Université Paris 5 / UFR de Mathématiques et Informatique L3 MIA Systèmes Numériques de Communication Epreuve de contrôle continu (1h25) - 11 avril 2005 Documents et téléphones interdits. Calculatrices inutiles Il est attendu la plus grande rigueur dans la rédaction des réponses, qui devront être claires, courtes et précises à la fois. Les trois parties peuvent être abordées dans l’ordre qui vous conviendra, mais les réponses à chaque partie ne devront pas être dispersées dans la copie. Vous trouverez en annexe quelques compléments éventuellement utiles pour les exercices. Gaël Mahé, Université Paris 5 / UFR math-info, 2005. La diffusion de ce document est régie par une Licence Creative Commons 1 1 Questions de cours (7 points) 1) Quel est l’intérêt du code biphase (Manchester) par rapport au code NRZ ? 2) Dans une fibre optique, qu’est-ce que la dispersion intermodale ? En quoi limite-t-elle le débit ? Pourquoi est-elle plus faible pour les fibres à gradient d’indice que pour celles à saut d’indice ? 3) Quel est l’intérêt de la diffraction des ondes radio pour la radiodiffusion ? Pourquoi un système de radiodiffusion terrestre longue distance n’est pas envisageable aux hyperfréquences (fréquences au-delà de 10 GHz) ? 4) Donner deux intérêts de la modulation de porteuse. 5) Dessiner une constellation de modulation de phase à 8 états (MDP-8) et indiquer pour chaque symbole le mot binaire correspondant, en considérant un codage de Gray. 2 Exercices 2.1 Interférence entre symboles, débit et probabilité d’erreur (6 points) On considère une transmission 8-aire (alphabet de 8 symboles) en bande de base sur un canal bruité de bande passante B = 70 kHz. Le bruit de canal a une densité spectrale de puissance constante N 0 /2. La puissance d’émission étant fixée, le rapport (Eb /N0 )dB (énergie par élément binaire sur N0 ) est fonction du débit binaire D comme indiqué sur la figure 1 1) Combien de bits porte chaque symbole transmis ? 2) Pour annuler l’interférence entre symboles (IES), on utilise des impulsions en cosinus surélevé avec un facteur de retombée α = 0.4. La durée T de chaque symbole doit alors vérifier : 1+α ≤B 2T Exprimer le débit maximal Dmax sans IES en fonction de B et α, puis le calculer. 3) On souhaite que la probabilité d’erreur par symbole n’excède pas 10 −5 . D’après les courbes cidessous, le débit précédemment calculé permet-il d’atteindre cette performance ? Si non, – quel doit être le débit ? – permet-il une transmission sans IES ? 2 (Eb /N0 )dB 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 104 105 106 107 108 Débit binaire D (bit/s) PeS = probabilité d’erreur par symbole F IG . 1 – Rapport (Eb /N0 )dB en fonction du débit D. 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 (Eb /N0 )dB F IG . 2 – Probabilité d’erreur par symbole pour un code NRZ à symboles 8-aires. 3 2.2 Transmission binaire en bande de base (7 points) On considère une transmission binaire en bande de base sur un canal bruité de bande passante infinie. En réception, on prélève, à intervalle T = 1/D (D étant le débit binaire), une valeur z telle que : z = −A + b si un 0 a été émis z = A + b si un 1 a été émis avec A une valeur déterministe positive (dépendant de la puissance émise) et b une variable aléatoire gaussienne centrée de variance σ 2 (dépendant du bruit du canal). On suppose que le rapport signal à bruit est suffisamment fort pour que A > 2σ. La détection de la valeur binaire émise (0 ou 1) se fait de la manière suivante : – si z < −A + 2σ, alors on détecte 0 ; – si z > A − 2σ, alors on détecte 1 ; – si −A + 2σ < z < A − 2σ, alors on considère qu’il y a trop d’incertitude sur la valeur du bit émis, et on demande la ré-émission de la trame d’appartenance du bit. 1) On note P(R|0) (respectivement P(R|1)) la probabilité de demande de ré-émission conditionnellement à l’émission d’un 0 (respectivement conditionnellement à l’émission d’un 1). Montrer que ces probabilités s’expriment : P(R|0) = P(R|1) = P(2σ < b < 2A − 2σ) 2) En supposant que les valeurs 0 et 1 sont équiprobables, exprimer la probabilité de demande de ré-émission PR en fonction de P(R|0). 3) Montrer que PR = Q(2) − Q( 2A − 2), où Q est la fonction définie par : σ Z ∞ 1 2 Q:x→ √ e−z /2 dz 2π x 3 Annexe Densité de probabilité p d’une variable aléatoire gaussienne centrée de variance σ 2 :  1 z2  p(z) = √ exp − 2 2σ σ 2π Il en résulte que : ∀α, β > 0, P(α < z < β) = P(−β < z < −α) 4