Segunda edición
ECOE EDICIONES
James Cárdenas Grisales
James Cárdenas Grisales
Ingeniero Civil egresado de la Universidad del
Cauca, Popayán, Colombia. Realizó estudios de
posgrado, con título de Especialista en Vías
Terrestres en el Instituto de Vías de la Universidad del Cauca; con título de Master of Science
en Ingeniería de Tránsito en la University of
Maryland, College Park, Maryland, USA; y con
título de Magíster en Ingeniería Industrial y de
Sistemas en la Universidad del Valle, Cali,
Colombia.
Profesor titular jubilado de la Universidad del
Valle, Cali, Colombia, de las asignaturas
Ingeniería de Tránsito, Trazado Geométrico de
Vías, y Análisis y Diseño de Intersecciones
Urbanas. Profesor de planta de la Pontificia
Universidad Javeriana, Cali, Colombia, de los
cursos Diseño Geométrico de Vías, Ingeniería
de Tránsito y Diseño Avanzado de Vías. Profesor
visitante, catedrático de los temas Ingeniería de
Tránsito Avanzado y Diseño Geométrico de Vías
Avanzado, en los programas de posgrado en
Vías, Tránsito y Transporte, en la Universidad del
Cauca, Popayán, Colombia; en la Escuela
Colombiana de Ingeniería Julio Garavito,
Bogotá, Colombia; en la Universidad Distrital
Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia; en
la Universidad del Norte, Barranquilla, Colombia; en la Universidad del Sinú, Montería,
Colombia; y en la Universidad de Cartagena,
Colombia.
Profesor visitante internacional, de las cátedras
de Ingeniería de Tránsito y Diseño Geométrico
de Carreteras y Vías Urbanas, en los Cursos
Intensivos de Transporte que se desarrollan en
las Repúblicas de México y Venezuela.
Ingeniero consultor, asesor y diseñador de
proyectos viales, de tránsito y transporte, en
una diversidad de entidades públicas y
privadas, en el ámbito local, regional, nacional e
internacional.
Diseño
Geométrico
de Carreteras
James Cárdenas Grisales
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
Cárdenas Grisales, James
Diseño geométrico de carreteras / James Cárdenas Grisales – 2ª. ed. –
Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013
544 p. – (Textos universitarios. Ingeniería)
Incluye bibliografía e índice temático
ISBN 978-958-648-859-4
1. Carreteras – Diseño 2. Ingeniería de carreteras I. Título II. Serie
CDD: 625.725 ed. 20
CO-BoBN– a835054
Colección: Ingeniería y arquitectura
Área: Ingeniería
Primera edición: Bogotá, D.C., octubre de 2002
Reimpresión: Bogotá, D.C., agosto de 2004
Reimpresión: Bogotá, D.C., abril de 2007
Reimpresión: Bogotá, D.C., octubre de 2008
Reimpresión: Bogotá, D.C., noviembre de 2010
Reimpresión: Bogotá, D.C., 2011
Segunda edición: Bogotá, abril de 2013
ISBN: 978-958-648-859-4
© James Cárdenas Grisales
E-mail: jamescg1@hotmail.com
© Ecoe Ediciones
E-mail: correo@ecoeediciones.com
www.ecoeediciones.com
Carrera 19 No. 63C-32, Pbx. 2481449, fax. 3461741
Coordinación editorial: Andrea Sierra Gómez
Autoedición: James Cárdenas Grisales
Diseño: Angélica García Reyes
Portada y fotografías: Juan David Cárdenas Angulo
Impresión: &RQWH[WRV*UiILFRV/WGD
Teléfono: 7427711 Bogotá
Impreso y hecho en Colombia
DEDICATORIA:
A Janet y Juan David
la esencia de mi vida, mi
adoración, la ternura, todo
A José Arturo ()
porque de él también aprendí a
sembrar un árbol
A María Isaura ()
porque desde el cielo me tiene
presente en sus oraciones
A Margoth ()
por el recuerdo imborrable de
mi linda hermana
A mis Hermanos
por su apoyo y el compartir
conmigo, son mi orgullo
CONTENIDO
CONTENIDO.....................................................................................................
LISTA DE TABLAS...........................................................................................
LISTA DE FIGURAS........................................................................................
PRÓLOGO........................................................................................................
INTRODUCCIÓN..............................................................................................
Capítulo 1
LAS CARRETERAS........................................................................................
1.1
1.2
1.3
GENERALIDADES........................................................................
CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS............................
1.2.1 Según su función.............................................................
1.2.2 Según el tipo de terreno................................................
1.2.3 Según su competencia..................................................
1.2.4 Según sus características.............................................
CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VÍA……………...
Capítulo 2
RUTAS Y LÍNEAS DE PENDIENTE.............................................................
2.1
2.2
2.3
2.4
FASES DEL PROYECTO DE UNA CARRETERA………...
2.1.1 Fase 1. Prefactibilidad....................................................
2.1.2 Fase 2. Factibilidad.........................................................
2.1.3 Fase 3. Diseños definitivos...........................................
SELECCIÓN DE RUTAS.............................................................
EVALUACIÓN DEL TRAZADO DE RUTAS..........................
LÍNEA DE PENDIENTE O DE CEROS...................................
2.4.1 Concepto............................................................................
2.4.2 Trazado de una línea de pendiente...........................
vii
xi
xiii
xix
xxi
1
1
3
3
3
6
7
7
15
15
15
16
17
18
20
21
21
22
vii
Diseño geométrico de carreteras
2.5
PROBLEMAS PROPUESTOS…...............................................
Capítulo 3
DISEÑO GEOMÉTRICO HORIZONTAL: PLANTA....................................
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
viii
CONCEPTOS..................................................................................
CURVAS CIRCULARES SIMPLES..........................................
3.2.1 Elementos geométricos que c aracterizan una
curva circular simple........................................................
3.2.2 Expresiones que relacionan los elementos
geométricos........................................................................
3.2.3 Expresión de la curvatura de una curva circular
simple..................................................................................
3.2.4 Deflexión de una curva circular simple.....................
3.2.5 Relación entre las c oordenadas planas y las
coordenadas polares.......................................................
3.2.6 Otros métodos de cálculo y loc alización de
curvas circulares simples...............................................
CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS...............................
3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios.........
3.3.2 Curvas circulares compuestas de tres radios........
ESTABILIDAD EN LA MARCHA, VELOCIDAD,
CURVATURA, PERALTE Y TRANSICIÓN............................
3.4.1 Velocidad de diseño.......................................................
3.4.2 Velocidad específica.......................................................
3.4.3 Desplazamiento de un vehículo sobre una curva
circular.................................................................................
3.4.4 Velocidad, curvatura, peralte y fricción lateral.......
3.4.5 Transición del peralte.....................................................
CURVAS ESPIRALES DE TRANSICIÓN..............................
3.5.1 Generalidades..................................................................
3.5.2 La espiral de Euler o Clotoide como curva de
transición............................................................................
3.5.3 Ecuaciones de la
Clotoide o espiral de
transición............................................................................
3.5.4 Elementos de enlace de un a curva circular
simple con espirales de transición Clotoides
iguales.................................................................................
3.5.5 Longitud mínima de la espiral de transición............
3.5.6 Longitud máxima de la espiral de transición...........
3.5.7 Longitud mínima de la curva circular central..........
ENTRETANGENCIAS HORIZONTALES...............................
32
37
37
38
38
39
42
48
55
141
145
145
159
174
174
176
188
192
199
230
230
233
236
242
248
254
254
267
James Cárdenas Grisales
3.7
3.6.1 Entretangencia mínima..................................................
3.6.2 Entretangencia máxima.................................................
PROBLEMAS PROPUESTOS....................................................
Capítulo 4
DISEÑO GEOMÉTRICO VERTICAL: RASANTE.......................................
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
CONCEPTO.....................................................................................
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE I NTEGRAN EL
ALINEAMIENTO VERTICAL......................................................
4.2.1 Tangentes verticales......................................................
4.2.2 Curvas verticales.............................................................
GEOMETRÍA DE LAS CU
RVAS VERTICALES
PARABÓLICAS...............................................................................
4.3.1 Curvas verticales simétricas........................................
4.3.2 Curvas verticales asimétricas......................................
4.3.3 Coeficiente angular de una curva vertical...............
VISIBILIDAD EN CARRETERAS..............................................
4.4.1 Principios............................................................................
4.4.2 Distancia de visibilidad de parada..............................
4.4.3 Distancia de visibilidad de adelantamiento.............
4.4.4 Distancia de visibilidad de encuentro........................
4.4.5 Evaluación de la visibilidad de un proyecto en
planos...................................................................................
CRITERIOS PARA LA DETERMINACIÓN DE LAS
LONGITUDES DE CURVAS VERTICALES..........................
4.5.1 Longitud mínima d e las curvas verticales con
visibilidad de parada.......................................................
4.5.2 Longitud mínima d e las curvas verticales con
visibilidad de adelantamiento.......................................
4.5.3 Longitud mínima d e las curvas verticales con
comodidad en la marcha...............................................
4.5.4 Longitud mínima d e las curvas verticales con
apariencia...........................................................................
4.5.5 Longitud máxima de las curvas verticales con
control por drenaje...........................................................
4.5.6 Longitud mínimum de curvas verticales...................
PROBLEMAS PROPUESTOS...................................................
267
268
268
307
307
308
308
313
313
313
323
326
358
358
358
367
371
372
376
376
383
385
386
386
387
394
ix
Diseño geométrico de carreteras
Capítulo 5
DISEÑO GEOMÉTRICO TRANSVERSAL: SECCIONES, ÁREAS Y
VOLÚMENES...................................................................................................
5.1
5.2
CONCEPTO.....................................................................................
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE INTEGRAN LA
SECCIÓN TRANSVERSAL........................................................
5.3
SOBRE-ANCHO EN LAS CURVAS.........................................
5.3.1 Vehículos rígidos.............................................................
5.3.2 Vehículos articulados.....................................................
5.3.3 Transición del sobre-ancho..........................................
5.4
SECCIONES TRANSVERSALES TÍPICAS, POSICIÓN
DE CHAFLANES Y ESTACAS DE CEROS..........................
5.4.1 Secciones transversales típicas..................................
5.4.2 Chaflanes o estacas de talud y estacas de
ceros....................................................................................
5.4.3 Posición de los chaflanes.............................................
5.5
ANCHOS DE BANCA Y ÁREAS DE LAS SECCIONES
TRANSVERSALES........................................................................
5.5.1 Anchos de banca.............................................................
5.5.2 Áreas de las secciones transversales.......................
5.6
VOLÚMENES DE TIERRA: CUBICACIÓN...........................
5.7
MOVIMIENTO DE VOLÚMENES DE TI ERRA Y
DIAGRAMA DE MASAS..............................................................
5.7.1 Transporte de material excavado...............................
5.7.2 Representación del diagrama de masas.................
5.7.3 Factor de compensación en el movimiento de
tierras...................................................................................
5.7.4 Uso del diagrama de masas........................................
5.8
PROBLEMAS PROPUESTOS...................................................
BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................
ÍNDICE TEMÁTICO.........................................................................................
x
405
405
405
410
411
413
416
420
420
420
423
424
424
431
447
462
462
463
467
468
477
493
495
James Cárdenas Grisales
LISTA DE TABLAS
Tabla 1.1
Tabla 2.1
Tabla 2.2
Tabla 3.1
Tabla 3.2
Tabla 3.3
Tabla 3.4
Tabla 3.5
Tabla 3.6
Tabla 3.7
Tabla 3.8
Tabla 3.9
Tabla 3.10
Tabla 3.11
Tabla 3.12
Tabla 3.13
Tabla 3.14
Tabla 3.15
Tabla 3.16
Tabla 3.17
Tabla 3.18
Tabla 3.19
Tabla 3.20
Tipos de terreno......................................................................................
Valores del inverso del coeficiente de tracción.......................................
Puntos, abscisas y cotas a lo largo de las rutas.....................................
Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple
derecha...................................................................................................
Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple
izquierda.................................................................................................
Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples de
distinto sentido........................................................................................
Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples del
mismo sentido.........................................................................................
Cartera de deflexiones para la curva circular..........................................
Cartera de coordenadas para localización de la curva circular...............
Cuadro de localización y elementos de las curvas horizontales.............
Cartera de localización de la curva compuesta de dos radios................
Velocidades de diseño de tramos homogéneos, VTR..............................
Velocidad específica de una curva horizontal VCH, incluida en un
tramo homogéneo con velocidad de diseño VTR.....................................
Diferencia entre la velocidad específica de la última curva horizontal
del tramo anterior y la primera curva horizontal del tramo analizado,
en Km/h...................................................................................................
Radios para deflexiones pequeñas.........................................................
Coeficientes de fricción transversal máximos, fTmáx................................
Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=8% y fricción
máxima, carreteras primarias y secundarias...........................................
Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=6% y fricción
máxima, carreteras terciarias..................................................................
Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=8%,
carreteras primarias y secundarias.........................................................
Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=6%,
carreteras terciarias.................................................................................
Valores máximos y mínimos de la pendiente relativa de los bordes de
la calzada con respecto al eje.................................................................
Factores de ajuste por el número de carriles rotados.............................
Clotoide de parámetro K=8......................................................................
4
21
26
63
67
72
78
101
108
115
153
176
181
184
188
196
196
197
198
199
202
204
236
xi
Diseño geométrico de carreteras
Tabla 3.21
Tabla 3.22
Tabla 3.23
Tabla 3.24
Tabla 4.1
Tabla 4.2
Tabla 4.3
Tabla 4.4
Tabla 4.5
Tabla 4.6
Tabla 4.7
Tabla 4.8
Tabla 4.9
Tabla 4.10
Tabla 4.11
Tabla 4.12
Tabla 5.1
Tabla 5.2
Tabla 5.3
Tabla 5.4
Tabla 5.5
Tabla 5.6
Tabla 5.7
Tabla 5.8
Tabla 5.9
Tabla 5.10
Tabla 5.11
Tabla 5.12
Tabla 5.13
Tabla 5.14
Tabla 5.15
Tabla 5.16
Tabla 5.17
xii
Variación de la aceleración centrífuga.....................................................
Cartera de localización de la curva espiral-circular-espiral.....................
Cartera de localización de una curva circular por el método de las
normales sobre la tangente.....................................................................
Cartera de localización de una curva circular desde el PC y desde el
PI.............................................................................................................
Pendiente media máxima del corredor de ruta (%) en función de la
velocidad de diseño del tramo homogéneo (VTR)....................................
Relación entre la pendiente máxima (%) en función de la velocidad
específica de la tangente vertical (VTV) ..................................................
Longitud mínima de la tangente vertical..................................................
Cartera de diseño de rasante, curva vertical convexa.............................
Cartera de diseño de rasante, curva vertical cóncava.............................
Coeficientes de fricción longitudinal para pavimentos húmedos.............
Distancias de visibilidad de parada en tramos a nivel.............................
Distancias de visibilidad de parada en tramos con pendiente.................
Elementos que conforman la distancia de visibilidad de
adelantamiento en carreteras de dos carriles dos sentidos....................
Mínimas distancias de visibilidad de adelantamiento en carreteras de
dos carriles dos sentidos........................................................................
Oportunidades de adelantar por tramos de 5 kilómetros.........................
Valores mínimos de kv para curvas verticales convexas y cóncavas
con visibilidad de parada (criterio de seguridad).....................................
Anchos recomendados de calzada en recta...........................................
Anchos recomendados de bermas.........................................................
Valores recomendados para el bombeo.................................................
Anchos mínimos recomendados de derechos de vía.............................
Dimensiones de los vehículos de tipo rígido en el cálculo del sobreancho.......................................................................................................
Cartera de chaflanes en recta. Ejemplo 5.4............................................
Cartera de cubicación. Ejemplo 5.4........................................................
Cartera de chaflanes y topografía. Ejemplo 5.5......................................
Áreas y volúmenes. Ejemplo 5.5.............................................................
Cartera de chaflanes. Ejemplo 5.6..........................................................
Cartera para elaborar la curva masa.......................................................
Cartera de chaflanes. Problema 5.2.......................................................
Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.3...................................
Cartera de chaflanes en recta. Problema 5.6.........................................
Áreas. Problema 5.8...............................................................................
Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.11.................................
Cartera de chaflanes y topografía. Problema 5.12.................................
251
264
293
295
310
310
311
331
333
364
366
367
370
370
371
383
407
408
408
410
412
450
455
455
457
458
469
477
479
480
482
484
485
James Cárdenas Grisales
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1
Figura 1.2
Figura 1.3
Figura 2.1
Figura 2.2
Figura 2.3
Figura 2.4
Figura 2.5
Figura 2.6
Figura 2.7
Figura 2.8
Figura 2.9
Figura 3.1
Figura 3.2
Figura 3.3
Figura 3.4
Figura 3.5
Figura 3.6
Figura 3.7
Figura 3.8
Figura 3.9
Figura 3.10
Figura 3.11
Figura 3.12
Figura 3.13
Figura 3.14
Figura 3.15
Figura 3.16
Figura 3.17
Figura 3.18
Figura 3.19
Figura 3.20
Figura 3.21
Figura 3.22
Figura 3.23
Tipos de terreno en carreteras……………………………………………..
Eje de una vía en el espacio tridimensional............................................
Diseño geométrico en planta y en perfil del eje de una vía.....................
Concepto de línea de pendiente.............................................................
Línea de ceros en un plano.....................................................................
Estudio de rutas......................................................................................
Perfil longitudinal de rutas.......................................................................
Trazado de líneas de pendiente o de ceros............................................
Perfil longitudinal de líneas de pendiente o de ceros.............................
Estudio de rutas. Problema 2.1...............................................................
Trazado de líneas de pendiente o de ceros. Problema 2.2.....................
Pendiente ponderada máxima uniforme. Problema 2.3..........................
Elementos geométricos de una curva circular simple.............................
Curvatura por el sistema arco-grado......................................................
Curvatura por el sistema cuerda-grado..................................................
Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado........................
Concepto de ángulo de deflexión...........................................................
Deflexión de una curva circular. Caso particular....................................
Deflexión de una curva circular. Caso general........................................
Coordenadas planas y coordenadas polares.........................................
Curva circular simple derecha................................................................
Curva circular simple izquierda...............................................................
Curvas circulares simples de sentido contrario......................................
Ejemplo 3.6.............................................................................................
Deflexiones de curvas circulares simples del mismo sentido.................
Ejemplo 3.7.............................................................................................
Curvas circulares simples del mismo sentido.........................................
Distancia entre los centros de las curvas...............................................
Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada.........................
Curva circular simple tangente a tres alineamientos...............................
Ejemplo 3.10...........................................................................................
Curva de radio dado y PI inaccesible.....................................................
Ejemplo 3.11...........................................................................................
Curva de tangente dada y PI inaccesible...............................................
Ejemplo 3.12...........................................................................................
6
10
12
22
24
25
26
30
32
33
34
35
39
42
45
46
49
51
54
56
59
64
68
73
74
77
79
81
82
85
88
88
91
91
94
xiii
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.24
Figura 3.25
Figura 3.26
Figura 3.27
Figura 3.28
Figura 3.29
Figura 3.30
Figura 3.31
Figura 3.32
Figura 3.33
Figura 3.34
Figura 3.35
Figura 3.36
Figura 3.37
Figura 3.38
Figura 3.39
Figura 3.40
Figura 3.41
Figura 3.42
Figura 3.43
Figura 3.44
Figura 3.45
Figura 3.46
Figura 3.47
Figura 3.48
Figura 3.49
Figura 3.50
Figura 3.51
Figura 3.52
Figura 3.53
Figura 3.54
Figura 3.55
Figura 3.56
Figura 3.57
Figura 3.58
Figura 3.59
Figura 3.60
Figura 3.61
Figura 3.62
Figura 3.63
Figura 3.64
Figura 3.65
Figura 3.66
Figura 3.67
xiv
Curvas circulares de tangentes paralelas...............................................
Ejemplo 3.13...........................................................................................
Coordenadas del centro de una curva circular........................................
Ejemplo 3.14...........................................................................................
Vías que se interceptan...........................................................................
Cálculo de una curva circular por coordenadas.......................................
Ejemplo 3.16...........................................................................................
Localización de curvas horizontales circulares simples..........................
Desplazamiento paralelo de la tangente de salida..................................
Ejemplo 3.18...........................................................................................
Ecuación de empalme curva a curva......................................................
Ejemplo 3.19...........................................................................................
Ecuación de empalme curva a recta.......................................................
Ejemplo 3.20............................................................................................
Ecuación de empalme entre una variante y una vía antigua..................
Ejemplo 3.21...........................................................................................
Ecuación de empalme por desplazamiento de la tangente común.........
Ejemplo 3.22...........................................................................................
Ecuación de empalme por rotación de la tangente común.....................
Ejemplo 3.23...........................................................................................
Ecuación de empalme entre dos vías inicialmente paralelas..................
Cálculo de una curva circular simple por normales a la tangente...........
Cálculo de una curva circular simple desde el PI....................................
Curva circular compuesta de dos radios.................................................
Ejemplo de una curva circular compuesta de dos radios.......................
Ejemplo 3.25...........................................................................................
Ecuación de empalme con curvas circulares simples y compuestas......
Elementos de una curva circular compuesta de tres radios....................
Caso general de una curva circular compuesta de tres radios...............
Casos de curvas circulares compuestas de tres radios..........................
Ejemplo de una curva circular compuesta de tres radios........................
Ejemplo 3.27...........................................................................................
Curvas circulares compuestas de dos y tres radios................................
Efecto de la inclinación transversal de la calzada sobre un vehículo
circulando en curva.................................................................................
Caso Wp=Fp............................................................................................
Caso Wp<Fp............................................................................................
Caso Wp>Fp............................................................................................
Transición del peralte..............................................................................
Secciones transversales y perfil parcial de la transición del peralte.......
Disposición de los carriles que rotan respecto a su eje de rotación........
Planta de la transición del peralte...........................................................
Perfil longitudinal de la transición del peralte..........................................
Perfil parcial de la transición del peralte..................................................
Cotas de los bordes en secciones específicas........................................
95
96
97
99
100
103
109
110
116
118
119
121
121
124
126
129
130
134
134
138
139
142
143
146
149
154
156
160
163
165
167
169
171
190
191
191
192
201
202
204
207
208
211
214
James Cárdenas Grisales
Figura 3.68
Figura 3.69
Figura 3.70
Figura 3.71
Figura 3.72
Figura 3.73
Figura 3.74
Figura 3.75
Figura 3.76
Figura 3.77
Figura 3.78
Figura 3.79
Figura 3.80
Figura 3.81
Figura 3.82
Figura 3.83
Figura 3.84
Figura 3.85
Figura 3.86
Figura 3.87
Figura 3.88
Figura 3.89
Figura 3.90
Figura 3.91
Figura 3.92
Figura 3.93
Figura 3.94
Figura 3.95
Figura 3.96
Figura 3.97
Figura 3.98
Figura 3.99
Figura 3.100
Figura 3.101
Figura 3.102
Figura 3.103
Figura 3.104
Figura 3.105
Figura 3.106
Figura 3.107
Figura 3.108
Figura 3.109
Figura 3.110
Cotas de bordes y abscisas en secciones específicas............................
Peraltado en curvas de diferente sentido................................................
Cotas de bordes en secciones específicas.............................................
Peraltado en curvas de diferente sentido, con cambios de pendiente...
Abscisas y cotas de bordes en secciones específicas............................
Peralte en una curva compuesta de dos radios......................................
Perfil del peralte en una curva compuesta de dos radios........................
Curvatura en el enlace de tramos rectos con una curva circular simple
Curvatura en el enlace de tramos rectos con curvas circulares
compuestas.............................................................................................
Trayectoria de los vehículos en una curva circular..................................
Curvatura en enlace de tramos rectos con una curva circular con
curvas de transición.................................................................................
La curva de transición entre la recta y el arco circular............................
Clotoide de parámetro K=8......................................................................
Elementos de la Clotoide o espiral..........................................................
Elementos de la curva simétrica Espiral-Circular-Espiral........................
Vehículo girando en curva.......................................................................
Longitud mínima de la espiral de acuerdo al peralte...............................
Problema 3.5...........................................................................................
Problema 3.6...........................................................................................
Problema 3.7...........................................................................................
Problema 3.8...........................................................................................
Problema 3.9...........................................................................................
Problema 3.10.........................................................................................
Problema 3.11.........................................................................................
Problema 3.12.........................................................................................
Problema 3.13.........................................................................................
Problema 3.14.........................................................................................
Problema 3.15.........................................................................................
Problema 3.16.........................................................................................
Problema 3.17.........................................................................................
Problema 3.18.........................................................................................
Problema 3.19.........................................................................................
Problema 3.20.........................................................................................
Problema 3.21.........................................................................................
Problema 3.22.........................................................................................
Problema 3.23.........................................................................................
Problema 3.24.........................................................................................
Problema 3.25.........................................................................................
Problema 3.26.........................................................................................
Problema 3.27.........................................................................................
Problema 3.28.........................................................................................
Problema 3.29.........................................................................................
Problema 3.30.........................................................................................
217
219
221
222
224
226
228
231
231
232
233
234
236
237
243
249
252
270
271
272
273
274
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276
277
277
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283
284
285
286
287
288
288
289
290
291
292
xv
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.111
Figura 3.112
Figura 3.113
Figura 3.114
Figura 3.115
Figura 3.116
Figura 3.117
Figura 3.118
Figura 3.119
Figura 3.120
Figura 4.1
Figura 4.2
Figura 4.3
Figura 4.4
Figura 4.5
Figura 4.6
Figura 4.7
Figura 4.8
Figura 4.9
Figura 4.10
Figura 4.11
Figura 4.12
Figura 4.13
Figura 4.14
Figura 4.15
Figura 4.16
Figura 4.17
Figura 4.18
Figura 4.19
Figura 4.20
Figura 4.21
Figura 4.22
Figura 4.23
Figura 4.24
Figura 4.25
Figura 4.26
Figura 4.27
Figura 4.28
Figura 4.29
Figura 4.30
Figura 4.31
Figura 4.32
Figura 4.33
xvi
Problema 3.32.........................................................................................
Problema 3.37.........................................................................................
Problema 3.38.........................................................................................
Problema 3.42.........................................................................................
Problema 3.43.........................................................................................
Problema 3.44.........................................................................................
Problema 3.45.........................................................................................
Problema 3.46.........................................................................................
Problema 3.48.........................................................................................
Problema 3.49.........................................................................................
La tangente vertical.................................................................................
Parábola de eje vertical, perfectamente simétrica...................................
Diferencia algebraica entre las pendientes..............................................
Significado de i. Tipos de curvas verticales.............................................
Punto máximo de una curva vertical simétrica........................................
Curva vertical asimétrica.........................................................................
Punto mínimo de una curva vertical asimétrica.......................................
Coeficiente angular de una curva vertical................................................
Curva vertical convexa simétrica.............................................................
Curva vertical cóncava simétrica.............................................................
Curva vertical simétrica por un punto obligado........................................
Ejemplo de punto máximo de una curva vertical simétrica......................
Curva vertical simétrica por un punto mínimo.........................................
Ejemplo 4.6..............................................................................................
Curva vertical compuesta........................................................................
Ejemplo 4.7..............................................................................................
Curvas verticales simétricas que se cruzan............................................
Ejemplo 4.8..............................................................................................
Pendiente en una curva vertical restringida.............................................
Ejemplo 4.9..............................................................................................
Curva vertical sobre una cota obligada...................................................
Ejemplo 4.10............................................................................................
Curvas verticales tangentes....................................................................
Ejemplo 4.11............................................................................................
Rasantes que se cruzan, a desnivel........................................................
Ejemplo 4.12............................................................................................
Curva vertical en un paso inferior............................................................
Ejemplo 4.13............................................................................................
Máximos entre curvas verticales simétricas.............................................
Ejemplo de curva vertical asimétrica........................................................
Distancia de visibilidad de parada...........................................................
Relación entre la velocidad, el tiempo y la distancia, en movimiento
uniformemente desacelerado..................................................................
Distancia de visibilidad de adelantamiento en carreteras de dos
carriles dos sentidos................................................................................
294
296
297
300
301
302
303
303
305
306
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315
319
321
322
324
325
327
329
332
334
336
338
339
340
342
343
344
344
345
346
347
348
349
350
352
352
354
354
356
359
361
368
James Cárdenas Grisales
Figura 4.34
Figura 4.35
Figura 4.36
Figura 4.37
Figura 4.38
Figura 4.39
Figura 4.40
Figura 4.41
Figura 4.42
Figura 4.43
Figura 4.44
Figura 4.45
Figura 4.46
Figura 4.47
Figura 4.48
Figura 5.1
Figura 5.2
Figura 5.3
Figura 5.4
Figura 5.5
Figura 5.6
Figura 5.7
Figura 5.8
Figura 5.9
Figura 5.10
Figura 5.11
Figura 5.12
Figura 5.13
Figura 5.14
Figura 5.15
Figura 5.16
Figura 5.17
Figura 5.18
Figura 5.19
Figura 5.20
Figura 5.21
Figura 5.22
Figura 5.23
Figura 5.24
Figura 5.25
Figura 5.26
Evaluación y medición de las distancias de visibilidad en carreteras.....
Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 1: Dp > Lv.........
Curva vertical convexa con visibilidad de parada. Caso 2: Dp < Lv.........
Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 1: Dp > Lv.........
Curva vertical cóncava con visibilidad de parada. Caso 2: Dp < Lv.........
Longitud de una curva vertical convexa con base en criterios................
Longitud de una curva vertical cóncava con base en criterios................
Problema 4.1.............................................................................................
Problema 4.2...........................................................................................
Problema 4.5............................................................................................
Problema 4.7............................................................................................
Problema 4.11..........................................................................................
Problema 4.13.........................................................................................
Problema 4.14.........................................................................................
Problema 4.15.........................................................................................
Sección transversal típica mixta, pavimentada en recta.........................
Sobre-ancho en las curvas, vehículos rígidos.........................................
Sobre-ancho en las curvas, vehículos articulados..................................
Transición del sobre-ancho en las curvas...............................................
Secciones transversales típicas..............................................................
Posición de las estacas de chaflanes y de ceros....................................
Planta de chaflanes y ceros....................................................................
Posición de los chaflanes........................................................................
Ancho de banca en recta y en corte.......................................................
Ancho de banca en recta y en terraplén.................................................
Ancho de banca en curva y en corte......................................................
Ancho de banca en curva y en terraplén................................................
Ancho de banca en recta y sección mixta..............................................
Área sección homogénea simple en recta, por figuras geométricas y
coordenadas...........................................................................................
Área sección homogénea simple en recta, por las coordenadas de los
vértices....................................................................................................
Ancho de banca y área, por figuras geométricas y coordenadas...........
Ejemplo de cálculo del área por las coordenadas de los vértices.........
Área sección mixta simple en recta por las coordenadas de los
vértices....................................................................................................
Área sección mixta por las coordenadas de los vértices........................
Área sección homogénea simple en curva, por figuras geométricas......
Área sección homogénea simple en curva, por chaflanes......................
Área sección homogénea simple en curva, por coordenadas de los
vértices....................................................................................................
Área sección homogénea simple en curva, por coordenadas................
Área sección mixta compuesta en curva................................................
Área sección mixta compuesta en curva, por chaflanes.........................
El prismoide en carreteras......................................................................
374
376
378
380
382
388
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403
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412
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434
436
438
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440
442
443
444
445
446
447
448
xvii
Diseño geométrico de carreteras
Figura 5.27
Figura 5.28
Figura 5.29
Figura 5.30
Figura 5.31
Figura 5.32
Figura 5.33
Figura 5.34
Figura 5.35
Figura 5.36
Figura 5.37
Figura 5.38
Figura 5.39
Figura 5.40
Figura 5.41
Figura 5.42
Figura 5.43
Figura 5.44
Figura 5.45
Figura 5.46
Figura 5.47
xviii
Prismoide, tronco de pirámoide y pirámoide...........................................
Abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros.........................................
Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.4....
Áreas de las secciones por el método de los chaflanes. Ejemplo 5.5....
Cálculo de ancho de banca, talud y área................................................
Posición de chaflanes y cálculo de área.................................................
Perfil longitudinal y diagrama de masas…………………………………..
Propiedades del diagrama de masas……………………………………....
Ejemplo numérico del diagrama de masas………………………………..
Distancia media de acarreo longitudinal…………………………………....
Problema 5.1...........................................................................................
Problema 5.4...........................................................................................
Problema 5.7...........................................................................................
Problema 5.8...........................................................................................
Problema 5.9...........................................................................................
Problema 5.13.........................................................................................
Problema 5.14.........................................................................................
Problema 5.15.........................................................................................
Problema 5.16.........................................................................................
Problema 5.17.........................................................................................
Problema 5.18.........................................................................................
450
451
452
456
458
460
464
466
470
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482
483
486
487
488
489
490
491
James Cárdenas Grisales
PRÓLOGO
Me es muy grato presentar a los profesionales de la ingeniería vial y a
sus estudiantes universitarios, la publicación Diseño Geométrico de
Carreteras, del profesor universitario y consultor nacional e
internacional, ingeniero James Cárdenas Grisales.
Este libro recoge la amplia experiencia del ingeniero James Cárdenas,
tanto en la docencia como en el ejercicio profesional en la ingeniería
vial, y en especial en el diseño geométrico de carreteras. Como
consecuencia de la excelente formación académica, la amplitud de
conocimientos y experiencias, la voluntad, la disciplina y el acentuado
sentido analítico del autor, el libro es, amplio en conceptos básicos,
suficiente en la exposición de los elementos teóricos fundamentales,
preciso en los criterios técnicos y científicos utilizados, y desde luego,
didáctico con la aplicación práctica de todo lo anterior, mediante casos
típicos de cada uno de los temas tratados, que con indicaciones
precisas aclaran y afianzan los conceptos y criterios de diseño
entregados.
La orientación que el autor da en la cátedra, el enfoque práctico del
cual damos fe los conocedores de su actividad en el campo de la
consultoría, es la filosofía que el colega James Cárdenas ha plasmado
en este libro, cuyo conocimiento de éste por parte de los ingenieros,
les permitirá resolver las dificultades, atender con éxito y con plena
responsabilidad el compromiso de diseñar carreteras con los más altos
estándares, para brindar a los usuarios mejores condiciones de
operación, comodidad, economía y seguridad.
James Cárdenas Grisales, Vallecaucano de pura cepa, obtuvo el grado
de Ingeniero Civil en 1974 en la Universidad del Cauca de Popayán
xix
Diseño geométrico de carreteras
Colombia, el título de Especialista en Vías Terrestres en 1974 en el
Instituto de Vías de la misma universidad, el título de Master of
Science en Ingeniería de Tránsito en 1981 en la Universidad de
Maryland de los Estados Unidos y el título de Magíster en Ingeniería
Industrial y de Sistemas en 1990 en la Universidad del Valle de Cali
Colombia. Desde su graduación, se ha dedicado a la docencia y a la
consultoría en las áreas de Diseño Vial, Tránsito y Transporte, lo cual
le ha generado un amplio bagaje de experiencia en el diseño y
solución de problemas de ingeniería vial, en numerosas y variadas
regiones del país y del exterior, en las cuales sus virtudes y cualidades
de recursividad en la aplicación de conceptos, de análisis para
escudriñar el origen y las limitaciones de teorías, métodos y técnicas,
de constancia y responsabilidad, le han dado un reconocido y
merecido prestigio como docente y consultor.
Felicitaciones al Ingeniero James Cárdenas Grisales, por el meritorio y
estimulante esfuerzo de escribir este libro, en el cual deja impresas sus
experiencias y conocimientos adquiridos a lo largo de la docencia
universitaria y la practica profesional.
IVÁN ALBERTO ESTRADA PAZ
Ingeniero Civil
Ex presidente de la Asociación de Ingenieros del Valle
Santiago de Cali, febrero de 2013
xx
James Cárdenas Grisales
INTRODUCCIÓN
En esta nueva edición de mi libro, DISEÑO GEOMÉTRICO DE
CARRETERAS, quedan plasmados los resultados logrados en este
fascinante campo de la ingeniería vial a lo largo de treinta y cinco
años de experiencia profesional, tanto académica como práctica, y que
hoy más que nunca llenan mi vida de una satisfacción y felicidad
inconmensurables.
La experiencia académica, fundamentalmente lograda en el ámbito de
pregrado, a través de la enseñanza de los cursos de Diseño Geométrico
de Vías en las Facultades de Ingeniería de la Universidad del Valle y
la Pontificia Universidad Javeriana de Cali; lo mismo que mediante la
enseñanza de los cursos de Diseño Geométrico Avanzado de Vías en
los programas de posgrado en la Escuela Colombiana de Ingeniería
Julio Garavito en Bogotá, la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas en Bogotá, la Universidad del Norte en Barranquilla, la
Universidad del Sinú en Montería y la Universidad de Cartagena en
Cartagena; e igualmente, como profesor internacional de los temas de
Diseño Geométrico de Vías Urbanas en los cursos intensivos de
transporte urbano que se han venido desarrollando en las repúblicas de
México y Venezuela.
La experiencia práctica, principalmente obtenida como asesor,
consultor y diseñador de una gran cantidad de proyectos viales en el
campo rural y urbano, nacionales e internacionales, en una diversidad
de entidades privadas y oficiales.
Por lo anterior, este libro lo he escrito con el propósito de que sea
consultado por estudiantes universitarios de pregrado y posgrado,
profesores y profesionales practicantes de la ingeniería de vías,
xxi
Diseño geométrico de carreteras
convencido que con el desarrollo de una gran cantidad de ejemplos de
casos típicos, se pueden aclarar y afianzar mejor los principios básicos
adquiridos; los cuales aquí se presentan en forma completa con su
sustentación teórica y con los criterios que los soportan, actualmente
aceptados mundialmente y normalizados por el Instituto Nacional de
Vías, del Ministerio de Transporte de Colombia. Adicionalmente, he
confeccionado una serie de problemas propuestos, para que sean
resueltos por el lector como una práctica final. También, he diseñado
de manera especial todas las figuras del libro, para así transmitirle al
lector mis ideas gráficas de forma real y proporcionada, de acuerdo
con mi imaginación tridimensional.
De esta manera, el libro puede ser utilizado como texto guía en
cualquier centro de educación superior nacional o extranjero, y como
documento de consulta o de referencia en empresas consultoras y
oficinas estatales que realicen proyectos viales.
Los temas del libro están divididos en cinco grandes capítulos. El
capítulo 1, Las carreteras, define las carreteras, las clasifica y
presenta su concepción tridimensional, ubicando al lector en el diseño
geométrico. El capítulo 2, Rutas y líneas de pendiente, presenta los
estudios de rutas y líneas de pendiente para casos de terrenos
ondulados, montañosos y escarpados, donde se pueden presentar
varias soluciones de trazados. El capítulo 3, Diseño geométrico
horizontal: planta, analiza los diferentes elementos del diseño
geométrico planimétrico y su relación con la estabilidad del vehículo
en la marcha. El capítulo 4, Diseño geométrico vertical: rasante,
aborda todos los elementos del diseño altimétrico longitudinal, su
relación con la visibilidad, y presenta los diversos criterios para la
elección de las longitudes óptimas de las curvas verticales. Por último,
el capítulo 5, Diseño geométrico transversal: secciones, áreas y
volúmenes, complementa la concepción tridimensional de la vía, a
través del estudio de las secciones transversales, sus áreas, los
volúmenes entre ellas y su compensación con el diagrama de masas.
En la preparación de esta nueva edición del libro, quiero expresar mis
más afectivos agradecimientos: a las directivas de la Universidad del
Valle y de la Pontificia Universidad Javeriana de Cali Colombia, por
xxii
James Cárdenas Grisales
haberme permitido a través de la enseñanza, la educación superior y la
consultoría, estar en contacto a escala local, nacional e internacional
con muchas personas estudiosas y practicantes de la ingeniería de
vías. A mis estudiantes de pregrado y posgrado, por brindarme la
oportunidad con la enseñanza de este tema, de producir una buena
parte del contenido del texto. A mis compañeros profesores de las
diversas universidades donde he enseñado, por sus elogios, críticas y
sugerencias. A mis anteriores jefes de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad del Valle, ingenieros Silvio Delvasto, Iván Enrique
Ramos, Héctor Cadavid, Peter Thomson y Ricardo Ramírez, por sus
estímulos, apoyo y constante colaboración. Hoy en día, al doctor
Mauricio Jaramillo Decano Académico de la Facultad de Ingeniería de
la Pontificia Universidad Javeriana de Cali y al ingeniero Diego Darío
Pérez Director del Departamento de Ingeniería Civil e Industrial de la
misma universidad, por sus excelentes comentarios. A mi colega y
gran amigo el profesor Alexander García, con quien he compartido
interesantes experiencias profesionales y académicas. A mis ex
alumnas, amigas y colegas ingenieras Jackeline Murillo y Paola
Andrea Cruz, por la revisión del texto y sus valiosas observaciones. A
mis cuatro grandes amigos, colegas y ex alumnos, ingenieros Edgar
Fonseca, Luis Carlos Moya, Mauricio Carvajal y Paúl Núñez, por sus
siempre muy acertados puntos de vista profesionales y sus oportunas
reflexiones en mis momentos difíciles. Al ingeniero Iván Estrada, ex
Presidente de la Asociación de Ingenieros de Valle, por el intercambio
de experiencias. A mi ex alumno, Walther Delgado, por su trabajo
fino y nítido en la edición final en computador de todas las figuras del
libro. En especial, a mi hijo Juan David Cárdenas Angulo por haber
tenido siempre la paciencia y la actitud en el diseño fotográfico del
libro, lo mismo que a mi hija Janet Cárdenas Angulo por sus lindos
consejos; los dos siempre han sido y serán el gran impulso y el
aliciente para seguir adelante. Y finalmente, a todas aquellas personas,
que de una u otra manera me apoyaron, y que hoy convierten esta
inmensa alegría en realidad.
JAMES CÁRDENAS GRISALES
xxiii
James Cárdenas Grisales
Capítulo 1
LAS CARRETERAS
1.1
GENERALIDADES
Una carretera es una infraestructura de transporte especialmente
acondicionada dentro de toda una faja de terreno denominada derecho
de vía, con el propósito de permitir la circulación de vehículos de
manera continua en el espacio y en el tiempo, con niveles adecuados
de seguridad y comodidad.
En el proyecto integral de una carretera, el diseño geométrico es la
parte más importante ya que a través de él se establece su
configuración geométrica tridimensional, con el fin de que la vía sea
funcional, segura, cómoda, estética, económica y compatible con el
medio ambiente.
Una vía será funcional de acuerdo a su tipo, características
geométricas y volúmenes de tránsito, de tal manera que ofrezca una
adecuada movilidad a través de una velocidad de operación suficiente.
1
Diseño geométrico de carreteras
La geometría de la vía tendrá como premisa básica la de ser segura, a
través de un diseño simple, uniforme y consistente.
La vía será cómoda en la medida en que se disminuyan las
aceleraciones de los vehículos y sus variaciones, lo cual se logrará
ajustando las curvaturas de la geometría y sus transiciones a las
velocidades de operación por las que optan los conductores a lo largo
de los tramos rectos.
La vía será estética al adaptarla al paisaje, permitiendo generar
visuales agradables a las perspectivas cambiantes, produciendo en el
conductor un recorrido fácil.
La vía será económica, cuando cumpliendo con los demás objetivos,
ofrece el menor costo posible tanto en su construcción como en su
mantenimiento.
Finalmente, la vía deberá ser compatible con el medio ambiente,
adaptándola en lo posible a la topografía natural, a los usos del suelo y
al valor de la tierra, y procurando mitigar o minimizar los impactos
ambientales.
Los factores o requisitos del diseño a tener en cuenta se agrupan en
externos o previamente existentes, e internos o propios de la vía y su
diseño.
Los factores externos están relacionados, entre otros aspectos, con la
topografía del terreno natural, la conformación geológica y geotécnica
del mismo, el volumen y características del tránsito actual y futuro, los
valores ambientales, la climatología e hidrología de la zona, los
desarrollos urbanísticos existentes y previstos, los parámetros
socioeconómicos del área y la estructura de las propiedades.
Los factores internos del diseño contemplan las velocidades a tener en
cuenta para el mismo y los efectos operacionales de la geometría,
especialmente los vinculados con la seguridad exigida y los
relacionados con la estética y armonía de la solución.
2
James Cárdenas Grisales
1.2
CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS[5,10]
1.2.1 Según su función
Determinada según la necesidad operacional de la carretera o de los
intereses de la nación en sus diferentes niveles:
CARRETERAS PRIMARIAS O DE PRIMER ORDEN
Son aquellas vías troncales, transversales y de accesos a las
capitales de los Departamentos, que cumplen la función básica
de integración de las principales zonas de producción y de
consumo del país y de éste con los demás países. Este tipo de
carreteras puede ser de calzadas divididas según las exigencias
del proyecto, y deben ser siempre pavimentadas.
CARRETERAS SECUNDARIAS O DE SEGUNDO ORDEN
Son aquellas vías que unen cabeceras municipales entre sí y/o
que provienen de una cabecera municipal y conectan con una
carretera Primaria. Las carreteras consideradas como
Secundarias pueden funcionar pavimentadas o en afirmado.
CARRETERAS TERCIARIAS O DE TERCER ORDEN
Son aquellas vías de acceso que unen cabeceras municipales
con sus veredas, o que unen veredas entre sí. Las carreteras
consideradas como Terciarias deben funcionar en afirmado. En
caso de pavimentarse deben cumplir con las condiciones
geométricas estipuladas para las carreteras Secundarias
1.2.2 Según el tipo de terreno
Determinada por la topografía predominante en el tramo en estudio.
De allí que, a lo largo de una carretera pueden presentarse tramos
homogéneos en diferentes tipos de terreno. Éstos se clasifican con
base en las pendientes de sus laderas naturales en el entorno y
transversalmente a la vía.
Corresponde al número de orden en la Bibliografía
3
Diseño geométrico de carreteras
Las pendientes longitudinales y transversales del terreno son las
inclinaciones naturales del terreno, medidas en el sentido longitudinal
y transversal del eje de la vía. A su vez, la línea de máxima pendiente
sobre el terreno natural, es la inclinación máxima del terreno natural
en cualquier dirección, alrededor del entorno del eje de la vía.
En Colombia, los terrenos se clasifican en plano (P), ondulado (O),
montañoso (M) y escarpado (E), de acuerdo con los parámetros que se
indican en la Tabla 1.1.
Tabla 1.1
TIPO DE
TERRENO
Plano (P)
Ondulado (O)
Montañoso (M)
Escarpado (E)
Tipos de terreno
PENDIENTE MÁXIMA MEDIA DE INCLINACIÓN TRANSVERSAL AL
LAS LÍNEAS DE MÁXIMA
EJE DE LA VÍA, DEL TERRENO
PENDIENTE DEL TERRENO (%)(1)
()(2)
0-5
0-6
5-25
6-13
25-75
13-40
>75
>40
Fuente:
(1): Cárdenas Grisales James. Diseño Geométrico de Carreteras. Ecoe Ediciones. Bogotá. 2002.
(2): Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008.
De esta manera, se consideran las siguientes carreteras:
CARRETERAS EN TERRENO PLANO
Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical, que
permite a los vehículos pesados mantener aproximadamente la
misma velocidad que la de los vehículos livianos.
Exigen mínimo movimiento de tierras durante la construcción,
por lo que no presentan dificultad ni en el trazado ni en la
explanación. Las pendientes longitudinales de las vías son
normalmente menores al 3%.
4
CARRETERAS EN TERRENO ONDULADO
Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical que
obliga a los vehículos pesados a reducir sus velocidades
significativamente por debajo de la de los vehículos livianos,
James Cárdenas Grisales
sin ocasionar que aquellos operen a velocidades sostenidas en
pendiente por intervalos de tiempo prolongado.
Durante la construcción los movimientos de tierra son
moderados, lo que permite alineamientos más o menos rectos,
sin mayores dificultades en el trazado y explanación. Sus
pendientes longitudinales se encuentran entre el 3% y el 6%.
CARRETERAS EN TERRENO MONTAÑOSO
Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical que
obliga a los vehículos pesados a circular a velocidades
sostenidas en pendiente a lo largo de distancias considerables o
durante intervalos frecuentes.
Generalmente requieren grandes movimientos de tierra durante
la construcción, razón por la cual presentan dificultades en el
trazado y en la explanación. Sus pendientes longitudinales
predominantes se encuentran entre el 6% y el 8%.
CARRETERAS EN TERRENO ESCARPADO
Es la combinación de alineamientos horizontal y vertical que
obliga a los vehículos pesados a operar a menores velocidades
sostenidas en pendiente que aquellas a las que operan en
terreno montañoso, para distancias significativas o a intervalos
muy frecuentes.
Exigen el máximo movimiento de tierras durante la
construcción, con muchas dificultades para el trazado y
explanación, pues los alineamientos están prácticamente
definidos por divisorias de aguas. Generalmente sus pendientes
longitudinales son superiores al 8%.
En la Figura 1.1, se ilustra de manera esquemática un perfil
transversal del terreno natural, donde se aprecian los diversos tipos de
terreno y las secciones transversales que se pueden presentar más
comúnmente: terraplenes para terrenos planos, mixtas de corte y
terraplén para terrenos ondulados, cortes para terrenos montañosos, y
cortes en divisorias de aguas con túneles para terrenos escarpados.
5
Diseño geométrico de carreteras
Figura 1.1
Tipos de terreno en carreteras
1.2.3 Según su competencia
Las carreteras se clasifican según se encuentren a cargo de una
determinada administración:
6
CARRETERAS NACIONALES
Son aquellas que están, ya sea directamente bajo la
administración del Instituto Nacional de Vías INVIAS, o que
se encuentran concesionadas bajo la administración de la
Agencia Nacional de Infraestructura ANI. Forman la red
primaria de carreteras.
CARRETERAS DEPARTAMENTALES
Son aquellas de propiedad de los Departamentos. Forman la
red secundaria de carreteras.
James Cárdenas Grisales
CARRETERAS VEREDALES O CAMINOS VECINALES
Son aquellas vías a cargo del Instituto Nacional de Vías y de
los municipios. Forman la red terciaria de carreteras.
CARRETERAS DISTRITALES Y MUNICIPALES
Son aquellas vías urbanas y/o suburbanas y rurales a cargo del
Distrito o Municipio.
1.2.4 Según sus características
AUTOPISTAS
Son vías de calzadas separadas, cada una con dos o más
carriles y con control total de accesos. Las entradas y salidas
de las autopistas se realizan únicamente a través de
intersecciones a desnivel comúnmente llamadas distribuidores
o intercambiadores.
CARRETERAS MULTICARRILES
Son carreteras divididas o no, con dos o más carriles por
sentido y con control parcial de accesos. Las entradas y salidas
se realizan a través de intersecciones a desnivel y a nivel.
CARRETERAS DE DOS CARRILES
Constan de una sola calzada de dos carriles, uno por cada
sentido de circulación, con intersecciones a nivel y acceso
directo desde sus márgenes.
1.3
CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VÍA
El diseño y la construcción de una vía se inicia con el establecimiento
de las rutas o corredores favorables que conecten los extremos del
proyecto y unan puntos intermedios de paso obligado, actividades que
se desarrollan en la llamada Fase 1 de Prefactibilidad. Teniendo en
cuenta los factores externos que afectan el diseño, en esta primera
etapa predominan los criterios económicos vinculados a las longitudes
7
Diseño geométrico de carreteras
de las soluciones y al costo de las obras de explanación, de arte
(puentes, viaductos, muros) y túneles.
Una vez seleccionada la ruta más favorable, se inician propiamente las
etapas del diseño geométrico, que le dan la forma física más apropiada
a la carretera, adaptada a todos los requisitos, intentando satisfacer al
máximo los distintos objetivos del diseño.
Este diseño se realiza, pasando por la Fase 2 de Factibilidad o de
anteproyecto, en la cual se decide continuar o no con el proyecto
dependiendo de su rentabilidad. Si éste resulta rentable se debe
continuar con la Fase 3 con la elaboración de los Diseños Definitivos
de la carretera, que incluye los diseños detallados, tanto geométricos
como de todas las estructuras y obras complementarias que se
requieran, de tal forma que se pueda materializar la carretera a través
de su construcción.
Como la carretera es una superficie transitable, continua y regular,
ubicada en un espacio tridimensional, la reducción de su forma
geométrica a un modelo matemático igualmente tridimensional resulta
compleja y, por lo tanto, poco empleada.
Por lo tanto, en casi todos los diseños se realizan dos análisis
bidimensionales complementarios del eje de la vía, prescindiendo en
cada caso de una de las tres dimensiones.
Así, si no se toma en cuenta la dimensión vertical (altura o cota),
resultará el alineamiento en planta o diseño geométrico horizontal,
que es la proyección del eje de la vía sobre un plano horizontal.
La forma del alineamiento en planta es una sucesión continua y
cambiante de direcciones, rumbos o azimutes a lo largo del eje. Las
formas geométricas horizontales que se utilizan para la definición del
trazado son rectas y curvas circulares o espirales de transición.
Ahora, si se toma en cuenta la dimensión longitudinal del
alineamiento en planta, definido anteriormente y, junto con ella, se
considera la cota, resultará el perfil longitudinal o diseño geométrico
8
James Cárdenas Grisales
vertical, que es la proyección del eje real o espacial de la vía sobre
una superficie vertical paralela al mismo.
La forma del perfil longitudinal es una sucesión continua y cambiante
de pendientes a lo largo del eje. Las formas geométricas verticales que
se utilizan para la definición del trazado son rectas contiguas de
pendientes uniformes enlazadas con curvas verticales parabólicas.
Finalmente, si se considera el ancho de la vía asociado a su eje,
resultarán las secciones transversales sucesivas, compuestas por la
calzada, las bermas, las cunetas y los taludes laterales; completándose
así la concepción tridimensional de la vía.
En la Figura 1.2 se muestra el eje de una vía ubicado en el espacio
tridimensional.
Inicialmente, obsérvese que se tienen tres planos verticales
rectangulares plegados a 90 , cada uno de largo 8x y alto 4y. De
acuerdo con la posición de la dirección Norte (N), el primer plano
tiene una dirección hacia el Este, el segundo plano hacia el Sur y el
tercer plano hacia el Este de nuevo.
A lo largo de estos tres planos se desarrolla la poligonal espacial
ABCDEF, la cual presenta quiebres en los puntos B, C, D y E. Dicha
poligonal cambia de rumbo en los puntos C y E, lo mismo que cambia
de pendiente en los puntos B, D y E. Así, de manera especial, se
aprecia que el punto de quiebre E presenta tanto un cambio de rumbo
como de pendiente.
Considerando cada uno de los tramos rectos de esta poligonal, se
tiene:
Tramo AB:
Rumbo:
hacia el Este
Pendiente:
3y
4x
9
Diseño geométrico de carreteras
Figura 1.2
10
Eje de una vía en el espacio tridimensional
James Cárdenas Grisales
Tramo BC:
Rumbo:
Pendiente:
Tramo CD:
Rumbo:
Pendiente:
hacia el Este
0
0
4x
hacia el Sur
0
0
3x
Tramo DE:
Rumbo:
hacia el Sur
Pendiente:
Tramo EF:
Rumbo:
hacia el Este
Pendiente:
2y
5x
3y
8x
Si la poligonal espacial forma parte del eje de la vía, será necesario
enlazar los tramos rectos en los puntos de quiebre con curvas en el
espacio. Tal como se mencionó anteriormente si se prescinde de las
alturas se tendrá el diseño geométrico horizontal, representado en la
parte inferior de la Figura 1.2 como la proyección horizontal,
convirtiéndose la poligonal espacial en la proyección A1B1C1D1E1F1, que
al insertar las curvas horizontales circulares en C1 de radio R1=x y en E1
de radio R2=3x, generan el diseño en planta del eje de la vía según
A1c1d1g1j1F1, tal como se aprecia también en la parte superior de la
Figura 1.3.
De esta manera, partiendo de A1 cómo punto origen de abscisa K0+000,
se tendrá para el punto final F1 la abscisa siguiente:
Abscisa de F1 Abscisa de A1 A1c1 c1d1 d1g1 g1 j1 j1F1
A1c1 7 x
11
Diseño geométrico de carreteras
Figura 1.3
12
Diseño geométrico en planta y en perfil del eje de una vía
James Cárdenas Grisales
2πR1 2πx πx
4
4
2
d1g1 4 x
2πR2 2π 3 x 3πx
g1 j1
4
4
2
j1F1 5 x
c1d1
Abscisa de F1 K0 000 7 x
πx
3πx
4x
5 x K 0 16 2π x
2
2
Suponiendo que el valor numérico de x es de 50 metros, la abscisa de
F1 será:
Abscisa de F1 K 0 16 2π x K 0 16 2π 50 K 0 1114.159
K1 114.159
De igual manera, en la parte inferior de la Figura 1.3, se muestra el
diseño en perfil del eje de la vía según A2a2b2e2f2h2i2F2, obtenido al
insertar curvas verticales parabólicas en los puntos B2, D2 y E2
respectivamente. Así mismo, si el valor numérico de y es de 4 metros,
las pendientes correspondientes a los tramos A2B2, B2D2, D2E2 y E2F2 son
+6.0%, 0.0%, -3.2% y +3.0%, tal como se indican.
13
James Cárdenas Grisales
Capítulo 2
RUTAS Y LÍNEAS DE
PENDIENTE
2.1
FASES DEL PROYECTO DE UNA CARRETERA[10]
El diseño de una carretera nueva de Primer Orden o Primaria se
realiza, tal como se mencionó en el primer capítulo, por fases o etapas,
en las que se tiene la posibilidad de evaluar progresivamente la
viabilidad económica del proyecto. De manera general, los propósitos
y actividades de cada fase son:
2.1.1 Fase 1. Prefactibilidad
Aquí se identifican uno o varios corredores de ruta posibles, se realiza
el prediseño aproximado de la carretera a lo largo de cada corredor y,
recurriendo a costos obtenidos en proyectos con condiciones
similares, se realiza la evaluación económica preliminar. En términos
simples, la evaluación económica consiste en comparar, a lo largo de
un período de análisis económico, la suma del costo inicial de
15
Diseño geométrico de carreteras
construcción, el costo del mantenimiento rutinario y el costo del
mantenimiento periódico, con los beneficios que se obtendrían,
representados mayoritariamente en los ahorros en los costos de la
operación vehicular.
El objetivo concreto de la Fase 1, es establecer si el proyecto ofrece
posibilidades de ser viable económicamente, es decir, si supera
umbrales preestablecidos para indicadores como la relación
Beneficio/Costo (B/C) o la Tasa Interna de Retorno (TIR). Si la
evaluación económica no es satisfactoria en ninguno de los corredores
estudiados, se archiva el proyecto. En caso contrario, se debe
continuar afinando los estudios en la siguiente fase, en el corredor que
presente la mayor rentabilidad.
2.1.2 Fase 2. Factibilidad
En el corredor seleccionado se debe diseñar en forma definitiva el eje
en planta de la carretera. La posición de dicho eje deberá ser
compatible con el cumplimiento de las especificaciones geométricas
tanto del perfil longitudinal como de las secciones transversales y de
todas las estructuras y obras complementarias que se requieran.
Con la trayectoria definitiva en planta del eje de la carretera y con los
prediseños del eje en perfil longitudinal, de las secciones
transversales, de las obras de drenaje superficial y subterráneo, de las
estructuras como puentes y muros de contención, del pavimento, etc.,
se procede a la evaluación económica final. Esta evaluación se realiza
con un mayor grado de confiabilidad por cuanto en esta fase ya se
cuenta con elementos suficientes tanto para elaborar el presupuesto
con menor incertidumbre como para cuantificar los costos de la
operación vehicular.
El objetivo concreto de la Fase 2 es la decisión final de continuar o no
con el proyecto dependiendo de su rentabilidad. Si éste resulta
rentable se debe continuar con la elaboración de los diseños
definitivos de la carretera a partir del eje ya definido.
16
James Cárdenas Grisales
2.1.3 Fase 3. Diseños definitivos
Aquí se elaboran los diseños detallados, tanto geométricos como de
todas las estructuras y obras complementarias que se requieran, de tal
forma que se pueda localizar y materializar la carretera a través de su
construcción.
En el otro extremo de la jerarquía vial se encuentran las carreteras
Terciarias, cuya construcción pretende básicamente desarrollar zonas
potencialmente productivas u ofrecer posibilidades de bienestar a
núcleos de población atrasados por la carencia de una vía de
comunicación terrestre. En ambos casos, la decisión de construir la
carretera es de carácter eminentemente político, respetando, claro está,
el orden de las prioridades, establecido por las autoridades
gubernamentales.
Una vez tomada la decisión de construir la carretera, se procede a la
elaboración de los diseños, de manera continua, hasta su nivel de
detalle. La metodología para una carretera Terciaria nueva es una
versión simplificada y en una sola etapa del método que se desarrolla
en tres fases cuando se trata de carreteras Primarias. El método de
diseño por localización directa solo se recomienda cuando el trazado
sea en terreno plano.
Con relación a las carreteras Secundarias, es poco frecuente el caso de
construir una carretera nueva con el carácter de Secundaria. Por lo
general estas carreteras son el resultado del mejoramiento continuo
que en el transcurso de los años se realiza a carreteras que
originalmente fueron Terciarias. El método de diseño de
rectificaciones y mejoras de carreteras existentes, es una adaptación
del método aplicable a carreteras Terciarias y sus actividades
obviamente dependen de la naturaleza y magnitud de los trabajos a
realizar en cada caso particular.
Es conveniente enfatizar que las decisiones asociadas al diseño
geométrico deben ser tomadas en estrecha concordancia con las
condiciones prevalecientes en cuanto a la geología, la geotecnia, la
17
Diseño geométrico de carreteras
hidrología e hidráulica de cauces, las facilidades para el
emplazamiento y construcción de las estructuras viales e
intersecciones, las fuentes de materiales y las afectaciones al medio
ambiente.
2.2
SELECCIÓN DE RUTAS
Se entiende por ruta aquella franja de terreno, de ancho variable,
comprendida entre dos puntos obligados extremos y que pasa a lo
largo de puntos obligados intermedios, dentro de la cual es factible
realizar la localización del trazado de una carretera. Los puntos
obligados son aquellos sitios extremos o intermedios por los que
necesariamente deberá pasar la vía, ya sea por razones técnicas,
económicas, sociales o políticas; como por ejemplo: poblaciones,
áreas productivas, puertos, puntos geográficos como valles y
depresiones, etc.
La identificación de una ruta a través de estos puntos obligados o de
control primario y su paso por otros puntos intermedios de menor
importancia o de control secundario, hace que aparezcan varias rutas
alternas. Son ejemplos de puntos de control secundario: caseríos,
cruces de ríos y cañadas, cruces con otras vías, zonas estables,
bosques, etc.
Para todas las rutas alternas, es necesario llevar a cabo la actividad
denominada selección de ruta, la cual comprende una serie de trabajos
preliminares que tienen que ver con acopio de datos, estudio de
planos, reconocimientos aéreos y terrestres, poligonales de estudio,
etc. A la ruta seleccionada se le realizará el levantamiento topográfico
de su corredor.
El acopio de datos se refiere a la obtención de la información básica
en la zona de estudio, relacionada con la topografía, la geología, la
hidrología, el drenaje y los usos de la tierra. Estos factores constituyen
los mayores controles en el diseño, localización y construcción de la
futura vía. Igualmente, deberá obtenerse información sobre la
18
James Cárdenas Grisales
actividad económica y social de la región. Las principales fuentes de
información para la obtención de estos datos, son entre otras: el
Ministerio de Transporte, el Instituto Nacional de Vías, el DANE, el
IGAC, el CIAF, la CVC, las Oficinas de Planeación, las Oficinas de
Valorización, las Secretarías de Obras Públicas, etc.
El estudio de planos forma parte del llamado análisis de la
información existente. Básicamente consiste en la elaboración de los
croquis de las rutas sobre planos, cartas geográficas o fotografías
aéreas, a escalas muy comunes como 1:100000, 1:50000, 1:25000,
identificando sobre ellos la información obtenida anteriormente,
especialmente los puntos obligados de control primario, ya que éstos
guían la dirección general a seguir de una ruta específica. De esta
manera y con la identificación también de los puntos de control
secundario, es posible señalar sobre los planos varias rutas alternas o
franjas de estudio.
Se deben considerar como mínimo los siguientes aspectos: la
estabilidad geológica, las pendientes naturales del terreno, la
estabilidad geotécnica, el patrón de drenaje, el número de cauces
mayores, opciones de sitios de cruce de líneas divisorias de aguas
(puntos secos) y ponteaderos, posibilidad de fuentes de materiales y
zonas de vida o ecosistemas.
Se puede presentar que por las características topográficas de la zona,
no sea evidente el desarrollo de algún corredor en especial. Para
ayudar a delimitarlo con más precisión se debe establecer, sobre
restituciones, los puntos secundarios de control y entre ellos trazar una
línea de ceros provisional.
Mediante los reconocimientos aéreos y terrestres se realiza un
examen general de las rutas o franjas de terreno que han quedado
previamente determinadas y marcadas sobre los croquis en la base
cartográfica. Su finalidad es la de identificar aquellas características
que hacen una ruta mejor a las otras, cuantificar los costos posibles de
construcción de la futura carretera por cada ruta, determinar los
efectos que tendrá la carretera en el desarrollo económico de la región
y estimar los efectos destructivos que puedan producirse en el paisaje
19
Diseño geométrico de carreteras
natural. Igualmente, se aprovecha el reconocimiento, para obtener
datos complementarios de la zona en estudio.
Una vez establecidas, en forma definitiva, las fronteras entre tramos
homogéneos, se debe trazar la línea de ceros en el terreno con el
propósito de verificar si es posible conectar los puntos extremos del
tramo, es decir sus fronteras. Para hacer posible el replanteo, se toma
como base la línea de ceros trazada en los croquis, para cada una de
las rutas posibles.
Las poligonales de estudio permiten recoger todos aquellos detalles
necesarios que dan a conocer cuál ruta es la que ofrece un mejor
trazado. Estas poligonales deben levantarse en forma rápida y con una
precisión no muy alta. Es así como, sus lados se pueden medir a cinta
o a taquimetría, los rumbos se determinan con brújula, las alturas con
barómetro y las pendientes con niveles de mano.
Finalmente, sobre la ruta seleccionada, se debe realizar el
levantamiento topográfico del corredor, a través del establecimiento
de una poligonal cuyos vértices serán bases de topografía a partir de
las cuales, mediante radiación, se toman las coordenadas de puntos del
terreno. El ancho de la faja de terreno a levantar en cada sector del
corredor será definido por los ingenieros a cargo del diseño en función
de las características topográficas del sitio.
2.3
EVALUACIÓN DEL TRAZADO DE RUTAS
Como se mencionó anteriormente, la mejor ruta entre varias alternas,
que permita enlazar dos puntos extremos o terminales, será aquella
que de acuerdo a las condiciones topográficas, geológicas,
hidrológicas y de drenaje, ofrezca el menor costo con el mayor índice
de utilidad económica, social y estética. Por lo tanto, para cada ruta
será necesario determinar, en forma aproximada, los costos de
construcción, operación y conservación de la futura carretera a
proyectar, para así compararlos con los beneficios probables
esperados.
20
James Cárdenas Grisales
Existen diversos métodos de evaluación de rutas y trazados alternos,
con los cuales se podrá hacer la mejor selección. Dentro de éstos, se
encuentra el Método de Bruce[4], en el cual se aplica el concepto de
longitud virtual. Compara, para cada ruta o trazado alterno, sus
longitudes, sus desniveles y sus pendientes, tomando en cuenta
únicamente el aumento de longitud correspondiente al esfuerzo de
tracción en las pendientes. Se expresa así:
(2-1)
x0 x k y
Donde:
x 0 = Longitud resistente (m).
x = Longitud total del trazado (m).
y = Desnivel o suma de desniveles (m).
k = Inverso del coeficiente de tracción.
En la Tabla 2.1 aparecen los valores de k para los distintos tipos de
superficie de rodamiento.
Tabla 2.1
Valores del inverso del coeficiente de tracción
TIPO DE SUPERFICIE
Carretera en tierra
Macadam
Pavimento asfáltico
Pavimento rígido
2.4
VALOR MEDIO DE k
21
32
35
44
LÍNEA DE PENDIENTE O DE CEROS
2.4.1 Concepto
La línea de pendiente es aquella línea que, pasando por los puntos
obligados del proyecto, conserva la pendiente uniforme especificada y
que de coincidir con el eje de la carretera, éste no aceptaría cortes ni
rellenos, razón por la cual también se le conoce con el nombre de
línea de ceros.
21
Diseño geométrico de carreteras
Es una línea que al ir a ras del terreno natural, sigue la forma de éste,
convirtiéndose en una línea de mínimo movimiento de tierra. Por lo
tanto, cualquier eje vial de diseño que trate de seguirla lo más cerca
posible, será un eje económico, desde este punto de vista.
2.4.2 Trazado de una línea de pendiente
En la isometría del terreno natural con curvas de nivel cada 5 metros,
ilustrada en la Figura 2.1, considérese los puntos A y B sobre las
curvas de nivel sucesivas 205 y 210. La pendiente de la línea recta AB,
que los une, es:
Pendiente de AB tan α
BC
AC
(2-2)
Luego, si se quiere mantener una línea de pendiente uniforme igual a
tan , la distancia horizontal necesaria para pasar de una curva de nivel
a otra será:
Figura 2.1
22
Concepto de línea de pendiente
James Cárdenas Grisales
AC
BC
tan α
(2-3)
Donde:
AC = Distancia horizontal entre curvas de nivel sucesivas, o abertura del
compás.
BC = Diferencia de nivel entre curvas o equidistancia.
tan = Pendiente de la línea recta AB. Corresponde a la pendiente de la
línea de ceros.
Por lo tanto, también puede decirse que:
a
Equidis tan cia
p
(2-4)
Donde, a es la abertura del compás y p es la pendiente uniforme de la
línea de ceros.
De esta manera, la distancia AC o a, en metros, reducida a la escala del
plano, se podrá trazar con un compás de puntas secas a partir del
punto inicial, materializándose así una serie de puntos sobre curvas
sucesivas, cuya unión constituye la línea de ceros, tal como se muestra
en la Figura 2.2.
En términos generales, en el trazado de una línea de ceros, se pueden
presentar dos casos: El primero, consiste en llevar desde un punto
inicial una línea de ceros de pendiente uniforme sin especificar el
punto final o de llegada. El segundo, consiste en trazar una línea de
ceros a través de dos puntos obligados. En este último caso será
necesario estimar la pendiente máxima que une los dos puntos, la cual
deberá ser comparada con la pendiente máxima permitida por las
normas. Mediante el Ejemplo 2.2 y el Problema 2.2 se podrá ejercitar
el trazado de líneas de ceros según estos dos casos.
La línea de ceros en el terreno se lleva marcándola en la dirección
general requerida, pasando por los puntos de control y por los lugares
23
Diseño geométrico de carreteras
más adecuados. Para tal efecto, se emplean miras, jalones y
clisímetros (niveles de mano Locke o Abney).
Figura 2.2
Línea de ceros en un plano
EJEMPLO 2.1: Estudio de Rutas
Datos:
En el plano de la Figura 2.3, dibujado a la escala dada con curvas de
nivel de equidistancia 50 metros, se identifican los puntos A y B.
Realizar:
Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A y B.
Solución:
Sobre el plano dado se han trazado tres posibles rutas, mediante la
identificación de los puntos de paso a, b, c, d, f, g, h, i, de control
primario y secundario. Tales rutas son:
24
James Cárdenas Grisales
Ruta 1= AabcB, siguiendo la parte alta.
Ruta 2= AdefB, siguiendo la parte media.
Ruta 3= AghiB, siguiendo la parte baja.
Figura 2.3
Estudio de rutas
En la Tabla 2.2, para cada una de las rutas trazadas aparecen sus
puntos, abscisas y cotas.
Con el propósito de realizar una evaluación preliminar más precisa, es
necesario elaborar un perfil longitudinal de las rutas, como se muestra
en la Figura 2.4, calculado así:
Ruta 1:
Tramo Aa:
Desnivel 275 100 175m,
Distancia horizontal 3400m
25
Diseño geométrico de carreteras
Pendiente
175
0.051 5.1%
3400
Tabla 2.2
Puntos, abscisas y cotas a lo largo de las rutas
RUTAS
Ruta 1
Ruta 2
Ruta 3
PUNTOS
A
a
b
c
B
A
d
e
f
B
A
g
h
i
B
Figura 2.4
26
ABSCISAS
K0+000
K3+400
K5+000
K8+100
K10+200
K0+000
K2+400
K7+500
K9+000
K10+800
K0+000
K2+600
K6+000
K7+300
K8+300
COTAS
100
275
290
240
250
100
180
170
210
250
100
120
110
165
250
Perfil longitudinal de rutas
James Cárdenas Grisales
Tramo ab:
Desnivel 290 275 15m, Distancia horizontal 1600m
15
0.009 0.9%
Pendiente
1600
Tramo bc:
Desnivel 240 290 50m, Distancia horizontal 3100m
50
Pendiente
0.016 1.6%
3100
Tramo cB:
Desnivel 250 240 10m, Distancia horizontal 2100m
10
Pendiente
0.005 0.5%
2100
Ruta 2:
Tramo Ad:
Desnivel 180 100 80m, Distancia horizontal 2400m
80
Pendiente
0.033 3.3%
2400
Tramo de:
Desnivel 170 180 10m, Distancia horizontal 5100m
10
Pendiente
0.002 0.2%
5100
Tramo ef:
Desnivel 210 170 40m, Distancia horizontal 1500m
40
Pendiente
0.027 2.7%
1500
Tramo fB:
Desnivel 250 210 40m, Distancia horizontal 1800m
40
Pendiente
0.022 2.2%
1800
Ruta 3:
Tramo Ag:
Desnivel 120 100 20m, Distancia horizontal 2600m
20
Pendiente
0.008 0.8%
2600
27
Diseño geométrico de carreteras
Tramo gh:
Desnivel 110 120 10m, Distancia horizontal 3400m
10
Pendiente
0.003 0.3%
3400
Tramo hi:
Desnivel 165 110 55m, Distancia horizontal 1300m
55
Pendiente
0.042 4.2%
1300
Tramo iB:
Desnivel 250 165 85m, Distancia horizontal 1000m
85
Pendiente
0.085 8.5%
1000
La evaluación preliminar de las tres rutas se hará con base en la
comparación de sus longitudes, desniveles y pendientes. Para tal
efecto, se supone que las vías a construir sobre estas rutas serán
pavimentadas en concreto y que la pendiente recomendada es del 4%.
Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (2-1), para cada ruta se tienen
las siguientes longitudes resistentes, x0:
Ruta 1:
Desniveles perjudiciales por contrapendientes 175 15 10 200m
x 10200m , k 44, y 200m
x 0 x k y 10200 44200 19000 m
Ruta 2:
Desniveles perjudiciales por contrapendientes 80 40 40 160m
x 10800 m , k 44, y 160m
x 0 x k y 10800 44160 17840 m
Ruta 3:
Desniveles perjudiciales por contrapendientes 20 55 85 160m
x 8300 m , k 44, y 160m
x 0 x k y 8300 44160 15340 m
28
James Cárdenas Grisales
Ahora, si el análisis de longitudes resistentes se realiza en sentido
contrario, esto es de B á A, como sería el caso de una carretera de dos
direcciones, se tiene:
Ruta 1:
Desniveles por contrapendientes 50m
Desniveles por exceso de pendientes 0.051 0.04 3400 37.4m
x 0 x k y 10200 4450 37.4 14046 m
Ruta 2:
Desniveles por contrapendientes 10m
Desniveles por exceso de pendientes 0
x 0 x k y 10800 4410 11240 m
Ruta 3:
Desniveles por contrapendientes 10m
Desniveles por exceso de pendientes 0.085 0.04 1000 0.042 0.04 1300
47.6 m
x 0 x k y 8300 4410 47.6 10834m
Como puede observarse, para ambos sentidos, la ruta de menor
resistencia es la Ruta 3, la cual se hace atractiva. Sin embargo, ella
incorpora la construcción de un puente en el punto h, situación que
elevaría los costos. Por lo tanto, si se trata de un proyecto económico,
desde este punto de vista la mejor ruta será la Ruta 2.
EJEMPLO 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros
Datos:
La Figura 2.5 muestra un plano a la escala dada, de curvas de nivel de
equidistancia 8 metros, sobre el cual se identifican dos puntos A y B.
Trazar:
Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme
máxima posible.
29
Diseño geométrico de carreteras
Solución:
Este es el caso de enlazar dos puntos obligados A y B con una sola
pendiente, que necesariamente es la máxima posible. Una forma de
determinarla y enlazarla se apoya en el uso de pendientes parciales
entre los puntos dados, las cuales se trazan sucesivamente desde los
puntos opuestos, la una ascendiendo y la otra descendiendo.
Figura 2.5
Trazado de líneas de pendiente o de ceros
Para este ejemplo, se supone una primera pendiente del +6% saliendo
de A, esto es:
p1 0.06
30
James Cárdenas Grisales
Por lo tanto, según la ecuación (2-4), la abertura del compás es:
a1
Equidis tan cia 8 m
133.333 m
p1
0.06
Suponiendo que existe una curva de nivel intermedia entre cada par de
las dadas, la abertura del compás será de:
a1
4m
66.667 m
0.06
Con esta distancia a la escala del plano se traza la línea AB', la cual
como puede observarse pasa por debajo del punto B. Esto indica que la
pendiente supuesta p1 es menor que la máxima posible. En este
momento es preciso suponer una segunda pendiente, mayor que la
primera, por ejemplo, del -11% saliendo de B, esto es:
p2 0.11
4m
a2
36.364m
0.11
Con esta distancia y partiendo de B se traza esta segunda línea la cual
encuentra en el punto C la primera línea.
Con el fin de visualizar mejor el cálculo de la pendiente máxima
posible para la línea que une los puntos A y B es conveniente dibujar
un perfil longitudinal de las líneas de pendiente parciales p1 y p2, como
se ilustra en la Figura 2.6, para las cuales:
Distancia horizontal entre A y C:
Diferencia de nivel entre A y C:
Distancia horizontal entre C y B:
Diferencia de nivel entre C y B:
x1 611m
y1 p1 x1 0.06 611 36.660 m
x 2 685 m
y 2 p2 x 2 0.11685 75.350 m
De esta manera, la pendiente máxima posible p es:
31
Diseño geométrico de carreteras
Figura 2.6
p
Perfil longitudinal de líneas de pendiente o de ceros
y1 y 2 36.660 75.350
0.0864 8.64%
x1 x 2
611 685
Con una abertura del compás de:
a
4m
46.296 m
0.0864
Abertura que a la escala del plano permite el trazado de la pendiente
máxima posible, como se muestra en la Figura 2.5.
2.5
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 2.1: Estudio de Rutas
Datos:
El plano de la Figura 2.7 está dibujado a la escala dada, con curvas de
nivel de equidistancia 50 metros. Sobre él se identifican dos puntos
extremos A y B.
32
James Cárdenas Grisales
Figura 2.7
Estudio de rutas. Problema 2.1
Realizar:
Un estudio de las posibles rutas que unan los puntos A y B, suponiendo
que las vías a construir a través de estas rutas serán pavimentadas en
asfalto y que la pendiente recomendada es del 6%.
PROBLEMA 2.2: Trazado de líneas de pendiente o de ceros
Datos:
En el plano de la Figura 2.8, dibujado a la escala gráfica dada, con
curvas de nivel de equidistancia 10 metros, se han identificado dos
puntos A y B.
33
Diseño geométrico de carreteras
Figura 2.8
Trazado de líneas de pendiente o de ceros. Problema 2.2
Trazar:
a) Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme
máxima posible.
b) Una línea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme
del 5%.
PROBLEMA 2.3: Pendiente ponderada máxima uniforme
Datos:
En el plano de la Figura 2.9, dibujado a la escala gráfica dada, con
curvas de nivel de equidistancia 10 metros, se han identificado el
34
James Cárdenas Grisales
punto inicial A y el punto final D, lo mismo que los puntos intermedios
B y C.
Figura 2.9
Pendiente ponderada máxima uniforme. Problema 2.3
Trazar:
a) Líneas de pendiente uniforme máxima posible para cada tramo
AB, BC y CD, independientemente.
b) La pendiente uniforme máxima posible que una el punto A y el
punto D. Para este trazado, ponderar las tres pendientes anteriores.
Dibuje un perfil de pendientes.
35
James Cárdenas Grisales
Capítulo 3
DISEÑO GEOMÉTRICO
HORIZONTAL: PLANTA
3.1
CONCEPTOS
De una manera general una carretera se puede concebir como un
sistema que logra integrar beneficios, conveniencia, satisfacción y
seguridad a sus usuarios; que conserva, aumenta y mejora los recursos
naturales de la tierra, el agua y el aire; y que colabora en el logro de
los objetivos del desarrollo regional, agrícola, industrial, comercial,
residencial, recreacional y de salud pública.
En forma particular, el diseño geométrico de carreteras es el proceso
de correlación entre sus elementos físicos y las características de
operación de los vehículos, mediante el uso de las matemáticas, la
física y la geometría. En este sentido, la carretera queda
geométricamente definida por el trazado de su eje en planta y en perfil
y por el trazado de su sección transversal.
37
Diseño geométrico de carreteras
El diseño geométrico en planta de una carretera, o alineamiento
horizontal, es la proyección sobre un plano horizontal de su eje real o
espacial. Dicho eje horizontal está constituido por una serie de tramos
rectos denominados tangentes, enlazados entre sí por curvas.
3.2
CURVAS CIRCULARES SIMPLES
Las curvas horizontales circulares simples son arcos de circunferencia
de un solo radio que unen dos tangentes consecutivas, conformando la
proyección horizontal de las curvas reales o espaciales. Por lo tanto,
las curvas reales del espacio no necesariamente son circulares.
3.2.1 Elementos geométricos que caracterizan una
curva circular simple
En la Figura 3.1 aparecen los diferentes elementos geométricos de una
curva circular simple. Tomando el sentido de avance de izquierda a
derecha, dichos elementos son:
PI = Punto de intersección de las tangentes o vértice de la curva.
PC = Principio de curva: punto donde termina la tangente de entrada y
empieza la curva.
PT = Principio de tangente: punto donde termina la curva y empieza la
tangente de salida.
O = Centro de la curva circular.
= Ángulo de deflexión de las tangentes: ángulo de deflexión principal.
Es igual al ángulo central subtendido por el arco PCPT.
R = Radio de la curva circular simple.
T = Tangente o subtangente: distancia desde el PI al PC o desde el PI al
PT.
L = Longitud de curva circular: distancia desde el PC al PT a lo largo del
arco circular, o de un polígono de cuerdas.
CL = Cuerda larga: distancia en línea recta desde el PC al PT.
E = Externa: distancia desde el PI al punto medio de la curva A.
M = Ordenada media: distancia desde el punto medio de la curva A al
punto medio de la cuerda larga B.
38
James Cárdenas Grisales
Figura 3.1
Elementos geométricos de una curva circular simple
3.2.2 Expresiones
geométricos
que
relacionan
los
elementos
Los anteriores elementos geométricos se relacionan entre sí, dando
origen a expresiones que permiten el cálculo de la curva. De acuerdo
con la Figura 3.1 anterior, algunas de estas expresiones son:
39
Diseño geométrico de carreteras
T en función de R y :
En el triángulo rectángulo OPCPI, se tiene:
Δ PC PI T
2 O PC R
Δ
T R tan
2
tan
, de donde,
(3-1)
R en función de T y :
T
R
Δ
tan
2
(3-2)
CL en función de R y :
En el triángulo rectángulo OBPC, se tiene:
CL
Δ B PC
sen
2
2 O PC R
Δ
CL 2 R sen
2
, de donde,
(3-3)
E en función de R y :
En el triángulo rectángulo OPCPI, se tiene:
Δ O.PC
, O .PI OA A.PI R E
2 O.PI
Δ
R
cos
, de donde,
2 R E
1
E R
1
cos Δ
2
cos
E en función de T y :
Reemplazando la ecuación (3-2) en la ecuación (3-4), se tiene:
T 1
E
1
tan Δ cos Δ
2
2
40
Δ
sen
Δ
2
, pero, tan
2 cos Δ
2
(3-4)
James Cárdenas Grisales
Δ
Δ
T cos 1 cos
2
2
E
sen Δ cos Δ
2
2
T
Δ
1 cos
E
Δ
2
sen
2
También se sabe que,
sen 2 Δ 2 sen Δ cos Δ
, entonces, sen
Δ
Δ
Δ
2 sen cos
2
4
4
cos 2 Δ 2 cos 2 Δ 1
, por lo tanto,
T
Δ
1
T
Δ
1 2 cos 2 1
2 1 cos 2
E
4 2 sen Δ cos Δ
4
2 sen Δ cos Δ
4
4
4
4
T
Δ
1 cos 2
, entonces,
E
Δ
Δ
4
sen cos
4
4
Δ
T sen
T
2 Δ
4
sen
, esto es,
E
4 cos Δ
sen Δ cos Δ
4
4
4
Δ
E T tan
(3-5)
4
M en función de R y :
En el triángulo rectángulo OBPC, se tiene:
Δ
OB
OA AB R M
2 O PC
O PC
R
Δ
M R 1 cos
2
cos
, de donde,
(3-6)
41
Diseño geométrico de carreteras
3.2.3 Expresión de la curvatura de una c urva circular
simple
La curvatura de un arco circular se fija por su radio R o por su grado
G. Se llama grado de curvatura G al valor del ángulo central
subtendido por un arco o cuerda de determinada longitud, escogidos
como arco unidad s o cuerda unidad c. En nuestro medio, el arco
unidad o la cuerda unidad usualmente es de 5, 10 y 20 metros.
SISTEMA ARCO-GRADO
En este caso, según la Figura 3.2, el ángulo central Gs es subtendido
por un arco unidad s.
Figura 3.2
Curvatura por el sistema arco-grado
Matemática y geométricamente, se sabe que la curvatura de una curva
es inversa al radio, esto es, a mayor curvatura menor radio y a menor
curvatura mayor radio. Esta curvatura se puede expresar así:
42
James Cárdenas Grisales
Curvatura
1
R
También se conoce que, para una curva circular de radio R, el arco s es
igual al producto del radio R por el ángulo central Gs, esto es:
s RGs
s
Gs
R
, para Gs expresado en radianes. Por lo tanto:
Ahora para el radio R expresado en metros y para un valor del arco s
de 1 metro, se tiene:
Gs 1
1
R
Como puede observarse, este es el verdadero concepto de la curvatura
de una curva; el inverso del radio. En otras palabras, el grado de
curvatura Gs=1 de una curva de radio R, es el ángulo central
correspondiente a un arco de 1 metro, el cual expresado en grados
sexagesimales es:
Gs 1
180 180
1
radianes
R
π radianes πR
De manera general, para cualquier arco s, relacionando ángulos
centrales con arcos, se tiene que:
Gs 360
s
2πR
180 s
Gs
πR
, de donde,
(3-7)
Para este sistema, la longitud de la curva Ls, es la del arco circular
entre sus puntos extremos PC y PT.
Igualmente, relacionando arcos con ángulos centrales, se puede
plantear que:
43
Diseño geométrico de carreteras
Ls
s
Δ Gs
sΔ
Ls
Gs
, de donde,
(3-8)
Reemplazando la ecuación (3-7) en la (3-8), se tiene también que:
sΔ
180 s
πR
πRΔ
Ls
180
Ls
, esto es,
(3-9)
A esta misma expresión también se puede llegar, relacionando la
longitud de toda la circunferencia 2πR con su ángulo central de 360 ,
así:
Ls 2πR
Δ 360
, de donde, Ls
πRΔ
180
EJEMPLO 3.1: Curvatura de una curva circular
Datos:
Una de las curvas horizontales de una determinada carretera tiene un
radio de 80 metros.
Calcular:
El grado de curvatura de dicha curva.
Solución:
Como se demostró anteriormente, el grado de curvatura Gs=1 de una
curva de radio R, es el ángulo central correspondiente a un arco de 1
metro, esto es:
Gs 1
44
180
180
0.716197243 / m 0 42' 58.31" / m
πR π 80 m
James Cárdenas Grisales
SISTEMA CUERDA-GRADO
En este caso, según la Figura 3.3, el ángulo central Gc es subtendido
por una cuerda unidad c.
Figura 3.3
Curvatura por el sistema cuerda-grado
En uno de los dos triángulos formados, se tiene:
c
Gc 2
sen
2 R
Gc 2 arcsen
, de donde,
c
2R
(3-10)
Esta expresión para Gc es la que tradicionalmente se le ha conocido
como grado de curvatura de una curva circular de radio R, bajo el
sistema cuerda-grado, la cual variará según el valor de la cuerda
unidad c.
45
Diseño geométrico de carreteras
Para este sistema, la longitud de la curva Lc, es la de una poligonal
inscrita en ella desde el PC al PT, cuyos lados son cuerdas. De esta
manera, si se relacionan cuerdas a ángulos centrales, se puede plantear
que:
Lc
c
Δ Gc
Lc
, de donde,
cΔ
Gc
(3-11)
EJEMPLO 3.2: Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado
Mediante este ejemplo, se explica la relación que existe entre los
sistemas arco-grado y cuerda-grado. Para tal efecto, supóngase que se
tiene un ángulo de deflexión principal =120 y un radio R=42m.
En la Figura 3.4, se ilustra la relación que existe entre los sistemas
arco-grado y cuerda grado.
Figura 3.4
46
Relación entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado
James Cárdenas Grisales
Al tomar como arco unidad s=10m, según la ecuación (3-7), el ángulo
central Gs , correspondiente a este arco, es:
Gs
180 s 180 10
13 38' 30.67"
πR
π 42
La cuerda equivalente ce al arco s=10m, es:
c e 2R sen
Gs
13 38' 30.76"
2 42 sen
9.976 m s 10 m
2
2
Como puede observarse la cuerda equivalente ce es 24 mm más corta.
Si ahora se toma como cuerda unidad el valor de c=10m, según la
ecuación (3-10), el ángulo central Gc , correspondiente a esta cuerda,
es:
Gc 2 arcsen
c
10
2 arcsen
13 40'27.42"
2R
2 42
El arco equivalente se a la cuerda c=10m, es:
se
πRGc π 42 13 40'27.42"
10.024m c 10 m
180
180
Puede observarse que el arco equivalente se es 24 mm más largo.
Ahora bien, en lo que respecta a las longitudes de las curvas, la
longitud de la curva Ls por el sistema arco, según la ecuación (3-8), es:
Ls
sΔ
10 120
87.965 m
Gs 13 38'30.67"
O utilizando la ecuación (3-9):
Ls
πRΔ π 42 120
87.965 m
180
180
De igual manera, la longitud de la curva Lc por el sistema cuerda,
según la ecuación (3-11), es:
Lc
cΔ
10 120
87.756 m Ls
Gc 13 40'27.42"
47
Diseño geométrico de carreteras
La longitud de la curva por el sistema cuerda equivalente Lce, es:
Lce
c e Δ 9.976 120
87.753 m
Gs 13 38'30.67"
Obsérvese que Lc es prácticamente lo mismo que Lce. Esto quiere decir,
que una curva calculada por el arco puede ser localizada con cualquier
cuerda, a excepción de que cualquier ajuste que se haga se debe
realizar sobre la longitud calculada por la cuerda y no por el arco.
Obviamente, el abscisado que prevalece a partir del PT, es el del
sistema arco. Por lo tanto, para que las abscisas, por ejemplo a cada 10
metros, sobre la curva coincidan con las del sistema arco, y si la
localización se realiza por cuerdas, se debe utilizar la cuerda
equivalente.
3.2.4 Deflexión de una curva circular simple
Tradicionalmente, el cálculo y la localización de las curvas circulares
simples en el terreno, en especial para el caso de localización directa,
se realizan por el método de los ángulos de deflexión.
Se denomina ángulo de deflexión de una curva, al ángulo formado
entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda dirigida desde el
punto de tangencia a cualquier otro punto P sobre la curva, tal como lo
muestra la Figura 3.5, para el ángulo de deflexión 1 correspondiente a
la tangente en el PC y el punto P1, y el ángulo de deflexión 2
correspondiente a la tangente en el punto Q y el punto P2.
Por un teorema de la geometría se sabe que el ángulo semiinscrito es
igual a la mitad del ángulo central. Esto es, en general:
δ
φ
2
(3-12)
La anterior expresión de igualdad de ángulos se puede comprobar en
la figura, pues los lados que forman los ángulos 1 y 1/2 son
perpendiculares entre sí. Así por ejemplo:
48
James Cárdenas Grisales
Figura 3.5
δ1
Concepto de ángulo de deflexión
φ1
2
Puesto que el lado PCPI es perpendicular al lado OPC y el lado PCP1
perpendicular al lado OA.
Igualmente,
δ2
φ2
2
El método más usual en nuestro medio es el de calcular y deflectar las
curvas desde el PC. En este método se pueden presentar dos casos:
49
Diseño geométrico de carreteras
DEFLEXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA
DEL PC ES REDONDA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, Lc, ES
IGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, c
Realmente este es un caso poco común, especialmente en lo que
respecta a la longitud de la curva. Sin embargo, se ha planteado de
esta forma con el propósito de entender más fácilmente el método de
las deflexiones.
Se entiende por abscisa redonda, aquella que es múltiplo de la
respectiva cuerda unidad que se utilice. Así por ejemplo, para una
cuerda unidad de 5 metros una abscisa redonda es el K2+225, para 10
metros el K3+430 y para 20 metros el K5+680.
Por lo tanto, de acuerdo a la Figura 3.6, en la que se ha supuesto que
la longitud de la curva sea igual a tres (3) cuerdas unidad, se tiene:
Según la ecuación (3-12), la deflexión para la cuerda unidad c es:
δ
Gc
2
(3-13)
Entonces, para el punto P1 sobre la curva, la deflexión es:
δ1
Gc
2
Para localizar el punto P1 en el campo, se estaciona el tránsito en el PC
con ceros en la dirección del PI. Se deflecta el ángulo 1 y en esta
dirección se mide la primera cuerda unidad c, quedando materializado
dicho punto.
Para el punto P2 la deflexión es:
δ2
Gc Gc Gc Gc
G
δ1 c
2
2
2
2
De igual manera, para localizar el punto P2, se marca en el tránsito el
ángulo 2 y se mide la segunda cuerda c desde el punto P1. La
50
James Cárdenas Grisales
intersección de esta medida con la visual dirigida desde el PC
materializa este punto.
Figura 3.6
Deflexión de una curva circular. Caso particular
Para el último punto, el PT, la deflexión es:
δ3
G
G G
Gc Gc Gc Gc Gc Gc
δ1 c c δ 2 c
2
2 2
2
2
2
Al marcar en el tránsito el ángulo de deflexión 3, la dirección de la
visual debe coincidir con el PT y la distancia P2PT debe ser igual a la
cuerda unidad c. La no coincidencia e igualdad, identifican la
51
Diseño geométrico de carreteras
precisión en el cierre de la curva, puesto que el PT ha sido previamente
localizado desde el PI.
Resumiendo:
δ1
Gc
2
Gc
2
Gc 3Gc Δ
δ3 δ2
2
2
2
δ 2 δ1
De acuerdo con las expresiones anteriores, se puede ver que, la
deflexión para cualquier punto sobre la curva es igual a la deflexión
para el punto anterior más la deflexión por cuerda unidad Gc /2, y que la
deflexión al PT es igual a /2.
DEFLEXIÓN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA
DEL PC ES FRACCIONARIA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, Lc,
NO ES IGUAL A UN NÚMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, c
Este es el caso más general que se presenta, en el cual al traerse un
abscisado desde un cierto origen, se llega al PC con una abscisa
fraccionaria, por ejemplo el K2+423.876. El primer punto de la curva
debe situarse en la abscisa redonda inmediatamente superior a la del
PC, la cual depende de la cuerda unidad que se esté utilizando. Así por
ejemplo, para c=5m es el K2+425, para c=10m es el K2+430 y para c=20m
es el K2+440. La distancia del primer punto al PC es la diferencia entre
su abscisa redonda y la del PC, que para el ejemplo es 1.124m, 6.124m y
16.124m respectivamente. Esto mismo se presenta antes del PT.
52
Como puede observarse, se han originado cuerdas de menor longitud
que la cuerda unidad, las cuales se denominan subcuerdas, y cuyas
deflexiones correspondientes se deben calcular proporcionalmente al
valor de la cuerda unidad c. De allí que es necesario determinar la
deflexión por metro d, así:
52
James Cárdenas Grisales
Gc
" c" metros
2
d "1" metro
De donde,
d
Gc
2c
(3-14)
Para las diferentes cuerdas unidad de 5m, 10m y 20m, las deflexiones
expresadas en grados por metro son:
Gc
/ m
10 m
G
d10 c / m
20 m
G
d 20
c / m
40 m
d 5
También estas deflexiones pueden ser expresadas en minutos por
metro:
d 5'
Gc 60'
'
6 Gc / m
10 m 1
'
d10
Gc 60'
'
3Gc / m
20 m 1
'
d 20
Gc 60'
'
1.5Gc / m
40 m 1
Conocida la deflexión por metro, la deflexión por subcuerda es:
Deflexión por subcuerda Longitud subcuerdaDeflexión por metro
Como se mencionó anteriormente, para casos de materialización de
proyectos por localización directa, este método convencional de
deflexiones, actualmente podría tener aplicación en proyectos de esta
índole.
53
Diseño geométrico de carreteras
Con el propósito de explicar este método general, supóngase que se
tiene la curva de la Figura 3.7, trazada con dos subcuerdas c1
adyacente al PC y c2 adyacente al PT, y dos cuerdas unidad c, tal que:
Figura 3.7
Deflexión de una curva circular. Caso general
Deflexión para: P1
G G c
δ1 c1 d c1 c c 1
2c c 2
G
g
Pero, c 1
, entonces,
c
c1
δ1
54
g1 c1
c1 2
, esto es,
James Cárdenas Grisales
δ1
g1
φ
1
2
2
Deflexión para: P2
δ2
g1 Gc g1 Gc
G
φ
δ1 c 2
2
2
2
2
2
Deflexión para: P3
δ3
g1 Gc Gc g1 Gc Gc
G
φ
δ2 c 3
2
2 2
2
2
2
Deflexión para el: PT
δ4
g1 Gc Gc g 2 g1 Gc Gc g 2
g
φ
Δ
δ3 2 4
2
2
2 2
2
2 2
2
Esta deflexión se puede expresar también como,
G G g g Δ
δ4 c c 1 2
2 2 2 2
2
Esta última deflexión dice que,
Deflexión al PT=Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Y debe ser igual a /2. De nuevo, la no coincidencia de esta última
visual con el PT materializado desde el PI, indica el error de cierre en
ángulo de la curva.
3.2.5 Relación entre las coordenadas planas y l as
coordenadas polares
En un plano horizontal, la posición de un alineamiento recto se puede
fijar por dos métodos: mediante las coordenadas planas (Norte y Este)
de sus puntos extremos o mediante su dirección (Rumbo o Azimut) y
longitud. Para tal efecto, en la Figura 3.8, se representan cuatro
alineamientos rectos, cada uno ubicado en los siguientes cuadrantes:
55
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.8
Coordenadas planas y coordenadas polares
Cuadrante Noreste (NE):
Cuadrante Sureste (SE):
Cuadrante Suroeste (SW):
Cuadrante Noroeste (NW):
Alineamiento OA
Alineamiento OB
Alineamiento OC
Alineamiento OD
Si se conocen las coordenadas planas del punto inicial O (NO, EO) de
cada alineamiento, las coordenadas planas de su punto final respectivo
y su longitud se calculan así:
Cuadrante Noreste: NE
El alineamiento OA tiene una dirección dada por el rumbo NAE o por
el azimut :
56
James Cárdenas Grisales
N A NO ΔNOA NO OA cos α
E A EO ΔEOA EO OA sen α
OA
ΔNOA 2 ΔEOA 2
Para azimutes entre 0 y 90 los valores de su coseno y seno son
positivos, por lo que el punto A está al Norte y al Este del punto O.
Cuadrante Sureste: SE
El alineamiento OB tiene una dirección dada por el rumbo SBE o por
el azimut :
N B NO ΔNOB NO OA cos β
E B EO ΔEOB EO OA sen β
OB
ΔNOB 2 ΔEOB 2
Se ve que para azimutes entre 90 y 180 el valor del coseno es
negativo y del seno positivo, por lo que el punto B está al Sur y al Este
del punto O. Entonces, al trabajar con azimutes se tiene la gran ventaja
de que su funciones coseno y seno arrojan el signo, lo que permite
directamente sumar o restar los incrementos respectivos (N, E) a las
coordenadas del punto inicial para obtener las del punto final.
Cuadrante Suroeste: SW
El alineamiento OC tiene una dirección dada por el rumbo SCW o por
el azimut :
NC NO ΔNOC NO OC cos δ
EC EO ΔEOC EO OC sen δ
OC
ΔNOC 2 ΔEOC 2
Para azimutes entre 180 y 270 los valores de su coseno y seno son
negativos, por lo que el punto C está al Sur y al Oeste del punto O.
Cuadrante Noroeste: NW
El alineamiento OD tiene una dirección dada por el rumbo NDW o por
el azimut :
N D NO ΔNOD NO OD cos φ
57
Diseño geométrico de carreteras
E D EO ΔEOD EO OD sen φ
OD
ΔNOD 2 ΔEOD 2
Para azimutes entre 270 y 360 el valor del coseno es positivo y del
seno negativo, por lo que el punto D está al Norte y al Oeste del punto
O.
EJEMPLO 3.3: Elementos geométricos y deflexiones de una curva
circular simple derecha
Datos:
Para una curva circular simple derecha (indica que su sentido de
avance es hacia la derecha, o su ángulo de deflexión principal es
derecho, representado con la letra D) como la mostrada en la Figura
3.9, se conocen los siguientes elementos:
Coordenadas del PI
Azimut de la tangente de entrada
Ángulo de deflexión principal
Abscisa del PC
Radio de la curva
Cuerda unidad
= 1000N, 500E
= 31
= = 60 D
= K2+423.740
= R = 70m
= c = 10m
Calcular:
a) Los demás elementos geométricos que caracterizan esta curva.
b) Las coordenadas del PC y del PT.
c) Las coordenadas del centro de la curva.
d) Las deflexiones.
Solución:
a)
Elementos geométricos
Grado de curvatura: Gc
Gc 2 arcsen
58
c
10
2 arcsen
8 11' 31.52"
2R
2 70
James Cárdenas Grisales
Figura 3.9
Curva circular simple derecha
Tangente: T
T R tan
60
Δ
40.415m
70 tan
2
2
Longitud de la curva: Lc
Lc
cΔ
10 60
73.241m
Gc 8 11' 31.52"
Cuerda larga: CL
CL 2 R sen
Δ
60
2 70 sen
70.000 m
2
2
59
Diseño geométrico de carreteras
Externa: E
1
1
10.829 m
E R
1
1 70
60
cos Δ
cos
2
2
Ordenada media: M
Δ
60
9.378 m
M R 1 - cos 70 1 - cos
2
2
Abscisa del: PT
Abscisa PT Abscisa PC Lc K 2 423.740 73.241 K 2 496.981
b)
Coordenadas del PC y PT
Coordenadas del: PC
En este caso el punto inicial es el PI y el punto final el PC, de tal
manera que el alineamiento PIPC, correspondiente a la tangente T,
tiene un azimut representado por el ángulo . Esto es:
α 31 180 211
N PC N PI T cos α 1000 40.415 cos 211 1000 34.642 965.358
E PC E PI T sen α 500 40.415 sen 211 500 20.815 479.185
Obsérvese que el alineamiento PIPC está ubicado en el cuadrante SW,
por lo que el PC está al Sur y al Oeste del PI.
Coordenadas del: PT
Aquí el punto final es el PT, de tal manera que el alineamiento PIPT,
correspondiente a la tangente T de salida, tiene un azimut representado
por el ángulo . Esto es:
β 31 Δ 31 60 91
60
James Cárdenas Grisales
N PT N PI T cos β 1000 40.415 cos 91 1000 0.705 999.295
E PT E PI T sen β 500 40.415 sen 91 500 40.409 540.409
Igualmente, obsérvese que el alineamiento PIPT está ubicado en el
cuadrante SW, por lo que el PT está al Sur y al Este del PI.
c)
Coordenadas del centro O de la curva
Las coordenadas del centro O de la curva se pueden calcular con base
en las coordenadas ya obtenidas del PC. Por lo tanto, el punto inicial
es el PC y el punto final el centro O, tal que el alineamiento PCO,
correspondiente al radio R de la curva, tiene un azimut representado
por el ángulo . Esto es:
δ 31 90 121
NO N PC R cos δ 965.358 70 cos 121 965.358 36.053 929.305
EO E PC
d)
R sen δ 479.185 70 sen 121 479.185 60.002 539.187
Deflexiones
Deflexión por metro:
La deflexión unitaria, expresada en grados, minutos y segundos, por
metro es:
d10
Gc
8 11' 31.52"
0 24' 34.58" / m
20 m
20 m
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 8 11' 31.52"
4 5' 45.76" / cuerda
2
2
Deflexión por subcuerda adyacente al: PC
Longitud subcuerda K 2 430 K 2 423.740 430 423.740 6.260m
Deflexión por subcuerda 6.260m 0 24' 34.58" / m 2 33' 50.87"
61
Diseño geométrico de carreteras
Deflexión por subcuerda adyacente al: PT
Longitud subcuerda K 2 496.981 K 2 490 496.981 490 6.981m
Deflexión por subcuerda 6.981m 0 24' 34.58" / m 2 51' 34.04"
Chequeo deflexión al: PT
Deflexión al PT Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT 6 cuerdas 4 5' 45.76" / cuerda 2 33' 50.87" 2 51' 34.04"
Δ
Deflexión al PT 29 59' 59.47" 30
2
Las 53 centésimas de segundos (0.53") faltantes para completar el valor
exacto de /2=30 se deben a los redondeos en las cifras decimales.
De esta manera, con toda la información anterior, se puede elaborar la
cartera de tránsito para la localización de la curva en el terreno, tal
como se indica en la Tabla 3.1. En cada una de las columnas de la
cartera se consigna la siguiente información:
La primera columna (ESTACIÓN) indica los puntos de estación del
tránsito, que para el caso corresponden al PC y PT, respectivamente.
La segunda columna (ABSCISA) corresponde a las abscisas de los
diversos puntos, las cuales, como puede observarse, se han llevado de
abajo hacia arriba por simple comodidad de lectura en la localización
del eje de la vía en el campo.
La tercera columna (DEFLEXIÓN) muestra los diversos ángulos de
deflexión que permiten materializar la curva.
La cuarta columna (ELEMENTOS) presenta la información de todos los
elementos geométricos que definen la curva.
En la quinta columna (AZIMUT) se indican los azimutes de las tangentes
de entrada y salida respectivamente.
Y en la sexta columna (ANOTACIONES) se disponen las anotaciones u
observaciones que sean necesarias.
62
James Cárdenas Grisales
Tabla 3.1
ESTACIÓN
PT
PC
Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple derecha
ABSCISA
K2+560.000
540
520
500
K2+496.981
490
480
470
460
450
440
430
K2+423.740
420
400
380
K2+360.000
DEFLEXIÓN
ELEMENTOS
AZIMUT
2959'59.47"
= 60D
R = 70.000m
2708'25.43"
c = 10m
2302'39.67"
1856'53.91" Gc=0811'31.52"
T = 40.415m
1451'08.15"
Lc = 73.241m
1045'22.39"
0639'36.63" CL = 70.000m
E = 10.829m
0233'50.87"
M = 9.378m
0000'00.00"
ANOTACIONES
91
PT
31
PC
EJEMPLO 3.4: Elementos geométricos y deflexiones de una curva
circular simple izquierda
Datos:
Para una curva circular simple a la izquierda como la mostrada en la
Figura 3.10, se conocen los siguientes elementos:
Rumbo de la tangente de entrada
Ángulo de deflexión principal
Abscisa del PI
Coordenadas del PI
Cuerda unidad
Grado de curvatura
= N72 30'E
= = 60 30'I
= K2+226
= 10000N, 5000E
= c = 20m
= Gc = 6
Calcular:
a) Sus elementos geométricos: radio, tangente, longitud de curva,
cuerda larga, externa y ordenada media.
b) Las abscisas del PC y PT.
c) Las coordenadas del PC y PT.
d) Las deflexiones.
63
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.10
Curva circular simple izquierda
Solución:
a)
Elementos geométricos
Radio: R
R
c
G
2 sen c
2
Tangente: T
T R tan
64
20
2 sen
6
2
191.073 m
60 30'
Δ
111.430 m
191.073 tan
2
2
James Cárdenas Grisales
Longitud de la curva: Lc
Lc
cΔ 20 60 30'
201.667 m
Gc
6
Cuerda larga: CL
CL 2 R sen
60 30'
Δ
2 191.073 sen
192.515 m
2
2
Externa: E
1
1
30.118 m
E R
1
1 191.073
60 30'
cos Δ
cos
2
2
Ordenada media: M
Δ
60 30'
26.017 m
M R 1 cos 191.0731 cos
2
2
b)
Abscisas del PC y PT
Abscisa PC Abscisa PI T K2 226 111.430 K2 114.570
Abscisa PT Abscisa PC Lc K 2 114.570 201.667 K 2 316.237
c)
Coordenadas del PC y PT
Coordenadas del: PC
N PC 10000 T cos 72 30' 10000 111.430 cos 72 30' 9966.492
E PC 5000 T sen 72 30' 5000 111.430 sen 72 30' 4893.727
Coordenadas del: PT
Se debe conocer el rumbo o el azimut de la tangente de salida, para lo
cual en el PI, se tiene:
, de donde,
α Δ 72 30'
α 72 30' Δ 72 30' 60 30' 12
65
Diseño geométrico de carreteras
Esto es, N12 E, por lo tanto las coordenadas del PT son:
N PT 10000 T cos α 10000 111.430 cos 12 10108.995
E PT 5000 T sen α 5000 111.430 sen 12 5023.168
d)
Deflexiones
Deflexión por metro:
La deflexión expresada en grados, minutos y segundos, por metro es:
d 20
Gc
6
0 09' 0" / m
40 m 40 m
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 6
3 0' 0" / cuerda
2
2
Deflexión por subcuerda adyacente al: PC
Longitud subcuerda 120 114.570 5.430m
Deflexión por subcuerda 5.430m 0 9' 0" / m 0 48' 52.20"
Deflexión por subcuerda adyacente al: PT
Longitud subcuerda 316.237 300 16.237m
Deflexión por subcuerda 16.237m 0 9' 0" / m 2 26'7.98"
Chequeo deflexión al: PT
Deflexión al PT Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT 9 cuerdas 3 0' 0" / cuerda 0 48' 52.20" 2 26'7.98"
Deflexión al PT 30 15' 0.18"
Δ
30 15'
2
De nuevo, las 18 centésimas de segundo (0.18") sobrantes para
completar el valor exacto de /2=30 15', se deben a los redondeos en
las cifras decimales. De esta manera, se elabora la cartera de tránsito
para la localización de la curva, tal como se indica en la Tabla 3.2.
66
James Cárdenas Grisales
Tabla 3.2
Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple izquierda
ESTACIÓN
ABSCISA
DEFLEXIÓN
PT
K2+316.237
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
K2+114.570
3015'00.18"
2748'52.20"
2448'52.20"
2148'52.20"
1848'52.20"
1548'52.20"
1248'52.20"
0948'52.20"
0648'52.20"
0348'52.20"
0048'52.20"
0000'00.00"
PC
ELEMENTOS
= 6030'I
c = 20m
Gc = 6
R = 191.073m
T = 111.430m
Lc = 201.667m
CL = 192.515m
E = 30.118m
M = 26.017m
RUMBO
ANOTACIONES
N12E
PT
N7230'E
PC
EJEMPLO 3.5: Elementos geométricos y deflexiones de curvas
circulares simples de sentido contrario
Datos:
Para el par de curvas simples de diferente sentido de la Figura 3.11, se
conocen los siguientes elementos:
Distancia del PI1 al PI2 = 200.830m
= K4+274
Abscisa del PC1
1
= 86 38'D
c1
Gc1
2
c2
Gc2
= 10m
= 6 30'
= 62 42'I
= 5m
= 4 28'
Calcular:
a) Los demás elementos geométricos de la curva 1.
b) Los demás elementos geométricos de la curva 2.
c) Las deflexiones de la curva 1.
d) Las deflexiones de la curva 2.
67
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.11
Curvas circulares simples de sentido contrario
Solución:
a)
Elementos geométricos de la curva 1
Radio: R1
R1
c1
G
2 sen c1
2
10
88.195 m
6 30'
2 sen
2
Tangente: T1
T1 R1 tan
86 38'
Δ1
83.159 m
88.195 tan
2
2
Longitud de la curva: Lc1
Lc1
68
c1 Δ1 10 86 38'
133.282 m
Gc1
6 30'
James Cárdenas Grisales
Cuerda larga: CL1
CL1 2 R1 sen
Δ1
86 38'
2 88.195 sen
121.009 m
2
2
Externa: E1
1
1
33.023 m
1
E1 R1
1 88.195
86 38'
cos Δ1
cos
2
2
Ordenada media: M1
Δ
86 38'
24.027 m
M1 R1 1 cos 1 88.195 1 cos
2
2
Abscisa: PT1
Abscisa PT1 Abscisa PC1 Lc1 K 4 274 133.282 K 4 407.282
b)
Elementos geométricos de la curva 2
Radio: R2
R2
c2
G
2 sen c2
2
5
64.153 m
4 28'
2 sen
2
Tangente: T2
T2 R2 tan
62 42'
Δ2
39.082 m
64.153 tan
2
2
Longitud de la curva: Lc2
Lc 2
c 2 Δ2 5 62 42'
70.187 m
Gc 2
4 28'
Cuerda larga: CL2
CL2 2 R2 sen
Δ2
62 42'
2 64.153 sen
66.753 m
2
2
69
Diseño geométrico de carreteras
Externa: E2
1
1
10.967 m
1
E 2 R2
1 64.153
62 42'
cos Δ2
cos
2
2
Ordenada media: M2
Δ
62 42'
9.366 m
M 2 R2 1 cos 2 64.1531 cos
2
2
Abscisa: PC2
Abscisa PC2 Abscisa PT1 PT1 PC2 Abscisa PT1 PI1 PI 2 T1 T2
Abscisa PC2 K4 407.282 200.830 83.159 39.082 K 4 485.871
Abscisa: PT2
Abscisa PT2 Abscisa PC2 Lc2 K 4 485.871 70.187 K 4 556.058
c)
Deflexiones de la curva 1
Con el propósito de mostrar un método en la aproximación de los
ángulos de deflexión a cifras enteras o redondas, en este ejemplo
dichos ángulos se aproximarán al minuto.
Con esta condición, se tiene:
Deflexión por metro:
Para una cuerda de 10 metros, la deflexión expresada en minutos por
metro es:
'
d10
3Gc1 3 6 30' 19.5' / m
Deflexión por cuerda unidad:
Gc1 6 30'
3 15' / cuerda
2
2
70
James Cárdenas Grisales
Deflexión por subcuerda adyacente al: PC1
Longitud subcuerda 280 274 6m
Deflexión por subcuerda 6m 19.5' / m 117' 157'
Deflexión por subcuerda adyacente al: PT1
Longitud subcuerda 407.282 400 7.282 m
Deflexión por subcuerda 7.282 m 19.5' / m 141.999' 142' 2 22'
Chequeo deflexión al: PT1
Deflexión al PT1 Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT1 12 cuerdas 3 15' / cuerda 157' 2 22'
Δ
Deflexión al PT1 43 19' 1
2
Es importante anotar que la aproximación al minuto debe hacerse al
calcular las deflexiones por subcuerdas (117' y 142') y no al calcular la
deflexión por metro (19.5'). Esto garantiza que la deflexión al PT1 sea
lo más cerca posible a 1/2, así como en el caso, que es exactamente
igual a 86 38'/2=43 19'.
En la parte inferior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito o
localización de esta primera curva.
En esta cartera también se observa que, si se supone que la tangente de
entrada de la primera curva apunta en la dirección N25 00'E, los
rumbos calculados para las tangentes de salida serán respectivamente
S68 22'E y N48 56'E.
d)
Deflexiones de la curva 2
Deflexión por metro:
Para una cuerda de 5 metros, la deflexión expresada en minutos por
metro es:
d 5' 6 Gc2 6 4 28' 26.8' / m
71
Diseño geométrico de carreteras
Tabla 3.3
ESTACIÓN
PT2
PC2
PT1
PC1
72
Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples de distinto
sentido
ABSCISA
560
K4+556.058
555
550
545
540
535
530
525
520
515
510
505
500
495
490
K4+485.871
480
470
460
450
440
430
420
410
K4+407.282
400
390
380
370
360
350
340
330
320
310
300
290
280
K4+274.000
270
DEFLEXIÓN
3121'
3053'
2839'
2625'
2411'
2157'
1943'
1729'
1515'
1301'
1047'
0833'
0619'
0405'
0151'
0000'
4319'
4057'
3742'
3427'
3112'
2757'
2442'
2127'
1812'
1457'
1142'
0827'
0512'
0157'
0000'
ELEMENTOS
RUMBO
ANOTACIONES
N4856'E
PT2
S6822'E
PC2
S6822'E
PT1
N2500'E
PC1
2 = 6242'I
c2 = 5m
Gc2 = 428'
R2 = 64.153m
T2 = 39.082m
Lc2 = 70.187m
CL2 = 66.753m
E2 = 10.967m
M2 = 9.366m
1 = 8638'D
c1 = 10m
Gc1 = 630'
R1 = 88.195m
T1 = 83.159m
Lc1 = 133.282m
CL1 = 121.009m
E1 = 33.023m
M1 = 24.027m
James Cárdenas Grisales
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 2 4 28'
2 14' / cuerda
2
2
Deflexión por subcuerda adyacente al: PC2
Longitud subcuerda 490 485.871 4.129m
Deflexión por subcuerda 4.129m 26.8' / m 110.657' 111' 151'
Deflexión por subcuerda adyacente al: PT2
Longitud subcuerda 556.058 555 1.058 m
Deflexión por subcuerda 1.058 m 26.8' / m 28.354' 28' 0 28'
Chequeo deflexión al: PT2
Deflexión al PT2 Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT2 13 cuerdas 2 14' / cuerda 151' 0 28'
Δ
Deflexión al PT2 3121' 2
2
En la parte superior de la Tabla 3.3 se muestra la cartera de tránsito o
localización de esta segunda curva.
EJEMPLO 3.6: Deflexiones de curvas circulares simples del mismo
sentido
Datos:
Para la Figura 3.12, se tiene:
Figura 3.12
Ejemplo 3.6
73
Diseño geométrico de carreteras
Abscisa del PC de la curva 1
Cuerda unidad, ambas curvas
Entretangencia
= K0+000
= 10m
= 90.020m
Calcular:
a) Las deflexiones de la curva 1.
b) Las deflexiones de la curva 2.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.13, se tiene:
Figura 3.13
a)
Deflexiones de curvas circulares simples del mismo sentido
Deflexiones de la curva 1
Siguiendo la bisectriz PI1O1, se tiene:
Radio: R1
R1 E1 99.790m ,
74
E1 T1 tan
Δ1
4
James Cárdenas Grisales
Δ1
Δ
, T1 R1 tan 1
4
2
Δ
Δ
Δ
Δ
R1 E1 R1 R1 tan 1 tan 1 R1 1 tan 1 tan 1
2
4
2
4
R1 E1
99.790
R1
86.421m
Δ1
Δ1
60
60
1 tan
tan
1 tan
tan
2
4
2
4
R1 E1 R1 T1 tan
Grado: Gc1
También con el propósito de mostrar un método en la aproximación
de los ángulos de deflexión a cifras enteras o redondas, en este
ejemplo dichos ángulos se aproximarán al segundo.
Gc1 2 arcsen
c1
10
2 arcsen
6 38' 0.78" 6 38'1"
2R1
2 86.421
Longitud de la curva: Lc1
Lc1
c1 Δ1 10 60
90.448 m
Gc1 6 38'1"
Abscisa: PT1
Abscisa PT1 Abscisa PC1 Lc1 K 0 000 90.448 K 0 90.448
Deflexión por metro:
d10
Gc1 6 38'1"
0 19' 54.05" / m
20
20
Deflexión por cuerda unidad:
Gc1 6 38'1"
3 19' 0.5" / cuerda 3 19'1" / cuerda
2
2
Deflexión por subcuerda adyacente al: PT1
Longitud subcuerda 90.448 90 0.448 m
Deflexión por subcuerda 0.448 m 0 19' 54.05" / m 0 8' 54.93" 0 8' 55"
75
Diseño geométrico de carreteras
Chequeo deflexión al: PT1
Deflexión al PT1 Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT1 9 cuerdas 3 19'1" / cuerda 0 8' 55" 30 0' 4" 30
b)
Δ1
2
Deflexiones de la curva 2
Radio: R2
T2
, T2 PI1 PI 2 PT1 PC2 T1
Δ2
tan
2
60
Δ
49.895 m
T1 R1 tan 1 86.421 tan
2
2
T2 180 90.020 49.895 40.085 m , Δ2 228 180 48 D
T2
40.085
R2
90.032 m
Δ2
48
tan
tan
2
2
R2
Grado: Gc2
Gc 2 2 arcsen
c2
10
2 arcsen
6 22'1.96" 6 22' 2"
2R2
2 90.032
Longitud de la curva: Lc2
Lc 2
c 2 Δ2 10 48
75.386 m
Gc 2 6 22' 2"
Abscisa: PC2
Abscisa PC2 Abscisa PT1 PT1 .PC2 K 0 90.448 90.020 K 0 180.468
Abscisa: PT2
Abscisa PT2 Abscisa PC2 Lc2 K 0 180.468 75.386 K 0 255.854
Deflexión por metro:
d10
76
Gc2 6 22' 2"
0 19' 6.1" / m
20
20
James Cárdenas Grisales
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 2 6 22' 2"
3 11'1" / cuerda
2
2
Deflexión por subcuerda adyacente al: PC2
Longitud subcuerda 190 180.468 9.532m
Deflexión por subcuerda 9.532 m 0 19' 6.1" / m 3 2' 4.63" 3 2' 5"
Deflexión por subcuerda adyacente al: PT2
Longitud subcuerda 255.854 250 5.854m
Deflexión por subcuerda 5.854m 0 19' 6.1" / m 151' 49.27" 151' 49"
Chequeo deflexión al: PT2
Deflexión al PT2 Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT2 6 cuerdas 3 11'1" / cuerda 3 2' 5" 1 51' 49" 24
Δ2
2
En la Tabla 3.4 se muestra la cartera de tránsito o localización de estas
dos curvas.
EJEMPLO 3.7: Elementos geométricos de curvas circulares simples del
mismo sentido
Datos:
Dada la información que aparece en la Figura 3.14 y, además:
Figura 3.14
Ejemplo 3.7
77
Diseño geométrico de carreteras
Tabla 3.4
ESTACIÓN
PT2
PC2
PT1
PC1
Cartera de tránsito o localización de curvas circulares simples del mismo
sentido
ABSCISA
260
K0+255.854
250
240
230
220
210
200
190
K0+180.468
180
170
160
150
140
130
120
110
100
K0+090.448
090
080
070
060
050
040
030
020
010
K0+000.000
DEFLEXIÓN
2400'00"
2208'11"
1857'10"
1546'09"
1235'08"
0924'07"
0613'06"
0302'05"
0000'00"
3000'04"
2951'09"
2632'08"
2313'07"
1954'06"
1635'05"
1316'04"
0957'03"
0638'02"
0319'01"
0000'00"
ELEMENTOS
ANOTACIONES
PT2
c2 = 10m
2 = 48D
R2 = 90.032m
Gc2 = 622'2"
Lc2 = 75.386m
PC2
PT1
c1 = 10m
1 = 60D
R1 = 86.421m
Gc1 = 638'1"
Lc1 = 90.448m
= 20m
Cuerda unidad, ambas curvas
= 600m
Distancia del PI1 al PI2
= 90m
Distancia del PI1 al punto A
= K8+920
Abscisa del PI1
= 269.460m
Entretangencia
El punto A pertenece a la primera curva.
78
RUMBO
PC1
James Cárdenas Grisales
Calcular:
a) La abscisa del PT2.
b) La distancia entre los centros de las curvas.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.15, se tiene:
Figura 3.15
Curvas circulares simples del mismo sentido
a) Abscisa del PT2
Abscisa PT2 Abscisa PC1 Lc1 PT1 PC2 Lc 2
, donde:
Abscisa: PC1
Abscisa PC1 Abscisa PI1 T1 K 8 920 T1
E1
T1
, Δ1 275 180 95 D , E1 90.000 m
Δ1
tan
4
79
Diseño geométrico de carreteras
90.000
, entonces,
204.541m
95
tan
4
Abscisa PC1 K 8 920 204.541 K 8 715.459
T1
Longitud primera curva: Lc1
c1 Δ1 20 95
Gc1
Gc1
c
T
204.541
Gc1 2 arcsen 1
, R1 1
187.427 m
Δ1
2R1
95
tan
tan
2
2
20
, entonces,
6 7' 0.60"
Gc1 2 arcsen
2 187.427
Lc1
Lc1
c1 Δ1
20 95
310.618 m
Gc1 6 7' 0.60"
Entretangencia: PT1PC2
PT1 PC2 269.460 m
Longitud segunda curva: Lc2
Lc 2
c 2 Δ2
Gc 2
, c 2 20 m
T2
Δ
tan 2
2
T2 PI1 PI2 T1 PT1 PC2 600 204.541 269.460 125.999 m
125.999
R2
239.485 m
55 30'
tan
2
20
Gc 2 2 arcsen
4 47'10.71"
2 239.485
Gc 2 2 arcsen
c2
2R2
, Δ2 235 30' 180 55 30' D
, R2
20 55 30'
231.912 m
, por lo tanto,
4 47'10.71"
Abscisa PT2 K8 715.459 310.618 269.460 231.912 K9 527.449
Lc 2
80
James Cárdenas Grisales
b)
Distancia entre los centros de las curvas
Según la Figura 3.16, esta distancia es igual a:
O1O2
PT1 PC2 2 R2 R1 2
O1O2
269.460 2 239.485 187.427 2
Figura 3.16
274.443m
Distancia entre los centros de las curvas
EJEMPLO 3.8: Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada
Datos:
En la Figura 3.17, se muestran tres tramos rectos de una carretera, AB,
BC y CD, conectados por medio de dos curvas circulares simples de
igual radio, de tal manera que existe entre ellas una entretangencia
dada de 255 metros. Además, se tiene la siguiente información
adicional:
81
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.17
Curvas circulares de igual radio y entretangencia dada
Abscisa del punto A
Cuerda unidad para curvas
Coordenadas del punto A
Rumbo y distancia tramo AB
Rumbo y distancia tramo BC
Rumbo y distancia tramo CD
= K0+986.280m
= 10m
= 500N, 100E
= N74 42'E, 612.240m
= S65 28'E, 664.960m
= N44 46'E, 524.380m
Calcular:
a) El radio de las curvas.
b) Las abscisas de los cuatro puntos de tangencia.
c) El número de cuerdas completas para cada curva.
d) Las coordenadas del punto D.
Solución:
a)
Radio de las curvas
El radio de las dos curvas puede expresarse en función de las
tangentes, de la siguiente manera:
BC T1 entretangencia T2
82
James Cárdenas Grisales
664.960 T1 255 T2
, de donde,
T1 T2 409.960 m
, esto es,
Δ
Δ
R1 tan 1 R 2 tan 2 409.960 m
, pero, R1 = R2 = R
2
2
Δ
Δ
, por lo tanto,
R tan 1 tan 2 409.960 m
2
2
409.960
R
Δ
Δ
tan 1 tan 2
2
2
Δ1 180 74 42' 65 28' 39 50' D
Δ2 180 65 28' 44 46' 69 46' I
Luego:
R
b)
409.960
386.937 m R1 R2
39 50'
69 46'
tan
tan
2
2
Abscisas de los cuatro puntos de tangencia
Abscisa: PC1
Abscisa PC1 Abscisa A A PC1
A PC1 AB T1
T1 R1 tan
39 50'
Δ1
140.197 m
386.937 tan
2
2
A PC1 612.240 140.197 472.043 m
Abscisa PC1 K 0 986.280 472.043 K1 458.323
Abscisa: PT1
Abscisa PT1 Abscisa PC1 Lc1
c
10
Gc1 2 arcsen 1 2 arcsen
1 28' 50.86"
2R1
2 386.937
Lc1
c1 Δ1 10 39 50'
269.000 m
Gc1 128' 50.86"
83
Diseño geométrico de carreteras
Abscisa PT1 K1 458.323 269.000 K1 727.323
Abscisa: PC2
Abscisa PC2 Abscisa PT1 PT1 PC2 K1 727.323 255 K1 982.323
Abscisa: PT2
Abscisa PT2 Abscisa PC2 Lc 2
Gc2 Gc1 1 28' 50.86"
c 2 Δ2 10 69 46'
471.143 m
Gc 2 1 28' 50.86"
Abscisa PT2 K1 982.323 471.143 K 2 453.466
Lc 2
c)
Número de cuerdas completas para cada curva
Curva 1:
Longitud por subcuerdas 460 - 458.323 727.323 720 9 m
Longitud por cuerdas completas Longitud curva - Longitud subcuerdas Lc1 9
Longitud por cuerdas completas 269.000 - 9 260.000m
Longitud por cuerdas 260.000
Número de cuerdas completas
26 cuerdas
Longitud cuerda
10
Curva 2:
Longitud por subcuerdas 990 - 982.323 453.466 450 11.143 m
Longitud por cuerdas completas Lc2 11.143 471.143 11.143 460.000 m
460.000
Número de cuerdas completas
46 cuerdas
10
d)
Coordenadas del punto D
N D N A AB cos 74 42' BC cos 65 28' CD cos 44 46'
N D 500 612.240 cos 74 42' 664.960 cos 65 28' 524.380 cos 44 46' 757.747 m
E D E A ABsen 74 42' BCsen 65 28' CDsen 44 46'
E D 100 612.240 sen 74 42' 664.960 sen 65 28' 524.380 sen 44 46' 1664.748 m
84
James Cárdenas Grisales
EJEMPLO 3.9: Curva circular simple tangente a tres alineamientos
dados
Datos:
Para una carretera y según la Figura 3.18, se tienen los siguientes
alineamientos:
Azimut y distancia alineamiento AB = 33 , 222m
Azimut y distancia alineamiento BC = 72 , 218m
Azimut y distancia alineamiento CD = 121 , 242m
Estos tres alineamientos deben unirse con una curva circular simple,
de tal manera que ellos sean tangentes a la curva.
Figura 3.18
Curva circular simple tangente a tres alineamientos
Calcular:
a) El radio de la curva que une los tres alineamientos.
85
Diseño geométrico de carreteras
b) La abscisa del PT de la curva, si la abscisa del punto A es K0+000.
Solución:
a)
Radio de la curva
El radio de la curva puede expresarse en función de las tangentes, así:
T1 T2 BC 218 m
Δ
Δ
, pero, R1 = R2 = R
R1 tan 1 R 2 tan 2 218 m
2
2
Δ
Δ
, por lo tanto,
R tan 1 tan 2 218 m
2
2
218
R
Δ1
Δ
tan tan 2
2
2
Δ1 72 33 39 D
Δ2 121 72 49 D
Luego:
R
218
39
49
tan
tan
2
2
269.187 m
El valor del radio de la curva puede ser también calculado así:
R
T
, T T1 B PI
Δ
tan
2
B PI
, T1 95.324m
86
BC sen Δ2
218 sen 49
164.627 m
sen 180 Δ1 Δ2
sen 180 39 49
Por lo tanto:
R
, Δ Δ1 Δ2 39 49 88 D
95.324 164.627
269.187 m
88
tan
2
James Cárdenas Grisales
b) Abscisa del PT
Abscisa PT Abscisa PC Ls1 Ls 2
, donde:
Abscisa: PC
Abscisa PC Abscisa A A PC
A PC AB T1
, T1 R tan
39
Δ1
95.324m
269.187 tan
2
2
A PC 222 95.324 126.676 m
Abscisa PC K0 000 126.676 K0 126.676
Longitud de la primera parte de la curva: Ls1
Para el sistema arco, según la ecuación (3-9), se tiene:
Ls1
πR1 Δ1 π 269.187 39
183.230 m
180
180
Longitud de la segunda parte de la curva: Ls2
Ls 2
πR2 Δ2 π 269.187 49
230.212 m
180
180
Luego:
Abscisa PT K0 126.676 183.230 230.212 K0 540.118
EJEMPLO 3.10: Replanteo de una curva circular simple de radio dado y
PI inaccesible
Datos:
Según la Figura 3.19, AB y CD son dos tramos rectos de una carretera,
que deben unirse por una curva circular de radio 330 metros. El PI
resultó inaccesible, arrojando los datos mostrados para la poligonal
ABCD.
Calcular:
La información necesaria para replantear la curva con cuerdas de 20
metros.
87
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.19
Ejemplo 3.10
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.20, se tiene:
Figura 3.20
88
Curva de radio dado y PI inaccesible
James Cárdenas Grisales
Ángulo de deflexión principal:
Δ α β 180 160 180 147 30' 52 30' D
Tangente: T
T R tan
52 30'
Δ
162.738 m
330 tan
2
2
Abscisa: PC
Abscisa PC Abscisa A A PC
A PC AB B PC AB x T
x
BC
sen β sen 180 Δ
β 180 147 30' 32 30'
, pero,
,180 Δ 180 52 30' 127 30'
290.30 sen 32 30'
, por lo tanto,
196.606 m
sen 127 30'
A PC 476.95 196.606 162.738 510.818 m
x
Luego:
Abscisa PC K0 000 510.818 K0 510.818
Grado de curvatura: Gc
Gc 2 arcsen
c
20
2 arcsen
3 28' 22.81"
2R
2 330
Longitud de la curva: Lc
Lc
cΔ 20 52 30'
302.332 m
Gc 3 28' 22.81"
Abscisa: PT
Abscisa PT Abscisa PC Lc K 0 510.818 302.332 K 0 813.150
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 3 28' 22.81"
1 44'11.41"
2
2
89
Diseño geométrico de carreteras
Deflexión por metro:
d 20
Gc 3 28' 22.81"
0 5'12.57" / m
40
40
Deflexión subcuerda adyacente al: PC
Longitud subcuerda 520 510.818 9.182m
Deflexión por subcuerda 9.182m 0 5'12.57" / m 0 47' 50.02"
Deflexión subcuerda adyacente al: PT
Longitud subcuerda 813.150 800 13.150m
Deflexión por subcuerda 13.150m 0 5'12.57" / m 18' 30.30"
Chequeo deflexión al: PT
Deflexión al PT Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT 14 cuerdas 1 44'11.41" / cuerda 0 47' 50.02" 18' 30.30"
Δ
Deflexión al PT 26 15' 0.06" 26 15' 00"
2
Así, con la información obtenida, se puede replantear la curva.
EJEMPLO 3.11: Curva circular simple de tangente dada y PI inaccesible
Datos:
Según la Figura 3.21, en el trazado de una carretera el PI quedó en una
laguna, de manera que se trazó una línea de atajo AB igual a 100
metros entre las tangentes. La curva se debe trazar con cuerdas de 20
metros y su tangente se espera que sea de 98.310 metros.
La abscisa de A es
= K2+960
Calcular:
a) Las deflexiones de la curva para el PI inaccesible.
b) ¿A qué lado de la línea AB estará ubicado el punto medio de la
curva?
90
James Cárdenas Grisales
Figura 3.21
Ejemplo 3.11
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.22, se tiene:
Figura 3.22
Curva de tangente dada y PI inaccesible
91
Diseño geométrico de carreteras
a)
Deflexiones
Radio: R
R
T
, Δ 16 44 60 D
Δ
tan
2
98.310
R
170.278 m
60
tan
2
Grado de curvatura: Gc
Gc 2 arcsen
c
20
2 arcsen
6 44' 0.78"
2R
2 170.278
Longitud de la curva: Lc
Lc
cΔ
20 60
178.212m
Gc 6 44' 0.78"
Abscisa: PC
, pero,
Abscisa PC Abscisa A x
y
AB
x 98.310 y ,
sen 44
sen 180 Δ
,180 Δ 180 60 120
100 sen 44
, por lo tanto,
80.212 m
sen 120
x 98.310 80.212 18.098 m
y
Entonces:
Abscisa PC K2 960 18.098 K 2 941.902
Abscisa: PT
Abscisa PT Abscisa PC Lc K 2 941.902 178.212 K 3 120.114
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 6 44' 0.78"
3 22' 0.39"
2
2
92
James Cárdenas Grisales
Deflexión por metro:
d 20
Gc 6 44' 0.78"
0 10' 6.02" / m
40
40
Deflexión subcuerda adyacente al: PC
Longitud subcuerda 960 941.902 18.098m
Deflexión por subcuerda 18.098m 0 10' 6.02" / m 3 2' 47.75"
Deflexión subcuerda adyacente al: PT
Longitud subcuerda 120.114 120 0.114m
Deflexión por subcuerda 0.114m 0 10' 6.02" / m 0 1' 9.09"
Chequeo deflexión al: PT
Deflexión al PT Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT 8 cuerdas 3 22' 0.39" / cuerda 3 2' 47.75" 0 1' 9.09"
Δ
Deflexión al PT 29 59' 59.96" 30
2
b)
Ubicación del punto medio de la curva
60
Δ
26.342 m
PI D Externa T tan 98.310 tan
4
4
PI C
y
180 Δ
180 60
104
,
α
180
16
180
16
sen α
2
2
sen 16
sen 16
22.786 m PI D 26.342 m
PI C 80.212
sen 104
Luego el punto medio D de la curva está ubicado a la derecha de la
línea AB.
EJEMPLO 3.12: Curvas circulares simples de tangentes paralelas
Datos:
Adicionalmente a la información dada en la Figura 3.23, se tiene que:
93
Diseño geométrico de carreteras
La abscisa del PC2 es
La cuerda unidad de la curva 2
Figura 3.23
= K2+200
= c2 = 3m
Ejemplo 3.12
Calcular:
a) El radio de la curva 1.
b) La abscisa del PT2.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.24, se tiene:
a)
Radio de la curva 1
Δ
CL1 2 R1 sen 1 , CL1 52.000 m , Δ1 59 40' I
2
CL1
52.000
R1
52.264m
Δ1
59
40
'
2 sen
2 sen
2
2
, entonces:
b) Abscisa del PT2
Abscisa PT2 Abscisa PC2 Lc 2
c Δ
Lc 2 2 2 , c 2 3 m , Δ2 180 59 40' 120 20' D
Gc 2
c
Gc 2 2 arcsen 2
2R2
94
James Cárdenas Grisales
Figura 3.24
R2
x
T2
Δ
tan 2
2
, T2 T1 x
Curvas circulares de tangentes paralelas
, tan Δ1
PT1 PT2
x
PT1 PT2
7.200
4.213 m
tan Δ1
tan 59 40'
T1 R1 tan
59 40'
Δ1
29.972 m
52.264 tan
2
2
T2 29.972 4.213 25.759 m
, por lo tanto,
25.759
3
14.772 m , Gc2 2 arcsen
11 39' 22.01"
2 14.772
120 20'
tan
2
3 120 20'
, luego:
Lc 2
30.971m
11 39' 22.01"
R2
Abscisa PT2 K 2 200 30.971 K 2 230.971
95
Diseño geométrico de carreteras
EJEMPLO 3.13: Coordenadas del centro de una curva circular
Datos:
Para la Figura 3.25, se tiene:
Coordenadas del punto A
Coordenadas del punto B
= N: 456.322, E: 861.741
= N: 389.985, E: 936.570
Figura 3.25
Ejemplo 3.13
Calcular:
Las coordenadas del centro C de la curva de 14 metros de radio.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.26, las coordenadas de C se pueden
plantear así:
Norte de C Norte de B a cos α - b cos β E R cos δ
Este de C Este de B a sen α - b sen β E R sen δ
96
James Cárdenas Grisales
Figura 3.26
Coordenadas del centro de una curva circular
Distancia: a
sen φ
a
6
a
6
sen φ
α arctan
, φ 180 Δ
,Δ α β
, β 84 12' 46"
EB E A
936.570 - 861.741
arctan
48 26' 33.16"
NB N A
389.985 - 456.322
Δ 48 26' 33.16" 84 12' 46" 132 39'19.16"
φ 180 132 39'19.16" 47 20' 40.84"
6
a
8.158 m
sen 47 20' 40.84"
, entonces,
97
Diseño geométrico de carreteras
Distancia: b
sen φ
8
b
,b
8
10.878 m
sen 47 20' 40.84"
Externa de la curva: E
1
1
20.869 m
E R
1
1 14
132 39'19.16"
cos Δ
cos
2
2
La externa también se puede calcular en función de la tangente T, así:
E T tan
Δ
4
, T R tan
132 39'19.16"
Δ
31.935 m
14 tan
2
2
, entonces:
132 39'19.16"
20.869 m
E 31.935 tan
4
Ángulo:
Este ángulo define el rumbo del alineamiento PIC:
180 Δ 180 132 39'19.16"
23 40' 20.42"
2
2
δ 48 26' 33.16" 23 40' 20.42" 72 6' 53.58"
δ αρ
,ρ
Luego las coordenadas del punto C son:
Norte C 389.985 8.158 cos 48 26' 33.16" 10.878 cos 84 12' 46"
20.869 14 cos 72 6' 53.58" 405.009 m
Este C 936.570 8.158 sen 48 26' 33.16" 10.878 sen 84 12' 46"
20.869 14 sen 72 6' 53.58" 886.459 m
EJEMPLO 3.14: Intersección de una vía en curva con otra vía en recta
Datos:
Para la curva de radio R de la vía 1 de la Figura 3.27, se conocen los
siguientes datos:
98
James Cárdenas Grisales
Ángulo de deflexión principal
Grado de curvatura
Cuerda unidad
Abscisa del PC
Figura 3.27
= = 59 40'I
= Gc = 5 28'
= c = 10m
= K5+972.450
Ejemplo 3.14
Calcular:
a) Las deflexiones para la curva dada.
b) La abscisa donde la vía 1 y la vía 2 se interceptan.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.28, se tiene:
a)
Deflexiones
Longitud de la curva: Lc
Lc
cΔ 10 59 40'
109.146 m
Gc
5 28'
Abscisa: PT
Abscisa PT Abscisa PC Lc K 5 972.450 109.146 K 6 081.596
99
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.28
Vías que se interceptan
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 5 28'
2 44'
2
2
Deflexión por metro:
d10
Gc 5 28'
0 16' 24" / m
20
20
Deflexión subcuerda adyacente al: PC
Longitud subcuerda 980 972.450 7.550m
Deflexión por subcuerda 7.550m 0 16' 24" / m 2 3' 49.20"
Deflexión subcuerda adyacente al: PT
Longitud subcuerda 81.596 80 1.596m
Deflexión por subcuerda 1.596m 0 16' 24" / m 0 26'10.46"
100
James Cárdenas Grisales
Chequeo deflexión al: PT
Deflexión al PT Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT 10 cuerdas 2 44' / cuerda 2 3' 49.20" 0 26'10.46"
Δ
Deflexión al PT 29 49' 59.66" 29 50'
2
Por lo tanto, las deflexiones para la curva son las que se muestran en
la Tabla 3.5.
Tabla 3.5
ESTACIÓN
PT
PC
b)
Cartera de deflexiones para la curva circular
ABSCISA
100
090
K6+081.596
080
070
060
050
040
030
020
010
K6+000
990
980
K5+972.450
970
960
DEFLEXIÓN ANOTACIONES
2949'59.66"
2923'49.20"
2639'49.20"
2355'49.20"
2111'49.20"
1827'49.20"
1543'49.20"
1259'49.20"
1015'49.20"
0731'49.20"
0447'49.20"
0203'49.20"
0000'00.00"
PT
PC
Abscisa del punto de intersección P
Abscisa de P Abscisa PC PC P
, donde,
PCP = Longitud de la curva acumulada hasta P.
Bajo la definición de cuerda-grado, la longitud de la distancia PCP, se
expresa así:
PC P
cα
Gc
101
Diseño geométrico de carreteras
Según el triángulo rectángulo OPQ:
OQ R 20
, esto es,
OP
R
R 20
, pero,
α arccos
R
c
10
, entonces,
R
104.849 m
Gc
5 28'
2 sen
2 sen
2
2
104.849 20
, por lo tanto,
α arccos
35 58'38.39"
104.849
10 35 58' 38.39"
, luego:
PC P
65.812 m
5 28'
Abscisa de P K5 972.450 65.812 K6 038.262
cos α
Por otro lado, si se quiere tener la abscisa exacta del punto P
considerando el arco PCP, se tiene:
πRα π 104.849 35 58' 38.39"
65.837 m
180
180
Abscisa exacta de P K5 972.450 65.837 K6 038.287
PC P
Puede observarse que la abscisa exacta de P es mayor en 25 milímetros
a la calculada anteriormente, lo cual era de esperarse, pues en el
primer caso la curva se desarrolla a través de un polígono y en el
segundo caso se sigue exactamente la trayectoria de arco de la curva.
Sin embargo, en este ejemplo particular, el abscisado a tener en cuenta
es del sistema de cuerdas, esto es, el primero.
EJEMPLO 3.15: Elementos geométricos y cálculo de una curva por
coordenadas
Datos:
Para la curva de la Figura 3.29, se tienen los siguientes datos:
Azimut de la tangente de entrada
Azimut de la tangente de salida
102
= 34
= 101
James Cárdenas Grisales
Radio de la curva
Coordenadas del PI
Abscisa del PC
Sistema a utilizar
= 53m
= 800N, 400E
= K2+423.157
= Arco-grado
Calcular:
a) Los elementos geométricos que caracterizan la curva.
b) Las coordenadas para localizar la curva.
Figura 3.29
Cálculo de una curva circular por coordenadas
103
Diseño geométrico de carreteras
Solución:
a)
Elementos geométricos
Ángulo de deflexión principal:
Δ Azimut tangente de salida Azimut tangente de entrada 101 34 67 D
Tangente: T
T R tan
67
Δ
35.080 m
53 tan
2
2
Longitud de la curva: Ls
Ls
πRΔ π 53 67
61.977 m
180
180
Cuerda larga: CL
CL 2R sen
Δ
67
2 53 sen
58.505 m
2
2
Externa: E
1
1
E R
1 53
1 10.558 m
67
cos Δ
cos
2
2
Ordenada media: M
Δ
67
8.804m
M R 1 cos 531 cos
2
2
Grado de curvatura: Gs=1
Gs 1
104
1 1
0.018867924 radianes 1 4' 51.79" / m
R 53
James Cárdenas Grisales
Abscisa del: PT
Abscisa PT Abscisa PC Ls K 2 423.157 61.977 K 2 485.134
Ángulos centrales:
Si se adopta el eje de la vía abscisado cada 10 metros, se observa que
se presentan dos subarcos, del lado del PC y del lado del PT. Sus
longitudes son:
Subarco lado del PC K2 430 K 2 423.157 6.843m
Subarco lado del PT K2 485.134 K 2 480 5.134m
Utilizando la ecuación (3-7), que relaciona el arco s con el ángulo
central Gs, se tiene que los ángulos centrales y correspondientes a
estos dos subarcos, son:
α
β
180 s 180 6.843
7 23' 51.51"
πR
π 53
180 s 180 5.134
5 33' 0.44"
πR
π 53
A su vez, el ángulo central Gs correspondiente a un arco unidad de 10
metros, es:
Gs
180 s 180 10
10 48' 37.89"
πR
π 53
b)
Coordenadas de puntos de la curva
Coordenadas del: PC
Las coordenadas del PC se calculan con base en las coordenadas del
PI, que sería el punto inicial. Por lo tanto, se debe conocer el azimut
del alineamiento PIPC, representado por el ángulo . De esta manera:
, de donde,
δ 34 180 214
N PC N PI T cos δ 800 35.080 cos 214 800 29.083 770.917
E PC E PI
T sen δ 400 35.080 sen 214 400 19.616 380.384
105
Diseño geométrico de carreteras
Coordenadas del: PT
400 35.080 sen 101 400 34.435 434.435
N PT N PI T cos 101 800 35.080 cos 101 800 6.694 793.306
E PT E PI T sen 101
Coordenadas del centro de la curva: O
Es necesario conocer las coordenadas del centro de la curva, pues a
partir de ellas se calcularán las coordenadas de los diversos puntos
sobre la curva, a través de sus alineamientos radiales.
El azimut del alineamiento PCO, se representa por el ángulo . Por lo
tanto:
ρ 34 90 124
, de donde,
R sen ρ 380.384 53 sen 124 380.384 43.939 424.323
NO N PC R cos ρ 770.917 53 cos 124 770.917 29.637 741.280
EO E PC
Coordenadas de la abscisa: K2+430
El azimut del alineamiento OPC es igual al contra-azimut del
alineamiento PCO. Esto es, el contra-azimut de un alineamiento es el
azimut observado desde el otro extremo del mismo:
AzimutOPC ρ 180 124 180 304
Azimut OK 2 430 Azimut O PC α 304 7 23' 51.51" 311 23' 51.51"
N K2 430 NO R cos AzimutO K 2 430 741.280 53 cos 311 23' 51.51"
741.280 35.048 776.328
E K2 430 EO R sen AzimutO K 2 430 424.323 53 sen 31123' 51.51"
424.323 39.757 384.566
Coordenadas de la abscisa: K2+440
Azimut OK 2 440 Azimut OK 2 430 Gs 31123' 51.51" 10 48' 37.89" 322 12' 29.40"
N K2 440 NO R cos AzimutO K 2 440 741.280 53 cos 322 12' 29.40"
741.280 41.883 783.163
E K2 440 EO R sen Azimut O K 2 440 424.323 53 sen 322 12' 29.40"
424.323 32.478 391.845
106
James Cárdenas Grisales
Coordenadas de la abscisa: K2+450
AzimutOK 2 450 AzimutOK 2 440 Gs 322 12' 29.40" 10 48' 37.89" 333 1'7.29"
N K2 450 NO R cos Azimut OK 2 450 741.280 53 cos 333 1'7.29"
741.280 47.231 788.511
E K2 450 EO R sen AzimutOK 2 450 424.323 53 sen 333 1'7.29"
424.323 24.046 400.277
Coordenadas de la abscisa: K2+460
AzimutOK 2 460 AzimutOK 2 450 Gs 333 1'7.29" 10 48' 37.89" 343 49' 45.18"
N K2 460 NO R cos Azimut O K 2 460 741.280 53 cos 343 49' 45.18"
741.280 50.903 792.183
E K2 460 EO R sen AzimutOK 2 460 424.323 53 sen 343 49' 45.18"
424.323 14.761 409.562
Coordenadas de la abscisa: K2+470
Azimut OK 2 470 Azimut O K 2 460 Gs 343 49' 45.18" 10 48' 37.89" 354 38' 23.07"
N K2 470 NO R cos AzimutO K 2 470 741.280 53 cos 354 38' 23.07"
741.280 52.768 794.048
E K2 470 EO R sen AzimutOK 2 470 424.323 53 sen 354 38' 23.07"
424.323 4.951 419.372
Coordenadas de la abscisa: K2+480
Azimut OK 2 480 Azimut OK 2 470 Gs 354 38' 23.07" 10 48' 37.89" 365 27' 0.96"
N K2 480 NO R cos AzimutO K 2 480 741.280 53 cos 5 27' 0.96"
741.280 52.760 794.040
E K2 480 EO R sen AzimutOK 2 480 424.323 53 sen 5 27' 0.96"
424.323 5.034 429.357
5 27' 0.96"
Coordenadas del: PT
AzimutOPT AzimutO K 2 480 β 5 27' 0.96" 5 33' 0.44" 110'1.40"
N PT NO R cos AzimutOPT 741.280 53 cos 110'1.40"
741.280 52.026 793.306
107
Diseño geométrico de carreteras
E PT EO R sen AzimutO PT 424.323 53 sen 110'1.40"
424.323 10.113 434.436
Como chequeo puede observarse que estas coordenadas son las
mismas a las calculadas previamente desde el PI.
En la Tabla 3.6 se presenta la cartera de coordenadas que permite
localizar la curva circular.
Tabla 3.6
ESTACIÓN
PC
PT
Cartera de coordenadas para localización de la curva circular
ABSCISA
K2+410
K2+420
K2+423.157
K2+430
K2+440
K2+450
K2+460
K2+470
K2+480
K2+485.134
K2+490
K2+500
COORDENADAS
N
E
770.917
776.328
783.163
788.511
792.183
794.048
794.040
793.306
ELEMENTOS
380.384
= 67D
384.566 Gs=1 = 14'51.79"/m
391.845
R = 53.000m
400.277 =
T 35.080m
409.562
Ls = 61.977m
419.372
CL = 58.505m
429.357
E = 10.558m
434.435
M = 8.804m
AZIMUT ANOTACIONES
34
PC
101
PT
EJEMPLO 3.16: Cuadro de localización y elementos de curvas circulares
horizontales simples
Datos:
Además de la información mostrada para las tres curvas de la Figura
3.30, se tienen los siguientes datos:
Coordenadas del POT1 = 839N, 158E
Coordenadas del POT2 = 567N, 653E
Coordenadas del PI1 = 687N, 186E
Coordenadas del PI2 = 922N, 438E
Coordenadas del PI3 = 825N, 664E
= K0+000
Abscisa del POT1
108
James Cárdenas Grisales
Figura 3.30
Ejemplo 3.16
Calcular:
Todos los elementos geométricos necesarios que permitan localizar las
tres curvas.
Solución:
El cálculo de todos los elementos que permiten la localización de las
tres curvas, se realiza con base en la Figura 3.31, siguiendo el sistema
arco.
Distancias y azimutes entre puntos o estaciones:
Alineamiento POT1PI1:
POT1 PI1
N
PI1
N POT1
E
2
PI1
E POT1
2
687 839 2 186 158 2
154.557 m
Az POT1 PI1 arctan
E PI1 E POT1
N PI1 N POT1
arctan
186 158
169 33' 45.09"
687 839
109
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.31
110
Localización de curvas horizontales circulares simples
James Cárdenas Grisales
Alineamiento PI1PI2:
PI1 PI 2
N
PI 2
N PI1
E
2
PI2
2
E PI1
922 687 2 438 186 2
344.571m
Az PI1 PI2 arctan
E PI2 E PI1
N PI2 N PI1
Alineamiento PI2PI3:
N
PI 2 PI 3
PI 3
N PI2
438 186
46 59' 57.29"
922 687
arctan
E
2
PI 3
E PI2
2
825 922 2 664 438 2
245.937 m
Az PI2 PI3 arctan
E PI3 E PI2
N PI3 N PI2
Alineamiento PI3POT2:
PI3 POT2
N
arctan
POT2
N PI3
E
2
POT2
664 438
113 13' 45.05"
825 922
E PI3
2
567 825 2 653 664 2
258.234m
Az PI3 POT2 arctan
E POT2 E PI3
N POT2 N PI3
arctan
653 664
182 26' 28.91"
567 825
Elementos geométricos de la curva 1:
Δ1 Az POT1 PI1 Az PI1 PI2 169 33' 45.09" 46 59' 57.29" 122 33' 47.80" I
T1 R1 tan
122 33' 47.80"
Δ1
124.110 m
68 tan
2
2
πR1 Δ1 π 68 122 33' 47.80"
145.461m
180
180
Δ
122 33' 47.80"
CL1 2 R1 sen 1 2 68 sen
119.271m
2
2
1
1
73.518 m
E1 R1
1
1 68
122 33' 47.80"
cos Δ1
cos
2
2
Ls1
111
Diseño geométrico de carreteras
Δ
122 33' 47.80"
35.326 m
M1 R1 1 cos 1 68 1 cos
2
2
Elementos geométricos de la curva 2:
Δ2 Az PI2 PI3 Az PI1 PI2 113 13' 45.05" 46 59' 57.29" 66 13' 47.76" D
T2 R2 tan
66 13' 47.76"
Δ2
75.010 m
115 tan
2
2
πR2 Δ2 π 115 66 13' 47.76"
132.932 m
180
180
66 13' 47.76"
Δ
125.654m
CL2 2 R2 sen 2 2 115 sen
2
2
1
1
22.301m
1
E 2 R2
1 115
66 13' 47.76"
cos Δ2
cos
2
2
66 13' 47.76"
Δ
18.679 m
M 2 R2 1 cos 2 115 1 cos
2
2
Ls 2
Elementos geométricos de la curva 3:
Δ3 Az PI3 POT2 Az PI2 PI3 182 26' 28.91" 113 13' 45.05" 69 12' 43.86" D
T3 R3 tan
69 12' 43.86"
Δ3
104.192 m
151 tan
2
2
πR3 Δ3 π 15169 12' 43.86"
182.405 m
180
180
Δ
69 12' 43.86"
CL3 2 R3 sen 3 2 151 sen
171.515 m
2
2
1
1
1 32.458 m
1 151
E 3 R3
69 12' 43.86"
cos Δ3
cos
2
2
Δ
69 12' 43.86"
26.716 m
M 3 R3 1 cos 3 1511 cos
2
2
Ls 3
112
James Cárdenas Grisales
Coordenadas de puntos importantes:
Principio de la curva 1: PC1
POT1 PC1 POT1 PI1 T1 154.557 124.110 30.447 m
N PC1 N POT1 POT1 PC1 cos Az POT1 PI1 839 30.447 cos 169 33' 45.09"
839 29.943 809.057 m
158 30.447 sen 169 33' 45.09"
E PC1 E POT1 POT1 PC1 sen Az POT1 PI1
158 5.516 163.516 m
Final de la curva 1: PT1
N PT1 N PI1 T1 cos Az PI1 PI2 687 124.110 cos 46 59' 57.29"
687 84.644 771.644m
186 124.110 sen 46 59' 57.29"
E PT1 E PI1 T1 sen Az PI1 PI2
186 90.767 276.767 m
Principio de la curva 2: PC2
PT1 PC2 PI1 PI 2 T1 T2 344.571 124.110 75.010 145.451m
N PC2 N PT1 PT1 PC2 cos Az PI1 PI2 771.644 145.451 cos 46 59' 57.29"
771.644 99.199 870.843 m
276.767 145.451 sen 46 59' 57.29"
E PC2 E PT1 PT1 PC2 sen Az PI1 PI2
276.767 106.375 383.142 m
Final de la curva 2: PT2
N PT2 N PI2 T2 cos Az PI2 PI3 922 75.010 cos 113 13' 45.05"
922 29.585 892.415 m
438 75.010 sen 113 13' 45.05"
E PT2 E PI2 T2 sen Az PI2 PI3
438 68.929 506.929 m
Principio de la curva 3: PC3
PT2 PC3 PI 2 PI 3 T2 T3 245.937 75.010 104.192 66.735 m
N PC3 N PT2 PT2 PC3 cos Az PI2 PI3 892.415 66.735 cos 113 13' 45.05"
892.415 26.321 866.094m
113
Diseño geométrico de carreteras
E PC3 E PT2 PT2 PC3 sen Az PI2 PI3 506.929 66.735 sen 113 13' 45.05"
506.929 61.325 568.254m
Final de la curva 3: PT3
N PT3 N PI3 T3 cos Az PI3 POT2 825 104.192 cos 182 26' 28.91"
825 104.097 720.903 m
664 104.192 sen 182 26' 28.91"
E PT3 E PI3 T3 sen Az PI3 POT2
664 4.438 659.562 m
Abscisado del eje:
Abscisa PC1 Abscisa POT1 POT1 PC1 K 0 000 30.447 K 0 30.447
Abscisa PT1 Abscisa PC1 Ls1 K 0 30.447 145.461 K 0 175.908
Abscisa PC2 Abscisa PT1 PT1 PC2 K 0 175.908 145.451 K 0 321.359
Abscisa PT2 Abscisa PC2 Ls 2 K 0 321.359 132.932 K 0 454.291
Abscisa PC3 Abscisa PT2 PT2 PC3 K 0 454.291 66.735 K 0 521.026
Abscisa PT3 Abscisa PC3 Ls 3 K 0 521.026 182.405 K 0 703.431
Abscisa POT2 Abscisa PT3 PT3 POT2
PT3 POT2 PI 3 POT2 T3 258.234 104.192 154.042 m
Abscisa POT2 K 0 703.431 154.042 K 0 857.473
En la Tabla 3.7 se muestra el cuadro de localización y elementos de
las curvas. En cada una de sus columnas se consigna la siguiente
información:
La primera columna (PUNTOS) indica los puntos sobre las tangentes y
los puntos de intersección de los diversos alineamientos. La segunda,
tercera y cuarta columnas (COORDENADAS, DISTANCIA y AZIMUT)
corresponde a las coordenadas de los puntos, las distancias entre ellos
y los azimutes de sus alineamientos. Las siguientes cinco columnas (,
R, T, L, CL, E y M) corresponden a los elementos que caracterizan
geométricamente cada una de las curvas, asociados a cada PI. Y las
dos últimas columnas de la segunda parte del cuadro (ABSCISAS y
COORDENADAS) corresponden a las abscisas y coordenadas de los
puntos principales sobre el eje de la vía (POT, PC y PT).
114
687
922
825
567
PI2
PI3
POT2
K0+521.026
PI3
POT2
K0+321.359
PI2
PC
K0+030.447
K0+857.473
28.91
45.05
57.29
45.09
ABSCISAS
26
13
59
33
SEG
PI1
POT1
182
113
46
169
POT
K0+000
258.234
245.937
344.571
154.557
MIN
(m)
GRA
AZIMUT
PT
12
13
33
MIN
K0+703.431
K0+454.291
K0+175.908
69
66
122
GRA
866.094
870.843
809.057
N
43.86
47.76
47.80
SEG
PC
104.192
75.010
124.110
(m)
T
568.254
383.142
163.516
E
720.903
892.415
PT
E
(m)
CL
171.515
125.654
119.271
659.562
506.929
276.767
182.405
132.932
771.644
N
(m)
L
145.461
COORDENADAS
151
115
68
(m)
R
Cuadro de localización y elementos de las curvas horizontales
DIST.
PUNTOS
653
664
438
186
COORDENADAS
N
E
(m)
(m)
839
158
PI1
POT1
PUNTOS
Tabla 3.7
32.458
22.301
73.518
(m)
E
26.716
18.679
35.326
(m)
M
James Cárdenas Grisales
115
Diseño geométrico de carreteras
EJEMPLO 3.17: Desplazamiento paralelo de la tangente de salida de una
curva circular con nuevo radio
Datos:
Para la Figura 3.32, una curva circular simple fue calculada
inicialmente con:
Deflexión principal
Radio
Sistema
Abscisa del PC
Figura 3.32
= = 72 D
= R = 171.910m
= Arco
= K11+919.170
Desplazamiento paralelo de la tangente de salida
Calcular:
El nuevo abscisado para el PT', si la tangente de salida se mueve
paralelamente hacia afuera una distancia de 15 metros, conservando el
PC su posición.
116
James Cárdenas Grisales
Solución:
La nueva abscisa del PT' sobre la variante será:
Abscisa PT' Abscisa PC L' s
πR' Δ'
L' s
180
, donde,
Como la nueva tangente de salida es paralela a la antigua tangente de
salida, entonces:
Δ' Δ 72 D
T'
, T' T PI PI'
R'
Δ'
tan
2
72
Δ
124.900 m
T R tan 171.910 tan
2
2
15
15
, PI PI'
sen Δ
15.772 m
PI PI'
sen 72
T ' 124.900 15.772 140.672 m
140.672
, por lo tanto,
R'
193.618 m
72
tan
2
π 193.618 72
, luego:
L' s
243.308 m
180
Abscisa PT' K11 919.170 243.308 K12 162.478
EJEMPLO 3.18: Ecuación de empalme entre dos vías, curva a curva
Datos:
Para el par de curvas de la Figura 3.33, se tiene:
Radio de la curva 1
Abscisa del PC1
Abscisa del PC2
Sistema
= R1 = 49m
= K1+937.580
= K1+922.260
= Arco
117
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.33
Ejemplo 3.18
Calcular:
La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1.
Solución:
Como se observa en la Figura 3.34 el empalme de las dos vías tiene
lugar en el PT1 o PT2. Las abscisas para cada caso son:
Abscisa: vía 1 (PT1 = PT2)
Abscisa (PT1 PT2 ) vía 1 Abscisa PC1 Ls1
πR Δ
, Δ1 180 α β 180 55 45 80 D
Ls1 1 1
180
π 49 80
, por lo tanto:
Ls1
68.417 m
180
Abscisa (PT1 PT2 ) vía 1 K1 937.580 68.417 K2 005.997
Abscisa: vía 2 (PT2 = PT1)
Abscisa (PT2 PT1 ) vía 2 Abscisa PC2 Ls 2
118
James Cárdenas Grisales
Figura 3.34
Ecuación de empalme curva a curva
πR2 Δ2
, Δ2 180 δ β 180 25 45 110 D
180
T2
R2
, T2 T1 d
Δ2
tan
2
80
Δ
41.116 m
T1 R1 tan 1 49 tan
2
2
d
T1
, ρ 180 δ β Δ1 180 25 45 80 30
sen ρ senδ β
Ls 2
119
Diseño geométrico de carreteras
T1 sen ρ
41.116 sen 30
21.877 m
senδ β sen 25 45
62.993
44.108m
R2
110
tan
2
π 44.108 110
Ls 2
84.681m
180
d
, T2 41.116 21.877 62.993 m
Por lo tanto:
Abscisa (PT2 PT1 ) vía 2 K1 922.260 84.681 K2 006.941
Una vez calculadas las abscisas por las diferentes vías, se procede a
igualarlas, resultando la ecuación de empalme así:
K2 006.941 (vía 2, atrás) K2 005.997 (vía 1, adelante)
EJEMPLO 3.19: Ecuación de empalme entre dos vías, curva a recta
Datos:
Para las dos vías de la Figura 3.35, se tiene:
Abscisa de A
Abscisa de B
Coordenadas de A
Coordenadas de B
Coordenadas de C
= K0+000
= K0+000
= N: 854.821, E: 815.961
= N: 749.243, E: 946.064
= N: 837.081, E: 966.562
Calcular:
a) La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1.
b) La abscisa del punto C.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.36, se tiene:
120
James Cárdenas Grisales
Figura 3.35
Figura 3.36
Ejemplo 3.19
Ecuación de empalme curva a recta
121
Diseño geométrico de carreteras
a)
Ecuación de empalme
Abscisa: PT2 (vía 1)
Abscisa PT2 (vía 1) Abscisa de A A PC1 Lc1 PT1 PT2
Abscisa de A K0 000 , A PC1 30.20 m
cΔ
Lc1 1 1 , c1 10 m , Δ1 180 α β
Gc 1
, donde,
El ángulo define el rumbo del alineamiento AB y el ángulo el
rumbo del alineamiento DC.
α arctan
AB
AB
EB E A
946.064 815.961
arctan
50 56' 26.97"
NB N A
749.243 854.821
E B E A 2 NB N A 2
946.064 815.9612 749.243 854.8212
167.551m
Coordenadas del punto D:
N D N A AD cos α
, AD A PC1 PC1 D 30.20 39.80 70 m
N D 854.821 70 cos 50 56' 26.97" 810.712 m
E D E A AD sen α
E D 815.961 70 sen 50 56' 26.97" 870.316 m
β arctan
DC
DC
EC E D
966.562 870.316
arctan
74 40' 42.10"
NC N D
837.081 810.712
EC ED 2 NC ND 2
966.562 870.316 2 837.081 810.712 2
99.793 m
Δ1 180 50 56' 26.97" 74 40' 42.10" 54 22' 50.93" I
c
T
39.80
Gc1 2 arcsen 1
, R1 1
77.474m
Δ1
2R1
54
22
'
50
.
93
"
tan
tan
2
2
10
10 54 22' 50.93"
, Lc1
Gc1 2 arcsen
7 24' 2.26"
73.481m
2 77.474
7 24' 2.26"
122
James Cárdenas Grisales
PT1 PT2 D PT2 D PT1 T2 T1 88.40 39.80 48.600 m
Por lo tanto:
Abscisa PT2 (vía 1) K0 000 30.200 73.481 48.600 K0 152.281
Abscisa: PT2 (vía 2)
Abscisa PT2 (vía 2) Abscisa de B B PC2 Lc 2
Abscisa de B K0 000
B PC2 AB A PC1 PC1 D D PC2
, donde,
167.551 30.200 39.800 88.400 9.151m
c 2 Δ2
Lc 2
, c2 5 m
Gc 2
Δ2 α β 50 56' 26.97" 74 40' 42.10" 125 37' 9.07" D
c
T2
88.40
Gc 2 2 arcsen 2
, R2
45.413 m
Δ
2R2
tan 2 tan 125 37' 9.07"
2
2
5 125 37' 9.07"
5
, Lc 2
Gc 2 2 arcsen
6 18' 41.37"
99.516 m
2 45.413
6 18' 41.37"
Por lo tanto:
Abscisa PT2 (vía 2) K0 000 9.151 99.516 K0 108.667
De esta manera, la ecuación de empalme es:
K0 108.667(vía 2, atrás) K0 152.281(vía 1, adelante)
b)
Abscisa del punto C
Como la vía 2 empalma en la vía 1, entonces el punto C está sobre la
vía 1:
Abscisa de C Abscisa PT2 (vía 1) PT2 C
PT2 C DC D PT2 DC T2 99.793 88.400 11.393m
Abscisa de C K0 152.281 11.393 K 0 163.674
123
Diseño geométrico de carreteras
EJEMPLO 3.20: Ecuación de empalme entre una variante y una vía
antigua
Datos:
Para la Figura 3.37, el proyecto de trazado por la vía antigua
presentaba grandes cortes, por lo cual fue necesario proyectar una
variante con un mayor desarrollo pero con menores movimientos de
tierra. También se tiene que la distancia PI'1PI'2 es de 362 metros.
Figura 3.37
124
Ejemplo 3.20
James Cárdenas Grisales
Calcular:
La ecuación de empalme de la variante sobre la vía antigua.
Solución:
Como puede apreciarse en la Figura 3.38, el empalme de la variante
con la vía antigua tiene lugar en el PT'3. Por lo tanto, para determinar
su ecuación, es necesario calcular la abscisa de este punto por cada
una de las vías, así:
a)
Abscisa PT'3 por la vía antigua
Abscisa PT' 3 ( vía antigua) Abscisa PC1 Lc1 T '1 PI'1 PI' 3 T ' 3
, donde,
Abscisa: PC1
Abscisa PC1 K 0 000
Longitud de la curva 1: Lc1
Lc1
c1 Δ1
Gc1
, c1 10 m
Gc1 2 arcsen
Lc1
, Δ1 180 29 24 127 I
c1
10
2 arcsen
9 15' 4.68"
2R1
2 62
, entonces,
10 127
137.278 m
9 15' 4.68"
Tangente de la curva 1': T'1
T '1 R'1 tan
Δ'1
2
, Δ'1 24 29 53 I
, entonces,
53
30.912 m
T '1 62 tan
2
Distancia: PI'1PI'3
cos Δ'1
PI'1 PI' 3
PI'1 PI' 2
PI'1 PI' 3 362 cos 53 217.857 m
125
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.38
126
Ecuación de empalme entre una variante y una vía antigua
James Cárdenas Grisales
Tangente de la curva 3': T'3
T ' 3 R' 3 78m
Por lo tanto:
Abscisa PT' 3 ( vía antigua) K0 000 137.278 30.912 217.857 78.000
K0 464.047
b)
Abscisa PT'3 por la variante
Abscisa PT' 3 ( variante) Abscisa PT1 L' c1 PT '1 PC' 2 L' c 2 PT ' 2 PC' 3 L' c 3
Donde,
Abscisa: PT1
Abscisa PT1 Abscisa PC1 Lc1 K 0 000 137.278 K 0 137.278
Longitud de la curva 1': L'c1
L' c1
c'1 Δ'1
G' c1
Como se trata de la prolongación de la curva 1, tendrá la misma
curvatura, esto es:
c'1 c1 10 m
, G' c1 Gc1 9 15' 4.68"
, L' c1
10 53
57.289 m
9 15' 4.68"
Distancia: PT'1PC'2
PT '1 PC' 2 PI'1 PI' 2 T '1 T ' 2 362 30.912 134 197.088 m
Longitud de la curva 2': L'c2
L' c 2
c' 2 Δ' 2
G' c 2
G' c 2 2 arcsen
, c' 2 5 m
c' 2
2R' 2
, R' 2
, Δ' 2 90 Δ'1 90 53 143 D
T'2
134
44.836 m
Δ' 2
143
tan
tan
2
2
127
Diseño geométrico de carreteras
G' c 2 2 arcsen
L' c 2
5
6 23' 34.08"
2 44.836
, entonces,
5 143
111.845 m
6 23' 34.08"
Distancia: PT'2PC'3
PT ' 2 PC' 3 PI' 2 PI' 3 T ' 2 T ' 3
, sen Δ'1
PI' 2 PI' 3
PI'1 PI' 2
PI' 2 PI' 3 362 sen 53 289.106 m
, entonces,
PT ' 2 PC' 3 289.106 134 78 77.106 m
Longitud de la curva 3': L'c3
L' c 3
c' 3 Δ' 3
G' c 3
G' c 3 2 arcsen
L' c 3
, c' 3 10 m
, Δ' 3 90 I
c' 3
10
2 arcsen
7 21' 2.35"
2R' 3
2 78
, entonces,
10 90
122.438 m
7 21' 2.35"
Por lo tanto:
Abscisa PT' 3 variante K0 137.278 57.289 197.088 111.845 77.106
122.438 K0 703.044
De esta manera, la ecuación de empalme es:
K0 703.044(variante, atrás) K0 464.047(vía antigua, adelante)
EJEMPLO 3.21: Ecuación de empalme por desplazamiento paralelo de la
tangente común a dos curvas circulares
Datos:
Las cuatro curvas dadas en la Figura 3.39 tienen la siguiente
información:
128
James Cárdenas Grisales
Radio de la curva 1
Radio de la curva 2
Radio de la de la curva 2'
Distancia del PI1 al PI2
Abscisa del PC1
= R1 = 40.950m
= R2 = 104.210m
= R'2 = R2
= PI1PI2 = 206m
= K4+224.450
Para la situación dada, el trazado inicial contemplaba las curvas de
radio R1 y R2. Por problemas de construcción en el tramo de la
entretangencia, fue necesario desplazarlo paralelamente 24 metros,
obteniéndose un nuevo trazado a través de las curvas de radios R'1 y
R'2.
Figura 3.39
Ejemplo 3.21
129
Diseño geométrico de carreteras
Calcular:
La ecuación de empalme entre la nueva y la vía antigua.
Solución:
Como puede apreciarse en la Figura 3.40, el empalme de la nueva vía
con la vía antigua tiene lugar en el PT'2 sobre la tangente de salida de
la segunda curva. Por lo tanto, es necesario calcular las abscisas de
este punto siguiendo los dos trazados, así.
Figura 3.40
130
Ecuación de empalme por desplazamiento de la tangente común
James Cárdenas Grisales
a)
Abscisa PT'2 por la vía antigua
Abscisa PT' 2 ( vía antigua) Abscisa PC1 Ls1 PT1 PC2 Ls 2 PT2 PT ' 2
Donde:
Abscisa: PC1
Abscisa PC1 K 4 224.450
Longitud de la curva 1: Ls1
πR1 Δ1
, Δ1 116 D , entonces,
180
π 40.950 116
Ls1
82.907 m
180
Ls1
Distancia: PT1PC2
PT1 PC2 PI1 PI 2 T1 T2
T1 R1 tan
, PI1 PI 2 206 m
116
Δ1
65.534m
40.950 tan
2
2
42
40.002 m
, T2 104.210 tan
2
PT1 PC2 206 65.534 40.002 100.464m
T2 R 2 tan
Δ2
2
, Δ2 42 I
, entonces,
Longitud de la curva 2: Ls2
Ls 2
πR2 Δ2 π 104.210 42
76.390 m
180
180
Distancia: PT2PT'2
PT2 PT ' 2 PI 2 PT ' 2 PI2 PT2 PI2 PT ' 2 T2
, pero,
PI 2 PT ' 2 PI 2 PI' 2 PI' 2 PT ' 2 PI 2 PI' 2 T ' 2
24
24
sen 42
, PI2 PI' 2
35.867 m
PI 2 PI' 2
sen 42
, ya que R' 2 R 2 y Δ' 2 Δ2
T ' 2 T2 40.002 m
PI 2 PT ' 2 35.867 40.002 75.869 m
, entonces,
PT2 PT ' 2 75.869 40.002 35.867 m
131
Diseño geométrico de carreteras
Por lo tanto:
Abscisa PT' 2 vía antigua K4 224.450 82.907 100.464 76.390 35.867
K4 520.078
b)
Abscisa PT'2 por la vía nueva
Abscisa PT' 2 ( vía nueva) Abscisa PC1 L' s1 PT '1 PC' 2 L' s 2
Donde:
Abscisa: PC1
Abscisa PC1 K 4 224.450
Longitud de la curva 1': L's1
πR'1 Δ'1
180
T '1
R'1
Δ'
tan 1
2
L' s1
, Δ'1 116 D
24
24
,a
26.702 m
a
cos 26
T '1 65.534 26.702 92.236m
92.236
, entonces,
R'1
57.635 m
116
tan
2
π 57.635 116
L' s1
116.687 m
180
T '1 T1 a
, cos 26
Distancia: PT'1PC'2
PT '1 PC' 2 PI'1 PI' 2 T '1 T ' 2 , PI'1 PI' 2 PI1 PI2 b c
b
tan 26
, b 24 tan 26 11.706 m
24
24
24
tan 42
,c
26.655 m
c
tan 42
PI'1 PI' 2 206 11.706 26.655 244.361m
, entonces,
132
James Cárdenas Grisales
PT '1 PC' 2 244.361 92.236 40.002 112.123 m
Longitud de la curva 2': L's2
L' s 2 Ls 2 76.390 m
, ya que R' 2 R2 y Δ' 2 Δ2
Por lo tanto:
Abscisa PT' 2 vía nueva K4 224.450 116.687 112.123 76.390
K4 529.650
De esta manera, la ecuación de empalme es:
K4 529.650(vía nueva, atrás) K4 520.078(vía antigua, adelante)
EJEMPLO 3.22: Ecuación de empalme por rotación de la tangente
común a dos curvas circulares
Datos:
Además de la información dada en la Figura 3.41, para las cuatro
curvas se tiene:
Radio de la curva 1
Radio de la curva 2
Abscisa del PC1
= R1 = 42.500m
= R2 = 50.000m
= K2+930.420
La tangente de entrada a la primera curva y la de salida de la segunda
curva no cambian de dirección. La tangente común cambia de
dirección por su rotación alrededor del PT1, lo que lo hace
indesplazable.
Calcular:
La ecuación de empalme de la variante en la vía antigua.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.42, el empalme de la variante en la vía
antigua tiene lugar en el PT'2. Por lo tanto, es necesario calcular las
abscisas de este punto siguiendo ambos trazados, así:
133
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.41
Figura 3.42
134
Ejemplo 3.22
Ecuación de empalme por rotación de la tangente común
James Cárdenas Grisales
a)
Abscisa PT'2 por la vía antigua
Abscisa PT' 2 ( vía antigua) Abscisa PC1 Ls1 PT1 PC2 Ls 2 PT2 PT ' 2
Donde:
Abscisa: PC1
Abscisa PC1 K 2 930.420
Longitud de la curva 1: Ls1
πR1 Δ1
, Δ1 180 70 40' 109 20' D
180
π 42.500 109 20'
81.100 m
Ls1
180
Ls1
, entonces,
Distancia: PT1PC2
PT1 PC2 33.000 m
Longitud de la curva 2: Ls2
πR2 Δ2
, Δ2 180 70 40' 29 10' 80 10' I
180
π 50.000 80 10'
Ls 2
69.959 m
180
Ls 2
, entonces,
Distancia: PT2PT'2
PT2 PT ' 2 PI 2 PT ' 2 PI2 PT2 PI2 PT ' 2 T2
PI 2 PT ' 2 PI 2 PI' 2 PI' 2 PT ' 2 PI 2 PI' 2 T ' 2
T2 R2 tan
80 10'
Δ2
42.079 m
50.000 tan
2
2
Δ' 2
, R' 2 R 2 50.000 m
2
Δ' 2 180 19 20' 70 40' 29 10' 60 50' I
T ' 2 R' 2 tan
60 50'
29.354m
T ' 2 50.000 tan
2
135
Diseño geométrico de carreteras
PI 2 PI' 2
33 T2
sen 19 20' sen 60 50'
33 42.079 sen 19 20' 28.465 m , entonces,
PI 2 PI' 2
sen 60 50'
, igualmente,
PI 2 PT ' 2 28.465 29.354 57.819 m
PT2 PT ' 2 57.819 42.079 15.740 m
Por lo tanto:
Abscisa PT' 2 vía antigua K2 930.420 81.100 33.000 69.959 15.740
K3 130.219
b)
Abscisa PT'2 por la variante
Abscisa PT' 2 ( variante) Abscisa PC'1 L' s1 PT '1 PC' 2 L' s 2
Donde:
Abscisa: PC'1
Abscisa PC'1 Abscisa PC1 PC'1 PC1
PC'1 PC1 PC'1 PI1 PC1 PI1 , PC1 PI1 T1
PC'1 PI1 PC'1 PI'1 PI'1 PI1 T '1 x
PC'1 PC1 T '1 x T1
T1 R1 tan
109 20'
Δ1
59.951m
42.500 tan
2
2
T '1 R'1 tan
T '1 R'1
Δ'1
2
, Δ'1 180 70 40' 19 20' 90 D
, sen 70 40'
T '1
T1
T'1 59.951 sen 70 40' 56.570 m R'1
x
cos 70 40'
, x 59.951 cos 70 40' 19.848 m
T1
, entonces,
PC'1 PC1 56.570 19.848 59.951 16.467 m
Abscisa PC'1 K2 930.420 16.467 K2 913.953
136
James Cárdenas Grisales
Longitud de la curva 1': L's1
πR'1 Δ'1
, Δ'1 90 D
180
π 56.570 90
L' s1
88.860 m
180
L' s1
Distancia: PT'1PC'2
PT '1 PC' 2 PT '1 PI' 2 T ' 2
28.465 sen 99 50'
PT'1 PI' 2
PI 2 PI' 2
84.717 m
,
PT'
PI
'
1
2
sen 19 20'
sen 70 40' 29 10' sen 19 20'
PT '1 PC' 2 84.717 29.354 55.363 m
Longitud de la curva 2': L's2
L' s 2
πR' 2 Δ' 2 π 50.000 60 50'
53.087 m
180
180
Por lo tanto:
Abscisa PT' 2 variante K2 913.953 88.860 55.363 53.087 K3 111.263
Luego, la ecuación de empalme es:
K3 111.263(variante, atrás) K3 130.219(vía antigua, adelante)
EJEMPLO 3.23: Ecuación de empalme entre dos vías inicialmente
paralelas
Datos:
De acuerdo con la Figura 3.43, para la vía A y la vía B también se
conoce:
Abscisa del PC1
Abscisa del PC'1
Distancia del PI1 al PI2
Radio de la curva 1
= K2+920.000
= K2+890.000
= PI1PI2 = 200.000m
= R1 = 40.000m
137
Diseño geométrico de carreteras
Tangente de la curva 2
= T2 = 100.000m
Figura 3.43
Ejemplo 3.23
Calcular:
La ecuación de empalme de la vía A en la vía B.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.44, el empalme de la vía A en la vía B tiene
lugar en el PT2=PT'2. Por lo tanto, las abscisas de este punto por cada
una de las vías son:
a)
Abscisa (PT2=PT'2) vía A
Abscisa (PT2 PT' 2 ) vía A Abscisa PC1 Ls1 PT1 PC2 Ls 2
Donde:
Abscisa: PC1
Abscisa PC1 K 2 920.000
138
James Cárdenas Grisales
Figura 3.44
Ecuación de empalme entre dos vías inicialmente paralelas
Longitud de la curva 1: Ls1
πR1 Δ1
, Δ1 180 33 20' 56 40' 90 D
180
π 40.000 90
Ls1
62.832 m
180
Ls1
Distancia: PT1PC2
PT1 PC2 PI1 PI 2 T1 T2
T2 100.000 m
, PI1 PI 2 200.000 m
, entonces,
, T1 R1 40.000 m
, PT1 PC2 200.000 40.000 100.000 60.000 m
Longitud de la curva 2: Ls2
πR2 Δ2
, Δ2 180 56 40' 62 40' 60 40' I
180
T2
100.000
R2
170.901m
Δ
tan 2 tan 60 40'
2
2
Ls 2
139
Diseño geométrico de carreteras
Ls 2
π 170.90160 40'
180.956 m
180
Por lo tanto:
Abscisa (PT2 PT' 2 ) vía A K2 920.000 62.832 60.000 180.956
K 3 223.788
b)
Abscisa (PT2=PT'2) vía B
Abscisa (PT2 PT' 2 ) vía B Abscisa PC'1 L' s1 PT '1 PC' 2 L' s 2
Donde:
Abscisa: PC'1
Abscisa PC'1 K2 890.000
Longitud de la curva 1': L's1
πR'1 Δ'1
, pero por paralelas, Δ'1 Δ1 90 D
180
R'1 R1 40.000 40.000 40.000 80.000 m T '1
L' s1
L' s1
π 80.000 90
125.664m
180
Distancia: PT'1PC'2
PT '1 PC' 2 PI'1 PI' 2 T '1 T ' 2 20.000 PI1 PI 2 x 80.000 T2 y
40.000
40.000
22.478 m
tan Δ2
,x
x
tan 60 40'
40.000
40.000
sen Δ2
,y
45.883 m
y
sen 60 40'
PT '1 PC' 2 20.000 200.000 22.478 80.000 100.000 45.883 108.361m
Longitud de la curva 2': L's2
L' s 2
140
πR' 2 Δ' 2
180
, R' 2
T' 2
Δ'
tan 2
2
, T' 2 T2 y 100.000 45.883 54.117 m
James Cárdenas Grisales
R' 2
54.117
92.487 m
60 40'
tan
2
, L' s2
π 92.487 60 40'
97.928 m
180
Por lo tanto:
Abscisa (PT2 PT' 2 ) vía B K 2 890.000 125.664 108.361 97.928
K3 221.953
Luego, la ecuación de empalme es:
K3 223.788(vía A, atrás) K3 221.953(vía B, adelante)
3.2.6 Otros métodos para el cálculo y l ocalización de
curvas circulares simples
DESDE EL PC, O PT, POR NORMALES A LA TANGENTE
Este método, según la Figura 3.45, consiste en calcular la normal y,
dados el radio R, la distancia x y el ángulo , así:
En el triángulo rectángulo OAP, se tiene:
OP 2 OA2 AP 2 , esto es,
2
R 2 R y x 2 , R y R 2 x 2
De donde:
y R R2 x2
(3-15)
Una generalización de este método consiste en hacer coincidir los
puntos P, ubicados sobre la curva, con las subcuerdas y las cuerdas
unidad del método de las deflexiones. Por lo tanto, los valores de x e y
deben ser:
141
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.45
Cálculo de una curva circular simple por normales a la tangente
En el triángulo rectángulo OAP:
OA R y
y
1
OP
R
R
y R 1 cos φ
cos φ
, esto es,
Pero, según la ecuación (3-12), φ 2δ . Entonces:
y R 1 cos 2 δ
(3-16)
Ahora, en el triángulo rectángulo PCBP, se tiene:
tan δ
x
142
BP
y
PC B x
y
tan δ
, esto es,
, entonces:
James Cárdenas Grisales
x
R 1 cos 2δ
tan δ
(3-17)
Se debe recordar que es el ángulo de deflexión correspondiente al
punto P sobre la curva y el ángulo central subtendido por la cuerda
PCP. De esta forma pueden ser calculados x e y mediante las dos
expresiones anteriores, dadas por las ecuaciones (3-16) y (3-17).
DESDE EL PI, POR DEFLEXIONES Y DISTANCIAS
Este método, según la Figura 3.46, consiste en calcular el ángulo y
la distancia PIP, dados el radio R, el ángulo y el ángulo , así:
Figura 3.46
Cálculo de una curva circular simple desde el PI
En el triángulo rectángulo APPI, se tiene:
tan α
AP
y
A PI x
143
Diseño geométrico de carreteras
En el triángulo rectángulo OBP, se tiene:
OB R y
y
1
, y R 1 cos φ
OP
R
R
BP T x
, pero,
sen φ
, x T R sen φ
OP
R
Δ
, esto es,
T R tan
2
Δ
Δ
x R tan R sen φ R tan sen φ
, por lo tanto,
2
2
R 1 cos φ
1 cos φ
tan α
Δ
Δ
R tan sen φ tan sen φ
2
2
cos φ
Luego:
1 cos φ
α arctan
tan Δ sen φ
2
(3-18)
Si arctan > 0, entonces el ángulo es del primer cuadrante.
Si arctan < 0, entonces el ángulo es del segundo cuadrante.
Ahora, en el triángulo rectángulo APPI, se tiene:
PI P 2 A PI 2 AP 2 , esto es,
2
Δ
2
PI P x 2 y 2 R 2 tan sen φ R 2 1 cos φ
2
Luego:
2
Δ
2
PI P R tan sen φ 1 cos φ
2
(3-19)
Por consiguiente, el procedimiento general para calcular y localizar el
punto P sobre la curva, consiste en darse un ángulo , ( ), para el
cual con el radio R y el ángulo , se calcula el ángulo y la distancia
PIP, con las ecuaciones (3-18) y (3-19) respectivamente.
144
James Cárdenas Grisales
Estacionados en el PI y con ceros en la dirección del PC se deflecta el
ángulo y en la dirección de esta visual se mide la distancia PIP,
obteniéndose así el punto P sobre la curva.
Un método particular, consiste en hacer coincidir los puntos sobre la
curva con las subcuerdas y cuerdas unidad del método de las
deflexiones desde el PC. En este caso, el ángulo es igual a 2 , donde
es la deflexión correspondiente al punto P desde el PC por el sistema
subcuerdas y cuerdas.
3.3
CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS
Las curvas circulares compuestas son aquellas que están formadas por
dos o más curvas circulares simples.
A pesar de que no son muy comunes, se pueden emplear en terrenos
montañosos, cuando se quiere que la carretera quede lo más ajustada
posible a la forma del terreno o topografía natural, lo cual reduce el
movimiento de tierras. También se pueden utilizar cuando existen
limitaciones de libertad en el diseño, como por ejemplo, en los
accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en las intersecciones.
3.3.1 Curvas circulares compuestas de dos radios
En la Figura 3.47 aparecen los diferentes elementos geométricos de
una curva circular compuesta de dos radios, definidos como:
PI =
PC =
PT =
PCC =
R1
R2
O1
Punto de intersección de las tangentes.
Principio de la curva compuesta.
Fin de la curva compuesta o principio de tangente.
Punto común de curvas o punto de curvatura compuesta. Punto
donde termina la primera curva circular simple y empieza la
segunda.
= Radio de la curva de menor curvatura o mayor radio.
= Radio de la curva de mayor curvatura o menor radio.
= Centro de la curva de mayor radio.
145
Diseño geométrico de carreteras
O2
1
2
T1
T2
TL
TC
=
=
=
=
=
=
=
=
Centro de la curva de menor radio.
Ángulo de deflexión principal.
Ángulo de deflexión principal de la curva de mayor radio.
Ángulo de deflexión principal de la curva de menor radio.
Tangente de la curva de mayor radio.
Tangente de la curva de menor radio.
Tangente larga de la curva circular compuesta.
Tangente corta de la curva circular compuesta.
Figura 3.47
146
Curva circular compuesta de dos radios
James Cárdenas Grisales
Los elementos geométricos que caracterizan cada curva circular
simple se calculan en forma independiente en cada una de ellas,
utilizando las expresiones para curvas circulares simples, deducidas
anteriormente.
Para la curva compuesta es necesario calcular la tangente larga TL y la
tangente corta TC, así:
Δ Δ1 Δ2
(3-20)
TL PC E PI E
PC E a AB CD AB O2 D O2C
En el triángulo rectángulo ABO1:
AB O1B sen Δ1 R1 sen Δ1
En el triángulo rectángulo O2DPT:
O2 D O2 PT sen Δ R2 sen Δ
En el triángulo rectángulo O2CB:
O2C O2 B sen Δ1 R2 sen Δ1
En el triángulo rectángulo PIEPT:
PI E PI PT cos Δ TC cos Δ
Por lo tanto,
TL AB O2 D O2C PI E
TL R1 sen Δ1 R2 sen Δ R2 sen Δ1 TC cos Δ
TL R2 sen Δ R1 R2 sen Δ1 TC cos Δ
En el triángulo rectángulo PIEPT:
E PT
b
b
, TC
PI PT TC
sen Δ
b PC A BF
PC A PC O1 AO1 R1 AO1
sen Δ
147
Diseño geométrico de carreteras
BF BC PT D
En el triángulo rectángulo ABO1:
AO1 O1B cos Δ1 R1 cos Δ1
En el triángulo rectángulo O2DPT:
PT D O2 PT cos Δ R 2 cos Δ
Entonces:
b R1 AO1 BC PT D R1 R1 cos Δ1 R 2 cos Δ1 R 2 cos Δ
b R1 R2 cos Δ R1 R2 cos Δ1
Luego:
TC
R1 R2 cos Δ R1 R2 cos Δ1
sen Δ
(3-21)
Igualmente:
R R 2 cos Δ R1 R2 cos Δ1
TL R 2 sen Δ R1 R2 sen Δ1 1
cos Δ
sen Δ
R2 sen 2 Δ R1 R 2 sen Δ sen Δ1
TL
sen Δ
R1 cos Δ R 2 cos 2 Δ R1 R2 cos Δ cos Δ1
sen Δ
R 2 R1 cos Δ R1 R2 cos Δ2
TL
(3-22)
sen Δ
EJEMPLO 3.24: Elementos geométricos y deflexiones de una curva
circular compuesta de dos radios
Datos:
Según la Figura 3.48, se tienen tres alineamientos rectos AB, BC y CD
con la siguiente información:
Azimut alineamiento AB
Azimut alineamiento BC
148
= 32
= 66
James Cárdenas Grisales
Azimut alineamiento CD
Radio de la curva 1
Cuerda unidad de la curva 1
Cuerda unidad de la curva 2
Abscisa del PC
Distancia de B a C
= 144
= R1 = 76.800m
= c1 = 10m
= c2 = 5m
= K0+968.000
= BC = 60.000m
Los tres alineamientos deben unirse con una curva compuesta de dos
radios (R1>R2), donde el tramo BC es la tangente común a las curvas
simples.
Figura 3.48
Ejemplo de una curva circular compuesta de dos radios
Calcular:
a) Las tangentes larga y corta de la curva compuesta.
b) Las deflexiones de la curva compuesta.
149
Diseño geométrico de carreteras
Solución:
a)
Tangentes larga y corta
Tangente larga: TL
TL
R 2 R1 cos Δ R1 R2 cos Δ2
sen Δ
Donde:
T2
, Δ2 Δ Δ1 , T2 BC T1 60.000 T1
Δ
tan 2
2
Δ 144 32 112 D , Δ1 66 32 34 , Δ2 112 34 78
R2
T1 R1 tan
34
Δ1
23.480 m
76.800 tan
2
2
T2 60.000 23.480 36.520 m
36.520
R2
45.098 m
78
tan
2
Luego:
TL
, entonces,
45.098 76.800 cos 112 76.800 45.098 cos 78
86.778 m
sen 112
Tangente corta: TC
R1 R2 cos Δ R1 R2 cos Δ1
sen Δ
76.800 45.098 cos 112 76.800 45.098 cos 34
TC
72.706 m
sen 112
TC
Los valores de estas tangentes también pueden calcularse en función
de las tangentes simples T1 y T2 y las distancias x e y, así:
TL T1 x
TC T2 y
150
James Cárdenas Grisales
x
y
BC
sen Δ2 sen Δ1 sen Δ'
, BC 60.000m
Δ' 180 Δ 180 112 68
60.000 sen 78
60.000 sen 34
x
63.298 m , y
36.186 m
sen 68
sen 68
Entonces:
TL 23.480 63.298 86.778 m
TC 36.520 36.186 72.706 m
b)
Deflexiones de la curva compuesta
Primera curva circular simple:
Abscisa: PCC
Abscisa PCC Abscisa PC Lc1
cΔ
Lc1 1 1 , c1 10 m , Δ1 34
Gc1
c
10
Gc1 2 arcsen 1 2 arcsen
7 27' 56.41"
2R1
2 76.800
10 34
45.542 m
7 27' 56.41"
Abscisa PCC K 0 968 45.542 K1 013.542
Lc1
Deflexión por metro:
d10
Gc1 7 27' 56.41"
0 22' 23.82" / m
20
20
Deflexión por cuerda unidad:
Gc1 7 27' 56.41"
3 43' 58.20" / cuerda
2
2
Deflexión por subcuerda adyacente al: PC
Longitud subcuerda 970 968 2.000 m
Deflexión por subcuerda 2.000 m 0 22' 23.82" / m 0 44' 47.64"
151
Diseño geométrico de carreteras
Deflexión por subcuerda adyacente al: PCC
Longitud subcuerda 13.542 10 3.542 m
Deflexión por subcuerda 3.542 m 0 22' 23.82" / m 119'19.81"
Chequeo deflexión al: PCC
Deflexión al PCC Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PCC 4 cuerdas 3 43' 58.20" / cuerda 0 44' 47.64" 119'19.81"
Δ
Deflexión al PCC 17 0' 0.25" 17 1
2
Segunda curva circular simple:
Abscisa: PT
Aquí el PCC es el punto inicial de la segunda curva y el PT su punto
final. Entonces:
Abscisa PT Abscisa PCC Lc2
c Δ
Lc 2 2 2 , c 2 5 m , Δ2 78
Gc 2
c
5
Gc 2 2 arcsen 2 2 arcsen
6 21' 20.24"
2R2
2 45.098
5 78
61.363m
6 21' 20.24"
Abscisa PT K1 013.542 61.363 K1 074.905
Lc 2
Deflexión por metro:
d 5
Gc 2 6 21' 20.24"
0 38' 8.02" / m
10
10
Deflexión por cuerda unidad:
Gc 2 6 21' 20.24"
3 10' 40.12" / cuerda
2
2
Deflexión por subcuerda adyacente al: PCC
Longitud subcuerda 15 13.542 1.458 m
Deflexión por subcuerda 1.458 m 0 38' 8.02" / m 0 55' 35.93"
152
James Cárdenas Grisales
Deflexión por subcuerda adyacente al: PT
Longitud subcuerda 74.905 70 4.905 m
Deflexión por subcuerda 4.905 m 0 38' 8.02" / m 3 7' 2.74"
Chequeo deflexión al: PT
Deflexión al PT Deflexión (por cuerdas completas + por subcuerdas)
Deflexión al PT 11 cuerdas 3 10' 40.12" / cuerda 0 55' 35.93" 3 7' 2.74"
Δ
Deflexión al PT 38 59' 59.99" 39 2
2
En la Tabla 3.8 se muestra la cartera de localización de la curva
compuesta de dos radios.
Tabla 3.8
ESTACIÓN
PT
PCC
PC
Cartera de localización de la curva compuesta de dos radios
ABSCISA
K1+100
090
080
K1+074.905
070
065
060
055
050
045
040
035
030
025
020
015
K1+013.542
010
K1+000
990
980
970
K0+968.000
960
950
K0+940
DEFLEXIÓN
ELEMENTOS
5600'00.24"
5252'57.50"
4942'17.38"
= 112D
4631'37.26"
1 = 34D
4320'57.14"
2 = 78D
4010'17.02" R1 = 76.800m
3659'36.90" R2 = 45.098m
c1 = 10m
3348'56.78"
c2 = 5m
3038'16.66"
2727'36.54" Gc1 =727'56.41"
2416'56.42" Gc2 =621'20.24"
2106'16.30" Lc1 = 45.542m
1755'36.18" Lc2 = 61.363m
1700'00.25" T1 = 23.480m
1540'40.44" T2 = 36.520m
1156'42.24" TL = 86.778m
0812'44.04" TC = 72.706m
0428'45.84"
0044'47.64"
0000'00"
AZIMUT
ANOTACIONES
144
PT
66
PCC
32
PC
153
Diseño geométrico de carreteras
EJEMPLO 3.25: Ecuación de empalme entre dos vías con curvas
circulares simples y compuestas de dos radios
Datos:
Además de la información dada en la Figura 3.49, se tiene:
Radio R2
Distancia de D a E
Coordenadas del punto F
Abscisa de F
Abscisa de B
= R2 = 31.200m
= DE = 46.800m
= 100.000N, 100.000E
= K6+947.290
= K4+742.530
El punto F pertenece a la vía 2 y el punto B a la vía 1. La vía 2 empalma
en la vía 1.
Figura 3.49
Ejemplo 3.25
Calcular:
a) La ecuación de empalme de la vía 2 en la vía 1.
b) La abscisa del punto C.
c) Las coordenadas del punto C.
154
James Cárdenas Grisales
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.50, se tiene:
a)
Ecuación de empalme
El empalme tiene lugar en el punto G. Por lo tanto, es necesario
calcular la abscisa de este punto por cada una de las vías.
Abscisa de G por la vía 1:
Abscisa de G (vía 1) Abscisa de B Arco BG
Abscisa de: B
Abscisa de B K 4 742.530
Arco: BG
BG
πR1 α
180
T2 R 2 tan
, T2 R1 tan
α
2
, α 2 arctan
T2
R1
62 50'
Δ2
19.057 m
31.200 tan
2
2
T1
, T1 DE T2 46.800 19.057 27.743 m
Δ
tan 1
2
27.743
19.057
79.817 m , α 2 arctan
26 51' 24.94"
R1
79.817
38 20'
tan
2
π 79.817 26 51' 24.94"
BG
37.414m
180
R1
, entonces,
Por lo tanto:
Abscisa de G (vía 1) K4 742.530 37.414 K 4 779.944
Abscisa de G por la vía 2:
Abscisa de G (vía 2) Abscisa de F Arco FG
155
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.50
Ecuación de empalme con curvas circulares simples y compuestas
Abscisa de: F
Abscisa de F K 6 947.290
Arco: FG
FG Ls 2
πR 2 Δ2 π 31.200 62 50'
34.215 m
180
180
Por lo tanto:
Abscisa de G (vía 2) K6 947.290 34.215 K 6 981.505
156
James Cárdenas Grisales
Luego, la ecuación de empalme es:
K6 981.505 (vía 2, atrás) K4 779.944 (vía 1, adelante)
b)
Abscisa del punto C
Abscisa de C Abscisa de G (vía 1) Arco GC
Abscisa de: G (vía 1)
Abscisa de G (vía 1) K 4 779.944
Arco: GC
GC Ls1
πR1 Δ1 π 79.817 38 20'
53.401m
180
180
Por lo tanto:
Abscisa de C K4 779.944 53.401 K 4 833.345
c)
Coordenadas del punto C
Las coordenadas se calcularán siguiendo el polígono FDEC y se
comprobarán según el polígono FJC. Por lo tanto:
Según el polígono: FDEC
Como se planteó anteriormente, las coordenadas de un punto final con
referencia a un punto inicial, se calculan como:
N PUNTO FINAL=N PUNTO INICIAL + Distancia ENTRE LOS PUNTOS (cos Azimut)
E PUNTO FINAL=E PUNTO INICIA L + Distancia ENTRE LOS PUNTOS (sen Azimut)
N D N F FD cos Az FD
N F 100.000 m
, FD T2 19.057 m
, Az FD 360 4 10' 355 50'
N D 100.000 19.057 cos 355 50' 119.007 m
E D E F FD sen Az FD
E D 100.000 19.057 sen 355 50' 98.615 m
157
Diseño geométrico de carreteras
N E N D DE cos Az DE
DE 46.800 m
, Az DE 62 50' 4 10' 58 40'
N E 119.007 46.800 cos 58 40' 143.344m
E E E D DE sen Az DE
E E 98.615 46.800 sen 58 40' 138.590 m
NC N E EC cos Az EC
EC T1 27.743 m
, Az EC 58 40' 38 20' 97 00'
NC 143.344 27.743 cos 97 00' 139.963 m
EC E E EC sen Az EC
EC 138.590 27.743 sen 97 00' 166.126 m
Según el polígono: FJC
Se observa que FJ y JC son las tangentes corta y larga de la curva
compuesta de PI=J, PC=F, PT=C y =1+2=38 20'+62 50'=101 10'. Por lo
tanto, de acuerdo con las ecuaciones (3-21) y (3-22), se tiene:
R1 R2 cos Δ R1 R 2 cos Δ1
sen Δ
79.817 31.200 cos 10110' 79.817 31.200 cos 38 20'
FJ TC
48.644m
sen 10110'
R R1 cos Δ R1 R 2 cos Δ2
JC TL 2
sen Δ
31.200 79.817 cos 10110' 79.817 31.200 cos 62 50'
JC TL
70.184m
sen 10110'
FJ TC
N J N F FJ cos Az FJ
N F 100.000 m
, FJ TC 48.644m
, Az FJ 355 50'
N J 100.000 48.644 cos 355 50' 148.515 m
E J E F FJ sen Az FJ
E J 100.000 48.644 sen 355 50' 96.466 m
158
James Cárdenas Grisales
NC N J JC cos Az JC
JC TL 70.184m
, Az JC 97 00'
NC 148.515 70.184 cos 97 00' 139.962 m
EC E J JC sen Az JC
EC 96.466 70.184 sen 97 00' 166.127 m
3.3.2 Curvas circulares compuestas de tres radios
La Figura 3.51 muestra una curva compuesta de tres radios de
longitudes diferentes tal que R1>R2>R3 y de ángulos de deflexión
principal 1, 2 y 3 respectivamente. Los puntos H y D son los puntos
comunes a cada par de curvas circulares, o sea, los dos PCC de la
curva compuesta. Para el cálculo y localización de la curva circular
compuesta es necesario determinar la tangente larga TL y la tangente
corta TC, así:
Δ Δ1 Δ2 Δ3
TL a PI G
, donde,
a AB CD EF
AB AH BH
, entonces,
EF O3 F O3 E
TL AB CD EF PI G
TL AH BH CD O3 F O3 E PI G
[1]
Los segmentos AH, BH, CD, O3F, O3E y PIG se determinan en los
siguientes triángulos rectángulos:
Triángulo O1AH
Triángulo O2BH
Triángulo O2CD
Triángulo O3FPT
Triángulo O3ED
Triángulo PIGPT
AH O1H sen Δ1 R1 sen Δ1
BH O2 H sen Δ1 R2 sen Δ1
CD O2 D senΔ1 Δ2 R2 senΔ1 Δ2
O3 F O3 PT sen Δ R3 sen Δ
O3 E O3 D senΔ1 Δ2 R3 senΔ1 Δ2
PI G PI PT cos Δ TC cos Δ
159
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.51
Elementos de una curva circular compuesta de tres radios
Por lo tanto, en [1]:
TL R1 sen Δ1 R 2 sen Δ1 R 2 senΔ1 Δ2 R3 sen Δ - R3 senΔ1 Δ2 TC cos Δ
TL R1 R2 sen Δ1 R 2 R 3 senΔ1 Δ2 R 3 sen Δ TC cos Δ
[2]
160
James Cárdenas Grisales
La tangente corta TC, en el triángulo rectángulo PIGPT, es:
G PT
b
b
, donde,
, TC
PI PT TC
sen Δ
b PC A BC DJ
PC A PC O1 AO1 R1 AO1
BC BO2 CO2
DJ DE JE DE PT F
PC A BC DJ R1 AO1 BO2 CO2 DE PT F
TC
sen Δ
sen Δ
sen Δ
[3]
Los segmentos AO1, BO2, CO2, DE y PTF se determinan en los siguientes
triángulos rectángulos:
Triángulo O1AH
Triángulo O2BH
Triángulo O2CD
Triángulo O3ED
Triángulo O3FPT
AO1 O1H cos Δ1 R1 cos Δ1
BO2 O2 H cos Δ1 R2 cos Δ1
CO2 O2 D cosΔ1 Δ2 R2 cosΔ1 Δ2
DE O3 D cosΔ1 Δ2 R3 cosΔ1 Δ2
PT F O3 PT cos Δ R3 cos Δ
Por lo tanto, en [3]:
TC
R1 R1 cos Δ1 R2 cos Δ1 R2 cos Δ1 Δ2 R 3 cos Δ1 Δ2 R 3 cos Δ
sen Δ
Luego:
TC
R1 R 3 cos Δ R1 R2 cos Δ1 R2 R3 cos Δ1 Δ2
sen Δ
(3-23)
La tangente larga TL se obtiene reemplazando la ecuación (3-23) en
[2]:
TL R1 R2 sen Δ1 R2 R3 senΔ1 Δ2 R3 sen Δ
R1 - R3 cos Δ - R1 R2 cos Δ1 R2 R3 cos Δ1 Δ2
cos Δ
sen Δ
161
Diseño geométrico de carreteras
TL
R1 R2 sen Δ sen Δ1 R2 R3 sen Δ senΔ1 Δ2 R3 sen 2 Δ R1 cos Δ
sen Δ
R3 cos Δ R1 R2 cos Δ cos Δ1 R2 R 3 cos Δ cos Δ1 Δ2
sen Δ
R3 sen 2 Δ cos 2 Δ R1 cos Δ R1 R2 sen Δ sen Δ1 cos Δ cos Δ1
TL
sen Δ
R2 R3 sen Δ senΔ1 Δ2 cos Δ cosΔ1 Δ2
sen Δ
R 1 R1 cos Δ R1 R 2 cos Δ Δ1 R 2 R3 cosΔ Δ1 Δ2
TL 3
sen Δ
2
Pero, Δ Δ1 Δ2 Δ3
y
Δ Δ1 Δ2 Δ3
Luego:
TL
R3 R1 cos Δ R1 R2 cos Δ2 Δ3 R2 R3 cos Δ3
sen Δ
(3-24)
Las expresiones anteriores para TC y TL sólo son válidas bajo la
condición de que R1>R2>R3, en ese orden.
Sin embargo, un caso más general es aquel en el cual siempre el radio
de la primera curva es R1, el de la segunda R2 y el de la tercera R3,
cualquiera sean sus longitudes; como por ejemplo, el mostrado en la
Figura 3.52. En esta situación, es más conveniente denominar las
tangentes de la curva compuesta como tangente de entrada TE o del
lado del PC y tangente de salida TS o del lado del PT. Dichas tangentes
se calculan así:
TE T1 x
, donde,
x
T T y
, esto es,
1 2
sen α
sen β
T T y sen α , pero,
TE T1 1 2
sen β
T T
y
2 3
sen Δ3
sen ρ
162
James Cárdenas Grisales
Figura 3.52
Caso general de una curva circular compuesta de tres radios
T T sen Δ3 sen α
TE T1 T1 T2 2 3
sen β
sen ρ
ρ 180 Δ2 Δ3
α Δ2 Δ3
, sen ρ sen 180 Δ2 Δ3 senΔ2 Δ3
, sen α senΔ2 Δ3
163
Diseño geométrico de carreteras
β 180 Δ
, sen β sen 180 Δ sen Δ
Por lo tanto:
T T sen Δ3 senΔ2 Δ3
TE T1 T1 T2 2 3
senΔ2 Δ3 sen Δ
(3-25)
Para la tangente de salida se tiene:
TS T3 a b
, donde,
T T y
a
1 2
sen Δ1
sen β
T1 T2
T2 T3 sen Δ3
sen ρ
sen β
T T sen Δ3 sen Δ1
a T1 T2 2 3
senΔ2 Δ3 sen Δ
T T
b
2 3
sen Δ2
sen ρ
,b
T2 T3 sen Δ2
senΔ2 Δ3
Por lo tanto:
T T sen Δ3 sen Δ1 T2 T3 sen Δ2
TS T3 T1 T2 2 3
senΔ2 Δ3 sen Δ senΔ2 Δ3
(3-26)
Los valores de las tangentes simples T1, T2 y T3 se calculan en cada
curva como:
Δ1
2
Δ
T2 R2 tan 2
2
Δ3
T3 R3 tan
2
T1 R1 tan
Dependiendo del valor de las longitudes de los radios R1, R2 y R3, en la
Figura 3.53 se presentan las seis posibles configuraciones.
164
James Cárdenas Grisales
Figura 3.53
Casos de curvas circulares compuestas de tres radios
165
Diseño geométrico de carreteras
EJEMPLO 3.26: Elementos geométricos de una curva circular
compuesta de tres radios
Datos:
Para la curva compuesta de tres radios de la Figura 3.54, la abscisa del
PC es K0+000. También se conocen:
1
2
R1
R2
R3
= 80 D
= 30 D
= 29 D
= 112m
= 87m
= 69m
Calcular:
a) Los elementos geométricos para trazar la curva.
b) La abscisa del PT de la curva compuesta.
Solución:
a)
Elementos geométricos para trazar la curva
Para trazar la curva se necesita conocer las tangentes larga y corta TL y
TC, lo mismo que las tangentes simples T1, T2 y T3. Entonces:
Tangente larga: TL
Según la ecuación (3-24):
R3 R1 cos Δ R1 R2 cos Δ2 Δ3 R2 R3 cos Δ3
sen Δ
Δ3 Δ Δ1 Δ2 80 30 29 21 D
TL
TL
Tangente corta: TC
Según la ecuación (3-23):
166
69 112 cos 80 112 87 cos 29 21 87 69 cos 21
83.697 m
sen 80
James Cárdenas Grisales
R1 R 3 cos Δ R1 R2 cos Δ1 R2 R3 cos Δ1 Δ2
sen Δ
112 69 cos 80 112 87 cos 30 87 69 cos 30 29
70.163 m
TC
sen 80
TC
Figura 3.54
Ejemplo de una curva circular compuesta de tres radios
167
Diseño geométrico de carreteras
Tangente de la primera curva: T1
T1 R1 tan
Δ1
30
112 tan
30.010 m
2
2
Tangente de la segunda curva: T2
T2 R2 tan
Δ2
29
87 tan
22.500 m
2
2
Tangente de la tercera curva: T3
T3 R3 tan
Δ3
21
69 tan
12.788 m
2
2
El trazado de dicha curva se realiza así:
Marcado el PI se mide el ángulo y se identifican el PC y el PT
midiendo las tangentes TL y TC. El PI1 se obtiene midiendo T1 en la
dirección de la tangente de entrada. Situados en el PI1 se mide el
ángulo 1 y en esta dirección se mide T1 y T2, quedando marcados el
PCC1 y el PI2. Luego a partir del PI2 se mide el ángulo 2 y en esa
dirección se miden T2 y T3, quedando así marcados el PCC2 y el PI3.
Como chequeo, si el trazado se ha realizado con toda la precisión
posible, el PI3 deberá caer exactamente sobre la dirección de la
tangente de salida. Por último, se trazan normales en el PC, PCC1, PCC2
y PT obteniéndose los centros O1, O2 y O3.
b)
Abscisa del PT
Abscisa del PT Abscisa del PC Ls1 Ls 2 Ls 3
Longitud de la primera curva: Ls1
Ls1
πR1 Δ1 π 112 30
58.643 m
180
180
Longitud de la segunda curva: Ls2
Ls 2
168
πR 2 Δ2 π 87 29
44.035 m
180
180
James Cárdenas Grisales
Longitud de la tercera curva: Ls3
Ls 3
πR3 Δ3 π 69 21
25.290 m
180
180
Luego:
Abscisa del PT K0 000 58.643 44.035 25.290 K0 127.968
EJEMPLO 3.27: Elementos de curvas circulares compuestas de dos y
tres radios
Datos:
Además de la información dada en la Figura 3.55, también se
conocen:
1
2
Abscisa del PI
Coordenadas del PI
= 121 D
= 24 D
= 56 D
= K2+428.370
= 500N, 500E
Figura 3.55
Ejemplo 3.27
169
Diseño geométrico de carreteras
Calcular:
Las abscisas y coordenadas del PC y PT.
Solución:
De acuerdo con la Figura 3.56, se tiene:
Abscisa del PC:
Abscisa del PC Abscisa del PI TL y
, donde,
Abscisa del: PI
Abscisa del PI K2 428.370
Tangente larga: TL
Esta es la tangente larga de la curva compuesta de dos radios R1 y R2.
Según la ecuación (3-22), se tiene:
R2 R1 cos Δ' R1 R 2 cos Δ2
sen Δ'
R1 124m , R2 71m , Δ2 56 D
TL
TL
, Δ' Δ1 Δ2 24 56 80 D
71 124 cos 80 124 71cos 56
80.325 m
sen 80
Distancia: y
T T
y
C 3
sen Δ3
sen α
,y
TC T3 sen Δ3
sen α
TC es la tangente corta de la curva compuesta de dos radios R1 y R2, que
según la ecuación (3-21) es:
R1 R 2 cos Δ' R1 R2 cos Δ1
sen Δ'
124 71 cos 80 124 71cos 24
TC
64.229 m
sen 80
TC
T3 es la tangente de la curva circular simple de radio R3, cuyo valor es:
170
James Cárdenas Grisales
Figura 3.56
Curvas circulares compuestas de dos y tres radios
Δ3
, R3 109 m , Δ3 Δ Δ' 121 80 41
2
41
T3 109 tan
40.753 m
2
α 180 Δ 180 121 59
, por lo tanto,
64.229 40.753 sen 41 80.351m
y
sen 59
T3 R3 tan
Luego:
Abscisa PC K2 428.370 80.325 80.351 K2 267.694
171
Diseño geométrico de carreteras
Abscisa del PT:
Abscisa del PT Abscisa del PC Ls1 Ls2 Ls3
, donde,
Abscisa del: PC
Abscisa del PC K2 267.694
Longitud de la primera curva: Ls1
Ls1
πR1 Δ1 π 124 24
51.941m
180
180
Longitud de la segunda curva: Ls2
Ls 2
πR2 Δ2 π 7156
69.394m
180
180
Longitud de la tercera curva: Ls3
Ls 3
πR3 Δ3 π 109 41
77.999 m
180
180
Luego:
Abscisa PT K2 267.694 51.941 69.394 77.999 K 2 467.028
Coordenadas del PC:
N PC N PI PI PC cos Az PI PC
PI PC y TL 80.351 80.325 160.676m
N PC 500 160.676 cos 166 344.097 m
E PC E PI PI PC sen Az PI PC
E PC 500 160.676 sen 166 538.871m
Coordenadas del PT:
N PT N PI PI PT cos Az PI PT
PI PT x T3
172
, Az PI PC 360 14 180 166
James Cárdenas Grisales
x
y
sen Δ' sen Δ3
,x
y sen Δ' 80.351 sen 80
120.615 m
sen Δ3
sen 41
PI PT 120.615 40.753 161.368 m
, Az PI PT Δ 14 121 14 107
N PT 500 161.368 cos 107 452.821m
E PT E PI PI PT sen AzPI PT
E PT 500 161.368 sen 107 654.317 m
Chequeo de las tangentes de entrada y salida: TE y TS
Los resultados anteriores arrojan los siguientes valores:
TE PC PI 160.676 m
TS PI PT 161.368 m
Para la curva compuesta de tres radios, la tangente de entrada TE, de
acuerdo a la ecuación (3-25), es:
T T sen Δ3 senΔ2 Δ3 , donde,
TE T1 T1 T2 2 3
senΔ2 Δ3 sen Δ
Δ
24
T1 R1 tan 1 124 tan
26.357 m
2
2
Δ
56
T2 R2 tan 2 71 tan
37.751m
2
2
Δ
41
, por lo tanto,
T3 R3 tan 3 109 tan
40.753 m
2
2
37.751 40.753 sen 41 sen 56 41
TE 26.357 26.357 37.751
sen 56 41
sen 121
TE 160.675 m
Igualmente, la tangente de salida TS, de acuerdo a la ecuación (3-26),
es:
T T sen Δ3 sen Δ1 T2 T3 sen Δ2
TS T3 T1 T2 2 3
senΔ2 Δ3 sen Δ senΔ2 Δ3
, esto es,
173
Diseño geométrico de carreteras
37.751 40.753 sen 41 sen 24
TS 40.753 26.357 37.751
sen 56 41
sen 121
37.751 40.753 sen 56
sen 56 41
TS 161.367 m
3.4
ESTABILIDAD EN LA MARCHA, VELOCIDAD,
CURVATURA, PERALTE Y TRANSICIÓN
3.4.1 Velocidad de diseño[5,10]
La velocidad es el elemento básico para el diseño geométrico de
carreteras y el parámetro de cálculo de la mayoría de los diversos
componentes del proyecto.
La velocidad debe ser estudiada, regulada y controlada con el fin de
que ella origine un perfecto equilibrio entre el usuario, el vehículo y la
carretera, de tal manera que siempre se garantice la seguridad.
La velocidad de diseño o velocidad de proyecto de un tramo de
carretera es la velocidad guía o de referencia que permite definir las
características geométricas mínimas de todos los elementos del
trazado, en condiciones de comodidad y seguridad. Por lo tanto, ella
representa una referencia mínima.
La velocidad de diseño se define como la máxima velocidad segura y
cómoda que puede ser mantenida en un tramo determinado de una vía,
cuando las condiciones son tan favorables, que las características
geométricas de la vía predominan.
Todos aquellos elementos geométricos de los alineamientos
horizontal, de perfil y transversal, tales como radios mínimos,
distancias de visibilidad, peraltes, pendientes máximas, anchos de
carriles y bermas, anchuras y alturas libres, etc., dependen de la
velocidad de diseño y varían con un cambio de ella.
174
James Cárdenas Grisales
La selección de la velocidad de diseño depende de la importancia o
categoría de la futura carretera, de la configuración topográfica del
terreno, de los usos de la tierra, del servicio que se quiere ofrecer, de
las consideraciones ambientales, de la homogeneidad a lo largo de la
carretera, de las facilidades de acceso (control de accesos), de la
disponibilidad de recursos económicos y de las facilidades de
financiamiento.
Al proyectar un tramo de carretera, hay que mantener un valor
constante para la velocidad de diseño. Sin embargo, los cambios
drásticos y sus limitaciones mismas, pueden obligar a usar diferentes
velocidades de diseño para distintos tramos.
En el proceso de asignación de la velocidad de diseño se debe otorgar
la máxima prioridad a la seguridad de los usuarios. Por ello la
velocidad de diseño a lo largo del trazado debe ser tal que los
conductores no sean sorprendidos por cambios bruscos y/o muy
frecuentes en la velocidad a la que pueden realizar con seguridad el
recorrido.
El diseñador, para garantizar la consistencia en la velocidad, debe
identificar a lo largo del corredor de ruta tramos homogéneos a los que
por las condiciones topográficas se les pueda asignar una misma
velocidad. Esta velocidad, denominada velocidad de diseño del tramo
homogéneo, VTR, es la base para la definición de las características de
los elementos geométricos incluidos en dicho tramo.
Para identificar los tramos homogéneos y establecer su velocidad de
diseño, VTR, se debe atender los dos siguientes criterios:
1. La longitud mínima de un tramo de carretera con una velocidad de
diseño dada debe ser de 3 kilómetros para velocidades entre 20 y 50
Km/h y de 4 kilómetros para velocidades entre 60 y 110 Km/h,
respectivamente.
2. La diferencia de la velocidad de diseño entre tramos adyacentes no
puede ser mayor a 20 Km/h.
175
Diseño geométrico de carreteras
No obstante lo anterior, si debido a un marcado cambio en el tipo de
terreno en un corto sector del corredor de ruta, es necesario establecer
un tramo con longitud menor a la especificada, la diferencia de su
velocidad de diseño con la de los tramos adyacentes no puede ser
mayor de 10 Km/h.
En la Tabla 3.9 se establecen los rangos de las velocidades de diseño
que se deben utilizar en función de la categoría de la carretera y el tipo
de terreno.
Tabla 3.9
CATEGORÍA
DE LA CARRETERA
Primaria
de dos calzadas
Primaria
de una calzada
Secundaria
Terciaria
Velocidades de diseño de tramos homogéneos, VTR
TIPO
DE TERRENO
Plano
Ondulado
Montañoso
Escarpado
Plano
Ondulado
Montañoso
Escarpado
Plano
Ondulado
Montañoso
Escarpado
Plano
Ondulado
Montañoso
Escarpado
VELOCIDAD DE DISEÑO DE UN TRAMO
HOMOGÉNEO VTR (Km/h)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008.
3.4.2 Velocidad específica[5,10]
Aunque la velocidad de diseño o de proyecto siga siendo el parámetro
básico e inicial del diseño geométrico, seleccionada estrechamente
con las condiciones físicas de la vía y su entorno y, por tanto, con el
nivel de velocidad al que van a desear operar los conductores, y que
condiciona las características mínimas de los parámetros geométricos,
no se puede seguir suponiendo que los conductores van a conducir
176
James Cárdenas Grisales
siempre sus vehículos manteniendo esa velocidad, por lo que hay que
estimar las velocidades de operación que pueden llegar a desarrollar a
lo largo de cada uno de los elementos del alineamiento, diseñándolos
en correspondencia con ellas y así garantizar la seguridad y
comodidad de los usuarios de la carretera.
Como una primera aproximación a las velocidades de operación se
pueden emplear las velocidades específicas de cada uno de los
elementos geométricos, por ejemplo, de curvas en planta, siendo éstas
las velocidades inferidas de las características geométricas resultantes
con base en los mismos criterios de seguridad y comodidad
considerados para la aplicación de la velocidad de diseño. Es decir,
que la velocidad específica de una determinada curva con radio
superior al mínimo correspondiente a la velocidad de diseño del
tramo, será equivalente a la velocidad de diseño que tuviera asociado
ese radio como mínimo.
Por lo tanto, la velocidad específica de un elemento de diseño, es la
máxima velocidad que puede mantenerse a lo largo del elemento
considerado aisladamente, en condiciones de seguridad y comodidad,
cuando encontrándose el pavimento húmedo y las llantas en buen
estado; las condiciones meteorológicas, del tránsito y las regulaciones
son tales que no imponen limitaciones a la velocidad.
Entonces, existirá toda una sucesión de velocidades específicas
asociadas a cada uno de los elementos geométricos, no pudiendo ser
nunca inferiores a la velocidad de diseño del tramo. Diseñando con las
diferentes velocidades específicas siempre se mantendrán los
márgenes de seguridad y comodidad dentro de cada elemento. Por
ejemplo, estableciendo el peralte correspondiente a una curva de un
determinado radio con base en su velocidad específica y no en función
de la velocidad de diseño que puede llegar a ser muy inferior.
En el medio colombiano, la velocidad tope a la que viajan los
conductores en un momento dado es función, principalmente, de las
restricciones u oportunidades que ofrezca el trazado de la carretera, el
estado de la superficie de la calzada, las condiciones climáticas, la
177
Diseño geométrico de carreteras
intensidad del tráfico y las características del vehículo y en menor
medida por las señales de límite de velocidad colocadas en la vía o por
una eventual intervención de los agentes de tránsito.
Para tener en cuenta en el diseño esta actitud de “relativa indisciplina”
de los conductores, es necesario dimensionar los elementos
geométricos, curvas y entretangencias en planta y perfil, en forma tal
que puedan ser recorridos con plena seguridad a la velocidad máxima
más probable con que sería abordado cada uno de dichos elementos
geométricos.
La velocidad máxima más probable con que sería abordado cada
elemento geométrico es justamente su velocidad específica y es con la
que se debe diseñar ese elemento.
El valor de la velocidad específica, Ve, de un elemento geométrico
depende esencialmente de los siguientes parámetros:
1. Del valor de la velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR, en
que se encuentra incluido el elemento. La condición deseable es
que a la mayoría de los elementos geométricos que integran el
tramo homogéneo se les pueda asignar como velocidad específica
el valor de la velocidad de diseño del tramo, VTR.
2. De la geometría del trazado inmediatamente antes del elemento
considerado, teniendo en cuenta el sentido en que el vehículo
realiza el recorrido.
Para asegurar la mayor homogeneidad posible en la velocidad
específica de los elementos geométricos, curvas y entretangencias, lo
que necesariamente se traduce en mayor seguridad para los usuarios,
se obliga a que las velocidades específicas de los elementos que
integran un tramo homogéneo sean como mínimo iguales a la
velocidad de diseño del tramo, VTR, y no superen esta velocidad en más
de 20 Km/h (VTR + 20 Km/h).
Estudios de velocidad en carreteras realizados en países con
idiosincrasia similar a la colombiana, han establecido que la gran
178
James Cárdenas Grisales
mayoría de los conductores, dependiendo de la percepción del trazado
que tienen adelante, incrementan su velocidad respecto a la velocidad
de diseño del tramo, hasta en 20 Km/h.
La secuencia general para la asignación de la velocidad específica de
los elementos geométricos en planta es la siguiente:
1. Partiendo de la velocidad de diseño del tramo homogéneo
adoptada, VTR, asignar la velocidad específica a cada una de las
curvas horizontales, VCH.
2. Partiendo de la velocidad específica asignada a cada una de las
curvas horizontales, VCH, asignar la velocidad específica a las
entretangencias horizontales, VETH.
VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LA CURVA HORIZONTAL, VCH
Para asignar la velocidad específica a las curvas horizontales, VCH,
incluidas en un tramo homogéneo, se consideran los siguientes
parámetros:
1. La velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR, en que se
encuentra la curva horizontal.
2. El sentido en que el vehículo recorre la carretera.
3. La velocidad específica asignada a la curva horizontal anterior.
4. La longitud del segmento recto anterior. Se considera segmento
recto a la distancia horizontal medida entre los puntos medios de
las espirales de las curvas al inicio y al final del segmento si éstas
son espiralizadas o entre el PT y el PC de las curvas si son
circulares.
5. El ángulo de deflexión principal, , de la curva analizada.
La velocidad específica de cada una de las curvas horizontales, VCH, se
debe establecer atendiendo a los siguientes criterios:
179
Diseño geométrico de carreteras
1. La velocidad específica de una curva horizontal, VCH, no puede ser
menor que la velocidad de diseño del tramo (VCH VTR) ni superior a
ésta en 20 Km/h (VCH VTR + 20).
2. La velocidad específica de una curva horizontal debe ser asignada
teniendo en cuenta la velocidad específica de la curva horizontal
anterior y la longitud del segmento recto anterior.
Se ha establecido que los conductores, en función de la velocidad a
la que recorren una curva horizontal y la longitud del segmento
recto que encuentran al salir de dicha curva, adoptan el patrón de
comportamiento que se tipifica en los cinco casos que se enuncian
más adelante.
Tales casos se ilustran para la situación de velocidades de diseño
relativamente altas (VTR entre 60 y 110 Km/h) y se consignan en la
Tabla 3.10.
Cuando la velocidad de diseño del tramo es relativamente baja (VTR
entre 30 y 50 Km/h) la longitud del segmento recto, en función de la
cual los conductores toman la decisión para ajustar su velocidad, es
menor, tal como se puede observar en la misma Tabla 3.10.
CASO 1:
Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la
longitud del segmento recto es inferior a la distancia recorrida en
aproximadamente 5 segundos a la velocidad de diseño del tramo
(150 metros en promedio). En este caso no disponen del tiempo
suficiente para obtener plena claridad sobre la situación y en
consecuencia no alcanzan a realizar ajustes a su velocidad. La
condición de seguridad indica que a la curva horizontal siguiente se
le debe asignar la misma velocidad específica que la asignada a la
curva que se acaba de recorrer.
CASO 2:
Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la
longitud del segmento recto se encuentra entre 150 y 400 metros.
180
VTR + 10
VTR + 20
1
VTR + 10
VTR + 20
CASO
2
VTR + 20
VTR + 10
VTR
∆ < 45°
3
VTR + 10
VTR
VTR
∆ ≥ 45°
4
VTR + 10
VTR + 10
VTR + 10
250 < L ≤ 400
5
VTR + 20
VTR + 20
VTR + 20
L > 400
Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008.
VTR
L ≤ 70
VELOCIDAD DE DISEÑO DEL TRAMO VTR ≤ 50 Km/h
LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m)
70 < L ≤ 250
VTR
VELOCIDAD
ESPECÍFICA
DE LA
CURVA
HORIZONTAL
ANTERIOR
VCH (Km/h)
1
VTR + 20
VTR + 10
VTR
L ≤ 150
2
VTR + 20
VTR + 10
VTR
∆ < 45°
3
VTR + 10
VTR
VTR
∆ ≥ 45°
4
VTR + 10
VTR + 10
VTR + 10
400 < L ≤ 600
5
VTR + 20
VTR + 20
VTR + 20
L > 600
VELOCIDAD DE DISEÑO DEL TRAMO VTR > 50 Km/h
LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m)
150 < L ≤ 400
Tabla 3.10 Velocidad específica de una curva horizontal VCH,
incluida en un tramo homogéneo con velocidad de diseño VTR
James Cárdenas Grisales
181
Diseño geométrico de carreteras
En este caso ajustan o no su velocidad en función de la percepción
que obtienen del trazado más allá de la curva que encuentran ya
muy cercana.
Si el ángulo deflexión principal de la curva siguiente es menor de
cuarenta y cinco grados ( 45 ), los conductores alcanzan a tener
una noción razonablemente clara del trazado que sigue y no
disminuyen la velocidad a la que ya se desplazan por el segmento
recto, que es la velocidad a la que salieron de la curva anterior. En
consecuencia, se le debe asignar a la curva horizontal una
velocidad específica igual a la velocidad específica de dicha curva
anterior.
CASO 3:
Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la
longitud del segmento recto se encuentra entre 150 y 400 metros.
Como el caso anterior, ajustan o no su velocidad en función de la
noción que obtienen del trazado más allá de la curva que
encuentran ya muy cercana.
Si la deflexión de la curva siguiente es mayor ó igual a cuarenta y
cinco grados ( 45), los conductores tienen una percepción
incierta del trazado y cautelosamente disminuyen su velocidad por
lo que a la curva horizontal se le debe asignar una velocidad
específica 10 Km/h menor que la velocidad específica de la curva
anterior.
CASO 4:
Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la
longitud del segmento recto se encuentra entre 400 y 600 metros. De
allí que, en este caso, el segmento recto es suficientemente extenso
para que la velocidad de entrada a la curva siguiente sea
independiente de la velocidad a la que se salió de la curva anterior,
pero no demasiado, por lo que los conductores ajustan su velocidad
a una superior tan solo en 10 Km/h respecto a la velocidad de diseño
del tramo, VTR. Por lo tanto, se le debe asignar a la curva horizontal
una velocidad específica igual a la velocidad de diseño del tramo
182
James Cárdenas Grisales
más 10 Km/h (VTR + 10), ya que es a esta velocidad a la que los
vehículos entrarán en dicha curva.
CASO 5:
Los conductores, al salir de la curva anterior, juzgan que la
longitud del segmento recto es mayor de 600 metros. En este caso,
en el que el segmento recto por su longitud relativamente grande
estimula a los conductores a incrementar la velocidad, éstos ajustan
su velocidad a una superior en 20 Km/h respecto a la velocidad de
diseño del tramo, VTR. Por lo tanto, se le debe asignar a la curva
horizontal una velocidad específica igual a la velocidad de diseño
del tramo más 20 Km/h (VTR + 20), ya que es a esta velocidad a la que
los vehículos entrarán en dicha curva.
3. La diferencia entre las velocidades específicas de la última curva
horizontal de un tramo y la primera del siguiente se indican en la
Tabla 3.11. Tales diferencias están en función de la velocidad de
diseño de los tramos contiguos y de la longitud del segmento recto
entre dichas curvas. Además, son concordantes con los criterios
establecidos para la asignación de la velocidad específica de las
curvas horizontales dentro de un mismo tramo.
Es necesario enfatizar que para no desvirtuar el valor asignado a la
velocidad de diseño del tramo, VTR, cada vez que las condiciones
topográficas del terreno lo permitan, se debe plantear una propuesta
del eje que conduzca, al momento de asignar la velocidad
específica a las curvas horizontales, VCH, a que estas velocidades
específicas resulten lo más cercanas posible a la velocidad de
diseño del tramo homogéneo, VTR. Como ya se manifestó en un
párrafo anterior, la condición ideal es que todas o casi todas las
curvas horizontales tengan como velocidad específica, VCH, la
velocidad de diseño del tramo homogéneo, VTR.
Los criterios expuestos se han adoptado considerando terreno a
nivel o pendientes muy suaves, siendo ésta la situación asociada a
las mayores velocidades, constituyendo el caso crítico. En las
pendientes, tanto de ascenso como de descenso, los vehículos
tienden a reducir su velocidad.
183
184
VELOCIDAD DE DISEÑO
DE LOS TRAMOS
CONTIGUOS (Km/h)
ANTERIOR
ANALIZADO
20
30
20
40
30
20
30
40
30
50
40
20
40
30
40
50
40
60
50
30
50
40
50
60
50
70
60
40
60
50
60
70
60
80
70
50
70
60
70
80
70
90
Tabla 3.11
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
0
0
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
0
0
N.A.
0
0
0
0
0
0
0
0
∆ < 45°
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
-10
-10
N.A.
0
0
-10
0
0
-10
-10
0
∆ ≥ 45°
70 < L ≤ 250
N.A.
0
0
0
0
0
0
0
0
L ≤ 70
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
10
N.A.
NOTA(5)
10
10
NOTA(5)
10
10
10
10
10
250 < L ≤ 400
N.A.
NOTA(3)
NOTA(3)
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
20
NOTA(3)
NOTA(3)
20
20
NOTA(3)
20
20
L > 400
LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m) (1)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
0
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
∆ < 45°
0
0
-10
-10
0
0
-10
-10
0
0
N.A.
N.A.
0
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
∆ ≥ 45°
150 < L ≤ 400
N.A.(2)
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
L ≤ 150
NOTA(4)
NOTA(4)
NOTA(6)
10
10
10
Continúa
20
20
20
20
20
20
NOTA(4)
NOTA(4)
10
10
10
10
10
NOTA(6)
20
N.A.
N.A.
10
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
L > 600
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
400 < L ≤ 600
LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m)
Diferencia entre la velocidad específica de la última curva horizontal del tramo anterior
y la primera curva horizontal del tramo analizado, en Km/h
Diseño geométrico de carreteras
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
L ≤ 70
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
∆ < 45°
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
∆ ≥ 45°
70 < L ≤ 250
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
250 < L ≤ 400
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
N.A.
L > 400
LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m)(1)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L ≤ 150
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
∆ < 45°
-10
-10
0
0
-10
-10
0
0
-10
-10
0
-10
10
∆ ≥ 45°
150 < L ≤ 400
NOTA(4)
NOTA(4)
NOTA(4)
NOTA(4)
NOTA(6)
10
10
10
20
20
20
NOTA(6)
10
10
10
NOTA(4)
NOTA(4)
NOTA(6)
20
20
NOTA(4)
NOTA(4)
10
10
10
L > 600
NOTA(6)
400 < L ≤ 600
LONGITUD DEL SEGMENTO RECTO ANTERIOR (m)
Diferencia entre la velocidad específica de la última curva horizontal del tramo anterior
y la primera curva horizontal del tramo analizado, en Km/h (continuación)
Longitud del segmento recto entre la última curva horizontal del tramo anterior y la primera curva horizontal del tramo analizado.
(2): No Aplica.
(3): Si la longitud del segmento recto anterior es mayor de 400 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V .
TR
(4): Si la longitud del segmento recto anterior es mayor de 600 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V .
TR
(5): Si la longitud del segmento recto anterior se encuentra entre 250 y 400 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V .
TR
(6): Si la longitud del segmento recto anterior se encuentra entre 400 y 600 metros es necesario revisar las velocidades asignadas a los tramos homogéneos V .
TR
Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008.
(1):
VELOCIDAD DE DISEÑO
DE LOS TRAMOS
CONTIGUOS (Km/h)
ANTERIOR
ANALIZADO
80
60
80
70
80
90
80
100
90
70
90
80
90
100
90
110
100
80
100
90
100
110
110
90
110
100
Tabla 3.11
James Cárdenas Grisales
185
Diseño geométrico de carreteras
La asignación de la velocidad específica de las curvas horizontales,
VCH, se debe realizar simulando primero el desplazamiento de un
vehículo en un sentido de circulación y luego en el otro. La velocidad
específica que se le asigne como definitiva a una curva debe ser la
mayor que resulte de la simulación en ambos sentidos.
El procedimiento general sugerido para asignar la velocidad específica
de las curvas horizontales, VCH, se describe a continuación:
1. Trazado de la línea de ceros.
2. Diseño preliminar del eje en planta: se debe realizar ajustado a la
línea de ceros y de acuerdo a la velocidad de diseño del tramo, VTR,
adoptada.
3. Determinación de la longitud de los segmentos rectos entre las
curvas propuestas.
4. Asignación de la velocidad específica de las curvas horizontales,
VCH, simulando el recorrido en el sentido creciente del abscisado. Se
sugiere el siguiente procedimiento:
a) Asignar la velocidad específica, VCH, a la primera curva del
tramo homogéneo observando los criterios que se enuncian a
continuación:
Diferencia de velocidades de diseño entre tramos homogéneos.
Diferencia entre la velocidad específica de la última curva del
tramo anterior y la primera del tramo siguiente. Los valores se
presentan en la Tabla 3.11. Cuando no existe tramo anterior, la
velocidad específica de la primera curva debe ser mayor o igual
a la velocidad del tramo homogéneo, VTR, y menor o igual a la
velocidad del tramo más 20 Km/h (VTR VCH VTR +20).
b) Asignar la velocidad específica a las demás curvas en forma
consecutiva, cumpliendo con los criterios indicados en la Tabla
3.10, hasta terminar con la asignación de la velocidad específica
de la última curva.
186
James Cárdenas Grisales
5. Asignación de la velocidad específica, VCH, de las curvas
horizontales simulando el recorrido en el sentido decreciente del
abscisado: a la primera curva del tramo homogéneo analizado en el
sentido decreciente del abscisado se le debe asignar el mismo valor
de velocidad específica que se le asignó cuando se realizó la
simulación en el sentido creciente del abscisado.
6. Asignación de la velocidad específica, VCH, definitiva a cada una de
las curvas horizontales del tramo homogéneo: como resultado de la
asignación de las velocidades específicas simulando el recorrido en
el sentido creciente del abscisado y luego en el sentido contrario,
cada una de las curvas tiene asignadas dos velocidades específicas
que pueden ser iguales o diferentes. En el caso de que sean
diferentes, la condición de seguridad indica que se debe asignar la
mayor como velocidad específica definitiva de la curva horizontal.
VELOCIDAD ESPECÍFICA DE LA ENTRETANGENCIA HORIZONTAL, VETH
En carreteras de una calzada, un vehículo puede ingresar a la
entretangencia saliendo de la curva horizontal localizada en un
extremo, que tiene una determinada velocidad específica, VCH, o
saliendo de la curva localizada en el otro extremo, que también tiene
su propia velocidad específica, VCH. Los vehículos van a circular por la
entretangencia a la velocidad a la que salieron de la curva siendo
críticos los que entraron a la entretangencia desde la curva horizontal
que presenta la velocidad específica mayor.
En consecuencia, la velocidad específica de la entretangencia
horizontal, VETH, debe ser igual a la mayor de las dos velocidades
específicas, VCH, de las curvas horizontales extremas.
Es necesario establecer la probable velocidad a la que circularán los
vehículos en la entretangencia horizontal, para la verificación de la
distancia de visibilidad de adelantamiento y para la asignación de la
velocidad específica de una curva vertical incluida en dicha
entretangencia, como se verá más adelante.
187
Diseño geométrico de carreteras
3.4.3 Desplazamiento de un vehículo sobr e una curva
circular
Para ángulos de deflexión principal 6, en el caso de que no puedan
evitarse curvas circulares simples, se recomienda utilizar las de los
radios mínimos dados en la Tabla 3.12[5].
Tabla 3.12
Radios para deflexiones pequeñas
ÁNGULO DE DEFLEXIÓN
6
5
4
3
2
RADIO MÍNIMO R (metros)
2000
2500
3500
5500
9000
Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico para Carreteras. Bogotá. 1998.
Con el propósito de proporcionar seguridad, eficiencia y un diseño
balanceado entre los elementos de la vía desde el punto de vista
geométrico y físico, es fundamental estudiar la relación existente entre
la velocidad y la curvatura.
Cuando un vehículo circula sobre una curva horizontal, actúa sobre él
una fuerza centrífuga F que tiende a desviarlo radialmente hacia
afuera de su trayectoria normal. La magnitud de esta fuerza es:
F ma
Donde:
m = Masa del vehículo.
a = Aceleración radial, dirigida hacia el centro de curvatura.
Pero, la masa m y la aceleración radial a son iguales a:
m
W
g
,a
V2
R
Donde:
W = Peso del vehículo.
g = Aceleración de la gravedad.
V = Velocidad del vehículo.
R = Radio de la curva circular horizontal.
188
James Cárdenas Grisales
Por lo tanto:
F
WV 2
gR
(3-27)
En esta última expresión se puede ver que para un mismo radio R, la
fuerza centrífuga F es mayor si la velocidad V es mayor, por lo que el
efecto centrífugo es más notable.
La única fuerza que se opone al deslizamiento lateral del vehículo es
la fuerza de fricción desarrollada entre las llantas y el pavimento. Esta
fuerza por sí sola, generalmente, no es suficiente para impedir el
deslizamiento transversal; por lo tanto, será necesario buscarle un
complemento inclinando transversalmente la calzada. Dicha
inclinación se denomina peralte.
Si sobre una curva horizontal de radio R un vehículo circula a una
velocidad constante V, según la ecuación (3-27), el peso W y la fuerza
centrífuga F son también constantes, pero sus componentes en las
direcciones normal y paralela al pavimento varían según la inclinación
que tenga la calzada, tal como se aprecia en la Figura 3.57.
Para la situación anterior, las componentes normales de las fuerzas W
y F son siempre del mismo sentido y se suman, actuando hacia el
pavimento, contribuyendo a la estabilidad del vehículo. Por el
contrario, las componentes paralelas de W y F son de sentido opuesto y
su relación hace variar los efectos que se desarrollan en el vehículo.
Las componentes normales y paralelas de las fuerzas W y F se definen
como:
Wn , Fn = Componentes normales al pavimento.
Wp , Fp = Componentes paralelas al pavimento.
De esta manera, dependiendo de la relación entre Wp y Fp, se presentan
los siguientes casos:
189
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.57
Efecto de la inclinación transversal de la calzada sobre un vehículo
circulando en curva
Caso : Wp=0
La calzada es horizontal, esto es, no hay inclinación transversal y Fp
alcanza su valor máximo F.
Caso : Wp=Fp
, Figura 3.58
En este caso, la fuerza resultante F+W es perpendicular a la superficie
del pavimento. Por lo tanto, la fuerza centrífuga F no es sentida en el
vehículo. La velocidad a la cual se produce este efecto se le llama
velocidad de equilibrio.
Caso : Wp<Fp
, Figura 3.59
En este caso, la fuerza resultante F+W actúa en el sentido de la fuerza
centrífuga F.
Por lo tanto, el vehículo tiende a deslizarse hacia el exterior de la
curva, pues se origina un momento en sentido contrario al movimiento
de las agujas del reloj. Volcamiento de este caso es típico en vehículos
livianos.
190
James Cárdenas Grisales
Caso : Wp>Fp
Figura 3.58
Caso Wp=Fp
Figura 3.59
Caso Wp<Fp
, Figura 3.60
En este caso, la fuerza resultante F+W actúa en el sentido contrario de
la fuerza centrífuga F. Por lo tanto, el vehículo tiende a deslizarse
hacia el interior de la curva. Volcamiento de este caso es típico en
vehículos pesados.
191
Diseño geométrico de carreteras
Figura 3.60
Caso Wp>Fp
3.4.4 Velocidad, curvatura, peralte y fricción lateral[5,10]
Existen dos fuerzas que se oponen al deslizamiento lateral de un
vehículo, la componente Wp del peso y la fuerza de fricción transversal
desarrollada entre las llantas y el pavimento. Igualmente para ayudar a
evitar este deslizamiento, se acostumbra en las curvas darle cierta
inclinación transversal a la calzada. Esta inclinación denominada
peralte, se simboliza con la letra e. Por lo tanto, de acuerdo con las
figuras anteriores:
192
e tan θ
(3-28)
Dependiendo de la relación entre las componentes y, como se vio
anteriormente, se plantea lo siguiente:
A la velocidad de equilibrio:
Según la Figura 3.58, se tiene que:
Wp Fp
192
James Cárdenas Grisales
W sen θ F cos θ
sen θ
F
tan θ
cos θ
W
Reemplazando las ecuaciones (3-27) y (3-28):
WV 2
gR
e
W
V2
e
gR
, esto es,
(3-29)
Donde el peralte e es adimensional, la velocidad V se expresa en Km/h,
el radio R en metros, y g es igual a 9.81 m/seg2. Por lo tanto,
convirtiendo unidades se llega a:
e
V2
Km 2 / h 2
9.81 R ( m / seg 2 )m
V2
2
2
Km 2 / m 2 seg 2 / h 2 1000 m / 1 Km 1 h / 3600 seg
9.81 R
V2
e
127 R
e
(3-30)
A velocidades diferentes a la de equilibrio:
Para el Caso 3, Wp<Fp, o lo que es lo mismo (Fp-Wp)>0, en la Figura
3.59, se puede ver que:
La resultante paralela (Fp-Wp) actúa hacia la izquierda, por lo que
deberá ser resistida por una fuerza de fricción transversal Ff
desarrollada entre las llantas y el pavimento y que actúa hacia la
derecha. Esto es:
Fp Wp Ff
Pero también se sabe que:
Fuerza de fricción Fuerza normal Coeficiente de fricción
193
Diseño geométrico de carreteras
Por lo tanto, denominando por fT el coeficiente de fricción transversal,
se tiene:
Fp Wp Fn Wn fT
fT
Fp Wp
Fn Wn
En la práctica para valores normales del peralte, la componente Fn es
muy pequeña comparada con la componente Wn, por lo que se puede
despreciar. Luego:
fT
fT
Fp Wp
Wn
F cos θ - W sen θ F cos θ W sen θ F
tan θ
W cos θ
W cos θ W cos θ W
F
e
W
Reemplazando la ecuación (3-27):
WV 2
V2
gR
fT
e
e
W
gR
e fT
V2
gR
, esto es,
(3-31)
Convirtiendo unidades:
e fT
V2
127 R
(3-32)
Para el Caso 4, Wp>Fp, o lo que es lo mismo (Fp-Wp)<0, según la Figura
3.60, por homología se llega a:
e fT
V2
127 R
(3-33)
La situación más común que se presenta en la práctica es aquella en la
cual la mayoría de los vehículos circulan a velocidades superiores a la
velocidad de equilibrio. En este sentido, para efectos de diseño, la
expresión más utilizada es la de la ecuación (3-32) para el Caso 3.
194
James Cárdenas Grisales
Cuando un vehículo circula por una curva circular horizontal de radio
R, se le debe permitir recorrerla con seguridad y comodidad a la
velocidad de operación o específica VCH por la que opte al afrontarla.
La seguridad se introduce en el diseño garantizando la estabilidad del
vehículo ante la fuerza centrífuga F que tiende a desequilibrarlo hacia
el exterior de la curva, oponiéndose a ella el peralte e o inclinación
transversal de la calzada y la fuerza de fricción transversal FT
movilizada entre las llantas y el pavimento.
Por tanto, para cada velocidad de operación o específica VCH se adopta
un coeficiente de fricción transversal movilizable que sea seguro en
condiciones críticas fTmáx, como son pavimento mojado y estado
desgastado de las llantas, y un peralte suficiente emáx, obteniendo así el
radio mínimo Rmín de la curva que genera la fuerza centrífuga que se
puede contrarrestar con estos valores seleccionados.
En otras palabras, el radio mínimo Rmín, es el límite para una velocidad
específica VCH dada del vehículo, calculado a partir del peralte máximo
emáx y del coeficiente de fricción transversal máximo fTmáx, según la
ecuación (3-32), como:
R mín
2
VCH
127 e máx fTmáx
(3-34)
El Radio mínimo de curvatura solo debe ser usado en situaciones
extremas, donde sea imposible la aplicación de radios mayores.
En Colombia para carreteras primarias y secundarias se establece
como peralte máximo emáx el 8%, el cual permite no incomodar a
aquellos vehículos que viajan a velocidades menores, especialmente a
los vehículos con centro de gravedad muy alto y a los vehículos
articulados (tracto–camión con remolque) los cuales pueden tener un
potencial de volcamiento de su carga al circular por curvas con
peraltes muy altos.
A su vez, para carreteras terciarias, especialmente en terreno
montañoso y escarpado, donde es difícil disponer de longitudes de
195
Diseño geométrico de carreteras
entretangencia amplias, por lo que no es fácil hacer la transición de
peralte, se considera que el peralte máximo emáx más adecuado es del
6%.
El coeficiente de fricción transversal máximo fTmáx, está determinado
por numerosos factores, entre los cuales se encuentran el estado de la
superficie de rodadura, la velocidad del vehículo y el tipo y
condiciones de las llantas de los vehículos. Se adoptan los valores del
coeficiente de fricción transversal máximo fTmáx, dados por los estudios
recientes de la AASHTO[1], los cuales se indican en la Tabla 3.13.
Tabla 3.13
Coeficientes de fricción transversal máximos, fTmáx
VELOCIDAD ESPECÍFICA
20
VCH (Km/h)
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130
COEFICIENTE DE
FRICCIÓN TRANSVERSAL 0.35 0.28 0.23 0.19 0.17 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.09 0.08
MÁXIMO fTmáx
Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C. 2004.
En la Tabla 3.14 y en la Tabla 3.15 se presentan los radios mínimos
absolutos Rmín, calculados con la ecuación (3-34), para las velocidades
específicas indicadas VCH, los peraltes máximos recomendados emáx y
los coeficientes de fricción transversal máximos fTmáx.
Tabla 3.14 Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=8%
y fricción máxima, carreteras primarias y secundarias
VELOCIDAD
ESPECÍFICA
VCH (Km/h)
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
PERALTE
FRICCIÓN
RECOMENDADO TRANSVERSAL
emáx (%)
fTmáx
8.0
0.23
8.0
0.19
8.0
0.17
8.0
0.15
8.0
0.14
8.0
0.13
8.0
0.12
8.0
0.11
8.0
0.09
8.0
0.08
RADIO MÍNIMO
Rmín (m)
CALCULADO
REDONDEADO
40.6
41
72.9
73
113.4
113
167.8
168
229.1
229
303.7
304
393.7
394
501.5
502
667.0
667
831.7
832
Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008.
196
James Cárdenas Grisales
Tabla 3.15
VELOCIDAD
ESPECÍFICA
VCH (Km/h)
20
30
40
50
60
Radios mínimos absolutos para peralte máximo emáx=6%
y fricción máxima, carreteras terciarias
PERALTE
FRICCIÓN
RECOMENDADO TRANSVERSAL
emáx (%)
fTmáx
6.0
0.35
6.0
0.28
6.0
0.23
6.0
0.19
6.0
0.17
RADIO MÍNIMO
Rmín (m)
CALCULADO
REDONDEADO
7.7
15(1)
20.8
21
43.4
43
78.7
79
123.2
123
Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008.
(1): La adopción de este valor redondeado se sustenta básicamente en la necesidad de suministrar a los vehículos condiciones de
desplazamiento cómodas, en aras de permitir giros sin requerir cambios muy fuertes en su velocidad.
Una vez asignada la velocidad específica VCH a cada curva horizontal y
con el radio de curvatura elegido R, que se supone es el que permite
ajustar de la mejor manera la trayectoria de la curva a la topografía del
terreno, es necesario asignar el peralte e que debe tener dicha curva
para que con su radio R permita que los vehículos puedan circular con
plena seguridad a la velocidad específica VCH. Para ello, el Manual de
Diseño Geométrico de Carreteras de INVIAS[10] ha adoptado el criterio
de la AASHTO denominado Método 5, incluido en su versión 2004[1].
Este método involucra el principio fundamental de que cuando un
vehículo recorre una trayectoria curva, la compensación de la fuerza
centrífuga es realizada fundamentalmente por el peralte de la calzada
y cuando el peralte ya resulta insuficiente, completa lo requerido,
demandando fricción transversal.
Lo anterior implica que para curvas de radios superiores al mínimo, la
fricción transversal demandada no es la fricción transversal máxima
sino que su valor es establecido en el Método 5 mediante una función
parabólica. Entonces, a aquellas curvas con radios mayores que el
radio mínimo, se les debe asignar un peralte menor en forma tal que la
circulación sea cómoda, tanto para los vehículos lentos como para los
rápidos.
En la Tabla 3.16 se presenta el valor del peralte e en función de la
velocidad específica VCH y el radio R para carreteras primarias y
secundarias (emáx=8%) y en la Tabla 3.17 para carreteras terciarias
(emáx=6%).
197
198
VCH =40
Km/h
R (m)
VCH =50
Km/h
R (m)
VCH =60
Km/h
R (m)
VCH =70
Km/h
R (m)
VCH =80
Km/h
R (m)
2970
2190
1980
1800
1650
1520
1410
1310
1220
1140
1070
1010
948
895
847
803
762
724
689
656
625
595
567
540
514
489
464
440
415
389
359
304
VCH =90
Km/h
R (m)
3630
2680
2420
2200
2020
1860
1730
1610
1500
1410
1320
1240
1180
1110
1050
996
947
901
859
819
781
746
713
681
651
620
591
561
531
499
462
394
VCH =100
Km/h
R (m)
4180
3090
2790
2550
2340
2180
2000
1870
1740
1640
1540
1450
1380
1300
1240
1180
1120
1070
1020
975
933
894
857
823
789
757
724
691
657
621
579
501
VCH =110
Km/h
R (m)
4900
3640
3290
3010
2760
2550
2370
2220
2080
1950
1840
1740
1650
1570
1490
1420
1360
1300
1250
1200
1150
1100
1060
1020
982
948
914
879
842
803
757
667
VCH =120
Km/h
R (m)
Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=8%,
carreteras primarias y secundarias
1.5
784
1090
1490
1970
2440
2.0
571
791
1090
1450
1790
2.2
512
711
976
1300
1620
2.4
463
644
885
1190
1470
2.6
421
587
808
1080
1350
2.8
385
539
742
992
1240
3.0
354
496
684
916
1150
3.2
326
458
633
849
1060
3.4
302
425
588
790
988
3.6
279
395
548
738
924
3.8
259
368
512
690
866
4.0
241
344
479
648
813
4.2
224
321
449
608
766
4.4
208
301
421
573
722
4.6
192
281
395
540
682
4.8
178
263
371
509
645
5.0
163
248
349
480
611
5.2
148
229
328
454
579
5.4
136
213
307
429
549
5.6
125
198
288
405
521
5.8
115
185
270
382
494
6.0
106
172
253
360
469
6.2
98
161
238
340
445
6.4
91
151
224
322
422
6.6
85
141
210
304
400
6.8
79
132
198
287
379
7.0
73
123
185
270
358
7.2
68
115
174
254
338
7.4
62
107
162
237
318
7.6
57
99
150
221
296
7.8
52
90
137
202
273
8.0
41
73
113
168
229
Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C. 2004.
e
(%)
Tabla 3.16
5360
4000
3620
3310
3050
2830
2630
2460
2310
2180
2060
1950
1850
1760
1680
1610
1540
1480
1420
1360
1310
1260
1220
1180
1140
1100
1070
1040
998
962
919
832
VCH =130
Km/h
R (m)
Diseño geométrico de carreteras
James Cárdenas Grisales
Tabla 3.17
e
(%)
Radios R, según velocidad específica VCH y peralte e, para emáx=6%,
carreteras terciarias
VCH =20
Km/h
R (m)
VCH =30
Km/h
R (m)
VCH =40
Km/h
R (m)
VCH =50
Km/h
R (m)
VCH =60
Km/h
R (m)
1.5
194
421
738
1050
1440
2.0
138
299
525
750
1030
2.2
122
265
465
668
919
2.4
109
236
415
599
825
2.6
97
212
372
540
746
2.8
87
190
334
488
676
3.0
78
170
300
443
615
3.2
70
152
269
402
561
3.4
61
133
239
364
511
3.6
51
113
206
329
465
3.8
42
96
177
294
422
4.0
36
82
155
261
380
4.2
31
72
136
234
343
4.4
27
63
121
210
311
4.6
24
56
108
190
283
4.8
21
50
97
172
258
5.0
19
45
88
156
235
5.2
17
40
79
142
214
5.4
15
36
71
128
195
5.6
15
32
63
115
176
5.8
15
28
56
102
156
6.0
15
21
43
79
123
Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C.
2004.
3.4.5 Transición del peralte
La sección transversal de la calzada sobre un alineamiento recto tiene
una inclinación comúnmente llamada bombeo normal, el cual tiene
por objeto facilitar el drenaje o escurrimiento de las aguas lluvias
lateralmente hacia las cunetas. El valor del bombeo dependerá del tipo
de superficie y de la intensidad de las lluvias en la zona del proyecto,
variando del 1% al 4%.
Así mismo, la sección transversal de la calzada sobre un alineamiento
curvo tendrá una inclinación asociada con el peralte, el cual tiene por
objeto, como se vio anteriormente, facilitar el desplazamiento seguro
de los vehículos sin peligros de deslizamientos.
Para pasar de una sección transversal con bombeo normal a otra con
peralte, es necesario realizar un cambio de inclinación de la calzada.
Este cambio no puede realizarse bruscamente, sino gradualmente a lo
199
Diseño geométrico de carreteras
largo de la vía entre este par de secciones. A este tramo de la vía se le
llama transición de peraltado.
Si para el diseño de las curvas horizontales se emplean curvas
espirales de transición, las cuales se estudiarán más adelante, la
transición del peraltado se efectúa gradualmente en función de la
curvatura de la espiral.
Cuando sólo se dispone de curvas circulares, se acostumbra a realizar
una parte de la transición en la recta y la otra parte sobre la curva. Se
ha encontrado empíricamente que la transición del peralte puede
introducirse dentro de la curva hasta en un 50%, siempre que por lo
menos la tercera parte central de la longitud de la curva circular quede
con el peralte completo.
Para realizar la transición del bombeo al peralte, pueden utilizarse tres
procedimientos: 1) Rotando la calzada alrededor de su eje central. 2)
Rotando la calzada alrededor de su borde interior. 3) Rotando la
calzada alrededor de su borde exterior. El primer procedimiento es el
más conveniente, ya que los desniveles relativos de los bordes con
respecto al eje son uniformes, produciendo un desarrollo más
armónico y con menos distorsión de los bordes de la calzada.
La Figura 3.61, muestra en forma esquemática y tridimensional, la
transición del peralte de una curva circular, rotando la calzada
alrededor de su eje central, donde:
Lt
N
L
e
=
=
=
=
Longitud de transición.
Longitud de aplanamiento.
Longitud de la curva circular.
Peralte necesario de la curva circular.
La longitud de transición Lt, por simplicidad, se considera desde
aquella sección transversal donde el carril exterior se encuentra a nivel
o no tiene bombeo, hasta aquella sección donde la calzada tiene todo
su peralte e completo. La longitud de aplanamiento N es la longitud
necesaria para que el carril exterior pierda su bombeo o se aplane.
200
James Cárdenas Grisales
Figura 3.61
Transición del peralte
En términos generales, en las curvas circulares, con tramos sin espiral,
la transición del peralte se desarrolla una parte en la tangente y la otra
en la curva, exigiéndose en el PC y en el PT de la misma entre un 60%
y un 80% del peralte total, prefiriéndose valores promedio de este
rango.
Por comodidad y apariencia, se recomienda que la longitud del tramo
donde se realiza la transición del peralte debe ser tal que la pendiente
longitudinal de los bordes relativa a la pendiente longitudinal del eje
de la vía no debe ser mayor que un valor m. En este sentido, m se
define como la máxima diferencia algebraica entre las pendientes
longitudinales de los bordes de la calzada y el eje de la misma. La
Tabla 3.18 presenta los valores máximos y mínimos recomendados de
esta diferencia en función de la velocidad específica[10].
En la Figura 3.62, aparecen las mitades de las secciones transversales
en bombeo y en peralte, lo mismo que el perfil parcial de la transición,
donde se observa:
201
Diseño geométrico de carreteras
Tabla 3.18
Valores máximos y mínimos de la pendiente relativa de los bordes de la
calzada con respecto al eje
VELOCIDAD
ESPECÍFICA
VCH (Km/h)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
PENDIENTE RELATIVA DE LOS BORDES CON
RESPECTO AL EJE DE LA VÍA
m
MÁXIMA (%)
MÍNIMA (%)
1.35
1.28
0.96
0.77
0.60
0.55
0.50
0.1(carril)
0.47
0.44
0.41
0.38
0.35
Fuente: Instituto Nacional de Vías. Manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Bogotá. 2008.
Figura 3.62
202
Secciones transversales y perfil parcial de la transición del peralte
James Cárdenas Grisales
En el triángulo rectángulo B'E'G:
B' G 1
E' G m
Pero, B' G Lt y E' G Carril e , entonces,
Lt
Carril e
m
(3-35)
En el triángulo rectángulo AFB:
N
1
AF m
Pero, AF Carril Bombeo , entonces,
N
Carril Bombeo
m
(3-36)
Cuando el número de carriles que rotan es mayor que uno (1), como es
el caso de vías de múltiples carriles de doble sentido sin separador, es
conveniente el uso de un factor de ajuste, para evitar una excesiva
longitud de transición y desniveles muy altos entre los bordes y el eje
de rotación. Por lo tanto, las ecuaciones (3-35) y (3-36), se convierten
en:
w nl bw e
m
w nl bw Bombeo
N
m
Lt
(3-37)
(3-38)
Donde:
w = Ancho del carril.
nl = Número de carriles que rotan.
bw = Factor de ajuste debido al número de carriles que giran.
En la Tabla 3.19 se indican los factores de ajuste, los cuales son
recomendados por la AASHTO[1], sobre bases meramente empíricas,
obtenidos mediante la siguiente expresión:
203
Diseño geométrico de carreteras
bw
1 0.5 nl 1
(3-39)
nl
Tabla 3.19
Factores de ajuste por el número de carriles rotados
NÚMERO DE CARRILES
QUE ROTAN
nl
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
FACTOR DE
AJUSTE
bw
1.00
0.83
0.75
0.70
0.67
0.64
INCREMENTO EN LA LONGITUD CON
RESPECTO A LA DE UN CARRIL ROTADO
(=nl bw)
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
Fuente: AASHTO. A Policy on Geometric Design of Highways and Streets. Washington D.C. 2004.
En la Figura 3.63 se ilustran los bosquejos que indican los carriles que
rotan respecto a su eje de rotación.
Figura 3.63
204
Disposición de los carriles que rotan respecto a su eje de rotación
James Cárdenas Grisales
EJEMPLO 3.28: Abscisas y posición de los bordes en la transición del
peralte de una curva circular simple
Datos:
Para el diseño de una curva circular simple en una carretera principal
de una calzada, se dispone de la siguiente información:
Velocidad específica
Radio de la curva
Deflexión al PI
Abscisa del PI
Ancho de la calzada
Bombeo normal
Transición
= 60 Km/h
= Rmín
= = 106 30'D
= K6+582.930
= 7.30m (dos carriles)
= 2%
= 70% en recta
Calcular:
Los elementos, las abscisas y la posición de los bordes con respecto al
eje en aquellas secciones importantes en la transición del peralte de
esta curva, tanto a la entrada como a la salida, si la rotación de la
calzada se realiza alrededor del eje.
Solución:
a)
Elementos
Radio mínimo: Rmín
Como se tiene una curva de radio mínimo, según la Tabla 3.14, para
una velocidad específica de 60 Km/h, su valor es:
Rmín 113 m
Peralte máximo: emáx
También de acuerdo con la Tabla 3.14, para una velocidad específica
de 60 Km/h, su valor es:
emáx 8.0%
205
Diseño geométrico de carreteras
Tangente: T
T R tan
106 30'
Δ
151.325 m
113 tan
2
2
Longitud de la curva: Ls
Ls
πRΔ π 113 106 30'
210.042 m
180
180
Abscisa del: PC
Abscisa del PC Abscisa del PI T K6 582.930 151.325 K6 431.605
Abscisa del: PT
Abscisa del PT Abscisa del PC Ls K6 431.605 210.042 K6 641.647
Pendiente relativa de los bordes: m
Según la Tabla 3.18, para una velocidad específica de 60 Km/h, y
utilizando el valor máximo, se tiene que:
m 0.60%
Longitud de transición: Lt
De acuerdo con la ecuación (3-35):
Lt
Carril emáx 3.65 m 8.0%
48.667 m
m
0.60%
Longitud de aplanamiento: N
De acuerdo con la ecuación (3-36):
N
Carril Bombeo 3.65 m 2.0%
12.167 m
m
0.60%
b)
Abscisas en secciones importantes de la transición
Para una mejor comprensión en el cálculo de estas abscisas es
recomendable realizar un dibujo en planta de la curva, que muestre sus
206
James Cárdenas Grisales
respectivas tangentes y la transición del peralte, tal como lo representa
la Figura 3.64, para la cual:
Figura 3.64
Planta de la transición del peralte
Abscisa donde termina el bombeo normal: sección a-a'-a"
Abscisa Abscisa PC 0.7Lt N
Abscisa K6 431.605 0.7 48.667 12.167 K 6 385.371
Abscisa donde el carril exterior se aplana: sección b-b'-b"
Abscisa Abscisa PC 0.7Lt
Abscisa K6 431.605 0.7 48.667 K 6 397.538
Abscisa donde el peralte es igual al bombeo: sección c-c'-c"
Abscisa Abscisa sección b - b'-b" N
207
Diseño geométrico de carreteras
Abscisa K6 397.538 12.167 K 6 409.705
Abscisa donde empieza el peralte máximo: sección e-e'-e"
Abscisa Abscisa PC 0.3Lt
Abscisa K6 431.605 0.3 48.667 K 6 446.205
c)
Posición de los bordes con respecto al eje
La posición de los bordes, exterior e interior, con respecto al eje en las
secciones importantes, se aprecia muy bien dibujando un perfil de
ellos, como lo muestra la Figura 3.65.
Las diferencias de altura entre los bordes y el eje en las respectivas
secciones, se calculan multiplicando el ancho del carril por el peralte
respectivo en cada una de ellas, así:
Figura 3.65
Perfil longitudinal de la transición del peralte
aa' aa" 3.65 0.020 0.073 m 7.30 cm
bb' 3.65 0.020 0.073 m 7.30 cm
bb" 3.65 0.000 0.000 m 0.00 cm
208
James Cárdenas Grisales
cc' cc" 3.65 0.020 0.073 m 7.30 cm
dd' dd" 3.65 0.056 0.204m 20.44cm
ee' ee" 3.65 0.080 0.292 m 29.20 cm
EJEMPLO 3.29: Abscisas y cotas de los bordes en la transición del
peralte de una curva circular simple
Datos:
En el diseño de una curva circular simple de una carretera secundaria,
se conoce:
Velocidad específica
Radio de la curva
Abscisa del PC
Cota del PC
Ancho de la calzada
Bombeo normal
Transición
Pendiente longitudinal del eje de la vía
= 50 Km/h
= Rmín
= K4+320.470
= 1500.000m
= 7.30m (dos carriles)
= 2%
= 80% en recta
= +8%
Calcular:
a) La longitud de transición y el aplanamiento.
b) La cota del borde exterior en la sección del PC.
c) La cota del borde interior donde toda la calzada tiene un peralte
igual al bombeo.
d) La abscisa y las cotas del borde exterior e interior donde empieza
el peralte máximo.
Solución:
a)
Longitud de transición y aplanamiento
Radio mínimo: Rmín
Según la Tabla 3.14, para una velocidad específica de 50 Km/h, su valor
es:
209
Diseño geométrico de carreteras
Rmín 73 m
Peralte máximo: emáx
También de acuerdo con la Tabla 3.14, para una velocidad específica
de 50 Km/h, su valor es:
emáx 8.0%
Pendiente relativa de los bordes: m
Según la Tabla 3.18, para una velocidad específica de 50 Km/h, y
utilizando el valor máximo, se tiene que:
m 0.77%
Longitud de transición: Lt
Lt
Carril emáx 3.65 m 8.0%
37.922 m
m
0.77%
Longitud de aplanamiento: N
N
Carril Bombeo 3.65 m 2.0%
9.481m
m
0.77%
b)
Cota borde exterior sección del PC
Para el cálculo de cotas y abscisas, es recomendable dibujar un perfil
parcial de la transición del peralte, tal como se ilustra en la Figura
3.66, para la cual:
Cota del punto: A
Cota de A Cota PC PC A
PC A Carril Peralte 3.65 e'
Para determinar el peralte e', se observa que el triángulo BCD es
semejante al triángulo BAPC. Entonces:
PC A 0.8 Lt
CD
1.0 Lt
210
James Cárdenas Grisales
Figura 3.66
Perfil parcial de la transición del peralte
CD Carril e máx
Carril e'
0.8
Carril e máx
, e' 0.8 e máx 0.8 8% 6.4%
PC A 3.65 0.064 0.234m
, por lo tanto,
, luego,
Cota de A 1500.000 0.234 1500.234m
c)
Cota borde interior, punto E
Cota de E Cota de F FE
Cota F Cota PC 0.08 0.8Lt N
Cota F 1500.000 0.08 30.338 9.481 1498.331m
FE Carril Peralte 3.65 0.02 0.073m
, por lo tanto,
Cota de E 1498.331 0.073 1498.258m
211
Diseño geométrico de carreteras
d)
Abscisa y cotas para emáx
Abscisa:
Abscisa Abscisa PC 0.2Lt
Abscisa K4 320.470 7.584 K 4 328.054
Cota borde exterior:
Cota de C Cota de D DC
DC Carril emáx 3.65 0.08 0.292m
Cota de D Cota PC 0.08 7.584 1500.000 0.607 1500.607 m
Cota de C 1500.607 0.292 1500.899 m
Cota borde interior:
Cota de G Cota de D DG , DG DC 0.292m
Cota de G 1500.607 0.292 1500.315 m
EJEMPLO 3.30: Cotas de los bordes en secciones específicas de la
transición del peralte de una curva circular simple
Datos:
En el diseño de una curva circular simple se dispone de la siguiente
información:
Deflexión al PI
Velocidad específica
Radio de la curva
Bombeo normal
Cota del eje al final del bombeo normal
Pendiente longitudinal del eje de la vía
Ancho de la calzada
Transición
= = 14 20'D
= VCH = 70 Km/h
= R = 202m
= 2%
= 500.000m
= -4%
= 7.30m (dos carriles)
= 70% en recta
Calcular:
a) La longitud de transición y el aplanamiento.
b) Si el tercio central de la curva con el peralte completo e tiene una
longitud mayor que Ls /3.
212
James Cárdenas Grisales
c) La cota del borde interior 16 metros antes del PC.
d) Las cotas del borde exterior 14 y 45 metros después del PC.
Solución:
a)
Longitud de transición y aplanamiento
Peralte: e
Según la Tabla 3.16, para que la curva diseñada con un radio R=202m,
opere a una velocidad específica VCH=70 Km/h, se le debe asignar un
peralte e=7.8%.
Pendiente relativa de los bordes: m
De acuerdo con la Tabla 3.18, para una velocidad específica VCH de 70
Km/h, y utilizando el valor máximo, se tiene que m = 0.55%.
Longitud de transición: Lt
Lt
Carril e 3.65 m 7.8%
51.764m
m
0.55%
Longitud de aplanamiento: N
N
Carril Bombeo 3.65 m 2.0%
13.273 m
m
0.55%
b)
Chequeo del tercio central de la curva
Longitud de la curva: Ls
Ls
πRΔ π 202 14 20'
50.533m
180
180
,
Ls 50.533
16.844m
3
3
Longitud de la curva consumida en transición:
30% por el lado del PC y 30% por el lado del PT, para un total de:
0.6 Lt 0.6 51.764 31.058 m
213
Diseño geométrico de carreteras
Longitud de la curva con todo el peralte del 7.8%:
La parte central de la curva con todo el peralte del 7.8% tiene una
longitud de:
Ls 0.6 Lt 50.533 31.058 19.475 m
Puede observarse que, el tercio central de la curva con todo el peralte
tiene una longitud de 19.475 metros, mayor que la tercera parte de la
longitud de la curva, que es de 16.844 metros.
c)
Cota del borde interior 16 metros antes del PC
Según la Figura 3.67, la cota que se quiere calcular es la del punto A.
Cota de A Cota de B BA
Cota de B 500.000 0.04N N x
N x 16 0.7 L
t
, x 36.235 13.273 16 6.962 m
Cota de B 500.000 0.0413.273 13.273 6.962 498.660 m
Figura 3.67
214
Cotas de los bordes en secciones específicas
James Cárdenas Grisales
BA Carril Peralte 3.65 e'
Para calcular el peralte e' correspondiente a esta sección, en los
triángulos semejantes CEPC y CDB, se tiene:
DB
Nx
E PC 0.7 Lt
Carril e'
13.273 6.962
, e' 3.049%
, entonces,
Carril 5.46%
36.235
, por lo tanto,
BA 3.65 0.03049 0.111m
Cota de A 498.660 0.111 498.549m
d)
Cotas del borde exterior 14 y 30 metros después del PC
Cota del punto: G
Cota de G Cota de B 0.0416 14 Carril e"
e"
36.235 14
, e" 7.570%
7.8% 36.235 15.529
Cota de G 498.660 0.0416 14 3.65 0.0757 497.736 m
Cota del punto: H
Como puede observarse en el perfil anterior, la sección que contiene el
punto H se encuentra en el tercio central de la curva, él cual posee un
peralte del 7.8%. Entonces:
Cota de H Cota de B 0.0416 30 Carril 0.078
Cota de H 498.660 0.0416 30 3.65 0.078 497.105 m
EJEMPLO 3.31: Transición del peralte entre curvas de igual sentido
Datos:
Se trata de las transiciones de dos curvas izquierdas, para las cuales se
tienen los siguientes elementos:
Velocidad específica de la curva 1
Velocidad específica de la curva 2
= VCH1 = 70 Km/h
= VCH2 = 80 Km/h
215
Diseño geométrico de carreteras
Radio de la curva 1
Radio de la curva 2
Abscisa del PT1
Cota del PT1
Ancho de la calzada
Bombeo normal
Pendiente longitudinal del eje de la vía
Transición para ambas curvas
Entre las transiciones de las dos curvas
metros en bombeo normal.
= R1 = 168m
= R2 = 296m
= K5+992.000
= 1000.000m
= 7.30m (dos carriles)
= 2%
= -5%
= 70% en recta
existe una longitud de 15
Calcular:
a) La cota del borde derecho e izquierdo en la abscisa K6+005.
b) La abscisa de aquella sección en la cual se ha logrado un peralte
del 3% en el desarrollo de la transición de la segunda curva.
c) La cota del borde derecho e izquierdo para la sección del PC2.
Solución:
Antes de calcular las cotas y abscisas pedidas, es necesario conocer
los peraltes, las pendientes relativas de los bordes, y las longitudes de
transición y aplanamiento:
Peraltes: e1 , e2
De acuerdo con la Tabla 3.16, a la primera curva de radio R1=168m y
velocidad específica VCH1=70 Km/h le corresponde un peralte e1=8.0%, y a
la segunda curva de radio R2=296m y velocidad específica VCH2=80 Km/h
le corresponde un peralte e2=7.6%.
Pendiente relativa de los bordes: m
Según la Tabla 3.18, a una velocidad específica VCH1=70 Km/h le
corresponde un mmáx1=0.55%, y a una velocidad específica VCH2=80 Km/h
un mmáx2=0.50%. Igualmente, para ambas velocidades el valor mínimo
es mmín=0.1(Carril)=0.1(3.65)=0.365%. Por lo tanto, para uniformizar el
diseño se adopta el valor de m=0.50% para ambas curvas, valor que se
216
James Cárdenas Grisales
encuentra en el rango de los valores máximos y mínimos de la
pendiente relativa de los bordes.
Longitudes de transición: Lt1 , Lt2
Carril e1 3.65 m 8.0%
58.400 m
m
0.50%
Carril e2 3.65 m 7.6%
Lt 2
55.480 m
m
0.50%
Lt1
Longitudes de aplanamiento: N1 , N2
N1 N 2
a)
Carril Bombeo 3.65 m 2.0%
14.600 m
m
0.50%
Cotas borde derecho e izquierdo en la abscisa K6+005
En la Figura 3.68 se muestra el perfil longitudinal de las transiciones
entre las dos curvas, con sus peraltes, abscisas y puntos de cotas.
Figura 3.68
Cotas de bordes y abscisas en secciones específicas
217
Diseño geométrico de carreteras
Cota borde derecho = cota del punto: A
Cota de A Cota del PT1 0.05 13 Carril e'1
e'1
27.880
, e'1 3.819%
8.0% 58.400
Cota de A 1000.000 0.05 13 3.65 0.03819 999.489 m
Cota borde izquierdo = cota del punto: B
Cota de B 1000.000 0.05 13 3.65 0.03819 999.211m
b)
Abscisa para peralte del 3% en la segunda curva
Abscisa ? Abscisa PT1 0.7 Lt1 N1 15 N 2 x
Abscisa ? K5 992.000 40.880 14.600 15 14.600 x
x
3%
, x 21.900 m
55.480 7.6%
Abscisa ? K5 992.000 40.880 14.600 15 14.600 21.900
Abscisa ? K6 098.980
c)
Cotas bordes derecho e izquierdo sección del PC2
Cota borde derecho = cota del punto: C
Cota de C Cota del PT1 0.05 0.7Lt1 N1 15 N 2 0.7 Lt 2 Carril 0.0532
Cota de C 1000.000 0.05 40.880 14.600 15 14.600 38.836 3.65 0.0532
Cota de C 993.998m
Cota borde izquierdo = cota del punto: D
Cota de C 1000.000 - 0.05 40.880 14.600 15 14.600 38.836 3.65 0.0532
Cota de D 993.610m
EJEMPLO 3.32: Transición del peralte entre curvas de sentido contrario
Datos:
Además de la información dada en la Figura 3.69, para una carretera
terciaria, se tiene:
218
James Cárdenas Grisales
Cota al eje en el PT1
Pendiente longitudinal del eje de la vía
Velocidad específica de la curva 1
Velocidad específica de la curva 2
Figura 3.69
= 500.000m
= +6%
= VCH1 = 30 Km/h
= VCH2 = 40 Km/h
Peraltado en curvas de diferente sentido
Calcular:
a) Las cotas en los puntos A, B y C.
b) La cota del borde derecho en la abscisa K2+156.
Solución:
Para el cálculo de las cotas es necesario tener los peraltes y las
respectivas longitudes de transición:
Peraltes: e1 , e2
De acuerdo con la Tabla 3.17, a la primera curva de radio R1=32m para
una velocidad específica VCH1=30 Km/h le corresponde un peralte
e1=5.6%, y a la segunda curva de radio R2=56m para una velocidad
específica VCH2=40 Km/h le corresponde un peralte e2=5.8%.
219
Diseño geométrico de carreteras
Pendiente relativa de los bordes: m
Según la Tabla 3.18, a una velocidad específica VCH1=30 Km/h le
corresponde un mmáx1=1.28%, y a una velocidad específica VCH2=40 Km/h
un mmáx2=0.96%. Para uniformizar el diseño se adopta el valor de
m=0.96% para ambas curvas.
Longitudes de transición: Lt1 , Lt2
Carril e1 3.00 m 5.6%
17.500 m
m
0.96%
Carril e2 3.00 m 5.8%
Lt 2
18.125 m
m
0.96%
Lt1
Peraltes al: PT1 y PC2
Al PT1 0.7 e1 0.7 5.6% 3.92%
Al PC 2 0.7 e2 0.7 5.8% 4.06%
Longitudes de transición al: PT1 y PC2
En recta al PT1 0.7 Lt1 0.7 17.500 12.250 m
En curva al PT1 0.3 Lt1 0.3 17.500 5.250 m
En recta al PC 2 0.7 Lt 2 0.7 18.125 12.688 m
En curva al PC2 0.3 Lt 2 0.3 18.125 5.437 m
a)
Cotas en los puntos A, B y C
De acuerdo con el perfil de los bordes de la Figura 3.70, se tiene:
Cota del punto: A
Cota de A Cota del PT1 0.06 0.3Lt1 Carril e1
Cota de A 500.000 0.06 5.250 3.00 0.056 499.517 m
Cota de los puntos: B y C
En este caso, tanto el borde derecho como el izquierdo están a la
misma altura, por lo que la sección es plana (del 0%).
Cota de B Cota de C Cota del PT1 0.06 0.7Lt1
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