Tugas mtk

Lingkaran Hubungan Luas Juring dengan Panjang Busur Lingkaran Perlu Anda ketahui bahwa pada lingkaran (khususnya tentang panjang busur dan luas juring), berlakuperbandingan senilai atau seharga. Ini sudah Mafia Online posting pada artikel “hubungan sudut pusat dengan panjang busur” dan “hubungan antara sudut pusat dengan luas juring”. Kemudian bagaimana hubungan antara luas juring dengan panjang busur? Apakah akan berlaku perbandingan senilai? Untuk menjawab soal tersebut coba perhatikan gambar di bawah ini. Gambar lingkaran di atas memiliki jari-jari r, panjang busur AB, dan luas juring AOB. Apa yang terjadi jika panjang busur AB diperbesar menjadi busur AB’ seperti gambar di bawah ini? Ternyata setelah panjang busur AB diperbesar menjadi busur AB’ maka luas juring AOB semakin membesar menjadi AOB’ seperti gambar di atas. Ini sesuai dengan konsep perbandingan senilai atau seharga, di mana jika panjang busur lingkaran diperbesar maka luas juring lingkaran tersebut juga ikut menjadi tambah besar, begitu juga sebaliknya jika panjang lingkaran diperkecil maka luas juring lingkaran juga akan mengecil. Sekarang bagaimana kalau panjang busur tersebut diubah menjadi keliling lingkaran? Jika panjang busur diubah menjadi keliling lingkaran maka luas juringnya menjadi luas lingkaran. Dari pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan antara panjang busur, luas juring, keliling lingkaran dan luas lingkaran yakni “luas juring per luas lingkaran sama dengan panjang busur per keliling lingkaran” Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan: Juring/Luas =  Busur/Keliling Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai hubungan panjang busur, luas juring, keliling lingkaran dan luas lingkaran. Perhatikan dengan baik-baik contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 1 Perhatikan gambar di bawah ini! Jika panjang busur AB = 4,4 cm dan r = 14 cm. Hitunglah luas juring AOB? Penyelesaian: Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari keliling dan luas lingkaran tersebut yaitu: K = 2πr K = 2 . (22/7) . (14 cm) K = 88 cm L = πr2 L = (22/7) . (14 cm)2 L = 616 cm2 Sekarang cari luas juring AOB dengan konsep perbandingan nilai yaitu: Juring AOB/Luas =  Busur/Keliling Juring AOB/616 cm2 = 4,4 cm/88 cm Juring AOB /616 cm2 = 1/20 Juring AOB = 616 cm2/20 Juring AOB = 30,8 cm2 Jadi, luas juring AOB adalah 30,8 cm2. Soal Tantangan Perhatikan gambar di bawah ini! Jika jari-jari lingkaran di atas = 35 cm dan luas juirng AOB = 770 cm2. Hitunglah panjang busur AB dan besar sudut α? Hubungan Antara Keliling dan Luas Lingkaran Untuk memahami hubungan antara keliling dengan luas lingkaran Anda harus paham dengan konsep keliling lingkaran dan luas lingkaran. Hubungan antara keliling dengan luas lingkaran cocok digunakan untuk menjawab soal-soal ulangan umum dan ujian nasional yang bentuk soalnya berupa pilihan ganda karena membutuhkan waktu yang singkat. Jika Anda mampu menguasai materi tentang hubungan keliling lingkaran dengan luasnya, Anda tidak perlu mencari jari-jari atau diameternya jika yang diketahui keliling atau luasnya saja. Bagaimana caranya? Sekarang coba simak baik-baik pembahasan berikut ini. Kita gunakan rumus keliling lingkaran dengan mencari jari-jarinya, misalkan keliling lingkaran K dan luasnya L, maka: K = 2πr => r = K/2π Sekarang substitusi persamaan jari-jari r ke rumus luas lingkaran, maka: L = πr2 L = π(K/2π)2 L = π.K2/4π2 L = K2/4π Dari persamaan hubungan