GUÍA

UNIVERSIDAD DON BOSCO Facultad: Ingeniería Departamento: Ciencias Básicas GUÍA DE EJERCICIOS 2 UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Estadística I (Ing) Ciclo 01-2017 Contenidos Nociones básicas de probabilidad. Axiomas de probabilidad, Resultados igualmente probables, Probabilidad condicional, Regla multiplicativa, Teorema de Bayes, Sucesos independientes. Objetivos Que el estudiante:  Calcule probabilidades de combinación de sucesos.  Compare eventos dependientes e independientes.  Resuelva problemas utilizando el Teorema de Bayes. Ejercicios Propuestos 1. Si se sabe que P(A) = 2/3, P(B) = 2/5 y P(A  B) = 5/6. Calcular: a) P(Ac) b) P(Bc) d) P(Ac  Bc) e)P (Ac  Bc) g) P(Ac  B) h) P(Ac  B) c) P(A  B) f) P(A  Bc) 2. Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo con el acabado de la superficie (en micropulgadas) y con las mediciones de longitud. A continuación se resumen los resultados obtenidos de 100 muestras. Acabado de la superficie excelente bueno Longitud excelente bueno 75 7 10 8 Sean los eventos A: La muestra tiene acabado excelente y B: La muestra tiene la longitud excelente. Determine las siguientes probabilidades: d) P(A  B) e) P(A  B) f) P(Ac  B) g) P(A│B) h) P(B│A) 3. Un dado-octaedro (de ocho caras) tiene el número 1 pintado en dos de sus caras, el 2 en tres de sus caras, el 3 en dos de sus caras y el 4 en una cara. Se lanza el dado. Suponga que cada cara tiene la misma probabilidad de salir. a) Determine el espacio muestral de este experimento. b) Determine P(número par). Página 1 a) P(A) b) P(B) c) P(Ac) GUÍA DE EJERCICIOS 2 | ESTADÍSTICA I (ING) CICLO 01/2017 c) Si el dado estuviera cargado de tal forma que la cara con el número 4 tuviera el doble de probabilidad de salir que cada una de las otras siete caras, ¿cambiaría esto al espacio muestral? Explique. d) Si el dado estuviera cargado de manera que la cara con el número 4 tuviera el doble de probabilidad de salir que cada una de las otras siete caras, ¿cambiaría esto el valor de P(número par)?¿Cuál sería su nuevo valor? Explique. 4. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia? R// 0.58 5. En una ciudad se publican 3 periódicos A, B y C. Realizada una encuesta, se estima que: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 4% lee B y C; mientras que 2% lee los tres. a) ¿Qué porcentaje lee al menos uno de estos periódicos? b) ¿Qué porcentaje lee únicamente el periódico B? c) ¿Qué porcentaje no lee ninguno de los 3 periódicos? R// a) 35%; b) 6%; c) 65% 6. Una empresa farmacéutica llevó a cabo un estudio para evaluar el efecto de una medicina para el alivio de alergias. Para tal estudio se seleccionaron 250 pacientes quienes presentaban síntomas que incluían ojos irritados y trastornos epidérmicos. Estos 250 pacientes recibieron el nuevo medicamento. Los resultados del estudio son como sigue: 90 de los pacientes tratados experimentaron mejora total en los ojos, 135 se curaron de su afección cutánea y 45 experimentaron tanto alivio total en los ojos y curación total en la piel. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que toma el medicamento experimente alivio en uno de los dos síntomas o en ambos? 7. La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos. La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No Sí No 345 12 5 8 Página 2 a) Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requerimientos de acabado o con los de curvatura? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado y curvatura? 8. Continuando con el ejercicio anterior, si además, las flechas se clasifican en términos de la máquina herramienta utilizada en su fabricación. GUÍA DE EJERCICIOS 2 | ESTADÍSTICA I (ING) CICLO 01/2017 Máquina Herramienta 1 La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No Sí 200 1 No 4 2 Máquina Herramienta 2 La curvatura cumple con los requerimientos El acabado superficial cumple con los requerimientos Sí No Sí 145 4 No 8 6 a) *Si se elige una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o con los de curvatura, o que provenga de la máquina herramienta 1? b) Si se escoge una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o que no cumpla con los de curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2? c) Si se elige una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado y curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2? d) Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado o que provenga de la máquina herramienta 2? 9. Si 2/3 de los alumnos de la Universidad son menores de 25 años; mientras que 5/8 son mujeres o personas de 25 años o más edad y 3/5 son hombres. ¿Cuál es la probabilidad que al visitar la Universidad, el primer alumno que se encuentre sea mujer de cuando menos 25 años de edad? 10. Se lanza una moneda tres veces. Encontrar la probabilidad de: a) Obtener tres caras b) Obtener menos de dos caras 11. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma entre ocho y diez inclusive, cuando se lanza un par de dados? 12. En una habitación se encuentran: 8 hombres mayores de 25 años, 7 hombres de 25 años o menos, 10 mujeres mayores de 25 años y 5 mujeres de 25 o menos años. Se elige una persona al azar. Se definen los sucesos: A = La persona es mayor de 25 años M = La persona es mujer Determinar: a) P(Ac  Mc) b) P(A  M)c Página 3 13. Una persona ha comprado 40 billetes de lotería de 100 números. Si la lotería consta de tres premios: a) ¿Cuál es la probabilidad que no gane ninguno? b) ¿Cuál es la probabilidad que gane sólo uno? c) ¿Cuál es la probabilidad que gane al menos uno? GUÍA DE EJERCICIOS 2 | ESTADÍSTICA I (ING) CICLO 01/2017 14. De una urna que contiene diez esferas numeradas del 0 al 9, se extraen cinco, una después de la otra y sin reposición. Si la primera bolita extraída constituye la primera cifra de la izquierda y así sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de formar un número de cinco cifras significativas y a) que sea par? b) que empiece en par y termine en número primo? c) que sea mayor que cincuenta y seis mil? 15. *Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: a) cuatro ases b) al menos un as 16. Una urna contiene diez bolitas numeradas del 0 al 9. Se extraen cinco, una después de la otra y sin reposición. Si la última bolita corresponde a un número impar, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bolita extraída haya correspondido a un número par distinto de cero y la tercera haya correspondido a un número primo? 17. Un sistema puede experimentar tres tipos diferentes de defectos. Sea Ai (i =1, 2, 3) el evento en que el sistema tiene un defecto de tipo i. Suponga que: P(A1)= 0.12 P(A2) =0.07 P(A1 A2) = 0.13 P(A1 P(A2 A3) = 0.10 P(A1 P(A3) =0.05 A3) =0.14 A2 A3) _ 0.01 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no tenga un defecto de tipo 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga tanto defectos de tipo 1 como de tipo 2? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga tanto defectos de tipo 1 como de tipo 2 pero no de tipo 3? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga a lo sumo dos de estos defectos? Página 4 18. Se sabe que el 46% de la población adulta lee un periódico matutino, el 20% lee un periódico vespertino, mientras que el 14% lee un matutino y un vespertino. Si se encuentra una persona adulta en la calle: a) ¿Cuál es la probabilidad que lee el periódico matutino, si se sabe que lee un vespertino? b) Si lee un matutino, ¿cuál es la probabilidad que no lea un vespertino? c) ¿Cuál es la probabilidad que no lea un matutino ni un vespertino? 19. La probabilidad de que un proyecto se inicia a tiempo es de 0.80, que se termine en el tiempo señalado es de 0.60. La probabilidad de que se inicie y termine a tiempo es de 0.50. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) se termine en la fecha señalada dado que se inició a tiempo? b) se haya iniciado a tiempo dado que se terminó a tiempo? 20. Las enfermedades A y B son comunes entre las personas de una región. Suponga conocido que 10% de la población contraerá la enfermedad A, 5% la enfermedad B y 2% ambas enfermedades. Encuentre la probabilidad que cualquier persona: a) contraiga al menos una enfermedad GUÍA DE EJERCICIOS 2 | ESTADÍSTICA I (ING) CICLO 01/2017 b) contraiga la enfermedad A pero no B c) contraiga la enfermedad A dado que ya contrajo B d) contraiga la enfermedad B dado que no contrajo A e) contraiga ambas enfermedades dado que ya contrajo al menos una 21. Cierto insecticida mata a la primera aplicación al 72% de los insectos; pero las que sobreviven desarrollan una gran resistencia al insecticida de tal manera que el porcentaje que muere en una aplicación posterior, es la tercera parte del porcentaje que muere en la aplicación inmediatamente anterior. Encuentre la probabilidad de que un insecto: a) Sobreviva a tres aplicaciones del insecticida b) Sobreviva a tres aplicaciones, sabiendo que sobrevivió a las dos primeras 22. En un pequeño pueblo de 900 personas, 2/3 de la población tienen empleo, mientras que 22/45 son mujeres o personas desempleadas y 5/9 son hombres. a) Encuentre la probabilidad de seleccionar un hombre que tiene empleo b) Dado que una persona está empleada, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer? c) Dado que se trata de una mujer, ¿cuál es la probabilidad que esté desempleada? R// a) 51.11% b) 23.33% c) 65% 23. En una cátedra de la Universidad Don Bosco hay 60 estudiantes, de los cuales 51 tienen los ojos castaños. Si se sabe que 10 estudiantes son mujeres con ojos castaños y también se sabe que 7 estudiantes hombres tienen los ojos azules, entonces: a) ¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar una estudiante sabiendo que tiene los ojos azules? b) ¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar un estudiante de ojos azules que sea hombre? 