SERIES DE POTENCIAS

SECCIÓN 11.8 SERIES DE POTENCIAS |||| 723 11.8 SERIES DE POTENCIAS Una serie de potencias es una serie de la forma cx 1 n n 苷 c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3     n苷0 donde x es una variable y las cn son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada x establecida, la serie (1) es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función SERIES TRIGONOMÉTRICAS Una serie de potencias es una serie en la cual cada uno de los términos es una función con potencias. Una serie trigonométrica f x 苷 c0  c1 x  c2 x 2      cn x n     &  a n cos nx  bn sen nx n苷0 es una serie cuyos términos son funciones trigonométricas. Este tipo de serie se analiza en la página web cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las cuales la serie es convergente. Observe que f es parecida a un polinomio. La única diferencia es que f tiene una cantidad infinita de términos. Por ejemplo, si hace cn 苷 1 para toda n, la serie de potencias se transforma en una serie geométrica x www.stewartcalculus.com Dé un clic en Additional Topics y luego en Fourier Series. n 苷 1  x  x2      xn     n苷0   que es convergente cuando 1  x  1 y es divergente cuando x  1 (véase ecuación 11.2.5). En general, una serie de la forma  c x  a 2 n n 苷 c0  c1x  a  c2x  a2     n苷0 se denomina serie de potencias en x  a, o bien, serie de potencias centrada en a, o también, serie de potencias con respecto a a. Observe que al escribir el término correspondiente a n 苷 0 en las ecuaciones 1 y 2, se ha adoptado la convención de x  a0 苷 1 aun cuando x 苷 a. Asimismo, note que cuando x 苷 a todos los términos son 0 para n 1 y de este modo la serie de potencias (2) siempre es convergente cuando x 苷 a. V EJEMPLO 1 ¿Para qué valores de x la serie  n!x n es convergente? n苷0 SOLUCIÓN Aplique la prueba de la razón. Si denota con an, como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, entonces a n 苷 n! x n. Si x 苷 0, & Nótese que n  1! 苷 n  1nn  1 ⴢ    ⴢ 3 ⴢ 2 ⴢ 1 苷 n  1n! lím nl     an1 n  1! x n1 苷 lím 苷 lím n  1 x 苷 nl nl an n! x n   Según la prueba de la razón, la serie es divergente cuando x 苷 0. En estos términos, la  serie dada converge sólo cuando x 苷 0. V EJEMPLO 2 ¿Para qué valores de x la serie x  3n es convergente? n  n苷1 SOLUCIÓN Sea a n 苷 x  3 n. En tal caso n    an1 x  3n1 n 苷 ⴢ an n1 x  3n 苷 1 1 1 n x  3   l x3  cuando n l 724 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS De acuerdo con la regla de comparación, la serie dada es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente cuando x  3   1 y divergente cuando x  3   1. Ahora x  3   1 &? 1  x  3  1 &? 2x4 National Film Board of Canada de modo que la serie converge cuando 2  x  4 y diverge cuando x  2 o bien x  4. La prueba de la razón no proporciona información cuando x  3  苷 1 de modo que debe considerar x 苷 2 y x 苷 4 por separado. Si pone x 苷 4 en la serie, se vuelve  1n, la serie armónica, la cual es divergente. Si x 苷 2, la serie es  1nn, la cual es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por lo tanto, la serie de potencias  dada converge para 2  x  4. Ya verá que el uso principal de las series de potencias es proporcionar una manera de representar algunas de las funciones más importantes que surgen en matemáticas, física y química. En particular, la suma de la serie de potencias del ejemplo siguiente se llama función de Bessel, en honor al astrónomo alemán Friedrich Bessel (1784-1846), y la función dada en el ejercicio 35 es otro ejemplo de la función de Bessel. En efecto, estas funciones surgieron primero cuando Bessel resolvió la ecuación de Kepler para describir el movimiento de los planetas. Desde esa época, estas funciones se aplican en diversas situaciones físicas, sin olvidar la distribución de temperaturas en una lámina circular y las vibraciones de una membrana de un tambor. EJEMPLO 3 Determine el dominio de la función de Bessel de orden 0 definida por J0x 苷  n苷0 1n x 2n 2 2nn!2 SOLUCIÓN Sea a n 苷 1n x 2n 2 2nn!2 . En tal caso    an1 1n1x 2n1 苷 2n1 an 2 n  1! & Observe cómo la aproximación del modelo generado por computadora (el cual utiliza funciones de Bessel y de cosenos) coincide con la fotografía de una membrana vibratoria de hule. 2 ⴢ 2 2nn!2 1nx 2n 苷 x 2n2 2 2nn!2 ⴢ 2 2n2n  12n!2 x 2n 苷 x2 l 01 4n  12  para toda x De este modo, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge para todos los valores de x. En otras palabras, el dominio de la función de Bessel J0 es  ,  苷 ⺢.  Recuerde que la suma de una serie es igual al límite de la sucesión de las sumas parciales. De esa manera, cuando se define la función de Bessel del ejemplo 3 como la suma de una serie quiere decir que, para todo número real x, n J0x 苷 lím snx nl donde snx 苷  i苷0 1ix 2i 2 2ii!2 Las primeras sumas parciales son s0x 苷 1 s3x 苷 1  s1x 苷 1  x2 x4 x6   4 64 2304 x2 4 s2x 苷 1  s4x 苷 1  x2 x4  4 64 x2 x4 x6 x8    4 64 2304 147 456 SECCIÓN 11.8 SERIES DE POTENCIAS y s™ s¸ 1 s¢ 0 x 1 s¡ s£ J¸ FIGURA 1 TEOREMA Para una serie de potencias dada  c x  a n hay sólo tres posibilidades: (i) La serie converge sólo cuando x 苷 a. (ii) La serie converge para toda x. (iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge si x  a   R y diverge si x  a   R. n n苷0 y 1 y=J¸(x) 10 0 725 En la figura 1 se muestran las gráficas de estas sumas parciales, las cuales son polinomios. Todas son aproximaciones de la función J0, pero observe que la aproximación es mejor cuando se incluyen más términos. En la figura 2 se ilustra una gráfica más completa de la función de Bessel. En lo que respecta a la serie de potencias examinadas hasta el momento, el conjunto de valores de x para los cuales la serie es convergente ha resultado ser siempre un intervalo [un intervalo finito de la serie geométrica y la serie del ejemplo 2, el intervalo infinito  ,  del ejemplo 3 y un intervalo colapsado 0, 0 苷 0 del ejemplo 1. El teorema siguiente, demostrado en el apéndice F, establece que esto es válido en general. 