, a partir de situaciones reales, capacidad para comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos;
disposición para enfrentarse a nuevos problemas en distintas áreas y por último, la
capacidad para trabajar con datos experimentales y contribuir a su análisis (N°3, N°4,
N°5, N°12, N°14, N°15 - tabla 2, respectivamente).
En la práctica, la utilidad de estas relaciones sería inmediata, pues, es obvio que se
pretende un contexto en el que se prepare al docente en herramientas tecnológicas,
pero, que a la vez sea capaz de comprender estas en un entorno educativo formal; Es
decir, que sea capaz de entender y “manipular” situaciones que enfrenten al estudiante ante retos y no solamente ejemplos. No se trata de enfrentar al estudiante ante retos
donde se involucre como objetivo principal el uso de uno de estos software, sino, que
pueda proponer e investigar actividades enriquecidas con estos.
Si se supone por un momento que se desea incorporar el uso de SGD en ciertos cursos
de una carrera de enseñanza de la Matemática con el in último que el futuro docente
cuente con estas herramientas, entonces se puede prever que, al menos se deben sistematizar tres etapas mínimas: uso técnico, estrategias básicas y nuevas estrategias.
Aunque, en cierto modo, se puede pensar que estas etapas son bien conocidas, la problemática radica en que, a criterio del autor, algunos de los programas de formación
para los formadores de matemática, suponen mayor énfasis en las dos primeras etapas. En resumen, el otorgar mayor signiicado a estas etapas reproduce ambigüedades
en currículos inyectados de tecnología por sí misma y en el segundo caso, la tecnología favoreciendo estrategias de un modelo curricular fragmentado y antagónico a las
necesidades actuales.
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Yuri Morales López
Consecuentemente, no es posible demandar estrategias novedosas a un grupo de estudiantes que enfrenta varios años de estrategias vinculadas a la formación magistral.
Es aquí donde se debe poner la mirada en aportes novedosos relacionados con SGD
como los de Connor, Moss y Grover (2007), Fuglestad (2007), Cho, Song y Kim
(2007), Zodik y Zaslavsky (2007), Jungwirth (2006), Santos y Páez (2007), Guven y
Kosa (2008), Todd y Wiechmann (2008), Falcade, Laborde y Mariotti (2007), Larios
(2006), Uicab y Oktaç (2006), Kyttälä y Lehto (2008) congruentes con estrategias
basadas en la resolución de problemas y enriquecidas con uso de tecnologías.
Además de exponer y ejempliicar estas estrategias al estudiante, se suponen, desde
ajustes en la práctica docente universitaria, hasta rediseños en los currículos en las
carreras de los futuros formadores en matemática.
Puesto que el currículo de muchas de estas carreras está orientado por los contenidos,
es necesario dar espacio a los componentes prácticos del área temática, sin dejar de
lado la importancia de conocer la teoría que sustentan las aplicaciones. Una actividad
inherente a este tipo de programas educativos universitarios debe ser los proyectos a
mediano y largo plazo con el objetivo de promover la investigación junto a la historia
y las herramientas tecnológicas.
Como cierre de este apartado y como parte inal de esta propuesta se exponen algunas
de las tareas que, a criterio del autor, deben ser inmediatas en el quehacer actual de
muchas de las carreras de enseñanza de la Matemática, en lo que al uso de las TICs
como herramientas se reiere:
•
•
•
•
•
•
•
Evaluar la pertinencia de rediseñar los currículos bajo las perspectivas de los
currículos por competencias.
reformulación de los currículos de tal manera que sean susceptibles a cambios en
las estrategias metodológicas basadas en la resolución de problemas, la historia y
la tecnología como herramienta;
armonizar los currículos de tal manera que la tecnología no reproduzca yerros
ya detectados y sean integrales con las competencias en áreas como: matemática
pura, matemática aplicada y la educación;
en muchos casos, iniciar con los procesos de evaluación de los alcances y el
impacto que puede tener un currículo fortalecido con tecnología en los futuros
docentes.
adoptar procesos de acreditación nacional e internacional;
impulsar la investigación efectiva en el uso de herramientas tecnológicas (tanto
en términos de matemática aplicada como de carácter educativo) durante tiempo
efectivo de las carreras y no solamente en los cursos de estrategias educativas;
redimensionar y delimitar las etapas donde se pretende la aprehensión de software, el uso de software para la investigación y la matemática aplicada o el uso
del software como herramienta didáctica. Para el autor, uno de los principales
En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas
•
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errores que se han cometido en los currículos ha sido confundir la utilidad que tiene un software para la investigación en matemática aplicada con su utilidad pedagógica. Es decir, se piensa erróneamente que si un software es útil para aproximar
series, resolver ecuaciones diferenciales, integrales, geometría dinámica, estadística, entre otros, entonces tiene, a priori, un alto valor didáctico, y viceversa.
Asimismo, es necesario un rediseño de escenarios de aprendizaje mediante el uso
de las herramientas tecnológicas, bases de datos y la Internet como herramientas
de investigación, comunicación y divulgación de resultados.
3. Discusión y conclusiones
Como se mencionó, la literatura y las investigaciones señalan que la problemática
sobre el tema de la incorporación tecnológica aún se encuentra vigente, inclusive,
en los programas internacionales de educación superior. Se debe seguir promoviendo la sistematización de conocimiento respecto a esta incorporación, sus posibles impactos y la especialización de docentes y, además, se debe experimentar
con situaciones concretas. En este sentido, se concuerda con Silva y otros (2006),
al airmar que:
El desafío para la formación es pasar de esta etapa general a una más especíica, en
la cual se provea a los futuros docentes de un manejo operativo de la tecnología, de
conocimientos, herramientas y actitudes que le permitan aprovechar al máximo las
potencialidades de ésta para la mejora de los procesos de enseñanza, desarrollando
un aprendizaje más efectivo de los alumnos. (p. 14)
Por otro lado, debe comentarse que existe una estrecha relación entre esta propuesta y el concepto de currículo basado en competencias, por lo que, naturalmente, no se puede omitir que el impacto (provechoso o no) de las tecnologías
depende en gran medida de la propuesta curricular vigente. Como se mencionó,
los programas internacionales (Tuning, PISA, 6X4, entre otros) ofrecen una buena perspectiva sobre ¿hacia dónde debe dirigirse o “reorganizarse” los currículos
nacionales?
En in, este trabajo pretende incrementar la comprensión de la tecnología como
un recurso útil en un currículo basado en competencias. Además, se desea que
éste se convierta en un punto de partida para la discusión en la academia sobre
lo que pueden representar las competencias tecnológicas en la educación de docentes en Matemática y, consecuentemente, deinir, entre todos, cuáles son las
competencias necesarias y cómo contextualizarlas dentro de los distintos centros
de formación de formadores en esta área. Asimismo, cuáles de éstas pueden ser
consideradas como especíicas, transversales, generales, según un programa o carrera determinada. Esta es una razón más por la que es preciso la puesta en escena
de proyectos e investigaciones relacionadas con estos temas.
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Yuri Morales López
En este momento, la principal tarea pendiente en muchas carreras es conformar
un grupo de trabajo para la evaluación académica inicial en el tema del uso de
herramientas tecnológicas en el contexto de la formación de formadores en matemática, con el objetivo de ajustar y perfeccionar este tipo de propuesta. Además, es necesario iniciar con procesos de validación tanto en el sector académico,
como en los sectores conformados por los educandos, graduados, los profesionales en servicio y los empleadores.
En este caso, todos somos responsables de lograr un consenso sobre lo que para
nosotros representa un docente que pueda aprovechar los recursos tecnológicos;
como lo mencionan Beneitone y otros (2007) “la deinición de estas competencias es responsabilidad de los académicos, en consulta con otros grupos interesados en el tema. Al deinir competencias y resultados del aprendizaje, se desarrollan puntos de referencia consensuados, que sientan bases para la garantía de la
calidad” (p.16).
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PLATAFoRMA DEL DISCuRSo METoDoLógICo En
DoCEnCIA MATEMÁTICA: Lo SoCIo-CuLTuRAL Y Lo
LIngÜíSTICo CoMo CoMPETEnCIAS guíAS
Eliana D. Rojas
Neag School of Education
University of Connecticut, Storrs, EEUU.
Eliana.rojas@uconn.edu
Resumen
Este trabajo examina la importancia y beneicios del analizar el cómo
las características de los contextos socioculturales diversos median las
disposiciones e interacciones de los estudiantes de matemáticas y su impacto en el diseño y reforzamiento de competencias múltiples en docencia matemática. Subyacente está la preocupación por las experiencias
de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de estudiantes representantes de grupos étnicos y sociales tradicionalmente marginados.
Palabras clave
Matemática, etnomatemática, cultura, lenguaje, competencias, formación
profesional docente, Latin@
Abstract
This analysis looks at the importance and beneits of how the characteristics of diverse social contexts mediate the dispositions and interactions of the mathematics learners. Examine the relations between
culture and Teaching and Learning mathematics, it offers a thoughtful
treatment of the role of culture in the teaching and learning of mathematics and do synthesize literature that is relevant to this concern from
multiple sub disciplines in education including sociology, sociolinguistics, and critical theory.
Key words
Competences, Mathematics, Ethnomathematics, Mathematics Literacy, Cultural Pedagogy, Latin@
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 81-105.
Costa Rica
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Eliana D. Rojas
1. Introducción
Los análisis discursivos de las comunicaciones de profesores y del personal de
escuelas que concentran sectores estudiantiles de alta vulnerabilidad, revelan consistentemente la reacción inquieta y confusa de profesores e investigadores, sorprendidos y azorados, frente al discurso desorientado y fuera de contexto de los
niños, niñas y jóvenes provenientes de culturas diversas y/o de extrema pobreza.
Estos jóvenes se expresan de manera confusa, y son más concretos que abstractos
en su pensar, con matices mágicos y sobrenaturales, en vez de los esperados tonos
lógicos y racionales; con extrema carencia en el manejo del vocabulario esencial y
poco “cientíicos” en su modo de usar el lenguaje y en la forma cómo enfrentan y
cómo entienden los problemas. Diieren de de los criterios establecidos y deinidos
formalmente en los estándares de competencias. En su análisis los profesores e
investigadores reevalúan y revisan sus interpretaciones una y otra vez tratando de
encontrar alguna profundidad y coherencia en el pensamiento y uso del lenguaje de
estos jóvenes, no pocos rechazan desesperanzados la posibilidad de cambio en esta
tendencia al fracaso, y lo reducen a una frase irreverentemente aceptada “ellos…
ellas no quieren, no pueden”. En pocos casos se intenta validar las respuestas de
los alumnos conforme al reconocimiento de sus experiencias individuales, desde la
perspectiva de estos jóvenes, dándole validez a sus historias, a las de sus familias
y de su comunidad.
La mayoría de los programas para estos niños y niñas se enfocan en resolver los
“problemas” que llevarían consigo a la escuela en vez de desaiarles y concentrarse
en desarrollar sus fortalezas y talentos matemáticos. Persistentemente, la mayoría
de jóvenes en condición de vulnerabilidad son ubicados en clases de matemáticas con menores exigencias, y/o de educación especial (de discapacidad) debido,
primero a percepciones y creencias individuales e incorrectas acerca de la incompatibilidad de su lenguaje, su cultura y su pobreza con las demandas de la escuela, viéndoles como deicientes en vez de reconocer sus fortalezas, y segundo a la
inexistencia de un sistema justo de evaluación relevante y competente.
A medida que los principios de equidad e igualdad, guiados por el mandato de las
Naciones Unidas “educación para todos”, World Declaration on Education for All
(UNESCO, 1990), se imponen en los discursos de los gobiernos, la integración de
grupos escolares representando a minorías étnicas y sociales crece, aumentando la
diversidad social, lingüística y cultural de la población escolar en las aulas tradicionales. La exigencia de un reconocimiento y validación formal a estas nuevas
experiencias y a este nuevo conocimiento que se genera en estos cambiantes centros educativos, es indispensable. Estos desafíos obligan a los investigadores y
educadores a redeinir el rol del profesor, y a observar las dinámicas de interacción
Plataforma del discurso tecnológico docencia matemática : lo socio-cultural y lo lingüístico como competencias guías
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y discursos dentro y fuera del aula desde una nueva perspectiva. En los Estados
Unidos la población de estudiantes más signiicativa en términos de su impacto en
las dinámicas de enseñanza y aprendizaje de la matemática y lenguaje está representada por la juventud de descendencia Hispanoamericana. Los Latin@s -hijos
de inmigrantes provenientes de América Latina y el Caribe- representan la población escolar de más alto crecimiento en las aulas escolares norteamericanas. Estos
conforman el 15.1% (45.5 millones) de la población total norteamericana (U.S.
Census Bureau, 2007 American Community Survey). Mientras la matrícula de la
población tradicional de estudiantes disminuyó en un 10%, la población de jóvenes
estudiantes Latin@s (de grados K a 12º) aumentó en un 68% en la última década
(Pew Hispanic Center Research Report, October 5, 2006).
Al mismo tiempo que estas nuevas dinámicas ofrecen una oportunidad única para
enriquecer las experiencias educativas de cientos de jóvenes expuestos a estos nuevos ambientes, (nuevos idiomas, nuevas culturas, nuevos conocimientos) los resultados muestran un constante incremento en la brecha de desigualdad. Los jóvenes
Latin@s representan el 22 % de la cifra de deserción escolar a nivel nacional (National Center for Education Statistics, 2007)). Menos de un 4% tiene acceso a educación superior (University of Connecticut ALFAS Report, 2008). Estas diferencias se deben más que nada a diferencias con respecto a oportunidades y acceso a
recursos. Cerca de 40% de los/as jóvenes Hispan@s asisten a escuelas secundarias
donde el graduarse no es la norma. Las escuelas secundarias compuestas por una
mayoría de jóvenes de diversidad étnica social y/o lingüística, son cinco veces más
vulnerables a que menos de sus jóvenes (50%) se gradúen en cuatro años (Balfanz
& Legters, 2004). Mientras los estados de la nación norteamericana en general han
elevado los estándares y requisitos de graduación en matemáticas y han agregado
un currículo más riguroso, los jóvenes Latin@s continúan teniendo menor acceso
a Algebra I, puerta de entrada a Algebra II y cursos de mayor rigor (Achieve, 2007),
manteniéndose en peligro constante de no tener acceso a experiencias matemáticas
más enriquecedoras y por lo tanto de desertar y/o limitar su ingreso a educación
superior. La oferta curricular matemática en la escuela secundaria norteamericana
es altamente diferenciada, una variedad de cursos representando concentraciones
curriculares matemáticas y nivel de rigor variados han, tradicionalmente, limitado
el acceso a jóvenes de minorías lingüísticas a experiencias matemáticas de nivel
avanzado y por consiguiente ingreso a la educación superior.
La preocupación de investigadores y educadores comprometidos con la docencia
matemática, y la diversidad lingüística y cultural, ha generado preguntas múltiples
relacionadas con la identiicación de prácticas didácticas enfocadas en apoyar el
progreso académico de jóvenes inmigrantes Latin@s que ingresan a las escuelas
norteamericanas no sólo con bajo dominio del idioma dominante, sino de diversidad en el tipo y niveles de escolaridad, edad, lenguaje materno, educación de
los padres, condición social y otros. Estas preguntas incluyen no sólo elementos
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Eliana D. Rojas
relacionados con metodologías instruccionales, sino también con respecto a la
necesidad de implementar intervenciones drásticas en las áreas de lenguaje, cultura
y matemática.
Sin duda la presencia creciente de estos jóvenes en las aulas escolares alrededor
del mundo, a quienes en los Estados Unidos se identiica como Latin@s -English
Learners (L=ELs) (Rojas, 2009), ha impactado los temas y formas en que se hace
investigación en educación y replanteado preguntas y necesidades derivadas de
estos resultados. Los últimos indicadores recomendados revelan prácticas emergentes y de trascendencia prometedora y de aplicación validada a través de culturas
y comunidades. Esto los obliga a redeinir las tendencias e indicadores de competencias curriculares y pedagógicas en la carrera docente. El cuestionamiento al
impacto de quiénes y cómo se hace investigación y educación matemática con
respecto a estos jóvenes y desde qué “punto de vista” se analizan resultados y se
toman decisiones, ha generado una discusión desde el interior de las comunidades
de educadores y matemáticos/as latinos/as en los Estados Unidos y al interior de
América Latina y el Caribe. El impacto que estos diálogos tengan favorecerá el
desarrollo investigativo y práctico en ambos sectores.
En este trabajo trato de situar la discusión con respecto a las competencias pedagógicas que guiarían el discurso metodológico matemático en ambas arenas. Enfocada en la realidad educativa de los jóvenes Latin@s en los Estados Unidos,
trato de ampliar y transpolar experiencias de investigación y práctica. La validez y
relevancia de las discusiones presentadas aquí ofrecen un punto de partida para las
reformas a considerar en la preparación de docentes.
2. Fundamento teórico
Las investigaciones recientes fundamentan su análisis teórico en la visión del
profesor como un intelectual (Giroux H., 1988) y en los principios y juicios de
valores de la intervención pedagógica critica de Freire, deinida aquí como postura
inquisidora conducente a cuestionar las condiciones sociales, políticas, y económicas bajo las cuales se construyen los discursos pedagógicos (Freire, 1970). La
Ethnomatematica (D’Ambrosio, 1990), valida la investigación y práctica de la
matemática desde el interior de la historia de grupos humanos individuales. Ofrece
una invitación a profesores y estudiantes a un encuentro consigo mismos y con la
matemática. Esta “humanización” de las matemáticas como disciplina, le da vida y
signiicado a conceptos abstractos que los/as estudiantes tienden a ver como ajenos
a sus realidades. D’Ambrosio relaciona las matemáticas con el estado en que está
el mundo, en su discurso nos invita a cuestionar nuestra habilidad de visualizar las
Plataforma del discurso tecnológico docencia matemática : lo socio-cultural y lo lingüístico como competencias guías
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matemáticas como la herramienta de cambio, de servicio a un mundo responsable,
de mas equidad, mejor. Habiéndolas mal utilizado como un vehículo de transmisión y aceptación de inequidad, de arrogancia e intolerancia en vez de reconocerlas como el punto de encuentro entre culturas, como educadores matemáticos
debemos responder al fracaso de su diseminación como conocimiento disciplinario
fundamental. Bajo el lema “es solo para algunos” a cientos de jóvenes les hemos
negado la oportunidad de aceptarlas, y aprehenderlas. Por otro lado al resumir
su complejidad discursiva y generalizarlas como “un idioma universal” en vez de
“el idioma del universo” provocamos gestiones administrativas equivocadas de impacto irreversible en los jóvenes. En los Estados Unidos los estudiantes Latin@s
son estimulados a desasociarse con su leguaje y cultura, ignorando el impacto de
la historia de los pueblos latinoamericanos en el desarrollo de las matemáticas. Al
mismo tiempo son persuadidos a retrasar el desarrollo de su conocimiento matemático y sumergirse en el aprendizaje del idioma y la cultura anglosajona.
El reconocimiento a esta validación, tiene el potencial de transformar la escuela,
profesores y a los estudiantes en una comunidad de aprendizaje en la que sus actores gestionan encuentros con la comunidad que se extiende más allá del núcleo
escuela y familia inmediata. Las estrategias de enseñanza de la sala de clase fundamentadas en pedagogía crítica conllevan el interrumpir y dislocar las prácticas
tradicionales, respetando y actuando sobre las múltiples posiciones y perspectivas
de sus actores, en búsqueda del reconocimiento a los valores individuales tanto del
profesor como del estudiante, dando paso a la justicia, al mismo tiempo que se le
otorga a los/as jóvenes el poder creativo y el asumir el sentido de responsabilidad
como una acción de respuesta social. Se crean ambientes en los que los estudiantes
desarrollan capacidades independientes, aceptando y respondiendo a este modelo
de toma de decisiones y acciones a partir de acciones individuales y colectivas.
La importancia y ventaja de desarrollar el hábito de relexión en los docentes
como instrumento de investigación y análisis de su práctica sobre la práctica, radica en el impacto que tiene sobre la efectividad y calidad de sus prácticas en el aula,
al mismo tiempo que estimula y valida su actividad académica dentro de su comunidad escolar. Estas prácticas han demostrado tener un impacto de transformación
signiicativo tanto en el profesor como en el alumnado que representa a grupos de
minorías de diversidad cultural, lingüística y social (CLSD), que generalmente son
devaluados por la población reconocida como la dominante. La actividad y disposición se releja, como consecuencia de la interacción relexiva del y la docente, en
una relación y modelaje diario con y ante sus estudiantes, quienes además toman
decisiones a través de las acciones y dinámicas discursivas que se generan en el
aula. Como consecuencia de estas interacciones los/las jóvenes ven, inalmente, su
razón de ser dentro de la comunidad sala de clase sintiendo por primera vez que si
pueden, que se sienten “apoderados de su aprendizaje” (Rojas, 2007).
86
Eliana D. Rojas
Se reconoce tres niveles en los procesos de relexión: la “relexión sobre la acción,”
la “relexión en la acción” y la “relexión para la acción”. El elemento cognitivo del
pensamiento relexivo se asocia al conocimiento que los maestros deben adquirir
para tomar buenas y responsable decisiones en la situación de aula; tal conocimiento relejaría, aproximadamente, las siete categorías amplias de conocimiento que
discutía Shulman, (en Reagan, Rojas y Veneros, 2009).
•
•
el conocimiento del contenido
el conocimiento pedagógico general, con referencia especial a aquellos principios y estrategias amplios de manejo y organización de aula, que trascienden los contenidos de la materia;
• el conocimiento del currículo, con particular dominio de los materiales y programas que sirven como “instrumentos del oicio” para los maestros;
• el conocimiento del contenido pedagógico, de aquella especial amalgama
entre el contenido y la pedagogía que es el propio y singular ámbito de los
profesores, su forma especial de comprensión profesional;
• el conocimiento de los estudiantes y de sus características;
• el conocimiento de los contextos educativos; desde el conocimiento de las
actividades del grupo o el aula y del gobierno y inanciamiento de los distritos escolares, hasta el conocimiento del carácter de las comunidades y las
culturas; y
• el conocimiento de los ines, propósitos y valores educativos y de sus bases
históricas y ilosóicas (1987, p.54).
A través de esta postura inquisitiva del y la docente se nos ofrece información
enriquecedora que nos permite, más que nunca, airmar que no deben aceptarse
más excusas que justiiquen las respuestas y resultados, en matemáticas, exageradamente negativos de nuestros jóvenes. El entendimiento de que las diicultades no se concentran en las características fenotípicas de los estudiantes ni
en su condición social, lingüística, ni cultural, es fundamental en este esquema.
Las dinámicas discursivas que suceden en el aula escolar son las que se facilitan o restringen en común acuerdo, los procesos de comunicación y práctica en
los que se reproduce el conocimiento matemático escolar. Este conocimiento
nos ayuda a delinear los procesos efectivos de enseñanza-aprendizaje del conocimiento matemático a nivel escolar considerando los paradigmas exclusivos
de las comunidades hacia las cuales esta información está orientada, y que las
intervenciones para lograr los objetivos allí planteados son responsabilidad no
sólo del profesor de matemáticas sino también de la comunidad educativa que se
extiende a la comunidad.
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3. El contexto social
Las estructuras sociales individuales deben reconocerse y re-interpretarse a través
de la exégesis de los sistemas políticos, sociales y educativos. Estas experiencias
deben asociarse a las nuevas estructuras emergentes y de sus interacciones, y así
construir modelos educativos que respondan en conjunto a los múltiples contextos culturales y sociales que conforman las comunidades escolares con las que
compartimos hoy. Se deben integrar explícitamente los procesos curriculares y
experiencias educativas de cada uno de los educandos a través de indicadores
explícitamente delineadas en recomendaciones a nivel nacional. El grado de
multiplicidad de experiencias a las que sometamos a los/las jóvenes y el momento de su proceso educativo en que estas prácticas sean aplicadas, serán variables
decisivas en cuanto al impacto que estas tendrán en la capacidad de estos jóvenes de desenvolverse y responder como adultos responsables a las necesidades
de un mundo multiétnico-multicultural. Esta transformación social exige una
revisión crítica en los estándares curriculares y de evaluación disciplinaria, y
por consiguiente de la formación y desarrollo profesional docente. Además de
las preguntas relacionadas con identiicar a quién y de qué competencias serán
responsables estos educadores matemáticos emergentes y del cómo de los procesos y del cuándo de exponerles a estas experiencias, se agrega el tipo de entrenamiento y conocimiento que estos profesionales requieren para hacer efectiva esta
transformación. La innovación y modiicación curricular, la didáctica y transformación de estas experiencias se manifestarían desde la comunidad y la escuela.
Se intervendría a través de centros de estudios, conigurados en pequeñas academias al interior de la escuela tradicional. La comunidad la integraría la familia,
una masa crítica que a menudo desconoce el lenguaje de comunicación y los
valores asociados al funcionamiento de los centros educativos. En el caso más
complejo, de nuevos inmigrantes, este desconocimiento incluye elementos básicos de supervivencia haciendo importantísima la intervención de los estudiantes,
los jóvenes educandos, quienes en ocasiones asumen un rol de mediadores entre
su familia, la escuela, y la sociedad, dinámicas manifestadas continuamente en
familias de baja escolaridad y en comunidades de alta pobreza.
De los/las estudiantes: La inequidad persistente en relación al acceso que tienen
muchos jóvenes a experiencias enriquecedoras de aprendizaje matemático y a
niveles de aplicaciones relevantes y múltiples, se ha transformado en un punto
de preocupación crítica. En general, los estudiantes no están siendo apoyados
con un proyecto educativo matemático que refuerce y potencie sus capacidades
individuales, con procesos y experiencias matemáticas que les permitan alcanzar
su mayor potencial de excelencia. Los temas relevantes a la representatividad
de lo cultural, lingüístico y social, de cada uno de los/as jóvenes deben sean
88
Eliana D. Rojas
propiamente integrados en los temas matemáticos de las mallas curriculares ofrecidas a través del currículo matemático escolar y transversalmente a través de las
diferentes disciplinas.
Del/la docente: Al mismo tiempo la formación profesional del docente matemático requiere rediseñar los programas de la carrera docente, en pre-servicio tanto
como del docente en-servicio. Se debe promover seminarios y cursos dentro
de la malla curricular obligatoria, que explícitamente contengan lecturas, diálogos, relexiones, trabajos de prácticas en terreno e instancias de indagación e
investigación que induzcan a la modiicación de los diálogos discursivos al interior del aula y del currículo matemático. Estos nuevos temas deben reconocer
la desigualdad de oportunidad, la importancia de identiicar las variables que
interieren en el éxito o fracaso matemático de estos/estas jóvenes, reconocer los
nuevos desafíos, reconocer la necesidad de intervenir con prácticas signiicativas,
valorar y ofrecer soluciones.
Independientemente de su condición cultural, lingüística y/o social, las experiencias matemáticas de nuestros jóvenes deben capacitarles para servir a una sociedad
que se expande más allá de las limitaciones de las fronteras y para responder a
un mundo tecnológicamente global. Nuestros jóvenes deben egresar matemáticamente alfabetizados. Este conocimiento que se reconoce hoy como alfabetización
matemática (mathematics literacy) se entreteje entre las diferentes disciplinas y
actividades de desarrollo profesional y del trabajo. Desde la visión del NCTM particularmente esto concerniría a estudiantes minoritarios , de diferentes etnias –de
ascendencia africana, de comunidades indígenas, latinos (EEUU) y a estudiantes
de nivel socioeconómico vulnerable (NCTM, 2000). Hoy nos concierne a todos, la
población estudiantil de más alto riesgo consistentemente tiene menos acceso a la
enorme gama de recursos humanos, didácticos y tecnológicos disponibles; a académicos y profesores caliicados (incluyendo su representatividad étnica y cultural);
experiencia matemática de nivel avanzado; escuelas de ambiente y seguridad funcional, tecnología, materiales, textos y un currículo y actividad didáctica basada en
recomendaciones emanadas de investigaciones recientes, incluyendo aspectos de
diferenciación que relejen sus experiencias y las de su comunidad (Apple, 1995;
Darling-Hammond, 1997; King, 2005; Oakes et al., 2003).
Las recomendaciones emanadas de las relexiones de trabajos de investigación realizados por educadores matemáticos que trabajan en escuelas de alta concentración
de estudiantes latin@s y participantes en un programa de postgrado (MA-master)
en la región Este de los Estados Unidos, maniiestan indicadores tales como:
De los profesores/as:
•
•
creencia que todos los/las jóvenes pueden aprender matemáticas al mejor nivel
responsabilidad en individualizar y diferenciar las realidades de los/as jóvenes
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89
estudiantes y persistir en ayudarles a alcanzar el conocimiento esperado
• releja su disposición de tener expectativas de y exigir excelencia de cada estudiante
• se enorgullece de su trabajo y del ambiente en que se desarrolla su trabajo
• incluye prácticas y evaluaciones continuas de las competencias, logros y desafíos
de los estudiantes
• valora la diversidad humana y guía a los /las estudiantes en su aprendizaje de
aprender a valorar al otro
• integra en el currículo matemático diario las creencias, valores e historia de los/as
estudiantes
• integra la participación explícita de los/as estudiantes en las decisiones con respecto a dinámicas de discurso en el aula incluyendo el currículo y las evaluaciones
• colabora con colegas en las diferentes disciplinas en el plan de mediar interpretaciones
• se preocupa en identiicar prácticas instruccionales relevantes
De los estudiantes:
• es justo/a y predica justicia,
• sabe sus nombres,
• es paciente,
• relaciona los problemas (matemáticos) a sus experiencias,
• los desafía, cree en ellos/as,
• habla español (o trata),
• escucha su música, come su comida, va a sus barrios,
• está al día (maneja la tecnología)
(Rojas, Eliana, 2008: REALL Project,)
Estas recomendaciones coinciden con estudios de tesis facilitados por profesores
participantes en un programa e-learning de postgrado (MA-magister) de la Universidad de la Frontera de Temuco en Chile (2008). ( http://dme.ufro.cl/mem/)
Las entidades cientíicas y colegios profesionales, junto al gobierno federal, hacen
un llamado permanente a la educación superior a centrar sus esfuerzos en facilitar
procesos de investigación y cambios en sus proyectos de formación docente,
tanto como de perfeccionamiento profesional continuo para docentes, con el solo
in de abordar seriamente este desafío. Como consecuencia, un número signiicativo de investigaciones se centra hoy en temas de procesos enseñanza-aprendizaje
enmarcados en el principio de aceptación, integración, y reconocimiento al valor
del capital cultural que ofrece esta diversidad entre la población escolar. Las
organizaciones educacionales y profesionales nacionales encargadas de diseños
de estándares (NCTM), evaluación (NAEP) y acreditación de la carrera profe-
90
Eliana D. Rojas
sional docente (NCATE) postulan un serio compromiso al desafío de reducir la
brecha de rendimiento en matemáticas existente entre los diferentes grupos sociales y raciales, especialmente latinos, en las escuelas norteamericanas. En las
últimas décadas el gobierno federal tanto como las organizaciones profesionales
han generado fondos especialmente destinados a articular las competencias
profesionales de los docentes y a apoyar investigaciones enfocadas en la identiicación de factores de interferencia en el progreso educativo de estos jóvenes
y sus familias (USDS, IES, Carnegie). (Ver: UCONN- REALL; CEMELA). Los
resultados derivados de dichas investigaciones tienen un alcance más allá de los
parámetros deinidos por las características de estas comunidades. Las comunidades escolares caracterizadas por variables disímiles, urbanas, suburbanas,
rurales en ambientes tradicionales (independientemente de la distribución racial
y/o lenguaje) están considerando y adoptando las recomendaciones y modelos
derivados de dichas investigaciones (Echevarria and Graves, 2006; Rojas, 2009),
como contribuciones válidas, independientemente de la supuesta “homogeneidad” de su comunidad escolar particular. Es más, dada la realidad de movilidad
social y de trans-nacionalidad que conforman los grupos humanos escolares hoy
en día, crece la necesidad de comunicación y colaboración entre las naciones
y sus sistemas educativos, especialmente Hispanoamérica, tanto para transferir
modelos exitosos, como para aprender los unos de los otros (Rojas, 2007).
4. Lenguaje y matemática
El uso y manejo del lenguaje es clave en la apreciación y adquisición de los
conceptos matemáticos. La resolución de problemas y el discurso investigativo
cientíico están sumergidos en lenguaje: preguntas, descripciones, explicaciones,
hipótesis, debates, clariicaciones, elaboraciones, veriicaciones y el compartir
y comunicar resultados. La investigación sostiene que el potencial para aprender y mejorar las destrezas lingüísticas a la vez que se aprenden matemáticas y
ciencias, es signiicativo (Buxton, 1998; Crawford, 1995; Kang & Pham, 1995;
Kessler, Quinn, & Fathman, 1992; Laplante, 1997). Los estudiantes adquieren
apreciación de las matemáticas al reconocerlas como un conector de lenguaje y
aprenden lenguajes al reconocerlos como la expresión de las matemáticas. Nos
cuestionamos aún si entendemos que estas dimensiones de discurso e interacción son válidas en los procesos de instrucción y evaluación del conocimiento
matemático y cómo impactan la formación del profesor de matemáticas a nivel
primario y secundario. Como consecuencia, estos determinan el éxito o fracaso
de los/las jóvenes en sus dos primeros años en educación superior. Entendemos
que estos desafíos son más signiicativos aún cuando se trata de incorporar y ser-
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91
vir con equidad y calidad a la comunidad escolar.
Los estudiantes de diversidad social, lingüística, y cultural tienen gran desventaja
y diicultad, con respecto a sus compañeros de cultura y posición social dominantes, al interpretar los signiicados de conectores lógicos propios del discurso
matemático y cientíico. Los conectores lógicos, por ejemplo, se deinen como
palabras y frases, tales como, si, porque, sin embargo, en consecuencia, etc., que
señalan relaciones lógicas entre las partes de un texto, elementos determinantes
en la comprensión de lectura y comunicación de la información. En las matemáticas y las ciencias, los conectores lógicos señalan similitudes y contradicciones;
causa y efecto; razón y conclusión; secuencias cronológicas o lógicas; y elementos deinitorios en la comprensión y solución de un problema. Las instancias de
asimilación y comunicación de la información matemática se traducen en una
seria limitación para los estudiantes si no manejan el discurso lingüístico correspondiente. Las convenciones del lenguaje social son altamente contextualizadas, lo que les permite a los jóvenes en general, con o sin problemas de manejo
del lenguaje de la mayoría, inferir signiicados e interpretar claves visuales y el
lenguaje no verbal. El lenguaje académico sin embargo, es más abstracto y las
palabras comunes pueden tomar un signiicado muy especializado. En el discurso
académico es generalmente responsabilidad individual del estudiante, el construir
su propio signiicado y se apoya en su propio entendimiento tanto de su interpretación del lenguaje como de los conceptos. Ambos lenguajes son importantes,
pero aunque un estudiante puede tener luidez relativa en su lenguaje social, debe
ser explícitamente expuesto (enseñado) al uso del lenguaje académico. “En la
sala de clases de matemáticas” –postularía Schoenfeld- “ambos lenguajes deben
construirse conjuntamente” (Schoenfeld, 1992)
5. El docente matemático: el por qué de sus competencias
Los profesores tienen teorías implícitas acerca de la inteligencia, el saber, y el
aprender (Greeno, 1989). Estas teorías pueden ser socialmente construidas desde
perspectivas ideológicas teóricas y ilosóicas como creencias epistemológicas
(Flores, 2000). Estas creencias conforman la base de sus actitudes y acciones, e
inluyen en sus prácticas instruccionales y orientaciones pedagógicas (Deemer,
2004; Rust, 1994). Es esencial entonces preguntarnos acerca de la relevancia de
los fundamentos teóricos, ilosóicos, y prácticos que inluyen en su quehacer
actual. Debemos entender qué, cuándo o cómo se generaron esas prácticas,
quiénes inluyeron en esas creencias, cómo reconstruimos los procesos a partir
de ellas, o a pesar de ellas; cómo las cambiamos, y si es o no posible reconstituir
ese conocimiento, re-situarlo. ¿Qué ideas acerca de las matemáticas uno lleva
consigo (arrastra) a su propio quehacer matemático?, y ¿cómo es que estas creen-
92
Eliana D. Rojas
cias individuales y personales modelan, estructuran la forma en que uno hace
matemáticas y por lo tanto de cómo enseña matemáticas? Es aquí donde algunos
autores asumen un punto de vista ‘constructivista’ en relación a cómo se construyen las percepciones y el quehacer individual matemático en los estudiantes.
La individualización de la enseñanza para los estudiantes y el construir su estructura (marco conceptual) matemática a partir de sus creencias, intuiciones, y experiencias, y construir el aprendizaje nuevo sobre esos cimientos (“scaffolding”andamiaje) (Gibbons, 2002) a partir de la identiicación de estos conocimientos
previos, ayudará a los profesores en las etapas de reconocimiento e identiicación de acciones a tomar, en términos curriculares y procesos de evaluación.
Estas etapas de identiicación de los estudiantes en términos de reconocimiento
de lo que estos traen consigo a la sala de clases, han dado validez y efectividad
a las elecciones curriculares necesarias en los procesos enseñanza aprendizaje
de las matemáticas. Además refuerzan el sentimiento de control sobre lo que se
sabe y lo que se debe aprender. Schoenfeld (1992) se reiere a la “cultura de la
sala de la clase de matemáticas” como “una parte de una fórmula (prescrita), no
negociable, y no relacionada con el resto del mundo” (p. 190). En este “nicho”
suceden dinámicas de diálogo, de comunicación, de pensamiento y acción subconsciente, percepciones internas versus externas, interpretaciones y conjeturas,
explicaciones de estas interpretaciones, y transmisión de un conocimiento “a mi
manera”, dentro del contexto de lo personal. Por ejemplo, nuestro propio conocimiento acerca de cómo procesamos nuestra actividad de pensar: ¿Cuán efectivos y precisos somos en cuanto a responder, describir nuestras ideas, nuestros
propios pensamientos? Tomamos decisiones con respecto a nuestras respuestas,
y sólo cuando controlamos los ambientes, es decir “entendemos” reconocemos
o no lo que el otro sabe, por lo tanto, podemos “adivinar lo imprevisto” de lo
que el otro piensa y hacer conjeturas acertadas. Según Schoenfeld, una buena
respuesta a un problema, exige el uso eiciente de lo que uno sabe: “si no se tiene
una clara idea de lo que se sabe, uno tiene que aceptar que va a encontrarse con
serias diicultades para resolver un problema (p. 190)” o para responder a un
problema. En otras palabras, nuestro enfoque ante una tarea especíica, y nuestro
entendimiento de cómo resolver o manejar esa tarea, son afectados por el grado
con el cual uno pueda responsablemente ser capaz de evaluar aquello que uno
sabe, para entender lo que necesita aprender, y al mismo tiempo, controlar lo que
es capaz de aprender.
Tradicionalmente la actividad relacionada con la enseñanza de las matemáticas a
nivel escolar se ha concentrado en el profesor de matemáticas. La formación del
profesor de esta disciplina en términos del desarrollo de sus capacidades de contenido ha sido responsabilidad mayormente de las escuelas de ciencias básicas
matemáticas con una alta concentración de académicos cientíicos matemáticos
enfocados en contenido. Estos han permaneciendo signiicativamente divorcia-
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93
dos de los departamentos de formación pedagógica y han tenido muy escasa conexión con los centros educacionales y/o de investigación pedagógica. Hoy en
día se reconoce, la necesidad de un serio acercamiento entre estas comunidades.
En algunos modelos de investigación pedagógica matemática en los Estados
Unidos, en los últimos años, el tema de colaboración interdisciplinaria entre las
entidades vinculadas con los procesos de adquisición del conocimiento matemático, se visualiza como una variable indispensable en los procesos de formación
y seguimiento de la carrera del y de la docente matemático/a. La formación del
profesor de matemáticas se construye sobre una base interdisciplinaria que se
cimenta en un fuerte dominio del conocimiento matemático además de técnicas
de indagación (inquiry) de las diferentes instancias de discurso, aprendizaje y
evaluación de procesos matemáticos en la sala de clases. Dichas acciones requieren de parte del profesor un conocimiento teórico y práctico, tanto de los
conceptos y acciones metodológicas de la acción de enseñar matemática como
del manejo de principios y procesos que enmarcarían sus acciones de liderazgo e
indagación en el aula. Esta actitud intelectual le permite al docente visualizar la
sala de clases de matemáticas como una plataforma de observaciones y análisis
de los discursos y actividades que iluminan procesos de enseñanza aprendizaje
signiicativos. Hoy en día, además, se estructuran los proyectos de institución
y escuela, como pequeñas comunidades de aprendizaje. Este nuevo esquema se
traduce en el reconocimiento de la realidad social, valores, lenguaje y cultura
de la comunidad inmediata en la vida de los estudiantes (Reyes, 2008). En este
contexto, las responsabilidades del educador se extienden a una experiencia de
formación profesional que está enmarcada por esta nueva necesidad de visión
antropológica del grupo social con el que se relaciona (Reyes, 2003), incluyendo
además de las diferentes disciplinas, la comunidad cientíica, y la familia. Esta
nueva comunidad educativa nos obliga a cuestionar la efectividad de las prácticas que incluirían a estos sectores tradicionalmente desasociados del contexto de
la escuela, por ejemplo, los padres. La participación de los padres o familia responsable inmediata ha probado tener correlación positiva con el rendimiento de
los estudiantes y su apreciación por las matemáticas (Rojas & Hartsock, 2006).
6. Proyecto REALL (Raising Expectations for All Learners)
Considerando las recomendaciones y modelos educativos emergentes, este proyecto se concentra en apoyar el desarrollo de la carrera docente del profesor de
matemáticas al nivel de postgrado, en las aulas escolares de tres sectores urbanos
en la zona del Este de los Estados Unidos de Norteamérica. Las actividades se
extienden a la participación de directores, orientadores, padres y alumnos, y a
94
Eliana D. Rojas
los estudiantes de pre-grado de la Neag School of Education, de la Universidad
de Connecticut, Storrs. La población escolar estudiantil de ascendencia hispanoamericana en dichos distritos escolares supera el 75 por ciento. Incluyendo
la inmigración permanente de familias de Brasil, por lo que portugués se considera el segundo idioma materno de relevancia en las dinámicas del proyecto.
REALL utiliza entre otros, conceptos y recomendaciones basadas en el protocolo
de instrucción y evaluación SIOP (Sheltered Instruction Organizational Protocol) (Echevarría, Vogt & Short, 2006) incorporando en el diseño de las prácticas
académicas y contextuales de sus participantes, nuevos conocimientos y actividades múltiples e interdisciplinarias. El proyecto REALL se enfoca en proveer a
los profesores participantes con técnicas de trabajo pedagógico que les capacitan
para desarrollar actividades didácticas siguiendo el concepto “nicho” de Schoenfeld, sheltered se traduce literalmente como “cobijado”. La sala de clase se
transforma en un centro de interacciones y discursos cuidadosamente diseñados,
guiados e investigados por el profesor. El protocolo de instrucción SIOP brinda
oportunidades a los profesores de matemáticas de diferenciar las capacidades de
sus alumnos y acomodar prácticas instruccionales relevantes a las necesidades
académicas de sus estudiantes. El SIOP consiste de ocho componentes interrelacionadas que establecen un parámetro didáctico explicito al profesor tanto como
al alumno, y a su comunidad inmediata. Sus componentes incluyen:
•
•
•
•
•
•
•
•
Preparación de la lección,
Construcción de los fundamentos y conocimientos previos,
Entrega comprensiva de la información,
Estrategias de interacción,
Interacción
Práctica/aplicación,
Presentación de la lección, y
Revisión/evaluación.
Usando estrategias de instrucción conectadas a estos componentes, los profesores
diseñan y dictan sus lecciones de matemáticas atendiendo explícitamente a las
necesidades académicas y lingüísticas de los estudiantes. El protocolo enfatiza la
importancia de priorizar la comprensión de los estudiantes sobre “lo que se enseña” y el “por qué se enseña” (objetivo del contenido), el lenguaje y las diferentes
dinámicas de interacción del discurso matemático y del uso y comportamientos
de este lenguaje (objetivo de lenguaje). El proyecto REALL-SIOP incorpora además el objetivo de cultura, y por primera vez interactúan explícitamente
los conocimientos e interpretaciones matemáticas previas desde las perspectivas
individuales de los estudiantes (Rojas 2009). Nunes, et al, describían las habilidades matemáticas de cientos de jóvenes, adquiridas mientras negociaban su
Plataforma del discurso tecnológico docencia matemática : lo socio-cultural y lo lingüístico como competencias guías
95
sobrevivencia en las calles de Brasil (Nunes, Schliemann, and Carraher, 1993).
El método REALL-SIOP reconoce los procesos de identiicación y clariicación
del lenguaje discursivo académico en las instancias de instrucción de conceptos
matemáticos como el elemento fundamental de la comprensión del contenido
matemático. Los estudiantes son expuestos a protocolos de comunicación y diferenciación, tomando en cuenta el leer, hablar, escribir y escuchar matemáticas.
Los temas matemáticos relejan las diferentes historias y vidas de los estudiantes
y de sus comunidades.
A través de cursos y seminarios formales intensivos, los profesores adquieren el
conocimiento teórico y vuelven a sus centros y aulas escolares con una postura
crítica y responsable al respecto de su quehacer diario. Es ahora más importante
que nunca el identiicar los temas claves que guiarán sus acciones pedagógicas.
Se envuelven en diálogos formales e informales con sus colegas, compartiendo actividades de relexión para generar cambios. El protocolo de evaluación
de competencias se transforma en su instrumento personal de autoevaluación y
crecimiento. Ya no es necesario un equipo de inspección ajeno a la realidad tan
individual, personal, que se cuestiona. Es de el/ella mismo/a, su propia gestión,
es aquí donde el profesor se apodera de su propio conocimiento. Los profesores
y educadores participantes planiican, a nivel de sus instituciones, sesiones de
desarrollo profesional usando el modelo REALL-SIOP. Se enfocan las sesiones
en las diferentes componentes; toda la facultad incluyendo a los directores, orientadores, jefes de UTP, profesores, personal auxiliar, padres y representantes de
los estudiantes, participan en sesiones generales y sesiones enfocadas en las especialidades, a nivel de responsabilidades, y luego a nivel interdisciplinario. Los
temas de enfoque general son matemáticas y lenguaje, integrados en las diversas
disciplinas, ciencias, ciencias sociales y las artes.
Un aspecto de la integración curricular de las matemáticas que debe ser explícitamente incorporado en el currículo escolar matemático y como programa de formación de profesores, es la Etnomatemática (D’Ambrosio, U. 1990, 2004) (etnomatemática - etnogeometría). Desmitiicar las matemáticas mediante la inclusión
de su historia y conectarla a las historias de los/las jóvenes les hará apreciar la
contribución que las distintas culturas hicieron al desarrollo del conocimiento
matemático tanto como la matemática al desarrollo de la humanidad.
Los educadores participantes de REALL incluyen en sus lecciones referencias a
la geometría del arte y arquitectura maya, al sistema de conteo de los Incas, el
calendario azteca, y el vocabulario mapuche. El profesor debe estar capacitado
para conectar aspectos de la matemática a su historia. Ej. “el cero… ¿Quiénes,
cuales civilizaciones fueron los primeros en pensar en este concepto? ¿Cómo impacta el desarrollo de la historia humana, y de la matemática? ¿En qué periodo
de la historia?”
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Eliana D. Rojas
Las prácticas de enseñanza matemática se caracterizan especialmente por concentrarse en el desarrollo de lenguaje a través del aprendizaje del contenido matemático, explícitamente reconoce y usa aspectos del conocimiento y experiencias
culturales y matemáticas previas del estudiante, como métodos para construir
lecciones signiicativas y apoyar el nuevo aprendizaje. Las lecciones se basan en
Unidades Temáticas y se diseñan enfocándose en temas identiicados, con propósito, (por ejemplo, temas de salud, medioambiente, responsabilidad social y/o
cívica) y donde el enfoque es el aprendizaje de conceptos y procesos matemáticos. El diseño de las lecciones se planiica diferencialmente en torno a unidades
temáticas. La diversidad lingüística es reconocida, evaluada y considerada en
cada objetivo de las unidades y explícitamente demostrada en las lecciones. El
idioma primario/materno (español) es deliberadamente utilizado a discreción del
profesor, el currículo es modiicado y adaptado (en su forma, no en su contenido) a las necesidades individuales de los estudiantes.
Las investigaciones conirman que los estudiantes rinden mejor cuando leen y
usan materiales en el lenguaje que dominan mejor. El material de lectura que
utiliza conceptos culturalmente familiares facilita la comprensión. Además sabemos que el conocimiento adquirido en el idioma materno se transiere al segundo idioma (Cuevas, 1997; NCTM, 2000; Center for Applied Linguistics [CAL],
2006; Echevarría, 2006). Las salas de clases se convierten entonces en nichos
de interacciones, de conversaciones, en al menos tres idiomas: inglés, español y
matemática. El involucrar a los estudiantes en conversaciones relacionadas con
lo que se enseña, “conversaciones instruccionales” a la vez conectándolas con
su quehacer personal estimula la seguridad, conianza y creatividad, elementos
críticos en el desarrollo de la sensibilidad matemática (Goldenberg & PattheyChavez, 1995). Las conversaciones instruccionales se deinen como diálogos
en los cuales las ideas disciplinarias son exploradas hasta alcanzar el máximo
entendimiento de los conceptos y se desarrollan con el propósito de involucrar
a los estudiantes en discusiones, sin perder la relevancia y concentración de los
temas en cuestión.
7. Conversaciones instruccionales
Las conversaciones instruccionales en matemáticas se describen como diálogos
en los cuales las ideas matemáticas se exploran hasta alcanzar el máximo nivel de
entendimiento de un concepto con la intención de envolver a los/las estudiantes en
discusiones extensas sin perder la relevancia y el enfoque contenido matemático.
Pueden transformarse en avenidas de expresión matemática tanto como histórica,
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cientíica, social económica. Los estudiantes se envuelven en conversaciones en
las que relejan con sus propias palabras la interpretación de los conceptos matemáticos. Pueden ser planiicadas en pequeños grupos y ser usadas para alcanzar
objetivos de contenido tanto como de lenguaje matemático
Una Escena en el aula de Matemáticas:
El/la profesor/a dice; En el Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado construido
sobre la hipotenusa”
El/a profesor/a estimula a los estudiantes a expresar ideas en su propio lenguaje,
el más familiar “díganlo, escríbanlo, con/en sus propias palabras” El/la profesor/a
se envuelve en conversaciones relacionada con la historia y la época de Pitágoras,
y e teorema de Pitágoras. En este tipo de actividades los estudiantes desarrollan
y comparten preguntas y aplicaciones relevantes con sus compañeros. Los estudiantes deben ser alentados a sentirse libres de expresar ‘sus propios puntos de
vista’, “a estimar” “a cometer errores” y “a encontrar respuestas y soluciones”.
Los estudiantes van anotando los diferentes enfoques del problema vistos desde
las perspectivas de los/as otros/as estudiantes, el/la profesor/a veriica, corrige, y
construye el análisis. Los/las estudiantes discuten, construyen ideas, elaboran y se
sienten libres de expresar “su propio punto de vista matemático”.
Los alumnos habrán tenido ya antes la experiencia de trabajar el tema con el
profesor de historia. Y podrán utilizar el lenguaje del contenido matemático en
las diferentes disciplinas, antes o después de la clase de matemáticas. Esta colaboración interdisciplinaria ayuda a los jóvenes a identiicar los temas estudiados
como exclusivos de “la matemática” tanto como las aplicaciones en el mundo
real desde las perspectivas de las diferentes disciplinas. Una consecuencia importante en estas interacciones y sus secuencias es que los docentes trabajan
colaborativamente en temas que hasta ahora, incluyendo las aplicaciones, han
sido exclusivos del profesor de matemáticas. Los alumnos aprenden a diferenciar los componentes exclusivamente matemáticos de la disciplina matemática
y a validar sus aplicaciones desde la plataforma de cada una de las disciplinas
colaboradoras correspondientes (ciencias, cívica, física, música, arte, literatura,
etc.). En un estudio de “interdisciplinaridad de la enseñanza de la Matemática”
en Chile los estudiantes cuestionaban el conocimiento matemático del profesor
de física quien “no nos supo explicar”, al mismo tiempo el profesor de física se
quejaba de ‘tener que enseñar matemática a estos jóvenes que no aprendieron
nada”. Además de aprender matemáticas y su lenguaje los alumnos son capaces
de discernir el lenguaje matemático, ver la relevancia de las matemáticas en sus
vidas y adquieren conianza en sus capacidades de hacer matemáticas.
Al utilizar la matemática como el lenguaje que construye conocimiento y entendimiento de una nueva cultura y su comportamiento facilita el entrelazar respon-
98
Eliana D. Rojas
sabilidad social y estar alerta a problemas con los que quizás no estemos familiarizados y que los jóvenes encuentran en estos, lo que para ellos, nuevos ambientes.
Los estudiantes aprenden de los otros, se sensibilizan acerca de sus realidades y
los ayudan a resolver problemas. Gutstein y Peterson en su libro “Rethinking Mathematics (Repensando la Matemáticas)” (2005) nos proveen ejemplos de cómo
los temas de responsabilidad social, ecología, preservación del medioambiente y
clase social pueden entretejerse dentro del currículo matemático. Los estudiantes pueden aprender de su propio poder como participantes activos en esta nueva
sociedad y mientras aprenden matemáticas importantes pueden jugar un rol más
activo en sus comunidades a la vez que comunican este nuevo aprendizaje a sus
familias y comunidades. Para lograr que los alumnos progresen desde un estado
de no estar preparados hasta el punto donde se sientan capacitados para tomar
riesgos, envolverse en actividades de alto nivel crítico, tomar una posición con
respecto a las ideas matemáticas y cientíicas a la vez que manejan el contenido
matemático, los profesores deben tener un entendimiento profundo de los estudiantes latinos/as y de sus comunidades (Reyes, 2007). Existe una conexión entre la capacidad de solucionar los problemas académicos (solucionar problemas
cognitivos) y las habilidad de enfrentar y resolver problemas. Se ha encontrado
gran conexión entre el conocimiento que el estudiante tiene de sí mismo y su
rendimiento en matemáticas.
Los/as profesores/as y los/as lideres de distritos escolares tienen la gran responsabilidad de confrontar, atender y comunicar a toda la comunidad, las necesidades
de estos jóvenes. Al mismo tiempo deben elaborar procesos de experiencias de
desarrollo profesional enfocadas en las recomendaciones emergentes derivadas
de la investigación responsable. Los y las profesores/as pueden crear portafolios
instruccionales con variedad de artefactos con el propósito de reconocer los estilos de aprendizajes individuales de los estudiantes. Los estudiantes en general se
beneician trabajando en colaboración con los padres, profesores y estudiantes en
la construcción de un plan diferenciado de los temas matemáticos que se deben
reforzar, y con proyectos y tareas, u otras experiencias. Los profesores deben
proveer acceso a mentores matemáticos de diversidad de género tanto como representantes de diversos grupos sociales, lingüísticos, culturales y étnicos. Deben relejarse dentro del sistema escolar, de la comunidad, bien sea en persona o
usando la tecnología cibernética (email). Los profesores deben crear problemas y
ejercicios usando una variedad de estrategias instruccionales.
Plataforma del discurso tecnológico docencia matemática : lo socio-cultural y lo lingüístico como competencias guías
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8. Enseñanza/instrucción diferenciada en aulas inclusivas
La diferenciación se reiere no sólo a la habilidad matemática si no a la realidad
social, la cultura, el lenguaje y la habilidad de manejo y aplicación del lenguaje
académico conforme a las necesidades especiales. El aula y las lecciones matemáticas son organizadas y acomodadas para cambios continuos. Las dinámicas
de discurso, instrucción y evaluación son deinidas y delineadas por las características individuales de los estudiantes. El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) recomienda “proveer y facilitar apoyo a los estudiantes en su
lenguaje natural…evaluar cuidadosamente su nivel de manejo de lenguaje y su
nivel de conocimiento y dominio de las matemáticas… en la toma de decisiones
y recomendaciones… y buscar en las recomendaciones de modelos de enseñanza,
currículo, y estrategias de evaluación que se acomoden a estas diferencias culturales y lingüísticas “(NCTM, 2000). Mientras en Estados Unidos se cuestionan
y rechazan permanente los beneicios de evaluar a los jóvenes latinos/as en su
idioma materno, en América Central, en países como Guatemala, asumieron un
compromiso responsable al delinear su proyecto educativo nacional. Siendo uno
de los pocos países que ofrece exámenes nacionales en cuatro lenguajes mayas,
K’ iche’, Q’ eqchi, Kaqchikel y Mam. Para estos cuatro lenguajes Mayas los
exámenes nacionales de matemáticas y lenguaje se ofrecen a los estudiantes en
el primer y segundo año de primaria. Los exámenes siguen las mismas especiicaciones que los elaborados en español, pero los ítems son creados en cada uno
de los lenguajes. La matemática Maya está representada en la aritmética de las
cuatro operaciones, suma, resta, multiplicación y división.
9. La tecnología; recurso esencial en proceso de enseñanza-aprendizaje
Ya en 1999, D’Ambrosio sintetizaba su propuesta de un nuevo concepto curricular en tres dimensiones: literacy, matheracy, and technoracy (D’Ambrosio 1999b).
Estas tres dimensiones, intercambiablemente, nos proveen, “en una manera crítica,
con poderosos instrumentos comunicativos, analíticos y tecnológicos para enfrentar el siglo 21” (D’Ambrosio, 2007). Aún, ya cerca de cumplir la primera década, el
acceso y uso relevante de la tecnología diiere en calidad y cantidad dependiendo
del grupo social y económico representativo del distrito escolar (PISA, 2005). La
forma en que se debe estimular y aplicar el uso de la tecnología, presenta una oportunidad única en el proceso de disminuir la brecha de desigualdad en logros educativos entre estudiantes de diferentes grupos sociales. Los programas especialmente enfocados en temas de desarrollo, particularmente, del lenguaje literario tanto
100
Eliana D. Rojas
como del lenguaje matemático y las matemáticas en sí, están disponibles (Tracey
& Young, 2005) para todos los niveles escolares y se usan consistentemente a través
del currículo en los distritos escolares de comunidades de niveles socioeconómicos
altos. Los programas dirigidos a estudiantes CLSD, han ignorado la potencialidad
de estos instrumentos. El acceso a libros electrónicos, historias interactivas, textos
completos disponibles a través de archivos públicos, es posible tanto en las escuelas como en lugares públicos. El software de acceso gratis a nivel internacional se
ofrece en varios idiomas. Los gobiernos a través de las municipalidades y distritos
deben formalizar proyectos que permitan el acceso de las escuelas a programas y
estudios que explícitamente se enfoquen en las necesidades didácticas de esta población estudiantil y sus familias, capacidades, edades, niveles de lenguaje, etc. La
tecnología provee oportunidades instruccionales para todos; estudiantes, padres y
profesores trabajando en conjunto. Al mismo tiempo es un instrumento que facilita
la comunicación e intervención inmediata con respecto a los avances y limitaciones de los jóvenes.
Algunas tecnologías de comunicación disponibles incluye Microsoft NetMeeting,
que ofrece conferencias-web audio, White board interactivos y con capacidad
para chateo; el uso apropiado y dirigido de juegos, herramientas graicas como
calculadoras, y software creativo. La tecnología ofrece posibilidades de trabajo
independiente a estudiantes en escuelas y distritos que no pueden ofrecer una proporción baja de profesor/alumno. Los padres, tutores, alumnos y profesores se comunican individualmente o en grupo, en diferentes capacidades y horarios usando
programas similares como web-based instant messenger, e-mail or Skype. (Burns,
2006). Las didácticas y metodologías de uso de las tecnologías en ambientes CLSD
deben ser un elemento explícito en la formación del docente. El liderazgo en el uso
efectivo de la tecnología le da más y mejor acceso al material disciplinario, a la comunicación con otros/as docentes y a otros modelos pedagógicos. También facilita
e incrementa su capacidad de diferenciar y afrontar las necesidades exclusivas de
cada estudiante. Las investigaciones nos muestran que los estudiantes, en general, pasan más tiempo envueltos en prácticas independientes con sus profesores,
instructores, y mentores cuando se integra la tecnología (Means et al, 2007). El
estudiante transforma su quehacer y asume control e independiza su práctica, la
tecnología se transforma en “el otro profesor” (Burns, 2006). El/la profesora de
aula, entonces, se concentra en problemas importantes relacionados con su quehacer profesional como docente relexivo.
Plataforma del discurso tecnológico docencia matemática : lo socio-cultural y lo lingüístico como competencias guías 101
10. Conclusión
Coincidimos entonces en que las perspectivas teóricas recientes se enfocan en el
aprendizaje de las matemáticas como un proceso que intrínsecamente envuelve el
uso de lenguaje y el lenguaje se maniiesta como la expresión de una cultura inherente a cada individuo. Tales nociones respaldan las descripciones del proceso
de enseñanza matemática como un proceso que debe enfocarse en “darle sentido”
a lo que se enseña (Lampert, 1990; Schoenfeld, 1992; 2001), y a la necesidad de
desarrollar normas socio-matemáticas de discurso y comunicación en el salón de
clases (Cobb, Wood, & Yackel, 1993). El proceso debe además facilitar prácticas
de comunicación de las matemáticas en las que se debe modelar y argumentar
matemáticamente. Concordamos en que los currículos basados en Estándares
coinciden en propiciar la discusión y análisis de problemas y situaciones matemáticas, para lo cual el profesor debe desarrollar en el estudiante una capacidad matemáticamente analítica pertinente, además de organizar, de interpretar y
representar el problema, donde deben resolverse y comunicarse los resultados.
Esto requiere, además, el uso y dominio de un lenguaje, primario, que sirva
para la interpretación y comunicación de las matemáticas (Moschkovich, 2000).
Atender a esa demanda es imprescindible. Al conseguir el desarrollo profesional
permanente del docente a través de la investigación crítica y relexiva, al aplicar
el conocimiento derivado de la investigación en sus propias aulas, con extensión
a la comunidad, en sus experiencias pedagógicas matemáticas inmediatas; al desarrollar y modiicar conceptos y teorías educativas conceptuales a través de actividades, observaciones e investigaciones dentro de su realidad y la de sus estudiantes y sus historias, el profesor fundamenta sólidamente su práctica educativa,
al mismo tiempo que la digniica y valora en su quehacer académico-cientíico
profesional. Promueve además propuestas alternativas con posibilidades de elaborarlas e implementarlas sobre la base de las tendencias actuales en Educación
Matemática a la vez que establece una plataforma de creatividad e investigación
cientíica con efectos más amplios que los de su quehacer en la sala de clase.
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ConoCIMIEnToS Y CuRRíCuLo En LA EDuCACIón
MATEMÁTICA
Ángel Ruiz
Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas,
Universidad de Costa Rica.
Escuelas de Matemática de la Universidad Nacional y Universidad de Costa Rica.
http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz
angelruizz@racsa.co.cr
Resumen
Se abordan asuntos centrales del currículo para la formación inicial de
educadores matemáticos y se propone un modelo de descripción de los
distintos componentes cognoscitivos que debe incluir. Se apuntala el
papel del conocimiento pedagógico del contenidos matemáticos CPC,
y se señalan características tanto de éste CPC como de las matemáticas
que especíicamente deben poseer estos currícula.
Palabras clave
Educación Matemática, Curriculum, Enseñanza, Conocimientos.
Abstract
Central issues of the curriculum for the initial formation of Mathematics Teachers are tackled and we propose a model for the description
of the different knowledge components that it must include. There is
propped up the role of the Pedagogical Content Knowledge PCK, and
characteristics so much of this one PCK as of the Mathematics that
speciically must include these curricula are proposed.
Key words
Mathematics Education, Curriculum, Teaching, Knowledge.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 107-141.
Costa Rica
108
Ángel Ruiz
1. Introducción
Dentro de los principales centros de interés que ha establecido la Educación Matemática en el mundo, se encuentra el tema de los conocimientos que deben poseer
el educador matemático, para realizar “efectivamente” su práctica profesional. Las
preguntas son varias: ¿Posee un impacto el conocimiento de los educadores en la
forma enseñanza? ¿Importa en el aprendizaje de los estudiantes? ¿Cuál tipo de
conocimientos es más relevante ya sea para enseñar o para lograr resultados de
aprendizaje? ¿Cuál debería ser la organización óptima de los diferentes tipos de
conocimiento?
¿Posee un impacto? La formación inicial inluencia la forma en la que el educador
establece su labor (Fennema y Loef Franke, 1992, p. 148) pero sobre todo la manera de enseñanza. Para la psicología cognitiva, por ejemplo, el conocimiento, en
general, inluye directamente en el pensamiento de los educadores, y por lo tanto
en las acciones que realice en el aula (Brown y Borko, 1992, p. 211), aunque este
impacto directo en el aprendizaje no sea, sin embargo, como veremos, tan claro.
Se puede aproximar el problema del currículo en Educación Matemática desde dos
ópticas: centrada en los contenidos (especialmente matemáticos), o en situaciones
de enseñanza aprendizaje. Los hallazgos en investigación internacional favorecen
la segunda perspectiva.
Cuando se asume una óptica curricular basada en los contenidos matemáticos,
simplemente, se busca seleccionar y adaptar el currículo de la Enseñanza de las
Matemáticas de tal manera que, por ejemplo, un plan de estudios incluya suicientes contenidos en las áreas matemáticas (designadas por los matemáticos como
relevantes), y, a la vez, no tenga contenidos en exceso más bien propios de la profesión matemática para la educación superior y la investigación. Normalmente, las
experiencias en ese enfoque han apuntado a reducir los contenidos matemáticos
en cantidad y profundidad (una profesión con menor “nivel” matemático). En este
enfoque su lógica está determinada por las necesidades propias de los matemáticos
o por lo que es interpretado así por ellos. Las necesidades pedagógicas se “cubren”
con algunos cursos de educación, ya sea de didáctica, currículo, evaluación, o componentes de otras disciplinas conexas (como la psicología). Estos últimos de una
naturaleza general y no especíicos a la disciplina de las matemáticas. Como desarrollaremos con mayor detalle, la experiencia más generalizada en el mundo ha sido
una estructura de conocimientos que uniica dos áreas cognoscitivas: matemáticas
y pedagogía. Normalmente, se ha asumido la pedagogía o la didáctica (en la tradición europea continental) como una ciencia un arte general, aplicable a situaciones particulares que generan pedagogías o didácticas “especiales” o especíicas. La
Educación Matemática es aquí un “matrimonio” entre contenidos matemáticos y
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 109
contenidos de esa pedagogía general. Se trata de una yuxtaposición de contenidos,
sin intersección o interrelación íntima. Esto se expresa en currículos con cursos de
matemática por un lado y curso de pedagogía por el otro. ¿Dónde queda la mediación entre contenidos matemáticos y pedagogía especíica para el aula? Se asumía
que los contenidos pedagógicos generales proporcionan la base para esa mediación
especíica. La realidad es, sin embargo, otra.
En algunos países, el énfasis fue colocado en los contenidos matemáticos; en otros
el énfasis se dio en los contenidos de educación general. En algunos países se ha
favorecido un currículo en el cual la formación matemática se enfatiza por años y
se concibe la Educación Matemática como una especialización posterior (España,
Francia); en otros, más bien, las matemáticas son un énfasis dentro de un currículo
de educación. Esto ha tenido que ver con los lugares institucionales en los cuales la
Educación Matemática se desarrollaba (en Escuelas de Matemática o en Facultades
de Educación). En muchos casos, sin embargo, la separación entre matemática y
educación y otros componentes ha sido la regla durante muchos años. Pedagogía
impartida por especialistas en educación, en general, sin conocimiento de las matemáticas. Y matemáticas aportadas por profesores de matemáticas (aunque no necesariamente matemáticos profesionales activos), sin conocimiento de la pedagogía.
Como airman Ruiz, Chavarría y Alpízar (2003):
Durante décadas y décadas hasta ahora en todo el mundo han predominado programas de formación de profesores de matemáticas que han sido en esencia “embutidos” de pedagogía general y matemáticas (la mayoría de las veces de bajo
nivel). Una yuxtaposición pobre e inútil para propiciar el progreso de la enseñanza
aprendizaje de las matemáticas. Los profesores de matemáticas formados en esas
condiciones terminan al egresarse de las universidades dependiendo de sus virtudes y debilidades solamente para su labor, sin poder fundamentar sus actividades
profesionales en métodos y conceptos y recursos proporcionados por su disciplina
en las aulas universitarias. A las diicultades propias de la naturaleza de las matemáticas para su aprendizaje, se añaden las derivadas de una separación drástica
entre pedagogía y matemáticas. La construcción de la disciplina académica permitirá avanzar en la deinición de un peril profesional propio, una especialidad capaz
de seguir progresando. La investigación en este escenario, ahora y como ejemplo,
es posible de concebirse como un proceso permanente incorporado, como dijimos
antes, en los quehaceres de la profesión, en el aula misma.
Vamos a buscar, en lo que sigue, una respuesta teórica a los problemas planteados
en la anterior cita.
110
Ángel Ruiz
2. Conocimiento pedagógico del contenido y currículo
Desde hace más de 20 años, las principales investigaciones apuntan a una reconstrucción de los curricula en la enseñanza de las matemáticas que supere
la perniciosa dicotomía y separación entre contenido matemático y contenido
pedagógico.
Esta separación entre contenido disciplinar y pedagogía no ha sido exclusiva de
las matemáticas: química historia, lenguaje, etcétera, han visto las diicultades
de esta dicotomía. Por eso mismo, vamos a reseñar alguno de los planteamientos
generales más signiicativos que se han dado en el contexto internacional.
El norteamericano Lee Shulman (1986) airmaba que el “paradigma escondido”
en la formación ha sido precisamente el “conocimiento pedagógico del contenido” CPC, en inglés Pedagogical Content Knowledge. Este va más allá del conocimiento de la disciplina en sí mismo y señala al conocimiento de la disciplina
para la enseñanza. No se trata de una conjunción de pedagogía y contenido, ni
una intersección de ambas. Según este psicólogo norteamericano, dentro de esta
categoría debe incluirse, en relación con los tópicos que se enseñan con mayor
regularidad en una materia, las formas y representaciones más útiles del concepto
o procedimiento, las analogías más poderosas, ilustraciones, ejemplos explicaciones y demostraciones. El lo resume diciendo CPC son:
Las vías de representación y formulación de la materia que la hacen comprensibles
a los otros. El conocimiento pedagógico del contenido también incluye el entendimiento de lo que hace algo fácil o difícil en el aprendizaje de tópicos especíicos,
es decir concepciones y preconcepciones que los estudiantes de la diferentes edades y contextos incorporan en el aprendizaje de los tópicos más frecuentemente
enseñados y en las lecciones más frecuentemente enseñadas. Cuando estas preconcepciones son equivocadas, lo que es usual, los educadores necesitan conocimiento de las estrategias que pueden resultar más fructíferas para reorganizar el
entendimiento de los estudiantes, puesto que es poco probable que estos estudiantes participen en el proceso educativo como una tabla rasa (Shulman, 1986, p. 9).
Es decir, las dimensiones cognitivas que participan en el acto de enseñanza aprendizaje son irrelevantes y poseen un estatuto propio dentro del conocimiento que
debe tener el educador.
Shulman y Quinlan (1996) insisten:
La capacidad para enseñar, sin embargo, no está compuesta de un genérico conjunto de habilidades pedagógicas; en su lugar, la efectividad de la enseñanza es
altamente dependiente conjuntamente del conocimiento del contenido y del conocimiento didáctico del contenido, en cómo una buena comprensión de la materia
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática
111
y en cómo una buena comprensión de los modos de transformar los contenidos de
materia en representaciones con potencialidad didáctica (p. 409).
¿Cuál es la esencia intelectual de esta aproximación? El conocimiento de la disciplina no genera por sí mismo los mecanismos para la enseñanza de los contenidos
en particular a alumnos especíicos.
Este conocimiento se construye con y sobre conocimiento de la disciplina, el
conocimiento teórico general y el conocimiento de los alumnos.
Según Gudmundsdottir (1990): “es la parte más importante del conocimiento
base de la enseñanza y distingue al profesor veterano del novel, y al buen profesor del erudito”.
¿Cómo se construye este conocimiento pedagógico del contenido? ¿Es una derivación del contenido? Bolívar (2005) acude a los términos de Marks (1990) para señalar algunas vías, interpretación, especiicación y síntesis de la siguiente manera:
•
•
•
se puede considerar que algunas dimensiones pedagógicas del contenido se
siguen directamente del contenido matemático (“interpretación”);
Otras dimensiones pueden derivarse de conocimientos pedagógicos generales (“especiicación”);
Otras dimensiones no se derivarían necesariamente ni del contenido disciplinar ni del pedagógico ni de otro conocimiento pedagógico del contenido
anterior (“síntesis”), pueden ser todos ellos en alguna proporción.
Debe hacerse el CPC, entonces, en esa categoría de construcciones pedagógicas
que no son implicaciones de contenidos disciplinares o de pedagogía general,
sino de la situaciones especíicas a la enseñanza aprendizaje de una materia.
También, con Grossman (1989) y Marks (1990), citados por Bolívar (2005), se
pueden señalar otros componentes posibles del CPC:
1. Conocimiento de la comprensión de los alumnos: modo cómo los alumnos
comprenden un tópico disciplinar, sus posibles malentendidos y grado de
diicultad;
2. Conocimiento de los materiales curriculares y medios de enseñanza en relación con los contenidos y alumnos;
3. Estrategias didácticas y procesos instructivos: representaciones para la enseñanza de tópicos particulares y posibles actividades/tareas; y
4. Conocimiento de los propósitos o ines de la enseñanza de la materia: concepciones de lo que signiica enseñar un determinado tema (ideas relevantes,
prerrequisitos, justiicación, etc.).
112
Ángel Ruiz
Con Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009):
El conocimiento pedagógico del contenido implica una reorganización y transformación de los contenidos disciplinares que debe tener en cuenta el contexto, el currículo y los estudiantes. Apunta directamente hacia elaboraciones y construcciones
sobre la enseñanza de un tópico especíico y representaciones múltiples del mismo,
así como sus propósitos didácticos. Incorpora también los mecanismos de pensamiento y razonamiento que pueden resultar fructíferos para el objetivo pedagógico.
También incorpora los valores, creencias, concepciones que participan en la práctica
de enseñanza aprendizaje en un nivel determinado.
¿Es el conocimiento pedagógico del contenido un subconjunto de la disciplina o es
algo más? Es decir, una vez reconocidos la existencia y el lugar del CPC, se plantea
si ésta es una derivación exclusiva el contenido. En el caso de las matemáticas,
¿deinen y determinan éstas su CPC? Concordamos con Hashweh (2005):
El conocimiento didáctico del contenido es el conjunto o repertorio de “construcciones pedagógicas”, resultado de la sabiduría de la práctica docente, normalmente
con una estructura narrativa, referidas a tópicos especíicos. De este modo no sería
ni una subcategoría del conocimiento de la materia (conocimiento de la materia para
la enseñanza) ni una forma genérica de conocimiento, sino una colección de “construcciones didácticas”, especíicas para cada tópico, que puede ser examinada en
los diversos componentes que la coniguran (conocimiento curricular, del contenido, creencias sobre la enseñanza-aprendizaje, conocimientos y creencias didácticas,
conocimientos del contexto y recursos, metas y objetivos) (reseñado por Bolívar,
2005).
Cabe preguntarse también si el CPC se reduce a los conocimientos que merecen la
comprensión de la cognición o el aprendizaje e individual de los sujetos. En nuestra opinión el conocimiento pedagógico del contenido o la pedagogía especíica
no pueden reducirse a la psicología del aprendizaje al margen de los contextos e
inluencias sociales que forman parte del hecho educativo.
En resumen, se asume en esta perspectiva que la pedagogía (o la didáctica, en la
acepción europea continental), vista como conjunto de principios genéricos que se
pueden aplicar a cualquier disciplina, es algo diferente de una pedagogía especíica.
La existencia de una pedagogía especíica tiene sentido epistemológico a partir de
la existencia del conocimiento de la disciplina especíicamente pedagógico. Puesto
en otros términos: la didáctica especíica no se considera simplemente una aplicación de los principios de la pedagogía general, sino que reiere a los métodos especíicos de la disciplina y las circunstancias precisas en que se realiza la formación
en la misma.
¿Cómo se deben integrar en el currículo (en la misma malla curricular) el conocimiento disciplinar, el conocimiento pedagógico del contenido y conocimiento
pedagógico general? Las investigaciones sugieren que, puesto que estos tres com-
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 113
ponentes se superponen y poseen intersecciones en la práctica, entonces: “… los
centros de formación del profesorado no deberían impartirlos en cursos independientes (cursos disciplinares y métodos didácticos por otro)” (Bolívar, 2005, pp.
25-26). No obstante, podríamos pensar que de lo que se trata es de establecer una
estrategia que involucre CPC y una enseñanza de los contenidos matemáticos de
manera especíica para el educador. Volveremos sobre este tema.
3. Conocimientos en la formación del educador matemático: propuesta
de un modelo teórico
El diseño y arquitectura precisos de un currículo debe obedecer a varios factores contextuales e históricos aparte de los teóricos y epistemológicos. No es el propósito
de nuestro trabajo ofrecer un mayor nivel de precisión. Con base en las anteriores
consideraciones, sin embargo, vamos a referirnos con mayor detalle a la estructura de
conocimientos para el educador matemático.
Shulman (1987) señala varios tipos de conocimiento que debe poseer un educador:
Si hubiera que organizar los conocimientos del profesor en un manual, en una
enciclopedia o en algún otro tipo de formato para ordenar el saber, ¿cuáles serían
los encabezamientos de cada categoría? Como mínimo incluirían:
•
•
Conocimiento del contenido;
Conocimiento didáctico general, teniendo en cuenta especialmente aquellos principios y estrategias generales de manejo y organización de la clase
que trascienden el ámbito de la asignatura;
• Conocimiento del currículo, con un especial dominio de los materiales y
los programas que sirven como “herramientas para el oicio” del docente;
• Conocimiento didáctico del contenido: esa especial amalgama entre materia y pedagogía que constituye una esfera exclusiva de los maestros, su
propia forma especial de comprensión profesional;
• Conocimiento de los alumnos y de sus características;
• Conocimiento de los contextos educativos, que abarcan desde el funcionamiento del grupo o de la clase, la gestión y inanciación de los distritos
escolares, hasta el carácter de las comunidades y culturas; y
• Conocimiento de los objetivos, las inalidades y los valores educativos, y
de sus fundamentos ilosóicos e históricos.
Entre estas categorías, el conocimiento didáctico del contenido adquiere particular interés porque identiica los cuerpos de conocimientos distintivos para la
enseñanza. Representa la mezcla entre materia y didáctica por la que se llega
114
Ángel Ruiz
a una comprensión de cómo determinados temas y problemas se organizan, se
representan y se adaptan a los diversos intereses y capacidades de los alumnos, y
se exponen para su enseñanza (pp. 10-11)
Shulman no buscaba ser exhaustivo. No obstante, apuntó algunas de las principales categorías que vamos a considerar aquí dirigidas hacia las matemáticas.
El nuevo contexto apunta a una disciplina y ciencia social que parte de los conceptos y métodos matemáticos (que nutren y establecen las fronteras cognoscitivas
en las que se trabaja), realiza una “transposición didáctica” (una conversión de
los mismos en objetos educativos para la enseñanza y aprendizaje), y coloca sus
objetivos colectivos en aprendizajes dentro de entornos sociales. Invoca matemáticas teóricas (que proporcionan objetos y métodos especíicos), matemáticas
para la enseñanza (matemáticas que han tenido un proceso de transposición didáctica), conocimientos de historia, ilosofía, antropología y otras ciencias sobre
las matemáticas, didáctica o pedagogía especíica (asociada a las matemáticas),
conocimiento de los aprendizajes matemáticos (cognitivo, social), y conocimiento de los procesos educativo generales (pedagogía, sociología). Existen otros conocimientos que se deben incorporar en la formación de un educador matemático
que apelan a su formación integral, como las bellas artes y las llamadas “humanidades” o técnicas (como las TICs), las lenguas modernas (aquí daremos énfasis a
aquellos componentes directamente aplicados en la profesión).
Podemos integrar estos conocimientos en un modelo formado por esos elementos
cognoscitivos de la siguiente manera:
Tabla1. Estructura de conocimientos en la formación inicial del
educador matemático
Categoría
1. Conocimiento
general
Subcategorías
Descripción
Aquel que no reiere a los procesos educativos pero
que es relevante en la formación integral del educador y de todo profesional: estudios que sostienen
una perspectiva humanista en la formación, conocimientos instrumentales (lenguajes y paquetes informáticos, etc.), otras lenguas.
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 115
2. Conocimiento
matemático y metamatemático
Conocimiento mate- Las matemáticas que el educador necesita, una
mático
forma de matemática aplicada (subconjunto de
las matemáticas, aunque no un subconjunto de las
matemáticas para el matemático, del ingeniero, u
otros): representaciones de conceptos y soluciones múltiples, útiles para construir situaciones
problemas, generadoras de pensamiento matemático, interrelaciones teóricas dentro de las matemáticas, representación por medio de modelos y
aplicaciones, etc.
Conocimiento meta- Los conocimientos sobre las matemáticas desde
matemático
diferentes enfoques disciplinarios: historia, ilosofía, estudios sociales de las matemáticas. No
es toda la metamatemática sino aquella de interés
para el educador (subconjunto de las metamatemáticas).
3. Conocimiento edu- Conocimiento peda- Reiere a los diferentes aspectos que participan
cativo general
gógico general
directamente en la enseñanza y aprendizaje: currículo, evaluación, didáctica, psicol ogía del
aprendizaje y la enseñanza, cognición, sociología
educativa.
Conocimiento educa- Intervienen en la educación pero no necesariativo general no peda- mente para la acción pedagógica directa: normagógico.
tivas institucionales, sociología y antropología de
grupos, etc.
4. Conocimiento
pedagógico de las
matemáticas y las
metamatemáticas.
Conocimiento peda- Reiere a las representaciones múltiples y mediagógico matemático
ciones pedagógicas especíicas de los contenidos
matemáticos. En dos dimensiones generales: relativas a los estudiantes; relativas a la enseñanza.
Conocimiento peda- Dimensiones pedagógicas de las metamatemátigógico metamatemá- cas: conceptos y métodos cómo intervienen o se
tico
pueden usar historia, epistemología, antropología,
etc. en el aula.
Modelo elaborado por A. Ruiz.
116
Ángel Ruiz
Se puede representar gráicamente como aparece en la igura 1.
Figura 1. Estructura de conocimientos en la formación inicial
del educador matemático.
General
Educación
General
Matemáticas y
Metamatemáticas
Pedagogía en
Matemáticas y
Metamatemáticas
Veamos con mayor detalle algunas de estas categorías.
Conocimiento educativo general
El conocimiento educativo general reiere a aquellos principios y situaciones
generales de enseñanza y aprendizaje, principios curriculares y de evaluación,
psicología de niños y adolescentes, dinámica de grupos, liderazgo colectivo, reglamentación institucional, inlujos socioculturales en la educación presentes en
la práctica educativa, etc.
Con Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009):
La investigación revela que este componente general no posee un impacto tan fuerte
en el éxito del aprendizaje especíico de la matemática en el aula. Sí es importante,
no obstante, porque existen dimensiones no relativas directamente a las matemáticas
que intervienen en la práctica profesional dentro y fuera del aula: entre otras, vida
institucional, interrelación con profesionales de otras disciplinas, conductas (psicología y sociología) de grupos o individuos, problemas generales de aprendizaje
(discapacidades, por ejemplo), visiones y creencias sobre la educación y la vida que
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 117
intervienen (ilosofías), factores culturales generales (asociados a etnia, género, clase social, etc.), valores éticos, actitudes, legislación, etc. Es un componente general
que apoya las perspectivas más amplias de la profesión del educador.
El problema que ha existido en muchas partes en el currículo del educador matemático, es que ha incorporado sólo dos componentes: matemáticas y ciencias sociales
de la educación. Incluso, en algunos países, se llegó a asumir que la transposición
didáctica de las matemáticas a las “matemáticas para la enseñanza” debía ser realizada por el mismo educador dotado solamente de esos componentes. Esto era
simplemente absurdo. Lo que hoy se subraya como crucial es la incorporación de
las dimensiones especíicas en la pedagogía y el aprendizaje de las matemáticas.
La presencia de matemáticas y conocimiento educativo general no encierra ningún
secreto especial. Una situación diferente ocurre con la pedagogía matemática.
Además, resulta de interés mencionar que no hay evidencia de que el conocimiento de teorías generales del aprendizaje (ya sea behaviorismo o constructivismo)
impacten las decisiones de los educadores en su labor de aula (Fennema y Loef
Franke, 1992, p. 153). O sea, su incorporación no posee un inlujo directo para la
práctica docente (lo cual no quiere decir, por supuesto, que no haya que incorporarlas en el currículo).
Sí hay evidencia de un mayor impacto en la acción del docente del conocimiento de
las condiciones cognitivas en las que se realiza el aprendizaje, es decir, de los procesos mentales a través de los cuales el estudiante aprende de manera especíica los
conceptos matemáticos (diversidad de estrategias, estructura de pasos cognitivos,
obstáculos didácticos).
Por las razones señaladas arriba, no vamos en este trabajo a dar un detalle mayor al
conocimiento educativo general.
Conocimiento pedagógico de las matemáticas y las meta-matemáticas
Ya hemos mencionado que un fuerte impacto sobre la práctica profesional y, por
ende, en la enseñanza y el aprendizaje posee, según los hallazgos de la investigación, el conocimiento pedagógico de los diferentes tópicos de las matemáticas que
se deben enseñar. Es decir, el conocimiento de las técnicas, principios, organización
de situaciones y recursos en general para enseñar en el aula aquellas partes de las
matemáticas que posee el currículo escolar. No se trata solamente de adquisición
de técnicas (procedimientos) sino de conocimiento de todos los aspectos que se
encuentran en los procesos de enseñanza aprendizaje de cada tópico matemático:
orígenes cognoscitivos e históricos en las matemáticas, signiicado y perspectiva
matemática de los conceptos o métodos a enseñar, estudio de los procedimientos de
118
Ángel Ruiz
enseñanza posibles y una jerarquización de los mismos en función del aprendizaje,
organización de la clase para el objetivo especíico, estudio de diicultades u obstáculos didácticos, etc. Se debe ver como una integración interactiva entre matemática y pedagogía orientada con precisión hacia el nivel educativo y a los contenidos
matemáticos que se deben enseñar.
Podemos colocar algunas subcategorías bajo el conocimiento pedagógico del contenido:
•
•
•
•
•
•
•
Teorías del aprendizaje matemático.
Cognición y matemáticas.
Creencias en matemáticas.
Currículo matemático.
Didácticas y gestión de las matemáticas.
Evaluación matemática.
Investigación en Educación Matemática.
La lista, por supuesto, no es exhaustiva y, también, se pueden reagrupar las subcategorías, pero, con la estructura presentada, ya hemos dibujado la perspectiva teórica
que pensamos puede sostener un currículo en la Educación Matemática.
¿Cómo se perilaría mejor este conocimiento pedagógico de las matemáticas? Ofrecemos en lo que sigue algunas pinceladas de lo que pueden ser estas subcategorías
cognoscitivas con propósitos de ilustración.
Teorías del aprendizaje matemático. El educador matemático debe conocer las
epistemologías de la Educación Matemática: constructivismo, socioculturalismo,
interaccionismo, etc., las teorías educativas de la construcción de conocimiento
matemático y mediaciones prácticas en la acción de aula. ¿Cómo se construye una
estrategia didáctica en las matemáticas de acuerdo a las diferentes perspectivas
epistemológicas?
Didácticas y gestión de las matemáticas. Producto precisamente de la mayor
conciencia del lugar del conocimiento pedagógico del contenido, en las últimas
décadas se ha dado una amplia generación de resultados sobre cómo enseñar los
contenidos matemáticos en los diferentes niveles educativos. Ya sea que se acuda
al recurso de contextualizar en entornos sociales y físicos, al uso de manipulables,
al uso de la historia, los juegos de contenido matemático, los desafíos o las tecnologías digitales modernas, se empuja a la utilización de múltiples instrumentos para
apoyar el aprendizaje. Es decir: potenciación de las didácticas matemáticas. En esto
se pueden señalar dos posible aspectos: por un lado, las didácticas asociadas a cada
disciplina de las matemáticas:
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 119
•
•
•
•
•
Didáctica del álgebra.
Didáctica de la geometría.
Didáctica del análisis (de funciones, cálculo, etc.)
Didáctica de la aritmética y la teoría de números.
Didáctica de la estadística y las probabilidades.
En cada caso, se trata de invocar múltiples representaciones de los conceptos o
procedimientos de cada una, diversas estrategias de enseñanza (adaptadas a cada
una), contextos de aplicación, perspectivas generales en cada disciplina. En todo
momento: se debe abordar la didáctica desde las competencias asociadas que establece el currículo escolar y buscar los mejores mecanismos para desarrollarlas en
cada caso.
Por el otro lado, se encuentran temas transversales (presentes en todas las disciplinas y en el currículo matemático): uso de la historia, de las tecnologías, de la
investigación, etc.
La didáctica que utiliza como medio la historia de las matemáticas, por ejemplo, es
un conocimiento distinto de la historia de las matemáticas especíicamente. Invoca
estrategias y procedimientos pedagógicos de una mera particular.
Didáctica general de la gestión del aprendizaje de las matemáticas en el aula.
Esto último reiere a las características de la acción docente en el aula: organización
de las etapas (inicio, cierre, siguiente lección), las instrucciones y las actitudes docentes (el nivel de la participación del estudiante, por ejemplo), las tareas escolares,
la escogencia de los instrumentos pedagógicos, que pueden usar, entre otros, marcos teóricos provenientes de la resolución de problemas, la teoría de las situaciones
didácticas, la fenomenología didáctica, etc.
Son relevantes las experiencias internacionales en la labor de aula; ¿qué resultados
aportan que pueden ser útiles para el educador? Estudios comparativos de aula son
importantes de conocer. Por ejemplo, los ya clásicos de Stigler y Hiebert (1999)
o los más recientes de Clarke, Emanuelsson, Jablonka, y Mok (2006), y Clarke,
Keitel y Shimizu (2006).
Cognición y matemáticas. Los resultados de investigación evidencian que las dimensiones especíicas del qué y cómo enseñar matemática son las cruciales; lo
mismo sucede con los conocimientos sobre el aprendizaje. De hecho, los estudios
realizados con la inluencia de la psicología educativa cognitiva (donde pesa el
constructivismo), el socioculturalismo y la misma resolución de problemas, todos
interesados en el aprendizaje, potenciaron lo que se suele llamar las ciencias cognoscitivas (“cognitive science”). Este último es un nuevo campo interdisciplina-
120
Ángel Ruiz
rio que, desde inales de los años 50, incluye antropología, inteligencia artiicial,
psicología cognitiva, computación, educación, lingüística y ilosofía (Schoenfeld,
2000). Con nuevos instrumentos de experimentación, metodologías y formas de
postular las diversas teorías se abrieron interesantes y novedosas posibilidades de
experimentar sobre el estudio del pensamiento y resultados muy relevantes sobre el
papel de los contextos culturales y sociales en el aprendizaje (Bransford et al, 2000,
p. 8). Este importante campo de investigación hoy incluye todos los aspectos sobre
la formación de conceptos matemáticos, las conductas y estrategias en la resolución
de problemas, los esquemas cognitivos, la construcción de sentido o signiicado, las
características efectivas y actitudinales en relación con los estudiantes.
La cognición y el aprendizaje de las matemáticas es el tipo de investigación predominante en la Educación Matemática (Niss, 2000). Este tipo de estudios y sus conclusiones deberían nutrir con fuerza el currículo de la enseñanza de las matemáticas
en las universidades.
Ahora bien, no solo debe incorporarse aquí el conocimiento de los aprendizajes
con base en la óptica de la psicología cognitiva, que se centra mucho en el individuo y su devenir interno, sino, también, conocimiento sobre los inlujos culturales
y sociales, las instituciones, la familia, etc. y sobre las conductas colectivas que
impactan en el aprendizaje: la interacción interpersonal, lo cooperativo, la dinámica colectiva de los procesos de aprendizaje, las negociaciones y los “contratos
didácticos” en el aula (explícitos o implícitos), las características de la transmisión
de signiicados en la clase, las modiicaciones cognoscitivas por la inluencia de los
otros en el individuo y viceversa.
En el currículo del educador matemático debería ingresar, por ejemplo, el análisis
de los procedimientos mentales presentes en los procesos educativos relacionados
con las matemáticas, tanto por parte de los estudiantes como de los profesores (por
ejemplo, las actitudes tipo “efecto Topacio” o “efecto Jourdain” que ha señalado
Brousseau, o la “constante macabra” de Antibi). Descripción, signiicados y utilización pedagógica de los errores y las diicultades en las matemáticas. Procesos
mentales especíicos en la resolución de problemas: por ejemplo, metacognición
(control).
Creencias en matemáticas. Los resultados sobre las creencias, un componente
importante en los trabajos sobre resolución de problemas, tanto de los estudiantes
como de los educadores, es un tema que debería incluirse en el armamento teórico
que reciben los educadores en formación. Lo que piense un estudiante condiciona
múltiplemente su actitud hacia la instrucción matemática que recibe. Y las creencias de los educadores juegan un papel crucial en el tipo de lección que éstos desarrollen y, por ende, en lo que los estudiantes vayan a aprender (Fennema y Loef
Franke, 1992, p. 157).
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 121
El currículo posee responsabilidad en la potenciación de ideas erróneas o apropiadas que el educador va a reproducir en el aula y el asunto debe abordarse en la
formación inicial de manera directa. Un ejemplo: varias investigaciones señalan
que las creencias “robustas” en el educador matemático en formación son difíciles
de transformar (Pp’t Eynde, de Corte y Verschaffel, 2001), pero hay resultados que
muestran cómo se logran cambiar percepciones de estos profesores acerca de la
naturaleza de las matemáticas y su enseñanza; por ejemplo: transformación de una
visión que enfatiza formalismo y pensamiento algorítmico hacia otra que airma los
aspectos constructivos y de proceso en la matemática y su enseñanza –por medio de
un énfasis en la resolución de problemas (Liljedahl, Rolka y Rösken, 2007).
Currículo matemático. Los objetivos de las matemáticas en el nivel educativo
meta: en el caso que favorecemos, la educación media preuniversitaria. ¿Cuáles
son las condiciones, medios, contextos y límites de la enseñanza aprendizaje de las
matemáticas en estos niveles escolares? Precisamente, sería pertinente la temática
de los signiicados de las competencias (Niss, PISA), habilidades y destrezas matemáticas (National Research Council de los EUA), estándares (National Council of
Teachers of Mathematics de los EUA) en la organización, deinición y realización
práctica de un currículo en matemáticas.
El educador matemático requiere conocimiento de cuáles son las razones y las condiciones de la incorporación de los conocimientos matemáticos que deben estar
presentes en la matemática escolar. En ese sentido, un tema importante son las
adaptaciones del currículo matemático a contextos socioculturales y a condiciones especíicas de enseñanza aprendizaje. El progreso y cambio en los currículos:
¿cómo mejorar las competencias matemáticas de los estudiantes? No puede faltar
la perspectiva internacional: currículos matemáticos en diversas partes del mundo,
sus comparaciones.
Evaluación matemática. El educador matemático en formación debe recibir conocimiento sobre las relaciones entre metodología de enseñanza en matemáticas y
los procesos de evaluación especíicos. Parámetros y procedimientos de evaluación
especíicos a las matemáticas; por ejemplo en torno a la resolución de problemas, a
la evaluación de las competencias de argumentación y comunicación matemáticas,
modelización matemática, etc. Otro tema crucial: las estrategias que permitan la
evaluación adecuada de la comprensión de conceptos así como de los procedimientos algorítmicos en matemáticas. Diseño de tareas (task design) para el desarrollo de la lección y mecanismos de evaluación. Conocimiento y signiicados de las
pruebas estandarizadas en los procesos de aprendizaje. Instrumentos evaluativos
de diagnostico para el apoyo educativo en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Pruebas comparativas internacionales en matemáticas: PISA, TIMSS, etc.:
premisas teóricas, métodos, análisis y utilización de resultados en el mejoramiento
del sistema educativo y la acción de aula.
122
Ángel Ruiz
Formación continua e investigación en Educación Matemática. El educador
matemático debe recibir en su formación inicial instrucción sobre los principales
métodos que se utilizan en la investigación en la Educación Matemática: cualitativa, cuantitativa, de casos, etc. A la vez debe adquirir conocimiento y competencias
para realizar investigación de aula en su práctica profesional con el propósito, en
particular, de mejorar su enseñanza y profundizar los niveles de aprendizaje.
Un educador debe recibir en su formación inicial conocimiento sobre los hallazgos
en la Educación Matemática internacional sobre formación continua e investigación. Por ejemplo, las características y métodos de la “lección estudio” en Japón,
que integra, entre otras cosas, investigación de aula, formación continua y desarrollo profesional.
Por otra parte, el educador requiere conocer cómo puede usar la historia de las matemáticas en el aula, las relexiones ilosóicas deben jugar un papel especíico en
el desarrollo de la labor profesional, los resultados de estudios sociales o en general
meta-matemáticos ocupan un espacio propio que lo hemos consignado dentro de
esta gran categoría.
Conocimiento matemático y meta-matemático
Como consignan Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009):
Los Conocimientos matemáticos son los contenidos y métodos de las matemáticas
y los Conocimientos meta-matemáticos deben entenderse aquí como conocimientos
ilosóicos, históricos, sociológicos sobre las matemáticas. Es decir contenidos de y
sobre la disciplina:
•
•
•
•
•
Conceptos y procedimientos;
métodos de construcción, validación y comunicación;
estructuras cognoscitivas;
aplicaciones;
historia, ilosofía y estudios sociales de las matemáticas.
El dominio cuantitativo y cualitativo de conocimientos matemáticos se ha demostrado ofrece, entre otras cosas, mayores opciones para la enseñanza en el aula, así como
mayor seguridad y conianza del docente en su labor (impacto en la situación del
educador) (Brown y Borko, 1992, p. 220), aunque conviene precisar esta valoración.
Bass (2005) llega a decir incluso que la Educación Matemática en su conjunto es una
matemática aplicada:
La Educación Matemática no es Matemática. Es un dominio de trabajo profesional
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 123
que hace un uso fundamental altamente especializadas formas de conocimiento matemático y en ese sentido puede ser, sugiero, útilmente vista como una especie de
matemática aplicada. Voy a argumentar que, como sucede en otros dominios de las
“matemáticas aplicadas”, la primera tarea del matemático que quiere contribuir en
esta área es entender sensiblemente el dominio de aplicación, la naturaleza de sus
problemas matemáticos, y las formas de conocimiento matemático que son útiles y
usables en este dominio (p. 416).
El punto de fondo aquí es la conceptualización de la forma particular de matemática que requiere el educador matemático (que exige ser a su vez ser enseñada de
forma especíica: muy ejemplarizante) y las características que debe tener. Es decir, el signiicado preciso de la “aplicación”. Para Bass (2005): “El conocimiento
necesario para la enseñanza debe ser usable para la resolución de problemas especializadas y el razonamiento que los maestros tienen que hacer”.
En el caso de la primaria, en efecto, Heather Hill, Deborah Ball y Hyman Bass
han desarrollado un importante proyecto en esa perspectiva (Learning Mathematics for Teaching Project). Ellos han propuesto un modelo con 4 categorías:
(1) Conocimiento matemático común (que se espera sea conocido por cualquier
adulto educado), (2) Conocimiento matemático especializado (estrictamente conocimiento matemático que es particular para el trabajo de enseñanza, aunque no
requerido o conocido en otras profesiones que usan intensamente las matemáticas
(incluyendo la investigación matemática), (3) Conocimiento de matemáticas y estudiantes y (4) Conocimiento de matemáticas y enseñanza (Bass, 2005, p. 429).
El conocimiento matemático especializado no debe verse como un “subconjunto”
de lo que otros profesionales incluso matemáticos deben saber.
El conocimiento matemático aplicado a la educación supone contenidos matemáticos propiamente pero ligados a objetivos en la acción educativa.
Podemos invocar aquí una relación con la “transposición didáctica” desarrollada
por Chevallard, donde el “saber sabio” sufre una serie de modiicaciones para
convertirse primeramente en “saber a enseñar” y luego en “saber enseñado”. El
primer paso desde el “saber sabio” en la transposición didáctica genera la determinación de los contenidos que deben formar parte del currículo escolar; el segundo paso transforma este último “saber a enseñar” en un objeto de enseñanza.
Esto se desarrolla en un contexto institucional, en este caso las unidades educativas. Por eso, este autor subraya que la transposición didáctica debe verse como
un proceso institucional, una “antropología, que invoca aquellas entidades que
produce en el “saber sabio” y aquellas que lo reciben con el propósito de realizar
una transposición didáctica. La escogencia de los contenidos a enseñar es una
forma de aplicación matemática en la educación, y una vez que se convierten esos
124
Ángel Ruiz
contenidos en objetos de enseñanza se invoca conocimientos pedagógicos de los
mismos. Ahora bien, la teoría establece el “saber enseñar” y el “saber enseñado”
en función del “saber sabio”. Este último es la principal referencia. Las implicaciones aquí son claras: las matemáticas determinan plenamente los objetos de
enseñanza. Esta visión es concordante con las ideas de Brousseau, que colocan la
“didáctica de las matemáticas” dentro de la práctica matemática propiamente, por
diversas razones (Ruiz, 2003). Esta teoría de la transposición didáctica subraya
los contenidos en la enseñanza y aprendizaje y no precisamente los procesos de la
enseñanza aprendizaje que se encuentran al margen de los contenidos; se subraya
la disciplina como fuente de una pedagogía especíica, la transposición didáctica
enfoca su interés en las dimensiones más amplias institucionales, sociales. La
estructura de momentos que establece la transposición son válidos de manera
general, no obstante la clave en todo esto es cuáles son las matemáticas y sus
procesos pedagógicos asociados.
Todo apunta a la construcción de currículos con una fuerte participación
de pedagogías especíicas de las matemáticas, donde las competencias profesionales claramente establecidas pueden ser útiles. Esto supone cursos
especíicos de pedagogía matemática, y a la vez propósitos pedagógicos
matemáticos especíicos en todo el currículo.
Los Conocimientos matemáticos son los contenidos y métodos de las matemáticas
y los Conocimientos meta-matemáticos deben entenderse aquí como conocimientos ilosóicos, históricos, sociológicos sobre las matemáticas. Es decir contenidos
de y sobre la disciplina:
•
•
•
•
•
Conceptos y procedimientos;
métodos de construcción, validación y comunicación;
estructuras cognoscitivas;
aplicaciones;
historia, ilosofía y estudios sociales de las matemáticas.
4. Las matemáticas “aplicadas” en la formación inicial del profesional
en educación matemática
¿Pueden ser concebidas las matemáticas para el educador matemático al margen
de las consideraciones pedagógicas generales? La respuesta es negativa. Estos
conocimientos no pueden ser establecidos al margen de la pedagogía especíica, tiene que existir un vínculo explícito. De las cosas que más inluencian en
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 125
la formación de un estudiante de enseñanza de las matemáticas es la forma en
que recibe los cursos de matemática. Es posible enseñar en cursos de pedagogía
matemática y cómo deben enseñarse los contenidos matemáticos, pero solo eso,
incluso, resultaría insuiciente.
Hace relativamente poco tiempo, en el 2004, en la conferencia vigésimo octava
del International Group for the Psychology of Mathematics Education PME, un
foro se dedicó exclusivamente a la temática del conocimiento matemático del
educador matemático para la educación media. Nos parece pertinente retrotraer
algunas de las conclusiones:
•
•
Es necesario conocer matemáticas con un cierto nivel de competencia.
Adicionalmente a enseñar matemáticas hay una necesidad de adquirir un conocimiento “diferente” de las matemáticas.
• Cuál es ese conocimiento diferente, es algo que no está claro.
• En algunos casos, se propone que ese conocimiento sea: la matemática escolar con ideas relevantes como las funciones; en otras ocasiones, ese conocimiento es visto simplemente como algo diferente de las matemáticas del
matemático profesional.
• Se ha obtenido progreso en el conocimiento de las concepciones de los estudiantes sobre las matemáticas, pero falta ver cómo se transiere ese conocimiento dentro del conocimiento del educador para enseñar.
• En la preparación de educadores matemáticos existe todavía una desconexión
entre lo que los estudiantes experimentan como matemáticas y su enseñanza
en los cursos formales de matemáticas y lo que son los cursos de Educación
Matemática (Doerr y Wood, 2004, p. 189).
En ese foro, Borba (Brasil) y Even (Israel) consignaron su experiencia nacional
airmando que más contenidos matemáticos o más competencia matemática no
son la solución para lograr progreso en la Educación Matemática.
Supuestos erróneos.
Una forma de analizar este asunto nos parece puede hacerse a través de opiniones
comunes en los medios de formación de educadores (aunque con diferencia entre
países):
1. Que el conocimiento de las matemáticas asegura las competencias para la
enseñanza de esta disciplina en el la secundaria.
2. Mayor conocimiento de matemáticas (más contenidos) mejora por sí mismo
las competencias del educador matemático.
3. Los contenidos de un curso de matemática para la formación docente deben
establecerse solamente con base en las conexiones matemáticas que posean
esos contenidos (su relación teórica, estructura, etc.).
4. Que los cursos de matemática deben ser iguales o similares a aquellos impar-
126
Ángel Ruiz
tidos para futuros matemáticos profesionales. A lo sumo lo que debe cambiar
es el número de contenidos o la diicultad de los ejercicios a resolver.
5. Que las matemáticas que debe aprender un educador matemático deben ser
superiores y más amplias que las que debe aprender un ingeniero.
Todas estas ideas son equivocadas, y precisamente contrarían varios de los resultados de la investigación que hemos reseñado arriba.
Brevemente: las ideas 4 y 5 asumen implícitamente que la matemática y la Educación Matemática son profesiones que se identiican sin más. Aquí no hay variación
en el signiicado cualitativo de las matemáticas en una y otra profesión. Y, en la
realidad, las cosas son distintas: las matemáticas que ocupa un educador matemático no son las mismas que requiere un matemático ni las mismas que requiere un
ingeniero: son distintas, tanto en el tipo de contenidos, como en la manera como se
enseñan y aprehenden. Muchos temas de matemática para el ingeniero y la forma
en que se les enseña no deben formar parte del currículo de un educador matemático; y así hay otros temas que deberá tener el currículo del educador matemático que
no deben estar en el del ingeniero. Lo mismo pasa con la formación para el matemático. Ingeniero, matemático y educador matemático son profesionales distintos,
que deben tener periles distintos y estar dotados de competencias diferentes.
Las ideas 1 y 2 expresan una convicción muy extendida: saber matemática es suiciente para enseñar matemática. Como airmamos antes: eso es falso; es una condición necesaria, pero no suiciente. Todas las mediaciones entre contenido disciplinar y la práctica de enseñanza aprendizaje se pierden en esa visión. Son muchos los
ejemplos de esto en el mundo, y también en la experiencia individual de la docencia. Cuánta matemática es la necesaria para enseñar, por ejemplo en la educación
secundaria, es objeto de debate e investigación.
La tercera idea señala una visión alejada de la pedagogía y de las competencias
profesionales. No deben ser los temas de las matemáticas (y su lógica teórica) solamente los que deinan el currículo, y en particular deinan las matemáticas que
deben enseñarse. La experiencia internacional en la construcción de currículos se
ha ido distanciando mucho de aquellas simples colecciones o listados de contenidos
matemáticos que deinen cursos y se orienta más hacia colecciones de situaciones
didácticas o “problemas” estrechamente asociadas a propósitos pedagógicos. Contenidos, objetivos y metodología deben estar estrechamente integrados.
La matemática para el educador matemático no es cualquier matemática con inalidades distintas a las de ese profesional: en ese sentido, se trata, en efecto, de una
matemática “aplicada”: “el conocimiento necesario para la enseñanza es diferente
de aquel del que se necesita en otras ocupaciones” (Bass, 2005, p. 430).
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 127
El tema es complejo y vamos a proponer algunas características de las matemáticas para el educador matemático en la educación secundaria (niveles 7 a 12).
Empezamos, sin embargo, por mencionar dos situaciones “conlictivas” en la formación inicial del futuro educador:
•
Si los cursos disciplinares se rigen por un modelo formalista (sobrecargado
de aspectos axiomáticos, demostrativos y formales) y con metodologías de
aula (tiempos y tipos de exposición, evaluación, etc.) conductistas (ausencia
de resolución de problemas y aprendizajes activos y colaborativos, por ejemplo), eso pesará en la práctica profesional (ya sea que rechace su formación o
la incorpore y fracase en su labor).
• Si los cursos que se imparten están abarrotados de contenidos o si “no alcanzan las lecciones” para su desarrollo y hay que acudir a tareas o trabajo
extra-clase para desarrollarlos, los propósitos formativos están colocados en
una perspectiva equivocada.
La última situación “conlictiva” que mencionamos arriba nos conduce a algo
muy importante: uno de los criterios esenciales debería ser el favorecer la profundidad sobre la amplitud, uno de los resultados sobre el aprendizaje. Es decir:
más que “cubrir” mucha materia, muchos tópicos, de lo que se trata es de ver algunos en profundidad y con objetivos diferentes a los usuales. Esto es importante
porque la tendencia dominante en muchos formadores de profesores de matemáticas (basada en una óptica de los contenidos) es tratar de “ver” el mayor número
de contenidos matemáticos, aunque se desarrollen con menor tiempo y calidad.
Y algunos currículos en nuestros países están sobrecargados en contenidos matemáticos.
Even (2004) lo expresa con toda claridad:
Un enfoque tradicional para equipar a los profesores de matemáticas de la educación secundaria con conocimiento matemático es de naturaleza cuantitativa: “más es
mejor”. Este enfoque está basado en la premisa que los educadores han aprendido, y
entonces conocen las matemáticas escolares; y que los educadores deben saber más
matemática que las matemáticas que deben aprender sus estudiantes, y entonces los
estudios matemáticos avanzados son un buen indicador del conocimiento matemático adecuado para el educador. Sin embargo, muchas investigaciones (...) sugieren
que los educadores de matemáticas de enseñanza media muy a menudo no poseen
una comprensión sólida de las matemáticas que ellos necesitan usar y enseñar en la
escuela. Esto incluye conceptos fundamentales del currículo de la escuela secundaria, como son las funciones y las demostraciones. (p. 171).
Estas opiniones son relevantes: es muy extendida la idea de aumentar cuantitativamente las matemáticas y sus competencias para mejorar su aprendizaje. Las
opiniones que invocamos coinciden con investigaciones que se han realizado en
128
Ángel Ruiz
las últimas décadas: la investigación no ofrece tantos resultados que conecten
mayor conocimiento matemático (después de cierto nivel) y mejor aprendizaje
(Fennema y Loef Franke, 1992, p. 148).
Esta no es una situación, sin embargo, que poseen todos los currículos en el mundo. En algunos países su problema radica en que el conjunto de contenidos matemáticos es muy reducido, como en algunos programas de formación de escuelas
normales en México. Una formación extremadamente débil en matemáticas no
forma en muchas de las competencias que debe tener el educador matemático
como la investigación de aula y la atención a estudiantes talentosos; provoca
una equivocada transmisión de la naturaleza de las matemáticas; ofrece debilidad en la formación en la argumentación matemática y los métodos matemáticos
y en muchas otras competencias matemáticas esenciales. Una formación extremadamente cargada en matemática, como en España, ha encontrado un fracaso
también, por otras razones (como las pruebas PISA 2000 y 2003, entre otras,
consignaron).
Algo muy importante de señalar: la forma como se enseñen los contenidos matemáticos, también, inluye decisivamente en los contenidos pedagógicos que adquiere el docente en formación. Esto posee dos aspectos. Por un lado:
Dentro de las clases universitarias de matemática, la principal preocupación
entre la mayoría de matemáticos es todavía cuánto contenido hay que cubrir.
Para cubrir ese contenido su instrucción muy frecuentemente preserva la exposición tradicional de la estructura formal del contenido. Los educadores
en formación no tienen más opción que experimentar dos aproximaciones
contrastantes de aprendizaje: orientación a procesos versus orientación al
contenido. (Lin, 2004, p. 175).
Si una aproximación metodológica formalista y conductista predomina en ese
aprendizaje matemático, la visión y los métodos que adquiere el educador en
formación se verán afectados por esa perspectiva e inluenciarán la forma como
actuará en el aula posteriormente. Aunque el educador en formación reciba conocimiento pedagógico, por ejemplo, con énfasis constructivista y hacia la resolución de problemas, el modelo de matemática formalista y conductista que recibe
en la formación matemática tenderá a deformar su conocimiento pedagógico.
Un profesor universitario de matemática que asume como su lógica de clase el
esquema clásico “deinición-teorema-demostración-corolario-ejemplo-ejercicioaplicación”, inluirá en la percepción y conocimiento sobre las matemáticas de
sus estudiantes con una mentalidad formalista errónea. Esto hace que los diferentes conocimientos (en las 4 categorías que hemos conceptuado) que debe recibir
el docente no puedan verse de manera “compartimentalizada”, aislados, pues lo
que se hace con una mano se puede borrar con la otra, se invoca un currículo
integrado.
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 129
Cuando los cursos de matemática son impartidos, por ejemplo, por matemáticos
profesionales existen mayores posibilidades de que ofrezcan conocimiento sobre
los métodos, estrategias y condiciones de construcción matemática, y no solo
la arquitectura formal axiomática (que solo se consigna después del proceso de
construcción cognoscitiva). Sin embargo, aumentan las posibilidades de que el
matemático oriente sus clases por las necesidades y la lógica de su quehacer disciplinario sin objetivos que serían relevantes para el educador matemático (como el
subrayar las relaciones entre el cuerpo general de la matemática y la “matemática
para enseñar”, aplicaciones, etc.). Por otro lado, si los cursos no son impartidos
por matemáticos profesionales, sino por profesores alejados de la construcción
matemática (armados en algunos casos apenas de un poco más de matemáticas
que sus alumnos, sin conocer de primera mano los temas en la vanguardia de su
disciplina) éstos pueden exhibir percepciones sobre la naturaleza de ésta muy
alejada de la realidad práctica de esa construcción, y se amplía la posibilidad de
la transmisión de ideas equivocadas sobre la naturaleza de la práctica profesional
matemática.
Es este un problema extendido, como lo consignan Li (2004) y Doerr (2004).
Debe existir convergencia entre las matemáticas que recibe el educador en su
formación inicial y la Educación Matemática, deben ser cursos adaptados a sus
objetivos y perspectivas profesionales.
Por otro lado, existe un problema cuando las matemáticas universitarias no están
estrechamente relacionadas con las escolares. Por eso Even (2004) airma:
… basarse en los estudios matemáticos avanzados en el nivel universitario para obtener un conocimiento matemático adecuado para el educador de las matemáticas
escolares de la educación media es problemático. Aparentemente, aún si los educadores ya han aprendido como estudiantes las matemáticas que necesitan enseñar, y
luego han estudiado matemáticas aún más avanzadas, ellos necesitarán todavía que
re-aprender las matemáticas que tienen que enseñar (p. 172).
No se trata por supuesto que la formación matemática del educador matemático sea
solamente un poco mayor que la que recibió en la secundaria, sino que las matemáticas
escolares sean un foco de la atención de su formación profesional. Que los tópicos del
currículo escolar sean objeto para moldear la formación matemática más elevada.
La conclusión inevitable: la enseñanza de la matemática para los educadores matemáticos no debe asumirse como la adecuada sin necesidad de un escrutinio y planiicación
mayores. Es decir, qué se enseña de las matemáticas y cómo se enseñan las matemáticas
para los educadores matemáticos debe ser establecido dentro de una estrategia coherente precisa.
130
Ángel Ruiz
Profundidad mejor que amplitud: criterios.
La mayor profundidad como criterio puede ser inservible si no se le brinda un cuerpo.
Proponemos que profundidad, para los cursos de matemática en la formación de educadores matemáticos, se entienda como, en cada tópico, analizar: diferentes representaciones (cuando sea posible: visual, operativa, formal, relacional, e incluso con usos
de tecnología si es pertinente, etc.), contextos sociohistóricos, aplicaciones, algunas
estrategias de enseñanza (didácticas), más ejercicios, etc. Profundidad sobre amplitud
implica en cada curso: seleccionar con precisión los tópicos a enseñar. Debe tomarse en
cuenta, sin embargo, que no es lo mismo un curso inicial que uno intermedio o uno inal
en la materia que se va a desarrollar. En los inales debe existir más lexibilidad.
El criterio que se ha enfatizado hasta ahora en la formación matemática para docentes
de secundaria ha sido casi siempre el de la lógica de los contenidos (por ejemplo: ¿cómo
no vamos a ver las demostraciones detalladas de los teoremas de existencia y unicidad
en ecuaciones diferenciales?). Han sido las necesidades de las matemáticas propiamente o la de los profesores de matemáticas en las universidades (sus ideas, necesidades o
prácticas tradicionales) las que han dominado muchas veces el currículo en los cursos
de matemática. Los libros de texto que se suelen usar son simplemente de matemáticas
(a veces hacia matemáticos, a veces hacia ingenieros) y no orientados a la profesión del
educador. Las notas de clase en forma de folletos o hasta elevados a formato de libro
que a veces se usan solo reproducen la misma experiencia.
A la luz de lo que hoy se sabe sobre la Educación Matemática en el mundo, las preguntas que se debe responder, en el desarrollo de cada curso, son otras: ¿de qué manera este
curso deberá servir al futuro docente? ¿Cuáles son las competencias que favorecen el
curso y cada contenido del mismo? La vocación pedagógica debe nutrir cada curso de
matemática de una manera especíica. ¿Cuáles son los temas centrales? ¿Cuáles temas
permiten mayores aprendizajes y conexiones disciplinares o transdisciplinares?
En varios países e instituciones formadoras de formadores donde los currículos están
sobrecargados de contenidos y se busca realizar un rediseño curricular emergen preguntas evidentes: ¿qué tópicos se deben quitar para poder profundizar otros? ¿Cómo
hacerlo? ¿Cómo traducir estos propósitos en los cursos de pedagogía general, y en los
de matemáticas?
Pensamos que, además de una selección cuidadosa de los tópicos (que en algún momento debería ser establecida con base en un currículo diferente), podemos sistematizar
resumidamente algunas características “deseables” que hemos abordado antes y que
pueden servir como una guía.
Características “deseables” en la lección de matemáticas.
(1.) Mostrar relaciones del tópico con otras áreas de las matemáticas: ver las aplicacio-
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 131
nes o relaciones dentro de las matemáticas (métodos comunes, etc.). Por ejemplo: la
teoría de grupos sirvió para clasiicar las geometrías, lo que además invoca la historia.
Esto es importante, porque al verse las relaciones entre campos de las matemáticas se
aprecia mejor el valor de los métodos y la unidad de las matemáticas.
(2.) Establecer relaciones explícitas entre la matemática para enseñar (el currículo escolar al que va orientada la carrera) y las matemáticas que tenemos en las aulas universitarias. Partir de los contenidos del currículo escolar siempre y subir poco a poco a lo
más general. Buscar implicaciones de la matemática teórica sobre el currículo escolar.
Ej.: Al estudiar el anillo de polinomios, se pueden usar múltiples ejemplos de ese currículo escolar. Incluso conceptos como el de “ideal” en álgebra se pueden visualizar
más (no solo ver su deinición, propiedades y sus relaciones con otros). Con más razón, en cálculo o en probabilidad. Las series, por ejemplo, poseen muchas aplicaciones
dentro y fuera de las matemáticas. Los desarrollos limitados están asociados al estudio
de aproximación, a modelos, etc. Hay grupos aplicados famosos en la física (de fases,
Relatividad, etc.). Esto es de lo más importante porque ofrece a las matemáticas que se
enseñan en el nivel superior sentido y motivación intelectual para el estudiante.
La pedagogía especíica, que describimos en detalle, se ve beneiciada por una formación y matemática que subraya adecuadamente interrelaciones entre la matemática para
enseñar y las matemáticas teóricas y sus perspectivas en general. Es decir: la relación en
que los contenidos disciplinares del currículo escolar y las matemáticas modernas debe
ser explícita. Algunas veces esta relación se expresa como “matemáticas escolares desde una perspectiva superior”. Se dirige a apuntar la construcción de planes de formación
de educadores matemáticos basados en los componentes del currículo escolar y no al
revés que es lo que ha predominado durante mucho tiempo en varias latitudes.
(3.) ¿Cuál es el sentido de contenidos meta-matemáticos? Pensamos que son relevantes
contenidos sobre las matemáticas desde una perspectiva diferente: valoración de sus
estructuras, sus métodos de pensamiento, sus perspectivas teóricas, en in asuntos que
reieren a la ilosofía. De igual manera, la colocación de las matemáticas en contextos
históricos y socioculturales es vital no solo para comprender la naturaleza de las matemáticas, sino también como un recurso vital para la práctica del educador. Esta visión la
airman, por ejemplo, Niss y PISA 2003, como pulsiones transversales: historia y ilosofía de las matemáticas, relación de aplicación de las matemáticas en el entorno sociocultural y físico. La historia y en general lo conocimientos meta-matemáticos ofrecen
no solo recursos pedagógicos muy especiales, sino perspectivas muy importantes sobre
la naturaleza de las matemáticas. Este tema se puede vincular mucho a las creencias y a
la cultura que intervienen en los procesos de esta práctica profesional.
(4.) Recurrir a modelos o aplicaciones de algunos de los tópicos, la relación con el
entorno y la realidad. Esto no se puede hacer de la misma manera en todo los cursos.
Pero casi todos los conceptos del currículo que tenemos en enseñanza de la matemática
132
Ángel Ruiz
permiten aplicaciones. La modelización, por ejemplo, es uno de los temas fuertes en la
Educación Matemática actual. El propósito responde a la necesidad de visualizar las
matemáticas para la enseñanza. Esto posee implicaciones no solo sobre cada curso sino
sobre el conjunto del currículo (en la selección y deinición de cursos de cada área, y
en los propósitos a plantear). Conocimientos de modelización, matematización y problemas contextualizados deben ser parte usual de los contenidos que deben dominar los
educadores matemáticos.
(5.) Otro elemento clave que debe incorporarse en la formación de los futuros educadores matemáticos es la presentación de los conceptos y métodos matemáticos acudiendo
al mayor número de representaciones de los mismos: numéricas, algebraicas, gráicas,
geométricas, visuales, con tecnologías digitales, etc. Debe pensarse que el profesor se
va a enfrentar a estudiantes con capacidades o aproximaciones múltiples hacia el aprendizaje. El dominio de múltiples representaciones o estrategias permitiría recursos imprescindibles para el educador en el aula. Esto obliga a darle énfasis de maneras muy
distintas a las matemáticas que reciben los futuros profesores de aquellas matemáticas
que requieren los futuros matemáticos profesionales o los ingenieros, por ejemplo.
Existe una correlación positiva entre un conocimiento matemático integrado, con una
fuerte comprensión de las relaciones teóricas dentro de las matemáticas y su conexión
con el entorno, y el impacto en el aula.
Figura 2.
Algunas características convenientes en las Matemáticas de la formación inicial del
profesor de Matemáticas
Modelización y
aplicaciones
Presentaciones
múltiples de
objetos
matemáticos
Visión integradora
y sistemática de
las matemáticas
Contextos
socioculturales
e históricos
Relación con el
currículo a enseñar
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 133
Resolución de problemas.
Es aconsejable introducir la resolución de problemas como una estrategia metodológica en el aula. ¿Cómo se va a pedir que los futuros docentes propongan o
usen la resolución de problemas en sus clases si no enseñamos así en la universidad o en las escuelas normales? En lugar de exponer teoría, enunciar y ver las demostraciones de n teoremas, y luego hacer ejercicios (el esquema formalista), se
debería seleccionar un tema, empezar por problemas ilustrativos y signiicativos,
y crear el contexto para los teoremas. Los resultados de la investigación internacional en la Educación Matemática así como las experiencias escolares en varios
países, subrayan la relevancia de la resolución de problemas en las lecciones de
matemáticas, como instrumentos articuladores de la misma y para el desarrollo
del currículo.
Hacer lo contrario del esquema formalista no es fácil. Hay al menos dos elementos que pesan en su contra: por un lado, que muchos de los resultados que ya existen en el mundo sobre esto (hallazgos y experiencias novedosas) a veces no se encuentran muy disponibles para usarse en la labor de aula (a veces por limitaciones
de idioma); por otra parte, lo más importante, que muchos de quienes enseñan en
las universidades han sido formados en los esquemas, actitudes y modelos formalistas. Las creencias que nos han heredado sobre la naturaleza de las matemáticas
es un factor que juega un papel muy importante. La reacción al cambio, además,
es un asunto social y cultural muy complejo. Y en este tema, con una disciplina
cientíica y profesional que tiene apenas unos 50 años, es especialmente difícil.
Sin embargo, esta vía estratégica de construcción de la acción de aula con base en
problemas es una perspectiva prometedora. Y debe hacerse un esfuerzo por usarla
y contextualizarla en las condiciones curriculares de cada país.
Demostraciones
El lugar de los métodos de argumentación y demostración matemáticas es muy
importante en los currícula de formación para profesores de matemáticas: es una
de las características centrales de las matemáticas como disciplina. Ahora bien, la
perspectiva del educador, obliga a darle el lugar que le corresponde en los cursos
de matemáticas.
Cuando se estudian las demostraciones, dentro de esa visión “aplicada”, es importante señalar el tipo de métodos demostrativos, su relación con otros, debe
preguntarse siempre qué se aprende de una demostración. Muchas de las demostraciones son demasiado particulares. Las interesantes para el educador matemático son, sin embargo, las que usan métodos de aplicación más general. Estas
son las que brindan más lecciones para el estudiante. Si se van a ver n teoremas,
134
Ángel Ruiz
deben enfatizarse aquellos que posean mayor signiicado educativo (generalidad,
aplicabilidad, conexión con otros temas). Algunas demostraciones no son necesarias y más bien su introducción obstruye la comprensión de conceptos y métodos
matemáticos más relevantes.
Estas características suponen una preparación meticulosa del curso y de cada
lección dentro de la nueva perspectiva. Y, por supuesto, la evaluación deberá
corresponder a esta visión.
Evaluación.
El tema de la evaluación es uno de los más importantes a los que nos enfrentamos.
Una evaluación inapropiada puede echar por tierra todos los buenos propósitos
formativos y todas las ideas renovadoras. Ha sido una de las grandes debilidades
en la enseñanza de las matemáticas. Y en la formación docente en matemáticas
que hemos tenido en las diferentes universidades se han cometido muchos errores en esta dimensión. Se han repetido esquemas evaluativos que no subrayan
los aspectos formativos, no incorporan las conexiones con otros propósitos de la
educación (como la investigación, o los aprendizajes interactivos y colaborativos), o la formación en modelos para la futura labor práctica del profesional que
se forma. Muchas veces, en exámenes, lo que se evalúa no corresponde a lo que
se enseña. No ha sido difícil cometer errores en cuanto a la convergencia entre
la lección que se ha dado y lo que se exige luego en un examen a los estudiantes.
Los principios de evaluación general que se enseñan en los cursos educativos
raramente se han incorporado en los cursos de matemática. Otro más de los ejemplos de esa separación entre disciplina y pedagogía.
Como sugerencias generales en busca de mejorar los procesos de evaluación proponemos: alrededor de un 50% debe ser evaluado por medio de proyectos (tareas,
pequeñas investigaciones, portafolios, etc.). Todo mesurado: tareas imposibles o
que signiican tiempos casi ininitos no tienen sentido. Es aconsejable que estos
proyectos vayan orientados a la formación docente. Es decir, temas que conecten
con dimensiones interesantes para la labor de aula futura: puede ser el espacio
idóneo para introducir mucha historia, contextualizaciones, modelizaciones, o
relaciones con otros campos de las matemáticas. No debe, en general, concebirse
como un espacio adicional para desarrollar más contenidos matemáticos. El otro
porcentaje con exámenes. Estos exámenes deben estructurarse de acuerdo a lo
que se enseñó en el aula: misma proporción de aspectos demostrativos por ejemplo, nivel de diicultad similar … (un porcentaje debe ser tomado de prácticas
o tareas dadas con anterioridad). Insistimos en temas desarrollados en el aula,
porque a veces se ponen trabajos extractase demostrativos (que no se ve en el
aula, o se ven poco) y se evalúan en los exámenes. También debe haber partes con
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 135
situaciones novedosas, porque hay que recordar la importancia de la transferencia
(enfrentarse a nuevas situaciones) en la formación disciplinar.
El propósito de estos cursos, debe recordarse siempre, es preparar a los estudiantes en las matemáticas que requiere un educador matemático en la educación
secundaria. Las conexiones deben ser directas y explícitas con las matemáticas
del currículo escolar, siempre que sea posible. Y no solo al principio del curso o
en declaraciones verbales generales, sino a lo largo del todo el curso. Esto no se
puede hacer por supuesto de la misma manera en cada curso.
Los proyectos pueden ser un instrumento para ir desarrollando habilidades dentro de los estudiantes en la investigación; además pueden invocar aprendizajes
colaborativos.
En algunos cursos los proyectos pueden ser un espacio muy rico en el que la tecnología digital pueda usarse con mucha pertinencia.
Evidentemente, este tipo de enfoque implica mucho más trabajo que simplemente seguir un texto al pie de la letra, es más complejo que evaluar la materia por
medio solamente de exámenes. No siempre es fácil vincularse a los contenidos
del currículo escolar y las consideraciones pedagógicas. Por eso es necesaria una
preparación meticulosa.
Punto de partida todavía válido.
Una colección de sugerencias de partida todavía válidas sobre las características
del conocimiento matemático para el educador matemático:
•
•
•
•
•
•
•
conocimiento del contenido y discurso de las matemáticas, incluyendo conceptos y procedimientos matemáticos y las conexiones entre ellos,
representaciones múltiples de conceptos matemáticos y procedimientos,
formas de razonar matemáticamente, resolver problemas, y comunicar la matemáticas efectivamente en diferentes niveles de formalismo, además,
desarrollar sus perspectivas sobre la naturaleza de las matemáticas, la contribución de diferentes culturas en el desarrollo de las matemáticas, y el papel
de las matemáticas en la cultura y la sociedad,
los cambios en la naturaleza de las matemáticas y la forma en la cual enseñamos, aprendemos y hacemos matemáticas como resultado de la disponibilidad de tecnologías,
matemáticas escolares dentro de la disciplina de las matemáticas,
la naturaleza cambiante de la matemática escolar, su relación con otras materias escolares, y sus aplicaciones en la sociedad (National Council of Teachers of Mathematics, 1991, p. 132).
136
Ángel Ruiz
Muchos de estos aspectos se deben relejar directamente en la labor de aula en
las universidades. Cursos de matemática donde se invocan contextualizaciones,
historia, representaciones múltiples, modelización, vínculo con el currículo escolar, etc., que, como señalamos, en particular, deben expresarse en los procesos de
evaluación.
5. Proporciones
¿Cuáles deben ser las proporciones que deben tener los diferentes componentes
dentro del currículo?
La búsqueda de mediaciones entre disciplinas y práctica profesional es un importante denominador común en las perspectivas internacionales: hay consenso en
que no es conveniente una formación academicista al margen de una orientación
profesional. Los esquemas que han dominado hasta hace poco tiempo en muchos
países europeos, por ejemplo, como España y Holanda, han tenido poco espacio
dentro de sus currículos para la profesionalización del educador y para competencias y conocimientos en pedagogía matemática. Mucha matemática, poca pedagogía. PISA 2000 y 2003, con resultados educativos no muy alegres para los
estudiantes de estos países, señaló que la orientación no era la adecuada:
•
•
La comparación de los resultados de la prueba de matemáticas -en relación
con PISA 2000, añadido por A. Ruiz-, frente a los globales y a los de Portugal
–nivel de inversión por alumno similar a la de España- muestran que el porcentaje medio de aciertos es del 51% para los alumnos españoles frente a una
media internacional del 55% (Gómez, Puig, Quirós, y Viaño, 2004, p. 9).
En el año 1994, la Comisión Europea presentó un informe sobre el fracaso
escolar en la Unión Europea (UE) que revelaba que en nuestro país –España,
añadido A. Ruiz- cerca del 23% de los jóvenes no obtenía el diploma correspondiente al inal de la escolarización obligatoria. España era entonces el segundo país de la UE con mayor número de fracasos escolares, sólo superado
por Holanda (26%) (Gómez et al, 2004, p. 9).
Las nuevas propuestas, para la educación, pareciera, buscan un compromiso con
lo que ha existido y con la incorporación de enfoques distintos que han adquirido
mayor momentum en la investigación internacional (profesionalización, pedagogía especíica).
Es difícil pensar que existe una estructura de componentes curriculares de aplicación universal para todos los países. Cada cual, sin embargo, debe tallar esa es-
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 137
tructura con base en sus contextos y objetivos. Por ejemplo, en el caso de Noruega, Kleve y Jaworski (2004) documentan una situación que es común en varios
países: por un lado, los estudiantes salen de la secundaria con muy malos niveles
de competencia matemática, y, en segundo lugar, los profesores de matemática en
formación son de los de menor nivel de competencias matemáticas. Esto les obliga a realizar acciones adicionales de formación universitaria para proporcionar
competencias matemáticas (en el caso de Noruega, dos años de estudios antes de
entrar en enseñanza de matemática). El currículo debe tomar en cuenta esa situación. Es un llamado a tomar en cuenta la especiicidad y los contextos locales.
Si las competencias matemáticas con las que ingresan a la universidad son muy
buenas, como en el caso de Japón y Finlandia, es posible desarrollar plenamente
un currículo que incorpore todos los aspectos que hemos planteado en nuestra
propuesta.
En general lo que pensamos puede ser un buen punto de partida, es lo que se puede recoger en un modelo piramidal de la siguiente manera.
Figura 3. Pirámide de conocimientos para la formación de profesores
de matemáticas.
General
Educación general
Pedagogía de Matemáticas y
Meta-Matemáticas
Matemáticas y Metamatemáticas
La base de la pirámide es la formación más importante: Matemáticas y MetaMatemáticas, seguida de aquella en la Pedagogía de éstas, para luego dar lugar
a la Educación General y a los Conocimientos Generales. Los componentes se
deberían ajustar de acuerdo a las condiciones de cada país, o también si la formación es destinada a enseñar entre los grados 7 y 12 de la educación media, o si
el objetivo es solo la enseñanza en los grados 7-9. En todo caso, lo que no es un
tema que vamos a abordar acá, todo parece apuntar en la investigación internacional a potenciar una sólida formación matemática y meta-matemática para los
profesores de matemáticas para toda la educación media.
138
Ángel Ruiz
6. Conclusiones
Los temas del currículo para la Educación Matemática se han convertido desde
hace muchos años en un asunto central de la investigación en esta disciplina. Especialmente, por la misma naturaleza de ésta, que asume un puente natural entre
la teoría y la práctica. La formación de los educadores matemáticos, inicial y continua, constituye la clave para poder potenciar los esfuerzos de progreso educativo, y para, al mismo tiempo, nutrir nuevos momentos de avance cognoscitivo.
Los conocimientos que debe poseer el educador matemático son una parte medular de su formación, aunque no la única. Los valores, actitudes, .. también pesan
mucho. Pero asegurar que esa parte sea apropiada se vuelve sustancial. Y en este
territorio la investigación y las experiencias internacionales pueden aportar mucho. Sin duda representó un fuerte “clarinazo” el pronunciamiento de Shulman en
el año 1986, apuntalando el CPC con base en la premisa esencial de que no basta
el conocimiento disciplinar: es necesario pero no suiciente. Y las transposiciones
didácticas o las mediaciones de la disciplina a la práctica de aula no deben ser
ajenas de la formación inicial y la continua de todos los educadores de enseñanza
“de”. En el caso de las matemáticas, esto que se debería haber asumido rápidamente, ha contado con una inercia de las fuerzas dominantes que asumieron los
currícula con base en los contenidos disciplinares sin más y la estructura de las
necesidades de los matemáticos; un asunto que, por supuesto, tiene su historia,
porque, para no ir muy lejos: la reforma de las “matemáticas modernas” fue un
gran momento para apuntar precisamente muchas de las cosas que no había que
hacer. Pero bueno, de múltiples maneras se ha llegado a nuevos derroteros y
al progreso de una nueva disciplina cientíica y una práctica profesional correspondiente, en las que en poco tiempo se ha cristalizado un cambio notable. Las
nuevas fases en la enseñanza de las matemáticas, airman precisamente ideas
especíicas con base en la práctica y en la investigación. Todavía muchas de éstas
no han calado con la profundidad que se debiera, pero todo apunta en esa dirección, y se debe reconocer: algunos países, regiones y comunidades más audaces
o con ciertas condiciones sociales, económicas y culturales que hay que estudiar
bien, se han adelantado y encontrado buenas rutas de progreso en la Educación
Matemática.
En este trabajo hemos ofrecido una propuesta para un modelo que integre los
conocimientos que debe incorporar la formación de los educadores matemáticos,
y descrito algunas de esas dimensiones. Tal vez lo más relevante sea la propuesta
de redeinir las matemáticas que deben incorporarse, “aplicadas”, pero con el
sentido de un equilibrio integrador con los otros componentes, y adaptado todo
a contextos socioculturales y educativos especíicos. Es decir: además de airmar
Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 139
el estatus de la Educación Matemática como una nueva disciplina cientíica independiente, ofrecer las características que en sus currícula de formación así lo
expresan: potenciación del CPC, matemáticas “aplicadas” para el educador y un
equilibrio de sus componentes con arraigo local. Aun más lejos, para aterrizar
las abstracciones, se ha querido en este artículo precisar y detallar algunos de
los elementos que esos grandes componentes pueden suponer. De esta forma,
pensamos se podría avanzar en las investigaciones y las experiencias prácticas
necesarias para ir conformando con especiicidad lo que apenas quisimos delinear
aquí, darle cuerpo al esqueleto intelectual que hemos planteado, y abrir avenidas
que permitan sostener y nutrir importantes intentos de cambio que se están dando
en varias partes del mundo.
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Lo QuE LA InVESTIgACIón SABE ACERCA DEL uSo DE
MAnIPuLATIVoS VIRTuALES En EL APREnDIZAJE DE LA
MATEMÁTICA
Claudia Matus
Centro Comenius
Universidad de Santiago de Chile
cmatus@comenius.usach.cl
Hernán Miranda
Centro Comenius
Universidad de Santiago de Chile
hmiranda@comenius.usach.cl
Resumen
La tecnología ha revolucionado muchos aspectos de nuestra vida. En
particular, las tecnologías de información y comunicación han prometido transformar la educación, permitiendo a los estudiantes acceso a
nuevos ambientes de aprendizaje, enriqueciendo así sus experiencias
escolares. En años recientes las tecnologías basadas en Internet han
dado paso y hecho posible una nueva generación de programas interactivos que emulan recursos manipulativos didácticos que existen en la
realidad. Estos nuevos manipulativos, llamados manipulativos virtuales (MV), corresponden a aplicaciones basadas en web, multiplataforma y muy lexibles para ser usadas en distintas situaciones de enseñanza y aprendizaje. Este artículo presenta el concepto de manipulativo
virtual y, basado en una revisión de investigaciones recientes, resume
los hallazgos reportados respecto de su uso en diferentes situaciones de
aprendizaje y las razones de por qué son importantes para la enseñanza
actual de la matemática.
Palabras clave
Manipulativos virtuales, Educación Matemática, Tecnología, Enseñanza, Aprendizaje.
Abstract
Technology has revolutionized many aspects of life. Information and
communication technologies, in particular, have also promised to
transform education, enabling students´ access to new learning environments and enriching their school experiences. In recent years, onCuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 143-151.
Costa Rica
144
Claudia Matus - Hernán Miranda
line technologies have allowed and made possible to emerge a new
generation of manipulatives, called virtual manipulatives (VM). These
VM are very lexible web-based applications to be used as important
tools for teaching and learning mathematics more effectively. This article presents virtual manipulatives describing their features, advantages, and restrictions as they have been encountered in different recent
ield studies. In addition, the article discusses some of the reasons why
virtual manipulatives are important resources for current teaching and
learning mathematics.
Key words
Virtual Manipulatives, Mathematics Education, Technology, Teaching,
Learning.
1. Introducción
Durante la última década, las tecnologías de la información y comunicación han
comenzado a ser usadas extensiva y masivamente en diferentes ambientes escolares. A modo de ilustración, Barron, Kemker, Harmes, and Kalaydjian (2003)
muestran que, en el caso de los Estados Unidos, “los gastos para equipar escuelas
con computadores y tecnologías relacionadas se han incrementado persistentemente a nivel nacional, estatal y local” (p. 489). Como resultado, tanto la tasa
de computadores por estudiante como la conexión a Internet de las escuelas se
ha mejorado considerablemente (Kleiner & Ferris, 2002; U.S. Department of
Education, National Center for Education Statistics, 2006). Este nuevo escenario altamente tecnologizado impone nuevos desafíos a la vez que genera nuevas
oportunidades para la educación matemática.
En este mismo sentido, es fácil ver cómo la tecnología ha revolucionado muchos
aspectos de nuestra vida. El uso de los computadores ha prometido también, en
particular, transformar la educación, ofreciendo nuevos ambientes de aprendizaje
y oportunidades más signiicativas para aprender (USDE, 2004). Una prueba de
esto es el reciente desarrollo de los llamados “manipulativos virtuales”, pequeños programas visualizados gratuitamente en Internet, diseñados especíicamente
para favorecer el aprendizaje de las matemáticas escolares. Esta y otras ayudas
tecnológicas son señaladas en la literatura como herramientas importantes para
la enseñanza más efectiva de tópicos matemáticos y resolución de problemas
(NCTM, 2000).
Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 145
Sin embargo, siendo los manipulativos virtuales un desarrollo bastante reciente,
no presentan mucha evidencia empírica acerca de sus resultados educativos cuando son usados en ambientes de sala de clases. Este trabajo reporta los principales
hallazgos encontrados en la literatura acerca de los manipulativos virtuales. El
foco escogido fue identiicar contenidos y habilidades matemáticas que demostraron ser favorecidas con el uso de estas nuevas herramientas, en investigaciones
de campo. Finalmente, se plantea la necesidad de más y diversa investigación sobre el uso de los manipulativos virtuales, especialmente, en diferentes contenidos,
habilidades, grados escolares y condiciones socioculturales de los estudiantes.
2. ¿Qué son los manipulativos virtuales?
Quizá la deinición que más representa la naturaleza de los manipulativos virtuales sea la expresada por Moyer, Bolyard y Spikell (2002, p. 373), para quienes un
manipulativo virtual (MV) es “una representación visual de un objeto dinámico
e interactivo, basado en la Web, que presenta oportunidades para la construcción
del aprendizaje matemático”. Se insiste en considerarlos manipulativos porque
los “objetos pueden ser tocados y movidos por los estudiantes para introducir o
reforzar una idea o concepto matemático” (Hartshorn & Boren, 1990, p.1). Así
mismo, son denominados virtuales, en el sentido que fueron creados y son simulados por un computador para dar la sensación de su existencia real (RAE, 2001).
Sin embargo, técnicamente hablando, los MV son pequeños programas, escritos
usualmente en lenguaje Java, integrados en páginas HTML o páginas Web.
Las principales características de los manipulativos virtuales son:
•
•
•
•
•
•
Tienden a ser más que la réplica exacta de los manipulativos “concretos” o
“físicos” (Geoplano, Bloques de Cuisenaire, Tangramas, Bloques lógicos).
En general, incluyen opciones adicionales propias de un ambiente digital (copiar y colorear piezas, seleccionar y mover múltiples objetos).
La mayoría ofrece simulaciones de conceptos y operaciones que no pueden
ser fácilmente representadas por los manipulativos tradicionales (Suma de
fracciones no equivalentes).
Algunos combinan representaciones icónicas y simbólicas de conceptos y
operaciones en un mismo ambiente (Ecuaciones con balanzas).
Son lexibles, independientes y dinámicos; pueden ser controlados enteramente por el maestro/a y los estudiantes, además, ser usados en diferentes
lecciones, niveles y edades.
Algunos ofrecen registrar las acciones o resultados para proveer de feedback
al estudiante.
146
Claudia Matus - Hernán Miranda
•
Están disponibles sin límite, en cualquier lugar, las 24 horas del día vía Internet. Profesores, padres y niños pueden acceder a ellos gratis.
Hoy en día existen varios sitios que ofrecen abiertamente herramientas y recursos
para el aprendizaje de la matemática escolar para profesores, padres y estudiantes
en forma de MV. Sin duda, el más importante repositorio de MV se encuentra
en Utah State University. Allí existe la Biblioteca Nacional de Manipulativos
Virtuales (http://nlMV.usu.edu/es/nav/vlibrary.html), una gran colección de manipulativos, juegos y actividades -recientemente traducida al español-, que está
organizada por temas y niveles educativos (Cannon, Dorward, Heal, & Edwards,
1999).
Otro lugar importante de visitar es el proyecto “Interactive Project” de la fundación Shodor, http://www.shodor.org/interactivate/. Este proyecto contiene
también una variada gama de recursos y lecciones de clase relacionadas. Actualmente, el proyecto Eduteka de Colombia, http://www.eduteka.org/MI/master/
interactivate/ está traduciendo algunos de sus interactivos. También el Consejo
Nacional de Profesores de Matemática de los Estados Unidos, NCTM, ha puesto
a disposición una serie de manipulativos bajo el proyecto llamado “Illuminations
- Marcopolo”, http://illuminations.nctm.org/ActivitySearch.aspx. Allí los profesores pueden relacionar los estándares de enseñanza de ese país con recursos y
lecciones disponibles en el sitio.
Pero cuando se habla de MV, no se puede dejar de mencionar el proyecto WisWeb
del Freudenthal Institute (http://www.i.uu.nl/wisweb) en Holanda. Este fue una
de las primeras iniciativas en ofrecer manipulativos para la enseñanza de álgebra
en secundaria. Finalmente, otras iniciativas personales como “Arcytech” de Jacobo Bulaevski en http://arcytech.org/java/, “Manipula Math with Java” de Ies Inc.
en http://www.ies.co.jp/math/java/index.html y “Dr. Super” de George Manson
University http://www.galaxy.gmu.edu/~drsuper/, han colaborado también con
recursos.
Un buen ejemplo de lo que los MV pueden ofrecer a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática es éste que permite estudiar la ecuación de primer grado
(ver igura 1). Este MV ilustra las ecuaciones lineales usando la metáfora de la
balanza que debe permanecer en equilibrio. Considera, incluso, la alternativa de
representar aquellos casos de ecuaciones más complicadas que tienen números y
variables negativas. A través de este modelo, un profesor puede ilustrar, paso a
paso y de muchas maneras diferentes, las ideas algebraicas básicas que subyacen
en la resolución de ecuaciones lineales. Hasta ahora, si bien existían recursos didácticos basados en esta misma noción, no había una forma de representar estas
ideas de una manera razonable y lexible, y que a la vez capturara los detalles y
sutilezas de las ideas matemáticas involucradas.
Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 147
Figura 1. MV para representar ecuaciones lineales
Click and drag quantities from bins to balance beam pans to represent
the ecuation .
4x - 3 = x + 3
Continue
Clear
Create Problem
New Problem
Fuente: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instructions&from=
category_g_4_t_2.html
Otro buen ejemplo de MV es el geoplano virtual (virtual geoboard). La invención
del geoplano se le atribuye al profesor egipcio Caleb Gattegno en 1950. Consiste
de una supericie plana, usualmente de madera, de forma cuadrada y que cuenta
de pequeños clavos o cabezales dispuestos en intervalos regulares. Los niños y
niñas deben colocar elásticos alrededor de los clavos para hacer formas, modelar
diferentes conceptos geométricos o resolver puzles matemáticos. Este manipulativo a menudo es usado para explorar conceptos básicos de geometría plana tales
como el perímetro y área. Aquí (ver igura 2) se muestra una versión virtual del
geoplano de diez unidades cuadradas que permite colorear áreas para realizar
diferentes diseños. Además, los usuarios pueden fácilmente borrar elásticos o
sacarlos de los clavos para hacer nuevas iguras.
148
Claudia Matus - Hernán Miranda
Figura 2. geoplano Virtual (Virtual geoboard)
Fuente: http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.2/part2.htm#applet
3. Investigaciones realizadas en torno a los manipulativos
virtuales
Pese a que la lista de MV se extiende en el tiempo y el interés de profesores también se acrecienta, lo cierto es que sólo algunos estudios han reportado el uso de
MV en ambientes escolares; la mayoría de ellos han sido realizados en los Estados
Unidos. Un primer foco de investigación sobre los MV ha sido el compararlos
con su contraparte, los manipulativos concretos o tradicionales. Después, algunos
estudios se han focalizado en las ventajas que ofrecen los MV para la enseñanza y
el aprendizaje de ciertos tópicos de la matemática escolar tales como fracciones,
geometría y álgebra, principalmente en tercer, cuarto y quinto año. Estos últimos
estudios ofrecen una visión más detallada de las posibilidades y restricciones que
los MV pueden acarrear en la sala de clase.
Suh, Moyer y Heo (2005) realizaron su estudio en 5to año y recolectaron información de observaciones, entrevistas y videos durante 3 días. La investigación
reveló que el uso de los MV ayudaron a los estudiantes a conectar las representaciones simbólicas y pictóricas de las fracciones, así como a descubrir los
patrones detrás de las operaciones matemáticas por medio de la experimentación
y la prueba de hipótesis con el computador. Los autores sugieren que los applets
ayudarían, particularmente, a aquellos estudiantes que requieren de aprendizaje
visual y los estudiantes de bajo logro.
Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 149
En otro estudio más extenso en 3r grado, Reimer y Moyer (2005) recolectaron datos de un pre y post-test sobre conceptos y procedimientos con fracciones, se hizo
entrevistas y una encuesta sobre actitudes a los estudiantes. Los resultados mostraron estadísticamente mejoramientos en el puntaje del post-test de conceptos y
una positiva relación entre éste y el post-test de procedimientos. Las entrevistas y
la encuesta revelaron que los MV ayudaron a los estudiantes a aprender más por
medio del inmediato feedback, la práctica con fracciones se hizo más rápida y
fácil con el computador que con lápiz, y ésta fue más entretenida. Los resultados
parecen indicar que en la enseñanza y aprendizaje de fracciones, MV aparecen
como una gran ayuda.
Moyer, Niezgoda y Stanley (2005), también han observado y registrado las diferentes interacciones de 16 niños del kindergarten usando MV, bloques de madera, y lápiz y papel para el aprendizaje de patrones. Se estableció que los niños
crean más y más complejas series de patrones en el computador, inclusive usando
teselaciones, más que usando papel y lápiz. Los participantes despliegan más
creatividad creando patrones en el computador, que relejan la complejidad de
su pensamiento. Sin embargo, Steen, Brooks y Lyon (2006) examinaron el impacto de los MV de bloques lógicos en la formación de conceptos geométricos
en una unidad de 1er. año con un grupo más extenso de 31 estudiantes. Pese a
que el grupo experimental superó en los dos post-test al grupo control, no hubo
diferencia estadísticamente signiicativa entre ambos grupos. Las observaciones
recolectadas sugieren de todas formas que los MV incrementan la motivación y
concentración en la tarea, además de proveer feedback al estudiante.
En otro estudio con 4to y 5to año, se comparó el uso de tangramas virtuales y
tangramas concretos con 93 estudiantes (Olkun, 2003). Usando tres grupos, un
control y dos experimentales (4to año y 5to año), se aplicaron un pre y un posttest. Los resultados mostraron que ambos grupos experimentales mejoraron signiicativamente sus rendimientos en el post-test. El mejoramiento más destacable
en general fue en las habilidades de razonamiento espacial. Sin embargo, el grupo
de 5to año así como los varones tuvieron mejor rendimiento. Los resultados sugieren que los MV podrían servir de ayuda en el mejoramiento del rendimiento,
la motivación por el aprendizaje, y el desarrollo de importantes habilidades en
geometría en diferentes niveles educativos.
Finalmente, también se ha investigado el uso de MV en la enseñanza del concepto
de valor posicional con estudiantes de 2do año escolar (Moyer, Niezgoda & Stanley, 2005). Esta vez, se registraron sus interacciones y discusiones en el computador, y se analizaron sus hojas de trabajo. Se concluyó que la manipulación de los
objetos en la pantalla ayudó a los niños a comprender el signiicado y el proceso
de la adición. Así mismo, les permitió a escribir y verbalizar ideas matemáticas de
mejor manera. Sin embargo, en álgebra los resultados no fueron tan alentadores.
150
Claudia Matus - Hernán Miranda
La más reciente investigación de Suh y Moyer (2007) revisó el impacto del uso
de MV para enseñar ecuaciones de primer grado en 3er año. El estudio comparó
además el uso de un manipulativo físico con el virtual, a través de pre y post tests,
observaciones y videos. Los resultados mostraron que ambos materiales fueron
efectivos en el logro de los estudiantes, pero en forma diferente. El MV resultó
más apropiado para relacionar los símbolos con las iguras, guiar paso a paso en
el método y proveer de feedback, no así para inventar nuevas estrategias.
4. Conclusiones
En resumen, los principales resultados destacan recientes investigaciones, a nivel
primario, donde los MV demostraron ser muy apropiados en conceptos como valor
posicional y fracciones, propiedades de iguras geométricas y búsqueda de patrones. Se subraya que, a través de la manipulación de objetos en la pantalla, estudiantes y profesores pueden tener una base para comunicar ideas matemáticas y resolver
problemas. Además, los MV demostraron ser útiles promoviendo el aprendizaje
independiente, la creatividad y la exploración, proveyendo de feedback inmediato.
No menos relevante es el hecho que los estudiantes mencionaran que disfrutaron
usando los MV y resolviendo problemas, más que con lápiz y papel. Respecto a
sus contrapartes, i.e. manipulativos concretos, los MV demostraron ser tanto o más
efectivos en el aprendizaje de conceptos de geometría. Es importante señalar, eso
sí, que en otras áreas como ecuaciones de primer grado los MV no cumplieron con
las expectativas esperadas.
Aún cuando los resultados recopilados pueden ser insuicientes y no generalizables,
los estudios muestran evidencia empírica signiicativa para apoyar una relación positiva entre el uso de los MV y el mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas.
Sin embargo, la necesidad de más y diversa investigación es evidente, especialmente, en diferentes contenidos, habilidades, grados y condiciones socioculturales de
los estudiantes. Dada la tendencia a incrementar las inversiones en computadores
y conexión a Internet en las escuelas, es imperativo dar a conocer en más detalle
los usos y ventajas de los MV, así como, las limitaciones de estas herramientas en
la enseñanza de las matemáticas. Se espera que el conocimiento reportado en estas
investigaciones de campo pueda, además, incentivar y guiar el desarrollo de MV
en español, que apoyen directamente las necesidades educativas de nuestra comunidad hispana, poniéndolas abiertamente a disposición de profesores, estudiantes y
padres.
Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 151
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Experiencias en la educación
matemática
InCoRPoRACIón DE LA TECnoLogíA PARA LA
EnSEÑAnZA Y APREnDIZAJE DE LA ECuACIonES
DIFEREnCIALES oRDInARIAS (EDo)
Yuri Morales López
Escuela de Matemática
Universidad Nacional, Costa Rica
ymorales@una.ac.cr
oscar Salas Huertas
Escuelas de Matemática
Universidad Nacional y Universidad de Costa Rica
Costa Rica
osala@una.ac.cr
Resumen
En este trabajo se expone la necesidad de la incorporación de la tecnología y de los procesos de modelización en el curso de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (EDO) de la carrera de Enseñanza de la Matemática en la Universidad Nacional en Costa Rica, con el in de motivar a los alumnos para que logren: hacer un tratamiento discreto de
la información, acceder al razonamiento estocástico para la búsqueda
de las soluciones, y utilizar la matemática discreta, la modelización y
la optimización de procesos para la interpretación de los problemas,
entre otros. En particular, se presentan los principales resultados de la
experiencia sistematizada en este curso durante el segundo periodo del
2008 en la Universidad Nacional.
Palabras clave
Ecuaciones diferenciales, modelación e interpretación de fenómenos,
uso de tecnología.
Abstract
The aim of this paper is to illustrate the need for the incorporation of
technology and process modeling in the course of Ordinary Differential Equations (ODE), of the major in Mathematics Education in the
Universidad Nacional in Costa Rica, in order to motivate students to
achieve: to make a discreet handling of information, access the stochastic reasoning for the search of solutions, and use discrete matheCuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 155-172.
Costa Rica
156
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
matics, modeling and optimization processes for the interpretation of problems,
among others. In particular, we show the main results of the systematized experience in this course during the second half of 2008 at the Universidad Nacional.
Key words
Differential equations, modeling and interpretation of events, use of technology.
1. Introducción
La tecnología juega un papel fundamental en todos los sectores de la sociedad.
La investigación en las ciencias exactas y las sociales se ha visto nutrida por información obtenida del análisis de datos que, cuatro décadas atrás, hubieran sido
imposibles de analizar. Toda esta nueva información ha conducido a replantear,
día con día, los modelos construidos sobre una base de conocimiento que sufre
cambios, cada vez, con mayor velocidad.
Múltiples sectores de nuestra sociedad del conocimiento trazan esfuerzos para
poder plantear modelos los cuales expliquen, con mayor exactitud, lo que ocurre
en diversos fenómenos naturales o eventos propios de nuestro quehacer.
Para esta tarea, es innegable que el futuro profesional debe contar cada vez con
mejores destrezas y habilidades tanto cognitivas como meta–cognitivas. Es decir,
el nuevo profesional no solo deberá ser consciente del cómo aprende y reaprende, sino que también, deberá contar con la habilidad de ser crítico y saber cómo
resolver problemas.
Bajo estas consideraciones, todos los sectores de la educación costarricense tienen un grado de responsabilidad, pero, la educación superior tiene una tarea tanto
difícil y loable, como romántica: ofrecer al futuro profesional las mejores herramientas, destrezas, habilidades y conocimientos para desarrollarse en su área y, al
mismo tiempo, estar acorde con las necesidades sociales y ambientales.
Para esto, la educación superior debe encargarse de ofrecer el conocimiento de
una manera integrada, sin desligar un área de otra. Es en este sentido que la matemática puede ser una herramienta para ofrecer las habilidades y destrezas antes
mencionadas. Consecuentemente, la matemática puede nutrir otras áreas mediante estrategias que involucren la modelación de fenómenos y las simulaciones con
computadores.
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 157
¿Por qué se estudian las ecuaciones diferenciales (modelización
matemática)?
Las EDO es uno de los temas más apasionantes de la Matemática Aplicada que
nos transporta a la modelización de problemas del entorno; en este sentido, entenderemos por modelización matemática, esencialmente, el traslado de un problema del mundo real a un problema matemático, resolver el problema matemático
e interpretar la solución en el lenguaje del mundo real.
Si se desea preparar a economistas, ingenieros, matemáticos, biólogos, entre
otros, para la modelización de problemas complejos, en los que una masa de
información irrelevante oscurece el objetivo central y, además, la habilidad principal consiste en destacar dicho objetivo y seleccionar la información necesaria,
entonces la formación debe diferir claramente de la tradicional, en la cual según
Brousseau (1986), las clases están dirigidas a comprender conceptos abstractos,
demostrar teoremas y resolver ecuaciones, muy conveniente para la formación
de matemáticos puros; pero insuicientes para el que va a aplicar la matemática
o en la formación inicial de un profesor de matemática (Almeida, V., Bruna, A.,
Espinel, M.C., García, J.A., Bermúdez, M., González, M., 1998).
Si desde la enseñanza obligatoria se llegara al conocimiento matemático resolviendo problemas en íntima conexión con la vida diaria, las ciencias humanas,
o con la física, y se educara al alumno en la modelización de tales problemas,
entonces el ciudadano medio tendría un mejor concepto sobre la necesidad, el
interés y el poder de las Matemáticas. Por todo ello, existe en la actualidad una
corriente en Educación Matemática que sostiene con fuerza la necesidad de que
el aprendizaje de las matemáticas se realice en continuo contacto con las situaciones del mundo real que les dieron y le siguen dando su motivo y vitalidad.
En los últimos años, los avances en cuanto al poder de cálculo de la computadora
han ocasionado que la enseñanza de la matemática en cursos como Métodos Numéricos o Ecuaciones Diferenciales, puedan contar con una metodología propia
de las ciencias experimentales, en el sentido de poder experimentar y comprobar.
Al mismo tiempo, es fundamental considerar que los procesos a los cuales se
les trata de dar respuestas con el uso de la computadora necesita de objetos discretos y procesos initos, lo cual ha puesto de moda temas como: combinatoria,
matrices, geometría combinatoria, problemas de optimización, procesos iterativos, recursividad, entre otros. Dichas cuestiones se suelen uniicar con el término
matemática aplicada o discreta, ya que tratan, en general, fenómenos discretos y
procesos initos de la vida real.
Entonces, es indiscutible que los métodos numéricos utilizados en el curso de
EDO cuentan en este momento de gran auge no solo debido al papel que juegan
actualmente las computadoras, sino que, como ya lo mencionamos, puede existir
158
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
una relación y aplicabilidad de los contenidos en una amplia variedad de disciplinas tales como biología, química, ingeniería, informática, sociología, etc.
Es clara la importancia de entender el papel y rol que juegan las matemáticas aplicadas dentro del currículum de formación inicial para profesores de Enseñanza de
la Matemática; sobre todo cuando se observa que el material existente en cursos
tales como Ecuaciones Diferenciales no cumple con las expectativas ni se adapta
a las necesidades concretas de los futuros formadores.
Es por lo anterior que consideramos necesaria la incorporación de la tecnología y
de los procesos de modelización en el curso de EDO, en particular, en la carrera
de Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional, en Costa Rica, con
el in de motivar a los alumnos para que, entre otras cosas, logre: hacer un tratamiento discreto de la información, acceder al razonamiento estocástico para la
búsqueda de las soluciones, y utilizar la matemática discreta, la modelización y la
optimización de procesos para la interpretación de los problemas.
Por último, cabe mencionar que nuestros objetivos implícitos en el curso procuran: promover la conexión entre las distintas partes de la matemática, resolver
problemas con aplicaciones al mundo real, dominar los principios básicos de iteración, recursión e inducción, utilizar los conceptos matemáticos para modelizar
diversas situaciones y aplicar métodos discretos de optimización para los distintos problemas.
2. Marco referencial
La enseñanza y aprendizaje de la EDO es un área de sumo interés en muchas
carreras universitarias; en gran medida, esto se debe a que esta disciplina nació
como necesidad práctica. Los resultados de Newton y Leibniz entre el siglo XVII
y XVIII fueron los grandes detonantes para que se desarrollara toda una teoría
sobre las ecuaciones que contienen funciones y sus derivadas.
Para entender cómo están aprendiendo los estudiantes esta área, es indispensable
conocer cuál es su escenario o su contexto y qué cursos de matemáticas han superado. Además de esto, es necesario conocer cuáles son algunas de las deiciencias
más comunes con las que un estudiante concluye el curso de EDO. Existen ciertas
señales que nos pueden permitir conocer el aprovechamiento en estos cursos; por
1
Existen distintos enfoques de cómo enseñar ecuaciones diferenciales y sus herramientas, este trabajo enfoca el
uso de tecnología. Esto no quiere decir que se deba omitir la historia como recurso, sino que, ambos pueden ser
utilizados para lograr una mediación pedagógica.
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 159
ejemplo, es válido preguntarse cuáles son las bases previas del estudiante, esto es:
¿cuál fue el enfoque con el que se manejó el concepto de límite, derivada, integración y serie? ¿Con qué frecuencia se relacionan estos conceptos con aplicaciones
en fenómenos naturales o sociales? ¿Con cuáles herramientas cuenta el estudiante
para la modelación y simulación de fenómenos? ¿Se ha formalizado un concepto
de error por aproximaciones o errores relativos?
Otro factor es el enfoque con el que se pretenda resolver los problemas asociados. Según Nápoles, González, Genes, Basabilbaso y Brundo (2004) existen tres
grandes enfoques: el algebraico, el numérico y el geométrico, los cuales están
asociados a la teoría de las múltiples representaciones.
Una de las problemáticas con la que cuenta la enseñanza de esta disciplina es
que, aún hoy, predomina el enfoque algebraico como relejo de la primera forma
que se tuvo de resolver estos problemas. Para Nápoles y otros (2004) “esto ha
traído, como consecuencia, que se tenga una visión muy parcial de los métodos
que existen para resolver ecuaciones diferenciales, pues frecuentemente en el
estudio de los modelos determinísticos se requiere establecer articulaciones entre
los diferentes acercamientos.” (p. 46)
Esto también causa que el estudiante sienta reticencia a interpretar gráicas y
tratar de establecer conjeturas a partir de la visualización; un ejemplo de esta
problemática es tratar de interpretar la solución de gráicamente, mediante soluciones particulares y el campo de direcciones; aunque los estudiantes están familiarizados con las funciones exponenciales desde la secundaria, no logran, comúnmente, interpretar la solución (ver gráica 1). Inclusive, autores como Dobbs
(2004) señalan que, hasta el factor A de la ecuación anterior puede ser de gran
interés desde las ciencias a las matemáticas, y viceversa; el problema principal se
presenta cuando el estudiante posee deiciencias en el concepto relacionado con
esta función y sus posibles interpretaciones.
Gráica 1.
Campo direccional y algunas soluciones particulares para y´ = y
160
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
En una investigación de Moreno y Azcárate (2003) llamada Concepciones y
Creencias de los Profesores Universitarios de Matemáticas acerca de la Enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales, se mostró que los docentes involucrados
creen que:1.
“Los estudiantes aprenden las ecuaciones diferenciales por imitación y memorización de situaciones y por esquemas de resolución vistos en clase”. (p. 271)
2. “Los estudiantes son incapaces de pensar, crear y razonar por ellos mismos”.
(p. 271)
3. “Las deiniciones son algo mecánico que tiene que aprenderse y en donde no
hay nada que entender.” (p. 271)
4. “Sería mucho más interesante interpretar un modelo matemáticamente que invertir tanto tiempo en resolver diferentes tipos de ecuaciones mecánicamente.”
(p. 272)
5. “La utilización de ordenadores de forma sistemática nos obligaría a cambiar la
manera actual de enseñanza de las ecuaciones diferenciales y a dar más importancia a los métodos gráicos y numéricos.” (p. 272)
6. “La formación de los profesores como matemáticos está muy alejada de las
aplicaciones a otros campos de las ciencias experimentales.” (p. 272)
7. “Dado que las técnicas y los modelos matemáticos son dos aspectos difíciles de
reconciliar, los profesores inalmente suelen elegir uno.” (p. 272)
8. “Resulta mucho más fácil aprender a resolver una ecuación diferencial que
reconocer un modelo matemático, de forma que los profesores suelen optar por el
camino más fácil.” (p. 272)
Además de los factores mencionados, ciertas prácticas son habituales en la enseñanza de la matemática y, por ende, en la enseñanza de las EDO. Por ejemplo,
para realizar correcciones de cálculo, se enseña a los estudiantes que, únicamente,
deben insertar la solución que obtuvieron, dentro de la ecuación original para
veriicarla. (Yeung y Chung, 2007). Es decir, en muy pocas ocasiones se le muestra al estudiante que la solución de un problema (no necesariamente la solución
exacta) puede ser la suma de evidencia como gráicos, aproximaciones, entre
otros.
Otros autores como Raychaudhuri (2007) señalan que la mayoría de los problemas con los que cuentan los estudiantes en cursos de Ecuaciones Diferenciales
pueden deberse a la poca comprensión e importancia que se le otorga al conocimiento de los teoremas de existencia y unicidad.
Por otra parte, Puga (2001) opina que la problemática principal puede estar arraigada en lo que él denomina como problemas didácticos en los cursos tradicionales en esta temática. Este autor indica los siguientes problemas: falta de modelización o escasez de procesos completos de modelización; poco o nulo balance
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 161
entre los tres enfoques (algebraico, geométrico y numérico) en la solución de las
ecuaciones diferenciales, escasez en el análisis e interpretación de soluciones,
validación de soluciones, ejemplos de ajustes de modelos y predicciones.
A las referencias y posturas mencionadas anteriormente, se debe agregar un factor primordial y complejo: el enfoque curricular en la Enseñanza de las Matemáticas. Las nuevas tendencias en Educación Matemática, proponen que cuando se
analice el proceso de enseñanza aprendizaje, se considere como un in principal
el hecho de que los estudiantes comprendan las matemáticas o que logren competencia o capacidad matemática.
Por consecuencia de lo anterior, surge la necesidad de deinir la noción de competencia,
Competencia se reiere a la persona ‘competente’ como al “conocedor de
cierta ciencia o materia, o experto o apto en la cosa que se expresa o a la
que se reiere el nombre afectado por ‘competente’”. La competencia se
relaciona con la aptitud, capacidad, disposición, “circunstancia de servir
para determinada cosa”. Una persona apta, o capaz, es “útil en general para
determinado trabajo, servicio o función”.
Diccionario de uso español de María Moliner.
Una “competencia” se entiende como “la capacidad de realizar una tarea o
de inalizar algo con éxito”. Pone en juego la noción de ‘capacidad’, que se
reiere tanto al nivel general de inteligencia de alguien como a la cualidad
o destreza que tiene esa persona para hacer una cosa particular.
Diccionario Penguin de Psicología
Parece claro entonces que la competencia es un rasgo cognitivo y disposicional
del sujeto; también que será distinta según el campo profesional, el objeto de
saber o la edad. Hablamos así de competencia matemática para el ingeniero, el
físico, para el actuario, el estudiante de enseñanza de la matemática o del matemático puro.
Competencia y comprensión se complementan: la competencia atiende al componente práctico, mientras que la comprensión al componente teórico del conocimiento. La competencia pone en juego conocimientos de tipo procedimental,
mientras que la comprensión requiere conocimiento conceptual.
La sociedad, por lo tanto, valora la acción; pero, nos planteamos la interrogante
¿es posible o deseable la acción sin comprensión? Parece que la acción será más
lexible y adaptable, generalizable, y por tanto, más eicaz si va acompañada de
comprensión, de saber por qué se hacen así las cosas (Godino, 2003).
162
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
Para lograr la comprensión y la competencia matemática Godino (2003), nos
plantea dos cuestiones básicas:
¿Qué comprender? ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos que queremos que nuestros alumnos lleguen a dominar? La respuesta a estas preguntas es el eje descriptivo, que indicará los aspectos o componentes de los
objetos a comprender.
Deinir la “buena” comprensión y la “buena competencia” matemática requiere deinir previamente las “buenas” matemáticas. (p. 4)
¿Cómo lograr la comprensión y la competencia por parte de nuestros alumnos? La respuesta a esta pregunta es el eje procesual que indicará las fases o momentos necesarios para el logro tanto de la “buena” comprensión
como de la “buena” competencia. (p. 4)
De esta forma el logro de la competencia y comprensión, están por consiguiente,
íntimamente ligadas al cómo concebimos el conocimiento matemático.
Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas, cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar, para poder elaborar un modelo útil y
efectivo, razonando sobre lo que entendemos por: comprender tales objetos. De
lo anterior, surgen las siguientes preguntas ¿Cuál es la estructura del objeto a
comprender? ¿Qué formas o modos posibles de comprender existen para cada
objeto matemático? ¿Qué aspectos o componentes de la práctica y el discurso
matemático es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y
circunstancias dadas? ¿Cómo articular el estudio de sus diversas componentes?
Este último factor analizado debe llevarnos entonces, coherentemente, a reconocer también que debe existir una determinada manera de entender las matemáticas y los objetos matemáticos y que, evidentemente, junto a la necesidad particular de comprender cómo se aprenden las EDO yace un panorama más amplio
respecto al cómo aprender Matemáticas
3. Metodología
Los contenidos matemáticos han cambiado en las últimas décadas y también la
manera de hacer matemáticas. La matemática ha adoptado ciertas metodologías
de trabajo de las ciencias experimentales, sobre todo debido al uso de las computadoras. Las actividades como observar, explorar, utilizar discernimientos intuitivos, hacer predicciones, probar hipótesis, conducir ensayos, controlar variables,
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 163
simular situaciones reales son cada vez más frecuentes, (Almeida, V., Bruna, A.,
Espinel, M.C., García, J.A., Bermúdez, M., González, M., 1998).
Dado los precedentes anteriores, como docentes hemos identiicado las siguientes
necesidades en el curso de Ecuaciones Diferenciales:
1. Reformar las prácticas actuales en el aula para incluir la historia y las tecnologías como herramientas útiles en el aprendizaje de esta disciplina.
2. Incluir actividades que involucren la exploración y el descubrimiento, donde
la matemática se presente como una ciencia viva y en pleno desarrollo y no como
una serie de recetas y conocimientos acabados.
3. Desarrollar las habilidades relacionadas con la creación de conjeturas y posibles acercamientos a la solución de problemas.
4. Utilizar los enfoques geométrico, algebraico y numérico como fuentes de hipótesis y como acercamientos a la solución de una ecuación diferencial.
Estas necesidades, a nuestro criterio, son un relejo particular de lo que no poseen
muchos de los currículos de formación docente en matemática, pero también,
representan grandes metas a alcanzar en el desarrollo propio de cada curso.
Dado esto, en este primer acercamiento se planteó (propuesta):
1. Detectar algunas de las posibles causas que puedan inluir en la comprensión
de las Ecuaciones Diferenciales.
2. Integrar el contenido matemático con los métodos de formación donde el futuro docente se vea profesionalmente activo (acción para llevar al aula).
3. Implementar en el curso los contenidos matemáticos con problemas relacionados con la física y la química, entre otros; esto con el in de lograr una posición
activa y práctica de la materia.
4. Dotar al estudiante de herramientas para la comprensión del desarrollo teórico
del curso de tal manera que, por un lado, el estudiante domine los medios que
existen, tanto bibliográicos como programas de computadoras y, por otro lado,
que desarrolle contenidos en acción y se percate de las posibles ainidades con
temas relacionados.
Estrategias: Se concibió una serie de actividades con tres contenidos fundamentales; primero, programación estructurada básica orientada a los métodos numéricos clásicos para la resolución de las ecuaciones diferenciales (Euler, Euler modiicado, Taylor y Runge – Kutta de cuarto orden); en segundo lugar, funciones
predeinidas de trazas y graicación, principalmente asociadas a la resolución de
ecuaciones diferenciales ordinarias, y por último, funciones predeinidas en los
software para la resolución algebraica de las EDO. Estas se basaron, fundamentalmente, en ejercicios relacionados con la bibliografía recomendada y apoyados
con los tutoriales de los fabricantes de los software.
164
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
Circunstancia inicial: Se elaboró esta propuesta de curso contemplando que los
estudiantes no han sido formados bajo un currículo fuertemente apoyado en el
uso de las TIC’s y, por lo tanto, se requirió trabajar en algunos conceptos básicos
sobre el uso de software y una breve introducción a la programación estructurada
(ver tabla 1).
Tabla 1.
Principales instrumentos utilizados para el desarrollo del curso (propuesta)
y sus respectivos enfoques.
Instrumentos de evaluación durante el curso de Ecuaciones Diferenciales
Pruebas tradicionales, laboratorios de programación y proyecto de aplicación
Enfoque algebráico
Enfoque geométrico
Pruebas escritas
Pruebas Cortas Pruebas Cortas
tradicionales
Enfoque numétrico
Integración gráica Pruebas extraclase
en el laboratorio
Laboratorios de
investigación
Sobre la población y el contexto: Para este trabajo se tomaron los dos grupos del
curso de Ecuaciones Diferenciales impartido en el IV nivel de la carrera de Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional en el II ciclo del 2008; dichos
grupos contaron inicialmente con una población de 44 estudiantes en total.
Sobre la metodología del curso: La estrategia utilizada para el desarrollo de las
lecciones comprendió una componente teórica y una práctica, de manera tal que,
durante la primera fue desarrollada la teoría necesaria para la resolución de las
EDO; esto mediante clases magistrales, en las cuales, la participación del estudiante consistía en el aporte de ideas para la resolución de ejercicios seleccionados y pertinentes de acuerdo con el modelo propuesto. La segunda correspondió
al desarrollo de las clases en el laboratorio de cómputo; en ellas, el estudiante
tuvo una participación activa tanto en el desarrollo como en la aplicación de los
métodos numérico y geométrico que, a la postre, serían los necesarios para resolver los problemas de aplicación asignados por los profesores en un proyecto inal
del curso. Se programó una visita al laboratorio por cada tres visitas al salón de
clase, aproximadamente, durante todo el ciclo.
Sobre la evaluación: Se propuso tres pruebas teóricas, pruebas cortas y tareas
planeadas para comprobar el dominio de los conceptos tradicionales relacionados
con el enfoque algebraico, la elaboración y exposición de un trabajo grupal, y la
realización de un proyecto inal. En éste, las herramientas tecnológicas se utilizaron para: promover las múltiples representaciones (logrando que el estudiante
trascienda la solución algebraica), la modelización (tomando un problema de la
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 165
vida real y formulando el modelo matemático necesario para resolverlo) o el
análisis de soluciones (para la aproximación de soluciones numéricas y la representación geométrica de familias de curvas y campos direccionales).
Percepción del estudiante: Se decidió construir un Blog en la plataforma del
sitio Google (www.edouna.blogspot.com) para que los estudiantes compartieran,
a modo de anecdotario, su percepción respecto al curso, la metodología y el uso
de las herramientas tecnológicas; esta herramienta estuvo disponible del 18 de
agosto al 16 de noviembre del 2008 y en este espacio se pudo documentar 209
aportes.
Sobre el software: Se trabajó con Mathematica versión 6.0 en un grupo y MatLab
versión 7.0 en el otro (versiones de prueba). Una hipótesis establecida (y que no
fue posible analizar por los autores en este trabajo) fue que para ines prácticos
del curso, los software de programación no son más que una colección de modelos conceptuales, por lo que, la instrucción podrá variar en forma, pero, no de
fondo. En el próximo apartado se describen las experiencias obtenidas y otras
consideraciones.
En este apartado se exponen los principales resultados e implicaciones de la aplicación de la propuesta; para esto, se deseó incluir en este análisis, tres ángulos
distintos respecto a las incidencias desde la perspectiva del docente, desde la
perspectiva curricular y, por último, la del estudiante.
1. Cambios en las prácticas habituales
Desde la perspectiva curricular, la coyuntura histórica de la enseñanza de la Matemática ha mostrado que los cursos tradicionales de nivel superior se basan en
metodologías magistrales y eso, poco a poco, caló en lo que el estudiante considera un curso avanzado. Durante las primeras etapas de la aplicación de la propuesta existió un ambiente de desconcierto respecto a un curso que, por tradición, se
trabaja por teoremas y técnicas algebraicas para resolver las ecuaciones.
Esta confusión inicial respecto al trabajo se debió a dos razones principales: primero, tratar de involucrar la interpretación (algebraica, numérica y geométrica)
en las soluciones de una ecuación, y segundo, desconcierto debido al papel que
jugaría el estudiante cuando utilizara la tecnología.
Desde la perspectiva del docente, el cambio que representa incluir estos tres enfoques también requirió planiicación, e inclusive, aceptar que las discusiones
habituales, poco a poco, se transformaron en preguntas no habituales a un curso
clásico.
Apreciación del estudiante: “me preocupa la parte que es del proyecto o de los
trabajos que se deben presentar con el programa de Mathematica 6, siento que
166
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
se debe tener más preparación para el manejo, ya que no solo consiste en travesearlo”.
2. El papel del enfoque tradicional dentro de la propuesta
Los procesos de innovación, muchas veces, pueden ser planiicados y estructurados sistemáticamente, pero, lo que cualquier proceso de este tipo debe asegurar es
no entorpecer o menospreciar objetivos que ya eran exitosos. Bajo esta premisa,
uno de los retos presentes en esta modiicación de la estrategia curricular fue no
disminuir la comprensión en los teoremas y técnicas algebraicas que se alcanzaban bajo la propuesta clásica.
Basado en esto, se planiicó que las pruebas escritas principales guardarán énfasis en el enfoque algebraico y con el nivel tradicional de exigencia en los temas.
Ahora, puesto que el porcentaje de evaluación en estas pruebas es alto y, aclarando que no se ha realizado un análisis comparativo con cursos anteriores, sí se
puede airmar que la promoción fue alta.
Sin ni siquiera tratar de conjeturar que la propuesta es más efectiva que el trabajo
que se ha venido realizando en los ciclos anteriores, se pudo rescatar que el estudiante se sintió motivado por el uso de la herramienta tecnológica.
Apreciación del estudiante: “Éste software es de gran ayuda, ya que facilita el
trabajo y permite una mejor percepción y comprensión de conceptos que quizás
consideramos abstractos, ya que estamos acostumbrados por los cursos que llevamos y en los libros que leemos, a un modelo algebraico”.
3. Problemáticas en el enfoque alternativo
Es oportuno mencionar que como cualquier otro proceso de enseñanza-aprendizaje el enfoque alternativo bajo el cual se desarrolló el curso de Ecuaciones
Diferenciales no está exento de problemáticas. Las mismas se presentan en varias
etapas del proceso;
• Se debe ser muy precavido cuando se planean las actividades o situaciones
didácticas que servirán, a posteriori, en el aula para generar conocimientos y
motivar a los alumnos a la búsqueda de soluciones; las actividades llamadas por
Brousseau (1997) situaciones a-didácticas son los principales indicadores de que
el alumno está asimilando los conocimientos.
• Las vivencias en el aula y, en particular, en el laboratorio fueron fundamentales
para que el estudiante llevara a la práctica los conceptos teóricos aprendidos,
pero introdujeron una serie de variables que el docente no pudo subestimar; el
estudiante posee, para la resolución de problemas planteados por el profesor, lo
que Schoenfeld (1985) llamó inventario de recursos adquiridos a lo largo de sus
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 167
años de estudio, y se tuvo que intervenir en el momento oportuno para aportar
correcciones, pues algunos de estos recursos podrían haber sido defectuosos y
confundir el trabajo realizado por el alumno; otro aspecto esencial que se tiene
que considerar es el “control” pues cuando se asignaron problemas para que el
alumno los trabajara, estos por su naturaleza, podían ser resueltos siguiendo diferentes caminos, por lo tanto, el estudiante debió escoger la heurística que iba a
utilizar para resolverlo (i.e. el estudiante tiene el control).
Esto genera una dinámica interesante pues el alumno debe tener la capacidad de
identiicar cuando la heurística utilizada no lo está llevando a ninguna parte y
entonces debe decidir volver al inicio y cambiar la estrategia. Cabe destacar que
la situación anterior no es natural para el alumno, pues como pudimos constatar,
él mismo no está familiarizado con la idea de equivocarse cuando resuelve un
determinado problema matemático.
• Otras importantes consideraciones se pueden realizar a partir de las experiencias generadas del trabajo o proyecto de investigación asignado a los estudiantes
como parte de la evaluación del curso. Aquí se pudieron identiicar una serie de
aspectos para los cuales los estudiantes parecen no haber construido las suicientes estrategias para resolver problemas a lo largo de la carrera, por ejemplo, dado
un problema de la vida real ellos poseen poca habilidad para pasarlo al lenguaje
matemático; cuando se atascan o encuentran diicultad para encontrar la solución, parecen no tener la capacidad de buscar mecanismos de simpliicación o
mecanismos que les permitan enfrentar el problema de un modo diferente; una
vez que logran encontrar la solución a un determinado problema tiene diicultades extraordinarias para discernir si la misma corresponde a algo práctico o una
solución teórica (etapa de validación de la respuesta). De hecho, muestran importantes barreras cognoscitivas que les imposibilita en muchos casos adaptar una
respuesta obtenida, a través de una fórmula matemática, para una respuesta que
explique lo que sucede en un determinado fenómeno físico.
• Una última acotación que nos queda por hacer, concierne a la evaluación de
los procesos, hasta cierto punto complejos, que se generan cuando se utiliza la
modelización como herramienta para lograr la comprensión de los contenidos
matemáticos. La inquietud fundamental es la ausencia de instrumentos aptos para
medir si el estudiante adquirió una determinada competencia o no; además, si la
adquirió, ¿en qué medida es capaz de utilizarla? Por ejemplo: se necesitan procesos de evaluación que brinden información sobre la capacidad de interpretación
que posee el estudiante y la forma en que se enfrenta a un problema de modelización; en dichos instrumentos se debe evidenciar la forma y la profundidad
con que cada uno de los objetivos fue alcanzado. Por otra parte, coincidimos con
las ideas de Barbosa (2006), y pensamos que los procesos de evaluación deben
retroalimentarse con la oportuna creación de espacios de discusión donde el estu-
168
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
diante comparta con sus compañeros y con el profesor las ideas utilizadas durante
el proceso de modelización, ya sean aquellas de carácter puramente matemático,
aquellas de carácter tecnológico que le permiten construir el modelo, y aquellas
que tienen que ver meramente con la relexión acerca de los criterios utilizados
para la creación del modelo.
4. Inluencia del uso de la tecnología
A lo largo del presente artículo hemos tratado de evidenciar la importancia de la
componente tecnológica y el peso de la misma dentro del enfoque que adoptamos
para el curso Ecuaciones Diferenciales. Sin embargo, tenemos que ser claros en
que se detectaron una series de deiciencias en la formación inicial de los estudiantes de la carrera, los cuales llegan a los niveles superiores sin contar con los
conceptos elementales de la programación; éstos son esenciales para desarrollar
procesos numéricos y geométricos con un nivel de matemática adecuado (puede
suceder lo mismo en el curso de Métodos Numéricos). Parecería necesario entonces, que las carreras de matemática cuyo currículo contenga estos cursos, realicen
un esfuerzo importante para ofrecerle al estudiante competencias que vayan más
allá de la utilización de software asociados a la oimática u otros donde el alumno
solo tiene que darle los datos y el programa se encarga de hacer la matemática
(tipo caja-negra). En estos, comúnmente, los estudiantes confían ciegamente en
lo que hace el software sin poder intervenir en el proceso.
Tomando en consideración la calidad de algunos de los trabajos presentados por
los estudiantes del curso, se deduce que ellos sí cuentan con las habilidades necesarias para aprender y comprender programación enfocada a la matemática. Para
aprovechar esto, lo fundamental debe ser, primero, estimular este tema al inicio
de la carrera y, segundo, mostrar al estudiante el nuevo panorama matemático que
le ofrecen estas herramientas.
Apreciación del estudiante: “El formato del proyecto, donde se debe programar
los métodos de Euler, Euler mejorado y Runge – Kutta nos permite visualizar las
facilidades que nos pueden ofrecer las herramientas tecnológicas para convertir
procedimientos repetitivos pero muy extensos en procedimientos fáciles y rápidos de visualizar”.
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 169
4. Consideraciones inales
Junto a las razones y evidencias expuestas en el apartado anterior, en este trabajo
también se pretendió detectar algunas posibles causas que inluyen en la com2
prensión de la resolución de las ecuaciones diferenciales por parte de los estudiantes; complementariamente a las posibles razones que la bibliografía expuesta
ofrece, a nuestro criterio, estas se concentran en tres grandes problemáticas:
• Debilidades en el concepto de aproximación y métodos numéricos simples. Se
considera que el estudiante muestra ciertas debilidades en temas como las series,
el polinomio de Taylor y el caso de Maclaurin para la aproximación numérica de
funciones con radios de convergencia útiles para ciertos problemas de aplicación.
Esta poca experiencia causó que, para muchos, el concepto de aproximación
numérica en el curso fuera algo extraordinario, cuando debió ser una estrategia
casi natural. Además, al parecer, los estudiantes tienen una percepción de que las
aproximaciones numéricas no representan una herramienta, ni poseen carácter de
validez en la Matemática.
• Debilidades en interpretación de resultados. Durante las clases impartidas tanto
en el laboratorio como en el salón de clases, se detectó que los estudiantes no
poseen todas las competencias, que como profesores apreciamos que son necesarias para analizar las posibles interpretaciones de los resultados algebraicos,
geométricos y numéricos.
• Debilidad sobre el uso de herramientas tecnológicas a través de la carrera.
Este factor fue de relevancia en la propuesta pues, dentro de ésta, se tuvo que
incluir actividades básicas para el uso del software que, consecuentemente, requirieron la inversión de recursos. En un supuesto ideal, el estudiante debería ser
confrontado con recursos tecnológicos de un propósito deinido; es decir, aunque
existen cursos de previos sobre uso de la tecnología, esto no puede asegurar al
cuerpo docente encargado de este curso, que el estudiante ha utilizado la herramienta para la explicación y resolución de problemas ni para la modelización de
fenómenos en los cursos fundamentales de Geometría, Cálculo, entre otros.
Trabajo pendiente y recomendaciones
Durante la administración y la aplicación de la propuesta, se pudo detectar que
existe la necesidad de profundizar en la sistematización de intenciones educativas, prácticas en y fuera del aula y, al mismo tiempo, profundizar en las didácticas
especíicas en esta disciplina para lograr comprender los conocimientos que cons2
Este trabajo no se enfocó en una metodología explicativa o causa – efecto; las posibles causas de estas problemáticas se ofrecen desde la perspectiva como docentes del curso.
170
Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas
truye el estudiante cuando se involucran los distintos enfoques y el papel de las
tecnologías en estos nuevos conocimientos. Asimismo, esta comprensión puede
aportar más indicios de cuáles deben ser las técnicas adecuadas para evaluar estos
nuevos conocimientos; inclusive, estos aportes podrían evidenciar la necesidad
del uso de instrumentos evaluativos no tradicionales dentro de nuestras aulas.
Evidentemente, se hace necesario construir y mejorar instrumentos de recolección de información con el in de documentar el impacto del uso de las herramientas tecnológicas, no solo en cursos de matemática aplicada, sino, en cursos
de corte teórico y didáctico.
Por otro lado, como se mencionó en el apartado de análisis, una de nuestras principales preocupaciones en el curso fue poder aceptar la poca comprensión del
gran problema que engloba una propuesta de este tipo; se hace esta aclaración,
pues, más que un recelo a la innovación, se desea motivar, en particular, a los
docentes para iniciar (o continuar) con procesos que involucren estrategias alternativas para enriquecer la investigación en las didácticas especíicas de los cursos
de nivel superior.
Por último, es importante motivar a los docentes para la toma de decisiones respecto a la incorporación de las tecnologías dentro de las carreras y, fundamentalmente, en áreas y cursos especíicos; esto con el in de impulsar cambios reales en
todos los ámbitos y no, solamente, en directrices y políticas generales, las cuales
están presentes en muchos currículos de formación de formadores en Matemática, pero que, pocas veces, son llevadas a la práctica.
Incorporación de la Tecnología para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ecuaciones Diferenciales 171
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Propuestas en la Educación
Matemática
RESoLuCIón DE PRoBLEMAS CoMo ESTRATEgIA
METoDoLógICA En LA FoRMACIón DE DoCEnTES
DE MATEMÁTICAS: unA PRoPuESTA
Jennifer Fonseca Castro
jfonsec@una.ac.cr
Cristian Alfaro Carvajal
calfar@una.ac.cr
Escuela de Matemática
Universidad Nacional
Resumen
Tradicionalmente, la resolución de problemas ha sido utilizada como
actividad posterior al desarrollo de conceptos matemáticos, donde la
aplicación casi mecánica de los conceptos es el objetivo inal. No obstante, recientemente se ha planteado un enfoque más moderno de la
resolución de problemas como estrategia metodológica en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Este enfoque pretende dar al docente y al estudiante otros tipos de experiencias que les permita construir, revisar y extender sus sistemas conceptuales y de vivencia. En
este sentido, se describe brevemente el aporte teórico en la Resolución
de Problemas como estrategia metodológica de los enfoques planteados por Lesh (Model-eliciting activities), los japoneses (Open-Ended
problems) y la metodología utilizada en un Seminario de graduación
centrado en el tema de la Resolución de Problemas llevado a cabo en
el año 2007 en la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional
en Costa Rica. Esto con el objetivo de señalar e integrar aquellos elementos que deberían guiar la construcción e implementación de situaciones didácticas para la Resolución de Problemas como estrategia
metodológica en la formación de docentes de matemática.
Palabras clave
Resolución de problemas, formación docente en Educación Matemática, Matemáticas, estrategias metodológicas en Enseñanza de las Matemáticas, modelos y modelando, problemas de cierre abierto.
Abstract
Traditionally, problem solving has been used as an activity after the
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 175-191.
Costa Rica
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Jennifer Fonseca Castro - Cristian Alfaro Carvajal
development of mathematical concepts, where the mechanical application of those concepts is the ultimate goal. However, a more modern
approach proposes problem solving as a methodological strategy in the
teaching and learning of mathematics. This approach aims to give teachers and students other experiences that allow them to build, revise,
and extend their conceptual systems and experiences. We present in this
article a brief description of the theoretical contributions of Lesh (Model-eliciting activities), the Japanese (Open-Ended problems), and the
methodology used in a Seminar (a inal requisite to complete a degree
in Mathematics Education) conducted in 2007 at the School of Mathematics of the Universidad Nacional in Costa Rica, in order to draw those
elements that should guide the construction and implementation of situations for problem solving as a methodological strategy in mathematics
teacher education
Key words
Problem solving, Mathematics teacher preparation, Mathematics, Methodological strategies in Mathematics Teaching, Model-eliciting activities, Open-Ended problems.
1. Introducción
La resolución de problemas se ha considerado como una importante estrategia para
la enseñanza de las Matemáticas en estudiantes de Educación Media en diferentes
partes del mundo. El NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) de
los Estados Unidos), por ejemplo, lo ha consignado dentro de sus principios y
estándares como un estándar de proceso y no de contenido. Por su parte, el
Ministerio de Educación Pública (MEP) en Costa Rica contempla dentro de los
programas vigentes de estudio a la resolución de problemas como la estrategia
pedagógica más adecuada para el desarrollo de las lecciones.
Esto hace que la resolución de problemas permita abordar varias dimensiones
en la Educación Matemática. Por un lado, integra objetivos interdisciplinarios
dentro de las propias Matemáticas, por ejemplo, geometría, álgebra y funciones;
así como multidisciplinarios, por ejemplo, Matemáticas, Ciencias e Historia. Por
otro lado, potencia los aprendizajes activos y colaborativos dentro de los énfasis
curriculares modernos.
Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en la Formación de Docentes 177
Resolución de problemas, tradicionalmente, se ha utilizado como herramienta de
evaluación y aplicación de conceptos matemáticos previamente estudiados. Bajo
esta perspectiva, el conocimiento se presenta parcelado, y el resolver un problema
se limita a proporcionar una respuesta predeterminada. No obstante, un enfoque
más moderno de la resolución de problemas como estrategia metodológica en
la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas promete un aprendizaje más
signiicativo e integral de conocimientos y experiencias para el estudiante y el
docente.
El uso de la Resolución de Problemas como estrategia metodológica para la
enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, ha tenido una importante evolución:
desde el análisis de estrategias heurísticas de solución con Polya, hasta el estudio
de elementos cognitivos más complejos con Schoenfeld, Brousseau, Lesh y
otros.
Se han realizado diversos intentos para desarrollar la Enseñanza de las Matemáticas
por medio de la resolución de problemas como una orientación pedagógica que
logre en los estudiantes un aprendizaje más signiicativo de esta disciplina y de
su utilización dentro y fuera del sistema educativo. Lo que se pretende con esto,
es lograr un equilibrio entre los distintos niveles de complejidad de ejercicios y el
propósito persistente de fortalecer y trabajar aquellos problemas que se escapan
de lo rutinario. Aunque se han desarrollado importantes investigaciones sobre el
uso de la Resolución de Problemas en niveles de primaria y secundaria, el tema
no ha tenido un gran desarrollo en la formación de los docentes de Matemáticas.
Sin embargo, si se pretende que los futuros profesores desarrollen la Resolución
de Problemas como estrategia metodológica en los currícula de formación media,
se debe gestar desde la formación en las universidades el uso de la resolución de
problemas en el desarrollo de cursos propios de la Educación Matemática.
Para generar un planteamiento que permita emplear la resolución de problemas
en la formación de docentes de matemática es necesario considerar los aportes
teóricos de algunos investigadores que han potenciado esta temática en otros
niveles educativos. En este sentido, se presenta el trabajo realizado por Lesh y
colegas en resolución de problemas, el enfoque Open-Ended empleado por los
japoneses, así como la experiencia del Seminario de Resolución de Problemas
llevado a cabo en el año 2007 en la Escuela de Matemática de la Universidad
Nacional.
El objetivo de este trabajo es rescatar los elementos teóricos pertinentes que
necesariamente deben estar presentes en la construcción de propuestas de
enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas mediante la resolución de problemas
en los cursos de formación de docentes en esta disciplina.
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Jennifer Fonseca Castro - Cristian Alfaro Carvajal
En una primera parte de este trabajo se hace un resumen de algunos elementos
teóricos para el desarrollo de la Resolución de Problemas como estrategia
pedagógica. En esta perspectiva, se presenta la metodología de Model-Eliciting
Activities (MEAs) desarrollada por Lesh y otros en distintas universidades
norteamericanas, el trabajo de la escuela japonesa con el enfoque Open-Ended
y, inalmente, los aportes teóricos del Seminario de graduación de Resolución
de Problemas llevado a cabo en el año 2007 en la Escuela de Matemática de la
Universidad Nacional.
En la segunda parte, se rescatan los elementos teóricos presentes en los enfoques
mencionados anteriormente, integrándolos para que sirvan de base en la
implementación de Resolución de Problemas en las carreras de formación de
docentes de Matemáticas.
2. MEAS: una metodología de trabajo en resolución de problemas
Desde la antigüedad, los problemas matemáticos han tenido su lugar de privilegio
dentro del currículo matemático (Stanic & Kilpatrick, 1988). Sin embargo, existe
una confusión sobre lo que se entiende por resolución de problemas. Mientras
que algunos conceptualizan resolución de problemas como medio para poner en
práctica lo aprendido o para el desarrollo de estrategias de solución de problemas;
muy pocos utilizan resolución de problemas como estrategia didáctica o medio
para la enseñanza de contenidos matemáticos (Schroeder & Lester, 1989).
Para Lesh y colegas, pioneros constantes del desarrollo de Resolución de Problemas
en Matemáticas y otras disciplinas, un “problema no rutinario” debe permitir
al estudiante deinir, reinar, transformar y extender sus sistemas conceptuales
con el propósito de crear interpretaciones adecuadas de la situación planteada
(Lesh & Doerr, 2003b). Además, éste debe involucrar sistemas matemáticos
interesantes que evidencien al estudiante la necesidad de construir modelos
para la interpretación y explicación de la situación. El producto inal debe ser la
unión de modelos complejos o herramientas conceptuales que relejen aspectos
importantes de la forma de pensar de los estudiantes y puedan ser reutilizables
en situaciones similares (Lesh & Yoon, 2004). Tanto el problema como el
producto inal que se espera de éste, deben facilitar la relexión en los estudiantes
En esta dirección, modelos no se entiende como sinónimo de “ideal”; sino como herramientas conceptuales
que incluyen sistemas explícitos descriptivos y/o explicatorios que revelan importantes aspectos sobre cómo los
estudiantes interpretan y hacen uso de sus conocimientos previos y experiencias en distintas situaciones (Lesh
& Doerr, 2003b). Dichos modelos tienden a ser expresados usando una variedad de representaciones y medios,
por ejemplo, simbología escrita, oral, gráicos y metáforas.
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Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en la Formación de Docentes 179
a través de la documentación de sus aprendizajes y progresos, promoviendo así
la externalización de sus razonamientos y formas de pensar (Lesh, Hoover, Hole,
Nelly, & Post, 2000). Finalmente, la situación presentada debe ofrecer criterios
para la evaluación de soluciones alternativas, así como para que los estudiantes
juzguen por sí mismos los productos inales y sepan cuando tienen un modelo que
les satisface (Lesh et. al., 2000).
Bajo esta perspectiva, la dinámica de la resolución de problemas consiste en
la interpretación, búsqueda, selección y aplicación de datos o herramientas
conceptuales para dar explicación a las situaciones propuestas; todo en un proceso
cíclico de expresión, interpretación, deinición, transformación y extensión de
ideas y conceptos, los cuales son gradualmente ordenados, integrados, reinados,
elaborados y/o rechazados (Lesh & Yoon, 2004; Zawojewski & Lesh, 2003).
Según estos autores, la enseñanza debe enfocarse en la estructuración cuidadosa
de experiencias, en las cuales los estudiantes confronten la necesidad de construir
modelos que les permitan constantemente expresar, evaluar y reinar o revisar
sus formas de pensar. Con base en esta perspectiva, Lesh y colegas han trabajado
en el diseño, implementación e investigación de experiencias que cumplan
con las características de problema y resolución de problema antes descritos.
Dichas experiencias son conocidas como, actividades provocadoras de modelos
o “model-eliciting activities (MEAs)” y han mostrado tener un gran potencial
en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en muchos de los niveles
educativos—primaria, secundaria y universitaria (Lesh & Doerr, 2003a).
Los MEAs son actividades que permiten a los estudiantes deinir, explorar, revisar
y expresar sus conocimientos en un periodo de trabajo grupal de aproximadamente
sesenta minutos. Estas actividades son diseñadas para estimular la solución de
problemas signiicativos y de la vida real donde la información brindada no siempre
se encuentra en forma explícita y pre-matematizada, y donde la respuesta inal no
se resume al uso de procedimientos y algoritmos. Durante esos sesenta minutos
de trabajo, los estudiantes no sólo hacen uso de sus conocimientos previos, sino
que también modiican y/o extienden estos conocimientos durante los diversos
ciclos de integración, diferenciación, revisión y organización de ideas por los
cuales pasan (Lesh & Yoon, 2004).
Estas actividades han sido utilizadas con distintos grupos meta, en diversos
contextos, y para alcanzar distintos objetivos. Por ejemplo se han utilizado con
estudiantes de pre-escolar, primaria y secundaria (Lamon, 2003; Shternberg &
Yerushalmy, 2003); con estudiantes de ingeniería y enseñanza de las Ciencias
y Matemáticas; en cursos de post-grado para la carrera de educación (Lesh,
Zawojewski, & Carmona, 2003; Oakes & Rud, 2003); en la enseñanza y
aprendizaje de contenidos matemáticos, de métodos pedagógicos y didácticos;
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como estrategias para la resolución de problemas (Zawojewski & Lesh, 2003);
y para el desarrollo de hábitos meta-cognitivos, de investigación y de relexión
(Lesh, Lester, & Hjalmarson, 2003; Middleton, Lesh, & Heger, 2003).
En la formación de docentes de matemáticas, estas actividades han adquirido un
lugar distintivo en el planeamiento e instrucción de cursos de la disciplina—por
ejemplo en estadística y probabilidad—y en cursos metodológicos y pedagógicos.
La riqueza de los conocimientos y formas de pensar relejadas en los productos
inales (modelos), así como los procesos y ciclos de deinición, revisión y
modiicación que se pueden observar durante las sesiones de trabajo, aportan
componentes esenciales a la formación de docentes que son poco probables de
encontrar en sesiones de resolución de problemas tradicionales.
A diferencia de los problemas tradicionales donde el objetivo principal es la
evaluación de conceptos y procedimientos, MEAs brinda a los futuros docentes
un contexto que les permite no sólo evaluar, sino construir y extender sus
conocimientos matemáticos, pedagógicos y pedagógico-matemáticos, a la vez
que construyen, interpretan y revisan modelos o situaciones generadoras de
modelos.
La metodología empleada por Lesh en la implementación de MEAs como
estrategias metodológicas en cursos de formación docente, se caracteriza por la
multiplicidad de experiencias y roles que ésta ofrece a los futuros docentes en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Esta metodología permite al futuro docente
experimentar matemáticas y resolución de problemas desde una perspectiva más
dinámica y creativa, donde su papel e ideas son fundamentales para alcanzar los
objetivos inales.
Primero, es necesario que los futuros docentes experimenten por sí mismos
lo que signiica e implica resolver un problema con las características antes
descritas. Durante sus experiencias como alumnos, los futuros docentes recopilan
estrategias y actividades para utilizarlas con sus propios alumnos (Grossman,
1990). Bajo esta premisa, Lesh ofrece a los futuros docentes espacios para la
solución y discusión de MEAs. Los futuros docentes trabajan en uno de los
MEAs en forma grupal, presentando sus resultados a todo el grupo al inal del
proceso. Con esto, los futuros docentes tienen la oportunidad de experimentar
los diversos ciclos de deinición, revisión y modiicación, al mismo tiempo que
deinen, revisan y modiican sus conocimientos matemáticos y pedagógicomatemáticos. Las sesiones de presentación y discusión después de cada sesión
brindan a los futuros docentes espacios para generar discusión sobre las decisiones
y estrategias matemáticas empleadas por cada grupo, así como de otros aspectos
no tan conceptuales, pero igualmente importantes, como el trabajo en grupo
y sentimientos encontrados. Esto les permite a los futuros docentes discutir y
Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en la Formación de Docentes 181
revisar conceptos, ideas y estrategias matemáticas presentes en sus modelos y en
los modelos de otros grupos.
Segundo, en complemento a las sesiones de trabajo en MEAs, los futuros docentes
observan y analizan otros grupos meta trabajando en la solución de MEAs. Para
esto, los futuros docentes hacen visitas presenciales u observan videos de otros
grupos de estudiantes trabajando en los mismos MEAs que ellos ya trabajaron.
Esto les brinda la oportunidad de experimentar estas actividades desde otra
perspectiva, ya no como buscadores de soluciones sino como evaluadores
y observadores de otros buscadores de soluciones. Al tratar de entender las
estrategias de los estudiantes observados, los futuros docentes examinan y
cuestionan sus conocimientos matemáticos, pedagógicos, y pedagógicos del
contenido, así como sus propios modelos generados con anterioridad.
Después de las múltiples sesiones de resolución y observación, los futuros docentes
tienen espacios para la construcción y diseño de nuevos MEAs. Esto último con
el objetivo de brindar una nueva perspectiva y experiencia a los futuros docentes:
de buscador de soluciones y observador, a diseñador.
La metodología empleada por Lesh permite al futuro docente cambiar de un
papel pasivo, a un papel dinámico que requiere de creatividad, relexión, y
la construcción y revisión constante de aspectos cognitivos (matemáticos,
pedagógicos y pedagógicos del contenido). El futuro docente experimenta y
aprende desde las diferentes perspectivas: estudiante, profesor e investigador.
Esto no sólo los dota con una sensibilidad particular para con sus alumnos,
sino que también les permite seleccionar y construir actividades de mediación
e instrucción en las que tanto ellos como sus estudiantes construyen y revisan
conocimientos cognitivos y de crecimiento personal.
Este enfoque propone una transformación radical en la forma de planear
una lección, en la selección de situaciones o problemas y por supuesto, en el
conocimiento matemático que desea abordarse.
3. El enfoque “open-ended” de los japoneses
La metodología empleada por Lesh permite al futuro docente cambiar de un
El sistema educativo japonés se ha caracterizado por los altos resultados de sus
educandos y educadores en la resolución de problemas en pruebas internacionales
estandarizadas, tales como PISA y TIMSS; así como por sus novedosos métodos
educativos que han servido para el alcance de estos resultados. En las lecciones
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japonesas predominan, por ejemplo, el desarrollo de contenidos matemáticos de
media y alta calidad, así como actividades (e.g., resolución de problemas de “inal
abierto”) que involucran la construcción de nuevas soluciones y el uso de mayor
formas de pensamiento y razonamiento.
El enfoque de resolución de problemas “Open-Ended” o de “inal abierto” ha
sido uno de los principales componentes en las metodologías utilizadas por los
japoneses en sus aulas para la enseñaza y aprendizaje de las matemáticas. Dicho
enfoque se originó en Japón en los años setenta con el propósito de estudiar y
evaluar formas de razonamiento matemático de alto orden de los estudiantes
(Inprasitha, 2009). Sin embargo, su aprovechamiento se ha extendido más
allá, para convertirse en el principal medio de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas en las aulas japonesas (Sawada, 1997).
Los problemas de “inal abierto” son formulados de tal manera que múltiples
soluciones pueden ser generadas y evaluadas por los estudiantes como parte del
proceso de resolución de problemas. Además, éstos son diseñados con la inalidad
de servir como medio de partida para el desarrollo y descubrimiento de nuevos
aprendizajes. Estos problemas se caracterizan por sus ricos contextos sociales que
permiten enlazar los contenidos matemáticos con otras disciplinas y con la vida
cotidiana del estudiante. La revisión, modiicación y extensión de conocimientos,
habilidades y experiencias previas de los estudiantes, son fundamentales en
el desarrollo de estas actividades. Las soluciones y aportes propuestos por los
estudiantes, determinan el contenido y dinámica de la lección. En estas actividades
los métodos para llegar a las soluciones son tan o más importantes que la solución
misma al problema (Shimada, 1997).
A través de la resolución de problemas de “inal abierto” los estudiantes
matematizan situaciones de la vida cotidiana y encuentran relaciones matemáticas
mientras hacen uso de sus conocimientos y habilidades; estudian los métodos
y soluciones de otros estudiantes; comparan y examinan las diferentes ideas;
y modiican o desarrollan sus propias conjeturas sobre el tema acorde con la
experiencia (Sawada, 1997).
La metodología de este enfoque propone una dirección completamente diferente
a la tradicional. En el enfoque “Open-Ended” de los japoneses, las técnicas de
resolución de problemas son utilizadas tanto para la solución del problema, como
para el desarrollo y estructura de la lección misma (Sawada, 1999). A diferencia
del enfoque tradicional (teoría→práctica/resolución de problemas→asignación
de tarea), los docentes japoneses se enfocan en la solución de un solo problema de
“inal abierto” de principio a in de sus lecciones. Estas inician con la presentación
del problema a los estudiantes y los objetivos de la lección; así como una discusión
de las posibles relaciones del problema y objetivos con otros problemas y temas
Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en la Formación de Docentes 183
vistos anteriormente. Seguido, trabajan de forma individual o grupal en el problema
con la supervisión mínima del docente. Posteriormente, los estudiantes presentan
sus ideas y métodos a otros compañeros, lo cual genera espacios de discusión,
revisión, comparación y extensión de conocimientos e ideas. La intervención del
docente en dichas discusiones es fundamental para guiarlos en la búsqueda de
nuevos conocimientos; pero siempre basando sus intervenciones en resultados
e ideas (nuevas o previas) que los estudiantes han generado. Finalmente, los
nuevos resultados y conocimientos se discuten y resumen en grupo; y se buscan
situaciones similares donde lo aprendido sea útil.
El factor tiempo es esencial para el desarrollo exitoso de estas lecciones. Es
indispensable que los estudiantes cuenten con suiciente tiempo para que
investiguen la naturaleza del problema; generen y propongan múltiples soluciones;
discutan y comparen cada solución posible; y relexionen sobre lo aprendido y lo
que pueden aprender (Sawada, 1999).
El papel del docente en este tipo de actividades se centra en la selección y/o
diseño de problemas; además de guiar y propiciar la discusión y el análisis con
una agenda claramente deinida (Sawada, 1999). Para esto es necesario que el
docente tenga un claro panorama del papel del problema en su clase, así como el
manejo total de todas las posibles soluciones y métodos de solución del problema
planteado.
La dinámica de estas actividades permite a los estudiantes participar más
activamente en el proceso, expresar frecuentemente sus ideas en el aula y hacer
uso comprensivo de sus conocimientos y habilidades. En estas actividades
los estudiantes son motivados a proponer, justiicar y probar sus conjeturas
y respuestas, así como retro-alimentar sus ideas y las de sus compañeros. La
aceptación de diferentes formas de pensar, hacer y resolver un problema, se
vuelve tan importante para los estudiantes como la solución del problema mismo
(Sawada, 1999).
Sin embargo, es posible que algunos estudiantes no acostumbrados a este sistema
de aprendizaje experimenten momentos de ansiedad o sientan insatisfacción en
su aprendizaje por su diicultad para resumir y sintetizar los conceptos aprendidos
(Sawada, 1997). Es posible que encuentren diicultades para entender y responder
a estos tipos de problemas; sin dejar de lado la diicultad para el docente a la hora
de diseñar y preparar situaciones o problemas signiicativos que cumplan con los
objetivos y características de los problemas de “inal abierto” (Sawada, 1997).
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4. Dinámica del seminario como una metodología de trabajo en
resolución de problemas
Este seminario se llevó a cabo durante el año 2007 con la participación de
cinco estudiantes egresados de la carrera de Bachillerato y Licenciatura en la
Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional en Costa Rica. El trabajo
se realizó mediante sesiones semanales de discusión y análisis donde participaron
los investigadores, el director del seminario y en algunas ocasiones expertos en
investigación. Se formaron subgrupos de trabajo en donde cada uno seleccionó
un tema de Matemáticas a nivel secundario para la construcción y aplicación de
una propuesta pedagógica en un colegio de su escogencia.
La dinámica del Seminario consistió en sesiones de discusión que permitían a los
estudiantes construir, revisar y modiicar tanto sus conocimientos matemáticos,
pedagógicos y pedagógico-matemáticos; esto a través de la revisión de teorías
existentes en la Educación Matemática y en los temas matemáticos a desarrollar
en las propuestas metodológicas, a saber, polígonos, estadística, y función
exponencial y logarítmica. Asimismo, se hizo una revisión de problemas existentes
sobre estos temas, algunas aplicaciones en campos no matemáticos e historia de
estos conceptos lo cual aportó elementos valiosos para la construcción de una
propuesta metodológica para secundaria basada en la resolución de problemas
(Ramírez, González, Zumbado, Arias, Espinoza & Espinoza, 2008).
Cada subgrupo generó una propuesta que consistía en plantear al estudiante de
secundaria un problema contextualizado, cuya estructuración pudiera por sí misma
guiarlo a la solución deseada, sin que el docente manifestara alguna intención
didáctica durante su desarrollo y, que con la búsqueda de la solución, se generaran
nuevos conocimientos matemáticos El proceso de construcción de los problemas
duró varias sesiones en donde los integrantes del seminario y expertos invitados,
discutían, analizaban y modiicaban continuamente cada versión, de forma tal que
se garantizara que la solución del problema implicara necesariamente el uso de
los conceptos matemáticos que se esperaban generar. Este proceso continuó hasta
que los integrantes del seminario y los expertos consideraron que el problema era
adecuado para su aplicación (Ramírez et al, 2008).
La dinámica de trabajo planteada permitió a los integrantes del seminario, cumplir
distintos roles en el proceso:
(a) Como estudiantes universitarios: en este sentido las investigaciones teóricas
sobre Resolución de Problemas, contenidos matemáticos especíicos y contenidos
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pedagógicos, fueron esenciales para la construcción, revisión y extensión de estos
conocimientos por parte de los seminaristas.
(b) Como estudiantes de secundaria: constantemente los seminaristas debían
ponerse en el papel de los estudiantes de secundaria para poder así analizar los
procesos de resolución del problema que se querían llevar al aula. Cada subgrupo de
seminaristas redactó una posible solución del problema planteado y la organizó en
etapas que contenían la descripción de los posibles procedimientos realizados por
los estudiantes de secundaria, los conocimientos previos (recursos) que se debían
poseer y las heurísticas que éstos podrían manifestar y las posibles intervenciones
del docente. Cada vez que se presentó el problema con sus correcciones a los
miembros del seminario y expertos invitados, también se expuso su posible
solución con los cambios respectivos, para su discusión y análisis.
(c) Como profesores en servicio: se pretendía en este caso evaluar la pertinencia
y la utilidad de la propuesta en la generación de los conocimientos matemáticos
deseados. Para lograr esto se llevó a cabo la puesta en práctica de la propuesta
pedagógica en secundaria, por conveniencia, se utilizaron los grupos que los
integrantes del seminario tenían a cargo. Esto les permitió a los seminaristas no
quedarse en la teoría, y ponerla en práctica o crear sus propias teorías; extendiendo
así sus conocimientos matemáticos y pedagógicos en la acción del aula.
(d) Como investigadores: en este sentido, los seminaristas hicieron un análisis de
los instrumentos que se utilizaron en la valoración de la propuesta pedagógica
en el aula a la luz del marco teórico desarrollado en el seminario. Asimismo, fue
fundamental para la creación de los problemas a implementar, el análisis de los
distintos componentes teóricos en los estudiantes de secundaria con los cuales
se llevó a cabo la experiencia. En efecto, se hizo un estudio sobre los recursos
cognitivos que poseían los estudiantes, esto fue fundamental, debido a que fue
el punto de partida para resolver el problema, y se analizaron algunas creencias
que los estudiantes poseían que eran relevantes en el momento de afrontar los
problemas (Ramírez et al, 2008).
5. Elementos a considerar en la construcción de una propuesta
metodológica basada en resolución de problemas en la formación de
docentes de matemáticas
Las experiencias anteriormente descritas apuntan la necesidad de utilizar la
resolución de problemas en un sentido muy distinto al tradicional. En estas últimas
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se desarrollan los contenidos matemáticos seguidos por sesiones de resolución de
problemas, que, en general, son ejercicios en donde el estudiante debe demostrar
que domina los conceptos desarrollados.
En contraste, las experiencias mencionadas evidencian que es posible desarrollar
el currículo matemático mediante la resolución de problemas, pero, en este sentido,
los nuevos conceptos matemáticos deberían emerger como parte del proceso
de resolución. Esto supone claramente un cambio de roles de los estudiantes y
profesores de matemáticas, y, por tal razón, la formación de docentes debería
responder adecuadamente a esta propuesta metodológica.
En esta dirección, interesa resaltar los elementos medulares de las propuestas de
Lesh, Open-Ended y el Seminario de Resolución de Problemas desarrollado en
la Universidad Nacional, que deberían estar presentes en cualquier propuesta que
pretenda desarrollar cursos mediante la resolución de problemas.
En un curso basado en resolución de problemas para la formación de docentes
de Matemáticas se rescatan de las experiencias de Lesh y del Seminario de la
Universidad Nacional la existencia de dos momentos fundamentales: el desarrollo
de conceptos propios de la disciplina matemática y el desarrollo de los conceptos
pedagógicos del contenido. En el primer caso, se plantea una serie de situaciones
didácticas para que el futuro docente adquiera un concepto (por ejemplo, la
derivada de una función real de variable real). En el segundo caso, el futuro
docente debe ubicarse en el papel de profesor y llevar a cabo la construcción
de las situaciones didácticas necesarias para que sus potenciales estudiantes de
secundaria adquieran un concepto dado (por ejemplo, la función exponencial).
En este sentido, existen al menos dos situaciones de resolución de problemas a
considerar: (1) la solución a situaciones didácticas y (2) la construcción de las
mismas.
De esta manera, en la construcción de las situaciones didácticas se proponen los
siguientes elementos:
• Es esencial la investigación teórica de los temas que se desean abordar.
Por ejemplo, las teorías existentes sobre la resolución de problemas, autores tales como Polya, Schoenfeld, Brousseau, Chevallard, Lesh, Sawada,
entre otros. Asimismo, debe hacerse una investigación desde el punto de
vista matemático del tema que se piensa abordar, este estudio debe incluir
fundamentalmente tres aspectos: la teoría estrictamente matemática de los
conceptos a desarrollar, los elementos históricos de dichos conceptos y las
aplicaciones en otras disciplinas. Esto le dará al elaborador del problema
una visión bastante clara, de forma tal que pueda esbozar las posibles situaciones didácticas para los conceptos que se pretenden enseñar; así estará
en mejor posición de determinar si ese concepto del saber matemático es
Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en la Formación de Docentes 187
susceptible a transponerse y convertirse en un saber escolar.
• Igualmente son indispensables ciclos de revisión y discusión durante el
proceso de construcción de los problemas para asegurar que éste sea una
situación a-didáctica (Brousseau, 1986) y contextualizada, donde los recursos, el control, las heurísticas y creencias de los estudiantes, sean previamente analizadas y el conocimiento sea la estrategia ganadora. Dicho
problema debe estimular el desarrollo de modelos conceptuales por parte
de los estudiantes que evidencien sus distintas ideas, conocimientos y experiencias sobre los temas abordados. Estos modelos no se deben limitar a
simples respuestas como producto de la ejecución de procesos repetitivos
y algorítmicos, sino más bien se trata de ofrecer soluciones que involucren
justiicaciones, conjeturas y análisis de las distintas variables involucradas.
Los elementos descritos anteriormente deberían ser usados por docentes universitarios en la construcción de problemas que sirvan como estrategias metodológicas para sus cursos; y a su vez, éstos deben servir como guía a los futuros (o ya en
servicio) docentes de secundaria para la construcción de estas situaciones.
Por otra parte y de forma paralela a lo anterior, para la implementación de las
situaciones didácticas construidas es importante tener en cuenta los siguientes
elementos:
• Deben existir ciclos de deinición, revisión y modiicación, durante y
después de la actividad, que le permitan al futuro docente enriquecer sus
conocimientos y experiencias, lo que a su vez le permitirá interiorizar los
conceptos discutidos. El problema planteado debe permitir al futuro docente la revisión y evaluación de sus ideas durante y después del proceso de
solución; y exponer, compartir y comparar sus ideas con las ideas de otros
compañeros, esto con el sentido de madurar sus conceptos y conjeturas.
• Es necesario que el futuro docente tenga diversas experiencias que enriquezcan su formación como profesional en la Educación Matemática. Pasar por los diferentes papeles (estudiante, profesor, e investigador) sensibiliza al futuro docente sobre los temas a enseñar y las diicultades que sus
estudiantes puedan enfrentar en el proceso. De igual manera, los futuros
docentes podrán revisar y modiicar sus sistemas conceptuales a distintos
niveles y con distintos objetivos.
• Es igualmente importante que la acción y dinámica, durante y después de
la actividad se base en los resultados y aportes brindados por los futuros
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docentes. El rol del docente universitario se reduce a diseñar y orientar
la dinámica de la clase; su intervención durante la solución del problema
debe ser mínima. Se espera que los futuros docentes hagan uso de sus
conocimientos y experiencias previas para la solución del problema y sean
ellos mismos los que determinen los pasos a seguir en el proceso.
• Un factor elemental en el proceso de resolución de problemas es el factor
tiempo. En las tres experiencias descritas anteriormente (MEAs, OpenEnded y Seminario) el factor tiempo fue un determinante importante para
el éxito de las actividades de resolución de problemas. Para que el proceso
de resolución de problemas sea fructífero, es importante que los futuros
docentes tengan a su disposición el tiempo suiciente para que investiguen
sobre la naturaleza del problema propuesto; generen y propongan múltiples soluciones; discutan y critiquen los diferentes modelos propuestos;
evalúen y comparen otros modelos; y relexionen sobre lo aprendido.
• El punto anterior nos lleva a pensar en un elemento igualmente importante: la cantidad de situaciones a desarrollar en clase. A diferencia del método tradicional donde listas de problemas son propuestos para su solución
en una lección, las experiencias antes descritas basan sus lecciones en la
solución y/o elaboración de una o dos situaciones didácticas por lección.
Los ciclos de revisión, expresión y extensión de ideas requieren de tiempo
y dedicación que la asignación de múltiples problemas podría limitar. Sin
embargo, es importante que después de cada sección los futuros docentes
busquen o trabajen en problemas relacionados que permitan la internalización y extensión de los conceptos aprendidos.
Los elementos antes presentados resumen los principales aspectos utilizados en
el enfoque de MEAs, Open-Ended de los japoneses y la metodología del Seminario de Resolución de Problemas la Universidad Nacional. Cabe señalar que los
elementos de construcción e implementación de situaciones didácticas propuestos en esta sección no se limitan a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
a nivel de formación docente. Éstos podrían adecuarse y servir como guía para la
construcción de una propuesta metodológica basada en la resolución de problemas a nivel de primaria y secundaria o en otras disciplinas y carreras. Es posible
que los roles que se esperan que los estudiantes experimenten como parte de este
proceso sean distintos a los que se quiere que los futuros docentes tengan, pero la
idea de diversas experiencias debe persistir
Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en la Formación de Docentes 189
6. Conclusión
En este trabajo se ha presentado el enfoque de Lesh , el Open-Ended de los japoneses y la metodología utilizada en el Seminario de Resolución de Problemas de
la Universidad Nacional, como una alternativa para la inclusión de la resolución
de problemas dentro de los cursos de las carreras de Enseñanza de las Matemáticas.
Posteriormente, se hizo una integración de los principales elementos presentes
en esas experiencias con el propósito de generar insumos que deberían orientar
propuestas de cursos de formación en Educación Matemática bajo el enfoque de
la Resolución de Problemas.
Es importante señalar que bajo este esquema se pueden atender dos aspectos: por
un lado el docente universitario puede hacer uso de estos elementos en el planeamiento de sus cursos para la enseñanza de algunos temas matemáticos. Por otro
lado, puede plantear este esquema a los futuros docentes para que éstos generen
situaciones que les servirá en su quehacer profesional.
Con esto se espera brindar a los futuros docentes de Matemáticas una experiencia en resolución de problemas mediante modelos conceptuales que les permita
transformar posteriormente su práctica de aula y con esto generar aprendizajes
más efectivos y signiicativos en el estudiante de secundaria.
Referencias y bibliografía
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Jennifer Fonseca Castro - Cristian Alfaro Carvajal
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Documentos
nuEVo CoMITé EJECuTIVo DE LA InTERnATIonAL
CoMMISSIon on MATHEMATICAL InSTRuCTIon ICMI
Programa Interinstitucional de
Investigación y Formación
en Educación Matemática
www.cimm.ucr.ac.cr/pi-ifem
El día 6 de julio del año 2008 se realizó la Asamblea General de la International
Commission on Mathematical Instruction (Comisión Internacional de Educación
Matemática) ICMI, http://www.mathunion.org/ICMI, que es la principal organización en la Educación Matemática del mundo. Esta Asamblea contó con los
representantes oiciales del ICMI en cada país, y los delegados oiciales de la
International Mathematical Union (Unión Matemática Internacional) IMU.
Fue previa al International Congress on Mathematical Education (Congreso Internacional de Educación Matemática) que se realizó en Monterrey, México, entre el 6 y 13 de julio del 2008.
En esta Asamblea General se eligió formalmente el Comité Ejecutivo del ICMI
para el periodo 2010-2012. Una comisión electoral del ICMI presidida por Jeremy Kilpatrick (Medalla Félix Klein 2007) y donde participó también Michèle
Artigue (presidenta 2007-2009 de ICMI) y otros distinguidos investigadores de
la educación matemática, propuso una nómina provisional a partir de la cual se
votó, dando por resultado la siguiente directiva:
Presidente:
William (Bill) Barton (Nueva Zelandia)
Secretario-general:
Jaime Carvalho e Silva (Portugal)
Vicepresidentes:
Ángel Ruiz (Costa Rica)
Mina Teicher (Israel)
Vocales:
Mariolina Bartolini Bussi (Italia)
Sung Je Cho (Corea)
Roger Howe (Estados Unidos)
Renuka Vithal (Sudáfrica)
Zhang Yingbo (China)
196
Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática
Sung Je Cho es el presidente del comité que organizará el ICME 12 que se celebrará en Corea en el año 2012.
Esta es la primera vez que alguien de Costa Rica o América Central ocupa un
puesto de tanta relevancia en la Educación Matemática internacional. Y de América Latina lo ocuparon en el pasado solo: Ubiratan D’Ambrosio (Brasil) entre
1979 y 1982 y Emilio Lluis (México) entre 1987 y 1990.
Asamblea General de ICMI, 6 de julio del 2008, Monterrey, México.
Esta elección constituye no solo un reconocimiento a la trayectoria y labor individual y personal en la Educación Matemática del profesor Ruiz (Director del Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas CIMM de la Universidad de Costa Rica y catedrático de las escuelas de Matemática de la Universidad
de Costa Rica y Universidad Nacional), sino también a la de los equipos de académicos que lo han acompañado durante años en el trabajo académico. También
con mucha relevancia su trabajo en América Latina en el Comité Interamericano
de Educación Matemática CIAEM, organización de la que fue elegido presidente
para el periodo 2007-2011 en julio del 2007 en Querétaro, México.
Debe mencionarse adicionalmente que la nominación de Ruiz fue promovida primeramente por la US National Commision on Mathematics Education (Comisión
nacional de Educación Matemática de los Estados Unidos), que representa a los
educadores matemáticos de ese país ante el ICMI.
Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 197
Esta elección constituye no solo un reconocimiento a la trayectoria y labor individual y personal en la Educación Matemática del profesor Ruiz (Director del Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas CIMM de la Universidad de Costa Rica y catedrático de las escuelas de Matemática de la Universidad
de Costa Rica y Universidad Nacional), sino también a la de los equipos de académicos que lo han acompañado durante años en el trabajo académico. También
con mucha relevancia su trabajo en América Latina en el Comité Interamericano
de Educación Matemática CIAEM, organización de la que fue elegido presidente
para el periodo 2007-2011 en julio del 2007 en Querétaro, México.
Debe mencionarse adicionalmente que la nominación de Ruiz fue promovida primeramente por la US National Commision on Mathematics Education (Comisión
nacional de Educación Matemática de los Estados Unidos), que representa a los
educadores matemáticos de ese país ante el ICMI.
Ángel Ruiz (Costa Rica, presidente CIAEM), Michèle Artigue (Francia, Presidenta ICMI), XII CIAEM,
Querétaro, México, julio 2007.
ICMI es la organización de Félix Klein, Jacques Hadamard, Marshall Stone, Saunders Mac Lane, Henri Cartan, Hans Freudenthal, Miguel de Guzmán, Mogens
Niss, Michèle Artigue, Bernard Hodgson, Hyman Bass, y muchísimos otros.
Esta alta posición internacional representa, además de un honor para la enseñanza
de la matemática de Costa Rica y América Latina, posibilidades extraordinarias
para estar en contacto directo con lo más reciente en lo que se hace en todo el
mundo en la Educación Matemática; pero, también, supone retos y responsabilidades muy grandes.
198
Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática
Jacques Hadamard (Francia)
Hans Freudentahl (Holanda)
Esta elección constituye no solo un reconocimiento a la trayectoria y labor individual y personal en la Educación Matemática del profesor Ruiz (Director del Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas CIMM de la Universidad de Costa Rica y catedrático de las escuelas de Matemática de la Universidad
de Costa Rica y Universidad Nacional), sino también a la de los equipos de académicos que lo han acompañado durante años en el trabajo académico. También
con mucha relevancia su trabajo en América Latina en el Comité Interamericano
de Educación Matemática CIAEM, organización de la que fue elegido presidente
para el periodo 2007-2011 en julio del 2007 en Querétaro, México.
Debe mencionarse adicionalmente que la nominación de Ruiz fue promovida primeramente por la US National Commision on Mathematics Education (Comisión
nacional de Educación Matemática de los Estados Unidos), que representa a los
educadores matemáticos de ese país ante el ICMI.
Sobre el ICMI
La International Commission on the Teaching of Mathematics (Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique, Internationale Mathematische
Unterrichtskommission, Commissione Internazionale dell’insegnamento matematico) se fundó durante el IV International Congress of Mathematicians (Roma
6-11 de abril de 1908). El primer presidente de ICMI fue Félix Klein, primer
Vicepresidente G. Greenhill y primer Secretario General H. Fehr.
La L’Enseignement Mathématique, fundada en 1899 por H. Fehr y Charles Laisant, fue adoptada como órgano oicial del ICMI y continua siéndolo hoy día.
Tras la creación de la Unión Matemática Internacional IMU, después de la Segunda Guerra Mundial, el ICMI se reconstituyó como Comisión del IMU. En
Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 199
1954 en la segunda Asamblea General de la IMU cambió su nombre por International Commission on Mathematical Instruction.
Felix Klein (Alemania)
H. Fehr (Suiza)
Estructura del ICMI
ICMI está formada por el Comité Ejecutivo (EC), nombrado desde el 2008 por
la Asamblea General del ICMI, y los representantes nacionales de los llamados
Estados miembros. El grupo de los representantes nacionales constituye la Asamblea General del ICMI, que se reúne cada cuatro años dentro de los Congresos
Internacionales de Educación Matemática (ICME).
En varios países se han constituido Subcomisiones Nacionales del ICMI con el
doble propósito de proporcionar un forum organizado para tratar aspectos de la
educación matemática a nivel nacional y de conectar ese nivel con la comunidad
internacional de educación matemática representada por el ICMI.
Grupos de estudio ailiados
Durante los pasados 30 años se han ailiado al ICMI cinco grupos de estudio permanentes, dedicado cada uno de ellos a un tema especíico. Los grupos de estudio
ailiados son los siguientes:
• El Grupo de Estudio Internacional para las Relaciones entre la Historia y
la Pedagogía de las Matemáticas (HPM).
• La Organización Internacional de Mujeres y Educación Matemática
(IOWME).
• El Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática
(PME).
• La Federación Mundial de Competiciones Matemáticas Nacionales
(WFNMC).
• Grupo internacional de estudio de la Modelación matemática y sus aplicaciones (ICTMA).
200
Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática
ICME: Congreso Internacional de Educación Matemática
El evento de mayor importancia en la comunidad internacional de Educación
Matemática es el International Congress on Mathematical Instruction (Congreso
Internacional de Educación Matemática), que se celebra cada cuatro años, bajo
los auspicios del ICMI.
El lugar donde se desarrollará cada ICME es decidido por la Comité Ejecutivo
del ICMI. Su programa cientíico es planeado por un Comité internacional del
programa IPC, que trabaja independientemente del Comité Ejecutivo del ICMI.
Los congresos fueron los siguientes:
Edición
Año
Ciudad
País
1
1969
Lyon
Francia
2
1972
Exeter
Reino Unido
3
1976
Karlsruhe
Alemania
4
1980
Berkeley
Estados Unidos
5
1984
Adelaida
Australia
6
1988
Budapest
Hungría
7
1992
Quebec
Canadá
8
1996
Sevilla
España
9
2000
Tokio
Japón
10
2004
Copenhague
Dinamarca
11
2008
Monterrey
México
Investigaciones y publicaciones del ICMI
Los ICMI Studies (Estudios del ICMI) son investigaciones internacionales que
consignan el estado del arte en tópicos decisivos en la Educación Matemática del
mundo. Son balances y perspectivas centrales para la investigación y práctica en
la enseñanza de la matemática; referencias muy importante.
Un ICMI Study incluye una serie de pasos: un Comité Internacional de Programa
(IPC) es nombrado por el ICMI. Este IPC crea un Documento de Debate que se
difunde lo más ampliamente posible en publicaciones internacionales, revistas,
boletines informativos, etc. Estos han sido (algunos en curso):
1. La inluencia de las computadoras y la informática en las matemáticas y
su enseñanza. Estrasburgo (1985).
2. Las matemáticas escolares en los años noventa. (1986).
Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 201
3. Matemáticas como una materia de servicio. (1987).
4. Matemáticas y cognición. (1987).
5. La popularización de las matemáticas. (1989).
6. La evaluación en la educación matemática. (1991).
7. Género y educación matemática. (1993).
8. ¿Qué es investigación en educción matemática y cuáles son sus resultados?. (1994).
9. Perspectivas de la enseñanza de la geometría para l siglo XXI. (1995)
10. El papel de la historia de la matemática en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. (1998).
11. La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el nivel universitario. (1998).
12. El futuro de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. (2001).
13. Educación matemática en tradiciones culturales diferentes. Un estudio
comparativo de Asia del Este y Occidente. (2002).
14. Aplicaciones y modelación en la educación matemática. (2004).
15. Educación y desarrollo profesional de los maestros de matemáticas
(2005)
16. Matemáticas retadoras dentro y fuera del aula (2005)
17. Tecnologías digitales y enseñanza de las matemáticas: repensando el
terreno. (2005)
18. Estadística y probabilidad en la educación matemática. (2005)
19. Prueba y demostración en la educación matemática (2007)
20. Interrelaciones educativas entre Matemáticas e Industria (2007)
21 “Re-sourcing” la Enseñanza y Aprendizaje de Matemáticas en contextos Multilingües (2007)
Muchos de éstos han sido publicados como libros por la Universidad de Cambridge (los primeros 5), o por Kluwer/Springer.
Mayor información en http://www.mathunion.org/ICMI/ICMIstudies_org.html
El ICMI Bulletin es la publicación periódica de la ICMI. Se publican dos números al año, en junio y diciembre. Se pueden descargar en formato pdf todos los
boletines de ICMI desde 1995 en la página web de esta institución.
Recientemente se ha creado un medio de información ICMI News en línea: http://
www.mathunion.org/pipermail/icmi-news
202
Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática
Premios ICMI Félix Klein y Hans Freudenthal
El ICMI otorga premios para reconocer las contribuciones destacadas a la investigación en educación matemática. La Medalla Felix Klein, que toma su nombre
del primer presidente de ICMI (1908-1920), honra los logros a lo largo de toda
una vida de trabajo. La Medalla Hans Freudenthal, que toma su nombre del octavo presidente de ICMI (1967-1970), reconoce un programa relevante y acumulativo de investigación. Estos premios se otorgan todos los años cuya numeración
sea impar, con presentaciones de las medallas y conferencias invitadas por los
galardonados en el siguiente Congreso Internacional de Educación Matemática
(ICME).
Sobre el CIAEM
El Comité Interamericano de Educación Matemática, CIAEM, es un organismo
regional asociado, desde sus orígenes, al ICMI y comparte sus propósitos en la
potenciación de la investigación en Educación Matemática.
Marshall Stone (Estados Unidos).
Expresidente de ICMI.
Expresidente de CIAEM.
El CIAEM fue fundado en 1961 por un grupo de matemáticos y educadores matemáticos de las tres Américas, liderado por el insigne matemático Marshall Stone,
de los Estados Unidos, quien era, a la sazón, Presidente de la International Comission on Mathematical Instruction, ICMI. El objetivo principal de ese Comité
fue integrar a los educadores de las Américas para evaluar y reformular los currículos de matemática de la enseñanza en general, pero, en especial, para propiciar
el desarrollo de los países de América Latina. La primera Conferencia Interamericana de Educación Matemática se realizó en la ciudad de Bogotá, Colombia, en
diciembre de 1961. Allí se creó el primer Comité Ejecutivo del CIAEM. Pocos
años después, en diciembre de 1966, en Lima, Perú, se realizó la segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática.
Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 203
Esas primeras Conferencias provocaron un movimiento fructífero para la Educación Matemática de las Américas, a pesar de las diicultades geográicas, de
comunicación y, principalmente, económicas. Desde entonces, las Conferencias
se suceden regularmente: Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972, 209 participantes de 22 países; Caracas, Venezuela, diciembre/1975, 281 participantes de 22
países; Campinas-SP, Brasil, febrero/1979, 569 participantes de 28 países; Guadalajara, México, noviembre/1985, 180 participantes de 24 países; Santo Domingo,
República Dominicana, julio/1987, 316 participantes de 22 países; Miami, EUA,
agosto/1991, 141 participantes de 21 países; Santiago, Chile, agosto/1995, 1080
participantes de 17 países; Maldonado, Uruguay, agosto/1999, 600 participantes
de 20 países; Blumenau, Brasil, agosto/2003, 600 participantes de 20 países, y, la
última, en Querétaro, México, en julio del 2007, con más de 800 participantes.
La XIII CIAEM se celebrará en Recife (Brasil) en junio del 2011, año en que el
CIAEM cumplirá 50 años de existencia.
Las CIAEM ponen su énfasis en la calidad académica y cientíica de los eventos,
en la consignación de resultados de investigación y de propuestas serias para
mejorar la educación matemática.
Ubiratan D’Ambrosio (Brasil).
Expresidente CIAEM,
Medalla Félix Klein del ICMI en el 2005.
Desde su creación en 1961, han ocupado la presidencia del CIAEM las siguientes personas: Marshall Stone (1961-1972), Luis Santaló (1972-1979), Ubiratan
D`Ambrosio (1979-1987), Eduardo Luna (1987-1995), Fidel Oteiza (1995-1999),
Carlos Vasco (1999-2003), Salett Biembengut (2003-2007) y Ángel Ruiz (20072011).
En el ICME 11, Ubiratan D’Ambrosio recibió formalmente la Medalla Felix
Klein 2005 del ICMI por sus múltiples méritos y resultados a lo largo de una vida
dedicada a la Educación Matemática.
xIII ConFEREnCIA InTERAMERICAnA DE
EDuCACIón MATEMÁTICA
Reunión regional asociada a la International Commission on Mathematical
Instruction, ICMI.
26 al 30 de junio de 2011
Universidade Federal de Pernambuco
Recife, BRASIL
AnunCIo 1,5
1. Introducción
El Comité Interamericano de Educación Matemática (CIAEM) convoca a educadores, investigadores y especialistas en Educación Matemática de todas las
Américas y de otras partes del mundo a la XIII Conferencia Interamericana de
Educación Matemática (XIII CIAEM) que se celebrará en Recife (Brasil), junio
del 2011, año en que el CIAEM cumplirá 50 años de existencia.
EL CIAEM es el primer grupo regional creado en la International Commission
on Mathematical Instruction (ICMI), desde entonces se ha dado a la tarea de
difundir y promover el trabajo colegiado de investigadores y profesionales de la
educación matemática en todo el Continente Americano y el Caribe, además de
fortalecer el espíritu de solidaridad y hermandad de los pueblos de la región, por
medio de la participación de distintas corrientes de pensamiento y promotoras
de diversas posiciones en la construcción de una nueva disciplina de las ciencias
sociales, como lo es la educación matemática.
El CIAEM es heredero de una tradición de trabajo académico de personajes relevantes como Marshall Stone, Luis Santaló, Ubiratan D´Ambrosio, entre otros,
206
Comité Interamericano de Educación Matemática
quienes abandonando la cautivación del culto a su persona por medio de una
organización, han dedicado toda su atención a formar con todo rigor académico
nuevas generaciones de educadores matemáticos, masa crítica que cada vez más
abarca áreas de acción relevantes y han logrado importantes avances.
Es por ello que el CIAEM quiere compartir su 50 aniversario con los profesionales de la educación matemática de la región que le ha sido encomendada por
el ICMI desde su nacimiento, pues no sólo se trata intercambiar opiniones sobre
asuntos académicos, sino de renovar nuestros lazos de unión y solidaridad y ratiicar nuestra convicción por una cultura de compromiso, tolerancia, equidad y
profesionalismo heredada de sus fundadores.
Para celebrar el 50 aniversario del CIAEM, se ha otorgado a Recife, esplendoroso
lugar de Brasil, la sede del XIII CIAEM. Se tendrá la oportunidad de contagiarse
de las maravillas naturales del lugar, además de tener la posibilidad de conocer
los avances de la comunidad de educadores matemáticos brasileños quienes compartirán su logros con profesionales de la educación matemática de varias partes
del continente americano y de otras latitudes. De igual forma, al ser el CIAEM un
Grupo Regional del ICMI, se tendrá la oportunidad de convivir, también, con los
conductores principales de la máxima organización de la educación matemática
en el mundo.
Lenguas oiciales: Español, Portugués, Inglés y Francés.
2. Sobre el lugar
Recife
La ciudad de Recife – localizada en el noreste brasileño – es conocida por su población
hospitalaria, temperatura agradable (media
de 280C), excelente red hotelera y una gran
variedad de atracciones turísticas.
Recife
XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 207
universidade Federal de Pernambuco
La Universidad Federal de Pernambuco (UFPE) es considerada una de las mejores instituciones de enseñanza superior del Brasil. En la UFPE funcionan decenas
de carreras de graduación presenciales – incluyendo las de formación de profesores que enseñan Matemática – y más de cien carreras de posgrado– algunas con
enfoque en la investigación en Educación Matemática.
En particular, en el área de la Educación Matemática, la UFPE se ha destacado
por tener diversos grupos que desarrollan investigación en el área y que trabajan
en la formación inicial y continua de profesores que enseñan Matemática. Recientemente, la UFPE implementó un Programa de Posgrado – Maestría, directamente vinculada a la Educación Matemática y Tecnológica – EDUMATEC.
Esperamos que la hospitalidad del Noreste del Brasil, construida por la mezcla
cultural de pueblos amerindios, europeos y africanos sea una invitación a los
participantes para que juntos busquen mejores caminos para la Educación Matemática en el continente americano.
3. Temas
Centrales
1. Formación de profesores en la Educación Matemática
2. Resolución de problemas y modelización en Educación Matemática
otros
3. Tecnología y enseñanza de la matemática
4. Historia y epistemología
5. Etnomatemáticas y perspectivas socioculturales
6. Desarrollo curricular en matemáticas
7. Evaluación del aprendizaje matemático
8. Investigación en Educación Matemática
9. Competencias profesionales
10. Estadística y educación matemática
11. Sociología de la Educación Matemática
12. Nuevos enfoques y tendencias de la educación Matemática
208
Comité Interamericano de Educación Matemática
4. Consejos científicos
Comité asesor internacional
Miembros
1. Alain Kuzniak (France, Directeur du Laboratoire André Revuz, Université
Paris-Diderot).
2. Alicia Ávila (México, Universidad Pedagógica Nacional).
3. Bernard Hodgson (Canada, Secrétaire général ICMI, 1999-2009).
4. Bill Barton (New Zealand, President ICMI 2010-2012).
5. Carlos Vasco (Colombia, Expresidente CIAEM-IACME).
6. Eduardo Luna (República Dominicana, Expresidente CIAEM-IACME).
7. Fidel Oteiza (Chile, Director Centro Comenius, Expresidente CIAEMIACME).
8. Hyman Bass (United States, Expresident ICMI).
9. Jaime de Carvallo e Silva (Portugal, Secretário-geral ICMI 2010-2012).
10. María Falk de Losada (Colombia, Rectora Universidad Antonio Nariño).
11. María Salett Biembengut (Brasil, Expresidenta CIAEM-IACME).
12. Michael Shaughnessy (United States, President NCTM 2010-2011).
13. Paulo Figueiredo Lima (Brasil, Presidente SBEM).
14. Salvador Llinares (España, Ex-presidente de la SEIEM 1999-2002).
15. Ubiratan D’Ambrosio (Brasil, Expresidente CIAEM-IACME).
Preside
Angel Ruiz, (Costa Rica, Presidente CIAEM-IACME, Vicepresidente ICMI
2010-2012).
Siglas
CIAEM: Comité Interamericano de Educación Matemática, Comitê InterAmericano da Educação Matemática.
IACME: Inter American Committee of Mathematics Education.
ICMI: International Commission on Mathematical Instruction.
NCTM: National Council of Teachers of Mathematics of the United States
of America.
SBEM: Sociedade Brasileira de Educação Matemática de Brasil.
SEIEM: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.
XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 209
Comité Internacional del Programa
Miembros
1. Alain Kuzniak (France, Directeur du Laboratoire André Revuz, Université
Paris-Diderot).
2. Alicia Ávila (México, Universidad Pedagógica Nacional)
3. Bernard Hodgson (Canada, Secrétaire général ICMI, 1999-2009).
4. Bill Barton (New Zealand, President ICMI 2010-2012)
5. Carlos Vasco (Colombia, Expresidente CIAEM-IACME)
6. Eduardo Luna (República Dominicana, Expresidente CIAEM-IACME)
7. Fidel Oteiza (Chile, Director Centro Comenius, Expresidente CIAEMIACME)
8. Hyman Bass (United States, Expresident ICMI)
9. Jaime de Carvallo e Silva (Portugal, Secretário-geral ICMI 2010-2012)
10. María Falk de Losada (Colombia, Rectora Universidad Antonio Nariño)
11. Michael Shaughnessy (United States, President NCTM 2010-2011)
12. Paulo Figueiredo Lima (Brasil, Presidente SBEM).
13. Salvador Llinares (España, Ex-presidente de la SEIEM 1999-2002)
14. Ubiratan D’Ambrosio (Brasil, Expresidente CIAEM-IACME)
Preside
Eduardo Mancera (México, Vicepresidente CIAEM, eduardo_mancera@
prodigy.net.mx)
Consejo organizador local
Miembros
1. Ana Selva (anaselva@globo.com)
2. Franck Bellemain (f.bellemain@terra.com.br)
3. Gilda Guimarães (gilda@ufpe.br)
4. Iranete Lima (iranetelima@yahoo.com.br)
5. Marcelo Câmara (marcelocamaraufpe@yahoo.com.br)
6. Paula Baltar (paula.baltar@terra.com.br)
7. Rosinalda Teles (rosinaldateles@yahoo.com.br)
8. Verônica Gitirana (veronica.gitirana@gmail.com)
210
Comité Interamericano de Educación Matemática
Presiden
1. Rute Borba (Brasil) (rborba@ce.ufpe.br , borba@talk21.com )
2. Carlos Monteiro (Brasil) (cefmonteiro@uol.com.br, cefmonteiro@
hotmail.com )
5. Programa académico
oradores especiales invitados*
1. Alan Schoenfeld (Estados Unidos)
2. Bill Barton (Nueva Zelandia)
3. Michèle Artigue (Francia)
4. Mogens Niss (Dinamarca)
5. Ubiratan D’Ambrosio (Brasil)
6. Carlos Vasco (Colombia)
7. César Carranza (Perú)
8. Claude Gaulin (Canadá)
9. Ed Jacobsen (EUA)
10. Eduardo Luna (República Dominicana)
11. Fidel Oteiza (Chile)
12. Luis Carlos Arboleda (Colombia)
13. Luis Moreno Armella (México)
14. Luz Manuel Santos (México)
15. Marcelo Borba (Brasil)
16. Paulo Figueiredo (Brasil)
17. Ricardo Losada (Colombia)
18. Salvador Llinares (España)
*Actividades plenarias.
Sesión solemne: CIAEM: 50 aniversario.
Un panel con protagonistas de la historia del CIAEM en los últimos 50 años.
Mesa redondas plenarias
• Mesa redonda 1: ¿Cómo debe ser la formación de profesores para seguir
una estrategia de resolución de problemas en la Educación Matemática?
XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 211
• Mesa redonda 2: Contribución intelectual de Ubiratan D’Ambrosio a la Educación Matemática
• Mesa redonda 3: ¿Cómo impactan las tecnologías los currículos de la Educación Matemática?
Minicursos
La CIAEM incluirá un conjunto de Minicursos Especiales de 2 o 3 horas con
importantes especialistas de la Educación Matemática.
