Segunda edición ECOE EDICIONES James Cárdenas Grisales James Cárdenas Grisales Ingeniero Civil egresado de la Universidad del Cauca, Popayán, Colombia. Realizó estudios de posgrado, con título de Especialista en Vías Terrestres en el Instituto de Vías de la Universidad del Cauca; con título de Master of Science en Ingeniería de Tránsito en la University of Maryland, College Park, Maryland, USA; y con título de Magíster en Ingeniería Industrial y de Sistemas en la Universidad del Valle, Cali, Colombia. Profesor titular jubilado de la Universidad del Valle, Cali, Colombia, de las asignaturas Ingeniería de Tránsito, Trazado Geométrico de Vías, y Análisis y Diseño de Intersecciones Urbanas. Profesor de planta de la Pontificia Universidad Javeriana, Cali, Colombia, de los cursos Diseño Geométrico de Vías, Ingeniería de Tránsito y Diseño Avanzado de Vías. Profesor visitante, catedrático de los temas Ingeniería de Tránsito Avanzado y Diseño Geométrico de Vías Avanzado, en los programas de posgrado en Vías, Tránsito y Transporte, en la Universidad del Cauca, Popayán, Colombia; en la Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito, Bogotá, Colombia; en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia; en la Universidad del Norte, Barranquilla, Colombia; en la Universidad del Sinú, Montería, Colombia; y en la Universidad de Cartagena, Colombia. Profesor visitante internacional, de las cátedras de Ingeniería de Tránsito y Diseño Geométrico de Carreteras y Vías Urbanas, en los Cursos Intensivos de Transporte que se desarrollan en las Repúblicas de México y Venezuela. Ingeniero consultor, asesor y diseñador de proyectos viales, de tránsito y transporte, en una diversidad de entidades públicas y privadas, en el ámbito local, regional, nacional e internacional. Diseño Geométrico de Carreteras James Cárdenas Grisales Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Cárdenas Grisales, James Diseño geométrico de carreteras / James Cárdenas Grisales – 2ª. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013 544 p. – (Textos universitarios. Ingeniería) Incluye bibliografía e índice temático ISBN 978-958-648-859-4 1. Carreteras – Diseño 2. Ingeniería de carreteras I. Título II. Serie CDD: 625.725 ed. 20 CO-BoBN– a835054 Colección: Ingeniería y arquitectura Área: Ingeniería Primera edición: Bogotá, D.C., octubre de 2002 Reimpresión: Bogotá, D.C., agosto de 2004 Reimpresión: Bogotá, D.C., abril de 2007 Reimpresión: Bogotá, D.C., octubre de 2008 Reimpresión: Bogotá, D.C., noviembre de 2010 Reimpresión: Bogotá, D.C., 2011 Segunda edición: Bogotá, abril de 2013 ISBN: 978-958-648-859-4 © James Cárdenas Grisales E-mail: jamescg1@hotmail.com © Ecoe Ediciones E-mail: correo@ecoeediciones.com www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Pbx. 2481449, fax. 3461741 Coordinación editorial: Andrea Sierra Gómez Autoedición: James Cárdenas Grisales Diseño: Angélica García Reyes Portada y fotografías: Juan David Cárdenas Angulo Impresión: &RQWH[WRV*UiILFRV/WGD Teléfono: 7427711 Bogotá Impreso y hecho en Colombia DEDICATORIA: A Janet y Juan David la esencia de mi vida, mi adoración, la ternura, todo A José Arturo () porque de él también aprendí a sembrar un árbol A María Isaura () porque desde el cielo me tiene presente en sus oraciones A Margoth () por el recuerdo imborrable de mi linda hermana A mis Hermanos por su apoyo y el compartir conmigo, son mi orgullo CONTENIDO CONTENIDO..................................................................................................... LISTA DE TABLAS........................................................................................... LISTA DE FIGURAS........................................................................................ PRÓLOGO........................................................................................................ INTRODUCCIÓN.............................................................................................. Capítulo 1 LAS CARRETERAS........................................................................................ 1.1 1.2 1.3 GENERALIDADES........................................................................ CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS............................ 1.2.1 Según su función............................................................. 1.2.2 Según el tipo de terreno................................................ 1.2.3 Según su competencia.................................................. 1.2.4 Según sus características............................................. CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VÍA……………... Capítulo 2 RUTAS Y LÍNEAS DE PENDIENTE............................................................. 2.1 2.2 2.3 2.4 FASES DEL PROYECTO DE UNA CARRETERA………... 2.1.1 Fase 1. Prefactibilidad.................................................... 2.1.2 Fase 2. Factibilidad......................................................... 2.1.3 Fase 3. Diseños definitivos........................................... SELECCIÓN DE RUTAS............................................................. EVALUACIÓN DEL TRAZADO DE RUTAS.......................... LÍNEA DE PENDIENTE O DE CEROS................................... 2.4.1 Concepto............................................................................ 2.4.2 Trazado de una línea de pendiente........................... vii xi xiii xix xxi 1 1 3 3 3 6 7 7 15 15 15 16 17 18 20 21 21 22 vii Diseño geométrico de carreteras 2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS…............................................... Capítulo 3 DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA.................................... 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 viii CONCEPTOS.................................................................................. CURVAS CIRCULARES SIMPLES.......................................... 3.2.1 Elementos geométricos que c aracterizan una curva circular simple........................................................ 3.2.2 Expresiones que relacionan los elementos geométricos........................................................................ 3.2.3 Expresión de la curvatura de una curva circular simple.................................................................................. 3.2.4 Deflexión de una curva circular simple..................... 3.2.5 Relación entre las c oordenadas planas y las coordenadas polares....................................................... 3.2.6 Otros métodos de cálculo y loc alización de curvas circulares simples............................................... CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS............................... 3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios......... 3.3.2 Curvas circulares compuestas de tres radios........ ESTABILIDAD EN LA MARCHA, VELOCIDAD, CURVATURA, PERALTE Y TRANSICIÓN............................ 3.4.1 Velocidad de diseño....................................................... 3.4.2 Velocidad específica....................................................... 3.4.3 Desplazamiento de un vehículo sobre una curva circular................................................................................. 3.4.4 Velocidad, curvatura, peralte y fricción lateral....... 3.4.5 Transición del peralte..................................................... CURVAS ESPIRALES DE TRANSICIÓN.............................. 3.5.1 Generalidades.................................................................. 3.5.2 La espiral de Euler o Clotoide como curva de transición............................................................................ 3.5.3 Ecuaciones de la Clotoide o espiral de transición............................................................................ 3.5.4 Elementos de enlace de un a curva circular simple con espirales de transición Clotoides iguales................................................................................. 3.5.5 Longitud mínima de la espiral de transición............ 3.5.6 Longitud máxima de la espiral de transición........... 3.5.7 Longitud mínima de la curva circular central.......... ENTRETANGENCIAS HORIZONTALES............................... 32 37 37 38 38 39 42 48 55 141 145 145 159 174 174 176 188 192 199 230 230 233 236 242 248 254 254 267 James Cárdenas Grisales 3.7 3.6.1 Entretangencia mínima.................................................. 3.6.2 Entretangencia máxima................................................. PROBLEMAS PROPUESTOS.................................................... Capítulo 4 DISEÑO GEOMÉTRICO VERTICAL: RASANTE....................................... 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 CONCEPTO..................................................................................... ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE I NTEGRAN EL ALINEAMIENTO VERTICAL...................................................... 4.2.1 Tangentes verticales...................................................... 4.2.2 Curvas verticales............................................................. GEOMETRÍA DE LAS CU RVAS VERTICALES PARABÓLICAS............................................................................... 4.3.1 Curvas verticales simétricas........................................ 4.3.2 Curvas verticales asimétricas...................................... 4.3.3 Coeficiente angular de una curva vertical............... VISIBILIDAD EN CARRETERAS.............................................. 4.4.1 Principios............................................................................ 4.4.2 Distancia de visibilidad de parada.............................. 4.4.3 Distancia de visibilidad de adelantamiento............. 4.4.4 Distancia de visibilidad de encuentro........................ 4.4.5 Evaluación de la visibilidad de un proyecto en planos................................................................................... CRITERIOS PARA LA DETERMINACIÓN DE LAS LONGITUDES DE CURVAS VERTICALES.......................... 4.5.1 Longitud mínima d e las curvas verticales con visibilidad de parada....................................................... 4.5.2 Longitud mínima d e las curvas verticales con visibilidad de adelantamiento....................................... 4.5.3 Longitud mínima d e las curvas verticales con comodidad en la marcha............................................... 4.5.4 Longitud mínima d e las curvas verticales con apariencia........................................................................... 4.5.5 Longitud máxima de las curvas verticales con control por drenaje........................................................... 4.5.6 Longitud mínimum de curvas verticales................... PROBLEMAS PROPUESTOS................................................... 267 268 268 307 307 308 308 313 313 313 323 326 358 358 358 367 371 372 376 376 383 385 386 386 387 394 ix Diseño geométrico de carreteras Capítulo 5 DISEÑO GEOMÉTRICO TRANSVERSAL: SECCIONES, ÁREAS Y VOLÚMENES................................................................................................... 5.1 5.2 CONCEPTO..................................................................................... ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE INTEGRAN LA SECCIÓN TRANSVERSAL........................................................ 5.3 SOBRE-ANCHO EN LAS CURVAS......................................... 5.3.1 Vehículos rígidos............................................................. 5.3.2 Vehículos articulados..................................................... 5.3.3 Transición del sobre-ancho.......................................... 5.4 SECCIONES TRANSVERSALES TÍPICAS, POSICIÓN DE CHAFLANES Y ESTACAS DE CEROS.......................... 5.4.1 Secciones transversales típicas.................................. 5.4.2 Chaflanes o estacas de talud y estacas de ceros.................................................................................... 5.4.3 Posición de los chaflanes............................................. 5.5 ANCHOS DE BANCA Y ÁREAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES........................................................................ 5.5.1 Anchos de banca............................................................. 5.5.2 Áreas de las secciones transversales....................... 5.6 VOLÚMENES DE TIERRA: CUBICACIÓN........................... 5.7 MOVIMIENTO DE VOLÚMENES DE TI ERRA Y DIAGRAMA DE MASAS.............................................................. 5.7.1 Transporte de material excavado............................... 5.7.2 Representación del diagrama de masas................. 5.7.3 Factor de compensación en el movimiento de tierras................................................................................... 5.7.4 Uso del diagrama de masas........................................ 5.8 PROBLEMAS PROPUESTOS................................................... BIBLIOGRAFÍA................................................................................................. ÍNDICE TEMÁTICO......................................................................................... x 405 405 405 410 411 413 416 420 420 420 423 424 424 431 447 462 462 463 467 468 477 493 495 James Cárdenas Grisales LISTA DE TABLAS Tabla 1.1 Tabla 2.1 Tabla 2.2 Tabla 3.1 Tabla 3.2 Tabla 3.3 Tabla 3.4 Tabla 3.5 Tabla 3.6 Tabla 3.7 Tabla 3.8 Tabla 3.9 Tabla 3.10 Tabla 3.11 Tabla 3.12 Tabla 3.13 Tabla 3.14 Tabla 3.15 Tabla 3.16 Tabla 3.17 Tabla 3.18 Tabla 3.19 Tabla 3.20 Tipos de terreno...................................................................................... Valores del inverso del coeficiente de tracción....................................... Puntos, abscisas y cotas a lo largo de las rutas..................................... Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple derecha................................................................................................... Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple izquierda................................................................................................. Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples de distinto sentido........................................................................................ Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples del mismo sentido......................................................................................... Cartera de deflexiones para la curva circular.......................................... Cartera de coordenadas para localización de la curva circular............... Cuadro de localización y elementos de las curvas horizontales............. Cartera de localización de la curva compuesta de dos radios................ Velocidades de diseño de tramos homogéneos, VTR.............................. Velocidad específica de una curva horizontal VCH, incluida en un tramo homogéneo con velocidad de diseño VTR..................................... Diferencia entre la velocidad específica de la última curva horizontal del tramo anterior y la primera curva horizontal del tramo analizado, en Km/h................................................................................................... Radios para deflexiones pequeñas......................................................... Coeficientes de fricción transversal máximos, fTmáx................................ Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=8% y fricción máxima, carreteras primarias y secundarias........................................... Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=6% y fricción máxima, carreteras terciarias.................................................................. Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=8%, carreteras primarias y secundarias......................................................... Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=6%, carreteras terciarias................................................................................. Valores máximos y mínimos de la pendiente relativa de los bordes de la calzada con respecto al eje................................................................. Factores de ajuste por el número de carriles rotados............................. Clotoide de parámetro K=8...................................................................... 4 21 26 63 67 72 78 101 108 115 153 176 181 184 188 196 196 197 198 199 202 204 236 xi Diseño geométrico de carreteras Tabla 3.21 Tabla 3.22 Tabla 3.23 Tabla 3.24 Tabla 4.1 Tabla 4.2 Tabla 4.3 Tabla 4.4 Tabla 4.5 Tabla 4.6 Tabla 4.7 Tabla 4.8 Tabla 4.9 Tabla 4.10 Tabla 4.11 Tabla 4.12 Tabla 5.1 Tabla 5.2 Tabla 5.3 Tabla 5.4 Tabla 5.5 Tabla 5.6 Tabla 5.7 Tabla 5.8 Tabla 5.9 Tabla 5.10 Tabla 5.11 Tabla 5.12 Tabla 5.13 Tabla 5.14 Tabla 5.15 Tabla 5.16 Tabla 5.17 xii Variación de la aceleración centrífuga..................................................... Cartera de localización de la curva espiral-circular-espiral..................... Cartera de localización de una curva circular por el método de las normales sobre la tangente..................................................................... Cartera de localización de una curva circular desde el PC y desde el PI............................................................................................................. Pendiente media máxima del corredor de ruta (%) en función de la velocidad de diseño del tramo homogéneo (VTR).................................... Relación entre la pendiente máxima (%) en función de la velocidad específica de la tangente vertical (VTV) .................................................. Longitud mínima de la tangente vertical.................................................. Cartera de diseño de rasante, curva vertical convexa............................. Cartera de diseño de rasante, curva vertical cóncava............................. Coeficientes de fricción longitudinal para pavimentos húmedos............. Distancias de visibilidad de parada en tramos a nivel............................. Distancias de visibilidad de parada en tramos con pendiente................. Elementos que conforman la distancia de visibilidad de adelantamiento en carreteras de dos carriles dos sentidos.................... Mínimas distancias de visibilidad de adelantamiento en carreteras de dos carriles dos sentidos........................................................................ Oportunidades de adelantar por tramos de 5 kilómetros......................... Valores mínimos de kv para curvas verticales convexas y cóncavas con visibilidad de parada (criterio de seguridad)..................................... Anchos recomendados de calzada en recta........................................... Anchos recomendados de bermas......................................................... Valores recomendados para el bombeo................................................. Anchos mínimos recomendados de derechos de vía............................. Dimensiones de los vehículos de tipo rígido en el cálculo del sobreancho....................................................................................................... Cartera de chaflanes en recta. Ejemplo 5.4............................................ Cartera de cubicación. Ejemplo 5.4........................................................ Cartera de chaflanes y topografía. Ejemplo 5.5...................................... Áreas y volúmenes. Ejemplo 5.5............................................................. Cartera de chaflanes. Ejemplo 5.6.......................................................... Cartera para elaborar la curva masa....................................................... Cartera de chaflanes. Problema 5.2....................................................... Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.3................................... Cartera de chaflanes en recta. Problema 5.6......................................... Áreas. Problema 5.8............................................................................... Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.11................................. Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.12................................. 251 264 293 295 310 310 311 331 333 364 366 367 370 370 371 383 407 408 408 410 412 450 455 455 457 458 469 477 479 480 482 484 485 James Cárdenas Grisales LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3 Figura 2.1 Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4 Figura 2.5 Figura 2.6 Figura 2.7 Figura 2.8 Figura 2.9 Figura 3.1 Figura 3.2 Figura 3.3 Figura 3.4 Figura 3.5 Figura 3.6 Figura 3.7 Figura 3.8 Figura 3.9 Figura 3.10 Figura 3.11 Figura 3.12 Figura 3.13 Figura 3.14 Figura 3.15 Figura 3.16 Figura 3.17 Figura 3.18 Figura 3.19 Figura 3.20 Figura 3.21 Figura 3.22 Figura 3.23 Tipos de terreno en carreteras…………………………………………….. Eje de una vía en el espacio tridimensional............................................ Diseño geométrico en planta y en perfil del eje de una vía..................... Concepto de línea de pendiente............................................................. Línea de ceros en un plano..................................................................... Estudio de rutas...................................................................................... Perfil longitudinal de rutas....................................................................... Trazado de líneas de pendiente o de ceros............................................ Perfil longitudinal de líneas de pendiente o de ceros............................. Estudio de rutas. Problema 2.1............................................................... Trazado de líneas de pendiente o de ceros. Problema 2.2..................... Pendiente ponderada máxima uniforme. Problema 2.3.......................... Elementos geométricos de una curva circular simple............................. Curvatura por el sistema arco-grado...................................................... Curvatura por el sistema cuerda-grado.................................................. Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado........................ Concepto de ángulo de deflexión........................................................... Deflexión de una curva circular. Caso particular.................................... Deflexión de una curva circular. Caso general........................................ Coordenadas planas y coordenadas polares......................................... Curva circular simple derecha................................................................ Curva circular simple izquierda............................................................... Curvas circulares simples de sentido contrario...................................... Ejemplo 3.6............................................................................................. Deflexiones de curvas circulares simples del mismo sentido................. Ejemplo 3.7............................................................................................. Curvas circulares simples del mismo sentido......................................... Distancia entre los centros de las curvas............................................... Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada......................... Curva circular simple tangente a tres alineamientos............................... Ejemplo 3.10........................................................................................... Curva de radio dado y PI inaccesible..................................................... Ejemplo 3.11........................................................................................... Curva de tangente dada y PI inaccesible............................................... Ejemplo 3.12........................................................................................... 6 10 12 22 24 25 26 30 32 33 34 35 39 42 45 46 49 51 54 56 59 64 68 73 74 77 79 81 82 85 88 88 91 91 94 xiii Diseño geométrico de carreteras Figura 3.24 Figura 3.25 Figura 3.26 Figura 3.27 Figura 3.28 Figura 3.29 Figura 3.30 Figura 3.31 Figura 3.32 Figura 3.33 Figura 3.34 Figura 3.35 Figura 3.36 Figura 3.37 Figura 3.38 Figura 3.39 Figura 3.40 Figura 3.41 Figura 3.42 Figura 3.43 Figura 3.44 Figura 3.45 Figura 3.46 Figura 3.47 Figura 3.48 Figura 3.49 Figura 3.50 Figura 3.51 Figura 3.52 Figura 3.53 Figura 3.54 Figura 3.55 Figura 3.56 Figura 3.57 Figura 3.58 Figura 3.59 Figura 3.60 Figura 3.61 Figura 3.62 Figura 3.63 Figura 3.64 Figura 3.65 Figura 3.66 Figura 3.67 xiv Curvas circulares de tangentes paralelas............................................... Ejemplo 3.13........................................................................................... Coordenadas del centro de una curva circular........................................ Ejemplo 3.14........................................................................................... Vías que se interceptan........................................................................... Cálculo de una curva circular por coordenadas....................................... Ejemplo 3.16........................................................................................... Localización de curvas horizontales circulares simples.......................... Desplazamiento paralelo de la tangente de salida.................................. Ejemplo 3.18........................................................................................... Ecuación de empalme curva a curva...................................................... Ejemplo 3.19........................................................................................... Ecuación de empalme curva a recta....................................................... Ejemplo 3.20............................................................................................ Ecuación de empalme entre una variante y una vía antigua.................. Ejemplo 3.21........................................................................................... Ecuación de empalme por desplazamiento de la tangente común......... Ejemplo 3.22........................................................................................... Ecuación de empalme por rotación de la tangente común..................... Ejemplo 3.23........................................................................................... Ecuación de empalme entre dos vías inicialmente paralelas.................. Cálculo de una curva circular simple por normales a la tangente........... Cálculo de una curva circular simple desde el PI.................................... Curva circular compuesta de dos radios................................................. Ejemplo de una curva circular compuesta de dos radios....................... Ejemplo 3.25........................................................................................... Ecuación de empalme con curvas circulares simples y compuestas...... Elementos de una curva circular compuesta de tres radios.................... Caso general de una curva circular compuesta de tres radios............... Casos de curvas circulares compuestas de tres radios.......................... Ejemplo de una curva circular compuesta de tres radios........................ Ejemplo 3.27........................................................................................... Curvas circulares compuestas de dos y tres radios................................ Efecto de la inclinación transversal de la calzada sobre un vehículo circulando en curva................................................................................. Caso Wp=Fp............................................................................................ Caso Wp<Fp............................................................................................ Caso Wp>Fp............................................................................................ Transición del peralte.............................................................................. Secciones transversales y perfil parcial de la transición del peralte....... Disposición de los carriles que rotan respecto a su eje de rotación........ Planta de la transición del peralte........................................................... Perfil longitudinal de la transición del peralte.......................................... Perfil parcial de la transición del peralte.................................................. Cotas de los bordes en secciones específicas........................................ 95 96 97 99 100 103 109 110 116 118 119 121 121 124 126 129 130 134 134 138 139 142 143 146 149 154 156 160 163 165 167 169 171 190 191 191 192 201 202 204 207 208 211 214 James Cárdenas Grisales Figura 3.68 Figura 3.69 Figura 3.70 Figura 3.71 Figura 3.72 Figura 3.73 Figura 3.74 Figura 3.75 Figura 3.76 Figura 3.77 Figura 3.78 Figura 3.79 Figura 3.80 Figura 3.81 Figura 3.82 Figura 3.83 Figura 3.84 Figura 3.85 Figura 3.86 Figura 3.87 Figura 3.88 Figura 3.89 Figura 3.90 Figura 3.91 Figura 3.92 Figura 3.93 Figura 3.94 Figura 3.95 Figura 3.96 Figura 3.97 Figura 3.98 Figura 3.99 Figura 3.100 Figura 3.101 Figura 3.102 Figura 3.103 Figura 3.104 Figura 3.105 Figura 3.106 Figura 3.107 Figura 3.108 Figura 3.109 Figura 3.110 Cotas de bordes y abscisas en secciones específicas............................ Peraltado en curvas de diferente sentido................................................ Cotas de bordes en secciones específicas............................................. Peraltado en curvas de diferente sentido, con cambios de pendiente... Abscisas y cotas de bordes en secciones específicas............................ Peralte en una curva compuesta de dos radios...................................... Perfil del peralte en una curva compuesta de dos radios........................ Curvatura en el enlace de tramos rectos con una curva circular simple Curvatura en el enlace de tramos rectos con curvas circulares compuestas............................................................................................. Trayectoria de los vehículos en una curva circular.................................. Curvatura en enlace de tramos rectos con una curva circular con curvas de transición................................................................................. La curva de transición entre la recta y el arco circular............................ Clotoide de parámetro K=8...................................................................... Elementos de la Clotoide o espiral.......................................................... Elementos de la curva simétrica Espiral-Circular-Espiral........................ Vehículo girando en curva....................................................................... Longitud mínima de la espiral de acuerdo al peralte............................... Problema 3.5........................................................................................... Problema 3.6........................................................................................... Problema 3.7........................................................................................... Problema 3.8........................................................................................... Problema 3.9........................................................................................... Problema 3.10......................................................................................... Problema 3.11......................................................................................... Problema 3.12......................................................................................... Problema 3.13......................................................................................... Problema 3.14......................................................................................... Problema 3.15......................................................................................... Problema 3.16......................................................................................... Problema 3.17......................................................................................... Problema 3.18......................................................................................... Problema 3.19......................................................................................... Problema 3.20......................................................................................... Problema 3.21......................................................................................... Problema 3.22......................................................................................... Problema 3.23......................................................................................... Problema 3.24......................................................................................... Problema 3.25......................................................................................... Problema 3.26......................................................................................... Problema 3.27......................................................................................... Problema 3.28......................................................................................... Problema 3.29......................................................................................... Problema 3.30......................................................................................... 217 219 221 222 224 226 228 231 231 232 233 234 236 237 243 249 252 270 271 272 273 274 275 276 277 277 278 279 280 281 282 283 283 284 285 286 287 288 288 289 290 291 292 xv Diseño geométrico de carreteras Figura 3.111 Figura 3.112 Figura 3.113 Figura 3.114 Figura 3.115 Figura 3.116 Figura 3.117 Figura 3.118 Figura 3.119 Figura 3.120 Figura 4.1 Figura 4.2 Figura 4.3 Figura 4.4 Figura 4.5 Figura 4.6 Figura 4.7 Figura 4.8 Figura 4.9 Figura 4.10 Figura 4.11 Figura 4.12 Figura 4.13 Figura 4.14 Figura 4.15 Figura 4.16 Figura 4.17 Figura 4.18 Figura 4.19 Figura 4.20 Figura 4.21 Figura 4.22 Figura 4.23 Figura 4.24 Figura 4.25 Figura 4.26 Figura 4.27 Figura 4.28 Figura 4.29 Figura 4.30 Figura 4.31 Figura 4.32 Figura 4.33 xvi Problema 3.32......................................................................................... Problema 3.37......................................................................................... Problema 3.38......................................................................................... Problema 3.42......................................................................................... Problema 3.43......................................................................................... Problema 3.44......................................................................................... Problema 3.45......................................................................................... Problema 3.46......................................................................................... Problema 3.48......................................................................................... Problema 3.49......................................................................................... La tangente vertical................................................................................. Parábola de eje vertical, perfectamente simétrica................................... Diferencia algebraica entre las pendientes.............................................. Significado de i. Tipos de curvas verticales............................................. Punto máximo de una curva vertical simétrica........................................ Curva vertical asimétrica......................................................................... Punto mínimo de una curva vertical asimétrica....................................... Coeficiente angular de una curva vertical................................................ Curva vertical convexa simétrica............................................................. Curva vertical cóncava simétrica............................................................. Curva vertical simétrica por un punto obligado........................................ Ejemplo de punto máximo de una curva vertical simétrica...................... Curva vertical simétrica por un punto mínimo......................................... Ejemplo 4.6.............................................................................................. Curva vertical compuesta........................................................................ Ejemplo 4.7.............................................................................................. Curvas verticales simétricas que se cruzan............................................ Ejemplo 4.8.............................................................................................. Pendiente en una curva vertical restringida............................................. Ejemplo 4.9.............................................................................................. Curva vertical sobre una cota obligada................................................... Ejemplo 4.10............................................................................................ Curvas verticales tangentes.................................................................... Ejemplo 4.11............................................................................................ Rasantes que se cruzan, a desnivel........................................................ Ejemplo 4.12............................................................................................ Curva vertical en un paso inferior............................................................ Ejemplo 4.13............................................................................................ Máximos entre curvas verticales simétricas............................................. Ejemplo de curva vertical asimétrica........................................................ Distancia de visibilidad de parada........................................................... Relación entre la velocidad, el tiempo y la distancia, en movimiento uniformemente desacelerado.................................................................. Distancia de visibilidad de adelantamiento en carreteras de dos carriles dos sentidos................................................................................ 294 296 297 300 301 302 303 303 305 306 308 315 319 321 322 324 325 327 329 332 334 336 338 339 340 342 343 344 344 345 346 347 348 349 350 352 352 354 354 356 359 361 368 James Cárdenas Grisales Figura 4.34 Figura 4.35 Figura 4.36 Figura 4.37 Figura 4.38 Figura 4.39 Figura 4.40 Figura 4.41 Figura 4.42 Figura 4.43 Figura 4.44 Figura 4.45 Figura 4.46 Figura 4.47 Figura 4.48 Figura 5.1 Figura 5.2 Figura 5.3 Figura 5.4 Figura 5.5 Figura 5.6 Figura 5.7 Figura 5.8 Figura 5.9 Figura 5.10 Figura 5.11 Figura 5.12 Figura 5.13 Figura 5.14 Figura 5.15 Figura 5.16 Figura 5.17 Figura 5.18 Figura 5.19 Figura 5.20 Figura 5.21 Figura 5.22 Figura 5.23 Figura 5.24 Figura 5.25 Figura 5.26 Evaluación y medición de las distancias de visibilidad en carreteras..... Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 1: Dp > Lv......... Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 2: Dp < Lv......... Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 1: Dp > Lv......... Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 2: Dp < Lv......... Longitud de una curva vertical convexa con base en criterios................ Longitud de una curva vertical cóncava con base en criterios................ Problema 4.1............................................................................................. Problema 4.2........................................................................................... Problema 4.5............................................................................................ Problema 4.7............................................................................................ Problema 4.11.......................................................................................... Problema 4.13......................................................................................... Problema 4.14......................................................................................... Problema 4.15......................................................................................... Sección transversal típica mixta, pavimentada en recta......................... Sobre-ancho en las curvas, vehículos rígidos......................................... Sobre-ancho en las curvas, vehículos articulados.................................. Transición del sobre-ancho en las curvas............................................... Secciones transversales típicas.............................................................. Posición de las estacas de chaflanes y de ceros.................................... Planta de chaflanes y ceros.................................................................... Posición de los chaflanes........................................................................ Ancho de banca en recta y en corte....................................................... Ancho de banca en recta y en terraplén................................................. Ancho de banca en curva y en corte...................................................... Ancho de banca en curva y en terraplén................................................ Ancho de banca en recta y sección mixta.............................................. Área sección homogénea simple en recta, por figuras geométricas y coordenadas........................................................................................... Área sección homogénea simple en recta, por las coordenadas de los vértices.................................................................................................... Ancho de banca y área, por figuras geométricas y coordenadas........... Ejemplo de cálculo del área por las coordenadas de los vértices......... Área sección mixta simple en recta por las coordenadas de los vértices.................................................................................................... Área sección mixta por las coordenadas de los vértices........................ Área sección homogénea simple en curva, por figuras geométricas...... Área sección homogénea simple en curva, por chaflanes...................... Área sección homogénea simple en curva, por coordenadas de los vértices.................................................................................................... Área sección homogénea simple en curva, por coordenadas................ Área sección mixta compuesta en curva................................................ Área sección mixta compuesta en curva, por chaflanes......................... El prismoide en carreteras...................................................................... 374 376 378 380 382 388 392 394 395 397 398 400 401 402 403 406 412 414 417 420 422 423 424 426 427 428 430 431 432 434 436 438 439 440 442 443 444 445 446 447 448 xvii Diseño geométrico de carreteras Figura 5.27 Figura 5.28 Figura 5.29 Figura 5.30 Figura 5.31 Figura 5.32 Figura 5.33 Figura 5.34 Figura 5.35 Figura 5.36 Figura 5.37 Figura 5.38 Figura 5.39 Figura 5.40 Figura 5.41 Figura 5.42 Figura 5.43 Figura 5.44 Figura 5.45 Figura 5.46 Figura 5.47 xviii Prismoide, tronco de pirámoide y pirámoide........................................... Abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros......................................... Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.4.... Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.5.... Cálculo de ancho de banca, talud y área................................................ Posición de chaflanes y cálculo de área................................................. Perfil longitudinal y diagrama de masas………………………………….. Propiedades del diagrama de masas…………………………………….... Ejemplo numérico del diagrama de masas……………………………….. Distancia media de acarreo longitudinal………………………………….... Problema 5.1........................................................................................... Problema 5.4........................................................................................... Problema 5.7........................................................................................... Problema 5.8........................................................................................... Problema 5.9........................................................................................... Problema 5.13......................................................................................... Problema 5.14......................................................................................... Problema 5.15......................................................................................... Problema 5.16......................................................................................... Problema 5.17......................................................................................... Problema 5.18......................................................................................... 450 451 452 456 458 460 464 466 470 472 478 479 481 482 483 486 487 488 489 490 491 James Cárdenas Grisales PRÓLOGO Me es muy grato presentar a los profesionales de la ingeniería vial y a sus estudiantes universitarios, la publicación Diseño Geométrico de Carreteras, del profesor universitario y consultor nacional e internacional, ingeniero James Cárdenas Grisales. Este libro recoge la amplia experiencia del ingeniero James Cárdenas, tanto en la docencia como en el ejercicio profesional en la ingeniería vial, y en especial en el diseño geométrico de carreteras. Como consecuencia de la excelente formación académica, la amplitud de conocimientos y experiencias, la voluntad, la disciplina y el acentuado sentido analítico del autor, el libro es, amplio en conceptos básicos, suficiente en la exposición de los elementos teóricos fundamentales, preciso en los criterios técnicos y científicos utilizados, y desde luego, didáctico con la aplicación práctica de todo lo anterior, mediante casos típicos de cada uno de los temas tratados, que con indicaciones precisas aclaran y afianzan los conceptos y criterios de diseño entregados. La orientación que el autor da en la cátedra, el enfoque práctico del cual damos fe los conocedores de su actividad en el campo de la consultoría, es la filosofía que el colega James Cárdenas ha plasmado en este libro, cuyo conocimiento de éste por parte de los ingenieros, les permitirá resolver las dificultades, atender con éxito y con plena responsabilidad el compromiso de diseñar carreteras con los más altos estándares, para brindar a los usuarios mejores condiciones de operación, comodidad, economía y seguridad. James Cárdenas Grisales, Vallecaucano de pura cepa, obtuvo el grado de Ingeniero Civil en 1974 en la Universidad del Cauca de Popayán xix Diseño geométrico de carreteras Colombia, el título de Especialista en Vías Terrestres en 1974 en el Instituto de Vías de la misma universidad, el título de Master of Science en Ingeniería de Tránsito en 1981 en la Universidad de Maryland de los Estados Unidos y el título de Magíster en Ingeniería Industrial y de Sistemas en 1990 en la Universidad del Valle de Cali Colombia. Desde su graduación, se ha dedicado a la docencia y a la consultoría en las áreas de Diseño Vial, Tránsito y Transporte, lo cual le ha generado un amplio bagaje de experiencia en el diseño y solución de problemas de ingeniería vial, en numerosas y variadas regiones del país y del exterior, en las cuales sus virtudes y cualidades de recursividad en la aplicación de conceptos, de análisis para escudriñar el origen y las limitaciones de teorías, métodos y técnicas, de constancia y responsabilidad, le han dado un reconocido y merecido prestigio como docente y consultor. Felicitaciones al Ingeniero James Cárdenas Grisales, por el meritorio y estimulante esfuerzo de escribir este libro, en el cual deja impresas sus experiencias y conocimientos adquiridos a lo largo de la docencia universitaria y la practica profesional. IVÁN ALBERTO ESTRADA PAZ Ingeniero Civil Ex presidente de la Asociación de Ingenieros del Valle Santiago de Cali, febrero de 2013 xx James Cárdenas Grisales INTRODUCCIÓN En esta nueva edición de mi libro, DISEÑO GEOMÉTRICO DE CARRETERAS, quedan plasmados los resultados logrados en este fascinante campo de la ingeniería vial a lo largo de treinta y cinco años de experiencia profesional, tanto académica como práctica, y que hoy más que nunca llenan mi vida de una satisfacción y felicidad inconmensurables. La experiencia académica, fundamentalmente lograda en el ámbito de pregrado, a través de la enseñanza de los cursos de Diseño Geométrico de Vías en las Facultades de Ingeniería de la Universidad del Valle y la Pontificia Universidad Javeriana de Cali; lo mismo que mediante la enseñanza de los cursos de Diseño Geométrico Avanzado de Vías en los programas de posgrado en la Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito en Bogotá, la Universidad Distrital Francisco José de Caldas en Bogotá, la Universidad del Norte en Barranquilla, la Universidad del Sinú en Montería y la Universidad de Cartagena en Cartagena; e igualmente, como profesor internacional de los temas de Diseño Geométrico de Vías Urbanas en los cursos intensivos de transporte urbano que se han venido desarrollando en las repúblicas de México y Venezuela. La experiencia práctica, principalmente obtenida como asesor, consultor y diseñador de una gran cantidad de proyectos viales en el campo rural y urbano, nacionales e internacionales, en una diversidad de entidades privadas y oficiales. Por lo anterior, este libro lo he escrito con el propósito de que sea consultado por estudiantes universitarios de pregrado y posgrado, profesores y profesionales practicantes de la ingeniería de vías, xxi Diseño geométrico de carreteras convencido que con el desarrollo de una gran cantidad de ejemplos de casos típicos, se pueden aclarar y afianzar mejor los principios básicos adquiridos; los cuales aquí se presentan en forma completa con su sustentación teórica y con los criterios que los soportan, actualmente aceptados mundialmente y normalizados por el Instituto Nacional de Vías, del Ministerio de Transporte de Colombia. Adicionalmente, he confeccionado una serie de problemas propuestos, para que sean resueltos por el lector como una práctica final. También, he diseñado de manera especial todas las figuras del libro, para así transmitirle al lector mis ideas gráficas de forma real y proporcionada, de acuerdo con mi imaginación tridimensional. De esta manera, el libro puede ser utilizado como texto guía en cualquier centro de educación superior nacional o extranjero, y como documento de consulta o de referencia en empresas consultoras y oficinas estatales que realicen proyectos viales. Los temas del libro están divididos en cinco grandes capítulos. El capítulo 1, Las carreteras, define las carreteras, las clasifica y presenta su concepción tridimensional, ubicando al lector en el diseño geométrico. El capítulo 2, Rutas y líneas de pendiente, presenta los estudios de rutas y líneas de pendiente para casos de terrenos ondulados, montañosos y escarpados, donde se pueden presentar varias soluciones de trazados. El capítulo 3, Diseño geométrico horizontal: planta, analiza los diferentes elementos del diseño geométrico planimétrico y su relación con la estabilidad del vehículo en la marcha. El capítulo 4, Diseño geométrico vertical: rasante, aborda todos los elementos del diseño altimétrico longitudinal, su relación con la visibilidad, y presenta los diversos criterios para la elección de las longitudes óptimas de las curvas verticales. Por último, el capítulo 5, Diseño geométrico transversal: secciones, áreas y volúmenes, complementa la concepción tridimensional de la vía, a través del estudio de las secciones transversales, sus áreas, los volúmenes entre ellas y su compensación con el diagrama de masas. En la preparación de esta nueva edición del libro, quiero expresar mis más afectivos agradecimientos: a las directivas de la Universidad del Valle y de la Pontificia Universidad Javeriana de Cali Colombia, por xxii James Cárdenas Grisales haberme permitido a través de la enseñanza, la educación superior y la consultoría, estar en contacto a escala local, nacional e internacional con muchas personas estudiosas y practicantes de la ingeniería de vías. A mis estudiantes de pregrado y posgrado, por brindarme la oportunidad con la enseñanza de este tema, de producir una buena parte del contenido del texto. A mis compañeros profesores de las diversas universidades donde he enseñado, por sus elogios, críticas y sugerencias. A mis anteriores jefes de la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Valle, ingenieros Silvio Delvasto, Iván Enrique Ramos, Héctor Cadavid, Peter Thomson y Ricardo Ramírez, por sus estímulos, apoyo y constante colaboración. Hoy en día, al doctor Mauricio Jaramillo Decano Académico de la Facultad de Ingeniería de la Pontificia Universidad Javeriana de Cali y al ingeniero Diego Darío Pérez Director del Departamento de Ingeniería Civil e Industrial de la misma universidad, por sus excelentes comentarios. A mi colega y gran amigo el profesor Alexander García, con quien he compartido interesantes experiencias profesionales y académicas. A mis ex alumnas, amigas y colegas ingenieras Jackeline Murillo y Paola Andrea Cruz, por la revisión del texto y sus valiosas observaciones. A mis cuatro grandes amigos, colegas y ex alumnos, ingenieros Edgar Fonseca, Luis Carlos Moya, Mauricio Carvajal y Paúl Núñez, por sus siempre muy acertados puntos de vista profesionales y sus oportunas reflexiones en mis momentos difíciles. Al ingeniero Iván Estrada, ex Presidente de la Asociación de Ingenieros de Valle, por el intercambio de experiencias. A mi ex alumno, Walther Delgado, por su trabajo fino y nítido en la edición final en computador de todas las figuras del libro. En especial, a mi hijo Juan David Cárdenas Angulo por haber tenido siempre la paciencia y la actitud en el diseño fotográfico del libro, lo mismo que a mi hija Janet Cárdenas Angulo por sus lindos consejos; los dos siempre han sido y serán el gran impulso y el aliciente para seguir adelante. Y finalmente, a todas aquellas personas, que de una u otra manera me apoyaron, y que hoy convierten esta inmensa alegría en realidad. JAMES CÁRDENAS GRISALES xxiii James Cárdenas Grisales Capítulo 1 LAS CARRETERAS 1.1 GENERALIDADES Una carretera es una infraestructura de transporte especialmente acondicionada dentro de toda una faja de terreno denominada derecho de vía, con el propósito de permitir la circulación de vehículos de manera continua en el espacio y en el tiempo, con niveles adecuados de seguridad y comodidad. En el proyecto integral de una carretera, el diseño geométrico es la parte más importante ya que a través de él se establece su configuración geométrica tridimensional, con el fin de que la vía sea funcional, segura, cómoda, estética, económica y compatible con el medio ambiente. Una vía será funcional de acuerdo a su tipo, características geométricas y volúmenes de tránsito, de tal manera que ofrezca una adecuada movilidad a través de una velocidad de operación suficiente. 1 Diseño geométrico de carreteras La geometría de la vía tendrá como premisa básica la de ser segura, a través de un diseño simple, uniforme y consistente. La vía será cómoda en la medida en que se disminuyan las aceleraciones de los vehículos y sus variaciones, lo cual se logrará ajustando las curvaturas de la geometría y sus transiciones a las velocidades de operación por las que optan los conductores a lo largo de los tramos rectos. La vía será estética al adaptarla al paisaje, permitiendo generar visuales agradables a las perspectivas cambiantes, produciendo en el conductor un recorrido fácil. La vía será económica, cuando cumpliendo con los demás objetivos, ofrece el menor costo posible tanto en su construcción como en su mantenimiento. Finalmente, la vía deberá ser compatible con el medio ambiente, adaptándola en lo posible a la topografía natural, a los usos del suelo y al valor de la tierra, y procurando mitigar o minimizar los impactos ambientales. Los factores o requisitos del diseño a tener en cuenta se agrupan en externos o previamente existentes, e internos o propios de la vía y su diseño. Los factores externos están relacionados, entre otros aspectos, con la topografía del terreno natural, la conformación geológica y geotécnica del mismo, el volumen y características del tránsito actual y futuro, los valores ambientales, la climatología e hidrología de la zona, los desarrollos urbanísticos existentes y previstos, los parámetros socioeconómicos del área y la estructura de las propiedades. Los factores internos del diseño contemplan las velocidades a tener en cuenta para el mismo y los efectos operacionales de la geometría, especialmente los vinculados con la seguridad exigida y los relacionados con la estética y armonía de la solución. 2 James Cárdenas Grisales 1.2 CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS[5,10] 1.2.1 Según su función Determinada según la necesidad operacional de la carretera o de los intereses de la nación en sus diferentes niveles:  CARRETERAS PRIMARIAS O DE PRIMER ORDEN Son aquellas vías troncales, transversales y de accesos a las capitales de los Departamentos, que cumplen la función básica de integración de las principales zonas de producción y de consumo del país y de éste con los demás países. Este tipo de carreteras puede ser de calzadas divididas según las exigencias del proyecto, y deben ser siempre pavimentadas.  CARRETERAS SECUNDARIAS O DE SEGUNDO ORDEN Son aquellas vías que unen cabeceras municipales entre sí y/o que provienen de una cabecera municipal y conectan con una carretera Primaria. Las carreteras consideradas como Secundarias pueden funcionar pavimentadas o en afirmado.  CARRETERAS TERCIARIAS O DE TERCER ORDEN Son aquellas vías de acceso que unen cabeceras municipales con sus veredas, o que unen veredas entre sí. Las carreteras consideradas como Terciarias deben funcionar en afirmado. En caso de pavimentarse deben cumplir con las condiciones geométricas estipuladas para las carreteras Secundarias 1.2.2 Según el tipo de terreno Determinada por la topografía predominante en el tramo en estudio. De allí que, a lo largo de una carretera pueden presentarse tramos homogéneos en diferentes tipos de terreno. Éstos se clasifican con base en las pendientes de sus laderas naturales en el entorno y transversalmente a la vía.  Corresponde al número de orden en la Bibliografía 3 Diseño geométrico de carreteras Las pendientes longitudinales y transversales del terreno son las inclinaciones naturales del terreno, medidas en el sentido longitudinal y transversal del eje de la vía. A su vez, la línea de máxima pendiente sobre el terreno natural, es la inclinación máxima del terreno natural en cualquier dirección, alrededor del entorno del eje de la vía. En Colombia, los terrenos se clasifican en plano (P), ondulado (O), montañoso (M) y escarpado (E), de acuerdo con los parámetros que se indican en la Tabla 1.1. Tabla 1.1 TIPO DE TERRENO Plano (P) Ondulado (O) Montañoso (M) Escarpado (E) Tipos de terreno PENDIENTE MÁXIMA MEDIA DE INCLINACIÓN TRANSVERSAL AL LAS LÍNEAS DE MÁXIMA EJE DE LA VÍA, DEL TERRENO PENDIENTE DEL TERRENO (%)(1) ()(2) 0-5 0-6 5-25 6-13 25-75 13-40 >75 >40 Fuente: (1): Cárdenas Grisales James. Diseño Geométrico de Carreteras. Ecoe Ediciones. Bogotá. 2002. (2): Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008. De esta manera, se consideran las siguientes carreteras:  CARRETERAS EN TERRENO PLANO Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical, que permite a los vehículos pesados mantener aproximadamente la misma velocidad que la de los vehículos livianos. Exigen mínimo movimiento de tierras durante la construcción, por lo que no presentan dificultad ni en el trazado ni en la explanación. Las pendientes longitudinales de las vías son normalmente menores al 3%.  4 CARRETERAS EN TERRENO ONDULADO Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical que obliga a los vehículos pesados a reducir sus velocidades significativamente por debajo de la de los vehículos livianos, James Cárdenas Grisales sin ocasionar que aquellos operen a velocidades sostenidas en pendiente por intervalos de tiempo prolongado. Durante la construcción los movimientos de tierra son moderados, lo que permite alineamientos más o menos rectos, sin mayores dificultades en el trazado y explanación. Sus pendientes longitudinales se encuentran entre el 3% y el 6%.  CARRETERAS EN TERRENO MONTAÑOSO Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical que obliga a los vehículos pesados a circular a velocidades sostenidas en pendiente a lo largo de distancias considerables o durante intervalos frecuentes. Generalmente requieren grandes movimientos de tierra durante la construcción, razón por la cual presentan dificultades en el trazado y en la explanación. Sus pendientes longitudinales predominantes se encuentran entre el 6% y el 8%.  CARRETERAS EN TERRENO ESCARPADO Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical que obliga a los vehículos pesados a operar a menores velocidades sostenidas en pendiente que aquellas a las que operan en terreno montañoso, para distancias significativas o a intervalos muy frecuentes. Exigen el máximo movimiento de tierras durante la construcción, con muchas dificultades para el trazado y explanación, pues los alineamientos están prácticamente definidos por divisorias de aguas. Generalmente sus pendientes longitudinales son superiores al 8%. En la Figura 1.1, se ilustra de manera esquemática un perfil transversal del terreno natural, donde se aprecian los diversos tipos de terreno y las secciones transversales que se pueden presentar más comúnmente: terraplenes para terrenos planos, mixtas de corte y terraplén para terrenos ondulados, cortes para terrenos montañosos, y cortes en divisorias de aguas con túneles para terrenos escarpados. 5 Diseño geométrico de carreteras Figura 1.1 Tipos de terreno en carreteras 1.2.3 Según su competencia Las carreteras se clasifican según se encuentren a cargo de una determinada administración: 6  CARRETERAS NACIONALES Son aquellas que están, ya sea directamente bajo la administración del Instituto Nacional de Vías INVIAS, o que se encuentran concesionadas bajo la administración de la Agencia Nacional de Infraestructura ANI. Forman la red primaria de carreteras.  CARRETERAS DEPARTAMENTALES Son aquellas de propiedad de los Departamentos. Forman la red secundaria de carreteras. James Cárdenas Grisales  CARRETERAS VEREDALES O CAMINOS VECINALES Son aquellas vías a cargo del Instituto Nacional de Vías y de los municipios. Forman la red terciaria de carreteras.  CARRETERAS DISTRITALES Y MUNICIPALES Son aquellas vías urbanas y/o suburbanas y rurales a cargo del Distrito o Municipio. 1.2.4 Según sus características  AUTOPISTAS Son vías de calzadas separadas, cada una con dos o más carriles y con control total de accesos. Las entradas y salidas de las autopistas se realizan únicamente a través de intersecciones a desnivel comúnmente llamadas distribuidores o intercambiadores.  CARRETERAS MULTICARRILES Son carreteras divididas o no, con dos o más carriles por sentido y con control parcial de accesos. Las entradas y salidas se realizan a través de intersecciones a desnivel y a nivel.  CARRETERAS DE DOS CARRILES Constan de una sola calzada de dos carriles, uno por cada sentido de circulación, con intersecciones a nivel y acceso directo desde sus márgenes. 