3 Sumas parciales de la función de Bessel J¸ _10 |||| x FIGURA 2 El número R en el caso (iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias. Por convención, el radio de convergencia es R 苷 0 en el caso (i) y R 苷 en el caso (ii). El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo que consiste en todos los valores de x para los cuales la serie converge. En el caso (i) el intervalo consta de un solo punto a. En el caso (ii) el intervalo es  , . Observe que en el caso (iii) la desigualdad x  a   R se puede escribir de nuevo como a  R  x  a  R. Cuando x es un extremo del intervalo, es decir, x 苷 a R, cualquier cosa puede suceder: la serie podría ser convergente en uno o en ambos extremos, o podría ser divergente en ambos extremos. Por lo tanto, en el caso (iii) hay cuatro posibilidades para el intervalo de convergencia: a  R, a  R a  R, a  R a  R, a  R a  R, a  R La situación se ilustra en la figura 3. convergencia para | x-a|<R a-R FIGURA 3 a+R a divergencia para | x-a|>R Se resumen a continuación el radio y el intervalo de convergencia para cada uno de los ejemplos ya considerados en esta sección. Serie Serie geométrica Radio de convergencia Intervalo de convergencia R1 1, 1 n R0 0  x  3n n R1 2, 4  1nx 2n 2 2nn!2 R x n n苷0 Ejemplo 1  n! x n苷0 Ejemplo 2 n苷1 Ejemplo 3 n苷0  ,  726 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS En general, la prueba de la razón (o a veces, la prueba de la raíz) se debe usar para determinar el radio de convergencia R. Las pruebas de la razón y la raíz siempre fracasan cuando x es un extremo del intervalo de convergencia, de modo que es necesario verificar los extremos por medio de alguna otra prueba. EJEMPLO 4 Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie 3n x n sn  1  n苷0 SOLUCIÓN Sea a n 苷 3n x nsn  1. Por lo tanto        an1 3n1x n1 sn  1 苷 ⴢ 苷 3x an 3nx n sn  2  苷3 1  1n x l 3 x 1  2n     n1 n2 cuando n l De acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge si 3 x   1 y es divergente si 3 x   1. En estos términos, es convergente si x  13 y diverge si x  31 . Esto quiere decir que el radio de convergencia es R 苷 13 . Sabemos que la serie converge en el intervalo ( 31 , 31 ), pero ahora es necesario probar si hay convergencia en los extremos de este intervalo. Si x 苷 13 , la serie se transforma en     n  n苷0 3n(13 ) 1 1 1 1 1 苷  苷      sn  1 s1 s2 s3 s4 n苷0 sn  1 la cual es divergente. (Aplique la prueba de la integral o simplemente observe que es una p-serie con p 苷 12  1.) Si x 苷 31 , la serie es n  n苷0 3n( 13 ) 1n 苷  sn  1 n苷0 sn  1 la cual converge de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por lo tanto, la serie dada de potencias converge cuando 31  x 13 , de modo que el intervalo de convergencia es (13 , 13 ]. V EJEMPLO 5  Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie  n苷0 nx  2n 3 n1 SOLUCIÓN Si a n 苷 nx  2n3 n1, entonces      an1 n  1x  2n1 3 n1 苷 ⴢ n2 an 3 nx  2n 苷 1 1 n x2 3  l  x  2 3 cuando n l Al aplicar la prueba de la razón, se ve que la serie es convergente si x  2 3  1 y que es divergente si x  2 3  1. De modo que es convergente si x  2   3 y divergente si x  2   3. Así que, el radio de convergencia es R 苷 3. SECCIÓN 11.8 SERIES DE POTENCIAS |||| 727 La desigualdad x  2   3 se puede escribir como 5  x  1, así que probamos la serie en los extremos 5 y 1. Cuando x 苷 5, la serie es  n苷0 n3n 苷 13  1nn 3 n1 n苷0 la cual es divergente según la prueba de la divergencia [1n n no converge en 0]. Cuando x 苷 1, la serie es  n苷0 n3n 苷 13  n 3 n1 n苷0 la cual también es divergente según la prueba de la divergencia. Por esto, la serie converge sólo cuando 5  x  1, de modo que el intervalo de convergencia es (5, 1). 11.8 EJERCICIOS 1. ¿Qué es una serie de potencias? 23. 2. (a) ¿Cuál es el radio de convergencia de una serie de poten- cias? ¿Cómo se determina? (b) ¿Cuál es el intervalo de convergencia de una serie de potencias? ¿Cómo se calcula? 25. 28. 5. 7. n苷1 n苷1  1 x n3  xn n! n苷0 9. 4. n苷0 n1 n 19. 21.  x2n nln n2 26. n苷2 n x 1 ⴢ 3 ⴢ 5 ⴢ    ⴢ 2n  1  n!x n 1 ⴢ 3 ⴢ 5 ⴢ    ⴢ 2n  1 convergente? n n (a) xn 2 n nx 2n 10. n n  xn 5nn5 (a)  1n  x  2n n2  1 x  3n 16.  1 2n  1 n苷0  18. n苷1 3nx  4n sn  20. n苷1 x  2n nn  n x  an, bn x 2n 2n!  n苷1 n x  1n 4n  3x  2n n3 n  nx  4n n3  1 n苷1 n苷1 c (b) n n苷0 n 22.  c 4 n苷0 diverge cuando x 苷 6. ¿Qué puede decir con respecto a la convergencia o divergencia de la serie siguiente? n苷0 b0 (b) 30. Suponga que  n苷0 c n x n es convergente cuando x 苷 4 y n n  14. n 10 x n3 n苷1 xn n 4 ln n n  n苷1 12.  c 2 n苷0 1n n苷1 4x  1 n2 n苷1 2n x n 4 n s n苷0 17.  sn x n苷1 n2xn 2 ⴢ 4 ⴢ 6 ⴢ    ⴢ 2n n  n苷1  24. 29. Si  n苷0 c n 4 n es convergente, ¿se infiere que la serie siguiente es n  n苷2 15. 6. 1nx n n1 n苷1  1 n苷1 13. n 8. n苷1 11.   n苷1 gencia de la serie. xn sn n n苷1 27.   n!2x  1 n苷1 3–28 Determine el radio de convergencia y el intervalo de conver- 3.  (c)  c 3 n c8 n n n苷0 n (d) n苷0  1 c 9 n n n n苷0 31. Si k es un entero positivo, encuentre el radio de convergencia de la serie  n苷0 n!k n x kn! 32. Sean p y q números reales con p  q. Encuentre una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia sea (a) p, q (b) p, q (c) p, q (d) p, q 33. ¿Es posible hallar una serie de potencias cuyo intervalo de con- vergencia sea 0, ? Explique. 728 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS n ; 34. Dibuje las primeras sumas parciales snx de la serie  n苷0 x , junto con la función suma fx 苷 11  x, sobre una misma pantalla. ¿En qué intervalo parece que convergen estas sumas parciales y fx? (c) Si su CAS tiene incorporadas las funciones de Airy, dibuje A en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso b), y observe cómo las sumas parciales se aproximan a A. CAS 37. Una función f está definida mediante 35. La función J1 definida por J1x 苷  n苷0 ; CAS f x 苷 1  2x  x 2  2x 3  x 4     es decir, sus coeficientes son c2n 苷 1 y c2n1 苷 2 para toda n 0. Determine el intervalo de convergencia de la serie y plantee una fórmula explícita para fx. 1n x 2n1 n!n  1!2 2n1 se llama función de Bessel de orden 1. (a) Determine el dominio. (b) Dibuje las primeras sumas parciales en una misma pantalla. (c) Si su CAS tiene incorporadas las funciones de Bessel, dibuje J1 en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso (b) y observe cómo se aproximan las sumas parciales a J1. 38. Si f x 苷 0, determine el intervalo de convergencia de la serie y una fórmula para fx.   n 39. Muestre que si lím n l s cn 苷 c , donde c 苷 0, en tal caso el radio de convergencia de la serie de potencias  cn x n es R 苷 1c. 40. Suponga que la serie de potencias  c nx  a n satisface cn 苷 0 para toda n. Demuestre que si existe lím nl cncn1 , por lo tanto es igual al radio de convergencia de la serie de potencias. 36. La función A se define mediante Ax 苷 1  ; x3 x6 x9     23 2356 235689 que se llama función de Airy en honor al matemático y astrónomo inglés sir George Airy (1801-1892). (a) Determine el dominio de la función de Airy. (b) Dibuje las primeras sumas parciales snx en una misma pantalla. n苷0 cn x n, donde cn4 苷 cn para toda n 41. Suponga que el radio de convergencia de la serie  c n x n es 2 y que el radio de convergencia de la serie  d n x n es 3. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie  c n  d n x n ? 42. Suponga que el radio de convergencia de la serie de potencias  c n x n es R. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias  cn x 2n? 11.