Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón Taller en Software Geogebra: Estudio de la Función cuadrática mediante uso de software Geogebra INTRODUCCIÓN La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse en fenómenos frecuentes, como la caı́da de agua de una fuente o el movimiento de un balón o pelota que es impulsado por un jugador. Al respecto Galileo (1638, p336) afirma que la parábola es un punto en movimiento con lo que deja entrever las cónicas como objetos matemáticos que, en relación con el movimiento, permite identificarlas como el producto de la trayectoria de un cuerpo que se mueve de acuerdo a una ley, patrón o causas, por ello surgen lo modelos que pretenden explicar los fenómenos presentados.Esta afirmación acerca de la parábola deja ver una representación del movimiento en la que queda claro que la gráfica se construye de acuerdo con la relación de la variación entre las cantidades. Por otro lado, Newton (1687, p.345) indica que las situaciones cuadráticas en el plano, se representan mediante una expresión algebraica para después interpretarse como unos puntos que relacionan dos magnitudes en términos especı́ficos. Una vez analizado el comportamiento de la curva construida por medio de una ecuación cuadrática, se puede distinguir un tipo de relación unı́voca entre términos que posteriormente fue llamada función cuadrática. En el desarrollo histórico se observa que el concepto de función y en particular la función cuadrática estuvo vinculado a la modelización de fenómenos de variación y cambio, lo cual soporta la idea muy generalizada de incluir este proceso en los currı́culos escolares en todo el mundo. Con respecto a nuestro paı́s el tema de funciones presenta seria dificultades cognitivas en los estudiantes de la educación secundaria en Costa Rica, lo cual está claramente reflejado en las estadı́sticas del Departamento de Control de Calidad del Ministerio de Educación Pública, que muestran las altas tasas de fracaso escolar en los ı́temes de las pruebas nacionales de bachillerato, relacionados con este tema. En cuanto a la función cuadrática una de las dificultades asociadas respecto a comprensión de su concepto, lo es los métodos tradicionalistas de enseñanza de las matemáticas, las cuales han favorecido el aprendizaje memorı́stico, reglas, fórmulas, y procedimientos sin sentido para con su aprendizaje. Es claro que los métodos tradicionales de enseñanza se han convertido en impedimento para que el estudiante juegue un papel más activo en el proceso de enseñanza y aprendizaje, pues en esta enseñanza donde el estudiante solo recibe y acepta los conocimientos impartidos por Software Educativo (SP1373) 1 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón el profesor, se le niega la posibilidad de que a partir de sus conocimientos iniciales o de sus experiencias pueda participar en la construcción activa de los conceptos, impidiendo asi el logro en el educando de un verdadero aprendizaje y más significativo. La integración de las TIC (Tecnologı́as de la Información y la Comunicación) en el mundo educativo nos permite disponer de unos recursos que, usados de forma adecuada, se convierten en una herramienta potente y con interesantes funcionalidades para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. La predisposición por parte del alumnado para el uso de estos recursos es muy favorable, pero se debe lograr exista motivación en el educando para favorecer metodologı́as activas y participativas, que permita el alumnado se sienta partı́cipe de su propio aprendizaje, trabajar las matemáticas de forma experimental, esto es, interactuar con objetos matemáticos, construirlos, analizar comportamientos, comprobar propiedades, hacer conjeturas, realizar simulaciones. El profesorado dispone, con estas herramientas, de un medio para presentar de forma atractiva y dinámica distintos conceptos y procedimientos, ası́ como, para fomentar la reflexión y el análisis. La utilización correcta de las mismas deberá permitirle reducir esfuerzos y tiempos dedicados a algunas tareas que puedan resultar tediosas e incidir en aspectos que resulten más pedagógicos e interesantes. Las nuevas tecnologı́as han brindado la posibilidad de estructurar y elaborar procesos que dinamizan el conocimiento, en el caso particular, el conocimiento matemático. Procesos como la visualización y la justificación propios del pensamiento espacial y los sistemas geométricos se han facilitado gracias a software de geometrı́a dinámica. Al respecto Yábar (2000) indica que los recursos tecnológicos son instrumentos que convenientemente usados pueden potenciar la capacidad creadora del alumno. Los recursos tecnológicos han de responder a la necesidad del proceso de aprendizaje. (Ejemplo del GeoGebra y las construcciones geométricas). Un ejemplo particular de esas tecnologı́as es el uso del Geogebra, el cual es un software de Matemática que reúne geometrı́a, álgebra y cálculo. Lo desarrolló Markus Hohenwarter en la Universidad Atlántica de Florida (Florida AtlanticUniversity) para la enseñanza de matemática escolar. GeoGebra es un programa realizado en Java, lo que garantiza su portabilidad (se puede ejecutar en Windows, MacOSX, Linux o Solaris). Además, basta un par de pulsaciones del ratón para publicar en una página web cualquier construcción que hayamos realizado. GeoGebra está diseñado con mentalidad colaborativa. Desde la página oficial dispone de acceso a ayudas, recursos, foros y wikis que usuarios de todo el mundo mantienen en constante renovación. Además de la gratuidad y la facilidad de aprendizaje, la caracterı́stica más destacable de GeoGebra es la doble percepción de los objetos, ya que cada objeto tiene dos representaciones, una en la Vista Gráfica (Geometrı́a) y otra en la Vista Algebraica (Álgebra). De esta forma, se establece una permanente conexión entre los sı́mbolos algebraicos y las gráficas geométricas. Software Educativo (SP1373) 2 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón GeoGebra puede servir de ayuda tanto al estudiante como al profesor: Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero, ya sean dirigidas o abiertas, de resolución o de investigación. Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos estáticos (imágenes, protocolos de construcción) o dinámicos (demostraciones dinámicas locales, applets en páginas web). En cualquier caso, sirve de ayuda para que los estudiantes puedan: Visualizar conceptos abstractos, Representar conexiones conceptuales o Experimentar con las matemáticas. En este sentido, se presenta una propuesta didáctica con el fin de ser utilizada como herramienta que ayude a los profesores de matemática, a desarrollar el tema de funciones cuadráticas en el nivel de décimo año, la idea es no seguir patrones tradicionalistas que se han venido empleando a lo largo de la enseñanza de la misma, donde por lo general se le dan todos los conceptos de la función cuadrática a los educandos de una manera no significativa y poco interesante, solamente se les da como receta sin haber explorado y deducido el verdadero significado que puede tener en los educandos si se trata de una manera más amena, entretenida y exploratoria para ellos, donde este vaya poco a poco explorando y deduciendo mediante realización de guı́a orientadora con uso de software geogebra, las caracterı́sticas y conceptos de concavidad, discriminante, intersecciones con los ejes, monotonı́a, eje simetrı́a, vértice y ámbito, logrando ası́ que el aprendizaje sea más duradero y significativo. METODOLOGÍA Según Skinner la enseñanza programada es el intento de lograr en el aula escolar, los mismos resultados del control conductual alcanzado en los laboratorios, usando los principios conductuales. La enseñanza programada es una técnica instruccional que tiene las siguientes caracterı́sticas: Definición explı́cita de los objetivos del programa. Presentación secuenciada de la información según la lógica de dificultad creciente, asociada al principio de complejidad acumulativa. ”Participación del estudiante. Reforzamiento inmediato de la información. Individualización(avance de cada estudiante a su propio ritmo) Software Educativo (SP1373) 3 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón Registro de resultados y evaluación continua. Por su parte el maestro cumple la función de diseñador de situaciones de aprendizaje en las cuales tanto los estı́mulos como los reforzadores se programan para lograr las conductas deseadas. Se enseña para el logro de objetivos de aprendizaje claramente establecidos. Los aprendizajes a nivel de competencias operacionalmente definidas se diseñan de modo que a través de la evaluación pueda medirse el nivel de los mismos. El foco del proceso de enseñanza es el aprendizaje. Rojas y Corral afirman, Los orı́genes de la Tecnologı́a Educativa pueden hallarse en la enseñanza programada, con la idea de elevar la eficiencia de la dirección del proceso docente. Por otra parte el modelo Constructivista está centrado en la persona, en sus experiencias previas a partir de las cuales realiza nuevas construcciones mentales, por ello considera que la construcción se produce: Cuando el sujeto interactúa con el objeto del conocimiento (Piaget). Cuando esto lo realiza en interacción con otros (socialización) (Vigotsky). Cuando es significativo para el sujeto (Ausubel). En los aprendizajes desde enfoques constructivistas es posible contemplar tanto los contenidos como las capacidades cognitivas. Siempre resultará más enriquecedora una situación de aprendizaje que, además de los contenidos, potencie los procesos de aprendizaje (comprender un texto, interpretar gráficas, buscar y analizar datos, criticar una información). Es preciso combatir la creencia errónea de que los aprendizajes constructivistas sólo se centran en las capacidades, despreciando los contenidos: ambos aspectos pueden y deben conjugarse. El rol del docente es de moderador, coordinador, facilitador, mediador y también un participante más. El Constructivismo supone también un clima afectivo, armónico, de mutua confianza para ayudar a que los estudiantes se vinculen positivamente con el conocimiento y sobre todo con su proceso de adquisición. Según (Coll, 1987) un modelo constructivista basa el proceso de aprendizaje en la experimentación del alumno sobre objetos de su entorno, en la utilización de materiales apropiados, en actividades de laboratorio. Es una metodologı́a que centra el proceso de aprendizaje en la actividad creadora del alumno, en su función investigadora, en sus propios descubrimientos, entendiendo que es el alumno quien construye y significa sus conocimientos mediante una ayuda pedagógica. El constructivismo ha aportado metodologı́as didácticas propias como la idea de actividades didácticas como base de la experiencia educativa, ciertos procedimientos de identificación de ideas previas, la integración de la evaluación en el propio proceso de aprendizaje, los programas Software Educativo (SP1373) 4 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón entendidos como guı́as de la enseñanza, etc. Dentro de las premisas de los enfoque ya antes descritos se pude ubicar nuestra propuesta con una metodologı́a que combina la enseñanza programada (de enfoque conductista) y la enseñanza pedagógica desarrollista (enfoque constructivista), pues las pues primero que todo se parte de conocimientos previos del educando, actividades de laboratorio de cómputo han sido planeadas con el propósito de conducir el trabajo del estudiante al computador sin la dependencia del profesor y para introducirse en el estudio de las funciones cuadráticas, procurando en unos casos que descubra sus resultados teóricos y en otros que los compruebe. Por su parte con respecto a la propuesta planteada es dirigida a estudiantes de décimo año de educación secundaria, esta consta de una serie de guı́as didácticas previamente elaboradas mediante software Geogebra, estas guı́as se van realizando de forma segmentada, es decir, se estudia por separado conceptos en la función cuadrática, ası́ por ejemplo se presenta guı́a para estudio de concavidad, guı́a para intersección con ejes, guı́a para discriminante, guı́a para eje simetrı́a, guı́a para monotonı́a, guı́a para vértice y guı́a para ámbito de la función cuadrática. Cada una de las guı́as presenta Cinco etapas: 1. Etapa exploración y experimentación: Aquı́ el alumno manipula parámetros e introduce valores a estos para ver ciertos patrones y caracterı́sticas presentes, trata de explorar comportamientos según variación de los parámetros. 2. Etapa de Conclusiones: En esta etapa mediante pregunta orientadora se pretende el alumno una vez dada la etapa anterior establezca sus conjeturas y deduzca sus propias conclusiones. 3. Etapa de discusión: Se pretende el estudiante una vez elaborado sus conclusiones entre en un tipo de discusión con compañero de grupo, con la idea de la socialización e interacción de conceptos. 