1.3 CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VÍA El diseño y la construcción de una vía se inicia con el establecimiento de las rutas o corredores favorables que conecten los extremos del proyecto y unan puntos intermedios de paso obligado, actividades que se desarrollan en la llamada Fase 1 de Prefactibilidad. Teniendo en cuenta los factores externos que afectan el diseño, en esta primera etapa predominan los criterios económicos vinculados a las longitudes 7 Diseño geométrico de carreteras de las soluciones y al costo de las obras de explanación, de arte (puentes, viaductos, muros) y túneles. Una vez seleccionada la ruta más favorable, se inician propiamente las etapas del diseño geométrico, que le dan la forma física más apropiada a la carretera, adaptada a todos los requisitos, intentando satisfacer al máximo los distintos objetivos del diseño. Este diseño se realiza, pasando por la Fase 2 de Factibilidad o de anteproyecto, en la cual se decide continuar o no con el proyecto dependiendo de su rentabilidad. Si éste resulta rentable se debe continuar con la Fase 3 con la elaboración de los Diseños Definitivos de la carretera, que incluye los diseños detallados, tanto geométricos como de todas las estructuras y obras complementarias que se requieran, de tal forma que se pueda materializar la carretera a través de su construcción. Como la carretera es una superficie transitable, continua y regular, ubicada en un espacio tridimensional, la reducción de su forma geométrica a un modelo matemático igualmente tridimensional resulta compleja y, por lo tanto, poco empleada. Por lo tanto, en casi todos los diseños se realizan dos análisis bidimensionales complementarios del eje de la vía, prescindiendo en cada caso de una de las tres dimensiones. Así, si no se toma en cuenta la dimensión vertical (altura o cota), resultará el alineamiento en planta o diseño geométrico horizontal, que es la proyección del eje de la vía sobre un plano horizontal. La forma del alineamiento en planta es una sucesión continua y cambiante de direcciones, rumbos o azimutes a lo largo del eje. Las formas geométricas horizontales que se utilizan para la definición del trazado son rectas y curvas circulares o espirales de transición. Ahora, si se toma en cuenta la dimensión longitudinal del alineamiento en planta, definido anteriormente y, junto con ella, se considera la cota, resultará el perfil longitudinal o diseño geométrico 8 James Cárdenas Grisales vertical, que es la proyección del eje real o espacial de la vía sobre una superficie vertical paralela al mismo. La forma del perfil longitudinal es una sucesión continua y cambiante de pendientes a lo largo del eje. Las formas geométricas verticales que se utilizan para la definición del trazado son rectas contiguas de pendientes uniformes enlazadas con curvas verticales parabólicas. Finalmente, si se considera el ancho de la vía asociado a su eje, resultarán las secciones transversales sucesivas, compuestas por la calzada, las bermas, las cunetas y los taludes laterales; completándose así la concepción tridimensional de la vía. En la Figura 1.2 se muestra el eje de una vía ubicado en el espacio tridimensional. Inicialmente, obsérvese que se tienen tres planos verticales rectangulares plegados a 90 , cada uno de largo 8x y alto 4y. De acuerdo con la posición de la dirección Norte (N), el primer plano tiene una dirección hacia el Este, el segundo plano hacia el Sur y el tercer plano hacia el Este de nuevo. A lo largo de estos tres planos se desarrolla la poligonal espacial ABCDEF, la cual presenta quiebres en los puntos B, C, D y E. Dicha poligonal cambia de rumbo en los puntos C y E, lo mismo que cambia de pendiente en los puntos B, D y E. Así, de manera especial, se aprecia que el punto de quiebre E presenta tanto un cambio de rumbo como de pendiente. Considerando cada uno de los tramos rectos de esta poligonal, se tiene: Tramo AB: Rumbo: hacia el Este Pendiente:  3y 4x 9 Diseño geométrico de carreteras Figura 1.2 10 Eje de una vía en el espacio tridimensional James Cárdenas Grisales Tramo BC: Rumbo: Pendiente: Tramo CD: Rumbo: Pendiente: hacia el Este 0 0 4x hacia el Sur 0 0 3x Tramo DE: Rumbo: hacia el Sur Pendiente:  Tramo EF: Rumbo: hacia el Este Pendiente:  2y 5x 3y 8x Si la poligonal espacial forma parte del eje de la vía, será necesario enlazar los tramos rectos en los puntos de quiebre con curvas en el espacio. Tal como se mencionó anteriormente si se prescinde de las alturas se tendrá el diseño geométrico horizontal, representado en la parte inferior de la Figura 1.2 como la proyección horizontal, convirtiéndose la poligonal espacial en la proyección A1B1C1D1E1F1, que al insertar las curvas horizontales circulares en C1 de radio R1=x y en E1 de radio R2=3x, generan el diseño en planta del eje de la vía según A1c1d1g1j1F1, tal como se aprecia también en la parte superior de la Figura 1.3. De esta manera, partiendo de A1 cómo punto origen de abscisa K0+000, se tendrá para el punto final F1 la abscisa siguiente: Abscisa de F1  Abscisa de A1  A1c1  c1d1  d1g1  g1 j1  j1F1 A1c1  7 x 11 Diseño geométrico de carreteras Figura 1.3 12 Diseño geométrico en planta y en perfil del eje de una vía James Cárdenas Grisales 2πR1 2πx πx   4 4 2 d1g1  4 x 2πR2 2π 3 x  3πx g1 j1    4 4 2 j1F1  5 x c1d1  Abscisa de F1  K0  000  7 x  πx 3πx  4x   5 x  K 0  16  2π x 2 2 Suponiendo que el valor numérico de x es de 50 metros, la abscisa de F1 será: Abscisa de F1  K 0  16  2π x  K 0  16  2π 50  K 0  1114.159  K1  114.159 De igual manera, en la parte inferior de la Figura 1.3, se muestra el diseño en perfil del eje de la vía según A2a2b2e2f2h2i2F2, obtenido al insertar curvas verticales parabólicas en los puntos B2, D2 y E2 respectivamente. Así mismo, si el valor numérico de y es de 4 metros, las pendientes correspondientes a los tramos A2B2, B2D2, D2E2 y E2F2 son +6.0%, 0.0%, -3.2% y +3.0%, tal como se indican. 13 James Cárdenas Grisales Capítulo 2 RUTAS Y LÍNEAS DE PENDIENTE 2.1 FASES DEL PROYECTO DE UNA CARRETERA[10] El diseño de una carretera nueva de Primer Orden o Primaria se realiza, tal como se mencionó en el primer capítulo, por fases o etapas, en las que se tiene la posibilidad de evaluar progresivamente la viabilidad económica del proyecto. De manera general, los propósitos y actividades de cada fase son: 2.1.1 Fase 1. Prefactibilidad Aquí se identifican uno o varios corredores de ruta posibles, se realiza el prediseño aproximado de la carretera a lo largo de cada corredor y, recurriendo a costos obtenidos en proyectos con condiciones similares, se realiza la evaluación económica preliminar. En términos simples, la evaluación económica consiste en comparar, a lo largo de un período de análisis económico, la suma del costo inicial de 15 Diseño geométrico de carreteras construcción, el costo del mantenimiento rutinario y el costo del mantenimiento periódico, con los beneficios que se obtendrían, representados mayoritariamente en los ahorros en los costos de la operación vehicular. El objetivo concreto de la Fase 1, es establecer si el proyecto ofrece posibilidades de ser viable económicamente, es decir, si supera umbrales preestablecidos para indicadores como la relación Beneficio/Costo (B/C) o la Tasa Interna de Retorno (TIR). Si la evaluación económica no es satisfactoria en ninguno de los corredores estudiados, se archiva el proyecto. En caso contrario, se debe continuar afinando los estudios en la siguiente fase, en el corredor que presente la mayor rentabilidad. 2.1.2 Fase 2. Factibilidad En el corredor seleccionado se debe diseñar en forma definitiva el eje en planta de la carretera. La posición de dicho eje deberá ser compatible con el cumplimiento de las especificaciones geométricas tanto del perfil longitudinal como de las secciones transversales y de todas las estructuras y obras complementarias que se requieran. Con la trayectoria definitiva en planta del eje de la carretera y con los prediseños del eje en perfil longitudinal, de las secciones transversales, de las obras de drenaje superficial y subterráneo, de las estructuras como puentes y muros de contención, del pavimento, etc., se procede a la evaluación económica final. Esta evaluación se realiza con un mayor grado de confiabilidad por cuanto en esta fase ya se cuenta con elementos suficientes tanto para elaborar el presupuesto con menor incertidumbre como para cuantificar los costos de la operación vehicular. El objetivo concreto de la Fase 2 es la decisión final de continuar o no con el proyecto dependiendo de su rentabilidad. Si éste resulta rentable se debe continuar con la elaboración de los diseños definitivos de la carretera a partir del eje ya definido. 16 James Cárdenas Grisales 2.1.3 Fase 3. Diseños definitivos Aquí se elaboran los diseños detallados, tanto geométricos como de todas las estructuras y obras complementarias que se requieran, de tal forma que se pueda localizar y materializar la carretera a través de su construcción. En el otro extremo de la jerarquía vial se encuentran las carreteras Terciarias, cuya construcción pretende básicamente desarrollar zonas potencialmente productivas u ofrecer posibilidades de bienestar a núcleos de población atrasados por la carencia de una vía de comunicación terrestre. En ambos casos, la decisión de construir la carretera es de carácter eminentemente político, respetando, claro está, el orden de las prioridades, establecido por las autoridades gubernamentales. Una vez tomada la decisión de construir la carretera, se procede a la elaboración de los diseños, de manera continua, hasta su nivel de detalle. La metodología para una carretera Terciaria nueva es una versión simplificada y en una sola etapa del método que se desarrolla en tres fases cuando se trata de carreteras Primarias. El método de diseño por localización directa solo se recomienda cuando el trazado sea en terreno plano. Con relación a las carreteras Secundarias, es poco frecuente el caso de construir una carretera nueva con el carácter de Secundaria. Por lo general estas carreteras son el resultado del mejoramiento continuo que en el transcurso de los años se realiza a carreteras que originalmente fueron Terciarias. El método de diseño de rectificaciones y mejoras de carreteras existentes, es una adaptación del método aplicable a carreteras Terciarias y sus actividades obviamente dependen de la naturaleza y magnitud de los trabajos a realizar en cada caso particular. Es conveniente enfatizar que las decisiones asociadas al diseño geométrico deben ser tomadas en estrecha concordancia con las condiciones prevalecientes en cuanto a la geología, la geotecnia, la 17 Diseño geométrico de carreteras hidrología e hidráulica de cauces, las facilidades para el emplazamiento y construcción de las estructuras viales e intersecciones, las fuentes de materiales y las afectaciones al medio ambiente. 2.2 SELECCIÓN DE RUTAS Se entiende por ruta aquella franja de terreno, de ancho variable, comprendida entre dos puntos obligados extremos y que pasa a lo largo de puntos obligados intermedios, dentro de la cual es factible realizar la localización del trazado de una carretera. Los puntos obligados son aquellos sitios extremos o intermedios por los que necesariamente deberá pasar la vía, ya sea por razones técnicas, económicas, sociales o políticas; como por ejemplo: poblaciones, áreas productivas, puertos, puntos geográficos como valles y depresiones, etc. La identificación de una ruta a través de estos puntos obligados o de control primario y su paso por otros puntos intermedios de menor importancia o de control secundario, hace que aparezcan varias rutas alternas. Son ejemplos de puntos de control secundario: caseríos, cruces de ríos y cañadas, cruces con otras vías, zonas estables, bosques, etc. Para todas las rutas alternas, es necesario llevar a cabo la actividad denominada selección de ruta, la cual comprende una serie de trabajos preliminares que tienen que ver con acopio de datos, estudio de planos, reconocimientos aéreos y terrestres, poligonales de estudio, etc. A la ruta seleccionada se le realizará el levantamiento topográfico de su corredor. El acopio de datos se refiere a la obtención de la información básica en la zona de estudio, relacionada con la topografía, la geología, la hidrología, el drenaje y los usos de la tierra. Estos factores constituyen los mayores controles en el diseño, localización y construcción de la futura vía. Igualmente, deberá obtenerse información sobre la 18 James Cárdenas Grisales actividad económica y social de la región. Las principales fuentes de información para la obtención de estos datos, son entre otras: el Ministerio de Transporte, el Instituto Nacional de Vías, el DANE, el IGAC, el CIAF, la CVC, las Oficinas de Planeación, las Oficinas de Valorización, las Secretarías de Obras Públicas, etc. El estudio de planos forma parte del llamado análisis de la información existente. Básicamente consiste en la elaboración de los croquis de las rutas sobre planos, cartas geográficas o fotografías aéreas, a escalas muy comunes como 1:100000, 1:50000, 1:25000, identificando sobre ellos la información obtenida anteriormente, especialmente los puntos obligados de control primario, ya que éstos guían la dirección general a seguir de una ruta específica. De esta manera y con la identificación también de los puntos de control secundario, es posible señalar sobre los planos varias rutas alternas o franjas de estudio. Se deben considerar como mínimo los siguientes aspectos: la estabilidad geológica, las pendientes naturales del terreno, la estabilidad geotécnica, el patrón de drenaje, el número de cauces mayores, opciones de sitios de cruce de líneas divisorias de aguas (puntos secos) y ponteaderos, posibilidad de fuentes de materiales y zonas de vida o ecosistemas. Se puede presentar que por las características topográficas de la zona, no sea evidente el desarrollo de algún corredor en especial. Para ayudar a delimitarlo con más precisión se debe establecer, sobre restituciones, los puntos secundarios de control y entre ellos trazar una línea de ceros provisional. Mediante los reconocimientos aéreos y terrestres se realiza un examen general de las rutas o franjas de terreno que han quedado previamente determinadas y marcadas sobre los croquis en la base cartográfica. Su finalidad es la de identificar aquellas características que hacen una ruta mejor a las otras, cuantificar los costos posibles de construcción de la futura carretera por cada ruta, determinar los efectos que tendrá la carretera en el desarrollo económico de la región y estimar los efectos destructivos que puedan producirse en el paisaje 19 Diseño geométrico de carreteras natural. Igualmente, se aprovecha el reconocimiento, para obtener datos complementarios de la zona en estudio. Una vez establecidas, en forma definitiva, las fronteras entre tramos homogéneos, se debe trazar la línea de ceros en el terreno con el propósito de verificar si es posible conectar los puntos extremos del tramo, es decir sus fronteras. Para hacer posible el replanteo, se toma como base la línea de ceros trazada en los croquis, para cada una de las rutas posibles. Las poligonales de estudio permiten recoger todos aquellos detalles necesarios que dan a conocer cuál ruta es la que ofrece un mejor trazado. Estas poligonales deben levantarse en forma rápida y con una precisión no muy alta. Es así como, sus lados se pueden medir a cinta o a taquimetría, los rumbos se determinan con brújula, las alturas con barómetro y las pendientes con niveles de mano. Finalmente, sobre la ruta seleccionada, se debe realizar el levantamiento topográfico del corredor, a través del establecimiento de una poligonal cuyos vértices serán bases de topografía a partir de las cuales, mediante radiación, se toman las coordenadas de puntos del terreno. El ancho de la faja de terreno a levantar en cada sector del corredor será definido por los ingenieros a cargo del diseño en función de las características topográficas del sitio. 2.3 EVALUACIÓN DEL TRAZADO DE RUTAS Como se mencionó anteriormente, la mejor ruta entre varias alternas, que permita enlazar dos puntos extremos o terminales, será aquella que de acuerdo a las condiciones topográficas, geológicas, hidrológicas y de drenaje, ofrezca el menor costo con el mayor índice de utilidad económica, social y estética. Por lo tanto, para cada ruta será necesario determinar, en forma aproximada, los costos de construcción, operación y conservación de la futura carretera a proyectar, para así compararlos con los beneficios probables esperados. 20 James Cárdenas Grisales Existen diversos métodos de evaluación de rutas y trazados alternos, con los cuales se podrá hacer la mejor selección. Dentro de éstos, se encuentra el Método de Bruce[4], en el cual se aplica el concepto de longitud virtual. Compara, para cada ruta o trazado alterno, sus longitudes, sus desniveles y sus pendientes, tomando en cuenta únicamente el aumento de longitud correspondiente al esfuerzo de tracción en las pendientes. Se expresa así: (2-1) x0  x  k  y Donde: x 0 = Longitud resistente (m). x = Longitud total del trazado (m).  y = Desnivel o suma de desniveles (m). k = Inverso del coeficiente de tracción. En la Tabla 2.1 aparecen los valores de k para los distintos tipos de superficie de rodamiento. Tabla 2.1 Valores del inverso del coeficiente de tracción TIPO DE SUPERFICIE Carretera en tierra Macadam Pavimento asfáltico Pavimento rígido 2.4 VALOR MEDIO DE k 21 32 35 44 LÍNEA DE PENDIENTE O DE CEROS 2.4.1 Concepto La línea de pendiente es aquella línea que, pasando por los puntos obligados del proyecto, conserva la pendiente uniforme especificada y que de coincidir con el eje de la carretera, éste no aceptaría cortes ni rellenos, razón por la cual también se le conoce con el nombre de línea de ceros. 21 Diseño geométrico de carreteras Es una línea que al ir a ras del terreno natural, sigue la forma de éste, convirtiéndose en una línea de mínimo movimiento de tierra. Por lo tanto, cualquier eje vial de diseño que trate de seguirla lo más cerca posible, será un eje económico, desde este punto de vista. 2.4.2 Trazado de una línea de pendiente En la isometría del terreno natural con curvas de nivel cada 5 metros, ilustrada en la Figura 2.1, considérese los puntos A y B sobre las curvas de nivel sucesivas 205 y 210. La pendiente de la línea recta AB, que los une, es: Pendiente de AB  tan α  BC AC (2-2) Luego, si se quiere mantener una línea de pendiente uniforme igual a tan , la distancia horizontal necesaria para pasar de una curva de nivel a otra será: Figura 2.1 22 Concepto de línea de pendiente James Cárdenas Grisales AC  BC tan α (2-3) Donde: AC = Distancia horizontal entre curvas de nivel sucesivas, o abertura del compás. BC = Diferencia de nivel entre curvas o equidistancia. tan  = Pendiente de la línea recta AB. Corresponde a la pendiente de la línea de ceros. Por lo tanto, también puede decirse que: a Equidis tan cia p (2-4) Donde, a es la abertura del compás y p es la pendiente uniforme de la línea de ceros. De esta manera, la distancia AC o a, en metros, reducida a la escala del plano, se podrá trazar con un compás de puntas secas a partir del punto inicial, materializándose así una serie de puntos sobre curvas sucesivas, cuya unión constituye la línea de ceros, tal como se muestra en la Figura 2.2. En términos generales, en el trazado de una línea de ceros, se pueden presentar dos casos: El primero, consiste en llevar desde un punto inicial una línea de ceros de pendiente uniforme sin especificar el punto final o de llegada. El segundo, consiste en trazar una línea de ceros a través de dos puntos obligados. En este último caso será necesario estimar la pendiente máxima que une los dos puntos, la cual deberá ser comparada con la pendiente máxima permitida por las normas. Mediante el Ejemplo 2.2 y el Problema 2.2 se podrá ejercitar el trazado de líneas de ceros según estos dos casos. La línea de ceros en el terreno se lleva marcándola en la dirección general requerida, pasando por los puntos de control y por los lugares 23 Diseño geométrico de carreteras más adecuados. Para tal efecto, se emplean miras, jalones y clisímetros (niveles de mano Locke o Abney). Figura 2.2 Línea de ceros en un plano EJEMPLO 2.1: Estudio de Rutas Datos: En el plano de la Figura 2.3, dibujado a la escala dada con curvas de nivel de equidistancia 50 metros, se identifican los puntos A y B. Realizar: Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A y B. Solución: Sobre el plano dado se han trazado tres posibles rutas, mediante la identificación de los puntos de paso a, b, c, d, f, g, h, i, de control primario y secundario. Tales rutas son: 24 James Cárdenas Grisales Ruta 1= AabcB, siguiendo la parte alta. Ruta 2= AdefB, siguiendo la parte media. Ruta 3= AghiB, siguiendo la parte baja. Figura 2.3 Estudio de rutas En la Tabla 2.2, para cada una de las rutas trazadas aparecen sus puntos, abscisas y cotas. Con el propósito de realizar una evaluación preliminar más precisa, es necesario elaborar un perfil longitudinal de las rutas, como se muestra en la Figura 2.4, calculado así: Ruta 1: Tramo Aa: Desnivel  275  100  175m, Distancia horizontal  3400m 25 Diseño geométrico de carreteras Pendiente  175  0.051  5.1% 3400 Tabla 2.2 Puntos, abscisas y cotas a lo largo de las rutas RUTAS Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 PUNTOS A a b c B A d e f B A g h i B Figura 2.4 26 ABSCISAS K0+000 K3+400 K5+000 K8+100 K10+200 K0+000 K2+400 K7+500 K9+000 K10+800 K0+000 K2+600 K6+000 K7+300 K8+300 COTAS 100 275 290 240 250 100 180 170 210 250 100 120 110 165 250 Perfil longitudinal de rutas James Cárdenas Grisales Tramo ab: Desnivel  290  275  15m, Distancia horizontal  1600m 15  0.009  0.9% Pendiente  1600 Tramo bc: Desnivel  240  290  50m, Distancia horizontal  3100m  50 Pendiente   0.016  1.6% 3100 Tramo cB: Desnivel  250  240  10m, Distancia horizontal  2100m 10 Pendiente   0.005  0.5% 2100 Ruta 2: Tramo Ad: Desnivel  180  100  80m, Distancia horizontal  2400m 80 Pendiente   0.033  3.3% 2400 Tramo de: Desnivel  170  180  10m, Distancia horizontal  5100m  10 Pendiente   0.002  0.2% 5100 Tramo ef: Desnivel  210  170  40m, Distancia horizontal  1500m 40 Pendiente   0.027  2.7% 1500 Tramo fB: Desnivel  250  210  40m, Distancia horizontal  1800m 40 Pendiente   0.022  2.2% 1800 Ruta 3: Tramo Ag: Desnivel  120  100  20m, Distancia horizontal  2600m 20 Pendiente   0.008  0.8% 2600 27 Diseño geométrico de carreteras Tramo gh: Desnivel  110  120  10m, Distancia horizontal  3400m  10 Pendiente   0.003  0.3% 3400 Tramo hi: Desnivel  165  110  55m, Distancia horizontal  1300m 55 Pendiente   0.042  4.2% 1300 Tramo iB: Desnivel  250  165  85m, Distancia horizontal  1000m 85 Pendiente   0.085  8.5% 1000 La evaluación preliminar de las tres rutas se hará con base en la comparación de sus longitudes, desniveles y pendientes. Para tal efecto, se supone que las vías a construir sobre estas rutas serán pavimentadas en concreto y que la pendiente recomendada es del 4%. Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (2-1), para cada ruta se tienen las siguientes longitudes resistentes, x0: Ruta 1: Desniveles perjudiciales por contrapendientes  175  15  10  200m x  10200m , k  44,  y  200m x 0  x  k  y  10200  44200   19000 m Ruta 2: Desniveles perjudiciales por contrapendientes  80  40  40  160m x  10800 m , k  44,  y  160m x 0  x  k  y  10800  44160   17840 m Ruta 3: Desniveles perjudiciales por contrapendientes  20  55  85  160m x  8300 m , k  44,  y  160m x 0  x  k  y  8300  44160   15340 m 28 James Cárdenas Grisales Ahora, si el análisis de longitudes resistentes se realiza en sentido contrario, esto es de B á A, como sería el caso de una carretera de dos direcciones, se tiene: Ruta 1: Desniveles por contrapendientes  50m Desniveles por exceso de pendientes  0.051  0.04 3400  37.4m x 0  x  k  y  10200  4450  37.4   14046 m Ruta 2: Desniveles por contrapendientes  10m Desniveles por exceso de pendientes  0 x 0  x  k  y  10800  4410   11240 m Ruta 3: Desniveles por contrapendientes  10m Desniveles por exceso de pendientes  0.085  0.04 1000  0.042  0.04 1300  47.6 m x 0  x  k  y  8300  4410  47.6   10834m Como puede observarse, para ambos sentidos, la ruta de menor resistencia es la Ruta 3, la cual se hace atractiva. Sin embargo, ella incorpora la construcción de un puente en el punto h, situación que elevaría los costos. Por lo tanto, si se trata de un proyecto económico, desde este punto de vista la mejor ruta será la Ruta 2. EJEMPLO 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros Datos: La Figura 2.5 muestra un plano a la escala dada, de curvas de nivel de equidistancia 8 metros, sobre el cual se identifican dos puntos A y B. Trazar: Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme máxima posible. 29 Diseño geométrico de carreteras Solución: Este es el caso de enlazar dos puntos obligados A y B con una sola pendiente, que necesariamente es la máxima posible. Una forma de determinarla y enlazarla se apoya en el uso de pendientes parciales entre los puntos dados, las cuales se trazan sucesivamente desde los puntos opuestos, la una ascendiendo y la otra descendiendo. Figura 2.5 Trazado de líneas de pendiente o de ceros Para este ejemplo, se supone una primera pendiente del +6% saliendo de A, esto es: p1  0.06 30 James Cárdenas Grisales Por lo tanto, según la ecuación (2-4), la abertura del compás es: a1  Equidis tan cia 8 m   133.333 m p1 0.06 Suponiendo que existe una curva de nivel intermedia entre cada par de las dadas, la abertura del compás será de: a1  4m  66.667 m 0.06 Con esta distancia a la escala del plano se traza la línea AB', la cual como puede observarse pasa por debajo del punto B. Esto indica que la pendiente supuesta p1 es menor que la máxima posible. En este momento es preciso suponer una segunda pendiente, mayor que la primera, por ejemplo, del -11% saliendo de B, esto es: p2  0.11 4m a2   36.364m 0.11 Con esta distancia y partiendo de B se traza esta segunda línea la cual encuentra en el punto C la primera línea. Con el fin de visualizar mejor el cálculo de la pendiente máxima posible para la línea que une los puntos A y B es conveniente dibujar un perfil longitudinal de las líneas de pendiente parciales p1 y p2, como se ilustra en la Figura 2.6, para las cuales: Distancia horizontal entre A y C: Diferencia de nivel entre A y C: Distancia horizontal entre C y B: Diferencia de nivel entre C y B: x1  611m y1  p1 x1  0.06 611  36.660 m x 2  685 m y 2  p2 x 2  0.11685   75.350 m De esta manera, la pendiente máxima posible p es: 31 Diseño geométrico de carreteras Figura 2.6 p Perfil longitudinal de líneas de pendiente o de ceros y1  y 2 36.660  75.350   0.0864  8.64% x1  x 2 611  685 Con una abertura del compás de: a 4m  46.296 m 0.0864 Abertura que a la escala del plano permite el trazado de la pendiente máxima posible, como se muestra en la Figura 2.5. 2.5 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 2.1: Estudio de Rutas Datos: El plano de la Figura 2.7 está dibujado a la escala dada, con curvas de nivel de equidistancia 50 metros. Sobre él se identifican dos puntos extremos A y B. 32 James Cárdenas Grisales Figura 2.7 Estudio de rutas. Problema 2.1 Realizar: Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A y B, suponiendo que las vías a construir a través de estas rutas serán pavimentadas en asfalto y que la pendiente recomendada es del 6%. PROBLEMA 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros Datos: En el plano de la Figura 2.8, dibujado a la escala gráfica dada, con curvas de nivel de equidistancia 10 metros, se han identificado dos puntos A y B. 33 Diseño geométrico de carreteras Figura 2.8 Trazado de líneas de pendiente o de ceros. Problema 2.2 Trazar: a) Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme máxima posible. b) Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme del 5%. PROBLEMA 2.3: Pendiente ponderada máxima uniforme Datos: En el plano de la Figura 2.9, dibujado a la escala gráfica dada, con curvas de nivel de equidistancia 10 metros, se han identificado el 34 James Cárdenas Grisales punto inicial A y el punto final D, lo mismo que los puntos intermedios B y C. Figura 2.9 Pendiente ponderada máxima uniforme. Problema 2.3 Trazar: a) Líneas de pendiente uniforme máxima posible para cada tramo AB, BC y CD, independientemente. b) La pendiente uniforme máxima posible que una el punto A y el punto D. Para este trazado, ponderar las tres pendientes anteriores. Dibuje un perfil de pendientes. 35 James Cárdenas Grisales Capítulo 3 DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA 3.1 CONCEPTOS De una manera general una carretera se puede concebir como un sistema que logra integrar beneficios, conveniencia, satisfacción y seguridad a sus usuarios; que conserva, aumenta y mejora los recursos naturales de la tierra, el agua y el aire; y que colabora en el logro de los objetivos del desarrollo regional, agrícola, industrial, comercial, residencial, recreacional y de salud pública. En forma particular, el diseño geométrico de carreteras es el proceso de correlación entre sus elementos físicos y las características de operación de los vehículos, mediante el uso de las matemáticas, la física y la geometría. En este sentido, la carretera queda geométricamente definida por el trazado de su eje en planta y en perfil y por el trazado de su sección transversal. 37 Diseño geométrico de carreteras El diseño geométrico en planta de una carretera, o alineamiento horizontal, es la proyección sobre un plano horizontal de su eje real o espacial. Dicho eje horizontal está constituido por una serie de tramos rectos denominados tangentes, enlazados entre sí por curvas. 3.2 CURVAS CIRCULARES SIMPLES Las curvas horizontales circulares simples son arcos de circunferencia de un solo radio que unen dos tangentes consecutivas, conformando la proyección horizontal de las curvas reales o espaciales. Por lo tanto, las curvas reales del espacio no necesariamente son circulares. 3.2.1 Elementos geométricos que caracterizan una curva circular simple En la Figura 3.1 aparecen los diferentes elementos geométricos de una curva circular simple. Tomando el sentido de avance de izquierda a derecha, dichos elementos son: PI = Punto de intersección de las tangentes o vértice de la curva. PC = Principio de curva: punto donde termina la tangente de entrada y empieza la curva. PT = Principio de tangente: punto donde termina la curva y empieza la tangente de salida. O = Centro de la curva circular.  = Ángulo de deflexión de las tangentes: ángulo de deflexión principal. Es igual al ángulo central subtendido por el arco PCPT. R = Radio de la curva circular simple. T = Tangente o subtangente: distancia desde el PI al PC o desde el PI al PT. L = Longitud de curva circular: distancia desde el PC al PT a lo largo del arco circular, o de un polígono de cuerdas. CL = Cuerda larga: distancia en línea recta desde el PC al PT. E = Externa: distancia desde el PI al punto medio de la curva A. M = Ordenada media: distancia desde el punto medio de la curva A al punto medio de la cuerda larga B. 38 James Cárdenas Grisales Figura 3.1 Elementos geométricos de una curva circular simple 3.2.2 Expresiones geométricos que relacionan los elementos Los anteriores elementos geométricos se relacionan entre sí, dando origen a expresiones que permiten el cálculo de la curva. De acuerdo con la Figura 3.1 anterior, algunas de estas expresiones son: 39 Diseño geométrico de carreteras T en función de R y : En el triángulo rectángulo OPCPI, se tiene: Δ PC  PI T   2 O  PC R Δ T  R tan 2 tan , de donde, (3-1) R en función de T y : T R Δ tan 2 (3-2) CL en función de R y : En el triángulo rectángulo OBPC, se tiene: CL Δ B  PC sen   2 2 O  PC R Δ CL  2 R sen 2 , de donde, (3-3) E en función de R y : En el triángulo rectángulo OPCPI, se tiene: Δ O.PC  , O .PI  OA  A.PI  R  E 2 O.PI Δ R cos  , de donde, 2 R E    1  E  R 1   cos Δ    2   cos E en función de T y : Reemplazando la ecuación (3-2) en la ecuación (3-4), se tiene:     T  1   E  1   tan Δ  cos Δ     2  2   40 Δ sen Δ 2 , pero, tan  2 cos Δ 2 (3-4) James Cárdenas Grisales Δ  Δ   T cos  1  cos  2 2   E   sen Δ  cos Δ     2  2      T  Δ 1  cos  E  Δ 2  sen     2  También se sabe que, sen 2 Δ  2 sen Δ cos Δ , entonces, sen Δ Δ Δ  2 sen cos 2 4 4 cos 2 Δ  2 cos 2 Δ  1 , por lo tanto,          T Δ 1 T Δ  1  2 cos 2  1    2 1  cos 2  E  4  2  sen Δ cos Δ   4  2 sen Δ cos Δ      4 4 4 4       T Δ 1  cos 2  , entonces, E  Δ Δ 4  sen cos    4 4  Δ   T sen   T 2 Δ 4  sen   , esto es, E  4  cos Δ  sen Δ cos Δ    4 4 4  Δ E  T tan (3-5) 4 M en función de R y : En el triángulo rectángulo OBPC, se tiene: Δ OB OA  AB R  M    2 O  PC O  PC R Δ   M  R 1  cos  2  cos , de donde, (3-6) 41 Diseño geométrico de carreteras 3.2.3 Expresión de la curvatura de una c urva circular simple La curvatura de un arco circular se fija por su radio R o por su grado G. Se llama grado de curvatura G al valor del ángulo central subtendido por un arco o cuerda de determinada longitud, escogidos como arco unidad s o cuerda unidad c. En nuestro medio, el arco unidad o la cuerda unidad usualmente es de 5, 10 y 20 metros.  SISTEMA ARCO-GRADO En este caso, según la Figura 3.2, el ángulo central Gs es subtendido por un arco unidad s. Figura 3.2 Curvatura por el sistema arco-grado Matemática y geométricamente, se sabe que la curvatura de una curva es inversa al radio, esto es, a mayor curvatura menor radio y a menor curvatura mayor radio. Esta curvatura se puede expresar así: 42 James Cárdenas Grisales Curvatura  1 R También se conoce que, para una curva circular de radio R, el arco s es igual al producto del radio R por el ángulo central Gs, esto es: s  RGs s Gs  R , para Gs expresado en radianes. Por lo tanto: Ahora para el radio R expresado en metros y para un valor del arco s de 1 metro, se tiene: Gs 1  1 R Como puede observarse, este es el verdadero concepto de la curvatura de una curva; el inverso del radio. En otras palabras, el grado de curvatura Gs=1 de una curva de radio R, es el ángulo central correspondiente a un arco de 1 metro, el cual expresado en grados sexagesimales es: Gs 1   180   180  1  radianes  R  π radianes  πR De manera general, para cualquier arco s, relacionando ángulos centrales con arcos, se tiene que: Gs 360   s 2πR 180  s Gs  πR , de donde, (3-7) Para este sistema, la longitud de la curva Ls, es la del arco circular entre sus puntos extremos PC y PT. Igualmente, relacionando arcos con ángulos centrales, se puede plantear que: 43 Diseño geométrico de carreteras Ls s  Δ Gs sΔ Ls  Gs , de donde, (3-8) Reemplazando la ecuación (3-7) en la (3-8), se tiene también que: sΔ 180  s πR πRΔ Ls  180  Ls  , esto es, (3-9) A esta misma expresión también se puede llegar, relacionando la longitud de toda la circunferencia 2πR con su ángulo central de 360 , así: Ls 2πR  Δ 360  , de donde, Ls  πRΔ 180  EJEMPLO 3.1: Curvatura de una curva circular Datos: Una de las curvas horizontales de una determinada carretera tiene un radio de 80 metros. Calcular: El grado de curvatura de dicha curva. Solución: Como se demostró anteriormente, el grado de curvatura Gs=1 de una curva de radio R, es el ángulo central correspondiente a un arco de 1 metro, esto es: Gs 1  44 180  180    0.716197243  / m  0  42' 58.31" / m πR π 80 m  James Cárdenas Grisales  SISTEMA CUERDA-GRADO En este caso, según la Figura 3.3, el ángulo central Gc es subtendido por una cuerda unidad c. Figura 3.3 Curvatura por el sistema cuerda-grado En uno de los dos triángulos formados, se tiene: c Gc 2  sen 2 R Gc  2 arcsen , de donde, c 2R (3-10) Esta expresión para Gc es la que tradicionalmente se le ha conocido como grado de curvatura de una curva circular de radio R, bajo el sistema cuerda-grado, la cual variará según el valor de la cuerda unidad c. 45 Diseño geométrico de carreteras Para este sistema, la longitud de la curva Lc, es la de una poligonal inscrita en ella desde el PC al PT, cuyos lados son cuerdas. De esta manera, si se relacionan cuerdas a ángulos centrales, se puede plantear que: Lc c  Δ Gc Lc  , de donde, cΔ Gc (3-11) EJEMPLO 3.2: Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado Mediante este ejemplo, se explica la relación que existe entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado. Para tal efecto, supóngase que se tiene un ángulo de deflexión principal =120  y un radio R=42m. En la Figura 3.4, se ilustra la relación que existe entre los sistemas arco-grado y cuerda grado. Figura 3.4 46 Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado James Cárdenas Grisales Al tomar como arco unidad s=10m, según la ecuación (3-7), el ángulo central Gs , correspondiente a este arco, es: Gs  180  s 180  10    13  38' 30.67" πR π 42  La cuerda equivalente ce al arco s=10m, es: c e  2R sen Gs 13 38' 30.76"  2 42  sen  9.976 m  s  10 m 2 2 Como puede observarse la cuerda equivalente ce es 24 mm más corta. Si ahora se toma como cuerda unidad el valor de c=10m, según la ecuación (3-10), el ángulo central Gc , correspondiente a esta cuerda, es: Gc  2 arcsen c 10  2 arcsen  13  40'27.42" 2R 2 42  El arco equivalente se a la cuerda c=10m, es: se    πRGc π 42  13  40'27.42"   10.024m  c  10 m 180  180  Puede observarse que el arco equivalente se es 24 mm más largo. Ahora bien, en lo que respecta a las longitudes de las curvas, la longitud de la curva Ls por el sistema arco, según la ecuación (3-8), es: Ls    sΔ 10 120     87.965 m Gs 13 38'30.67" O utilizando la ecuación (3-9): Ls    πRΔ π 42  120    87.965 m 180  180  De igual manera, la longitud de la curva Lc por el sistema cuerda, según la ecuación (3-11), es: Lc    cΔ 10 120     87.756 m  Ls Gc 13 40'27.42" 47 Diseño geométrico de carreteras La longitud de la curva por el sistema cuerda equivalente Lce, es: Lce    c e Δ 9.976 120    87.753 m Gs 13  38'30.67" Obsérvese que Lc es prácticamente lo mismo que Lce. Esto quiere decir, que una curva calculada por el arco puede ser localizada con cualquier cuerda, a excepción de que cualquier ajuste que se haga se debe realizar sobre la longitud calculada por la cuerda y no por el arco. Obviamente, el abscisado que prevalece a partir del PT, es el del sistema arco. Por lo tanto, para que las abscisas, por ejemplo a cada 10 metros, sobre la curva coincidan con las del sistema arco, y si la localización se realiza por cuerdas, se debe utilizar la cuerda equivalente. 3.2.4 Deflexión de una curva circular simple Tradicionalmente, el cálculo y la localización de las curvas circulares simples en el terreno, en especial para el caso de localización directa, se realizan por el método de los ángulos de deflexión. Se denomina ángulo de deflexión  de una curva, al ángulo formado entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda dirigida desde el punto de tangencia a cualquier otro punto P sobre la curva, tal como lo muestra la Figura 3.5, para el ángulo de deflexión 1 correspondiente a la tangente en el PC y el punto P1, y el ángulo de deflexión 2 correspondiente a la tangente en el punto Q y el punto P2. Por un teorema de la geometría se sabe que el ángulo semiinscrito  es igual a la mitad del ángulo central. Esto es, en general: δ φ 2 (3-12) La anterior expresión de igualdad de ángulos se puede comprobar en la figura, pues los lados que forman los ángulos 1 y 1/2 son perpendiculares entre sí. Así por ejemplo: 48 James Cárdenas Grisales Figura 3.5 δ1  Concepto de ángulo de deflexión φ1 2 Puesto que el lado PCPI es perpendicular al lado OPC y el lado PCP1 perpendicular al lado OA. Igualmente, δ2  φ2 2 El método más usual en nuestro medio es el de calcular y deflectar las curvas desde el PC. En este método se pueden presentar dos casos: 49 Diseño geométrico de carreteras DEFLEXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL PC ES REDONDA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, Lc, ES IGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, c  Realmente este es un caso poco común, especialmente en lo que respecta a la longitud de la curva. Sin embargo, se ha planteado de esta forma con el propósito de entender más fácilmente el método de las deflexiones. Se entiende por abscisa redonda, aquella que es múltiplo de la respectiva cuerda unidad que se utilice. Así por ejemplo, para una cuerda unidad de 5 metros una abscisa redonda es el K2+225, para 10 metros el K3+430 y para 20 metros el K5+680. Por lo tanto, de acuerdo a la Figura 3.6, en la que se ha supuesto que la longitud de la curva sea igual a tres (3) cuerdas unidad, se tiene: Según la ecuación (3-12), la deflexión para la cuerda unidad c es: δ Gc 2 (3-13) Entonces, para el punto P1 sobre la curva, la deflexión es: δ1  Gc 2 Para localizar el punto P1 en el campo, se estaciona el tránsito en el PC con ceros en la dirección del PI. Se deflecta el ángulo 1 y en esta dirección se mide la primera cuerda unidad c, quedando materializado dicho punto. Para el punto P2 la deflexión es: δ2  Gc  Gc Gc Gc G    δ1  c 2 2 2 2 De igual manera, para localizar el punto P2, se marca en el tránsito el ángulo 2 y se mide la segunda cuerda c desde el punto P1. La 50 James Cárdenas Grisales intersección de esta medida con la visual dirigida desde el PC materializa este punto. Figura 3.6 Deflexión de una curva circular. Caso particular Para el último punto, el PT, la deflexión es: δ3  G G  G Gc  Gc  Gc Gc  Gc Gc      δ1  c   c  δ 2  c 2 2  2 2 2 2  Al marcar en el tránsito el ángulo de deflexión 3, la dirección de la visual debe coincidir con el PT y la distancia P2PT debe ser igual a la cuerda unidad c. La no coincidencia e igualdad, identifican la 51 Diseño geométrico de carreteras precisión en el cierre de la curva, puesto que el PT ha sido previamente localizado desde el PI. Resumiendo: δ1  Gc 2 Gc 2 Gc 3Gc Δ   δ3  δ2  2 2 2 δ 2  δ1  De acuerdo con las expresiones anteriores, se puede ver que, la deflexión para cualquier punto sobre la curva es igual a la deflexión para el punto anterior más la deflexión por cuerda unidad Gc /2, y que la deflexión al PT es igual a /2.  DEFLEXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL PC ES FRACCIONARIA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, Lc, NO ES IGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, c Este es el caso más general que se presenta, en el cual al traerse un abscisado desde un cierto origen, se llega al PC con una abscisa fraccionaria, por ejemplo el K2+423.876. El primer punto de la curva debe situarse en la abscisa redonda inmediatamente superior a la del PC, la cual depende de la cuerda unidad que se esté utilizando. Así por ejemplo, para c=5m es el K2+425, para c=10m es el K2+430 y para c=20m es el K2+440. La distancia del primer punto al PC es la diferencia entre su abscisa redonda y la del PC, que para el ejemplo es 1.124m, 6.124m y 16.124m respectivamente. Esto mismo se presenta antes del PT. 52 Como puede observarse, se han originado cuerdas de menor longitud que la cuerda unidad, las cuales se denominan subcuerdas, y cuyas deflexiones correspondientes se deben calcular proporcionalmente al valor de la cuerda unidad c. De allí que es necesario determinar la deflexión por metro d, así: 52 James Cárdenas Grisales Gc  " c" metros 2 d  "1" metro De donde, d Gc 2c (3-14) Para las diferentes cuerdas unidad de 5m, 10m y 20m, las deflexiones expresadas en grados por metro son: Gc  / m 10 m G d10  c   / m 20 m G  d 20  c  / m 40 m d 5  También estas deflexiones pueden ser expresadas en minutos por metro: d 5'  Gc  60'   '    6 Gc  / m 10 m  1  ' d10  Gc  60'   '    3Gc  / m 20 m  1  ' d 20  Gc  60'   '    1.5Gc  / m 40 m  1  Conocida la deflexión por metro, la deflexión por subcuerda es: Deflexión por subcuerda  Longitud subcuerdaDeflexión por metro  Como se mencionó anteriormente, para casos de materialización de proyectos por localización directa, este método convencional de deflexiones, actualmente podría tener aplicación en proyectos de esta índole. 53 Diseño geométrico de carreteras Con el propósito de explicar este método general, supóngase que se tiene la curva de la Figura 3.7, trazada con dos subcuerdas c1 adyacente al PC y c2 adyacente al PT, y dos cuerdas unidad c, tal que: Figura 3.7 Deflexión de una curva circular. Caso general Deflexión para: P1 G  G c  δ1  c1 d   c1  c   c  1   2c  c  2  G g Pero, c  1 , entonces, c c1 δ1  54 g1  c1    c1  2  , esto es, James Cárdenas Grisales δ1  g1 φ  1 2 2 Deflexión para: P2 δ2  g1  Gc g1 Gc G φ    δ1  c  2 2 2 2 2 2 Deflexión para: P3 δ3  g1  Gc  Gc  g1 Gc  Gc G φ     δ2  c  3 2 2  2 2 2 2 Deflexión para el: PT δ4  g1  Gc  Gc  g 2  g1 Gc Gc  g 2 g φ Δ      δ3  2  4  2 2 2  2 2 2 2 2 Esta deflexión se puede expresar también como, G G   g g  Δ δ4   c  c    1  2   2  2 2  2  2 Esta última deflexión dice que, Deflexión al PT=Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Y debe ser igual a /2. De nuevo, la no coincidencia de esta última visual con el PT materializado desde el PI, indica el error de cierre en ángulo de la curva. 3.2.5 Relación entre las coordenadas planas y l as coordenadas polares En un plano horizontal, la posición de un alineamiento recto se puede fijar por dos métodos: mediante las coordenadas planas (Norte y Este) de sus puntos extremos o mediante su dirección (Rumbo o Azimut) y longitud. Para tal efecto, en la Figura 3.8, se representan cuatro alineamientos rectos, cada uno ubicado en los siguientes cuadrantes: 55 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.8 Coordenadas planas y coordenadas polares Cuadrante Noreste (NE): Cuadrante Sureste (SE): Cuadrante Suroeste (SW): Cuadrante Noroeste (NW): Alineamiento OA Alineamiento OB Alineamiento OC Alineamiento OD Si se conocen las coordenadas planas del punto inicial O (NO, EO) de cada alineamiento, las coordenadas planas de su punto final respectivo y su longitud se calculan así: Cuadrante Noreste: NE El alineamiento OA tiene una dirección dada por el rumbo NAE o por el azimut : 56 James Cárdenas Grisales N A  NO  ΔNOA  NO  OA cos α E A  EO  ΔEOA  EO  OA sen α OA  ΔNOA 2  ΔEOA 2 Para azimutes entre 0  y 90  los valores de su coseno y seno son positivos, por lo que el punto A está al Norte y al Este del punto O. Cuadrante Sureste: SE El alineamiento OB tiene una dirección dada por el rumbo SBE o por el azimut : N B  NO  ΔNOB  NO  OA cos β E B  EO  ΔEOB  EO  OA sen β OB  ΔNOB 2  ΔEOB 2 Se ve que para azimutes entre 90  y 180  el valor del coseno es negativo y del seno positivo, por lo que el punto B está al Sur y al Este del punto O. Entonces, al trabajar con azimutes se tiene la gran ventaja de que su funciones coseno y seno arrojan el signo, lo que permite directamente sumar o restar los incrementos respectivos (N, E) a las coordenadas del punto inicial para obtener las del punto final. Cuadrante Suroeste: SW El alineamiento OC tiene una dirección dada por el rumbo SCW o por el azimut : NC  NO  ΔNOC  NO  OC cos δ EC  EO  ΔEOC  EO  OC sen δ OC  ΔNOC 2  ΔEOC 2 Para azimutes entre 180  y 270  los valores de su coseno y seno son negativos, por lo que el punto C está al Sur y al Oeste del punto O. Cuadrante Noroeste: NW El alineamiento OD tiene una dirección dada por el rumbo NDW o por el azimut : N D  NO  ΔNOD  NO  OD cos φ 57 Diseño geométrico de carreteras E D  EO  ΔEOD  EO  OD sen φ OD  ΔNOD 2  ΔEOD 2 Para azimutes entre 270  y 360  el valor del coseno es positivo y del seno negativo, por lo que el punto D está al Norte y al Oeste del punto O. EJEMPLO 3.3: Elementos geométricos y deflexiones de una curva circular simple derecha Datos: Para una curva circular simple derecha (indica que su sentido de avance es hacia la derecha, o su ángulo de deflexión principal es derecho, representado con la letra D) como la mostrada en la Figura 3.9, se conocen los siguientes elementos: Coordenadas del PI Azimut de la tangente de entrada Ángulo de deflexión principal Abscisa del PC Radio de la curva Cuerda unidad = 1000N, 500E = 31 =  = 60 D = K2+423.740 = R = 70m = c = 10m Calcular: a) Los demás elementos geométricos que caracterizan esta curva. b) Las coordenadas del PC y del PT. c) Las coordenadas del centro de la curva. d) Las deflexiones. Solución: a) Elementos geométricos Grado de curvatura: Gc Gc  2 arcsen 58 c 10  2 arcsen  8 11' 31.52" 2R 2 70  James Cárdenas Grisales Figura 3.9 Curva circular simple derecha Tangente: T T  R tan  60   Δ   40.415m  70  tan  2 2   Longitud de la curva: Lc Lc    cΔ 10 60     73.241m Gc 8 11' 31.52" Cuerda larga: CL CL  2 R sen Δ 60   2 70  sen  70.000 m 2 2 59 Diseño geométrico de carreteras Externa: E         1 1   10.829 m E  R  1  1   70    60   cos Δ    cos   2   2   Ordenada media: M  Δ 60      9.378 m M  R 1 - cos   70 1 - cos 2 2    Abscisa del: PT Abscisa PT  Abscisa PC  Lc  K 2  423.740  73.241  K 2  496.981 b) Coordenadas del PC y PT Coordenadas del: PC En este caso el punto inicial es el PI y el punto final el PC, de tal manera que el alineamiento PIPC, correspondiente a la tangente T, tiene un azimut representado por el ángulo . Esto es: α  31  180   211 N PC  N PI  T cos α  1000  40.415 cos 211  1000  34.642  965.358     E PC  E PI  T sen α  500  40.415 sen 211  500  20.815  479.185  Obsérvese que el alineamiento PIPC está ubicado en el cuadrante SW, por lo que el PC está al Sur y al Oeste del PI. Coordenadas del: PT Aquí el punto final es el PT, de tal manera que el alineamiento PIPT, correspondiente a la tangente T de salida, tiene un azimut representado por el ángulo . Esto es: β  31  Δ  31  60   91 60 James Cárdenas Grisales   N PT  N PI  T cos β  1000  40.415 cos 91  1000  0.705  999.295   E PT  E PI  T sen β  500  40.415 sen 91  500  40.409  540.409  Igualmente, obsérvese que el alineamiento PIPT está ubicado en el cuadrante SW, por lo que el PT está al Sur y al Este del PI. c) Coordenadas del centro O de la curva Las coordenadas del centro O de la curva se pueden calcular con base en las coordenadas ya obtenidas del PC. Por lo tanto, el punto inicial es el PC y el punto final el centro O, tal que el alineamiento PCO, correspondiente al radio R de la curva, tiene un azimut representado por el ángulo . Esto es: δ  31  90   121 NO  N PC  R cos δ  965.358  70 cos 121  965.358  36.053  929.305 EO  E PC d)    R sen δ  479.185  70 sen 121   479.185  60.002  539.187  Deflexiones Deflexión por metro: La deflexión unitaria, expresada en grados, minutos y segundos, por metro es: d10  Gc 8 11' 31.52"   0 24' 34.58" / m 20 m 20 m Deflexión por cuerda unidad: Gc 8 11' 31.52"   4 5' 45.76" / cuerda 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda  K 2  430   K 2  423.740   430  423.740  6.260m   Deflexión por subcuerda  6.260m 0 24' 34.58" / m  2 33' 50.87" 61 Diseño geométrico de carreteras Deflexión por subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda  K 2  496.981  K 2  490   496.981  490  6.981m   Deflexión por subcuerda  6.981m 0  24' 34.58" / m  2 51' 34.04" Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT  6 cuerdas 4 5' 45.76" / cuerda  2  33' 50.87" 2 51' 34.04" Δ Deflexión al PT  29 59' 59.47"   30  2   Las 53 centésimas de segundos (0.53") faltantes para completar el valor exacto de /2=30 se deben a los redondeos en las cifras decimales. De esta manera, con toda la información anterior, se puede elaborar la cartera de tránsito para la localización de la curva en el terreno, tal como se indica en la Tabla 3.1. En cada una de las columnas de la cartera se consigna la siguiente información: La primera columna (ESTACIÓN) indica los puntos de estación del tránsito, que para el caso corresponden al PC y PT, respectivamente. La segunda columna (ABSCISA) corresponde a las abscisas de los diversos puntos, las cuales, como puede observarse, se han llevado de abajo hacia arriba por simple comodidad de lectura en la localización del eje de la vía en el campo. La tercera columna (DEFLEXIÓN) muestra los diversos ángulos de deflexión que permiten materializar la curva. La cuarta columna (ELEMENTOS) presenta la información de todos los elementos geométricos que definen la curva. En la quinta columna (AZIMUT) se indican los azimutes de las tangentes de entrada y salida respectivamente. Y en la sexta columna (ANOTACIONES) se disponen las anotaciones u observaciones que sean necesarias. 62 James Cárdenas Grisales Tabla 3.1 ESTACIÓN PT PC Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple derecha ABSCISA K2+560.000 540 520 500 K2+496.981 490 480 470 460 450 440 430 K2+423.740 420 400 380 K2+360.000 DEFLEXIÓN ELEMENTOS AZIMUT 2959'59.47"  = 60D R = 70.000m 2708'25.43" c = 10m 2302'39.67" 1856'53.91" Gc=0811'31.52" T = 40.415m 1451'08.15" Lc = 73.241m 1045'22.39" 0639'36.63" CL = 70.000m E = 10.829m 0233'50.87" M = 9.378m 0000'00.00" ANOTACIONES 91  PT 31  PC EJEMPLO 3.4: Elementos geométricos y deflexiones de una curva circular simple izquierda Datos: Para una curva circular simple a la izquierda como la mostrada en la Figura 3.10, se conocen los siguientes elementos: Rumbo de la tangente de entrada Ángulo de deflexión principal Abscisa del PI Coordenadas del PI Cuerda unidad Grado de curvatura = N72 30'E =  = 60 30'I = K2+226 = 10000N, 5000E = c = 20m = Gc = 6  Calcular: a) Sus elementos geométricos: radio, tangente, longitud de curva, cuerda larga, externa y ordenada media. b) Las abscisas del PC y PT. c) Las coordenadas del PC y PT. d) Las deflexiones. 63 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.10 Curva circular simple izquierda Solución: a) Elementos geométricos Radio: R R c G 2 sen c 2 Tangente: T T  R tan 64  20 2 sen 6 2  191.073 m  60 30'  Δ   111.430 m  191.073 tan 2 2   James Cárdenas Grisales Longitud de la curva: Lc Lc    cΔ 20 60 30'   201.667 m Gc 6 Cuerda larga: CL CL  2 R sen 60 30' Δ  2 191.073  sen  192.515 m 2 2 Externa: E         1 1   30.118 m E  R  1  1   191.073   60 30'  cos Δ      cos 2   2   Ordenada media: M  Δ 60  30'     26.017 m M  R 1  cos   191.0731  cos  2 2    b) Abscisas del PC y PT Abscisa PC  Abscisa PI  T  K2  226  111.430  K2  114.570 Abscisa PT  Abscisa PC  Lc  K 2  114.570  201.667  K 2  316.237 c) Coordenadas del PC y PT Coordenadas del: PC   N PC  10000  T cos 72  30'  10000  111.430 cos 72  30'  9966.492   E PC  5000  T sen 72 30'  5000  111.430 sen 72 30'  4893.727   Coordenadas del: PT Se debe conocer el rumbo o el azimut de la tangente de salida, para lo cual en el PI, se tiene: , de donde, α  Δ  72 30' α  72  30'  Δ  72 30' 60  30'  12  65 Diseño geométrico de carreteras Esto es, N12 E, por lo tanto las coordenadas del PT son:   N PT  10000  T cos α  10000  111.430 cos 12   10108.995   E PT  5000  T sen α  5000  111.430 sen 12  5023.168 d)  Deflexiones Deflexión por metro: La deflexión expresada en grados, minutos y segundos, por metro es:  d 20  Gc 6   0 09' 0" / m 40 m 40 m Deflexión por cuerda unidad: Gc 6    3 0' 0" / cuerda 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda  120  114.570  5.430m   Deflexión por subcuerda  5.430m 0 9' 0" / m  0  48' 52.20" Deflexión por subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda  316.237  300  16.237m   Deflexión por subcuerda  16.237m 0 9' 0" / m  2  26'7.98" Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT  9 cuerdas 3 0' 0" / cuerda  0  48' 52.20" 2  26'7.98"  Deflexión al PT  30 15' 0.18"   Δ  30 15' 2 De nuevo, las 18 centésimas de segundo (0.18") sobrantes para completar el valor exacto de /2=30 15', se deben a los redondeos en las cifras decimales. De esta manera, se elabora la cartera de tránsito para la localización de la curva, tal como se indica en la Tabla 3.2. 66 James Cárdenas Grisales Tabla 3.2 Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple izquierda ESTACIÓN ABSCISA DEFLEXIÓN PT K2+316.237 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 K2+114.570 3015'00.18" 2748'52.20" 2448'52.20" 2148'52.20" 1848'52.20" 1548'52.20" 1248'52.20" 0948'52.20" 0648'52.20" 0348'52.20" 0048'52.20" 0000'00.00" PC ELEMENTOS  = 6030'I c = 20m Gc = 6 R = 191.073m T = 111.430m Lc = 201.667m CL = 192.515m E = 30.118m M = 26.017m RUMBO ANOTACIONES N12E  PT N7230'E  PC EJEMPLO 3.5: Elementos geométricos y deflexiones de curvas circulares simples de sentido contrario Datos: Para el par de curvas simples de diferente sentido de la Figura 3.11, se conocen los siguientes elementos: Distancia del PI1 al PI2 = 200.830m = K4+274 Abscisa del PC1 1 = 86 38'D c1 Gc1 2 c2 Gc2 = 10m = 6 30' = 62 42'I = 5m = 4 28' Calcular: a) Los demás elementos geométricos de la curva 1. b) Los demás elementos geométricos de la curva 2. c) Las deflexiones de la curva 1. d) Las deflexiones de la curva 2. 67 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.11 Curvas circulares simples de sentido contrario Solución: a) Elementos geométricos de la curva 1 Radio: R1 R1  c1 G 2 sen c1 2  10  88.195 m 6 30' 2 sen 2 Tangente: T1 T1  R1 tan  86 38'  Δ1   83.159 m  88.195  tan  2 2   Longitud de la curva: Lc1 Lc1  68   c1 Δ1 10 86  38'   133.282 m Gc1 6  30' James Cárdenas Grisales Cuerda larga: CL1 CL1  2 R1 sen Δ1 86 38'  2 88.195  sen  121.009 m 2 2 Externa: E1         1 1   33.023 m  1 E1  R1   1   88.195    86  38'   cos Δ1   cos   2   2   Ordenada media: M1  Δ  86  38'     24.027 m M1  R1 1  cos 1   88.195 1  cos 2  2    Abscisa: PT1 Abscisa PT1  Abscisa PC1  Lc1  K 4  274  133.282  K 4  407.282 b) Elementos geométricos de la curva 2 Radio: R2 R2  c2 G 2 sen c2 2  5  64.153 m 4  28' 2 sen 2 Tangente: T2 T2  R2 tan  62  42'  Δ2   39.082 m  64.153 tan 2 2   Longitud de la curva: Lc2 Lc 2    c 2 Δ2 5 62  42'    70.187 m Gc 2 4 28' Cuerda larga: CL2 CL2  2 R2 sen Δ2 62  42'  2 64.153  sen  66.753 m 2 2 69 Diseño geométrico de carreteras Externa: E2         1 1   10.967 m  1 E 2  R2   1   64.153   62  42'   cos Δ2   cos   2   2   Ordenada media: M2  Δ  62  42'     9.366 m M 2  R2 1  cos 2   64.1531  cos 2  2    Abscisa: PC2 Abscisa PC2  Abscisa PT1  PT1  PC2  Abscisa PT1  PI1  PI 2  T1  T2  Abscisa PC2  K4  407.282  200.830  83.159  39.082   K 4  485.871 Abscisa: PT2 Abscisa PT2  Abscisa PC2  Lc2  K 4  485.871  70.187  K 4  556.058 c) Deflexiones de la curva 1 Con el propósito de mostrar un método en la aproximación de los ángulos de deflexión a cifras enteras o redondas, en este ejemplo dichos ángulos se aproximarán al minuto. Con esta condición, se tiene: Deflexión por metro: Para una cuerda de 10 metros, la deflexión expresada en minutos por metro es:   ' d10  3Gc1  3 6  30'  19.5' / m Deflexión por cuerda unidad: Gc1 6  30'   3 15' / cuerda 2 2 70 James Cárdenas Grisales Deflexión por subcuerda adyacente al: PC1 Longitud subcuerda  280  274  6m Deflexión por subcuerda  6m 19.5' / m   117'  157' Deflexión por subcuerda adyacente al: PT1 Longitud subcuerda  407.282  400  7.282 m Deflexión por subcuerda  7.282 m 19.5' / m   141.999'  142'  2  22' Chequeo deflexión al: PT1 Deflexión al PT1  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT1  12 cuerdas 3 15' / cuerda  157' 2  22' Δ Deflexión al PT1  43 19'  1 2   Es importante anotar que la aproximación al minuto debe hacerse al calcular las deflexiones por subcuerdas (117' y 142') y no al calcular la deflexión por metro (19.5'). Esto garantiza que la deflexión al PT1 sea lo más cerca posible a 1/2, así como en el caso, que es exactamente igual a 86 38'/2=43 19'. En la parte inferior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito o localización de esta primera curva. En esta cartera también se observa que, si se supone que la tangente de entrada de la primera curva apunta en la dirección N25 00'E, los rumbos calculados para las tangentes de salida serán respectivamente S68 22'E y N48 56'E. d) Deflexiones de la curva 2 Deflexión por metro: Para una cuerda de 5 metros, la deflexión expresada en minutos por metro es:   d 5'  6 Gc2  6 4 28'  26.8' / m 71 Diseño geométrico de carreteras Tabla 3.3 ESTACIÓN PT2 PC2 PT1 PC1 72 Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples de distinto sentido ABSCISA 560 K4+556.058 555 550 545 540 535 530 525 520 515 510 505 500 495 490 K4+485.871 480 470 460 450 440 430 420 410 K4+407.282 400 390 380 370 360 350 340 330 320 310 300 290 280 K4+274.000 270 DEFLEXIÓN 3121' 3053' 2839' 2625' 2411' 2157' 1943' 1729' 1515' 1301' 1047' 0833' 0619' 0405' 0151' 0000' 4319' 4057' 3742' 3427' 3112' 2757' 2442' 2127' 1812' 1457' 1142' 0827' 0512' 0157' 0000' ELEMENTOS RUMBO ANOTACIONES N4856'E  PT2 S6822'E  PC2 S6822'E  PT1 N2500'E  PC1 2 = 6242'I c2 = 5m Gc2 = 428' R2 = 64.153m T2 = 39.082m Lc2 = 70.187m CL2 = 66.753m E2 = 10.967m M2 = 9.366m 1 = 8638'D c1 = 10m Gc1 = 630' R1 = 88.195m T1 = 83.159m Lc1 = 133.282m CL1 = 121.009m E1 = 33.023m M1 = 24.027m James Cárdenas Grisales Deflexión por cuerda unidad: Gc 2 4 28'   2 14' / cuerda 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PC2 Longitud subcuerda  490  485.871  4.129m Deflexión por subcuerda  4.129m 26.8' / m   110.657'  111'  151' Deflexión por subcuerda adyacente al: PT2 Longitud subcuerda  556.058  555  1.058 m Deflexión por subcuerda  1.058 m 26.8' / m   28.354'  28'  0  28' Chequeo deflexión al: PT2 Deflexión al PT2  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT2  13 cuerdas 2 14' / cuerda  151' 0  28' Δ Deflexión al PT2  3121'  2 2   En la parte superior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito o localización de esta segunda curva. EJEMPLO 3.6: Deflexiones de curvas circulares simples del mismo sentido Datos: Para la Figura 3.12, se tiene: Figura 3.12 Ejemplo 3.6 73 Diseño geométrico de carreteras Abscisa del PC de la curva 1 Cuerda unidad, ambas curvas Entretangencia = K0+000 = 10m = 90.020m Calcular: a) Las deflexiones de la curva 1. b) Las deflexiones de la curva 2. Solución: De acuerdo con la Figura 3.13, se tiene: Figura 3.13 a) Deflexiones de curvas circulares simples del mismo sentido Deflexiones de la curva 1 Siguiendo la bisectriz PI1O1, se tiene: Radio: R1 R1  E1  99.790m , 74 E1  T1 tan Δ1 4 James Cárdenas Grisales Δ1 Δ , T1  R1 tan 1 4 2 Δ Δ Δ Δ   R1  E1  R1  R1 tan 1 tan 1  R1 1  tan 1 tan 1  2 4 2 4   R1  E1 99.790 R1    86.421m   Δ1 Δ1 60 60 1  tan tan 1  tan tan 2 4 2 4 R1  E1  R1  T1 tan Grado: Gc1 También con el propósito de mostrar un método en la aproximación de los ángulos de deflexión a cifras enteras o redondas, en este ejemplo dichos ángulos se aproximarán al segundo. Gc1  2 arcsen c1 10  2 arcsen  6 38' 0.78"  6  38'1" 2R1 2 86.421 Longitud de la curva: Lc1 Lc1    c1 Δ1 10 60    90.448 m Gc1 6  38'1" Abscisa: PT1 Abscisa PT1  Abscisa PC1  Lc1  K 0  000  90.448  K 0  90.448 Deflexión por metro: d10  Gc1 6 38'1"   0 19' 54.05" / m 20 20 Deflexión por cuerda unidad: Gc1 6 38'1"   3 19' 0.5" / cuerda  3 19'1" / cuerda 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PT1 Longitud subcuerda  90.448  90  0.448 m   Deflexión por subcuerda  0.448 m 0 19' 54.05" / m  0 8' 54.93"  0 8' 55" 75 Diseño geométrico de carreteras Chequeo deflexión al: PT1 Deflexión al PT1  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)   Deflexión al PT1  9 cuerdas 3 19'1" / cuerda  0 8' 55"  30 0' 4"  30   b) Δ1 2 Deflexiones de la curva 2 Radio: R2 T2 , T2  PI1  PI 2  PT1  PC2  T1 Δ2 tan 2  60   Δ   49.895 m T1  R1 tan 1  86.421 tan 2 2   T2  180  90.020  49.895  40.085 m , Δ2  228   180   48  D T2 40.085 R2    90.032 m Δ2 48  tan tan 2 2 R2  Grado: Gc2 Gc 2  2 arcsen c2 10  2 arcsen  6  22'1.96"  6 22' 2" 2R2 2 90.032  Longitud de la curva: Lc2 Lc 2    c 2 Δ2 10 48    75.386 m Gc 2 6  22' 2" Abscisa: PC2 Abscisa PC2  Abscisa PT1  PT1 .PC2  K 0  90.448  90.020  K 0  180.468 Abscisa: PT2 Abscisa PT2  Abscisa PC2  Lc2  K 0  180.468  75.386  K 0  255.854 Deflexión por metro: d10  76 Gc2 6  22' 2"   0 19' 6.1" / m 20 20 James Cárdenas Grisales Deflexión por cuerda unidad: Gc 2 6 22' 2"   3 11'1" / cuerda 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PC2 Longitud subcuerda  190  180.468  9.532m   Deflexión por subcuerda  9.532 m 0 19' 6.1" / m  3  2' 4.63"  3  2' 5" Deflexión por subcuerda adyacente al: PT2 Longitud subcuerda  255.854  250  5.854m   Deflexión por subcuerda  5.854m 0 19' 6.1" / m  151' 49.27"  151' 49" Chequeo deflexión al: PT2 Deflexión al PT2  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)   Deflexión al PT2  6 cuerdas 3 11'1" / cuerda  3 2' 5" 1 51' 49"  24   Δ2 2 En la Tabla 3.4 se muestra la cartera de tránsito o localización de estas dos curvas. EJEMPLO 3.7: Elementos geométricos de curvas circulares simples del mismo sentido Datos: Dada la información que aparece en la Figura 3.14 y, además: Figura 3.14 Ejemplo 3.7 77 Diseño geométrico de carreteras Tabla 3.4 ESTACIÓN PT2 PC2 PT1 PC1 Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples del mismo sentido ABSCISA 260 K0+255.854 250 240 230 220 210 200 190 K0+180.468 180 170 160 150 140 130 120 110 100 K0+090.448 090 080 070 060 050 040 030 020 010 K0+000.000 DEFLEXIÓN 2400'00" 2208'11" 1857'10" 1546'09" 1235'08" 0924'07" 0613'06" 0302'05" 0000'00" 3000'04" 2951'09" 2632'08" 2313'07" 1954'06" 1635'05" 1316'04" 0957'03" 0638'02" 0319'01" 0000'00" ELEMENTOS ANOTACIONES  PT2 c2 = 10m 2 = 48D R2 = 90.032m Gc2 = 622'2" Lc2 = 75.386m  PC2  PT1 c1 = 10m 1 = 60D R1 = 86.421m Gc1 = 638'1" Lc1 = 90.448m = 20m Cuerda unidad, ambas curvas = 600m Distancia del PI1 al PI2 = 90m Distancia del PI1 al punto A = K8+920 Abscisa del PI1 = 269.460m Entretangencia El punto A pertenece a la primera curva. 