antara keliling lingkaran dengan luasnya juga bisa dicari hubungan kebalikannya yaitu hubungan antara luas lingkaran dengan kelilingnya, yakni: L = K2/4π K2 = 4πL K = √(4πL) Sekarang coba perhatikan contoh soal berikut ini tentang hubungan keliling lingkaran dengan luasny atau sebaliknya. Contoh Soal 1 Hitunglah luas lingkaran jika diketahui kelilingnya 44 cm? Penyelesaian: Cara 1 K = 2πr r = K/2π r = 44 cm/2(22/7) r = 44 cm.7/44 r = 7 cm L = πr2 L = (22/7)(7 cm)2 L = (22/7).49 cm2 L = 154 cm2 Cara 2 L = K2/4π L = (44 cm)2/(4(22/7)) L = (44 cm)(44 cm)7/(4.22) L = (11 cm)(2 cm)7 L = 154 cm2   Contoh Soal 2 Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui luasnya 616 cm2? Penyelesaian: Cara 1 L = πr2 r = √(L/π) r = √(616 cm2/(22/7)) r = √(616 cm2.7/22) r = √(196 cm2) r = 14 cm K = 2(22/7) 14 cm K = 88 cm Cara 2 K = √(4πL) K = √(4(22/7)(616 cm2)) K = √(88.88 cm2) K = 88 cm   Hubungan Sudut Pusat Dengan Panjang Busur Lingkaran   Sebelum Anda mempelajari bagaimana hubungan sudut pusat lingkaran dengan panjang busur lingkaran, Anda harus mengerti terlebih dahulu apa itu sudut pusat lingkaran dan apa itu panjang busur lingkaran. Sudut pusat dan panjang busur lingkaran merupakan unsur-unsur atau bagian-bagian dari lingkaran yang sangat penting anda ketahui. Satu hal lagi yang Anda perlu ingat agar mudah memperlajari hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur lingkaran yaitu cara mencari keliling lingkaran dan konsep perbandingan senilai atau seharga. Apa hubungannya perbandingan senilai dengan materi ini? Oke nanti akan dijelaskan secara mendetail. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini! Pada gambar di atas sebuah lingkaran dengan jari-jari r memiliki sudut pusat AOB yang besarnya α (α baca: alfa) dan memiliki panjang busur garis lengukung AB. Kemudian apa yang terjadi jika sudut α diperbesar menjadi sudut β (β baca betta) seperti gambar di bawah ini? Ternyata panjang busur lingkaran menjadi besar setelah sudut pusatnya diperbesar. Nah inilah yang disebut dengan perbandingan senilai atau seharga. Di mana semakin besar sudut pusat maka semakin besar panjang busurnya, begitu juga sebaliknya semakin kecil sudut pusatnya maka semakain kecil panjang busurnya. Sekarang bagaimana kalau sudut α tersebut diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°)? Ternyata setelah sudut pusat diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°) maka panjang busur lingkaran menjadi keliling lingkaran. Nah dari pernyataan tersebut dapat diperoleh hubungan antara sudut pusat, panjang busur dengan keliling lingkaran yaitu panjang busur per keliling lingkaran sama dengan besarnya sudut pusat per sudut satu lingkaran penuh (360°). Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan: Panjang busur/keliling =  sudut pusat/360° Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai hubungan sudut pusat, panjang busur dan keliling lingkaran. Perhatikan dengan baik-baik contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 1 Perhatikan gambar di bawah ini! Jika besarnya α = 36° dan r = 14 cm. Hitunglah panjang busur AB? Penyelesaian: Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari keliling lingkaran tersebut yaitu: K = 2πr K = 2 . (22/7) . 14 cm K = 88 cm Sekarang cari panjang busur AB dengan konsep perbandingan nilai yaitu: Panjang busur/keliling =  sudut pusat/360° AB/88 cm = 36°/360° AB/88 cm = 1/10 AB = 88 cm/10 AB = 8,8 cm Jadi, panjang busur AB adalah 8,8 cm.   