BERBASIS
PENDEKATAN
KONTEKSTUAL
MODUL MATEMATIKA
ALJABAR
s
T
M
/
P
M
S
Elvira Resa Krismasari
Nama
: ...........................................
Kelas
: ...........................................
Sekolah
: ...........................................
Modul Matematika
Aljabar
Berbasis Pendekatan Kontekstual
Untuk Siswa SMP/MTs
Penulis
: Elvira Resa Krismasari
Pembimbing : Dr. Julan Hernadi
Validator
: Hadi Wiyono, M.Pd.
Jemani, S.Pd, M.Pd.
Muhibuddin Fadhli, M.Pd.
Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Ponorogo
2015
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1i
Modul Matematika SMP
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Allah SWT. Atas limpahan rahmat dan taufik-Nya, penulis
dapat menyelesaikan buku ajar ini yang berjudul βModul Matematika Aljabar Berbasis
Pendekatan Kontekstual untuk SMP/MTsβ.
Modul matematika dengan pendekatan kontekstual ini menyajikan materi tentang
unsur-unsur bentuk aljabar, operasi hitung bentuk aljabar, faktorisasi bentuk aljabar,
pecahan bentuk aljabar dan pemodelan bentuk aljabar. Modul ini disusun dengan harapan
dapat memberikan penjelasan materi aljabar sehingga dapat dipahami dengan mudah
oleh peserta didik.
Penyajian modul ini mengacu pada pendekatan kontekstual yang melibatkan tujuh
komponen utama, yaitu kontruktivisme, bertanya, menemukan, masyarakat belajar,
pemodelan, refleksi, dan penilaian otentik.
Pada setiap kegiatan belajar dilengkapi dengan motivasi yang berkaitan dengan
sikap spiritual dan sosial yang diharapkan dapat berpengaruh terhadap sikap sehari-hari
peserta didik.
Penyusun menyadari sepenuhnya modul ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh
karena itu, kritik dan saran yang ada relevansinya dengan penyempurnaan modul ini
senantiasa penulis harapkan.
Semoga modul ini mampu memberikan manfaat dan mampu memberikan nilai
tambah kepada para pemakainya.
Ponorogo, Agustus 2015
Elvira Resa Krismasari
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1ii
Modul Matematika SMP
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................................
i
KATA PENGANTAR .............................................................................................................. ii
DAFTAR ISI ............................................................................................................................. iii
PENDAHULUAN .................................................................................................................
iv
Deskripsi Modul...................................................................................................................
1
Petunjuk Penggunaan Modul .........................................................................................
1
Peta Konsep ...........................................................................................................................
2
KEGIATAN BELAJAR 1 UNSUR-UNSUR BENTUK ALJABAR ...........................
3
Materi .......................................................................................................................................
4
Proyek ......................................................................................................................................
7
Evaluasi KB 1 ........................................................................................................................
9
KEGIATAN BELAJAR 2 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR .....................
11
Materi
2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar ...........................................
12
2.2 Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar .......................................................
16
2.3 Perpangkatan Bentuk Aljabar ..............................................................................
23
Proyek ......................................................................................................................................
27
Evaluasi KB 2 ........................................................................................................................
28
KEGIATAN BELAJAR 3 FAKTORISASI BENTUK ALJABAR .............................
30
Materi
3.1 Faktorisasi dengan sifat distributif ....................................................................
31
3.2 Faktorisasi selisih dua kuadrat ............................................................................
33
3.3 Faktorisasi bentuk
.........................................................................
35
Proyek ......................................................................................................................................
45
Evaluasi KB 3 ........................................................................................................................
46
KEGIATAN BELAJAR 4 PECAHAN BENTUK ALJABAR ......................................
48
Materi
4.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar.........................
49
4.2 Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar ....................................
54
4.3 Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar ............................................................
57
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
iii
1
Modul Matematika SMP
4.4 Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar ..................................................
59
4.5 Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Pecahan Kompleks) Pecahan Bentuk
Aljabar..............................................................................................................................
61
Proyek ........................................................................................................................
65
Evaluasi KB 4 ..........................................................................................................
66
KEGIATAN BELAJAR 5 PEMODELAN BENTUK ALJABAR ...............................
68
Materi
5.1 Mangubah kalimat sederhana menjadi bentuk aljabar .................
70
5.2 Mengubah suatu masalah menjadi bentuk aljabar dan
menyelesaikannya ........................................................................................
73
Proyek ........................................................................................................................
78
Evaluasi KB 5 ..........................................................................................................
79
UJI KOMPETENSI ...............................................................................................................
81
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................
86
GLOSARIUM..........................................................................................................................
87
KUNCI JAWABAN ...............................................................................................................
89
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1iv
Modul Matematika SMP
PENDAHULUAN
DESKRIPSI
DESKRIPSIMODUL
MODUL
Modul matematika berbasis pendekatan kontekstual ini disusun dengan harapan
dapat memberikan penjelasan materi aljabar khusunya materi unsur-unsur bentuk
aljabar, operasi hitung bentuk aljabar, faktorisasi bentuk aljabar, pecahan bentuk aljabar,
dan pemodelan bentuk aljabar yang dibutuhkan siswa SMP/MTs. Modul ini dapat
digunakan dengan atau tanpa pendidik yang memberikan penjelasan materi.
Tujuan penyusunan modul matematika aljabar ini adalah dapat memfasilitasi
peserta didik dalam memahami materi aljabar. Selain itu diharapkan, dengan
menggunakan modul ini peserta didik dapat belajar dengan kecepatan belajar masingmasing karena pada dasarnya penggunaan modul dalam pembelajaran menggunakan
sistem secara individual, sehingga peserta didik dapat melakukan pembelajaran tanpa
tergantung dengan penjelasan dari pendidik.
PETUNJUK
PENGGUNAAN
DESKRIPSI
MODULMODUL
Untuk mempelajari modul ini ada beberapa hal yang harus diperhatikan oleh
peserta didik, yaitu sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi sebelumnya menjadi
prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam modul ini, dan perhatikan petunjuk
mempelajari kegiatan belajar yang ada pada setiap awal kegiatan belajar.
3. Ulangi apabila kamu kurang memahami materi yang disajikan, lanjutkan jika kamu
sudah menguasai materi.
4. Kerjakanlah soal Uji Kompetensi setelah kamu mempelajari semua kegiatan belajar.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
11
Modul Matematika SMP
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
PETA KONSEP
Aljabar
KB 1
Unsur-Unsur
Bentuk Aljabar
KB 2
Operasi Hitung
Bentuk Aljabar
2
Modul Matematika SMP
Penjumlahan
dan
Pengurangan
Perkalian
dan
Pembagian
KB 3
Faktorisasi
Bentuk Aljabar
Penjumlahan
dan
Pengurangan
Perpangkatan
Sifat
Distributif
KB 5
Pemodelan
Bentuk Aljabar
KB 4
Pecahan
Bentuk Aljabar
Selisih Dua
Kuadrat
Bentuk
πππ + ππ + π
Perkalian
dan
Pembagian
Perpangkatan
Penyederhanaan
Bentuk aljabar
dari kalimat
sederhana
Bentuk aljabar
dari suatu masalah
nyata dan
menyelesaikannya
2013
Kegiatan Belajar
1
A
Kompetensi Dasar
Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan
pecahan
Tujuan
L
J
1. Memahami unsur-unsur bentuk aljabar
Indikator
1. Peserta didik dapat menuliskan bentuk aljabar
2. Peserta didik dapat mengidentifikasi unsur-unsur bentuk aljabar
yang meliputi variabel, koefisien, suku, dan konstanta
3. Peserta didik dapat mengetahui banyaknya suku dari bentuk
aljabar
4. Peserta didik dapat membedakan suku sejenis dan tidak sejenis
Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 1
1. Awali belajarmu dengan doa
2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 1 secara
runtut halaman per halaman
3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar
4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu
5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah
komentarmu pada tempat yang disediakan
6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 1 sesuai aturan yang
ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan
7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 1 secara mandiri untuk
mengukur kemampuanmu memahami Unsur-Unsur Bentuk Aljabar
8. Akhiri belajarmu dengan doa
A
B
A
R
KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar
Ilustrasi 1
Pak Made memanen jeruk dengan hasil 5
keranjang penuh dan sisanya 7 jeruk di luar
keranjang. Dengan asumsi banyaknya jeruk pada
setiap keranjang adalah sama, bagaimana
menentukan banyak jeruk dalam bentuk aljabar?
Gambar 1.1 : Buah jeruk
Setelah memahami ilustrasi 1 di atas,
diketahui bahwa hasil panen jeruk sebanyak 5
keranjang penuh dan sisanya 7 jeruk di luar
keranjang. Lalu, langkah apa yang kamu ambil
untuk menyelesaikan masalah tersebut?
Penyelesaian :
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Langkah- langkah:
1. Membuat pemisalan
2. Mengubah ke bentuk
matematika (Bentuk
Aljabar)
Dari penyelesaian yaang kamu lakukan, tentunya kamu sudah mendapatkan bentuk
aljabar yang sesuai, yaitu
(isi sesuai bentuk aljabar yang kamu peroleh).
Dengan mengikuti langkah pada ilustrasi sebelumnya, selesaikan ilustrasi 2
berikut!
Ilustrasi 2
Hari ini Siska dan Amel bermain kelereng
bersama. Siska membawa 3 kotak berisi kelereng, 2
toples berisi kelereng dan 2 buah kelereng di luar
kotak dan toples. Sedangkan Amel membawa 4 kotak
berisi kelereng, 1 toples berisi kelereng dan 3 buah
kelereng di luar kotak dan toples. Tentukan bentuk
Gambar 1.2 : Bermain Kelereng aljabar dari kelereng yang dibawa Siska dan Amel?
Asumsi: Jumlah kelereng setiap kotak dan setiap
toples masing-masing adalah sama.
Penyelesaian :
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
Nama
Siska
Barang yang dibawa
Bentuk Aljabar
3 ...
2
3
2
2
2
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
14
Modul Matematika SMP
KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar
Nama
Barang yang dibawa
Bentuk Aljabar
4
4
Amel
3
3
Dari ilustrasi yang telah kamu pelajari di atas, kamu mendapatkan beberapa bentuk
aljabar, selanjutnya ayo mempelajari unsur-unsur bentuk aljabar!
Koefisien Koefisien
Konstanta
Ada VARIABEL maka ada
KOEFISIEN (Pasangan Serasi),
KONSTANTA tetap jomblo
7x -5y +2
Variabel
Variabel
Operasi
Penjumlahan
Operasi
Penjumlahan
7x - 5y + 2
Suku
Suku
Suku
Bentuk aljabar
terdiri dari tiga
suku disebut Trinomial (suku tiga).
Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku
disebut Binomial (suku dua), contoh:
7
9 dan 5
8.
Bentuk aljabar yang terdiri dari satu suku
disebut Monomial (suku satu), contoh: 2
dan 4 .
Sedangkan bentuk Aljabar yang lebih dari
tiga suku disebut Polinomial (suku
banyak), contoh: 5
2
2
Dalam bentuk aljabar juga dikenal istilah suku sejenis dan tidak sejenis, berikut
penjelasannya dan lengkapilah untuk menambah pemahamanmu!!!
No.
Suku
1.
2
2.
8
3.
Jenis Suku
5
7
8
6
2
Sejenis
Tidak Sejenis
Sejenis
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
Penjelasan
Karena memiliki variabel yang sama
yaitu
Karena meskipun variabelnya sama
yaitu
, tetapi pangkat
variabelnya tidak sama.
Karena memiliki varibel yang sama
dan pangkat variabel juga sama
yaitu
15
Modul Matematika SMP
KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar
No.
Suku
4.
3
5.
9
2
5
Jenis Suku
Penjelasan
----------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Apakah kalian mampu memahami unsur-unsur bentuk
aljabar serta melengkapi bagian yang kosong di atas? jika
belum, ulangi sekali lagi dan untuk memperdalam
pemahamanmu, pelajari contoh berikut.
Contoh :
Tentukan unsur-unsur dari bentuk Aljabar
Penyelesaian :
ο·
ο·
ο·
ο·
Koefisien
Variabel
Konstanta
Suku
2
: -12 dan 7
: m dan n
: -13
: terdiri dari 3 suku, yaitu
7
3!
2
7
3
Untuk mereview pemahamanmu , silahkan lengkapi βRefleksiβ berikut!
Lengkapilah refleksi berikut!!!
R
E
F
L
E
K
S
I
Setelah mempelajari unsur-unsur bentuk aljabar pada kegiatan belajar 1 ini,
yang saya pahami adalah bahwa langkah-langkah mengubah masalah ke
bentuk aljabar adalah .............................................................................. dan ............................
............................................................................
Unsur- unsur bentuk aljbar terdiri dari ......................................, .......................................,
...................................., dan ....................................
Variabel merupakan lambang atau simbol yang mewakili sebarang
............................................. dan nilainya belum diketahui, biasanya variabel berupa
huruf kecil a, b, c, ... ,z.
Koefisien merupakan ................................................... yang menunjukkan banyaknya
variabel pada bentuk aljabar, atau ............................................ yang memuat variabel
pada bentuk aljabar.
.............................................. merupakan suku dari bentuk aljabar yang berupa angka
dan tidak memuat ...........................................
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta yang dipisahkan
oleh operasi ...................................... atau ......................................
Suku sejenis adalah suku yang memiliki ...................................... yang sama dan
pangkat variabel yang ......................................
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
61
Modul Matematika SMP
KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar
Ayo istirahat sejenak......................!!!!!
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu? Tuliskan komentarmu dibawah ini!
Komentar :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Proyek
Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!!
1
Mintalah teman dekatmu untuk menyebutkan masing-masing satu
bentuk aljabar trinomial dan polinomial. Tuliskan hasilnya di bawah ini!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
17
Modul Matematika SMP
KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar
2
Identifikasilah unsur-unsur dari kedua bentuk aljabar yang sudah
kamu peroleh, Tuliskan hasilnya di bawah ini!
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Jika ada yang belum kamu pahami tentang unsur-unsur bentuk aljabar,
ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan
dan pemahamanmu!!
Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 1 ini, kerjakan Evaluasi KB 1
nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan
kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu
dengan rumus berikut
Jika skor yang kamu peroleh
7 , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami
Kegiatan Belajar 1, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 2. Jika skor yang
kamu peroleh 7 , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 1 ini lebih
cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba
kembali mengerjakan Evaluasi KB 1 di bawah ini.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
18
Modul Matematika SMP
KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar
Evaluasi KB 1
Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang unsur-unsur bentuk
aljabar, kerjakan soal berikut!
1. Sebutkan unsur-unsur bentuk aljabar yang kamu ketahui.
2. Identifikasilah unsur-unsur bentuk aljabar berikut
a. 6
b. 3 9
c. 2
7
d.
3. Kelompokkan suku-suku berikut berdasarkan suku sejenis dan tidak sejenis dan
berilah alasannya
a.
4
4 7 7
b.
6
3
c.
4
2
3
d.
, 9
, 3
, 5
4. Tentukan banyaknya suku dari bentuk aljabar berikut
a. 6
b. 5
c.
d.
2
4
3
5
5. Berdasarkan banyak sukunya, tulislah nama dari bentuk aljabar berikut
a.
2 2
b.
c.
5
d.
9
8
8
GREAT.....!!!
Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 1
Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut!
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
91
Modul Matematika SMP
KB 1 ~ Unsur-unsur bentuk aljabar
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikap
belajarmu? Tuliskan komentarmu di bawah ini!
Komentar :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
10
1
1
Modul Matematika SMP
2013
Kegiatan Belajar
2
A
L
Kompetensi Dasar
Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan
pecahan
Tujuan
Menyelesaikan operasi aljabar (penjumlahan,
perkalian, pembagian, dan pemangkatan)
pengurangan,
Indikator
1. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, dan
pengurangan
2. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi perkalian suku satu
dengan suku dua dan perkalian suku dua dengan suku dua
3. Peserta didik dapat melakukan operasi pembagian dengan suku
satu (tunggal) dan pembagian dengan suku banyak
4. Peserta didik dapat melakukan operasi perpangkatan suku satu
dan perpangkatan suku dua
Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 2
1. Awali belajarmu dengan doa
2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 2 secara
runtut halaman per halaman.
3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar
4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu
5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah
komentarmu pada tempat yang disediakan
6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 2 sesuai aturan yang
ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan
7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 2 secara mandiri untuk
mengukur kemampuanmu memahami Operasi Hitung Bentuk Aljabar
8. Akhiri belajarmu dengan doa
J
A
B
A
R
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Untuk mempelajari materi ini kamu harus mengingat kembali
materi βOperasi Bilanganβ
2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Ilustrasi
Setiap hari Selasa Bella dan Zahra
mengikuti
pelajaran
matematika
di
sekolahnya, minggu ini materi yang akan
dipelajari adalah operasi hitung bentuk
aljabar. Setelah pembelajaran dimulai pak
Budi, guru Matematika mereka menunjukkan
beberapa kantong berisi bola bekel, beberapa
toples berisi kelereng, dan beberapa uang
Gambar 2.1 : Pembelajaran di kelas
logam Rp 500,00.
Pak Budi meminta Bella dan Zahra untuk mepraktekkan operasi hitung bentuk
aljabar dengan memanfaatkan ketiga macam benda tersebut dengan asumsi bahwa setipa
kantong dan setiap kaleng masing-masing berisi bola bekel dan kelereng yang sama.
Perhatikan tabel berikut.
Nama Benda
Kantong berisi
bola bekel
Toples berisi
kelereng
Pemisalan
Banyaknya
bola
bekel
dalam
1
kantong
yang
dimiliki
Banyaknya
bola
bekel
dalam
1
kantong
yang
diberikan
Banyaknya kelereng
dalam 1 toples yang
dimiliki
Banyaknya kelereng
dalam 1 toples yang
diberikan
Banyaknya
yang
Banyaknya
uang
yang
diberikan
uang
dimiliki
Uang Rp 500,00
Pada pembelajaran ini kamu akan mengingat dan memanfaatkan materi pada Kegiatan
Belajar 1, yaitu tentang bentuk aljabar dan unsur-unsurnya. Untuk itu jika ada yang belum
paham, silahkan tanyakan pada teman dekatmu.
2.1.1 Penjumlahan
Pelajari uraian contoh berikut dan selesaikan dengan memanfaatkan tabel di atas.
Contoh :
1. Zahra memiliki 1 kantong berisi bola bekel, kemudian ia mendapat 1 berisi kantong
bola bekel lagi dari Bella. Berapa banyak bola bekel yang dimiliki Zahra?
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
12
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Penyelesaian:
πΓπ
π
π
β―
π
ππ
π
π
π
π
π
π
Contoh :
ππ
Γπ
π
Sehingga, banyaknya bola bekel yang dimiliki Zahra adalah
2. Zahra memiliki 2 tolpes berisi kelereng dan satu uang logam, ia mendapat tambahan
dari Bella 1 toples berisi kelereng dan 1 uang logam. Berapa banyak kelereng dan uang
Zahra?
Penyelesaian :
1
...
π
2
...
Sehingga banyak kelereng dan uang yang dimiliki Zahra adalah
3. Bella memiliki 3 kantong berisi bola bekel, ia mendapat 2 toples berisi kelereng dari
Zahra, berapa banyak bola bekel dan kelereng yang dimiki Bella?
Penyelesaian :
...
ππ
Sehingga banyak bola bekel dan kelereng yang dimiliki Bella adalah
4. Bella mempunyai 2 toples berisi kelereng, zahra memberinya 1 toples lagi. Berapa
banyak kelereng Bella?
Penyelesaian :
Koefisien 1 pada
bentuk aljabar tidak ditulis.
π
Contoh : 1π₯ dapat ditulis π₯
.
Sehingga banyak kelereng yang dimiliki Bella adalah
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
13
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
2.1.2 Pengurangan
Mengurangkan artinya menjumlahkan dengan kebalikannya, ditulis
Pelajari uraian contoh berikut dan selesaikan dengan memanfaatkan tabel di atas.
Contoh :
1. Zahra memiliki 3 kantong berisi bola bekel, kemudian ia memberikannya kepada Bella
1 kantong. Berapa banyak bola bekel yang masih dimiliki Zahra?
Penyelesaian :
ππ
π
INGAT!
Γ
Γ
Γ
Γ
ππ
Diperoleh
Sehingga, Banyak bola bekel yang dimiliki Zahra adalah
2. Bella memiliki 2 kantong berisi bola bekel dan 2 uang logam, 1 dari kantong berisi bola
bekel dan 1 uang logam diberikan kepada Zahra, berapa banyak bola bekel dan uang
logam yang dimiliki Bella?
Penyelesaian :
ππ
π
Diperoleh
Sehingga banyaknya bola bekel dan uang logam yang dimiliki Bella adalah
3. Zahra memiliki 3 kantong berisi bola bekel dan 2 toples berisi kelereng. Jika 2 kantong
berisi bola bekel dan 1 toples berisi kelereng diberikan kepada Bella, berapa banyak
bola bekel dan kelereng yang dimiliki Zahra?
Penyelesaian :
ππ
ππ
y
Diperoleh
Sehingga, banyak bola bekel dan kelereng yang dimiliki Zahra adalah
4. Bella memiliki 4 toples berisi kelereng 1 uang logam, diberikan kepada Zahra 3 toples
dan 1 uang logam. Berapa banyak kelereng dan uang logam yang masih dimiliki Bella?
Penyelesaian :
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
14
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Diperoleh
Sehingga, banyaknya kelereng dimiliki Bella adalah
dan uang logam habis.
Dari beberapa contoh penjumlahan dan
Mengapa banyak bola
pengurangan di atas muncul pertanyaan di
bekel dan kelereng
samping. Tuliskan jawabanmu dibawah ini,
masih memuat π dan π?
jika mengalami kesulitan, silahkan diskusi
dengan teman dekatmu!
Jawab : ___________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Apakah kalian sudah paham dengan operasi penjumlahan dan pengurangan di atas?
Untuk memperdalam pemahamanmu, pelajari dan pahami contoh soal
operasi
penjumlahan dan pengurangan bentuk aljbar berikut!
Contoh :
Hitunglah operasi bentuk aljabar berikut !
1. Tentukan hasil penjumlahan dari
Penyelesaian :
1
1
1
Karena variabelnya sama, yaitu x maka bisa
dioperasikan
2. Tentukan hasil pengurangan dari 1
Penyelesaian :
1
Karena variabel dan pangkat variabelnya
sama, yaitu ππ maka bisa dioperasikan
3. Tentukan hasil penjumlahan dari 1
Penyelesaian :
1
1
Karena variabelnya tidak sama, yaitu x dan y
maka tidak bisa dioperasikan
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
15
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
4. Tentukan hasil dari
Penyelesaian :
1
Suku dengan variabel dan pangkat
variabel yang sama dijadikan satu
1
Pada penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
juga berlaku sifat berikut :
1. Sifat Komutatif
π π π π
2. Sifat Asosiatif
π π
π π
π
π
Lengkapilah refleksi berikut!!!
R
E
F
L
E
K
S
I
Berdasarkan ilustrasi dan uraian contoh di atas, dapat saya pahami
bahwa, Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan
pada suku-suku ................................... atau pada suku yang memiliki ..................................
dan .................................................. yang sama.
2.2 Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar
2.2.1 Perkalian
Untuk π β π dengan π, π πππ§ π bilangan bulat, maka
berlaku:
ππ Γ ππ
ππ+π
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
16
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Sifat distributif merupakan konsep dasar dari perkalian bentuk aljabar.
1. Perkalian suku satu dengan suku dua
Contoh :
a.
Γ
1
b.
Γ
Γ
Γ
1
INGAT!
Γ
Γ
Γ
Γ
2. Perkalian suku dua dengan suku dua
Perkalian suku dua bisa dilakukan dengan beberapa metode sebagai berikut:
Contoh :
Tentukan hasil dari
ο Metode FOIL (The FOIL Method)
F
F
O
I
L
L
Γ
Γ
Γ
1
I
O
First
Outer
Inner
Last
Γ
1
1
ο Metode Pemisahan (The Splitting Method)
1
1
1
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
17
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
ο Metode Muka Senyum (The Smile Face Method)
1
2
Γ
3
Γ
Γ
Γ
1
4
INGAT!
Γ
Γ
Γ
Γ
1
1
ο Metode Tabel/Kotak (The Grid Method)
Contoh :
Γ
3
π¦
π¦
π¦
π¦
1
π¦
π¦
π¦ 1
1
Bagaimana dengan perkalian antara bentuk aljabar
yang lebih dari dua suku?
Misal :
1
Ternyata perkalian bentuk aljabar di atas bisa dilakukan dengan menerapkan
sifat distributif.
Untuk lebih memahami silahkan kamu coba perkalian tersebut!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
18
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Ayo istirahat sejenak......................!!!!!
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu terhadap orang lain? Tuliskan komentarmu
dibawah ini!
Komentar :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.2.2 Pembagian
Untuk π β π dengan π , π πππ§ π bilangan bulat, maka
berlaku:
ππ : ππ
ππβπ
Pembagian bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan aturan pangkat
di atas. Selain itu juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan FPB dari
bentuk aljabar yang dimaksud, kemudian dilakukan pembagian. Sebelum mempelajari
pembagian bentuk aljabar, mari mengingat kembali cara menentukan FPB sebagai berikut.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
19
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Masih ingatkah kamu bagaimana menentukan FPB dari beberapa bilangan? Untuk
menentukan FPB salah satunya dengan faktorisasi prima menggunakan pohon faktor
seperti berikut.
Contoh : Menentukan FPB dari 12 dan 30.
30
12
2
2
15
6
3
2
3
5
3
5
1
1
1
Γ Γ
Γ
Γ Γ
Dari pohon faktor di atas diperoleh
bahwa,
dan 3 merupakan faktor dari 12,
sedangkan 2, 3, dan 5 merupakan faktor dari 30.
Dimana faktor yang sama adalah 2 dan 3
dengan pangkat terkecil dari 2 adalah pangkat 1
dan pangkat terkecil dari 3 adalaha pagkat 1,
maka FPB dari 12 dan 30 adalah Γ
FPB
dari
beberapa
bilangan
dapat
ditentukan
dengan mengalikan faktor prima
yang sama dari bilanganbilangan tersebut dan dipilih
pangkat yang paling kecil.
Konsep menentukan FPB dari beberapa bilangan juga berlaku pada bentuk aljabar,
perhatikan contoh berikut
Contoh : Menentukan FPB dari
dan
Γ Γ Γ Γ
Γ Γ
Dari kedua contoh di atas 2, 3, , dan merupakan faktor dari 1
. Sedangkan 2,
dan merupakan faktor dari
.
FPB dari 1
dan
adalah perkalian faktor yang sama yang memiliki
pangkat terkecil dari bentuk aljabar yang dimaksud. Karena faktor yang sama dari
1
dan
adalah 2, dan dengan pangkat terkecil dari 2 adalah pangkat 1,
pangkat terkecil dari adalah pangkat 2, dan pangkat terkecil dari adalah pangkat 1
maka diperoleh FPB dari 1
dan
adalah Γ Γ
Menentukan FPB pada bentuk aljabar seperti di atas akan digunakan pada
pembagian bentuk aljabar, untuk itu pelajari uraian berikut.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
20
1
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Pembagian dengan suku tunggal
Contoh :
1. Tentukan hasil dari 1
Penyelesaian :
Cara 1 (mengikuti aturan pangkat)
1
Dirubah ke bentuk pecahan supaya lebih mudah
1
1
β
Mengikuti aturan pangkat
Pangkat 1 tidak ditulis
Contoh : π₯
π₯
Cara 2 (menentukan FPB)
1
1
ππππ π Γ π Γ ππ
πππ π Γ ππ
Sehingga FPB dari ππππ dan πππ adalah perkalian
faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil
yaitu π Γ ππ πππ
2. Tentukan hasil dari
Penyelesaian :
Cara 1 (mengikuti aturan pangkat)
β
β
β
β
ππ
π ;π β π
πππ ππ ππ Γ ππ Γ ππ
πππ π π Γ π Γ ππ Γ π
πππ π Γ π Γ π
Sehingga FPB dari πππ ππ , πππ π
dan πππ adalah perkalian
faktor
yang
sama
yang
memiliki pangkat terkecil
yaitu π Γ π Γ π πππ
Cara 2 (menentukan faktor sekutu)
π₯ π¦
π₯ π¦
π₯ π¦
π₯ π¦
π₯π¦
π₯π¦
π₯π¦ π₯π¦
Mengikuti aturan pangkat
π₯π¦ π₯
π₯π¦
π₯π¦
π₯
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
21
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
a. Pembagian dengan suku banyak
Contoh :
Tentukan hasil dari
1
Penyelesaian :
1.
1
ubahlah menjadi bentuk berikut.
1
2. Lakukan pembagian pada
dengan , tuliskan hasilnya di bagian atas.
π
π
π
1
π
β
π
Γ·
3. Kalikan
dengan
kurangkan.
Γ
, tulislah hasilnya di bawah
π
πΓ π
1
1
π
π
kemudian
π
π
1
4. Lakukan pembagian lagi pada
dengan , tuliskan hasilnya di bagian atas
π
π
1
π
1
Γ·
5. Kalikan
kurangkan.
dengan
Γ
tulislah hasilnya di bawah
1
kemudian
π
1
Γ π
π
1
1
1
Secara ringkas disajikan sperti berikut :
π
1
1
1
Sehingga hasil dari
1
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
22
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Ayo berlatih
Hitunglah pembagian dari
Penyelesaian :
1
1
!
π₯
1
1
1
1
1
Sehingga hasil dari
1
1
adalah .......................................
2.3 Perpangkatan Bentuk Aljabar
Untuk π dan π bilangan bulat , maka berlaku:
ππ
πΓπΓπΓ
Γπ
ππππππππ π ππππ
Dengan kata lain, operasi perpangkatan diartikan sebagai
operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama
a. Perpangkatan suku satu
Contoh:
1.
Γ Γ Γ
2.
3.
4.
Γ
(
Sehingga π₯ β
πππ β ππ π
Γ
Γ
Sehingga
ππ π β
Γ
Γ
atau Secara umum
)
Γ
5.
π₯
Γ
Γ +
Γ Γ
Γ Γ
+ +
+
Γ
Γ
Γ
Γ
+ +
Γ
Γ
Γ
Atau dengan memanfaatkan rumus disamping,
maka
Γ
Γ Γ Γ Γ
Γ Γ
Γ Γ
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
π₯ β
ππ π
π₯
Secara umum
Γ
ππ
π
ππ Γ ππ Γ
Γ ππ
ππππππππ π ππππππ
ππΓπ
Dengan π πππ π bilangan bulat
23
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
6.
Γ
Γ
Γ
Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ
+ + +
Γ + + + Γ + + +
Γ Γ
Γ
Γ
1
Atau dengan memanfaatkan rumus di samping,
maka
Γ
Γ Γ Γ Γ
Γ Γ
1 Γ Γ
b. Perpangkatan suku dua
Untuk perpangkatan suku dua
uraian berikut.
ο
1
ο
Γ
ππ
Γ
π
ππ Γ ππ Γ
Γ ππ
ππππππππ π ππππππ
ππΓπ
Dengan π πππ π bilangan bulat
, perhatikan
ππ Γ ππ ππ+π
dengan π β π ; π, π, π
ππ π πππππππ πππππ
ο
Suku
sejenis
(suku
dengan variabel yang sama
dan pangkat variabel yang
sama)
dikelompokkan
kemudian dioperasikan.
ο
ο
ο
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
24
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Setelah melengkapi penjabaran di atas, masukkkan hasilnya pada tebel berikut.
Koefisien Suku Hasil
Perpangkatan
-
Hasil Perpangkatan
0
1
1
1
2
1
3
........................................................................................
4
........................................................................................
...
...
1
2
...
...
1
...
...
...
...
...
5
........................................................................................ ...
... ... ... ...
...
Perhatikan koefisien suku-suku hasil perpangkatan bentuk aljabar suku dua pada
tabel tersebut. Apakah membentuk sebuah pola? Tentu jawabannya iya, karena koefisien
tersebut membentuk pola bilangan yang disebut Segitiga Pascal.
Segitiga Pascal
1
1
1
2
1
1
1
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Hasil dari π
π
π
Koefisien dari π
π
π
Koefisien dari π
π
π
Koefisien dari π
π
π
Koefisien dari π
π
π
Koefisien dari π
π
π
dan seterusnya.
Setelah memahami uraian materi di atas ,
ο· Bagaimana
hubungan
antara
koefisien
suku-suku
hasil
perpangkatan bentuk aljabar suku
dua dengan bilangan-bilangan pada
segitiga pascal?
ο· Bagaimana pula dengan pangkat dari
suku-sukunya
di atas?
Untuk menjawabnya, silahkan lengkapi
pada kolom βrefleksiβ. Tetapi terlebih
dahulu pelajari contoh berikut.
Blaise Pascal
(1623-1622)
Blaise Pascal adalah
seorang ilmuan Prancis
yang menciptakan pola
Segitiga Pascal.
Pada segitiga pascal
terdapat hubungan antara
suatu bilangan dengan jumlah dua
bilangan yang berdekatan yang terletak
pada baris yang tepat berada diatasnya.
Bilangan pada segitiga pascal
memiliki pola yang unik karena selalu
diawali dan diakhiri dengan angka satu
dan di dalam susunannya terdapat angka
yang diulang,
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
25
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Contoh :
Tentukan hasil dari
dengan memanfaatkan segitiga pascal!
Penyelesaian :
ο·
Karena perpangkatan suku dua yang diminta adalah pangkat 3, maka lihat bilangan
pada segitiga pascal di atas untuk
, yaitu 1 3 3 1. Tulis seperti berikut.
1
ο·
1
terdiri dari dua unsur, yaitu suku yang pertama
dan suku yang
kedua
Untuk suku yang pertama ( ), dimulai dari
dan semakin ke kanan
pangkatnya semakin berkurang sampai
. Tulis seperti berikut.
1
1
Untuk suku yang kedua
, dimulai dari
dan semakin ke kanan pangkatnya
semakin bertambah sampai
. Tulis seperti berikut
1
ο·
1
Seletah itu jabarkan sesuai dengan aturan perpangkatan bentuk aljabar
1
1
1.
.
.
.
.
.
1.
ππ
Sehingga diperoleh
π ;π β π
Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami perpangkatan suku dua
pada bentuk aljabar, untuk itu lengkapi βrefleksiβ berikut!
Lengkapilah refleksi berikut!!!
R
E
F
L
E
K
S
I
Setelah mempelajari materi perpangkatan suku dua pada bentuk aljabar,
yang dapat saya pahami yaitu koefisien suku-suku hasil perpangkatan bentuk
aljabar suku dua β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦. Bilangan-bilangan pada
segitiga pascal.
Sedangkan untuk pangkat suku-sukunya π
π , bahwa pangkat π
semakin ke kanan semakin ..................................., sedangkan pangkat π semakin ke
kanan semakin ................................
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
26
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
Bagaimana
dengan
perpangkatan
bentuk
π π π dengan π :
bilangan cacah?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan proyek di
bawah ini!
Proyek
Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!!
1
Carilah penjelasan tentang perpangkatan suku dua bentuk
π
πππππ π ππππππππ πππππ dari buku atau internet.
π
π
π
2
Tulislah hasil yang kamu peroleh di bawah ini!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
27
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
2
Pahami dan sharingkan hasil yang kamu dapatkan dengan teman
dekatmu untuk menambah pemahamanmu!
Jika ada yang belum kamu pahami tentang operasi hitung bentuk
aljabar, ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah
wawasan dan pemahamanmu!!
Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 2 ini, kerjakan Evaluasi KB 2
nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan
kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu
dengan rumus berikut
Γ
Jika skor yang kamu peroleh
, CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami
Kegiatan Belajar 1, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 3. Jika skor yang
kamu peroleh
, kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 2 ini lebih
cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba
kembali mengerjakan Evaluasi KB 2 di bawah ini.
Evaluasi KB 2
Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang operasi hitung bentuk
aljabar, kerjakan soal berikut!
1. Selesaikan bentuk aljabar berikut !
a.
dikurangi dengan
b.
1
dikurangkan dari 1
1
2. Paman memiliki kolam ikan berbentuk persegi panjang dengan panjang
dan lebarnya
. Hitunglah luas dari kolam ikan tersebut dalam !
Soal Selanjutnya..........
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
28
1
Modul Matematika SMP
KB 2 ~ Operasi hitung bentuk aljabar
3. Untuk melatih ketrampilanmu dalam pembagian bentuk aljabar, hitunglah
1 :
dengan mengubahnya menjai bentuk seperti berikut.
1
4. Tentukan hasil perpangkatan suku satu berikut!
a.
b.
5. Dengan memanfaatkan segitiga pascal, tentukan hasil perpangkatan dari
a.
b.
GREAT.....!!!
Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 2
Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut!
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap sikap
dan belajarmu? Tuliskan komentarmu di bawah ini!
Komentar :
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
29
1
Modul Matematika SMP
2013
Kegiatan Belajar
3
A
Kompetensi Dasar
Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan
pecahan
Tujuan
Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya
Indikator
1. Peserta didik dapat melakukan pemfaktoran bentuk aljabar
dengan sifat distributif
2. Peserta didik dapat menentukan faktor-faktor bentuk aljabar
dengan faktorisasi selisih dua kuadrat
3. Peserta didik dapat melakukan pemfaktoran bentuk
πππ + ππ + π dengan π = π dan πππ + ππ + π dengan π β π
Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 3
1. Awali belajarmu dengan doa
2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 3 secara
runtut halaman per halaman
3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar
4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu
5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah
komentarmu pada tempat yang disediakan
6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 3 sesuai aturan yang
ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan
7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 3 secara mandiri untuk
mengukur kemampuanmu memahami Faktorisasi Bentuk Aljabar
8. Akhiri belajarmu dengan doa
L
J
A
B
A
R
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Ilustrasi
Bu Ana memiliki kebun berbentuk persegi
panjang dengan luas
. Sore itu Bu Ana
sedang berkebun bersama putranya, Toni.
Kemudian ia meminta Toni untuk menghitung
panjang dan lebar dari kebun tersabut dalam .
Ayo bantu Toni melakukan tugas dari ibunya!
Permasalahan di atas adalah salah satu
contoh masalah yang berkaitan dengan
Faktorisasi Suku Aljabar. Agar kamu dapat
membantu Toni mari pelajari dahulu uraian
materi berikut!
Gambar 3.1 : Berkebun
Sebelum mempelajari materi faktorisasi bentuk aljabar, terlebih dahulu kamu perlu
mengingat kembali perbedaan antara faktor dengan suku.
dan merupakan suku
dan merupakan faktor
Dari pertanyaan di samping, tulislah jawabanmu dibawah ini!
Jawab : ___________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Bagaimana, apakah kamu sudah dapat membedakan antara faktor dengan suku?
Selanjutnya kamu akan mempelajari beberapa macam faktorisasi pada bentuk aljabar,
untuk itu pelajari dengan sungguh-sungguh uraian berikut.
3.1 Faktorisasi dengan sifat distributif
Masih ingatkah kamu dengan sifat distributif?
Ayo pahami kembali untuk digunakan dalam
faktorisasi bentuk aljabar. Perhatikan contoh
berikut!
Contoh :
Faktorkan bentuk aljabar
Penyelesaian :
ο· Carilah FPB dari
Faktor dari
Faktor dari
FPB dari
π₯
π₯ adalah perkalian faktor
yang sama yang memiliki pangkat terkecil, yaitu
π₯
π₯
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
31
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
ο· Bagilah setiap suku bentuk aljbar tersebut dengan dengan FPB yang kamu peroleh
ππππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ(ππ
diperoleh faktor dari
adalah
Sehingga, pemfaktoran bentuk
Jadi,
(
)
π
π)
(
adalah
)
(
)
Dari contoh di atas, nampak bahwa bentuk penjumlahan bisa dinyatakan dalam
bentuk perkalian faktor-faktornya, proses inilah yang disebut dengan Faktorisasi atau
Pemfaktoran bentuk aljabar. Secara umum dinyatakan seperti berikut.
ππ
ππ
Bagaimana dengan
bentuk ππ ππ ???
β¦ (β¦
β¦)
Contoh :
Faktorkan bentuk aljabar
Penyelesaian :
ο· Carilah FPB dari
Faktor dari
β¦
Faktor dari
β¦
( )
FPB dari π₯ π¦
π₯π¦ adalah
perkalian faktor yang sama yang
memiliki pangkat terkecil, yaitu
π₯ π¦
β¦
β¦
ο· Bagilah setiap suku bentuk aljbar tersebut dengan dengan FPB yang kamu peroleh
ππππ π
β¦
ππππ
β¦
β¦
β¦( β¦
β¦
β¦ )
Jika jawaban kamu benar, diperoleh faktor dari
adalah
(
Sehingga pemfaktoran bentuk
adalah
(
)
Jadi,
(
). Secara umum dinyatakan seperti berikut.
ππ
ππ
β¦ (β¦
)
β¦)
Sudahkah kamu memahami dan melengkapi contoh di atas? Jika sudah, bagus! Kamu
bisa melanjutkan bentuk faktorisasi selanjutnya. Jika belum, ulangi kembali untuk
mempelajarinya.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
32
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
3.2 Faktorisasi selisih dua kuadrat
Coba kamu kalikan bentuk aljabar berikut!
(
)(
)
β¦
β¦
β¦
β¦
β¦
Bentuk aljabar yang kamu peroleh disebut bentuk selisih dua kuadrat karena terdiri dari
dari dua suku yang masing-masing merupakan bentuk kuadrat dan dihubungkan dengan
tanda pengurangan (selisih). Dengan demikian (
)(
) merupakan faktor dari
. Sehingga rumus faktorisasi selisih dua kuadrat bisa ditulis sebagai berikut.
ππ
ππ
(β¦
β¦ )(β¦
β¦)
Kamu belum paham? Baiklah, untuk lebih jelasnya pahami beberapa contoh berikut.
Contoh :
Dengan memanfaatkan rumus faktorisasi selisih dua kuadrat di atas, faktorkan bentuk
aljabar berikut
1.
2.
3.
Penyelesaian :
1.
(4 diubah ke bentuk kuadrat menjadi
(
)(
)
)
2.
(4 dan 36 diubah ke bentuk kuadrat menjadi
(
(
)(
(
((
(
3.
)
)
)
)
)
)
)(
(faktorisasi dengan sifat distributif)
(4 diubah ke bentuk kuadrat menjadi
)
)
Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami materi pemfaktoran
bentuk aljabar dengan sifat distributif dan selisih dua kuadra , untuk itu lengkapi βrefleksiβ
berikut!
Lengkapilah refleksi berikut!!!
R
E
F
L
E
K
S
I
Setelah saya mempelajari contoh di atas, yang dapat saya pahami dari
faktorisasi dengan sifat distributif dan faktorisasi selisih dua kuadrat adalah
Pada faktorisasi dengan sifat distributif yang dilakukan pertama kali adalah
menentukan ........................ dari bentuk aljabar tersebut. Sedangkan faktorisasi
selisih dua kuadrat dapat dilakukan pada bentuk aljabar yang kedua sukunya
merupakan ................................................................................ dan kedua suku tersebut
dipisahkan oleh ................................................................................
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
33
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Mungkin kamu sudah sedikit lelah, untuk itu silahkan istirahat sejenak dengan meresapi
motivasi berikut.
Ayo istirahat sejenak......................!!!!
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu
dibawah ini!
Komentar :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Apakah kamu sudah semangat kemabali? Ayo lanjutkan petualang belajarmu! Bentuk
faktorisasi yang akan kamu pelajari selanjutnya lebih kompleks dari sebelumnya, untuk
itu juga diperlukan keseriusan yang lebih dari sebelumnya.
3.3 Faktorisasi bentuk
Pada bentuk
dimana
dan
, adalah koefisien dari ,
adalah koefisien dari , dan adalah konstanta. Untuk menentukan nilai
dari
bentuk
, perhatikan contoh berikut.
a.
, dan
b.
, dan
c.
,
d.
,
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
34
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Setelah kamu memahami bagaimana menentukan nilai
mempelajari cara menentukan faktor-faktor bentuk
, untuk itu pelajari baik-baik uraian berikut.
3.3.1 Faktorisasi bentuk
dengan
Untuk memahami faktorisasi bentuk
dibawah ini.
, dan selanjutnya mari
dimana
dan
, Perhatikan uraian
Contoh :
1. Faktorkanlah bentuk aljabar
(
)
Penyelesaian :
Langkah-langkah untuk memfaktorkan bentuk
berikut.
ο· Daftar semua kemungkinan faktor dari , pada soal
kemungkinan faktor dari 8.
Faktor dari 8
1
8
2
4
-1
-8
-2
-4
adalah sebagai
maka daftar semua
Jumlah
9
6
-9
-6
ο· Tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan , pada soal
maka
tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan 6. Dari tabel di atas terlihat
bahwa pasangan bilangan yang berjumlah 6 adalah 2 dan 4
ο· Maka faktor dari
(
(
2. Faktorkanlah bentuk aljabar
)(
)(
)
Sifat komutatif perkalian
)
(
)
Penyelesaian :
ο· Karena
, maka daftar semua kemungkinan faktor dari 36
Faktor dari 36
1
36
2
18
3
12
4
9
6
6
-1
-36
-2
-18
-3
-12
-4
-9
-6
-6
Jumlah
37
20
15
13
12
-37
-20
-15
-13
-12
ο· Karena
, maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan
. Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah
adalah
dan
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
35
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
ο· Maka faktor dari
(
(
3. Faktorkanlah bentuk aljabar
)(
)(
)
)
Sifat komutatif perkalian
(
)
Penyelesaian :
ο· Karena
, maka daftar semua kemungkinan faktor dari
Faktor dari -21
1
-21
3
-7
-1
21
-3
7
Jumlah
-20
-4
20
4
ο· Karena
, maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan 4. Dari
tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah adalah
dan
ο· Maka faktor dari
(
(
4. Faktorkanlah bentuk aljabar
)(
)(
)
)
Sifat komutatif perkalian
(
)
Penyelesaian :
ο· Karena
, maka daftar semua kemungkinan faktor dari
Faktor dari -16
1
-16
2
-8
-1
16
-2
8
Jumlah
-15
-6
15
6
ο· Karena
, maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan
. Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah
adalah
dan
ο· Maka faktor dari
(
(
)(
)(
)
)
Sifat komutatif perkalian
5. Faktorkanlah bentuk aljabar
Sekilas bentuk aljabar tersebut beda dari contoh sebelumnya, tetapi pada dasarnya soal
tersebut tetap dapat diselesaikan dengan mengikuti langkah-langkah faktorisasi bentuk
seperti contoh 1 s.d 4.
Penyelesaian :
Ada dua cara untuk menyelesaikan contoh tersebut, yaitu sebagai berikut
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
36
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Cara 1: (variabel induknya adalah
Diketahui
ο· Karena
)
, maka daftar semua kemungkinan faktor dari
Jumlah
Faktor dari
Koefisien 1 pada
bentuk aljabar tidak ditulis.
Contoh : π₯ dapat ditulis π₯
ο· Karena
, maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama dengan
.
Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang berjumlah
adalah
dan
ο· Maka faktor dari
(
(
)(
)(
)
)
Sifat komutatif perkalian
Cara 2: (variabel induknya adalah )
Karena variabel induknya
maka bentuk
, sehingga diketahui
bisa diubah menjadi
Dari bentuk tersebut diketahui bahwa
, yaitu
belum bisa diselesaikan karena penyelesaian bentuk
dipelajari pada pembahasan selanjutnya.
, sehingga untuk cara 2 ini
dengan
akan
Setelah mempelajari beberapa contoh di atas, apakah kamu sudah pahami? Jika
dimisalkan dua bilangan yang ditentukan itu adalah
, maka secara umum rumus
faktorisasi bentuk
dengan
adalah sebagai berikut
π
πππ
ππ
π
π
π
(π
π
π
π)(π
π)
π
Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami dan membedakan
langkah-langkah untuk memfaktorkan bentuk aljabar
, untuk
itu lengkapi βrefleksiβ berikut!
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
37
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Lengkapilah refleksi berikut!!!
Setelah saya mempelajari contoh di atas, ternyata untuk memfaktorkan
bentuk aljabar ππ₯
ππ₯ π
π
, langkah yang saya lakukan adalah
ο· Menentukan dua bilangan, misal π
π dengan syarat π π
β¦ dan
π π
β¦
R
E
F
L
E
K
S
I
ο· Jika soal berbentuk πππ ππ π
π π (lihat contoh 1)
Dimana π πππ π bertanda ................................, maka dua bilangan yang
ditentukan (π
π) adalah bertanda .............................
ο· Jika soal berbentuk πππ ππ π
π π (lihat contoh 2)
Dimana π bertanda ................................
π bertanda ............................., maka
dua bilangan yang ditentukan (π
π)adalah bertanda .................................
ο· Jika soal berbentuk πππ ππ π
u πππ ππ π
π π (lihat
contoh 3 dan 4)
Dimana π bertanda .............................., maka kemungkinan dua bilangan yang
ditentukan adalah π
β¦
u β¦
π
Diantara π
π bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan
π, sedangkan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya.
Terapkan apa yang sudah kamu pahami
Faktorkanlah bentuk π
π
Penyelesaian :
Karena soal berbentuk πππ ππ π
π π ,maka langkah yang harus
saya lakukan adalah
1. Menentukan dua bilangan, dengan syarat jika dikalikan hasilnya .......... jika
dijumlahkan hasilnya ..........., maka bilangan itu adalah 6 dan .......
2. Karena π
(bertanda ..............................), maka kemungkinan dua
bilangan itu adalah β¦ dan
atau
dan ...
Diantara 6 dan 3 yang bernilai lebih besar adalah ....., maka ..... bertanda
sama denagn π yaitu negatif. Akhirnya diperoleh dua angka yang dicari
adalah β¦... dan 3
Jika pengisianmu benar, faktor dari π
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
π
(π
38
1
)(π
)
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
3.3.2 Faktorisasi bentuk
dengan
dimana
dan
Tentunya kamu telah mempelajari perkalian suku dua dengan suku dua, untuk itu
perhatikan kembali perkalian berikut.
(
)(
)
(
)
(
)
Dari perkalian di atas jelas bahwa
merupakan hasil kali faktor)(
). Lalu bagaimana jika soal dibalik, kamu diminta untuk
faktornya yaitu (
mencari faktor dari
. Tentunya kamu juga harus membalik proses perkalian
di atas, untuk itu perhatikan contoh berikut.
Contoh :
1. Faktorkanlah bentuk aljabar
Penyelesaian :
Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara :
Kalikan
, tentukan faktor-faktornya
Faktor dari
Jumlah
1
2
3
4
6
48
24
16
12
8
49
26
18
16
14
Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan .
Maka dua bilangan itu adalah 4 dan 12, dengan demikian bisa diuraikan menjadi
,
diperoleh :
(
)
)
(
(
(
)(
Sehingga, faktor dari
Jadi,
(
(
)
)
)
(pemfaktoran dengan sifat distributif)
adalah (
)
)(
)(
)
2. Faktorkanlah bentuk aljabar 4
Penyelesaian :
Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara :
Kalikan
, tentukan faktor-faktornya
Faktor dari
Jumlah
1
2
4
8
64
32
16
8
65
34
20
16
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
39
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
-1
-2
-4
-8
-64
-32
-16
-8
-35
-34
-20
-16
Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan .
Maka dua bilangan itu adalah
dan
, dengan demikian bisa diuraikan menjadi
(
)
, diperoleh :
(
(
(
)
)
)(
(
Sehingga, faktor dari
Jadi,
)
(
(
))
(
)
(
)
(
)(
(
)
(pemfaktoran dengan sifat distributif)
)
INGAT!
adalah (
)
)(
)
3. Faktorkanlah bentuk aljabar 5
Penyelesaian :
Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara :
Kalikan
, tentukan faktor-faktornya
Faktor dari
1
2
5
-1
-2
-5
Jumlah
-50
-25
-10
50
25
10
-49
-23
-5
49
23
5
Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan .
Maka dua bilangan itu adalah
dan 25, dengan demikian bisa diuraikan menjadi
, diperoleh :
(
(
)
(
Sehingga, faktor dari
Jadi,
)
)(
(
)(
(
(
)
)
)
(pemfaktoran dengan sifat distributif)
adalah (
)
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
)(
)
40
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
4. Faktorkanlah bentuk aljabar 2
Penyelesaian :
Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara :
Kalikan
, tentukan faktor-faktornya
Faktor dari
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Jumlah
-24
-12
-8
-6
24
12
8
6
-23
-10
-5
-2
23
10
5
2
Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan .
Maka dua bilangan itu adalah
dan
, dengan demikian
bisa diuraikan menjadi
( ), diperoleh :
2
(
(
)
(
(
(
)
)
)
)
((
(
)
)(
)
(
(
))
(pemfaktoran dengan sifat distributif)
)
INGAT!
Sehingga, faktor dari 2
Jadi, 2
(
)(
adalah (
)
)(
)
5. Faktorkanlah bentuk aljabar
Sekilas bentuk aljabar tersebut beda dari contoh sebelumnya, tetapi pada dasarnya soal
tersebut tetap dapat diselesaikan dengan mengikuti langkah-langkah faktorisasi bentuk
seperti contoh 1 s.d 4.
Penyelesaian :
Ada dua cara untuk menyelesaikan contoh tersebut, yaitu sebagai berikut
Cara 1: (variabel induknya adalah )
Lihat penjelasan faktorisasi bentuk
nomor 5
pada penyelesaian soal
Cara 2: (variabel induknya adalah )
Karena variabel induknya
maka bentuk
, sehingga diketahui
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
bisa diubah menjadi
41
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi dua bilangan dengan cara :
Kalikan
, tentukan faktor-faktornya
Faktor dari
Jumlah
Koefisien 1 pada
bentuk
aljabar
tidak
ditulis.
Contoh : π₯ dapat ditulis π₯
Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan .
Maka dua bilangan itu adalah
dan
, dengan demikian bisa diuraikan menjadi
(
), diperoleh :
(
(
)
(
(
(
Sehingga, faktor dari
Jadi,
)
)
)
)
(
(
))
(
)
)(
(
)
((
(pemfaktoran dengan sifat distributif)
)
adalah (
)
)(
)(
)
Setelah mempelajari beberapa contoh di atas, apakah kamu sudah pahami? Jika
dimisalkan dua bilangan yang ditentukan itu adalah
, maka secara umum
penjabaran faktorisasi bentuk
dengan
adalah sebagai
berikut
π
πππ
π
π
ππ
π
πππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
ππ
π
π
Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami dan membedakan
langkah-langkah untuk memfaktorkan bentuk aljabar
, untuk itu lengkapi βrefleksiβ berikut!
Lengkapilah refleksi berikut!!!
R
E
F
L
E
K
S
I
Setelah saya mempelajari contoh di atas, ternyata untuk memfaktorkan
bentuk aljabar ππ₯
ππ₯ π
π
πππ π
, langkah yang saya
lakukan adalah
ο· Menentukan dua bilangan, misal π
π dengan syarat π π
β¦ β¦
dan π π
β¦
SELANJUTANYA........
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
42
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Lengkapilah refleksi berikut!!!
LANJUTAN REFLEKSI SEBELUMNYA!!
R
E
F
L
E
K
S
I
ο· Jika soal berbentuk πππ ππ π
π π π
ππ π π (lihat
contoh 1)
Dimana π πππ π bertanda ..........................., maka dua bilangan yang
ditentukan (π
π) adalah bertanda .........................
ο· Jika soal berbentuk πππ ππ π
π π π
ππ π π (lihat
contoh 2)
Dimana π bertanda .............................
π bertanda ..........................., maka
dua bilangan yang ditentukan (π
π)adalah bertanda .................................
ο· Jika soal berbentuk πππ ππ π
u πππ ππ π
π
π π
ππ π π (lihat contoh 3 dan 4)
Dimana π bertanda ............................, maka kemungkinan dua bilangan yang
ditentukan adalah π
β¦
u β¦
π
Diantara π
π bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama
dengan π, sedangkan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya.
Terapkan apa yang sudah kamu pahami
Faktorkanlah bentuk π¦
π¦
Penyelesaian :
Karena soal berbentuk πππ ππ π
π π π
ππ π π ,maka
langkah yang harus saya lakukan adalah
1. Menentukan dua bilangan π
π, dengan syarat π π π π dan
π π π, maka bilangan itu adalah 2 dan .....
3. Karena π
(bertanda .........................), maka kemungkinan dua bilangan
itu adalah β¦ dan
atau
dan ...
Diantara 2 dan 9 yang bernilai lebih besar adalah ....., maka ..... bertanda
sama denagn π yaitu positif. Akhirnya diperoleh dua angka yang dicari
adalah 9 dan .....
Jika pengisianmu benar, diperoleh
π¦
π¦
π¦
π¦ ( π¦)
( π¦
π¦) ( π¦
)
) ( (π¦
))
π¦(π¦
)
π¦(π¦
(π¦
)
( π¦
)(π¦
)
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
43
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Pada bentuk πππ
bagaimana jika π
π π
ππ π
π atau
Kamu telah mempelajari faktorisasi
dengan
maupun
dan
. Mungkin
kamu juga akan bertanya-tanya bagaiman jika
atau
? Untuk menjawabnya, silahkan pahami
contoh berikut.
Contoh :
1. Faktorkanlah bentuk aljabar
Penyelesaian :
adalah salah satu contoh bentuk aljabar dengan
. Dimana kasus
merupakan kasus khusus. Karena ketika
, bentuk aljabar yang dapat difaktorkan
hanya bentuk aljabar yang kedua sukunya merupakan bentuk kuadrat dan dipisahkan
oleh operasi pengurangan.
Masih ingat penyelesaian bentuk aljabar yang kedua sukunya merupakan bentuk kuadrat
dan dipisahkan oleh operasi pengurangan? Faktorisasi selisih dua kuadrat. Kamu benar,
bentuk
dapat diselesaikan dengan faktorisasi selisih dua kuadrat seperti pada
penjelasan sebelumnya pada poin 3.2. Kamu dipersilahkan untuk menyelesaikan sendiri
contoh tersebut dengan menggunakan faktorisasi selisih dua kuadrat. Kerjakan di bawah
ini.
β¦
β¦
(β¦
β¦ )( β¦
β¦)
Jadi faktor dari
adalah ( β¦
β¦ )( β¦
β¦)
Bagaiman dengan bentuk aljabar yang salah satunya bukan bentuk kuadrat dan tidak
dipisahkan oleh operasi pengurangan? Misal
. Untuk bentuk seperti tersebut tidak
akan kamu pelajari pada modul ini, tetapi akan dipelajari materi selanjutnya.
2. Faktorkan bentuk aljabar
Penyelesaian :
adalah salah satu contoh bentuk aljabar dengan
. Untuk kasus
dapat
kamu selesaikan menggunakan faktorisasi dengan sifat distributif pada poin 3.1 pada
penjelasan sebelumnya. Kamu juga dipersilahkan untuk menyelesaikannya sendiri dengan
diperbolehkan untuk melihat kembali materi faktorisasi dengan sifat distributif. Kerjakan
di bawah ini.
β¦( β¦
β¦)
Jadi faktor dari
adalah β¦ ( β¦
β¦)
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
44
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Bagaimana, sudahkah kamu memahami faktorisasi bentuk aljabar pada kegiatan
belajar kali ini? Jika belum memahami, ulangi lagi pada bagian yang sulit. Jika sudah
paham, silahkan kamu kerjakan proyek di bawah ini.
Proyek
Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!!
1
Setelah mempelajari faktorisasi suku aljabar, tentu kamu telah pandai
untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi tersebut.
Untuk itu, bersama dengan teman dekatmu baca kembali ilustrasi yang ada
di awal materi ini. Selesaikan masalah yang ada pada ilustrasi tersebut.
Tulislah hasilnya dibawah ini.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Jika ada yang belum kamu pahami tentang faktorisasi bentuk aljabar,
ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan
dan pemahamanmu!!
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
45
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 3 ini, kerjakan Evaluasi KB 3
nomor 1 s.d 4 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan
kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu
dengan rumus berikut
Jika skor yang kamu peroleh
, CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami
Kegiatan Belajar 3, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 3. Jika skor yang
kamu peroleh
, kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 4 ini lebih
cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba
kembali mengerjakan Evaluasi KB 3 di bawah ini.
Evaluasi KB 3
Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang faktorisasi bentuk
aljabar, kerjakan soal berikut!
1. Dengan menentukan faktor sekutunya, faktorkan bentuk aljabar berikut
a.
b.
2. Temukan faktor-faktor dari
a.
b.
3. Tentukan pemfaktoran dari bentuk aljabar berikut
a.
b.
4. Faktorkanlah bentuk Aljabar berikut
a.
b.
GREAT.....!!!
Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 3
Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut!
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
46
1
Modul Matematika SMP
KB 3 ~ Faktorisasi bentuk aljabar
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu
dibawah ini!
Komentar :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
47
1
Modul Matematika SMP
2013
Kegiatan Belajar
4
A
Kompetensi Dasar
Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan
pecahan
Tujuan
1. Menyelesaikan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan,
perkalian, pembagian, dan pemangkatan) pecahan bentuk aljabar
2. Menyederhanakan pecahan aljabar
Indikator
1. Peserta didik dapat melakukan operasi hitung penjumlahan,
pengurangan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut sama
dan dengan penyebut berbeda
2. Peserta didik dapat melakukan operasi hitung perkalian dan
pembagian pecahan bentuk aljabar
3. Peserta didik dapat melakukan operasi hitung perpangkatan
pecahan bentuk aljabar
4. Peserta didik dapat menyederhanakan bentuk aljabar
Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 4
1. Awali belajarmu dengan doa
2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 4 secara
runtut halaman per halaman
3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar
4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu
5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah
komentarmu pada tempat yang disediakan
6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 4 sesuai aturan yang
ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan
7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 4 secara mandiri untuk
mengukur kemampuanmu memahami Pecahan Bentuk Aljabar
8. Akhiri belajarmu dengan doa
L
J
A
B
A
R
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
Pada Kegiatan Belajar 2 Kamu telah mempelajari materi operasi bentuk aljabar, kali
ini kamu akan bereksplorasi untuk mempelajari operasi pecahan bentuk aljabar. Dimana
pada prinsipnya operasi pecahan bentuk aljabar sama dengan operasi pecahan biasa.
Tentu kamu ingat bahwa bilangan pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk
perbandingan antara pembilang dan penyebut. Jika dimisalkan
dan
adalah suatu
bentuk aljabar, maka pecahan bentuk aljabar dapat dinyatakan sebagai berikut
π
π
Pembilang
Penyebut, π β π
perhatikan contoh pecahan bentuk aljabar berikut
Dari contoh pecahan bentuk aljabar di samping,
2
Pembilang
π₯2
merupakan
pembilang
dan
merupakan
penyebut.
Penyebut
π₯
4.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar
Masih ingatkah kamu bagaimana suatu
bentuk pecahan dapat dioperasikan?
Bagaimana
jika
penyebutnya
sama?
Bagaimana pula jika penyebutnya tidak
sama? Untuk mengingatnya kerjakan βAyo
Mengingatβ di samping!
Setelah
sukses
mengerjakan
βAyo
Mengingatβ,
saatnya
mempelajari
penjumlahan dan pengurangan pecahan
bentuk aljabar, silahkan kamu pahami dan
analisis contoh berikut.
Selesaikanlah!
1.
2.
3.
9
2
5
3
5
1
4
7
2
5
9
6
4.
5.
8
7
13
2
13
3
9
8
4.1.1 Pecahan bentuk aljabar dengan penyebut sama
Contoh :
Selesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut!
3
5
1.
π₯;2
π₯;2
INGAT!
Γ =
Γ =
Γ =
Γ =
Penyelesaian :
3
5
8
=
π₯
π₯
π₯
2.
π₯:5
π₯;2
π₯;1
π₯;1
Penyelesaian :
π₯ 5 π₯
π₯
=
π₯ 1 π₯ 1
π₯
=
=
=
5
π₯
5
π₯
π₯
π₯
π₯
(π₯
1
π₯
1
5
1
)
Suku sejenis adalah suku dengan
variabel dan pangkat variabel yang sama
Suku sejenis dikelompokkan dan dioperasikan
7
π₯
1
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
49
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
3.
3π₯:5
π₯:7
π₯ 2 ;9
π₯ 2 ;9
Penyelesaian :
3π₯ 5 π₯ 7
3π₯ 5
=
2
2
π₯
9 π₯
9
π₯2
3π₯ π₯
=
π₯2
π₯ 1
= 2
π₯
9
4.
π₯ 2 :3π₯:2
3π₯:3
3π₯ 2 :π₯;2
3π₯ 2 :π₯;2
Penyelesaian :
π₯ 2 3π₯
3π₯ 3
2
3π₯
π₯
3π₯ 2 π₯
π₯
9
5
9
7
Suku sejenis dikelompokkan dan dioperasikan
7
INGAT!
Γ =
Γ =
Γ =
Γ =
=
=
=
=
π₯2
π₯
3π₯
3π₯ 2
2
3π₯
3π₯ 2
π₯2
(3π₯
π₯
3π₯
3π₯ 2
3
π₯
3π₯ 3π₯
3π₯ 2 π₯
π₯2
3)
Suku sejenis dikelompokkan
dan dioperasikan
3
1
π₯
Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali
uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum penjumlahan dan
pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut.
Berdasarkan uraian contoh di atas, penjumlahan dan pengurangan pecahan
bentuk aljabar dengan penyebut sama dilakukan dengan menjumlahkan
pembilang dari pecahan tersebut , secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
π
π
π β¦
β¦
=
,π β π
π
β¦
π
π
π β¦
β¦
=
,π β π
π
β¦
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
50
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
4.1.2 Pecahan bentuk aljabar dengan penyebut berbeda
Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya bisa dilakukan jika memiliki
penyebut yang sama. Lalu bagaimana jika penyebut pecahan tersebut berbeda? Apa yang
harus kamu lakukan? Untuk menjawabnya, mari mengingat kembali identitas perkalian
yang pernah kamu pelajari.
Untuk setiap π β β, maka berlaku:
47
πΓπ =πΓπ=π
Sehingga, 1 disebut sebagai elemen identitas perkalian
πΓ
Sehingga,
π
π
π π
π
= Γπ = = π
π π
π
disebut sebagai elemen invers perkalian
Elemen identitas perkalian tersebut akan digunakan pada penjumlahan dan
pengurangan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut berbeda, tujuannya untuk
menyamakan penyebut pecahan bentuk aljabar tersebut. Langkah yang dilakukan adalah
dengan mengalikan pecahan bentuk aljabar tersebut dengan suatu pecahan yang bernilai
sama dengan 1 (penyebut dan pembilang bernilai sama) untuk mendapatkan KPK dari
penyebut pecahan bentuk aljabar yang dimaksud. Supaya lebih memahami, pelajari
contoh berikut
Contoh :
Hitunglah penjumlahan dari
3
7
5
2
Soal tersebut memiliki penyebut yang berbeda, yaitu 7 dan
sehingga harus
disamakan terlebih dahulu dengan cara mengalikan pecahan bentuk aljabar tersebut
dengan suatu pecahan yang bernilai sama dengan 1 (pembilang dan penyebut bernilai
sama) untuk mendapatkan KPK dari 7 dan , maka diperoleh :
3
7
5
3
π₯
=
Γ
π₯
7
π₯
π₯
35
=
1 π₯ 1 π₯
π₯ 35
=
1 π₯
5 7
Γ
π₯ 7
ππ
π
= 1 dan = 1,
sehingga tidak merubah
ππ
π
nilai dari soal tersebut
Aturan penjumlahan dengan penyebut sama
Bagaimana, apakah kamu memahami konsep dari penjumlahan dan pengurangan pecahan
bentuk aljabar dengan penyebut berbeda pada uraian di atas, untuk lebih memahaminya,
pelajari uraian contoh berikut.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
51
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
Contoh :
Selesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut!
3
4
1.
π₯:1
π₯
Penyelesaian :
3
π₯
1
π₯
=
=
=
3
π₯
1
π₯
π₯
3π₯
π₯2
3π₯
π¦;6
π¦:4
9
π¦
π₯
π₯
π₯2
π₯
Γ
π₯
π₯
Disamakan penyebutnya, maka KPK dari
π π dan π adalah (π π) Γ π = ππ π
1
1
Aturan pecahan bentuk aljabar dengan penyabut
sama
π₯
π₯
π₯2
7π₯
= 2
π₯
2.
Γ
π₯
Suku sejenis pada pembilang dioperasikan
π₯
Penyelesaian :
π¦
π¦
9
π¦
=
=
=
=
=
3.
5
2
π4 π
π3 π2 π
π¦
9
π¦2
Γ
π¦
π¦
π¦
π¦
Γ
π¦
9π¦
9π¦
9
9
Disamakan penyebutnya, maka KPK
dari π dan π adalah π Γ π = ππ
3
9π¦
π¦2
π¦
(9π¦
9π¦
π¦2
π¦
9π¦
3 )
3
Aturan pecahan bentuk aljabar dengan
penyebut sama
Suku sejenis pada pembilang dioperasikan
9π¦
π¦2
15π¦
9π¦
3
Penyelesaian :
5
5
ππ
π
Disamakan penyebutnya, maka KPK dari
= 4 Γ
Γ
4
3
2
3
2
π π π π π π π ππ π π π π
ππ π dan ππ ππ π adalah ππ ππ π
5ππ
π
= 4 2
4
Aturan pecahan bentuk aljabar dengan penyebut
π π π π π2π
sama
5ππ
π
=
π4 π 2 π
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
52
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
4.
2π
π:3
π;1
π2 ;1
Penyelesaian :
π
π
1
π
π2
3
π
=
1 π 1
=
(π
π
(π
π 1
1)(π
1)
Γ
(π
(π
1)
1)
1)
(π
2
=
π
π
(π 1)(π 1)
=
π2
(π
=
π2
(π
=
(π
π 1
1)(π
π 1
1)(π
Disamakan
penyebutnya,
ππ
(π:π)
sehingga
Γ
1)
(π;π)
π
1)(π
(π:π)
Aturan pecahan bentuk aljabar
dengan penyebut sama
1)
π (π 1)
1)(π 1)
Suku sejenis pada pembilang dioperasikan
π π 1
1)(π 1)
π2
(π
Bentuk ππ π difaktorkan dengan
faktorisasi selisih kuadrat, diperoleh
(π π)(π π)
1
1)
Ayo berlatih
Tentukan hasil dari operasi pecahan bentuk aljabar berikut!
1.
π₯ 2 :3π₯;2
π₯ 2 ;2π₯:4
π₯ 2 ;4
π₯ 2 ;4
=
π₯ 2 :3π₯;2:π₯ 2 ;2π₯:4
=
=
2.
3π₯
9
2π₯;3
3;2π₯
=
3π₯
2π₯;3
Γ
π₯ 2 ;4
π₯ 2 : β¦ :3π₯; β¦ ;2: β¦
β¦
β¦ :β¦ :β¦:
β¦
3;2π₯
9
β¦ ; β¦
3;2π₯
β¦ ;6π₯ 2
= (2π₯;3)(
=
=
β¦; β¦ )
Γ
β¦ ; β¦
2π₯;3
18π₯; β¦
( β¦ ; β¦ )(3;2π₯)
;6π₯ 2 :9π₯: β¦; β¦
( β¦ ; β¦ )( β¦ ; β¦ )
;6π₯ 2 : β¦ ; β¦
( β¦ ; β¦ )( β¦ ; β¦ )
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
53
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali
uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum penjumlahan dan
pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut.
Berdasarkan uraian contoh di atas, penjumlahan dan pengurangan pecahan
bentuk aljabar dengan penyebut berbeda dilakukan dengan menyamakan
penyebut terlebibih dahulu kemudian dijumlahkan atau dikurangkan, secara
umum dapat ditulis sebagai berikut :
π
π
π
π
π π β¦
= Γ
π
π π
π π π
= Γ
π
π β¦
π π β¦
β¦
Γ =
, π π
ππ π
β π
π
β¦
ππ
π β¦ β¦
β¦
Γ =
, π π
ππ π
β π
π
π
ππ
4.2 Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar
Sebelum mempelajari perkalian dan
pecahan bentuk aljabar, ingat kembali materi
perkalian dan pembagian bentuk pecahan
dengan menyelesaikan βAyo Mengingatβ di
samping. Kerjakan dengan teliti, untuk
memudahkan kamu mempelajari perkalian
dan pembagian pecahan bentuk aljabar.
Setelah sukses mengerjakan βAyo
Mengingatβ, saatnya mempelajari perkalian
dan pembagian pecahan bentuk aljabar,
silahkan kamu pahami dan analisis contoh
berikut.
4.2.1 Perkalian pecahan bentuk aljabar
Selesaikanlah!
1.
2.
3.
1
2
3
4
7
9
Γ
4
3
2
4.
Γ3
5.
Γ6
6.
5
9
4
1
6
1
10
Γ·
7
5
3
Γ·8
8
Γ·5
Contoh :
Hitunglah perkalian pecahan bentuk aljabar berikut.
1.
6
5π
π
6Γπ
7
5πΓ7
Γ =
=
2.
3π¦ 2
π₯2
Γ
2π₯
9π¦
6π
35π
=
=
3π¦ 2 Γ2π₯
π₯ 2 Γ9π¦
6π₯π¦ 2
9π₯ 2 π¦
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
54
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
3.
π2
π;π
Γ
π2 ;π2
2ππ
=(
=
4.
π;5
;π:1
Γ
2π:3
π;4
π2 Γ( β¦ ; β¦ )
β¦ ; β¦ )Γ(2ππ)
π4 ; β¦
β¦ ;2ππ2
=
(π;5)Γ( β¦ : β¦ )
( β¦ : β¦ )Γ(π;4)
=
β¦ :3π; β¦ ;15
=
INGAT!
Γ =
Γ =
Γ =
Γ =
;π2 : β¦ :π ; β¦
β¦
Suku sejenis dioperasikan
β¦
Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali
uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum perkalian pecahan
bentuk aljabar berikut.
Berdasarkan uraian contoh di atas, perkalian pecahan bentuk aljabar adalah
perkalian pembilang dengan pembilang dibagi perkalian penyebut dengan
penyebut, secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
π π
β¦ Γβ¦
β¦
Γ =
= , π π
ππ π
β π
π π
β¦ Γβ¦
β¦
4.2.2 Pembagian pecahan bentuk aljabar
Contoh :
Hitunglah pembagian pecahan bentuk aljabar berikut.
1.
4π
3π
Γ·
2π
7π
=
4π
=
4πΓ7π
=
3π
Γ
7π
Mengikuti aturan perkalian pecahan bentuk aljabar
2π
3πΓ2π
28π2
6π2
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
55
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
2.
π₯:2
5
Γ·
π₯;10
4
=
π₯:2
=
=
3.
4
π
Γ·
2π:2π
π2 :ππ
π₯;1
π₯:1
Γ·
1:π₯
1;π₯
4
π₯;10
Mengikuti aturan
bentuk aljabar
(π₯:2)Γ4
perkalian
pecahan
5Γ(π₯;10)
4π₯:8
5π₯;10
4
π2 :ππ
π
2π:2π
= Γ
=
4.
5
Γ
4Γ( β¦ : β¦ )
πΓ( β¦ : β¦ )
=
β¦ : β¦
=
β¦
β¦ : β¦
Γ
β¦
(
β¦
)Γ(
β¦
)
(
β¦
)Γ(
β¦
)
β¦
=
=
=
=
β¦
β¦
β¦
β¦
Suku sejenis dikelompokkan
dan dioperasikan
β¦
β¦
β¦
Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali
uraian contoh di atas, setelah itu lengkapi penyajian secara umum pembagian pecahan
bentuk aljabar berikut.
Berdasarkan uraian contoh di atas, pembagian dua pecahan bentuk aljabar
adalah perkalian dari pecahan pertama dengan kebalikan dari pecahan kedua,
secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
π π π π
β¦ Γβ¦
β¦
Γ· = Γ =
= , π π
ππ π
β π
π π
π π
β¦ Γβ¦
β¦
Ayo istirahat sejenak......................!!!!!
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
56
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu
dibawah ini!
Komentar :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.3 Pemangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
Masih ingat dengan pemangkatan suatu
bilangan pecahan? Kerjakan βAyo Mengingat
disamping
untuk
menggali
kembali
pemahamanmu tentang pemangkatan bilangan
pecahan. Pemangkatan pecahan bentuk aljabar
pada dasarnya sama dengan pemangkatan
pecahan biasa. Definisi bilangan berpangkat
juga berlaku pada pemangkatan pecahan
bentuk aljabar. Untuk memahaminya, pelajari
uraian contoh berikut.
Selesaikanlah!
1 2
9 2
1. (2)
4. (4)
2. (4)
5. (6)
3 3
2 5
1 4
3. (5)
Contoh :
Selesaikanlah pemangkatan pecahan bentuk aljabar berikut.
2 3
23
8
1. ( ) = 3 = 3
Definisi bilangan berpangkat
2.
(
2
2
) =
(
)2
(2
)2
=
2 2
22 2 2
=
ππ = π Γ π Γ π Γ β¦ Γ π
2 2
4
ππππππππ π ππππππ
Dengan π bilangan asli
2 2
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
57
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
π₯;2 2
(
3.
π₯:3
(π₯;2)2
) = (π₯:3)2
(π₯:3)(π₯:3)
π₯ 2 ;2π₯;2π₯:4
=
π₯ 2 :3π₯:3π₯:9
(
4.
2ππ
π
π
(Lihat KB 2)
π₯ 2 ;4π₯:4
=
;3π2 π
Cara lain dengan memanfaatkan
(π π)π = ππ πππ ππ dan
(π π)π = ππ πππ ππ
Sehingga
(π π)π = ππ π. π. π ππ = ππ ππ
(π π)π = ππ π. π. π ππ = ππ ππ
(π₯;2)(π₯;2)
=
π₯ 2 :6π₯:9
4
) =
=
=
(;3π2 π)4
(2ππ)4
(ππ )π = ππ Γ ππ Γ β¦ Γ ππ = ππΓπ
ππππππππ π ππππππ
Dengan π πππ π bilangan bulat
(;3)4 π8 π4
24 π 4 π 4
81π8 π4
16π4 π4
=
81
=
81
16
16
π8;4 π4;4
π4
Untuk π β π dengan π, π¦, π§ bilangan
bulat, maka berlaku
ππ : ππ = ππ;π
Ayo berlatih
Tentukan hasil pemangkatan pemangkatan pecahan bentuk aljabar berikut.
2 2
β¦β¦
β¦
1. ( ) =
= 2 β¦
β¦
3
(3 )
3 β¦
2.
(
15
13 2
3
) =(
=
=
(15 )β¦
β¦
)3
153 β¦β¦
133 β¦β¦Γβ¦
β¦
153 β¦β¦
133 β¦β¦
β¦
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
58
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
3.
(
3 ;2
2
) =
2 ;10
=
=
=
(
3
2
;β¦ )
( β¦ ;10)2
( 3 ; β¦ )Γ( 3 ; β¦ )
ππ Γ ππ = ππ:π
dengan π β π ; π, π, π
ππ π πππππππ πππππ
( β¦ ;10)Γ( β¦ ;10)
6;
β¦ ;2 3 : β¦
β¦ ;20 ; β¦ :102
6;
Suku sejenis dioperasikan
β¦ : β¦
β¦ ; 40 :100
Sudahkah kamu memahaminya? Jika pemahaman kamu masih kurang, pahami kembali
uraian contoh di atas, setelah itu pahami penyajian secara umum pemangkatan pecahan
bentuk aljabar berikut.
Berdasarkan uraian contoh di atas, pemangkatan pecahan bentuk aljabar
dilakukan dengan memangkatkan pembilang dan penyebut dari pecahan
tersebut, secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
π Γ π Γ β¦Γ π
π π ππ
π ππππππ
( ) = π=
π
π
π ΓπΓβ¦Γπ
π ππππππ
4.4 Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Menyederhanakan suatu bilangan pecahan
berarti membagi pembilang dan penyebut dengan
faktor sekutu (faktor yang sama) dari keduanya,
dengan kata lain menyederhanakan bilangan
pecahan dapat dilakukan mencoret atau
menghilangkan faktor sekutunya. Sehingga
pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan
penyebut pecahan tersebut tidak lagi memiliki
faktor persekutuan, kecuali 1. Untuk mengingat
kembali menyederhanakan bilangan pecahan,
kerjakan βAyo Mengingatβ di samping. Setelah
selesai pelajari uraian berikut.
Sederhanakanlah!
1.
2.
3.
2
4.
4
8
12
5
5.
27
60
6
15
30
Contoh :
Selesaikan pecahan bentuk aljabar berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk yang
paling asederhana.
ππ π ππ dijabarkan dalam bentuk
(π₯;4)(π₯:3)
π₯ 2 ;π₯;12
faktor-faktornya
supaya
dapat
1.
=
disederhanakan, sehingga
π₯;4
π₯;4
π
π
=π₯
3
π
ππ = (π
π)(π
π)
(Lihat materi pemfaktoran KB 2)
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
59
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
2.
π§ 2 :3π§;10
2π§ 2 :11π§:5
(π§;2)(π§:5)
ππ ππ ππ dan πππ πππ π dijabarkan
dalam bentuk faktor-faktornya supaya dapat
disederhanakan, sehingga
ππ ππ ππ = (π π)(π π) dan
πππ πππ π = (π π)(ππ π)
= (π§:5)(2π§:1)
=
(π§;2)
(2π§:1)
(Lihat materi pemfaktoran KB 3)
3.
10π’π£ 2
3π₯π¦ 2
Γ
6π₯ 2 π¦ 2
5π’2 π£ 2
=
=
4.
π2 ;2ππ:π2
π2 ;1
Γ·
10π’π£ 2 Γ6π₯ 2 π¦ 2
Mengukuti
aturan
pecahan bentuka aljabar
3π₯π¦ 2 Γ5π’2 π£ 2
5π’π£ 2 (2)Γ3π₯π¦ 2 (2π₯)
Disederhanakan
dengan
menghilangkan faktor yang
sama
3π₯π¦ 2 Γ5π’π£ 2 (π’)
=
2Γ2π₯
=
4π₯
perkalian
π’
π;π
π;1
π’
π2 ;2ππ:π2
=
=
π2 ;1
Γ
π;1
π;π
Mengukuti
aturan
pembagian pecahan bentuk
aljabar
π2 ;2ππ:π2 Γπ;1
π2 ;1Γπ;π
ππ πππ ππ
dan ππ π
dijabarkan
dalam
bentuk
faktor-faktornya supaya dapat
disederhanakan,
sehingga
ππ πππ ππ = (π π)(π π)
dan ππ π = (π π)(π π)
(π;π)(π;π)(π;1)
= (π;1)(π:1)(π;π)
(π;π)
= (π:1)
(Lihat pemfaktoran KB 3)
1. Sederhanakan pecahan aljabar berikut.
6π₯ 2 π¦;2π₯π¦ 2
2π₯π¦( β¦ ; β¦ )
πππ π = π Γ π Γ ππ Γ π
4π₯π¦
=
=
2π₯π¦( β¦ )
( β¦ ;β¦ )
(β¦ )
ππππ = π Γ π Γ ππ
πππ = ππ Γ π Γ π
Sehingga FPB dari πππ π, ππππ , dan πππ adalah
perkalian faktor yang sama yang memiliki
pangkat terkecil, yaitu π Γ π Γ π = πππ
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
60
1
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
2. Selesaikan operasi pengrangan pecahan aljabar berikut dan nyatakan jawabanmu
dalam bentuk yang paling sederhana.
π₯ 2 :3π₯:2
3π₯:3
π₯ 2 ;2π₯:1
π₯ 2 ;2π₯:1
=
=
=
Dijabarkan dengan faktorisasi
bentuk
πππ ππ π, π β π
supaya dapat disederhanakan
β¦
=
=
(Lihat materi pemfaktoran KB 3)
;(3π₯:3)
π₯ 2 ;2π₯:1
Mengukuti
aturan
pembagian pecahan bentuk
aljabar
π₯ 2 : β¦ : β¦ ;3π₯; β¦
β¦
π₯ 2:
Suku sejenis dikelopmpokkan
dan dioperasikan
β¦ ;3π₯: β¦ ;3
β¦
π₯ 2 ;1
π₯ 2 ;2π₯:1
(π₯; β¦ )(π₯: β¦ )
Dijabarkan dengan faktorisasi bentuk
selisih
kuadrat
supaya
dapat
disederhanakan
(Lihat materi pemfaktoran KB 3)
(π₯; β¦ )(π₯; β¦ )
β¦
=
β¦
4.5 Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Pecahan Kompleks)
Bentuk Aljabar
Kamu tahu apa itu pecahan bersusun
bentuk aljabar? Yaitu, jika pembilang atau
penyebut, atau keduanya dari pecahan
bersusun tersebut adalah pecahan bentuk
Sederhanakanlah!
aljabar juga, maka disebut dengan pecahan
5 1
1 4
:
;
2 3
bersusun (pecahan kompleks) bentuk
4. 3 2
3. 4 21
aljabar.
;
1;
4 3
8
Menyederhanakan pecahan bersusun
5
5 3
:2
;
bentuk aljabar adalah mengubah pecahan
5. 25 21
4. 61 5
bersusun tersebut menjadi pecahan bentuk
:
:
9 3
3 3
aljabar yang sederhana, yaitu ketika
pembilang dan penyebut tidak memiliki faktor
yang sama, kecuali 1.
Untuk menyederhanakannya kamu membutuhkan semua konsep operasi hitung
pecahan bentuk aljabar yang sudah kamu pelajari sebelumnya. Tetapi sebelum itu,
kerjakan βAyo Mengingatβ di atas untuk memudahkan kamu mempelajari materi pecahan
bersusun. Jika sudah selesai pelajari uaraian berikut.
Contoh :
Sederhanakan pecahan bersusun berikut.
2
1.
5
;
3
6
: 2
=
2
3
( Γ ) ;( Γ )
2
5
6
Γ 2 : ( 2Γ
)
Disamakan penyebutnya dengan mengikuti
aturan penjumlahan dan pengurangan
pecahan bentuk aljabar
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
61
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
2π
=
5π2
π2 π
6π
:( 2 )
π π
2π;3π
ππ
5π2 :6π
π2 π
=
=
2π;3π
=
2π;3π
=
ππ
ππ
Γ·
Γ
π
5π2 :6π
π2 π
Mengikuti aturan
bentuk aljabar
π2 π
pembagian
pecahan
5π2 :6π
ππΓ(5π2 :6π)
=
(2π;3π)Γππ(π)
=
(2π;3π)Γπ
π¦
π¦
; π¦;2
2
π¦ ;4
1
1:
π¦:2
ππ π diubah menjadi ππ(π)
ππΓ(5π2 :6π)
(5π2 :6π)
2ππ;3π2
5π2 :6π
=
=
Disamakan penyebutnya,
π:π
π:π
(π¦:2)
=
Disamakan
penyebutnya,
π
π:π
sehingga
Γ
π;π
1
(1Γ(π¦:2)) :( π¦:2 )
π:π
π¦Γ(π¦:2)
((π¦;2)(π¦:2)) β ((π¦;2)(π¦:2))
(π¦:2)
1
((π¦:2)) :( π¦:2)
π¦
=
(π¦:2)
π¦
( (π¦;2)(π¦:2)) β (π¦;2Γ(π¦:2))
π¦
=
ππ π diubah ke bentuk faktorfaktornya menjadi (π π)(π π)
supaya
mudah
disamakan
penyebutnya
π¦
π¦
;
(π¦;2)(π¦:2) π¦;2
1
1:
π¦:2
π¦
sehingga π Γ
sama artinya dengan π Γ· π
π
(2π;3π)Γπ2 π
=
2.
3π
(ππ) ; (ππ)
π¦2 :2π¦
((π¦;2)(π¦:2)) β (π¦;2)(π¦:2)
(π¦:2)
1
((π¦:2)) :( π¦:2)
Mengikuti aturan penjumlahan
dan
pengurangan
pecahan
bentuk aljabar
π¦;(π¦2 :2π¦)
(π¦;2)(π¦:2)
π¦:2:1
(π¦:2)
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
62
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
Suku sejenis
dioeprasikan
=
π¦;π¦2 ;2π¦
(π¦;2)(π¦:2)
π¦:2:1
π¦:2
=
;π¦2 ;π¦
(π¦;2)(π¦:2)
π¦:3
π¦:2
INGAT!
Γ =
Γ =
Γ =
Γ =
π
;π¦ 2 ;π¦
= (π¦;2)(π¦:2) Γ·
π¦:3
;π¦ 2 ;π¦
(π¦;2)(π¦:2)
π¦:2
=
Γ
sama artinya
π
dengan π Γ· π
π¦:2
Mengikuti aturan pembagian
pecahan bentuk aljabar
π¦:3
(;π¦ 2 ;π¦)Γ(π¦:2)
Faktor yang sama dapat
disederhanakan dengan dicoret
= (π¦;2)(π¦:2)Γ(π¦:3)
=
=
=
;π¦ 2 ;π¦
(π¦;2)(π¦:3)
;π¦ 2 ;π¦
π¦ 2 :3π¦;2π¦;6
;π¦ 2 ;π¦
Suku sejenis dioeprasikan
π¦ 2 :π¦;6
Ayo berlatih
Sederhanakan pecahan bersusun bentuk aljabar berikut.
1 1
β
π₯ π¦
1
1
:
π₯2 π¦2
1
=
β¦
1
β¦β¬
Γ β¬
2
π₯
β¦
β¦
=
=
1
β¦
(π₯Γ β¦ ) β (π¦Γ β¦ )
:
1
β¦β¬
Γ β¬
2
π¦
β¦
Disamakan penyebutnya
β¦
(π₯π¦) ;( π₯π¦)
β¦
π₯2 π¦2
:
β¦ ; β¦
π₯π¦
β¬
β¦ : β¦
π₯2 π¦2
β¦
π₯2 π¦2
Mengikuti aturan penjumlahan
dan
pengurangan
pecahan
bentuk aljabar
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
63
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
=
=
=
β¦ ; β¦
β¦β¬ : β¦
Γ·
π₯π¦
β¦ ; β¦
Γ
π₯π¦
π₯ 2π¦2
π₯ 2π¦2
β¦β¬ : β¦
( β¦ ; β¦ )Γπ₯ 2 π¦ 2
π₯π¦Γ( β¦β¬ : β¦β¬ )
=
( β¦ ; β¦ )Γπ₯π¦( β¦ )
=
( β¦ ; β¦ )Γ( β¦ )
=
Mengikuti aturan pembagian
pecahan bentuk aljabar
π₯π¦Γ( β¦β¬ : β¦β¬ )
ππ dikeluarkan dari
ππ ππ sehingga
dapat dicoret dengan ππ pada
penyebut untuk disederhanakan
( β¦β¬ : β¦β¬ )
π₯π¦ 2 ;π₯ 2 π¦
π¦ 2 :π₯ 2
Berdasarkan uraian di atas, tentu kamu dapat memahami pecahan bentuk aljabar, untuk
itu lengkapi βrefleksiβ berikut!
Lengkapilah refleksi berikut!!!
R
E
F
L
E
K
S
I
Setelah saya mempelajari materi pecahan bentuk aljabar, yang dapat saya
pahami adalah bahwa,
penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar hanya bisa dilakukan
jika ..............................................................................................................................................
Perkalian pecahan bentuk aljabar adalah perkalian ................................................
dengan .......................................... dibagi perkalian ......................................... dengan
.................................................
Pembagian dua pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan
.............................................................. dengan kebalikan dari ................................................
Pemangkatan pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan ............................................
pembilang dan penyebut dari pecahan tersebut.
Pecahan bentuk aljabar dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebutnya
tidak memiliki ..............................................................................., kecuali .........
Pecahan bersusun bentuk aljabar adalah jika ................................................. atau
.................................................., atau keduanya dari pecahan bersusun tersebut
adalah ................................................................................................
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
64
1
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
Proyek
1
2
ini!
Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!!
Bersama teman dekatmu, pahami kembali langkah-langkah dari:
1. Penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar
a. Dengan penyebut sama
b. Dengan penyebut berbeda
2. Perkalian pecahan bentuk aljabar
3. Pembagian pecahan bentuk aljabar
4. Pemangkatan pecahan bentuk aljabar
5. Menyederhanakan suatu pecahan bentuk aljabar
Tulislah secara singkat, langkah-langkah dari kelima di atas di bawah
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
65
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
Jika ada yang belum kamu pahami tentang pecahan bentuk aljabar,
ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan
dan pemahamanmu!!
Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 4 ini, kerjakan Evaluasi KB 4
nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan
kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu
dengan rumus berikut
=
Γ
Jika skor yang kamu peroleh
7 , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami
Kegiatan Belajar 3, maka kamu dapat melanjutkan ke Kegiatan Belajar 5. Jika skor yang
kamu peroleh 7 , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 4 ini lebih
cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian coba
kembali mengerjakan Evaluasi KB 4 di bawah ini.
Evaluasi KB 4
Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang pecahan bentuk aljabar,
kerjakan soal berikut!
1. Selesaikan operasi hitung bentuk aljabar berikut. Nyatakan jawabanmu dalam
bentuk paling sederhana.
25 ;15
13 :12
a.
9 :6
9 :6
:1
b.
1;
2. Tentukan bentuk sederhana dari
2;
2:
;2
;12
Γ
;3
;2
Soal Selanjutnya...............
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
66
1
Modul Matematika SMP
KB 4 ~ Pecahan bentuk aljabar
3. Tentuka hasil pembagian dari
:1
;1
3
6
4. Uraikan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut.
;2 2
(
5.
:1
)
Sederhanakan pecahan bersusun bentuk aljabar berikut.
2
;
;1
;2
2
3
;
;2
;3
GREAT.....!!!
Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 4
Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut!
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu
dibawah ini!
Komentar :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
67
Modul Matematika SMP
2013
Kegiatan Belajar
5
A
Kompetensi Dasar
Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional dan
pecahan
Tujuan
Mengubah masalah kontekstual menjadi bentuk aljabar dan
menyelesaikannya
Indikator
1. Peserta didik dapat mengubah kalimat sederhana menjadi
bentuk aljabar
2. Peserta didik dapat mengubah masalah kontekstual menjadi
bentuk aljabar dan menyelesaikannya
Petunjuk Mempelajari Kegiatan Belajar 5
1. Awali belajarmu dengan doa
2. Baca dan pahami uraian materi yang ada pada Kegitatan Belajar 5 secara
runtut halaman per halaman
3. Kerjakan pada tempat yang disediakan jika terdapat gambar
4. Lengkapilah kalimat pada kolom refleksi untuk menambah pemahamanmu
5. Berhentilah sejenak jika bertemu kalimat motivasi, renungkan dan tulislah
komentarmu pada tempat yang disediakan
6. Lakukan sebaik mungkin proyek pada kegiatan belajar 5 sesuai aturan yang
ada dan tuliskan hasilnya pada tempat yang disediakan
7. Kerjakan soal evaluasi pada kegiatan belajar 5 secara mandiri untuk
mengukur kemampuanmu memahami Pemodelan Bentuk Aljabar
8. Akhiri belajarmu dengan doa
L
J
A
B
A
R
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
Siapakah βAkuβ
Mengapa perlu
mempelajari
aljabar?
Aku adalah suatu bilangan, jika aku ditambah
delapan hasilnya sama dengan tiga kali diriku
sendiri. Siapakah aku?
Tebakan yang sangat sederhana bukan? Mungkin tanpa disadari, aljabar
sering digunakan dalam keseharian kamu. Seperti tebakan di atas, dimana
penyelesaiannya adalah dengan memanfaatkan pemahaman aljabar.
Belum percaya bahwa tebakan itu memanfaatkan pemahaman aljabar?
Ayo kita selesaikan!!
Penyelesaian :
Langkah yang harus kita lakukan adalah,
dengan mengubah masalah tersebut menjadi bentuk
aljabar dengan memisalkan suatu bilangan yang di
cari dengan suatu variabel.
Variabel
adalah
lambang atau simbol yang
mewakili jumlah sesuatu
(bilangan)
Misal, : suatu bilangan yang dicari (Aku), maka tebakan di atas dapat diubah menjadi
Aku adalah suatu bilangan, jika aku ditambah 8 hasilnya sama dengan 3 kali diriku sendiri
+
8
=
3
Γ
Sehingga diperoleh bentuk aljabar
+
=
Γ
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bentuk aljabar berarti mencari nilai
dari variabel tersebut sehingga jika nilai yang diperoleh dimasukkan (disubstitusikan),
bentuk aljabar tersebut akan bernilai benar. Untuk menyelesaikannya bentuk aljabar di
atas kamu harus memanfaatkan pemahaman tentang operasi hitung bentuk aljabar, maka
π₯+8=3Γπ₯
π₯ + 8 = 3π₯
π₯ β π₯ + 8 = 3π₯ β π₯ (kedua ruas dikurangi dengan π)
8 = 2π₯
8 2
= π₯ (kedua ruas dibagi 2)
2 2
4=π₯
Atau dengan cara yang biasanya kalian lakukan seperti berikut
π₯+8=3Γπ₯
π₯ + 8 = 3π₯
8 = 3π₯ β π₯ (suku sejenis dikelompokkan, sehingga π pindah ruas menjadi βπ)
8 = 2π₯
8 2
= π₯ (kedua ruas dibagi 2)
2 2
4=π₯
Diperoleh = 4, maka βAkuβ yang dimaksud dalam tebakan di atas adalah 4.
Jika dimasukkan (disubstitusikan) pada bentuk aljabar
+8=3Γ
+8=3Γ
4+8 = 3Γ4
2 = 2 (Bernilai BENAR)
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
69
menjadi
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
Tebakan di atas adalah salah satu contoh aplikasi aljabar dalam kehidupan seharihari. Masih banyak lagi aplikasi aljabar yang akan kita pelajari. Pada Kegiatan Belajar 1
kamu telah sedikit mempelajari tentang pemodelan suatu masalah sebagai pengantar
mempelajari unsur-unsur bentuk aljabar. Pada Kegiatan Belajar 5 ini kamu difokuskan
untuk mempelajari cara memodelkan suatu masalah menjadi bentuk matematika (bentuk
aljabar) kemudian menyelesaikannya, untuk itu apa yang sudah kamu pelajari pada
kegiatan belajar 1 sampai 4 akan sangat berguna pada kegiatan belajar kali ini. Pelajari
uarain berikut.
5.1
Mengubah kalimat sederhana menjadi bentuk aljabar
Sebelum menyusun bentuk aljabar dari suatu masalah yang kompleks, pahami dahulu
menyusun bentuka aljabar dari kalimat sederhana berikut.
Contoh:
Nyatakan kalimat sederhana berikut dalam bentuk aljabar dengan variabel sesuai pilihan
kamu!
a. Umur Ibu lima tahun kurangnya dari umur Ayah
b. Panjangnya lebih 20 cm dari lebarnya
c. Empat tahun yang lalu
Variabel
adalah
d. Tiga kali suatu bilangan ditambah dua
lambang atau simbol yang
mewakili jumlah sesuatu
(bilangan)
Penyelesaian :
a. Misal, umur ibu : tahun
umur ayah : tahun
Umur Ibu lima tahun kurangnya dari umur Ayah
π
β
5
π
β5
Maka, diperoleh bentuk aljabar =
b. Misal, lebar
panjang
β5
:
:
Panjangnya lebih 20 cm dari lebarnya
π
+
π
2
Maka, diperoleh bentuk aljabar
= +2
c. Misal, tahun sekarang : tahun
Empat tahun yang lalu
4
β
β4
Maka, diperoleh bentuk aljabar β 4
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
70
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
d. Misal, suatu bilangan :
Tiga kali suatu bilangan ditambah dua
3
π§
Γ
+
2
Maka, diperoleh bentuk aljabar 3 Γ + 2
Bagaimana dengan kalimat sederhana di atas, mampukah kalian memahaminya? ayo
berlatih untuk mengasah pemahamanmu!
Ayo berlatih
Susunlah bentuk aljabar dari kalimat sederhana berikut dengan variabel sesuai
keinginanmu!
a. Tingginya tiga kali lebarnya
Variabel
adalah
b. Jumlah dua bilangan sama dengan hasil kalinya
lambang atau simbol yang
c. Empat tahun yang akan datang
mewakili jumlah sesuatu
d. Dua hari sebelumnya
(bilangan)
Penyelesaian:
a. Tentukan variabel untuk mewakili tinggi dan lebar
Misal variabel untuk mewakili tinggi adalah ....
variabel untuk mewakili lebar adalah ....
Tingginya tiga kali lebarnya
Maka, diperoleh bentuk aljabar ... = 3Γ ....
b. Tentukan variabel untuk mewakili kedua bilangan
Misal variabel untuk mewakili bilangan pertama adalah ....
variabel untuk mewakili bilangan kedua adalah ....
jumlah dua bilangan sama dengan hasil kalinya
+
Γ
Maka, diperoleh bentuk aljabar
+
=
Γ
c. Tentukan variabel untuk mewakili tahun sekarang
Misal variabel untuk mewakili tahun sekarang adalah ....
Empat tahun yang akan datang
+
4
+ 4
Maka, diperoleh bentuk aljabar
+ 4
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
71
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
d. Tentukan variabel untuk mewakili hari ini
Misal variabel untuk mewakili hari ini adalah ...
Dua hari sebelumnya
2
Maka, diperoleh bentuk aljabar
β
Bagaimana, apa kalian semakin paham? Setelah ini kamu akan belajar memodelkan
suatu masalah yang lebih kompleks lagi. Masalah yang akan kamu pelajari sangat
berkaitan dengan kehidupan sehari-hari, hal itu akan memudahkan kamu untuk
memahaminya. Tetapi sebelum itu, resapilah motivasi berikut.
Ayo istirahat sejenak......................!!!!!
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu
dibawah ini!
Komentar :
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
72
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
5.2
Mengubah masalah
menyelesaikannya.
kontekstual
menjadi
bentuk
aljabar
dan
Menyelesaikan masalah matematika yang berkaitan dengan soal cerita, salah satu
kunci keberhasilannya adalah mengubah masalah tersebut menjadi bentuk aljabar atau
biasa dikatakan dengan menyusun model matematikanya. Untuk itu pelajari uarain contoh
dari masalah kontekstual berikut.
Contoh :
1. Pak Joko memiliki dua jenis hewan
ternak, yaitu 8 sapi perah 15 kambing
etawa yang mengasilkan susu setiap hari.
Susu yang dihasilkan dari kedua jenis
ternak tersebut jumlahnya berbeda, tetapi
masing-masing jenis ternak menghasilkan
banyak susu yang sama. Buatlah bentuk
aljabar dari banyaknya susu yang
didapatkan pak Joko dari kedua jenis
hewan ternak tersebut!
Gambar 5.1 : Sapi perah dan kambing etawa
Penyelesaian :
Diketahui : Pak Joko memiliki 3 sapi perah dan 5 kambing etawa
Setiap hari kedua jenis ternak tersebut menghasilkan banyak susu yang
berbeda, tetapi masing-masing jenis ternak menghasilkan banyak susu yang
sama
Ditanya
: Bentuk aljabar dari banyaknya susu yang di dapat pak Joko setiap harinya?
Jawab
: Misal, Banyak susu yang dihasilkan 1 sapi perah (dalam liter) :
Banyak susu yang dihasilkan 1 kambing etawa (dalam liter) :
Maka, banyak susu yang didapatkan pak Joko dari 3 sapi perah dan 5
kambing etawa adalah 3 Γ + 5 Γ atau bisa ditulis dengan 3 + 5
Jadi, bentuk aljabar dari banyak susu yang didapatkan pak Joko adalah
3 +5
2. Galih dan Robi, keduanya mempunyai kelereng. Kelereng
kepunyaan Galih 2 kali dari kelereng kepunyaan Robi,
sedangkan jumlah kelereng keduanya adalah 18
kelereng. Berapakah banyak kelereng masing masing?
Penyelesaian :
Diketahui : Kelereng Galih 2 kali kelereng Robi
Jumlah kelereng keduanya 18 kelereng
Gambar 5.2 : Kelereng
Ditanya
: Banyak masing-masing kelereng milik Robi dan Galih?
Jawab
: Misal, Banyak kelereng yang dimiliki Galih :
Banyak kelereng yang dimiliki Robi :
Bentuk aljabar dari masalah di atas adalah sebagi berikut
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
73
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
Kelereng Galih 2 kali kelereng Robi
=2
Kelereng Galih ditambah kelereng Robi adalah 18
+ = 8
Selanjutnya mencari hubungan dari bentuk aljabar yang diperoleh, yaitu
seperti berikut :
Karena = 2 , maka diperoleh 2 + = 8
Untuk menyelesaikan masalah tersebut, berarti kamu harus mencari
banyaknya kelereng masing-masing anak dengan mengoperasikan bentuk
aljabar 2 + = 8 yang sudah diperoleh.
2π + π = 8
3π = 8
3π
8
=
3
3
π=6
Penjumlahan bentuk aljabar
Pembagian bentuk aljabar
karena mewakili kelereng Robi, maka banyak kelereng Robi adalah 6 buah.
Sedangkan kelereng Galih 2 , maka 2 Γ 6 = 2
Untuk mengecek apakah jawaban kamu benar, masukkan (substitusikan)
jawabanmu pada bentuk aljabar yang kamu peroleh, jika bentuk aljabar
tersebut bernilai benar maka jawaban yang kamu peroleh adalah benar,
begitu juga sebaliknya.
=6
2 + = 8
2Γ6+6= 8
8 = 8 (Bernilai benar)
atau
= 2
=2
2=2Γ6
2 = 2 (Bernilai benar)
Jadi, kelereng Galih adalah 12 buah dan kelereng Robi 6 buah.
3. Ayah memiliki kebun jambu berbentuk persegi
panjang dengan luas 168
. Jika dua kali panjang
ditambah 10 adalah lebar dari kebun tersebut.
Hitunglah panjang kebun tersebut!
Penyelesaian :
Diketahui : Kebun berbentuk persegi panjang
Gambar 5.3 : Kebun jambu
Luas kebun adalah 168
Lebar kebun adalah 2 kali panjang ditambah 10
Ditanya
: Panjang kebun?
Jawab
: Misal, Panjang kebun (dalam ) :
Lebar kebun (dalam ) :
Lebar kebun 2 kali panjang ditambah 10
=2 +
Maka, masalah di atas dapat diubah menjadi bentuk aljabar sebagai berikut
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
74
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
=
68 =
68 = 2
Γ
Γ (2 +
)
+
bentuk aljabar
Selanjutnya mencari panjang kebun dengan cara mengoperasikan bentuk
aljabar yang diperoleh seperti berikut
68 = 2 +
Disederhanakan dengan dibagi 2
84 =
+5
84 β 84 =
+ 5 β 84
Dikurangi 84, atau dengan kata lain 84 dipindah
ruas dari kiri ke kanan sehingga menjadi βππ
=
+ 5 β 84
= ( + 2)( β 7)
π
Mencari nilai pembuat nol
+ 2=
+ 2β 2= β 2
=β 2
atau
β7=
β7+7= +7
=7
π + ππ β ππ difaktorkan dengan aturan
πππ + ππ + π, π = π sehingga diperoleh
(π + ππ)(π β π)
Lihat Faktorisasi pada KB 3
Karena mewakili panjang, maka panjang kebun adalah 7
tidak digunakan.
, untuk
=β 2
Untuk mengecek apakah jawaban kamu benar, masukkan (substitusikan)
jawabanmu pada bentuk aljabar yang kamu peroleh, jika bentuk aljabar
tersebut bernilai benar maka jawaban yang kamu peroleh adalah benar,
begitu juga sebaliknya.
=7
68 = 2 +
68 = 2 Γ 7 +
Γ7
68 = 98 + 7
68 = 68 (Bernilai benar)
Jadi, diperoleh panjang kebun kepunyaan ayah adalah 7
Mengapa π = βππ tidak
dipakai untuk menunjukkan
panjang kebun?
Dari beberapa contoh nomor 3
sebelumnya, muncul pertanyaan di
samping.
Tuliskan
jawabanmu
dibawah
ini,
jika
mengalami
kesulitan, silahkan diskusi dengan
teman dekatmu!
Jawab :___________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
75
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
Ayo berlatih
Selesaikan soal cerita berikut.
1. Satu minggu sekali Tata mendapatkan uang
saku dari ibunya sebesar Rp 130.000,00. Uang
tersebut harus digunakan untuk membayar les
Rp 50.000,00, uang jajan selama 1 minggu dan
ditabung sebesar Rp 20.000,00. Berapakah uang
jajan Tata setiap harinya?
Gambar 5.4 : uang rupiah
Penyelesaian :
Diketahui : Total uang saku sebesar .....................................
Untuk membayar les .....................................
Untuk ditabung Rp .....................................
Untuk uang jajan selama 1 minggu (6 hari/senin-sabtu)
Ditanya
: Uang saku Tata setiap hari?
Jawab
: Misal, Uang saku Tata setiap hari adalah , maka selama 6 hari menjadi ........
Maka, masalah di atas dapat di ubah menjadi bentuk aljabar sebagai barikut
+2
+6 =
Untuk mencari banyaknya uang saku Tata setiap hari,
mengoperasikan bentuk aljabr yang kamu peroleh sebagai berikut
+ 6π₯ =
+
= 3
6π₯ =
6π₯ = 6
6π₯ 6
Pembagian bentuk aljabar
=
dengan
+2
7
β
π₯=
Karena mewakili uang saku, maka uang saku Tata adalah Rp ..................
Untuk mengecek apakah jawaban kamu benar, masukkan (substitusikan)
jawabanmu pada bentuk aljabar yang kamu peroleh, jika bentuk aljabar
tersebut bernilai benar maka jawaban yang kamu peroleh adalah benar,
begitu juga sebaliknya.
=
+2
+6 =
+6Γ
=
+
=
=
Jadi, banyaknya uang saku Tata setiap harinya adalah Rp ..................
2. Pak Edi mempunyai empat anak perempuan, yaitu Khadijah, Fatimah, Khansa, dan anak
terakhir Aisyah. Setiap anak berselisih dua tahun dan jumlah umur keempatnya adalah
70 tahun. Berapakah umur masing-masing putra pak Edi?
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
76
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
Penyelesaian :
Diketahui : Pak Edi mempunyai tiga anak perempuan,
yaitu Khadijah, Fatimah, Khansa, dan
Aisyah
Selisih umur setiap anak adalah dua tahun
Jumlah umur kempatnya adalah 70 tahun
Gambar 5.5 : 4 anak perempuan
Ditanya
: Umur masing-masing anak?
Jawab
: Misal, Umur anak yang paling tua (Khadijah) :
Umur anak kedua (Fatimah) : β
Umur anak ketiga (Khansa) : β 4
Umur anak paling muda (Aisyah) : β
Karena jumlah umur ketiganya 70 tahun, maka diperoleh bentuk aljabar
sebagai berikut
+( β
)+(
β 4) + ( β
)=7
Untuk mencari umur masing-masing, operasikan bentuk aljabar yang kamu
peroleh seperti berikut
β 4) + (π₯ β ) = 7 Penjumlahan bentuk aljabar
4π₯ β = 7
4π₯ = 7 +
4π₯
=
Pembagian bentuk aljabar
4
π₯=
π₯ + (π₯ β
)+(
Karena mewakili umur Khadijah maka,
Umur Khadijah =
Umur Fatimah β = β =
Umur Khansa β 4 =
β4=
Umur Aisyah β =
β =
Jadi umur Khadijah ... tahun, Fatimah ... tahun, Khansa ... tahun, dan Aisyah
... tahun.
Setelah mempelajari uraian di atas, untuk mengecek pemahamanmu, lengkapi βReleksiβ
berikut.
Lengkapilah refleksi berikut!!!
R
E
F
L
E
K
S
I
Setelah saya mempelajari contoh di atas, ada beberapa langkah yang
harus saya lakukan untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan
bentuk aljabar, yaitu
1. Menentukan .............................................
2. Menyusun ...................................................... dari masalah tersebut.
3. Menyelesaikan ...................................................... yang diperoleh
4. Mengecek jawaban dengan ...................................................... jawaban yang
tersebut pada ...................................................... yang diperoleh.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
77
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
Proyek
Ayo ikuti aturan mainnya ..........!!!
1
Carilah masalah kontekstual (dalam kehidupan sehari-hari) yang
berkaitan dengan bentuk aljabar!
2
Tulislah masalah yang kamu peroleh di bawah ini, kemudian
selesaikanlah!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
78
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
3
Diskusikan dan mintalah temanmu untuk mengoreksi hasil pekerjaanmu!
Jika ada yang belum kamu pahami tentang pemodelan bentuk aljabar,
ajukan pertanyaan kepada teman dekatmu untuk menambah wawasan
dan pemahamanmu!!
Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 5 ini, kerjakan Evaluasi KB 5
nomor 1 s.d 5 di bawah ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan
kunci jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu
dengan rumus berikut
=
Γ
Jika skor yang kamu peroleh
7 , CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami
Kegiatan Belajar 5, maka kamu dapat melanjutkan mengerjakan Uji Kompetensi. Jika skor
yang kamu peroleh 7 , kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 5 ini
lebih cermat dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan teman dekatmu, kemudian
coba kembali mengerjakan Evaluasi KB 5 di bawah ini.
Evaluasi KB 5
Untuk lebih memantapkan pemahamanmu tentang pemodelan bentuk
aljabar, kerjakan soal berikut!
1. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk aljabar dengan variabel sesuai pilihanmu.
a. Setengah dari jumlah uang Syifa
b. Jumlah tiga bilangan genap berurutan
c. Lebihnya 5 kg dari berat badan Doni
2. Brina mempunyai 3 keranjang apel, kemudian ia mendapat tambahan apel dari
ibunya lima buah. Bila banyaknya apel dalam satu keranjang adalah , maka
susunlah bentuk aljabar yang menunjukkan banyaknya biji buah apel kepunyaan
Brina seluruhnya!
Soal Selanjutnya................
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
79
Modul Matematika SMP
KB 5 ~ Pemodelan bentuk aljabar
3. Daffa, Andre dan Toni masing-masing
mempunyai kantong yang berisi
sejumlah koin yang sama banyak dan
beberapa koin berada diluar kantong,
seperti
terlihat
pada
gambar
disamping. Bagaimana bentuk aljabar
untuk menyatakan banyaknya koin
masing-masing dari mereka?
Hint: k menunjukkan banyaknya koin
dalam kantong
Daffa
k
Andre
k
k
Toni
k
k
k
k
4. Berat badan Anis 6 kg lebihnya dari berat badan Nisa. Jika jumlah berat badan
mereka adalah 86 kg, berapakah berat badan masing-masing?
5. Jumlah tiga bilangan berurutan adalah 108. Tentukan kegita bilangan tersebut!
GREAT.....!!!
Kamu telah menyelesaikan Kegiatan Belajar 5
Ayo kembali istirahat dengan meresapi motivasi berikut!
Apa yang dapat kamu pahami dari motivasi
berikut, dan adakah pengaruhnya terhadap
sikapmu dalam belajar? Tuliskan komentarmu
dibawah ini!
Komentar :
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
80
Modul Matematika SMP
Uji Kompetensi
UJI KOMPETENSI
Pilihlah satu jawaban yang benar!
1. Tentukan koefisien
a. 7
dari bentuk aljabar
b.
c.
d.
2. Konstanta dari persamaan
a.
b.
c. 5
d.
adalah ....
3. Suku sejenis dari bentuk aljabar
a.
b.
c.
d.
adalah ....
4. Dibawah ini yang merupakan bentuk trinomial adalah ....
a.
b.
c.
d.
5. Variabel yang terdapat dapa bentuk aljabar
a.
b.
c.
d.
adalah ....
6. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya bisa dilakukan pada suku yang
memiliki ....
a. Koefisien sama
b. Variabel dengan pangkat sama
c. Variabel yanga sama dan pangkat variabel yang sama
d. Koefisien, variabel, dan pangkat yang sama
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
81
Modul Matematika SMP
Uji Kompetensi
7. Hasil dari
adalah ....
a.
b.
c.
d.
8. Bentuk sederhana dari
a.
b.
c.
d.
adalah ...
9. Tentukan hasil dari
a.
b.
c.
d.
10. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan luas
tersebut adalah
. Berakah panjang dari taman tersebut?
a.
b.
c.
d.
11. Suku kedua hasil dari
a.
b.
c.
d.
. Jika lebar taman
adalah ....
12. Bentuk aljabar
dapat difaktorkan menjadi ....
a.
b.
c.
d. Tidak dapat difaktorkan
13. Salah satu faktor dari
a.
b.
c.
d.
adalah ....
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
82
Modul Matematika SMP
Uji Kompetensi
14. Bentuk
a.
b.
c.
d.
jika duraikan menjadi faktor-fakornya menjadi ....
15. Langkah awal yang harus dilakukan untuk memfaktorkan
a. Mencari faktor dari
b. Menacri faktor dari 4
c. Mencari faktor dari 49
d. Mencari faktor dari
16. Bentuk sederhana dari
adalah ....
adalah ....
a.
b.
c.
d.
17. Bentuk sederhana dari
adalah ....
a.
b.
c.
d.
18. Hasil dari
adalah ....
a.
b.
c.
d.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
83
Modul Matematika SMP
Uji Kompetensi
19. Hasil pembagian dari
adalah ....
a.
b.
c.
d.
20. Bentuk
a.
(
(
)
jika disederhanakan hasilnya ....
)
b.
c.
d.
21. Bentuk aljabar dari β5 tahun lebihnya dari setengan umur Dellaβ adalah ....
a.
b.
c.
d.
22. Bentuk aljabar dari βumur Lila 3 tahun mendatangβ adalah ....
a.
b.
c.
d.
23. Seorang pedagang mempunyai 8 karung beras dengan berat tiap karung kg beras
dan 5 karung kentang dengan jumlah tiap karung kentang buah . Bagaimana bentuk
aljabar untuk mewakili banyak banyaknya beras dan kentang?
a.
b.
c.
d.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
84
Modul Matematika SMP
Uji Kompetensi
24. Jumlah tiga bilangan berurutan kelipatan delapan yang mungkin adalah ....
a. 2430
b. 2432
c. 2434
d. 2436
25. Diketahui tanah pekarangan berukuran panjang
Maka berapakah kelilingnya dalam variabel ?
a.
b.
c.
d.
dan lebarnya
.
Setelah kamu selesai mempelajari Kegiatan Belajar 1 s.d 5, kerjakan Uji Kompetensi
nomor 1 s.d 25 di atas dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan kamu dengan kunci
jawaban yang ada pada akhir modul ini. Kemudian hitunglah hasil pekerjaan kamu dengan
rumus berikut
Jika skor yang kamu peroleh
, CONGRATULATION.......!!! kamu telah memahami
Kegiatan Belajar 1 s.d 5, maka kamu dapat melanjutkan materi selanjutnya. Jika skor yang
kamu peroleh
, kamu dipersilahkan mempelajari kembali Kegiatan Belajar 1 s.d 5
pada bagian yang belum kamu pahami dan jika mengalami kesulitan diskusikan dengan
teman dekatmu, kemudian coba kembali mengerjakan Uji Kompetensi di atas.
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
85
Modul Matematika SMP
DAFTAR PUSTAKA
Abuso, Emmanuel P. , dkk. 2013. Grade 8 Learning Module. Philippines: Department of
Education
Agus, Nuniek Avianti. 2008. Mudah Belajar Matematika: untuk kelas VIII SMP/MTs. Jakarta:
Pusat perbukuan Departement Pendidikan Nasional
Daris, J dan Tasari. 2011. Matematika Jilid 1 untuk SMP dan MTs Kelas VII. Jakarta: Pusat
Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional
Daris, J dan Tasari. 2011. Matematika Jilid 2 untuk SMP/MTs kelas VIII. Jakarta: Pusat
Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional
Kemendikbud. 2014. Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Kemendikbud
Kesianye, Sesutho Koketso, dkk. 2001. Junior Secondary Mathematics Algebraic Processes.
Africa: The Southern African Development Community (SADC) and The
Commonwealth of Learning
Krismanto, Al dan Rochmitawati. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VII
SMP. Departemen Pendidikan Nasional, Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu
Pendidik dan Tenaga Kependidikan, PPPPTK Matematika
Manik, Dame Rosida. 2009. Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7. Jakarta:
Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Marsigit, dkk. 2011. Matematika 2 untuk SMP/MTs VIII. Jakarta: Pusat Kurikulum dan
Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional
Nuharini, Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk SMP/MTs Kelas VIII.
Jakarta: Pusat perbukuan Departement Pendidikan Nasional
Rahayu, Endah Budi, dkk. 2008. Contextual Teaching ang Learning Matematika SMP/MTs
Kelas VIII Edisi 4. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen PendidikanNasional
Setiawan dan Rochmadi Widdiharto. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas
VIII SMP. Departemen Pendidikan Nasional, Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu
Pendidik dan Tenaga Kependidikan, PPPPTK Matematika
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
86
Modul Matematika SMP
GLOSARIUM
B
Bentuk Aljabar
:
Binomial
:
F
Faktor
:
Faktor Persekutuan
Faktorisasi
:
:
Suatu kombinasi dari bilangan dan variabel dan operasi
aljabar
Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku
Suatu bilangan yang dapat membagi habis bilangan lain
yang lebih besar
Faktor-faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih
Mengubah bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian
faktor-faktornya
K
Konstanta
Koefisien
:
:
Bilangan tetap
Bilangan yang memuat variabel pada bentuk aljabar
:
:
Bentuk aljabar yang terdiri dari satu suku
Bentuk aljabar yang terdiri dari lebih dari tiga suku
:
Suatu pecahan yang pembilang atau penyebutnya atau
kedua-duanya berupa pecahan juga.
Suku
:
Variabel beserta koefisiennya atau konstanta yang
dipisahkan oleh operasi penjumlahan atau pengurangan
Suku Sejenis
:
Suku yang memiliki variabel yang sama dan pangkat
variabel yang sama
:
Bentuk aljabar yang terdiri dari tiga suku
M
Monomial
Multinomial
P
Pecahan Kompleks
S
T
Trinomial
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
1
87
Modul Matematika SMP
V
Variabel
:
Lambang atau simbol yang mewakili jumlah sesuatu
(bilangan)
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
88
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
KUNCI JAWABAN
Evaluasi KB 1
No.
Uraian Jawaban
1. Unsur-unsur bentuk aljabar terdiri dari
ο· Variabel
ο· Koefisien
ο· Konstanta
ο· Suku
2.
a.
Variabel : dan
Koefisien : 6 koefisien dari dan 1 koefisien dari b
Suku : terdiri dari dua suku yaitu,
dan
b.
Variabel :
Koefisien :
koefisien dari
Konstanta : 13
Suku : terdiri dari dua suku yaitu,
dan
c.
Variabel :
Koefisien : 2 koefisien dari ,
koefisien dari dan koefisien dari
Konstanta :
Suku : terdiri dari empat suku yaitu,
dan
d.
(ingat bentuk perpangkatan
Variabel :
Koefisien : koefisien dari
, 1 koefisien dari
Konstanta :
Suku : terdiri dari tiga suku yaitu,
3.
,
, dan
a.
ο·
ο·
b.
ο·
ο·
sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu
dan
pangkat variabel yang sama yaitu pangkat 1 (pangkat 1 tidak ditulis)
sejenis karena konstanta
dan
sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan y
dan pangkat variabel yang sama yaitu pangkat 2 dan pangkat 1
dan
sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
89
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
Uraian Jawaban
dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 1 dan
c.
ο·
ο·
ο·
d.
ο·
4.
dan
sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu
dan
pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 3
dan
sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan dan
pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 1 dan pangkat 1
dan sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu dan pangkat
variabel yang sama, yaitu pangkat 1
,
ο·
,
dan
sejenis karena memiliki variabel yang
dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 2,
dan pangkat 1
dan
sejenis karena memiliki variabel yang
dan pangkat variabel yang sama, yaitu pangkat 1,
dan pangkat 2
a.
b.
c.
d.
5.
pangkat 2
a.
b.
c.
d.
,
sama yaitu
pangkat 2,
sama yaitu
pangkat 2,
: satu suku
: tiga suku
: empat suku
:
suku
: binomial
: binomial
: trinomial
: polinomial
Evaluasi KB 2
No.
1.
a.
Uraian Jawaban
dikurangi dengan
(
b.
dikurangkan dari
(
)
Catatan : Perhatikan kata βdikurangkan dariβ dengan β dikurangi denganβ
2.
Diketahui : kolam ikan berbentuk persegi panjang
Panjang = (
Lebar = (
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
90
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
Uraian Jawaban
Ditanya : Luas kolam?
Jawab : Luas
(
Jadi, luas kolam ikan dalam
3.
(
(
(
(
Atau dengan cara
(
b.
(
)
(
hasilnya adalah
(
(
(
(
(
((
(
(
(
(
Atau dengan cara
(
(
(
(
a. (
π₯
(
a. (
tidak ada, sehingga untuk
(
Jadi (
5.
adalah
pada (
suku dengan variabel
memudahkan pembagian bisa dirubah menjadi (
π₯
4.
(
(
(
)
(
(
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
(
(
91
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
Uraian Jawaban
b. (
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
Evaluasi KB 3
No.
1.
Uraian Jawaban
a.
Faktor sekutu(faktor yang sama) dari
adalah (
Jadi,
(
adalah 5, maka faktor dari
b.
Faktor sekutu (faktor yang sama) dari
faktor dari
adalah
(
Jadi
(
2.
dan
adalah 3pq, maka
a.
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan faktorisasi selisih kuadarat, sehingga
(
(
(
(
b.
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan faktorisasi selisih kuadarat, sehingga
(
(
3.
(
a.
ο· Karena
, maka daftar semua kemungkinan faktor dari
Faktor dari -48
Jumlah
1
-48
-47
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
92
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
2
3
4
6
-1
-2
-3
-4
-6
Uraian Jawaban
-23
-13
-8
-2
47
23
13
8
2
-24
-16
-12
-8
48
24
16
12
8
ο· Karena
, maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama
dengan 2. Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang
berjumlah adalah
dan
ο· Maka faktor dari
b.
(
(
bisa ditulis
Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan
dengan cara :
Kalikan
, tentukan faktor-faktornya
Faktor dari
1
2
3
4
5
6
menjadi dua bilangan
Jumlah
60
30
20
15
12
10
61
32
23
20
17
60
Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama
dengan . Maka dua bilangan itu adalah 3 dan 20, dengan demikian
bisa
diuraikan menjadi
, diperoleh :
(
(
(
(
(
Sehingga, faktor dari
Jadi,
4.
(
adalah (
(
(
(
a.
ο· Karena
, maka daftar semua kemungkinan faktor dari 10
Jumlah
Faktor dari
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
93
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
Uraian Jawaban
ο· Karena
dengan
berjumlah
, maka tentukan pasangan bilangan bila dijumlahkan sama
. Dari tabel di atas terlihat bahwa pasangan bilangan yang
adalah
dan
ο· Maka faktor dari
(
(
b.
Langkah yang harus dilakukan adalah menguraikan
dengan cara :
Kalikan
, tentukan faktor-faktornya
Faktor dari
menjadi dua bilangan
Jumlah
Dari tabel di atas, tentukan pasangan bilangan jika dijumlahkan hasilnya sama
dengan . Maka dua bilangan itu adalah
dan
, dengan demikian bisa
diuraikan menjadi
, diperoleh :
(
(
(
Sehingga, faktor dari
Jadi,
(
(
(
adalah (
(
(
(
Evaluasi KB 4
No.
1.
a.
Uraian Jawaban
(
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
94
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
Uraian Jawaban
(
(
b.
(
(
(
(
(
(
(
2.
(
(
(
(
(
3.
(
(
(
(
4.
(
)
(
(
(
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
95
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
5.
Uraian Jawaban
(
) (
)
(
) (
)
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
(
(
(
(
(
Evaluasi KB 5
No.
1.
Uraian Jawaban
a. Setengah dari jumlah uang Syifa
Misal, jumlah uang syifa adalah
Maka bentuk aljabar setengah dari uang Syifa adalah
b. Jumlah tiga bilangan genap berurutan
Misal, bilangan genap yang pertama adalah
Bilangan genap yang kedua adalah
Bilangan genap yang ketiga adalah
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
96
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
Uraian Jawaban
Maka bentuk aljabar jumlah tiga bilangan genap berurutan adalah
(
(
c. Lebihnya 5 kg dari berat badan Doni
Misal, berat badan Doni adalah
Maka bentuk aljabar lebihnya 5 kg dari berat badan Doni adalah
2.
Bentuk aljabar untuk menyatakan banyaknya koin masing-masing dari mereka
dalah sebagai berikut:
Daffa :
Andre :
Toni :
3.
Diketahui : Brina mempunyai 3 keranjang apel
Ibunya memberi 5 buah apel
mewakili banyak apel dalam satu keranjang
Ditanya : Bentuk aljabar yang menunjukkan banyak apel Brina seluruhnya?
Jawab : banyak apel seluruhnya adalah 3 keranjang apel ditambah 5 buah, maka
bentuk aljabar yang diperoleh adalah
4.
Diketahui : berat badan Anis 6kg lebihnya dari berat badan nisa
Jumlah berat badan mereka adalah 86 kg
Ditanya : Berat badan masing-masing?
Jawab : Misal, Berat badan Anis adalah
Berat badan Nisa adalah
Maka diperoleh bentuk aljabar sebagai berikut
Berat badan Anis 6kg dari berat badan Nisa
Jumlah berat badan mereka 86 kg
Diperoleh hubungan dari kedua bentuk aljabar tersebut sebagai berikut
(
Jadi berat badan Anis adalah 46 kg dan berat badan Nisa adalah 40 kg
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
97
1
Modul Matematika SMP
Kunci jawaban
No.
5.
Uraian Jawaban
Diketahui : Jumlah tiga bilangan berurutan adalah 108
Ditanya : ketiga bilangan tersebut?
Jawab : Misal, bilangan yang pertama adalah
Bilangan yang kedua adalah
Bilangan yang ketiga adalah
Maka diperoleh bentuk aljabar sebagai berikut
(
(
bilangan yang pertama adalah 35
Bilangan yang kedua adalah
Bilangan yang ketiga adalah
Jadi ketiga bilangan tersebut adalah 35, 36, dan 37
Uji Kompetensi
1. a
2. d
3. b
4. a
5. a
6. c
7. c
8. c
9. a
10. d
11. d
12. b
13. b
14. c
15. a
Tidak ada kenikmatan kecuali setelah kepayahan
16. d
17. b
18. d
19. a
20. c
98
1
21. d
22. a
23. c
24. b
25. a
Modul Matematika SMP
MODUL MATEMATIKA dengan Pendekatan Kontekstual ini
bertujuan untuk memfasilitasi peserta didik dalam mempelajari
materi aljabar khususnya unsur-unsur bentuk aljabar, operasi
hitung bentuk aljabar, faktorisasi bentuk aljabar, pecahan bentuk
aljabar, dan pemodelan bentuk aljabar. Materi disajikan dengan
ilustrasi masalah dalam kehidupan sehari-hari sehingga
diharapkan peserta didik dapat lebih mudah mempelajarinya.
Modul matematika ini dapat digunakan oleh peserta didik dan
pendidik, baik pembelajaran di dalam kelas bersama dengan
pendidik maupun pembelajaran di luar kelas tanpa penjelasan dari pendidik,
sehingga modul ini dirancang dengan penjelasan yang detail dan ada tahapan
belajar yang harus dilakukan oleh peserta didik.
Pada kegiatan belajar modul ini terdapat materi yang penyajiannya terdapat bagian
yang rumpang sehingga siswa dituntut untuk menemukan sendiri. Refleksi bertujuan
untuk menuliskan kembali apa yang sudah dipahami oleh peserta didik. Proyek pada
modul ini sebagai salah satu media peserta didik untuk berkolaborasi dengan
temannya. Evaluasi setiap kegiatan belajar dan uji kompetensi bertujuan untuk
menguji kemampuan siswa dengan dilengkapi kunci jawaban dan penskorannya.
Dalam setiap kegiatan belajar terdapat dua kata motivasi yang berkaitan dengan sikap
spiritual dan sikap sosial.
Modul ini disusun oleh Elvira Resa Krismasari yang pernah menjadi salah satu peserta
didik di SDN Nambak, SMPN 1 Bungkal, SMAN 3 Ponorogo dan kini masih melanjutkan
pendidikannya di program studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah
Ponorogo. Email: resa.elvira@gmail.com
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO