Université Paris 5 / UFR de Mathématiques et Informatique L3 MIA Systèmes Numériques de Communication Epreuve de contrôle continu (1h30) - 20 mars 2006 Documents et téléphones interdits. Calculatrices inutiles Il est attendu la plus grande rigueur dans la rédaction des réponses, qui devront être claires, courtes et précises à la fois. Les trois parties peuvent être abordées dans l’ordre qui vous conviendra, mais les réponses à chaque partie ne devront pas être dispersées dans la copie. Vous trouverez en annexe quelques compléments éventuellement utiles. 1 Questions de cours (7 points) 1) Expliquez le principe du code biphase (Manchester). En le comparant au code NRZ, donnez deux avantages et un inconvénient du code biphase. (2 pt) 2) Ci-dessous sont représentés des signaux d’émissions de diverses modulations, les symboles étant séparés par des traits en pointillés. Pour chacune des modulations suivantes, indiquer, sans explication, à quelle figure elle correspond : (1,5 pt) – Modulation d’amplitude à 2 états (MDA-2) – Modulation d’amplitude à 4 états (MDA-4) – Modulation de phase à 4 états (MDP-4) t t (b) t (c) (a) F IG . 1 – Modulations. 1 3) Qu’appelle-t-on l’interférence entre symboles (IES) ? D’où provient-elle ? (1 pt) 4) Pourquoi serait-ce une très mauvaise idée de concevoir un système de radiodiffusion terrestre longue distance à la fréquence 22 GHz dans une zone où le temps alterne entre pluie et brouillard dense ? (3 raisons, 1,5 pt) 5) Quel est l’intérêt de la modulation de deux porteuses en quadrature à 4 états (MAQ-4) par rapport à la modulation d’amplitude simple à 4 états (MDA-4) ? (1 pt) 2 Exercices 2.1 Interférence entre symboles, débit et probabilité d’erreur (6 points) (Eb /N0 )dB On considère une transmission M-aire en bande de base sur un canal bruité de bande passante B = 300 kHz. Le bruit de canal a une densité spectrale de puissance constante N 0 /2. La puissance d’émission étant fixée, le rapport (Eb /N0)dB (énergie par élément binaire sur N0 ) est fonction du débit binaire D comme indiqué sur la figure 2. On utilise des impulsions en cosinus surélevé avec un facteur de retombée α = 0.2. Le débit est fixé à D = 600 kbit/s. Quelle valeur de M choisir pour transmettre sans interférence entre symboles avec la probabilité d’erreur binaire minimale ? Il est naturellement demandé une réponse argumentée, en français, faisant apparaître clairement les étapes de votre raisonnement. 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 104 105 106 107 Débit binaire D (bit/s) F IG . 2 – Rapport (Eb /N0 )dB en fonction du débit D. 2 108 PeS = probabilité d’erreur par symbole 10−1 M=16 10−2 10−3 10−4 10−5 M=8 10−6 10−7 10−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 (Eb /N0 )dB M=2 M=4 F IG . 3 – Probabilité d’erreur par symbole pour un code NRZ à symboles M-aires. 2.2 Diversité spatiale (8 points) Une des nouveautés introduites par l’UMTS (Universal Mobile Telecommunications Service) dans les communications mobiles est la possibilité de soft handover. Il s’agit pour un mobile d’utiliser pour une même communication deux stations de base correspondant à des cellules différentes, moyennant une puissance réduite sur chaque liaison. L’avantage est de s’affranchir de la dégradation éventuelle d’une des liaisons, selon l’adage “ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier”. On s’intéresse ici à la liaison descendante, du réseau vers le mobile. Celle-ci est modélisée selon le schéma de la figure 4. Le message binaire est codé en NRZ binaire avant d’être modulé et transmis. Pour avoir la même puissance totale d’émission que dans√le cas mono-canal, le bit √ 0 se traduit par a0 = −1/ 2 (au lieu de -1) et le bit 1 par a1 = 1/ 2 (au lieu de 1). Chaque canal introduit un bruit, modélisé lors de l’échantillonnage par une variable aléatoire b x (pour le 1er canal) ou by (pour le 2e), gaussienne centrée de variance σ 2 . Après démodulation, filtrage adapté et échantillonnage, on dispose donc pour chaque bit transmis de deux valeurs : x = ai + bx y = ai + by à partir desquelles doit être détecté le bit émis. 0/1 NRZ ai = ± √12 bx canal 1 x = ai + bx decision y = ai + by by canal 2 F IG . 4 – Transmission via deux canaux. 3 0/1 La décision est fondée sur la position du point M de coordonnées (x; y) dans le plan de la figure 5. Les points A0 et A1 correspondent à la transmission des bits 0 et 1 (respectivement) en l’absence de bruit de canal. y A1 √1 2 − √12 A0 √1 2 x − √12 F IG . 5 – Plan d’observation des échantillons reçus. 1) La règle de décision est celle du maximum a posteriori : P(s0 |M) > P(s1 |M) ⇒ r0 P(s1 |M) > P(s0 |M) ⇒ r1 où si désigne l’émission du bit i et ri la détection du bit i. La densité de probabilité conditionnelle d’un point M sachant si est définie par :  −A M 2  1 i exp p(M|si ) = 2πσ 2σ 2 Les bits d’émission sont équiprobables. Montrer que les zones de décision sont les demi-plans de part et d’autre de la médiatrice de [A0 A1 ] (diagonale en pointillés sur la figure), en précisant à quel valeur du bit correspond chacune. 2) Exprimer P(r1 |s0 ) et P(r0 |s1 ) à l’aide de la fonction Q définie en annexe. Indications : – L’équation de la médiatrice de [A0 A1 ] est y = −x. – b = bx + by est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance 2σ 2 . 3) En déduire la probabilité d’erreur Pe . Comparer à celle qu’on obtiendrait en utilisant uniquement le 1er canal (avec la même puissance totale d’émission) : Q(1/σ). 4) Supposons que le bruit augmente momentanément sur le 1er canal, portant la variance de b x à 3σ 2 . Dans ce cas, le taux d’erreur en utilisant ce canal seul est de Q( σ√1 3 ). Quel est celui obtenu en utilisant les deux canaux, sachant que la variance de b vaut alors 4σ 2 ? Conclure. 4 3 Annexes F IG . 6 – Densité spectrale de puissance des codes NRZ binaire (à gauche) et biphase (à droite) pour une durée symbole T . F IG . 7 – Absorption linéïque par les molécules d’eau et d’oxygène de l’atmosphère. γm(ν) ν 1+α 2T − 1+α 2T F IG . 8 – Densité spectrale de puissance d’un signal de communication NRZ M-aire à impulsions en cosinus surélevé de facteur de retombée α. 5 Probabilités Règle de Bayes : Soient A un événement et X une variable aléatoire de densité de probabilité p. Alors : P(A|x)p(x) = p(x|A)P(A) Soient une variable aléatoire Z et deux réels a et b : Z b P(a < Z < b) = p(z)dz a Densité de probabilité p d’une variable aléatoire gaussienne centrée Z de variance σ 2 :  z2  1 p(z) = √ exp − 2 2σ σ 2π Fonction d’erreur complémentaire Q : 1 Q:x→ √ 2π 6 Z x ∞ e−z 2 /2 dz