République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de L’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université de Saida Dr. Moulay Tahar Faculté de la technologie Polycopié de Cours Physique 1 1èr année Tronc Commun Dr. BENHALIMA NADIA 2018-2019 Table des matières CHAPITRE : I Rappels mathématiques I.1.1.Système international d’unités I.1.2.Équations aux dimensions I.1.3.Ecriture d’une équation aux dimensions I.1.4.Exercices I.2.Calcul d’erreurs I.2.1.Définitions I.2.2.Méthode de différentiel total I.2.3.Méthode logarithmique I.2.4.Exercices I.3. vecteurs I.3.1.Grandeur scalaire I.3.2.Grandeur vectorielle I.3.3.Opérations sur les vecteurs I.3.4.Composantes d’un vecteur I.3.5.Egalité de deux vecteurs I.3.6.produit scalaire I.3.7.Produit vectoriel I.3.8.Dérivée d’un vecteur I.3.9.Différentielle I.3.10.Différentielle totale I.3.11.Opérateurs différentiels I.3.12.Exercices I.4.Systèmes de coordonnées I.4.1.Coordonnées Cartésiennes I.4.2.Coordonnées Polaires I.4.3. Coordonnées Cylindriques I.4.4. Coordonnées Sphériques I.4.5. Exercices CHAPITRE : II Cinématique du point matériel II. Cinématique du point matériel II.1. Définitions Générales II.2. 1.Mouvement rectiligne uniforme II.3.Mouvement dans l’espace ou curviligne II.3.1.Position d’un mobile II.3.2.Vecteur déplacement II.3.3.Vecteur vitesse d’un point II.3.4.Vecteur accélération II.4.mouvement dans le plan II.4.1.Etude du mouvement en coordonnées polaires II.4.2.Mouvement circulaire II.4.3.Mouvement circulaire uniforme II.5.Coordonnées curvilignes ou intrinsèques II.5.1.Composantes de Frenet II.6.Mouvement dans l’espace II.6.1.Etude du mouvement en Coordonnées cartésiennes 01 02 03 03 06 06 06 07 08 11 11 11 12 13 14 15 15 16 17 18 19 20 21 21 21 22 23 27 28 28 29 33 33 34 34 35 35 35 37 38 38 40 40 40 II.6.2. Etude du mouvement en coordonnées cylindriques II.6.3. Etude du mouvement en coordonnées sphériques II.7.Mouvements relatifs II.7. 1.Mouvement absolu II.7. 2.Mouvement relatif II.8.Exercices CHAPITRE : III Dynamique du point III.1.Première loi de Newton Principe d’inertie III.2.Deuxième loi de Newton Principe fondamental de la dynamique (PFD) III.2.1.Définition d’une force III.2.2.Forces à distance III.2.3.Forces de contact III.2.4.Force de Tension III.2.5.Forces de frottement dans un fluide (visqueux) III.2.6.Forces de frottement (friction) statique et cinétique III.3.Troisième loi de Newton Principe de l’action et de la réaction III.4.Application de la relation fondamentale de la dynamique (RFD) III.4.1.Chute libre sans frottement III.4.2.pendule simple III.4.3.Tension d'un ressort III.5.Notion de quantité de mouvement III.5.1.Domaine de validité de la conservation de la quantité de mouvement III.5.2.Chocs élastiques – chocs inélastique III.6.Propulsion des fusées III.7.Moment cinétique III.7.1.Théorème du moment cinétique III.7.2.Etude du pendule simple III.8. Exercices CHAPITRE : IV Travail et énergie IV.1. Travail effectué par une force constante IV.2. Travail effectué par une force variable IV.3.Travail d’une action sur un ressort IV.4.Travail de la pesanteur IV.5. Puissance d’une force IV.6. Energie IV.6. 1.Théorème de l’énergie cinétique IV.6. 2.Energie potentielle IV.6.3. Forces conservatives VI.6.4. Travail d'une force conservative VI.6.5. Exercice Références 41 42 45 45 46 51 58 59 59 59 61 62 63 65 67 68 68 71 72 73 77 77 80 82 82 83 85 87 90 91 94 95 95 95 96 97 98 99 101 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ‫ وزدني علما‬،‫ وانفعني بما علمتني‬،‫اللهم علمني ما ينفعني‬ I.1.1.Système international d’unités  Les définitions des unités légales reposent sur le système international (S I).  Le système international comporte sept unités de base correspondant à une grandeur physique et à une dimension.  Deux unités peuvent également être considérées comme unités de base : pour l'angle plan : le radian (rad) et pour l'angle solide : le stéradian (sr) Grandeur fondamentale Longueur Masse Temps Température Intensité du courant Quantité de matière Intensité lumineuse Grandeur physique Nom Symbole Temps t Dimension L M T θ I N J Unité mètre kilogramme seconde kelvin ampère mole candela Unité légale (S.I.) Nom Symbole seconde s Longueur l mètre m Superficie Volume Vitesse Angle S V v α, β, ... mètre carré mètre cube mètre par seconde radian m2 m3 m/s rad stéradian mole sr mol joule par mole. kelvin J/mol. K mètre par seconde carrée mètre par seconde carrée m/s2 Angle solide Quantité de matière Constante molaire des gaz Accélération Accélération due à la n R a g Symbole (m) (kg) (s) (K) (A) (mol) (cd) Autres unités admises Nom (symbole) minute (min) : 1 min = 60s heure (h) : 1 h = 3600s jour (j) : 1 j = 86400s angström (Å): 1 Å = 10−10 m mille marin (M): 1 M = 1852 m are (a) : 1a = 100m² litre (l) : 1l = 10-3 m3 kilomètre par heure (km/h) : degré (°) : 360° = 2π rad grade (gr) : 400 gr = 2π rad tour (tr) : 1 tr = 2π rad minute (') : 1° = 60' seconde ('') : 1° = 3600" m/s² 1 Chapitre I pesanteur Masse Masse volumique Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia m ρ kilogramme kilogramme par mètre cube kg kg/m3 tonne (t) : 1t = 1000 kg Force Travail, énergie F E newton joule N J dyne (dyn): 1 dyn = 10−5N watt.heure (Wh): 1 Wh = 3600 J électron volt (eV):1 eV = 1,602 × 10−19 J erg (erg): 1 erg = 10−7 J Puissance Pression P watt pascal W Pa bar (bar):1 bar = 105 Pa millimètre de mercure (mmHg): 1 mmHg = 133,3 Pa I.1.2.Équations aux dimensions En mécanique et en électricité les grandeurs fondamentales sont : Longueur (L), Masse (M), Temps (T), Intensité du courant (I), Température (θ). On appelle équation aux dimensions, toute équation écrite en remplaçant, dans la formule, chaque grandeur fondamentale par sa dimension. Les équations aux dimensions obéissent aux règles suivantes :  on n’additionne que les termes ayant la même dimension  la dimension d’un produit de grandeurs est égale au produit des grandeurs  la dimension de 𝑮𝒏 est la dimension de G à la puissance n  les termes 𝒆𝒙 , 𝒍𝒐𝒈𝒙 , 𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝐭𝐚𝐧 𝒙 et 𝐜𝐨𝐭 𝒙 sont sans dimension Cette équation permet :  De déterminer l’unité composée d’une grandeur en fonction des grandeurs fondamentales  De tester si une formule est homogène  De faire des conversions d’unités Prenons un exemple : comme chacun sait, Einstein à trouvé que 𝑬 = 𝒎𝒄𝟐 Voyons si cette équation est homogène ( ce qui ne prouve pas sa justesse) mais est indispensable. [𝒎𝒄𝟐 ] = [𝒎]. [𝒄]𝟐 = 𝑴 𝑳𝟐 𝑻−𝟐 ce qui est bien la grandeur de l’énergie que nous venions de calculer. Donc l’équation 𝑬 = 𝒎𝒄𝟐 est homogène. Si elle ne l’était pas, elle serait à coup sûr fausse. Mais attention l’homogénéité ne prouve pas qu’elle soit juste. En effet 𝑬 = 2 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒎𝒄𝟑 ou 𝑬 = 𝒎𝟐 𝒄𝟓 qui ne sont pas homogènes sont fausses, mais 𝑬 = 𝟑𝒎𝒄 𝟐 est homogène bien que fausse. En conclusion la vérification de l’homogénéité d’une équation évite les erreurs grossières. I.1.3.Ecriture d’une équation aux dimensions Soit G une grandeur physique. Sa dimension est notée [G]. Par exemple, si G est une longueur on écrira : [G] = L.  Pour une vitesse :[𝒗] = 𝑳. 𝑻−𝟏  Accélération de la pesanteur : [𝒈] = 𝑳. 𝑻−𝟐  Dimension d’une force :[𝑭] = 𝑴. 𝑳. 𝑻−𝟐  Dimension d’une énergie :[𝑬] = 𝑴. 𝑳𝟐 . 𝑻−𝟐  Pression :[𝑷] = 𝑴. 𝑳−𝟏 . 𝑻−𝟐 Toute grandeur dérivée G est relié aux grandeurs fondamentales par une équation aux dimensions sous la forme : [𝑮] = 𝑳𝜶 𝑴𝜷 𝑻𝜸 𝑰𝜹 𝜽𝜺 𝑵𝝀 𝑱𝝁 Toutes les grandeurs mécaniques ont une équation aux dimensions sous la forme : I.1.4.Exercices [𝑮] = 𝑳𝜶 𝑴𝜷 𝑻𝜸 Exercice 1 Établir les équations aux dimensions en fonction des grandeurs masse, longueur, temps, etc. : 1/ Surface(𝑺), volume(𝑽), fréquence(𝝂), vitesse(𝒗), accélération(𝒂), force(𝑭), pression(𝑷), énergie mécanique(𝑾), énergie cinétique(𝑬𝑪 ) et énergie potentiel(𝑬𝑷 ), constante de 𝟑 Boltzmann 𝒌𝑩 qui apparaît dans 𝑬𝑪 = 𝒌𝑩 𝑻où T : température absolue. 𝟐 2/de la constante de gravitation universelle G qui apparaît dans 𝑭 = 𝑮 R(m). 𝒎𝑴 𝑹𝟐 oùm, M en (kg) et 3/ des deux paramètres α et β qui apparaissent dans la loi : 𝑭 = 𝜶 𝒎 𝒗 + 𝜷 𝒗𝟐 où F est une force qui s’exprime en (N), m en (kg), v en (m/s). 3 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Exercice 1 – Solution Surface 𝟐 {𝑺 = 𝒍 . 𝒍 = 𝟐𝒍 → [𝑺] = [𝒍]𝟐 = 𝑳𝟐 𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐦 Volume 𝟑 {𝑽 = 𝑺 𝒍 = 𝟑𝒍 → [𝑽] = [𝒍]𝟑 = 𝑳𝟑 𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐦 Fréquence 𝟏 [𝟏] 𝟏 { → [𝝂] = = = 𝑻−𝟏 𝒕 [𝒕] 𝑻 𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐇𝐭𝐳 𝝂= Vitesse 𝒅𝒙 = [𝒅𝒙] 𝑳 𝒅𝒕 [𝒗] = { → = = 𝑳𝑻−𝟏 𝐦 [𝒅𝒕] 𝑻 𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐬 𝒗= Accélération { 𝒂 = Force 𝒅𝟐 𝒙 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = = [𝒅𝒗] 𝑳𝑻−𝟏 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 → [𝒂] = = = 𝑳𝑻−𝟏 𝑻−𝟏 = 𝑳𝑻−𝟐 𝐦 [𝒅𝒕] 𝑻 𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝟐 𝐬 { Pression 𝑭=𝒎𝒈 → [𝑭] = [𝒎][𝒈] = 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐍𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧 (𝐍) 𝑭 [𝑭] 𝑴𝑳𝑻−𝟐 = = 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳−𝟐 = 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐 → [𝑷] = { 𝑺 [𝑺] 𝑳𝟐 𝐔𝐧𝐢𝐭é ∶ 𝐏𝐚𝐬𝐜𝐚𝐥 (𝐏𝐚) 𝑷= Energie mécanique (Travail) { 𝑾 = 𝑭𝒍 → [𝑾] = [𝑭][𝒍] = 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳 = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐 𝐔𝐧𝐢𝐭é: 𝐉𝐨𝐮𝐥𝐞 (𝐉) Energie cinétique 𝟏 𝟏 𝒎𝒗𝟐 { → [𝑬𝒄] = [ ] [𝒎][𝒗]𝟐 = 𝑴(𝑳𝑻−𝟏 )𝟐 = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐 𝟐 𝟐 𝐔𝐧𝐢𝐭é: 𝐉𝐨𝐮𝐥𝐞 (𝐉) 𝑬𝒄 = Energie potentiel { 𝑬𝑷 = 𝒎𝒈𝒉 → [𝑬𝑷 ] = [𝒎][𝒈][𝒉] = 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳 = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐 𝐔𝐧𝐢𝐭é: 𝐉𝐨𝐮𝐥𝐞 (𝐉) 4 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Constante de Boltzmann [𝑬𝒄] 𝟑 𝑬𝒄 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐 ] [𝒌 𝑬𝒄 = 𝒌𝑩 𝑻 → 𝒌𝑩 = 𝟑 → 𝑩 = 𝟑 = = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐 𝜽−𝟏 𝟐 𝜽 𝑻 [ ] [𝑻] 𝟐 𝟐 2/ constante de gravitation universelle 𝑭=𝑮 [𝑭][𝒓]𝟐 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳𝟐 𝑭 𝒓𝟐 𝒎𝑴 [𝑮] → 𝑮 = → = = = 𝑴−𝟏 𝑳𝟑 𝑻−𝟐 [𝒎][𝑴] 𝒎𝑴 𝑴𝟐 𝒓𝟐 3/ paramètres α et β 𝑭 = 𝜶 𝒎 𝒗 + 𝜷 𝒗𝟐 [𝑭] 𝑭 𝑴𝑳𝑻−𝟐 [𝜶] 𝜶= → = = = 𝑻−𝟏 −𝟏 [𝒎][𝒗] 𝑴𝑳𝑻 𝒎𝒗 𝑭 = 𝜶 𝒎 𝒗 + 𝜷 𝒗𝟐 → [𝑭] 𝑭 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝜷 = 𝟐 → [𝜷] = = = 𝑴𝑳−𝟏 [𝒗]𝟐 (𝑳𝑻−𝟏 )𝟐 𝒗 { Exercice 2 On admet que la vitesse de propagation des ondes sonores dans un gaz est de la forme suivante 𝒗 = 𝒌𝑷𝒙 𝝆𝒚 (𝒌 est une constantes sans dimensions, 𝑷 est une pression et 𝝆 est la masse volumique du gaz) a) écrire l'équation de dimension de 𝑷 et donner son unité dans le SI b) Montrer que 𝑷 est aussi une énergie par unité de volume c) déterminer les exposantes x et y. Exercice 2 – Solution a) 𝑷 = b) 𝑭 𝑺 𝑭 → [𝑷] = [ ] → [𝑷] = [ 𝑺 𝒎𝒈 𝑺 ] 𝒍 [𝒎] [ 𝟐 ] [𝒎] [𝒍] [𝒎][𝒈] 𝑴𝑳 𝒕 [𝑷] = → [𝑷] = = = = 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐 [𝑺] [𝑺] [𝒕𝟐 ] 𝑳𝟐 𝑻𝟐 [𝑺] [𝑷] = 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐 → 𝒖𝒏𝒊𝒕é 𝒅𝒆 𝑷 ∶ (𝒌𝒈. 𝒎−𝟏 . 𝒔−𝟐 ) 𝟏 𝟏 [ ] [𝒎][𝒈][𝒉] 𝒎𝒈𝒉 𝑬 𝑬 ] → [𝑷] = 𝟐 𝑷 = → [𝑷] = [ ] → [𝑷] = [𝟐 [𝑽] 𝑽 𝑽 𝑽 c) [𝑷] = 𝟏 𝑴𝑳𝑻−𝟐 𝑳 = 𝑴𝑳−𝟏 𝑻−𝟐 𝑳𝟑 5 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia [𝒗] = [𝒌][𝑷]𝒙 [𝝆]𝒚 𝑭𝒙 𝒎𝒚 [𝒗] = [𝒌] [ ] [ ] 𝑺 𝑽 𝒎 𝒍 𝒙 𝒎𝒚 𝒎𝒈 𝒙 𝒎 𝒚 [𝒗] [𝒌] ] [ ] → = [ ] [ ] 𝑽 𝑺 𝒕𝟐 𝑽 𝑺 𝒙 𝒙 𝒚 𝑴 𝑳 𝑴 [𝒗] = 𝟏 𝟐𝒙 𝟐𝒙 𝟑𝒚 → 𝑴𝒙 𝑳𝒙 𝑳−𝟐𝒙 𝑻−𝟐𝒙 𝑴𝒚 𝑳−𝒚 𝑳 𝑻 𝑳 𝒍 [𝒗] = 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙 → [ ] = 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙 𝒕 𝑳 = 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙 𝑻 [𝒗] = [𝒌] [ 𝑳𝑻−𝟏 = 𝑴𝒙+𝒚 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) 𝑻−𝟐𝒙 𝑳 = 𝑳−(𝒙+𝟑𝒚) { 𝑴𝟎 = 𝑴𝒙+𝒚 𝑻−𝟏 = 𝑻−𝟐𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 = − − 𝟑 (− ) 𝟐 𝟐 𝟏 = −𝒙 − 𝟑𝒚 𝟏 → 𝟎= 𝒙+𝒚 → 𝒚 = −𝒙 = − 𝟐 −𝟏 = −𝟐𝒙 𝟏 𝒙= { { 𝟐 𝟏 𝟏 𝑷 𝒗 = 𝒌𝑷𝟐 𝝆−𝟐 → 𝒗 = 𝒌√ 𝝆 I.2.Calcul d’erreurs I.2.1.Définitions Erreur absolue ∆𝑮 : L’erreur absolue commise sur une grandeur physique G est la différence entre la valeur mesurée 𝑮𝒎 et la valeur exacte 𝑮𝒆 : ∆𝑮 = |𝑮𝒎 − 𝑮𝒆 | Dans la pratique, lorsque la valeur exacte 𝑮𝒆 est inaccessible, nous effectuons la moyenne d’une série 𝑮𝒊 : 𝑮𝒆 = 𝑮𝒎𝒐𝒚 = Calcul de l’erreur composé ∑𝒏 𝒊 𝑮𝒊 𝒏 On parle d’erreurs composées quand il s’agit d’une grandeur G dépendant d’autres grandeurs x, y, z c’est-à-dire 𝑮 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛). L’erreur commis sur cette grandeur, ∆G, peut être exprimé en fonction des erreurs absolue ∆𝒙, ∆𝒚 , ∆𝒛 en appliquant une des méthodes suivantes : I.2.2.Méthode de différentiel total Afin de calculer l’erreur ∆𝑮 :  Nous prenons le différentiel total de G 𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝒅𝑮 = | | 𝒅𝒙 + | | 𝒅𝒚 + | | 𝒅𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 6 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia  Nous remplaçons les différentiels𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 par les erreurs absolues ∆𝒙, ∆𝒚, ∆𝒛 et nous prenons les valeurs absolues des drivées partielles Exemple : 𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝝏𝒇 ∆𝑮 = | | ∆𝒙 + | | ∆𝒚 + | | ∆𝒛 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝟏 𝒎𝒗𝟐 𝟐 𝝏𝑬 𝝏𝑬 | 𝒅𝒎 + | | 𝒅𝒗 𝒅𝑬 = | 𝝏𝒗 𝝏𝒎 𝟏 𝒅𝑬 = 𝒗𝟐 𝒅𝒎 + 𝒎𝒗𝒅𝒗 𝟐 𝟏 ∆𝑬 = 𝒗𝟐 ∆𝒎 + 𝒎𝒗∆𝒗 𝟐 𝑬= 𝟏 𝟐 ∆𝑬 𝟐 𝒗 ∆𝒎 𝒎𝒗∆𝒗 = + 𝑬 𝑬 𝑬 𝟏 𝟐 ∆𝑬 𝟐 𝒗 ∆𝒎 𝒎𝒗∆𝒗 = 𝟏 +𝟏 𝑬 𝒎𝒗𝟐 𝒎𝒗𝟐 𝟐 I.2.3.Méthode logarithmique 𝟐 ∆𝑬 ∆𝒎 ∆𝒗 = +𝟐 𝑬 𝒎 𝒗 Dans certains cas, multiplication ou division, nous pouvons appliquer la méthode logarithmique qui consiste à  prendre le logarithme de la grandeur G, puis sa différentiel  de prendre la valeur absolue des expressions obtenues  et de remplacer les différentiels par les erreurs absolues. 𝟏 𝒎𝒗𝟐 𝟐 𝟏 𝒍𝒏𝑬 = 𝒍𝒏 ( 𝒎𝒗𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝒍𝒏𝑬 = 𝒍𝒏 + 𝒍𝒏𝒎 + 𝒍𝒏𝒗𝟐 𝟐 𝟏 𝒍𝒏𝑬 = 𝒍𝒏 + 𝒍𝒏𝒎 + 𝟐𝒍𝒏𝒗 𝟐 𝒅𝒎 𝒅𝒗 𝒅𝑬 =𝟎+ +𝟐 𝒎 𝒗 𝑬 ∆𝒗 ∆𝑬 ∆𝒎 = +𝟐 𝑬 𝒎 𝒗 𝑬= 7 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Incertitude absolue 𝜹𝑮 : l’incertitude absolue 𝜹𝑮 est la limite supérieure de l’erreur absolue Erreur relative : 𝜹𝑮 = 𝒎𝒂𝒙 (∆𝑮) ∆𝑮 𝑮𝒆 Incertitude relative : I.2.4.Exercices 𝜹𝑮 𝑮𝒎 Exercice 1 Un objet placé à une distance p d’une lentille, voit son image formée à une distance q de celle-ci. La distance focale de la lentille est alors donner par la relation : 𝒑. 𝒒 𝒇= 𝒑+𝒒 Déterminer l’incertitude absolue de la distance focale (∆𝒇)en fonction de p, q, ∆𝒑 et ∆𝒒 par deux méthodes (la méthode de la différentielle totale et la méthode du logarithme) Exercice 1 – Solution  Méthode du logarithme 𝒑. 𝒒 𝒑+𝒒 𝒑. 𝒒 𝐥𝐧 𝒇 = 𝐥𝐧 ( ) 𝒑+𝒒 𝒇= 𝐥𝐧 𝒇 = 𝐥𝐧 (𝒑. 𝒒) − 𝐥𝐧(𝒑 + 𝒒) 𝐥𝐧 𝒇 = 𝐥𝐧 𝒑 + 𝐥𝐧 𝒒 − 𝐥𝐧(𝒑 + 𝒒) 𝐝 𝒇 𝐝 𝒑 𝐝 𝒒 𝒅(𝒑 + 𝒒) = + − 𝒑+𝒒 𝒑 𝒒 𝒇 𝒅𝒑 𝒅𝒒 𝐝𝒇 𝐝𝒑 𝐝𝒒 = + − − 𝒑 𝒒 𝒑+𝒒 𝒑+𝒒 𝒇 𝐝𝒇 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 =( − )𝐝𝒑 +( − )𝐝𝒒 𝒇 𝒑 𝒑+𝒒 𝒒 𝒑+𝒒 𝒑+𝒒−𝒑 𝒑+𝒒−𝒒 𝐝𝒇 =( )𝐝𝒑 +( )𝐝𝒒 𝒑(𝒑 + 𝒒) 𝒒(𝒑 + 𝒒) 𝒇 𝐝𝒇 𝒒 𝐝𝒑 𝒑 𝐝𝒒 =( ) +( ) (𝒑 + 𝒒) 𝒑 (𝒑 + 𝒒) 𝒒 𝒇 𝒒 ∆𝒑 𝒑 ∆𝒒 ∆𝒇 =( ) +( ) (𝒑 + 𝒒) 𝒑 (𝒑 + 𝒒) 𝒒 𝒇  ∆𝒇 = 𝒇( 𝒒 ∆𝒑 𝒑 ∆𝒒 ) +( ) (𝒑 + 𝒒) 𝒑 (𝒑 + 𝒒) 𝒒 Méthode de la différentielle totale 8 Chapitre I Rappels mathématiques 𝒅𝒇 = 𝒅𝒇 = 𝝏( 𝒇= 𝒑. 𝒒 𝒑+𝒒 𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝒅𝒑 + 𝒅𝒒 𝝏𝒒 𝝏𝒑 𝒑.𝒒 𝒑+𝒒 𝝏𝒑 ) Dr Benhalima Nadia 𝒅𝒑 + 𝝏( 𝒑.𝒒 𝒑+𝒒 𝝏𝒒 ) 𝒅𝒒 𝒒(𝒑 + 𝒒) − (𝒑. 𝒒) 𝒑(𝒑 + 𝒒) − (𝒑. 𝒒) 𝒅𝒇 = [ ] 𝒅𝒑 + [ ] 𝒅𝒒 (𝒑 + 𝒒)𝟐 (𝒑 + 𝒒)𝟐 𝒅𝒇 = [ 𝒒. 𝒑 + 𝒒𝟐 − 𝒑. 𝒒 𝒑𝟐 + 𝒑. 𝒒 − 𝒑. 𝒒 ] 𝒅𝒑 + [ ] 𝒅𝒒 (𝒑 + 𝒒)𝟐 (𝒑 + 𝒒)𝟐 𝒒𝟐 𝒑𝟐 𝒅𝒇 = [ ] 𝒅𝒑 + [ ] 𝒅𝒒 (𝒑 + 𝒒)𝟐 (𝒑 + 𝒒)𝟐 𝒒𝟐 𝒑𝟐 𝒒𝟐 𝒑𝟐 (𝒑+𝒒) (𝒑+𝒒) [(𝒑+𝒒)𝟐 ] 𝒅𝒇 [(𝒑+𝒒)𝟐 ] = 𝒅𝒑 + 𝒅𝒒 𝒇 𝒇 𝒇 [(𝒑+𝒒)𝟐 ] 𝒅𝒇 [(𝒑+𝒒)𝟐 ] = 𝒑.𝒒 𝒅𝒑 + 𝒑.𝒒 𝒅𝒒 𝒇 (𝒑 + 𝒒) (𝒑 + 𝒒) 𝒒𝟐 𝒑𝟐 𝒅𝒇 =[ ] [ ] 𝒅𝒑 + [ ] [ ] 𝒅𝒒 (𝒑 + 𝒒)𝟐 (𝒑 + 𝒒)𝟐 𝒑. 𝒒 𝒑. 𝒒 𝒇 𝒒 𝒅𝒑 𝒑 𝒅𝒒 𝒅𝒇 =[ ] +[ ] (𝒑 + 𝒒) 𝒑 (𝒑 + 𝒒) 𝒒 𝒇 ∆𝒇 𝒒 ∆𝒑 𝒑 ∆𝒒 =[ ] +[ ] (𝒑 + 𝒒) 𝒑 (𝒑 + 𝒒) 𝒒 𝒇 ∆𝒇 = 𝒇 [ Exercice 2 𝒒 ∆𝒑 𝒑 ∆𝒒 ] +[ ] (𝒑 + 𝒒) 𝒑 (𝒑 + 𝒒) 𝒒 La constante de torsion C d'un fil métallique de section circulaire s'exprime, en fonction de sa longueur L et de son diamètre D, par la relation : 𝑪 = 𝜸 𝑫𝟒 𝑳 Où𝛾est le module de torsion caractéristique de la nature de fil. Donner l'incertitude ∆𝑪 en utilisant a) la méthode de la différentielle totale b) la méthode logarithmique Exercice 2 – Solution a) Méthode de différentielle totale 9 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝑫𝟒 𝑳 𝝏𝑪 𝝏𝑪 𝝏𝑪 𝒅𝑪 = 𝒅𝜸 + 𝒅𝑫 + 𝒅𝑳 𝝏𝜸 𝝏𝒅 𝝏𝑳 𝑪=𝜸 𝒅𝑪 = 𝑫𝟒 𝝏 (𝜸 𝑳 𝝏𝜸 𝒅𝑪 = ) 𝒅𝜸 + 𝝏 (𝜸 𝑫𝟒 𝑳 𝝏𝒅 ) 𝒅𝑫 + 𝝏 (𝜸 𝑫𝟒 𝑳 𝝏𝑳 𝑫𝟑 𝑫𝟒 𝑫𝟒 𝒅𝜸 + 𝟒𝜸 𝒅𝑫 − 𝜸 𝟐 𝒅𝑳 𝑳 𝑳 𝑳 ) 𝒅𝑳 𝑫𝟑 𝟏 𝑫𝟒 𝟏 𝒅𝑪 𝑫𝟒 𝟏 = 𝒅𝜸 + 𝟒𝜸 𝒅𝑫 − 𝜸 𝟐 𝒅𝑳 𝑳 𝑪 𝑳 𝑪 𝑳 𝑪 𝑪 𝒅𝑪 𝑫𝟒 𝟏 𝑫𝟑 𝟏 𝑫𝟒 𝟏 = 𝒅𝜸 + 𝟒𝜸 𝒅𝑫 − 𝜸 𝒅𝑳 𝑪 𝑳 𝜸 𝑫𝟒 𝑳 𝜸 𝑫𝟒 𝑳𝟐 𝜸 𝑫𝟒 𝟒 𝑳 𝟑 𝑳 𝟒 𝑳 𝑫 𝑳 𝑫 𝑳 𝒅𝑪 𝑫 𝑳 = 𝒅𝜸 + 𝟒𝜸 𝒅𝑫 − 𝜸 𝒅𝑳 𝑳 𝜸𝑫𝟒 𝑳 𝜸𝑫𝟒 𝑳𝟐 𝜸𝑫𝟒 𝑪 𝒅𝑫 𝒅𝑳 𝒅𝑪 𝒅𝜸 = +𝟒 − 𝜸 𝑫 𝑳 𝑪 ∆𝑪 ∆𝜸 ∆𝑫 ∆𝑳 = +𝟒 − 𝑪 𝜸 𝑫 𝑳 ∆𝑫 ∆𝑳 ∆𝑪 ∆𝜸 = +𝟒 + |− | 𝜸 𝑫 𝑳 𝑪 b) Méthode logarithmique ∆𝑫 ∆𝑳 ∆𝑪 ∆𝜸 = +𝟒 + 𝜸 𝑫 𝑳 𝑪 𝑪=𝜸 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 𝑫𝟒 𝑫𝟒 → 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 𝑳 𝑳 𝑫𝟒 𝑫𝟒 → 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 + 𝐥𝐧 𝑳 𝑳 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 + 𝐥𝐧 𝑫𝟒 − 𝐥𝐧 𝑳 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝜸 + 𝟒𝐥𝐧 𝑫 − 𝐥𝐧 𝑳 𝐝𝑫 𝒅𝑳 𝐝 𝑪 𝐝𝜸 = +𝟒 − 𝜸 𝐃 𝑳 𝑪 ∆𝑫 ∆𝑳 ∆ 𝑪 ∆𝜸 = +𝟒 − 𝜸 𝐃 𝑳 𝑪 ∆𝑫 ∆𝑳 ∆ 𝑪 ∆𝜸 = +𝟒 + |− | 𝜸 𝐃 𝑳 𝑪 ∆𝑫 ∆𝑳 ∆ 𝑪 ∆𝜸 = +𝟒 + 𝜸 𝐃 𝑳 𝑪 10 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia I.3. vecteurs Les grandeurs physiques peuvent être de nature scalaire ou vectorielle. I.3.1.Grandeur scalaire Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité correspondante. Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie… I.3.2.Grandeur vectorielle On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module. Exemple : le déplacement, la vitesse, la force, le champ électrique… Un vecteur est ainsi caractériser par:  A : Son point d’application, c’est l’origine du vecteur. ⃗⃗ = |𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Le module du vecteur.  𝑽  (D) : La direction du vecteur.  Le sens du vecteur est indiqué par la flèche pointant de l’origine (point A) vers l’extrémité (point B). Vecteur unitaire Un vecteur unitaire est un vecteur dont le module est égal à 1. Propriétés  Un vecteur est dit « vecteur libre » s’il est défini par sa direction son sens et sa longueur sans fixer son point d’application.  Un vecteur est nommé "vecteur glissant" si l'on impose sa droite support sans fixer son point d’application.  Un vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 est appelé "vecteur lié" si l'on fixe son origine A. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d'originesdifférentes sont:  Deux vecteurs liés ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 et 𝑪𝑫  égaux s'ils ont la même intensité (longueur), la même direction et le même sens  opposés s'ils ont même direction, même module mais des sens opposés ; ils sont dits "directement opposés" s'ils ont même support 11 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia  Le vecteur qui a une longueur de 0 est appelé vecteur nul et est noté ⃗𝟎 (Le vecteur nul n'a évidemment pas de direction, donc pas de sens.). I.3.3.Opérations sur les vecteurs Addition de vecteurs ⃗ +𝒘 La somme 𝒗 ⃗⃗⃗ de deux vecteurs est définie comme suit : on met les deux vecteurs bout à ⃗ coïncide avec le point initial de ⃗𝒘 ⃗ = bout de sorte que le point terminal de 𝒗 ⃗⃗ . Le vecteur 𝒖 ⃗ + ⃗𝒘 𝒗 ⃗⃗ relie le point initial de ⃗𝒗 au point terminal de ⃗𝒘 ⃗⃗ .  L'addition de vecteurs est commutative. Cela signifie que, si ⃗ +𝒘 ⃗ vecteurs, alors 𝒗 ⃗⃗⃗ = ⃗𝒘 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗𝒗 et 𝒘 ⃗⃗⃗ sont des ⃗ et ⃗𝒘  L'addition de vecteurs est aussi associative. Cela veut dire que, si ⃗𝒖 , 𝒗 ⃗⃗ sont des ⃗ +𝒗 ⃗ )+𝒘 ⃗ + (𝒗 ⃗ +𝒘 vecteurs, alors (𝒖 ⃗⃗⃗ = 𝒖 ⃗⃗⃗ ) ⃗ = ⃗𝒗  L'addition a un élément neutre : le vecteur nul. En effet : ⃗𝒗 + 𝟎 ⃗ est le vecteur ayant la même direction et la  Enfin, si ⃗𝒗 est un vecteur, alors −𝒗 ⃗ ⃗ + (−𝒗 ⃗)=𝟎 même intensité que 𝑣 , mais de sens opposé. Donc 𝒗 ⃗ −𝒘 ⃗⃗⃗ de deux vecteurs est définie comme ⃗𝒗 − 𝒘 ⃗⃗⃗ = ⃗𝒗 + (−𝒘 ⃗⃗⃗ ) La différence 𝒗 Multiplication par un scalaire ⃗ un vecteur, alors le produit 𝝀𝑽 ⃗⃗ est défini comme suit : Si λ est un scalaire et 𝑽 12 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ est le vecteur dont l'intensité a λ fois l'intensité de V et  Si λ > 0, alors le produit 𝝀𝑽 ⃗ . dont le sens est le même que ⃗𝑽 ⃗ est le vecteur dont l'intensité a λ fois l'intensité de V et  Si λ < 0, alors le produit 𝝀𝑽 dont le sens est l'opposé de celui de ⃗𝑽 . ⃗ , alors le produit 𝝀𝑽 ⃗ est le vecteur nul.  Si λ = 0 ou si ⃗𝑽 = 𝟎 Exemple récapitulatif I.3.4.Composantes d’un vecteur Ce système est utilisé pour repérer un point dans un plan. Il est composé de deux axes orthogonaux du plan, 𝑶𝒙 et 𝑶𝒚, munis des vecteurs unitaires 𝒊 et 𝒋 orientés positivement 13 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia La position d’un point M du plan est caractérisée par le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴. Soient 𝑴𝒙 et 𝑴𝒚 les projections de M sur les axes 𝑶𝒙 et 𝑶𝒚, respectivement. Remarquons que, par construction : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒚 𝑶𝑴 𝑶𝑴𝒙 + 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝒙𝒊 𝑶𝑴 𝒚𝒋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝑶𝑴 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋) 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴𝒖 ⃗ 𝑶𝑴 ⃗ = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋 𝒖  Les grandeurs algébriques x et y sont les coordonnées cartésiennes du point M dans le système (𝑶 , 𝒙 , 𝒚) ;  Les vecteurs unitaires 𝒊 et 𝒋 forment une base orthonormée (leur module est égal à 1 et ils sont perpendiculaires entre eux).  En n dimensions, les vecteurs ont n composantes Supposons qu'un vecteur terminal 𝑷𝟐 (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ). On a alors : ⃗ 𝒗 a pour point initial 𝑷𝟏 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) et comme point 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ⃗𝒗 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝟏 𝑷𝟐 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝒊 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝒋 = ( ) 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 I.3.5.Egalité de deux vecteurs ⃗ et ⃗𝑩 ⃗⃗ = 𝑨𝒙 𝒊 + 𝑨𝒚 𝒋 + 𝑨𝒛 𝒌 ⃗ = 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋 + 𝑩𝒛 ⃗𝒌 sont Deux vecteurs 𝑨 égaux si leurs composantes sont égales une à une ; c.à.d. 𝑨𝒙 = 𝑩𝒙 ,𝑨𝒚 = 𝑩𝒚 et 𝑨𝒛 =𝑩𝒛 I.3.6.produit scalaire ⃗⃗ = 𝑨𝒙 𝒊 + 𝑨𝒚 𝒋 + 𝑨𝒛 ⃗𝒌 et ⃗𝑩 ⃗ = 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋 + 𝑩𝒛 ⃗𝒌 faisant un angle θ entre Soit deux vecteurs 𝑨 eux 0 ≤ θ ≤ π ⃗ est le scalaire défini par : Le produit scalaire des deux vecteurs𝐴et𝐵 ⃗⃗ . 𝑩 ⃗⃗ = ‖𝑨 ⃗ ‖‖𝑩 ⃗⃗ ‖ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝑨 14 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Leproduitscalairepeutêtreaussiexpriméentermesdescomposantesdesvecteurs: ⃗⃗ . 𝑩 ⃗⃗ = 𝑨𝒙 𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 + 𝑨𝒛 𝑩𝒛 𝑨 Propriétés  En comparant les deux expressions du produit scalaire, on peut obtenir une expression de l’angle en fonction des coordonnées des deux vecteurs : 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝑨𝒙 𝑩𝒙 + 𝑨𝒚 𝑩𝒚 + 𝑨𝒛 𝑩𝒛 ⃗ ‖‖𝑩 ⃗⃗ ‖ ‖𝑨 ⃗⃗ = 𝟎 ⟹ 𝑨 ⃗⃗ ⊥ ⃗𝑩 ⃗  Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul : ⃗𝑨. 𝑩  le produit scalaire permet de définir le module d’u vecteur𝐴: ⃗ ‖ = √𝑨 ⃗⃗ . 𝑨 ⃗ = √⃗𝑨𝟐 = √𝑨𝒙 𝟐 + 𝑨𝒚 𝟐 + 𝑨𝒛 𝟐 ‖𝑨 I.3.7.Produit vectoriel ⃗⃗ et 𝑩 ⃗⃗ deux vecteurs quelconques. Le produit vectoriel des deux vecteurs Soient 𝑨 ⃗ et ⃗𝑩 ⃗ est le vecteur noté ⃗𝚷 ⃗ = ⃗𝑨 ∧ 𝑩 ⃗⃗ tel que : 𝑨 ⃗ est orthogonal à ⃗𝑨 et orthogonal à ⃗𝑩 ⃗ .  le vecteur ⃗𝚷 ⃗⃗ , 𝑩 ⃗⃗ , 𝚷 ⃗⃗ ) est direct  le trièdre (𝑨 ⃗⃗ ‖ = ‖𝑨 ⃗⃗ ‖‖𝑩 ⃗⃗ ‖ 𝐬𝐢𝐧(𝑨 ⃗ ,𝑩 ⃗⃗ )  ‖𝚷 Propriétés du produit vectoriel  Le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si les deux vecteurs ont la même direction (𝜽 = 𝟎) ou l’un des vecteurs est nul. ⃗ ∧𝑩 ⃗⃗ = −𝑩 ⃗⃗ ∧ 𝑨 ⃗  Le produit vectoriel est anticommutatif (antisymétrique):𝑨 Le tableau suivant résume les propriétés du produit vectoriel. Les formules du produit scalaire sont aussi rajoutées par comparaison. Notation Nature de la grandeur valeur Produit scalaire ⃗ 𝐴. 𝐵 Nombre (scalaire) positif ou négatif ⃗ = ‖𝐴‖‖𝐵 ⃗ ‖ cos(𝐴, 𝐵 ⃗) 𝐴. 𝐵 Produit vectoriel ⃗ 𝐴∧𝐵 Vecteur ⃗ ‖ = ‖𝐴‖‖𝐵 ⃗ ‖ sin(𝐴, 𝐵 ⃗) ‖𝐴 ∧ 𝐵 15 Chapitre I Rappels mathématiques commutativité distributivité Vecteur avec lui-même Cas du produit nul Valeur maximale du produit Valeur en coordonnées cartésiennes Définition géométrique ⃗ =𝐵 ⃗ .𝐴 𝐴. 𝐵 ⃗ ⃗ + 𝐴. 𝐶 𝐴. (𝐵 + 𝐶 ) = 𝐴. 𝐵 2 𝐴. 𝐴 = ‖𝐴‖ ⃗ = 0 si et seulement si les 2 𝐴. 𝐵 vecteurs sont orthogonaux ou bien un des vecteurs est nul. ⃗ sont colinéaires alors 𝐴et 𝐵 ⃗ | = ‖𝐴‖‖𝐵 ⃗‖ |𝐴. 𝐵 ⃗ Si 𝐴 = ( 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 )et 𝐵 = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 ) ⃗ =𝐴𝑥 𝐵𝑥 +𝐴𝑦 𝐵𝑦 +𝐴𝑧 𝐵𝑧 ,alors𝐴. 𝐵 Le produit scalaire représente la projection d'un vecteur sur une direction définie par un des vecteurs Dr Benhalima Nadia ⃗ = −𝐵 ⃗ ∧𝐴 𝐴∧𝐵 ⃗ ⃗ +𝐴∧𝐶 𝐴 ∧ (𝐵 + 𝐶 ) = 𝐴 ∧ 𝐵 ⃗ ∧ 𝐶 ) ≠ (𝐴 ∧ 𝐵 ⃗)∧𝐶 Mais 𝐴 ∧ (𝐵 ⃗ 𝐴∧𝐴=0 𝐴 ∧ 𝐴 = ⃗0t seulement si les 2 vecteurs sont colinéaires ou bien un des vecteurs est nul ⃗ sont orthogonaux alors 𝐴et 𝐵 ⃗ | = ‖𝐴‖‖𝐵 ⃗‖ |𝐴 ∧ 𝐵 ⃗ Si 𝐴 = ( 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 )et 𝐵 = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 ) , alors ⃗ = A y Bz − A z By , A z Bx − A x B z , A x By − A y Bx 𝐴∧𝐵 La norme du produit vectoriel représente l'aire du ⃗ parallélogramme porté par les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 ⃗ 𝟏, 𝒖 ⃗ 𝟐, 𝒖 ⃗ 𝟑 ) est une base orthonormée directe, alors ⃗𝒖𝟑 = 𝒖 ⃗ 𝟏 ∧ ⃗𝒖𝟐 , 𝒖 ⃗ 𝟐=𝒖 ⃗ 𝟑∧𝒖 ⃗𝟏, Enfin, si (𝒖 ⃗𝒖𝟏 = 𝒖 ⃗ 𝟐∧𝒖 ⃗ 𝟑 . A la place des indices 1, 2 et 3, on peut mettre x, y, z (pour les coordonnées cartésiennes) ; r, θ, z (pour les coordonnées cylindriques) ; r, θ, ϕ (pour les coordonnées sphériques) ou encore t, n, z (coordonnées intrinsèques). Ces formules simples sont très utiles pour déterminer un des vecteurs de base connaissant les deux autres... On utilisera la figure ci-dessous pour mémoriser le produit vectoriel. I.3.8.Dérivée d’un vecteur ⃗ La dérivée du vecteur ⃗𝑽 ⃗⃗ (𝒕) = 𝑽𝒙 (𝒕)𝒊 + 𝑽𝒚 (𝒕)𝒋 + 𝑽𝒛 (𝒕)𝒌 ⃗ (𝒕) dans la base Soit un vecteur 𝑽 ⃗ ) dont les composantes sont les dérivées des composantes du vecteur ⃗𝑽 ⃗ (𝒕): fixe ( 𝒊, 𝒋, 𝒌 ⃗ (𝒕) 𝒅𝑽𝒙 (𝒕) 𝒅𝑽𝒚 (𝒕) 𝒅𝑽𝒛 (𝒕) 𝒅𝑽 ⃗ = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Ilestimportantdenoterquedanscecaslesvecteursdelabasesontconsidérésfixe;c.à.d. Propriétés  Linéarité : ⃗ 𝟏 +𝜷𝑽 ⃗ 𝟐) 𝒅(𝜶𝑽 𝒅𝒕 =𝜶 ⃗𝟏 𝒅𝑽 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝒊 𝒅𝒋 𝒅𝒌 ⃗ + + =𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 +𝜷 ⃗𝟐 𝒅𝑽 𝒅𝒕 16 Chapitre I Rappels mathématiques  Dérivée d’un produit scalaire: ⃗ 𝟏 .𝑽 ⃗ 𝟐) 𝒅(𝑽  Dérivée d’un produit vectoriel : 𝒅𝒕 = ⃗ 𝟏 ∧𝑽 ⃗ 𝟐) 𝒅(𝑽 𝒅𝒕 ⃗𝟏 𝒅𝑽 𝒅𝒕 = Dr Benhalima Nadia ⃗⃗ ⃗ 𝟏 . 𝒅𝑽𝟐 . ⃗𝑽𝟐 + 𝑽 ⃗𝟏 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝟐+𝑽 ⃗ 𝟏∧ ∧𝑽  Dérivée du produit d’un vecteur par une fonction scalaire: I.3.9.Différentielle ⃗𝟐 𝒅𝑽 𝒅𝒕 ⃗) 𝒅(𝒇𝑽 𝒅𝒕 = 𝒅𝒇 𝒅𝒕 ⃗ ⃗𝑽 ⃗ + 𝒇 𝒅𝑽 𝒅𝒕 Dérivée partielle d’une fonction à plusieurs variables : Soit la fonction 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) dépendant de trois variables. La dérivée partielle de 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)par rapport à l’une des variables est obtenue en calculant la dérivée en considérant les deux autres variables constantes. Ainsi :  la dérivée partielle de 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) par rapport à x, notée 𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛) 𝝏𝒙 est obtenue en dérivant par rapport à x et en considérant y et z comme des constantes.  la dérivée partielle de 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) par rapport à y, notée 𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛)  la dérivée partielle de 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) par rapport à z, notée 𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛) 𝝏𝒚 est obtenue en dérivant par rapport à y et en considérant x et z comme des constantes. 𝝏𝒛 est obtenue en dérivant par rapport à z et en considérant x et y comme des constantes. Exemple La fonction 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙 possède deux dérivées partielles : 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏(𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙) = = 𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏(𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙) = = 𝟑𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒚 On définit les dérivées partielles d’ordre supérieur par : 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟐 𝒇 = ( ) 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝟐 𝒇 𝝏 𝝏𝒇 = ( ) 𝝏𝒚𝟐 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟐 𝒇 { 𝝏𝒛𝟐 = 𝝏𝒛 (𝝏𝒛) 17 Chapitre I Rappels mathématiques I.3.10.Différentielle totale Dr Benhalima Nadia 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟐 𝒇 = ( ) 𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟐 𝒇 = ( ) {𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚  différentielle du champ scalaire 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) est définie par : 𝒅𝒇 = 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 + 𝒅𝒛 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒙 ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) est défini par :  différentielle d’un champ vectoriel 𝑽 Exemple ⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒅𝑽 ⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) ⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) ⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏𝑽 𝝏𝑽 𝝏𝑽 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 + 𝒅𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒚𝒙 d𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛) 𝝏𝒙 𝒅𝒙 + 𝝏𝒇(𝒙,𝒚,𝒛) 𝝏𝒚 𝒅𝒚 d𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚)𝒅𝒙 + 𝟑𝒙𝒅𝒚 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏𝟐 𝒇 (𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚) = 𝟐𝟒𝒙𝟐 = ( )= 𝟐 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏𝟐 𝒇 (𝟑𝒙) = 𝟎 = ( )= 𝟐 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝟐 𝒇 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 (𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒚) = 𝟑 = ( )= 𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝟐 𝒇 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 (𝟑𝒙) = 𝟑 = ( )= 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 I.3.11.Opérateurs différentiels Gradient (Le gradient d’un scalaire est un vecteur) 18 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Soit 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) une fonction continue et dérivable. Le vecteur gradient de la fonction ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et défini de la façon suivante : scalaire𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)est le vecteur noté 𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) ⃗ 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 ⃗ (nabla) défini par : Il est commode d’introduire l’opérateur différentiel ⃗𝜵 𝝏 𝝏𝒙 𝝏 𝝏 𝝏 𝝏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜵 ⃗𝒌 = ⃗⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒊+ 𝒋+ 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏 ( 𝝏𝒛 ) Ceci permet d’écrire le gradient d’une fonction scalaire 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) sous la forme ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇 = 𝜵 ⃗⃗ 𝒇 suivante𝒈𝒓𝒂𝒅 Exemple Calculer le gradient de la fonction 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝝏(𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) ⃗ 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟔𝒙𝒚𝟑 𝒛 𝒊 + 𝟗𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝒋 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 ⃗𝒌 𝒈𝒓𝒂𝒅 Divergence (La divergence d’un vecteur est un scalaire) L’opérateur nabla définit précédemment permet de définir aussi la divergence d’un vecteur: ⃗ =𝜵 ⃗⃗ . 𝑽 ⃗ 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑽 ⃗ = 𝑽𝒙 𝒊 + 𝑽𝒚 𝒋 + 𝑽𝒛 ⃗𝒌est donnée par : Ainsi, la divergence d’un vecteur 𝑽 Exemple ⃗⃗ = 𝒅𝒊𝒗 𝑽 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝑽𝒛 + + 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒚𝟑 𝒛 𝒊 + 𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝒋 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟑 ⃗𝒌 Calculer la divergence de la fonction vectorielle𝑽 ⃗⃗ = 𝒚𝟑 𝒛 + 𝟒𝒙𝟐 𝒚𝒛 + 𝟎 𝒅𝒊𝒗 𝑽 Rotationnel (le rotationnel d’un vecteur est un vecteur) ⃗ = 𝑽𝒙 𝒊 + 𝑽𝒚 𝒋 + 𝑽𝒛 ⃗𝒌 est un vecteur définit en utilisant Le rotationnel du vecteur 𝑽 ⃗⃗ : l’opérateur 𝜵 19 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = ⃗𝛁 ⋀ 𝑽 ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑽 𝒓𝒐𝒕 𝒊 𝒋 𝝏 𝝏 ⃗⃗ ⋀ 𝑽 ⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = || 𝛁 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝑽𝒙 𝑽𝒚 I.3.12.Exercices ⃗𝒌 𝝏| | 𝝏𝒛 𝑽𝒛 Exercice 1 ⃗ = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒆 ⃗ 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆 ⃗ 𝒚 + 𝐞−𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒛 Soit le vecteur 𝒓 Exprimer les vecteurs Exercice 2 – Solution ⃗ 𝒅𝒓 et 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝟐 𝒓 𝒅𝒕𝟐 ainsi que leurs module au temps 𝒕 = 𝟎𝒔 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 −𝝎𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ⃗ 𝒅𝒓 ⃗𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆 ⃗ 𝒚 + 𝐞−𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒛 → 𝒓 ⃗ = { 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 → = { 𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝐞−𝝎𝒕 −𝝎𝐞−𝝎𝒕 ⃗ 𝒅𝒓 ⃗ 𝒙 + 𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒚 −𝝎𝐞−𝝎𝒕 𝒆 ⃗𝒛 = −𝝎𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆 𝒅𝒕 −𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗ 𝒅𝟐 𝒓 = { −𝝎𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝝎𝟐 𝐞−𝝎𝒕 ⃗ 𝒅𝟐 𝒓 ⃗ 𝒚 + 𝝎𝟐 𝐞−𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒛 = −𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ⃗𝒆𝒙 − 𝝎𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆 𝒅𝒕𝟐 𝟎 ⃗ 𝒅𝒓 ={ 𝝎 𝒅𝒕 −𝝎 𝒕 = 𝟎𝒔 → 𝟐 −𝝎𝟐 ⃗ 𝒅 𝒓 ={ 𝟎 𝟐 { 𝒅𝒕 𝝎𝟐 ⃗ ⃗ 𝒅𝒓 𝒅𝒓 ⃗ 𝒙 + 𝝎𝒆 ⃗𝒚−𝝎 𝒆 ⃗ 𝒛 → ‖ ‖ = 𝝎√𝟐 =𝟎𝒆 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ ⃗ 𝒅𝟐 𝒓 𝒅𝟐 𝒓 𝟐 𝟐 ⃗ ⃗ ⃗ + 𝟎 𝒆 + 𝝎 𝒆 → ‖ = −𝝎 𝒆 ‖ = 𝝎𝟐 √𝟐 𝒙 𝒚 𝒛 𝟐 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 I.4.Systèmes de coordonnées I.4.1.Coordonnées Cartésiennes 20 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia C'est un repère d'espace orthonormé, noté R, d'origine O et de vecteurs de base (𝒊, 𝒋, ⃗𝒌) . La position du point M est caractérisée par ses coordonnées cartésiennes x, y, z. Le vecteur d'équations ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 s'écrit alors : ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est définie par: La norme du vecteur 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 |𝑶𝑴 Déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes: ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌 𝒅𝑶𝑴 Élément de volume en coordonnées cartésiennes: 𝒅𝑽 = 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 I.4.2.Coordonnées Polaires La position du point matériel M est alors définie par la distance r du point M au point O (r = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ) et par l’angle polaire θ (angle orienté de rotation). La base des coordonnées polaires |𝑶𝑴 ⃗ 𝒓 ,𝒖 ⃗ 𝜽) est (𝒖 21 Chapitre I Rappels mathématiques ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s'écrit alors: Le vecteur 𝑶𝑴 Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 = 𝒓 𝒖 ⃗𝒓 ⃗ 𝒓 = vecteur unitaire dont la direction et le sens sont ceux du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 .  𝒖 ⃗ 𝜽 = vecteur unitaire obtenu à partir de ⃗𝒖𝒓 par rotation de +π/2 autour de l'axe Oz.  𝒖 Les coordonnées polaires de M sont donc (𝒓, 𝜽) tel que 𝒓Є[𝟎, +∞]et 𝜽Є[𝟎, 𝟐𝝅] Lorsque l’on souhaite passer du système de coordonnées polaires au système de coordonnés cartésiennes (ou inversement) il existe des relations simples entre les différentes composantes (coordonnées et vecteur de base):   Relations sur les coordonnées : { Relations sur les vecteurs :{ 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽 ⃗𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋 ⃗ 𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋 𝒖 ⃗𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋 ⃗𝒓 𝒅𝒖 ⃗ 𝒓) {𝒅𝒖 ⊥𝒖 →( ⃗ 𝒓 𝒅(𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋) 𝒅𝜽 ⃗𝜽 = = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋 = 𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝜽 ⃗𝒖𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋 ⃗𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽) →( {𝒅𝒖 ⊥𝒖 ⃗ 𝜽 𝒅(−𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋) 𝒅𝜽 ⃗𝒓 = = −(𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋) = −𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝜽 I.4.3. Coordonnées Cylindriques ⃗ 𝒓 ,𝒖 ⃗ 𝜽, 𝒖 ⃗ 𝒛 ) . La C'est un repère d'espace orthonormé: d'origine O et de vecteurs de base (𝒖 position du point M est caractérisée par ses coordonnées cylindriques r, θ et z. Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s'écrit alors : 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 𝒖 𝑶𝑯 + 𝑯𝑴 ⃗ 𝒓 + 𝒛𝒖 ⃗𝒛 𝑶𝑴 ⃗ 𝒓 par rotation de π/2 autour de l'axe Oz.  ⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝜽 vecteur unitaire obtenu à partir de 𝒖 22 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia  H est la projection orthogonale de M sur le plan 𝒙𝑶𝒚 (et r = OH). ⃗ 𝑟.  θ est l'angle formé entre 𝒊 et 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est définie par: La norme du vecteur 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √𝒓𝟐 + 𝒛𝟐 |𝑶𝑴 Lorsque l’on souhaite passer du système de coordonnées polaires au système de coordonnés cartésiennes (ou inversement) il existe des relations simples entre les différentes composantes (coordonnées et vecteur de base):   𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 Relations sur les coordonnées : {𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒛 = 𝒛 ⃗𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋 ⃗ 𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋 Relations sur les vecteurs : {𝒖 ⃗𝒖𝒛 = ⃗𝒌 Remarque Dans le cas particulier: 𝒛 = 𝟎, la représentation cylindrique devient la représentation polaire dans le plan 𝒙𝑶𝒚. I.4.4. Coordonnées Sphériques Considéronslerepère (o,𝒊, 𝒋, ⃗𝒌) des coordonnées cartésiennes. On construit la sphère de centre O et contenant le point matériel M sur sa surface. On appelle m le projeté du point Md’étude dans le plan (𝒙, 𝒐, 𝒚). On note ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑶𝑴 = 𝒓 > 𝟎 :‖𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒖𝒓 : le vecteur unitaire orienté par 𝑶𝑴 ⃗ 𝒓 ,𝒖 ⃗ 𝜽, 𝒖 ⃗ 𝝋 ) forment la base orthonormée du système. Cette base est Les vecteurs de base (𝒖 utilisée dans tous les problèmes présentant une symétrie sphérique. 23 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Tout point M de l’espace est repéré par ses trois coordonnées sphériques r, 𝜃 et 𝜑. Le ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est radial ; il est défini par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vecteur 𝑶𝑴 𝑶𝑴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝒎 + 𝒎𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 𝑶𝒎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌 𝒎𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 𝑶𝒎 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒎𝑴 = 𝐫 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓(𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌) 𝑶𝑴 { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝒖 𝑶𝑴 ⃗ 𝒓 = 𝒓𝒖 ⃗𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est définie par:|𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝒓 La norme du vecteur 𝑶𝑴 ⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗⃗𝒌 𝒖 ⃗𝒓 𝒅𝒖 ⃗𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗⃗𝒌 = 𝒖 𝒅𝜽 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗⃗𝒌 𝒖 ⃗ 𝒓 ,𝒖 ⃗ 𝜽, 𝒖 ⃗ 𝝋 base orthonormée directe:𝒖 ⃗𝝋=𝒖 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗ 𝜽,𝒖 ⃗𝜽=𝒖 ⃗ 𝝋∧𝒖 ⃗ 𝒓,𝒖 ⃗ 𝒓=𝒖 ⃗ 𝜽∧𝒖 ⃗ 𝝋. 𝒖 𝒊 ⃗ 𝝋=𝒖 ⃗ 𝒓 ∧ ⃗𝒖𝜽 = | 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒖 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 ⃗ 𝝋 = 𝒊| 𝒖 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 | − 𝒋| −𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 ⃗ 𝒋 𝒌 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝛉 | 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗ | 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 | |+𝒌 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 ⃗ 𝝋 = 𝒊(−𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋) − 𝒋(−𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋) 𝒖 + ⃗𝒌(𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋) ⃗ 𝝋 = 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 (− 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) − 𝒋 𝐜𝐨𝐬 𝝋 (−𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) 𝒖 24 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ 𝝋 = −𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 (𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) + 𝒋 𝐜𝐨𝐬 𝝋 (𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) 𝒖 ⃗ 𝝋 = −𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 + 𝒋 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒖 ⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋 𝒖 ⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌 𝒖 ⃗ {𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌 ⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋 𝒖 Lorsque l’on souhaite passer du système de coordonnées sphériques au système de coordonnés cartésiennes (ou inversement) il existe des relations simples entre les différentes composantes (coordonnées et vecteur de base):   𝒙 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 Relations sur les coordonnées : {𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 ⃗ ⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝒌 𝒖 Relations sur les vecteurs : {𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗𝒌 ⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋 𝒖 Différentielle d’un vecteur en coordonnées sphériques M se déplace de :    𝒅𝒓 quand il passe de 𝒓 à 𝒓 + 𝒅𝒓 ; 𝒓𝒅𝜽 quand il passe de 𝜽 à 𝜽 + 𝒅𝜽 ; 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋 quand il passe de 𝝋 à 𝝋 + 𝒅𝝋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ graphiquement: Il est plus facile de déterminer 𝒅𝑶𝑴 25 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝑴𝑴 ⃗ 𝒓 + 𝒓𝒅𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋 𝒖 ⃗𝝋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est appelé déplacement élémentaire, noté 𝒅𝒍 𝒅𝑶𝑴 𝒙 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋 { 𝒚 = 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 → 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋 𝒛 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 → 𝒅𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽 En remplaçant dans ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌 𝒅𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋)𝒊 𝒅𝑶𝑴 + (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋)𝒋 ⃗ + (𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽)𝒌 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌 𝒅𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓𝒊 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽𝒊 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓𝒋 𝒅𝑶𝑴 ⃗ − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽𝒌 ⃗ + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽𝒋 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓𝒌 ⃗ )𝒅𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒌 𝒅𝑶𝑴 ⃗ )𝒅𝜽(−𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒊 + (𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒌 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒋)𝒅𝝋  ⃗ )𝒅𝒓 + (𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒌 𝒅𝑶𝑴 ⃗ )𝒓𝒅𝜽 + (−𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒋) 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒌 on obtient: { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓𝒅𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋 𝒖 ⃗𝝋 𝒅𝑶𝑴 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌 𝒅𝑶𝑴 ⃗ ⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝒌 𝒖 I.4.5. Exercices {𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗𝒌 ⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋 𝒖 26 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Exercice 1 ⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒆 ⃗ 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚 Soient le vecteur 𝒖     ⃗ 𝒓 est un vecteur unitaire a) montrer que le vecteur 𝒖 b) calculer ⃗𝒖𝜽 = ⃗𝒓 𝒅𝒖 𝒅𝒕 et ⃗𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝒕 ⃗𝜽 c) calculer l'angle entre ⃗𝒖𝒓 et 𝒖 ⃗) ⃗ 𝒓 ∧ ⃗𝒖𝜽 ) et (𝒖 ⃗ 𝜽∧𝒌 b) calculer les produits (𝒖 Exercice 1 – Solution ⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒆 ⃗𝒚 𝒖 a) b) c) ⃗𝜽= 𝒖 ⃗ 𝒓 = √(𝐜𝐨𝐬 𝜽 )𝟐 + (𝐬𝐢𝐧 𝜽 )𝟐 = 𝟏 𝒖 ⃗𝒓 𝒅 𝒅𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒚 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚 ) = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒆 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝜽 𝒅𝒖 𝒅 ⃗ 𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒆 ⃗ 𝒚 = −𝒖 ⃗𝒓 = (− 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒚 ) = − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒆 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒓. 𝒖 ⃗ 𝜽 = ‖𝒖 ⃗ 𝒓 ‖ ‖𝒖 ⃗ 𝜽 ‖ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒓 . ⃗𝒖𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 → (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒆 ⃗ 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ⃗𝒆𝒚 )(− 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒆 ⃗ 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗𝒆𝒚 ) = 𝟎 𝒖 d) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟎 → 𝜽 = (𝒖 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗ 𝜽 ) = ⃗𝒌 𝝅 𝟐 ⃗ = ⃗𝒖𝒓 ⃗ 𝜽∧𝒌 𝒖 27 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia II. Cinématique du point matériel II.1. Définitions Générales L’objet de la cinématique est l’étude des mouvements des corps en fonction du temps, sans tenir compte des causes qui le produisent. Les grandeurs physiques de la cinématique sont le temps, la position, la vitesse et l’accélération. "Etudier le mouvement" veut dire :  Trouver l’équation de la trajectoire du mobile.  Trouver la relation mathématique entre vitesse et temps.  Trouver la relation entre position et temps.  Trouver la relation entre vitesse et position. Pour étudier un mouvement, il faut:  un système de référence ou repère = (trois axes orientés + une origine)  une horloge Un point matériel est un objet infiniment petit devant les distances caractéristiques du mouvement pour être considéré comme ponctuel. Pour décrire la position d’un point nous avons besoin d’un repère: repère = origine + base Le plus souvent la base est orthonormée : le repère est alors appelé repère cartésien (𝑶, 𝒊, ⃗) 𝒋, 𝒌 Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que: ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) = 𝒙(𝒕) 𝒊 + 𝒚(𝒕)𝒋 + 𝒛(𝒕) 𝒌 𝑶𝑴 Si le point M est en mouvement (On distingue essentiellement trois type de mouvements : translation, Rotation et Vibration): le Vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 dépend du temps 28 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le mobile M lors de son mouvement. Celle–ci peut être rectiligne ou bien curviligne. Elle peut être ouverte ou fermée. Exemple Un mobile est repéré par les coordonnées suivantes : 𝒙 (𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝒘𝒕 { 𝒚 (𝒕) = 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒘𝒕 En supprimant le temps, on obtient :𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝑨𝟐 La trajectoire est donc un cercle de centre O et de rayon A L’équation de la trajectoire est une relation qui lie les coordonnées du point entre elles. II.2. Mouvement rectiligne Trajectoire d’un mouvement rectiligne est une droite ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙(𝒕)𝒊 avec 𝒙(𝒕) est appelée équation horaire du mouvement Vecteur position:𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vecteur déplacement:𝑴 𝟏 𝑴𝟐 = ∆𝑶𝑴 = 𝑶𝑴𝟐 − 𝑶𝑴𝟏 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝒊 Vecteur vitesse moyenne: Si ∆𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 est le temps mis entre 𝑴𝟏 et 𝑴𝟐 , la vitesse moyenne est: ⃗𝑽 ⃗𝒎= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 − 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝟏 𝑴𝟐 ∆𝑶𝑴 = = ∆𝒕 𝒕𝟐 − 𝒕 𝟏 ∆𝒕 29 Chapitre I Rappels mathématiques ⃗𝑽 ⃗𝒎= Dr Benhalima Nadia 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ∆𝒙 𝒊= 𝒊 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 ∆𝒕 Vecteur vitesse instantanée: c’est la vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps très petit, qui à la limite tend vers zéro ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) 𝒅𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) ∆𝑶𝑴 = ∆𝒕→ 𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙 ∆𝒙 ⃗ =𝑽 ⃗ 𝒊 = 𝐥𝐢𝐦 𝒊= 𝒊 𝑽 ∆𝒕→ 𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 ⃗ =𝑽 ⃗ 𝒊 = 𝐥𝐢𝐦 𝑽   Si on a l’expression de 𝒙(𝒕), alors Si on a le graphe de 𝒙(𝒕), alors ⃗𝒎= Vecteur accélération moyenne :𝒂 direction. ⃗ ∆𝑽 ∆𝒕 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 désigne la dérivée de 𝒙(𝒕). désigne la pente de la tangente à la courbe x(t). ⃗ 𝟐 −𝑽 ⃗𝟏 𝑽 𝒕𝟐 −𝒕𝟏 ⃗⃗ Sont dans le même sens et ⃗ 𝒎 et ∆𝑽 avec 𝒂 ⃗ ∆𝑽 Vecteur accélération instantanée: ⃗𝒂 = ⃗𝒂𝒊 = 𝐥𝐢𝐦∆𝒕→ 𝟎 ∆𝒕 =  Si on a l’expression de v(t), alors  Si on a le graphe de v(t), alors 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝑑𝑉 𝑑𝑡 ⃗ 𝒅𝑽 𝒅𝒕 désigne la dérivée de v(t). désigne la pente de la tangente à la courbe v(t). ⃗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 et 𝐚 ⃗ = ⃗𝟎 Mouvement rectiligne uniforme:𝑽 Représentation graphique du Mouvement rectiligne uniforme (MRU) 30 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ >0 ⃗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 et 𝒂 ⃗ .𝑽 Mouvement rectiligne uniformément accéléré:𝒂 ⃗ <0 ⃗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 et 𝒂 ⃗ .𝑽 Mouvement rectiligne uniformément retardé ou décéléré:𝒂 Passage de la vitesse à la position: 𝒙𝟐 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 = 𝑽𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑽= 𝒕𝟐 𝒕𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝑽𝒅𝒕 → 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = ∫ 𝑽𝒅𝒕 𝒙𝟏 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒙𝟐 = ∫ 𝑽𝒅𝒕 + 𝒙𝟏 𝒕𝟏 𝒕𝟏 Passage de l’accélération à la vitesse: 𝒂= 𝒅𝑽 → 𝒅𝑽 = 𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑽𝟐 𝒕𝟐 ∫ 𝒅𝑽 = ∫ 𝒂 𝒅𝒕 𝑽𝟏 𝒕𝟏 Mouvement rectiligne uniforme (MRU):Le MRU est un mouvement rectiligne à vitesse constante : 𝑽(𝒕) = 𝑽𝟎 Par conséquent : 𝒂= 𝒅𝑽𝟎 (𝒆𝒏𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒏𝒕) → 𝒂 = 𝟎 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒙 = 𝑽𝟎 (𝒆𝒏 𝒊𝒏𝒕é𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕) → 𝒙(𝒕) = 𝒙(𝒕𝟎 ) + ∫ 𝑽𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒕𝟎 𝒙(𝒕) = 𝒙(𝒕𝟎 ) + 𝑽𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 ) où 𝒙𝟎 = 𝒙(𝒕𝟎 ) C'est une équation, représentée par une droite. Le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA ou MRUV):Un mouvement est dit uniformément accéléré si la trajectoire est une droite et si l’accélération est constante. 31 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒂 = 𝒂𝟎 Par conséquent : 𝒕 𝒅𝑽 = 𝒂𝟎 (𝒆𝒏 𝒊𝒏𝒕é𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕) → 𝑽(𝒕) = 𝑽(𝒕𝟎 ) + ∫ 𝒂𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒕𝟎 𝑽(𝒕) = 𝑽(𝒕𝟎 ) + 𝒂𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 ) où 𝑽𝟎 = 𝑽(𝒕𝟎 ) 𝑽(𝒕) = 𝑽𝟎 + 𝒂𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 ) 𝒕 𝒅𝒙 = 𝑽𝟎 + 𝒂𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 )(𝒆𝒏 𝒊𝒏𝒕é𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕) → 𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + ∫ (𝑽𝟎 + 𝒂𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 )) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒕𝟎 𝟏 𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝑽𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 ) + 𝒂𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟐 𝟐 La représentation graphique de l’abscisse x en fonction du temps t est une parabole. Relation entre a, v et x: 𝑽 − 𝑽𝟎 𝒂𝟎 𝑽 − 𝑽𝟎 𝟐 𝑽 − 𝑽𝟎 𝟏 𝒙 = 𝒙 𝟎 + 𝒗𝟎 + 𝒂𝟎 [ ] 𝟐 𝒂𝟎 𝒂𝟎 { 𝑽 = 𝑽𝟎 + 𝒂𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 ) → (𝒕 − 𝒕𝟎 ) = 𝑽𝟐 = 𝑽𝟐𝟎 + 𝟐𝒂𝟎 (𝒙 − 𝒙𝟎 ) II.3.Mouvement dans l’espace ou curviligne II.3.1.Position d’un mobile On peut définir la position d’un point dans l’espace de deux manières:  En repérant le point par rapport à un repère orthonormé 32 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) = 𝒓 ⃗ (𝒕) Le vecteur position s’écrit :𝑶𝑴  En considérant un point sur la trajectoire pris comme origine On parle d’abscisse curviligne notée : 𝒔 = 𝑴̂ 𝟏 𝑴𝟐 La loi décrivant s(t) en fonction du temps est appelée équation horaire II.3.2.Vecteur déplacement C’est la distance pour aller du point 𝑴𝟏 au point 𝑴𝟐 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (𝒕) 𝑴 𝟏 𝑴𝟐 = ∆𝑶𝑴(𝒕) = ∆𝒓 33 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia II.3.3.Vecteur vitesse d’un point La vitesse d’un mobile caractérise la variation de sa position au cours du temps. Vecteur vitesse moyenne Soit deux positions du mobile 𝑴𝟏 et 𝑴𝟐 à deux instants 𝒕 et 𝒕 + ∆𝒕. ⃗𝒎= 𝑽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) ∆𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (𝒕) 𝑴𝟏 𝑴𝟐 ∆𝑶𝑴 = = ∆𝒕 ∆𝒕 ∆𝒕 Le vecteur vitesse moyenne est parallèle au vecteur déplacement Vecteur vitesse instantanée ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) ∆𝒓 ⃗ (𝒕) 𝒅𝒓 ⃗ (𝒕) ∆𝑶𝑴 = = ∆𝒕→ 𝟎 ∆𝒕 ∆𝒕 𝒅𝒕 ⃗ (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 𝑽 34 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Où le sigle ∆ désigne la variation de la grandeur qu’il accompagne. Mathématiquement, cette limite de taux d’accroissement est la dérivée du vecteur position par rapport au temps Conclusion la vitesse instantanée à l’instant t est assimilée à la vitesse moyenne entre deux instants 𝑡1 et 𝑡2 , tel que t est milieu de [𝑡1 , 𝑡2 ] et ∆𝑡 petit. II.3.4.Vecteur accélération Accélération moyenne Elle caractérise la variation du vecteur vitesse ⃗ 𝒎 (𝒕) = 𝒂 ⃗ (𝒕) 𝑽 ⃗ (𝒕𝟐 ) − 𝑽 ⃗ (𝒕𝟏 ) ∆𝑽 = ∆𝒕 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 ⃗ (𝒕) ⃗ 𝒎 (𝒕) a le même sens et direction que ∆𝑽 𝒂 Accélération instantanée ⃗ (𝒕) 𝒅𝑽 ⃗ (𝒕) ∆𝑽 = ∆𝒕→ 𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 ⃗ (𝒕) = 𝒂 ⃗ 𝒊 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 𝒂 II.4.mouvement dans le plan II.4.1.Etude du mouvement en coordonnées polaires On repère le point M par la distance 𝑶𝑴 = 𝒓 et l’angle 𝜽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = { 𝒓(𝒕) 𝑶𝑴 𝜽(𝒕) 𝒓(𝒕) et 𝜽(𝒕) sont les équations paramétriques en coordonnées polaires 35 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ 𝒓 et 𝒖 ⃗𝜽 On prend deux vecteurs nouveaux unitaires 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓𝒖 ⃗𝒓 Puisque :𝑶𝑴 ⃗𝒖𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋 Nous dérivons le vecteur position Or : donc : ⃗⃗ = 𝑽 ⃗ 𝜽 = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒓] ⃗𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝑶𝑴 𝒅[𝒓𝒖 𝒅𝒖 ⃗𝒓 = =𝒓 +𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒓 𝒅𝒖 ⃗ 𝒓 𝒅𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̇ = . =𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⃗ 𝒓 𝒅(𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋) 𝒅𝒖 ⃗𝜽 = = −𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋 = 𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝜽 ⃗⃗ (𝒕) = 𝒓𝒖 ⃗𝜽 𝑽 𝒅𝜽 𝒅𝒓 ⃗𝒓 +𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽 = 𝜽̇ 𝒅𝒕 { 𝒅𝒓 = 𝒓̇ 𝒅𝒕 ⃗⃗ = 𝒓𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̇ + 𝒖 ⃗ 𝒓 𝒓̇ 𝑽 ou encore : soit ⃗⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓𝜽̇𝒖 ⃗𝜽 𝑽 ⃗ = ⃗𝑽𝒓 + 𝑽 ⃗𝜽 𝑽 ⃗ = 𝑽𝒓 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝑽𝜽 𝒖 ⃗𝜽 𝑽 36 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia où : 𝑽𝒓 et 𝑽𝜽 sont les vitesses radiale et orthoradiale respectivement. Nous avons ⃗ = 𝑽𝒓 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝑽𝜽 𝒖 ⃗𝜽 𝑽 alors : ⃗ = 𝒓̇ 𝒂 ⃗ = 𝒂 ⃗ ⃗ 𝒓 + 𝒓𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽] 𝒅[𝒓̇ 𝒖 𝒅𝑽 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝒓 ⃗𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒓̇ 𝒅𝜽̇ 𝒅𝒓 ⃗𝒓 ⃗𝜽 ⃗𝜽 +𝒖 + 𝒓𝜽̇ + 𝒓𝒖 + 𝜽̇𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽̇ = 𝜽̈ 𝒅𝒕 𝒅𝒓̇ { 𝒅𝒕 = 𝒓̈ ⃗ 𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝒓 𝜽̇ = . = −𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⃗ 𝜽 𝒅(−𝒔𝒊𝒏𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋) 𝒅𝒖 ⃗𝒓 = = −𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 − 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋 = −(𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒋) = −𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝜽 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝜽 . 𝜽̇ + 𝒖 ⃗ 𝒓 𝒓̈ + 𝒓𝜽̇(−𝒖 ⃗ 𝒓 𝜽̇) + 𝒓𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̈ + 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 𝒓̇ 𝒂 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝜽 . 𝜽̇ + 𝒖 ⃗ 𝒓 𝒓̈ − 𝒓𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̈ + 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 𝒓̇ 𝒂 ⃗ = (𝒓̈ − 𝒓𝜽̇𝟐 )𝒖 ⃗ 𝒓 + (𝟐 𝒓̇ 𝜽̇ + 𝒓𝜽̈)𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ = 𝒂𝒓 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒂𝜽 𝒖 ⃗𝜽 𝒂 II.4.2.Mouvement circulaire ⃗ =𝒂 ⃗ 𝒓+𝒂 ⃗𝜽 𝒂 𝒓 = 𝑹 = 𝑪𝒕𝒆 le vecteur vitesse est donc : ⃗𝑽 = 𝑹𝜽̇𝒖 ⃗𝜽 ⃗ ‖ = 𝑹𝜽̇ ‖𝑽 Et l’expression du vecteur accélération est : ⃗ = −𝑹𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝑹𝜽̈𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ = 𝒂𝒓 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒂𝜽 𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ =𝒂 ⃗ 𝒓+𝒂 ⃗𝜽 𝒂 Remarquons que cette accélération a deux composantes:  Accélération normale notée par 𝑎𝑁 portée par la normale, dirigée vers le centre, et de sens contraire à 𝑎elle indique la variation de la direction de la vitesse. ⃗ 𝑵 = −𝒂 ⃗ 𝒓 = −(−𝑹𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗ 𝒓 ) = 𝑹𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗ 𝒓 → 𝒂𝒓 = 𝒂𝑵 = 𝑹𝜽̇𝟐 𝒂 37 Chapitre I  Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Accélération tangentielle notée par𝑎 𝑇 , portée par la tangente à la trajectoire au point M , elle indique la variation du module de la vitesse. ⃗𝒂𝜽 = 𝒂 ⃗ 𝑻 = 𝑹𝜽̈𝒖 ⃗ 𝜽 → 𝒂𝜽 = 𝒂𝑻 = 𝑹𝜽̈ II.4.3.Mouvement circulaire uniforme Pour ce mouvement la vitesse est constante en module. Et puisque 𝒓 = 𝑹 = 𝑪𝒕𝒆 , Dans ce cas: ⃗ = 𝑹𝜽̇𝒖 ⃗𝜽 𝑽 𝜽 = 𝝎𝒕 → 𝜽̇ = 𝝎 où 𝝎(𝐫𝐚𝐝/𝐬) est la vitesse angulaire (constante). ⃗𝑽 = 𝑹𝝎 𝒖 ⃗𝜽 ⃗ ‖ = 𝑽 = 𝑹𝝎 (𝒎/𝒔) ‖𝑽 ⃗ = ⃗𝒂𝒓 = −𝑹𝝎𝟐 𝒖 ⃗𝒓 𝒂 ⃗ 𝑵 = −𝒂 ⃗ 𝒓 = −(−𝑹𝝎𝟐 ) = 𝑹𝝎𝟐 𝒖 ⃗𝒓= 𝒂 𝒂𝑵 = 𝑽𝟐 (𝒎/𝒔𝟐 ) 𝑹 𝑽𝟐 ⃗ 𝒖 𝑹 𝒓 Dans le cas d’une trajectoire quelconque il suffit de remplacer R par le rayon de courbure de la trajectoire, 𝝆 , qui est en général fonction du temps : 𝝆 = 𝝆(𝒕) 𝒂𝑵 = 𝑽𝟐 (𝒎/𝒔𝟐 ) 𝝆 II.5.Coordonnées curvilignes ou intrinsèques Si la trajectoire d’un mobile M est connue, on peut l’orienter et choisir un point origine O. La ̂ est l’abscisse curviligne s du point M. valeur algébrique de l’arc 𝒔(𝒕) = 𝑶𝑴  s > 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens de l’orientation.  s < 0 si en allant de O à M on se déplace dans le sens inverse de l’orientation. 38 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Le bon sens impose qu’on oriente la trajectoire dans le sens du mouvement. La fonction 𝒔 = 𝒔(𝒕) est appelée équation horaire du mouvement ⃗𝒖𝑻 : porté par la tangente à la trajectoire en M est orienté dans le sens positif ⃗ 𝑵 :porté par la perpendiculaire à la trajectoire et dirigée vers l’intérieur 𝒖   Vitesse ⃗ = 𝑽 Accélération ⃗ = 𝒂 Avec { 𝒂𝑻 = 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒂𝑵 = 𝑽 𝒅𝒕 𝒅𝒔(𝒕) ⃗ = 𝑽𝒖 ⃗𝑻 𝒖 𝒅𝒕 𝑻 ⃗ ⃗ 𝑻) ⃗𝑻 𝒅𝑽 𝒅𝑽 𝒅(𝑽𝒖 𝒅𝒖 ⃗𝑻 = =𝑽 +𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝑻 𝒅𝒖 ⃗ 𝑻 𝒅𝜽 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⃗𝑻 𝒅𝒖 ⃗𝑵 { 𝒅𝜽 = 𝒖 𝒅𝑽 𝒅𝜽 ⃗ = ⃗ 𝑻+𝑽 ⃗ = 𝒂𝑻 𝒖 ⃗ 𝑻 + 𝒂𝑵 𝒖 ⃗𝑵 𝒂 𝒖 𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑵 → 𝒂 = √𝒂𝑻 𝟐 + 𝒂𝑵 𝟐 39 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒅𝒔 𝒓𝒅𝜽 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝟏 𝒅𝒔 𝑽 = = 𝒅𝒕 𝒓 𝒅𝒕 𝒓 𝒅𝑽 𝒂𝑻 = 𝒅𝒕 𝑽𝟐 𝒂 = { 𝑵 𝒓 𝒅𝒔 = 𝒓𝒅𝜽 → ⃗ = 𝒂 𝑽𝟐 𝒅𝑽 𝑽 𝒅𝑽 ⃗ 𝑻+𝑽 𝒖 ⃗𝑵= ⃗ 𝑻+ ⃗ = 𝒂𝑻 𝒖 ⃗ 𝑻 + 𝒂𝑵 𝒖 ⃗𝑵 𝒖 𝒖 𝒖 𝒓 𝑵 𝒅𝒕 𝒓 𝒅𝒕 II.5.1.Composantes de Frenet Les composantes de Frenet sont relatives au trièdre défini en un point de la trajectoire (c) par les trois vecteurs unitaires suivants    ⃗ 𝑻 tangent à la trajectoire 𝒖 ⃗ 𝑵 normal à la trajectoire 𝒖 ⃗ 𝑩=𝒖 ⃗ 𝑻∧𝒖 ⃗ 𝑵 vecteur unitaire bi-normale 𝒖 𝒅𝑽 𝑽𝟐 𝑽𝟐 ⃗ 𝑻+ ⃗𝑵 𝒖 𝒖 𝟐 ⃗𝑵 𝒖 ⃗ 𝑻 𝒅𝒖 ⃗𝑻 𝒅𝒖 𝑽 𝒓 𝒅𝒕 ⃗ 𝑵=𝑽 → 𝒖 → = 𝒓 ⃗⃗ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑽 𝒓 ⃗ 𝑻) ⃗𝑻 𝒅𝑽 𝒅(𝑽𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝑽 ⃗ = ⃗𝑻 𝒂 = =𝒖 +𝑽 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 { ⃗ = 𝒂 ⃗𝑻 𝑽 𝒅𝒖 ⃗ = 𝒖 𝒓 𝑵 𝒅𝒕 ⃗ 𝑻 𝒅𝒔 𝟏 ⃗𝑻 𝟏 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗𝑵→ ⃗ = 𝒖 = 𝒖 𝒅𝒕 𝒓 𝒓 𝑵 𝒅𝒕 𝒅𝒔 II.6.Mouvement dans l’espace II.6.1. Etude du mouvement en Coordonnées cartésiennes ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) = 𝒙(𝒕) 𝒊 + 𝒚(𝒕) 𝒋 + 𝒛(𝒕) ⃗𝒌 𝑶𝑴 𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕) et 𝒛(𝒕) sont les équations paramétriques du mouvement 40 Chapitre I  Rappels mathématiques Vitesse moyenne ⃗ 𝒎 (𝒕) = 𝑽  Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) ∆𝒓 ⃗ (𝒕) ∆𝒙(𝒕) ∆𝒚(𝒕) ∆𝒛(𝒕) ∆𝑶𝑴 ⃗𝒌 = = 𝒊+ 𝒋+ ∆𝒕 ∆𝒕 ∆𝒕 ∆𝒕 ∆𝒕 ⃗ ⃗ 𝒎 (𝒕) = 𝑽𝒎 (𝒕)𝒊 + 𝑽𝒎 (𝒕)𝒋 + 𝑽𝒎 (𝒕)𝒌 𝑽 𝒙 𝒚 𝒛 Vitesse instantanée ⃗⃗ (𝒕) = 𝑽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) 𝒅𝒓 ⃗ (𝒕) 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒚(𝒕) 𝒅𝒛(𝒕) 𝒅𝑶𝑴 ⃗𝒌 = = 𝒊+ 𝒋+ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ ⃗𝑽 ⃗ (𝒕) = 𝑽𝒙 (𝒕)𝒊 + 𝑽𝒚 (𝒕)𝒋 + 𝑽𝒛 (𝒕)𝒌 ⃗ ) des coordonnées cartésiennes étant fixes, leurs dérivées par Les vecteurs de la base (𝒊 , 𝒋 , 𝒌 rapport au temps sont nulles:  Accélération moyenne ⃗ 𝒎 (𝒕) = 𝒂  ⃗ 𝒅𝒊 𝒅𝒋 𝒅𝒌 ⃗ + + =𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ (𝒕) ∆𝑽𝒙 (𝒕) ∆𝑽𝒚 (𝒕) ∆𝑽 ∆𝑽𝒛 (𝒕) ⃗𝒌 = 𝒊+ 𝒋+ ∆𝒕 ∆𝒕 ∆𝒕 ∆𝒕 ⃗ ⃗ 𝒎 (𝒕) = 𝒂𝒎 𝒙 (𝒕)𝒊 + 𝒂𝒎 𝒚 (𝒕)𝒋 + 𝒂𝒎 𝒛 (𝒕)𝒌 𝒂 Accélération instantanée ⃗ (𝒕) = 𝒂 ⃗ (𝒕) 𝒅𝑽𝒙 (𝒕) 𝒅𝑽𝒚 (𝒕) 𝒅𝑽 𝒅𝑽𝒛 (𝒕) ⃗ = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) 𝒅𝟐 𝒙(𝒕) 𝒅𝟐 𝑶𝑴 𝒅𝟐 𝒚(𝒕) 𝒅𝟐 𝒛(𝒕) ⃗𝒌 ⃗ (𝒕) = 𝒂 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 ⃗ ⃗ (𝒕) = 𝒂𝒙 (𝒕)𝒊 + 𝒂𝒚 (𝒕)𝒋 + 𝒂𝒛 (𝒕)𝒌 𝒂 II.6.2.Etude du mouvement en coordonnées cylindriques ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s’écrit: En coordonnées cylindriques le vecteur 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒛𝒖 ⃗𝒛 𝑶𝑴 41 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia H est la projection de M dans le plan 𝒙𝒐𝒚 ⃗𝑽 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒓 + 𝒛𝒖 ⃗ 𝒛] ⃗𝒓 ⃗𝒛 𝒅𝑶𝑴 𝒅[𝒓𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒓 𝒅𝒛 ⃗𝒓 ⃗𝒛 = =𝒓 +𝒖 +𝒛 +𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 En coordonnés cylindriques la vitesse est : ⃗ =𝒓 𝑽 ⃗𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝒛 𝒅𝒖 ⃗𝒓 ⃗𝒛 +𝒖 +𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒛 = ⃗𝒌 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕) 𝒖 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒛̇ 𝒖 ⃗𝒛 𝑽 ⃗𝑽 = 𝑽𝒓 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝑽𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝑽𝒛 𝒖 ⃗𝒛 où : 𝑽𝒓 et 𝑽𝜽 sont les vitesses radiale et orthoradiale respectivement. Et l’accélération: ⃗ ⃗ 𝒓 + 𝒓𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒛̇ 𝒖 ⃗ 𝒛] 𝒅[𝒓̇ 𝒖 𝒅𝑽 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝒓 ⃗𝜽 ⃗𝒛 𝒅𝒓̇ 𝒅𝜽̇ 𝒅𝒓 𝒅𝒛̇ 𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗ = 𝒓̇ ⃗𝒓 ⃗𝜽 ⃗𝜽 ⃗𝒛 𝒂 +𝒖 + 𝒓𝜽̇ + 𝒓𝒖 + 𝜽̇𝒖 + 𝒛̇ +𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒓̇ ⃗𝒖𝜽 𝜽̇ + ⃗𝒖𝒓 𝒓̈ + 𝒓𝜽̇(−𝒖 ⃗ 𝒓 𝜽̇) + 𝒓𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̈ + 𝜽̇⃗𝒖𝜽 𝒓̇ + 𝟎 + ⃗𝒖𝒛 𝒛̈ 𝒂 ⃗ = 𝒂 ⃗ = 𝒓̇ 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓̈ 𝒖 ⃗ 𝒓 − 𝒓𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓𝜽̈𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝜽̇𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝟎 + 𝒛̈ 𝒖 ⃗𝒛 𝒂 ⃗ = (𝒓𝜽̈ + 𝟐 𝜽̇𝒓̇ )𝒖 ⃗ 𝜽 + (𝒓̈ − 𝒓𝜽̇𝟐 )𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒛̈ 𝒖 ⃗𝒛 𝒂 ⃗ = (𝒓̈ − 𝒓𝜽̇𝟐 )𝒖 ⃗ 𝒓 + (𝒓𝜽̈ + 𝟐 𝜽̇𝒓̇ )𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒛̈ 𝒖 ⃗𝒛 𝒂 II.6.3.Etude du mouvement en coordonnées sphériques ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 = 𝒓 𝒖 ⃗𝒓 42 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌 𝒖 ⃗ {𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌 ⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋 𝒖  ⃗𝒓 𝒅𝒖 𝒅𝝋  ⃗𝒓 𝒅𝒖  ⃗𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝜽  ⃗𝜽 𝒅𝒖  ⃗𝜽 𝒅𝒖  ⃗𝝋 𝒅𝒖  ⃗𝝋 𝒅𝒖  ⃗𝝋 𝒅𝒖 𝒅𝝋 𝒅𝝋 𝒅𝜽 𝒅𝝋 𝒅𝝋 = = = = 𝒅[𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝒊+𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋𝒋+𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌] 𝒅𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋 ⃗𝒓 𝒅𝒖 ⃗𝝋 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 (− 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋) = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 𝒅𝝋 𝒅[𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝒊+𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋𝒋+𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌] 𝒅𝜽 𝒅[𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝒊+𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋𝒋−𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗𝒌] 𝒅𝜽 ⃗𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗𝒌 = 𝒖 ⃗ = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝒌 ⃗𝜽 𝒅𝒖 = −(𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗𝒌) = −𝒖 ⃗𝒓 𝒅𝜽 ⃗) 𝒅(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝒊+𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋𝒋−𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌 𝒅𝝋 = −𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋 ⃗𝝋 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 (− 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋) = 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒖 = = 𝒅(− 𝐬𝐢𝐧 𝝋𝒊+𝐜𝐨𝐬 𝝋𝒋) 𝒅𝜽 𝒅(− 𝐬𝐢𝐧 𝝋𝒊+𝐜𝐨𝐬 𝝋𝒋) 𝒅𝝋 =𝟎 = − 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + −𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 = −(𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 +𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋) == −(𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽) ⃗ 𝒓 et 𝒖 ⃗ 𝜽 respectivement par 𝐬𝐢𝐧 𝜽 et 𝐜𝐨𝐬 𝜽. multiplions 𝒖 ⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉 ⃗⃗𝒌) 𝐬𝐢𝐧 𝜽 (𝒖 { ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗⃗𝒌) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 (𝒖 43 Chapitre I Rappels mathématiques { Dr Benhalima Nadia ⃗⃗ ⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝛉 𝒌 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝛉 ⃗⃗𝒌 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 la somme des deux équations du système donne: ⃗ 𝒓 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) + (𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 +𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 ) 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋  ⃗𝝋 𝒅𝒖 𝒅𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 == −(𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽) vecteur position en coordonnées sphériques dépend du vecteur ⃗𝒖𝒓 . Ce dernier dépend de sangles 𝜃 et 𝜑 donc sa dérivée par rapport au temps est donnée par: ⃗𝑽 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒓] ⃗𝒓 ⃗ 𝒓 𝒅𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝒓 𝒅𝝋 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝑶𝑴 𝒅[𝒓𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗𝒓 ⃗𝒓 = =𝒓 +𝒖 = 𝒓[ . + . ]+𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 𝒅𝝋 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒓 [𝒖 ⃗ 𝜽 . 𝜽̇ + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝝋 . 𝝋̇] + 𝒖 ⃗ 𝒓 𝒓̇ 𝑽 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗𝝋 𝑽 ⃗⃗ ⃗ 𝒓 + 𝒓 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝝋] 𝒅[𝒓̇ 𝒖 𝒅𝑽 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝝋 𝒅𝒖 ⃗𝒓 ⃗𝜽 𝒅𝒓̇ 𝒅𝜽̇ 𝒅𝒓 𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗ = 𝒓̇ ⃗𝒓 ⃗𝜽 ⃗𝜽 ⃗𝝋 𝒂 +𝒖 + 𝒓 𝜽̇ + 𝒓𝒖 + 𝜽̇𝒖 + 𝒓 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝒓 𝝋̇𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝝋̇ 𝒅𝒓 ⃗𝝋 ⃗𝝋 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 + 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒂 ⃗ = 𝒓̇ [ 𝒂 ⃗ 𝒓 𝒅𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝒓 𝒅𝝋 ⃗ 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽 𝒅𝝋 𝒅𝒓̇ 𝒅𝜽̇ 𝒅𝒓 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗𝒓 ⃗𝜽 ⃗𝜽 . + . ]+𝒖 + 𝒓 𝜽̇ [ . + . ] + 𝒓𝒖 + 𝜽̇𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 𝒅𝝋 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 𝒅𝝋 𝒅𝒕 + 𝒓 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 [ ⃗ 𝝋 𝒅𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝝋 𝒅𝝋 𝒅𝒖 𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒅𝝋̇ ⃗𝝋 ⃗𝝋 . + . ] + 𝒓 𝝋̇𝒖 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝒕 𝒅𝝋 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝝋 + 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 𝒅𝒓 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒓̇ [𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̇ + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝝋 𝝋̇] + 𝒖 ⃗ 𝒓 𝒓̈ + 𝒓 𝜽̇[−𝒖 ⃗ 𝝋 𝝋̇] + 𝒓𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̈ + 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 𝒓̇ 𝒂 ⃗ 𝒓 𝜽̇ + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒖 ⃗ 𝝋 𝜽̇ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝝋 𝝋̈ + 𝒓 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 [𝟎. 𝜽̇ − (𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 )𝝋̇] + 𝒓 𝝋̇𝒖 ⃗ 𝝋 𝒓̇ + 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 44 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̇ + 𝒓̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝝋 𝝋̇ + 𝒖 ⃗ 𝒓 𝒓̈ − 𝒓 𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗ 𝝋 𝝋̇ + 𝒓𝒖 ⃗ 𝜽 𝜽̈ + 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 𝒓̇ 𝒂 ⃗ 𝒓 + 𝒓 𝜽̇𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒖 ⃗ 𝝋 𝜽̇ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ 𝝋 𝝋̈ − 𝒓 𝝋̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 𝒖 ⃗ 𝒓 − 𝒓 𝝋̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓 𝝋̇𝒖 ⃗ 𝝋 𝒓̇ + 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒖 ⃗ = (𝒓̈ − 𝒓 𝜽̇𝟐 − 𝒓 𝝋̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 )𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ 𝒓 + (𝟐 𝒓̇ 𝜽̇ + 𝒓𝜽̈ − 𝒓 𝝋̇𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽)𝒖 ⃗𝝋 + (𝟐 𝒓̇ 𝝋̇ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝟐 𝒓 𝜽̇𝝋̇𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒓 𝝋̈𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒖 II.7.Mouvements relatifs Soit à étudier le mouvement d’une particule M par rapport à un repère fixe 𝕽 , appelé repère absolu. Il est parfois intéressant d’introduire un second repère 𝕽’, dit repère relatif, par rapport au quel le mouvement de M soit simple à étudier.Soient,   𝕽(𝑶, 𝒙𝒚𝒛) un repère absolu (repère fixe). 𝕽’(𝑶’, 𝒙’𝒚’𝒛’) un repère relatif (repère mobile par rapport à 𝕽). II.7. 1.Mouvement absolu Le mouvement de M considéré par rapport au repère absolu 𝕽(𝑶, 𝒙, 𝒚, 𝒛 ) est caractérisé par les grandeurs :    Vecteur position Vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴(𝒕) = ⃗𝒓(𝒕) = 𝒙(𝒕) 𝒊 + 𝒚(𝒕) 𝒋 + 𝒛(𝒕) ⃗𝒌 ⃗⃗ 𝒂 = 𝑽 Accélération absolue ⃗𝒂= 𝒂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑶𝑴 ⃗ = 𝒙̇ (𝒕) 𝒊 + 𝒚̇ (𝒕) 𝒋 + 𝒛̇ (𝒕) 𝒌 𝒅𝒕 ⃗𝒂 𝒅𝑽 = 𝒙̈ (𝒕) 𝒊 + 𝒚̈ (𝒕) 𝒋 + 𝒛̈ (𝒕) ⃗𝒌 𝒅𝒕 45 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia Les dérivations sont effectuées dans ℜ dans lequel la base ( 𝒊, 𝒋, ⃗𝒌 ) est invariable. II.7.2.Mouvement relatif Le même mouvement, considéré par rapport au repère relatif caractérisé par les grandeurs :    𝕽′ (𝑶′, 𝒙′, 𝒚′, 𝒛′), est Vecteur position Vitesse relative ⃗⃗ 𝒓 = 𝑽 ⃗⃗⃗ ′ = 𝒙′ (𝒕) ⃗𝒊′ + 𝒚′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′ (𝒕) ⃗⃗⃗ ′ 𝑴(𝒕) = 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒌′ 𝑶 ′𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒌′ ) 𝒅(𝒙′ (𝒕) ⃗⃗𝒊′ + 𝒚′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′ (𝒕) ⃗⃗⃗ 𝒅𝑶 = = 𝒙̇′ (𝒕) ⃗𝒊′ + 𝒚̇′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′̇ (𝒕) ⃗⃗⃗ 𝒌′ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Accélération relative ⃗𝒓= 𝒂 ⃗ 𝒓 𝒅(𝒙̇′ (𝒕) ⃗⃗𝒊′ + 𝒚̇′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′̇ (𝒕) ⃗⃗⃗ 𝒌′ ) 𝒅𝑽 = = 𝒙̈′ (𝒕) ⃗⃗𝒊′ + 𝒚̈′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′̈ (𝒕) ⃗⃗⃗ 𝒌′ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Remarque: les dérivations sont effectuées dans invariable. ℜ′ dans lequel la base ( ⃗𝒊′ , ⃗⃗𝒋′ , ⃗⃗⃗ 𝒌′ ) est Composition des vecteurs vitesses ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶′ 𝑴 donc : Par ailleurs, 𝑶𝑴 ⃗𝒂= 𝑽 ⃗𝒓 = ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝟎 + ⃗⃗⃗ 𝒓′ ′𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅(𝒙′ (𝒕) ⃗⃗𝒊′ + 𝒚′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′ (𝒕) ⃗⃗⃗ 𝒌′ ) 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝑶𝑶 𝒅𝑶𝑶 = + = + 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗ 𝒂 = 𝑽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅(𝒙′ (𝒕) ⃗𝒊′ ) 𝒅(𝒚′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ ) 𝒅(𝒛′ (𝒕) ⃗⃗⃗ 𝒌′ ) 𝒅𝑶𝑶 + + + 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Si on dérive par rapport au temps, en tenant compte du fait que la base ( ⃗⃗𝒊′ , ⃗⃗𝒋′ , ⃗⃗⃗ 𝒌′ ) peut varier dans ℜ, on obtient : 46 Chapitre I ⃗𝑽𝒂 = Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝒙′ (𝒕) 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝑶𝑶 𝒅 ⃗𝒊′ 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒌 + ⃗𝒊′ + 𝒙′ (𝒕) + ⃗⃗𝒋′ + 𝒚′ (𝒕) + ⃗⃗⃗ 𝒌′ + 𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝒙′ (𝒕) ′ 𝒅𝒚′ (𝒕) ′ 𝒅𝒛′ (𝒕) ′ 𝒅𝑶𝑶 𝒅 ⃗⃗𝒊′ 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒌 ′ (𝒕) ′ (𝒕) ′ (𝒕) ⃗⃗⃗ ⃗𝑽 ⃗𝒂=( ⃗𝒊 + ⃗⃗𝒋 + +𝒙 +𝒚 +𝒛 )+( 𝒌) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗ 𝒂 = ⃗𝑽𝒆 + 𝑽 ⃗𝒓 𝑽 Vitesse d'entraînement La vitesse d'entraînement nous permet de déterminer la nature du mouvement du repère mobile 𝕽’(𝑶’, 𝒙’𝒚’𝒛’) par rapport au repère fixe 𝕽(𝑶, 𝒙𝒚𝒛). ⃗⃗ 𝒆 = 𝑽 ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶𝑶 𝒅 ⃗𝒊′ 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒌 + 𝒙′ (𝒕) + 𝒚′ (𝒕) + 𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ lié au repère de rotation, la formule de poisson nous Lorsqu’il existe un vecteur de rotation 𝝎 permet d'écrire: ⃗⃗ 𝒆 = 𝑽 ⃗⃗ 𝒆 = 𝑽 𝒅 ⃗𝒊′ ⃗⃗⃗ ∧ ⃗𝒊′ =𝝎 𝒅𝒕 𝒅 ⃗⃗𝒋′ ⃗⃗ ∧ ⃗⃗𝒋′ = ⃗𝝎 𝒅𝒕 𝒅 ⃗⃗⃗ 𝒌′ ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗ 𝒌′ { 𝒅𝒕 = 𝝎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶𝑶 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗𝒊′ ) + 𝒚′ (𝒕)(𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗𝒋′ ) + 𝒛′ (𝒕)(𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗ + 𝒙′ (𝒕)(𝝎 𝒌′ ) 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶𝑶 ⃗⃗⃗′ ) ⃗⃗⃗ ∧ 𝒙′ (𝒕)𝒊⃗ ′ ) + (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝒚′ (𝒕)𝒋⃗⃗′ ) + (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝒛′ (𝒕)𝒌 + (𝝎 𝒅𝒕 ⃗𝒆= 𝑽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶𝑶 ⃗⃗⃗′ ) ⃗⃗⃗ ∧ (𝒙′ (𝒕)𝒊⃗ ′ +𝒚′ (𝒕)𝒋⃗⃗′ + 𝒛′ (𝒕)𝒌 +𝝎 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ ′ = 𝒙′ (𝒕) ⃗𝒊′ + 𝒚′ (𝒕) ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′ (𝒕) ⃗⃗⃗ ′ 𝑴(𝒕) = 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒌′ 𝑶   ⃗⃗ 𝒆 = 𝑽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶𝑶 ′ 𝑴(𝒕) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 +𝝎 𝒅𝒕 lorsqu'il y'a translation et rotation: ⃗⃗ 𝒆 = 𝑽 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶𝑶 ′ 𝑴(𝒕) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 +𝝎 𝒅𝒕 ⃗ ⃗⃗⃗ = 𝟎 lorsqu'il y'a translation pure : il n'y'a pas de rotation 𝝎 47 Chapitre I Rappels mathématiques ⃗𝑽 ⃗𝒆= Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝑶𝑶 𝒅𝒕 Lorsqu’il y'a rotation pure: Les deus repère sont superposés, ils ont la même origine: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ = 𝟎 ⃗) (𝑶𝑶 ′ 𝑴(𝒕) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝒆 = 𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 𝑽 Vecteurs accélérations   Accélération absolue ⃗𝒂= 𝒂 Accélération relative ⃗𝒂 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 𝒅𝑽 = 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 ⃗𝒓 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶′ 𝑴 𝒅𝑽 ⃗𝒓= = 𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐 Accélération d'entraînement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ ⃗𝒆 𝒅𝑽 𝒅 𝒅𝑶𝑶 ′ 𝑴(𝒕)) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒆= ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 𝒂 = ( +𝝎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝒆= 𝒂 Accélération de Coriolis 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑶′ 𝒅 ′ 𝑴(𝒕)) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒆= ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 𝒂 + (𝝎 𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐 ⃗⃗⃗ 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑶′ 𝒅𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶′ 𝑴(𝒕) + 𝝎 𝑶′ 𝑴(𝒕)) 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Cette accélération est due à l'effet de rotation du repère mobile ⃗ 𝒓) ⃗ 𝒄 = 𝟐(𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝑽 𝒂 Relation entre les accélérations En dérivant l'expression de peut se mettre sous la forme: ⃗𝒆 = 𝒂 { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ 𝒅𝟐 𝑶𝑶 𝒅𝒕𝟐 par rapport au temps, on montre que l'accélération absolue ⃗ 𝒂 = ⃗𝒂𝒆 + 𝒂 ⃗ 𝒓+𝒂 ⃗𝒄 𝒂 +[ ⃗ 𝒆 ∶ Accélération d’entraînement 𝒂 ⃗⃗ 𝒅𝝎 𝒅𝒕 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶′ 𝑴(𝒕)] + [𝝎 ⃗⃗ ∧ (⃗𝝎 ⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶′ 𝑴(𝒕))] ⃗𝒓 = 𝒂 ′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝟐 𝑶 𝑴 𝒅𝒕𝟐 ⃗ 𝒓) ⃗ 𝒄 = 𝟐(⃗𝝎 𝒂 ⃗ ∧𝑽 48 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝑎𝑟 : Accélération relative 𝑎𝑐 : Accélération de Coriolis Démonstration ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒂 𝒅𝟐 𝑶𝑴 𝒅𝑽 ⃗𝒂= 𝒂 = 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 = ⃗𝒂= 𝒂 ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝒅 𝒅𝑶𝑶 𝒅 ⃗𝒊′ 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒌 [( + 𝒙′ (𝒕) + 𝒚′ (𝒕) + 𝒛′ (𝒕) ) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙′ (𝒕) ′ 𝒅𝒚′ (𝒕) ′ 𝒅𝒛′ (𝒕) ′ ⃗⃗⃗ ⃗𝒊 + ⃗⃗𝒋 + 𝒌 )] +( 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ ⃗𝒂 𝒅 𝒅𝑶𝑶 𝒅 𝒅 𝒅 𝒅𝑽 𝒅 ⃗𝒊′ 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒌 = ( ) + (𝒙′ (𝒕) ) + (𝒚′ (𝒕) ) + (𝒛′ (𝒕) ) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 + 𝒅 𝒅𝒙′ (𝒕) ′ 𝒅 𝒅𝒚′ (𝒕) ′ 𝒅 𝒅𝒛′ (𝒕) ′ ⃗⃗⃗ ⃗𝒊 ) + ( ⃗⃗𝒋 ) + ( ( 𝒌) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗′ ⃗⃗ 𝒂 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑽 𝑶𝑶′ 𝒅𝟐 ⃗⃗𝒊′ 𝒅𝒙′ (𝒕) 𝒅 ⃗⃗𝒊′ 𝒅𝟐 ⃗⃗𝒋′ 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝟐 𝒌 ′ (𝒕) ′ (𝒕) ′ (𝒕) ⃗𝒂= = +𝒙 + +𝒚 + +𝒛 𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 + ⃗⃗⃗′ 𝒅𝒙′ (𝒕) 𝒅𝒊⃗ ′ 𝒅𝟐 𝒙′ (𝒕) 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝟐 𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒌 ⃗⃗𝒋′ + + ⃗𝒊′ + + 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗′ 𝒅𝟐 𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒌 ′ ⃗⃗⃗ + +𝒌 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝒂= 𝒂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′ ⃗𝒂 𝒌′ 𝒅𝑽 𝒅𝟐 𝑶𝑶 𝒅𝟐 ⃗⃗𝒊′ 𝒅𝟐 ⃗⃗𝒋′ 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗ ′ (𝒕) ′ (𝒕) ′ (𝒕) =( + 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 ) 𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 +( 𝒅𝟐 𝒙′ (𝒕) ′ 𝒅𝟐 𝒚′ (𝒕) ′ 𝒅𝟐 𝒛′ (𝒕) ′ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗𝒋 + 𝒊⃗ + 𝒌 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 ⃗⃗⃗′ 𝒅𝒙′ (𝒕) 𝒅 ⃗𝒊′ 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒌 +𝟐( + + ) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝒆 = 𝒂 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑶′ 𝒅𝒕𝟐 + 𝒙 ( 𝒕) ′ 𝒅𝟐 ⃗𝒊′ 𝒅𝒕𝟐 + 𝒚 ( 𝒕) ′ 𝒅𝟐 ⃗𝒋′ 𝒅𝒕𝟐 + 𝒛 ( 𝒕) ′ 𝒅𝟐 ⃗⃗ 𝒌′ 𝒅𝒕𝟐 𝑶′ 𝑴 𝒅𝟐 𝒙′ (𝒕) ⃗′ 𝒅𝟐 𝒚′ (𝒕) ⃗ ′ 𝒅𝟐 𝒛′ (𝒕) ⃗⃗ ′ 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒂𝒓 = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 = 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕𝟐 { 𝒅𝒙′ (𝒕) 𝒅 ⃗𝒊′ ⃗ 𝒄 = 𝟐( 𝒂 𝒅𝒕 𝒅𝒕 + 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒋⃗ ′ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 + ⃗⃗ ′ 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒌 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ) 49 Chapitre I  Rappels mathématiques 𝒅𝟐 ⃗𝒊⃗′ 𝒅𝟐 𝒋⃗⃗⃗′ 𝒙′ (𝒕) 𝒅𝒕𝟐 + 𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒕𝟐 + 𝒛′ (𝒕) = 𝒙′ (𝒕) = [𝒙′ (𝒕) Dr Benhalima Nadia ⃗ 𝒂 = ⃗𝒂𝒆 + 𝒂 ⃗ 𝒓+𝒂 ⃗𝒄 𝒂 𝒌′ 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒕𝟐 = 𝒙′ (𝒕) 𝒅 𝒅𝒕 𝒅 ⃗𝒊⃗′ ( 𝒅𝒕 ) + 𝒚′ (𝒕) 𝒅 𝒅𝒕 𝒅𝒋⃗⃗⃗′ ( 𝒅𝒕 ) + 𝒛′ (𝒕) 𝒅 𝒅 𝒅 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗𝒊′ ) + 𝒚′ (𝒕) (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗𝒋′ ) + 𝒛′ (𝒕) (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗ (𝝎 𝒌′ ) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝒌 ( 𝒅𝒕 ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝒅𝝎 𝒅𝝎 𝒅𝝎 ∧ ⃗⃗𝒊′ + 𝒚′ (𝒕) ∧ ⃗⃗𝒋′ + 𝒛′ (𝒕) ∧ ⃗⃗⃗ 𝒌′ ] 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ ∧ + [𝒙′ (𝒕)𝝎 ⃗⃗⃗′ 𝒅𝒊⃗ ′ 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒌 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗ ∧ + 𝒚′ (𝒕)𝝎 + 𝒛′ (𝒕)𝝎 ] 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝒅𝝎 𝒅𝝎 𝒅𝝎 ⃗⃗⃗′ ] =[ ∧ 𝒙′ (𝒕)𝒊⃗ ′ + ∧ 𝒚′ (𝒕)𝒋⃗⃗′ + ∧ 𝒛′ (𝒕)𝒌 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗𝒊′ ) + 𝒚′ (𝒕)𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗𝒋′ ) + 𝒛′ (𝒕)𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗ 𝒌′ )] + [𝒙′ (𝒕)𝝎 ⃗⃗⃗ 𝒅𝝎 ⃗⃗⃗′ )] =[ ∧ (𝒙′ (𝒕)𝒊⃗⃗′ + 𝒚′ (𝒕)𝒋⃗⃗′ + 𝒛′ (𝒕)𝒌 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗′ )] ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝒙′ (𝒕)𝒊⃗⃗′ ) + 𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝒚′ (𝒕)𝒋⃗⃗′ ) + 𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝒛′ (𝒕)𝒌 + [𝝎 ⃗⃗⃗ 𝒅𝝎 ⃗⃗⃗′ )] + [𝝎 ⃗⃗⃗′ ))] ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ (𝒙′ (𝒕)𝒊⃗ ′ + 𝒚′ (𝒕)𝒋⃗⃗′ + 𝒛′ (𝒕)𝒌 ∧ (𝒙′ (𝒕)𝒊⃗ ′ + 𝒚′ (𝒕)𝒋⃗⃗′ + 𝒛′ (𝒕)𝒌 =[ 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ 𝒅𝝎 ′ 𝑴(𝒕))] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶′ 𝑴(𝒕)] + [𝝎 =[ 𝒅𝒕 𝒅𝟐 ⃗𝒊⃗′ 𝒅𝟐 ⃗⃗𝒋⃗′ 𝒙′ (𝒕) 𝒅𝒕𝟐 + 𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒕𝟐 + 𝒛′ (𝒕)  𝟐( 𝒅𝒙′ (𝒕) 𝒅 ⃗𝒊⃗′ 𝒅𝒕 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 + 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒋⃗⃗⃗′ ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗ (𝝎 𝒌′ )) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 + ⃗⃗⃗ ∧ = 𝟐 (𝝎 ⃗⃗⃗⃗′ 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒌 𝒅𝒕 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗ 𝒌′ 𝒅𝒕𝟐 ⃗⃗⃗ 𝒅𝝎 ′ 𝑴(𝒕)] + [𝝎 ′ 𝑴(𝒕))] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 = [ 𝒅𝒕 ∧ 𝑶 𝒅𝒙′ (𝒕) ) = 𝟐( 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗𝒊′ ) + (𝝎 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗𝒋′ ) + (𝝎 𝒅𝒙′ (𝒕) ′ 𝒅𝒚′ (𝒕) ′ 𝒅𝒛′ (𝒕) ′ ⃗⃗⃗ ⃗𝒊 + 𝝎 ⃗⃗𝒋 + 𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗ ∧ 𝒌) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 50 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒅𝒙′ (𝒕) ′ 𝒅𝒚′ (𝒕) ′ 𝒅𝒛′ (𝒕) ′ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝒓 ) ⃗𝒊 + ⃗⃗𝒋 + ⃗⃗⃗ ∧ ( ⃗⃗⃗ ∧ 𝑽 = 𝟐 (𝝎 𝒌 )) = 𝟐(𝝎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗′ 𝒅𝒙′ (𝒕) 𝒅 ⃗𝒊′ 𝒅𝒚′ (𝒕) 𝒅𝒋⃗⃗′ 𝒅𝒛′ (𝒕) 𝒅𝒌 ⃗ 𝒓) = 𝒂 ⃗⃗⃗ ∧ 𝑽 ⃗𝒄 𝟐( + + ) = 𝟐(𝝎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝒂𝒂 = ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑶′ 𝒅𝝎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ 𝑴(𝒕))]) + 𝒂 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 ⃗ 𝒓+𝒂 ⃗𝒄 +[ ∧ 𝑶′ 𝑴(𝒕)] + [𝝎 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒂 = ⃗𝒂𝒆 + 𝒂 ⃗ 𝒓+𝒂 ⃗𝒄 𝒂 ⃗ ) = (𝑨 ⃗ ⃗ ∧ (𝑩 ⃗⃗ ∧ 𝑪 ⃗ . ⃗𝑪)𝑩 ⃗⃗ − (𝑨 ⃗⃗ . 𝑩 ⃗⃗ )𝑪 𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ 𝑴(𝒕)) = (𝝎 ′ 𝑴(𝒕)) ⃗𝝎 ′ 𝑴(𝒕) = (𝝎 ′ 𝑴(𝒕)) 𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ (𝝎 ⃗⃗⃗ ∧ 𝑶 ⃗⃗⃗ . 𝑶 ⃗⃗ − (𝝎 ⃗⃗⃗ . 𝝎 ⃗⃗⃗ )𝑶 ⃗⃗⃗ . 𝑶 ⃗⃗⃗ − 𝝎𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝝎 𝑶′ 𝑴(𝒕) II.8.Exercices Exercice 1 Les coordonnées cartésiennes d'une mobile M sont données en fonction du temps par: { 𝑥(𝑡) = 2𝑎 cos2 (𝑏𝑡) a et b sont des constantes positives 𝑦(𝑡) = 𝑎 sin(2𝑏𝑡)  1/ donner l'équation de trajectoire décrit par le point M  2/ déterminer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse (𝑣 ) et son module 𝑣     3/ déterminer les composantes cartésiennes du vecteur accélération (𝑎 ) et son module 𝑎 4/quelle est la nature du mouvement 5/ Quelles sont les composantes intrinsèques (𝑎 𝑇 ) et (𝑎𝑁 ) de l'accélération? 6/ calculer le rayon de courbure de a trajectoire. Exercice 1 – Solution 1/ { 𝒙(𝒕) = 𝟐𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) { 𝒚(𝒕) = 𝒂 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) = 𝟐𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒕) 𝐬𝐢𝐧(𝒃𝒕) 𝒙𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) → 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) [𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) + 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝒃𝒕)] 𝒚𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝒃𝒕) 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝒃𝒕) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) 51 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐 𝒂 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) → 𝟐 𝒂 𝒙 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐 𝒂 𝒙 (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝟎)𝟐 = 𝒂𝟐 ce qui correspond à un cercle de centre (𝒂, 𝟎) et de rayon 𝑹 = 𝒂 2/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙(𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒚(𝒕)𝒖 ⃗𝒚 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒂 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗𝒚 𝑶𝑴 𝒙(𝒕) = 𝟐𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕) { 𝒚(𝒕) = 𝒂 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) = 𝟐𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒃𝒕) 𝐬𝐢𝐧(𝒃𝒕) 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅(𝟐𝒂 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒃𝒕)) 𝒗𝒙 = = = −𝟐𝒂𝒃 𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝒃𝒕) 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒕) = −𝟐 𝒂𝒃 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒗 𝒅𝒚(𝒕) 𝒅(𝒂 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕)) = = 𝒂 𝟐𝒃 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒗𝒚 = { 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒗𝒙 (𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒗𝒚 (𝒕) 𝒖 ⃗𝒚 𝒗 ⃗ = −𝟐 𝒂𝒃 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝟐 𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗𝒚 𝒗 ‖𝒗 ⃗ ‖ = 𝒗 = √(−𝟐 𝒂𝒃 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕))𝟐 + (𝟐 𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕))𝟐 = 𝟐 𝒂𝒃 3/ 𝒗 = 𝟐 𝒂𝒃 𝒅𝒗𝒙 𝒅(−𝟐 𝒂𝒃 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕)) = = −𝟒 𝒂 𝒃𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒂𝒙 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ { 𝒂 𝒅𝒗𝒚 𝒅(𝟐 𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒃𝒕) = = −𝟒 𝒂𝒃𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) 𝒂𝒚 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒂𝒙 (𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒂𝒚 (𝒕) 𝒖 ⃗𝒚 𝒂 ⃗ = −𝟒 𝒂 𝒃𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 − 𝟒 𝒂𝒃𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗𝒚 𝒂 ‖𝒂 ⃗ ‖ = 𝒂 = √(−𝟒 𝒂 𝒃𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕))𝟐 + (−𝟒 𝒂𝒃𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) )𝟐 4/ 𝒂 = 𝟒 𝒂 𝒃𝟐 ⃗ = −𝟒 𝒂 𝒃𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 − 𝟒 𝒂𝒃𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗𝒚 𝒂 { ⃗ = −𝟐 𝒂𝒃 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝟐 𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒖 ⃗𝒚 𝒗 ⃗ . ⃗𝒗 = 𝟖 𝒂𝟐 𝒃𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) − 𝟖 𝒂𝟐 𝒃𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒃𝒕) 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒃𝒕) = 𝟎 𝒂 5/ ⃗ .𝒗 ⃗ = 𝟎 → 𝒍𝒆 𝒎𝒐𝒖𝒗𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝒂 52 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒅𝒗 𝒅 (𝟐 𝒂𝒃) = 𝟎 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝟐 𝟒 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟐 {𝒂𝑵 = 𝑹 = 𝒂 = 𝟒 𝒂 𝒃 𝒂𝑻 = ⃗ = 𝒂𝑻 𝒖 ⃗ 𝑻 + 𝒂𝑵 𝒖 ⃗𝑵 𝒂 ⃗ =𝟎𝒖 ⃗ 𝑻 + (𝟒 𝒂 𝒃𝟐 ) 𝒖 ⃗𝑵 𝒂 Exercice 2 Une particule M se déplace sans vitesse initiale, à partir d'un point O sur l’axe 𝒙′ 𝒐𝒙 , avec une accélération 𝒂 , telle que 𝒂 = (𝜶 − 𝜷𝒗) avec 𝜶, 𝜷 : constantes positives et 𝒗 la vitesse de particule.    a) Exprimer la vitesse en fonction du temps 𝒕 b) que devient cette vitesse après un temps très grand. Que conclut-on ? c) trouver la position 𝒙(𝒕) du point 𝑴 Exercice 2 – Solution a) ∫ 𝜸= 𝒅𝒗 𝒅𝒗 = 𝜶 − 𝜷𝒗 → = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝜶 − 𝜷𝒗 𝒅𝒗 −𝜷 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒕 → ∫ = ∫ −𝜷𝒅𝒕 𝜶 − 𝜷𝒗 𝜶 − 𝜷𝒗 𝒖 = 𝜶 − 𝜷𝒗 → 𝒅𝒖 = −𝜷𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = − ∫ à 𝒕 = 𝟎 → 𝒗(𝟎) = 𝟎 → 𝑨 = 𝐥𝐧 𝜶 𝒅𝒖 = ∫ −𝜷𝒅𝒕 𝒖 𝒅𝒖 𝜷 𝐥𝐧(𝜶 − 𝜷𝒗) = −𝜷𝒕 + 𝑨 𝐥𝐧(𝜶 − 𝜷𝒗) = −𝜷𝒕 + 𝐥𝐧 𝜶 (𝜶 − 𝜷𝒗) = 𝒆−𝜷𝒕+𝐥𝐧 𝜶 = 𝜶𝒆−𝜷𝒕 𝜶 − 𝜷𝒗 = 𝜶𝒆−𝜷𝒕 → 𝜷𝒗 = 𝜶 − 𝜶𝒆−𝜷𝒕 𝜷𝒗 = 𝜶(𝟏 − 𝒆−𝜷𝒕 ) b) si 𝒕 = ∞ → 𝒗 = 𝜶 𝜷 𝒗 = 𝒄𝒕𝒆 le mouvement est uniforme 𝒗= 𝜶 (𝟏 − 𝒆−𝜷𝒕 ) 𝜷 𝒗= 𝜶 (𝟏 − 𝒆−𝜷𝒕 ) 𝜷 53 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒅𝒙 𝜶 = (𝟏 − 𝒆−𝜷𝒕 ) 𝒅𝒕 𝜷 𝜶 𝜶 𝜶 𝒅𝒙 = (𝟏 − 𝒆−𝜷𝒕 )𝒅𝒕 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒕 − 𝒆−𝜷𝒕 𝒅𝒕 𝜷 𝜷 𝜷 𝜶 𝜶 𝒙 = 𝒕 + 𝟐 𝒆−𝜷𝒕 + 𝑩 𝜷 𝜷 𝒗= 𝒙= Exercice 3 𝜶 𝟏 (𝒕 + 𝟐 𝒆−𝜷𝒕 ) + 𝑩 𝜷 𝜷 ⃗ 𝒙, 𝒖 ⃗ 𝒚, 𝒖 ⃗ 𝒛 ) sont Les équations horaires du mouvement de M dans le repère cartésien 𝕽(𝒖 données par : 𝒙(𝒕) = 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) {𝒚(𝒕) = 𝒃𝒆−𝝎𝒕 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕) 𝒛(𝒕) = 𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓𝒖 ⃗ 𝒓 vecteur position dans les coordonnées polaires Avec 𝑶𝑴 Déterminer : 1/ les coordonnées polaires 𝒓 et 𝜽 de M en fonction de t 2/ l’équation polaire de la trajectoire 𝒓(𝜽) 3/ les composantes polaires du vecteur vitesse ⃗𝒗 en fonction de t 4/ la nature du mouvement 5/ les composantes polaires de l’accélération 𝒂𝒓 et 𝒂𝜽 6/ les composantes tangentielle (𝒂𝑻 ) et normale (𝒂𝑵 ) de l’accélération. 7 / le rayon de courbure de la trajectoire au point M Exercice 3 – Solution 1/ Calculons les coordonnées polaires 𝒓 et 𝜽 de M en fonction de t. { 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒙𝟐 = 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 →{ 𝟐 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒚 = 𝒓𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 + 𝒓𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 = 𝒓𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽) (𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽) = 𝟏 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 𝟐 𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒓 = √(𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕))𝟐 + (𝒃𝒆−𝝎𝒕 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕))𝟐 𝒓 = √(𝒃 𝒆−𝝎𝒕 )𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝝎𝒕) + (𝒃𝒆−𝝎𝒕 )𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝝎𝒕) 𝒓 = 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 √𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝝎𝒕) + 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝝎𝒕) 54 Chapitre I Rappels mathématiques 𝒓 = 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔 𝜽 → 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = Dr Benhalima Nadia 𝒙 𝒓 𝒙 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = = = 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) 𝒓 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕) → 𝜽 = 𝝎𝒕 −𝝎𝒕 {𝒓 = 𝒃 𝒆 𝜽 = 𝝎𝒕 2/ L’équation polaire de la trajectoire 𝒓(𝜽) s’obtient en remplaçant 𝝎𝒕 dans l’expression de 𝒓 par 𝜽 𝒓 = 𝒃 𝒆−𝜽 3/ Déterminons les composantes polaires de la vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒓 𝑶𝑴 = 𝒓 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒓 𝑶𝑴 = 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝒖 ⃗ = 𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 ‖𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒓) ⃗𝒓 𝒅𝑶𝑴 𝒅(𝒓 𝒖 𝒅𝒓 𝒅𝒖 ⃗ = ⃗ 𝒓+𝒓 = →𝒗 𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝒓+𝒓 𝒗 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝒓+𝒓 𝒗 ⃗𝒓 𝒅𝒖 𝒅𝒕 ⃗ 𝒓 𝒅𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⃗𝒓 𝒅𝒖 𝜽̇ 𝒅𝜽 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓 𝜽̇ ⃗𝒖𝜽 𝒗 ⃗ = 𝒓̇ 𝒖 ⃗ 𝒓+𝒓 𝒗 ⃗ 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖 ⃗𝒚 𝒖 { ⃗ 𝜽 = −𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖 ⃗𝒚 𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒚) ⃗ 𝒓 𝒅(𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖 𝒅𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒚=𝒖 ⃗𝜽 = = −𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝜽 ⃗ 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒚) ⃗ 𝜽 𝒅(−𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖 𝒅𝒖 ⃗ 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖 ⃗ 𝒚 ) = −𝒖 ⃗𝒓 = = −(𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖 𝒅𝜽 { 𝒅𝜽 ⃗ = 𝒓̇ ⃗𝒖𝒓 + 𝒓 𝜽̇ ⃗𝒖𝜽 𝒗 55 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia 𝒅𝒓 𝒅(𝒃 𝒆−𝝎𝒕 ) = → 𝒓̇ = −𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒓̇ 𝒅(−𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 ) 𝒓̇ = −𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 → 𝒓̈ = = → 𝒓̈ = 𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅(𝝎𝒕) 𝜽 = 𝝎𝒕 → 𝜽̇ = = → 𝜽̇ = 𝝎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽̇ 𝒅(𝝎) ̈ = = → 𝜽̈ = 𝟎 𝜽 { 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒓 = 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 → 𝒓̇ = ⃗ = 𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 (−𝒖 ⃗ 𝒓+ 𝒖 ⃗ 𝜽) 𝒗 ⃗ = −𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝝎 𝒖 ⃗𝜽 𝒗 { 𝒗𝒓 = −𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 𝒗𝜽 = 𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 ‖𝒗 ⃗ ‖ = 𝒗 = √(𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 )𝟐 ((−𝟏)𝟐 + (𝟏)𝟐 ) ‖𝒗 ⃗ ‖ = 𝒗 = 𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 √𝟐 4/Déterminons la nature du mouvement ⃗ = − 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 ⃗𝒖𝜽 𝒂 ⃗ = 𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 (−𝒖 ⃗ 𝒓+ 𝒖 ⃗ 𝜽) 𝒗 ⃗ .