Series de Fourier

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería en Comunicación y Eléctrica Comunicaciones Analógicas Practica No.1 “Matlab con series de Fourier” Profesora: Díaz Chávez Malena Alumnos: Gudiño Perez Daniel Ávila Rebollo Alejandro Grupo: 5CM2 Fecha: 03/04/2017 Introducción: Antecedentes El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen los instrumentos musicales. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Notas históricas Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, Francia, 21 de marzo de 1768-París, 16 de mayo de 1830) fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al efecto invernadero en un tratado. Publicó en 1822 su Théorie analytique de la chaleur en el cual estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándola mediante el uso de series infinitas de funciones trigonométricas, lo que establece la representación de cualquier función como series de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier. Fundamentos Teóricos Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras. Objetivo particular En la práctica se conocerán algunos nuevos comandos para la traficación aproximaciones de la función rectangular utilizando la serie trigonométrica de Fourier, se emplearan tanto para una armónica también para cuatro armónicas y así tener una visión más clara de lo visto en clase de cómo es se comportan la función que se desea graficar. Uso y definición de comandos Hold on: para colocar la misma grafica varias figuras, habilita al programa para sobrescribir y para terminar se utiliza hold off Zeros (ceros): Devuelve un vector o matriz de ceros Size: Devuelve la dimensión de un vector o matriz.  Function Para archivos-m del tipo función Desarrollo: En esta práctica lo que realizamos fue el código que se nos fue proporcionado en las copias, lo siguiente a llevar a cabo fue analizar dicho código ya que utilizamos algunos comando que no habíamos empleado todavía como lo es el comando “Suplot” que como nos explicó la profesora es una librería en Matlab que permite dividir la gráfica en partes más pequeñas. Ejemplo. En este ejemplo se graficara la aproximación de la 2da armónica de la siguiente función: clear all,clf,clc t=0:pi/100:pi; y=((4/pi)*sin(t))+((4/pi)*(sin(3*t)/3)); subplot(2,2,1) plot(t,y) f(t)= [sen(t)+()sen(3t)+ ()sen(5t)+ ()sen(7t)] title('Aprox. de 2da armonica') ylabel('f(t)') grid axis([0 pi 0 1.2]) Ejemplo Original. Aquí se muestra otro ejemplo de la función siguiente que se graficara la armónica clear all,clf,clc t=0:pi/100:pi; Y=((pi/3)*((2*cos(t))+(3*cos(2*t))+(4+cos(3*t)))); subplot(2,2,1) plot(t,y) f(t)=cos(t)+3cos(2t)+4cos(3t)] title('Aprox. de 2da armonica') ylabel('f(t)') grid axis([0 pi 0 1.2]) Conclusiones: Avila Rebollo Alejandro: empezamos a comprender el funcionamiento del programa así como los códigos utilizados para poder graficar funciones trigonométricas, además de ir modificando el código para obtener diferentes armónicos en la función. Gudiño Perez Daniel: Si Bueno se puede llegar a concluir que se cumplió el objetivo y que pudimos emplear los nuevos comandos a la hora de graficar los armónicos que se nos pedía, hasta cuando la profesora nos pidió hacer el 5to armónico que lo realizamos con éxito. Así como complementar lo visto en clase con las series trigonométricas de Fourier y ver así el comportamiento gracias al programa utilizado este es Matlab. Bibliografía: file:///C:/Users/alexia/Downloads/Comandos_MatLab.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/fourier/Fourier.html https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier