BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL MODUL MATEMATIKA ALJABAR s T M / P M S Elvira Resa Krismasari Nama : ........................................... Kelas : ........................................... Sekolah : ........................................... Modul Matematika Aljabar Berbasis Pendekatan Kontekstual Untuk Siswa SMP/MTs Penulis : Elvira Resa Krismasari Pembimbing : Dr. Julan Hernadi Validator : Hadi Wiyono, M.Pd. Jemani, S.Pd, M.Pd. Muhibuddin Fadhli, M.Pd. Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Ponorogo 2015 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1i Modul Matematika SMP KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Allah SWT. Atas limpahan rahmat dan taufik-Nya, penulis dapat menyelesaikan buku ajar ini yang berjudul “Modul Matematika Aljabar Berbasis Pendekatan Kontekstual untuk SMP/MTs”. Modul matematika dengan pendekatan kontekstual ini menyajikan materi tentang unsur-unsur bentuk aljabar, operasi hitung bentuk aljabar, faktorisasi bentuk aljabar, pecahan bentuk aljabar dan pemodelan bentuk aljabar. Modul ini disusun dengan harapan dapat memberikan penjelasan materi aljabar sehingga dapat dipahami dengan mudah oleh peserta didik. Penyajian modul ini mengacu pada pendekatan kontekstual yang melibatkan tujuh komponen utama, yaitu kontruktivisme, bertanya, menemukan, masyarakat belajar, pemodelan, refleksi, dan penilaian otentik. Pada setiap kegiatan belajar dilengkapi dengan motivasi yang berkaitan dengan sikap spiritual dan sosial yang diharapkan dapat berpengaruh terhadap sikap sehari-hari peserta didik. Penyusun menyadari sepenuhnya modul ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang ada relevansinya dengan penyempurnaan modul ini senantiasa penulis harapkan. Semoga modul ini mampu memberikan manfaat dan mampu memberikan nilai tambah kepada para pemakainya. Ponorogo, Agustus 2015 Elvira Resa Krismasari Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1ii Modul Matematika SMP DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ................................................................................................................ i KATA PENGANTAR .............................................................................................................. ii DAFTAR ISI ............................................................................................................................. iii PENDAHULUAN ................................................................................................................. iv Deskripsi Modul................................................................................................................... 1 Petunjuk Penggunaan Modul ......................................................................................... 1 Peta Konsep ........................................................................................................................... 2 KEGIATAN BELAJAR 1 UNSUR-UNSUR BENTUK ALJABAR ........................... 3 Materi ....................................................................................................................................... 4 Proyek ...................................................................................................................................... 7 Evaluasi KB 1 ........................................................................................................................ 9 KEGIATAN BELAJAR 2 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR ..................... 11 Materi 2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar ........................................... 12 2.2 Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar ....................................................... 16 2.3 Perpangkatan Bentuk Aljabar .............................................................................. 23 Proyek ...................................................................................................................................... 27 Evaluasi KB 2 ........................................................................................................................ 28 KEGIATAN BELAJAR 3 FAKTORISASI BENTUK ALJABAR ............................. 30 Materi 3.1 Faktorisasi dengan sifat distributif .................................................................... 31 3.2 Faktorisasi selisih dua kuadrat ............................................................................ 33 3.3 Faktorisasi bentuk ......................................................................... 35 Proyek ...................................................................................................................................... 45 Evaluasi KB 3 ........................................................................................................................ 46 KEGIATAN BELAJAR 4 PECAHAN BENTUK ALJABAR ...................................... 48 Materi 4.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar......................... 49 4.2 Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar .................................... 54 4.3 Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar ............................................................ 57 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan iii 1 Modul Matematika SMP 4.4 Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar .................................................. 59 4.5 Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Pecahan Kompleks) Pecahan Bentuk Aljabar.............................................................................................................................. 61 Proyek ........................................................................................................................ 65 Evaluasi KB 4 .......................................................................................................... 66 KEGIATAN BELAJAR 5 PEMODELAN BENTUK ALJABAR ............................... 68 Materi 5.1 Mangubah kalimat sederhana menjadi bentuk aljabar ................. 70 5.2 Mengubah suatu masalah menjadi bentuk aljabar dan menyelesaikannya ........................................................................................ 73 Proyek ........................................................................................................................ 78 Evaluasi KB 5 .......................................................................................................... 79 UJI KOMPETENSI ............................................................................................................... 81 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................ 86 GLOSARIUM.......................................................................................................................... 87 KUNCI JAWABAN ............................................................................................................... 89 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1iv Modul Matematika SMP PENDAHULUAN DESKRIPSI DESKRIPSIMODUL MODUL Modul matematika berbasis pendekatan kontekstual ini disusun dengan harapan dapat memberikan penjelasan materi aljabar khusunya materi unsur-unsur bentuk aljabar, operasi hitung bentuk aljabar, faktorisasi bentuk aljabar, pecahan bentuk aljabar, dan pemodelan bentuk aljabar yang dibutuhkan siswa SMP/MTs. Modul ini dapat digunakan dengan atau tanpa pendidik yang memberikan penjelasan materi. Tujuan penyusunan modul matematika aljabar ini adalah dapat memfasilitasi peserta didik dalam memahami materi aljabar. Selain itu diharapkan, dengan menggunakan modul ini peserta didik dapat belajar dengan kecepatan belajar masingmasing karena pada dasarnya penggunaan modul dalam pembelajaran menggunakan sistem secara individual, sehingga peserta didik dapat melakukan pembelajaran tanpa tergantung dengan penjelasan dari pendidik. PETUNJUK PENGGUNAAN DESKRIPSI MODULMODUL Untuk mempelajari modul ini ada beberapa hal yang harus diperhatikan oleh peserta didik, yaitu sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi sebelumnya menjadi prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam modul ini, dan perhatikan petunjuk mempelajari kegiatan belajar yang ada pada setiap awal kegiatan belajar. 3. Ulangi apabila kamu kurang memahami materi yang disajikan, lanjutkan jika kamu sudah menguasai materi. 4. Kerjakanlah soal Uji Kompetensi setelah kamu mempelajari semua kegiatan belajar. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 11 Modul Matematika SMP Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan PETA KONSEP Aljabar KB 1 Unsur-Unsur Bentuk Aljabar KB 2 Operasi Hitung Bentuk Aljabar 2 Modul Matematika SMP Penjumlahan dan Pengurangan Perkalian dan Pembagian KB 3 Faktorisasi Bentuk Aljabar Penjumlahan dan Pengurangan Perpangkatan Sifat Distributif KB 5 Pemodelan Bentuk Aljabar KB 4 Pecahan Bentuk Aljabar Selisih Dua Kuadrat Bentuk 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Perkalian dan Pembagian Perpangkatan Penyederhanaan Bentuk aljabar dari kalimat sederhana Bentuk aljabar dari suatu masalah nyata dan menyelesaikannya 2013 Kegiatan Belajar 1 A Kompetensi Dasar Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan pecahan Tujuan L J 1. Memahami unsur-unsur bentuk aljabar Indikator 1. Peserta didik dapat menuliskan bentuk aljabar 2. Peserta didik dapat mengidentifikasi unsur-unsur bentuk aljabar yang meliputi variabel, koefisien, suku, dan konstanta 3. Peserta didik dapat mengetahui banyaknya suku dari bentuk aljabar 4. Peserta didik dapat membedakan suku sejenis dan tidak sejenis Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 1 1. Awali belajarmu dengan doa 2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 1 secara runtut halaman per halaman 3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar 4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu 5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah komentarmu pada tempat yang disediakan 6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 1 sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan 7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 1 secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu memahami Unsur-Unsur Bentuk Aljabar 8. Akhiri belajarmu dengan doa A B A R KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar Ilustrasi 1 Pak Made memanen jeruk dengan hasil 5 keranjang penuh dan sisanya 7 jeruk di luar keranjang. Dengan asumsi banyaknya jeruk pada setiap keranjang adalah sama, bagaimana menentukan banyak jeruk dalam bentuk aljabar? Gambar 1.1 : Buah jeruk Setelah memahami ilustrasi 1 di atas, diketahui bahwa hasil panen jeruk sebanyak 5 keranjang penuh dan sisanya 7 jeruk di luar keranjang. Lalu, langkah apa yang kamu ambil untuk menyelesaikan masalah tersebut? Penyelesaian : __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ Langkah- langkah: 1. Membuat pemisalan 2. Mengubah ke bentuk matematika (Bentuk Aljabar) Dari penyelesaian yaang kamu lakukan, tentunya kamu sudah mendapatkan bentuk aljabar yang sesuai, yaitu (isi sesuai bentuk aljabar yang kamu peroleh). Dengan mengikuti langkah pada ilustrasi sebelumnya, selesaikan ilustrasi 2 berikut! Ilustrasi 2 Hari ini Siska dan Amel bermain kelereng bersama. Siska membawa 3 kotak berisi kelereng, 2 toples berisi kelereng dan 2 buah kelereng di luar kotak dan toples. Sedangkan Amel membawa 4 kotak berisi kelereng, 1 toples berisi kelereng dan 3 buah kelereng di luar kotak dan toples. Tentukan bentuk Gambar 1.2 : Bermain Kelereng aljabar dari kelereng yang dibawa Siska dan Amel? Asumsi: Jumlah kelereng setiap kotak dan setiap toples masing-masing adalah sama. Penyelesaian : ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Nama Siska Barang yang dibawa Bentuk Aljabar 3 ... 2 3 2 2 2 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 14 Modul Matematika SMP KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar Nama Barang yang dibawa Bentuk Aljabar 4 4 Amel 3 3 Dari ilustrasi yang telah kamu pelajari di atas, kamu mendapatkan beberapa bentuk aljabar, selanjutnya ayo mempelajari unsur-unsur bentuk aljabar! Koefisien Koefisien Konstanta Ada VARIABEL maka ada KOEFISIEN (Pasangan Serasi), KONSTANTA tetap jomblo 7x -5y +2 Variabel Variabel Operasi Penjumlahan Operasi Penjumlahan 7x - 5y + 2 Suku Suku Suku Bentuk aljabar terdiri dari tiga suku disebut Trinomial (suku tiga). Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku disebut Binomial (suku dua), contoh: 7 9 dan 5 8. Bentuk aljabar yang terdiri dari satu suku disebut Monomial (suku satu), contoh: 2 dan 4 . Sedangkan bentuk Aljabar yang lebih dari tiga suku disebut Polinomial (suku banyak), contoh: 5 2 2 Dalam bentuk aljabar juga dikenal istilah suku sejenis dan tidak sejenis, berikut penjelasannya dan lengkapilah untuk menambah pemahamanmu!!! No. Suku 1. 2 2. 8 3. Jenis Suku 5 7 8 6 2 Sejenis Tidak Sejenis Sejenis Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan Penjelasan Karena memiliki variabel yang sama yaitu Karena meskipun variabelnya sama yaitu , tetapi pangkat variabelnya tidak sama. Karena memiliki varibel yang sama dan pangkat variabel juga sama yaitu 15 Modul Matematika SMP KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar No. Suku 4. 3 5. 9 2 5 Jenis Suku Penjelasan ---------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Apakah kalian mampu memahami unsur-unsur bentuk aljabar serta melengkapi bagian yang kosong di atas? jika belum, ulangi sekali lagi dan untuk memperdalam pemahamanmu, pelajari contoh berikut. Contoh : Tentukan unsur-unsur dari bentuk Aljabar Penyelesaian :     Koefisien Variabel Konstanta Suku 2 : -12 dan 7 : m dan n : -13 : terdiri dari 3 suku, yaitu 7 3! 2 7 3 Untuk mereview pemahamanmu , silahkan lengkapi “Refleksi” berikut! Lengkapilah refleksi berikut!!! R E F L E K S I Setelah mempelajari unsur-unsur bentuk aljabar pada kegiatan belajar 1 ini, yang saya pahami adalah bahwa langkah-langkah mengubah masalah ke bentuk aljabar adalah .............................................................................. dan ............................ ............................................................................ Unsur- unsur bentuk aljbar terdiri dari ......................................, ......................................., ...................................., dan .................................... Variabel merupakan lambang atau simbol yang mewakili sebarang ............................................. dan nilainya belum diketahui, biasanya variabel berupa huruf kecil a, b, c, ... ,z. Koefisien merupakan ................................................... yang menunjukkan banyaknya variabel pada bentuk aljabar, atau ............................................ yang memuat variabel pada bentuk aljabar. .............................................. merupakan suku dari bentuk aljabar yang berupa angka dan tidak memuat ........................................... Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta yang dipisahkan oleh operasi ...................................... atau ...................................... Suku sejenis adalah suku yang memiliki ...................................... yang sama dan pangkat variabel yang ...................................... Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 61 Modul Matematika SMP KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar Ayo istirahat sejenak......................!!!!! Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Proyek Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!! 1 Mintalah teman dekatmu untuk menyebutkan masing-masing satu bentuk aljabar trinomial dan polinomial. Tuliskan hasilnya di bawah ini! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 17 Modul Matematika SMP KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar 2 Identifikasilah unsur-unsur dari kedua bentuk aljabar yang sudah kamu peroleh, Tuliskan hasilnya di bawah ini! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Jika ada yang belum kamu pahami tentang unsur-unsur bentuk aljabar, ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan dan pemahamanmu!! Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 1 ini, kerjakan Evaluasi KB 1 nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu dengan rumus berikut Jika skor yang kamu peroleh 7 , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami Kegiatan Belajar 1, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 2. Jika skor yang kamu peroleh 7 , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 1 ini lebih cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba kembali mengerjakan Evaluasi KB 1 di bawah ini. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 18 Modul Matematika SMP KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar Evaluasi KB 1 Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang unsur-unsur bentuk aljabar, kerjakan soal berikut! 1. Sebutkan unsur-unsur bentuk aljabar yang kamu ketahui. 2. Identifikasilah unsur-unsur bentuk aljabar berikut a. 6 b. 3 9 c. 2 7 d. 3. Kelompokkan suku-suku berikut berdasarkan suku sejenis dan tidak sejenis dan berilah alasannya a. 4 4 7 7 b. 6 3 c. 4 2 3 d. , 9 , 3 , 5 4. Tentukan banyaknya suku dari bentuk aljabar berikut a. 6 b. 5 c. d. 2 4 3 5 5. Berdasarkan banyak sukunya, tulislah nama dari bentuk aljabar berikut a. 2 2 b. c. 5 d. 9 8 8 GREAT.....!!! Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 1 Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut! Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 91 Modul Matematika SMP KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikap belajarmu? Tuliskan komentarmu di bawah ini! Komentar : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 10 1 1 Modul Matematika SMP 2013 Kegiatan Belajar 2 A L Kompetensi Dasar Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan pecahan Tujuan Menyelesaikan operasi aljabar (penjumlahan, perkalian, pembagian, dan pemangkatan) pengurangan, Indikator 1. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, dan pengurangan 2. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi perkalian suku satu dengan suku dua dan perkalian suku dua dengan suku dua 3. Peserta didik dapat melakukan operasi pembagian dengan suku satu (tunggal) dan pembagian dengan suku banyak 4. Peserta didik dapat melakukan operasi perpangkatan suku satu dan perpangkatan suku dua Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 2 1. Awali belajarmu dengan doa 2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 2 secara runtut halaman per halaman. 3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar 4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu 5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah komentarmu pada tempat yang disediakan 6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 2 sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan 7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 2 secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu memahami Operasi Hitung Bentuk Aljabar 8. Akhiri belajarmu dengan doa J A B A R KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Untuk mempelajari materi ini kamu harus mengingat kembali materi “Operasi Bilangan” 2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Ilustrasi Setiap hari Selasa Bella dan Zahra mengikuti pelajaran matematika di sekolahnya, minggu ini materi yang akan dipelajari adalah operasi hitung bentuk aljabar. Setelah pembelajaran dimulai pak Budi, guru Matematika mereka menunjukkan beberapa kantong berisi bola bekel, beberapa toples berisi kelereng, dan beberapa uang Gambar 2.1 : Pembelajaran di kelas logam Rp 500,00. Pak Budi meminta Bella dan Zahra untuk mepraktekkan operasi hitung bentuk aljabar dengan memanfaatkan ketiga macam benda tersebut dengan asumsi bahwa setipa kantong dan setiap kaleng masing-masing berisi bola bekel dan kelereng yang sama. Perhatikan tabel berikut. Nama Benda Kantong berisi bola bekel Toples berisi kelereng Pemisalan Banyaknya bola bekel dalam 1 kantong yang dimiliki Banyaknya bola bekel dalam 1 kantong yang diberikan Banyaknya kelereng dalam 1 toples yang dimiliki Banyaknya kelereng dalam 1 toples yang diberikan Banyaknya yang Banyaknya uang yang diberikan uang dimiliki Uang Rp 500,00 Pada pembelajaran ini kamu akan mengingat dan memanfaatkan materi pada Kegiatan Belajar 1, yaitu tentang bentuk aljabar dan unsur-unsurnya. Untuk itu jika ada yang belum paham, silahkan tanyakan pada teman dekatmu. 2.1.1 Penjumlahan Pelajari uraian contoh berikut dan selesaikan dengan memanfaatkan tabel di atas. Contoh : 1. Zahra memiliki 1 kantong berisi bola bekel, kemudian ia mendapat 1 berisi kantong bola bekel lagi dari Bella. Berapa banyak bola bekel yang dimiliki Zahra? Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 12 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Penyelesaian: 𝒏×𝒂 𝒂 𝒂 ⋯ 𝒂 𝒏𝒂 𝑎 𝑎 𝑎 𝒏 𝒙 𝒙 Contoh : 𝟐𝒙 ×𝑎 𝑎 Sehingga, banyaknya bola bekel yang dimiliki Zahra adalah 2. Zahra memiliki 2 tolpes berisi kelereng dan satu uang logam, ia mendapat tambahan dari Bella 1 toples berisi kelereng dan 1 uang logam. Berapa banyak kelereng dan uang Zahra? Penyelesaian : 1 ... 𝒚 2 ... Sehingga banyak kelereng dan uang yang dimiliki Zahra adalah 3. Bella memiliki 3 kantong berisi bola bekel, ia mendapat 2 toples berisi kelereng dari Zahra, berapa banyak bola bekel dan kelereng yang dimiki Bella? Penyelesaian : ... 𝟑𝒙 Sehingga banyak bola bekel dan kelereng yang dimiliki Bella adalah 4. Bella mempunyai 2 toples berisi kelereng, zahra memberinya 1 toples lagi. Berapa banyak kelereng Bella? Penyelesaian : Koefisien 1 pada bentuk aljabar tidak ditulis. 𝒚 Contoh : 1𝑥 dapat ditulis 𝑥 . Sehingga banyak kelereng yang dimiliki Bella adalah Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 13 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar 2.1.2 Pengurangan Mengurangkan artinya menjumlahkan dengan kebalikannya, ditulis Pelajari uraian contoh berikut dan selesaikan dengan memanfaatkan tabel di atas. Contoh : 1. Zahra memiliki 3 kantong berisi bola bekel, kemudian ia memberikannya kepada Bella 1 kantong. Berapa banyak bola bekel yang masih dimiliki Zahra? Penyelesaian : 𝟑𝒙 𝒙 INGAT! × × × × 𝟐𝒙 Diperoleh Sehingga, Banyak bola bekel yang dimiliki Zahra adalah 2. Bella memiliki 2 kantong berisi bola bekel dan 2 uang logam, 1 dari kantong berisi bola bekel dan 1 uang logam diberikan kepada Zahra, berapa banyak bola bekel dan uang logam yang dimiliki Bella? Penyelesaian : 𝟐𝒙 𝒙 Diperoleh Sehingga banyaknya bola bekel dan uang logam yang dimiliki Bella adalah 3. Zahra memiliki 3 kantong berisi bola bekel dan 2 toples berisi kelereng. Jika 2 kantong berisi bola bekel dan 1 toples berisi kelereng diberikan kepada Bella, berapa banyak bola bekel dan kelereng yang dimiliki Zahra? Penyelesaian : 𝟐𝒚 𝟐𝒙 y Diperoleh Sehingga, banyak bola bekel dan kelereng yang dimiliki Zahra adalah 4. Bella memiliki 4 toples berisi kelereng 1 uang logam, diberikan kepada Zahra 3 toples dan 1 uang logam. Berapa banyak kelereng dan uang logam yang masih dimiliki Bella? Penyelesaian : Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 14 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Diperoleh Sehingga, banyaknya kelereng dimiliki Bella adalah dan uang logam habis. Dari beberapa contoh penjumlahan dan Mengapa banyak bola pengurangan di atas muncul pertanyaan di bekel dan kelereng samping. Tuliskan jawabanmu dibawah ini, masih memuat 𝒙 dan 𝒚? jika mengalami kesulitan, silahkan diskusi dengan teman dekatmu! Jawab : ___________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Apakah kalian sudah paham dengan operasi penjumlahan dan pengurangan di atas? Untuk memperdalam pemahamanmu, pelajari dan pahami contoh soal operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljbar berikut! Contoh : Hitunglah operasi bentuk aljabar berikut ! 1. Tentukan hasil penjumlahan dari Penyelesaian : 1 1 1 Karena variabelnya sama, yaitu x maka bisa dioperasikan 2. Tentukan hasil pengurangan dari 1 Penyelesaian : 1 Karena variabel dan pangkat variabelnya sama, yaitu 𝒎𝟑 maka bisa dioperasikan 3. Tentukan hasil penjumlahan dari 1 Penyelesaian : 1 1 Karena variabelnya tidak sama, yaitu x dan y maka tidak bisa dioperasikan Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 15 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar 4. Tentukan hasil dari Penyelesaian : 1 Suku dengan variabel dan pangkat variabel yang sama dijadikan satu 1 Pada penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar juga berlaku sifat berikut : 1. Sifat Komutatif 𝒂 𝒃 𝒃 𝒂 2. Sifat Asosiatif 𝒂 𝒃 𝒄 𝒂 𝒃 𝒄 Lengkapilah refleksi berikut!!! R E F L E K S I Berdasarkan ilustrasi dan uraian contoh di atas, dapat saya pahami bahwa, Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan pada suku-suku ................................... atau pada suku yang memiliki .................................. dan .................................................. yang sama. 2.2 Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar 2.2.1 Perkalian Untuk 𝒂 ≠ 𝟎 dengan 𝒂, 𝒎 𝐝𝐚𝐧 𝒏 bilangan bulat, maka berlaku: 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 𝒂𝒎+𝒏 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 16 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Sifat distributif merupakan konsep dasar dari perkalian bentuk aljabar. 1. Perkalian suku satu dengan suku dua Contoh : a. × 1 b. × × × 1 INGAT! × × × × 2. Perkalian suku dua dengan suku dua Perkalian suku dua bisa dilakukan dengan beberapa metode sebagai berikut: Contoh : Tentukan hasil dari  Metode FOIL (The FOIL Method) F F O I L L × × × 1 I O First Outer Inner Last × 1 1  Metode Pemisahan (The Splitting Method) 1 1 1 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 17 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar  Metode Muka Senyum (The Smile Face Method) 1 2 × 3 × × × 1 4 INGAT! × × × × 1 1  Metode Tabel/Kotak (The Grid Method) Contoh : × 3 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 1 𝑦 𝑦 𝑦 1 1 Bagaimana dengan perkalian antara bentuk aljabar yang lebih dari dua suku? Misal : 1 Ternyata perkalian bentuk aljabar di atas bisa dilakukan dengan menerapkan sifat distributif. Untuk lebih memahami silahkan kamu coba perkalian tersebut! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 18 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Ayo istirahat sejenak......................!!!!! Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu terhadap orang lain? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.2.2 Pembagian Untuk 𝒂 ≠ 𝟎 dengan 𝒂 , 𝒎 𝐝𝐚𝐧 𝒏 bilangan bulat, maka berlaku: 𝒂𝒎 : 𝒂𝒏 𝒂𝒎−𝒏 Pembagian bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan aturan pangkat di atas. Selain itu juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan FPB dari bentuk aljabar yang dimaksud, kemudian dilakukan pembagian. Sebelum mempelajari pembagian bentuk aljabar, mari mengingat kembali cara menentukan FPB sebagai berikut. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 19 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Masih ingatkah kamu bagaimana menentukan FPB dari beberapa bilangan? Untuk menentukan FPB salah satunya dengan faktorisasi prima menggunakan pohon faktor seperti berikut. Contoh : Menentukan FPB dari 12 dan 30. 30 12 2 2 15 6 3 2 3 5 3 5 1 1 1 × × × × × Dari pohon faktor di atas diperoleh bahwa, dan 3 merupakan faktor dari 12, sedangkan 2, 3, dan 5 merupakan faktor dari 30. Dimana faktor yang sama adalah 2 dan 3 dengan pangkat terkecil dari 2 adalah pangkat 1 dan pangkat terkecil dari 3 adalaha pagkat 1, maka FPB dari 12 dan 30 adalah × FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mengalikan faktor prima yang sama dari bilanganbilangan tersebut dan dipilih pangkat yang paling kecil. Konsep menentukan FPB dari beberapa bilangan juga berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh berikut Contoh : Menentukan FPB dari dan × × × × × × Dari kedua contoh di atas 2, 3, , dan merupakan faktor dari 1 . Sedangkan 2, dan merupakan faktor dari . FPB dari 1 dan adalah perkalian faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil dari bentuk aljabar yang dimaksud. Karena faktor yang sama dari 1 dan adalah 2, dan dengan pangkat terkecil dari 2 adalah pangkat 1, pangkat terkecil dari adalah pangkat 2, dan pangkat terkecil dari adalah pangkat 1 maka diperoleh FPB dari 1 dan adalah × × Menentukan FPB pada bentuk aljabar seperti di atas akan digunakan pada pembagian bentuk aljabar, untuk itu pelajari uraian berikut. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 20 1 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Pembagian dengan suku tunggal Contoh : 1. Tentukan hasil dari 1 Penyelesaian : Cara 1 (mengikuti aturan pangkat) 1 Dirubah ke bentuk pecahan supaya lebih mudah 1 1 − Mengikuti aturan pangkat Pangkat 1 tidak ditulis Contoh : 𝑥 𝑥 Cara 2 (menentukan FPB) 1 1 𝟏𝟖𝒑𝟑 𝟔 × 𝟑 × 𝒑𝟑 𝟔𝒑𝟐 𝟔 × 𝒑𝟐 Sehingga FPB dari 𝟏𝟖𝒑𝟑 dan 𝟔𝒑𝟐 adalah perkalian faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil yaitu 𝟔 × 𝒑𝟐 𝟔𝒑𝟐 2. Tentukan hasil dari Penyelesaian : Cara 1 (mengikuti aturan pangkat) − − − − 𝒂𝟎 𝟏 ;𝒂 ≠ 𝟎 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝟐𝟐 × 𝒙𝟐 × 𝒚𝟑 𝟔𝒙𝟐 𝒚 𝟐 × 𝟑 × 𝒙𝟐 × 𝒚 𝟐𝒙𝒚 𝟐 × 𝒙 × 𝒚 Sehingga FPB dari 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝟑 , 𝟔𝒙𝟐 𝒚 dan 𝟐𝒙𝒚 adalah perkalian faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil yaitu 𝟐 × 𝒙 × 𝒚 𝟐𝒙𝒚 Cara 2 (menentukan faktor sekutu) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 Mengikuti aturan pangkat 𝑥𝑦 𝑥 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 21 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar a. Pembagian dengan suku banyak Contoh : Tentukan hasil dari 1 Penyelesaian : 1. 1 ubahlah menjadi bentuk berikut. 1 2. Lakukan pembagian pada dengan , tuliskan hasilnya di bagian atas. 𝑎 𝑎 𝑎 1 𝑎 − 𝑎 ÷ 3. Kalikan dengan kurangkan. × , tulislah hasilnya di bawah 𝑎 𝑎× 𝑎 1 1 𝑎 𝑎 kemudian 𝑎 𝑎 1 4. Lakukan pembagian lagi pada dengan , tuliskan hasilnya di bagian atas 𝑎 𝑎 1 𝑎 1 ÷ 5. Kalikan kurangkan. dengan × tulislah hasilnya di bawah 1 kemudian 𝑎 1 × 𝑎 𝑎 1 1 1 Secara ringkas disajikan sperti berikut : 𝑎 1 1 1 Sehingga hasil dari 1 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 22 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Ayo berlatih Hitunglah pembagian dari Penyelesaian : 1 1 ! 𝑥 1 1 1 1 1 Sehingga hasil dari 1 1 adalah ....................................... 2.3 Perpangkatan Bentuk Aljabar Untuk 𝒂 dan 𝒏 bilangan bulat , maka berlaku: 𝒂𝒏 𝒂×𝒂×𝒂× ×𝒂 𝒔𝒆𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒏 𝒌𝒂𝒍𝒊 Dengan kata lain, operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama a. Perpangkatan suku satu Contoh: 1. × × × 2. 3. 4. × ( Sehingga 𝑥 ≠ 𝒂𝒙𝒏 ≠ 𝒂𝒙 𝒏 × × Sehingga 𝒂𝒙 𝒏 ≠ × × atau Secara umum ) × 5. 𝑥 × × + × × × × + + + × × × × + + × × × Atau dengan memanfaatkan rumus disamping, maka × × × × × × × × × Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 𝑥 ≠ 𝒂𝒙 𝒏 𝑥 Secara umum × 𝒂𝒎 𝒏 𝒂𝒎 × 𝒂𝒎 × × 𝒂𝒎 𝒔𝒆𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒏 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 𝒂𝒎×𝒏 Dengan 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑛 bilangan bulat 23 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar 6. × × × × × × × × × × + + + × + + + × + + + × × × × 1 Atau dengan memanfaatkan rumus di samping, maka × × × × × × × 1 × × b. Perpangkatan suku dua Untuk perpangkatan suku dua uraian berikut.  1  × 𝒂𝒎 × 𝒏 𝒂𝒎 × 𝒂𝒎 × × 𝒂𝒎 𝒔𝒆𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒏 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 𝒂𝒎×𝒏 Dengan 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑛 bilangan bulat , perhatikan 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 𝒂𝒎+𝒏 dengan 𝒂 ≠ 𝟎 ; 𝒂, 𝒎, 𝒅𝒂𝒏 𝒏 𝒃𝒊𝒍𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕  Suku sejenis (suku dengan variabel yang sama dan pangkat variabel yang sama) dikelompokkan kemudian dioperasikan.    Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 24 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Setelah melengkapi penjabaran di atas, masukkkan hasilnya pada tebel berikut. Koefisien Suku Hasil Perpangkatan - Hasil Perpangkatan 0 1 1 1 2 1 3 ........................................................................................ 4 ........................................................................................ ... ... 1 2 ... ... 1 ... ... ... ... ... 5 ........................................................................................ ... ... ... ... ... ... Perhatikan koefisien suku-suku hasil perpangkatan bentuk aljabar suku dua pada tabel tersebut. Apakah membentuk sebuah pola? Tentu jawabannya iya, karena koefisien tersebut membentuk pola bilangan yang disebut Segitiga Pascal. Segitiga Pascal 1 1 1 2 1 1 1 3 4 5 1 1 3 6 10 1 4 10 1 5 1 Hasil dari 𝒂 𝒃 𝟎 Koefisien dari 𝒂 𝒃 𝟏 Koefisien dari 𝒂 𝒃 𝟐 Koefisien dari 𝒂 𝒃 𝟑 Koefisien dari 𝒂 𝒃 𝟒 Koefisien dari 𝒂 𝒃 𝟓 dan seterusnya. Setelah memahami uraian materi di atas ,  Bagaimana hubungan antara koefisien suku-suku hasil perpangkatan bentuk aljabar suku dua dengan bilangan-bilangan pada segitiga pascal?  Bagaimana pula dengan pangkat dari suku-sukunya di atas? Untuk menjawabnya, silahkan lengkapi pada kolom “refleksi”. Tetapi terlebih dahulu pelajari contoh berikut. Blaise Pascal (1623-1622) Blaise Pascal adalah seorang ilmuan Prancis yang menciptakan pola Segitiga Pascal. Pada segitiga pascal terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan yang berdekatan yang terletak pada baris yang tepat berada diatasnya. Bilangan pada segitiga pascal memiliki pola yang unik karena selalu diawali dan diakhiri dengan angka satu dan di dalam susunannya terdapat angka yang diulang, Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 25 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Contoh : Tentukan hasil dari dengan memanfaatkan segitiga pascal! Penyelesaian :  Karena perpangkatan suku dua yang diminta adalah pangkat 3, maka lihat bilangan pada segitiga pascal di atas untuk , yaitu 1 3 3 1. Tulis seperti berikut. 1  1 terdiri dari dua unsur, yaitu suku yang pertama dan suku yang kedua Untuk suku yang pertama ( ), dimulai dari dan semakin ke kanan pangkatnya semakin berkurang sampai . Tulis seperti berikut. 1 1 Untuk suku yang kedua , dimulai dari dan semakin ke kanan pangkatnya semakin bertambah sampai . Tulis seperti berikut 1  1 Seletah itu jabarkan sesuai dengan aturan perpangkatan bentuk aljabar 1 1 1. . . . . . 1. 𝒂𝟎 Sehingga diperoleh 𝟏 ;𝒂 ≠ 𝟎 Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami perpangkatan suku dua pada bentuk aljabar, untuk itu lengkapi “refleksi” berikut! Lengkapilah refleksi berikut!!! R E F L E K S I Setelah mempelajari materi perpangkatan suku dua pada bentuk aljabar, yang dapat saya pahami yaitu koefisien suku-suku hasil perpangkatan bentuk aljabar suku dua ………………………………………………………. Bilangan-bilangan pada segitiga pascal. Sedangkan untuk pangkat suku-sukunya 𝑎 𝑏 , bahwa pangkat 𝑎 semakin ke kanan semakin ..................................., sedangkan pangkat 𝑏 semakin ke kanan semakin ................................ Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 26 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar Bagaimana dengan perpangkatan bentuk 𝒂 𝒃 𝒏 dengan 𝒏 : bilangan cacah? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan proyek di bawah ini! Proyek Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!! 1 Carilah penjelasan tentang perpangkatan suku dua bentuk 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒏 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒄𝒂𝒄𝒂𝒉 dari buku atau internet. 𝒂 𝒃 𝒏 2 Tulislah hasil yang kamu peroleh di bawah ini! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 27 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar 2 Pahami dan sharingkan hasil yang kamu dapatkan dengan teman dekatmu untuk menambah pemahamanmu! Jika ada yang belum kamu pahami tentang operasi hitung bentuk aljabar, ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan dan pemahamanmu!! Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 2 ini, kerjakan Evaluasi KB 2 nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu dengan rumus berikut × Jika skor yang kamu peroleh , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami Kegiatan Belajar 1, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 3. Jika skor yang kamu peroleh , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 2 ini lebih cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba kembali mengerjakan Evaluasi KB 2 di bawah ini. Evaluasi KB 2 Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang operasi hitung bentuk aljabar, kerjakan soal berikut! 1. Selesaikan bentuk aljabar berikut ! a. dikurangi dengan b. 1 dikurangkan dari 1 1 2. Paman memiliki kolam ikan berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebarnya . Hitunglah luas dari kolam ikan tersebut dalam ! Soal Selanjutnya.......... Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 28 1 Modul Matematika SMP KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar 3. Untuk melatih ketrampilanmu dalam pembagian bentuk aljabar, hitunglah 1 : dengan mengubahnya menjai bentuk seperti berikut. 1 4. Tentukan hasil perpangkatan suku satu berikut! a. b. 5. Dengan memanfaatkan segitiga pascal, tentukan hasil perpangkatan dari a. b. GREAT.....!!! Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 2 Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut! Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikap dan belajarmu? Tuliskan komentarmu di bawah ini! Komentar : ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 29 1 Modul Matematika SMP 2013 Kegiatan Belajar 3 A Kompetensi Dasar Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan pecahan Tujuan Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya Indikator 1. Peserta didik dapat melakukan pemfaktoran bentuk aljabar dengan sifat distributif 2. Peserta didik dapat menentukan faktor-faktor bentuk aljabar dengan faktorisasi selisih dua kuadrat 3. Peserta didik dapat melakukan pemfaktoran bentuk 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 dengan 𝒂 = 𝟏 dan 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 dengan 𝒂 ≠ 𝟏 Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 3 1. Awali belajarmu dengan doa 2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 3 secara runtut halaman per halaman 3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar 4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu 5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah komentarmu pada tempat yang disediakan 6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 3 sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan 7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 3 secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu memahami Faktorisasi Bentuk Aljabar 8. Akhiri belajarmu dengan doa L J A B A R KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Ilustrasi Bu Ana memiliki kebun berbentuk persegi panjang dengan luas . Sore itu Bu Ana sedang berkebun bersama putranya, Toni. Kemudian ia meminta Toni untuk menghitung panjang dan lebar dari kebun tersabut dalam . Ayo bantu Toni melakukan tugas dari ibunya! Permasalahan di atas adalah salah satu contoh masalah yang berkaitan dengan Faktorisasi Suku Aljabar. Agar kamu dapat membantu Toni mari pelajari dahulu uraian materi berikut! Gambar 3.1 : Berkebun Sebelum mempelajari materi faktorisasi bentuk aljabar, terlebih dahulu kamu perlu mengingat kembali perbedaan antara faktor dengan suku. dan merupakan suku dan merupakan faktor Dari pertanyaan di samping, tulislah jawabanmu dibawah ini! Jawab : ___________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Bagaimana, apakah kamu sudah dapat membedakan antara faktor dengan suku? Selanjutnya kamu akan mempelajari beberapa macam faktorisasi pada bentuk aljabar, untuk itu pelajari dengan sungguh-sungguh uraian berikut. 3.1 Faktorisasi dengan sifat distributif Masih ingatkah kamu dengan sifat distributif? Ayo pahami kembali untuk digunakan dalam faktorisasi bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut! Contoh : Faktorkan bentuk aljabar Penyelesaian :  Carilah FPB dari Faktor dari Faktor dari FPB dari 𝑥 𝑥 adalah perkalian faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil, yaitu 𝑥 𝑥 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 31 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar  Bagilah setiap suku bentuk aljbar tersebut dengan dengan FPB yang kamu peroleh 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟔𝒙 𝟐𝒙(𝟔𝒙 diperoleh faktor dari adalah Sehingga, pemfaktoran bentuk Jadi, ( ) 𝟏 𝟏) ( adalah ) ( ) Dari contoh di atas, nampak bahwa bentuk penjumlahan bisa dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya, proses inilah yang disebut dengan Faktorisasi atau Pemfaktoran bentuk aljabar. Secara umum dinyatakan seperti berikut. 𝒂𝒙 𝒂𝒚 Bagaimana dengan bentuk 𝒂𝒙 𝒂𝒚 ??? … (… …) Contoh : Faktorkan bentuk aljabar Penyelesaian :  Carilah FPB dari Faktor dari … Faktor dari … ( ) FPB dari 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 adalah perkalian faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil, yaitu 𝑥 𝑦 … …  Bagilah setiap suku bentuk aljbar tersebut dengan dengan FPB yang kamu peroleh 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒚 … 𝟐𝟓𝒙𝒚 … … …( … … … ) Jika jawaban kamu benar, diperoleh faktor dari adalah ( Sehingga pemfaktoran bentuk adalah ( ) Jadi, ( ). Secara umum dinyatakan seperti berikut. 𝒂𝒙 𝒂𝒚 … (… ) …) Sudahkah kamu memahami dan melengkapi contoh di atas? Jika sudah, bagus! Kamu bisa melanjutkan bentuk faktorisasi selanjutnya. Jika belum, ulangi kembali untuk mempelajarinya. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 32 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar 3.2 Faktorisasi selisih dua kuadrat Coba kamu kalikan bentuk aljabar berikut! ( )( ) … … … … … Bentuk aljabar yang kamu peroleh disebut bentuk selisih dua kuadrat karena terdiri dari dari dua suku yang masing-masing merupakan bentuk kuadrat dan dihubungkan dengan tanda pengurangan (selisih). Dengan demikian ( )( ) merupakan faktor dari . Sehingga rumus faktorisasi selisih dua kuadrat bisa ditulis sebagai berikut. 𝒙𝟐 𝒚𝟐 (… … )(… …) Kamu belum paham? Baiklah, untuk lebih jelasnya pahami beberapa contoh berikut. Contoh : Dengan memanfaatkan rumus faktorisasi selisih dua kuadrat di atas, faktorkan bentuk aljabar berikut 1. 2. 3. Penyelesaian : 1. (4 diubah ke bentuk kuadrat menjadi ( )( ) ) 2. (4 dan 36 diubah ke bentuk kuadrat menjadi ( ( )( ( (( ( 3. ) ) ) ) ) ) )( (faktorisasi dengan sifat distributif) (4 diubah ke bentuk kuadrat menjadi ) ) Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami materi pemfaktoran bentuk aljabar dengan sifat distributif dan selisih dua kuadra , untuk itu lengkapi “refleksi” berikut! Lengkapilah refleksi berikut!!! R E F L E K S I Setelah saya mempelajari contoh di atas, yang dapat saya pahami dari faktorisasi dengan sifat distributif dan faktorisasi selisih dua kuadrat adalah Pada faktorisasi dengan sifat distributif yang dilakukan pertama kali adalah menentukan ........................ dari bentuk aljabar tersebut. Sedangkan faktorisasi selisih dua kuadrat dapat dilakukan pada bentuk aljabar yang kedua sukunya merupakan ................................................................................ dan kedua suku tersebut dipisahkan oleh ................................................................................ Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 33 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Mungkin kamu sudah sedikit lelah, untuk itu silahkan istirahat sejenak dengan meresapi motivasi berikut. Ayo istirahat sejenak......................!!!! Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Apakah kamu sudah semangat kemabali? Ayo lanjutkan petualang belajarmu! Bentuk faktorisasi yang akan kamu pelajari selanjutnya lebih kompleks dari sebelumnya, untuk itu juga diperlukan keseriusan yang lebih dari sebelumnya. 3.3 Faktorisasi bentuk Pada bentuk dimana dan , adalah koefisien dari , adalah koefisien dari , dan adalah konstanta. Untuk menentukan nilai dari bentuk , perhatikan contoh berikut. a. , dan b. , dan c. , d. , Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 34 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Setelah kamu memahami bagaimana menentukan nilai mempelajari cara menentukan faktor-faktor bentuk , untuk itu pelajari baik-baik uraian berikut. 3.3.1 Faktorisasi bentuk dengan Untuk memahami faktorisasi bentuk dibawah ini. , dan selanjutnya mari dimana dan , Perhatikan uraian Contoh : 1. Faktorkanlah bentuk aljabar ( ) Penyelesaian : Langkah-langkah untuk memfaktorkan bentuk berikut.  Daftar semua kemungkinan faktor dari , pada soal kemungkinan faktor dari 8. Faktor dari 8 1 8 2 4 -1 -8 -2 -4 adalah sebagai maka daftar semua Jumlah 9 6 -9 -6  Tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan , pada soal maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan 6. Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah 6 adalah 2 dan 4  Maka faktor dari ( ( 2. Faktorkanlah bentuk aljabar )( )( ) Sifat komutatif perkalian ) ( ) Penyelesaian :  Karena , maka daftar semua kemungkinan faktor dari 36 Faktor dari 36 1 36 2 18 3 12 4 9 6 6 -1 -36 -2 -18 -3 -12 -4 -9 -6 -6 Jumlah 37 20 15 13 12 -37 -20 -15 -13 -12  Karena , maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan . Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah adalah dan Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 35 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar  Maka faktor dari ( ( 3. Faktorkanlah bentuk aljabar )( )( ) ) Sifat komutatif perkalian ( ) Penyelesaian :  Karena , maka daftar semua kemungkinan faktor dari Faktor dari -21 1 -21 3 -7 -1 21 -3 7 Jumlah -20 -4 20 4  Karena , maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan 4. Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah adalah dan  Maka faktor dari ( ( 4. Faktorkanlah bentuk aljabar )( )( ) ) Sifat komutatif perkalian ( ) Penyelesaian :  Karena , maka daftar semua kemungkinan faktor dari Faktor dari -16 1 -16 2 -8 -1 16 -2 8 Jumlah -15 -6 15 6  Karena , maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan . Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah adalah dan  Maka faktor dari ( ( )( )( ) ) Sifat komutatif perkalian 5. Faktorkanlah bentuk aljabar Sekilas bentuk aljabar tersebut beda dari contoh sebelumnya, tetapi pada dasarnya soal tersebut tetap dapat diselesaikan dengan mengikuti langkah-langkah faktorisasi bentuk seperti contoh 1 s.d 4. Penyelesaian : Ada dua cara untuk menyelesaikan contoh tersebut, yaitu sebagai berikut Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 36 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Cara 1: (variabel induknya adalah Diketahui  Karena ) , maka daftar semua kemungkinan faktor dari Jumlah Faktor dari Koefisien 1 pada bentuk aljabar tidak ditulis. Contoh : 𝑥 dapat ditulis 𝑥  Karena , maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan . Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah adalah dan  Maka faktor dari ( ( )( )( ) ) Sifat komutatif perkalian Cara 2: (variabel induknya adalah ) Karena variabel induknya maka bentuk , sehingga diketahui bisa diubah menjadi Dari bentuk tersebut diketahui bahwa , yaitu belum bisa diselesaikan karena penyelesaian bentuk dipelajari pada pembahasan selanjutnya. , sehingga untuk cara 2 ini dengan akan Setelah mempelajari beberapa contoh di atas, apakah kamu sudah pahami? Jika dimisalkan dua bilangan yang ditentukan itu adalah , maka secara umum rumus faktorisasi bentuk dengan adalah sebagai berikut 𝒑 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒑 𝒒 (𝒙 𝒒 𝒄 𝒑)(𝒙 𝒒) 𝒃 Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami dan membedakan langkah-langkah untuk memfaktorkan bentuk aljabar , untuk itu lengkapi “refleksi” berikut! Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 37 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Lengkapilah refleksi berikut!!! Setelah saya mempelajari contoh di atas, ternyata untuk memfaktorkan bentuk aljabar 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 , langkah yang saya lakukan adalah  Menentukan dua bilangan, misal 𝒑 𝒒 dengan syarat 𝒑 𝒒 … dan 𝒑 𝒒 … R E F L E K S I  Jika soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 (lihat contoh 1) Dimana 𝒃 𝑑𝑎𝑛 𝒄 bertanda ................................, maka dua bilangan yang ditentukan (𝒑 𝒒) adalah bertanda .............................  Jika soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 (lihat contoh 2) Dimana 𝒃 bertanda ................................ 𝒄 bertanda ............................., maka dua bilangan yang ditentukan (𝒑 𝒒)adalah bertanda .................................  Jika soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 u 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 (lihat contoh 3 dan 4) Dimana 𝒄 bertanda .............................., maka kemungkinan dua bilangan yang ditentukan adalah 𝒑 … u … 𝒒 Diantara 𝑝 𝑞 bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan 𝑏, sedangkan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya. Terapkan apa yang sudah kamu pahami Faktorkanlah bentuk 𝑝 𝑝 Penyelesaian : Karena soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 ,maka langkah yang harus saya lakukan adalah 1. Menentukan dua bilangan, dengan syarat jika dikalikan hasilnya .......... jika dijumlahkan hasilnya ..........., maka bilangan itu adalah 6 dan ....... 2. Karena 𝑐 (bertanda ..............................), maka kemungkinan dua bilangan itu adalah … dan atau dan ... Diantara 6 dan 3 yang bernilai lebih besar adalah ....., maka ..... bertanda sama denagn 𝑏 yaitu negatif. Akhirnya diperoleh dua angka yang dicari adalah …... dan 3 Jika pengisianmu benar, faktor dari 𝑝 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 𝑝 (𝑝 38 1 )(𝑝 ) Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar 3.3.2 Faktorisasi bentuk dengan dimana dan Tentunya kamu telah mempelajari perkalian suku dua dengan suku dua, untuk itu perhatikan kembali perkalian berikut. ( )( ) ( ) ( ) Dari perkalian di atas jelas bahwa merupakan hasil kali faktor)( ). Lalu bagaimana jika soal dibalik, kamu diminta untuk faktornya yaitu ( mencari faktor dari . Tentunya kamu juga harus membalik proses perkalian di atas, untuk itu perhatikan contoh berikut. Contoh : 1. Faktorkanlah bentuk aljabar Penyelesaian : Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara : Kalikan , tentukan faktor-faktornya Faktor dari Jumlah 1 2 3 4 6 48 24 16 12 8 49 26 18 16 14 Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan . Maka dua bilangan itu adalah 4 dan 12, dengan demikian bisa diuraikan menjadi , diperoleh : ( ) ) ( ( ( )( Sehingga, faktor dari Jadi, ( ( ) ) ) (pemfaktoran dengan sifat distributif) adalah ( ) )( )( ) 2. Faktorkanlah bentuk aljabar 4 Penyelesaian : Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara : Kalikan , tentukan faktor-faktornya Faktor dari Jumlah 1 2 4 8 64 32 16 8 65 34 20 16 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 39 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar -1 -2 -4 -8 -64 -32 -16 -8 -35 -34 -20 -16 Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan . Maka dua bilangan itu adalah dan , dengan demikian bisa diuraikan menjadi ( ) , diperoleh : ( ( ( ) ) )( ( Sehingga, faktor dari Jadi, ) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ( ) (pemfaktoran dengan sifat distributif) ) INGAT! adalah ( ) )( ) 3. Faktorkanlah bentuk aljabar 5 Penyelesaian : Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara : Kalikan , tentukan faktor-faktornya Faktor dari 1 2 5 -1 -2 -5 Jumlah -50 -25 -10 50 25 10 -49 -23 -5 49 23 5 Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan . Maka dua bilangan itu adalah dan 25, dengan demikian bisa diuraikan menjadi , diperoleh : ( ( ) ( Sehingga, faktor dari Jadi, ) )( ( )( ( ( ) ) ) (pemfaktoran dengan sifat distributif) adalah ( ) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan )( ) 40 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar 4. Faktorkanlah bentuk aljabar 2 Penyelesaian : Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara : Kalikan , tentukan faktor-faktornya Faktor dari 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Jumlah -24 -12 -8 -6 24 12 8 6 -23 -10 -5 -2 23 10 5 2 Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan . Maka dua bilangan itu adalah dan , dengan demikian bisa diuraikan menjadi ( ), diperoleh : 2 ( ( ) ( ( ( ) ) ) ) (( ( ) )( ) ( ( )) (pemfaktoran dengan sifat distributif) ) INGAT! Sehingga, faktor dari 2 Jadi, 2 ( )( adalah ( ) )( ) 5. Faktorkanlah bentuk aljabar Sekilas bentuk aljabar tersebut beda dari contoh sebelumnya, tetapi pada dasarnya soal tersebut tetap dapat diselesaikan dengan mengikuti langkah-langkah faktorisasi bentuk seperti contoh 1 s.d 4. Penyelesaian : Ada dua cara untuk menyelesaikan contoh tersebut, yaitu sebagai berikut Cara 1: (variabel induknya adalah ) Lihat penjelasan faktorisasi bentuk nomor 5 pada penyelesaian soal Cara 2: (variabel induknya adalah ) Karena variabel induknya maka bentuk , sehingga diketahui Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan bisa diubah menjadi 41 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara : Kalikan , tentukan faktor-faktornya Faktor dari Jumlah Koefisien 1 pada bentuk aljabar tidak ditulis. Contoh : 𝑥 dapat ditulis 𝑥 Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan . Maka dua bilangan itu adalah dan , dengan demikian bisa diuraikan menjadi ( ), diperoleh : ( ( ) ( ( ( Sehingga, faktor dari Jadi, ) ) ) ) ( ( )) ( ) )( ( ) (( (pemfaktoran dengan sifat distributif) ) adalah ( ) )( )( ) Setelah mempelajari beberapa contoh di atas, apakah kamu sudah pahami? Jika dimisalkan dua bilangan yang ditentukan itu adalah , maka secara umum penjabaran faktorisasi bentuk dengan adalah sebagai berikut 𝒂 𝒂𝒙𝟐 𝒂 𝒄 𝒃𝒙 𝒄 𝒂𝒙𝟐 𝒄 𝒑 𝒑 𝒒 𝒒 𝒑 𝒒 𝒑 𝒒 𝒑𝒙 𝒒𝒙 𝒄 𝒃 Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami dan membedakan langkah-langkah untuk memfaktorkan bentuk aljabar , untuk itu lengkapi “refleksi” berikut! Lengkapilah refleksi berikut!!! R E F L E K S I Setelah saya mempelajari contoh di atas, ternyata untuk memfaktorkan bentuk aljabar 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑎 , langkah yang saya lakukan adalah  Menentukan dua bilangan, misal 𝒑 𝒒 dengan syarat 𝒂 𝒄 … … dan 𝒑 𝒒 … SELANJUTANYA........ Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 42 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Lengkapilah refleksi berikut!!! LANJUTAN REFLEKSI SEBELUMNYA!! R E F L E K S I  Jika soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 𝒅𝒂𝒏 𝒂 𝟎 (lihat contoh 1) Dimana 𝒃 𝑑𝑎𝑛 𝒄 bertanda ..........................., maka dua bilangan yang ditentukan (𝒑 𝒒) adalah bertanda .........................  Jika soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 𝒅𝒂𝒏 𝒂 𝟎 (lihat contoh 2) Dimana 𝒃 bertanda ............................. 𝒄 bertanda ..........................., maka dua bilangan yang ditentukan (𝒑 𝒒)adalah bertanda .................................  Jika soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 u 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 𝒅𝒂𝒏 𝒂 𝟎 (lihat contoh 3 dan 4) Dimana 𝒄 bertanda ............................, maka kemungkinan dua bilangan yang ditentukan adalah 𝒑 … u … 𝒒 Diantara 𝑝 𝑞 bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan 𝑏, sedangkan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya. Terapkan apa yang sudah kamu pahami Faktorkanlah bentuk 𝑦 𝑦 Penyelesaian : Karena soal berbentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝒂 𝟏 𝒅𝒂𝒏 𝒂 𝟎 ,maka langkah yang harus saya lakukan adalah 1. Menentukan dua bilangan 𝑝 𝑞, dengan syarat 𝑎 𝑐 𝑝 𝑞 dan 𝑝 𝑞 𝑏, maka bilangan itu adalah 2 dan ..... 3. Karena 𝑐 (bertanda .........................), maka kemungkinan dua bilangan itu adalah … dan atau dan ... Diantara 2 dan 9 yang bernilai lebih besar adalah ....., maka ..... bertanda sama denagn 𝑏 yaitu positif. Akhirnya diperoleh dua angka yang dicari adalah 9 dan ..... Jika pengisianmu benar, diperoleh 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 ( 𝑦) ( 𝑦 𝑦) ( 𝑦 ) ) ( (𝑦 )) 𝑦(𝑦 ) 𝑦(𝑦 (𝑦 ) ( 𝑦 )(𝑦 ) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 43 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Pada bentuk 𝒂𝒙𝟐 bagaimana jika 𝒃 𝒄 𝟎 𝒃𝒙 𝒄 𝟎 atau Kamu telah mempelajari faktorisasi dengan maupun dan . Mungkin kamu juga akan bertanya-tanya bagaiman jika atau ? Untuk menjawabnya, silahkan pahami contoh berikut. Contoh : 1. Faktorkanlah bentuk aljabar Penyelesaian : adalah salah satu contoh bentuk aljabar dengan . Dimana kasus merupakan kasus khusus. Karena ketika , bentuk aljabar yang dapat difaktorkan hanya bentuk aljabar yang kedua sukunya merupakan bentuk kuadrat dan dipisahkan oleh operasi pengurangan. Masih ingat penyelesaian bentuk aljabar yang kedua sukunya merupakan bentuk kuadrat dan dipisahkan oleh operasi pengurangan? Faktorisasi selisih dua kuadrat. Kamu benar, bentuk dapat diselesaikan dengan faktorisasi selisih dua kuadrat seperti pada penjelasan sebelumnya pada poin 3.2. Kamu dipersilahkan untuk menyelesaikan sendiri contoh tersebut dengan menggunakan faktorisasi selisih dua kuadrat. Kerjakan di bawah ini. … … (… … )( … …) Jadi faktor dari adalah ( … … )( … …) Bagaiman dengan bentuk aljabar yang salah satunya bukan bentuk kuadrat dan tidak dipisahkan oleh operasi pengurangan? Misal . Untuk bentuk seperti tersebut tidak akan kamu pelajari pada modul ini, tetapi akan dipelajari materi selanjutnya. 2. Faktorkan bentuk aljabar Penyelesaian : adalah salah satu contoh bentuk aljabar dengan . Untuk kasus dapat kamu selesaikan menggunakan faktorisasi dengan sifat distributif pada poin 3.1 pada penjelasan sebelumnya. Kamu juga dipersilahkan untuk menyelesaikannya sendiri dengan diperbolehkan untuk melihat kembali materi faktorisasi dengan sifat distributif. Kerjakan di bawah ini. …( … …) Jadi faktor dari adalah … ( … …) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 44 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Bagaimana, sudahkah kamu memahami faktorisasi bentuk aljabar pada kegiatan belajar kali ini? Jika belum memahami, ulangi lagi pada bagian yang sulit. Jika sudah paham, silahkan kamu kerjakan proyek di bawah ini. Proyek Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!! 1 Setelah mempelajari faktorisasi suku aljabar, tentu kamu telah pandai untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi tersebut. Untuk itu, bersama dengan teman dekatmu baca kembali ilustrasi yang ada di awal materi ini. Selesaikan masalah yang ada pada ilustrasi tersebut. Tulislah hasilnya dibawah ini. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Jika ada yang belum kamu pahami tentang faktorisasi bentuk aljabar, ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan dan pemahamanmu!! Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 45 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 3 ini, kerjakan Evaluasi KB 3 nomor 1 s.d 4 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu dengan rumus berikut Jika skor yang kamu peroleh , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami Kegiatan Belajar 3, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 3. Jika skor yang kamu peroleh , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 4 ini lebih cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba kembali mengerjakan Evaluasi KB 3 di bawah ini. Evaluasi KB 3 Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang faktorisasi bentuk aljabar, kerjakan soal berikut! 1. Dengan menentukan faktor sekutunya, faktorkan bentuk aljabar berikut a. b. 2. Temukan faktor-faktor dari a. b. 3. Tentukan pemfaktoran dari bentuk aljabar berikut a. b. 4. Faktorkanlah bentuk Aljabar berikut a. b. GREAT.....!!! Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 3 Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut! Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 46 1 Modul Matematika SMP KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 47 1 Modul Matematika SMP 2013 Kegiatan Belajar 4 A Kompetensi Dasar Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan pecahan Tujuan 1. Menyelesaikan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pemangkatan) pecahan bentuk aljabar 2. Menyederhanakan pecahan aljabar Indikator 1. Peserta didik dapat melakukan operasi hitung penjumlahan, pengurangan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut sama dan dengan penyebut berbeda 2. Peserta didik dapat melakukan operasi hitung perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar 3. Peserta didik dapat melakukan operasi hitung perpangkatan pecahan bentuk aljabar 4. Peserta didik dapat menyederhanakan bentuk aljabar Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 4 1. Awali belajarmu dengan doa 2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 4 secara runtut halaman per halaman 3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar 4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu 5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah komentarmu pada tempat yang disediakan 6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 4 sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan 7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 4 secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu memahami Pecahan Bentuk Aljabar 8. Akhiri belajarmu dengan doa L J A B A R KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar Pada Kegiatan Belajar 2 Kamu telah mempelajari materi operasi bentuk aljabar, kali ini kamu akan bereksplorasi untuk mempelajari operasi pecahan bentuk aljabar. Dimana pada prinsipnya operasi pecahan bentuk aljabar sama dengan operasi pecahan biasa. Tentu kamu ingat bahwa bilangan pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk perbandingan antara pembilang dan penyebut. Jika dimisalkan dan adalah suatu bentuk aljabar, maka pecahan bentuk aljabar dapat dinyatakan sebagai berikut 𝑎 𝑏 Pembilang Penyebut, 𝒃 ≠ 𝟎 perhatikan contoh pecahan bentuk aljabar berikut Dari contoh pecahan bentuk aljabar di samping, 2 Pembilang 𝑥2 merupakan pembilang dan merupakan penyebut. Penyebut 𝑥 4.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar Masih ingatkah kamu bagaimana suatu bentuk pecahan dapat dioperasikan? Bagaimana jika penyebutnya sama? Bagaimana pula jika penyebutnya tidak sama? Untuk mengingatnya kerjakan “Ayo Mengingat” di samping! Setelah sukses mengerjakan “Ayo Mengingat”, saatnya mempelajari penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar, silahkan kamu pahami dan analisis contoh berikut. Selesaikanlah! 1. 2. 3. 9 2 5 3 5 1 4 7 2 5 9 6 4. 5. 8 7 13 2 13 3 9 8 4.1.1 Pecahan bentuk aljabar dengan penyebut sama Contoh : Selesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut! 3 5 1. 𝑥;2 𝑥;2 INGAT! × = × = × = × = Penyelesaian : 3 5 8 = 𝑥 𝑥 𝑥 2. 𝑥:5 𝑥;2 𝑥;1 𝑥;1 Penyelesaian : 𝑥 5 𝑥 𝑥 = 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 = = = 5 𝑥 5 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 (𝑥 1 𝑥 1 5 1 ) Suku sejenis adalah suku dengan variabel dan pangkat variabel yang sama Suku sejenis dikelompokkan dan dioperasikan 7 𝑥 1 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 49 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 3. 3𝑥:5 𝑥:7 𝑥 2 ;9 𝑥 2 ;9 Penyelesaian : 3𝑥 5 𝑥 7 3𝑥 5 = 2 2 𝑥 9 𝑥 9 𝑥2 3𝑥 𝑥 = 𝑥2 𝑥 1 = 2 𝑥 9 4. 𝑥 2 :3𝑥:2 3𝑥:3 3𝑥 2 :𝑥;2 3𝑥 2 :𝑥;2 Penyelesaian : 𝑥 2 3𝑥 3𝑥 3 2 3𝑥 𝑥 3𝑥 2 𝑥 𝑥 9 5 9 7 Suku sejenis dikelompokkan dan dioperasikan 7 INGAT! × = × = × = × = = = = = 𝑥2 𝑥 3𝑥 3𝑥 2 2 3𝑥 3𝑥 2 𝑥2 (3𝑥 𝑥 3𝑥 3𝑥 2 3 𝑥 3𝑥 3𝑥 3𝑥 2 𝑥 𝑥2 3) Suku sejenis dikelompokkan dan dioperasikan 3 1 𝑥 Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut. Berdasarkan uraian contoh di atas, penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut sama dilakukan dengan menjumlahkan pembilang dari pecahan tersebut , secara umum dapat ditulis sebagai berikut : 𝒂 𝒃 𝒄 … … = ,𝒃 ≠ 𝟎 𝒃 … 𝒂 𝒃 𝒄 … … = ,𝒃 ≠ 𝟎 𝒃 … Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 50 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 4.1.2 Pecahan bentuk aljabar dengan penyebut berbeda Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya bisa dilakukan jika memiliki penyebut yang sama. Lalu bagaimana jika penyebut pecahan tersebut berbeda? Apa yang harus kamu lakukan? Untuk menjawabnya, mari mengingat kembali identitas perkalian yang pernah kamu pelajari. Untuk setiap 𝒂 ∈ ℝ, maka berlaku: 47 𝒂×𝟏 =𝟏×𝒂=𝒂 Sehingga, 1 disebut sebagai elemen identitas perkalian 𝒂× Sehingga, 𝟏 𝒂 𝟏 𝟏 𝒂 = ×𝒂 = = 𝟏 𝒂 𝒂 𝒂 disebut sebagai elemen invers perkalian Elemen identitas perkalian tersebut akan digunakan pada penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut berbeda, tujuannya untuk menyamakan penyebut pecahan bentuk aljabar tersebut. Langkah yang dilakukan adalah dengan mengalikan pecahan bentuk aljabar tersebut dengan suatu pecahan yang bernilai sama dengan 1 (penyebut dan pembilang bernilai sama) untuk mendapatkan KPK dari penyebut pecahan bentuk aljabar yang dimaksud. Supaya lebih memahami, pelajari contoh berikut Contoh : Hitunglah penjumlahan dari 3 7 5 2 Soal tersebut memiliki penyebut yang berbeda, yaitu 7 dan sehingga harus disamakan terlebih dahulu dengan cara mengalikan pecahan bentuk aljabar tersebut dengan suatu pecahan yang bernilai sama dengan 1 (pembilang dan penyebut bernilai sama) untuk mendapatkan KPK dari 7 dan , maka diperoleh : 3 7 5 3 𝑥 = × 𝑥 7 𝑥 𝑥 35 = 1 𝑥 1 𝑥 𝑥 35 = 1 𝑥 5 7 × 𝑥 7 𝟐𝒙 𝟕 = 1 dan = 1, sehingga tidak merubah 𝟐𝒙 𝟕 nilai dari soal tersebut Aturan penjumlahan dengan penyebut sama Bagaimana, apakah kamu memahami konsep dari penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut berbeda pada uraian di atas, untuk lebih memahaminya, pelajari uraian contoh berikut. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 51 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar Contoh : Selesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut! 3 4 1. 𝑥:1 𝑥 Penyelesaian : 3 𝑥 1 𝑥 = = = 3 𝑥 1 𝑥 𝑥 3𝑥 𝑥2 3𝑥 𝑦;6 𝑦:4 9 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥 × 𝑥 𝑥 Disamakan penyebutnya, maka KPK dari 𝒙 𝟏 dan 𝒙 adalah (𝒙 𝟏) × 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙 1 1 Aturan pecahan bentuk aljabar dengan penyabut sama 𝑥 𝑥 𝑥2 7𝑥 = 2 𝑥 2. × 𝑥 Suku sejenis pada pembilang dioperasikan 𝑥 Penyelesaian : 𝑦 𝑦 9 𝑦 = = = = = 3. 5 2 𝑎4 𝑏 𝑎3 𝑏2 𝑐 𝑦 9 𝑦2 × 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 × 𝑦 9𝑦 9𝑦 9 9 Disamakan penyebutnya, maka KPK dari 𝟗 dan 𝒚 adalah 𝟗 × 𝒚 = 𝟗𝒚 3 9𝑦 𝑦2 𝑦 (9𝑦 9𝑦 𝑦2 𝑦 9𝑦 3 ) 3 Aturan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut sama Suku sejenis pada pembilang dioperasikan 9𝑦 𝑦2 15𝑦 9𝑦 3 Penyelesaian : 5 5 𝑏𝑐 𝑎 Disamakan penyebutnya, maka KPK dari = 4 × × 4 3 2 3 2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑏𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝒂𝟒 𝒃 dan 𝒂𝟑 𝒃𝟐 𝒄 adalah 𝒂𝟒 𝒃𝟐 𝒄 5𝑏𝑐 𝑎 = 4 2 4 Aturan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏2𝑐 sama 5𝑏𝑐 𝑎 = 𝑎4 𝑏 2 𝑐 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 52 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 4. 2𝑝 𝑝:3 𝑝;1 𝑝2 ;1 Penyelesaian : 𝑝 𝑝 1 𝑝 𝑝2 3 𝑝 = 1 𝑝 1 = (𝑝 𝑝 (𝑝 𝑝 1 1)(𝑝 1) × (𝑝 (𝑝 1) 1) 1) (𝑝 2 = 𝑝 𝑝 (𝑝 1)(𝑝 1) = 𝑝2 (𝑝 = 𝑝2 (𝑝 = (𝑝 𝑝 1 1)(𝑝 𝑝 1 1)(𝑝 Disamakan penyebutnya, 𝟐𝒑 (𝒑:𝟏) sehingga × 1) (𝒑;𝟏) 𝑝 1)(𝑝 (𝒑:𝟏) Aturan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut sama 1) 𝑝 (𝑝 1) 1)(𝑝 1) Suku sejenis pada pembilang dioperasikan 𝑝 𝑝 1 1)(𝑝 1) 𝑝2 (𝑝 Bentuk 𝒑𝟐 𝟏 difaktorkan dengan faktorisasi selisih kuadrat, diperoleh (𝒑 𝟏)(𝒑 𝟏) 1 1) Ayo berlatih Tentukan hasil dari operasi pecahan bentuk aljabar berikut! 1. 𝑥 2 :3𝑥;2 𝑥 2 ;2𝑥:4 𝑥 2 ;4 𝑥 2 ;4 = 𝑥 2 :3𝑥;2:𝑥 2 ;2𝑥:4 = = 2. 3𝑥 9 2𝑥;3 3;2𝑥 = 3𝑥 2𝑥;3 × 𝑥 2 ;4 𝑥 2 : … :3𝑥; … ;2: … … … :… :…: … 3;2𝑥 9 … ; … 3;2𝑥 … ;6𝑥 2 = (2𝑥;3)( = = …; … ) × … ; … 2𝑥;3 18𝑥; … ( … ; … )(3;2𝑥) ;6𝑥 2 :9𝑥: …; … ( … ; … )( … ; … ) ;6𝑥 2 : … ; … ( … ; … )( … ; … ) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 53 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut. Berdasarkan uraian contoh di atas, penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut berbeda dilakukan dengan menyamakan penyebut terlebibih dahulu kemudian dijumlahkan atau dikurangkan, secara umum dapat ditulis sebagai berikut : 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒄 𝒂 … = × 𝒅 𝒃 𝒅 𝒄 𝒂 𝒅 = × 𝒅 𝒃 … 𝒄 𝒃 … … × = , 𝒃 𝒅𝒂𝒏 𝒅 ≠ 𝟎 𝒅 … 𝒃𝒅 𝒄 … … … × = , 𝒃 𝒅𝒂𝒏 𝒅 ≠ 𝟎 𝒅 𝒃 𝒃𝒅 4.2 Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar Sebelum mempelajari perkalian dan pecahan bentuk aljabar, ingat kembali materi perkalian dan pembagian bentuk pecahan dengan menyelesaikan “Ayo Mengingat” di samping. Kerjakan dengan teliti, untuk memudahkan kamu mempelajari perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar. Setelah sukses mengerjakan “Ayo Mengingat”, saatnya mempelajari perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar, silahkan kamu pahami dan analisis contoh berikut. 4.2.1 Perkalian pecahan bentuk aljabar Selesaikanlah! 1. 2. 3. 1 2 3 4 7 9 × 4 3 2 4. ×3 5. ×6 6. 5 9 4 1 6 1 10 ÷ 7 5 3 ÷8 8 ÷5 Contoh : Hitunglah perkalian pecahan bentuk aljabar berikut. 1. 6 5𝑏 𝑎 6×𝑎 7 5𝑏×7 × = = 2. 3𝑦 2 𝑥2 × 2𝑥 9𝑦 6𝑎 35𝑏 = = 3𝑦 2 ×2𝑥 𝑥 2 ×9𝑦 6𝑥𝑦 2 9𝑥 2 𝑦 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 54 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 3. 𝑝2 𝑝;𝑞 × 𝑝2 ;𝑞2 2𝑝𝑞 =( = 4. 𝑏;5 ;𝑎:1 × 2𝑏:3 𝑎;4 𝑝2 ×( … ; … ) … ; … )×(2𝑝𝑞) 𝑝4 ; … … ;2𝑝𝑞2 = (𝑏;5)×( … : … ) ( … : … )×(𝑎;4) = … :3𝑏; … ;15 = INGAT! × = × = × = × = ;𝑎2 : … :𝑎 ; … … Suku sejenis dioperasikan … Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum perkalian pecahan bentuk aljabar berikut. Berdasarkan uraian contoh di atas, perkalian pecahan bentuk aljabar adalah perkalian pembilang dengan pembilang dibagi perkalian penyebut dengan penyebut, secara umum dapat ditulis sebagai berikut : 𝒂 𝒄 … ×… … × = = , 𝒃 𝒅𝒂𝒏 𝒅 ≠ 𝟎 𝒃 𝒅 … ×… … 4.2.2 Pembagian pecahan bentuk aljabar Contoh : Hitunglah pembagian pecahan bentuk aljabar berikut. 1. 4𝑝 3𝑞 ÷ 2𝑞 7𝑝 = 4𝑝 = 4𝑝×7𝑝 = 3𝑞 × 7𝑝 Mengikuti aturan perkalian pecahan bentuk aljabar 2𝑞 3𝑞×2𝑞 28𝑝2 6𝑞2 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 55 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 2. 𝑥:2 5 ÷ 𝑥;10 4 = 𝑥:2 = = 3. 4 𝑎 ÷ 2𝑎:2𝑏 𝑎2 :𝑎𝑏 𝑥;1 𝑥:1 ÷ 1:𝑥 1;𝑥 4 𝑥;10 Mengikuti aturan bentuk aljabar (𝑥:2)×4 perkalian pecahan 5×(𝑥;10) 4𝑥:8 5𝑥;10 4 𝑎2 :𝑎𝑏 𝑎 2𝑎:2𝑏 = × = 4. 5 × 4×( … : … ) 𝑎×( … : … ) = … : … = … … : … × … ( … )×( … ) ( … )×( … ) … = = = = … … … … Suku sejenis dikelompokkan dan dioperasikan … … … Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum pembagian pecahan bentuk aljabar berikut. Berdasarkan uraian contoh di atas, pembagian dua pecahan bentuk aljabar adalah perkalian dari pecahan pertama dengan kebalikan dari pecahan kedua, secara umum dapat ditulis sebagai berikut : 𝒂 𝒄 𝒂 𝒅 … ×… … ÷ = × = = , 𝒃 𝒅𝒂𝒏 𝒅 ≠ 𝟎 𝒃 𝒅 𝒃 𝒄 … ×… … Ayo istirahat sejenak......................!!!!! Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 56 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.3 Pemangkatan Pecahan Bentuk Aljabar Masih ingat dengan pemangkatan suatu bilangan pecahan? Kerjakan “Ayo Mengingat disamping untuk menggali kembali pemahamanmu tentang pemangkatan bilangan pecahan. Pemangkatan pecahan bentuk aljabar pada dasarnya sama dengan pemangkatan pecahan biasa. Definisi bilangan berpangkat juga berlaku pada pemangkatan pecahan bentuk aljabar. Untuk memahaminya, pelajari uraian contoh berikut. Selesaikanlah! 1 2 9 2 1. (2) 4. (4) 2. (4) 5. (6) 3 3 2 5 1 4 3. (5) Contoh : Selesaikanlah pemangkatan pecahan bentuk aljabar berikut. 2 3 23 8 1. ( ) = 3 = 3 Definisi bilangan berpangkat 2. ( 2 2 ) = ( )2 (2 )2 = 2 2 22 2 2 = 𝒂𝒏 = 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × … × 𝒂 2 2 4 𝒔𝒆𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒏 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 Dengan 𝑛 bilangan asli 2 2 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 57 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 𝑥;2 2 ( 3. 𝑥:3 (𝑥;2)2 ) = (𝑥:3)2 (𝑥:3)(𝑥:3) 𝑥 2 ;2𝑥;2𝑥:4 = 𝑥 2 :3𝑥:3𝑥:9 ( 4. 2𝑚𝑛 𝟒 𝟗 (Lihat KB 2) 𝑥 2 ;4𝑥:4 = ;3𝑚2 𝑛 Cara lain dengan memanfaatkan (𝒂 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 𝟐𝒂𝒃 𝒃𝟐 dan (𝒂 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 𝟐𝒂𝒃 𝒃𝟐 Sehingga (𝒙 𝟐)𝟐 = 𝒙𝟐 𝟐. 𝒙. 𝟐 𝟐𝟐 = 𝒙𝟐 𝟒𝒙 (𝒙 𝟑)𝟐 = 𝒙𝟐 𝟐. 𝒙. 𝟑 𝟑𝟐 = 𝒙𝟐 𝟔𝒙 (𝑥;2)(𝑥;2) = 𝑥 2 :6𝑥:9 4 ) = = = (;3𝑚2 𝑛)4 (2𝑚𝑛)4 (𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎 × 𝒂𝒎 × … × 𝒂𝒎 = 𝒂𝒎×𝒏 𝒔𝒆𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌 𝒏 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 Dengan 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑛 bilangan bulat (;3)4 𝑚8 𝑛4 24 𝑚 4 𝑛 4 81𝑚8 𝑛4 16𝑚4 𝑛4 = 81 = 81 16 16 𝑚8;4 𝑛4;4 𝑚4 Untuk 𝐚 ≠ 𝟎 dengan 𝐚, 𝐦, 𝐧 bilangan bulat, maka berlaku 𝒂𝒎 : 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎;𝒏 Ayo berlatih Tentukan hasil pemangkatan pemangkatan pecahan bentuk aljabar berikut. 2 2 …… … 1. ( ) = = 2 … … 3 (3 ) 3 … 2. ( 15 13 2 3 ) =( = = (15 )… … )3 153 …… 133 ……×… … 153 …… 133 …… … Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 58 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 3. ( 3 ;2 2 ) = 2 ;10 = = = ( 3 2 ;… ) ( … ;10)2 ( 3 ; … )×( 3 ; … ) 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎:𝒏 dengan 𝒂 ≠ 𝟎 ; 𝒂, 𝒎, 𝒅𝒂𝒏 𝒏 𝒃𝒊𝒍𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕 ( … ;10)×( … ;10) 6; … ;2 3 : … … ;20 ; … :102 6; Suku sejenis dioperasikan … : … … ; 40 :100 Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali uraian contoh di atas, setelah itu pahami penyajian secara umum pemangkatan pecahan bentuk aljabar berikut. Berdasarkan uraian contoh di atas, pemangkatan pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan memangkatkan pembilang dan penyebut dari pecahan tersebut, secara umum dapat ditulis sebagai berikut : 𝒂 × 𝒂 × …× 𝒂 𝒂 𝒏 𝒂𝒏 𝒏 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 ( ) = 𝒏= 𝒃 𝒃 𝒃 ×𝒃×…×𝒃 𝒏 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓 4.4 Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Menyederhanakan suatu bilangan pecahan berarti membagi pembilang dan penyebut dengan faktor sekutu (faktor yang sama) dari keduanya, dengan kata lain menyederhanakan bilangan pecahan dapat dilakukan mencoret atau menghilangkan faktor sekutunya. Sehingga pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut pecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1. Untuk mengingat kembali menyederhanakan bilangan pecahan, kerjakan “Ayo Mengingat” di samping. Setelah selesai pelajari uraian berikut. Sederhanakanlah! 1. 2. 3. 2 4. 4 8 12 5 5. 27 60 6 15 30 Contoh : Selesaikan pecahan bentuk aljabar berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk yang paling asederhana. 𝒙𝟐 𝒙 𝟏𝟐 dijabarkan dalam bentuk (𝑥;4)(𝑥:3) 𝑥 2 ;𝑥;12 faktor-faktornya supaya dapat 1. = disederhanakan, sehingga 𝑥;4 𝑥;4 𝟐 𝒙 =𝑥 3 𝒙 𝟏𝟐 = (𝒙 𝟒)(𝒙 𝟑) (Lihat materi pemfaktoran KB 2) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 59 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 2. 𝑧 2 :3𝑧;10 2𝑧 2 :11𝑧:5 (𝑧;2)(𝑧:5) 𝒛𝟐 𝟑𝒛 𝟏𝟎 dan 𝟐𝒛𝟐 𝟏𝟏𝒛 𝟓 dijabarkan dalam bentuk faktor-faktornya supaya dapat disederhanakan, sehingga 𝒛𝟐 𝟑𝒛 𝟏𝟎 = (𝒛 𝟐)(𝒛 𝟓) dan 𝟐𝒛𝟐 𝟏𝟏𝒛 𝟓 = (𝒛 𝟓)(𝟐𝒛 𝟏) = (𝑧:5)(2𝑧:1) = (𝑧;2) (2𝑧:1) (Lihat materi pemfaktoran KB 3) 3. 10𝑢𝑣 2 3𝑥𝑦 2 × 6𝑥 2 𝑦 2 5𝑢2 𝑣 2 = = 4. 𝑎2 ;2𝑎𝑏:𝑏2 𝑎2 ;1 ÷ 10𝑢𝑣 2 ×6𝑥 2 𝑦 2 Mengukuti aturan pecahan bentuka aljabar 3𝑥𝑦 2 ×5𝑢2 𝑣 2 5𝑢𝑣 2 (2)×3𝑥𝑦 2 (2𝑥) Disederhanakan dengan menghilangkan faktor yang sama 3𝑥𝑦 2 ×5𝑢𝑣 2 (𝑢) = 2×2𝑥 = 4𝑥 perkalian 𝑢 𝑎;𝑏 𝑎;1 𝑢 𝑎2 ;2𝑎𝑏:𝑏2 = = 𝑎2 ;1 × 𝑎;1 𝑎;𝑏 Mengukuti aturan pembagian pecahan bentuk aljabar 𝑎2 ;2𝑎𝑏:𝑏2 ×𝑎;1 𝑎2 ;1×𝑎;𝑏 𝒂𝟐 𝟐𝒂𝒃 𝒃𝟐 dan 𝒂𝟐 𝟏 dijabarkan dalam bentuk faktor-faktornya supaya dapat disederhanakan, sehingga 𝒂𝟐 𝟐𝒂𝒃 𝒃𝟐 = (𝒂 𝒃)(𝒂 𝒃) dan 𝒂𝟐 𝟏 = (𝒂 𝟏)(𝒂 𝟏) (𝑎;𝑏)(𝑎;𝑏)(𝑎;1) = (𝑎;1)(𝑎:1)(𝑎;𝑏) (𝑎;𝑏) = (𝑎:1) (Lihat pemfaktoran KB 3) 1. Sederhanakan pecahan aljabar berikut. 6𝑥 2 𝑦;2𝑥𝑦 2 2𝑥𝑦( … ; … ) 𝟔𝒙𝟐 𝒚 = 𝟐 × 𝟑 × 𝒙𝟐 × 𝒚 4𝑥𝑦 = = 2𝑥𝑦( … ) ( … ;… ) (… ) 𝟐𝒙𝒚𝟐 = 𝟐 × 𝒙 × 𝒚𝟐 𝟒𝒙𝒚 = 𝟐𝟐 × 𝒙 × 𝒚 Sehingga FPB dari 𝟔𝒙𝟐 𝒚, 𝟐𝒙𝒚𝟐 , dan 𝟒𝒙𝒚 adalah perkalian faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil, yaitu 𝟐 × 𝒙 × 𝒚 = 𝟐𝒙𝒚 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 60 1 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 2. Selesaikan operasi pengrangan pecahan aljabar berikut dan nyatakan jawabanmu dalam bentuk yang paling sederhana. 𝑥 2 :3𝑥:2 3𝑥:3 𝑥 2 ;2𝑥:1 𝑥 2 ;2𝑥:1 = = = Dijabarkan dengan faktorisasi bentuk 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄, 𝒂 ≠ 𝟏 supaya dapat disederhanakan … = = (Lihat materi pemfaktoran KB 3) ;(3𝑥:3) 𝑥 2 ;2𝑥:1 Mengukuti aturan pembagian pecahan bentuk aljabar 𝑥 2 : … : … ;3𝑥; … … 𝑥 2: Suku sejenis dikelopmpokkan dan dioperasikan … ;3𝑥: … ;3 … 𝑥 2 ;1 𝑥 2 ;2𝑥:1 (𝑥; … )(𝑥: … ) Dijabarkan dengan faktorisasi bentuk selisih kuadrat supaya dapat disederhanakan (Lihat materi pemfaktoran KB 3) (𝑥; … )(𝑥; … ) … = … 4.5 Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Pecahan Kompleks) Bentuk Aljabar Kamu tahu apa itu pecahan bersusun bentuk aljabar? Yaitu, jika pembilang atau penyebut, atau keduanya dari pecahan bersusun tersebut adalah pecahan bentuk Sederhanakanlah! aljabar juga, maka disebut dengan pecahan 5 1 1 4 : ; 2 3 bersusun (pecahan kompleks) bentuk 4. 3 2 3. 4 21 aljabar. ; 1; 4 3 8 Menyederhanakan pecahan bersusun 5 5 3 :2 ; bentuk aljabar adalah mengubah pecahan 5. 25 21 4. 61 5 bersusun tersebut menjadi pecahan bentuk : : 9 3 3 3 aljabar yang sederhana, yaitu ketika pembilang dan penyebut tidak memiliki faktor yang sama, kecuali 1. Untuk menyederhanakannya kamu membutuhkan semua konsep operasi hitung pecahan bentuk aljabar yang sudah kamu pelajari sebelumnya. Tetapi sebelum itu, kerjakan “Ayo Mengingat” di atas untuk memudahkan kamu mempelajari materi pecahan bersusun. Jika sudah selesai pelajari uaraian berikut. Contoh : Sederhanakan pecahan bersusun berikut. 2 1. 5 ; 3 6 : 2 = 2 3 ( × ) ;( × ) 2 5 6 × 2 : ( 2× ) Disamakan penyebutnya dengan mengikuti aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 61 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 2𝑏 = 5𝑎2 𝑎2 𝑏 6𝑏 :( 2 ) 𝑎 𝑏 2𝑏;3𝑎 𝑎𝑏 5𝑎2 :6𝑏 𝑎2 𝑏 = = 2𝑏;3𝑎 = 2𝑏;3𝑎 = 𝑎𝑏 𝑎𝑏 ÷ × 𝒂 5𝑎2 :6𝑏 𝑎2 𝑏 Mengikuti aturan bentuk aljabar 𝑎2 𝑏 pembagian pecahan 5𝑎2 :6𝑏 𝑎𝑏×(5𝑎2 :6𝑏) = (2𝑏;3𝑎)×𝑎𝑏(𝑎) = (2𝑏;3𝑎)×𝑎 𝑦 𝑦 ; 𝑦;2 2 𝑦 ;4 1 1: 𝑦:2 𝒂𝟐 𝒃 diubah menjadi 𝒂𝒃(𝒂) 𝑎𝑏×(5𝑎2 :6𝑏) (5𝑎2 :6𝑏) 2𝑎𝑏;3𝑎2 5𝑎2 :6𝑏 = = Disamakan penyebutnya, 𝒚:𝟐 𝒚:𝟐 (𝑦:2) = Disamakan penyebutnya, 𝒚 𝒚:𝟐 sehingga × 𝒚;𝟐 1 (1×(𝑦:2)) :( 𝑦:2 ) 𝒚:𝟐 𝑦×(𝑦:2) ((𝑦;2)(𝑦:2)) – ((𝑦;2)(𝑦:2)) (𝑦:2) 1 ((𝑦:2)) :( 𝑦:2) 𝑦 = (𝑦:2) 𝑦 ( (𝑦;2)(𝑦:2)) – (𝑦;2×(𝑦:2)) 𝑦 = 𝒚𝟐 𝟒 diubah ke bentuk faktorfaktornya menjadi (𝒚 𝟐)(𝒚 𝟐) supaya mudah disamakan penyebutnya 𝑦 𝑦 ; (𝑦;2)(𝑦:2) 𝑦;2 1 1: 𝑦:2 𝑦 sehingga 𝟏 × sama artinya dengan 𝒂 ÷ 𝒃 𝒃 (2𝑏;3𝑎)×𝑎2 𝑏 = 2. 3𝑎 (𝑎𝑏) ; (𝑎𝑏) 𝑦2 :2𝑦 ((𝑦;2)(𝑦:2)) – (𝑦;2)(𝑦:2) (𝑦:2) 1 ((𝑦:2)) :( 𝑦:2) Mengikuti aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar 𝑦;(𝑦2 :2𝑦) (𝑦;2)(𝑦:2) 𝑦:2:1 (𝑦:2) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 62 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar Suku sejenis dioeprasikan = 𝑦;𝑦2 ;2𝑦 (𝑦;2)(𝑦:2) 𝑦:2:1 𝑦:2 = ;𝑦2 ;𝑦 (𝑦;2)(𝑦:2) 𝑦:3 𝑦:2 INGAT! × = × = × = × = 𝒂 ;𝑦 2 ;𝑦 = (𝑦;2)(𝑦:2) ÷ 𝑦:3 ;𝑦 2 ;𝑦 (𝑦;2)(𝑦:2) 𝑦:2 = × sama artinya 𝒃 dengan 𝒂 ÷ 𝒃 𝑦:2 Mengikuti aturan pembagian pecahan bentuk aljabar 𝑦:3 (;𝑦 2 ;𝑦)×(𝑦:2) Faktor yang sama dapat disederhanakan dengan dicoret = (𝑦;2)(𝑦:2)×(𝑦:3) = = = ;𝑦 2 ;𝑦 (𝑦;2)(𝑦:3) ;𝑦 2 ;𝑦 𝑦 2 :3𝑦;2𝑦;6 ;𝑦 2 ;𝑦 Suku sejenis dioeprasikan 𝑦 2 :𝑦;6 Ayo berlatih Sederhanakan pecahan bersusun bentuk aljabar berikut. 1 1 – 𝑥 𝑦 1 1 : 𝑥2 𝑦2 1 = … 1 …⬚ × ⬚ 2 𝑥 … … = = 1 … (𝑥× … ) – (𝑦× … ) : 1 …⬚ × ⬚ 2 𝑦 … Disamakan penyebutnya … (𝑥𝑦) ;( 𝑥𝑦) … 𝑥2 𝑦2 : … ; … 𝑥𝑦 ⬚ … : … 𝑥2 𝑦2 … 𝑥2 𝑦2 Mengikuti aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 63 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar = = = … ; … …⬚ : … ÷ 𝑥𝑦 … ; … × 𝑥𝑦 𝑥 2𝑦2 𝑥 2𝑦2 …⬚ : … ( … ; … )×𝑥 2 𝑦 2 𝑥𝑦×( …⬚ : …⬚ ) = ( … ; … )×𝑥𝑦( … ) = ( … ; … )×( … ) = Mengikuti aturan pembagian pecahan bentuk aljabar 𝑥𝑦×( …⬚ : …⬚ ) 𝒙𝒚 dikeluarkan dari 𝒙𝟐 𝒚𝟐 sehingga dapat dicoret dengan 𝒙𝒚 pada penyebut untuk disederhanakan ( …⬚ : …⬚ ) 𝑥𝑦 2 ;𝑥 2 𝑦 𝑦 2 :𝑥 2 Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami pecahan bentuk aljabar, untuk itu lengkapi “refleksi” berikut! Lengkapilah refleksi berikut!!! R E F L E K S I Setelah saya mempelajari materi pecahan bentuk aljabar, yang dapat saya pahami adalah bahwa, penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar hanya bisa dilakukan jika .............................................................................................................................................. Perkalian pecahan bentuk aljabar adalah perkalian ................................................ dengan .......................................... dibagi perkalian ......................................... dengan ................................................. Pembagian dua pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan .............................................................. dengan kebalikan dari ................................................ Pemangkatan pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan ............................................ pembilang dan penyebut dari pecahan tersebut. Pecahan bentuk aljabar dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak memiliki ..............................................................................., kecuali ......... Pecahan bersusun bentuk aljabar adalah jika ................................................. atau .................................................., atau keduanya dari pecahan bersusun tersebut adalah ................................................................................................ Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 64 1 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar Proyek 1 2 ini! Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!! Bersama teman dekatmu, pahami kembali langkah-langkah dari: 1. Penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar a. Dengan penyebut sama b. Dengan penyebut berbeda 2. Perkalian pecahan bentuk aljabar 3. Pembagian pecahan bentuk aljabar 4. Pemangkatan pecahan bentuk aljabar 5. Menyederhanakan suatu pecahan bentuk aljabar Tulislah secara singkat, langkah-langkah dari kelima di atas di bawah .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 65 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar Jika ada yang belum kamu pahami tentang pecahan bentuk aljabar, ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan dan pemahamanmu!! Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 4 ini, kerjakan Evaluasi KB 4 nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu dengan rumus berikut = × Jika skor yang kamu peroleh 7 , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami Kegiatan Belajar 3, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 5. Jika skor yang kamu peroleh 7 , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 4 ini lebih cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba kembali mengerjakan Evaluasi KB 4 di bawah ini. Evaluasi KB 4 Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang pecahan bentuk aljabar, kerjakan soal berikut! 1. Selesaikan operasi hitung bentuk aljabar berikut. Nyatakan jawabanmu dalam bentuk paling sederhana. 25 ;15 13 :12 a. 9 :6 9 :6 :1 b. 1; 2. Tentukan bentuk sederhana dari 2; 2: ;2 ;12 × ;3 ;2 Soal Selanjutnya............... Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 66 1 Modul Matematika SMP KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar 3. Tentuka hasil pembagian dari :1 ;1 3 6 4. Uraikan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut. ;2 2 ( 5. :1 ) Sederhanakan pecahan bersusun bentuk aljabar berikut. 2 ; ;1 ;2 2 3 ; ;2 ;3 GREAT.....!!! Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 4 Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut! Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 67 Modul Matematika SMP 2013 Kegiatan Belajar 5 A Kompetensi Dasar Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan pecahan Tujuan Mengubah masalah kontekstual menjadi bentuk aljabar dan menyelesaikannya Indikator 1. Peserta didik dapat mengubah kalimat sederhana menjadi bentuk aljabar 2. Peserta didik dapat mengubah masalah kontekstual menjadi bentuk aljabar dan menyelesaikannya Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 5 1. Awali belajarmu dengan doa 2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 5 secara runtut halaman per halaman 3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar 4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu 5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah komentarmu pada tempat yang disediakan 6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 5 sesuai aturan yang ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan 7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 5 secara mandiri untuk mengukur kemampuanmu memahami Pemodelan Bentuk Aljabar 8. Akhiri belajarmu dengan doa L J A B A R KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar Siapakah “Aku” Mengapa perlu mempelajari aljabar? Aku adalah suatu bilangan, jika aku ditambah delapan hasilnya sama dengan tiga kali diriku sendiri. Siapakah aku? Tebakan yang sangat sederhana bukan? Mungkin tanpa disadari, aljabar sering digunakan dalam keseharian kamu. Seperti tebakan di atas, dimana penyelesaiannya adalah dengan memanfaatkan pemahaman aljabar. Belum percaya bahwa tebakan itu memanfaatkan pemahaman aljabar? Ayo kita selesaikan!! Penyelesaian : Langkah yang harus kita lakukan adalah, dengan mengubah masalah tersebut menjadi bentuk aljabar dengan memisalkan suatu bilangan yang di cari dengan suatu variabel. Variabel adalah lambang atau simbol yang mewakili jumlah sesuatu (bilangan) Misal, : suatu bilangan yang dicari (Aku), maka tebakan di atas dapat diubah menjadi Aku adalah suatu bilangan, jika aku ditambah 8 hasilnya sama dengan 3 kali diriku sendiri + 8 = 3 × Sehingga diperoleh bentuk aljabar + = × Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk aljabar berarti mencari nilai dari variabel tersebut sehingga jika nilai yang diperoleh dimasukkan (disubstitusikan), bentuk aljabar tersebut akan bernilai benar. Untuk menyelesaikannya bentuk aljabar di atas kamu harus memanfaatkan pemahaman tentang operasi hitung bentuk aljabar, maka 𝑥+8=3×𝑥 𝑥 + 8 = 3𝑥 𝑥 − 𝑥 + 8 = 3𝑥 − 𝑥 (kedua ruas dikurangi dengan 𝒙) 8 = 2𝑥 8 2 = 𝑥 (kedua ruas dibagi 2) 2 2 4=𝑥 Atau dengan cara yang biasanya kalian lakukan seperti berikut 𝑥+8=3×𝑥 𝑥 + 8 = 3𝑥 8 = 3𝑥 − 𝑥 (suku sejenis dikelompokkan, sehingga 𝒙 pindah ruas menjadi −𝒙) 8 = 2𝑥 8 2 = 𝑥 (kedua ruas dibagi 2) 2 2 4=𝑥 Diperoleh = 4, maka “Aku” yang dimaksud dalam tebakan di atas adalah 4. Jika dimasukkan (disubstitusikan) pada bentuk aljabar +8=3× +8=3× 4+8 = 3×4 2 = 2 (Bernilai BENAR) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 69 menjadi Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar Tebakan di atas adalah salah satu contoh aplikasi aljabar dalam kehidupan seharihari. Masih banyak lagi aplikasi aljabar yang akan kita pelajari. Pada Kegiatan Belajar 1 kamu telah sedikit mempelajari tentang pemodelan suatu masalah sebagai pengantar mempelajari unsur-unsur bentuk aljabar. Pada Kegiatan Belajar 5 ini kamu difokuskan untuk mempelajari cara memodelkan suatu masalah menjadi bentuk matematika (bentuk aljabar) kemudian menyelesaikannya, untuk itu apa yang sudah kamu pelajari pada kegiatan belajar 1 sampai 4 akan sangat berguna pada kegiatan belajar kali ini. Pelajari uarain berikut. 5.1 Mengubah kalimat sederhana menjadi bentuk aljabar Sebelum menyusun bentuk aljabar dari suatu masalah yang kompleks, pahami dahulu menyusun bentuka aljabar dari kalimat sederhana berikut. Contoh: Nyatakan kalimat sederhana berikut dalam bentuk aljabar dengan variabel sesuai pilihan kamu! a. Umur Ibu lima tahun kurangnya dari umur Ayah b. Panjangnya lebih 20 cm dari lebarnya c. Empat tahun yang lalu Variabel adalah d. Tiga kali suatu bilangan ditambah dua lambang atau simbol yang mewakili jumlah sesuatu (bilangan) Penyelesaian : a. Misal, umur ibu : tahun umur ayah : tahun Umur Ibu lima tahun kurangnya dari umur Ayah 𝑖 − 5 𝑎 −5 Maka, diperoleh bentuk aljabar = b. Misal, lebar panjang −5 : : Panjangnya lebih 20 cm dari lebarnya 𝑝 + 𝑙 2 Maka, diperoleh bentuk aljabar = +2 c. Misal, tahun sekarang : tahun Empat tahun yang lalu 4 − −4 Maka, diperoleh bentuk aljabar − 4 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 70 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar d. Misal, suatu bilangan : Tiga kali suatu bilangan ditambah dua 3 𝑧 × + 2 Maka, diperoleh bentuk aljabar 3 × + 2 Bagaimana dengan kalimat sederhana di atas, mampukah kalian memahaminya? ayo berlatih untuk mengasah pemahamanmu! Ayo berlatih Susunlah bentuk aljabar dari kalimat sederhana berikut dengan variabel sesuai keinginanmu! a. Tingginya tiga kali lebarnya Variabel adalah b. Jumlah dua bilangan sama dengan hasil kalinya lambang atau simbol yang c. Empat tahun yang akan datang mewakili jumlah sesuatu d. Dua hari sebelumnya (bilangan) Penyelesaian: a. Tentukan variabel untuk mewakili tinggi dan lebar Misal variabel untuk mewakili tinggi adalah .... variabel untuk mewakili lebar adalah .... Tingginya tiga kali lebarnya Maka, diperoleh bentuk aljabar ... = 3× .... b. Tentukan variabel untuk mewakili kedua bilangan Misal variabel untuk mewakili bilangan pertama adalah .... variabel untuk mewakili bilangan kedua adalah .... jumlah dua bilangan sama dengan hasil kalinya + × Maka, diperoleh bentuk aljabar + = × c. Tentukan variabel untuk mewakili tahun sekarang Misal variabel untuk mewakili tahun sekarang adalah .... Empat tahun yang akan datang + 4 + 4 Maka, diperoleh bentuk aljabar + 4 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 71 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar d. Tentukan variabel untuk mewakili hari ini Misal variabel untuk mewakili hari ini adalah ... Dua hari sebelumnya 2 Maka, diperoleh bentuk aljabar − Bagaimana, apa kalian semakin paham? Setelah ini kamu akan belajar memodelkan suatu masalah yang lebih kompleks lagi. Masalah yang akan kamu pelajari sangat berkaitan dengan kehidupan sehari-hari, hal itu akan memudahkan kamu untuk memahaminya. Tetapi sebelum itu, resapilah motivasi berikut. Ayo istirahat sejenak......................!!!!! Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 72 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar 5.2 Mengubah masalah menyelesaikannya. kontekstual menjadi bentuk aljabar dan Menyelesaikan masalah matematika yang berkaitan dengan soal cerita, salah satu kunci keberhasilannya adalah mengubah masalah tersebut menjadi bentuk aljabar atau biasa dikatakan dengan menyusun model matematikanya. Untuk itu pelajari uarain contoh dari masalah kontekstual berikut. Contoh : 1. Pak Joko memiliki dua jenis hewan ternak, yaitu 8 sapi perah 15 kambing etawa yang mengasilkan susu setiap hari. Susu yang dihasilkan dari kedua jenis ternak tersebut jumlahnya berbeda, tetapi masing-masing jenis ternak menghasilkan banyak susu yang sama. Buatlah bentuk aljabar dari banyaknya susu yang didapatkan pak Joko dari kedua jenis hewan ternak tersebut! Gambar 5.1 : Sapi perah dan kambing etawa Penyelesaian : Diketahui : Pak Joko memiliki 3 sapi perah dan 5 kambing etawa Setiap hari kedua jenis ternak tersebut menghasilkan banyak susu yang berbeda, tetapi masing-masing jenis ternak menghasilkan banyak susu yang sama Ditanya : Bentuk aljabar dari banyaknya susu yang di dapat pak Joko setiap harinya? Jawab : Misal, Banyak susu yang dihasilkan 1 sapi perah (dalam liter) : Banyak susu yang dihasilkan 1 kambing etawa (dalam liter) : Maka, banyak susu yang didapatkan pak Joko dari 3 sapi perah dan 5 kambing etawa adalah 3 × + 5 × atau bisa ditulis dengan 3 + 5 Jadi, bentuk aljabar dari banyak susu yang didapatkan pak Joko adalah 3 +5 2. Galih dan Robi, keduanya mempunyai kelereng. Kelereng kepunyaan Galih 2 kali dari kelereng kepunyaan Robi, sedangkan jumlah kelereng keduanya adalah 18 kelereng. Berapakah banyak kelereng masing masing? Penyelesaian : Diketahui : Kelereng Galih 2 kali kelereng Robi Jumlah kelereng keduanya 18 kelereng Gambar 5.2 : Kelereng Ditanya : Banyak masing-masing kelereng milik Robi dan Galih? Jawab : Misal, Banyak kelereng yang dimiliki Galih : Banyak kelereng yang dimiliki Robi : Bentuk aljabar dari masalah di atas adalah sebagi berikut Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 73 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar Kelereng Galih 2 kali kelereng Robi =2 Kelereng Galih ditambah kelereng Robi adalah 18 + = 8 Selanjutnya mencari hubungan dari bentuk aljabar yang diperoleh, yaitu seperti berikut : Karena = 2 , maka diperoleh 2 + = 8 Untuk menyelesaikan masalah tersebut, berarti kamu harus mencari banyaknya kelereng masing-masing anak dengan mengoperasikan bentuk aljabar 2 + = 8 yang sudah diperoleh. 2𝑟 + 𝑟 = 8 3𝑟 = 8 3𝑟 8 = 3 3 𝑟=6 Penjumlahan bentuk aljabar Pembagian bentuk aljabar karena mewakili kelereng Robi, maka banyak kelereng Robi adalah 6 buah. Sedangkan kelereng Galih 2 , maka 2 × 6 = 2 Untuk mengecek apakah jawaban kamu benar, masukkan (substitusikan) jawabanmu pada bentuk aljabar yang kamu peroleh, jika bentuk aljabar tersebut bernilai benar maka jawaban yang kamu peroleh adalah benar, begitu juga sebaliknya. =6 2 + = 8 2×6+6= 8 8 = 8 (Bernilai benar) atau = 2 =2 2=2×6 2 = 2 (Bernilai benar) Jadi, kelereng Galih adalah 12 buah dan kelereng Robi 6 buah. 3. Ayah memiliki kebun jambu berbentuk persegi panjang dengan luas 168 . Jika dua kali panjang ditambah 10 adalah lebar dari kebun tersebut. Hitunglah panjang kebun tersebut! Penyelesaian : Diketahui : Kebun berbentuk persegi panjang Gambar 5.3 : Kebun jambu Luas kebun adalah 168 Lebar kebun adalah 2 kali panjang ditambah 10 Ditanya : Panjang kebun? Jawab : Misal, Panjang kebun (dalam ) : Lebar kebun (dalam ) : Lebar kebun 2 kali panjang ditambah 10 =2 + Maka, masalah di atas dapat diubah menjadi bentuk aljabar sebagai berikut Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 74 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar = 68 = 68 = 2 × × (2 + ) + bentuk aljabar Selanjutnya mencari panjang kebun dengan cara mengoperasikan bentuk aljabar yang diperoleh seperti berikut 68 = 2 + Disederhanakan dengan dibagi 2 84 = +5 84 − 84 = + 5 − 84 Dikurangi 84, atau dengan kata lain 84 dipindah ruas dari kiri ke kanan sehingga menjadi −𝟖𝟒 = + 5 − 84 = ( + 2)( − 7) 𝟐 Mencari nilai pembuat nol + 2= + 2− 2= − 2 =− 2 atau −7= −7+7= +7 =7 𝒑 + 𝟓𝒑 − 𝟖𝟒 difaktorkan dengan aturan 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 = 𝟏 sehingga diperoleh (𝒑 + 𝟏𝟐)(𝒑 − 𝟕) Lihat Faktorisasi pada KB 3 Karena mewakili panjang, maka panjang kebun adalah 7 tidak digunakan. , untuk =− 2 Untuk mengecek apakah jawaban kamu benar, masukkan (substitusikan) jawabanmu pada bentuk aljabar yang kamu peroleh, jika bentuk aljabar tersebut bernilai benar maka jawaban yang kamu peroleh adalah benar, begitu juga sebaliknya. =7 68 = 2 + 68 = 2 × 7 + ×7 68 = 98 + 7 68 = 68 (Bernilai benar) Jadi, diperoleh panjang kebun kepunyaan ayah adalah 7 Mengapa 𝒑 = −𝟏𝟐 tidak dipakai untuk menunjukkan panjang kebun? Dari beberapa contoh nomor 3 sebelumnya, muncul pertanyaan di samping. Tuliskan jawabanmu dibawah ini, jika mengalami kesulitan, silahkan diskusi dengan teman dekatmu! Jawab :___________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 75 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar Ayo berlatih Selesaikan soal cerita berikut. 1. Satu minggu sekali Tata mendapatkan uang saku dari ibunya sebesar Rp 130.000,00. Uang tersebut harus digunakan untuk membayar les Rp 50.000,00, uang jajan selama 1 minggu dan ditabung sebesar Rp 20.000,00. Berapakah uang jajan Tata setiap harinya? Gambar 5.4 : uang rupiah Penyelesaian : Diketahui : Total uang saku sebesar ..................................... Untuk membayar les ..................................... Untuk ditabung Rp ..................................... Untuk uang jajan selama 1 minggu (6 hari/senin-sabtu) Ditanya : Uang saku Tata setiap hari? Jawab : Misal, Uang saku Tata setiap hari adalah , maka selama 6 hari menjadi ........ Maka, masalah di atas dapat di ubah menjadi bentuk aljabar sebagai barikut +2 +6 = Untuk mencari banyaknya uang saku Tata setiap hari, mengoperasikan bentuk aljabr yang kamu peroleh sebagai berikut + 6𝑥 = + = 3 6𝑥 = 6𝑥 = 6 6𝑥 6 Pembagian bentuk aljabar = dengan +2 7 − 𝑥= Karena mewakili uang saku, maka uang saku Tata adalah Rp .................. Untuk mengecek apakah jawaban kamu benar, masukkan (substitusikan) jawabanmu pada bentuk aljabar yang kamu peroleh, jika bentuk aljabar tersebut bernilai benar maka jawaban yang kamu peroleh adalah benar, begitu juga sebaliknya. = +2 +6 = +6× = + = = Jadi, banyaknya uang saku Tata setiap harinya adalah Rp .................. 2. Pak Edi mempunyai empat anak perempuan, yaitu Khadijah, Fatimah, Khansa, dan anak terakhir Aisyah. Setiap anak berselisih dua tahun dan jumlah umur keempatnya adalah 70 tahun. Berapakah umur masing-masing putra pak Edi? Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 76 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar Penyelesaian : Diketahui : Pak Edi mempunyai tiga anak perempuan, yaitu Khadijah, Fatimah, Khansa, dan Aisyah Selisih umur setiap anak adalah dua tahun Jumlah umur kempatnya adalah 70 tahun Gambar 5.5 : 4 anak perempuan Ditanya : Umur masing-masing anak? Jawab : Misal, Umur anak yang paling tua (Khadijah) : Umur anak kedua (Fatimah) : − Umur anak ketiga (Khansa) : − 4 Umur anak paling muda (Aisyah) : − Karena jumlah umur ketiganya 70 tahun, maka diperoleh bentuk aljabar sebagai berikut +( − )+( − 4) + ( − )=7 Untuk mencari umur masing-masing, operasikan bentuk aljabar yang kamu peroleh seperti berikut − 4) + (𝑥 − ) = 7 Penjumlahan bentuk aljabar 4𝑥 − = 7 4𝑥 = 7 + 4𝑥 = Pembagian bentuk aljabar 4 𝑥= 𝑥 + (𝑥 − )+( Karena mewakili umur Khadijah maka, Umur Khadijah = Umur Fatimah − = − = Umur Khansa − 4 = −4= Umur Aisyah − = − = Jadi umur Khadijah ... tahun, Fatimah ... tahun, Khansa ... tahun, dan Aisyah ... tahun. Setelah mempelajari uraian di atas, untuk mengecek pemahamanmu, lengkapi “Releksi” berikut. Lengkapilah refleksi berikut!!! R E F L E K S I Setelah saya mempelajari contoh di atas, ada beberapa langkah yang harus saya lakukan untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan bentuk aljabar, yaitu 1. Menentukan ............................................. 2. Menyusun ...................................................... dari masalah tersebut. 3. Menyelesaikan ...................................................... yang diperoleh 4. Mengecek jawaban dengan ...................................................... jawaban yang tersebut pada ...................................................... yang diperoleh. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 77 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar Proyek Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!! 1 Carilah masalah kontekstual (dalam kehidupan sehari-hari) yang berkaitan dengan bentuk aljabar! 2 Tulislah masalah yang kamu peroleh di bawah ini, kemudian selesaikanlah! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 78 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar 3 Diskusikan dan mintalah temanmu untuk mengoreksi hasil pekerjaanmu! Jika ada yang belum kamu pahami tentang pemodelan bentuk aljabar, ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan dan pemahamanmu!! Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 5 ini, kerjakan Evaluasi KB 5 nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu dengan rumus berikut = × Jika skor yang kamu peroleh 7 , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami Kegiatan Belajar 5, maka kamu dapat melanjutkan mengerjakan Uji Kompetensi. Jika skor yang kamu peroleh 7 , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 5 ini lebih cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba kembali mengerjakan Evaluasi KB 5 di bawah ini. Evaluasi KB 5 Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang pemodelan bentuk aljabar, kerjakan soal berikut! 1. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk aljabar dengan variabel sesuai pilihanmu. a. Setengah dari jumlah uang Syifa b. Jumlah tiga bilangan genap berurutan c. Lebihnya 5 kg dari berat badan Doni 2. Brina mempunyai 3 keranjang apel, kemudian ia mendapat tambahan apel dari ibunya lima buah. Bila banyaknya apel dalam satu keranjang adalah , maka susunlah bentuk aljabar yang menunjukkan banyaknya biji buah apel kepunyaan Brina seluruhnya! Soal Selanjutnya................ Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 79 Modul Matematika SMP KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar 3. Daffa, Andre dan Toni masing-masing mempunyai kantong yang berisi sejumlah koin yang sama banyak dan beberapa koin berada diluar kantong, seperti terlihat pada gambar disamping. Bagaimana bentuk aljabar untuk menyatakan banyaknya koin masing-masing dari mereka? Hint: k menunjukkan banyaknya koin dalam kantong Daffa k Andre k k Toni k k k k 4. Berat badan Anis 6 kg lebihnya dari berat badan Nisa. Jika jumlah berat badan mereka adalah 86 kg, berapakah berat badan masing-masing? 5. Jumlah tiga bilangan berurutan adalah 108. Tentukan kegita bilangan tersebut! GREAT.....!!! Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 5 Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut! Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu dibawah ini! Komentar : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 80 Modul Matematika SMP Uji Kompetensi UJI KOMPETENSI Pilihlah satu jawaban yang benar! 1. Tentukan koefisien a. 7 dari bentuk aljabar b. c. d. 2. Konstanta dari persamaan a. b. c. 5 d. adalah .... 3. Suku sejenis dari bentuk aljabar a. b. c. d. adalah .... 4. Dibawah ini yang merupakan bentuk trinomial adalah .... a. b. c. d. 5. Variabel yang terdapat dapa bentuk aljabar a. b. c. d. adalah .... 6. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya bisa dilakukan pada suku yang memiliki .... a. Koefisien sama b. Variabel dengan pangkat sama c. Variabel yanga sama dan pangkat variabel yang sama d. Koefisien, variabel, dan pangkat yang sama Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 81 Modul Matematika SMP Uji Kompetensi 7. Hasil dari adalah .... a. b. c. d. 8. Bentuk sederhana dari a. b. c. d. adalah ... 9. Tentukan hasil dari a. b. c. d. 10. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan luas tersebut adalah . Berakah panjang dari taman tersebut? a. b. c. d. 11. Suku kedua hasil dari a. b. c. d. . Jika lebar taman adalah .... 12. Bentuk aljabar dapat difaktorkan menjadi .... a. b. c. d. Tidak dapat difaktorkan 13. Salah satu faktor dari a. b. c. d. adalah .... Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 82 Modul Matematika SMP Uji Kompetensi 14. Bentuk a. b. c. d. jika duraikan menjadi faktor-fakornya menjadi .... 15. Langkah awal yang harus dilakukan untuk memfaktorkan a. Mencari faktor dari b. Menacri faktor dari 4 c. Mencari faktor dari 49 d. Mencari faktor dari 16. Bentuk sederhana dari adalah .... adalah .... a. b. c. d. 17. Bentuk sederhana dari adalah .... a. b. c. d. 18. Hasil dari adalah .... a. b. c. d. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 83 Modul Matematika SMP Uji Kompetensi 19. Hasil pembagian dari adalah .... a. b. c. d. 20. Bentuk a. ( ( ) jika disederhanakan hasilnya .... ) b. c. d. 21. Bentuk aljabar dari “5 tahun lebihnya dari setengan umur Della” adalah .... a. b. c. d. 22. Bentuk aljabar dari “umur Lila 3 tahun mendatang” adalah .... a. b. c. d. 23. Seorang pedagang mempunyai 8 karung beras dengan berat tiap karung kg beras dan 5 karung kentang dengan jumlah tiap karung kentang buah . Bagaimana bentuk aljabar untuk mewakili banyak banyaknya beras dan kentang? a. b. c. d. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 84 Modul Matematika SMP Uji Kompetensi 24. Jumlah tiga bilangan berurutan kelipatan delapan yang mungkin adalah .... a. 2430 b. 2432 c. 2434 d. 2436 25. Diketahui tanah pekarangan berukuran panjang Maka berapakah kelilingnya dalam variabel ? a. b. c. d. dan lebarnya . Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 1 s.d 5, kerjakan Uji Kompetensi nomor 1 s.d 25 di atas dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu dengan rumus berikut Jika skor yang kamu peroleh , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami Kegiatan Belajar 1 s.d 5, maka kamu dapat melanjutkan materi selanjutnya. Jika skor yang kamu peroleh , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 1 s.d 5 pada bagian yang belum kamu pahami dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba kembali mengerjakan Uji Kompetensi di atas. Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 85 Modul Matematika SMP DAFTAR PUSTAKA Abuso, Emmanuel P. , dkk. 2013. Grade 8 Learning Module. Philippines: Department of Education Agus, Nuniek Avianti. 2008. Mudah Belajar Matematika: untuk kelas VIII SMP/MTs. Jakarta: Pusat perbukuan Departement Pendidikan Nasional Daris, J dan Tasari. 2011. Matematika Jilid 1 untuk SMP dan MTs Kelas VII. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional Daris, J dan Tasari. 2011. Matematika Jilid 2 untuk SMP/MTs kelas VIII. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional Kemendikbud. 2014. Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Kemendikbud Kesianye, Sesutho Koketso, dkk. 2001. Junior Secondary Mathematics Algebraic Processes. Africa: The Southern African Development Community (SADC) and The Commonwealth of Learning Krismanto, Al dan Rochmitawati. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VII SMP. Departemen Pendidikan Nasional, Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan, PPPPTK Matematika Manik, Dame Rosida. 2009. Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Marsigit, dkk. 2011. Matematika 2 untuk SMP/MTs VIII. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional Nuharini, Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta: Pusat perbukuan Departement Pendidikan Nasional Rahayu, Endah Budi, dkk. 2008. Contextual Teaching ang Learning Matematika SMP/MTs Kelas VIII Edisi 4. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen PendidikanNasional Setiawan dan Rochmadi Widdiharto. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VIII SMP. Departemen Pendidikan Nasional, Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan, PPPPTK Matematika Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 86 Modul Matematika SMP GLOSARIUM B Bentuk Aljabar : Binomial : F Faktor : Faktor Persekutuan Faktorisasi : : Suatu kombinasi dari bilangan dan variabel dan operasi aljabar Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku Suatu bilangan yang dapat membagi habis bilangan lain yang lebih besar Faktor-faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih Mengubah bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya K Konstanta Koefisien : : Bilangan tetap Bilangan yang memuat variabel pada bentuk aljabar : : Bentuk aljabar yang terdiri dari satu suku Bentuk aljabar yang terdiri dari lebih dari tiga suku : Suatu pecahan yang pembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya berupa pecahan juga. Suku : Variabel beserta koefisiennya atau konstanta yang dipisahkan oleh operasi penjumlahan atau pengurangan Suku Sejenis : Suku yang memiliki variabel yang sama dan pangkat variabel yang sama : Bentuk aljabar yang terdiri dari tiga suku M Monomial Multinomial P Pecahan Kompleks S T Trinomial Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 1 87 Modul Matematika SMP V Variabel : Lambang atau simbol yang mewakili jumlah sesuatu (bilangan) Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 88 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban KUNCI JAWABAN Evaluasi KB 1 No. Uraian Jawaban 1. Unsur-unsur bentuk aljabar terdiri dari  Variabel  Koefisien  Konstanta  Suku 2. a. Variabel : dan Koefisien : 6 koefisien dari dan 1 koefisien dari b Suku : terdiri dari dua suku yaitu, dan b. Variabel : Koefisien : koefisien dari Konstanta : 13 Suku : terdiri dari dua suku yaitu, dan c. Variabel : Koefisien : 2 koefisien dari , koefisien dari dan koefisien dari Konstanta : Suku : terdiri dari empat suku yaitu, dan d. (ingat bentuk perpangkatan Variabel : Koefisien : koefisien dari , 1 koefisien dari Konstanta : Suku : terdiri dari tiga suku yaitu, 3. , , dan a.   b.   sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan pangkat variabel yang sama yaitu pangkat 1 (pangkat 1 tidak ditulis) sejenis karena konstanta dan sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan y dan pangkat variabel yang sama yaitu pangkat 2 dan pangkat 1 dan sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 89 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. Uraian Jawaban dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 1 dan c.    d.  4. dan sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 3 dan sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 1 dan pangkat 1 dan sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 1 ,  , dan sejenis karena memiliki variabel yang dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 2, dan pangkat 1 dan sejenis karena memiliki variabel yang dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 1, dan pangkat 2 a. b. c. d. 5. pangkat 2 a. b. c. d. , sama yaitu pangkat 2, sama yaitu pangkat 2, : satu suku : tiga suku : empat suku : suku : binomial : binomial : trinomial : polinomial Evaluasi KB 2 No. 1. a. Uraian Jawaban dikurangi dengan ( b. dikurangkan dari ( ) Catatan : Perhatikan kata “dikurangkan dari” dengan “ dikurangi dengan” 2. Diketahui : kolam ikan berbentuk persegi panjang Panjang = ( Lebar = ( Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 90 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. Uraian Jawaban Ditanya : Luas kolam? Jawab : Luas ( Jadi, luas kolam ikan dalam 3. ( ( ( ( Atau dengan cara ( b. ( ) ( hasilnya adalah ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( Atau dengan cara ( ( ( ( a. ( 𝑥 ( a. ( tidak ada, sehingga untuk ( Jadi ( 5. adalah pada ( suku dengan variabel memudahkan pembagian bisa dirubah menjadi ( 𝑥 4. ( ( ( ) ( ( Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan ( ( 91 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. Uraian Jawaban b. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Evaluasi KB 3 No. 1. Uraian Jawaban a. Faktor sekutu(faktor yang sama) dari adalah ( Jadi, ( adalah 5, maka faktor dari b. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari faktor dari adalah ( Jadi ( 2. dan adalah 3pq, maka a. Soal tersebut dapat diselesaikan dengan faktorisasi selisih kuadarat, sehingga ( ( ( ( b. Soal tersebut dapat diselesaikan dengan faktorisasi selisih kuadarat, sehingga ( ( 3. ( a.  Karena , maka daftar semua kemungkinan faktor dari Faktor dari -48 Jumlah 1 -48 -47 Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 92 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. 2 3 4 6 -1 -2 -3 -4 -6 Uraian Jawaban -23 -13 -8 -2 47 23 13 8 2 -24 -16 -12 -8 48 24 16 12 8  Karena , maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan 2. Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah adalah dan  Maka faktor dari b. ( ( bisa ditulis Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan dengan cara : Kalikan , tentukan faktor-faktornya Faktor dari 1 2 3 4 5 6 menjadi dua bilangan Jumlah 60 30 20 15 12 10 61 32 23 20 17 60 Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan . Maka dua bilangan itu adalah 3 dan 20, dengan demikian bisa diuraikan menjadi , diperoleh : ( ( ( ( ( Sehingga, faktor dari Jadi, 4. ( adalah ( ( ( ( a.  Karena , maka daftar semua kemungkinan faktor dari 10 Jumlah Faktor dari Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 93 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. Uraian Jawaban  Karena dengan berjumlah , maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama . Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang adalah dan  Maka faktor dari ( ( b. Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan dengan cara : Kalikan , tentukan faktor-faktornya Faktor dari menjadi dua bilangan Jumlah Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan . Maka dua bilangan itu adalah dan , dengan demikian bisa diuraikan menjadi , diperoleh : ( ( ( Sehingga, faktor dari Jadi, ( ( ( adalah ( ( ( ( Evaluasi KB 4 No. 1. a. Uraian Jawaban ( Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 94 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. Uraian Jawaban ( ( b. ( ( ( ( ( ( ( 2. ( ( ( ( ( 3. ( ( ( ( 4. ( ) ( ( ( Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 95 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. 5. Uraian Jawaban ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ( ( ( ( ( Evaluasi KB 5 No. 1. Uraian Jawaban a. Setengah dari jumlah uang Syifa Misal, jumlah uang syifa adalah Maka bentuk aljabar setengah dari uang Syifa adalah b. Jumlah tiga bilangan genap berurutan Misal, bilangan genap yang pertama adalah Bilangan genap yang kedua adalah Bilangan genap yang ketiga adalah Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 96 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. Uraian Jawaban Maka bentuk aljabar jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah ( ( c. Lebihnya 5 kg dari berat badan Doni Misal, berat badan Doni adalah Maka bentuk aljabar lebihnya 5 kg dari berat badan Doni adalah 2. Bentuk aljabar untuk menyatakan banyaknya koin masing-masing dari mereka dalah sebagai berikut: Daffa : Andre : Toni : 3. Diketahui : Brina mempunyai 3 keranjang apel Ibunya memberi 5 buah apel mewakili banyak apel dalam satu keranjang Ditanya : Bentuk aljabar yang menunjukkan banyak apel Brina seluruhnya? Jawab : banyak apel seluruhnya adalah 3 keranjang apel ditambah 5 buah, maka bentuk aljabar yang diperoleh adalah 4. Diketahui : berat badan Anis 6kg lebihnya dari berat badan nisa Jumlah berat badan mereka adalah 86 kg Ditanya : Berat badan masing-masing? Jawab : Misal, Berat badan Anis adalah Berat badan Nisa adalah Maka diperoleh bentuk aljabar sebagai berikut Berat badan Anis 6kg dari berat badan Nisa Jumlah berat badan mereka 86 kg Diperoleh hubungan dari kedua bentuk aljabar tersebut sebagai berikut ( Jadi berat badan Anis adalah 46 kg dan berat badan Nisa adalah 40 kg Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 97 1 Modul Matematika SMP Kunci jawaban No. 5. Uraian Jawaban Diketahui : Jumlah tiga bilangan berurutan adalah 108 Ditanya : ketiga bilangan tersebut? Jawab : Misal, bilangan yang pertama adalah Bilangan yang kedua adalah Bilangan yang ketiga adalah Maka diperoleh bentuk aljabar sebagai berikut ( ( bilangan yang pertama adalah 35 Bilangan yang kedua adalah Bilangan yang ketiga adalah Jadi ketiga bilangan tersebut adalah 35, 36, dan 37 Uji Kompetensi 1. a 2. d 3. b 4. a 5. a 6. c 7. c 8. c 9. a 10. d 11. d 12. b 13. b 14. c 15. a Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan 16. d 17. b 18. d 19. a 20. c 98 1 21. d 22. a 23. c 24. b 25. a Modul Matematika SMP MODUL MATEMATIKA dengan Pendekatan Kontekstual ini bertujuan untuk memfasilitasi peserta didik dalam mempelajari materi aljabar khususnya unsur-unsur bentuk aljabar, operasi hitung bentuk aljabar, faktorisasi bentuk aljabar, pecahan bentuk aljabar, dan pemodelan bentuk aljabar. Materi disajikan dengan ilustrasi masalah dalam kehidupan sehari-hari sehingga diharapkan peserta didik dapat lebih mudah mempelajarinya. Modul matematika ini dapat digunakan oleh peserta didik dan pendidik, baik pembelajaran di dalam kelas bersama dengan pendidik maupun pembelajaran di luar kelas tanpa penjelasan dari pendidik, sehingga modul ini dirancang dengan penjelasan yang detail dan ada tahapan belajar yang harus dilakukan oleh peserta didik. Pada kegiatan belajar modul ini terdapat materi yang penyajiannya terdapat bagian yang rumpang sehingga siswa dituntut untuk menemukan sendiri. Refleksi bertujuan untuk menuliskan kembali apa yang sudah dipahami oleh peserta didik. Proyek pada modul ini sebagai salah satu media peserta didik untuk berkolaborasi dengan temannya. Evaluasi setiap kegiatan belajar dan uji kompetensi bertujuan untuk menguji kemampuan siswa dengan dilengkapi kunci jawaban dan penskorannya. Dalam setiap kegiatan belajar terdapat dua kata motivasi yang berkaitan dengan sikap spiritual dan sikap sosial. Modul ini disusun oleh Elvira Resa Krismasari yang pernah menjadi salah satu peserta didik di SDN Nambak, SMPN 1 Bungkal, SMAN 3 Ponorogo dan kini masih melanjutkan pendidikannya di program studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Ponorogo. Email: resa.elvira@gmail.com UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO