Torsion

Universidad Tecnológica de Panamá RESISTENCIA DE MATERIALES I TORSION II-Semestre Contenido Introducción Ejes Estáticamente Indeterminados Carga Torsional en Ejes Circulares Ejemplo Torque Neto debido a Esfuerzos Internos Diseño de Ejes de Transmisión Componentes de Cortante Axial Concentración de Esfuerzos Deformaciones de un Eje Deformación Cortante Esfuerzos en el Rango Elástico Esfuerzos Normal Modos de Falla Torsionales Ejemplo Ángulo de Torsión en el Rango Elástico 1 Introducción • Nos interesa los esfuerzos y deformaciones de ejes circulares sujetos a pares de torsión o torques. • La Turbina ejerce un torque T en el eje • El eje transmite el torque al generador • El generador crea un torque T ’ igual y opuesto Torque Neto debido a Esfuerzos Internos • El efecto neto de los esfuerzos cortantes internos es un torque interno, igual y opuesto al torque aplicado, T    dF     dA Donde: T= torque; ρ=radio; τ=esf. cortante; F=fuerza. • Aunque el torque neto debido a los esfuerzos cortantes es conocido, la distribución de esfuerzos es desconocida. • La distribución de los esfuerzos cortantes es estáticamente indeterminada – se deben considerar las deformaciones de los ejes. • A diferencia de los esfuerzos normales debido a cargas axiales, la distribución esfuerzos cortantes debido a torsión no se puede asumir como uniforme. 2 Componentes de Cortante Axial • El torque aplicado al miembro produce esfuerzos cortantes en las caras perpendiculares al eje longitudinal. • Las condiciones de equilibrio requieren la existencia de esfuerzos iguales en las caras de dos planos que contiene al eje longitudinal del miembro. • La existencia de las componentes de cortante axial es demostrada al considerar el eje hecho de duelas axiales. • Las duelas se deslizan unas con respecto a las otras cuando se aplican torques iguales y opuestos en los extremos del eje. Deformaciones de un Eje • Por observación, el ángulo de torsión del eje es proporcional al torque aplicado y a la longitud del eje.  T L • Bajo torsión, cada sección transversal de un eje circular permanece plana y sin distorsión. • La sección transversal de ejes circulares sólidos o huecos permanece plana y sin distorsión debido al carácter axisimétrico del eje circular. • La sección transversal de ejes no circulares (no axisimétricos) se distorsionan al ser sometidos a torsión. 3 Deformación Cortante • Considere la sección interior de un eje. Al aplicarse torsión el elemento en el cilindro interior se deforma en un rombo. • Debido a que los extremos del elemento permanecen planos, la deformación cortante es igual al ángulo de torsión. • Se sigue que L   o    L • La deformación cortante es proporcional a la torsión y al radio  max   c and    max L c Esfuerzos en el Rango Elástico • Multiplicando la ecuación previa por el módulo cortante, G   G max De la ley de Hooke,   G ,  J  12  c 4  c c  max Los esfuerzos cortantes varían linealmente con la posición radial en la sección. • Recordando que la suma de los momentos de la distribución de esfuerzos interna es igual al torque en el eje en esa sección,  J  12  c24  c14    T    dA  max   2 dA  max J c c • El resultado se conoce como las fórmulas de torsión elástica,  max  Tc T and   J J 4 Esfuerzos Normales • Los elementos con caras paralelas y perpendiculares al eje del miembro están sujetos solamente a esfuerzos cortantes. Esfuerzos normales, esfuerzos cortantes o una combinación de ambos se pueden encontrar en otras orientaciones. • Considere un elemento a 45o del eje long., F  2 max A0 cos 45   max A0 2  45o  F  max A0 2    max A A0 2 • Elemento a está en cortante puro. • Elemento c está sujeto a esfuerzos de tensión en dos caras y compresión en las otras dos. • Note que todos los esfuerzos para los elementos a y c tienen la misma magnitud. Modos de Falla Torsional • Materiales dúctiles generalmente fallan en cortante. Materiales frágiles son más débiles en tensión que en cortante. • Un espécimen dúctil en torsión falla a lo largo del plano de máximo cortante, i.e., un plano perpendicular al eje del miembro. • Un espécimen frágil en torsión falla a lo largo de planos perpendiculares en dirección en la cual la tensión es máxima, i.e., a lo largo de superficies a 45o del eje del miembro. 5 Ejemplo. Problema 3.1 SOLUCIÓN: • Tome secciones en los ejes AB y BC y mediante estática determine los torques. El eje BC es hueco y tiene diámetros interior y exterior de 90 mm y 120 mm, respectivamente. Los ejes AB y CD son sólidos de diámetro d. Para la carga mostrada, determine (a) los esfuerzos cortantes máximo y mínimo en el eje BC, (b) el diámetro d requerido en los ejes AB y CD si el esfuerzo cortante permisible en estos ejes es de 65 MPa. • Aplicar las fórmulas de torsión elástica para encontrar el esfuerzo máximos y mínimo en el eje BC. • Dado el esfuerzo cortante permisible y el torque aplicado, invertir la fórmula de torsión elástica para encontrar el diámetro requerido. Ejemplo. Problema 3.1 SOLUCIÓN: • Tome secciones en los ejes AB y BC y mediante estática determine los torques.  M x  0  6 kN  m   TAB TAB  6 kN  m  TCD  M x  0  6 kN  m   14 kN  m   TBC TBC  20 kN  m 6 Ejemplo. Problema 3.1 • Aplicar las fórmulas de torsión elástica para encontrar el esfuerzo máximos y mínimo en el eje BC. J  2 • Dado el esfuerzo cortante permisible y el torque aplicado, invertir la fórmula de torsión elástica para encontrar el diámetro requerido. c24  c14   2 0.0604  0.0454   max   13.92 10 6 m 4  max   2  TBC c2 20 kN  m 0.060 m   J 13.92 10 6 m 4  86.2 MPa  min c1   max c2  min 86.2 MPa  min  64.7 MPa  45 mm 60 mm Tc Tc  J  c4 2 3 c  38.9 10 m 65MPa  6 kN  m  c3 2 d  2c  77.8 mm  max  86.2 MPa  min  64.7 MPa Ángulo de Torsión en el Rango Elástico • Recordar que el ángulo de torsión y la deformación cortane máxima están relacionados,  max  c L • En el rango elástico, la deformación cortante y el cortante están relacionados por la ley de Hooke,  max   max G  Tc JG • Igualando las expresiones y resolviendo para el ángulo de torsión,  TL JG • Si la carga torsional o la sección transversal del eje cambia a lo largo de la longitud, el ángulo de torsión se calcula como la suma de las rotaciones de los segmentos,   Ti Li J i i Gi 7 Ejes estáticamente Indeterminados • Dados las dimensiones del eje y el torque aplicado, se desea encontrar las reacciones en A y B. • De un análisis de cuerpo libre del eje, TA  TB  90 lb  ft la cual no es suficiente para encontrar las reacciones. El problema es estaticamente indeterminado. • Dividir el eje en dos componentes que deben tener deformaciones compatibles,   1  2  TA L1 TB L2  0 J1G J 2G LJ TB  1 2 TA L2 J1 • Sustituir en la ecuación de equilibrio original, LJ TA  1 2 TA  90 lb  ft L2 J1 Ejemplo. Problema 3.4 SOLUCIÓN: • Aplicar estática en los dos ejes para encontrar la relación entre TCD y T0 . Dos ejes sólidos de acero están conectados por los engranajes mostrados. Sabiendo que G = 11.2 x 106 psi y que el esfuerzo cortante permisible es de 8 ksi, determine (a) el máximo torque T0 que se puede aplicar al extremo A del eje AB, (b) El ángulo correspondiente que rota el extremo A del eje AB. • Aplicar un análisis de cinemática para relacionar las rotaciones angulares de los engranajes. • Encontrar el máximo torque permisible en cada eje – escoger el menor. • Encontrar el ángulo de torsión correspondiente para cada eje y la rotación angular neta del extremo A. 8 Ejemplo. Problema 3.4 SOLUCIÓN: • Aplicar estática en los dos ejes para encontrar la relación entre TCD y T0 . • Aplicar un análisis de cinemática para relacionar las rotaciones angulares de los engranajes. rB B  rCC  M B  0  F 0.875in.  T0 B   M C  0  F 2.45in.  TCD TCD  2.8 T0 rC 2.45 in. C  C rB 0.875in.  B  2.8C Ejemplo. Problema 3.4 • Encontrar T0, máximo torque • Encontrar el ángulo de torsión permisible en cada eje – escoger el correspondiente para cada eje y la rotación menor. angular neta del extremo A. T 0.375in. T c  max  AB 8000 psi  0  0.375in.4 J AB 2 T0  663lb  in.  max  TCD c 2.8 T0 0.5 in. 8000 psi   0.5 in.4 J CD T0  561lb  in. 2 T0  561lb  in A/ B  561lb  in. 24 in . TAB L  J ABG  0.375 in. 4 11.2  106 psi 2   0.387 rad  2.22 TCD L 2.8 561lb  in. 24 in .  J CD G  0.5 in. 4 11.2  106 psi 2 o C / D    0.514 rad  2.95o      B  2.8C  2.8 2.95o  8.26o  A   B   A / B  8.26  2.22o o  A  10.48o 9 Diseño de Ejes de Transmisión • Las principales especificaciones de desempeño de los ejes de transmisión son: - potencia - velocidad • El diseñador debe seleccionar el material del eje y la sección transversal para cumplir con las especificaciones sin exceder el esfuerzo cortante permisible. • Determinar el torque aplicado al eje a una potencia y velocidad especificada, P  T  2fT T  P  P 2f • Encontrar la sección transversal del eje de manera que no se exceda el esfuerzo cortante permisible,  max  Tc J T J  3  c   max c 2   ejes sólidos  T  4 4 J c2  c1    max c2 2c2 ejes huecos  Concentración de esfuerzos • La derivación de la fórmula de torsión,  max  Tc J asumen un eje circular con sección transversal uniforme cargado a través de placas rígidas. • El uso de acopladores de brida, engranajes y poleas conectadas al eje por cuñas, y discontinuidades en la sección transversal puede causar concentración de esfuerzos • El factor de concentración de esfuerzos determinado experimental o numéricamente se aplica como,  max  K Tc J 10