24. Una caja contiene cinco fichas rojas, tres amarillas y dos blancas. Si se extraen tres sin reposición, encontrar: a) La probabilidad que sean tres fichas rojas b) La probabilidad que las dos primeras sean blancas y la tercera amarilla c) La probabilidad que saque una ficha de cada color d) Dado que la primera ficha es amarilla, ¿cuál es la probabilidad que la segunda sea roja o blanca? 25. Un avión cubre diariamente el servicio entre dos ciudades. Suponemos que la probabilidad de accidente en día sin niebla es 0.002 y en día con niebla 0.01. Cierto día de un mes que hubo 18 días sin niebla y 12 con niebla se produjo un accidente. Calcular la probabilidad de que el accidente haya ocurrido: a) en día sin niebla b) en día con niebla R/ a) 3/13 b) 10/13 26. En una universidad donde solo hay alumnos de ingeniería, arquitectura y letras, terminan la carrera el 5% de ingeniería, el 10% de arquitectura y 20% de letras. Se sabe que el 20% estudian ingeniería, el 30% arquitectura y el 50% letras. Eligiendo un estudiante al azar se pide: a) Probabilidad que sea de ingeniería y haya terminado la carrera. b) Nos dice que ha terminado la carrera. Probabilidad de que sea de ingeniería. Una caja contiene 90 piezas buenas y 10 defectuosas. Sacamos 10 piezas aleatoriamente. Calcular la probabilidad que entre las diez piezas no haya ninguna defectuosa. Página 5 27. GUÍA DE EJERCICIOS 2 | ESTADÍSTICA I (ING) CICLO 01/2017 28. Un lote de 50 arandelas espaciadoras contiene 30 que son más gruesas que la dimensión requerida. Suponga que del lote se escogen tres arandelas al azar, sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres arandelas sean más gruesas que la dimensión requerida? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera arandela sea más gruesa de lo necesario si las dos primeras son más delgadas que la dimensión requerida? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera arandela sea más gruesa que la dimensión requerida? 29. Los pozos de agua perforados en Santa Ana tienen una probabilidad de 0.20 de producir. Los perforados en San Miguel tienen una probabilidad de 0.09. Se perfora un pozo en cada región. a) ¿cuál es la probabilidad de que ambos pozos produzcan? b) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno produzca? 30. Tres amigos han acordado acudir a una determinada cita. La probabilidad de cada uno de poder ir es 2/3. ¿Cuál es la probabilidad de que acudan dos amigos y falte uno? R/ 4/9 El circuito siguiente trabaja sólo si existe una trayectoria de dispositivos de funcionamiento, de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione aparece en la figura. Supóngase que los dispositivos fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo trabaje? 31. 32. Se toman muestras de espumas de proveedores y se hace una evaluación a éstas para determinar el grado con el que cumplen ciertas especificaciones. A continuación se muestran los resultados obtenidos con 126 muestras 1 2 Sean A: el evento en que la muestra es del proveedor 1; y B: el evento donde la muestra cumple las especificaciones. a) ¿Los eventos A y B son independientes? b) ¿Los eventos Ac y B son independientes? Página 6 Proveedor Cumple con los requerimientos Sí No 80 4 40 2 GUÍA DE EJERCICIOS 2 | ESTADÍSTICA I (ING) CICLO 01/2017 33. Un lote de diez componentes contiene tres que están defectuosos. Se extraen aleatoriamente dos componentes y se evalúan. Sea A el evento de que el primer componente extraído esté defectuoso y sea B el evento de que el segundo también lo esté. a) Determine P(A). b) Determine P(B|A). c) Determine P(A B). d) Determine P(Ac B). e) Determine P(B). f) ¿Son A y B independientes? Explique. 34. Dentro de una caja se tienen 5 ratas negras y 3 blancas. Hay un orificio por donde solamente puede salir una después de la otra. Si las ratas empiezan a salir, encontrar la probabilidad de que: a) Las primeras 5 que salgan, sean todas negras. b) La cuarta que salga sea la última de las blancas. 35. Considere los sucesos A y B. Supóngase que P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)= 0,7 . ¿Para que valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes? ¿Para que valor de p, los eventos A y B son independientes? 36. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra? a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola. b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola. 37. repita el problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden). b) Si hay reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola c) Si no hay reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja? b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul? Página 7 38. GUÍA DE EJERCICIOS 2 | ESTADÍSTICA I (ING) CICLO 01/2017