Medalla Luis Santaló.
El Comité Ejecutivo del CIAEM entregará la primera medalla Luis Santaló, a un
educador y amigo del CIAEM cuyo esfuerzo dentro de instituciones educativas
internacionales haya contribuido mucho al desarrollo del CIAEM.
6. Cronograma de actividades
Domingo
9.00-9.30
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Conf.
Plenaria 2
CIAEM: 50
aniversario
Conf. Plenaria 4
Conf.
Plenaria 5
Café
Café
Café
Café
Conf.
Paralelas 1
Conf. Paralelas 2
Conf. Paralelas 3
Conf.
Paralelas 4
Almuerzo
Almuerzo
Almuerzo
Conf.
Paralelas 5
9.30-10.00
10.00-10.30
10.30-11.00
11.00-11.30
Inscripción
y entrega de
materiales
11.30-12.00
12.00-12-30
12.30-13.00
13.00-13.30
Almuerzo
13.30-14.00
14.00-14.30
14.30-15.00
Mesa
redonda 1
Comunicaciones,
Comunicaciones,
minicursos, talleres,
minicursos,
posters
talleres, posters
212
Comité Interamericano de Educación Matemática
15.00-15.30
Mesa
redonda 3
15-30-16.00
Mesa
redonda 2
16.00-16.30
Receso
16.30-17.00
17.00-17.40
Inauguración.
Entrega
Medalla
Luis
Santaló.
Café
17.40-18.00
18.10-18.30
Café
Conf.
Plenaria 3
Café
Clausura
Clausura
Comunicaciones,
Comunicaciones,
minicursos, talleres,
minicursos,
posters
talleres, posters
Conferencia
plenaria 1
18.40-19.00
19.10-19.30
19.30-19.40
Actividad
cultural y
brindis
Actividad
cultural
20.00-21.00
Reuniones de
grupos
Reuniones de
grupos
21.00-22.00
Comunicaciones, Minicursos, Talleres y Posters (martes y miércoles)+
14.00-14:20
Comunicaciones
Minicursos A,
3 horas
Talleres A, 3 horas
Presentación de
posters
17.00-17.40
Café
Café
Café
Café
17.40-18.00
Comunicaciones
Minicursos B,
2 horas
Talleres B, 2 horas
Presentación de
posters
14.30-14.50
15.00-15.20
15.30-15.50
16.00-16.20
16.30-16.50
18.10-18.30
18.40-19.00
19.10-19.30
19.30-19.40
+ Tentativos
XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 213
7. Ponencias
Consejo organizador local
• Para recepción de trabajos (1 de agosto a 30 de noviembre del 2010).
• Respuesta de aceptación (1 de diciembre del 2010 al 28 de febrero de
2011).
• En algunos casos, el Comité Internacional del Programa pedirá correcciones o mejoras al responsable de la ponencia, las cuales deberán volverse
a entregar antes del 31 de marzo de 2011.
• Para asegurar la inclusión de la ponencia en el programa del evento, al
menos uno de los autores irmantes deberá inscribirse (y pagar la cuota)
antes del 15 de mayo del 2011.
• Se dará un certiicado de presentación a la ponencia que en efecto se
presente, incluyendo el nombre de todos los autores irmantes. Se dará un
certiicado de participación en el evento solo a las personas que asistan al
mismo.
Modalidades de ponencias
El evento aceptará ponencias en las siguientes modalidades: Comunicaciones
cientíicas, Talleres (de 2 o 3 horas), Carteles, y Minicursos (de 2 o 3 Horas).
Algunas ponencias podrán ser colocadas como conferencias paralelas, de acuerdo
al criterio del Comité Internacional del Programa.
Tamaño de las ponencias
• Conferencias plenarias y conferencias paralelas: hasta 15 páginas.
• Comunicaciones: 8-12 páginas.
• Carteles: 3-6 páginas.
• Talleres: 3-6 páginas.
• Minicursos: 8-12 páginas.
Procedimiento y formato de ponencias
La XIII CIAEM solo recibirá propuesta de ponencias presentadas de manera completa (no resúmenes). El procedimiento y formato para su presentación se puede
consultar en la página oicial del evento: http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011.
Una vez publicado el programa no se harán cambios de fechas u horarios.
Cada ponente deberá aportar una computadora portátil para su presentación.
214
Comité Interamericano de Educación Matemática
8. Inscripción
Puede inscribirse en la XIII CIAEM a través de la página oicial del evento http://
www.ce.ufpe.br/ciaem2011
Cuotas y fechas de pago
Inscripción: de 100 a 200 dólares EUA
• Noviembre 2010-marzo 2011: 150 dólares (75 dólares, estudiantes*)
• Abril 2010-mayo 2010: 180 dólares (90 dólares, estudiantes)
• Junio: 200 dólares (100 dólares, estudiantes)
*Solo para estudiantes de grado o postgrado matriculados al día. Deberán presentar identiicación oicial y hoja de matrícula para poder recibir materiales,
certiicado de participación y asistir a las actividades del evento.
Para recibir los materiales del congreso durante el evento, será indispensable presentar: original y copia fotostática del depósito o el reporte del pago por tarjeta
de crédito.
9. Exhibidores
Quienes deseen exponer materiales y realizar contactos, preventas o ventas directas de materiales o servicios de distinta índole a lo largo del congreso, deben
comunicarse directamente con Rute Borba y Carlos Monteiro (coordinadores
locales del evento) para acordar las cuotas a cubrir y los requisitos que deben
atenderse.
10. Exhibidores
MARTUR Viagens e Turismo es la agencia oicial de turismo con la que se puede
hacer la reserva de hoteles y paquetes turísticos.
Rua: Dr. Nilo Dornelas Câmara, 90 – lj. 02
Boa Viagem
51.021-040
XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 215
Recife – PE
Brasil
Tel. 55 (81) 3312.3666
martur@martur.com.br
www.martur.com.br
11. CIAEM
El Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM es un organismo
regional asociado, desde sus orígenes, al ICMI y comparte sus propósitos en la
potenciación de la investigación en Educación Matemática.
El CIAEM fue fundado en 1961 por un grupo de matemáticos y educadores matemáticos de las tres Américas, liderado por el insigne matemático Marshall Stone,
de los Estados Unidos, quien era, a la sazón, Presidente de la International Comission on Mathematical Instruction, ICMI. El objetivo principal de ese Comité
fue integrar a los educadores de las Américas para evaluar y reformular los currículos de matemática de la enseñanza en general, pero, en especial, para propiciar
el desarrollo de los países de América Latina. La primera Conferencia Interamericana de Educación Matemática se realizó en la ciudad de Bogotá, Colombia,
en diciembre de 1961. Allí se creó el primer Comité Ejecutivo del CIAEM. Pocos
años después, en diciembre de 1966, en Lima, Perú, se realizaba la segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática.
Esas primeras Conferencias provocaron un movimiento fructífero para la Educación Matemática de las Américas, a pesar de las diicultades geográicas, de
comunicación y, principalmente, económicas. Desde entonces, las Conferencias
se suceden regularmente: Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972, 209 participantes de 22 países; Caracas, Venezuela, diciembre/1975, 281 participantes de 22
países; Campinas-SP, Brasil, febrero/1979, 569 participantes de 28 países; Guadalajara, México, noviembre/1985, 180 participantes de 24 países; Santo Domingo,
República Dominicana, julio/1987, 316 participantes de 22 países; Miami, EUA,
agosto/1991, 141 participantes de 21 países; Santiago, Chile, agosto/1995, 1080
participantes de 17 países; Maldonado, Uruguay, agosto/1999, 600 participantes
de 20 países; Blumenau, Brasil, agosto/2003, 600 participantes de 20 países, y, la
última, en Querétaro, México, en julio del 2007, con más de 800 participantes.
Las CIAEM ponen su énfasis en la calidad académica y cientíica de los eventos,
en la consignación de resultados de investigación y de propuestas serias para
mejorar la educación matemática.
216
Comité Interamericano de Educación Matemática
Desde su creación en 1961, han ocupado la presidencia del CIAEM las siguientes personas: Marshall Stone (1961-1972), Luis Santaló (1972-1979), Ubiratan
D`Ambrosio (1979-1987), Eduardo Luna (1987-1995), Fidel Oteiza (1995-1999),
Carlos Vasco (1999-2003), Salett Biembengut (2003-2007) y Ángel Ruiz (20072011).
En el ICME 11, Ubiratan D’Ambrosio recibió formalmente la Medalla Felix
Klein 2005 del ICMI por sus múltiples méritos y resultados a lo largo de una vida
dedicada a la Educación Matemática.
Consejo ejecutivo 2007-2011
Presidente: Ángel Ruiz (Costa Rica).
Primer vicepresidente: Eduardo Mancera (México).
Segundo vicepresidente: Patrick Scott (Estado Unidos).
Secretario: Hernán Miranda (Chile).
Anterior presidenta: Salett Biembengut (Brasil)
Vocal: Hugo Barrantes (Costa Rica).
12. ICMI
La International Commission on the Teaching of Mathematics (Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique, Internationale Mathematische
Unterrichtskommission, Commissione Internazionale dell’insegnamento matematico) se fundó durante el IV International Congress of Mathematicians (Roma
6-11 de abril de 1908). El primer presidente de ICMI fue Félix Klein, primer
Vicepresidente G. Greenhill y primer Secretario General H. Fehr.
Tras la creación de la Unión Matemática Internacional IMU, después de la Segunda Guerra Mundial, el ICMI se reconstituyó como Comisión del IMU. En
1954 en la segunda Asamblea General de la IMU cambió su nombre por International Commission on Mathematical Instruction.
El evento de mayor importancia en la comunidad internacional de Educación Matemática es el International Congress on Mathematical Education, que se celebra
cada cuatro años, bajo los auspicios del ICMI.
El lugar donde se desarrollará cada ICME es decidido por la Comité Ejecutivo
del ICMI. Su programa cientíico es planeado por un Comité Internacional del
programa IPC, que trabaja independientemente del Comité Ejecutivo del ICMI.
XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 217
Los congresos anteriores:
Edición
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Año
1969
1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
2008
Ciudad
Lyon
Exeter
Karlsruhe
Berkeley
Adelaida
Budapest
Quebec
Sevilla
Tokio
Copenhague
Monterrey
13. ICMI
Páginas web
Página oicial del evento: http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011
E-mails:
Programa académico: mancera.eduardo@gmail.com
Organización: ciaem2011@ce.ufpe.br
Páginas del CIAEM:
• http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem
• http://www.ciaem-iacme.org
• http://www.furb.br/ciaem
País
Francia
Reino Unido
Alemania
Estados Unidos
Australia
Hungría
Canadá
España
Japón
Dinamarca
México
218
Comité Interamericano de Educación Matemática
Recife
• Dirección para correo:
Centro de Educação - Universidade Federal de Pernambuco –
Avenida Acadêmico Hélio Ramos S/N
50.740-530 – Recife, PE, Brasil
• Teléfonos: 55 (81) 21268326
• Fax: 55 (81) 21268326
Esperamos verlos en Recife en la xIII CIAEM
1961-2011: 50 AÑoS DEL CIAEM
ELEnA CHKRYL
1
Escuela de Matemática
universidad de Costa Rica
www.emate.ucr.ac.cr
Pensar en la partida prematura de alguien como Elena solo puede evocar una
sensación de injusticia. ¿Cómo alguien tan especial, llena de inteligencia, de
dulzura, de belleza puede abandonarnos tan pronto? ¿Cómo el destino truncó
los sentimientos y las expectativas de todos nosotros que la apreciamos tanto
como colegas, compañeros y amigos y que la queríamos con nosotros por mucho
tiempo más? Pero así es la vida.
Ucrania la vio nacer, en una pequeña comunidad, su estudios escolares y
secundarios: en Konotop; sus superiores en la Universidad Estatal de Jarkov y,
luego, en la Universidad Estatal de Rostov-na-Donu, Federación Rusa, donde
obtuvo su Ph. D. en Física y Matemática.
De Ucrania a Costa Rica, cruzando tierras y océanos, de la mano de Olman, Elena se
integró a otra pequeña comunidad, en la Escuela de Matemática de la Universidad
de Costa Rica. Durante años, desde 1991, en
los más variados cursos, desde geometría,
algebra lineal, o cálculo, en grado, pregrado,
en matemáticas o ingeniería, centenares de
estudiantes se vieron beneiciados por una
profesora que no solo dominaba su disciplina,
sino que los recibía con rostro apacible y
dulce, con un trato cordial, amable. Incluso,
hace unos días, en la Universidad Nacional,
donde Elena brindaba su presencia desde
hace poco tiempo, de nuevo se recogía la
opinión unánime: la mejor profesora que
habían tenido.
A su calidad y calor en sus lecciones, se
unió su dedicación a la investigación. Las
“supericies” cautivaron su espíritu, ellas
fueron convexas a trozos, o no regulares, y su
foco más reciente sobre ellas en la teoría de
Elena Chkryl. (Noviembre 2006 XXI) sinposio Costarricense sobre matematicas, siencia
y sociedad. San Ramón de Alajuela
1
Este obituario fue escrito por Angel Ruiz, en el 2008, por petición de la Comisión Asesora y la Dirección de la
Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 175-191.
Costa Rica
220
Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica
las deformaciones isométricas ininitesimales. Aportó con todas sus calidades en
el Centro de Investigación en Matemática Pura y Aplicada y en los últimos años
en el Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas.
En las reuniones, de cátedra, en las asambleas, en el consejo cientíico, hasta
en las iestas, siempre era callada, tímida, pero cuando tenía que hablar lo hacía
con toda propiedad y con la gentileza de siempre. Su bella sonrisa y sus ojos
profundos decían más que sus palabras. Tener a Elena como colega y como amiga
siempre fue una bendición.
La pronta partida de Elena nos ha dejado a todos desconcertados, la tristeza nos
invade, y también no podemos evitar, de nuevo, esa sensación de injusticia que
nos sobrecoge. Pero, también, todos los que la conocimos solo podemos estar
agradecidos con la vida por haber tenido la dicha de haberla tenido con nosotros
todos estos años.
LA ESCuELA DE MATEMÁTICA DE LA unIVERSIDAD DE
1
CoSTA RICA: balance y perspectivas
Angel Ruiz
Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas,
Universidad de Costa Rica.
Escuelas de Matemática de la Universidad de Costa Rica y la
Universidad Nacional
http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz
angelruizz@racsa.co.cr
Hugo Barrantes Campos
Centro de Investigación de Matemáticas y Metamatemáticas,
Universidad de Costa Rica
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal
a Distancia
habarrant@cariari.ucr.ac.cr, hbarrantes@uned.ac.cr
Pilar Campos Bejarano
Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica
Resumen
Este documento constituye el establecimiento de un balance y el trazado
de las perspectivas de la Escuela de Matemática de la Universidad de
Costa Rica (UCR), realizado por 3 académicos de esa dependencia en el
año 1993. El mismo sintetiza las etapas de las matemáticas en el marco
institucional de la UCR, antes y después de la Reforma de Rodrigo Facio, la creación de la Escuela de Matemática. Identiica dos de los grandes “vectores” ideológicos que determinaron mucho de la vida de esa
escuela, y establece algunas perspectivas que los autores en ese momento
pensaban podía tener el derrotero de la misma en los años venideros:
unos 15 años atrás.
Palabras clave
Matemáticas, Enseñanza, Historia de la Matemática, Universidad, Costa
Rica.
Abstract
This document develops a historical account and the tracing of the perspectives of the School of Mathematics of the University of Costa Rica
(UCR), writen in the year 1993 by 3 members of this dependency. The
1
Este documento constituye el último capítulo del libro La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa
Rica, editado por A. Ruiz, escrito por P. Campos, H. Barrantes y A. Ruiz, y publicado en el año 1993.
222
Angel Ruiz - Hugo Barrantes Campos - Pilar Campos Bejarano
same one synthesizes the stages of the mathematics within the institutional frame of the UCR, before and after the Reform of Rodrigo
Facio, and the creation of the School of Mathematics. It identiies two
of the main ideological “vectors” that determined much of the life of
this School, and establishes some perspectives that the authors at that
moment believed could be accomplished during the following years:
approximately 15 years behind.
Key words
Mathematics, Teaching, History of Mathematics, University, Costa
Rica.
Antes de la Escuela
Antes de la creación de la Universidad de Costa Rica la enseñanza de las
matemáticas se desarrolló esencialmente en los colegios y en la Escuela Normal
aunque algunas personas, de manera autodidacta, realizaron estudios más
avanzados, ya fuera como complemento a su formación profesional en el exterior
o por simple gusto. En el período de 1940 a 1957, las matemáticas estuvieron
asociadas a las Escuelas y Facultades de la joven Universidad de Costa Rica que
así lo necesitaban: Ingeniería, Ciencias y Ciencias Económicas y Sociales. En ese
primer momento, la nueva institución constituía prácticamente una federación de
facultades profesionales y no una unidad estructurada y con patrones académicos
homogéneos; por lo que, aparte de la debilidad que en Costa Rica esta disciplina
tenía de por sí, era totalmente natural la subordinación que las matemáticas
exhibían entonces.
Los mayores niveles académicos y la profundidad de los temas dependía de
las necesidades de las formaciones dadas por estas facultades; en la Facultad
de Ciencias el nivel era más bajo que en las otras, Ingeniería tenía el más alto
aunque Ciencias Económicas y Sociales tenía profesores de matemáticas con una
formación especial como don José Joaquín Trejos Fernández y don Bernardo
Alfaro Sagot.
El momento decisivo para la Universidad de Costa Rica y las matemáticas
universitarias lo constituyó la Reforma de Facio y la creación del Departamento de
Física y Matemáticas en 1957. No está claro por qué se decidió unir matemáticas
y física en un departamento y no, por ejemplo, física y química; algunas personas
airman que fue algo fortuito casi accidental, otras que fue la inluencia de
Bernardo Alfaro que desde sus años como profesor en el Liceo de Costa Rica había
fomentado una relación muy estrecha entre física y matemáticas. Lo cierto es que
La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas 223
esta decisión marcó el destino de las matemáticas por muchos años. Durante estos
años, al son de toda la universidad, se fortalecieron las disciplinas académicas
como tales de manera autónoma de las viejas facultades: una poderosa Facultad
de Ciencias y Letras era la unidad ejecutora de esta política. Allí crecieron las
matemáticas las carreras se desarrollaron los profesores extranjeros nutrieron
su progreso, los estudiantes se motivaron para estudiar en el extranjero, y en
poco tiempo empezaron los graduados en el Profesorado y unos cuantos en la
Licenciatura en Física y Matemáticas. Las matemáticas y la física se fortalecieron
y en unos diez años se crearon condiciones para que funcionaran por separado.
Entre 1957 y 1971, el desarrollo de las matemáticas fuera de las facultades
profesionales fue esencial para que se deinieran sus perspectivas propias; si se
hubiera mantenido la subordinación a estas facultades se habría impedido su
progreso cientíico y también la calidad de las matemáticas recibidas por esas
mismas facultades. No obstante, este desprendimiento, históricamente necesario y
adecuado, junto con otros factores, abonó un distanciamiento de las matemáticas
con relación a aquellas facultades y -además- con lo que creemos son fuentes
especiales para la misma construcción matemática.
El Departamento y la Escuela de Matemática
La creación del Departamento de Matemáticas fue consecuencia natural
de la evolución positiva de las fuerzas académicas creadas dentro del viejo
Departamento de Física y Matemáticas. Esta nueva unidad, que por razones
universitarias globales se llamaría Escuela, ha constituido el marco en el que se
ha formado la mayoría de matemáticos y profesores de matemáticas del país.
Entre 1972 y 1993, se formó un grupo muy grande de profesionales en matemáticas
y su enseñanza, varias personas terminaron sus posgrados dentro y fuera de
Costa Rica se han realizado investigaciones de diferentes tipos, se han publicado
múltiples artículos académicos y libros dentro y fuera del país, y también varios
congresos y seminarios fueron organizados. De manera constante esta escuela ha
atendido con mayor o menor éxito las necesidades matemáticas que requerían las
diferentes escuelas y facultades de la Universidad de Costa Rica.
En veinte años esta unidad académica se convirtió en la más grande de la Facultad
de Ciencias Básicas de la Universidad de Costa Rica en términos de su número
de profesores y de su presupuesto, y en una de las más grandes de la Universidad
de Costa Rica.
De las matemáticas que se daban en los colegios y en la Escuela Normal antes
de 1940 a la actualidad se ha dado un salto cualitativo hacia adelante. El país
ahora cuenta con una unidad especializada en las matemáticas (sin mencionar en
esta oportunidad las que existen en la Universidad Nacional, en la Universidad
224
Angel Ruiz - Hugo Barrantes Campos - Pilar Campos Bejarano
Estatal a Distancia y en el Instituto Tecnológico), con Matemáticos formados en
varias partes del mundo, una larga trayectoria de profesionales que realizaron sus
estudios de licenciatura en el país, logrando una formación de una calidad que,
en alguna medida, se ha podido contrastar con el éxito de los estudiantes que
obtuvieron su posgrado fuera del país.
En los años noventa la Universidad de Costa Rica deberá evaluar el signiicado
de los acuerdos de aquel Tercer Congreso Universitario, que despertó tantas
ilusiones como mitos y que, esperamos, la realidad histórica se encargue de ir
desnudando. Un balance de la Escuela de Matemática deberá incluir también esa
evolución del conjunto de la institución con las premisas que se deinieron hace
20 años. Nuestra apreciación general con relación a las matemáticas es: entre lo
que existía en 1972 y lo que hoy tenemos se ha dado un formidable progreso en
términos de recursos humanos y materiales y de “espacio” institucional aunque,
también, muchas oportunidades para un mejor avances se desperdiciaron y, en
algunas partes de la vida académica de esta Escuela se generaron obstáculos y
limitaciones muy difíciles de superar.
Vectores ideológicos
En la historia de la Escuela de Matemática muchos factores han participado.
La situación general de la universidad y del país han condicionado algunas
dimensiones de la misma, pero varias otras han sido el producto de la evolución
propia de una comunidad de personas con características particulares, creando un
contexto colectivo que ha sido -en alguna medida- un mundo en sí mismo.
De manera global, los años setenta estuvieron determinados por el funcionamiento
independiente de esta unidad académica y por las deiniciones programáticas,
ideológicas, políticas y personales que se hicieron entonces. La isonomía
básica de la Escuela fue hecha en esos primeros años aunque, por supuesto, a
partir del marco académico establecido por las personas y las ideas que habían
en los años anteriores. La reforma curricular, el tipo de los cursos, las ideas, la
“mística” matemática, las expectativas, todo se deinió en esos primeros años. Y
ahí también llegaron los estudiantes y empezaron a formarse los profesionales
que luego constituirían la mayoría de su claustro. Los siguientes años cambiaron
muchas cosas, pero no la isonomía que se le dio en esa década. Esta década vio
un crecimiento cuantitativo en estudiantes y graduados, y no sólo era porque
“Computación” formaba parte de la Escuela sino, también, porque se había abierto
un espacio académico y laboral y porque existía- por varias razones- una actitud
beligerante para crecer y ocupar posiciones en la comunidad universitaria.
La historia de la Escuela de Matemática no se podría entender bien si no se
plantean dos de las características que más penetraron en esta unidad académica
que fueron, si se quiere, ideológicas: por un lado, el predominio de una visión de
La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas 225
las matemáticas que favorecía los aspectos abstractos y puros en detrimento de los
concretos, aplicados y heurísticos, una ilosofía que sin tapujos subestimaba otras
disciplinas académicas y, dentro de las matemáticas, lo hacía con las aplicaciones
y la enseñanza de las mismas. Tanto los estudiantes de computación como los
de enseñanza de las matemáticas en alguna ocasión sintieron que sus carreras
no eran del orden de importancia que tenía las matemáticas puras (en muchos
casos, a pesar de estas subestimaciones, las propias visiones y apreciaciones
sobre las matemáticas que ellos desarrollaron en esta situación fueron siempre
desvirtuadas). La otra dimensión ideológica tenía un carácter político práctico. Al
compás del ascenso en la universidad de grupos de izquierda en los setenta, esta
escuela se vio altamente inluenciada por éstos y, más que eso, por un proceso
de politización excesiva que desvirtuó la actividad académica de la escuela en
función de cálculos políticos así como engendró, con el correr del tiempo, un
nivel elevado de fraccionamiento en grupos de personas que se enfrentaron
durante muchos años.
Ambos vectores” ideológicos” fueron beligerantes y despertaron acciones y
pasiones en esta pequeña comunidad académica. Sin embargo, por razones
históricas muy deinidas, lo que más inluencia tuvo en la mayor parte de esta
década fue esa visión intelectual de las matemáticas que –sociológicamentepretendía sustentar una identidad y una mística particular dentro de la comunidad
de profesores y estudiantes que se desarrollaba en esos años.
La década de los ochenta vio un crecimiento aun mayor del profesorado de la
Escuela. Esta vez la reforma general de los llamados “troncos comunes” en toda la
universidad motivó un drástico cambio de los cursos de servicio en la Escuela de
Matemática. Siguieron graduándose estudiantes en matemática y enseñanza pero
ya “computación” se había embarcado hacia otro horizonte. Varios intentos por
abrir carreras orientadas hacia la aplicación se dieron, pero fueron infructuosos.
Se dieron dos congresos nacionales de matemáticas y varios diversos seminarios
tuvieron lugar. La Maestría arrancó con muchas expectativas, pero en menos de
diez años se fue asixiando, en parte debido a los problemas que se derivaron de
los fraccionamientos y la politización iniciada en los años previos. Si en la década
anterior pesó más la ideología “purista”, en los ochenta pesó la confrontación. Las
tres cuartas partes de esta década vivieron un ambiente tenso de enfrentamiento
sectario en las Asambleas y en los pasillos, situación de la que no se escapaban
los estudiantes cuya vida estaba inluenciada decisivamente por este contexto.
Durante años, una importante parte de los esfuerzos de este grupo humano así
fracturado fue destinada a la organización y desarrollo de los enfrentamientos,
descuidando en una medida muy importante las dimensiones básicas de la
Academia: la investigación, la acción social y la docencia de calidad. Ya a inales
de esa década, el grado y la persistencia de la confrontación disminuyeron, pero
todos esos años dejaron un saldo negativo. Muchos estudiantes se alejaron de esta
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Angel Ruiz - Hugo Barrantes Campos - Pilar Campos Bejarano
Escuela agobiados por esas circunstancias, algunos profesores se refugiaron en
su actividad académica individual formando nichos de casi nula comunicación
con el resto de la Escuela, algunos buscaron vías de ascenso en la administración
universitaria para distanciarse, otros se encerraron en su rutinas cotidianas sin
aportar una gota de sudor más que el que estrictamente les tocaba dar y, en
general, muchas posibilidades se dejaron escapar y otras responsabilidades fueron
imposibles de cumplir. Lo más grave tal vez fue el debilitamiento de una iniciativa
institucional y colectiva como Escuela que permitiese abordar exitosamente esas
posibilidades y esas responsabilidades.
Desarrollos académicos
A inales de los ochenta la declinación del enfrentamiento ayudó a propiciar la
emersión de proyectos de investigación, publicaciones y algunos intentos por
hacer de los asuntos estrictamente académicos una preocupación más importante.
No obstante, en los años noventa, tal vez debamos decir que más que una Escuela
de Matemática encontramos “varias” que coexisten -como vidas paralelas- donde
todavía permanecen autónoma y aisladamente varios grupos de profesores; y
aunque las líneas de deinición y estructuración de los mismos no se miden ya por
las razones políticas o ideológicas de antes, sin embargo, la experiencia anterior,
los lazos establecidos y los agrupamientos que se dieron en esos años, acercaron,
ligaron, o alejaron a personas con inquietudes y visiones particulares de la vida,
constituyendo esta historia una variable decisiva en la coniguración de los grupos
humanos que hoy existen.
Conviene concluir con la reseña de algunos de los asuntos más importantes que
esta unidad académica tiene en frente. Un primer asunto, la forma de entender
las matemáticas y de “hacer matemática” que impulsó el cuerpo docente de los
primeros años de esta unidad académica, quedó grabado en la mente de los primeros
estudiantes de sus carreras y así ha sido trasmitida a las siguientes generaciones
de graduados. Este es un asunto complejo que ha sido común a varias partes
del mundo y que desde los años ochenta, especialmente en la Enseñanza de las
matemáticas se ha abordado por parte de la comunidad académica internacional
con una perspectiva intelectual muy prometedora. Favorecer una visión distinta
más equilibrada e históricamente pertinente es una tarea de primer orden.
Por otra parte, es conveniente señalar que, a pesar de su magnitud y de las muchas
actividades que se han dado en esta primera etapa histórica, el grueso de su
actividad académica ha estado centrado en brindar apoyo docente, a través de
los cursos de servicio, a otras carreras. Los espacios destinados al posgrado y a
la investigación han sido relativamente pequeños y no corresponden al volumen
de profesores que la Escuela posee. El posgrado ha sufrido diferentes tropiezos
que se han relejado en su escasa graduación y en la poco estimulante decisión
La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas 227
por CONARE de congelarlo; no es sino hasta 1993 en que el mismo se ha
reactivado formalmente. Por su parte, la investigación en esta unidad académica
no ha sido muy voluminosa, aunque se nota un progreso positivo, en los últimos
años especialmente, por una parte, a partir de la formación de algunos grupos
de investigación que han logrado permanecer activos durante un buen tiempo
y que han obtenido buenos frutos de su trabajo y, por otra, mediante el éxito de
las investigaciones individuales ya consolidadas. La debilidad que esta Escuela
exhibe en estos campos no es exclusiva de la misma y, más bien, es un serio
problema de toda la universidad. No sólo se trata de destinar globalmente más
recursos al posgrado y a la investigación si no de deinir estrategias adecuadas
de desarrollo, donde la calidad de los estándares académicos internacionales
constituye un rasero decisivo al igual que sucede con la participación en los
planes de solución de problemas nacionales.
Enseñanza de las Matemáticas
Otro asunto central: por más que durante varios años se ha hablado de la importancia
de la enseñanza de las matemáticas en el país y de la búsqueda de vías de solución,
la realidad es que un verdadero compromiso no ha sido nunca asumido. No ha sido
suiciente el impacto que esta Escuela ha tenido en la formación de profesionales
en el campo de la enseñanza de la matemática en la capacitación de docentes en
servicio y en la activa colaboración con las autoridades educativas del país para
velar por los programas de estudio. El número de graduados que esta Escuela
y el país produce anualmente en este campo es muy insuiciente tanto que, ni
en concurso con la Universidad Nacional, ha podido llenar los requerimientos
nacionales; lo que llevó a un plan (iniciado en 1992) de formación de profesores
para la enseñanza media en el que también participa la Universidad Estatal a
Distancia y la Universidad Nacional. En esta “ausencia de compromiso” han
pesado muchas cosas, como la misma prepotencia del matemático puro o la del
especialista que -incluso hoy en día- llega a negar responsabilidad y deberes a la
universidad en los asuntos de la educación secundaria, o como la incapacidad para
trazar planes de largo plazo y dedicar presupuesto y realizar acciones efectivas
no meramente verbales para afrontar esta situación, como -simplemente- la
mediocridad académica de no abordar con seriedad, rigor, y permanencia estos
asuntos tan importantes. Es cierto que la problemática de la enseñanza de las
matemáticas es un asunto complejo, en la que tienen responsabilidades muchas
instituciones y en el que pesan los límites que establece el contexto nacional y,
en particular, el decaimiento general de la educación y del estatus del docente en
todos los niveles, pero también es cierto que una comprensión, una actitud y una
acción apropiadas por parte de la Escuela de Matemática habrían coadyuvado en
la búsqueda efectiva de soluciones.
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Angel Ruiz - Hugo Barrantes Campos - Pilar Campos Bejarano
En esta temática es necesario tener en cuenta la perspectiva histórica más
general. Antes de la Reforma de Facio las matemáticas estaban subordinadas
a varias facultades y entre 1957y 1971 se independizaron para esencialmente
formar profesores de segunda enseñanza. El énfasis en los años “setenta” con
la motivación de ideas y profesores de la década anterior, fue dado a la creación
de un espacio de matemáticas no destinado esencialmente a la formación de
profesores de segunda enseñanza sino a las matemáticas superiores. Con este
énfasis se fortalecía un espacio de matemáticas Pero a expensas del que la
enseñanza para secundaria podría tener. Es esto lo que se empieza a codiicar
con el cierre del profesorado en 1973, a pesar de la apertura del Bachillerato
y la Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas. Independientemente de las
ideas” puristas” o no que los protagonistas de esta época tuvieran, la realidad
es que profesional y sociológicamente estaban buscando este fortalecimiento
y su espacio propio; deinido por sus ideas especíicas, sus propios intereses
temáticos o por la formación particular que recibieron en el extranjero, así se
ha conigurado el espacio de las matemáticas superiores en el país. Correcto o
equivocadamente, con calidad o mediocridad, el devenir de este espacio se puede
radiograiar en los temas, publicaciones, tesis dirigidas y demás actividades y
resultados que hemos someramente mencionado en esta reseña. Ahora bien,
dejemos clara nuestra opinión: la creación de un ancho espacio de matemáticas
superiores era necesario históricamente; si se hubiera puesto el énfasis solamente
en la formación de profesores de secundaria durante todos estos años se habrían
cortado las posibilidades de progreso académico y cientíico en la perspectiva
más amplia de esta disciplina. Sin embargo, lo importante a decir aquí es que por
la forma y la ideología con las que este grupo de profesionales creó su espacio, la
enseñanza de las matemáticas no ha tenido la atención para generar cuantitativa y
cualitativamente los profesionales en enseñanza de las matemáticas que demanda
la educación nacional en todos los niveles (incluyendo el universitario). La
misma carrera de enseñanza que existe no es más que un embutido de cursos
de matemáticas y didáctica que no llenan el peril sólido de una carrera bien
conigurada y deinida. Los cursos de matemáticas han estado enseñados por
personas con la formación, los planes, los métodos y las actitudes creadas por los
matemáticos puros; los cursos de educación, por otro lado, han sido impartidos
por personas que -salvo excepciones- poco saben de matemáticas. Los nuevos
planes de enseñanza de las matemáticas que se aprobaron en 1992 no logran
escapar de estas diicultades. Esto no se sostiene ya. Puesto de otra manera, ahora
es la enseñanza de las matemáticas la que reclama históricamente un espacio
académico propio con sus profesionales, sus objetivos, sus ines, sus métodos, sus
programas y sus planes independientes del espacio académico de los matemáticos.
En el futuro se deberá buscar los mecanismos para crear un proyecto institucional
continuado y permanente, como parte de una estrategia multiinstitucional y
nacional para abordar esta problemática con toda seriedad.
La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas 229
Perspectivas
Las dos variables “ideológicas” que determinaron la historia de la Escuela de
Matemática durante dos décadas atrasaron en diferente medida un mejor progreso
de las matemáticas superiores y la enseñanza de las matemáticas en el país. La
calidad de la producción académica que hayan logrado o puedan lograr algunas
personas o grupos de esta comunidad no podrá ocultar esa realidad. Superar las
fracturas y las divisiones que dominaron esta Escuela durante los años ochenta es
muy difícil; lo que supone la casi imposibilidad de poseer políticas institucionales
sólidamente respaldadas más allá de lo rutinario y cotidiano. Tal vez habrá que
esperar a que exista una composición humana diferente y se pensione una buena
parte de quienes hoy en día forman esta unidad académica (lo que tomaría unos
15 años). Históricamente, sin embargo, al margen de quienes hoy componen esta
unidad académica, las matemáticas superiores y la enseñanza de las matemáticas
en el país requieren redeiniciones sobre su misión académica y profesional, de sus
objetivos y sus métodos de cara al siglo XXI y requiere, también, la concertación
de acciones colectivas e individuales planteadas en el corto, el mediano y el largo
plazo. Está por verse si la realización de estos objetivos se podrá hacer antes de
que acabe el siglo o el país tendrá que esperar mucho tiempo más.