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS & Una ilustración geométrica de la ecuación 1 se muestra en la figura 1. Como la suma de una serie es el límite de la sucesión de las sumas parciales 1 苷 lím snx nl 1x donde En esta sección aprenderá a representar ciertos tipos de funciones como sumas de series de potencias mediante la manipulación de series geométricas, o mediante derivación o integración de dichas series. Quizá se pregunte por qué siempre se busca expresar una función conocida como una suma de una cantidad infinita de términos. Más adelante se explica la utilidad de esta estrategia en la integración de funciones que no tienen antiderivadas elementales, en la solución de ecuaciones diferenciales y para aproximar funciones mediante polinomios. (Los científicos lo hacen así para simplificar las expresiones con las que trabajan; los especialistas en computación lo hacen así para representar funciones en calculadoras y computadoras.) Inicie con una ecuación que estudió antes: 1 苷 1  x  x2  x3     苷  xn x   1 1 1x n苷0 Ya encontró esta ecuación en el ejemplo 5 de la sección 11.2, donde la obtuvo al observar que es una serie geométrica con a 苷 1 y r 苷 x. Pero en este caso la opinión es distinta. Ahora considere la ecuación 1 como expresión de la función f x 苷 11  x como una suma de una serie de potencias. snx 苷 1  x  x2      xn s¡¡ y es la n-ésima suma parcial. Observe que cuando n se incrementa, snx se vuelve una mejor aproximación para fx en 1  x  1. sˆ s∞ f s™ FIGURA 1 1 y algunas sumas parciales ƒ= 1-x _1 0 1 x SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS & Cuando se pide una serie de potencias en esta sección, se supone que la serie está centrada en 0, a menos que se indique de otra forma. |||| 729 Exprese 11  x2 como la suma de una serie de potencias, y determine el intervalo de convergencia. V EJEMPLO 1 SOLUCIÓN Al reemplazar x por x2 en la ecuación 1, queda 1 1 苷  x 2 n 2 苷 1x 1  x 2  n苷0 苷  1 x n 2n 苷 1  x2  x4  x6  x8     n苷0 Como es una serie geométrica, es convergente cuando x 2   1, es decir, x2  1, o bien, x   1. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es 1, 1. Naturalmente, podría haber determinado el radio de convergencia aplicando la prueba de la razón, pero esa cantidad de trabajo es innecesaria en este caso.  EJEMPLO 2 Determine una representación para 1x  2. SOLUCIÓN Con objeto de poner esta función en la forma del lado izquierdo de la ecuación 1, primero se factoriza un 2 del denominador: 1 苷 2x 苷 1 1         苷 x 2 1 2 1 2  n苷0 2 1  x 2 n 苷 n苷0 x 2 1n n x 2 n1 Esta serie converge cuando x2   1, es decir, x   2. De modo que el intervalo de  convergencia es 2, 2. EJEMPLO 3 Obtenga una representación como serie de potencias de x3x  2. SOLUCIÓN Puesto que esta función es justamente x3 veces la función del ejemplo 2, todo lo que debe hacer es multiplicar esa serie por x3: 3 Es válido pasar x al otro lado del signo de la suma porque no depende de n. [Aplique el teorema 11.2.8(i) con c 苷 x 3.] & 1n 1n x3 1 苷 x3 ⴢ 苷 x 3  n1 x n 苷  n1 x n3 x2 x2 n苷0 2 n苷0 2 苷 12 x 3  14 x 4  18 x 5  161 x 6     Otra forma de escribir esta serie es como sigue: x3 1n1 n 苷  x x2 2 n2 n苷3 Como en el ejemplo 2, el intervalo de convergencia es 2, 2.  DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS La suma de una serie de potencias es una función f x 苷 n苷0 cnx  an cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Para ser capaces de derivar e integrar estas funciones, el siguiente teorema (el cual no será demostrado) establece que es posible hacerlo derivando o integrando cada uno de los términos de la serie, justo como se haría para un polinomio. Esto se denomina derivación e integración término a término. 730 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TEOREMA Si la serie de potencias  cnx  an posee un radio de convergencia 2 R  0, entonces la función f definida por f x 苷 c0  c1x  a  c2x  a2     苷  c x  a n n n苷0 es derivable (y, por lo tanto, continua) en el intervalo a  R, a  R y (i) f x 苷 c1  2c2x  a  3c3x  a2     苷  nc x  a n n1 n苷1 En el inciso (ii), x c0 dx 苷 c0 x  C1 se escribe como c0x  a  C, donde C 苷 C1  ac0, de modo que todos los términos de la serie tienen la misma forma. & (ii) y f x dx 苷 C  c x  a  c 0 苷C 1 x  a2 x  a3  c2   2 3 x  an1 n1 c n n苷0 Los radios de convergencia de la serie de potencias en las ecuaciones (i) y (ii) son R. NOTA 1 (iii) (iv) Las ecuaciones (i) y (ii) del teorema 2 se pueden volver a escribir en la forma  y  d dx n苷0   cnx  an 苷  n苷0 cnx  an dx 苷 n苷0 d cnx  an dx  y c x  a dx n n n苷0 Se sabe que, por lo que toca a las sumas finitas, la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la integral de una suma es la suma de las integrales. Las ecuaciones (iii) y (iv) aseguran que lo mismo se cumple para sumas infinitas, siempre que esté trabajando con series de potencias. (En el caso de otros tipos de series de funciones la situación no es tan simple; véase ejercicio 36.) NOTA 2 Aunque el teorema 2 establece que el radio de convergencia es el mismo cuando una serie de potencias es derivada o integrada, esto no quiere decir que el intervalo de convergencia siga siendo el mismo. Podría suceder que la serie original converja en el extremo, y que la serie derivada sea divergente aquí. (Véase ejercicio 37.) La idea de derivar una serie de potencias término a término es la base de un método eficaz para resolver ecuaciones diferenciales. Estudiará este método en el capítulo 17. NOTA 3 EJEMPLO 4 En el ejemplo 3 de la sección 11.8 vio que la función de Bessel J0x 苷  n苷0 1n x 2n 2 2nn!2 se define para toda x. De esta manera, de acuerdo con el teorema 2, J0 es derivable para toda x y su derivada se encuentra derivando término a término como sigue: J0x 苷  n苷0 d 1nx 2n 1n 2nx 2n1 苷  2 2nn!2 dx 2 2nn!2 n苷1  SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS |||| 731 Exprese 11  x2 como una serie de potencias derivando la ecuación 1. ¿Cuál es el radio de convergencia? V EJEMPLO 5 SOLUCIÓN Al derivar cada miembro de la ecuación 1 苷 1  x  x2  x3     苷  xn 1x n苷0 1 苷 1  2x  3x 2     苷  nx n1 1  x2 n苷1 se obtiene Si quisiera podría reemplazar n por n  1 y escribir la respuesta como 1 苷  n  1x n 1  x2 n苷0 De acuerdo con el teorema 2, el radio de convergencia de la serie derivada es el mismo que el radio de convergencia de la serie original, R 苷 1.  EJEMPLO 6 Determine una representación como serie de potencias para ln1  x y su radio de convergencia. SOLUCIÓN Observe que, excepto en el caso de un factor de 1, la derivada de esta función es 11  x. Por eso integre ambos miembros de la ecuación 1: ln1  x 苷 y 1 dx 苷 y 1  x  x 2     dx 1x 苷x x n1 xn x2 x3  C苷  C苷  C 2 3 n苷0 n  1 n苷1 n x   1 Para determinar el valor de C haga x 苷 0 en esta ecuación y obtenga ln1  0 苷 C. Por lo tanto, C 苷 0 y ln1  x 苷 x  xn x2 x3      苷  2 3 n苷1 n x   1 El radio de convergencia es el mismo que el de la serie original: R 苷 1.  