Contoh Soal 2 Perhatikan gambar di bawah ini! Jika panjang busur AB = 110 cm dan r = 63 cm. Hitunglah besar sudut pusat β? Penyelesaian: Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari keliling lingkaran tersebut yaitu: K = 2πr K = 2 . (22/7) . 63 cm K = 396 cm Sekarang cari besar sudut pusat β dengan konsep perbandingan nilai yaitu: Panjang busur/keliling =  sudut pusat/360° 110 cm/396 cm = β/360° β = (110 cm/396 cm). 360° β = 100° Jadi, besar sudut pusat β adalah 100°.   Soal Tantangan Perhatikan gambar di bawah ini! Jika besarnya α = 72° dan panjang busur AB = 44 cm. Hitunglah keliling lingkaran dan jari-jarinya?   Soal No. 1 Sebuah lingkaran berpusat di titik O seperti gambar berikut. Tentukan besar sudut AOB! Pembahasan Sudut AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur yang sama dengan sudut ACB yang merupakan sudut keliling. Hubungan antara sudut AOB dan sudut ACB dengan demikian adalah: ∠AOB = 2 × ∠ACB Sehingga ∠AOB = 2 × 55° = 110° Soal No. 2 Diberikan sebuah lingkaran sebagai berikut! ∠DFE besarnya adalah 70° dan ∠ DPE adalah (5x − 10)°. Tentukan nilai x. Pembahasan Variasi dari soal nomor satu dengan penggunaan sifat sudut pusat dan sudut keliling yang sama, Hubungan antara sudut DPE dan sudut DFE dengan demikian adalah: ∠DPE = 2 ∠DFE Sehingga (5x − 10)° = 2 × 70° 5x − 10 = 140 5x = 140 + 10 5x = 150 x = 150/5 = 30 Soal No. 3 Diketahui: ∠AOB = 65° Tentukan besar ∠ ACB Pembahasan Hubungan antara sudut ACB (sudut keliling) dan sudut AOB (sudut pusat): ∠ ACB = 1/2 × ∠ ACB ∠ ACB = 1/2 × 65° = 32,5° Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD. Penyelesaiannya: Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut. CD/AB = ∠COD / ∠AOB CD /14 cm = 140°/35°  CD = (140°/35°) x 14 cm CD = 4  x 14 cm CD = 56 cm Jadi panjang busur CD adalah 56 cm Contoh Soal 2 Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2. Hitunglah a. luas juring POQ; b. jari-jari lingkaran; c. luas lingkaran. Penyelesaiannya: a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini Luas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ 50 cm2/ Luas POQ = 75°/60° 50 cm2/ Luas POQ = 1,25 Luas POQ = 50 cm2/1,25 Luas POQ = 40 cm2 b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan: luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ πr2 /luas juring POQ = 360°/∠POQ πr2/40 cm2 = 360°/60° πr2/40 cm2 = 6 πr2 = 40 cm2 x 6 πr2 = 240 cm2 r2 = 240 cm2/(22/7) r = 8,74 cm c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan: luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB luas lingkaran/50 cm2  = 360°/75° luas lingkaran/50 cm2  = 4,8 luas lingkaran = 4,8 x 50 cm2   luas lingkaran = 240 cm2   atau dengan menggunakan rumus πr2, maka: πr2 = (22/7) x (8,74 cm) πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2 πr2 = 240 cm2 Contoh Soal 3 Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah a. panjang busur di hadapan sudut 30°; b. luas juring di hadapan sudut 45° Penyelesaian: a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka: panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran panjang AB/2πr = ∠AOB/360° panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360° panjang AB/125,6 cm = 1/12 panjang AB = 125,6 cm/12 panjang AB = 10,5 cm b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka: luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran luas POQ /πr2= 45°/360° luas POQ = (45°/360°) x πr2 luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2 luas POQ = 157 cm2