4. Etapa de Institucionalización: Una vez analizadas las conclusiones y discusiones de sus estudiantes en general el docente formaliza e institucionaliza cada uno de los conceptos involucrados según objetivo de cada guı́a. 5. Etapa de Reforzamiento e integración de conceptos: Esta consiste en la presentación de una actividad integradora dada en página 7 realizada mediante Software Geogebra, cuyo objetivo es que el estudiante visualice todos los conceptos estudiados por separado en una forma integral, posteriormente realice estudio de unas funciones cuadráticas donde aplique de manera formal los conceptos involucrados para el estudio de la función Software Educativo (SP1373) 5 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón cuadrática, se le pide lo realice primero sin ayuda del computador y finalmente una vez realizados los compruebe y compare con lo que le brinda el software Geogebra. Es importante acotar que se parte de ciertos conceptos previos como concepto función, análisis de gráficas de funciones y función lineal. En los ejercicios planteados se trata de combinar la manipulación de gráficos a través del computador con el trabajo algebraico de expresiones cuadráticas, para establecer un vı́nculo entre patrones visibles de las parábolas con elementos que caracterizan sus ecuaciones. Se espera que ese vı́nculo geométrico provea al estudiante un aprendizaje más permanente de los conceptos relativos a las funciones cuadráticas. Para el diseño de las actividades se parte de la siguiente premisa: El aprendizaje de la matemática resulta más significativo, cuando deriva del trabajo del estudiante y este participa activamente explorando y ensayando. El estudiante debe lograr el aprendizaje de conceptos y resultados relativos a funciones cuadráticas, a través de su trabajo de manipulación y exploración de estos objetos; actividades en las que además del manejo de gráficos por medio de la computadora, debe involucrar destrezas para leer y escribir conceptos, empleando elementos del lenguaje algebraico. En este sentido, las actividades con el computador no suponen la eliminación del trabajo con lápiz y papel, ni descuida el uso del lenguaje simbólico de la matemática, sino más bien, complementarlo y hacerlo más significativo. Por tanto la propuesta diseñada, tiene un enfoque pedagógico tanto constructivista como conductista, en la medida que se da una guı́a estructurada u orientadora donde se plantean al estudiante aspectos teóricos y guı́as de verificación y descubrimiento. Los aspectos teóricos se abordan exponiendo los conceptos y las definiciones en un sentido clásico, utilizando simbologı́a y recurriendo a la formalidad axiomática en la etapa de institucionalización. Las guı́as permite visualizar gráficas dinámicas donde por medio de la mediación, exploración y manipulación el estudiante construye su propio conocimiento, conjetura y conceptualiza visualizando cambios y comportamientos en las gráficas. Software Educativo (SP1373) 6 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón JUSTIFICACIÓN El tema de las funciones ha tenido un papel significativo en el desarrollo histórico de las matemáticas. Su vigencia se ha mantenido hasta el presente y, es fundamental en los programas de la enseñanza media superior y universitaria. Al respecto el tema de funciones cuadráticas presenta seria dificultades cognitivas en los estudiantes de la educación secundaria en Costa Rica, en parte por el uso de métodos tradicionalistas para con su la enseñanza. Esta metodologı́a predominante en cierta medida ha conllevado en los educandos a aprendizaje de los conceptos de una manera muy aislada y poco clara, llevándolo a resultados bajos relacionados con el tema, ası́ por ejemplo pruebas nacionales. Las herramientas tecnológicas brindan una oportunidad de abrir paso al constructivismo en la educación matemática. El uso adecuado de programas educativos como el GeoGebra permite modelar o visualizar problemas o situaciones matemáticas, ayudando a comprender a superar obstáculos presentes en el proceso de enseñanza- aprendizaje. Mediante una investigación en el 2009 por un equipo interdisciplinario del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (MEP) y el Instituto de Investigación en Educación de la Universidad de Costa Rica (INIE) se determinó que el GeoGebra facilita el aprendizaje del álgebra, geometrı́a y la integración de otros contenidos matemáticos, esto mediante un ambiente colaborativo con la utilización de las TIC en el aula. El GeoGebra es además útil para realizar comprobaciones y demostraciones visuales y numéricas de teoremas y propiedades, en donde, con actividades pertinentes y diseñadas con ayuda del software, el estudiante tiene la oportunidad de descubrir por sı́ mismos, pues como dice Póyla (1966), enseñar es dar una oportunidad a los estudiantes de descubrir por sı́ mismos. Ası́ también lo hace ver Póyla cuando dice que enseñar es dar una oportunidad a los estudiantes de descubrir por sı́ mismos, siendo GeoGebra útil para realizar comprobaciones y demostraciones visuales y numéricas de teoremas y propiedades. El Geogebra es un programa gratuito que se está convirtiendo en una herramienta revolucionaria en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. GeoGebra permite realizar construcciones dinámicas, fácilmente exportables a aplicaciones web, en las que podemos manipular las expresiones (geométricas, numéricas, algebraicas y observar la naturaleza de las relaciones y propiedades matemáticas a partir de las variaciones producidas por nuestras propias acciones.En su corta historia ya ha obtenido una serie de prestigiosos premios a la calidad didáctica y ha sido traducido a más de 40 idiomas. Por otro lado, hemos observado que el simple hecho de introducir una herramienta computacional en un entorno escolar motiva al estudiante a buscar y construir su conocimiento, y este aprendizaje es mayor y más significativo. Software Educativo (SP1373) 7 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón Además es preciso que al utilizar un software, este se acompañe de algún material concreto, como guı́as de trabajo pues estos ayudan al docente a cumplir los objetivos trazados para su lecciones y a su vez para ayudar al estudiante a seguir una lı́nea de aprendizaje, que, a pesar de ser constructivista necesita de cierta dirección para que el estudiante logre construir su propio conocimiento. Las competencias matemáticas en la actualidad van adquiriendo mayor relevancia, ya que por el acelerado progreso las ciencias y tecnologı́as son capaces de abrirle a un individuo puertas que sin el manejo de estas herramientas se mantendrı́an por siempre cerradas. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL: Dar una propuesta didáctica sobre el estudio de la función cuadrática con ayuda de software Geogebra. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Visualizar de manera general la forma del criterio de una función cuadrática, manipulando los valores de sus parámetros, con ayuda de actividad PÁGINA programada en Software Geogebra. 2. Determinar concavidad de una función cuadrática, manipulando valores para el coeficiente del término cuadrático a, con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. 3. Deducir relaciones del Discriminante con intersecciones con eje x en una función cuadrática, manipulando valores de coeficientes a,b y c con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. 4. Deducir la relación del valor del coeficiente del término independiente c con la intersección de la gráfica de la función cuadrática y el eje y, manipulando valores para coeficiente término independiente c con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. 5. Visualizar el eje de simetrı́a en la gráfica de una función cuadrática como una recta vertical y dependiente de coeficientes a y b que divide a la parábola en dos partes simétricas con respecto a este eje, manipulando valores para los diferentes coeficientes a, b y c con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. 6. Determinar que el vértice en la gráfica de una función cuadrática representa el punto máximo o el punto mı́nimo dependiendo de su concavidad, manipulando valores para Software Educativo (SP1373) 8 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón coeficiente del término cuadrático a con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. 7. Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento en la gráfica de una función cuadrática manipulando valores para coeficiente del término cuadrático a con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. 8. Determinar intervalo del Ámbito en la gráfica de una función cuadrática manipulando valores para coeficiente del término cuadrático a con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. 9. Visualizar de manera Integral los diferentes conceptos estudiados en la gráfica de una función cuadrática. APORTES Dentro de los principales aportes que brinda la metodologı́a utilizada en la enseñanza del tópico seleccionado están: 1. Permite al estudiante en cada una de las diferentes actividades estructuradas en software geogebra manipular parámetros de una forma libre, dándole ası́ mismo oportunidad de ir visualizando los diferentes comportamientos dados en las gráficas que se forman. 2. Según punto anterior es claro que el alumno es participe de la construcción de su conocimiento, pues a través de la manipulación, exploración y experimentación este va extrayendo sus propias conjeturas, ideas y conclusiones. 3. En concordancia con lo anterior el aprendizaje del alumno se rige bajo enfoque constructivista, en la cual se parte de sus conocimientos previos y por medio de guı́a y orientación didáctica este pueda ir construyendo los conceptos involucrados en cada una de las diferentes actividades debidamente estructuradas. 4. Se da cabida a la discusión y análisis de las conclusiones propias de cada educando, donde luego el docente institucionaliza los conceptos. 5. Las actividades con uso de este Software permite de forma dinámica no solo visualizar sus contrastes en la parte gráfica sino también manipular las expresiones algebraicas (criterios de la función, fórmulas ) que permiten observar la naturaleza de las relaciones y propiedades matemáticas a partir de las variaciones producidas por nuestras propias acciones. 6. Finalmente el educando podrá integrar de una manera más dinámica y significativa los diferentes conceptos estudiados en la función cuadrática, podrá ver mediante manipulación o animación de los parámetros los resultados obtenidos. Software Educativo (SP1373) 9 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón BOSQUEJO DE LA APLICACIÓN La aplicación se elabora en software geogebra está organizada por páginas, y que para cada una de las páginas se elaboró una guı́a para orientar al estudiante en la forma de utilizar y aprovechar al máximo la aplicación además de conducirlo a la obtención de los objetivos propuestos en cada una de ellas. Guı́a 1: Estudio de la forma del criterio de la función cuadrática Objetivo: Visualizar de manera general la forma del criterio de una función cuadrática, manipulando los valores de los coeficientes de los diferentes términos (cuadrático, lineal, independiente), con ayuda de actividad programada en software Geogebra. La idea es que el estudiante manipule diversos valores en las casillas de las entradas de los coeficientes, escriba sus criterios, vaya estableciendo alguna forma general del criterio de estas funciones y posteriormente deduzca que una condición importante es que valor real del coeficiente del término cuadrático a sea distinto de cero, porque sino seria esta una función lineal. Guı́a 2: Estudio de la concavidad de la función cuadrática Objetivo: Determinar concavidad de una función cuadrática, manipulando valores de coeficiente de término cuadrático a, con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. Software Educativo (SP1373) 10 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón El estudiante en un primer momento debe visualizar la forma que tienen las gráficas de esta función, ver que tiene la forma: luego visualizar que para cuando a > 0 es la primera forma y si a < 0 es la segunda forma, finalmente se indica que se trata de una cóncava hacia arriba y la otra cóncava hacia abajo. Guı́a 3: Estudio de la relación del discriminante con intersección del eje x. Objetivo: Deducir relaciones del Discriminante - intersecciones con eje x en una función cuadrática, manipulando diferentes valores para los coeficientes a,b y c, con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. El estudiante manipula valores para los parámetros a, b, c , va visualizando que sucede con la gráfica de la función para los casos cuando discriminante es positivo, negativo o cero, hasta llegar a deducir la relación presente entre discriminante y la intersección de la gráfica de la función con eje x. Software Educativo (SP1373) 11 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón Guı́a 4: Estudio de la relación del valor de coeficiente independiente c con la intersección del eje y en la gráfica de la función cuadrática. Objetivo: Deducir la relación del valor de coeficiente independiente c con la intersección de la gráfica de la función cuadrática y el eje y, manipulando distintos valores para coeficiente c con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. El estudiante mediante manipulación de diferentes valores del coeficiente independiente c, visualiza comportamiento de la gráfica de la función muy especı́ficamente donde corta esta al eje y, para luego llegar a establecer la relación del coeficiente c con la intersección del eje y de la gráfica de la función cuadrática. Software Educativo (SP1373) 12 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón Guı́a 5: Estudio de eje de simetrı́a en la función cuadrática Objetivo: Visualizar el eje de simetrı́a en la gráfica de una función cuadrática como una recta vertical y dependiente de coeficientes a y b que divide a la parábola en dos partes simétricas con respecto a este eje, manipulando diferentes valores para a, b y c con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. Mediante exploración y manipulación de diferentes coeficientes el estudiante extraerá que la lı́nea punteada depende únicamente de los parámetros a y b, ası́ mismo que esta consiste en una recta vertical que divide siempre a la parábola en dos partes simétricas respecto a ella misma. Guı́a 6: Estudio de Vértice de una función cuadrática Objetivo: Determinar que el vértice en la gráfica de una función cuadrática representa el punto máximo o el punto mı́nimo dependiendo de su concavidad, manipulando valores para coeficiente cuadrático a con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. Mediante la exploración de diferentes valores para el parámetro a el educando deduce que para a > 0 hay punto mı́nimo y que para a < 0 hay un punto máximo, al cual luego llamaremos Vértice de la función cuadrática. Posteriormente una vez institucionalizado el concepto este aplica fórmula para vértice y comprueba sus resultados con la casilla de entrada y la gráfica respectiva. Software Educativo (SP1373) 13 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón Guı́a 7: Estudio de la monotonı́a de una función cuadrática Objetivo: Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento en la gráfica de una función cuadrática manipulando valores para coeficiente cuadrático a con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. El educando a través de sus conocimientos previos relacionados con análisis de gráficas de funciones, establece para casos de a > 0 y casos a < 0 los intervalos de crecimiento y decrecimiento en cada uno de ellos, con la finalidad de comprobar luego sus resultados y conclusiones obtenidas. Software Educativo (SP1373) 14 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón GUÍA 8: Estudio del ámbito de una función cuadrática Objetivo: Determinar intervalo del Ámbito en la gráfica de una función cuadrática manipulando valores para coeficiente cuadrático a con ayuda de actividad programada en Software Geogebra. El educando a través de sus conocimientos previos relacionados con análisis de gráficas de funciones, establece para casos de a > 0 y casos a < 0 intervalo del ámbito en cada uno de ellos, con la finalidad de comprobar luego sus resultados y conclusiones obtenidas. ACTIVIDAD INTEGRADORA DE LOS CONCEPTOS Una vez realizadas las guı́as anteriores se procede a visualizar en PÁGINA 8 de manera integral los diferentes conceptos ya analizados. Objetivo: Visualizar de manera Integral los diferentes conceptos estudiados en la gráfica de una función cuadrática. Para esta actividad se pretende que cada estudiante manipule los diferentes deslizadores de los coeficientes de a, b, c reafirme sus conjeturas y conclusiones ya antes estudiadas en cada una de las diferentes guı́as. Software Educativo (SP1373) 15 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón Posteriormente se pide al estudiante realice un estudio completo de funciones cuadráticas pero sin ayuda del computador, se trata de utilice conceptos ya institucionalizados para dicho estudio y finalmente una vez realizado los compare con lo generado al utilizar el computador (PÁGINA 8 elaborada mediante Geogebra). Software Educativo (SP1373) 16 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón MAPA SITIO Software Educativo (SP1373) 17 Universidad de Costa Rica Maestrı́a en Matemática Educativa Alumno: Norberto Oviedo Ugalde Profesora: Cindy Calderón BIBLIOGRAFÍA Carrillo, Agustı́n. (2010) Geogebra mucho más que geometrı́a dinámica. Primera edición. Alfaomega Grupo editor S.A de C.V, México. Coll, C. (1987) Psicologı́a y currı́culum, laı́a. Barcelona. Galileo, G .(1638), Diálogos acerca de dos nuevas ciencias. Traducción. Buenos Aires: Editorial Losada. GeoGebra, una herramienta para la Enseñanza de la Matemática. http ://cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiiic iaem/xiiic iaem/paper/viewF ile/2661/806 GeoGebra, Markus Honherwarter http://www.geogebra.at Matemáticas, Proyecto Medusa. Newton, I.(1687) Principios Matemáticos de la filosofı́a natural. Traducción. Madrid: Editora Nacional. Ministerio de Educación Pública (2005). 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