78 RUMBO  PC1 James Cárdenas Grisales Calcular: a) La abscisa del PT2. b) La distancia entre los centros de las curvas. Solución: De acuerdo con la Figura 3.15, se tiene: Figura 3.15 Curvas circulares simples del mismo sentido a) Abscisa del PT2 Abscisa PT2  Abscisa PC1  Lc1  PT1  PC2  Lc 2 , donde: Abscisa: PC1 Abscisa PC1  Abscisa PI1  T1  K 8  920  T1 E1 T1  , Δ1  275   180   95  D , E1  90.000 m Δ1 tan 4 79 Diseño geométrico de carreteras 90.000 , entonces,  204.541m 95  tan 4 Abscisa PC1  K 8  920  204.541  K 8  715.459 T1  Longitud primera curva: Lc1   c1 Δ1 20 95   Gc1 Gc1 c T 204.541 Gc1  2 arcsen 1 , R1  1   187.427 m  Δ1 2R1 95 tan tan 2 2 20 , entonces,  6 7' 0.60" Gc1  2 arcsen 2 187.427  Lc1  Lc1    c1 Δ1 20 95     310.618 m Gc1 6 7' 0.60" Entretangencia: PT1PC2 PT1  PC2  269.460 m Longitud segunda curva: Lc2 Lc 2  c 2 Δ2 Gc 2 , c 2  20 m T2 Δ tan 2 2 T2  PI1  PI2  T1  PT1  PC2  600  204.541  269.460  125.999 m 125.999 R2   239.485 m 55  30' tan 2 20 Gc 2  2 arcsen  4  47'10.71" 2 239.485  Gc 2  2 arcsen  c2 2R2 , Δ2  235  30' 180   55  30' D  , R2  20 55  30'  231.912 m , por lo tanto, 4  47'10.71" Abscisa PT2  K8  715.459  310.618  269.460  231.912  K9  527.449 Lc 2  80 James Cárdenas Grisales b) Distancia entre los centros de las curvas Según la Figura 3.16, esta distancia es igual a: O1O2  PT1  PC2 2  R2  R1 2 O1O2  269.460 2  239.485  187.427 2 Figura 3.16  274.443m Distancia entre los centros de las curvas EJEMPLO 3.8: Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada Datos: En la Figura 3.17, se muestran tres tramos rectos de una carretera, AB, BC y CD, conectados por medio de dos curvas circulares simples de igual radio, de tal manera que existe entre ellas una entretangencia dada de 255 metros. Además, se tiene la siguiente información adicional: 81 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.17 Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada Abscisa del punto A Cuerda unidad para curvas Coordenadas del punto A Rumbo y distancia tramo AB Rumbo y distancia tramo BC Rumbo y distancia tramo CD = K0+986.280m = 10m = 500N, 100E = N74 42'E, 612.240m = S65 28'E, 664.960m = N44 46'E, 524.380m Calcular: a) El radio de las curvas. b) Las abscisas de los cuatro puntos de tangencia. c) El número de cuerdas completas para cada curva. d) Las coordenadas del punto D. Solución: a) Radio de las curvas El radio de las dos curvas puede expresarse en función de las tangentes, de la siguiente manera: BC  T1  entretangencia  T2 82 James Cárdenas Grisales 664.960  T1  255  T2 , de donde, T1  T2  409.960 m , esto es, Δ Δ R1 tan 1  R 2 tan 2  409.960 m , pero, R1 = R2 = R 2 2 Δ Δ   , por lo tanto, R  tan 1  tan 2   409.960 m 2 2   409.960 R Δ Δ tan 1  tan 2 2 2   Δ1  180  74 42' 65  28'  39 50' D Δ2  180   65  28' 44  46'  69  46' I Luego: R b) 409.960  386.937 m  R1  R2 39 50' 69  46'  tan tan 2 2 Abscisas de los cuatro puntos de tangencia Abscisa: PC1 Abscisa PC1  Abscisa A  A  PC1 A  PC1  AB  T1 T1  R1 tan  39 50'  Δ1   140.197 m  386.937  tan 2 2   A  PC1  612.240  140.197  472.043 m Abscisa PC1  K 0  986.280  472.043  K1  458.323 Abscisa: PT1 Abscisa PT1  Abscisa PC1  Lc1 c 10 Gc1  2 arcsen 1  2 arcsen  1 28' 50.86" 2R1 2 386.937  Lc1    c1 Δ1 10 39 50'   269.000 m Gc1 128' 50.86" 83 Diseño geométrico de carreteras Abscisa PT1  K1  458.323  269.000  K1  727.323 Abscisa: PC2 Abscisa PC2  Abscisa PT1  PT1  PC2  K1  727.323  255  K1  982.323 Abscisa: PT2 Abscisa PT2  Abscisa PC2  Lc 2 Gc2  Gc1  1 28' 50.86"   c 2 Δ2 10 69  46'   471.143 m Gc 2 1 28' 50.86" Abscisa PT2  K1  982.323  471.143  K 2  453.466 Lc 2  c) Número de cuerdas completas para cada curva Curva 1: Longitud por subcuerdas  460 - 458.323   727.323  720   9 m Longitud por cuerdas completas  Longitud curva - Longitud subcuerdas  Lc1  9 Longitud por cuerdas completas  269.000 - 9  260.000m Longitud por cuerdas 260.000 Número de cuerdas completas    26 cuerdas Longitud cuerda 10 Curva 2: Longitud por subcuerdas  990 - 982.323   453.466  450   11.143 m Longitud por cuerdas completas  Lc2  11.143  471.143  11.143  460.000 m 460.000 Número de cuerdas completas   46 cuerdas 10 d) Coordenadas del punto D N D  N A  AB cos 74  42' BC cos 65  28' CD cos 44  46' N D  500  612.240 cos 74  42' 664.960 cos 65  28' 524.380 cos 44  46'  757.747 m E D  E A  ABsen 74  42' BCsen 65  28' CDsen 44  46' E D  100  612.240 sen 74  42' 664.960 sen 65  28' 524.380 sen 44  46'  1664.748 m 84 James Cárdenas Grisales EJEMPLO 3.9: Curva circular simple tangente a tres alineamientos dados Datos: Para una carretera y según la Figura 3.18, se tienen los siguientes alineamientos: Azimut y distancia alineamiento AB = 33 , 222m Azimut y distancia alineamiento BC = 72 , 218m Azimut y distancia alineamiento CD = 121 , 242m Estos tres alineamientos deben unirse con una curva circular simple, de tal manera que ellos sean tangentes a la curva. Figura 3.18 Curva circular simple tangente a tres alineamientos Calcular: a) El radio de la curva que une los tres alineamientos. 85 Diseño geométrico de carreteras b) La abscisa del PT de la curva, si la abscisa del punto A es K0+000. Solución: a) Radio de la curva El radio de la curva puede expresarse en función de las tangentes, así: T1  T2  BC  218 m Δ Δ , pero, R1 = R2 = R R1 tan 1  R 2 tan 2  218 m 2 2 Δ Δ   , por lo tanto, R  tan 1  tan 2   218 m 2 2   218 R Δ1 Δ tan  tan 2 2 2   Δ1  72  33  39  D Δ2  121  72   49  D Luego: R 218  39 49   tan tan 2 2  269.187 m El valor del radio de la curva puede ser también calculado así: R T , T  T1  B  PI Δ tan 2 B  PI  , T1  95.324m 86  BC sen Δ2 218 sen 49    164.627 m sen 180   Δ1  Δ2 sen 180   39   49    Por lo tanto: R  , Δ  Δ1  Δ2  39   49   88  D 95.324  164.627  269.187 m 88  tan 2   James Cárdenas Grisales b) Abscisa del PT Abscisa PT  Abscisa PC  Ls1  Ls 2 , donde: Abscisa: PC Abscisa PC  Abscisa A  A  PC A  PC  AB  T1 , T1  R tan  39   Δ1   95.324m  269.187  tan 2 2   A  PC  222  95.324  126.676 m Abscisa PC  K0  000  126.676  K0  126.676 Longitud de la primera parte de la curva: Ls1 Para el sistema arco, según la ecuación (3-9), se tiene: Ls1  πR1 Δ1 π 269.187 39    183.230 m 180  180  Longitud de la segunda parte de la curva: Ls2 Ls 2  πR2 Δ2 π 269.187 49    230.212 m 180  180  Luego: Abscisa PT  K0  126.676  183.230  230.212  K0  540.118 EJEMPLO 3.10: Replanteo de una curva circular simple de radio dado y PI inaccesible Datos: Según la Figura 3.19, AB y CD son dos tramos rectos de una carretera, que deben unirse por una curva circular de radio 330 metros. El PI resultó inaccesible, arrojando los datos mostrados para la poligonal ABCD. Calcular: La información necesaria para replantear la curva con cuerdas de 20 metros. 87 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.19 Ejemplo 3.10 Solución: De acuerdo con la Figura 3.20, se tiene: Figura 3.20 88 Curva de radio dado y PI inaccesible James Cárdenas Grisales Ángulo de deflexión principal:      Δ  α  β  180   160   180   147  30'  52  30' D Tangente: T T  R tan  52  30'  Δ   162.738 m  330  tan 2 2   Abscisa: PC Abscisa PC  Abscisa A  A  PC A  PC  AB  B  PC  AB  x  T  x BC  sen β sen 180   Δ   β  180  147 30'  32 30'  , pero,    ,180   Δ  180   52 30'  127 30' 290.30 sen 32  30' , por lo tanto,  196.606 m sen 127  30' A  PC  476.95  196.606  162.738   510.818 m x Luego: Abscisa PC  K0  000  510.818  K0  510.818 Grado de curvatura: Gc Gc  2 arcsen c 20  2 arcsen  3  28' 22.81" 2R 2 330  Longitud de la curva: Lc Lc    cΔ 20 52 30'   302.332 m Gc 3  28' 22.81" Abscisa: PT Abscisa PT  Abscisa PC  Lc  K 0  510.818  302.332  K 0  813.150 Deflexión por cuerda unidad: Gc 3  28' 22.81"   1 44'11.41" 2 2 89 Diseño geométrico de carreteras Deflexión por metro:  d 20  Gc 3 28' 22.81"   0 5'12.57" / m 40 40 Deflexión subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda  520  510.818  9.182m   Deflexión por subcuerda  9.182m 0 5'12.57" / m  0  47' 50.02" Deflexión subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda  813.150  800  13.150m   Deflexión por subcuerda  13.150m 0 5'12.57" / m  18' 30.30" Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT  14 cuerdas 1 44'11.41" / cuerda  0  47' 50.02" 18' 30.30" Δ Deflexión al PT  26 15' 0.06"   26 15' 00" 2   Así, con la información obtenida, se puede replantear la curva. EJEMPLO 3.11: Curva circular simple de tangente dada y PI inaccesible Datos: Según la Figura 3.21, en el trazado de una carretera el PI quedó en una laguna, de manera que se trazó una línea de atajo AB igual a 100 metros entre las tangentes. La curva se debe trazar con cuerdas de 20 metros y su tangente se espera que sea de 98.310 metros. La abscisa de A es = K2+960 Calcular: a) Las deflexiones de la curva para el PI inaccesible. b) ¿A qué lado de la línea AB estará ubicado el punto medio de la curva? 90 James Cárdenas Grisales Figura 3.21 Ejemplo 3.11 Solución: De acuerdo con la Figura 3.22, se tiene: Figura 3.22 Curva de tangente dada y PI inaccesible 91 Diseño geométrico de carreteras a) Deflexiones Radio: R R T , Δ  16   44   60  D Δ tan 2 98.310 R  170.278 m 60  tan 2 Grado de curvatura: Gc Gc  2 arcsen c 20  2 arcsen  6  44' 0.78" 2R 2 170.278  Longitud de la curva: Lc Lc    cΔ 20 60     178.212m Gc 6 44' 0.78" Abscisa: PC , pero, Abscisa PC  Abscisa A  x y AB x  98.310  y ,   sen 44 sen 180   Δ     ,180   Δ  180   60   120  100 sen 44  , por lo tanto,  80.212 m sen 120  x  98.310  80.212  18.098 m y Entonces: Abscisa PC  K2  960  18.098  K 2  941.902 Abscisa: PT Abscisa PT  Abscisa PC  Lc  K 2  941.902  178.212  K 3  120.114 Deflexión por cuerda unidad: Gc 6  44' 0.78"   3 22' 0.39" 2 2 92 James Cárdenas Grisales Deflexión por metro:  d 20  Gc 6  44' 0.78"   0 10' 6.02" / m 40 40 Deflexión subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda  960  941.902  18.098m   Deflexión por subcuerda  18.098m 0 10' 6.02" / m  3 2' 47.75" Deflexión subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda  120.114  120  0.114m   Deflexión por subcuerda  0.114m 0 10' 6.02" / m  0 1' 9.09" Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT  8 cuerdas 3  22' 0.39" / cuerda  3  2' 47.75" 0 1' 9.09" Δ Deflexión al PT  29 59' 59.96"   30  2   b) Ubicación del punto medio de la curva  60   Δ   26.342 m PI  D  Externa  T tan  98.310  tan 4 4      PI  C y   180  Δ   180  60         104  , α 180 16 180 16  sen α 2 2 sen 16   sen 16    22.786 m  PI  D  26.342 m PI  C  80.212    sen 104  Luego el punto medio D de la curva está ubicado a la derecha de la línea AB. EJEMPLO 3.12: Curvas circulares simples de tangentes paralelas Datos: Adicionalmente a la información dada en la Figura 3.23, se tiene que: 93 Diseño geométrico de carreteras La abscisa del PC2 es La cuerda unidad de la curva 2 Figura 3.23 = K2+200 = c2 = 3m Ejemplo 3.12 Calcular: a) El radio de la curva 1. b) La abscisa del PT2. Solución: De acuerdo con la Figura 3.24, se tiene: a) Radio de la curva 1 Δ CL1  2 R1 sen 1 , CL1  52.000 m , Δ1  59  40' I 2 CL1 52.000 R1    52.264m  Δ1 59 40 ' 2 sen 2 sen 2 2 , entonces: b) Abscisa del PT2 Abscisa PT2  Abscisa PC2  Lc 2 c Δ Lc 2  2 2 , c 2  3 m , Δ2  180   59  40'  120 20' D Gc 2 c Gc 2  2 arcsen 2 2R2 94 James Cárdenas Grisales Figura 3.24 R2  x T2 Δ tan 2 2 , T2  T1  x Curvas circulares de tangentes paralelas , tan Δ1  PT1  PT2 x PT1  PT2 7.200   4.213 m tan Δ1 tan 59  40' T1  R1 tan  59  40'  Δ1   29.972 m  52.264 tan 2 2   T2  29.972  4.213  25.759 m , por lo tanto, 25.759 3  14.772 m , Gc2  2 arcsen  11 39' 22.01"  2 14.772  120 20' tan 2 3 120  20' , luego: Lc 2    30.971m 11 39' 22.01" R2    Abscisa PT2  K 2  200  30.971  K 2  230.971 95 Diseño geométrico de carreteras EJEMPLO 3.13: Coordenadas del centro de una curva circular Datos: Para la Figura 3.25, se tiene: Coordenadas del punto A Coordenadas del punto B = N: 456.322, E: 861.741 = N: 389.985, E: 936.570 Figura 3.25 Ejemplo 3.13 Calcular: Las coordenadas del centro C de la curva de 14 metros de radio. Solución: De acuerdo con la Figura 3.26, las coordenadas de C se pueden plantear así: Norte de C  Norte de B  a cos α - b cos β  E  R  cos δ Este de C  Este de B  a sen α - b sen β  E  R  sen δ 96 James Cárdenas Grisales Figura 3.26 Coordenadas del centro de una curva circular Distancia: a sen φ  a 6 a 6 sen φ α  arctan , φ  180   Δ ,Δ α β , β  84 12' 46" EB  E A 936.570 - 861.741  arctan  48  26' 33.16" NB  N A 389.985 - 456.322 Δ  48  26' 33.16" 84 12' 46"  132  39'19.16" φ  180   132  39'19.16"  47  20' 40.84" 6 a  8.158 m  sen 47 20' 40.84" , entonces, 97 Diseño geométrico de carreteras Distancia: b sen φ  8 b ,b  8  10.878 m sen 47 20' 40.84"  Externa de la curva: E         1 1   20.869 m E  R  1  1   14   132  39'19.16"  cos Δ    cos   2   2   La externa también se puede calcular en función de la tangente T, así: E  T tan Δ 4 , T  R tan  132 39'19.16"  Δ   31.935 m  14 tan  2 2   , entonces:  132 39'19.16"    20.869 m E  31.935  tan  4   Ángulo:  Este ángulo define el rumbo del alineamiento PIC: 180   Δ 180   132  39'19.16"   23  40' 20.42" 2 2 δ  48  26' 33.16" 23  40' 20.42"  72 6' 53.58" δ αρ ,ρ  Luego las coordenadas del punto C son:     Norte C  389.985  8.158 cos 48 26' 33.16"  10.878 cos 84 12' 46"  20.869  14  cos 72 6' 53.58"  405.009 m      Este C  936.570  8.158 sen 48 26' 33.16"  10.878 sen 84 12' 46"  20.869  14  sen 72 6' 53.58"  886.459 m  EJEMPLO 3.14: Intersección de una vía en curva con otra vía en recta Datos: Para la curva de radio R de la vía 1 de la Figura 3.27, se conocen los siguientes datos: 98 James Cárdenas Grisales Ángulo de deflexión principal Grado de curvatura Cuerda unidad Abscisa del PC Figura 3.27 =  = 59 40'I = Gc = 5 28' = c = 10m = K5+972.450 Ejemplo 3.14 Calcular: a) Las deflexiones para la curva dada. b) La abscisa donde la vía 1 y la vía 2 se interceptan. Solución: De acuerdo con la Figura 3.28, se tiene: a) Deflexiones Longitud de la curva: Lc Lc    cΔ 10 59  40'   109.146 m Gc 5  28' Abscisa: PT Abscisa PT  Abscisa PC  Lc  K 5  972.450  109.146  K 6  081.596 99 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.28 Vías que se interceptan Deflexión por cuerda unidad: Gc 5 28'   2  44' 2 2 Deflexión por metro: d10  Gc 5  28'   0 16' 24" / m 20 20 Deflexión subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda  980  972.450  7.550m   Deflexión por subcuerda  7.550m 0 16' 24" / m  2  3' 49.20" Deflexión subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda  81.596  80  1.596m   Deflexión por subcuerda  1.596m 0 16' 24" / m  0 26'10.46" 100 James Cárdenas Grisales Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT  10 cuerdas 2  44' / cuerda  2  3' 49.20" 0  26'10.46" Δ Deflexión al PT  29  49' 59.66"  29 50'  2   Por lo tanto, las deflexiones para la curva son las que se muestran en la Tabla 3.5. Tabla 3.5 ESTACIÓN PT PC b) Cartera de deflexiones para la curva circular ABSCISA 100 090 K6+081.596 080 070 060 050 040 030 020 010 K6+000 990 980 K5+972.450 970 960 DEFLEXIÓN ANOTACIONES 2949'59.66" 2923'49.20" 2639'49.20" 2355'49.20" 2111'49.20" 1827'49.20" 1543'49.20" 1259'49.20" 1015'49.20" 0731'49.20" 0447'49.20" 0203'49.20" 0000'00.00"  PT  PC Abscisa del punto de intersección P Abscisa de P  Abscisa PC  PC  P , donde, PCP = Longitud de la curva acumulada hasta P. Bajo la definición de cuerda-grado, la longitud de la distancia PCP, se expresa así: PC  P  cα Gc 101 Diseño geométrico de carreteras Según el triángulo rectángulo OPQ: OQ R  20 , esto es,  OP R  R  20  , pero, α  arccos   R  c 10 , entonces, R   104.849 m Gc 5  28' 2 sen 2 sen 2 2  104.849  20   , por lo tanto, α  arccos   35 58'38.39"  104.849  10 35 58' 38.39" , luego: PC  P   65.812 m 5 28' Abscisa de P  K5  972.450  65.812  K6  038.262 cos α    Por otro lado, si se quiere tener la abscisa exacta del punto P considerando el arco PCP, se tiene:   πRα π 104.849  35 58' 38.39"   65.837 m 180  180  Abscisa exacta de P  K5  972.450  65.837  K6  038.287 PC  P  Puede observarse que la abscisa exacta de P es mayor en 25 milímetros a la calculada anteriormente, lo cual era de esperarse, pues en el primer caso la curva se desarrolla a través de un polígono y en el segundo caso se sigue exactamente la trayectoria de arco de la curva. Sin embargo, en este ejemplo particular, el abscisado a tener en cuenta es del sistema de cuerdas, esto es, el primero. EJEMPLO 3.15: Elementos geométricos y cálculo de una curva por coordenadas Datos: Para la curva de la Figura 3.29, se tienen los siguientes datos: Azimut de la tangente de entrada Azimut de la tangente de salida 102 = 34  = 101  James Cárdenas Grisales Radio de la curva Coordenadas del PI Abscisa del PC Sistema a utilizar = 53m = 800N, 400E = K2+423.157 = Arco-grado Calcular: a) Los elementos geométricos que caracterizan la curva. b) Las coordenadas para localizar la curva. Figura 3.29 Cálculo de una curva circular por coordenadas 103 Diseño geométrico de carreteras Solución: a) Elementos geométricos Ángulo de deflexión principal:  Δ  Azimut tangente de salida  Azimut tangente de entrada  101  34   67  D Tangente: T T  R tan  67   Δ   35.080 m  53 tan 2 2   Longitud de la curva: Ls Ls    πRΔ π 53  67    61.977 m 180  180  Cuerda larga: CL CL  2R sen Δ 67   2 53  sen  58.505 m 2 2 Externa: E        1  1    E R  1  53  1   10.558 m   67   cos Δ    cos   2   2   Ordenada media: M  Δ 67      8.804m M  R 1  cos   531  cos 2 2    Grado de curvatura: Gs=1 Gs 1  104 1 1   0.018867924 radianes  1 4' 51.79" / m R 53 James Cárdenas Grisales Abscisa del: PT Abscisa PT  Abscisa PC  Ls  K 2  423.157  61.977  K 2  485.134 Ángulos centrales: Si se adopta el eje de la vía abscisado cada 10 metros, se observa que se presentan dos subarcos, del lado del PC y del lado del PT. Sus longitudes son: Subarco lado del PC  K2  430   K 2  423.157   6.843m Subarco lado del PT  K2  485.134   K 2  480   5.134m Utilizando la ecuación (3-7), que relaciona el arco s con el ángulo central Gs, se tiene que los ángulos centrales  y  correspondientes a estos dos subarcos, son: α β 180  s 180  6.843     7 23' 51.51" πR π 53  180  s 180  5.134    5 33' 0.44" πR π 53  A su vez, el ángulo central Gs correspondiente a un arco unidad de 10 metros, es: Gs  180  s 180  10    10  48' 37.89" πR π 53  b) Coordenadas de puntos de la curva Coordenadas del: PC Las coordenadas del PC se calculan con base en las coordenadas del PI, que sería el punto inicial. Por lo tanto, se debe conocer el azimut del alineamiento PIPC, representado por el ángulo . De esta manera: , de donde, δ  34   180   214  N PC  N PI  T cos δ  800  35.080 cos 214   800  29.083  770.917 E PC  E PI    T sen δ  400  35.080 sen 214   400  19.616  380.384  105 Diseño geométrico de carreteras Coordenadas del: PT    400  35.080 sen 101   400  34.435  434.435 N PT  N PI  T cos 101  800  35.080 cos 101  800  6.694  793.306 E PT  E PI  T sen 101  Coordenadas del centro de la curva: O Es necesario conocer las coordenadas del centro de la curva, pues a partir de ellas se calcularán las coordenadas de los diversos puntos sobre la curva, a través de sus alineamientos radiales. El azimut del alineamiento PCO, se representa por el ángulo . Por lo tanto: ρ  34   90   124  , de donde,    R sen ρ  380.384  53 sen 124   380.384  43.939  424.323 NO  N PC  R cos ρ  770.917  53 cos 124   770.917  29.637  741.280 EO  E PC  Coordenadas de la abscisa: K2+430 El azimut del alineamiento OPC es igual al contra-azimut del alineamiento PCO. Esto es, el contra-azimut de un alineamiento es el azimut observado desde el otro extremo del mismo: AzimutOPC  ρ  180   124   180   304  Azimut OK 2  430  Azimut O PC  α  304   7  23' 51.51"  311 23' 51.51"     N K2  430  NO  R cos AzimutO K 2  430  741.280  53 cos 311 23' 51.51"  741.280  35.048  776.328 E K2  430  EO  R sen AzimutO K 2  430  424.323  53 sen 31123' 51.51"  424.323  39.757  384.566 Coordenadas de la abscisa: K2+440 Azimut OK 2  440  Azimut OK 2  430  Gs  31123' 51.51" 10  48' 37.89"  322 12' 29.40"     N K2  440  NO  R cos AzimutO K 2  440  741.280  53 cos 322 12' 29.40"  741.280  41.883  783.163 E K2  440  EO  R sen Azimut O K 2  440  424.323  53 sen 322 12' 29.40"  424.323  32.478  391.845 106 James Cárdenas Grisales Coordenadas de la abscisa: K2+450 AzimutOK 2  450  AzimutOK 2  440  Gs  322 12' 29.40" 10  48' 37.89"  333 1'7.29"     N K2  450  NO  R cos Azimut OK 2  450  741.280  53 cos 333 1'7.29"  741.280  47.231  788.511 E K2  450  EO  R sen AzimutOK 2  450  424.323  53 sen 333 1'7.29"  424.323  24.046  400.277 Coordenadas de la abscisa: K2+460 AzimutOK 2  460  AzimutOK 2  450  Gs  333 1'7.29" 10  48' 37.89"  343  49' 45.18"     N K2  460  NO  R cos Azimut O K 2  460  741.280  53 cos 343  49' 45.18"  741.280  50.903  792.183 E K2  460  EO  R sen AzimutOK 2  460  424.323  53 sen 343  49' 45.18"  424.323  14.761  409.562 Coordenadas de la abscisa: K2+470 Azimut OK 2  470  Azimut O K 2  460  Gs  343  49' 45.18" 10  48' 37.89"  354  38' 23.07"     N K2  470  NO  R cos AzimutO K 2  470  741.280  53 cos 354 38' 23.07"  741.280  52.768  794.048 E K2  470  EO  R sen AzimutOK 2  470  424.323  53 sen 354 38' 23.07"  424.323  4.951  419.372 Coordenadas de la abscisa: K2+480 Azimut OK 2  480  Azimut OK 2  470  Gs  354 38' 23.07" 10  48' 37.89"  365  27' 0.96"  N K2  480  NO  R cos AzimutO K 2  480  741.280  53 cos 5 27' 0.96"  741.280  52.760  794.040 E K2  480  EO  R sen AzimutOK 2  480  424.323  53 sen 5  27' 0.96"  424.323  5.034  429.357     5  27' 0.96"  Coordenadas del: PT AzimutOPT  AzimutO K 2  480  β  5 27' 0.96" 5 33' 0.44"  110'1.40"   N PT  NO  R cos AzimutOPT  741.280  53 cos 110'1.40"  741.280  52.026  793.306 107 Diseño geométrico de carreteras  E PT  EO  R sen AzimutO PT  424.323  53 sen 110'1.40"  424.323  10.113  434.436  Como chequeo puede observarse que estas coordenadas son las mismas a las calculadas previamente desde el PI. En la Tabla 3.6 se presenta la cartera de coordenadas que permite localizar la curva circular. Tabla 3.6 ESTACIÓN PC PT Cartera de coordenadas para localización de la curva circular ABSCISA K2+410 K2+420 K2+423.157 K2+430 K2+440 K2+450 K2+460 K2+470 K2+480 K2+485.134 K2+490 K2+500 COORDENADAS N E 770.917 776.328 783.163 788.511 792.183 794.048 794.040 793.306 ELEMENTOS 380.384  = 67D 384.566 Gs=1 = 14'51.79"/m 391.845 R = 53.000m 400.277 = T 35.080m 409.562 Ls = 61.977m 419.372 CL = 58.505m 429.357 E = 10.558m 434.435 M = 8.804m AZIMUT ANOTACIONES 34  PC 101  PT EJEMPLO 3.16: Cuadro de localización y elementos de curvas circulares horizontales simples Datos: Además de la información mostrada para las tres curvas de la Figura 3.30, se tienen los siguientes datos: Coordenadas del POT1 = 839N, 158E Coordenadas del POT2 = 567N, 653E Coordenadas del PI1 = 687N, 186E Coordenadas del PI2 = 922N, 438E Coordenadas del PI3 = 825N, 664E = K0+000 Abscisa del POT1 108 James Cárdenas Grisales Figura 3.30 Ejemplo 3.16 Calcular: Todos los elementos geométricos necesarios que permitan localizar las tres curvas. Solución: El cálculo de todos los elementos que permiten la localización de las tres curvas, se realiza con base en la Figura 3.31, siguiendo el sistema arco. Distancias y azimutes entre puntos o estaciones: Alineamiento POT1PI1: POT1  PI1  N PI1  N POT1   E 2 PI1  E POT1  2  687  839 2  186  158 2  154.557 m Az POT1 PI1  arctan E PI1  E POT1 N PI1  N POT1  arctan 186  158  169 33' 45.09" 687  839 109 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.31 110 Localización de curvas horizontales circulares simples James Cárdenas Grisales Alineamiento PI1PI2: PI1  PI 2  N PI 2  N PI1   E 2 PI2  2  E PI1  922  687 2  438  186 2  344.571m Az PI1 PI2  arctan E PI2  E PI1 N PI2  N PI1 Alineamiento PI2PI3: N PI 2  PI 3  PI 3  N PI2 438  186  46 59' 57.29" 922  687  arctan   E 2 PI 3  E PI2  2 825  922 2  664  438 2   245.937 m Az PI2 PI3  arctan E PI3  E PI2 N PI3  N PI2 Alineamiento PI3POT2: PI3  POT2  N  arctan POT2  N PI3   E 2 POT2 664  438  113 13' 45.05" 825  922  E PI3  2  567  825 2  653  664 2  258.234m Az PI3 POT2  arctan E POT2  E PI3 N POT2  N PI3  arctan 653  664  182  26' 28.91" 567  825 Elementos geométricos de la curva 1: Δ1  Az POT1 PI1  Az PI1 PI2  169 33' 45.09" 46 59' 57.29"  122 33' 47.80" I T1  R1 tan  122 33' 47.80"  Δ1   124.110 m  68  tan  2 2   πR1 Δ1 π 68 122 33' 47.80"   145.461m 180  180  Δ 122 33' 47.80" CL1  2 R1 sen 1  2 68  sen  119.271m 2 2        1  1   73.518 m E1  R1  1  1   68     122 33' 47.80"  cos Δ1      cos 2   2   Ls1  111 Diseño geométrico de carreteras  Δ  122 33' 47.80"     35.326 m M1  R1 1  cos 1   68 1  cos  2  2    Elementos geométricos de la curva 2: Δ2  Az PI2 PI3  Az PI1 PI2  113 13' 45.05" 46 59' 57.29"  66 13' 47.76" D T2  R2 tan  66 13' 47.76"  Δ2   75.010 m  115  tan  2 2   πR2 Δ2 π 115 66 13' 47.76"   132.932 m 180  180  66 13' 47.76" Δ  125.654m CL2  2 R2 sen 2  2 115  sen 2 2         1 1   22.301m  1 E 2  R2   1   115    66 13' 47.76"   cos Δ2   cos   2   2     66 13' 47.76"  Δ     18.679 m M 2  R2 1  cos 2   115 1  cos  2  2    Ls 2  Elementos geométricos de la curva 3: Δ3  Az PI3 POT2  Az PI2 PI3  182 26' 28.91" 113 13' 45.05"  69 12' 43.86" D T3  R3 tan  69 12' 43.86"  Δ3   104.192 m  151 tan  2 2   πR3 Δ3 π 15169 12' 43.86"   182.405 m 180  180  Δ 69 12' 43.86" CL3  2 R3 sen 3  2 151 sen  171.515 m 2 2        1  1     1   32.458 m  1  151 E 3  R3   69 12' 43.86"  cos Δ3    cos   2   2     Δ  69 12' 43.86"     26.716 m M 3  R3 1  cos 3   1511  cos  2  2    Ls 3  112 James Cárdenas Grisales Coordenadas de puntos importantes: Principio de la curva 1: PC1 POT1  PC1  POT1  PI1  T1  154.557  124.110  30.447 m N PC1  N POT1  POT1  PC1 cos Az POT1 PI1  839  30.447 cos 169  33' 45.09"    839  29.943  809.057 m  158  30.447 sen 169  33' 45.09"  E PC1  E POT1  POT1  PC1 sen Az POT1 PI1   158  5.516  163.516 m Final de la curva 1: PT1 N PT1  N PI1  T1 cos Az PI1 PI2  687  124.110 cos 46 59' 57.29"    687  84.644  771.644m  186  124.110 sen 46 59' 57.29"  E PT1  E PI1  T1 sen Az PI1 PI2   186  90.767  276.767 m Principio de la curva 2: PC2 PT1  PC2  PI1  PI 2  T1  T2  344.571  124.110  75.010  145.451m N PC2  N PT1  PT1  PC2 cos Az PI1 PI2  771.644  145.451 cos 46 59' 57.29"    771.644  99.199  870.843 m  276.767  145.451 sen 46 59' 57.29"  E PC2  E PT1  PT1  PC2 sen Az PI1 PI2   276.767  106.375  383.142 m Final de la curva 2: PT2 N PT2  N PI2  T2 cos Az PI2 PI3  922  75.010 cos 113 13' 45.05"   922  29.585  892.415 m  438  75.010 sen 113 13' 45.05"  E PT2  E PI2  T2 sen Az PI2 PI3    438  68.929  506.929 m Principio de la curva 3: PC3 PT2  PC3  PI 2  PI 3  T2  T3  245.937  75.010  104.192  66.735 m  N PC3  N PT2  PT2  PC3 cos Az PI2 PI3  892.415  66.735 cos 113 13' 45.05"   892.415  26.321  866.094m 113 Diseño geométrico de carreteras  E PC3  E PT2  PT2  PC3 sen Az PI2 PI3  506.929  66.735 sen 113 13' 45.05"   506.929  61.325  568.254m Final de la curva 3: PT3 N PT3  N PI3  T3 cos Az PI3 POT2  825  104.192 cos 182  26' 28.91"    825  104.097  720.903 m  664  104.192 sen 182  26' 28.91"  E PT3  E PI3  T3 sen Az PI3 POT2   664  4.438  659.562 m Abscisado del eje: Abscisa PC1  Abscisa POT1  POT1  PC1  K 0  000  30.447  K 0  30.447 Abscisa PT1  Abscisa PC1  Ls1  K 0  30.447  145.461  K 0  175.908 Abscisa PC2  Abscisa PT1  PT1  PC2  K 0  175.908  145.451  K 0  321.359 Abscisa PT2  Abscisa PC2  Ls 2  K 0  321.359  132.932  K 0  454.291 Abscisa PC3  Abscisa PT2  PT2  PC3  K 0  454.291  66.735  K 0  521.026 Abscisa PT3  Abscisa PC3  Ls 3  K 0  521.026  182.405  K 0  703.431 Abscisa POT2  Abscisa PT3  PT3  POT2 PT3  POT2  PI 3  POT2  T3  258.234  104.192  154.042 m Abscisa POT2  K 0  703.431  154.042  K 0  857.473 En la Tabla 3.7 se muestra el cuadro de localización y elementos de las curvas. En cada una de sus columnas se consigna la siguiente información: La primera columna (PUNTOS) indica los puntos sobre las tangentes y los puntos de intersección de los diversos alineamientos. La segunda, tercera y cuarta columnas (COORDENADAS, DISTANCIA y AZIMUT) corresponde a las coordenadas de los puntos, las distancias entre ellos y los azimutes de sus alineamientos. Las siguientes cinco columnas (, R, T, L, CL, E y M) corresponden a los elementos que caracterizan geométricamente cada una de las curvas, asociados a cada PI. Y las dos últimas columnas de la segunda parte del cuadro (ABSCISAS y COORDENADAS) corresponden a las abscisas y coordenadas de los puntos principales sobre el eje de la vía (POT, PC y PT). 114 687 922 825 567 PI2 PI3 POT2 K0+521.026 PI3 POT2 K0+321.359 PI2 PC K0+030.447 K0+857.473 28.91 45.05 57.29 45.09 ABSCISAS 26 13 59 33 SEG PI1 POT1 182 113 46 169 POT K0+000 258.234 245.937 344.571 154.557 MIN (m) GRA AZIMUT PT 12 13 33 MIN K0+703.431 K0+454.291 K0+175.908 69 66 122 GRA  866.094 870.843 809.057 N 43.86 47.76 47.80 SEG PC 104.192 75.010 124.110 (m) T 568.254 383.142 163.516 E 720.903 892.415 PT E (m) CL 171.515 125.654 119.271 659.562 506.929 276.767 182.405 132.932 771.644 N (m) L 145.461 COORDENADAS 151 115 68 (m) R Cuadro de localización y elementos de las curvas horizontales DIST. PUNTOS 653 664 438 186 COORDENADAS N E (m) (m) 839 158 PI1 POT1 PUNTOS Tabla 3.7 32.458 22.301 73.518 (m) E 26.716 18.679 35.326 (m) M James Cárdenas Grisales 115 Diseño geométrico de carreteras EJEMPLO 3.17: Desplazamiento paralelo de la tangente de salida de una curva circular con nuevo radio Datos: Para la Figura 3.32, una curva circular simple fue calculada inicialmente con: Deflexión principal Radio Sistema Abscisa del PC Figura 3.32 =  = 72 D = R = 171.910m = Arco = K11+919.170 Desplazamiento paralelo de la tangente de salida Calcular: El nuevo abscisado para el PT', si la tangente de salida se mueve paralelamente hacia afuera una distancia de 15 metros, conservando el PC su posición. 116 James Cárdenas Grisales Solución: La nueva abscisa del PT' sobre la variante será: Abscisa PT'  Abscisa PC  L' s πR' Δ' L' s  180  , donde, Como la nueva tangente de salida es paralela a la antigua tangente de salida, entonces: Δ'  Δ  72  D T' , T'  T  PI  PI' R'  Δ' tan 2  72   Δ   124.900 m T  R tan  171.910  tan 2 2   15 15 , PI  PI'  sen Δ   15.772 m PI  PI' sen 72  T '  124.900  15.772  140.672 m 140.672 , por lo tanto, R'   193.618 m 72  tan 2 π 193.618  72  , luego: L' s   243.308 m 180  Abscisa PT'  K11  919.170  243.308  K12  162.478 EJEMPLO 3.18: Ecuación de empalme entre dos vías, curva a curva Datos: Para el par de curvas de la Figura 3.33, se tiene: Radio de la curva 1 Abscisa del PC1 Abscisa del PC2 Sistema = R1 = 49m = K1+937.580 = K1+922.260 = Arco 117 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.33 Ejemplo 3.18 Calcular: La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1. Solución: Como se observa en la Figura 3.34 el empalme de las dos vías tiene lugar en el PT1 o PT2. Las abscisas para cada caso son: Abscisa: vía 1 (PT1 = PT2) Abscisa (PT1  PT2 ) vía 1  Abscisa PC1  Ls1 πR Δ , Δ1  180   α  β  180   55   45   80  D Ls1  1 1 180 π 49 80  , por lo tanto: Ls1   68.417 m 180  Abscisa (PT1  PT2 ) vía 1  K1  937.580  68.417  K2  005.997 Abscisa: vía 2 (PT2 = PT1) Abscisa (PT2  PT1 ) vía 2  Abscisa PC2  Ls 2 118 James Cárdenas Grisales Figura 3.34 Ecuación de empalme curva a curva πR2 Δ2 , Δ2  180   δ  β  180   25   45   110  D 180  T2 R2  , T2  T1  d Δ2 tan 2  80   Δ   41.116 m T1  R1 tan 1  49  tan 2 2   d T1  , ρ  180   δ  β  Δ1  180   25   45   80   30  sen ρ senδ  β  Ls 2  119 Diseño geométrico de carreteras    T1 sen ρ 41.116 sen 30    21.877 m senδ  β  sen 25   45  62.993  44.108m R2  110  tan 2 π 44.108 110  Ls 2   84.681m 180  d  , T2  41.116  21.877  62.993 m Por lo tanto: Abscisa (PT2  PT1 ) vía 2  K1  922.260  84.681  K2  006.941 Una vez calculadas las abscisas por las diferentes vías, se procede a igualarlas, resultando la ecuación de empalme así: K2  006.941 (vía 2, atrás)  K2  005.997 (vía 1, adelante) EJEMPLO 3.19: Ecuación de empalme entre dos vías, curva a recta Datos: Para las dos vías de la Figura 3.35, se tiene: Abscisa de A Abscisa de B Coordenadas de A Coordenadas de B Coordenadas de C = K0+000 = K0+000 = N: 854.821, E: 815.961 = N: 749.243, E: 946.064 = N: 837.081, E: 966.562 Calcular: a) La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1. b) La abscisa del punto C. Solución: De acuerdo con la Figura 3.36, se tiene: 120 James Cárdenas Grisales Figura 3.35 Figura 3.36 Ejemplo 3.19 Ecuación de empalme curva a recta 121 Diseño geométrico de carreteras a) Ecuación de empalme Abscisa: PT2 (vía 1) Abscisa PT2 (vía 1)  Abscisa de A  A  PC1  Lc1  PT1  PT2 Abscisa de A  K0  000 , A  PC1  30.20 m cΔ Lc1  1 1 , c1  10 m , Δ1  180   α  β Gc 1 , donde, El ángulo  define el rumbo del alineamiento AB y el ángulo  el rumbo del alineamiento DC. α  arctan AB  AB  EB  E A 946.064  815.961  arctan  50 56' 26.97" NB  N A 749.243  854.821 E B  E A 2  NB  N A 2 946.064  815.9612  749.243  854.8212  167.551m Coordenadas del punto D: N D  N A  AD cos α  , AD  A  PC1  PC1  D  30.20  39.80  70 m  N D  854.821  70 cos 50 56' 26.97"  810.712 m E D  E A  AD sen α   E D  815.961  70 sen 50 56' 26.97"  870.316 m β  arctan DC  DC  EC  E D 966.562  870.316  arctan  74  40' 42.10" NC  N D 837.081  810.712 EC  ED 2  NC  ND 2 966.562  870.316 2  837.081  810.712 2  99.793 m Δ1  180  50 56' 26.97" 74 40' 42.10"  54 22' 50.93" I c T 39.80 Gc1  2 arcsen 1 , R1  1   77.474m  Δ1 2R1 54 22 ' 50 . 93 " tan tan 2 2 10 10 54  22' 50.93" , Lc1  Gc1  2 arcsen  7  24' 2.26"  73.481m 2 77.474  7  24' 2.26"      122  James Cárdenas Grisales PT1  PT2  D  PT2  D  PT1  T2  T1  88.40  39.80  48.600 m Por lo tanto: Abscisa PT2 (vía 1)  K0  000  30.200  73.481  48.600  K0  152.281 Abscisa: PT2 (vía 2) Abscisa PT2 (vía 2)  Abscisa de B  B  PC2  Lc 2 Abscisa de B  K0  000 B  PC2  AB  A  PC1  PC1  D  D  PC2 , donde,  167.551  30.200  39.800  88.400  9.151m c 2 Δ2 Lc 2  , c2  5 m Gc 2 Δ2  α  β  50 56' 26.97" 74  40' 42.10"  125 37' 9.07" D c T2 88.40 Gc 2  2 arcsen 2 , R2    45.413 m  Δ 2R2 tan 2 tan 125 37' 9.07" 2 2 5 125  37' 9.07" 5 , Lc 2   Gc 2  2 arcsen  6 18' 41.37"  99.516 m 2 45.413  6 18' 41.37"   Por lo tanto: Abscisa PT2 (vía 2)  K0  000  9.151  99.516  K0  108.667 De esta manera, la ecuación de empalme es: K0  108.667(vía 2, atrás)  K0  152.281(vía 1, adelante) b) Abscisa del punto C Como la vía 2 empalma en la vía 1, entonces el punto C está sobre la vía 1: Abscisa de C  Abscisa PT2 (vía 1)  PT2  C PT2  C  DC  D  PT2  DC  T2  99.793  88.400  11.393m Abscisa de C  K0  152.281  11.393  K 0  163.674 123 Diseño geométrico de carreteras EJEMPLO 3.20: Ecuación de empalme entre una variante y una vía antigua Datos: Para la Figura 3.37, el proyecto de trazado por la vía antigua presentaba grandes cortes, por lo cual fue necesario proyectar una variante con un mayor desarrollo pero con menores movimientos de tierra. También se tiene que la distancia PI'1PI'2 es de 362 metros. Figura 3.37 124 Ejemplo 3.20 James Cárdenas Grisales Calcular: La ecuación de empalme de la variante sobre la vía antigua. Solución: Como puede apreciarse en la Figura 3.38, el empalme de la variante con la vía antigua tiene lugar en el PT'3. Por lo tanto, para determinar su ecuación, es necesario calcular la abscisa de este punto por cada una de las vías, así: a) Abscisa PT'3 por la vía antigua Abscisa PT' 3 ( vía antigua)  Abscisa PC1  Lc1  T '1 PI'1 PI' 3 T ' 3 , donde, Abscisa: PC1 Abscisa PC1  K 0  000 Longitud de la curva 1: Lc1 Lc1  c1 Δ1 Gc1 , c1  10 m Gc1  2 arcsen Lc1  , Δ1  180   29   24   127  I c1 10  2 arcsen  9 15' 4.68" 2R1 2 62  , entonces,   10 127   137.278 m 9 15' 4.68" Tangente de la curva 1': T'1 T '1  R'1 tan Δ'1 2 , Δ'1  24   29   53  I , entonces,  53     30.912 m T '1  62 tan 2   Distancia: PI'1PI'3 cos Δ'1  PI'1 PI' 3 PI'1 PI' 2   PI'1 PI' 3  362 cos 53   217.857 m 125 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.38 126 Ecuación de empalme entre una variante y una vía antigua James Cárdenas Grisales Tangente de la curva 3': T'3 T ' 3  R' 3  78m Por lo tanto: Abscisa PT' 3 ( vía antigua)  K0  000  137.278  30.912  217.857  78.000  K0  464.047 b) Abscisa PT'3 por la variante Abscisa PT' 3 ( variante)  Abscisa PT1  L' c1 PT '1 PC' 2  L' c 2 PT ' 2 PC' 3 L' c 3 Donde, Abscisa: PT1 Abscisa PT1  Abscisa PC1  Lc1  K 0  000  137.278  K 0  137.278 Longitud de la curva 1': L'c1 L' c1  c'1 Δ'1 G' c1 Como se trata de la prolongación de la curva 1, tendrá la misma curvatura, esto es: c'1  c1  10 m , G' c1  Gc1  9 15' 4.68" , L' c1    10 53   57.289 m 9 15' 4.68" Distancia: PT'1PC'2 PT '1 PC' 2  PI'1 PI' 2 T '1 T ' 2  362  30.912  134  197.088 m Longitud de la curva 2': L'c2 L' c 2  c' 2 Δ' 2 G' c 2 G' c 2  2 arcsen , c' 2  5 m c' 2 2R' 2 , R' 2  , Δ' 2  90   Δ'1  90   53   143  D T'2 134   44.836 m Δ' 2 143  tan tan 2 2 127 Diseño geométrico de carreteras G' c 2  2 arcsen L' c 2  5  6 23' 34.08" 2 44.836  , entonces,   5 143   111.845 m 6 23' 34.08" Distancia: PT'2PC'3 PT ' 2 PC' 3  PI' 2 PI' 3 T ' 2 T ' 3  , sen Δ'1   PI' 2 PI' 3 PI'1 PI' 2 PI' 2 PI' 3  362 sen 53   289.106 m , entonces, PT ' 2 PC' 3  289.106  134  78  77.106 m Longitud de la curva 3': L'c3 L' c 3  c' 3 Δ' 3 G' c 3 G' c 3  2 arcsen L' c 3    , c' 3  10 m , Δ' 3  90  I c' 3 10  2 arcsen  7  21' 2.35" 2R' 3 2 78  , entonces, 10 90   122.438 m 7  21' 2.35" Por lo tanto: Abscisa PT' 3 variante   K0  137.278  57.289  197.088  111.845  77.106  122.438  K0  703.044 De esta manera, la ecuación de empalme es: K0  703.044(variante, atrás)  K0  464.047(vía antigua, adelante) EJEMPLO 3.21: Ecuación de empalme por desplazamiento paralelo de la tangente común a dos curvas circulares Datos: Las cuatro curvas dadas en la Figura 3.39 tienen la siguiente información: 128 James Cárdenas Grisales Radio de la curva 1 Radio de la curva 2 Radio de la de la curva 2' Distancia del PI1 al PI2 Abscisa del PC1 = R1 = 40.950m = R2 = 104.210m = R'2 = R2 = PI1PI2 = 206m = K4+224.450 Para la situación dada, el trazado inicial contemplaba las curvas de radio R1 y R2. Por problemas de construcción en el tramo de la entretangencia, fue necesario desplazarlo paralelamente 24 metros, obteniéndose un nuevo trazado a través de las curvas de radios R'1 y R'2. Figura 3.39 Ejemplo 3.21 129 Diseño geométrico de carreteras Calcular: La ecuación de empalme entre la nueva y la vía antigua. Solución: Como puede apreciarse en la Figura 3.40, el empalme de la nueva vía con la vía antigua tiene lugar en el PT'2 sobre la tangente de salida de la segunda curva. Por lo tanto, es necesario calcular las abscisas de este punto siguiendo los dos trazados, así. Figura 3.40 130 Ecuación de empalme por desplazamiento de la tangente común James Cárdenas Grisales a) Abscisa PT'2 por la vía antigua Abscisa PT' 2 ( vía antigua)  Abscisa PC1  Ls1  PT1  PC2  Ls 2  PT2  PT ' 2 Donde: Abscisa: PC1 Abscisa PC1  K 4  224.450 Longitud de la curva 1: Ls1 πR1 Δ1 , Δ1  116  D , entonces,  180 π 40.950 116  Ls1   82.907 m 180  Ls1  Distancia: PT1PC2 PT1  PC2  PI1  PI 2  T1  T2 T1  R1 tan , PI1  PI 2  206 m  116   Δ1   65.534m  40.950  tan  2 2    42     40.002 m , T2  104.210  tan 2   PT1  PC2  206  65.534  40.002  100.464m T2  R 2 tan Δ2 2 , Δ2  42  I , entonces, Longitud de la curva 2: Ls2 Ls 2  πR2 Δ2 π 104.210 42    76.390 m 180  180  Distancia: PT2PT'2 PT2  PT ' 2  PI 2  PT ' 2 PI2  PT2  PI2  PT ' 2 T2 , pero, PI 2  PT ' 2  PI 2  PI' 2 PI' 2 PT ' 2  PI 2  PI' 2 T ' 2 24 24 sen 42   , PI2  PI' 2   35.867 m PI 2  PI' 2 sen 42  , ya que R' 2  R 2 y Δ' 2  Δ2 T ' 2  T2  40.002 m PI 2  PT ' 2  35.867  40.002  75.869 m , entonces, PT2  PT ' 2  75.869  40.002  35.867 m 131 Diseño geométrico de carreteras Por lo tanto: Abscisa PT' 2 vía antigua   K4  224.450  82.907  100.464  76.390  35.867  K4  520.078 b) Abscisa PT'2 por la vía nueva Abscisa PT' 2 ( vía nueva)  Abscisa PC1  L' s1 PT '1 PC' 2  L' s 2 Donde: Abscisa: PC1 Abscisa PC1  K 4  224.450 Longitud de la curva 1': L's1 πR'1 Δ'1 180  T '1 R'1  Δ' tan 1 2 L' s1  , Δ'1  116  D 24 24 ,a   26.702 m a cos 26  T '1  65.534  26.702  92.236m 92.236 , entonces, R'1   57.635 m 116  tan 2 π 57.635 116  L' s1   116.687 m 180  T '1  T1  a , cos 26   Distancia: PT'1PC'2 PT '1 PC' 2  PI'1 PI' 2 T '1 T ' 2 , PI'1 PI' 2  PI1  PI2  b  c b tan 26   , b  24 tan 26   11.706 m 24 24 24 tan 42   ,c   26.655 m c tan 42  PI'1 PI' 2  206  11.706  26.655  244.361m , entonces, 132 James Cárdenas Grisales PT '1 PC' 2  244.361  92.236  40.002  112.123 m Longitud de la curva 2': L's2 L' s 2  Ls 2  76.390 m , ya que R' 2  R2 y Δ' 2  Δ2 Por lo tanto: Abscisa PT' 2 vía nueva   K4  224.450  116.687  112.123  76.390  K4  529.650 De esta manera, la ecuación de empalme es: K4  529.650(vía nueva, atrás)  K4  520.078(vía antigua, adelante) EJEMPLO 3.22: Ecuación de empalme por rotación de la tangente común a dos curvas circulares Datos: Además de la información dada en la Figura 3.41, para las cuatro curvas se tiene: Radio de la curva 1 Radio de la curva 2 Abscisa del PC1 = R1 = 42.500m = R2 = 50.000m = K2+930.420 La tangente de entrada a la primera curva y la de salida de la segunda curva no cambian de dirección. La tangente común cambia de dirección por su rotación alrededor del PT1, lo que lo hace indesplazable. Calcular: La ecuación de empalme de la variante en la vía antigua. Solución: De acuerdo con la Figura 3.42, el empalme de la variante en la vía antigua tiene lugar en el PT'2. Por lo tanto, es necesario calcular las abscisas de este punto siguiendo ambos trazados, así: 133 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.41 Figura 3.42 134 Ejemplo 3.22 Ecuación de empalme por rotación de la tangente común James Cárdenas Grisales a) Abscisa PT'2 por la vía antigua Abscisa PT' 2 ( vía antigua)  Abscisa PC1  Ls1  PT1  PC2  Ls 2  PT2  PT ' 2 Donde: Abscisa: PC1 Abscisa PC1  K 2  930.420 Longitud de la curva 1: Ls1 πR1 Δ1 , Δ1  180   70  40'  109 20' D  180 π 42.500 109  20'  81.100 m Ls1  180  Ls1  , entonces, Distancia: PT1PC2 PT1  PC2  33.000 m Longitud de la curva 2: Ls2 πR2 Δ2 , Δ2  180   70  40' 29 10'  80 10' I 180  π 50.000 80 10' Ls 2   69.959 m 180  Ls 2  , entonces, Distancia: PT2PT'2 PT2  PT ' 2  PI 2  PT ' 2 PI2  PT2  PI2  PT ' 2 T2 PI 2  PT ' 2  PI 2  PI' 2 PI' 2 PT ' 2  PI 2  PI' 2 T ' 2 T2  R2 tan  80 10'  Δ2   42.079 m  50.000  tan 2 2   Δ' 2 , R' 2  R 2  50.000 m 2 Δ' 2  180   19  20'  70  40' 29 10'  60 50' I T ' 2  R' 2 tan    60 50'    29.354m T ' 2  50.000  tan 2    135 Diseño geométrico de carreteras PI 2  PI' 2 33  T2   sen 19 20' sen 60 50' 33  42.079 sen 19 20'  28.465 m , entonces, PI 2  PI' 2  sen 60 50' , igualmente, PI 2  PT ' 2  28.465  29.354  57.819 m PT2  PT ' 2  57.819  42.079  15.740 m Por lo tanto: Abscisa PT' 2 vía antigua   K2  930.420  81.100  33.000  69.959  15.740  K3  130.219 b) Abscisa PT'2 por la variante Abscisa PT' 2 ( variante)  Abscisa PC'1  L' s1 PT '1 PC' 2  L' s 2 Donde: Abscisa: PC'1 Abscisa PC'1  Abscisa PC1  PC'1 PC1 PC'1 PC1  PC'1 PI1  PC1  PI1 , PC1  PI1  T1 PC'1 PI1  PC'1 PI'1 PI'1 PI1  T '1  x PC'1 PC1  T '1  x  T1 T1  R1 tan  109  20'  Δ1   59.951m  42.500  tan  2 2   T '1  R'1 tan T '1  R'1 Δ'1 2 , Δ'1  180   70  40' 19  20'  90  D , sen 70  40'    T '1 T1 T'1  59.951 sen 70  40'  56.570 m  R'1 x cos 70  40'  , x  59.951 cos 70  40'  19.848 m T1   , entonces, PC'1 PC1  56.570  19.848  59.951  16.467 m Abscisa PC'1  K2  930.420  16.467  K2  913.953 136 James Cárdenas Grisales Longitud de la curva 1': L's1 πR'1 Δ'1 , Δ'1  90  D 180  π 56.570 90  L' s1   88.860 m 180  L' s1  Distancia: PT'1PC'2 PT '1 PC' 2  PT '1 PI' 2 T ' 2   28.465 sen 99 50' PT'1 PI' 2 PI 2  PI' 2     84.717 m , PT' PI ' 1 2 sen 19  20' sen 70  40' 29 10' sen 19  20' PT '1 PC' 2  84.717  29.354  55.363 m   Longitud de la curva 2': L's2 L' s 2  πR' 2 Δ' 2 π 50.000 60 50'   53.087 m 180  180  Por lo tanto: Abscisa PT' 2 variante   K2  913.953  88.860  55.363  53.087  K3  111.263 Luego, la ecuación de empalme es: K3  111.263(variante, atrás)  K3  130.219(vía antigua, adelante) EJEMPLO 3.23: Ecuación de empalme entre dos vías inicialmente paralelas Datos: De acuerdo con la Figura 3.43, para la vía A y la vía B también se conoce: Abscisa del PC1 Abscisa del PC'1 Distancia del PI1 al PI2 Radio de la curva 1 = K2+920.000 = K2+890.000 = PI1PI2 = 200.000m = R1 = 40.000m 137 Diseño geométrico de carreteras Tangente de la curva 2 = T2 = 100.000m Figura 3.43 Ejemplo 3.23 Calcular: La ecuación de empalme de la vía A en la vía B. Solución: De acuerdo con la Figura 3.44, el empalme de la vía A en la vía B tiene lugar en el PT2=PT'2. Por lo tanto, las abscisas de este punto por cada una de las vías son: a) Abscisa (PT2=PT'2) vía A Abscisa (PT2  PT' 2 ) vía A  Abscisa PC1  Ls1  PT1  PC2  Ls 2 Donde: Abscisa: PC1 Abscisa PC1  K 2  920.000 138 James Cárdenas Grisales Figura 3.44 Ecuación de empalme entre dos vías inicialmente paralelas Longitud de la curva 1: Ls1 πR1 Δ1 , Δ1  180   33 20' 56  40'  90  D 180  π 40.000 90  Ls1   62.832 m 180  Ls1  Distancia: PT1PC2 PT1  PC2  PI1  PI 2  T1  T2 T2  100.000 m , PI1  PI 2  200.000 m , entonces, , T1  R1  40.000 m , PT1  PC2  200.000  40.000  100.000  60.000 m Longitud de la curva 2: Ls2 πR2 Δ2 , Δ2  180   56  40' 62  40'  60  40' I 180  T2 100.000 R2    170.901m  Δ tan 2 tan 60 40' 2 2 Ls 2  139 Diseño geométrico de carreteras Ls 2  π 170.90160  40'  180.956 m 180  Por lo tanto: Abscisa (PT2  PT' 2 ) vía A  K2  920.000  62.832  60.000  180.956  K 3  223.788 b) Abscisa (PT2=PT'2) vía B Abscisa (PT2  PT' 2 ) vía B  Abscisa PC'1 L' s1 PT '1 PC' 2  L' s 2 Donde: Abscisa: PC'1 Abscisa PC'1  K2  890.000 Longitud de la curva 1': L's1 πR'1 Δ'1 , pero por paralelas, Δ'1  Δ1  90  D 180  R'1  R1  40.000  40.000  40.000  80.000 m  T '1 L' s1  L' s1  π 80.000 90   125.664m 180  Distancia: PT'1PC'2 PT '1 PC' 2  PI'1 PI' 2 T '1 T ' 2  20.000  PI1  PI 2  x   80.000  T2  y  40.000 40.000  22.478 m tan Δ2  ,x  x tan 60  40' 40.000 40.000 sen Δ2  ,y   45.883 m y sen 60  40' PT '1 PC' 2  20.000  200.000  22.478   80.000  100.000  45.883   108.361m Longitud de la curva 2': L's2 L' s 2  140 πR' 2 Δ' 2 180  , R' 2  T' 2 Δ' tan 2 2 , T' 2  T2  y  100.000  45.883  54.117 m James Cárdenas Grisales R' 2  54.117  92.487 m 60  40' tan 2 , L' s2  π 92.487 60  40'  97.928 m 180  Por lo tanto: Abscisa (PT2  PT' 2 ) vía B  K 2  890.000  125.664  108.361  97.928  K3  221.953 Luego, la ecuación de empalme es: K3  223.788(vía A, atrás)  K3  221.953(vía B, adelante) 3.2.6 Otros métodos para el cálculo y l ocalización de curvas circulares simples  DESDE EL PC, O PT, POR NORMALES A LA TANGENTE Este método, según la Figura 3.45, consiste en calcular la normal y, dados el radio R, la distancia x y el ángulo , así: En el triángulo rectángulo OAP, se tiene: OP 2  OA2  AP 2 , esto es, 2 R 2  R  y   x 2 , R  y  R 2  x 2 De donde: y  R  R2  x2 (3-15) Una generalización de este método consiste en hacer coincidir los puntos P, ubicados sobre la curva, con las subcuerdas y las cuerdas unidad del método de las deflexiones. Por lo tanto, los valores de x e y deben ser: 141 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.45 Cálculo de una curva circular simple por normales a la tangente En el triángulo rectángulo OAP: OA R  y y  1 OP R R y  R 1  cos φ  cos φ  , esto es, Pero, según la ecuación (3-12), φ  2δ . Entonces: y  R 1  cos 2 δ  (3-16) Ahora, en el triángulo rectángulo PCBP, se tiene: tan δ  x 142 BP y  PC  B x y tan δ , esto es, , entonces: James Cárdenas Grisales x R 1  cos 2δ  tan δ (3-17) Se debe recordar que  es el ángulo de deflexión correspondiente al punto P sobre la curva y  el ángulo central subtendido por la cuerda PCP. De esta forma pueden ser calculados x e y mediante las dos expresiones anteriores, dadas por las ecuaciones (3-16) y (3-17).  DESDE EL PI, POR DEFLEXIONES Y DISTANCIAS Este método, según la Figura 3.46, consiste en calcular el ángulo  y la distancia PIP, dados el radio R, el ángulo  y el ángulo , así: Figura 3.46 Cálculo de una curva circular simple desde el PI En el triángulo rectángulo APPI, se tiene: tan α  AP y  A  PI x 143 Diseño geométrico de carreteras En el triángulo rectángulo OBP, se tiene: OB R  y y  1 , y  R 1  cos φ  OP R R BP T  x , pero, sen φ   , x  T  R sen φ OP R Δ , esto es, T  R tan 2 Δ Δ   x  R tan  R sen φ  R  tan  sen φ  , por lo tanto, 2 2   R 1  cos φ  1  cos φ  tan α  Δ Δ   R  tan  sen φ  tan  sen φ 2 2   cos φ  Luego:    1  cos φ   α  arctan  tan Δ  sen φ    2   (3-18) Si arctan > 0, entonces el ángulo  es del primer cuadrante. Si arctan < 0, entonces el ángulo  es del segundo cuadrante. Ahora, en el triángulo rectángulo APPI, se tiene: PI  P 2  A  PI 2  AP 2 , esto es, 2 Δ   2 PI  P  x 2  y 2  R 2  tan  sen φ   R 2 1  cos φ  2   Luego: 2 Δ   2 PI  P  R  tan  sen φ   1  cos φ  2   (3-19) Por consiguiente, el procedimiento general para calcular y localizar el punto P sobre la curva, consiste en darse un ángulo , (  ), para el cual con el radio R y el ángulo , se calcula el ángulo  y la distancia PIP, con las ecuaciones (3-18) y (3-19) respectivamente. 144 James Cárdenas Grisales Estacionados en el PI y con ceros en la dirección del PC se deflecta el ángulo  y en la dirección de esta visual se mide la distancia PIP, obteniéndose así el punto P sobre la curva. Un método particular, consiste en hacer coincidir los puntos sobre la curva con las subcuerdas y cuerdas unidad del método de las deflexiones desde el PC. En este caso, el ángulo  es igual a 2 , donde  es la deflexión correspondiente al punto P desde el PC por el sistema subcuerdas y cuerdas. 3.3 CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS Las curvas circulares compuestas son aquellas que están formadas por dos o más curvas circulares simples. A pesar de que no son muy comunes, se pueden emplear en terrenos montañosos, cuando se quiere que la carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno o topografía natural, lo cual reduce el movimiento de tierras. También se pueden utilizar cuando existen limitaciones de libertad en el diseño, como por ejemplo, en los accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones. 3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios En la Figura 3.47 aparecen los diferentes elementos geométricos de una curva circular compuesta de dos radios, definidos como: PI = PC = PT = PCC = R1 R2 O1 Punto de intersección de las tangentes. Principio de la curva compuesta. Fin de la curva compuesta o principio de tangente. Punto común de curvas o punto de curvatura compuesta. Punto donde termina la primera curva circular simple y empieza la segunda. = Radio de la curva de menor curvatura o mayor radio. = Radio de la curva de mayor curvatura o menor radio. = Centro de la curva de mayor radio. 145 Diseño geométrico de carreteras O2  1 2 T1 T2 TL TC = = = = = = = = Centro de la curva de menor radio. Ángulo de deflexión principal. Ángulo de deflexión principal de la curva de mayor radio. Ángulo de deflexión principal de la curva de menor radio. Tangente de la curva de mayor radio. Tangente de la curva de menor radio. Tangente larga de la curva circular compuesta. Tangente corta de la curva circular compuesta. Figura 3.47 146 Curva circular compuesta de dos radios James Cárdenas Grisales Los elementos geométricos que caracterizan cada curva circular simple se calculan en forma independiente en cada una de ellas, utilizando las expresiones para curvas circulares simples, deducidas anteriormente. Para la curva compuesta es necesario calcular la tangente larga TL y la tangente corta TC, así: Δ  Δ1  Δ2 (3-20) TL  PC  E  PI  E PC  E  a  AB  CD  AB  O2 D  O2C  En el triángulo rectángulo ABO1: AB  O1B sen Δ1  R1 sen Δ1 En el triángulo rectángulo O2DPT: O2 D  O2  PT sen Δ  R2 sen Δ En el triángulo rectángulo O2CB: O2C  O2 B sen Δ1  R2 sen Δ1 En el triángulo rectángulo PIEPT: PI  E  PI  PT cos Δ  TC cos Δ Por lo tanto, TL  AB  O2 D  O2C  PI  E TL  R1 sen Δ1  R2 sen Δ  R2 sen Δ1  TC cos Δ TL  R2 sen Δ  R1  R2 sen Δ1  TC cos Δ En el triángulo rectángulo PIEPT: E  PT b b  , TC  PI  PT TC sen Δ b  PC  A  BF PC  A  PC  O1  AO1  R1  AO1 sen Δ  147 Diseño geométrico de carreteras BF  BC  PT  D En el triángulo rectángulo ABO1: AO1  O1B cos Δ1  R1 cos Δ1 En el triángulo rectángulo O2DPT: PT  D  O2  PT cos Δ  R 2 cos Δ Entonces: b  R1  AO1  BC  PT  D  R1  R1 cos Δ1   R 2 cos Δ1  R 2 cos Δ b  R1  R2 cos Δ  R1  R2 cos Δ1 Luego: TC  R1  R2 cos Δ  R1  R2 cos Δ1 sen Δ (3-21) Igualmente:  R  R 2 cos Δ  R1  R2 cos Δ1  TL  R 2 sen Δ  R1  R2 sen Δ1   1 cos Δ sen Δ   R2 sen 2 Δ  R1  R 2 sen Δ sen Δ1 TL   sen Δ  R1 cos Δ  R 2 cos 2 Δ  R1  R2 cos Δ cos Δ1 sen Δ R 2  R1 cos Δ  R1  R2 cos Δ2 TL  (3-22) sen Δ EJEMPLO 3.24: Elementos geométricos y deflexiones de una curva circular compuesta de dos radios Datos: Según la Figura 3.48, se tienen tres alineamientos rectos AB, BC y CD con la siguiente información: Azimut alineamiento AB Azimut alineamiento BC 148 = 32  = 66  James Cárdenas Grisales Azimut alineamiento CD Radio de la curva 1 Cuerda unidad de la curva 1 Cuerda unidad de la curva 2 Abscisa del PC Distancia de B a C = 144  = R1 = 76.800m = c1 = 10m = c2 = 5m = K0+968.000 = BC = 60.000m Los tres alineamientos deben unirse con una curva compuesta de dos radios (R1>R2), donde el tramo BC es la tangente común a las curvas simples. Figura 3.48 Ejemplo de una curva circular compuesta de dos radios Calcular: a) Las tangentes larga y corta de la curva compuesta. b) Las deflexiones de la curva compuesta. 149 Diseño geométrico de carreteras Solución: a) Tangentes larga y corta Tangente larga: TL TL  R 2  R1 cos Δ  R1  R2 cos Δ2 sen Δ Donde: T2 , Δ2  Δ  Δ1 , T2  BC  T1  60.000  T1 Δ tan 2 2  Δ  144  32   112  D , Δ1  66   32   34  , Δ2  112   34   78  R2  T1  R1 tan  34   Δ1   23.480 m  76.800  tan 2 2   T2  60.000  23.480  36.520 m 36.520 R2   45.098 m 78  tan 2 Luego: TL   , entonces,  45.098  76.800 cos 112   76.800  45.098 cos 78   86.778 m sen 112  Tangente corta: TC R1  R2 cos Δ  R1  R2 cos Δ1 sen Δ 76.800  45.098 cos 112   76.800  45.098 cos 34  TC   72.706 m sen 112  TC    Los valores de estas tangentes también pueden calcularse en función de las tangentes simples T1 y T2 y las distancias x e y, así: TL  T1  x TC  T2  y 150 James Cárdenas Grisales x y BC   sen Δ2 sen Δ1 sen Δ' , BC  60.000m Δ'  180   Δ  180   112   68  60.000 sen 78  60.000 sen 34  x  63.298 m , y   36.186 m  sen 68 sen 68  Entonces: TL  23.480  63.298  86.778 m TC  36.520  36.186  72.706 m b) Deflexiones de la curva compuesta Primera curva circular simple: Abscisa: PCC Abscisa PCC  Abscisa PC  Lc1 cΔ Lc1  1 1 , c1  10 m , Δ1  34  Gc1 c 10 Gc1  2 arcsen 1  2 arcsen  7 27' 56.41" 2R1 2 76.800    10 34   45.542 m 7 27' 56.41" Abscisa PCC  K 0  968  45.542  K1  013.542 Lc1   Deflexión por metro: d10  Gc1 7  27' 56.41"   0  22' 23.82" / m 20 20 Deflexión por cuerda unidad: Gc1 7 27' 56.41"   3  43' 58.20" / cuerda 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda  970  968  2.000 m   Deflexión por subcuerda  2.000 m 0 22' 23.82" / m  0  44' 47.64" 151 Diseño geométrico de carreteras Deflexión por subcuerda adyacente al: PCC Longitud subcuerda  13.542  10  3.542 m   Deflexión por subcuerda  3.542 m 0 22' 23.82" / m  119'19.81" Chequeo deflexión al: PCC Deflexión al PCC  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PCC  4 cuerdas 3  43' 58.20" / cuerda  0  44' 47.64" 119'19.81" Δ Deflexión al PCC  17 0' 0.25"  17   1 2   Segunda curva circular simple: Abscisa: PT Aquí el PCC es el punto inicial de la segunda curva y el PT su punto final. Entonces: Abscisa PT  Abscisa PCC  Lc2 c Δ Lc 2  2 2 , c 2  5 m , Δ2  78  Gc 2 c 5 Gc 2  2 arcsen 2  2 arcsen  6  21' 20.24" 2R2 2 45.098    5 78   61.363m 6  21' 20.24" Abscisa PT  K1  013.542  61.363  K1  074.905 Lc 2  Deflexión por metro: d 5  Gc 2 6  21' 20.24"   0  38' 8.02" / m 10 10 Deflexión por cuerda unidad: Gc 2 6  21' 20.24"   3 10' 40.12" / cuerda 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PCC Longitud subcuerda  15  13.542  1.458 m   Deflexión por subcuerda  1.458 m 0 38' 8.02" / m  0 55' 35.93" 152 James Cárdenas Grisales Deflexión por subcuerda adyacente al: PT Longitud subcuerda  74.905  70  4.905 m   Deflexión por subcuerda  4.905 m 0  38' 8.02" / m  3 7' 2.74" Chequeo deflexión al: PT Deflexión al PT  Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas) Deflexión al PT  11 cuerdas 3 10' 40.12" / cuerda  0 55' 35.93" 3 7' 2.74" Δ Deflexión al PT  38 59' 59.99"  39   2 2   En la Tabla 3.8 se muestra la cartera de localización de la curva compuesta de dos radios. Tabla 3.8 ESTACIÓN PT PCC PC Cartera de localización de la curva compuesta de dos radios ABSCISA K1+100 090 080 K1+074.905 070 065 060 055 050 045 040 035 030 025 020 015 K1+013.542 010 K1+000 990 980 970 K0+968.000 960 950 K0+940 DEFLEXIÓN ELEMENTOS 5600'00.24" 5252'57.50" 4942'17.38"  = 112D 4631'37.26" 1 = 34D 4320'57.14" 2 = 78D 4010'17.02" R1 = 76.800m 3659'36.90" R2 = 45.098m c1 = 10m 3348'56.78" c2 = 5m 3038'16.66" 2727'36.54" Gc1 =727'56.41" 2416'56.42" Gc2 =621'20.24" 2106'16.30" Lc1 = 45.542m 1755'36.18" Lc2 = 61.363m 1700'00.25" T1 = 23.480m 1540'40.44" T2 = 36.520m 1156'42.24" TL = 86.778m 0812'44.04" TC = 72.706m 0428'45.84" 0044'47.64" 0000'00" AZIMUT ANOTACIONES 144  PT 66  PCC 32  PC 153 Diseño geométrico de carreteras EJEMPLO 3.25: Ecuación de empalme entre dos vías con curvas circulares simples y compuestas de dos radios Datos: Además de la información dada en la Figura 3.49, se tiene: Radio R2 Distancia de D a E Coordenadas del punto F Abscisa de F Abscisa de B = R2 = 31.200m = DE = 46.800m = 100.000N, 100.000E = K6+947.290 = K4+742.530 El punto F pertenece a la vía 2 y el punto B a la vía 1. La vía 2 empalma en la vía 1. Figura 3.49 Ejemplo 3.25 Calcular: a) La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1. b) La abscisa del punto C. c) Las coordenadas del punto C. 154 James Cárdenas Grisales Solución: De acuerdo con la Figura 3.50, se tiene: a) Ecuación de empalme El empalme tiene lugar en el punto G. Por lo tanto, es necesario calcular la abscisa de este punto por cada una de las vías. Abscisa de G por la vía 1: Abscisa de G (vía 1)  Abscisa de B  Arco BG Abscisa de: B Abscisa de B  K 4  742.530 Arco: BG BG  πR1 α 180  T2  R 2 tan , T2  R1 tan α 2 , α  2 arctan T2 R1  62 50'  Δ2   19.057 m  31.200  tan 2 2   T1 , T1  DE  T2  46.800  19.057  27.743 m Δ tan 1 2 27.743 19.057  79.817 m , α  2 arctan  26 51' 24.94" R1   79.817 38 20' tan 2 π 79.817 26 51' 24.94" BG   37.414m 180  R1  , entonces, Por lo tanto: Abscisa de G (vía 1)  K4  742.530  37.414  K 4  779.944 Abscisa de G por la vía 2: Abscisa de G (vía 2)  Abscisa de F  Arco FG 155 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.50 Ecuación de empalme con curvas circulares simples y compuestas Abscisa de: F Abscisa de F  K 6  947.290 Arco: FG FG  Ls 2  πR 2 Δ2 π 31.200 62 50'   34.215 m 180  180  Por lo tanto: Abscisa de G (vía 2)  K6  947.290  34.215  K 6  981.505 156 James Cárdenas Grisales Luego, la ecuación de empalme es: K6  981.505 (vía 2, atrás)  K4  779.944 (vía 1, adelante) b) Abscisa del punto C Abscisa de C  Abscisa de G (vía 1)  Arco GC Abscisa de: G (vía 1) Abscisa de G (vía 1)  K 4  779.944 Arco: GC GC  Ls1  πR1 Δ1 π 79.817 38  20'   53.401m 180  180  Por lo tanto: Abscisa de C  K4  779.944  53.401  K 4  833.345 c) Coordenadas del punto C Las coordenadas se calcularán siguiendo el polígono FDEC y se comprobarán según el polígono FJC. Por lo tanto: Según el polígono: FDEC Como se planteó anteriormente, las coordenadas de un punto final con referencia a un punto inicial, se calculan como: N PUNTO FINAL=N PUNTO INICIAL + Distancia ENTRE LOS PUNTOS (cos Azimut) E PUNTO FINAL=E PUNTO INICIA L + Distancia ENTRE LOS PUNTOS (sen Azimut) N D  N F  FD cos Az FD N F  100.000 m , FD  T2  19.057 m , Az FD  360   4 10'  355 50' N D  100.000  19.057 cos 355 50'  119.007 m E D  E F  FD sen Az FD E D  100.000  19.057 sen 355 50'  98.615 m 157 Diseño geométrico de carreteras N E  N D  DE cos Az DE DE  46.800 m , Az DE  62 50' 4 10'  58  40' N E  119.007  46.800 cos 58  40'  143.344m E E  E D  DE sen Az DE E E  98.615  46.800 sen 58  40'  138.590 m NC  N E  EC cos Az EC EC  T1  27.743 m , Az EC  58  40' 38  20'  97 00' NC  143.344  27.743 cos 97 00'  139.963 m EC  E E  EC sen Az EC EC  138.590  27.743 sen 97 00'  166.126 m Según el polígono: FJC Se observa que FJ y JC son las tangentes corta y larga de la curva compuesta de PI=J, PC=F, PT=C y =1+2=38 20'+62 50'=101 10'. Por lo tanto, de acuerdo con las ecuaciones (3-21) y (3-22), se tiene: R1  R2 cos Δ   R1  R 2 cos Δ1 sen Δ 79.817  31.200 cos 10110'  79.817  31.200 cos 38  20' FJ  TC   48.644m sen 10110' R  R1 cos Δ   R1  R 2 cos Δ2 JC  TL  2 sen Δ 31.200  79.817 cos 10110'  79.817  31.200 cos 62 50' JC  TL   70.184m sen 10110' FJ  TC      N J  N F  FJ cos Az FJ N F  100.000 m , FJ  TC  48.644m , Az FJ  355 50' N J  100.000  48.644 cos 355 50'  148.515 m E J  E F  FJ sen Az FJ E J  100.000  48.644 sen 355 50'  96.466 m 158 James Cárdenas Grisales NC  N J  JC cos Az JC JC  TL  70.184m , Az JC  97 00' NC  148.515  70.184 cos 97 00'  139.962 m EC  E J  JC sen Az JC EC  96.466  70.184 sen 97 00'  166.127 m 3.3.2 Curvas circulares compuestas de tres radios La Figura 3.51 muestra una curva compuesta de tres radios de longitudes diferentes tal que R1>R2>R3 y de ángulos de deflexión principal 1, 2 y 3 respectivamente. Los puntos H y D son los puntos comunes a cada par de curvas circulares, o sea, los dos PCC de la curva compuesta. Para el cálculo y localización de la curva circular compuesta es necesario determinar la tangente larga TL y la tangente corta TC, así: Δ  Δ1  Δ2  Δ3 TL  a  PI  G , donde, a  AB  CD  EF AB  AH  BH , entonces, EF  O3 F  O3 E TL  AB  CD  EF  PI  G TL  AH  BH  CD  O3 F  O3 E  PI  G [1] Los segmentos AH, BH, CD, O3F, O3E y PIG se determinan en los siguientes triángulos rectángulos: Triángulo O1AH Triángulo O2BH Triángulo O2CD Triángulo O3FPT Triángulo O3ED Triángulo PIGPT       AH  O1H sen Δ1  R1 sen Δ1 BH  O2 H sen Δ1  R2 sen Δ1 CD  O2 D senΔ1  Δ2   R2 senΔ1  Δ2  O3 F  O3  PT sen Δ  R3 sen Δ O3 E  O3 D senΔ1  Δ2   R3 senΔ1  Δ2  PI  G  PI  PT cos Δ  TC cos Δ 159 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.51 Elementos de una curva circular compuesta de tres radios Por lo tanto, en [1]: TL  R1 sen Δ1  R 2 sen Δ1  R 2 senΔ1  Δ2   R3 sen Δ - R3 senΔ1  Δ2   TC cos Δ TL  R1  R2 sen Δ1  R 2  R 3 senΔ1  Δ2   R 3 sen Δ  TC cos Δ [2] 160 James Cárdenas Grisales La tangente corta TC, en el triángulo rectángulo PIGPT, es: G  PT b b  , donde, , TC  PI  PT TC sen Δ b  PC  A  BC  DJ PC  A  PC  O1  AO1  R1  AO1 BC  BO2  CO2 DJ  DE  JE  DE  PT  F PC  A  BC  DJ R1  AO1  BO2  CO2  DE  PT  F TC   sen Δ sen Δ sen Δ  [3] Los segmentos AO1, BO2, CO2, DE y PTF se determinan en los siguientes triángulos rectángulos: Triángulo O1AH Triángulo O2BH Triángulo O2CD Triángulo O3ED Triángulo O3FPT      AO1  O1H cos Δ1  R1 cos Δ1 BO2  O2 H cos Δ1  R2 cos Δ1 CO2  O2 D cosΔ1  Δ2   R2 cosΔ1  Δ2  DE  O3 D cosΔ1  Δ2   R3 cosΔ1  Δ2  PT  F  O3  PT cos Δ  R3 cos Δ Por lo tanto, en [3]: TC  R1  R1 cos Δ1   R2 cos Δ1  R2 cos Δ1  Δ2   R 3 cos Δ1  Δ2   R 3 cos Δ sen Δ Luego: TC  R1  R 3 cos Δ  R1  R2 cos Δ1  R2  R3 cos Δ1  Δ2  sen Δ (3-23) La tangente larga TL se obtiene reemplazando la ecuación (3-23) en [2]: TL  R1  R2 sen Δ1  R2  R3 senΔ1  Δ2   R3 sen Δ   R1 - R3 cos Δ - R1  R2 cos Δ1  R2  R3 cos Δ1  Δ2     cos Δ sen Δ   161 Diseño geométrico de carreteras TL  R1  R2 sen Δ sen Δ1  R2  R3 sen Δ senΔ1  Δ2   R3 sen 2 Δ  R1 cos Δ  sen Δ R3 cos Δ  R1  R2 cos Δ cos Δ1  R2  R 3 cos Δ cos Δ1  Δ2  sen Δ R3 sen 2 Δ  cos 2 Δ  R1 cos Δ  R1  R2 sen Δ sen Δ1  cos Δ cos Δ1   TL  sen Δ R2  R3 sen Δ senΔ1  Δ2   cos Δ cosΔ1  Δ2  sen Δ R 1   R1 cos Δ  R1  R 2 cos Δ  Δ1   R 2  R3 cosΔ  Δ1  Δ2  TL  3 sen Δ 2  Pero, Δ  Δ1  Δ2  Δ3  y Δ  Δ1  Δ2   Δ3 Luego: TL  R3  R1 cos Δ  R1  R2 cos Δ2  Δ3   R2  R3 cos Δ3 sen Δ (3-24) Las expresiones anteriores para TC y TL sólo son válidas bajo la condición de que R1>R2>R3, en ese orden. Sin embargo, un caso más general es aquel en el cual siempre el radio de la primera curva es R1, el de la segunda R2 y el de la tercera R3, cualquiera sean sus longitudes; como por ejemplo, el mostrado en la Figura 3.52. En esta situación, es más conveniente denominar las tangentes de la curva compuesta como tangente de entrada TE o del lado del PC y tangente de salida TS o del lado del PT. Dichas tangentes se calculan así: TE  T1  x , donde, x T T  y , esto es,  1 2 sen α sen β T  T  y sen α , pero, TE  T1  1 2 sen β T T y  2 3 sen Δ3 sen ρ 162 James Cárdenas Grisales Figura 3.52 Caso general de una curva circular compuesta de tres radios  T  T sen Δ3  sen α  TE  T1  T1  T2  2 3  sen β  sen ρ    ρ  180   Δ2  Δ3  α  Δ2  Δ3    , sen ρ  sen 180   Δ2  Δ3   senΔ2  Δ3  , sen α  senΔ2  Δ3  163 Diseño geométrico de carreteras β  180   Δ   , sen β  sen 180   Δ  sen Δ Por lo tanto:  T  T sen Δ3   senΔ2  Δ3   TE  T1  T1  T2  2 3  senΔ2  Δ3    sen Δ   (3-25) Para la tangente de salida se tiene: TS  T3  a  b , donde, T T  y a  1 2  sen Δ1 sen β T1  T2  T2  T3 sen Δ3 sen ρ sen β  T  T sen Δ3  sen Δ1  a  T1  T2  2 3   senΔ2  Δ3   sen Δ   T T b  2 3 sen Δ2 sen ρ ,b  T2  T3 sen Δ2 senΔ2  Δ3  Por lo tanto:  T  T sen Δ3  sen Δ1   T2  T3 sen Δ2 TS  T3  T1  T2  2 3   senΔ2  Δ3   sen Δ  senΔ2  Δ3   (3-26) Los valores de las tangentes simples T1, T2 y T3 se calculan en cada curva como: Δ1 2 Δ T2  R2 tan 2 2 Δ3 T3  R3 tan 2 T1  R1 tan Dependiendo del valor de las longitudes de los radios R1, R2 y R3, en la Figura 3.53 se presentan las seis posibles configuraciones. 164 James Cárdenas Grisales Figura 3.53 Casos de curvas circulares compuestas de tres radios 165 Diseño geométrico de carreteras EJEMPLO 3.26: Elementos geométricos de una curva circular compuesta de tres radios Datos: Para la curva compuesta de tres radios de la Figura 3.54, la abscisa del PC es K0+000. También se conocen:  1 2 R1 R2 R3 = 80 D = 30 D = 29 D = 112m = 87m = 69m Calcular: a) Los elementos geométricos para trazar la curva. b) La abscisa del PT de la curva compuesta. Solución: a) Elementos geométricos para trazar la curva Para trazar la curva se necesita conocer las tangentes larga y corta TL y TC, lo mismo que las tangentes simples T1, T2 y T3. Entonces: Tangente larga: TL Según la ecuación (3-24): R3  R1 cos Δ  R1  R2 cos Δ2  Δ3   R2  R3 cos Δ3 sen Δ   Δ3  Δ  Δ1  Δ2  80  30  29   21 D TL  TL    Tangente corta: TC Según la ecuación (3-23): 166   69  112 cos 80   112  87 cos 29   21  87  69 cos 21  83.697 m sen 80  James Cárdenas Grisales R1  R 3 cos Δ  R1  R2 cos Δ1  R2  R3 cos Δ1  Δ2  sen Δ  112  69 cos 80  112  87 cos 30   87  69 cos 30   29   70.163 m TC  sen 80  TC   Figura 3.54    Ejemplo de una curva circular compuesta de tres radios 167 Diseño geométrico de carreteras Tangente de la primera curva: T1 T1  R1 tan Δ1 30   112 tan  30.010 m 2 2 Tangente de la segunda curva: T2 T2  R2 tan Δ2 29   87 tan  22.500 m 2 2 Tangente de la tercera curva: T3 T3  R3 tan Δ3 21  69 tan  12.788 m 2 2 El trazado de dicha curva se realiza así: Marcado el PI se mide el ángulo  y se identifican el PC y el PT midiendo las tangentes TL y TC. El PI1 se obtiene midiendo T1 en la dirección de la tangente de entrada. Situados en el PI1 se mide el ángulo 1 y en esta dirección se mide T1 y T2, quedando marcados el PCC1 y el PI2. Luego a partir del PI2 se mide el ángulo 2 y en esa dirección se miden T2 y T3, quedando así marcados el PCC2 y el PI3. Como chequeo, si el trazado se ha realizado con toda la precisión posible, el PI3 deberá caer exactamente sobre la dirección de la tangente de salida. Por último, se trazan normales en el PC, PCC1, PCC2 y PT obteniéndose los centros O1, O2 y O3. b) Abscisa del PT Abscisa del PT  Abscisa del PC  Ls1  Ls 2  Ls 3 Longitud de la primera curva: Ls1 Ls1  πR1 Δ1 π 112 30    58.643 m 180  180  Longitud de la segunda curva: Ls2 Ls 2  168 πR 2 Δ2 π 87 29    44.035 m 180  180  James Cárdenas Grisales Longitud de la tercera curva: Ls3 Ls 3  πR3 Δ3 π 69 21   25.290 m 180  180  Luego: Abscisa del PT  K0  000  58.643  44.035  25.290  K0  127.968 EJEMPLO 3.27: Elementos de curvas circulares compuestas de dos y tres radios Datos: Además de la información dada en la Figura 3.55, también se conocen:  1 2 Abscisa del PI Coordenadas del PI = 121 D = 24 D = 56 D = K2+428.370 = 500N, 500E Figura 3.55 Ejemplo 3.27 169 Diseño geométrico de carreteras Calcular: Las abscisas y coordenadas del PC y PT. Solución: De acuerdo con la Figura 3.56, se tiene: Abscisa del PC: Abscisa del PC  Abscisa del PI  TL  y , donde, Abscisa del: PI Abscisa del PI  K2  428.370 Tangente larga: TL Esta es la tangente larga de la curva compuesta de dos radios R1 y R2. Según la ecuación (3-22), se tiene: R2  R1 cos Δ'   R1  R 2 cos Δ2 sen Δ' R1  124m , R2  71m , Δ2  56  D TL  TL    , Δ'  Δ1  Δ2  24   56   80  D 71  124 cos 80   124  71cos 56   80.325 m sen 80  Distancia: y T T y  C 3 sen Δ3 sen α ,y  TC  T3 sen Δ3 sen α TC es la tangente corta de la curva compuesta de dos radios R1 y R2, que según la ecuación (3-21) es: R1  R 2 cos Δ'   R1  R2 cos Δ1 sen Δ' 124  71 cos 80   124  71cos 24  TC   64.229 m sen 80  TC    T3 es la tangente de la curva circular simple de radio R3, cuyo valor es: 170 James Cárdenas Grisales Figura 3.56 Curvas circulares compuestas de dos y tres radios Δ3 , R3  109 m , Δ3  Δ  Δ'  121  80   41 2 41 T3  109 tan  40.753 m 2 α  180   Δ  180   121  59  , por lo tanto,  64.229  40.753 sen 41  80.351m y sen 59  T3  R3 tan Luego: Abscisa PC  K2  428.370  80.325  80.351  K2  267.694 171 Diseño geométrico de carreteras Abscisa del PT: Abscisa del PT  Abscisa del PC  Ls1  Ls2  Ls3 , donde, Abscisa del: PC Abscisa del PC  K2  267.694 Longitud de la primera curva: Ls1 Ls1  πR1 Δ1 π 124 24    51.941m 180  180  Longitud de la segunda curva: Ls2 Ls 2  πR2 Δ2 π 7156    69.394m 180  180  Longitud de la tercera curva: Ls3 Ls 3  πR3 Δ3 π 109 41   77.999 m 180  180  Luego: Abscisa PT  K2  267.694  51.941  69.394  77.999  K 2  467.028 Coordenadas del PC: N PC  N PI  PI  PC cos Az PI PC PI  PC  y  TL  80.351  80.325  160.676m N PC  500  160.676 cos 166   344.097 m E PC  E PI  PI  PC sen Az PI PC E PC  500  160.676 sen 166   538.871m Coordenadas del PT: N PT  N PI  PI  PT cos Az PI PT PI  PT  x  T3 172 , Az PI PC  360   14   180   166  James Cárdenas Grisales x y  sen Δ' sen Δ3 ,x  y sen Δ' 80.351 sen 80    120.615 m sen Δ3 sen 41 PI  PT  120.615  40.753  161.368 m , Az PI PT  Δ  14   121  14  107  N PT  500  161.368 cos 107   452.821m E PT  E PI  PI  PT sen AzPI PT E PT  500  161.368 sen 107   654.317 m Chequeo de las tangentes de entrada y salida: TE y TS Los resultados anteriores arrojan los siguientes valores: TE  PC  PI  160.676 m TS  PI  PT  161.368 m Para la curva compuesta de tres radios, la tangente de entrada TE, de acuerdo a la ecuación (3-25), es:  T  T sen Δ3   senΔ2  Δ3   , donde, TE  T1  T1  T2  2 3  senΔ2  Δ3    sen Δ   Δ 24  T1  R1 tan 1  124 tan  26.357 m 2 2 Δ 56  T2  R2 tan 2  71 tan  37.751m 2 2 Δ 41 , por lo tanto, T3  R3 tan 3  109 tan  40.753 m 2 2  37.751  40.753 sen 41   sen 56   41  TE  26.357  26.357  37.751     sen 56   41    sen 121  TE  160.675 m     Igualmente, la tangente de salida TS, de acuerdo a la ecuación (3-26), es:  T  T sen Δ3  sen Δ1   T2  T3 sen Δ2 TS  T3  T1  T2  2 3   senΔ2  Δ3   sen Δ  senΔ2  Δ3   , esto es, 173 Diseño geométrico de carreteras  37.751  40.753 sen 41  sen 24    TS  40.753  26.357  37.751     sen 56   41   sen 121    37.751  40.753 sen 56   sen 56   41 TS  161.367 m 3.4  ESTABILIDAD EN LA MARCHA, VELOCIDAD, CURVATURA, PERALTE Y TRANSICIÓN 3.4.1 Velocidad de diseño[5,10] La velocidad es el elemento básico para el diseño geométrico de carreteras y el parámetro de cálculo de la mayoría de los diversos componentes del proyecto. La velocidad debe ser estudiada, regulada y controlada con el fin de que ella origine un perfecto equilibrio entre el usuario, el vehículo y la carretera, de tal manera que siempre se garantice la seguridad. La velocidad de diseño o velocidad de proyecto de un tramo de carretera es la velocidad guía o de referencia que permite definir las características geométricas mínimas de todos los elementos del trazado, en condiciones de comodidad y seguridad. Por lo tanto, ella representa una referencia mínima. La velocidad de diseño se define como la máxima velocidad segura y cómoda que puede ser mantenida en un tramo determinado de una vía, cuando las condiciones son tan favorables, que las características geométricas de la vía predominan. Todos aquellos elementos geométricos de los alineamientos horizontal, de perfil y transversal, tales como radios mínimos, distancias de visibilidad, peraltes, pendientes máximas, anchos de carriles y bermas, anchuras y alturas libres, etc., dependen de la velocidad de diseño y varían con un cambio de ella. 174 James Cárdenas Grisales La selección de la velocidad de diseño depende de la importancia o categoría de la futura carretera, de la configuración topográfica del terreno, de los usos de la tierra, del servicio que se quiere ofrecer, de las consideraciones ambientales, de la homogeneidad a lo largo de la carretera, de las facilidades de acceso (control de accesos), de la disponibilidad de recursos económicos y de las facilidades de financiamiento. Al proyectar un tramo de carretera, hay que mantener un valor constante para la velocidad de diseño. Sin embargo, los cambios drásticos y sus limitaciones mismas, pueden obligar a usar diferentes velocidades de diseño para distintos tramos. En el proceso de asignación de la velocidad de diseño se debe otorgar la máxima prioridad a la seguridad de los usuarios. Por ello la velocidad de diseño a lo largo del trazado debe ser tal que los conductores no sean sorprendidos por cambios bruscos y/o muy frecuentes en la velocidad a la que pueden realizar con seguridad el recorrido. El diseñador, para garantizar la consistencia en la velocidad, debe identificar a lo largo del corredor de ruta tramos homogéneos a los que por las condiciones topográficas se les pueda asignar una misma velocidad. Esta velocidad, denominada velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR, es la base para la definición de las características de los elementos geométricos incluidos en dicho tramo. Para identificar los tramos homogéneos y establecer su velocidad de diseño, VTR, se debe atender los dos siguientes criterios: 1. La longitud mínima de un tramo de carretera con una velocidad de diseño dada debe ser de 3 kilómetros para velocidades entre 20 y 50 Km/h y de 4 kilómetros para velocidades entre 60 y 110 Km/h, respectivamente. 2. La diferencia de la velocidad de diseño entre tramos adyacentes no puede ser mayor a 20 Km/h. 175 Diseño geométrico de carreteras No obstante lo anterior, si debido a un marcado cambio en el tipo de terreno en un corto sector del corredor de ruta, es necesario establecer un tramo con longitud menor a la especificada, la diferencia de su velocidad de diseño con la de los tramos adyacentes no puede ser mayor de 10 Km/h. En la Tabla 3.9 se establecen los rangos de las velocidades de diseño que se deben utilizar en función de la categoría de la carretera y el tipo de terreno. Tabla 3.9 CATEGORÍA DE LA CARRETERA Primaria de dos calzadas Primaria de una calzada Secundaria Terciaria Velocidades de diseño de tramos homogéneos, VTR TIPO DE TERRENO Plano Ondulado Montañoso Escarpado Plano Ondulado Montañoso Escarpado Plano Ondulado Montañoso Escarpado Plano Ondulado Montañoso Escarpado VELOCIDAD DE DISEÑO DE UN TRAMO HOMOGÉNEO VTR (Km/h) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008. 3.4.2 Velocidad específica[5,10] Aunque la velocidad de diseño o de proyecto siga siendo el parámetro básico e inicial del diseño geométrico, seleccionada estrechamente con las condiciones físicas de la vía y su entorno y, por tanto, con el nivel de velocidad al que van a desear operar los conductores, y que condiciona las características mínimas de los parámetros geométricos, no se puede seguir suponiendo que los conductores van a conducir 176 James Cárdenas Grisales siempre sus vehículos manteniendo esa velocidad, por lo que hay que estimar las velocidades de operación que pueden llegar a desarrollar a lo largo de cada uno de los elementos del alineamiento, diseñándolos en correspondencia con ellas y así garantizar la seguridad y comodidad de los usuarios de la carretera. Como una primera aproximación a las velocidades de operación se pueden emplear las velocidades específicas de cada uno de los elementos geométricos, por ejemplo, de curvas en planta, siendo éstas las velocidades inferidas de las características geométricas resultantes con base en los mismos criterios de seguridad y comodidad considerados para la aplicación de la velocidad de diseño. Es decir, que la velocidad específica de una determinada curva con radio superior al mínimo correspondiente a la velocidad de diseño del tramo, será equivalente a la velocidad de diseño que tuviera asociado ese radio como mínimo. Por lo tanto, la velocidad específica de un elemento de diseño, es la máxima velocidad que puede mantenerse a lo largo del elemento considerado aisladamente, en condiciones de seguridad y comodidad, cuando encontrándose el pavimento húmedo y las llantas en buen estado; las condiciones meteorológicas, del tránsito y las regulaciones son tales que no imponen limitaciones a la velocidad. Entonces, existirá toda una sucesión de velocidades específicas asociadas a cada uno de los elementos geométricos, no pudiendo ser nunca inferiores a la velocidad de diseño del tramo. Diseñando con las diferentes velocidades específicas siempre se mantendrán los márgenes de seguridad y comodidad dentro de cada elemento. Por ejemplo, estableciendo el peralte correspondiente a una curva de un determinado radio con base en su velocidad específica y no en función de la velocidad de diseño que puede llegar a ser muy inferior. En el medio colombiano, la velocidad tope a la que viajan los conductores en un momento dado es función, principalmente, de las restricciones u oportunidades que ofrezca el trazado de la carretera, el estado de la superficie de la calzada, las condiciones climáticas, la 177 Diseño geométrico de carreteras intensidad del tráfico y las características del vehículo y en menor medida por las señales de límite de velocidad colocadas en la vía o por una eventual intervención de los agentes de tránsito. Para tener en cuenta en el diseño esta actitud de “relativa indisciplina” de los conductores, es necesario dimensionar los elementos geométricos, curvas y entretangencias en planta y perfil, en forma tal que puedan ser recorridos con plena seguridad a la velocidad máxima más probable con que sería abordado cada uno de dichos elementos geométricos. La velocidad máxima más probable con que sería abordado cada elemento geométrico es justamente su velocidad específica y es con la que se debe diseñar ese elemento. El valor de la velocidad específica, Ve, de un elemento geométrico depende esencialmente de los siguientes parámetros: 1. Del valor de la velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR, en que se encuentra incluido el elemento. La condición deseable es que a la mayoría de los elementos geométricos que integran el tramo homogéneo se les pueda asignar como velocidad específica el valor de la velocidad de diseño del tramo, VTR. 2. De la geometría del trazado inmediatamente antes del elemento considerado, teniendo en cuenta el sentido en que el vehículo realiza el recorrido. Para asegurar la mayor homogeneidad posible en la velocidad específica de los elementos geométricos, curvas y entretangencias, lo que necesariamente se traduce en mayor seguridad para los usuarios, se obliga a que las velocidades específicas de los elementos que integran un tramo homogéneo sean como mínimo iguales a la velocidad de diseño del tramo, VTR, y no superen esta velocidad en más de 20 Km/h (VTR + 20 Km/h). Estudios de velocidad en carreteras realizados en países con idiosincrasia similar a la colombiana, han establecido que la gran 178 James Cárdenas Grisales mayoría de los conductores, dependiendo de la percepción del trazado que tienen adelante, incrementan su velocidad respecto a la velocidad de diseño del tramo, hasta en 20 Km/h. La secuencia general para la asignación de la velocidad específica de los elementos geométricos en planta es la siguiente: 1. Partiendo de la velocidad de diseño del tramo homogéneo adoptada, VTR, asignar la velocidad específica a cada una de las curvas horizontales, VCH. 2. Partiendo de la velocidad específica asignada a cada una de las curvas horizontales, VCH, asignar la velocidad específica a las entretangencias horizontales, VETH.  VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LA CURVA HORIZONTAL, VCH Para asignar la velocidad específica a las curvas horizontales, VCH, incluidas en un tramo homogéneo, se consideran los siguientes parámetros: 1. La velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR, en que se encuentra la curva horizontal. 2. El sentido en que el vehículo recorre la carretera. 3. La velocidad específica asignada a la curva horizontal anterior. 4. La longitud del segmento recto anterior. Se considera segmento recto a la distancia horizontal medida entre los puntos medios de las espirales de las curvas al inicio y al final del segmento si éstas son espiralizadas o entre el PT y el PC de las curvas si son circulares. 5. El ángulo de deflexión principal, , de la curva analizada. La velocidad específica de cada una de las curvas horizontales, VCH, se debe establecer atendiendo a los siguientes criterios: 179 Diseño geométrico de carreteras 1. La velocidad específica de una curva horizontal, VCH, no puede ser menor que la velocidad de diseño del tramo (VCH  VTR) ni superior a ésta en 20 Km/h (VCH  VTR + 20). 2. La velocidad específica de una curva horizontal debe ser asignada teniendo en cuenta la velocidad específica de la curva horizontal anterior y la longitud del segmento recto anterior. Se ha establecido que los conductores, en función de la velocidad a la que recorren una curva horizontal y la longitud del segmento recto que encuentran al salir de dicha curva, adoptan el patrón de comportamiento que se tipifica en los cinco casos que se enuncian más adelante. Tales casos se ilustran para la situación de velocidades de diseño relativamente altas (VTR entre 60 y 110 Km/h) y se consignan en la Tabla 3.10. Cuando la velocidad de diseño del tramo es relativamente baja (VTR entre 30 y 50 Km/h) la longitud del segmento recto, en función de la cual los conductores toman la decisión para ajustar su velocidad, es menor, tal como se puede observar en la misma Tabla 3.10. CASO 1: Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la longitud del segmento recto es inferior a la distancia recorrida en aproximadamente 5 segundos a la velocidad de diseño del tramo (150 metros en promedio). En este caso no disponen del tiempo suficiente para obtener plena claridad sobre la situación y en consecuencia no alcanzan a realizar ajustes a su velocidad. La condición de seguridad indica que a la curva horizontal siguiente se le debe asignar la misma velocidad específica que la asignada a la curva que se acaba de recorrer. CASO 2: Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la longitud del segmento recto se encuentra entre 150 y 400 metros. 180 VTR + 10 VTR + 20 1 VTR + 10 VTR + 20 CASO 2 VTR + 20 VTR + 10 VTR ∆ < 45° 3 VTR + 10 VTR VTR ∆ ≥ 45° 4 VTR + 10 VTR + 10 VTR + 10 250 < L ≤ 400 5 VTR + 20 VTR + 20 VTR + 20 L > 400 Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008. VTR L ≤ 70 VELOCIDAD DE DISEÑO DEL TRAMO VTR ≤ 50 Km/h LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m) 70 < L ≤ 250 VTR VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LA CURVA HORIZONTAL ANTERIOR VCH (Km/h) 1 VTR + 20 VTR + 10 VTR L ≤ 150 2 VTR + 20 VTR + 10 VTR ∆ < 45° 3 VTR + 10 VTR VTR ∆ ≥ 45° 4 VTR + 10 VTR + 10 VTR + 10 400 < L ≤ 600 5 VTR + 20 VTR + 20 VTR + 20 L > 600 VELOCIDAD DE DISEÑO DEL TRAMO VTR > 50 Km/h LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m) 150 < L ≤ 400 Tabla 3.10 Velocidad específica de una curva horizontal VCH, incluida en un tramo homogéneo con velocidad de diseño VTR James Cárdenas Grisales 181 Diseño geométrico de carreteras En este caso ajustan o no su velocidad en función de la percepción que obtienen del trazado más allá de la curva que encuentran ya muy cercana. Si el ángulo deflexión principal de la curva siguiente es menor de cuarenta y cinco grados (  45 ), los conductores alcanzan a tener una noción razonablemente clara del trazado que sigue y no disminuyen la velocidad a la que ya se desplazan por el segmento recto, que es la velocidad a la que salieron de la curva anterior. En consecuencia, se le debe asignar a la curva horizontal una velocidad específica igual a la velocidad específica de dicha curva anterior. CASO 3: Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la longitud del segmento recto se encuentra entre 150 y 400 metros. Como el caso anterior, ajustan o no su velocidad en función de la noción que obtienen del trazado más allá de la curva que encuentran ya muy cercana. Si la deflexión de la curva siguiente es mayor ó igual a cuarenta y cinco grados (  45), los conductores tienen una percepción incierta del trazado y cautelosamente disminuyen su velocidad por lo que a la curva horizontal se le debe asignar una velocidad específica 10 Km/h menor que la velocidad específica de la curva anterior. CASO 4: Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la longitud del segmento recto se encuentra entre 400 y 600 metros. De allí que, en este caso, el segmento recto es suficientemente extenso para que la velocidad de entrada a la curva siguiente sea independiente de la velocidad a la que se salió de la curva anterior, pero no demasiado, por lo que los conductores ajustan su velocidad a una superior tan solo en 10 Km/h respecto a la velocidad de diseño del tramo, VTR. Por lo tanto, se le debe asignar a la curva horizontal una velocidad específica igual a la velocidad de diseño del tramo 182 James Cárdenas Grisales más 10 Km/h (VTR + 10), ya que es a esta velocidad a la que los vehículos entrarán en dicha curva. CASO 5: Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la longitud del segmento recto es mayor de 600 metros. En este caso, en el que el segmento recto por su longitud relativamente grande estimula a los conductores a incrementar la velocidad, éstos ajustan su velocidad a una superior en 20 Km/h respecto a la velocidad de diseño del tramo, VTR. Por lo tanto, se le debe asignar a la curva horizontal una velocidad específica igual a la velocidad de diseño del tramo más 20 Km/h (VTR + 20), ya que es a esta velocidad a la que los vehículos entrarán en dicha curva. 3. La diferencia entre las velocidades específicas de la última curva horizontal de un tramo y la primera del siguiente se indican en la Tabla 3.11. Tales diferencias están en función de la velocidad de diseño de los tramos contiguos y de la longitud del segmento recto entre dichas curvas. Además, son concordantes con los criterios establecidos para la asignación de la velocidad específica de las curvas horizontales dentro de un mismo tramo. Es necesario enfatizar que para no desvirtuar el valor asignado a la velocidad de diseño del tramo, VTR, cada vez que las condiciones topográficas del terreno lo permitan, se debe plantear una propuesta del eje que conduzca, al momento de asignar la velocidad específica a las curvas horizontales, VCH, a que estas velocidades específicas resulten lo más cercanas posible a la velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR. Como ya se manifestó en un párrafo anterior, la condición ideal es que todas o casi todas las curvas horizontales tengan como velocidad específica, VCH, la velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR. Los criterios expuestos se han adoptado considerando terreno a nivel o pendientes muy suaves, siendo ésta la situación asociada a las mayores velocidades, constituyendo el caso crítico. En las pendientes, tanto de ascenso como de descenso, los vehículos tienden a reducir su velocidad. 183 184 VELOCIDAD DE DISEÑO DE LOS TRAMOS CONTIGUOS (Km/h) ANTERIOR ANALIZADO 20 30 20 40 30 20 30 40 30 50 40 20 40 30 40 50 40 60 50 30 50 40 50 60 50 70 60 40 60 50 60 70 60 80 70 50 70 60 70 80 70 90 Tabla 3.11 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 0 0 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 0 0 N.A. 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆ < 45° N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. -10 -10 N.A. 0 0 -10 0 0 -10 -10 0 ∆ ≥ 45° 70 < L ≤ 250 N.A. 0 0 0 0 0 0 0 0 L ≤ 70 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 10 N.A. NOTA(5) 10 10 NOTA(5) 10 10 10 10 10 250 < L ≤ 400 N.A. NOTA(3) NOTA(3) N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 20 NOTA(3) NOTA(3) 20 20 NOTA(3) 20 20 L > 400 LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m) (1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N.A. N.A. N.A. N.A. 0 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. ∆ < 45° 0 0 -10 -10 0 0 -10 -10 0 0 N.A. N.A. 0 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. ∆ ≥ 45° 150 < L ≤ 400 N.A.(2) N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. L ≤ 150 NOTA(4) NOTA(4) NOTA(6) 10 10 10 Continúa 20 20 20 20 20 20 NOTA(4) NOTA(4) 10 10 10 10 10 NOTA(6) 20 N.A. N.A. 10 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. L > 600 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 400 < L ≤ 600 LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m) Diferencia entre la velocidad específica de la última curva horizontal del tramo anterior y la primera curva horizontal del tramo analizado, en Km/h Diseño geométrico de carreteras N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. L ≤ 70 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. ∆ < 45° N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. ∆ ≥ 45° 70 < L ≤ 250 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. 250 < L ≤ 400 N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. N.A. L > 400 LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m)(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L ≤ 150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∆ < 45° -10 -10 0 0 -10 -10 0 0 -10 -10 0 -10 10 ∆ ≥ 45° 150 < L ≤ 400 NOTA(4) NOTA(4) NOTA(4) NOTA(4) NOTA(6) 10 10 10 20 20 20 NOTA(6) 10 10 10 NOTA(4) NOTA(4) NOTA(6) 20 20 NOTA(4) NOTA(4) 10 10 10 L > 600 NOTA(6) 400 < L ≤ 600 LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m) Diferencia entre la velocidad específica de la última curva horizontal del tramo anterior y la primera curva horizontal del tramo analizado, en Km/h (continuación) Longitud del segmento recto entre la última curva horizontal del tramo anterior y la primera curva horizontal del tramo analizado. (2): No Aplica. (3): Si la longitud del segmento recto anterior es mayor de 400 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V . TR (4): Si la longitud del segmento recto anterior es mayor de 600 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V . TR (5): Si la longitud del segmento recto anterior se encuentra entre 250 y 400 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V . TR (6): Si la longitud del segmento recto anterior se encuentra entre 400 y 600 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V . TR Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008. (1): VELOCIDAD DE DISEÑO DE LOS TRAMOS CONTIGUOS (Km/h) ANTERIOR ANALIZADO 80 60 80 70 80 90 80 100 90 70 90 80 90 100 90 110 100 80 100 90 100 110 110 90 110 100 Tabla 3.11 James Cárdenas Grisales 185 Diseño geométrico de carreteras La asignación de la velocidad específica de las curvas horizontales, VCH, se debe realizar simulando primero el desplazamiento de un vehículo en un sentido de circulación y luego en el otro. La velocidad específica que se le asigne como definitiva a una curva debe ser la mayor que resulte de la simulación en ambos sentidos. El procedimiento general sugerido para asignar la velocidad específica de las curvas horizontales, VCH, se describe a continuación: 1. Trazado de la línea de ceros. 2. Diseño preliminar del eje en planta: se debe realizar ajustado a la línea de ceros y de acuerdo a la velocidad de diseño del tramo, VTR, adoptada. 3. Determinación de la longitud de los segmentos rectos entre las curvas propuestas. 4. Asignación de la velocidad específica de las curvas horizontales, VCH, simulando el recorrido en el sentido creciente del abscisado. Se sugiere el siguiente procedimiento: a) Asignar la velocidad específica, VCH, a la primera curva del tramo homogéneo observando los criterios que se enuncian a continuación:  Diferencia de velocidades de diseño entre tramos homogéneos.  Diferencia entre la velocidad específica de la última curva del tramo anterior y la primera del tramo siguiente. Los valores se presentan en la Tabla 3.11. Cuando no existe tramo anterior, la velocidad específica de la primera curva debe ser mayor o igual a la velocidad del tramo homogéneo, VTR, y menor o igual a la velocidad del tramo más 20 Km/h (VTR  VCH  VTR +20). b) Asignar la velocidad específica a las demás curvas en forma consecutiva, cumpliendo con los criterios indicados en la Tabla 3.10, hasta terminar con la asignación de la velocidad específica de la última curva. 186 James Cárdenas Grisales 5. Asignación de la velocidad específica, VCH, de las curvas horizontales simulando el recorrido en el sentido decreciente del abscisado: a la primera curva del tramo homogéneo analizado en el sentido decreciente del abscisado se le debe asignar el mismo valor de velocidad específica que se le asignó cuando se realizó la simulación en el sentido creciente del abscisado. 6. Asignación de la velocidad específica, VCH, definitiva a cada una de las curvas horizontales del tramo homogéneo: como resultado de la asignación de las velocidades específicas simulando el recorrido en el sentido creciente del abscisado y luego en el sentido contrario, cada una de las curvas tiene asignadas dos velocidades específicas que pueden ser iguales o diferentes. En el caso de que sean diferentes, la condición de seguridad indica que se debe asignar la mayor como velocidad específica definitiva de la curva horizontal.  VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LA ENTRETANGENCIA HORIZONTAL, VETH En carreteras de una calzada, un vehículo puede ingresar a la entretangencia saliendo de la curva horizontal localizada en un extremo, que tiene una determinada velocidad específica, VCH, o saliendo de la curva localizada en el otro extremo, que también tiene su propia velocidad específica, VCH. Los vehículos van a circular por la entretangencia a la velocidad a la que salieron de la curva siendo críticos los que entraron a la entretangencia desde la curva horizontal que presenta la velocidad específica mayor. En consecuencia, la velocidad específica de la entretangencia horizontal, VETH, debe ser igual a la mayor de las dos velocidades específicas, VCH, de las curvas horizontales extremas. Es necesario establecer la probable velocidad a la que circularán los vehículos en la entretangencia horizontal, para la verificación de la distancia de visibilidad de adelantamiento y para la asignación de la velocidad específica de una curva vertical incluida en dicha entretangencia, como se verá más adelante. 187 Diseño geométrico de carreteras 3.4.3 Desplazamiento de un vehículo sobr e una curva circular Para ángulos de deflexión principal   6, en el caso de que no puedan evitarse curvas circulares simples, se recomienda utilizar las de los radios mínimos dados en la Tabla 3.12[5]. Tabla 3.12 Radios para deflexiones pequeñas ÁNGULO DE DEFLEXIÓN  6 5 4 3 2 RADIO MÍNIMO R (metros) 2000 2500 3500 5500 9000 Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico para Carreteras. Bogotá. 1998. Con el propósito de proporcionar seguridad, eficiencia y un diseño balanceado entre los elementos de la vía desde el punto de vista geométrico y físico, es fundamental estudiar la relación existente entre la velocidad y la curvatura. Cuando un vehículo circula sobre una curva horizontal, actúa sobre él una fuerza centrífuga F que tiende a desviarlo radialmente hacia afuera de su trayectoria normal. La magnitud de esta fuerza es: F  ma Donde: m = Masa del vehículo. a = Aceleración radial, dirigida hacia el centro de curvatura. Pero, la masa m y la aceleración radial a son iguales a: m W g ,a  V2 R Donde: W = Peso del vehículo. g = Aceleración de la gravedad. V = Velocidad del vehículo. R = Radio de la curva circular horizontal. 188 James Cárdenas Grisales Por lo tanto: F WV 2 gR (3-27) En esta última expresión se puede ver que para un mismo radio R, la fuerza centrífuga F es mayor si la velocidad V es mayor, por lo que el efecto centrífugo es más notable. La única fuerza que se opone al deslizamiento lateral del vehículo es la fuerza de fricción desarrollada entre las llantas y el pavimento. Esta fuerza por sí sola, generalmente, no es suficiente para impedir el deslizamiento transversal; por lo tanto, será necesario buscarle un complemento inclinando transversalmente la calzada. Dicha inclinación se denomina peralte. Si sobre una curva horizontal de radio R un vehículo circula a una velocidad constante V, según la ecuación (3-27), el peso W y la fuerza centrífuga F son también constantes, pero sus componentes en las direcciones normal y paralela al pavimento varían según la inclinación que tenga la calzada, tal como se aprecia en la Figura 3.57. Para la situación anterior, las componentes normales de las fuerzas W y F son siempre del mismo sentido y se suman, actuando hacia el pavimento, contribuyendo a la estabilidad del vehículo. Por el contrario, las componentes paralelas de W y F son de sentido opuesto y su relación hace variar los efectos que se desarrollan en el vehículo. Las componentes normales y paralelas de las fuerzas W y F se definen como: Wn , Fn = Componentes normales al pavimento. Wp , Fp = Componentes paralelas al pavimento. De esta manera, dependiendo de la relación entre Wp y Fp, se presentan los siguientes casos: 189 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.57 Efecto de la inclinación transversal de la calzada sobre un vehículo circulando en curva Caso : Wp=0 La calzada es horizontal, esto es, no hay inclinación transversal y Fp alcanza su valor máximo F. Caso : Wp=Fp , Figura 3.58 En este caso, la fuerza resultante F+W es perpendicular a la superficie del pavimento. Por lo tanto, la fuerza centrífuga F no es sentida en el vehículo. La velocidad a la cual se produce este efecto se le llama velocidad de equilibrio. Caso : Wp<Fp , Figura 3.59 En este caso, la fuerza resultante F+W actúa en el sentido de la fuerza centrífuga F. Por lo tanto, el vehículo tiende a deslizarse hacia el exterior de la curva, pues se origina un momento en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Volcamiento de este caso es típico en vehículos livianos. 190 James Cárdenas Grisales Caso : Wp>Fp Figura 3.58 Caso Wp=Fp Figura 3.59 Caso Wp<Fp , Figura 3.60 En este caso, la fuerza resultante F+W actúa en el sentido contrario de la fuerza centrífuga F. Por lo tanto, el vehículo tiende a deslizarse hacia el interior de la curva. Volcamiento de este caso es típico en vehículos pesados. 191 Diseño geométrico de carreteras Figura 3.60 Caso Wp>Fp 3.4.4 Velocidad, curvatura, peralte y fricción lateral[5,10] Existen dos fuerzas que se oponen al deslizamiento lateral de un vehículo, la componente Wp del peso y la fuerza de fricción transversal desarrollada entre las llantas y el pavimento. Igualmente para ayudar a evitar este deslizamiento, se acostumbra en las curvas darle cierta inclinación transversal a la calzada. Esta inclinación denominada peralte, se simboliza con la letra e. Por lo tanto, de acuerdo con las figuras anteriores: 192 e  tan θ (3-28) Dependiendo de la relación entre las componentes y, como se vio anteriormente, se plantea lo siguiente: A la velocidad de equilibrio: Según la Figura 3.58, se tiene que: Wp  Fp 192 James Cárdenas Grisales W sen θ  F cos θ sen θ F  tan θ  cos θ W Reemplazando las ecuaciones (3-27) y (3-28): WV 2 gR e W V2 e gR , esto es, (3-29) Donde el peralte e es adimensional, la velocidad V se expresa en Km/h, el radio R en metros, y g es igual a 9.81 m/seg2. Por lo tanto, convirtiendo unidades se llega a: e V2 Km 2 / h 2 9.81 R ( m / seg 2 )m    V2 2 2 Km 2 / m 2 seg 2 / h 2 1000 m / 1 Km  1 h / 3600 seg  9.81 R V2 e 127 R e (3-30) A velocidades diferentes a la de equilibrio: Para el Caso 3, Wp<Fp, o lo que es lo mismo (Fp-Wp)>0, en la Figura 3.59, se puede ver que: La resultante paralela (Fp-Wp) actúa hacia la izquierda, por lo que deberá ser resistida por una fuerza de fricción transversal Ff desarrollada entre las llantas y el pavimento y que actúa hacia la derecha. Esto es: Fp  Wp  Ff Pero también se sabe que: Fuerza de fricción  Fuerza normal Coeficiente de fricción  193 Diseño geométrico de carreteras Por lo tanto, denominando por fT el coeficiente de fricción transversal, se tiene: Fp  Wp  Fn  Wn fT fT  Fp  Wp Fn  Wn En la práctica para valores normales del peralte, la componente Fn es muy pequeña comparada con la componente Wn, por lo que se puede despreciar. Luego: fT  fT  Fp  Wp Wn  F cos θ - W sen θ F cos θ W sen θ F     tan θ W cos θ W cos θ W cos θ W F e W Reemplazando la ecuación (3-27): WV 2 V2 gR fT  e  e W gR e  fT  V2 gR , esto es, (3-31) Convirtiendo unidades: e  fT  V2 127 R (3-32) Para el Caso 4, Wp>Fp, o lo que es lo mismo (Fp-Wp)<0, según la Figura 3.60, por homología se llega a: e  fT  V2 127 R (3-33) La situación más común que se presenta en la práctica es aquella en la cual la mayoría de los vehículos circulan a velocidades superiores a la velocidad de equilibrio. En este sentido, para efectos de diseño, la expresión más utilizada es la de la ecuación (3-32) para el Caso 3. 194 James Cárdenas Grisales Cuando un vehículo circula por una curva circular horizontal de radio R, se le debe permitir recorrerla con seguridad y comodidad a la velocidad de operación o específica VCH por la que opte al afrontarla. La seguridad se introduce en el diseño garantizando la estabilidad del vehículo ante la fuerza centrífuga F que tiende a desequilibrarlo hacia el exterior de la curva, oponiéndose a ella el peralte e o inclinación transversal de la calzada y la fuerza de fricción transversal FT movilizada entre las llantas y el pavimento. Por tanto, para cada velocidad de operación o específica VCH se adopta un coeficiente de fricción transversal movilizable que sea seguro en condiciones críticas fTmáx, como son pavimento mojado y estado desgastado de las llantas, y un peralte suficiente emáx, obteniendo así el radio mínimo Rmín de la curva que genera la fuerza centrífuga que se puede contrarrestar con estos valores seleccionados. En otras palabras, el radio mínimo Rmín, es el límite para una velocidad específica VCH dada del vehículo, calculado a partir del peralte máximo emáx y del coeficiente de fricción transversal máximo fTmáx, según la ecuación (3-32), como: R mín  2 VCH 127 e máx  fTmáx  (3-34) El Radio mínimo de curvatura solo debe ser usado en situaciones extremas, donde sea imposible la aplicación de radios mayores. En Colombia para carreteras primarias y secundarias se establece como peralte máximo emáx el 8%, el cual permite no incomodar a aquellos vehículos que viajan a velocidades menores, especialmente a los vehículos con centro de gravedad muy alto y a los vehículos articulados (tracto–camión con remolque) los cuales pueden tener un potencial de volcamiento de su carga al circular por curvas con peraltes muy altos. A su vez, para carreteras terciarias, especialmente en terreno montañoso y escarpado, donde es difícil disponer de longitudes de 195 Diseño geométrico de carreteras entretangencia amplias, por lo que no es fácil hacer la transición de peralte, se considera que el peralte máximo emáx más adecuado es del 6%. El coeficiente de fricción transversal máximo fTmáx, está determinado por numerosos factores, entre los cuales se encuentran el estado de la superficie de rodadura, la velocidad del vehículo y el tipo y condiciones de las llantas de los vehículos. Se adoptan los valores del coeficiente de fricción transversal máximo fTmáx, dados por los estudios recientes de la AASHTO[1], los cuales se indican en la Tabla 3.13. Tabla 3.13 Coeficientes de fricción transversal máximos, fTmáx VELOCIDAD ESPECÍFICA 20 VCH (Km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 COEFICIENTE DE FRICCIÓN TRANSVERSAL 0.35 0.28 0.23 0.19 0.17 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.09 0.08 MÁXIMO fTmáx Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C. 2004. En la Tabla 3.14 y en la Tabla 3.15 se presentan los radios mínimos absolutos Rmín, calculados con la ecuación (3-34), para las velocidades específicas indicadas VCH, los peraltes máximos recomendados emáx y los coeficientes de fricción transversal máximos fTmáx. Tabla 3.14 Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=8% y fricción máxima, carreteras primarias y secundarias VELOCIDAD ESPECÍFICA VCH (Km/h) 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 PERALTE FRICCIÓN RECOMENDADO TRANSVERSAL emáx (%) fTmáx 8.0 0.23 8.0 0.19 8.0 0.17 8.0 0.15 8.0 0.14 8.0 0.13 8.0 0.12 8.0 0.11 8.0 0.09 8.0 0.08 RADIO MÍNIMO Rmín (m) CALCULADO REDONDEADO 40.6 41 72.9 73 113.4 113 167.8 168 229.1 229 303.7 304 393.7 394 501.5 502 667.0 667 831.7 832 Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008. 196 James Cárdenas Grisales Tabla 3.15 VELOCIDAD ESPECÍFICA VCH (Km/h) 20 30 40 50 60 Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=6% y fricción máxima, carreteras terciarias PERALTE FRICCIÓN RECOMENDADO TRANSVERSAL emáx (%) fTmáx 6.0 0.35 6.0 0.28 6.0 0.23 6.0 0.19 6.0 0.17 RADIO MÍNIMO Rmín (m) CALCULADO REDONDEADO 7.7 15(1) 20.8 21 43.4 43 78.7 79 123.2 123 Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008. (1): La adopción de este valor redondeado se sustenta básicamente en la necesidad de suministrar a los vehículos condiciones de desplazamiento cómodas, en aras de permitir giros sin requerir cambios muy fuertes en su velocidad. Una vez asignada la velocidad específica VCH a cada curva horizontal y con el radio de curvatura elegido R, que se supone es el que permite ajustar de la mejor manera la trayectoria de la curva a la topografía del terreno, es necesario asignar el peralte e que debe tener dicha curva para que con su radio R permita que los vehículos puedan circular con plena seguridad a la velocidad específica VCH. Para ello, el Manual de Diseño Geométrico de Carreteras de INVIAS[10] ha adoptado el criterio de la AASHTO denominado Método 5, incluido en su versión 2004[1]. Este método involucra el principio fundamental de que cuando un vehículo recorre una trayectoria curva, la compensación de la fuerza centrífuga es realizada fundamentalmente por el peralte de la calzada y cuando el peralte ya resulta insuficiente, completa lo requerido, demandando fricción transversal. Lo anterior implica que para curvas de radios superiores al mínimo, la fricción transversal demandada no es la fricción transversal máxima sino que su valor es establecido en el Método 5 mediante una función parabólica. Entonces, a aquellas curvas con radios mayores que el radio mínimo, se les debe asignar un peralte menor en forma tal que la circulación sea cómoda, tanto para los vehículos lentos como para los rápidos. En la Tabla 3.16 se presenta el valor del peralte e en función de la velocidad específica VCH y el radio R para carreteras primarias y secundarias (emáx=8%) y en la Tabla 3.17 para carreteras terciarias (emáx=6%). 197 198 VCH =40 Km/h R (m) VCH =50 Km/h R (m) VCH =60 Km/h R (m) VCH =70 Km/h R (m) VCH =80 Km/h R (m) 2970 2190 1980 1800 1650 1520 1410 1310 1220 1140 1070 1010 948 895 847 803 762 724 689 656 625 595 567 540 514 489 464 440 415 389 359 304 VCH =90 Km/h R (m) 3630 2680 2420 2200 2020 1860 1730 1610 1500 1410 1320 1240 1180 1110 1050 996 947 901 859 819 781 746 713 681 651 620 591 561 531 499 462 394 VCH =100 Km/h R (m) 4180 3090 2790 2550 2340 2180 2000 1870 1740 1640 1540 1450 1380 1300 1240 1180 1120 1070 1020 975 933 894 857 823 789 757 724 691 657 621 579 501 VCH =110 Km/h R (m) 4900 3640 3290 3010 2760 2550 2370 2220 2080 1950 1840 1740 1650 1570 1490 1420 1360 1300 1250 1200 1150 1100 1060 1020 982 948 914 879 842 803 757 667 VCH =120 Km/h R (m) Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=8%, carreteras primarias y secundarias 1.5 784 1090 1490 1970 2440 2.0 571 791 1090 1450 1790 2.2 512 711 976 1300 1620 2.4 463 644 885 1190 1470 2.6 421 587 808 1080 1350 2.8 385 539 742 992 1240 3.0 354 496 684 916 1150 3.2 326 458 633 849 1060 3.4 302 425 588 790 988 3.6 279 395 548 738 924 3.8 259 368 512 690 866 4.0 241 344 479 648 813 4.2 224 321 449 608 766 4.4 208 301 421 573 722 4.6 192 281 395 540 682 4.8 178 263 371 509 645 5.0 163 248 349 480 611 5.2 148 229 328 454 579 5.4 136 213 307 429 549 5.6 125 198 288 405 521 5.8 115 185 270 382 494 6.0 106 172 253 360 469 6.2 98 161 238 340 445 6.4 91 151 224 322 422 6.6 85 141 210 304 400 6.8 79 132 198 287 379 7.0 73 123 185 270 358 7.2 68 115 174 254 338 7.4 62 107 162 237 318 7.6 57 99 150 221 296 7.8 52 90 137 202 273 8.0 41 73 113 168 229 Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C. 2004. e (%) Tabla 3.16 5360 4000 3620 3310 3050 2830 2630 2460 2310 2180 2060 1950 1850 1760 1680 1610 1540 1480 1420 1360 1310 1260 1220 1180 1140 1100 1070 1040 998 962 919 832 VCH =130 Km/h R (m) Diseño geométrico de carreteras James Cárdenas Grisales Tabla 3.17 e (%) Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=6%, carreteras terciarias VCH =20 Km/h R (m) VCH =30 Km/h R (m) VCH =40 Km/h R (m) VCH =50 Km/h R (m) VCH =60 Km/h R (m) 1.5 194 421 738 1050 1440 2.0 138 299 525 750 1030 2.2 122 265 465 668 919 2.4 109 236 415 599 825 2.6 97 212 372 540 746 2.8 87 190 334 488 676 3.0 78 170 300 443 615 3.2 70 152 269 402 561 3.4 61 133 239 364 511 3.6 51 113 206 329 465 3.8 42 96 177 294 422 4.0 36 82 155 261 380 4.2 31 72 136 234 343 4.4 27 63 121 210 311 4.6 24 56 108 190 283 4.8 21 50 97 172 258 5.0 19 45 88 156 235 5.2 17 40 79 142 214 5.4 15 36 71 128 195 5.6 15 32 63 115 176 5.8 15 28 56 102 156 6.0 15 21 43 79 123 Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C. 2004. 3.4.5 Transición del peralte La sección transversal de la calzada sobre un alineamiento recto tiene una inclinación comúnmente llamada bombeo normal, el cual tiene por objeto facilitar el drenaje o escurrimiento de las aguas lluvias lateralmente hacia las cunetas. El valor del bombeo dependerá del tipo de superficie y de la intensidad de las lluvias en la zona del proyecto, variando del 1% al 4%. Así mismo, la sección transversal de la calzada sobre un alineamiento curvo tendrá una inclinación asociada con el peralte, el cual tiene por objeto, como se vio anteriormente, facilitar el desplazamiento seguro de los vehículos sin peligros de deslizamientos. Para pasar de una sección transversal con bombeo normal a otra con peralte, es necesario realizar un cambio de inclinación de la calzada. Este cambio no puede realizarse bruscamente, sino gradualmente a lo 199 Diseño geométrico de carreteras largo de la vía entre este par de secciones. A este tramo de la vía se le llama transición de peraltado. Si para el diseño de las curvas horizontales se emplean curvas espirales de transición, las cuales se estudiarán más adelante, la transición del peraltado se efectúa gradualmente en función de la curvatura de la espiral. Cuando sólo se dispone de curvas circulares, se acostumbra a realizar una parte de la transición en la recta y la otra parte sobre la curva. Se ha encontrado empíricamente que la transición del peralte puede introducirse dentro de la curva hasta en un 50%, siempre que por lo menos la tercera parte central de la longitud de la curva circular quede con el peralte completo. Para realizar la transición del bombeo al peralte, pueden utilizarse tres procedimientos: 1) Rotando la calzada alrededor de su eje central. 2) Rotando la calzada alrededor de su borde interior. 3) Rotando la calzada alrededor de su borde exterior. El primer procedimiento es el más conveniente, ya que los desniveles relativos de los bordes con respecto al eje son uniformes, produciendo un desarrollo más armónico y con menos distorsión de los bordes de la calzada. La Figura 3.61, muestra en forma esquemática y tridimensional, la transición del peralte de una curva circular, rotando la calzada alrededor de su eje central, donde: Lt N L e = = = = Longitud de transición. Longitud de aplanamiento. Longitud de la curva circular. Peralte necesario de la curva circular. La longitud de transición Lt, por simplicidad, se considera desde aquella sección transversal donde el carril exterior se encuentra a nivel o no tiene bombeo, hasta aquella sección donde la calzada tiene todo su peralte e completo. La longitud de aplanamiento N es la longitud necesaria para que el carril exterior pierda su bombeo o se aplane. 200 James Cárdenas Grisales Figura 3.61 Transición del peralte En términos generales, en las curvas circulares, con tramos sin espiral, la transición del peralte se desarrolla una parte en la tangente y la otra en la curva, exigiéndose en el PC y en el PT de la misma entre un 60% y un 80% del peralte total, prefiriéndose valores promedio de este rango. Por comodidad y apariencia, se recomienda que la longitud del tramo donde se realiza la transición del peralte debe ser tal que la pendiente longitudinal de los bordes relativa a la pendiente longitudinal del eje de la vía no debe ser mayor que un valor m. En este sentido, m se define como la máxima diferencia algebraica entre las pendientes longitudinales de los bordes de la calzada y el eje de la misma. La Tabla 3.18 presenta los valores máximos y mínimos recomendados de esta diferencia en función de la velocidad específica[10]. En la Figura 3.62, aparecen las mitades de las secciones transversales en bombeo y en peralte, lo mismo que el perfil parcial de la transición, donde se observa: 201 Diseño geométrico de carreteras Tabla 3.18 Valores máximos y mínimos de la pendiente relativa de los bordes de la calzada con respecto al eje VELOCIDAD ESPECÍFICA VCH (Km/h) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 PENDIENTE RELATIVA DE LOS BORDES CON RESPECTO AL EJE DE LA VÍA m MÁXIMA (%) MÍNIMA (%) 1.35 1.28 0.96 0.77 0.60 0.55 0.50 0.1(carril) 0.47 0.44 0.41 0.38 0.35 Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008. Figura 3.62 202 Secciones transversales y perfil parcial de la transición del peralte James Cárdenas Grisales En el triángulo rectángulo B'E'G: B' G 1  E' G m Pero, B' G  Lt y E' G  Carril e  , entonces, Lt  Carril e  m (3-35) En el triángulo rectángulo AFB: N 1  AF m Pero, AF  Carril Bombeo  , entonces, N Carril Bombeo  m (3-36) Cuando el número de carriles que rotan es mayor que uno (1), como es el caso de vías de múltiples carriles de doble sentido sin separador, es conveniente el uso de un factor de ajuste, para evitar una excesiva longitud de transición y desniveles muy altos entre los bordes y el eje de rotación. Por lo tanto, las ecuaciones (3-35) y (3-36), se convierten en: w nl bw e  m w nl bw Bombeo  N m Lt  (3-37) (3-38) Donde: w = Ancho del carril. nl = Número de carriles que rotan. bw = Factor de ajuste debido al número de carriles que giran. En la Tabla 3.19 se indican los factores de ajuste, los cuales son recomendados por la AASHTO[1], sobre bases meramente empíricas, obtenidos mediante la siguiente expresión: 203 Diseño geométrico de carreteras bw  1  0.5 nl  1 (3-39) nl Tabla 3.19 Factores de ajuste por el número de carriles rotados NÚMERO DE CARRILES QUE ROTAN nl 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 FACTOR DE AJUSTE bw 1.00 0.83 0.75 0.70 0.67 0.64 INCREMENTO EN LA LONGITUD CON RESPECTO A LA DE UN CARRIL ROTADO (=nl bw) 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C. 2004. En la Figura 3.63 se ilustran los bosquejos que indican los carriles que rotan respecto a su eje de rotación. Figura 3.63 204 Disposición de los carriles que rotan respecto a su eje de rotación James Cárdenas Grisales EJEMPLO 3.28: Abscisas y posición de los bordes en la transición del peralte de una curva circular simple Datos: Para el diseño de una curva circular simple en una carretera principal de una calzada, se dispone de la siguiente información: Velocidad específica Radio de la curva Deflexión al PI Abscisa del PI Ancho de la calzada Bombeo normal Transición = 60 Km/h = Rmín =  = 106 30'D = K6+582.930 = 7.30m (dos carriles) = 2% = 70% en recta Calcular: Los elementos, las abscisas y la posición de los bordes con respecto al eje en aquellas secciones importantes en la transición del peralte de esta curva, tanto a la entrada como a la salida, si la rotación de la calzada se realiza alrededor del eje. Solución: a) Elementos Radio mínimo: Rmín Como se tiene una curva de radio mínimo, según la Tabla 3.14, para una velocidad específica de 60 Km/h, su valor es: Rmín  113 m Peralte máximo: emáx También de acuerdo con la Tabla 3.14, para una velocidad específica de 60 Km/h, su valor es: emáx  8.0% 205 Diseño geométrico de carreteras Tangente: T T  R tan  106 30'  Δ   151.325 m  113 tan 2 2   Longitud de la curva: Ls Ls  πRΔ π 113 106 30'   210.042 m 180  180  Abscisa del: PC Abscisa del PC  Abscisa del PI  T  K6  582.930  151.325  K6  431.605 Abscisa del: PT Abscisa del PT  Abscisa del PC  Ls  K6  431.605  210.042  K6  641.647 Pendiente relativa de los bordes: m Según la Tabla 3.18, para una velocidad específica de 60 Km/h, y utilizando el valor máximo, se tiene que: m  0.60% Longitud de transición: Lt De acuerdo con la ecuación (3-35): Lt  Carril emáx  3.65 m 8.0%    48.667 m m 0.60% Longitud de aplanamiento: N De acuerdo con la ecuación (3-36): N Carril Bombeo  3.65 m 2.0%    12.167 m m 0.60% b) Abscisas en secciones importantes de la transición Para una mejor comprensión en el cálculo de estas abscisas es recomendable realizar un dibujo en planta de la curva, que muestre sus 206 James Cárdenas Grisales respectivas tangentes y la transición del peralte, tal como lo representa la Figura 3.64, para la cual: Figura 3.64 Planta de la transición del peralte Abscisa donde termina el bombeo normal: sección a-a'-a" Abscisa  Abscisa PC  0.7Lt  N Abscisa  K6  431.605  0.7 48.667   12.167  K 6  385.371 Abscisa donde el carril exterior se aplana: sección b-b'-b" Abscisa  Abscisa PC  0.7Lt Abscisa  K6  431.605  0.7 48.667   K 6  397.538 Abscisa donde el peralte es igual al bombeo: sección c-c'-c" Abscisa  Abscisa sección b - b'-b"   N 207 Diseño geométrico de carreteras Abscisa  K6  397.538  12.167  K 6  409.705 Abscisa donde empieza el peralte máximo: sección e-e'-e" Abscisa  Abscisa PC  0.3Lt Abscisa  K6  431.605  0.3 48.667   K 6  446.205 c) Posición de los bordes con respecto al eje La posición de los bordes, exterior e interior, con respecto al eje en las secciones importantes, se aprecia muy bien dibujando un perfil de ellos, como lo muestra la Figura 3.65. Las diferencias de altura entre los bordes y el eje en las respectivas secciones, se calculan multiplicando el ancho del carril por el peralte respectivo en cada una de ellas, así: Figura 3.65 Perfil longitudinal de la transición del peralte aa'  aa"  3.65 0.020   0.073 m  7.30 cm bb'  3.65 0.020   0.073 m  7.30 cm bb"  3.65 0.000   0.000 m  0.00 cm 208 James Cárdenas Grisales cc'  cc"  3.65 0.020   0.073 m  7.30 cm dd'  dd"  3.65 0.056   0.204m  20.44cm ee'  ee"  3.65 0.080   0.292 m  29.20 cm EJEMPLO 3.29: Abscisas y cotas de los bordes en la transición del peralte de una curva circular simple Datos: En el diseño de una curva circular simple de una carretera secundaria, se conoce: Velocidad específica Radio de la curva Abscisa del PC Cota del PC Ancho de la calzada Bombeo normal Transición Pendiente longitudinal del eje de la vía = 50 Km/h = Rmín = K4+320.470 = 1500.000m = 7.30m (dos carriles) = 2% = 80% en recta = +8% Calcular: a) La longitud de transición y el aplanamiento. b) La cota del borde exterior en la sección del PC. c) La cota del borde interior donde toda la calzada tiene un peralte igual al bombeo. d) La abscisa y las cotas del borde exterior e interior donde empieza el peralte máximo. Solución: a) Longitud de transición y aplanamiento Radio mínimo: Rmín Según la Tabla 3.14, para una velocidad específica de 50 Km/h, su valor es: 209 Diseño geométrico de carreteras Rmín  73 m Peralte máximo: emáx También de acuerdo con la Tabla 3.14, para una velocidad específica de 50 Km/h, su valor es: emáx  8.0% Pendiente relativa de los bordes: m Según la Tabla 3.18, para una velocidad específica de 50 Km/h, y utilizando el valor máximo, se tiene que: m  0.77% Longitud de transición: Lt Lt  Carril emáx  3.65 m 8.0%    37.922 m m 0.77% Longitud de aplanamiento: N N Carril Bombeo  3.65 m 2.0%    9.481m m 0.77% b) Cota borde exterior sección del PC Para el cálculo de cotas y abscisas, es recomendable dibujar un perfil parcial de la transición del peralte, tal como se ilustra en la Figura 3.66, para la cual: Cota del punto: A Cota de A  Cota PC  PC  A PC  A  Carril Peralte   3.65 e'  Para determinar el peralte e', se observa que el triángulo BCD es semejante al triángulo BAPC. Entonces: PC  A 0.8 Lt  CD 1.0 Lt 210 James Cárdenas Grisales Figura 3.66 Perfil parcial de la transición del peralte CD  Carril e máx  Carril e'   0.8 Carril e máx  , e'  0.8 e máx   0.8 8%   6.4% PC  A  3.65 0.064   0.234m , por lo tanto, , luego, Cota de A  1500.000  0.234  1500.234m c) Cota borde interior, punto E Cota de E  Cota de F  FE Cota F  Cota PC  0.08 0.8Lt  N  Cota F  1500.000  0.08 30.338  9.481  1498.331m FE  Carril Peralte   3.65 0.02   0.073m , por lo tanto, Cota de E  1498.331  0.073  1498.258m 211 Diseño geométrico de carreteras d) Abscisa y cotas para emáx Abscisa: Abscisa  Abscisa PC  0.2Lt Abscisa  K4  320.470  7.584  K 4  328.054 Cota borde exterior: Cota de C  Cota de D  DC DC  Carril emáx   3.65 0.08   0.292m Cota de D  Cota PC  0.08 7.584   1500.000  0.607  1500.607 m Cota de C  1500.607  0.292  1500.899 m Cota borde interior: Cota de G  Cota de D  DG , DG  DC  0.292m Cota de G  1500.607  0.292  1500.315 m EJEMPLO 3.30: Cotas de los bordes en secciones específicas de la transición del peralte de una curva circular simple Datos: En el diseño de una curva circular simple se dispone de la siguiente información: Deflexión al PI Velocidad específica Radio de la curva Bombeo normal Cota del eje al final del bombeo normal Pendiente longitudinal del eje de la vía Ancho de la calzada Transición =  = 14 20'D = VCH = 70 Km/h = R = 202m = 2% = 500.000m = -4% = 7.30m (dos carriles) = 70% en recta Calcular: a) La longitud de transición y el aplanamiento. b) Si el tercio central de la curva con el peralte completo e tiene una longitud mayor que Ls /3. 212 James Cárdenas Grisales c) La cota del borde interior 16 metros antes del PC. d) Las cotas del borde exterior 14 y 45 metros después del PC. Solución: a) Longitud de transición y aplanamiento Peralte: e Según la Tabla 3.16, para que la curva diseñada con un radio R=202m, opere a una velocidad específica VCH=70 Km/h, se le debe asignar un peralte e=7.8%. Pendiente relativa de los bordes: m De acuerdo con la Tabla 3.18, para una velocidad específica VCH de 70 Km/h, y utilizando el valor máximo, se tiene que m = 0.55%. Longitud de transición: Lt Lt  Carril e  3.65 m 7.8%    51.764m m 0.55% Longitud de aplanamiento: N N Carril Bombeo  3.65 m 2.0%    13.273 m m 0.55% b) Chequeo del tercio central de la curva Longitud de la curva: Ls Ls  πRΔ π 202 14  20'   50.533m 180  180  , Ls 50.533  16.844m 3 3 Longitud de la curva consumida en transición: 30% por el lado del PC y 30% por el lado del PT, para un total de: 0.6 Lt  0.6 51.764   31.058 m 213 Diseño geométrico de carreteras Longitud de la curva con todo el peralte del 7.8%: La parte central de la curva con todo el peralte del 7.8% tiene una longitud de: Ls  0.6 Lt  50.533  31.058  19.475 m Puede observarse que, el tercio central de la curva con todo el peralte tiene una longitud de 19.475 metros, mayor que la tercera parte de la longitud de la curva, que es de 16.844 metros. c) Cota del borde interior 16 metros antes del PC Según la Figura 3.67, la cota que se quiere calcular es la del punto A. Cota de A  Cota de B  BA Cota de B  500.000  0.04N  N  x  N  x  16  0.7 L t , x  36.235  13.273  16  6.962 m Cota de B  500.000  0.0413.273  13.273  6.962   498.660 m Figura 3.67 214 Cotas de los bordes en secciones específicas James Cárdenas Grisales BA  Carril Peralte   3.65 e'  Para calcular el peralte e' correspondiente a esta sección, en los triángulos semejantes CEPC y CDB, se tiene: DB Nx  E  PC 0.7 Lt Carril e'  13.273  6.962  , e'  3.049% , entonces, Carril 5.46%  36.235 , por lo tanto, BA  3.65 0.03049   0.111m Cota de A  498.660  0.111  498.549m d) Cotas del borde exterior 14 y 30 metros después del PC Cota del punto: G Cota de G  Cota de B  0.0416  14   Carril e"  e" 36.235  14  , e"  7.570% 7.8% 36.235  15.529 Cota de G  498.660  0.0416  14   3.65 0.0757   497.736 m Cota del punto: H Como puede observarse en el perfil anterior, la sección que contiene el punto H se encuentra en el tercio central de la curva, él cual posee un peralte del 7.8%. Entonces: Cota de H  Cota de B  0.0416  30   Carril 0.078  Cota de H  498.660  0.0416  30   3.65 0.078   497.105 m EJEMPLO 3.31: Transición del peralte entre curvas de igual sentido Datos: Se trata de las transiciones de dos curvas izquierdas, para las cuales se tienen los siguientes elementos: Velocidad específica de la curva 1 Velocidad específica de la curva 2 = VCH1 = 70 Km/h = VCH2 = 80 Km/h 215 Diseño geométrico de carreteras Radio de la curva 1 Radio de la curva 2 Abscisa del PT1 Cota del PT1 Ancho de la calzada Bombeo normal Pendiente longitudinal del eje de la vía Transición para ambas curvas Entre las transiciones de las dos curvas metros en bombeo normal. = R1 = 168m = R2 = 296m = K5+992.000 = 1000.000m = 7.30m (dos carriles) = 2% = -5% = 70% en recta existe una longitud de 15 Calcular: a) La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K6+005. b) La abscisa de aquella sección en la cual se ha logrado un peralte del 3% en el desarrollo de la transición de la segunda curva. c) La cota del borde derecho e izquierdo para la sección del PC2. Solución: Antes de calcular las cotas y abscisas pedidas, es necesario conocer los peraltes, las pendientes relativas de los bordes, y las longitudes de transición y aplanamiento: Peraltes: e1 , e2 De acuerdo con la Tabla 3.16, a la primera curva de radio R1=168m y velocidad específica VCH1=70 Km/h le corresponde un peralte e1=8.0%, y a la segunda curva de radio R2=296m y velocidad específica VCH2=80 Km/h le corresponde un peralte e2=7.6%. Pendiente relativa de los bordes: m Según la Tabla 3.18, a una velocidad específica VCH1=70 Km/h le corresponde un mmáx1=0.55%, y a una velocidad específica VCH2=80 Km/h un mmáx2=0.50%. Igualmente, para ambas velocidades el valor mínimo es mmín=0.1(Carril)=0.1(3.65)=0.365%. Por lo tanto, para uniformizar el diseño se adopta el valor de m=0.50% para ambas curvas, valor que se 216 James Cárdenas Grisales encuentra en el rango de los valores máximos y mínimos de la pendiente relativa de los bordes. Longitudes de transición: Lt1 , Lt2 Carril e1  3.65 m 8.0%    58.400 m m 0.50% Carril e2  3.65 m 7.6%  Lt 2    55.480 m m 0.50% Lt1  Longitudes de aplanamiento: N1 , N2 N1  N 2  a) Carril Bombeo  3.65 m 2.0%    14.600 m m 0.50% Cotas borde derecho e izquierdo en la abscisa K6+005 En la Figura 3.68 se muestra el perfil longitudinal de las transiciones entre las dos curvas, con sus peraltes, abscisas y puntos de cotas. Figura 3.68 Cotas de bordes y abscisas en secciones específicas 217 Diseño geométrico de carreteras Cota borde derecho = cota del punto: A Cota de A  Cota del PT1  0.05 13   Carril e'1  e'1 27.880  , e'1  3.819% 8.0% 58.400 Cota de A  1000.000  0.05 13   3.65 0.03819   999.489 m Cota borde izquierdo = cota del punto: B Cota de B  1000.000  0.05 13   3.65 0.03819   999.211m b) Abscisa para peralte del 3% en la segunda curva Abscisa  ?  Abscisa PT1  0.7 Lt1  N1  15  N 2  x Abscisa  ?  K5  992.000  40.880  14.600  15  14.600  x x 3%  , x  21.900 m 55.480 7.6% Abscisa  ?  K5  992.000  40.880  14.600  15  14.600  21.900 Abscisa  ?  K6  098.980 c) Cotas bordes derecho e izquierdo sección del PC2 Cota borde derecho = cota del punto: C Cota de C  Cota del PT1  0.05 0.7Lt1  N1  15  N 2  0.7 Lt 2   Carril 0.0532  Cota de C  1000.000  0.05 40.880  14.600  15  14.600  38.836   3.65 0.0532  Cota de C  993.998m Cota borde izquierdo = cota del punto: D Cota de C  1000.000 - 0.05 40.880  14.600  15  14.600  38.836   3.65 0.0532  Cota de D  993.610m EJEMPLO 3.32: Transición del peralte entre curvas de sentido contrario Datos: Además de la información dada en la Figura 3.69, para una carretera terciaria, se tiene: 218 James Cárdenas Grisales Cota al eje en el PT1 Pendiente longitudinal del eje de la vía Velocidad específica de la curva 1 Velocidad específica de la curva 2 Figura 3.69 = 500.000m = +6% = VCH1 = 30 Km/h = VCH2 = 40 Km/h Peraltado en curvas de diferente sentido Calcular: a) Las cotas en los puntos A, B y C. b) La cota del borde derecho en la abscisa K2+156. Solución: Para el cálculo de las cotas es necesario tener los peraltes y las respectivas longitudes de transición: Peraltes: e1 , e2 De acuerdo con la Tabla 3.17, a la primera curva de radio R1=32m para una velocidad específica VCH1=30 Km/h le corresponde un peralte e1=5.6%, y a la segunda curva de radio R2=56m para una velocidad específica VCH2=40 Km/h le corresponde un peralte e2=5.8%. 219 Diseño geométrico de carreteras Pendiente relativa de los bordes: m Según la Tabla 3.18, a una velocidad específica VCH1=30 Km/h le corresponde un mmáx1=1.28%, y a una velocidad específica VCH2=40 Km/h un mmáx2=0.96%. Para uniformizar el diseño se adopta el valor de m=0.96% para ambas curvas. Longitudes de transición: Lt1 , Lt2 Carril e1  3.00 m 5.6%    17.500 m m 0.96% Carril e2  3.00 m 5.8%  Lt 2    18.125 m m 0.96% Lt1  Peraltes al: PT1 y PC2 Al PT1  0.7 e1  0.7 5.6%   3.92% Al PC 2  0.7 e2  0.7 5.8%   4.06% Longitudes de transición al: PT1 y PC2 En recta al PT1  0.7 Lt1  0.7 17.500   12.250 m En curva al PT1  0.3 Lt1  0.3 17.500   5.250 m En recta al PC 2  0.7 Lt 2  0.7 18.125   12.688 m En curva al PC2  0.3 Lt 2  0.3 18.125   5.437 m a) Cotas en los puntos A, B y C De acuerdo con el perfil de los bordes de la Figura 3.70, se tiene: Cota del punto: A Cota de A  Cota del PT1  0.06 0.3Lt1   Carril e1  Cota de A  500.000  0.06 5.250   3.00 0.056   499.517 m Cota de los puntos: B y C En este caso, tanto el borde derecho como el izquierdo están a la misma altura, por lo que la sección es plana (del 0%). Cota de B  Cota de C  Cota del PT1  0.06 0.7Lt1  220