Memorias del Congreso Nacional de Control Automático ISSN: 2594-2492
Modeling and Parameter Identification of
Shipping Water Events: A Numerical
Evaluation with Non-Integer Derivatives ⋆
Marcos A. González-Olvera ∗ Lizeth Torres ∗∗
Jassiel V. Hernández-Fontes ∗∗∗
∗
Universidad Autónoma de la Ciudad de México, Ciudad de México,
México. (e-mail: marcos.angel.gonzalez@uacm.edu.mx).
∗∗
Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de la
México, Ciudad de México, México. (e-mail:
ftorreso@iingen.unam.mx)
∗∗∗
Departamento de Engenharia Naval, Escola Superior de Tecnologia,
Universidade do Estado do Amazonas, Manaus 69050-020, Brasil
(e-mail: jvfontes@uea.edu.br)
Abstract: In this article, we explore the use of a generalized diffusion equation (GDE)
for modeling shipping water (SW) events, which are bodies of water that flood the deck of
marine structures during extreme weather conditions. The GDE is obtained by substituting
the first-order time derivative of the standard diffusion equation by a generalized derivative
of non-integer order. The GDE, which in this contribution is formulated using the Caputo
fractional derivative, may permit to approximate the behavior between diffusion and wave
propagation observed in SW events. We present numerical results to demonstrate the
agreement between the response of the GDE and the standard advection-difussion equation,
which has been previously used to describe SW events.
Keywords: Shipping Water Events, Fractional-Time Difussion Equation, System Identification
1. INTRODUCCIÓN
Los embarques de agua (EE-A), también conocidos como eventos de embarque de agua en cubierta, son un
fenómenos hidrodinámicos en los que una masa de agua
invade la cubierta de una estructura marítima (Goda and
Miyamoto, 1976; Greco et al., 2005; Buchner, 2002). Se
ha demostrado que estos eventos representan un riesgo
importante en la operación de estas estructuras, ya que
el peso agregado puede superar las tolerancias de diseño
de la estructura (Pakozdi et al., 2016; Silva et al., 2017;
Hernández-Fontes et al., 2020a), la tripulación puede resultar gravemente herida y los equipos pueden resultar
dañados por las olas de agua que se propagan por la cubierta (Buchner, 2002). En la literatura se han propuesto
diversas formas de modelar este tipo de fenómenos y de
esta forma predecir su dinámica (Chuang et al., 2018;
Zhang et al., 2019).
La ecuación de difusión advección (EDA) se ha propuesto
recientemente para modelarlos EE-A, la cual, además de
proporcionar una aceptable descripción de la dinámica
de estos fenómenos, es simple y puede resolverse analí⋆ Los autores desean agradecer a CONACyT por su apoyo a este
trabajo. M.A.G.-O. desea agradecer al proyecto UACM PI-CCyT2019-09 por el apoyo dado a este trabajo.
Número Especial 2020
ticamente para ciertas condiciones, lo que significa una
ventaja ya que las soluciones analíticas de esta ecuación
pueden utilizarse en aplicaciones numéricas de bajo costo
computacional (Hernández-Fontes et al., 2019a, 2020b,
2019b).
Recientemente, Hernández-Fontes et al. (2019a) encontraron una solución analítica para la EDA con coeficientes
de advección y difusión constantes, la cual utilizaron para
expresar la dinámica de un sólo evento de embarque
en una estructura fija. Después, utilizaron esta misma
solución para estimar las cargas en cubierta (HernándezFontes et al., 2019b) y para modelar múltiples eventos
(Hernández-Fontes et al., 2020b). Posteriormente, utilizaron las solución analítica de la EDA, pero con coeficientes
variables, en el modelado de embarques de agua consecutivos generados con olas más largas (Hernández-Fontes
et al., 2020c). Los resultados mostraron el gran potencial
de la EDA. Sin embargo, aún se requiere más investigación
para representar mejor la evolución de eventos generados
con olas de diferente inclinación, particularmente olas más
empinadas.
Por lo anterior, en este artículo se explora el uso de la
ecuación de difusión generalizada para modelar embarques de agua en cubierta, que es una extensión de la
ecuación clásica de difusión de orden entero, ya que el
1
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orden de la derivada temporal puede tomar cualquier
valor del conjunto de los números reales. En particular,
cuando el orden de la derivada temporal varía entre uno
y dos, es decir, α ∈ [1, 2], la EDG permite describir un
proceso de evolución que es intermedio entre la difusión
clásica y la propagación de onda clásica (Huang and Liu,
2005). Este proceso intermedio se ha denominado anteriormente fenómeno de ondas de difusión fraccionarias
y sus efectos son ondas de difusión fraccionarias, que
son una especie de ondas amortiguadas que involucran
oscilaciones (Mainardi, 2010).
Asimismo, se evalúa numéricamente el uso de la ecuación
de difusión generalizada para aproximar la dinámica de
los EE-A, cuyo orden de la derivada temporal puede ser
cualquier valor real en lugar de un entero. En particular,
se propone que la derivada temporal se ubique en el
intervalo (1,2), por lo que describe la dinámica de los EEA con un comportamiento intermedio entre la difusión
clásica y la propagación de onda, con menos términos.
Por lo tanto, la dinámica estaría ubicada en el llamado
fenómeno de onda de difusión fraccionaria que da como
resultado ondas de difusión fraccionaria (Mainardi, 2010).
Para evaluar la capacidad de EDG de predecir eventos de
agua, se llevaron a cabo diferentes simulaciones numéricas
con la EDA, considerando a ésta como el modelo patrón
o modelo de referencia. De estas simulaciones se obtuvieron series de tiempo de elevaciones de agua en varias
posiciones a lo largo de la cubierta de una estructura fija.
Parte de los datos obtenidos durante las simulaciones se
utilizaron para calibrar la EDG, i.e., para estimar tanto el
orden fraccionario como el coeficiente de pseudo-difusión
que hacen que la EDG se ajuste mejor a los datos de
calibración.
La calibración se abordó como un problema de optimización, el cual se llevó a cabo utilizando un algoritmo
genético y la transformada pulso. Esta última facilitó el
proceso de calibración.
El presente artículo se encuentra organizado de la siguiente forma: en la Sección 2 se presenta el modelo que se
propone para modelar los embarques de agua, es decir,
la EDG. En la Sección 4 se muestran y discuten los
resultados numéricos de aplicar la EDG como los eventos
EEA, así como el algoritmo de identificación basado en
un algoritmo genético. Finalmente, se discuten las conclusiones y el trabajo futuro en la Sección 5.
2. ANTECEDENTES
2.1 Derivada de orden fraccionario
La integral o derivada de orden fraccionario puede verse
como la generalización de la integral o derivada de orden
entero de una determinada función f (t). En este sentido,
entre varias definiciones, dos de los enfoques principales
en los sistemas de control son el operador fraccionario de
Riemann-Liouville y el operador de Caputo (Gorenflo and
Mainardi, 1997).
Número Especial 2020
El operador diferencial fraccionario de Caputo (1967),
que se define como
Dα f (t) :=
Z t
1
f (n)(τ )
dτ ; n − 1 < α < n ∈ N,
Γ(n − α) a (t − τ )α+1−n
n
d f (t); α = n ∈ N,
dtn
es el más utilizado en control automático, ya que puede incorporar condiciones iniciales en ecuaciones diferenciales
de orden fraccionario de manera similar a su contraparte
de orden entero. Sin embargo, los valores de inicialización
no se pueden dar con tanta fluidez como en el caso del
orden de números enteros, y se debe tener especial cuidado
en la definición de las mismas (Lorenzo and Hartley,
2001). Por lo anterior, en este trabajo se emplea esta definición de la derivada de orden fraccionario, considerando
que al inicio de los fenómenos estudiados la condición
inicial es nula y constante para t ≤ 0.
2.2 Ecuación de advección-difusión
La ecuación de difusión advección, que previamente se ha
utilizado como modelo de eventos de agua en embarques,
está dada por
∂η(x, t)
∂ 2 η(x, t)
∂η(x, t)
+ A(x)
= B(x)
,
(1)
∂t
∂x
∂x2
donde η(x, t) es la elevación del agua, x denota la coordenada del dominio espacial por el que se propaga el flujo
de agua (esto es, la cubierta de una estructura marina)
y t es la coordenada temporal. A(x) y B(x) son los
coeficientes de advección y difusión, respectivamente, los
cuales dependen de la coordenada espacial. Estos coeficientes describen la disipación de energía y dependen de
diversos factores, como la velocidad horizontal del líquido,
la rugosidad de la superficie y la viscosidad del fluido.
Más detalles pueden ser encontrados en el trabajo de
Hernández-Fontes et al. (2019a).
En este artículo la EDA es utilizada como modelo patrón
o modelo de referencia, es decir, que se usa para validar el
modelo que se propone, es decir, la ecuación de difusión
generalizada que a continuación se presenta.
3. ECUACIÓN DE DIFUSIÓN GENERALIZADA
En este artículo, consideramos la ecuación de difusión generalizada como un nuevo modelo candidato para eventos
de agua embarcada. Esta ecuación se obtiene reemplazando la derivada temporal de primer orden en la ecuación de
difusión estándar por una derivada generalizada de orden
α ∈ R:
∂ 2 η(x, t)
∂ α η(x, t)
= A(x)
,
(2)
α
∂t
∂x2
donde, para EE-A, la variable η(x, t) es la elevación del
agua sobre la superficie horizontal, x y t son las coordenadas espacial y temporal, respectivamente. Cuando α = 1,
el parámetro A(x) actua como coeficiente de difusión
dependiente de la variable espacial, mientras que cuando
α = 2 actua como la velocidad de la propagación de onda.
En este trabajo este coeficiente se considera constante en
2
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el tiempo y variante en el espacio. Sin embargo, en trabajos futuros se llevará a cabo un análisis de la EDG con un
coeficiente dependiente del tiempo o incluso dependiente
de la propia variable η(x, t).
Fα =
La versión espacial-discreta de la EDG se obtuvo empleando el método de diferencias finitas, que implicó aproximar ∂ 2 η(x, t)/∂x2 de la siguiente forma:
∂ 2 η(x, t)
ηi+1 (t) − 2ηi (t) + ηi−1 (t)
≈
,
2
∂x
(∆x)2
(3)
de tal manera que la versión discreta en el espacio de (2)
resultó
(αi )
ηi
(4)
= A′i (ηi+1 − 2ηi + ηi−1 ).
donde A′i = A(xi )/∆x2i , xi = i∆x and i = 1, 2, ..., N .
g2
g1
0
..
.
0
g3
g2
g1
..
.
0
(10)
y g1 = 1, gj = j α+1 −2(j−1)α+1 +(j−2)α+1 , j = 2, . . . , N .
Esto resulta en
ηi (t) − ai J α ηi (t) = ( bi,1 , bi,2 ) J α ui (t).
(11)
Considerando que
T
T
ψ(N ) η̄i+1
ψ(N ) ,
ηi (t) ≈ η̄iT ψ(N ) (t), ui (t) ≈ η̄i−1
entonces (11) se aproxima mediante
η̄iT (IN ×N − ai Fαi )ψN (t) = (bi,1 ūi,1 + bi,2 ūi,1 )Fαi ψN (t).
(12)
3.1 Transformación pulso
En un marco experimental, todas las señales se obtendrían
de sensores con un tiempo de muestreo dado y se ubicarían
en ubicaciones específicas de la variable espacial. Por lo
tanto, como se muestra en Tang et al. (2015); GonzálezOlvera and Tang (2016), en (4), ηi−1 y ηi+1 son tomadas
como señales externas con ηi como el i-ésimo pseudoestado:
Dα ηi (t) = ai ηi (t) + ( bi,1 , bi,2 ) ui (t),
∆
∆
g1
0
0
..
.
0
α
T
1
×
N
Γ(α + 2)
. . . gN
. . . gN −1
. . . gN −2
,
..
..
. .
. . . g1
N ×N
(5)
∆
∆
donde ai = −2A′i , bi,1 = A′i , bi,2 = A′i , ui (t) =
T
( ηi−1 (t) ηi+1 (t) ) .
Considerando un tiempo de muestreo presente en experimentos Ts en el intervalo t ∈ [0, T ], se emplean funciones
pulso, que están definidas como el conjunto de N funciones continuas a tramos constantes en los subintervalos
j
t ∈ [ j−1
N T, N T ]:
1, t ∈ Ωi
ψi (t) =
(6)
0, otherwise.
Finalmente,
η̄iT = L(αi , ai )(bi,1 ūi,1 + bi,2 ūi,1 )Fαi ,
donde L(αi , ai ) = (IN ×N − ai Fαi ), resultando así en una
ecuación algebraica en lugar de un problema diferencial.
4. RESULTADOS NUMÉRICOS
4.1 Identificación basada en un Algoritmo Genético
Con el objetivo de determinar los parámetros que minimizan el error cuadrático del proceso de identificación, y
dado que se manifiestan de forma no lineal en (3.1), se
emplea un algoritmo genético (GA) para determinar un
valor sub-óptimo de α y Ai que minimice a la función de
costo
V (η̄i ) = η̄iT η̄i .
(13)
(7)
Para este trabajo, los individuos de cada generación son
los parámetros codificados (αi , Ai ) para cada pesudoestado ηi mediante números reales en genes, y se clasifican
por el valor que resulte de aplicarlos en la función (13).
La siguiente generación se crea a partir de la selección de
los mejores miembros de una iteración dada (elitismo), y
el resto es generado mediante una recombinación de dos
genes aleatorios. Finalmente, los individuos resultantes
son modificados de forma aleatoria con un determinado
porcentaje de mutación para definir la siguiente generación que seá evaluada.
los valores muestreados y retenidos en cada subintervalo
ηi (t) se aproximan mediante
Se considera el siguiente algoritmo para cada i-ésima
discretización ηi (t):
Estas funciones son ortogonales bajo el producto punto
∆ RT
hw(t), z(t)i = 0 x(t)z(t)dt, i.e., hψj (t), ψk (t)i = 0 ∀j 6=
k. Entonces, al agrupar las muestras mediante
η̄i = (ηi (0), ηi (T /N ), ηi (2T /N ), . . . ,
T
ηi (jT /N ), . . . , ηi (T (N − 1)/N )) ,
j = 0, . . . , N − 1,
ηi (t) ≈ η̃i (t) = η̄iT ψ(N ) (t),
(8)
1. Selección del número de genes para cada iteración (o
generación) Ng .
2. Generar valores iniciales aleatorios para αi y Ai
dentro de un intervalo de búsqueda definido.
3. Obtener los mejores %E individuos por elitismo.
4. Generar el resto de los individuos mediante recombinación.
5. Mutar el %P M de la generación resultante por
recombinación. No mutar a los individuos élite.
donde ψ(N ) (t) = ( ψ1 (t) ψ2 (t) . . . ψN (t) ).
R t f (τ ) 1−α
1
dτ a ηi (t) de (8) y
Aplicando J α f (t) = Γ(α)
0 t−τ
asumiendo ηi (t) = 0∀t < 0, se obtiene:
J α ηi (t) ≈ η̄iT Fα ψ(N ) (t),
(9)
donde
Número Especial 2020
3
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0.03
Elevation [m]
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
1
2
3
4
5
6
7
t[s]
Figura 2. Condiciones de frontera empleados en la simulación
0.105
1.55
0.1
1.5
0.095
∆x
αi
Ai
RMS [mm]
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.24
1.6900
1.6001
1.6036
1.6000
1.6000
1.6002
0.2151
0.1478
0.1539
0.1590
0.1464
0.0858
0.8535
0.4542
0.4114
0.3891
0.3989
0.6522
Tabla 1. Parámetros obtenidos y el error cuadrático medio (RMS) para cada discretización
de la variable espacial.
6. Repetir y regresar a 3) hasta obtener un valor mínimo determinado en (13) o alcanzar un número
determinado de iteraciones.
Por lo tanto, los parámetros de diseño del GA son Ng ,
%E and %P M .
Con el fin de obtener los valores discretizados de ηi (t) para
la identificación, primero se obtuvo la solución numérica
de (1) empleando las condiciones de frontera mostradas
en la Fig. 2, las cuales se obtuvieron a partir de los
datos publicados en Hernández-Fontes et al. (2020b).
Posteriormente, se tomaron seis valores cada ∆x = 0.04 m
de un dominio espacial con longitud L = 0.24 m para
alimentar el algoritmo genético y estimar (αi , Ai ). Note
que x = i∆x, donde i = 0, 1, 2, ..., 7. Note también que
i = 0 y i = 7 corresponden a las condiciones de frontera
η0 y η7 .
4.2 Resultados
La estimación paramétrica se obtuvo mediante la aplicación del algoritmo genético descrito en la Sección 4.1 con
Ng = 100, Ne = 5 % y %P M = 1 %, y el espacio de
búsqueda se consdieró como Ai = [0, 0.5] y αi = [1.2, 1.7].
Los resultados tras la identificación se muestran en la Fig.
4.2 y la Tabla 1. Cada término ηi (t) se obtuvo empleando
una implementación del método PECE de tipo AdamsBashforth-Moulton Diethelm and Freed (1998).
Número Especial 2020
1.45
0.09
(x)
D(x)
Figura 1. Algoritmo de recombinación
0.085
1.4
0.08
1.35
0.075
0.07
1.3
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
0.24
x [m]
Figura 3. Resultados de la identificación paramétrica.
Se puede observar que el uso del EDG puede aproximarse
al de la EDA cuando se usa una discretización de la
variable espacial en una restricción 1-D, y los parámetros
identificados aparecen consistentemente entre[1.3, 1.5] for
α y Ai = [0.07, 0.102] para Ai . Asimismo, el error RMS
se encuentra por debajo de 1 mm, logrando una reproducción del fenómeno de embarques de agua mediante la
EDG.
5. CONCLUSIONES
En este trabajo se ha presentado una demostración numérica de las capacidades de la EDG para modelar eventos
de embarque. A través de resultados numéricos y simulaciones, se encontró que si la derivada fraccionaria de
la EDG se situaba entre la dinámica clásica de difusión y
propagación de ondas, puede aproximarse efectivamente a
su dinámica reduciendo un término en la EDA y agregando un parámetro adicional asociado con el tiempo término
fraccionario. El trabajo futuro se refiere a la adaptación
de este método a los datos experimentales obtenidos de
embarques de agua en un entorno confinado, para que
los resultados puedan validarse en condiciones del mundo
real.
AGRADECIMIENTOS
Los autores desean agradecer a CONACyT por su apoyo
a este trabajo. M.A.G.-O. desea agradecer al proyecto
UACM PI-CCyT-2019-09 por el apoyo dado a este trabajo.
4
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, x=0.04 [m]; =1.4721
0.015
0.01
0.005
0
0
1
2
3
4
5
6
Elev. agua [m]
Elev. agua [m]
0.01
0.005
0
0
1
2
4
5
6
Elev. agua [m]
0.005
0
0
1
2
3
4
1
2
5
6
4
5
6
7
5
6
7
5
6
7
Aprox. EDG
Sol. EDA
0.005
0
1
2
3
4
Tiempo [s]
, x=0.24 [m]; =1.5191
6
Aprox. EDG
Sol. EDA
0.01
0.005
0
7
Tiempo [s]
3
Tiempo [s]
, x=0.16 [m]; =1.3907
4
0.015
Aprox. EDG
Sol. EDA
0.01
0
0.01
0
7
Tiempo [s]
, x=0.2 [m]; =1.3474
5
0.015
Elev. agua [m]
3
0.01
0.005
0.015
Aprox. EDG
Sol. EDA
, x=0.08 [m]; =1.4611
Aprox. EDG
Sol. EDA
0.015
0
7
Tiempo [s]
, x=0.12 [m]; =1.4394
3
0.015
2
0.02
Aprox. EDG
Sol. EDA
Elev. agua [m]
Elev. agua [m]
1
0.02
0
1
2
3
4
Tiempo [s]
Figura 4. Resultados de la identificación y de la TFDE. Se muestra en cada figura el resultado de la identificación
para diferentes valores de la variable espacial. En línea azul continua se muestra el resultado de la aproximación
empleando la EDG. En línea roja discontinua, el resultado de la solución numérica de la EDA.
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