Observe qué sucede si hace x 苷 21 en el resultado del ejemplo 6. Puesto que ln 苷 ln 2, 1 2 ln 2 苷 V EJEMPLO 7 1 1 1 1 1      苷  n 2 8 24 64 n2 n苷1 Encuentre una representación como serie de potencias para f x 苷 tan1x. SOLUCIÓN Observe que f x 苷 11  x2 y encuentre la serie requerida integrando la se- rie de potencias para 11  x2 determinada en el ejemplo 1. tan1x 苷 y 1 dx 苷 y 1  x 2  x 4  x 6     dx 1  x2 苷Cx x3 x5 x7     3 5 7 732 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 1 & La serie de potencias para tan x obtenida en el ejemplo 7 se llama serie de Gregory en honor al matemático escocés James Gregory (1638-1675), quien pronosticó algunos de los descubrimientos de Newton. Ya se demostró que la serie de Gregory es válida cuando 1  x  1, pero resulta que (aunque no es fácil de demostrar) también es válida cuando x 苷 1. Observe que cuando x 苷 1 la serie se transforma en 4 苷1 1 1 1    3 5 7 Este admirable resultado se conoce como fórmula de Leibniz para p. Para determinar C haga x 苷 0 y obtiene C 苷 tan1 0 苷 0. Por lo tanto, tan1x 苷 x  x 2n1 x5 x7 x3       苷  1n 3 5 7 2n  1 n苷0 Puesto que el radio de convergencia de la serie para 11  x2 es 1, el radio de conver gencia de esta serie para tan1x es también 1. EJEMPLO 8 (a) Evalúe x 11  x 7  dx como una serie de potencias. (b) Mediante el inciso (a) obtenga una aproximación de x00.5 11  x 7  dx que no difiera en 107 del valor real. SOLUCIÓN (a) El primer paso es expresar la integral, 11  x7, como la suma de una serie de potencias. Como en el ejemplo 1, inicie con la ecuación 1 y reemplace x por x7: 1 1 苷 苷  x 7 n 1  x7 1  x 7  n苷0  1 x n 7n 苷 苷 1  x 7  x 14     n苷0 & Este ejemplo demuestra una manera útil de las representaciones como series de potencias. Integrar 11  x7 a mano es increíblemente difícil. Diferentes sistemas algebraicos computacionales dan respuestas de distintas formas, pero son extremadamente complicadas. (Si tiene un CAS, inténtelo usted mismo.) La respuesta de la serie infinita que se obtiene en el ejemplo 8(a) es realmente mucho más fácil de manejar que la respuesta finita que proporciona un CAS. Ahora integre término a término: 1 y 1x 7 dx 苷 y  1 x n 7n dx 苷 C  n苷0 苷Cx  1 n n苷0 x 7n1 7n  1 x8 x 15 x 22     8 15 22 Esta serie converge para x7   1, es decir, para x   1. (b) Si aplica el teorema fundamental del cálculo no importa qué antiderivada use, de modo que utilice la antiderivada del inciso (a) con C 苷 0: y 0.5 0   1 x8 x 15 x 22 dx 苷 x      1  x7 8 15 22 苷 12 0 1 1 1 1 1n    8  15  22      2 82 15  2 22  2 7n  12 7n1 Esta serie infinita es el valor exacto de la integral definida, pero como es una serie alternante, puede obtener una aproximación de la suma aplicando el teorema de la estimación de la serie alternante. Si deja de sumar después del término n 苷 3, el error es menor que el término con n 苷 4: 1 29  2 29 6.4  1011 De modo que y 0.5 0 1 dx 1  x7 1 1 1 1  8  15  2 8ⴢ2 15 ⴢ 2 22 ⴢ 2 22 0.49951374  SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 11.9 |||| 733 EJERCICIOS 1. Si el radio de convergencia de la serie de potencias  n苷0 cn x n es 10, ¿cuál es el radio de convergencia de la serie  n苷1 ncn x n1? ¿Por qué? n 2. Suponga que sabe que la serie  n苷0 bn x es convergente para x   2. ¿Qué puede decir de la serie siguiente? ¿Por qué? bn x n1  n  1 n苷0 3–10 Encuentre una representación como serie de potencias para la función y determine el intervalo de convergencia. 15–18 Encuentre una representación como serie de potencias para la función, y determine el radio de convergencia. 15. f x 苷 ln5  x 17. f x 苷 x3 x  22 4. f x 苷 3 1  x4 19. f x 苷 5. f x 苷 2 3x 6. f x 苷 1 x  10 21. f x 苷 ln 7. f x 苷 x 9  x2 8. f x 苷 x 2x 2  1 11–12 Exprese la función como la suma de una serie de potencias usando primero fracciones parciales. Determine el intervalo de convergencia. 11. f x 苷 3 x2  x  2 12. f x 苷 x2 2x 2  x  1 13. (a) Use la derivación para determinar una representación como ¿Cuál es el radio de convergencia? (b) Por medio del inciso (a) determine una serie de potencias para f x 苷 1 1  x3 (c) Mediante el inciso (b) determine una serie de potencias para 20. f x 苷 lnx2  4 1x 1x 22. f x 苷 tan12x 23–26 Evalúe la integral indefinida como una serie de potencias. ¿Cuál es el radio de convergencia? t 23. y 1t 25. y 8 dt x  tan 1 x dx x3 ln1  t dt t 24. y 26. y tan 1 x 2  dx 27–30 Use una serie de potencias para aproximar la integral definida con seis cifras decimales. 27. y 0.2 y 0.1 0 29. 1 1  x2 x x 2  16   serie de potencias para f x 苷 18. f x 苷 arctanx3 f, y dibuje f y varias sumas parciales snx en la misma pantalla. ¿Qué sucede cuando n se incrementa? 1 1x x2 10. f x 苷 3 a  x3 x2 1  2x2 ; 19–22 Encuentre una representación como serie de potencias para 3. f x 苷 1x 9. f x 苷 1x 16. f x 苷 0 1 dx 1  x5 28. x arctan3x  dx 30. y 0.4 y 0.3 0 0 ln1  x 4 dx x2 dx 1  x4 31. A través del resultado del ejemplo 6, calcule ln 1.1 con cinco cifras decimales. 32. Demuestre que la función f x 苷  n苷0 1n x 2n 2n! es una solución de la ecuación diferencial 2 f x 苷 x 1  x3 14. (a) Determine una representación como serie de potencias para f x 苷 ln1  x. ¿Cuál es el radio de convergencia? (b) Mediante el inciso (a) determine una serie de potencias para f x 苷 x ln1  x. (c) Mediante el inciso (a) determine una serie de potencias para f x 苷 lnx 2  1 f x  f x 苷 0 33. (a) Demuestre que J0 (la función de Bessel de orden 0 dada en el ejemplo 4) cumple con la ecuación diferencial x 2J 0x  xJ0x  x 2J0x 苷 0 (b) Evalúe x01 J0x dx con tres cifras decimales. 734 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 38. (a) Empezando con la serie geométrica n苷0 x n, calcule la suma 34. La función de Bessel de orden 1 se define con de la serie J1x 苷  n苷0 1n x 2n1 n!n  1!2 2n1  nx x  1 n1 n苷1 (a) Demuestre que J1 satisface la ecuación diferencial x 2J1x  x J1x  x 2  1J1x 苷 0 (b) Calcule la suma de cada una de las series siguientes. n (i)  nx n, x  1 (ii)  n 2 n苷1 n苷1   (c) Determine la suma de cada una de las series siguientes. (b) Demuestre que J0x 苷 J1x. (i) 35. (a) Demuestre que la función f x 苷  nn  1x ,  x   1 n n苷2  n苷0 (ii) n x n!  n苷2 n2  n 2n (iii) n苷1 n2 2n 39. Utilice la serie de potencias para tan 1 x para demostrar que la expresión siguiente para es una solución de la ecuación diferencial f x 苷 f x 苷 2s3 como la suma de una serie infinita:  n苷0 (b) Demuestre que f x 苷 e . x 1 n 2n  1 3 n 40. (a) Aplique el método de completar cuadrados para demostrar 36. Sea fnx 苷 sen nxn 2 . Demuestre que la serie  fnx es convergente para todos los valores de x, pero la serie de derivadas  f nx es divergente cuando x 苷 2n , n es un entero. ¿Para qué valores de x la serie  f nx es convergente? 37. Sea f x 苷   n苷1 xn n2 que y 12 0 dx 苷 x2  x  1 3s3 (b) Mediante la factorización de x 3  1 como una suma de cubos, escriba de nuevo la integral del inciso (a). Luego exprese 1x 3  1 como la suma de una serie de potencias y úsela para demostrar la fórmula siguiente para : 苷 Determine los intervalos de convergencia para f, f  y f . 3s3 4  n苷0 1n 8n  2 1  3n  1 3n  2  11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN En la sección anterior, se representaron como series de potencias una cierta clase restringida de funciones. En esta sección se tratan problemas más generales: ¿Qué funciones se pueden representar como series de potencias? ¿Cómo es posible hallar esa representación? Empiece por suponer que f es cualquier función que se puede representar mediante una serie de potencias 1 f x 苷 c0  c1x  a  c2x  a2  c3x  a3  c4x  a4  ⴢ ⴢ ⴢ x  a  R Trate de determinar qué coeficientes cn tienen que estar en función de f. Para empezar, observe que si hace x 苷 a en la ecuación 1, en tal caso todos los términos después del primero son 0 y obtiene f a 苷 c0 De acuerdo con el teorema 11.9.2, puede derivar la serie de la ecuación 1 término a término: 2 f x 苷 c1  2c2x  a  3c3x  a2  4c4x  a3     y al sustituir x 苷 a en la ecuación 2 tiene f a 苷 c1 x  a  R SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN |||| 735 En seguida derive ambos miembros de la ecuación 2 y obtiene 3 f x 苷 2c2  2 ⴢ 3c3x  a  3 ⴢ 4c4x  a2     x  a  R Una vez más haga x 苷 a en la ecuación 3. El resultado es f a 苷 2c2 Aplique el procedimiento una vez más. La derivación de la serie de la ecuación 3 origina 4 f x 苷 2 ⴢ 3c3  2 ⴢ 3 ⴢ 4c4x  a  3 ⴢ 4 ⴢ 5c5x  a2     x  a  R y la sustitución de x 苷 a en la ecuación 4 da f a 苷 2 ⴢ 3c3 苷 3!c3 Ahora ya puede ver el patrón. Si continúa derivando y sustituyendo x 苷 a, obtendrá f na 苷 2 ⴢ 3 ⴢ 4 ⴢ    ⴢ ncn 苷 n!cn Al resolver esta ecuación para el n-ésimo coeficiente cn , tiene cn 苷 f na n! Esta fórmula sigue siendo válida incluso para n 苷 0 si adopta la convención de que 0! 苷 1 y f 0 苷 f . En estos términos, ha demostrado el teorema siguiente: 5 TEOREMA Si f se puede representar como una serie de potencias (expansión) en a, es decir, si f x 苷  c x  a n n n苷0 x  a  R entonces sus coeficientes los da la fórmula cn 苷 f na n! Si sustituye esta fórmula de cn de nuevo en la serie, observe que si f tiene un desarrollo en serie de potencias en a, después debe ser de la forma siguiente: 6 f x 苷  n苷0 f na x  an n! 苷 f a  f a f a f a x  a  x  a2  x  a3     1! 2! 3! 736 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TAYLOR Y MACLAURIN La serie de Taylor lleva este nombre en honor al matemático inglés Brook Taylor (1685-1731) y la serie de Maclaurin se llama así para recordar al matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746) a pesar del hecho de que la serie de Maclaurin es realmente un caso especial de la serie de Taylor. Pero la idea de representar funciones particulares como sumas de series de potencias se remonta a Newton, y el matemático escocés James Gregory conoció la serie general de Taylor en 1668 y el matemático suizo John Bernoulli la conoció por 1690. Al parecer, Taylor no conocía el trabajo de Gregory ni de Bernoulli cuando publicó sus descubrimientos relacionados con las series en 1715 en su libro Methodus incrementorum directa et inversa. Las series de Maclaurin se llaman así porque Colin Maclaurin las popularizó en su libro de texto Treatise of Fluxions que se publicó en 1742. & La serie de la ecuación 6 se denomina serie de Taylor de la función f en a (o bien, con respecto a a o centrada en a). Para el caso especial a 苷 0 la serie de Taylor se transforma en f x 苷 7  n苷0 f n0 n f 0 f 0 2 x 苷 f 0  x x   n! 1! 2! Como este caso surge con bastante frecuencia, se le da el nombre especial de serie de Maclaurin. NOTA Ya se demostró que si f se puede representar como una serie de potencias con respecto a a, después f es igual a la suma de sus series de Taylor. Pero hay funciones que no son iguales a la suma de sus series de Taylor. Un ejemplo de tales funciones se presenta en el ejercicio 70. V EJEMPLO 1 Determine la serie de Maclaurin de la función f x 苷 e x y su radio de convergencia. SOLUCIÓN Si f x 苷 e x, entonces f nx 苷 e x, por lo que f n0 苷 e 0 苷 1 para toda n. Por lo tanto, la serie de Taylor para f en 0, (es decir, la serie de Maclaurin), es  n苷0 f n0 n xn x x2 x3 x 苷  苷1     n! 1! 2! 3! n苷0 n! Para determinar el radio de convergencia haga a n 苷 x nn! En tal caso       a n1 x n1 n! x 苷 ⴢ n 苷 l 01 an n  1! x n1 por esto, según la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de conver gencia es R 苷 . La conclusión que obtiene del teorema 5 y el ejemplo 1 es que si e x tiene un desarrollo de serie en potencias en 0, por lo tanto ex 苷  n苷0 xn n! x Por eso, ¿cómo se puede decir si e tiene una representación como serie de potencias? Investigue la cuestión más general: ¿en qué circunstancias es una función igual a la suma de su serie de Taylor? En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes, cuándo es cierto que f na f x 苷  x  an n! n苷0 Como sucede con cualquier serie convergente, esto quiere decir que f x es el límite de la sucesión de sumas parciales. En el caso de la serie de Taylor, las sumas parciales son n Tnx 苷  i苷0 f ia x  ai i! 苷 f a  f a f a f na x  a  x  a2      x  an 1! 2! n! SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN y 737 Observe que Tn es un polinomio de grado n llamado polinomio de Taylor de n-ésimo grado, de f en a. Por ejemplo, en el caso de la función exponencial f x 苷 e x, el resultado del ejemplo 1 muestra que los polinomios de Taylor en 0 (o polinomios de Maclaurin), con n 苷 1, 2 y 3 son y=´ y=T£(x) y=T™ T (x) |||| y=T™ T (x) (0, 0 T1x 苷 1  x y=T¡ T (x) x y=T£ T (x) x2 2! T2x 苷 1  x  T3x 苷 1  x  x2 x3  2! 3! Las gráficas de la función exponencial y estos tres polinomios de Taylor se ilustran en la figura 1. En general, f x es la suma de su serie de Taylor si FIGURA 1 f x 苷 lím Tnx nl Si hace & Cuando n se incrementa, Tnx parece aproximarse a e x en la figura 1. Esto hace pensar que e x es igual a la suma de su serie de Taylor. Rnx 苷 f x  Tnx f x 苷 Tnx  Rnx de modo que entonces Rnx se llama residuo de la serie de Taylor. Si puede de alguna manera demostrar que lím n l Rnx 苷 0, entonces se sigue que lím Tnx 苷 lím f x  Rnx 苷 f x  lím Rnx 苷 f x nl nl nl Por lo tanto, ha demostrado lo siguiente: 8 TEOREMA Si f x 苷 Tnx  Rnx, donde Tn es el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a y lím Rnx 苷 0 nl   para x  a  R, entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en el intervalo x  a  R.   Al tratar de demostrar que lím n l Rnx 苷 0 para una función específica f, se usa por lo regular el hecho siguiente.  DESIGUALDAD DE TAYLOR Si f n1x   M para x  a residuo Rnx de la serie de Taylor cumple con la desigualdad 9  R x  n M xa n  1!    n1 para x  a  Para entender por qué es cierto para n 苷 1, suponga que f x tiene f x M , y de tal manera para a x a  d y x a f t dt  y x a  d, entonces el  d M . En particular, se M dt Una antiderivada de f  es f , por lo que según la parte 2 del teorema fundamental del cálculo tenemos f x  f a Mx  a o bien, f x f a  Mx  a 738 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS & Otras opciones aparte de la desigualdad de Taylor son las fórmulas siguientes para el residuo. Si f n1 es continua en un intervalo I y x 僆 I , por lo tanto 1 x R nx 苷 y x  tn f n1 t dt n! a Esta expresión recibe el nombre de forma integral del término del residuo. Otra fórmula, que se llama forma de Lagrange del término del residuo, establece que hay un número z entre x y a tal que f n1z R nx 苷 x  a n1 n  1! Esta versión es una generalización del teorema del valor medio, que es el caso n 苷 0). Las demostraciones de estas fórmulas, además del análisis de cómo usarlas para resolver los ejemplos de las secciones 11.10 y 11.11, se encuentran en la página web y En estos términos, x a y f t dt x f a  Mt  a dt a f x  f a f ax  a  M x  a2 2 M x  a2 2 f x  f a  f ax  a Pero R1x 苷 f x  T1x 苷 f x  f a  f ax  a. De modo que M x  a2 2 R1x Un razonamiento similar, aplicando f x  M , demuestra que R1x   www.stewartcalculus.com Dé un clic en Additional Topics y luego en Formulas for the Remainder Term in Taylor series. M xa 2  R x  De donde M x  a2 2  1  2 Aunque hemos supuesto supuesto que x  a, cálculos similares muestran que esta desigualdad es válida también para x  a. Esto demuestra la desigualdad de Taylor para el caso donde n 苷 1. El resultado para cualquier n se demuestra de manera parecida integrando n  1 veces. (Véase el ejercicio 69 para el caso n 苷 2.) NOTA En la sección 11.11 se explora el uso de la desigualdad de Taylor en funciones que se aproximan. Aquí, el uso inmediato es junto con el teorema 8. Con frecuencia, al aplicar los teoremas 8 y 9 es útil recurrir al hecho siguiente. lím 10 nl xn 苷0 n! para todo número real x Es verdadero porque de acuerdo con el ejemplo 1, la serie  x nn! es convergente para toda x y de este modo su n-ésimo término se aproxima a 0. V EJEMPLO 2 Demuestre que e x es igual a la suma de su serie de Maclaurin. SOLUCIÓN Si f x 苷 e x, entonces f n1x 苷 e x para toda n. Si d es cualquier número      ed x n  1! positivo y x d , después f n1x 苷 e x con a 苷 0 y M 苷 e d , establece que  Rnx e d . Por eso, la desigualdad de Taylor,   n1   para x d Observe que la misma constante M 苷 e d funciona para todo valor de n. Pero, según la ecuación 10, lím nl ed x n  1!   n1 x n1 苷 e d lím nl n  1! 苷0 SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN  |||| 739  Se infiere entonces del teorema de la compresión que el lím n l Rnx 苷 0 y, por lo tanto, lím n l Rnx 苷 0 para todos los valores de x. De acuerdo con el teorema 8, e x es igual a la suma de la serie de Maclaurin, es decir, ex 苷 11  n苷0 & En 1748, Leonhard Euler aplicó la ecuación 12 para determinar el valor de e con 23 dígitos decimales. En 2003 Shigeru Kondo, de nuevo usando la serie en (12), calculó e a más de 50,000 millones de lugares decimales. Las técnicas especiales que utilizaron para acelerar el cálculo se explican en la página web xn n! para toda x  En particular, si hace x 苷 1 en la ecuación 11, obtiene la expresión siguiente para el número e como una suma de una serie infinita:  e苷 12 n苷0 1 1 1 1 苷1     n! 1! 2! 3! www.numbers.computation.free.fr EJEMPLO 3 Determine la serie de Taylor para f x 苷 e x en a 苷 2. SOLUCIÓN Se tiene f n2 苷 e 2 y, de este modo, al hacer a 苷 2 en la definición de la serie de Taylor (6) obtiene  n苷0 f n2 e2 x  2n 苷  x  2n n! n苷0 n! También se puede verificar, como en el ejemplo 1, que el radio de convergencia es R 苷 . Como en el ejemplo 2 puede comprobar que lím n l Rnx 苷 0, de modo que ex 苷 13  n苷0 e2 x  2n n! para toda x  Hay dos desarrollos de series de potencias para e x, la serie de Maclaurin de la ecuación 11 y la serie de Taylor de la ecuación 13. El primero es mejor si está interesado en valores de x cercanos a 0 y el segundo funciona muy bien si x es cercano a 2. EJEMPLO 4 Determine la serie de Maclaurin para sen x y demuestre que representa a sen x para toda x. SOLUCIÓN Acomode los cálculos en dos columnas como sigue: f x 苷 sen x f 0 苷 0 f x 苷 cos x f 0 苷 1 f x 苷 sen x f 0 苷 0 f x 苷 cos x f 0 苷 1 f 4x 苷 sen x f 40 苷 0 Puesto que la derivada se repite en un ciclo de cuatro, puede escribir la serie de Maclaurin como sigue: f 0  f 0 f 0 2 f 0 3 x x  x   1! 2! 3! 苷x x 2n1 x3 x5 x7       苷  1n 3! 5! 7! 2n  1! n苷0 740 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS  & En la figura 2 se ilustra la gráfica de sen x junto con su polinomio de Taylor (o de Maclaurin) Puesto que f n1x es sen x o bien, cos x, sabe que f n1x este modo puede tomar a M 苷 1 en la desigualdad de Taylor T1x 苷 x x3 T3x 苷 x  3! T5x 苷 x  x3 x5  3! 5! 1 para toda x. De   M x n1 x n1 苷 n  1! n  1!  R x  14   n  De acuerdo con la ecuación 10 el lado derecho de esta desigualdad tiende a 0 cuando n l , de modo que Rnx l 0 según el teorema de compresión. Se infiere entonces que Rnx l 0 cuando n l , de modo que sen x es igual a la suma de su serie de Ma claurin de acuerdo con el teorema 8.  Observe que cuando n se incrementa, Tnx se vuelve una mejor aproximación para sen x. y  Se establece el resultado del ejemplo 4 para referencia futura. T T¡ 1 T T∞ sen x 苷 x  15 y=sen x 0 x 1 苷 x3 x5 x7     3! 5! 7! x 2n1 2n  1!  1 n n苷0 para toda x T T£ FIGURA 2 EJEMPLO 5 Determine la serie de Maclaurin para cos x. SOLUCIÓN Podría proceder en forma directa como en el ejemplo 4, pero es más fácil derivar la serie de Maclaurin para sen x dada por la ecuación 15: cos x 苷 d d sen x 苷 dx dx 苷1 x & La serie de Maclaurin para e , sen x y cos x que determinó en los ejemplos 2, 4 y 5 la descubrió Newton aplicando métodos distintos. Estas ecuaciones son notables porque se conoce todo con respecto a cada una de estas funciones si conoce todas sus derivadas en el número 0.  x3 x5 x7     3! 5! 7! x  3x 2 5x 4 7x 6 x2 x4 x6     苷 1      3! 5! 7! 2! 4! 6! Puesto que la serie de Maclaurin para sen x converge para toda x, el teorema 2 de la sección 11.9 señala que la serie derivada para cos x converge también para toda x. En estos términos, 16 cos x 苷 1  苷 x2 x4 x6     2! 4! 6!  1 n n苷0 x 2n 2n! para toda x  EJEMPLO 6 Determine la serie de Maclaurin para la función f x 苷 x cos x. SOLUCIÓN En lugar de calcular las derivadas y sustituir en la ecuación 7, es más fácil multiplicar la serie para cos x, ecuación 16, por x: x cos x 苷 x  1 n n苷0 x 2n x 2n1 苷  1n 2n! 2n! n苷0 EJEMPLO 7 Represente f x 苷 sen x como la suma de su serie de Taylor centrada en 3.  |||| SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 741 SOLUCIÓN Primero acomode los valores en columnas & Ha obtenido dos diversas series de representaciones para sen x, la serie de Maclaurin en el ejemplo 4 y la serie de Taylor en el ejemplo 7. Es mejor utilizar la serie de Maclaurin para los valores de x cerca a 0 y la serie de Taylor para x cerca a p/3. Observe que el tercer polinomio de Taylor T3 en la figura 3 es una buena aproximación al sen x cerca de p/3, mas no así cerca de 0. Compárelo con el tercer polinomio de Maclaurin T3 en la figura 2, donde está el polinomio opuesto verdadero. y 0 f x 苷 cos x f f x 苷 sen x f f x 苷 cos x f 3 3 3 3              f f  3 f 3 1! x 1 s3  2 2 ⴢ 1!  3 x     苷 s3 2 苷 1 2 苷 s3 2 苷 1 2 3  s3 2 ⴢ 2! x 3  2 x 3      f 2 3 2!  3 3 3! 1 2 ⴢ 3! x 3   3 x 3   La demostración de que esta serie representa sen x para toda x es muy similar a la del ejemplo 4. [Sólo reemplace x por x  3 en (14).] Puede escribir la serie con la notación sigma o suma si separamos los términos que contienen s3 : x π 3 f y este patrón se repite en forma indefinida. Por lo tanto, la serie de Taylor en 3 es 苷 y=sen x     f x 苷 sen x sen x 苷  n苷0   1ns3 x 22n! 3 T£ 2n   n苷0   1n x 22n  1! 3 2n1  La serie de potencias obtenidas mediante métodos indirectos en los ejemplos 5 y 6 y en la sección 11.9 son realmente la serie de Taylor o de Maclaurin de las funciones dadas porque el teorema 5 así lo establece, ya que no importa cómo una representación de una serie de potencias f x 苷  cnx  an se obtenga, siempre es cierto que cn 苷 f nan! En otras palabras, la determinación de los coeficientes es única. En la tabla siguiente están reunidas, para referencia futura, algunas de las series importantes de Maclaurin deducidas en esta sección y en la anterior. EJEMPLO 8 Encuentre la serie de Maclaurin para f(x)  (1  x)k, donde k es cualquier número real. SOLUCIÓN Al ordenar el trabajo en columnas f(x)  (1  x)k f(0)  1 k1 f(x)  k(1  x) f(0)  k f(x)  k(k  1)(1  x)k  2 f(x)  k(k  1)(1  2)(1  x) f(0)  k(k  1) k3 f(0)  k(k  1)(k  2)    f (n)(x)  k(k  1)    (k  n  1)(1  x)k  n f (n)(0)  k(k  1)    (k  n  1) Por lo tanto, la serie de Maclaurin de f(x)  (1  x)k es  n苷0 f (n)(0) n k(k  1)    (k  n  1) n x 苷  x n! n! n苷0 742 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Esta serie se denomina serie binomial. Si su n-ésimo término es an, entonces    a n1 k(k  1)    (k  n  1)(k  n)xn1 n! 苷 ⴢ an n  1! k(k  1)    (k  n  1)xn 苷    k n x 苷 1 1 n    kn n1  1   x l x es n l Entonces, por la prueba de la razón, la serie binomial converge si x  1 y diverge si x  1.  La notación tradicional para los coeficientes de la serie binomial es  k k(k  1)(k  2)    (k  n  1) 苷 n n! y los números se llaman coeficientes del binomio. El siguiente teorema expresa que (1  x)k es igual a la suma de su serie Maclaurin. Es posible demostrar esto al probar que el término restante Rn(x) se aproxima a 0, pero esto resulta ser muy difícil. La prueba resumida en el ejercicio 71 es mucho más fácil. 17 SERIE BINOMIAL Si k es cualquier número real y x  1, entonces (1  x)k 苷  n苷0  k n k(k  1) 2 k(k  1)(k  2) 3 x 苷 1  kx  x  x  n 2! 3! Aun cuando la serie binomial siempre converge cuando x  1, la pregunta de si converge o no en los extremos, 1, depende del valor de k. Resulta que la serie converge en 1 si 1  k  0 y en ambos extremos si k 0. Nótese que si k es un entero positivo y n  k, entonces la expresión para nk contiene un factor (k  k), de modo que nk 苷 0 para n  k. Esto significa que la serie termina y reduce el teorema del binomio ordinario cuando k es un entero positivo. (Véase la página de referencia 1.) 1 Encuentre la serie de Maclaurin para la función f (x) 苷 y su s4  x radio de convergencia. V EJEMPLO 9 SOLUCIÓN Escriba f(x) de forma que pueda usar la serie binomial: 1 苷 s4  x 1 1     4 1 苷 x 4 2 4 1 x 4 苷 1 2   1 x 4 12 SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN |||| 743 Y al usar la serie binomial con k 苷 12 y donde x fue reemplazada por x4, tenemos 1 1 苷 2 s4  x 苷 1 2             1 1 2 12 x 4 苷 1  1 2      苷 1 2  1 n苷0 x 4  21 n  x 4 1223 2! n  x 4 2       122352 x  3! 4 213225    21  n  1 x  n! 4 3 n   1 13 2 135 3 1  3  5      2n  1 n x x  x     x  8 2!82 3!83 n!8n Sabe de (17) que esta serie converge con x4  1, es decir, x  4, de modo que el ra dio de convergencia es R  4. En la tabla siguiente están reunidas, para referencia futura, algunas de las series importantes de Maclaurin que ha deducido en esta sección y en la anterior.. TABLA 1 Series importantes de Maclaurin y sus radios de convergencia. 1 苷  xn 苷 1  x  x2  x3     1x n苷0 ex 苷 xn x x2 x3 苷1     n! 1! 2! 3!  n苷0 x 2n1 x3 x5 x7 苷x     2n  1! 3! 5! 7! R苷  1 x 2n x2 x4 x6 苷1     2n! 2! 4! 6! R苷 n苷0 n cos x 苷 n苷0 tan1x 苷  1 n n苷0 1  xk 苷  x 2n1 x3 x5 x7 苷x     2n  1 3 5 7 R苷1  n苷0 TEC Module 11.10/11.11 permite ver cómo polinomios sucesivos de Taylor se aproximan a la función original. R苷  1 n sen x 苷 R苷1 k n kk  1 2 kk  1k  2 3 x 苷 1  kx  x  x  R苷1 n 2! 3! Una razón de que las series de Taylor sean importantes, es que permiten integrar funciones que no se podían manejar antes. En efecto, en la introducción de este capítulo mencionamos que Newton integraba a menudo funciones expresándolas primero como series de potencias, y que después integraba la serie término a término. No es posible in2 tegrar la función f x 苷 ex por medio de las técnicas conocidas hasta este momento, porque su antiderivada no es una función elemental (véase sección 7.5). En el ejemplo siguiente se aplica la idea de Newton para integrar esta función. 744 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS V EJEMPLO 10 (a) Evalúe x ex dx como una serie infinita. 2 (b) Evalúe x01 ex dx de tal manera que no difiera 0.001 del valor real. 2 SOLUCIÓN 2 (a) Primero encuentre la serie de Maclaurin de f x 苷 ex . Aunque es posible usar el método directo, determinémosla simplemente mediante el reemplazo de x con x 2 en la serie de e x dada en la tabla 1. Por esto, para todos los valores de x, 2 ex 苷  n苷0 x 2 n 苷 n!  1n n苷0 x 2n x2 x4 x6 苷1     n! 1! 2! 3! Ahora integre término a término ye x 2  dx 苷 y 1   x2 x4 x6 x 2n        1n     dx 1! 2! 3! n! 苷Cx x3 x5 x7 x 2n1        1n   3 ⴢ 1! 5 ⴢ 2! 7 ⴢ 3! 2n  1n! 2 Esta serie es convergente para toda x porque la serie original para ex converge para toda x. (b) El teorema fundamental del cálculo y 1 0  2 ex dx 苷 x  Es posible hacer C 苷 0 en la antiderivada del inciso (a).  x5 x7 x9 x3      3 ⴢ 1! 5 ⴢ 2! 7 ⴢ 3! 9 ⴢ 4! 1 0 1 苷 1  31  101  421  216   & 1 1  13  101  421  216 0.7475 El teorema de estimación de la serie alternante demuestra que el error que hay en esta aproximación es menor que 1 1 苷  0.001 11 ⴢ 5! 1320  Otra aplicación de la serie de Taylor se ilustra en el ejemplo siguiente. El límite podría ser calculado con la regla de l’Hospital, pero en lugar de hacerlo así se recurre a las series. EJEMPLO 11 Evalúe lím xl0 ex  1  x . x2 SOLUCIÓN Al utilizar la serie de Maclaurin para e x & Algunos sistemas algebraicos computacionales calculan los límites de esta manera.     x x2 x3      1  x e 1x 1! 2! 3! lím 苷 lím xl0 xl0 x2 x2 2 3 4 x x x     2! 3! 4! 苷 lím xl0 x2 1 x x2 x3 1 苷 lím      苷 xl0 2 3! 4! 5! 2 x 1 porque las series de potencias son funciones continuas.  SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN |||| 745 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE SERIES DE POTENCIAS Si las series de potencias se suman o restan, se comportan como polinomios; (el teorema 11.2.8 lo ilustra). En efecto, como lo ilustra el ejemplo siguiente, las series también se pueden multiplicar y dividir como los polinomios. Primero determine los primeros términos porque los cálculos para los siguientes se vuelven tediosos y los términos iniciales son los más importantes. EJEMPLO 12 Calcule los primeros tres términos no cero de la serie de Maclaurin para (a) e x sen x y (b) tan x. SOLUCIÓN (a) Mediante la serie de Maclaurin para e x y sen x en la tabla 1  e x sen x 苷 1  x x2 x3     1! 2! 3!  x x3   3!  Al multiplicar esta expresión y agrupar por términos semejantes, al igual que con los polinomios: 1 1  x  12 x 2  6 x 3     1 x  6 x3     x  x 2  21 x 3  16 x 4      61 x 3  16 x 4     x  x 2  31 x 3     Así, e x sen x 苷 x  x 2  31 x 3     (b) Al utilizar la serie de Maclaurin en la tabla 1 x3 x5    sen x 3! 5! tan x 苷 苷 cos x x2 x4 1    2! 4! x Aplique un procedimiento como el de la división larga x  13 x 3  1  21 x 2  241 x 4    x  61 x 3  x  12 x 3  1 3 1 3 Por consiguiente, x3  x3  2 15 1 120 1 24 x5     x5     x 5    1 30 1 6 x5     x5     2 15 x5     tan x 苷 x  13 x 3  152 x 5      No se ha intentado justificar las manipulaciones formales que se utilizaron en el ejemplo 12, pero son legítimas. Hay un teorema que establece que si tanto f x 苷  cn x n como tx 苷  bn x n convergen para x  R y las series se multiplican como si fueran polinomios, en tal caso la serie resultante también converge para x  R y representa f xtx. En cuanto a la división es necesario que b0 苷 0; la serie resultante converge para x suficientemente pequeña.       746 |||| 11.10 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS EJERCICIOS 1. Si f x 苷 n苷0 bnx  5 n para toda x, escriba una fórmula para b 8. 2. Se proporciona la gráfica de f. 17. f x 苷 cos x, a苷 18. f x 苷 sen x , a 苷 19. f x 苷 1sx, a苷9 20. f x 苷 x 2, 2 a苷1 y 21. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 7 representa sen f px para toda x. 22. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 18 representa 1 sen x para toda x. 0 x 1 23. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 11 representa senh x para toda x. (a) Explique por qué la serie 24. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 12 representa cosh x para toda x. 1.6  0.8x  1  0.4x  12  0.1x  13     25–28 Use la serie binomial para expandir la función como una se- no es la serie de Taylor de f centrada en 1. rie de potencias. Exprese el radio de convergencia. (b) Explique por qué la serie 2 3 2.8  0.5x  2  1.5x  2  0.1x  2     25. s1  x 27. no es la serie de Taylor de f centrada en 2. 26. 1 (2  x)3 1 (1  x)4 28. (1  x)23 3. Si f (n)(0)  (n  1)! para n  0, 1, 2,…, encuentre la serie de Maclaurin para f y su radio de convergencia. 29–38 Utilice la serie de Maclaurin que paracere en la tabla 1 para 4. Encuentre la serie de Taylor para f con centro en 4 si f (n)4 苷 29. f x 苷 sen 1n n! 3nn  1 5–12 Encuentre la serie de Maclaurin para f x usando la defini- ción de la serie de Maclaurin. [Suponga que f tiene un desarrollo en serie de potencias. No demuestre que Rnx l 0.] Determine también el radio asociado con la convergencia. 1 35. f x 苷 x s4  x2 37. f x 苷 sen2 x 38. f x 苷 8. f x 苷 cos 3x 9. f x 苷 e 5x 32. f x 苷 e x  2ex 33. f x 苷 x cos2 x2 6. f x 苷 ln1  x 7. f x 苷 sen px 30. f x 苷 cos( x2) x 31. f x 苷 e x  e2x ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor? 5. f x 苷 1  x2 obtener la serie de Maclaurin para la función dada.  33. f x 苷 x2 tan1 (x)3 36. f x 苷 x2 s2  x 1 [Sugerencia: utilice sen 2x 苷 2 1  cos 2x.] x  sen x x3 isif x 苷 0 1 6 isif x 苷 0 10. f x 苷 xe x 11. f x 苷 senh x ; 39–42 Determine la serie de Maclaurin de f (mediante cualquier 12. f x 苷 cosh x método), y su radio de convergencia. Dibuje f y sus primeros polinomios de Taylor en la misma pantalla. ¿Qué observa con respecto a la correspondencia entre estos polinomios y f ? 13–20 Calcule la serie de Taylor para f x centrada en el valor dado de a. [Suponga que f tiene un desarrollo de serie de potencias. No demuestre que Rnx l 0.] 13. f x 苷 x4  3x2  1 , 14. f x 苷 x  x3 , 15. f x 苷 e , x a苷1 a 苷 2 a苷3 2 39. f x 苷 cosx 2  40. f x 苷 ex  cos x 41. f x 苷 xex 42. f x 苷 1n(1  x2) 43. Mediante la serie de Maclaurin para e x calcule e 0.2 con cinco 16. f x 苷 1x , a 苷 3 posiciones decimales. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 44. Utilice la serie de Maclaurin para sen x a fin de calcular sen 3 61. y 苷 con cinco posiciones decimales. x sen x |||| 747 62. y 苷 e x ln1  x 45. (a) Use la serie binomial para expandir 1s1  x2 (b) Use la parte (a) para hallar la serie de Maclaurin para sen1x. 63–68 Calcule la suma de la serie. 4 46. (a) Expanda 1 s1  x como una serie de potencias. (b) Use el inciso (a) para estimar correctamente posiciones decimales. 1 4 s1.1 63. con tres 49. y x cosx 3  dx 48. cos x  1 dx x y 50. y 64. 1n 2n1 4 2n  1! 66. n n苷0 65. 47–50 Evalúe la integral indefinida como una serie infinita. 47. x 4n n!  1  n苷0 1 y 0.2 y 0.4 y 0.5 0 52. x cos x 3  dx e 1 dx x 67. 3  y arctan(x ) dx 0 53. 0 54. 0 s1  x4 dx 2 x 2ex dx 27 81 9     2! 3! 4! x l0  57. lím x l0  R x  (cinco decimales) 2 x l0  M para x  a M xa 6  f x 苷 56. lím sen x  x  x x5     3 d, en tal caso para x  a  d 70. (a) Demuestre que la función definida por (  error   0.001) 1 6 ln 23 ln 22    2! 3! 69. Demuestre la desigualdad de Taylor para n 苷 2, es decir, de- (  error   5  106) x  tan1x x3 n苷0 muestre que si f x ; 55–57 Mediante las series evalúe el límite. 55. lím 3n 5n n! 2 (tres decimales); tan 1 x 3   senx 3 dx  x 51–54 Utilice series para obtener un valor aproximado de la integral definida con la exactitud indicada. y 1n 2n 6 2n2n! n苷0 2n1 68. 1  ln 2  51.  1  cos x 1  x  ex 3 tan x  x lím x l0 x3 2 si x 苷 0 si x 苷 0 no es igual a la serie de Maclaurin. (b) Dibuje la función del inciso (a) y comente su comportamiento cerca del origen. 71. Use los pasos siguientes para demostrar (17). (a) Sea gx 苷 n苷0nkxn . Derive esta serie para demostrar que gx 苷 58. Utilice la serie del ejemplo 12(b) para evaluar  e1x 0 kgx 1x 1  x  1 (b) Sea h(x)  (1  x)kg(x) y demuestre que h(x)  0. (c) Deduzca que g(x)  (1  x)k. 72. En el ejercicio 53 de la sección 10.2 se demostró que la longi- tud de la elipse x  a sen , y  b cos , donde a  b  0, es Este límite se calculó en el ejemplo 4 de la sección 4.4 utilizando la regla de l’Hospital tres veces. ¿Cuál método prefiere? L 苷 4a y 0 59–62 Utilice la multiplicación o la división de series de potencias para determinar los primeros tres términos diferentes de cero en la serie de Maclaurin para cada función. 2 59. y 苷 ex cos x 60. y 苷 sec x 2 s1  e2 sen2  d donde e 苷 sa2  b2 a es la excentricidad de la elipse. Expanda el integrando como serie binomial y use el resultado del ejercicio 46 de la sección 7.1 para expresar L como una serie en potencias de la excentricidad hasta el término en e6.