𝒗 ⃗ = − 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 ⃗𝒖𝜽 . 𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 (−𝒖 ⃗ 𝒓+ 𝒖 ⃗ 𝜽) 𝒂 ⃗ .𝒗 ⃗ = − 𝟐𝒃𝟐 𝝎𝟑 𝒆−𝟐𝝎𝒕 𝝎 < 0 𝒂 Ou La nature du mouvement est déterminée par le signe de 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒅(𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 √𝟐) = = −√𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 < 0 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Mouvement est retarde ou décéléré. 5/Déterminons les composantes polaires de l’accélération ⃗ 𝜽) 𝒅(𝒓̇ ⃗𝒖𝒓 + 𝒓 𝜽̇ 𝒖 ⃗ 𝒅𝒗 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒓 𝒅𝒓 ⃗𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝒓̇ 𝒅𝜽̇ 𝒅𝒖 ⃗ = ⃗ 𝒓 + 𝒓̇ ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̇ 𝒂 𝒖 + 𝜽̇ ⃗𝒖𝜽 + 𝒓 𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒂 ⃗ = 𝒓̈ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓̇ 𝒂 ⃗ = 𝒓̈ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓̇ 𝒂 ⃗𝒓 ⃗𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̈ 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̇ + 𝒓̇ 𝜽̇ 𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒓 𝒅𝜽 ⃗ 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̈ 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̇ + 𝒓̇ 𝜽̇ 𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⃗𝒓 ⃗𝜽 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̈ 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̇𝜽̇ + 𝒓̇ 𝜽̇ 𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝜽 ⃗ = 𝒓̈ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓̇ 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓̇ 𝜽̇ 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̈ ⃗𝒖𝜽 − 𝒓 𝜽̇𝜽̇𝒖 ⃗𝒓 𝒂 ⃗ = 𝒓̈ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓̇ 𝜽̇ 𝒂 ⃗ = 𝒓̈ 𝒖 ⃗ 𝒓 + 𝒓̇ 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓̇ 𝜽̇ 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒓𝜽̈ 𝒖 ⃗ 𝜽 − 𝒓𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗𝒓 𝒂 56 Chapitre I Rappels mathématiques Dr Benhalima Nadia ⃗ = (𝒓̈ − 𝒓𝜽̇𝟐 )𝒖 ⃗ 𝒓 + (𝟐𝒓̇ 𝜽̇ + 𝒓𝜽̈)𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ = (𝒓̈ − 𝒓𝜽̇𝟐 )𝒖 ⃗ 𝒓 + (𝟐𝒓̇ 𝜽̇ + 𝒓𝜽̈)𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ = (𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 − 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝝎𝟐 )𝒖 ⃗ 𝒓 + (−𝟐𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 𝝎 + 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝟎)𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ =𝟎𝒖 ⃗ 𝒓 − 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ = − 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝒖 ⃗𝜽 𝒂 ⃗ = − 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 ⃗𝒖𝜽 𝒂 ‖𝒂 ⃗ ‖ = 𝒂 = √(− 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 )𝟐 𝒂 = 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 6/ Déterminons les composantes tangentielle (𝒂𝑻 ) et normale (𝒂𝑵 ) de l’accélération. 𝒅𝒗 𝒅(𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 √𝟐) 𝒂𝑻 = = = −√𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝟐 𝒂𝑵 = { 𝑹 ⃗ 𝑻 + 𝒂𝑵 𝒖 ⃗ 𝑵 → 𝒂 = √𝒂𝑻 𝟐 + 𝒂𝑵 𝟐 → 𝒂𝟐 = 𝒂𝑻 𝟐 + 𝒂𝑵 𝟐 𝒂 = 𝒂𝑻 𝒖 { 𝒂 = 𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝒂𝑻 = −√𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝒂𝑵 𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒂𝑻 𝟐 𝒂𝑵 𝟐 = (𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 )𝟐 − (−√𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 ) 𝒂𝑵 𝟐 = 𝟒𝒃𝟐 𝝎𝟒 𝒆−𝟐𝝎𝒕 − 𝟐𝒃𝟐 𝝎𝟒 𝒆−𝟐𝝎𝒕 𝒂𝑵 𝟐 = 𝟐𝒃𝟐 𝝎𝟒 𝒆−𝟐𝝎𝒕 𝒂𝑵 = √𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝟐 𝟐 𝟐 𝒂 = −√𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 { 𝑻 𝒂𝑵 = √𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 7/ Déterminons le rayon de courbure 𝒂𝑵 = 𝑹= 𝒗𝟐 𝒗𝟐 →𝑹= 𝒂𝑵 𝑹 (𝒃𝝎 𝒆−𝝎𝒕 √𝟐) √𝟐𝒃𝝎𝟐 𝒆−𝝎𝒕 𝟐 = 𝟐 √𝟐 𝑹 = √𝟐𝒃 𝒆−𝝎𝒕 𝒃 𝒆−𝝎𝒕 57 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia La dynamique en physique est la science qui étudie la relation entre le corps en mouvement et les causes qui provoquent ce mouvement. Elle prédit aussi le mouvement du corps situé dans un milieu déterminé. La dynamique, plus précisément, est l’analyse de la relation entre la force appliquée et les changements du mouvement du corps. III.1.Première loi de Newton Principe d’inertie Les systèmes soumis à des forces extérieures dont la somme vectorielle est nulle sont appelés systèmes pseudo-isolés (ou isolés s’ils ne subissent aucune force – cas idéal). Le centre d’inertie d’un système isolé est en mouvement rectiligne et uniforme ou au repos dans un référentiel galiléen. De manière équivalente : ⃗ 𝒆𝒙𝒕 = ⃗𝟎 ⟺ (𝒗 ⃗ = 𝒄𝒕𝒆) ∑𝑭 On appelle référentiel galiléen un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen. Un référentiel n’est donc pas galiléen s’il tourne, accélère ou freine par rapport à un référentiel galiléen. Exemple ⃗ →𝑻 ⃗ →𝑻 ⃗ 𝒆𝒙𝒕 = 𝟎 ⃗ +𝑭 ⃗𝒈=𝟎 ⃗ + 𝒎𝒈 ⃗⃗ = ⃗𝟎 ∑𝑭 𝑻 − 𝑴𝒈 = 𝟎 → 𝑻 = 𝑴𝒈 58 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia III.2. Deuxième loi de Newton Principe fondamental de la dynamique (PFD) III.2.1. Définition d’une force On appelle force la grandeur vectorielle décrivant une interaction capable de produire un mouvement ou encore de créer une déformation. La force est représentée par un vecteur caractérisé par :  son point d'application (le point matériel)  sa direction  son sens  son intensité L'intensité d'une force se mesure à l'aide d'un dynamomètre et s'exprime en Newton (N) dans le système international d'unités. Un point matériel est dit isolé s'il n'est soumis à aucune interaction mécanique avec l'extérieur. C'est le cas d'un corps seul dans l'espace loin de tout autre masse. III.2.2. Forces à distance Il arrive souvent que deux corps interagissent, bien qu’ils soient séparés par un espace. Dans un référentiel Galiléen la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur un point matériel est égale au produit du vecteur accélération et de la masse du point matériel : ⃗ ∑ ⃗𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎𝒂 59 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia a) Interaction de gravitation et poids Deux corps A et B, assimilables à des points, s’attirent mutuellement. L’attraction qu’ils exercent l’un sur l’autre est : Proportionnelle à leur masse 𝒎𝑨 et 𝒎𝑩 . Inversement proportionnelle au carré de la distance d entre les deux points. Les forces qui modélisent cette interaction mutuelle a les caractéristiques suivantes :  Leur point d’application est tel que la force exercée par A sur B s’applique en B et la force exercée par B sur A s’applique en A.  Direction : droite AB  Sens : vers le centre attracteur  Valeur :𝑭𝑨⁄ = 𝑭𝑩⁄ = 𝑮 𝑨 𝑩 𝒎𝑨 .𝒎𝑩 𝒅𝟐 et G est la constante universelle de la gravitation ( 𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵 ⋅ 𝒎𝟐 . 𝒌𝒈−𝟐 ) ⃗𝑭 = 𝑮 𝒎𝑨 . 𝒎𝑩 ⃗ 𝒖 𝒅𝟐 La force de gravitation intervient pour expliquer la formation des planètes, des étoiles et des galaxies ainsi que leur mouvement. b) Interaction coulombienne, force électrostatique Considérons deux charges électriques et ponctuelles 𝒒𝟏 et 𝒒𝟐 , placé dans le vide. La charge ⃗ qui peut être attractive ou répulsive suivant le signe du 𝒒𝟏 exerce sur 𝒒𝟐 une force 𝑭 produit 𝒒𝟏 𝒒𝟐 .  𝟏 Valeur : 𝑭𝑨⁄ = 𝑭𝑩⁄ = 𝟒𝝅𝜺 𝑩 𝑨 𝜀0 est appelée permittivité du vide 𝟎 𝒒𝑨 .𝒒𝑩 𝒅𝟐 =𝒌 ⃗ = 𝑭 𝒒𝑨 .𝒒𝑩 𝒅𝟐 avec 𝒌 = 𝟏 𝒒𝑨 . 𝒒𝑩 ⃗ 𝒖 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝟐 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟗 𝑺𝑰 c) Force magnétique Une charge q qui se déplace avec une vitesse ⃗𝒗 dans un champ magnétique caractérisé par le ⃗⃗ subit une force magnétique appelée force de Lorentz ⃗𝒇𝒎 donnée par : vecteur 𝑩 60 Chapitre III Dynamique du point III.2.3. Forces de contact Dr Benhalima Nadia ⃗𝒇𝒎 = 𝒒𝒗 ⃗⃗ ⃗ ∧𝑩 Elles apparaissent chaque fois que deux corps sont en contact. Exemples ⃗ +𝒏 ⃗ 𝒈 = 𝒎𝒂 ⃗ →𝑻 ⃗ +𝑭 ⃗ ∑ ⃗𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎𝒂 ∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 → 𝑻 = 𝒎𝒂𝒙 → 𝒂𝒙 = 𝑻 𝒎 ∑ 𝑭𝒚 = 𝒎𝒂𝒚 → 𝒏 − 𝑭𝒈 = 𝟎 → 𝒏 = 𝑭𝒈 ⃗ = 𝒎 ⃗𝒂 → { ∑𝑭 ∑ 𝑭𝒙 = 𝒎 𝒂𝒙 → 𝒎𝒈 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒎 𝒂𝒙 ∑ 𝑭𝒚 = 𝒎 𝒂𝒚 = 𝟎 → 𝒏 − 𝒎𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟎 61 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia 𝑴 = 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ∑ 𝑭𝒙 = 𝑴 𝒂𝒙 → 𝑭 − 𝑴𝒈 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝑴 𝒂𝒙 ⃗ →{ ∑ ⃗𝑭 = 𝒎 𝒂 ∑ 𝑭𝒚 = 𝑴 𝒂𝒚 = 𝟎 → 𝑵 − 𝑴𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟎 → 𝑵 = 𝑴𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜽 III.2.4.Force de Tension { ∑ 𝑭𝒙 (𝒎𝟏 ) = 𝒎𝟏 𝒂𝒙 → 𝑻 = 𝒎𝟏 𝒂𝒙 ∑ 𝑭𝒚 (𝒎𝟏 ) = 𝟎 → 𝑵𝟏 − 𝒎𝟏 𝒈 = 𝟎 62 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia ∑ 𝑭𝒙 (𝒎𝟐 ) = 𝒎𝟏 𝒂𝒙 → 𝑭 − 𝑻 = 𝒎𝟐 𝒂𝒙 Frottement dans l'air ∑ 𝑭𝒚 (𝒎𝟐 ) = 𝟎 → 𝑵𝟐 − 𝒎𝟐 𝒈 = 𝟎 Dans le vide  Seule la force d'attraction terrestre agit sur l'objet.  Tous les objets tombent avec la même accélération Dans l'air En présence d'air, une force de frottement apparait, dirigée dans le sens opposé au mouvement. Cette force de frottement dépend d'un grand nombre de paramètres:  la densité du fluide  la viscosité du fluide  la surface effective de l'objet  la forme de l'objet  la vitesse de l'objet III.2.5. Forces de frottement dans un fluide (visqueux) 63 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia Frottements linéaires Dans le cas d’une vitesse faible, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse ⃗𝒇 = −𝒌𝒗 ⃗ , avec k est une constante qui dépend de la nature du fluide et des caractéristiques de l’objet. Frottements quadratiques Dans le cas d’une vitesse importante, la force de frottement est proportionnelle au carré de la ⃗ = −𝒌′ 𝒗𝒗 ⃗ avec 𝒌′ est aussi une constante qui dépend du fluide et des vitesse :𝒇 𝟏 caractéristiques de l’objet mais elle prend une autre forme que k : 𝒌′ = 𝜼𝑪𝒙 𝑺 ,avec 𝜼 la 𝟐 viscosité du fluide, 𝑺 la surface frontale de l’objet et 𝑪𝒙 le coefficient de trainée qui dépend de la géométrie du corps. Cas de frottements linéaires ⃗ = 𝒎𝒂 ⃗ = 𝒎𝒂 ⃗ →𝒑 ⃗ +𝒇 ⃗ ∑𝑭 ⃗⃗ − 𝒌𝒗 ⃗ = 𝒎𝒂 ⃗ Le PFD donne : 𝒎𝒈 En projetant dans le sens du mouvement (l’axe Oz vertical ascendant) : 𝒅𝒗 + 𝒌𝒗 = −𝒎𝒈 𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒌 𝒅𝒗 𝟏 + 𝒗 = −𝒈 → + 𝒗 = −𝒈 𝒅𝒕 𝒎 𝒅𝒕 𝝉 −𝒎𝒈 − 𝒌𝒗 = 𝒎𝒂 → 𝒎 Résolution de cette équation, la solution s’écrit comme: ⃗ (𝒕) = 𝒗𝒑 (𝒕) + 𝒗𝒔𝒔𝒎 (𝒕) 𝒗 Avec 𝒗𝒑 est la solution particulière telle que v est constante donc 𝒎 𝒌 𝒗𝒑 (𝒕) = −𝒈 ⟹ 𝒗𝒑 (𝒕) = − 𝒈 𝒎 𝒌 𝒅𝒗 𝒅𝒕 =𝟎 64 Chapitre III avec 𝝉 = Dynamique du point 𝒎 𝒌 Dr Benhalima Nadia 𝒗𝒑 (𝒕) = −𝝉 𝒈 𝒗𝒔𝒔𝒎 (𝒕) est la solution sans second membre telle que −𝒎𝒈 = 𝟎 𝒅𝒗 + 𝒌𝒗 = −𝒎𝒈 𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒎 + 𝒌𝒗 = 𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝟏 + 𝒗=𝟎 𝒅𝒕 𝝉 𝒅𝒗 𝟏 𝟏 + =𝟎 𝒗 𝒅𝒕 𝝉 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 =− 𝝉 𝒗 𝒅𝒕 𝒎 𝒅𝒗 ∫ 𝒕 𝒗 𝒕 𝟏 = − dt 𝝉 𝒅𝒗 𝟏 𝒕 = − ∫ 𝒅𝒕 ⟶ 𝐥𝐧 𝒗 = − + 𝒄 𝒗 𝝉 𝟎 𝝉 𝒕 𝒕 𝒆𝐥𝐧 𝒗 = 𝒆−𝝉+𝒄 ⟶ 𝒗 = 𝒆−𝝉 𝒆𝒄 ⟶ 𝒗 = 𝑨𝒆−𝝉 𝒂𝒗𝒆𝒄𝑨 = 𝒆𝒄 𝒕 Et enfin : 𝒗𝒔𝒔𝒎 (𝒕) = 𝑨𝒆−𝝉 𝒕 𝒗(𝒕) = 𝒗𝒑 (𝒕) + 𝒗𝒔𝒔𝒎 (𝒕) = −𝝉 𝒈 + 𝑨𝒆−𝝉 𝒕 𝒗(𝒕) = −𝝉 𝒈 + 𝑨𝒆−𝝉 On peut maintenant déterminer A à l’aide des conditions initiales : A = 𝟎 : 𝒗(𝒕 = 𝟎) = 𝟎 = 𝑨 − 𝒈𝝉 ⟹ 𝑨 = 𝒈𝝉 𝒕 𝒕 𝒗(𝒕) = −𝝉 𝒈 + 𝒈𝝉𝒆−𝝉 = 𝝉 𝒈 (−𝟏 + 𝒆−𝝉 ) 𝒕 𝒗(𝒕) = 𝝉 𝒈 (𝒆−𝝉 − 𝟏) Attention, rappelons que cette vitesse est négative puisque le corps qui chute se dirige suivant l’axe Oz descendant. III.2.6.Forces de frottement (friction) statique et cinétique Lorsqu’il y a deux objets en contact, il y a du frottement de surface. Par contre, on peut définir deux types de frottement : statique et cinétique.  Statique : Force de frottement agissant sur un objet immobile par rapport à la surface de contact. 65 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia  Cinétique : Force de frottement agissant sur un objet en mouvement par rapport à la surface de contact. Force de frottement statique On pose sur une table horizontale un objet de masse m. Si l'objet est au repos, il est soumis à ⃗⃗ et la réaction de la table ⃗𝑵 ⃗ . Ensuite, on tente de le déplacer en deux forces, son poids 𝑷 appliquant la force horizontale 𝐹 : une force de frottement statique ⃗𝒇 tend à s'y opposer. Le rôle du frottement statique est d’annuler l’action des autres forces voulant provoquer un mouvement parallèle à la surface de contact jusqu’à une valeur limite 𝒇𝒔 𝒎𝒂𝒙 : ⃗𝒔 ⃗ = 𝝁𝑺 ⃗𝑵 𝒇 𝒎𝒂𝒙 ⃗𝒔 : Force de frottement statique maximale (N)  𝒇 𝒎𝒂𝒙  𝝁𝒔 : coefficient de frottement statique ⃗ : Force normale (N).  ⃗𝑵  Le corps est au repos :∑ ⃗𝑭 = ⃗𝟎 Le frottement cinétique Plus la force normale sera grande, plus le frottement cinétique sera grand. Ce frottement s’applique seulement si l’objet subissant le frottement est en mouvement par rapport à sa surface de contact : ⃗𝒇𝒄 = 𝝁𝒄 𝑵 ⃗⃗ 𝒇 = 𝝁𝒄 𝑵 → 𝒇𝒄 = 𝝁𝒄 𝒎𝒈 { 𝒄 𝑵 = 𝒎𝒈 ⃗ 𝒄 : Force de friction cinétique (N).  𝒇  𝝁𝒄 : Coefficient de frottement cinétique (pas d’unité). ⃗ : Force normale (N).  ⃗𝑵 66 Chapitre III Dynamique du point { Dr Benhalima Nadia 𝒇𝒄 = 𝝁𝒄 𝑵 → 𝒇𝒄 = 𝝁𝒄 𝒎𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝑵 = 𝒎𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜶 III.3. Troisième loi de Newton Principe de l’action et de la réaction Contrairement aux deux premières lois de Newton, cette troisième loi ne relie pas le mouvement aux forces : elle concerne deux systèmes en interaction. ⃗ 𝟏→𝟐 , sur un autre objet (2), ce dernier exerce en retour Si un objet (1) exerce une force, 𝑭 ⃗ 𝟐→𝟏 , d’intensité égale mais de sens opposée: une force, −𝑭 ⃗𝑭𝟏→𝟐 = −𝑭 ⃗ 𝟐→𝟏 67 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia III.4.Application de la relation fondamentale de la dynamique (RFD) III.4.1.Chute libre sans frottement ⃗ 𝟎 dans le champ de pesanteur uniforme. M est en O On tire un projectile M avec une vitesse 𝒗 ⃗ . à 𝒕 = 𝟎. le plan (𝒙𝑶𝒚) est appelé plan de tir car il contient les vecteurs ⃗𝒗𝟎 et ⃗𝒈 Coordonnées du vecteur vitesse initiale sont 𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒗 ⃗ 𝟎 = { 𝟎𝒚 = 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝒗 𝒗𝟎𝒛 = 𝟎 ⃗ = 𝒎. 𝒈 ⃗⃗ ; cette force est verticale, vers le Le projectile, en chute libre, ne subit que son poids ⃗𝑷 ⃗ = ⃗𝒈 ⃗ bas et de valeur constante 𝒂 Vecteur vitesse instantanée 𝒅𝒗𝒙 (𝒕) =𝟎 𝒅𝒕 𝒗𝒙 (𝒕) = 𝑪𝟏 𝒅𝒗𝒚 (𝒕) = −𝒈 𝒊𝒏𝒕é𝒈𝒓𝒆𝒓 {𝒗𝒚 (𝒕) = −𝒈 . 𝒕 + 𝑪𝟐 𝒂𝒚 (𝒕) = 𝒅𝒕 𝒗𝒛 (𝒕) = 𝑪𝟑 𝒅𝒗𝒛 (𝒕) (𝒕) = =𝟎 { 𝒂𝒛 𝒅𝒕 𝒂𝒙 (𝒕) = où 𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 et 𝑪𝟑 sont des constantes d’intégration, que l’on déterminer par exemple à l’aide des conditions initiales, 𝒗𝒙 (𝟎) = 𝒗𝟎𝒙 = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝑪𝟏 ⃗ (𝟎) = ⃗𝒗𝟎 = {𝒗𝒚 (𝟎) = 𝒗𝟎𝒚 = 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = −𝒈 . 𝟎 + 𝑪𝟐 = 𝑪𝟐 𝒗 𝒗𝒛 (𝟎) = 𝒗𝟎𝒛 = 𝟎 = 𝑪𝟑 Vecteur position 𝒗𝒙 (𝒕) = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 {𝒗𝒚 (𝒕) = −𝒈 . 𝒕 + 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝒗𝒛 (𝒕) = 𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) s’obtiennent par intégration sur le temps, Les coordonnées du vecteur position 𝑶𝑴 68 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia 𝒅𝒙(𝒕) 𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 . 𝒕 + 𝑪𝟒 𝒅𝒕 𝟏 𝒅𝒚(𝒕) 𝒊𝒏𝒕é𝒈𝒓𝒆𝒓 {𝒚(𝒕) = − 𝒈 . 𝒕𝟐 + 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 . 𝒕 + 𝑪𝟓 𝒚𝒚 (𝒕) = 𝟐 𝒅𝒕 𝒛(𝒕) = 𝑪𝟔 𝒅𝒛(𝒕) (𝒕) = 𝒗 𝒛 { 𝒅𝒕 𝒗𝒙 (𝒕) = 𝑪𝟒 , 𝑪𝟓 et 𝑪𝟔 sont des constantes d’intégration que l’on peut déterminer à l’aide des conditions initiales : si M est initialement à l’origine O, alors 𝑪𝟒 = 𝑪𝟓 = 𝑪𝟔 = 𝟎 𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 . 𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒕) = {𝒚(𝒕) = − 𝟏 𝒈 . 𝒕𝟐 + 𝒗 𝐬𝐢𝐧 𝜶 . 𝒕 𝑶𝑴 𝟎 𝟐 𝒛(𝒕) = 𝟎 Equation cartésienne de la trajectoire L’équation horaire 𝒙(𝒕) = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 . 𝒕 permet d’exprimer le temps 𝒕 = 𝟏 𝒙𝟐 𝒙 𝒚=− 𝒈. 𝟐 + 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 . 𝟐 𝟐 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒙 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟏 𝒙𝟐 𝒚=− 𝒈. 𝟐 + 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝟐 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝒈 𝒚=− 𝒙𝟐 + 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝟐 𝟐 𝟐 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 On retrouve une équation de trajectoire parabolique, dans le plan de tir, incurvée (ouverte) vers le bas. Caractéristiques de la trajectoire La flèche Au sommet de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse s’annule : 𝒗𝒚 (𝒕𝒔 ) = 𝟎. D’après l’équation horaire de cette grandeur, le sommet est atteint à la date 𝒗𝒚 (𝒕𝒔 ) = 𝟎 → −𝒈 . 𝒕𝒔 + 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝟎 69 Chapitre III Dynamique du point 𝒕𝒔 = Dr Benhalima Nadia 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝒈 𝟏 𝒗𝟎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟐 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝒚(𝒕) = − 𝒈 . + 𝒗 𝐬𝐢𝐧 𝜶 . 𝟎 𝟐 𝒈𝟐 𝒈 𝒚(𝒕) = − 𝟏 𝒗𝟎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟐 𝒗𝟎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟐 . + 𝒈 𝒈 𝟐 𝒚(𝒕) = La portée 𝟏 𝒗𝟎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶𝟐 . 𝟐 𝒈 La portée est l’abscisse 𝒙𝑷 du point P pour lequel l’altitude est nulle : c’est la distance totale au sol parcourue par l’objet. 𝟏 𝒙𝑷 𝟐 𝒚(𝒙𝑷 ) = − 𝒈 . 𝟐 + 𝒙𝑷 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝟎 𝟐 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝒙𝑷 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝜶) 𝒙𝑷 = 𝟎 𝒚(𝒙𝑷 ) = (− 𝒈 . 𝟐 𝟐 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝒙𝑷 = 𝟎 (point de lancer) 𝟏 𝒙𝑷 − 𝒈. 𝟐 + 𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝟎 𝟐 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝒙𝑷 𝟏 𝒈. 𝟐 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝟐 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝟐 𝒗𝟎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝟐 𝒗𝟎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 → 𝒙𝑷 = = 𝒈 𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟐 𝒗𝟎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 𝒈𝒙𝑷 𝟐 𝒗𝟎 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝒈 𝒗𝟎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶 𝒙𝑷 = 𝒈 70 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia La portée croît avec 𝒗𝟎 𝟐 ; elle est maximale, pour vo donné, lorsque 𝜶 = 𝟒𝟓° III.4.2. Pendule simple Pendule simple est constitue d'une bille de masse m, suspendue à un fil de longueur l. On écarte le pendule d'un angle 𝜽𝟎 par rapport à la verticale et on l'abandonne sans vitesse initiale. ⃗𝑷 ⃗ +𝑻 ⃗ = 𝒎𝒂 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝒓 𝑶𝑴 = 𝒍𝒖 ⃗ = 𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒓 ) 𝒅𝒍 ⃗𝒓 ⃗𝒓 ⃗ 𝒓 𝒅𝜽 𝒅𝑶𝑴 𝒅(𝒍𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒖 ⃗ 𝒓+𝒍 = = 𝒖 =𝒍 = 𝒍[ . ] 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒂 ⃗ 𝜽 ) 𝒅𝒍 ⃗ ⃗𝜽 𝒅(𝒍𝜽̇𝒖 𝒅𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 𝒅𝒗 𝒅𝜽̇ 𝒅𝒖 ̇ ⃗𝒖𝜽 + 𝒍 ̇ ⃗ = = = 𝜽 𝒖 + 𝒍𝜽 𝜽 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝒗 = 𝒍𝜽̇𝒖 ⃗𝜽 ⃗ = 𝒍𝜽̈𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒍𝜽̇ [ 𝒂 ⃗ 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝒖 ⃗ 𝜽 − 𝒍𝜽̇[𝒖 ⃗ 𝒓 . 𝜽̇] . ] = 𝒍𝜽̈𝒖 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⃗ = 𝒍𝜽̈𝒖 ⃗ 𝜽 − 𝒍𝜽̇𝟐 𝒖 ⃗𝒓 𝒂 ⃗ = 𝒂𝜽 𝒖 ⃗ 𝜽 + 𝒂𝒓 𝒖 ⃗𝒓 𝒂 ⃗ 𝒓; 𝒖 ⃗ 𝜽 ) s'écrivent : Par ailleurs, les forces exprimées dans la base polaire (𝒖 { ⃗⃗ = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽𝒖 ⃗ 𝒓 − 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽𝒖 ⃗𝜽 𝑷 ⃗ = −𝑻𝒖 ⃗𝒓 𝑻 71 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia ∑ 𝑭𝒓 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝑻 = 𝒎𝒂𝒓 = −𝒎𝒍𝜽̇𝟐 ⃗ →{ ∑ ⃗𝑭 = 𝒎𝒂 ∑ 𝑭𝜽 = − 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝒎𝒂𝜽 = 𝒎𝒍𝜽̈ ∑ 𝑭𝒓 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝑻 = −𝒎𝒍𝜽̇𝟐 → 𝑻 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎𝒍𝜽̇𝟐 { 𝒈 ∑ 𝑭𝜽 = − 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝒎𝒍𝜽̈ → 𝜽̈ + 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎 𝒍 𝒈 𝜽̇𝜽̈ + 𝜽̇𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎 𝒍 𝟏 𝒅(𝜽̇𝟐 ) 𝒈 𝒅(𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝒅(𝒄𝒕𝒆) − = 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒍 𝟏 𝟐 𝒈 𝜽̇ − 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒄𝒕𝒆 𝟐 𝒍 Si à 𝒕 = 𝟎, 𝜽(𝟎) = 𝜽𝟎 et 𝜽̇(𝟎) = 𝟎, on obtient 𝒈 𝟎 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 = 𝒄𝒕𝒆 𝒍 𝟏 𝟐 𝒈 𝒈 𝟐𝒈 (𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 ) 𝜽̇ − 𝒄𝒐𝒔𝜽 = − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 → 𝜽̇𝟐 = 𝒍 𝒍 𝒍 𝟐 𝟐𝒈 (𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 ) 𝑻 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎𝒍𝜽̇𝟐 → 𝑻 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒎𝒍 𝒍 𝑻 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝟐𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟐𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 𝑻 = 𝟑 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟐𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 𝑻 = 𝒎𝒈(𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 ) III.4.3. Tension d'un ressort Considérons un ressort horizontal, de longueur à vide 𝒍𝟎 et de raideur 𝒌 . 72 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia ⃗ ⃗ =𝟎 𝑭 (𝒍 − 𝒍𝟎 ) = 𝟎  Si le ressort est allongé (𝒍 > 𝒍𝟎 ) Il exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement (𝒍 − 𝒍𝟎 ). La constante de proportionnalitée est k : ⃗ = 𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 )(−𝒖 ⃗ = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 )𝒖 ⃗ 𝒙) → 𝑭 ⃗𝒙 𝑭  Si le ressort est comprimé(𝒍 < 𝒍𝟎 )Il exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement (𝒍𝟎 − 𝒍). La constante de proportionnalitée est k : ⃗ = 𝒌 (𝒍𝟎 − 𝒍)𝒖 ⃗ = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 )𝒖 ⃗ 𝒙→𝑭 ⃗𝒙 𝑭 Ainsi, dans les deux cas, on a : ⃗ = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 )𝒖 ⃗𝒙 𝑭 ⃗ 𝒙 : vecteur unitaire dirigée dans le sens de l'allongement  𝒖  ⃗𝑭: force de rappel ou tension du ressort (N)  k : raideur du ressort (𝑵. 𝒎−𝟏 )  ∆𝒍 = 𝒍 − 𝒍𝟎 : déformation du ressort (m).  Le signe (-) dans cette relation signifie que ⃗𝑭 est une force de rappel et qu'elle s'oppose à la déformation ∆𝒍 . Une force de rappel équivalente se produit pour un ressort : (𝒍 − 𝒍𝟎 ) peut alors être positif ou négatif suivant que le ressort est allongé ou comprimé. III.5. Notion de quantité de mouvement ⃗ La quantité de mouvement d’un point matériel 𝑴 de masse 𝒎 et de vitesse ⃗𝒗 est : ⃗𝒑 = 𝒎𝒗 Pour un système de N points matériels de masse 𝒎𝒊 et de vitesse ⃗𝒗𝒊 73 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia La quantité de, mouvement totale est : 𝑵 𝑵 𝒊 𝒊 ⃗ = ∑ ⃗𝒑𝒊 = ∑ 𝒎𝒊 ⃗𝒗𝒊 𝒑 Cette grandeur prend en compte la vitesse mais aussi l’inertie du corps (sa masse). Le point O étant choisi comme origine fixe, on peut écrire : ⃗𝒊= 𝒗 d’où 𝑵 𝑵 𝒊 𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝒕 𝑵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 𝒅(𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴𝒊 ) 𝒅𝑶𝑴 𝒅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 ) ⃗ = ∑ 𝒎𝒊 (∑ 𝒎𝒊 𝑶𝑴 𝒑 =∑ = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒊 On introduit la notion de barycentre / centre de gravité : le point G est défini par ; 𝑵 Rappelle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 = ⃗𝟎 ∑ 𝒎𝒊 𝑮𝑴 𝒊 Centre de gravité d’un ensemble de points (moyenne pondérée) Exemple: deux sphères reliées par une tige de masse négligeable Masse totale 𝑴 = 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 pour N points, 𝑨𝟏 , 𝑨𝟐 ,……. 𝑨𝒏 , de masses 𝒎𝟏 , 𝒎𝟐 , ……, 𝒎𝒏 74 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia 𝒏 𝑴 = ∑ 𝒎𝒊 𝒊=𝟏 Centre de gravité ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒎𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝑶𝑮 𝑶𝑨𝟏 + 𝒎𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑨𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑮 𝑶𝑨𝟐 𝒎𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑨𝟏 + 𝒎𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴 pour N points, 𝑨𝟏 , 𝑨𝟐 ,……. 𝑨𝒏 , de masses 𝒎𝟏 , 𝒎𝟐 , ……, 𝒎𝒏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑮 𝟏 𝑴 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑨𝒊 𝒎𝟏 𝒙𝟏 + 𝒎𝟐 𝒙𝟐 + 𝒎𝟐 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒎𝒏 𝒙𝒏 𝑴 𝒎 𝒚 + 𝒎 𝒚 + 𝒎 𝟐 𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒎 𝒏 𝒚𝒏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒚𝑮 = 𝑶𝑮 𝑴 𝒎𝟏 𝒛𝟏 + 𝒎𝟐 𝒛𝟐 + 𝒎𝟐 𝒛𝟐 + ⋯ + 𝒎𝒏 𝒛𝒏 { 𝒛𝑮 = 𝑴 𝒙𝑮 = 𝒏 𝟏 𝒙𝑮 = ∑ 𝒎𝒊 𝒙𝒊 𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒚𝑮 = 𝑶𝑮 { 𝒛𝑮 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 ∑ 𝒎 𝒊 𝒚𝒊 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 ∑ 𝒎𝒊 𝒛𝒊 𝑴 𝒊=𝟏 75 Chapitre III Dynamique du point { Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 = 𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑮𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 𝑶𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑮𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 𝑶𝑨𝟐 = 𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒎𝟏 (𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑮𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 ) 𝑮𝑨𝟏 ) + 𝒎𝟐 (𝑶𝑮 𝑴𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝑶𝑮 𝑮𝑨𝟏 + 𝒎𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑮𝑨𝟐 𝒎 𝟏 + 𝒎𝟐 = 𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝟏 𝑮𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 + 𝒎𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑴𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒎𝟏 𝑮𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟏 + 𝒎𝟐 𝑮𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 𝑴𝑶𝑮 𝑮𝑨𝟐 → 𝑴𝑶𝑮 ⃗ = 𝒎𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑮𝑨𝟏 + 𝒎𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑮𝑨𝟐 𝟎 𝒏 ∑ 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑮𝑨𝒊 = ⃗𝟎 𝒊=𝟏 𝑵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 = 𝑶𝑮 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑮𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 𝑶𝑴 𝑵 𝑵 𝒊 𝒊 𝒅 𝒅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑮𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒊 )) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ∑ 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑮𝑴𝒊 𝒑 (∑ 𝒎𝒊 (𝑶𝑮 ∑ 𝒎𝒊 𝑶𝑮 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⏟ 𝒊 𝑵 ⃗ = ∑ 𝒎𝒊 𝒑 𝒊 ( 𝑵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑶𝑮 = ∑ 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝑮 𝒅𝒕 ⃗ 𝟎 ) 𝒊 ⃗⃗⃗⃗𝑮 : est la vitesse du barycentre / centre de gravité 𝒗 La première loi de Newton peut s’énoncer en termes de quantité de mouvement : 76 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia Dans un référentiel d’inertie, un système isolé (qui n’est soumis à aucune force extérieure et n’est soumis qu’aux forces intérieures entre points matériels du système), la quantité de ⃗ est constante (conservé) , soit : mouvement totale 𝒑 ⃗ 𝒅𝒑 =𝟎 𝒅𝒕 « La dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un point matériel est égale à la somme vectorielle des forces qui lui sont appliquées. » ⃗ = 𝑭 ⃗ 𝒅𝒑 𝒅𝒕 Cette équation s’appelle « équation du mouvement »   Cas de la masse constante : ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗) ⃗ 𝒅𝒑 𝒅(𝒎𝒗 𝒅𝒗 ⃗ = 𝒎𝒂 ⃗ = =𝒎 →𝑭 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Cas de la masse variable : ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗) ⃗ 𝒅𝒑 𝒅(𝒎𝒗 𝒅𝒗 𝒅𝒎 ⃗ = =𝒎 +𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Si la masse du système est constante, sa vitesse l’est aussi : le mouvement du système est alors rectiligne et uniforme. Si le système est composé de deux objets de masse 𝒎𝟏 et 𝒎𝟐 , de vitesses respectives ⃗ 𝟏 et 𝒗 ⃗ 𝟐 , alors la conservation de la quantité de mouvement s’écrit : 𝒗 𝑝 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 III.5.1.Domaine de validité de la conservation de la quantité de mouvement En principe, la quantité de mouvement n’est conservée qui si la somme des forces extérieures est nulle; dans la pratique, c’est rarement le cas. On peut quand même considérer que la quantité de mouvement est conservée dans le cas où la somme des forces extérieures est non nulle si on considère un évènement dont la durée est très courte. En effet, si la durée ∆𝑡 de l’événement (collision, choc, explosion, désintégration, etc.) est très courte, alors on a : ⃗ =𝒑 ⃗ 𝒇−𝒑 ⃗𝒊≅𝟎 Si ∆𝒕 ≅ 𝟎 , alors : ∆𝒑 ⃗ ∆𝒕 = ∆𝒑 ⃗ 𝑭 ⃗ même si ⃗𝑭 ≠ 𝟎 III.5.2.Chocs élastiques – chocs inélastique Quand deux solides ou deux particules entrent en collision, deux principaux cas de figures surviennent :  choc élastique avec conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique du système (Cette condition (la conservation de l’énergie cinétique) est 77 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia remplie si le travail des forces non conservatives (tel le frottement) peut être négligé; il ne doit pas y avoir de déformation permanente des objets mis en cause dans la collision.  choc inélastique avec conservation de la quantité de mouvement et non-conservation de l’énergie cinétique du système. Collisions élastiques à une dimension. On considère deux objets de masse 𝒎𝟏 et 𝒎𝟐 entrant en collision : Avant le choc Après le choc Si 𝒎𝟏 > 𝒎𝟐 Si 𝒎𝟏 < 𝒎𝟐 La conservation de la quantité de mouvement : ⃗𝒑 = 𝒎𝟏 𝒗 ⃗ 𝟏 + 𝒎𝟐 ⃗𝒗𝟐 = 𝒑 ⃗ ′ = 𝒎𝟏 ⃗𝒗′𝟏 + 𝒎𝟐 ⃗𝒗′𝟐 En projetant sur l’axe des x : 𝒎𝟏 𝒗𝟏 + 𝒎𝟐 𝒗𝟐 = 𝒎𝟏 𝒗′𝟏 + 𝒎𝟐 𝒗′𝟐 La Conservation de l’énergie cinétique : 𝑬𝒄 = 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒎𝟏 𝒗𝟐𝟏 + 𝒎𝟐 𝒗𝟐𝟐 = 𝑬′𝒄 = 𝒎𝟏 𝒗′𝟏 + 𝒎𝟐 𝒗′𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ′ ′ 𝒎𝟏 (𝒗𝟏 − 𝒗𝟏 ) = 𝒎𝟐 (𝒗𝟐 − 𝒗𝟐 ) { 𝟐 𝟐 𝒎𝟏 (𝒗𝟐𝟏 − 𝒗′𝟏 ) = 𝒎𝟐 (𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐𝟐 ) 𝟐 𝒎𝟏 (𝒗𝟐𝟏 − 𝒗′𝟏 ) 𝒎𝟐 (𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐𝟐 ) (𝒗𝟏 + 𝒗′𝟏 )(𝒗𝟏 − 𝒗′𝟏 ) (𝒗′𝟐 + 𝒗𝟐 )(𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 ) = → = (𝒗𝟏 − 𝒗′𝟏 ) (𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 ) 𝒎𝟏 (𝒗𝟏 − 𝒗′𝟏 ) 𝒎𝟐 (𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 ) (𝒗𝟏 + 𝒗′𝟏 ) = (𝒗′𝟐 + 𝒗𝟐 ) → 𝒗′𝟏 = 𝒗′𝟐 + 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 78 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia 𝒎𝟏 (𝒗𝟏 − 𝒗′𝟏 ) = 𝒎𝟐 (𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 ) → 𝒎𝟏 (𝒗𝟏 − 𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 + 𝒗𝟏 ) = 𝒎𝟐 (𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 ) → 𝒎𝟏 (𝟐𝒗𝟏 − 𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 ) = 𝒎𝟐 (𝒗′𝟐 − 𝒗𝟐 ) → 𝟐𝒎𝟏 𝒗𝟏 − 𝒎𝟏 𝒗′𝟐 − 𝒎𝟏 𝒗𝟐 = 𝒎𝟐 𝒗′𝟐 − 𝒎𝟐 𝒗𝟐 → 𝟐𝒎𝟏 𝒗𝟏 − 𝒗′𝟐 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) = (−𝒎𝟐 + 𝒎𝟏 )𝒗𝟐 𝟐𝒎𝟏 𝒗𝟏 + (𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 )𝒗𝟐 = 𝒗′𝟐 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐𝒎𝟏 𝒗𝟏 + (𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 )𝒗𝟐 = 𝒗′𝟐 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝒗′𝟐 = (𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 ) 𝟐𝒎𝟏 𝒗𝟏 + 𝒗 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐 𝒗′𝟏 = 𝒗′𝟐 + 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 → 𝒗′𝟏 = 𝒗′𝟏 = (𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 ) 𝟐𝒎𝟏 𝒗𝟏 + 𝒗 + 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐𝒎𝟏 𝒗𝟏 − 𝒗𝟏 𝒎𝟏 − 𝒗𝟏 𝒎𝟐 (𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 )𝒗𝟐 + 𝒎𝟏 𝒗𝟐 + 𝒗𝟐 𝒎𝟐 + (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝒗′𝟏 = Chocs inélastiques (𝒎𝟏 − 𝒎𝟐 ) 𝟐𝒎𝟐 𝒗𝟏 + 𝒗 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) On considère le cas de deux wagonnets susceptibles de s’accrocher à la suite d’une collision ⃗ = 𝒎𝟏 𝒗 ⃗𝟏 Avant le choc :𝒑 ⃗ ′ = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )𝒗 ⃗′ Après le choc :𝒑 D’où, d’après le principe la conservation de la quantité de mouvement : 𝟏 Avant le choc : 𝑬𝒄 = 𝒎𝟏 𝒗𝟐𝟏 𝟐 𝟏 ⃗𝒑 = 𝒎𝟏 ⃗𝒗𝟏 = ⃗𝒑′ = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )𝒗 ⃗′ 𝒎𝟏 ⃗′= ⃗ 𝒗 𝒗 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟏 Après le choc : 𝑬′𝒄 = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )𝒗′ 𝟐 𝟐 79 Chapitre III Dynamique du point 𝑬′𝒄 = Dr Benhalima Nadia 𝟐 𝟏 𝒎𝟏 𝟏 𝟐 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )𝒗′ = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) ( ⃗ 𝟏) 𝒗 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐 𝑬′𝒄 𝟏 𝒎𝟏 𝟐 𝟐 ⃗𝟏 𝒗 = 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 La variation d’énergie cinétique est donc : ∆𝑬𝒄 = 𝑬′𝒄 𝟏 𝒎𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝒎𝟏 𝟐 𝟏 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 ⃗ 𝟏 − 𝒎𝟏 𝒗𝟏 = ⃗𝟏 − − 𝑬𝒄 = 𝒗 𝒗 𝒎𝟏 𝒗𝟐𝟏 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ∆𝑬𝒄 = 𝟏 𝒎𝟏 𝟐 𝟏 𝒎𝟏 𝟐 𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝟏 𝟐 𝟐 ⃗𝟏 − 𝒗 𝒗𝟐𝟏 − 𝒗 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟏 𝟏 𝒎𝟏 𝟐 ∆𝑬𝒄 = − 𝒗𝟐 𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟏 ∆𝑬𝒄 < 0 :Il y a donc une perte d’énergie mécanique au cours de ce choc parfaitement mou : il n’y a pas conservation de l’énergie mécanique. Cette énergie est dissipée sous forme :  de chaleur (énergie interne)  de déformation (travail). III.6.Propulsion des fusées La fusée de masse au départ 𝑴𝒐 éjecte une masse de gaz 𝜶 par unité de temps à la vitesse ⃗ 𝒈𝒂𝒛 constante par rapport à la fusée. 𝒗 𝒅𝒎(𝒕) La variation de masse de la fusée est : 𝒅𝒕 = −𝜶 𝒅𝒎(𝒕) = −𝜶𝒅𝒕 À l’instant t 𝒎(𝒕) = 𝒎𝟎 − 𝜶𝒕  La masse de la fusée est :𝒎(𝒕)  ⃗⃗ (𝒕) la vitesse de la fuséeest :𝑽  ⃗⃗ (𝒕) ⃗ (𝒕) = 𝒎(𝒕)𝑽 la quantité de mouvement de la fusée est :𝒑 À l’instant 𝒕 + 𝒅𝒕 80 Chapitre III         Dynamique du point Dr Benhalima Nadia La masse de la fusée est : 𝒎 + 𝒅𝒎 (𝒅𝒎 < 0) ⃗⃗ + 𝒅𝑽 ⃗ la vitesse de la fuséeest :𝑽 La massedu gazest: 𝒅𝒎𝒈𝒂𝒛 = − 𝒅𝒎 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 ) ⃗ 𝒈𝒂𝒛 est constante par rapport à la fusée La vitesse du gaz𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 La vitesse du gaz dans le référentiel terrestre est : ⃗𝑽 + 𝑽 ⃗ + 𝒅𝑽 ⃗⃗ ) ⃗ 𝒇𝒖𝒔é𝒆 (𝐭 + 𝐝𝐭) = (𝒎 + 𝒅𝒎)(𝑽 la quantité de mouvement de la fusée est :𝒑 ⃗ +𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 ) ⃗ 𝒈𝒂𝒛 (𝐭 + 𝐝𝐭) = − 𝒅𝒎 ⃗𝒖 = − 𝒅𝒎 (𝑽 la quantité de mouvementdu gazest :𝒑 la quantité de mouvement totale du système fusée + gazest : ⃗⃗ + 𝒅𝑽 ⃗ ) − 𝒅𝒎 (𝑽 ⃗ +𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 ) ⃗ (𝐭 + 𝐝𝐭) = (𝒎 + 𝒅𝒎)(𝑽 𝒑 ⃗ + 𝒅𝑽 ⃗ ) + 𝒅𝒎(𝑽 ⃗ + 𝒅𝑽 ⃗⃗ ) − 𝒅𝒎 (𝑽 ⃗⃗ + 𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 ) ⃗ (𝐭 + 𝐝𝐭) = 𝒎(𝑽 𝒑 { ⃗⃗ + 𝒅𝑽 ⃗ ) + 𝒅𝒎𝑽 ⃗ + 𝒅𝒎 𝒅𝑽 ⃗ − 𝒅𝒎𝑽 ⃗ − 𝒅𝒎𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 ⃗ (𝐭 + 𝐝𝐭) = 𝒎(𝑽 𝒑 ⃗⃗ + 𝒅𝑽 ⃗ ) + 𝒅𝒎 𝒅𝑽 ⃗ − 𝒅𝒎𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 ⃗ (𝐭 + 𝐝𝐭) = 𝒎(𝑽 𝒑 ⃗ + 𝒅𝑽 ⃗ ) − 𝒅𝒎𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 → ⃗𝒑𝒕𝒐𝒕 = 𝒎(𝑽 ⃗ 𝒅𝒎 𝒅𝑽 → (𝒏é𝒈𝒍𝒊𝒈𝒂𝒃𝒍𝒆) ⃗ + 𝒅𝑽 ⃗ ) − 𝒅𝒎𝑽 ⃗ 𝒈𝒂𝒛 ⃗𝒑(𝐭 + 𝐝𝐭) = 𝒎(𝑽 la variation de la quantité de mouvement entr 𝒕 et 𝒕 + 𝒅𝒕 est ⃗ + 𝒅𝑽 ⃗⃗ ) − 𝒅𝒎𝑽 ⃗⃗ 𝒈𝒂𝒛 − 𝒎𝑽 ⃗ = 𝒅𝒑 ⃗ (𝐭 + 𝐝𝐭) − 𝒑 ⃗ (𝐭) = 𝒎(𝑽 ⃗ 𝒑 ⃗ + 𝒎𝒅𝑽 ⃗⃗ − 𝒅𝒎𝑽 ⃗⃗ 𝒈𝒂𝒛 − 𝒎𝑽 ⃗ ⃗ = 𝒎𝑽 𝒅𝒑 ⃗ − 𝒅𝒎 ⃗𝑽𝒈𝒂𝒛 ⃗ = 𝒎𝒅𝑽 𝒅𝒑 ⃗ = 𝒎𝒂 ⃗ =𝒎 𝑭 { ⃗ = 𝒎𝒗 ⃗ 𝒑 ⃗ ⃗ 𝒅𝒗 𝒅𝒑 =𝒎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝒗 𝒅𝒕 → ⃗ 𝒅𝒑 ⃗ 𝒆𝒙𝒕 =𝑭 𝒅𝒕 ⃗𝑽𝒈𝒂𝒛 ⃗ ⃗ 𝒅𝒑 𝒅𝑽 ⃗ 𝒆𝒙𝒕 =𝒎 − 𝒅𝒎 =𝑭 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗𝑽𝒈𝒂𝒛 ⃗ 𝒅𝑽 ⃗⃗ 𝒈𝒂𝒛 ⃗ 𝑽 𝒅𝑽 ⃗ 𝒆𝒙𝒕 = 𝒎 − 𝒅𝒎 𝑭 { 𝒅𝒕 𝒅𝒕 → 𝒎 𝒅𝒕 = 𝒅𝒎 𝒅𝒕 ⃗𝑭𝒆𝒙𝒕 = ⃗𝟎 𝒎 𝑽𝒈𝒂𝒛 𝒅𝑽 = − 𝒅𝒎 → 𝒎 𝒅𝑽 = −𝒅𝒎 𝑽𝒈𝒂𝒛 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒎 𝒅𝑽 = −𝑽𝒈𝒂𝒛 𝒎 81 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia 𝑽(𝒕) = −𝑽𝒈𝒂𝒛 𝐥𝐧 𝒎 𝒅𝒎 𝒎𝟎 𝒎 ∫ 𝒅𝑽 = −𝑽𝒈𝒂𝒛 ∫ 𝒎 +𝒄 𝒎𝟎 à 𝒕 = 𝟎 , 𝑽(𝟎) = 𝒗𝟎 III.7.Moment cinétique 𝒗𝟎 = 𝒄 𝒎𝟎 + 𝒗𝟎 𝑽(𝒕) = 𝑽𝒈𝒂𝒛 𝐥𝐧 𝒎 𝒎𝟎 𝑽(𝒕) = 𝑽𝒈𝒂𝒛 𝐥𝐧 + 𝒗𝟎 𝒎𝟎 − 𝜶𝒕 Soit une particule de masse m animée d’une vitesse ⃗𝒗 en rotation par rapport à un point O. Le moment cinétique de m par rapport à O est: { ⃗𝑳 = ⃗𝒓 ∧ 𝒑 ⃗ ⃗ = ⃗𝒓 ∧ 𝒑 ⃗ 𝑳 ⃗ =𝒎𝒓 ⃗ ∧𝒗 ⃗ →𝑳 ⃗ = 𝒎𝒗 ⃗ 𝒑 III.7.1.Théorème du moment cinétique ⃗𝑳 = ⃗𝒓 ∧ 𝒑 ⃗ ⃗ ⃗ ∧ ⃗𝒑) ⃗ ⃗ 𝒅(𝒓 𝒅𝒑 𝒅𝒓 𝒅𝑳 ⃗ ∧ = = ⃗𝒓 ∧ +𝒑 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ ⃗ 𝒅𝒑 𝒅𝑳 ⃗ ⃗ ∧𝑭 = ⃗𝒓 ∧ =𝒓 𝒅𝒕 𝒅𝒕 La dérivée du moment cinétique d’une particule, par rapport au temps est égale au moment de la force qui lui est appliquée au même point. 82 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia III.7.2.Etude du pendule simple Un pendule simple est constitué d’une masse m assimilée à un point matériel M et d’un fil sans masse inextensible de longueur 𝑙 En l’absence de frottements ⃗ = 𝒍𝜽̇𝒖 ⃗𝜽 𝒗 ⃗ =𝒍 𝒓 ⃗𝑭 = 𝑷 ⃗⃗ + 𝑻 ⃗ ⃗ 𝒍⫽𝑻 ⃗⃗ = 𝒎𝒈 ⃗⃗ { 𝑷 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗⃗ + 𝑻 ⃗ )=𝒍∧𝑷 ⃗⃗ + 𝒍 ∧ 𝑻 ⃗ = 𝒍 ∧ ⃗𝑭 = 𝒍 ∧ (𝑷 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗ ‖ 𝐬𝐢𝐧 𝟎 + 𝒍 ∧ 𝑷 ⃗⃗ = ‖𝒍‖‖𝑻 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗⃗ =𝒍∧𝑷 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗ 𝒓 ∧ (𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽𝒖 ⃗ 𝒓 − 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽𝒖 ⃗ 𝜽) =𝒍𝒖 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗ 𝒓 ) − 𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽(𝒖 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗ 𝜽 ) = −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 ⃗𝒛 = 𝒍 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽(𝒖 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗𝒛 = −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 𝒅𝒕 ⃗𝑳 = 𝒎 𝒓 ⃗ ∧ ⃗𝒗 ⃗ =𝒓 ⃗ ∧𝒑 ⃗ 𝑳 ⃗ 𝒓 ∧ 𝒍𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̇(𝒖 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗ 𝜽) { → { 𝒍 = 𝒍𝒖 ⃗ 𝒓 =𝒎𝒍𝒖 ⃗ = 𝒎𝒗 ⃗ 𝒑 ⃗ = 𝒍𝜽̇𝒖 ⃗𝜽 𝒗 83 Chapitre III Dynamique du point { Dr Benhalima Nadia ⃗ = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̇(𝒖 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗ 𝜽) ⃗ 𝑳 ⃗𝒛 → 𝑳 = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̇𝒖 ⃗ 𝒛=𝒖 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗𝜽 𝒖 ⃗ = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̇𝒖 ⃗𝒛→ 𝑳 ⃗ ⃗ 𝒛) 𝒅(𝒎 𝒍𝟐 𝜽̇𝒖 𝒅𝑳 𝒅𝜽̇ ⃗ = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̈𝒖 ⃗𝒛 = = 𝒎 𝒍𝟐 𝒖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒛 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗𝒛 = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̈𝒖 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗𝒛 = −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 𝒈 𝒅𝒕 ⃗ 𝒛 = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̈𝒖 ⃗ 𝒛 → 𝜽̈ + 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎 → −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 ⃗ 𝒍 𝒅𝑳 ⃗𝒛 = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̈𝒖 { 𝒅𝒕 Savoir faire  Mettre l’équation différentielle sous forme canonique (normalisée) : 𝒚̈ + 𝑨𝒚 = 𝟎 avec y la variable d’étude et A une grandeur positive.  Identifier les différents paramètres et exprimer 𝑨 = 𝝎𝟐 en fonction des données du problème.  La solution générale est alors : 𝒚 (𝒕 ) = 𝒚𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝓).  En fonction des conditions initiales données dans l’énoncé, en déduire la solution particulière. 𝑨 = 𝜽̈ + 𝒈 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎 𝒍 𝒈 𝒈 = 𝝎𝟐 → 𝝎 = √ 𝒍 𝒍 𝒈 𝜽 (𝒕 ) = 𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝓) = 𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔 (√ 𝒕 + 𝝓). Si à 𝒕 = 𝟎, 𝜽(𝟎) = 𝜽𝟎 = et 𝜽̇(𝟎) = 𝟎, on obtient 𝒈 𝒍 𝒈 𝒈 𝜽 (𝒕 ) = 𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔 (√ 𝒕 + 𝝓) → 𝜽̇(𝒕 ) = − 𝜽𝟎 √ 𝒔𝒊𝒏 (√ 𝒕 + 𝝓). 𝒍 𝜽̇(𝒕 ) = − 𝜽𝟎 √ 𝒈 𝒔𝒊𝒏𝝓 = 𝟎 𝒍 𝒍 𝒍 𝒔𝒊𝒏𝝓 = 𝟎 → 𝝓 = 𝟎 𝜽 (𝒕 ) = 𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔√ En présence de frottements fluides 𝒈 𝒕 𝒍 ⃗ 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 ⃗𝑭 = ⃗𝑷 ⃗ +𝑻 ⃗ +𝒇 84 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia ⃗ 𝒅𝑳 ⃗⃗⃗ 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 ⃗ = 𝒍 ∧ (𝑷 ⃗⃗ + 𝑻 ⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝒍 ∧ 𝑻 ⃗ +𝒍∧𝒇 =𝒍∧𝑭 𝒇 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 ) = 𝒍 ∧ 𝑷 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗⃗⃗ 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 ⃗ +𝒍∧𝒇 = 𝒍 ∧ ⃗𝑷 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗⃗⃗ 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 ⃗ 𝒛+𝒍∧𝒇 = −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗ 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 = −𝒉 𝒎 ⃗𝒗 = −𝒉 𝒎 ⃗𝒗 𝒇 ⃗⃗⃗ 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 = 𝒍 𝒖 ⃗ 𝒓 ∧ (−𝒉 𝒎 𝒍𝜽̇𝒖 ⃗ 𝜽 ) = −𝒉 𝒎𝜽̇𝒍𝟐 (𝒖 ⃗ 𝒓∧𝒖 ⃗ 𝜽 ) = −𝒉 𝒎𝜽̇𝒍𝟐 𝒖 ⃗𝒛 𝒍∧𝒇 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗ 𝒛 − 𝒉 𝒎𝜽̇𝒍𝟐 𝒖 ⃗𝒛 = −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 𝒅𝒕 ⃗ 𝒅𝑳 ⃗ 𝒛 − 𝒉 𝒎𝜽̇𝒍𝟐 𝒖 ⃗𝒛 = −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 𝒅𝒕 ⃗ 𝒛 − 𝒉 𝒎𝜽̇𝒍𝟐 𝒖 ⃗ 𝒛 = 𝒎 𝒍𝟐 𝜽̈𝒖 ⃗𝒛 → −𝒍 𝒎𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒖 ⃗ 𝒅𝑳 𝟐 ̈ ⃗𝒛 = 𝒎 𝒍 𝜽𝒖 𝒅𝒕 { 𝒈 𝜽̈ + 𝒉𝜽̇ + 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎 𝒍 III.8. Exercices Exercice1 Une goutte de pluie de masse m supposée constante, tombant dans l’air est soumis à une force ⃗ = −𝒌 ⃗𝒗. de frottement visqueux 𝒇 1/ En appliquant le PFD (principe fondamental de la dynamique), écrire l’équation différentielle que satisfait la vitesse 𝒗 de la goutte de pluie. 2/ En déduire, sans résoudre l’équation différentielle, la vitesse limite 𝒗𝒍 atteinte par la goutte de pluie (la vitesse limite est obtenue lorsque l’accélération de la goutte de pluie est nul). 85 Chapitre III Dynamique du point Dr Benhalima Nadia Exercice 1 – Solution { ⃗𝑷 ⃗ = −𝒎𝒈 ⃗⃗ ⃗𝒇 = −𝒌𝒗 ⃗ ⃗ = 𝒎 ⃗𝒂 ⃗⃗ + 𝒇 𝑷 ⃗⃗ − 𝒌𝒗 ⃗ =𝒎𝒂 ⃗ −𝒎𝒈 ⃗⃗ − 𝒌𝒗 ⃗ =𝒎 −𝒎𝒈 𝒅 ⃗𝒗 𝒅𝒕 𝒎𝒈 + 𝒌𝒗 = −𝒎 𝒅𝒗 𝒅𝒕 ⃗ 𝒚 ) − 𝒌(−𝒗 ⃗𝒖𝒚 ) = 𝒎 −𝒎(− 𝒈𝒖 𝒅 (−𝒗 ⃗𝒖𝒚 ) 𝒅𝒕 𝒅𝒗 + 𝒌𝒗 = −𝒎𝒈 𝒅𝒕 𝑑𝑣 𝑘 + 𝑣 = −𝑔 𝑑𝑡 𝑚 𝒎 2/ la vitesse limite est obtenue lorsque l’accélération de la goutte de pluie est nul 𝒂= 𝒎 𝒅𝒗 =𝟎 𝒅𝒕 𝒌 𝒗 = −𝒈 𝒎 𝒍 𝒎𝒈 𝒗𝒍 = − 𝒌 86 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia VI.1. Travail effectué par une force constante Une force est vectoriellement constante si ses trois caractéristiques (direction, sens et valeur) sont constantes. Considérons le déplacement du point d’application d’une force d’un point 𝐴 à un point 𝐵 (un déplacement rectiligne ). ⃗ est égal à : 𝒘𝑨→𝑩 = ⃗𝑭. 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Le travail d’une force constante 𝑭 ⃗ ‖. ‖𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒘𝑨→𝑩 = ‖𝑭  𝒘𝑨→𝑩 s’exprime en joules (J)  𝑭 en newtons (N)  AB en mètres (m)  𝜽 est l’angle entre le vecteur force ⃗𝑭 et la direction du déplacement du point ⃗ . d’application de 𝑭 ⃗ ) > 0 on dit que le travail est moteur 𝒘 = +𝑭 𝑨𝑩 , 𝟗𝟎° > 𝜽 > 0°  Si 𝑾(𝑭 ⃗ ) < 0 on dit que le travail est résistant 𝒘 = −𝑭 𝑨𝑩, 𝟏𝟖𝟎° > 𝜽 > 90°  Si 𝑾(𝑭 87 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia  𝒘 = 𝟎 La force ⃗𝑭 reste orthogonale au déplacement de son point d’application 𝜽 = 𝟗𝟎° 𝒘= 𝟎→𝒅=𝟎  Le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi. { 𝒘 = 𝑭 𝑨𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝜽 → 𝒘 = 𝑭 𝑨𝑩 𝜽=𝟎 Si la force fait un angle avec le déplacement, il faut en tenir compte ⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝒘 = 𝑭 𝑨𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝑭 𝑨𝑩 88 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia Exemple 1 𝑾𝒇𝒄 =? ∑ 𝑭𝒚 = 𝟎 → 𝒏 + 𝑭 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝒎𝒈 = 𝟎 𝒏 = −𝑭 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝒎𝒈 = 𝟎 𝑾𝒇𝒄 = 𝒇𝒄 𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽 → 𝑾𝒇𝒄 = 𝒇𝒄 𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝑾𝒇𝒄 = −𝒇𝒄 𝑨𝑩 𝑾𝒇 = −𝒇𝒄 𝑨𝑩 { 𝒄 → 𝑾𝒇𝒄 = −𝝁𝒄 . 𝒏 𝑨𝑩 → 𝑾𝒇𝒄 = −𝝁𝒄 (𝒎𝒈 − 𝑭 𝐬𝐢𝐧 𝜽) 𝑨𝑩 𝒇𝒄 = 𝝁𝒄 . 𝒏 𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝑾𝑭 + 𝑾𝒇𝒄 + 𝑾𝒏 + 𝑾𝒈 → 𝑾𝒕𝒐𝒕 = 𝑾𝑭 + 𝑾𝒇𝒄 + 𝟎 + 𝟎 𝑾𝒏 = 𝑾𝒈 = 𝟎 (𝐜𝐨𝐬 𝑾𝒕𝒐𝒕 = ∑ 𝒏 𝝅 = 𝟎) 𝟐 𝑾𝒊 𝒊=𝟏 Exemple 2 ⃗𝑭 =? ⃗ ⃗𝑹 ⃗ 𝒂𝒊𝒓 = 𝟎 ∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒈 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝒇𝒄 ⃗ . 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑭𝒙 . 𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝑾=𝑭 89 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia VI.2. Travail effectué par une force variable Force constante 𝑾 = 𝑭 ∆𝒙 𝑺 = 𝑭 . (𝒙𝒇 − 𝒙𝒊 ) Force variable Si le déplacement n’est pas rectiligne et si la force n’est pas constante, on décompose le trajet du point d’application en sections infiniment petites sur lesquelles on peut considérer la force ⃗𝑭 constante et le vecteur déplacement 𝒅𝒍⃗ rectiligne. ⃗ , le travail Lors d’un déplacement élémentaire 𝒅𝒍 du point d’application d’une force 𝑭 élémentaire Travail total ∆𝑾𝒊 = 𝑭𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 ∆𝒍𝒊 90 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏 𝑾 = ∑ ∆𝑾𝒊 → ∑ 𝑭𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 ∆𝒍𝒊 𝒏 𝑾 = ∑ 𝑭𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 ∆𝒍𝒊 𝒊=𝟏 𝒃 𝑾 = 𝐥𝐢𝐦 ∑ 𝑭𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 ∆𝒍𝒊 = ∫ 𝑭 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒅𝒍 ∆𝒍𝒊 →𝟎 𝒂 Pour trouver le travail total de a à b, on fait la somme de tous les travaux élémentaires. Comme il y a une infinité de déplacements élémentaires pour aller de a à b, la somme de ces travaux n’est pas une somme discrète ( ∑ 𝒅𝑾 ) mais une somme continue : il s’agit d’une somme au sens intégrale ( ∫ 𝒅𝑾 ) 𝒃 ⃗ . 𝒅𝒍 𝑾=∫ 𝑭 𝒂 VI.3.Travail d’une action sur un ressort Considérons un ressort horizontal, de longueur à vide 𝒍𝟎 et de raideur 𝒌. 91 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia ⃗ ⃗ =𝟎 𝑭 (𝒍 − 𝒍𝟎 ) = 𝟎  Si le ressort est allongé (𝒍 > 𝒍𝟎 ) Il exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement (𝒍 − 𝒍𝟎 ). La constante de proportionnalitée est k : ⃗ = 𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 )(−𝒖 ⃗ = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 ) 𝒖 ⃗ 𝒙) → 𝑭 ⃗𝒙 𝑭  Si le ressort est comprimé (𝒍 < 𝒍𝟎 ) Il exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement ( 𝒍𝟎 − 𝒍 ). La constante de proportionnalitée est k : ⃗ = 𝒌 (𝒍𝟎 − 𝒍) 𝒖 ⃗ = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 ) 𝒖 ⃗ 𝒙→𝑭 ⃗𝒙 𝑭 Ainsi, dans les deux cas, on a : ⃗ = −𝒌 (𝒍 − 𝒍𝟎 ) 𝒖 ⃗𝒙 𝑭 ⃗ 𝒙 : vecteur unitaire dirigée dans le sens de l'allongement  𝒖  ⃗𝑭: force de rappel ou tension du ressort (N)  k : raideur du ressort (𝑵. 𝒎−𝟏 )  ∆𝒍 = 𝒍 − 𝒍𝟎 : déformation du ressort (m).  Le signe (-) dans cette relation signifie que 𝐹 est une force de rappel et qu'elle s'oppose à la déformation ∆ 𝑙. On considère le mouvement d’un point matériel attaché à un ressort de raideur k. La force de rappel du ressort est donnée par  Si le ressort est allongé ⃗𝒇𝒓 = −𝒌 ∆𝒍 ⃗𝒖𝒙 = −𝒌 𝒙 ⃗𝒖𝒙 { ⃗ 𝒓 = −𝒌 𝒙 ⃗𝒖𝒙 𝒇 ⃗ = 𝒅𝒙 𝒖 ⃗𝒙 𝒅𝒙 92 Chapitre IV 𝑾𝒇⃗𝒓 = ∫ 𝒙𝒇 =𝒙 𝒙𝒊 =𝟎 Travail et énergie 𝒙 Dr Benhalima Nadia 𝒙 𝟎 𝟎 𝒙 𝒙 𝟏 𝒙𝒇 =−𝒙 𝒙𝒊 =𝟎 𝟎 𝟏 𝑾⃗𝒇𝒓 = −𝒌 ∫𝟎 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒌 [ 𝒙𝟐 ] = − 𝒌 𝒙𝟐 P 𝟐 𝟐 𝟎  Si le ressort est comprimé 𝑾𝒇⃗𝒓 = ∫ 𝒙 ⃗ . 𝒅𝒙 ⃗ = ∫ −𝒌 𝒙 𝒖 ⃗ 𝒙 . 𝒅𝒙 ⃗𝒖𝒙 = ∫ −𝒌 𝒙 𝒅𝒙 𝒖 ⃗ 𝒙. 𝒖 ⃗ 𝒙 = −𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒖 ⃗ 𝒙. 𝒖 ⃗𝒙 𝒇 ⃗ . 𝒅𝒙 ⃗ =∫ 𝒇 −𝒙 𝟎 { ⃗ 𝒓 = −𝒌 𝒙 ⃗𝒖𝒙 𝒇 ⃗ = −𝒅𝒙 𝒖 ⃗𝒙 𝒅𝒙 −𝒙 −𝒙 ⃗ 𝒙 . 𝒅𝒙 ⃗𝒖𝒙 = ∫ 𝒌 𝒙 𝒅𝒙 ⃗𝒖𝒙 . 𝒖 ⃗ 𝒙 = 𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒖 ⃗ 𝒙. 𝒖 ⃗𝒙 𝒌𝒙𝒖 𝟎 −𝒙 −𝒙 𝟏 𝟏 𝑾⃗𝒇𝒓 = −𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒌 [ 𝒙𝟐 ] = − 𝒌 𝒙𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 93 Chapitre IV Travail et énergie VI.4.Travail de la pesanteur 𝑾=− Dr Benhalima Nadia 𝟏 𝒌 𝒙𝟐 𝟐 Calculons le travail de la force de pesanteur lorsque le centre de gravité G d’un corps matériel se déplace du point A au point B. Le poids étant une force constante, on a ♠ G descend (travail moteur) 94 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒑 𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒎𝒈𝒉 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = +𝒎𝒈𝒉 ⃗ . 𝑨𝑩 𝑾=𝒑 ♠ G monte (travail résistant) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒑 𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒎𝒈𝒉 𝐜𝐨𝐬 𝝅 = − 𝒎𝒈𝒉 𝑾 = ⃗𝒑. 𝑨𝑩 VI.5. Puissance d’une force La puissance d’une force, que nous noterons 𝓟 , est le quotient du travail fourni sur la durée lorsque cette durée tend vers 0 ∆𝑾 𝒅𝑾 ⃗𝑭. 𝒅𝒍 ⃗ .𝒗 ⃗ = = =𝑭 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝓟 = 𝐥𝐢𝐦 ⃗ .𝒗 ⃗ 𝓟=𝑭 𝑩 𝒕 𝒘 = ∫ 𝒅𝑾 = ∫ 𝓟 𝒅𝒕 𝑨 𝟎 Dans le cas particulier où la puissance est constante 𝑩 𝒕 𝒘 = ∫ 𝒅𝑾 = 𝓟 ∫ 𝒅𝒕 = 𝓟 𝒕 𝑨 𝟎 Dans le S I d’unités, la puissance s’exprime en Watt (𝑾) VI.6. Energie L’énergie est la capacité d’un corps à fournir du travail en raison de  sa position (énergie potentielle, 𝑬𝒑 ),  sa vitesse (énergie cinétique, 𝑬𝒄 ). C’est aussi le travail fourni pour  le ramener de la position qu’il occupe à une position de référence (𝑬𝒑 ),  l’amener du repos à la vitesse qu’il possède (𝑬𝒄 ). VI.6. 1.Théorème de l’énergie cinétique Mouvement rectiligne uniformément accéléré 𝑽𝟐𝟐 = 𝑽𝟐𝟏 + 𝟐 𝒂 𝒅 → 𝑽𝟐𝟐 − 𝑽𝟐𝟏 = 𝟐 𝒂 𝒅 → 𝒂 = 𝑽𝟐𝟐 − 𝑽𝟐𝟏 𝟐𝒅 95 Chapitre IV Travail et énergie { Dr Benhalima Nadia 𝑭=𝒎𝒂 𝒗𝟐 − 𝒗𝟐𝟏 𝒗𝟐𝟐 − 𝒗𝟐𝟏 → 𝑭 = 𝒎 𝟐 𝟐𝒅 𝒂 = 𝟐𝒅 𝒗𝟐𝟐 − 𝒗𝟐𝟏 𝒗𝟐𝟐 − 𝒗𝟐𝟏 𝑾=𝑭𝒅=𝒎 𝒅=𝒎 𝟐𝒅 𝟐 𝟏 𝟏 𝑾 = 𝒎 𝒗𝟐𝟐 − 𝒎 𝒗𝟐𝟏 𝟐 𝟐 𝑾 = 𝑬𝒄 (𝟐) − 𝑬𝒄 (𝟏) 𝑬𝒄 = 𝟏 𝒎 𝒗𝟐 𝟐 𝑾 = ∆𝑬𝒄 Le PFD appliqué au point matériel dans le référentiel (𝕽) supposé galiléen donne : ⃗ =𝒎 𝑭 ⃗ 𝒅𝒗 𝒅𝒕 On multiplie scalairement cette équation par le vecteur vitesse : ⃗ 𝒅 𝟏 𝒅𝑬𝒄 𝒅𝒗 𝒅 𝟏 𝟐 ⃗ .𝒗 ⃗ = 𝒎 ( ) . ⃗𝒗 = 𝒎 ( 𝒗 ⃗ )= ⃗ 𝟐) = 𝑭 ( 𝒎𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝟐 ⃗𝑭. 𝒗 ⃗ = 𝒅𝑬𝒄 𝒅𝒕 ⃗ .𝒗 ⃗ 𝒅𝒕 𝒅𝑬𝒄 = 𝑭 𝑬𝒄 = 𝟏 ⃗𝟐 𝒎𝒗 𝟐  Une analyse dimensionnelle donne [𝑬𝒄 ] = 𝑴𝑳𝟐 𝑻−𝟐 ce qui correspond à la dimension d’un travail.  L’énergie cinétique est toujours positive VI.6.2.Energie potentielle ⃗ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 → 𝒂 ⃗ = ⃗𝟎 → ∆𝒗 ⃗ = ⃗𝟎 → ∆𝑬𝒄 = 𝟎 𝒗 ⃗ 𝒆𝒙𝒕 = ⃗𝟎 → 𝑭 ⃗ +𝒑 ⃗ = ⃗𝟎 ∑𝑭 𝑭 − 𝒎𝒈 = 𝟎 → 𝑭 = 𝒎𝒈 96 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia ⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑾=𝑭 𝑨𝑩 = 𝑭 𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = 𝑭 𝑨𝑩 = 𝑭 𝒉 𝑾 = 𝑭 𝒉 = 𝑬𝒑 𝒕𝒆𝒎𝒑é𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒔𝒐𝒏 𝑬𝒑 = 𝟎 𝒆𝒕 𝑬𝒄 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 → { 𝒅é𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 (𝒅é𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 ↗ 𝒔𝒐𝒏 ↘) VI.6.3. Forces conservatives Energie potentielle 97 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia Une force est dite conservative si son travail entre deux point 𝑴𝟏 et 𝑴𝟐 dépend uniquement de la position de départ et de la position d’arrivée. Autrement dit, le travail est indépendant du chemin suivi pour aller de 𝑀1 vers 𝑴𝟐 . Si une force ⃗𝑭 est conservative, alors elle dérive d'une énergie potentielle 𝑬𝒑 . Donc cette force peut s'écrire: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬𝒑 ⃗ = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑭 ⃗ ⃗ soit conservative, il faut que : 𝒓𝒐𝒕 ⃗ =𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭 Pour qu'une force 𝑭 VI.6.4. Travail d'une force conservative ⃗ est conservative si son travail élémentaire peut s’écrire comme une On dit qu’une force 𝑭 différentielle, c’est-à-dire s’il existe une fonction 𝑬𝒑 telle que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑾 = ⃗𝑭. 𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝑾 = 𝑭 Cette force est conservative, elle peut donc s'écrire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑬𝒑 ⃗𝑭 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝝏 𝝏𝒙 𝝏𝑬 𝝏𝑬 𝝏𝑬 ⃗ = − 𝒑 𝒊 − 𝒑 𝒋 − 𝒑 ⃗𝒌 𝝏 →𝑭 𝝏 𝝏 𝝏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝒈𝒓𝒂𝒅 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏 { ( 𝝏𝒛 ) 𝝏𝑬𝒑 𝝏𝒙 ⃗ = 𝑭𝒙 𝒊 + 𝑭𝒚 𝒋 + 𝑭𝒛 ⃗𝒌 𝑭 𝝏𝑬𝒑 → 𝑭𝒚 = − { 𝝏𝑬 𝝏𝑬 𝝏𝑬 ⃗ = − 𝒑 𝒊 − 𝒑 𝒋 − 𝒑 ⃗𝒌 𝝏𝒚 𝑭 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝑬𝒑 𝑭 = − 𝒛 { 𝝏𝒛 𝑭𝒙 = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (− ⃗ . 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝑾 = 𝑭 𝒅𝑾 = − 𝝏𝑬𝒑 𝝏𝑬𝒑 𝝏𝑬𝒑 ⃗𝒌) . (𝒅𝒙 𝒊 + 𝒅𝒚 𝒋 + 𝒅𝒛 ⃗𝒌) 𝒊− 𝒋− 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝑬𝒑 𝝏𝑬𝒑 𝝏𝑬𝒑 𝒅𝒙 − 𝒅𝒚 − 𝒅𝒛 = −𝒅𝑬𝒑 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝒅𝑾 = −𝒅𝑬𝒑 Le travail d'une force conservative pour déplacer un point matériel est égal à la diminution de son énergie potentielle. Travail élémentaire d’une force 98 Chapitre IV Travail et énergie ⃗ = 𝒗 Dr Benhalima Nadia ⃗ 𝒅𝒕 𝒅𝑬𝒄 = ⃗𝑭. 𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗𝒗 𝒅𝒕 → 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ .𝒗 ⃗ 𝒅𝒕 = ⃗𝑭. 𝒅𝑶𝑴 𝒅𝑾 = 𝑭 Travail total d’une force lors d’un déplacement de A à B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑾 = ⃗𝑭. 𝒅𝑶𝑴 Si la force est constante, alors : 𝑩 𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝑾 = ⃗𝑭 ∫ 𝒅𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑭 ⃗ . 𝒅𝑶𝑴 ⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑾 = ∫ 𝒅𝑾 = ∫ 𝑭 𝑨𝑩 𝑨 𝑨 VI.6.5. Exercice Exercice 1 Une particule est soumise à une force : ⃗ ⃗ = (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝒊 + 𝟐𝒙𝒛 𝒋 + 𝟑𝒙𝒚𝒌 𝑭 Calculer le travail de la force quand la particule se déplaces du point 𝑶(𝟎, 𝟎, 𝟎) jusqu’au point𝑴(𝟏, 𝟏, 𝟏), suivant la courbe (𝑪) définie par : 𝒙 = 𝒕𝟐 {𝒚=𝒕 𝒛 = 𝒕𝟑 Exercice 1 – Solution Une particule est soumise à une force : ⃗ ⃗ = (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝒊 + 𝟐𝒙𝒛 𝒋 + 𝟑𝒙𝒚𝒌 𝑭 𝒙 = 𝒕𝟐 → 𝒅𝒙 = 𝟐𝒕 𝒅𝒕 { 𝒚 = 𝒕 → 𝒅𝒚 = 𝒅𝒕 𝒛 = 𝒕𝟑 → 𝒅𝒛 = 𝟑𝒕𝟐 𝒅𝒕 ⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍 𝒘 = ∫𝑭 ⃗ ) . (𝒅𝒙⃗𝒊 + 𝒅𝒚⃗𝒋 + 𝒅𝒛 ⃗𝒌) 𝒘 = ∫ ((𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝒊 + 𝟐𝒙𝒛 𝒋 + 𝟑𝒙𝒚𝒌 𝒘 = ∫(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒛 𝒅𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝒅𝒛 𝒘 = ∫(𝒕𝟒 − 𝒕𝟐 ) 𝟐𝒕 𝒅𝒕 + 𝟐𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝒅𝒕 + 𝟑𝒕𝟐 𝒕 𝟑𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒘 = ∫(𝟐𝒕𝟓 − 𝟐𝒕𝟑 ) 𝒅𝒕 + 𝟐𝒕𝟓 𝒅𝒕 + 𝟗𝒕𝟓 𝒅𝒕 99 Chapitre IV Travail et énergie Dr Benhalima Nadia 𝒘 = ∫(−𝟐𝒕𝟑 + 𝟏𝟑𝒕𝟓 ) 𝒅𝒕 𝑶(𝟎, 𝟎, 𝟎) → 𝑴(𝟏, 𝟏, 𝟏), suivant la courbe (𝑪) définie par : 𝟏 𝒘 = ∫ (−𝟐𝒕𝟑 + 𝟏𝟑𝒕𝟓 ) 𝒅𝒕 𝟎 𝟏 𝟏 −𝟐𝒕𝟒 𝟏𝟑𝒕𝟔 ] +[ ] 𝒘=[ 𝟒 𝟎 𝟔 𝟎 𝒘= −𝟐 𝟏𝟑 + = 𝟏. 𝟔𝟔 𝑱 𝟒 𝟔 100 Références 1- Cours De Physique Mécanique Du Point, Cours Et Exercices Corrigés, Licence 1re Et 2e Années, Alain Gibaud, Michel Henry, 2e Edition DUNOD ,2007 2- Physique, Exercices Et Problèmes, 1re Années, Jean-Marie Brébec, Tania Chaboud, Thierry Desmarais, Alain Favier, Marc Ménétrier, Régine Noël, Hachette supérieure ,2003 3- Mini Manuel de Mécanique du point, Michel Henry, Nicolas Delorme, DUNOD,2008 4- Mécanique Générale, Cours et exercices corrigés, Sylvie Pommier, Yves Berthaud, , DUNOD,2010 5- Mecanique Du Point Materiel, Ahmed Fizazi, OPU , Alger 2012 6- Mécanique, Cinématique du point matériel , Cours et exercices , Ms Maalem, 1er Edition mms2005 7- Physique Générale, Cinématique du point matériel, Hadjri Mebarki Soria, OPU, Alger 2016 8- Mécanique I, Rappels de cours et exercices corrigés, Dr Boualem Bourahla , éditions El-Amel 2013 9- La Mécanique, Notions De Base Et Applications, A Bouda, OPU Alger 2013 101