Academia.edu no longer supports Internet Explorer.
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.
Mat Book
Andrey GrubyyRelated papers
Amber Book
2017
Illustrated history of amber and its mining (under CC-BY-SA-4.0 license). ISBN 978-5-7164-0721-3 / Янтарная книга: история янтаря и янтарной отрасли. 70 лет Янтарному комбинату / Wissenschaftlich-populaere Darstellung unsere Information ueber Weichseler Bernsteinweg
Бяла книга
Бяла книга за езиковия спор между България и Република Северна Македония, 2021
Бялата книга за езиковия спор между България и Република Северна Македония се появява като резултат от констатираната слабост в българската позиция по отношение на бъдещата евроинтеграция на Скопие, която анонсира системното унищожаване или фалшифициране на българското културно-историческо наследство и нарушаването на човешките права в миналото и днес, но не предоставя конкретни примери пред нашите външнополитически партньори. Изследването е написано от трима автори от Република Северна Македония, трима от България и по един от Албания и Сърбия. В авторския екип, ръководен от доцент д-р Спас Ташев от Българска академия на науките, участват Владо Тренески, Деян Танчовски и Илия Стояновски от Република Северна Македония, Ерлин Аго от Албания, Иван Николов от Сърбия, Методий Иванов и Румен Сребранов от България. Рецензенти са проф. д-р Ана Кочева и доц. д-р Лиляна Василева.
КРАТКИЙ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
2008
Словарь содержит более 400 терминов по метеорологии и климатоло-гии, определения, краткие дополнительные сведения, нужные для понимания определений, иллюстрации. Термины размещены в алфавитном порядке. В словаре собраны метеорологические термины, изучение которых предусмотрены учебной программой. Адресовано студентам географического факультета, изучающим «Метеорологию и климатологию», «Общее землеведение».В словаре собраны метеорологические термины, изучение которых предусмотрены учебной программой. Адресовано студентам географиче-ского факультета, изучающим «Метеорологию и климатологию», «Общее землеведение»
МОДЕЛЮВАННЯ УРОКУ МАТЕМАТИКИ В ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ З ВИКОРИСТАННЯМ КАРТ ЗНАНЬ
Молодий вчений
У статті дано визначення основним дефініціям: вчитель початкової школи, математика початкової школи, урок математики початкової школи, моделювання, карти знань, ІКТ, онлайн ресурси для створення карт знань. Проаналізовано як вітчизняний, так і зарубіжний досвід застосування карт знань на уроках математики; обґрунтовано методику організаційно–методичних основ моделювання уроку математики з використанням карт знань; відібрано сучасні онлайн ресурси для створення карт знань. Розглядаються особливості моделювання уроку математики в початковій школі за допомогою карт знань та обґрунтовується необхідність використання нових підходів у процесі навчання математики в початковій школі. Описано програмні засоби для створення інтелектуальних карт, зокрема Mindomo, Coggle, Lucidchart, Canva, Draw.io, які доцільно застосовувати для створення карт знань на уроках математики в початковій школі, визначено їхні переваги та наведено 10 простих правил створення карт. Відображено практичне застосування ...
Sogdian Carpets
the survey of Sogdian early medieval art monuments with images of carpets allows to claim that carpet weaving was one of the developed handicraft during that era
Matlab в научных исследованиях
Н. Ю. Золотых1
5 ноября 2004 г.
1
Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского, факультет вычислительной математики и кибернетики
Оглавление
Глава 1. Введение
4
Глава 2. Простейшие команды
2.1. Числа и константы . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Основные функции для работы с матрицами
2.3. Массивы символов . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Форматированный вывод . . . . . . . . . . . .
2.5. Справка и документация . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Команда help . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Команда lookfor . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Справочный навигатор . . . . . . . . .
2.6. Среда Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Рабочее пространство . . . . . . . . . .
2.6.2. Сохранение и загрузка переменных . .
2.6.3. Команды dir, type, delete, cd . . . . . .
2.6.4. Дневник работы . . . . . . . . . . . . .
2.6.5. Запуск внешних программ . . . . . . .
2.6.6. Редактор командной строки . . . . . .
2.7. m-файлы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 3. Простейшая графика
3.1. Функция plot . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Команда figure . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Несколько кривых на графике . . .
3.1.3. Графики в полярных координатах
3.1.4. Графики многозначных функций .
3.1.5. Стиль и цвет линий . . . . . . . . .
3.1.6. Команды axis и grid . . . . . . . . .
3.2. Трехмерная графика . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
8
12
12
15
15
16
17
17
17
18
20
20
21
21
21
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
23
26
27
27
29
29
Оглавление
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3
3.2.1. Команда meshgrid . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Команда mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Тор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Улитка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Лист Мебиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. Бутылка Клейна . . . . . . . . . . . . . . . . .
Линии уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Make it easy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Изображения (images) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Графический способ решения уравнений . . . . . . .
3.7.1. Команда hold on . . . . . . . . . . . . . . . . .
Относительный и абсолютный способ задания цвета
Неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4. Более сложные элементы языка Matlab
4.1. Суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Факториал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Сочетание произведений и суммирования . . . .
4.5. Интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Интегрирование функций с особенностью
4.5.2. Аналитический учет особенности: . . . . .
4.5.3. “Численный” учет особенности: . . . . . .
4.6. Управляющие конструкции . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Оператор if . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Оператор while . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Оператор for . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4. Оператор switch . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Хронометрирование . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1. Работа вдоль строк и вдоль столбцов . . .
4.7.2. Вычисление элементарных функций . . .
4.7.3. Циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.4. Присваивания . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.5. Двумерные и одномерные индексы . . . .
4.8. Типы данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1. Многомерные массивы . . . . . . . . . . .
4.8.2. Массивы структур . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3. Массивы ячеек . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
30
33
33
35
36
36
38
38
39
39
41
41
42
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
44
45
45
47
48
48
48
49
49
49
50
50
51
53
53
53
53
54
55
55
55
56
4
Оглавление
Глава 5. Многочлены
5.1. Основные команды . . . . . . . . .
5.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Сумма многочленов . . . . . . . . .
5.4. Пример численной неустойчивости
5.5. Многочлены Лежандра . . . . . . .
.
.
.
.
.
58
58
60
61
62
64
Глава 6. Матрицы и линейная алгебра
6.1. Простые команды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Решение систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . .
6.3. Спектр. Число обусловленности . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Нормы векторов и матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Матрицы Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Экспериментальное исследование числа обусловленности
69
69
70
74
74
74
76
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
7.1. Интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Кусочно-полиномиальные функции . . . . . . . .
7.3. Кусочно-полиномиальная интерполяция . . . . .
7.4. Кусочно-линейная интерполяция . . . . . . . . .
7.5. Эрмитов кубический интерполянт . . . . . . . .
7.6. Сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7. Кривые Безье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. B-сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
78
82
84
88
89
92
95
99
103
Глава 8. Анализ данных ?
107
8.1. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Глава 9. Программирование
9.1. M-файлы . . . . . . . . .
9.2. Программы-сценарии . .
9.3. Программы-функции . .
9.3.1. Подфункции . . .
9.4. Частные функции . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
110
110
111
112
113
114
Глава 10.Библиотека символьной математики
10.1. Создание символьных переменных . . . . .
10.2. Символьно-числовые преобразования . . . .
10.2.1. Создание абстрактных функций . .
10.2.2. Вызов функций Maple . . . . . . . .
10.2.3. Создание символьных матриц . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
115
116
116
116
116
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Оглавление
10.3. Создание символьных математических
10.4. Математический анализ . . . . . . . .
10.4.1. Производные . . . . . . . . . . .
10.4.2. Пределы . . . . . . . . . . . . .
10.4.3. Интегрирование . . . . . . . . .
10.5. Упрощения и подстановки . . . . . . .
10.5.1. Упрощения . . . . . . . . . . . .
10.5.2. Подстановки . . . . . . . . . . .
10.6. Ортогональные многочлены . . . . . .
5
функций
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
117
117
117
118
119
119
119
120
121
Глава 11.Графические команды и функции
11.1. Дескрипторная графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Пример: создание графического объекта . . . . . . . . . .
11.3. Текущие графические объекты . . . . . . . . . . . . . . .
11.4. Определение граней объекта Patch . . . . . . . . . . . . .
11.4.1. Определение граней объекта Patch с помощью задания кординат XData, YData, ZData . . . . . . .
11.4.2. Определение граней объекта Patch с помощью задания массивов Vertices и Faces . . . . . . . . . . .
11.5. Стиль ребер и вершин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6. Цветовые характеристики объекта Patch . . . . . . . . . .
11.6.1. Свойство FaceColor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.2. Свойство EdgeColor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.3. Свойство MarkerEdgeColor . . . . . . . . . . . . . .
11.6.4. Свойство MarkerFaceColor . . . . . . . . . . . . . .
11.6.5. Высококачественные реалистичные изображения .
11.6.6. Свойство CData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.7. Свойство FaceVertexСData . . . . . . . . . . . . . .
11.7. Освещение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.1. AmbientStrength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.2. DiffuseStrength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.3. SpecularStrength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.4. SpecularExponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.5. SpecularColorReflectance . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.6. Материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8. Прозрачность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9. Normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.10.3d графика. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
123
125
125
125
126
127
128
128
128
129
129
129
130
130
134
136
136
136
137
137
138
138
140
140
140
6
Оглавление
Глава 12.Создание графического интерфейса пользователя153
12.1. Элементы управления uicontrol . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2. Этапы разработки графичекого интерфейса . . . . . . . . 154
12.3. Начало работы с GUIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.4. Параметры создаваемого приложения . . . . . . . . . . . 154
12.4.1. Параметры изменения размеров окна . . . . . . . 154
12.4.2. Параметры, регулирующие взаимодействие с командной строкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.5. Callback-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.5.1. Callback-функции всех типов графических объектов156
12.5.2. Callback-функции объекта Figure . . . . . . . . . . 156
12.5.3. Порядок вызова callback-функций . . . . . . . . . 157
12.6. Функция guihandles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12.7. Функция guidata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12.8. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Предисловие
7
Глава 1
Введение
История развития системы Matlab (сокращение от «matrix laboratory»)
насчитывает более двух десятков лет. «Классический» Matlab был
написан Кливом Моулером (университет Нью-Мехико) в 1977 г. Он
представлял из себя интерактивную матричную лабораторию, позволяющую вызывать подпрограммы из пакетов LINPACK и EISPACK.
До 1984 г. появлялись новые некоммерческие версии системы. В 1985 г.
Моулер, Бангерт и Литтл образовали фирму MathWorks. С этого момента начинают выходить коммерческие версии системы. К настоящему
моменту (август 2004 г.) последней является версия Matlab 7.0 R 14.
Сейчас Matlab представляет собой мощный математический пакет со
своим языком программирования, гибкими графическими возможностями, средствами сопряжения с другими языками программирования
и несколькими десятками пакетов приложений.
Начиная с версии Matlab 6.0, для матричных вычислений вместо функций из библиотек LINPACK и EISPACK используются подпрограммы из пакета LAPACK. На некоторых классах задач это увеличило
производительность в 2–3 раза.
8
Глава 2
Простейшие команды
2.1. Числа и константы
После запуска системы Matlab на экране появляется основное окно, содержащее несколько подокон. Одно из них имеет заголовок Command
window — это командное окно, в котором пользователь набирает команды, а Matlab выдает результаты. Результаты выполнения команд,
содержащие графический вывод, выдаются в одно или несколько графических окон. Команды пользователя нужно вводить после приглашения системы, которое выглядит следующим образом:
>>
Например,
>> (76+21-85)*3/4
(ввод заканчивается клавишей Enter). Matlab выдаст ответ:
ans =
9
Теперь наберем:
>> (1+sqrt(5))/2
получим:
ans =
1.6180
9
10
Глава 2. Простейшие команды
В этом примере мы использовали функцию sqrt для нахождения квадратного корня; ans — это специальная переменная, в которую всегда
засылается результат последней команды. Эту переменную можно использовать в следующей команде. Например,
>> 1/ans
Matlab выдаст:
0.6180
Пользователь может создавать свои переменные. Например, команда
>> e=2+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720
e =
2.7181
создает переменную с именем e и значением 2.7181. Теперь переменную
e можно использовать. Например,
>> err=e-exp(1)
Получим:
err =
-2.2627e-4
Функция exp вычисляет экспоненту ex . Запись -2.2627e-4 — это представление числа в форме с плавающей запятой. Его нужно понимать
следующим образом:
− 2.2627e − 4 = −2.2627 · 10−4 = −0.00022627.
Перед тем как использовать переменную, ее нужно инициализировать,
т. е. присвоить ей некоторое значение (так и было в двух предыдущих
примерах с переменными e и err). Использовать неинициализированные переменные запрещено. Например, если p и/или k ранее не встречались в левой части присваивания, то следующая команда
>> x=-p+sqrt(p^2-q)
приведет к сообщению об ошибке.
До сих пор знаком окончания команды являлся символ конца строки: ввод команды просто заканчивался клавишей Enter. В результате
мы всегда получали эхо (отклик). В конце команды, перед тем, как
ввести Enter, можно поставить знак ; (точка с запятой). В этом случае
отклика системы мы не получим. Например, после того как мы введем
2.1. Числа и константы
11
>> e=2+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720;
переменной e будет присвоено вычисленное значение 2.7181 и мы сразу
получим новое приглашение:
>>
Далее в примерах, как правило, знак приглашения мы печатать не будем.
В одной строке можно набирать несколько команд. Их нужно отделять либо символом ‘,’ (запятая), либо символом ‘;’ (точка с запятой).
В первом случае отклик будет, во втором — нет.
Именами переменных могут быть любые последовательности латинских букв (в любом регистре), цифр и знаков подчеркивания. Первым
символом в имени может быть либо буква, либо символ подчеркивания.
Ограничений на длину имени нет, но при сравнении имен роль играют
только первые 31 символ. Кроме того, важен регистр: например, переменные Err и err — разные.
Кроме ans в системе Matlab есть другие встроенные переменные.
Вот некоторые из них1 :
pi
π = 3.14159 . . .
i, j
мнимая единица (i2 = 1)
realmax 1.7977 · 10308
realmin 2.2251 · 10−308
eps
2.2204 · 10−016
inf
+∞
-inf
−∞
NaN
not a number
Matlab поддерживает стандарт IEEE 754 арифметики вещественных чисел с плавающей запятой. Под действительное число отводится
8 байт: 16 десятичных цифр мантиссы, показатель в диапазоне ±308.
Максимальное представимое вещественное число хранится в переменной realmax, минимальное положительное вещественное число — в переменной realmin. Константа eps (машинное эпсилон) — это минимальное положительное число εM , такое, что в машинной арифметике
1 + εM > 1.
Константы inf, -inf в IEEE арифметике служат для представления
±∞. Они получаются при переполнениях. Константа NaN появляется в
выражениях вида 0/0, ∞/∞, ∞−∞ и им подобным. Константа pi — это
1
в таблице приводятся приближенные значения констант для машины PC
12
Глава 2. Простейшие команды
число π. Комплексные числа на PC представляются 16 байтами. Константы i, j представляют мнимую единицу. Поэтому, например 1+2*i
— это комплексное число 1 + 2i.
Все приведенные выше константы могут появляться в правой части
присваивания. После этого они теряют свое первоначальное значение.
Например, переменные i, j часто используются как счетчики в циклах.
После этого 1+2*i будет скорее всего уже не комплексным числом 1+2i,
а чем-то другим. Однако запись 1+2i (мы опустили знак умножения)
всегда означает комплексное число 1 + 2i. Вернуть первоначальное значение предопределенных констант можно командой clear. Например,
clear i
возвращает значение константе i как мнимой единице.
Мы уже встречались с функциями sqrt и exp. В систему Matlab
встроено большое число других стандартных математических функций.
Приведем небольшой список некоторых из них (список всех элементарных математических функций, доступных в системе Matlab , можно
получить набрав команду help elfun):
sin, cos, tan
acos, asin, atan
exp, log
sqrt
round
fix
abs
angle
real, imag
conj
тригонометрические функции
обратные тригонометрические функции
экспонента и натуральный логарифм
квадратный корень
округление до ближайшего целого
округление с отбрасыванием дробной части
модуль вещественного или комплексного числа
аргумент комплексного числа
вещественная и мнимая части
комплексное сопряжение
2.2. Основные функции для работы с матрицами
Основной объект в системе Matlab — это матрицы, или массивы.
Даже скалярные величины, с которыми мы имели дело в предыдущем
разделе, рассматриваются системой как матрицы 1 × 1.
Вектор (одномерный массив) может представлять собой строку или
столбец, т. е. либо матрицу размера 1 × n, либо матрицу размера m × n.
Чтобы задать вектор, достаточно перечислить его элементы, заключая
их в квадратные скобки. Элементы векторов-строк разделяются символами ‘,’ (запятая) или ‘ ’ (пробел). Элементы векторов-столбцов разделяются символом ‘;’ (точка с запятой) или символом перехода на новую
строку, который нужно ввести клавишей Enter. Например, команда
2.2. Основные функции для работы с матрицами
13
a=[1 2 3 4]
задает строку a = (1, 2, 3, 4), а команда
b=[1;2;3;4]
задает столбец
a=
1
2
3
4
.
Векторы, состоящие из последовательных членов арифметической
прогрессии, легко задавать с помощью команды ‘:’. Команда a:h:b
определяет вектор
(a, a + h, a + 2h, . . . , b).
Команда a:b определяет отрезок арифметической прогрессии с шагом
1.
Чтобы задать матрицу (двумерный массив), достаточно перечислить ее элементы построчно, разделяя элементы в одной строке пробелами или запятыми, а сами строки — точкой с запятой или символом
перехода на новую строку, Например, команда
A = [1 2; 3 4]
определяет матрицу
A=
Ã
1 2
3 4
!
.
Количество элементов в одной строке должно быть одинаковым, иначе
Matlab выдаст сообщение об ошибке.
Для генерирования матриц полезны следующие простые функции:
zeros(m,n)
ones(m,n)
eye(m,n)
rand(m,n)
randn(m,n)
нулевая матрица
матрица, состоящая из одних единиц
матрица с 1 на диагонали и 0 вне диагонали
матрица со случайными элементами, равномерно
распределенными на отрезке [0, 1]
матрица со случайными элементами,
распределенными по нормальному закону
с мат. ожиданием 0 и ср. кв. отклонением 1
В приведенной таблице параметры m, n определяют число строк и число
столбцов матрицы. Каждую из предыдущих функций можно вызвать с
14
Глава 2. Простейшие команды
одним параметром — в этом случае генерируется квадратная матрица
указанного порядка с соответствующим свойством, Например, команда
eye(m) генерирует единичную матрицу порядка m.
К матрицам применимы все стандартные математические функции:
они применяются покомпонентно к каждому элементу. В отличие от
этих функций операции, обозначаемые символами, подобными +, ∗, выполняются как матричные операции. Приведем список операций:
a+b
a-b
a*b
a.*b
a^b
a.^b
a/b
a./b
a\b
a’
сложение скаляров, векторов или матриц
вычитание скаляров, векторов или матриц
умножение скаляров; матричное умножение
покомпонентное умножение элементов матриц
возведение скаляра или матрицы в степень
возведение каждого элемента матрицы в степень
деление скаляров; правое деление матриц, т. е. a · b−1
покомпонентное деление элементов матриц
левое деление матриц, т. е. a−1 · b
транспонирование матрицы
Допустимо использование операций +, −, ∗, когда один из операндов —
матрица, а другой операнд — скаляр. Это приводит к покомпонентному
выполнению операции. Если размеры операндов (матриц, участвующих
в операции) не согласованы, то выдается сообщение об ошибке.
Нумерация строк и столбцов в матрицах начинается с 1. Чтобы получить доступ к элементу матрицы A, стоящему в i-ой строке, j-ом
столбце, достаточно ввести A(i,j). Чтобы получить доступ к k-ой компоненте вектора a досточно ввести a(k). Команда A(k) работает также
и для матриц: Matlab ищет k-ый элемент матрицы A, предполагая, что
элементы нумеруются по столбцам.
Что произойдет, если в команде есть ссылка на несуществующий
элемент матрицы? Например, матрица A имеет размеры 2 × 2 и происходит обращение к элементу A(3,5). Все зависит от того, в какой
части от знака присваивания расположена ссылка на элемент A(3,5).
Если A(3,5) находится где-то в выражении справа от знака присваивания, это приведет к сообщению об ошибке. Если A(3,5) стоит слева,
то размеры матрицы автоматически переопределяются до 3 × 5, при
этом новым элементам матрицы присваиваются нулевые значения, а
элементу A(3,5) — вычисленное значение.
Для ссылки к последнему столбцу или строке можно использовать
ключевое слово end. Например, A(end,k) — это элемент матрицы A,
стоящий в последней строке и k-ом столбце.
2.2. Основные функции для работы с матрицами
15
Для ссылки ко всем строкам или столбцам матрицы используется
команда :. Например, A(:,k) — это k-ый столбец, а A(k,:) — k-ая строка матрицы A. Подобные выражения могут встречаться и левой части
присваивания. Например, команда
A(k,:)=3
присваивает всем элементам k-ой строки значение 3.
Результатом операции A(:) является длинный столбец, составленный из столбцов матрицы A. Таким образом, A(k) — это k-ый элемент
вектора A(:).
Функция size(A) возвращает двухкомпонентный вектор, содержащий число строк и число столбцов матрицы A. Функция size(A,1) возвращает число строк, функция size(A,2) — число столбцов. length(A)
— это максимум из этих двух чисел, поэтому для векторов (в этом случае одна из размерностей равна 1) — это число компонент в них.
В системе Matlab легко реализуются блочные операции над матрицами. Команды C=[A B], C=[A;B] формируют из матриц A и B блочные
матрицы соответственно
C = (A|B) и C =
Ã
A
B
!
.
Пусть u, v — векторы, в которых записаны номера некоторых строк
и столбцов соответственно (быть может, с повторениями) матрицы A.
Тогда A(u,v) — это матрица, составленная из элементов исходной матрицы, стоящих на пересечении строк с номерами u и столбцов с номерами v.
Система Matlab поддерживает работу с пустыми матрицы, т. е.
матрицами, в которых число строк или/и число столбцов равно нулю.
Один из способов задать такую матрицу — воспользоваться функцией
типа zeros. Например,
A=zeros(0,5)
Определить матрицу размера 0 × 0 можно с помощью операции [].
Операция [] помогает также при удалении строк или столбцов матриц. Клманда
A(i,:)=[]
удаляет i-ую строку, а команда
A(:,j)=[]
удаляет j-ый столбец матрицы A.
16
Глава 2. Простейшие команды
2.3. Массивы символов
Matlab позволяет работать со строковыми значениями. Чтобы определить такое значение, достаточно заключить строку символов в кавычки. Например,
s=’Isaac Newton’
Строковые значения рассматриваются системой как массивы. В приведенном примере s — это вектор-строка из 12 элементов-символов. (никакого завершающего нулевого символа нет).
Символы можно объединять в двумерные массивы. Это позволяет
хранить набор строковых значений одинаковой длины. Например, после
ввода команды
S=[’Isaac Newton ’
’Blaise Pascal’]
Matlab создает следующий двумерный массив 2 × 13:
Ã
‘I’
‘B’
‘s’
‘l’
‘a’
‘a’
‘a’
‘i’
‘c’
‘s’
‘’
‘e’
‘N’
‘’
‘e’
‘P’
‘w’
‘a’
‘t’
‘s’
‘o’
‘c’
‘n’
‘a’
‘’
‘l’
!
В данном примере мы специально добавили к имени Ньютона один пробел, чтобы уравнять число элементов в каждой строке массива. Если
этого не сделать, Matlab выдаст сообщение об ошибке.
Команда S(1,:) в данном примере возвращает строку ‘Isaac Newton ’,
команда S(2,:) — строку ’Blaise Pascal’. Вообще, к массивам символов применимо большое число команд из предыдущего раздела. Так,
например, доступны блочные операции, команды выделения подмассивов и др. В примере
a = ’Matrix’;
b = ’Laboratory’;
c = [a(1:3) b(1:3)]
переменной c будет присвоено символьное значение ‘\MATLAB.
Внутри системы Matlab cимволы представлены в формате UNICODE.
Для хранения одного символа используется 2 байта.
2.4. Форматированный вывод
Matlab предоставляет широкие возможности для управления форматом вывода числовых значений в командном окне. По умолчанию используется формат short. В нем используются следуюшщие правила:
2.4. Форматированный вывод
17
• Если все элементы массива — целые числа не более чем из 9 цифр
каждое, то то они выводятся как есть.
• Если все элементы массива по абсолютной величине меньше 1000
и не меньше 0.0001, то они выводятся как есть.
• В остальных случаях Matlab выводит элементы массива с использованием общего множителя (исключение составляют скалярные величины). Элементы выводятся в формате ±d.ddddesppp,
где d — цифры мантиссы, p — цифры показателя. Если число не
ноль, то старшая цифра перед десятичной точкой не равна нулю.
Если число отрицательное, то впереди, разумеется, ставится знак
-.
Например, после ввода команды
1/7
Matlab напечатает
0.1429
Управлять форматом вывода можно либо с помощью пункта меню File
| Preferences | Command Window | Numeric Format или с помощью команды format с параметрами. Действие этой команды распространяется для всех последующих выдач, пока не будет введена новая
команда format с другим параметром. Приведем список некоторых из
возможных параметров:
format
format short
format long
format short e
format long e
format rat
по умолчанию, то же, что и short;
формат представления чисел с фикс.
точкой: 5 значащих цифр;
формат представления чисел с фикс.
точкой: 14 цифр после запятой;
формат представления чисел с плав.
точкой: 5 значащих цифр;
формат представления чисел с плав.
точкой: 15 значащих цифр;
аппроксимация чисел рациональной
дробью.
Подчеркнем, что команда format влияет только на вывод числовых
данных и ни коим образом не влияет на то, как хранятся эти данные.
Это относится, конечно, и к формату rat: всякий раз, когда нужно
18
Глава 2. Простейшие команды
вывести числовое значение, Matlab находит к нему наилучшее рациональное приближение такое, что abs(N./D − X) <= tol ∗ abs(X), где
tol = 1.e − 6 ∗ norm(X(:), 1), которое и выводится на экран.
Рассмотрим пример:
>> format compact
>> 0.3
ans =
3/10
>> 0.33
ans =
33/100
>> 0.333
ans =
333/1000
>> 0.3333
ans =
3333/10000
>> 0.33333
ans =
33333/100000
>> 0.333333
ans =
333333/1000000
2.5. Справка и документация
19
>> 0.3333333
ans =
1/3
2.5. Справка и документация
Приведем возможные источники получения справочной информации по системе Matlab :
• команда help,
• команда lookfor,
• справочный навигатор вместе с описанием команд и руководством
пользователя,
• сайт MathWorks www.mathworks.com/products/matlab/,
• сайт консультационного центра MATLAB www.matlab.ru (на русском языке),
• другая информация, доступная в Интернете, например, по адресу
http://directory.google.com/Top/Science/Math/Software/MATLAB.
2.5.1. Команда help
Команда
help
без параметров выдает список основных разделов встроенной справки.
Чтобы получить справку по какому-либо разделу, нужно набрать
help имя_раздела
На экран будет выдан список всех функций, относящихся к этому разделу. Получить справку по той или иной функции можно с помощью
команды
help имя_функции
Например, набрав команду
20
Глава 2. Простейшие команды
help inv
вы получите справку по функции inv:
INV
Matrix inverse.
INV(X) is the inverse of
the square matrix X.
A warning message ...
See also SLASH, PINV ...
Overloaded methods ...
Заметим, что в справке командного окна все функции набраны в верхнем регистре. Это сделано лишь для того, чтобы выделить их в тексте.
В действительности, имена всех встроенных функций системы Matlab
в нижнем регистре.
2.5.2. Команда lookfor
Команда help полезна лишь в случае, когда мы знаем точное имя
раздела или функции. Если таковые нам не известны, можно воспользоваться командой
lookfor ключевое_слово
Например, мы ищем информацию по функции, которая находит обратную матрицу. Набираем:
lookfor inverse
Получаем список всех функций, в справке к которым в первой строке
содержится слово inverse:
INVHILB Inverse Hilbert matrix.
ACOS
Inverse cosine.
ACOSH Inverse hyperbolic cosine.
...
INV
Matrix inverse.
...
Команда
lookfor -all inverse
ищет слово inverse во всех строках справки.
2.6. Среда MATLAB
21
2.5.3. Справочный навигатор
На диске в форматах html и pdf хранится огромный массив справочной информации, а также руководства по ядру системы и пакетам
расширений. Браузер для справочных страниц в формате html можно
запустить командой
helpdesk
Если имя команды уже известно используйте команду
doc имя_команды_или_функции
Команда
helpwin
предоставляет ту же информацию, что и команда help, но обеспечивает
более удобный интерфейс.
2.6. Среда Matlab
В этом разделе мы рассмотрим следующие аспекты работы в системе Matlab :
• команды who, whos, clear, clear all,
• команды save, load,
• команды dir, type, delete, cd,
• команда diary,
• запуск внешних программ.
• редактор командной строки.
2.6.1. Рабочее пространство
Значения всех создаваемых в командном окне переменных хранятся в отведенной области оперативной памяти, которую мы будем называть основным рабочим пространством. Помимо основного рабочего
пространства Matlab создает и в нужное время удаляет рабочие пространства вызываемых функций. В этих рабочих пространствах размещаются внутренние переменные функций.
22
Глава 2. Простейшие команды
Имена всех переменных, находящихся в настоящий момент в основном рабочем пространстве отображаются в подокне Workspace. Список имен переменных можно также получить командой who, а список
переменных с их значениями — командой whos.
Команда
clear список_переменных
исключает (стирает) указанные переменные из рабочего пространства.
При этом их значения теряются. Команда
clear all
стирает все переменные рабочего пространства.
Рассмотрим пример:
>>
>>
>>
>>
a=rand(100);
b=rand(100);
c=a*b;
who
Your variables are:
a
b
c
>> clear a b
>> whos
Name
Size
c
100x100
Bytes
Class
80000
double array
Grand total is 10000 elements using 80000 bytes
2.6.2. Сохранение и загрузка переменных
После выхода из системы Matlab все переменные уничтожаются
и поэтому не доступны в следующий сеанс работы. Запомнить на диске все переменные основного рабочего пространства можно с помощью
команды
save имя_файла
При этом все переменные сохраняются в бинарном формате в указанном файле. По умолчанию расширение этого файла — mat, поэтому
файлы такого формата называются mat-файлами.
2.6. Среда MATLAB
23
Чтобы запомнить не все, а только часть переменных из основного
рабочего пространства, воспользуйтесь командой
save имя_файла список_переменных
Прочитать mat-файл можно с помощью команды
load имя_файла
которая загружает все переменные, описанные в файле, или с помощью
команды
load имя_файла список_переменных
которая загружает из файла лишь указанные переменные.
Рассмотрим пример:
>>
>>
>>
>>
>>
>>
x=(0:4)’;
W=[x.^0 x.^1 x.^2 x.^3];
save Wndrmd x W
clear all
load Wndrmd
who
Your variables are:
W
x
С помощью команд
save имя_переменной -ascii
можно сохранить значение переменной в одноименном текстовом файле. В данным файле в текстовом формате построчно будут записаны
элементы матрицы. Такие файлы можно готовить во внешнем редакторе. Не зависимо от того, как был создан такой файл, его можно прочитать командой
load имя_файла -ascii
Значения из файла будет загружены в переменную, имя которой совпадает с именем файла (без расширения).
24
Глава 2. Простейшие команды
2.6.3. Команды dir, type, delete, cd
На панели управления в основном окне Matlab расположено выпадающее меню Current Directory, в котором можно выбрать текущий каталог.
Команда
dir
выводит на экран список файлов текущего каталога.
Команда
type имя_файла
выводит на экран распечатку указанного фала, расположенного в текущем каталоге.
Команда
delete имя_файла
удаляет указанный файл, расположенный в текущем каталоге.
Команда
cd новый_каталог
изменяет текущий каталог. То же действие можно проделать, воспользовавшись выпадающим меню в подокне Current Directory или меню на панели управления.
2.6.4. Дневник работы
Чтобы записать в файл все, что отображается в командном окне:
и ваши команды и ответы системы, — воспользуйтесь командой diary.
Команда
diary имя_файла
открывает дневник, т.е. указывает системе, что все, что появится после
этой команды на экране до следующей команды diary будет записано
в упомянутый текстовый файл. Прерывает запись в дневник команда
открытия нового дневника или команда
diary off
2.7. M-файлы
25
2.6.5. Запуск внешних программ
Запустить на выполнение любую команду ДОС или любую внешнюю программу, находящуюся в текущем каталоге, можно набрав
!имя_команды
2.6.6. Редактор командной строки
Быстрый способ повторить одну из предыдущих строк системы Matlab
— это нажимать на клавишу ‘стрелка вверх’, пока не появится нужная
строка. Если вы хотите получить строку сходную с той, что была введена ранее, воспользуйтесь тем же приемом, чтобы вызвать ее, а затем
отредактируйте, пользуясь клавишами со стрелками вправо и влево и
клавишей Delete.
Быстрый способ вызвать строку с известным началом — набрать
это начало, а дальше, пользуясь клавишами со стрелками вверх и вниз,
выбрать нужную строку из строк с таким началом.
2.7. m-файлы
Глава 3
Простейшая графика
В этой главе мы рассмотрим несколько простейших функций с графическим выводом. Весь графический вывод в системе Matlab поступает в одно или несколько графических окон. Обычно пользователь не
должен беспокоиться об их открытии и закрытии: графические функции высокого уровня, о которых пойдет речь в настоящей главе, обычно
ведут себя достаточно разумным образом.
3.1. Функция plot
Если x и y — два вектора одинаковой длины, то функция
plot(x,y)
в графическом окне строит ломаную по точкам с абсциссами, записанными в x, и ординатами, записанными в y. Масштаб по обуим осям
выбирается автоматически, так, чтобы ломаная целиком убиралась на
графике. Если до выполнения этой команды ни одно графическое окно
открыто не было, то такое окно открывается автоматически. В противном случае вывод будет происходить в последнее (текущее) графическое окно и по умолчанию будет стирать старое изображение
С помощью функции plot легко строяться графики функции. Например:
x = 0:pi/100:2*pi;
y = sin(x);
plot(x,y)
Функции xlabel, ylabel добавляют подписи к оси абсцисс и ординат
соответственно, а title определяет заголовок.
Применим эти функции для нашего примера:
26
3.1. Функция PLOT
27
xlabel(’x = 0:2\pi’)
ylabel(’Sine of x’)
title(’Plot of the Sine Function’)
Plot of the Sine Function
1
0.8
0.6
0.4
Sine of x
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
x = 0:2π
Рис. 3.1. График функции sin(x)
3.1.1. Команда figure
Команда figure создает новое графическое окно и делает его текущим
Команда figure(n) делает текущим окно с номером n
3.1.2. Несколько кривых на графике
Каждая новая функция plot стирает старое изображение. Для того,
чтобы нарисовать несколько графиков, мы можем использовать команду hold on (“заморозить”), включающей режим сохранения предыдущего графического результата.
Например, построим графики трех функций (см. рис. 3.1.2):
x = -pi:0.1:pi;
y1 = sin(x);
28
Глава 3. Простейшая графика
Plot of the Sine Function
1
0.8
0.6
0.4
Sine of x
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
x = 0:2π
Рис. 3.2. График функции sin(x)
y2 = exp(-x.^2);
y3 = .5*atan(x);
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
Выйти из режима hold on можно с помощью команды hold off.
Другой способ вывести несколько графиков в одном окне — применить функцию
plot(x1,y1,...,xn,yn)
с несколькими парами параметров x, y. Попробуем построить те же
графики:
plot(x,y1,x,y2,x,y3)
Отличие от предыдущего примера в том, что графики нарисованы разными цветами. Ниже мы подробно рассмотрим правила чередования
цветов.
3.1. Функция PLOT
29
Команда legend добавляет легенду — пояснение к графикам. У нас
три графика, поэтому число параметров функции legend должно быть
тоже три:
legend(’sin(x)’,’exp(-x^2)’,’0.5 atan(x)’)
Легенда появится в правом верхнем углу осей координат. В данном
случае это не совсем удачно, так как она перекроет часть графиков.
Чтобы изменить положение легенды, можно перетащить ее мышкой или
воспользоваться функцией legend еще с одним параметром:
legend(’sin(x)’,’exp(-x^2)’,’0.5 atan(x)’,2)
Получим изображение на рис. 3.1.2. Этим параметром может быть число от 0 до 5. Числа от 1 до 4 соответсвуют номеру квадранта, в котором
будет размещена легенда: 1 — правый верхний, 2 — левый верхний, 3
— левый нижний, 4 — правый нижний. Если указан 0, то Matlab сам
ищет наиболее удачное место на графике. Если указана 5, то Matlab
размещает легенду снаружи от осей координат.
1
0.8
sin(x)
2
exp(−x. )
0.5*atan(x)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
Рис. 3.3. Три графика в одних осях
Если x — вектор длины m, а команда
plot(x,Y)
3
4
30
Глава 3. Простейшая графика
эквивалентна команде
plot(x,Y(:,1),x,Y(:,2),...,x,Y(:,n))
Например, графики из предыдущего примера можно получить с помощью команды
plot(x,[y1,y2,y3])
Нарисуем 8 синусоид с разными амплитудами:
a=1:8;
x=linspace(0,pi,100);
Y=sin(x)’*a;
plot(x,Y);
и понаблюдаем за порядком чередования цветов. Он следующий:
синий—зеленый—красный—бирюзовый—лиловый—желтый—черный
blue—green—red—cyan—magenta—yellow—black
Отметим, что этот порядок соответствует следующей последовательности RGB-векторов:
[0
[0
[1
[0
[1
[1
[1
0
1
0
1
0
1
1
1]
0]
0]
1]
1]
0]
1]
3.1.3. Графики в полярных координатах
Графики в полярных координатах выполняются с помощью команды
polar(phi,r)
Например:
phi=linspace(0,2*pi,200);
polar(phi,sin(4*phi));
hold on;
polar(phi,cos(2*phi),’r’);
hold off;
3.1. Функция PLOT
31
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Рис. 3.4. Синусоиды с разными амплитудами
3.1.4. Графики многозначных функций
В системе Matlab нетрудно получить график обратной функции:
x=-3*pi:.01:3*pi;
y=cos(x);
plot(x,y,y,x);
legend(’y=cos(x)’,’x=cos(y)’);
3.1.5. Стиль и цвет линий
Рассмотрим еще один вариант команды plot:
plot(x,y,стиль)
Здесь стиль — это строка, состоящая от 1 до 4 символов, обозначающих
цвет и стиль линии и тип маркера:
• Цвет: c, m, y, r, g, b, w, and k
• Стиль линии: -, --, :, -.
• Тип маркера: +, o, *, x, s, d, ^, v, >, <, p, h
32
Глава 3. Простейшая графика
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Рис. 3.5. Синусоиды с разными амплитудами
Цвет линии и маркера определяется одной буквой:
Символ
’b’
’g’
’r’
’c’
’m’
’y’
’k’
Цвет
синий
зеленый
красный
бирюзовый
лиловый
желтый
черный
Рассмотрим возможные стили линии:
Символ
’-’
’–’
’:’
’-.’
’none’
Стиль линии
сплошная линия (по умолчанию)
штрих-линия
пунктирная линия
штрих-пунктирная линия
нет линии
3.5
3.2. Трехмерная графика
33
90
1
60
120
0.8
0.6
30
150
0.4
0.2
180
0
210
330
240
300
270
Рис. 3.6. График в полярных координатах
3.1.6. Команды axis и grid
Установить пределы выводимой графической информации можно
командой axis([xmin xmax ymin ymax]) или axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]).
Командой axis auto можно восстановить режим, в котором пределы
вычисляются автоматически.
Команда axis square устанавливает одинаковые пределы по всем
осям. Команда axis equal устанавливает одинаковый масштаб.
Команда grid on включает, а команда grid off выключает режим
отображения решетки.
Пространственные кривые
t=[1:.25:30]; x=t.*cos(t); y=t.*sin(t); z=t; plot3(x,y,z) grid
3.2. Трехмерная графика
3.2.1. Команда meshgrid
Познакомимся с функцией, незаменимой при изображении поверхностей. Пусть x и y — векторы длины n и m соответственно, тогда
результатом команды
[X,Y]=meshgrid(x,y)
34
Глава 3. Простейшая графика
10
y=cos(x)
x=cos(y)
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Рис. 3.7. Графики многозначных функций
являются две матрицы размеров m × n следующего вида:
X=
Y =
x(1) x(2) . . . x(n)
x(1) x(2) . . . x(n)
.....................
x(1) x(2) . . . x(n)
y(1) y(1) . . . y(1)
y(2) y(2) . . . y(2)
.......................
y(m) y(m) . . . y(m)
.
.
3.2.2. Команда mesh
Для рисования графиков функций двух переменных в системе Matlab
имеется несколько функций. Вот некоторые из них:
mesh(X,Y,Z)
3.2. Трехмерная графика
35
Filled markers
Unfilled markers
.
+
x
*
o
^
v
<
>
s
d
p
h
Face
Edge
Рис. 3.8. Типы маркеров
30
25
20
15
10
5
0
30
20
30
10
20
0
10
0
−10
−10
−20
−20
−30
−30
Рис. 3.9. Раскручивающаяся спираль
surf(X,Y,Z)
surfl(X,Y,Z)
Параметры всех трех приведенных функций имеют одинаковый смысл:
X, Y, Z — это двумерные массивы, определяющие координаты x, y, z поверхности. Функция mesh рисует сетчатую (проволочную) поверхность,
соединяя прямыми отрезками соседние точки (см. рис. 3.2.2).
Функция surf изображает поверхность, а surfl — с учетом модели
освещения.
[X,Y]=meshgrid(-3:.25:3,-3:.25:3);
Z=sin(X).*sin(Y);
mesh(X,Y,Z);
hidden off
36
Глава 3. Простейшая графика
X(i+1,j), Y(i+1,j), Z(i+1,j)
X(i+1,j), Y(i+1,j), Z(i+1,j)
X(i,j), Y(i,j), Z(i,j)
X(i+1,j), Y(i+1,j), Z(i+1,j)
X(i,j−1), Y(i,j−1), Z(i,j−1)
Рис. 3.10. Параметры X, Y, Z функции mesh
1
0.5
0
−0.5
−1
3
2
3
1
2
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.11. Проволочная модель поверхности
meshc(X,Y,Z);
surf(X,Y,Z)
colormap (default
colorbar
hsv)
surfc(X,Y,Z)
surfl(X,Y,Z)
colormap
colormap summer (bone copper gray winter autumn spring hot pink)
Тушевка:
3.3. Примеры
37
1
0.5
0
−0.5
−1
3
2
3
1
2
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.12. Проволочная модель поверхности
1
0.5
0
−0.5
−1
3
2
3
1
2
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.13. Проволочная модель поверхности
shading faceted
shading flat
shading interp
(по умолчанию)
--- то же, что и faceted, но ребра не высвечиваются
---
3.3. Примеры
Параметрические поверхности:
3.3.1. Тор
R=5;
r=2;
n=40;
38
Глава 3. Простейшая графика
1
0.5
0
−0.5
−1
3
2
3
1
2
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.14. Проволочная модель поверхности
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
−0.5
−0.2
−0.4
−1
3
−0.6
2
3
1
2
0
1
−0.8
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.15. Проволочная модель поверхности
m=20;
[U,V]=meshgrid(linspace(-0.1,2*pi,n),linspace(-0.1,2*pi,m));
X=(R+r.*cos(V)).*cos(U);
Y=(R+r.*cos(V)).*sin(U);
Z=r.*sin(V);
surfl(X,Y,Z)
axis([-5 5 -5 5 -5 5])
colormap bone
3.3. Примеры
39
1
0.5
0
−0.5
−1
3
2
3
1
2
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.16. Проволочная модель поверхности
1
0.5
0
−0.5
−1
3
2
3
1
2
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.17. Проволочная модель поверхности
3.3.2. Улитка
[u,v]=meshgrid(linspace(0,11*pi,500),linspace(-pi,pi,50));
surfl(u.*cos(u).*(cos(v)+5), ...
u.*sin(u).*(cos(v)+5), ...
u.*sin(v) - ((u+5)/8*pi).^2 - 20);
view(-5,16);
shading interp;
colormap winter;
axis equal;
axis off;
40
Глава 3. Простейшая графика
1
0.5
0
−0.5
−1
3
2
3
1
2
0
1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
Рис. 3.18. Проволочная модель поверхности
5
0
−5
5
5
0
0
−5
−5
Рис. 3.19. Проволочная модель поверхности
3.3.3. Лист Мебиуса
[u,v]=meshgrid(linspace(0,2*pi,20),linspace(-.1,.1,10));
mesh(cos(u)+v.*cos(u/2).*cos(u), ...
sin(u)+v.*cos(u/2).*sin(u), ...
v.*sin(u/2),’Edgecolor’,’blue’);
view(15,56);
axis off;
hidden off;
3.3.4. Бутылка Клейна
[u,v]=meshgrid(linspace(0,pi,25),linspace(0,2*pi,50));
3.3. Примеры
41
Рис. 3.20. Проволочная модель поверхности
Рис. 3.21. Проволочная модель поверхности
r1
x1
y1
z1
=
=
=
=
4*(1-cos(u)/2);
6*cos(u).*(1+sin(u))+r1.*cos(u).*cos(v);
16*sin(u)+r1.*sin(u).*cos(v);
r1.*sin(v);
[u,v]=meshgrid(linspace(pi,2*pi,25),linspace(0,2*pi,50));
r2
x2
y2
z2
=
=
=
=
4*(1-cos(u)/2);
6*cos(u).*(1+sin(u))+r2.*cos(v+pi);
16*sin(u);
r2.*sin(v);
42
Глава 3. Простейшая графика
surfl(x1,y1,z1);
hold on;
surfl(x2,y2,z2);
view(9,21)
colormap pink;
shading interp;
hold off;
axis equal;
axis off;
Рис. 3.22. Проволочная модель поверхности
3.4. Линии уровня
[X,Y]=meshgrid(-3:.25:3,-3:.25:3);
Z=sin(X).*sin(Y);
contour(X,Y,Z);
contourf(X,Y,Z);
3.5. Make it easy
ezplot(’cos(tan(x))’,-3,3)
ezplot(’x^2+y^2-1’)
ezplot(’x-sin(y)’)
ezplot(’sin(t)/t’,’cos(t)/t’,[1,10*pi])
3.6. Изображения (IMAGES)
43
ezplot3(’t*sin(t)’,’t*cos(t)’,’t’,[0,6*pi])
ezplot3(’t*sin(t)’,’t*cos(t)’,’t’,[0,6*pi],’animate’)
f=’sin(x^2+y^2)+exp(-x^2)’;
d=[-2,2,-2,2];
ezmesh(f,d);
ezmeshc(f,d);
ezsurf(f,d);
ezsurfc(f,d);
ezcontour(f,d);
ezcontourc(f,d);
ezpolar(’exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t/12)^5’,[0,6*pi])
3.6. Изображения (images)
Двумерные массивы могут быть отображены как образы, в этом
случае элементы массива определяют яркость или цвет образов.
load durer
whos
Команды
image(X)
colormap(map)
axis image
изображают известную гравюру Дюрера. Элементы массива X — целые
числа в диапазоне от 1 до 128 — рассматриваются как номера в палитре
map. Команда
colormap(hot)
добавляет в гравюру современные цвета.
imagesc(rand(10000))
3.7. Графический способ решения уравнений
Функция ginput позволяет “снимать” координаты точек, указанных
курсором мышки в графическом окне. По этой команде текущее графическое окно становится активным, кусор мышки принимает вид перекрестия. Координаты положения курсора в момень нажатия на левую
44
Глава 3. Простейшая графика
3
2
1
0
−1
−2
−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Рис. 3.23. Графический способ решения уравнения x sin x2 = 0
кнопку мыши запоминаются. Выйти из этого режима можно нажатием
на клавишу Enter.
С помощью команды ginput легко графически решать уравнения.
Например, найдем корни уравнения
x sin x2 = 0
на отрезке [0, 3]
x=0:.01:3; f=x.*sin(x.^2);
plot(x, [f; zeros(size(f))]),
grid; ginput
Matlab возвратит значения (0.0035, −0.0263), (1.7730, −0.0263), (2.4988, −0.0263).
Проверим найденные значения:
nx=length(x); w=1:nx-1;
x(find(f(w).*f(w+1)<0 | f(w)==0))
3.8. Относительный и абсолютный способ задания цвета
45
Для нахождения корней уравнения можно использовать функцию
fzero. Команда
x=fzero(’function’,x0)
возвращает найденное значения корня функции function при заданном
начальном приближении x0.
Уточним найденные значения корня:
fzero(’x.*sin(x.^2)’, 1.8)
fzero(’x.*sin(x.^2)’, 2.5)
(z − z1 )(z − z2 ) = 0,
z1 = 0.5 + 0.3i, z2 = 0.5 + 0.8i
x=0:.02:1; y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X+i*Y;
f=(Z-.5-.3*i).*(Z-.5-.8*i);
v=[0,0];
imagesc(abs(Z)); colorbar
contour(x,y,real(f),v)
hold on
contour(x,y,imag(f),v,’y’)
% try sin(f), exp(f)
3.7.1. Команда hold on
[x,y,z] = peaks;
contour(x,y,z,20,’k’)
hold on
pcolor(x,y,z)
shading interp
hold off
3.8. Относительный и абсолютный способ задания цвета
Цвет различных графических объектов в системе Matlab можно
задавать несколькими разными способами:
• абсолютный способ задания цвета (true colors);
• относительный способ задания цвета (idexed colors):
46
Глава 3. Простейшая графика
– прямой,
– масштабированный.
В первом случае цвет задается как тройка чисел — RGB-вектор.
Каждое из этих чисел заключено между нулем и единицей, оно характеризует долю красной, зеленой и синей составляющей в цвете соответственно.
Во втором случае фиксируется некоторая таблица k × 3 — палитра. Чтобы задать цвет нужно либо напрямую указать индекс — номер
строки этой палитры (прямой относительный способ задания цвета),
либо отмасштабировать имеющееся значение (масштабированный относительный способ). Поясним последний способ. Если имеется набор
индексов (например, соответствующих цветам каждой грани объекта
Patch), то выбирается такой линейный масштаб, что минимальный индекс указывает на первый элемент палитры, а максимальный — на последний элемент палитры.
3.9. Неявные функции
Покажем теперь на примере, как можно строить графики неявных
функций. Рассмотрим кривую
f (x, y) = x3 y − 2xy 2 + y − 0.2 = 0,
h=.02; x=0:h:1; [X,Y]=meshgrid(x);
f=X.^3.*Y-2*X.*Y.^2+Y-.2;
v=[0,0]; contour(x,x,f,v), grid
v=[-.05,0,.05]; contour(x,x,f,v), grid
S=h^2*sum(f(:)>=0)
mesh(x,x,f)
g=f; g(f<0)=0; mesh(x,x,g)
C=contour(x,x,f);clabel(C)
x, y ∈ [0, 1].
Глава 4
Более сложные элементы языка
Matlab
4.1. Суммы
Функция sum(a) возвращает сумму элементов вектора a. Если a —
это матрица, то функция возвращает сумму элементов в каждом столбце.
Функция cumsum(a) возвращает вектор той же длины, что и a, причем i-ая компонента возвращаемого вектора — это сумма первых i элементов вектора a.
Рассмотрим пример:
a=1:20
b=cumsum(a)
plot(a, a, a, b)
Исследуем сходимость ряда:
∞
X
1
k=1
k2
=
π2
6
n=100; k=1:n; f=k.^(-2);
plot(cumsum(f));
l=pi^2/6; [sum(f), l]
hold on;
plot([0 n], [l l], ’r’);
xlabel(’k’); ylabel(’s(k)’);
title(’\Sigma_{i=1}^k {1}/{k^2}’);
% \sum не работает
47
48
Глава 4. Более сложные элементы языка MATLAB
Σki=1 1/k2
1.8
1.7
1.6
s(k)
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0
10
20
30
40
50
k
60
Рис. 4.1. Сходимость ряда
P∞
1
k=1 k2
70
к
80
90
100
π2
6
Рассмотрим более общий случай:
g(m) =
∞
X
1
k=1
km
n=1000; k=1:n;
m=2;
f=k.^(-m); plot(cumsum(f))
m=1.5; f=k.^(-m); plot(cumsum(f))
m=1.2; f=k.^(-m); plot(cumsum(f))
4.2. Произведения
Для нахождения произведения элементов массивов в системе Matlab
есть функции
prod(a)
cumprod(a)
4.3. Факториал
49
аналогичные функциям sum(a), cumsum(a).
Рассмотрим бесконечное произведение
∞ µ
Y
k=2
1−
1
k2
¶
=
1
2
и экспериментально исследуем его скорость сходимости:
n=100;
k=2:n;
a=1-1.*k.^(-2);
cp=cumprod(a);
cp(end),
plot(cp/.5) % относительная ошибка
4.3. Факториал
Чтобы найти факториал числа m, можно воспользоваться командой
\prod(1:m). Найдем, для какого максимального значения m, вычисление
m! не даст переполнения:
n=200;
m=1:n;
mf=cumprod(m);
plot(mf,’.’)
sum(isinf(mf))
sum(isfinite(mf))
Функция isinf возвращает 1, если ее аргумент — это inf, и возвращает 0, в противном случае. Функция isfinite возвращает 1, если ее
аргумент — это не inf и не NaN, и возвращает 0, в противном случае.
Итак, максимальное значение m, для которого вычисление m! не дает
переполнения — это 170.
4.4. Сочетание произведений и суммирования
Покажем, как не используя сложных команд управления логикой
программы (циклы, ветвления, выбор), можно вычислять достаточно
сложные выражения. Исследуем экспериментально скорость сходимости ряда
∞
X
xk
= ex , x ∈ [−10, 30].
(4.1)
k!
k=1
Выполним следующие команды:
50
Глава 4. Более сложные элементы языка MATLAB
m=25; k=1:m; ki=1./k;
a=-10; b=30; h=.1; x=a:h:b;
M=[ones(size(x)); ki’*x];
Теперь матрица M имеет вид:
M =
1
1
1
a
1
a
2
a+h
1
a+h
2
a
m
a+h
m
..
.
..
.
1
a+2h
1
a+2h
2
...
...
...
a+2h
m
...
b
m
..
.
b
1
b
2
..
.
Выполнив команду cumprod(M), получим:
cumprod(M ) =
1
1
1
a
1
a2
2!
a+h
1
(a+h)2
2!
a+2h
1
(a+2h)2
2!
...
...
...
am
m!
(a+h)m
m!
(a+2h)m
m!
...
..
.
..
.
..
.
1
b
1
b2
2!
..
.
bm
m!
В каждом столбце матрицы будут записаны члены ряда для разных x.
Чтобы найти частичные суммы дростаточно выполнить команду cumsum:
yt=exp(x); yv=sum(cumprod(M)); r=yv./yt;
plot(x, log(abs(r))), grid
Из графика фидно, что сходимость неудовлетворительная при x <
−7 и x > 17. Найдем x, для которых ex вычислена с точностью 3 верных
знака:
q=1e-3;
v=-q<log10(abs(r)) & log10(abs(r))<q;
plot(r(v)), [min(x(v)), max(x(v))]
Причина краха: результат мал, а первые члены ряда очень большие:
x=-10; m=170; % try m=25,50, x=-20
k=1:m; M=[1;x./k’];
r=cumsum(cumprod(M))/exp(x);
plot(r), grid, r(end)-1
4.5. Интегрирование
51
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
Рис. 4.2. График относительной ошибки для сходимости ряда (4.1) в логарифмическом масштабе
4.5. Интегрирование
С помощью команды sum можно методом прямоугольников численно
вычислять квадратуры. Рассмотрим, например, интеграл
I=
Z 3
0
n=100;
h=3/n;
x=h/2:h:3;
f=x./sin(x);
plot(x,f);
plot(h*cumsum(f)),
grid;
sum(h*f)
x
dx
sin x
52
Глава 4. Более сложные элементы языка MATLAB
В системе Matlab есть встроенные функции для вычисления квадратур. Функция trapz использует метод трапеций:
hold on;
plot(cumtrapz(x, f),’r’),
trapz(x, f)
Функция quad использует правило Симпсона c автоматическим выбором шага для вычисления квадратурыс заданной точностью:
quad(’x./sin(x)’, eps, 3) % tol=1e-3
quad(’x./sin(x)’, eps, 3, 1e-4)
4.5.1. Интегрирование функций с особенностью
I(a) =
Z 1
0
xa dx,
−1 < a < 0
4.5.2. Аналитический учет особенности:
n=20; a=-.5; h=1/n; x=h:h:1; fx=x.^a;
plot(x,fx);
r=h^(a+1)/(a+1)+h*cumsum(fx);
[r(end) 1/(a+1) r(end)*(a+1)], plot(r)
% try n=200, a=-.99, n=20
4.5.3. “Численный” учет особенности:
n=20; a=-.5; h=1/n; x=h/2:h:1; fx=x.^a;
r=h*cumsum(fx);
[r(end) 1/(a+1) r(end)*(a+1)], plot(r)
% try n=200, a=-.99, n=20
При a = −.99 без аналитического учета особенности вычислить данный интеграл при разумном n невозможно.
n=20; a=-.5; h=1/n; x=h/2:h:1; fx=x.^a;
r=h*trapz(fx)
quad (’x.^(-0.5)’,
quad8(’x.^(-0.5)’,
quad (’x.^(-.99)’,
quad8(’x.^(-.99)’,
0,
0,
0,
0,
1)
1)
1)
1)
4.6. Управляющие конструкции
53
4.6. Управляющие конструкции
В данном разделе мы рассмотрим управляющие конструкции языка
Matlab , управляющие логикой вычислений. К ним относятся:
• условный оператор if,
• оператор цикла while,
• оператор цикла с параметром for,
• оператор выбора switch.
4.6.1. Оператор if
if <условие1>
<команды1>
elseif <условие2>
<команды2>
elseif <условие3>
<команды3>
...
else
<команды4>
end
<условие> можно получить в результате логических операций < >
== <= >= ~= & | ~ и специальных функций (any, all, . . . )
Если V — массив, то условие V эквивалентно условию all(V).
4.6.2. Оператор while
while <выражение>
<операторы>
end
Вычислим константу eps:
e=1;
while 1+e~=1,
e=e/2;
end;
e=2*e
54
Глава 4. Более сложные элементы языка MATLAB
4.6.3. Оператор for
for <переменная> = <выражение>
<операторы>
end
Для примера вычислим матрицу Гильберта:
n=10;
H=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n
H(i,j)=1/(i+j-1);
end;
end;
H % матрица Гильберта
4.6.4. Оператор switch
switch <выражение>
case {<список значений 1>}
<операторы>
case {<список значений 2>}
<операторы>
...
otherwise
<операторы>
end
Рассмотрим пример:
switch lower(method)
case {’linear’,’bilinear’}
disp(’Method is linear’)
case ’cubic’
disp(’Method is cubic’)
case ’nearest’
disp(’Method is nearest’)
otherwise
disp(’Unknown method’)
end
4.7. Хронометрирование
55
4.7. Хронометрирование
Познакомимся с некоторыми командами системы Matlab , позволяющими измерять время. Команда toc возвращает время в секундах,
прошедшее после последнего вызова функции tic.
Например, измерим время, необходимое системе для вычисления
матрицы Гильберта 1000-го порядка с помощью встроенной функции:
tic; h=hilb(1000); toc;
На компьютере автора на это ушло около 0.64 с.
Пока мы не умеем даже приближенно оценить, какое количество элментарных операций выполняет система для выполнения той или иной
функции. Попробуем это сделать.
Для вычисления определителя квадратной матрицы порядка n система Matlab использует метод Гаусса, как известно, использующий
∼
2n3
арифметических операций.
3
На основе этой информации попробуем оценить “среднее” время для
выполнения 1 миллиона арифметических операций:
clear all;n=200;M=magic(n);
tic,det(M);t=toc/(2*n^3/3)*1e6
На компьютере автора получилось 0.0056 с.
Выбор n = 100, в действительности, был несколько случайным, но
как мы увидим далее, правильным. Действительно, как показывает следующая программа, отношение
t(n)
,
2n3
,
3
(4.2)
где t(n) — время вычисления определителя порядка n, не является константой.
clear all;
m=[50:25:1000];
M=1;
time=[];
for n=m;
n,
clear M;
56
Глава 4. Более сложные элементы языка MATLAB
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Рис. 4.3. Ускорение при вычислении определителя
M=magic(n);
tic; det(M); t=toc;
time=[time, t];
end
plot(m, time)
plot(m, time./(2.*m.^3/3)*1e6,’.-’)
На графике мы видим скачки при небольших n. Начиная с n = 200 отношение (4.2) монотонно убывает. Ускорение, которое мы получаем при
росте n, объясняется использованием в системе Matlab конвейерных
вычислений, обеспечивающих форсирование векторных и матричных
операций.
Случай n = 200 возьмем за эталон, считая, что в среднем для выполнения 1 миллиона элементарних операций требуется 0.0056 c. Конечно,
такой способ является далеко не точным для оценки “усредненной скорости работы компьютера”, однако годится для прикидочных расчетов.
4.7. Хронометрирование
57
4.7.1. Работа вдоль строк и вдоль столбцов
В системе Matlab матричные операции вдоль строк заметно медленнее матричных операций вдоль столбцов. Проверим это:
clear all; n=1000; M=magic(n);
tic, sum(M); toc
tic, sum(M,2); toc
Объясняется это тем, что матрицы хранятся по столбцам.
4.7.2. Вычисление элементарных функций
Оценим количество элементарних операций, используемых в среднем для вычисления функций ex и sin x:
clear all; x=1:0.1:1e5;
el_op=.0056;
tic; exp(x); toc/el_op
tic; sin(x); toc/el_op
Мы видим, что вычисление экспоненты требует в среднем 23 операции,
а вычисление синуса — 82 операции.
4.7.3. Циклы
Найдем время для организации в системе Matlab пустого цикла:
clear all; el_op=.0056;
tic; for k=1:1e6; end; toc/el_op
tic; v=1:1e6; for k=v; end; toc/el_op
Получим, что на выполнение одной итерации цикла требуется около 70
и 82 операций соответственно. Это очень много, поэтому использование
команд управления в системе Matlab следует избегать.
4.7.4. Присваивания
Найдем количество операций, используемых системой для организации присваивания. Вначале рассмотрим присваивание скалярных значений:
clear all; el_op=.0056;
b=2;
tic; for k=1:1e6; a=b; end; toc/el_op
58
Глава 4. Более сложные элементы языка MATLAB
Мы видим, что для одного присваивания в цикле необходимо около 390
операций. Теперь перейдем к присваиванию матричных значений:
clear all; el_op=.0056;
b=ones(1000);
tic; for k=1:1e6; a=b; end; toc/el_op
Время, необходимое для выполнения присваивания практически не изменилось: для одного присваивания в цикле матричного значения размером 1000 × 1000 необходимо около 400 элементарних операций! Этот
удивительный на первый взгляд факт снова объясняется использованием конвейерных вычислений: когда система встречает присваивание
a=b, она лишь дает команду для выполнения этой операции и, не дожидаясь окончания, присваивания, переходит к следующей итерации
цикла и т.д. Таким образом, присваивания выполняются как-бы “параллельно” и успевают завершиться к тому моменту, когда придет следующая команда выполнять присваивание.
Картина резко изменится, если к присваиванию мы добавим арифметическую операцию:
clear all; el_op=.0056;
b=ones(1000);
tic; for k=1:100; a=b+b; end; t=toc;
t/(el_op*1e-4)
Теперь команда a=b+k не успевает завершиться к началу следующей
итерации и на одно присваивание требуется гораздо больше (около 12
млн.) элементарных операций.
4.7.5. Двумерные и одномерные индексы
clear all; n=1000; M=ones(n); v=2:n-1;
tic, M(v,v)=0; toc
sum(M(:))
clear all; n=1000; M=ones(n);
v=(2:n-1)’; v1=ones(n-2,1);
V=v(:,v1)+n*v1*(v’-1);
tic, M(V)=0; toc
sum(M(:))
4.8. Типы данных
59
4.8. Типы данных
Помимо рассмотренных типов данных: массивов чисел и массивов
символов, — в системе Matlab поддерживаются новые абстрактные
типы: многомерные массивы, массивы структур и массивы ячеек.
4.8.1. Многомерные массивы
Начиная с версии 5.0 в системе Matlab появилась поддержка многомерных массивов. массивов. Один из самых простых способов создать
такой массив — это использовать функции наподобие ones и zeros. Например, команда
ones(3,3,3)
создает трехмерный массив 3×3×3, заполненный единицами, а команда
zeros(1,2,3,4,5)
создает пятимерный массив 1 × 2 × 3 × 4 × 5, заполненный нулями.
Доступ к элементам массива по индексу такой же, как и для двумерных массивов, при этом доступны команды [], :, end и т.п.
4.8.2. Массивы структур
Структурой мы будем называть абстрактный тип данных, представляющий собой коллекцию значений (полей) разных типов, доступ
к которым осуществляется по имени (имени поля).
Массив структур — это коллекция структур, доступ к которым происходит по индексу. Массив структур может быть одномерным, двумерным или многомерным. Каждая структура в массиве должна иметь
одинаковый набор полей. В системе Matlab необязательно, чтобы типы элементов, которые хранятся в одноименных полях одного массива
совпадали.
Cоздадим структуру S с двумя полями name и age. Присвоим им
значения:
S.name = ’Isaac Newton’;
S.age = 38;
Сейчас S — это скалярная структура, или массив структур размеров
1 × 1:
name
‘Isaac Newton’
age
38
60
Глава 4. Более сложные элементы языка MATLAB
Мы видим, что набор полей структуры может изменяться динамически. Также динамически могут меняться размеры массива структур:
S(2).name = ’Blaise Pascal’ ;
S(2).age = 23;
Теперь S представляет собой вектор-строку из двух элементов:
№
1
2
name
‘Isaac Newton’
‘Blaise Pascal’
age
38
23
Возможен другой способ создания структуры:
S(3) = struct(’name’, ’Carl F. Gauss’, ’age’, 43) ;
Теперь массив S имеет размеры 1 × 3:
№
1
2
3
name
‘Isaac Newton’
‘Blaise Pascal’
‘Carl F. Gauss’
age
38
23
43
Добавим еще одно поле:
S(3).profession=’mathematician’
Теперь в качестве массива S будем иметь:
№
1
2
3
name
‘Isaac Newton’
‘Blaise Pascal’
‘Carl F. Gauss’
age
38
23
43
profession
[]
[]
‘mathematician’
4.8.3. Массивы ячеек
Ячейкой (cell) мы назовем контейнер, который может содержать
в себе произвольный из рассмотренных типов данных (т.е. это может
быть массив чисел с плавающей запятой, массив символов, массив структур и др.) Массив ячеек — это коллекция ячеек, доступ к которым происходит по индексу. Таким образом, массив ячеек может объединять
разнотипные данные. Массив может быть одномерным, двумерным или
многомерным.
Доступ к ячейкам осуществляется указанием после имени массива
индекса элемента в фигурных скобках. Такая ссылка на элемент может
появиться в левой части присваивания. Например, программа
4.8. Типы данных
61
for n = 1:5
M{n} = hadamard(2^n);
end
M{2}
создает массив, содержащий матрицы Адамара порядка 2, 4, 8, 16, 32.
Другой способ создать массив ячеек — это перечислить его элементы
построчно, разделяя элементы в одной строке пробелами или запятыми,
а сами строки — точкой с запятой или символом перехода на новую
строку. Все элементы должны быть заключены в фигурные скобки.
Например,
A = hadamard(4)
C = {A sum(A) prod(A) ’matrix A’}
Чтобы создать массив пустых ячеек достаточно воспользоваться
функцией struct с указанием размеров массива. Например, команда
M = cell(5,1)
создает массив 5 × 1 (столбец), содержащий пустые ячейки:
[]
[]
[]
[]
[]
Глава 5
Многочлены
5.1. Основные команды
В системе Matlab нет специального типа данных представляющих
многочлен. Многочлен
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an
представляется в виде вектора-строки f = (a0 , a1 , . . . , an ). Условие a0 6=
0 в командах не проверяется.
Произведение многочленов f (x) и g(x), где
g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm ,
есть многочлен
h(x) = f (x)g(x) = c0 xn+m + c1 xn+m−1 + . . . + bn+m ,
в котором
ck =
X
ai bj
i+j=k
суть компоненты свертки (convolution) векторов f и g = (b0 , b1 , . . . , bm ).
Для умножения многочленов в системе Matlab можно воспользоваться функцией нахождения свертки conv(f,g)
Деление многочленов
f (x) = g(x)p(x) + r(x)
осуществляется командой
[p,r]=deconv(f,g)
62
5.1. Основные команды
63
Разложение дроби на простейшие
X resj
f (x)
= k(x) +
g(x)
x − xj
j
осуществляется командой
[res,x,k]=residue(f,g)
где res, x — векторы-столбцы, а k — вектор-строка.
Для осуществления обратного перехода — по простейшим дробям
восстановить исходную — нужно воспользоваться командой
[f,g]=residue(res,x,k)
Чтобы восстановить коэффициенты многочленв по его корням:
f (x) = (x − x1 ) · (x − x2 ) · . . . · (x − xn ),
— воспользуйтесь командой f=poly(x). Если A — квадратная матрица,
то функция poly(A) возвращает коэффициенты характеристического
многочлена этой матрицы.
Команда
y=polyval(f,x)
вычисляет значения многочлена f (x) в точках x. Если X — квадратная
матрица, то команда
Y=polyval(f,X)
вычисляет значение Y = f (X) многочлена от матрицы.
Команда
g=polyder(f)
возвращает производную многочлена f (x), а команда
g=polyder(f,k)
возвращает k-ую производную многочлена f (x).
Для нахождения корней воспользуйтесь командой
roots(f)
64
Глава 5. Многочлены
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1.6
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
Рис. 5.1. График многочлена f (x) = x3 − x + 2
5.2. Примеры
Пример 1. На примере многочлена
f (x) = x3 − x + 2
покажем, как нарисовать его график и найти корни:
f=[1,0,-1,2];
x=-1:.01:1;
y=polyval(f,x);
plot(x,y),
grid
roots(f)’
Пример 2. Разложим дробь
x3 − x + 2
x−3
0.6
0.8
1
5.3. Сумма многочленов
65
на простейшие:
[g,r]=deconv(f,[1,-3])
Итак,
x3 − x + 2
26
= x2 + 3x + 8 +
.
x−3
x−3
Пример 3. Разложим дробь
x3
x−3
−x+2
на простейшие:
[res,x,k]=residue([1,-3],f);
res’,x’,k
Получаем:
x3
0.7607
0.3803 + 0.4289i
x−3
=−
+
−x+2
x + 1.5214 x − 0.7607 − 0.8579i
Восстановим по простейшим дробям исходную:
[q,p]= residue(res,x,k)
5.3. Сумма многочленов
В системе Matlab нет специальной команды для суммы многочленов, поэтому напишем свою функцию, выполняющую эту операцию:
function addpoly(f,g)
nf=length(f);
ng=length(g);
n=max(nf,ng);
s=[zeros(1,n-nf),f]+ [zeros(1,n-ng),g]
Пример 4. Проверим правильность функции на примере
f (x) = x3 − x + 2,
f=[1,0,-1,2];
g=[1,3];
addpoly(f,g)
g(x) = x + 3,
f (x) + g(x) =?
66
Глава 5. Многочлены
5.4. Пример численной неустойчивости
Пример 5. Приведем классический пример численной неустойчивости
при работе с многочленами (Уилкинсон, 1963 г.). Рассмотрим многочлен
f (x) = (x − 1) · (x − 2) · . . . · (x − n)
с хорошо отделимыми корнями. Для разных n заставим Matlab явно
вычислить коэффициенты этого многочлена, а затем найдем его корни:
n=2; x=(1:n)’; f=poly(x);
xv=roots(f); R=[x,xv]
n=3; x=(1:n)’; f=poly(x);
xv=roots(f); R=[x,sort(xv)]
max(abs(R(:,1)-R(:,2))./R(:,1))
plot(R), grid
При n = 2 корни найдены точно, а при n = 3 имеем 16 верных знаков.
Возьмем n побольше, n = 10:
n=10; x=(1:n)’; f=poly(x);
xv=roots(f); R=[x,sort(xv)]
format long, R
max(abs(R(:,1)-R(:,2))./R(:,1))
plot(R), grid
plot(R,’.’), grid
Точность ухудшилась, но по-прежнему остается великолепной: 10 верных знаков.
При n = 20 — только 2 верных знака:
n=20; x=[1:n]’; f=poly(x);
xv=roots(f); R=[x,sort(xv)]
max(abs(R(:,1)-R(:,2))./R(:,1))
plot(R),grid
Постараемся понять, почему снижается точность: объясняется ли
это плохим алгоритмом, использумым в системе для нахождения корней многочлена, или это природа задачи? Для n = 20 внесем малое
возмущение 10−7 в коэффициент f (2) при x19 . Такое возмущение (разумеется, не только в этот коэффициент) вполне могло возникнуть при
начальном определении коэффициентов многочлена. Посмотрим, как
возмущение скажется на корнях:
5.4. Пример численной неустойчивости
67
n=20; x=(1:n)’; f=poly(x);
f(2)=f(2)+1e-7; xv=roots(f); R=[x,sort(xv)]
max(abs(R(:,1)-R(:,2))./R(:,1)),
sum(abs(imag(xv)))
plot(R,’.’),grid
Крошечное изменение в исходном из коэффициентов приводит к появлению комплексных корней с относительно большой мнимой частью!
Попробуем объяснить, почему это произошло. Рассматриваемый многочлен имеет вид
f (x) = x20 + ax19 + . . . + 20!
Было внесено возмущение в коэффициент при x19 , т.е. в параметр a.
Рассмотрим зависимость корней многочлена от этого параметра, т.е.
рассмотрим функцию x(a), неявно заданную уравнением f (x) = 0. По
правилам взятия производной неявной функции,
dx
∂f /∂a
=−
,
da
∂f /∂x
где
∂f
= x19
∂a
Частную производную ∂f /∂x найдем с помощью функции polyder(f):
n=20; x=[1:n]’; f=poly(x);
dfdx=polyder(f);
dxda=-(x.^19)./polyval(dfdx,x);
plot(dxda), grid
Мы получили график производной dx/da. В некоторых точках значение производной достигает громадной величины порядка 109 . Построим
график производной в логарифмической шкале:
plot(log10(abs(dxda))),
grid
Итак, в нашем примере корни очень чувствительны к изменению коэффициентов многочлена. Так как при вычислении корней возникают
ошибки округления, то мы можем считать, что решается не исходная,
а некоторая близкая к исходной задача. Кроме того, уже исходные коэффициенты ввиду ошибок округления могли быть записаны неточно.
Поэтому надеяться, что для чувствительной к начальным данным (или,
как еще говорят, плохо обусловленной) задачи можно получить сверхточный ответ, бессмысленно.
68
Глава 5. Многочлены
9
2.5
x 10
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Рис. 5.2. График производной dx/da, выражающей степень зависимости корня многочлена Уилкинсона от параметра.
5.5. Многочлены Лежандра
L0 (x) = 1;
L1 (x) = x;
kLk (x) = (2k − 1)xPk−1 (x) − (k − 1)Pk−2 (x), k > 1.
1
2
,
kLk (x)k = −1
L2k (x)dx = 2k+1
R1
(Li , Lj ) = −1 Li (x)Lj (x)dx = 0, i 6= j
R
g(x) = m
k=0 ck Lk (x),R
1
Lk (x)g(x)dx.
где ck (x) = kLk1(x)k −1
P
m=9;
n=100;
h=2/n;
x=-1+h/2:h:1-h/2;
5.5. Многочлены Лежандра
69
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Рис. 5.3. График функции log10 |dx/da| в примере Уилкинсона.
P=[ones(size(x));x];
nKt=2./(2*(0:m)+1)’;
K=3;
for k=1:m-1
r=((2*k+1)*x.*P(K-1,:)-...
k*P(K-2,:))/(k+1);
P=[P;r];
K=K+1;
end;
Q=h*P*P’;
Графики
for K=1:m+1
plot(x,P(K,:));
grid;
pause(2);
20
70
Глава 5. Многочлены
end;
plot(x,P);
Относительные ошибки
nK=diag(Q);
plot(nK./nKt);
Абсолютные ошибки
Q1=Q;
Q1(1:m+2:(m+1)^2)=0;
mor=max(abs(Q1(:)))
Приближение функции
g=7*x.^3-2*x+4;
c=(h*P*g’)./nKt;
gK=cumsum(c(:,ones(1,n)).*P);
M=[g;gK(end-5:end,:)];
plot(x,M), grid
Попробуем другие функции
g(x) = x2 − sin(x)
g(x) = |x|
g(x) = e2x
g(x) = |x|−0.5
хорошее приближение
хорошее приближение
при x < 0 приближение хуже
плохое приближение
f (x) = (x − 2)(x3 ) = x2 − 5x + 6 = 0
x = F (x), где F (x) = (x2 + 6)/5.
xk+1 = F (xk )
xk=0;
n=100;
x=xk;
F=’(xk.^2+6)/5’;
for k=1:n;
xk=eval(F)
x=[x,xk];
end;
plot(x),
grid
5.5. Многочлены Лежандра
2x
, F ′ (2) = 0.8 < 1,
5
Оценим скорость сходимости
F ′ (x) =
71
F ′ (3) = 1.2 > 1
w=2:n;
v=(x(w+1)-x(w))./(x(w)-x(w-1));
plot(v);
grid
Сходимость для комплексных x0 , |x0 | = 3
clear i;
n=100;
xk=0;
x=xk;
phi=-pi:pi/20:pi;
xk=3*exp(i*phi)
F=’(xk.^2+6)/5’;
for k=1:n;
xk=eval(F)
x=[x,xk];
end;
plot(x,’.’)
hold on;
plot(xk,’r.’, ’MarkerSize’, 20)
grid
Граница области сходимости
r=3:.02:10;
phi=-pi:pi/90:pi;
z=[];
n=100;
for kr=r
xk=kr*exp(i*phi);
for k=1:n
xk=eval(F);
end
z=[z;xk];
end;
zn=isnan(z);
72
Глава 5. Многочлены
X=r’*exp(i*phi);
plot(X(zn)),
axis equal;
Точный график
zn=isnan(z);
zn=diff(zn)~=0;
X=r’*exp(i*phi);
plot(X(zn));
hold on;
zn=isfinite(z);
zn=diff(zn)~=0;
X=r’*exp(i*phi);
plot(X(zn), ’m’);
Глава 6
Матрицы и линейная алгебра
6.1. Простые команды
Напомним некоторые из команд построения матриц:
ones(n)
%
zeros(n) %
eye(n)
%
rand(n)
%
ones(m,n)
zeros(m,n)
eye(m,n)
rand(m,n)
матрица из единиц
матрица из нулей
единичная матрица
случайная матрица [0,1]
В примерах будут использоваться команды построения теплицевой
матрицы, т.е. матрицы вида
T (a, b) =
a1
b2
b3
. . . bn
a2
a1
b2
. . . bn−1
a3
a2
a1 . . . bn−2
...........................
an an−1 an−3 . . . a1
.
Чтобы построить такую матрицу достаточно воспользоваться командой
toeplitz(a,b)
Команда
toeplitz(a)
эквивалентна
73
74
Глава 6. Матрицы и линейная алгебра
toeplitz(a,a)
Пример 6. Попробуйте выполнить команды:
toeplitz(1:4)
toeplitz(1:4,-1:-1:-5)
6.2. Решение систем линейных уравнений
Операции \ (левое деление) и / (правое деление) предназначениы
для решения систем линейных уравнений
Ax = b,
yA = b
соответственно. Чтобы найти решение достаточно выполнить команды:
x=A\b
y=b/A
Правая часть уравнений может быть не только вектором (столбцом для
первой системы, строкой для второй системы), но и матрицей. В этом
случае неизвестные — тоже матрицы и представляют собой наборы решений системы линейных уравнений с одинаковой левой частью и разными правыми частями.
Пример 7. Построим систему линейных уравнений с заранее известным ответом:
a=1:.1:5;
n=length(a);
A=toeplitz(exp(a));
xt=sin(a)’;
b=A*xt;
Теперь найдем ее решение численно и нарисум точное решение и вычисленное:
x=A\b;
plot(xt);pause;plot(x)
Визуально точное и вычисленное решение совпали. Убедимся, что абсолютная и относительная ошибка ничтожна:
6.2. Решение систем линейных уравнений
75
max(abs(xt-x))
max(abs(xt-x))/max(abs(xt))
norm(xt-x)
norm(xt-x)/norm(xt)
Для последнего выражения получим: 4.4464 · 10−13 . Найдем определитель системы:
det(A)
Он очень мал (4 · 10−9 ).
Раньше было широко распространено мнение, что численно найти
точное решение системы с определителем близким к нулю невозможно.
Это заблуждение иногда встречается и сейчас, хотя установлено, что
определитель играет только косвенную роль в этом вопросе (что и подтверждается предыдущим примером). Более полезной является другая
характеристика системы (а точнее ее левой части) — число обусловленности матрицы A, которое является мерой чувствительности решения
по отношению к исходным параметрам системы.
Чтобы дать определение числа обусловленности, напомним определение нормы вектора и нормы матрицы. Под нормой вектора x мы
будем понимать величину
kxk =
q
|x|2 ,
а под нормой матрицы A — величину
kAk = sup
x6=0
kAxk
.
kxk
Из определения нормы матрицы следует, что
kAxk ≤ kAk · kxk.
Можно показать, что
v
uX
u n
⊤
|aij |2 ,
kAk = max λj (A A) ≤ t
j=1,...,n
i,j=1
где через λj (B) (j = 1, . . . , n) обозначены собственные числа матрицы
B.
Числом обусловленности матрицы A называется величина
cond A = kA−1 k · kAk.
76
Глава 6. Матрицы и линейная алгебра
Для симметричной матрицы A справедлива формула
cond A =
min |λj (A)|
.
max |λj (A)|
(6.1)
Пусть вместо системы Ax = b решается некоторая близкая “возмущенная” система (A + ∆A)x = b + ∆b. Пусть x — точное решение
исходной системы, а x + ∆x — точное решение “возмущенной” системы.
Можно показать, что
k∆xk
k∆bk
≤ cond A ·
kxk
kbk
при ∆A = 0,
k∆xk
k∆Ak
≤ cond A ·
kxk
kAk
при ∆b = 0.
Таким образом, относительная ошибка k∆xk/kxk в решении системы
линейных уравнений не больше некоторой величины, пропорциональной относительной ошибке в коэффициентах системы, с коэффициентом пропорциональности cond A.
Если даже коэффициенты системы были записаны абсолютно точно, то мы можем предположить, что ошибка округления накапливалась
во время работы алгоритма, решающего систему линейных уравнений,
и составила величину, равную машинному эпсилон εM , поэтому самое
лучшее, что мы можем ожидать от алгоритма, это относительную ошибку величиной
k∆xk
≈ cond A · εM .
(6.2)
kxk
Например, при εM ≈ 10−16 и cond A ≈ 1014 получим относительную
ошибку около 10−2 , т.е. 2 правильные значащие цифры. Чем больше
число обусловленности матрицы, тем более чувствительно решение системы по отношению к ее коэффициентам и, тем самым, менее точным
будет ответ. Матрицы с большим числом обусловленности (например,
cond A ≥ εM −1/2 ) называются плохо обусловленными. Если матрица системы — плохо обусловлена, то сама система также называется плохо
обусловленной.
Для вычисления числа обусловленности в системе Matlab есть команда
cond(A)
Алгоритм вычисления числа обусловленности достаточно трудоемок
(сложнее алгоритма Гаусса) и для оценки числа обусловленности часто
используют более простой алгоритм, реализованный в функции rcond.
Функция
6.2. Решение систем линейных уравнений
77
r=rcond(A)
возвращает число r, такое, что cond A ≤ 1/r, причем отношение 1/r не
бывает намного больше cond A.
Пример 8. Для системы из предыдущего примера функция
cond(A)
дает cond A = 6.6040 · 103 .
Так как матрица A симметрична, то для вычисления cond A можно
воспользоваться формулой (6.1):
sp=eig(A);
y=min(abs(sp))
z=max(abs(sp))
c=z/y
Получим то же значение: cond A = 6.6040 · 103
Применим функцию rcond:
1/rcond(A)
Получим значение 1.1294 · 104 .
Попробуем воспользоваться оценкой (6.2):
cond(A)*eps
Получим 1.4664−12 , что неплохо согласуется с относительной ошибкой
4.4464 · 10−13 , вычисленной в предыдущем примере.
%спектр и число обусловленности (2-норма)
ssp=sort(sp);v=1:n-1;di=diff(ssp);
min(abs([di./ssp(v);di./ssp(v+1)]))
%0.0044
[Q,D]=eig(A);
L=Q’*Q;
L(1:n+1:n^2)=0;
max(abs(L(:)))
%проверка Q’*Q=E
[Q,D]=eig(A);
L=Q\A*Q-D;
max(abs(L(:)))
%проверка Q\A*Q=D
78
Глава 6. Матрицы и линейная алгебра
6.3. Спектр. Число обусловленности
d=eig(A)
[Q,D]=eig(A)
cond(A)
6.4. Нормы векторов и матриц
Число обусловленности Ax=b
похожая формула справедлива и для относительной ошибки левой
части
6.5. Матрицы Гильберта
Матрица Hn = (hij ) размеров n × n с элементами
hij =
1
i+j−1
(i = 1, . . . n; j = 1, . . . n)
называется матрицей Гильберта. Известно, что (для достаточно больших n) матрицы Гильберта — плохо обусловлены. Матрица Гильберта
является частным случаем матрицы Коши, которая определяется следующим образом: если a, b — два вектора длиной m и n соответственно,
то матрицей Коши называется матрица (a, b) = (cij ) размеров m × n,
где
1
cij =
(i = 1, . . . m; j = 1, . . . n).
ai + bj
Для построения матрицы Коши можно воспользоваться командой
C=gallery(’cauchy’,a,b)
Пример 9. [Матрицы Гильберта] Построим матрицы Гильберта малых порядков:
format rat;
for n=2:5
gallery(’cauchy’,0:n-1,1:n)
end;
Например, при n = 4 получим:
H4 =
1
1/2
1/3
1/4
1/2
1/3
1/4
1/3
1/4
1/5
1/4
1/5
1/5
1/6
1/6
1/7
6.5. Матрицы Гильберта
79
Исследуем рост числа обусловленности матриц Гильберта:
format;
c=[];
for n=2:20
A=gallery(’cauchy’,0:n-1,1:n);
c=[c;cond(A)];
end;
plot(c);
c
Мы видим, что число обусловленности принимает огромные значения: при n = 10, например, достигает величины порядка 1015 . Таким
образом, решая численно систему линейных уравнений с H10 мы не
можем рассчитывать на точность в ответе большую, чем 1 значащая
цифра.
Посмотрим какую оценку для числа обусловленности даст rcond:
r=[];
for n=2:20
A=gallery(’cauchy’,0:n-1,1:n);
r=[r;1/rcond(A)];
end;
plot(r);
r
Чтобы визуально сравнить результаты работы функций cond и rcond,
построим графики log10 c и log10 r:
plot(log10([c r]));
grid;
Мы видим, что обе функции дают согласованные ответы.
Теперь для n = 5 построим систему линейных уравнений с точным
решением xj = ej (j = 1, . . . , n) и найдем ее решение численно:
n=5;
A=gallery(’cauchy’,0:n-1,1:n);
xt=exp(1:n)’;
b=A*xt;
x=A\b;
max(abs(x-xt))
e=norm(x-xt)
80
Глава 6. Матрицы и линейная алгебра
20
cond
rcond
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Рис. 6.1. Число обусловленности для матриц Гильберта в логарифмической шкале.
Для вычисления использовались функции cond, rcond
Получим погрешность e ≈ 10−9 . Это согласуется с формулой (6.2), так
как
cond(A)*eps
дает величину порядка 10−10 .
6.6. Экспериментальное исследование числа обусловленности
Сконструируем систему линейных уравнений Ax = b с известным
точным решением xt :
h=.1;
a=1:h:5;
n=length(a);
A=toeplitz(exp(a));
6.6. Экспериментальное исследование числа обусловленности
81
xt=sin(a)’;
b=A*xt;
x=A\b;
пусть ошибка — равномерная случайная величина:
me=1e-4*h*abs(cumsum(b));
rand(’state’,0);
m=30;
V=(1:n)’*ones(1,m);
plot([b/max(abs(b)),me/max(me)]);
grid;
m=30 возмущений правой части:
B=b(V)+me(V).*(2*rand(n,m)-1);
X=A\B;
plot(X)
plot([me(V).*(2*rand(n,m)-1),me(V)])
%
3;4;xu=max(X,[],2);xd=max(X,[],2);plot([xu,xt,xd])
%работаем вдоль строк
5;plot(B); zoom on %возмущений в правых частях не видно
6;sp=eig(A);c=max(abs(sp))/min(abs(sp))
cond(A) %0.6064, тогда как
7;max([xu-xt;xt-xd]) %0.5180
8;mme=max(me);plot(A\[b-mme,b,b+mme]) %слишком упрощенно
%линиии пересекаются около i=2
8;mme=100*max(me);plot(A\[b-mme,b,b+mme])
Увеличение размеров матрицы
1;clear all;h=.01;a=1:h:5;A=toeplitz(exp(a));xt=sin(a)’;b=A*xt;x=A\b;
plot([xt,x]),cond(A)
2;max(abs(x-xt)) %1.3153e-9
3;[Q,D]=eig(A);L=Q’*Q;n=length(a);L(1:m+1:m^2)=0;max(abs(D(:)))
Глава 7
Интерполяция и аппроксимация
данных
7.1. Интерполяция
Пусть про некоторую функцию g(x) известно, что она в точках
x1 , x2 , . . . , xn (x1 < x2 < . . . < xn ) принимает значения y1 , y2 , . . . , yn .
Задача интерполяции заключается в построении такой функции p(x)
из известного класса, которая в точках xi принимает те же значения
yi , что и функция g(x). Функцию p(x) часто называют интерполянтом,
точки xi — узлами интерполяции, величины yi — значениями интерполяции. Выделим тот случай, когда p(x) — многочлен. Он называется
интерполяционным. Известная теорема из теории аппроксимации говорит о том, что для произвольной таблицы интерполяции
x1 x2 . . . xn
y1 y2 . . . yn
интерполяционный многочлен p(x) степени меньше n существует и единственен. Если интерполируемая функция g(x) в некоторой области имеет n непрерывных производных то для любой точки x из этой области
погрешность интерполяции равна
g(x) − p(x) =
g (n) (ξ)
(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn ),
n!
где ξ — некторая точка, удовлетворяющая неравенству x1 < ξ < xn .
Иногда данная формула позволяет оценить ошибку интерполяции.
В системе Matlab коэффициенты интерполирующего многочлена
можно найти с помощью функции polyfit. Если x — массив, содер82
7.1. Интерполяция
83
жащий n узлов, а y — массив, содержащий n значений, то коэффициенты интерполяционного многочлена можно найти c помощью команды p=polyfit(x,y,n-1). К функции polyfit мы вернемся, когда будем
изучать метод наименьших квадратов.
Пример 10. Функцию y = ln x будем интерполировать кубическим полиномом по точкам 0.4, 0.5, 0.7, 0.8. Оценим погрешность интерполяции
в точке 0.6. Для нахождения интерполянта выполним программу
x=[0.4 0.5 0.7 0.8];
y=log(x);
p=polyfit(x,y,3)
Получим:
p =
1.6836
-4.5239
5.2760
-2.4106
Таким образом, интерполянт имеет вид:
p(x) = 1.6836x3 − 4.5239x2 + 5.2760x − 2.4106.
Выражение для погрешности дает:
ln(0.6) − p(0.6) = − ξ64 4!1 (0.6 − 0.4)(0.6 − 0.5)(0.6 − 0.7)(0.6 − 0.8),
0.4 < ξ < 0.8.
Следовательно, ошибка для погрешности не больше
6 1
0.0004 ≈ 0.0039.
0.44 24
Найдем фактическую абсолютную ошибку:
polyval(p,0.6)-log(0.6)
Получим, что |p(0.6)−ln 0.6| = 0.00085. В некоторых задачах не удается
найти даже границы ошибки интерполяции.
Попробуем экспериментально исследовать, что будет, если для интерполяции использовать все большее и большее число точек. Выражение для погрешности состоит из трех разных частей: факториала
в знаменателе и производной с произведением разностей в числителе.
Существуют примеры, когда производная с ростом степени n интерполирующего полинома растет быстрее n!. В этом случае использовать
интерполянт высокой степени нельзя.
84
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
Пример 11. [Функция Рунге] Рассмотрим функцию
R(x) =
1
1 + 25x2
и попробуем на отрезке [−1, 1] найти интерполянт к ней по n = 1, 2, . . . , 12
равномерно распределенным точкам:
xx=-1:.01:1;
yy=1./(1+25*xx.^2);
plot(xx,yy,’r’,’LineWidth’,3),grid;
for n=1:12,
x=linspace(-1,1,n);
y=1./(1+25*x.^2);
p=polyfit(x,y,n-1);
yp=polyval(p,xx);
hold on;
plot(xx,yp,’k’);
end;
C ростом n удовлетворительные результаты получаются лишь для x ∈
[−0.73, 0.73]. Вне этого отрезка интерполяционный процесс расходится.
Объяснить это можно, например, тем, что производные R(n) (ξ), фигурирующие в оценке погрешности, быстро растут с ростом n:
df=diff(yy)/0.01;
max(df)
df2=diff(yy,2)/0.0001;
max(df2)
df3=diff(yy,3)/0.01^3;
max(df3)
df12=diff(yy,12)/(0.01)^12;
mdf12=max(df12)
Мы получили max R′ (x) ≈ 3, 2, max R′′ (x) ≈ 12, 5, max R′′′ (x) ≈ 580 и
уже max R(12) (x) ≈ 1017 . Формула для оценки погрешности интерполяции функции полиномом 11 степени дает погрешность 8 · 1011 . Это,
конечно, очень завышенная оценка: реальная погрешность составляет
0.55:
mdf12*2^12/factorial(12)
max(abs(yp-yy))
7.1. Интерполяция
85
Попробуем теперь сгустить точки около концов отрезка [−1, 1]. В
качестве узлов интерполяции возьмем корни полиномов Чебышева:
x = cos
(2i − 1)π
2n
(i = 1, 2, . . . , n).
hold off;
xx=-1:.01:1;
yy=1./(1+25*xx.^2);
plot(xx,yy,’r’,’LineWidth’,3),grid;
hold on;
for n=15:20;
i=1:n;
x=cos((2*i-1)*pi/(2*n));
sort(x);
y=1./(1+25*x.^2);
p=polyfit(x,y,n-1);
yp=polyval(p,xx);
plot(xx,yp,’k’);
end;
plot(x,zeros(size(x)),’o’);
hold off;
Затруднение с функцией Рунге исчезло. Абсолютная ошибка интерполяции этой функции полиномом 19 степени составляет 0.038, а относительная — лишь 0.004:
max(abs(yp-yy))
max(yp/yy)
Предыдущий пример показал, что использование равномерных узлов для интерполянтов высокой степени может привести к неудовлетворительному результату. Теорема Фабера говорит, что не существует общего правила для выбора узлов, которое гарантировало бы сходимость
pn (x) → g(x) при n → ∞ для любой непрерывной функции g(x). В то
же время по теореме Марцинкевича для каждой непрерывной функции
можно индивидуально подобрать такие точки.
86
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 7.1. Полиномиальная интерполяция функции Рунге с равномерным распределением узлов
7.2. Кусочно-полиномиальные функции
Функция f (x) называется кусочно-полиномиальной, если на каждом из отрезков [xi , xi+1 ] (i = 1, 2, . . . , n − 1; x1 < x2 < . . . < xn ) она
представляет собой многочлен
fi (x) = ai1 xk + ai1 xk−1 + aik x + ai,k+1 .
Часто удобно иметь дело не с многочленами fi (x), а с многочленами
hi (x) = bi1 xk + bi1 xk−1 + bik x + bi,k+1 ,
полученными из fi (x) сдвигом отрезка [xi , xi+1 ] в новое положение [0, xi+1 −
xi ]. Связь коэффициентов этих двух систем многочленов устанавливается очевидным равенством
hi (x) = fi (x + xi ).
7.2. Кусочно-полиномиальные функции
87
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 7.2. Полиномиальная интерполяция функции Рунге с чебышевским распределением узлов
Для представления кусочно-полиномиальных функций система Matlab
использует структуру специального вида. Эту структуру мы будем называть pp-представлением.
Функция pp=mkpp(x,B) создает pp-представление кусочно-полиномиальной
функции по узлам x и коэффициентам многочленов B. Вектор x должен
иметь длину n и содержать координаты узлов x1 , x2 , . . . , xn . Матрица B
должна иметь размеры n × (k + 1) и содержать коэффициенты многочленов hi (x):
B=
b11
b12
. . . b1,k+1
b21
b22
. . . b2,k+1
............................
bn−1,1 bn−1,2 . . . bn−1,k+1
Функция [x,B]=unmkpp(pp) возвращает вектор узлов x и матрицу
коэффициентов B по представлению pp кусочно-полиномиальной функции.
88
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
Функция yy=ppval(pp,xx) возвращает набор значений yy в точках
xx кусочно-полиномиальной функции, заданной представлением pp.
Пример 12. Рассмотрим кусочно-квадратичную функцию
2
−x + 4x,
если 0 ≤ x ≤ 2,
4,
если 2 ≤ x ≤ 4,
f (x) =
−x2 + 8x − 16, если 4 ≤ x ≤ 6.
После сдвига получаем
h1 (x) = −x2 + 4x,
h2 (x) = 4,
h3 (x) = −(x + 4)2 + 8(x + 4) − 16 = −x2 + 4.
Нарисуем графики функций hi (x) и f (x):
xx=[0:0.05:2];
yy1=polyval([-1 4 0],xx);
yy2=polyval([0 0 4],xx);
yy3=polyval([-1 0 4],xx);
subplot(2,3,2);
plot(xx,yy1,xx,yy2,xx,yy3);
axis([0 2 0 5]);
title(’h_1(x), h_2(x), h_3(x)’);
x=[0 2 4 6];
A=[-1 4 0;
0 0 4;
-1 0 4];
pp=mkpp(x,A);
xx=[0:0.05:6];
yy=ppval(pp,xx);
subplot(2,1,2)
plot(xx,yy);
axis([0 6 0 5]);
title(’f(x)’);
7.3. Кусочно-полиномиальная интерполяция
В этом разделе мы дадим краткий обзор некоторых возможностей
системы Matlab по интерполяции данных с помощью кусочно-полиномиальных
7.3. Кусочно-полиномиальная интерполяция
89
h1(x), h2(x), h3(x)
5
4
3
2
1
0
0
1
2
f(x)
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Рис. 7.3. Кусочно-полиномиальная функция
функций. В последующих разделах мы обсудим эти возможности более
обстоятельно.
Следующие функции по узлам x и значениям в узлах y находят
кусочно-полиномиальный интерполянт и возвращают его значения в
точках xx:
• interp1(x,y,xx,’nearest’) использует ступенчатую интерполяцию,
• interp1(x,y,xx) или interp1(x,y,xx,’linear’) строит кусочнолинейный интерполянт,
• spline(x,y,xx) или interp1(x,y,xx,’spline’) находит кубический сплайн,
• pchip(x,y,xx) или interp1(x,y,xx,’pchip’) или interp1(x,y,xx,’cubic’)
ищет эрмитов кубический интерполянт,
90
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
• interp1(x,y,xx,’v5cubic’) реализует алгоритм построения кубического интерполянта из системы Matlab 5.
При равномерной сетке x можно использовать более быстрые методы ‘со звездочкой’: nearest*, linear*, spline*, pchip* — например:
interp1(x,y,xx,’spline*’)
Кроме этого, функции pp=spline(x,y) pp=pchip(x,y) возвращают
pp-представление для сплайн-интерполянта и эрмитова кубического интерполянта соответственно.
Пример 13. Построим интерполянты функции Рунге по 9 точкам и
вычислим абсолютные ошибки интерполяции:
x=-1:0.25:1;
y=1./(1+25*x.^2);
xx=-1:.01:1;
yy=1./(1+25*xx.^2);
yn=interp1(x,y,xx,’nearest’);
yl=interp1(x,y,xx,’linear’);
yc=interp1(x,y,xx,’cubic’);
ys=interp1(x,y,xx,’spline’);
plot(x,y,’o’,xx,yy,xx,yn,xx,yl,xx,yc,xx,ys)
legend(’data’,...
’function’,...
’nearest’,...
’linear’,...
’cubic’,...
’spline’, 2);
max(abs(yn-yy))
max(abs(yl-yy))
max(abs(yc-yy))
max(abs(ys-yy))
Мы видим, что минимальную ошибку (0.02) дал кубический интерполянт, на втором месте — сплайн (0.06), далее — линейный интерполянт
(0.07) и на последнем месте — ступенчатый интерполянт (0.31).
Пример 14.
1;x=0:10; y=sin(x);
2;xx=0:.25:10;
3;yn=interp1(x,y,xx,’nearest’);
4;yl=interp1(x,y,xx,’linear’);
7.3. Кусочно-полиномиальная интерполяция
91
1
data
function
nearest
linear
cubic
spline
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 7.4. Ступенчатая, линейная, кубическая интерполяция и интерполяция сплайном функции Рунге
5;yc=interp1(x,y,xx,’cubic’);
6;ys=interp1(x,y,xx,’spline’);
7;plot(x,y,’o’,xx,yn,’g’,xx,yl,’k’,xx,yc,’r’,xx,ys,’b’),grid;
8;legend(’data’,...
’staiwice’,...
’linear’,...
’cubic’,...
’spline’, 3);
% При равномерной решетке x можно использовать
% более быстрые методы ‘со звездочкой’:
6;ys=interp1(x,y,xx,’*spline’);
92
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
data
staiwice
linear
cubic
spline
−0.8
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 7.5. Ступенчатая, линейная, кубическая интрполяция и интерполяция сплайном
7.4. Кусочно-линейная интерполяция
Будем считать, что функция g(x) в точках x1 , x2 , . . . , xn (x1 < x2 <
. . . < xn ) принимает значения y1 , y2 , . . . , yn соответственно. Заменяя
функцию g(x) на каждом из отрезков [xi xi+1 ] линейной функцией li (x),
такой, что li (xi ) = yi , li (xi+1 ) = yi+1 мы получим кусочно-линейный
интерполянт
L(x) = li (x), если xi ≤ x ≤ xi+1 .
Нетрудно видеть, что
li (x) = yi
x − xi+1
x − xi
+ yi+1
.
xi − xi+1
xi+1 − xi
Если g(x) имеет непрерывную вторую производную, то погрешность
интерполяции оценивается как
1
|L(x) − g(x)| < h2 max |g ′′ (x)| = O(x2 ),
8
7.5. Эрмитов кубический интерполянт
93
где h — максимальное расстояние между смежными узлами. Таким образом, выбрав достаточно много узлов, ошибку интерполяции можно
сделать сколь угодно малой.
Кусочно-линейный интерполянт в системе Matlab можно найти с
помощью функции interp1. Если x — массив содержащий узлы, y —
массив, содержащий значения фнкции g(x) в узлах, xx — массив точек,
то функция interp1(x,y,xx) возвращает набор значений интерполянта
L(x) в точках xx.
7.5. Эрмитов кубический интерполянт
Предположим, что в точках x1 , x2 , . . . , xn (x1 < x2 < . . . < xn ) известны не только значения функции y1 , y2 , . . . , yn g(x), но и их производные d1 , d2 , . . . , dn . Заменяя функцию g(x) на каждом из отрезков
[xi xi+1 ] кубическим многочленом ci (x), таким, что
ci (xi ) = yi , ci (xi+1 ) = yi+1 ,
c′i (xi ) = di , c′i (xi+1 ) = di+1 ,
мы получим эрмитов кубический интерполянт
C(x) = ci (x), если xi ≤ x ≤ xi+1 .
Очевидно, что эрмитов кубический интерполянт имеет непрерывную
производную. Из дальнейшего будет следовать, что по значениям функции и ее первой производной в узлах, кубический интерполянт определяется единственным образом. Если g(x) имеет непрерывную четвертую
производную, то погрешность интерполяции можно оценить как
|(x) − g(x)| < const · h4 max |g (4) (x)| = O(h4 ),
где h — максимальное расстояние между смежными узлами. Кроме того, можно показать, что
|′ (x) − g ′ (x)| = O(h3 ),
|′′ (x) − g ′′ (x)| = O(h2 ),
|′′′ (x) − g ′′′ (x)| = O(h).
Для вывода расчетных формул рассмотрим отрезок [0, 1] и условия
c(0) = y0 , c(1) = y1 ,
c′ (0) = d0 , c′ (1) = d1 .
Легко проверить, что единственным многочленом c(x) степени не выше
3, удовлетворяющим этим условиям, является многочлен
c(x) = a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 ,
94
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
где
a0
a1
a2
a3
= 2y0 − 2y1 + d0 + d1 ,
= −3y0 + 3y1 − 2d0 − d1 ,
= d0 ,
= y0 .
Чтобы перейти к произвольному отрезку [a, b] достаточно рассмотреть
p(a + (b − a)x).
Функция, которая находит pp-представление для кубического эрмитова интерполянта, может выглядеть следующим образом:
function p=cubic(x,y,d);
n=length(x);
a=zeros(n-1,4);
for i=1:n-1
a(i,1)=2*y(i)-2*y(i+1)+d(i)+d(i+1);
a(i,2)=-3*y(i)+3*y(i+1)-2*d(i)-d(i+1);
a(i,3)=d(i);
a(i,4)=y(i);
a(i,1)=a(i,1)/(x(i+1)-x(i))^3;
a(i,2)=a(i,2)/(x(i+1)-x(i))^2;
a(i,3)=a(i,3)/(x(i+1)-x(i))^1;
a(i,4)=a(i,4);
end;
p=mkpp(x,a);
Приведем пример использования этой функции:
x=[0 1 2 3 4 5];
y=[0 1 1 2 3 3];
d0=[0 0 0 0 0 0];
d1=[1 1 1 1 1 1];
p0=cubic(x,y,d0);
p1=cubic(x,y,d1);
xx=0:.05:5;
yy0=ppval(p0,xx);
yy1=ppval(p1,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy0,xx,yy1);
Если значения производных в узлах не известны, то можно попробовать заменить их приближениями, например:
di =
∆i−1 hi + ∆i hi−1
,
hi−1 + hi
i = 1, . . . , n − 1,
7.5. Эрмитов кубический интерполянт
95
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
data
d =0
i
d =1
i
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Рис. 7.6. Эрмитова кубическая интерполяция с явным заданием производных
d0 =
y1 − y0
,
h0
где ∆i =
dn =
yi+1 − yi
,
hi
yn − yn−1
,
hn−1
hi = xi+1 − xi .
Реализуем предложенную схему приближения производных:
function d=deriv(x,y)
n=length(x);
v=diff(y);
h=diff(x);
d(1)=v(1)/h(1);
d(n)=v(n-1)/h(n-1);
for i=2:n-1
d(i)=(v(i-1)*h(i)+v(i)*h(i-1))/(h(i-1)+h(i));
end;
Для наших данных график интерполянта слегка изменится:
5
96
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
x=[0 1 2 3 4 5];
y=[0 1 1 2 3 3];
d=deriv(x,y);
p=cubic(x,y,d);
xx=0:.05:5;
yy=ppval(p,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy);
Сложный алгоритм выбора di реализован в стандартной функции
pchip. Если x, y — абсциссы и ординаты узлов интерполяции, то команда yyp=pchip(x,y,xx) строит кубический интерполянт и возвращает его значения yyp в точках xx. Построенный интерполянт обладает
следующими особенностями:
• если на некотором отрезке данные монотонны, то монотонным будет сам интерполянт,
• если в некоторой точке данные имеют локальный оптимум, то локальный оптимум в той же точке будет и у интерполянта.
Проверим это
x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];
y=[0 1 1 2 3 4 3 2 1];
xx=0:.05:8;
yyp=pchip(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yyp);
7.6. Сплайны
Не всегда кубический эрмитов интерполянт может нас удовлетворить: в общем случае его вторая производная разрывна и, следовательно, график не достаточно гладок. Пусть, как и раньше, функция
g(x) в точках x1 , x2 , . . . , xn (x1 < x2 < . . . < xn ) принимает значения
y1 , y2 , . . . , yn соответственно. На каждом из отрезков [xi xi+1 ] заменим
g(x) кубической функцией ci (x), такой, что ci (xi ) = yi , ci (xi+1 ) = yi+1 .
Кусочно-кубическая функция
S(x) = ci (x), если xi ≤ x ≤ xi+1 ,
называется кубическим сплайном (или, просто, сплайном), если она везде имеет непрерывную вторую производную. Для того, чтобы сплайн
7.6. Сплайны
97
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
Рис. 7.7. Кубическая интерполяция, реализованная в системе Matlab
определялся единственным образом, зададим также значения первой
производной в концах рассматриваемого интервала. Сплайн, определяемый условиями
S(x0 ) = 0, S(xn ) = 0
называется естественным.
Если g(x) имеет непрерывную четвертую производную, то погрешность интерполяции можно оценить как
|S(x) − g(x)| < const · h4 max |g (4) (x)| = O(h4 ),
где h — максимальное расстояние между смежными узлами. Кроме того, можно показать, что
|S ′ (x)−g ′ (x)| = O(h3 ),
|S ′′ (x)−g ′′ (x)| = O(h2 ),
|S ′′′ (x)−g ′′′ (x)| = O(h).
Функция yyp=spline(x,y,xx) по значениям y в узлах x строит естественный сплайн и возвращает его значения yyp в точках xx. Эта функция выбирает такие значения первой производной в концевых точках,
чтобы третья производная в узлах x1 и xn−1 была непрерывна.
98
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
data
pchip
spline
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Рис. 7.8. Кубическая эрмитова интерполяция и кубический сплайн для монотонных
данных
Несмотря на то, что графики сплайнов более гладкие нежели графики кубических интерполянтов, не всегда использование сплайнов дает
удовлетворительные результаты.
Пример 15. Рассмотрим, например, случай, когда данные описывают
некоторый естественный монотонный процесс:
x=[0 1 2 3 4 5];
y=[0 1 1 2 3 3];
xx=0:.05:5;
yyp=pchip(x,y,xx);
yys=spline(x,y,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yyp,xx,yys);
Сплайн оказался немонотонным, кубический интерполянт, который нашла функция pchip, — монотонным.
Пример 16.
load tolstoi
7.7. Кривые Безье
99
hold on
m=length(Tolstoi1);
t=1:m;
tt=1:0.1:m;
sp=spline(t,Tolstoi1’,tt)’;
plot(sp(:,1),sp(:,2),’LineWidth’,3); axis equal
m=length(Tolstoi2);
t=1:m;
tt=1:0.1:m;
sp=spline(t,Tolstoi2’,tt)’;
plot(sp(:,1),sp(:,2),’LineWidth’,3); axis equal
m=length(Tolstoi3);
t=1:m;
tt=1:0.1:m;
sp=spline(t,Tolstoi3’,tt)’;
plot(sp(:,1),sp(:,2),’LineWidth’,3); axis equal
m=length(Tolstoi4);
t=1:m;
tt=1:0.1:m;
sp=spline(t,Tolstoi4’,tt)’;
plot(sp(:,1),sp(:,2),’LineWidth’,3); axis equal
7.7. Кривые Безье
Многочленами Бернштейна степени n называются многочлены вида
Bin (x)
=
à !
n (x − a)i (b − x)n−i
,
i
(b − a)n
i = 0, . . . , n.
Например, для n = 3 четыре многочлена Бернштейна имеют вид:
B03 =
(b − x)3
,
(b − a)3
B23 =
(a − x)2 (b − x)
,
(b − a)3
B13 =
(a − x)(b − x)2
,
(b − a)3
B33 =
(a − x)3
.
(b − a)3
100
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
Для вычисления многочленов Бернштейна удобно применять рекуррентные формулы:
B00 (x) = 1,
n (x) = 0,
B−1
n−1
(x − a)Bi−1
+ (b − x)Bin−1
Bin (x) =
,
b−a
n
Bn+1 (x) = 0.
0 ≤ i ≤ n,
Далее мы предполагаем, что a = 0, b = 1. Этот случай, как мы увидим, очень важен для приложений. Функция для нахождения значений
многочленов Бернштейна выглядит следующим образом:
function B=brnshtn(n,x)
% Bernshtein’s polinomials [0, 1]
% B=brnshtn(n,x) returns matrix B of size m*(n+1)
% where B(i,j) is the value of the j-th Bernshtein’s polynomial
% of degree n in the point x(i). x should be a vector
% of length m
[m,col]=size(x);
if min(m,col) ~=1
error(’x should be a vector’);
end;
if col~=1
x=x’;
end;
B=zeros(m,n+1);
if n==0
B(:,1)=1;
return;
end;
for c=1:n
if c==1
B(:,c+1)=x;
else
B(:,c+1)=x.*B(:,c);
end;
for r=c:-1:2
7.7. Кривые Безье
101
B(:,r)=x.*B(:,r-1)+(1-x).*B(:,r);
end;
if c==1
B(:,1)=1-x;
else
B(:,1)=(1-x).*B(:,1);
end;
end;
Легко проверить, что многочлены Бернштейна обладают свойством:
n
X
B0n (a) = 1, B0n (b) = 0,
Bnn (a) = 0, Bnn (b) = 1,
(1)
Bin (x) = 1,
(2)
i = 0, 1, . . . , 1.
i=0
Проверим это:
x=[0:.02:1];
b=brnshtn(4,x);
sum(b’)
plot(x,b)
b=brnshtn(15,x);
sum(b’)
plot(x,b)
Обратим внимание на максимумы функций. Из графиков видно, что
абсцисса максимума растет с ростом номера многочлена. Для первой
и последней функции максимум равен 1, тогда как для остальных он
меньше.
Покажем теперь, как многочлены Берштейна можно применять для
построения гладких плоских и пространственных кривых. Пусть про
некоторую кривую известно, что она должна проходить вблизи точек
pi (i = 0, . . . , n). Рассмотрим тогда векторную функцию
B(x) =
n
X
i=0
pi Bin (x),
x ∈ [0, 1].
Эта функция является параметрическим уравнением кривой Безье, очень
удачно “огибающей” заданные точки pi : из условий (1) следует, что кривая проходит через точки первую и последнюю точки, а из условия (2)
102
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
1
0.9
0.8
0.7
B44
B40
0.6
0.5
B43
B41
B42
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Рис. 7.9. Многочлены Бернштейна 4-ой и 15-oй степени
7.8. B-сплайны
103
следует, что кривая полностью лежит внутри выпуклой оболочки всех
заданных точек. Кроме того, графики многочленов Бернштейна подсказывают нам, что когда x близко к точке максимума i-го полинома
Бернштейна, основную роль в правой части равенства (3) играет точка
pi , т.е. кривая проходит около этой точки pi .
Пример 17. Построим кривую Безье для четырех наборов точек:
b=brnshtn(3,[0:0.01:1]);
x=[0 0; 1 -1; 2 1; 3 0];
p=b*x;
subplot(2,2,1);
plot(x(:,1),x(:,2),’o’,p(:,1),p(:,2),’-’)
text(x(:,1),x(:,2),[’ 1’;’ 2’;’ 3’;’ 4’])
set(gca,’XTick’,[],’YTick’,[]);
x=[0 0; 2 1; 1 -1; 3 0];
p=b*x;
subplot(2,2,2);
plot(x(:,1),x(:,2),’o’,p(:,1),p(:,2),’-’)
text(x(:,1),x(:,2),[’ 1’;’ 2’;’ 3’;’ 4’])
set(gca,’XTick’,[],’YTick’,[]);
x=[0 0; 3 3; 0 3; 3 0];
p=b*x;
subplot(2,2,4);
plot(x(:,1),x(:,2),’o’,p(:,1),p(:,2),’-’)
text(x(:,1),x(:,2),[’ 1’;’ 2’;’ 3’;’ 4’])
set(gca,’XTick’,[],’YTick’,[]);
x=[1 0; 3 1; 0 1; 2 0];
p=b*x;
subplot(2,2,3);
plot(x(:,1),x(:,2),’o’,p(:,1),p(:,2),’-’)
text(x(:,1),x(:,2),[’ 1’;’ 2’;’ 3’;’ 4’])
set(gca,’XTick’,[],’YTick’,[]);
7.8. B-сплайны
x(t) = a3 t3 + a2 t2 + a1 t + a0 ,
t ∈ [0, 1]
104
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
2
3
1
4
4
1
3
2
3
2
1
4
3
2
1
4
Рис. 7.10. Кривые Безье для заданного набора точек
a3
a2
a1
a0
= (−xi−1 + 3xi − 3xi+1 + xi+2 )/6
= (xi−1 − 2xi + xi+1 )/2
= (−xi−1 + xi+1 )/2
= (xi−1 + 4xi + xi+1 )/6
function B = b_spline(A,mm)
%function B = b_spline(A,mm)
%B-spline for curves
[m,n]=size(A);
p=zeros(4,n); %polynomials coefficients
B = [];
for i=2:m-2
p(1,:) = (A(i-1,:)+4*A(i,:)+A(i+1,:))/6;
7.8. B-сплайны
105
p(2,:) = (-A(i-1,:)+A(i+1,:))/2;
p(3,:) = (A(i-1,:)-2*A(i,:)+A(i+1,:))/2;
p(4,:) = (-A(i-1,:)+3*A(i,:)-3*A(i+1,:)+A(i+2,:))/6;
for tt = [0:1/mm:1-1/mm]
B = [B; ((p(4,:)*tt+p(3,:))*tt+p(2,:))*tt+p(1,:)];
end;
end;
Пример 18.
spoon=[
%see also spoon.dat
.75 1.4
.5
1
.75
.6
1.5
.4
2.25
.7
2.5
.9
3
.85
5
.75
6.25
.8
6.5
.85
6.5
1
6.5
1.15
6.25 1.2
5
1.25
3
1.15
2.5
1.1
2.25 1.3
1.5
1.6
.75 1.4
.5
1
.75
.6];
bsp=b_spline(spoon,10);
[m,n]=size(spoon);
t=1:m; tt=1:0.1:m;
sp=spline(t, spoon’,tt)’;
plot(spoon(:,1), spoon(:,2), ’or’, bsp(:,1), bsp(:,2), ...
sp(:,1), sp(:,2)); axis equal
legend(’points’,’b-spline’,’spline’)
Другой вариант:
function p = b_spline(y)
106
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
n=length(y);
for i=2:n-2
a(i-1,1)=(-y(i-1)+3*y(i)-3*y(i+1)+y(i+2))/6;
a(i-1,2)=(y(i-1)-2*y(i)+y(i+1))/2;
a(i-1,3)=(-y(i-1)+y(i+1))/2;
a(i-1,4)=(y(i-1)+4*y(i)+y(i+1))/6;
end;
p=mkpp(1:n-2,a);
load spoon.dat
p1=b_spline(spoon(:,1));
p2=b_spline(spoon(:,2));
xx=1:0.1:19;
xx=1:0.1:19;
yy1=ppval(p1,xx);
yy2=ppval(p2,xx);
plot(yy1,yy2)
Пример 19.
A=[
0.36 0.91
0.36 0.91
0.36 0.91
0.30 0.93
0.22 0.87
0.22 0.78
0.31 0.60
0.29 0.51
0.23 0.46
0.14 0.45
0.10 0.51
0.10 0.51
0.10 0.51
];
m=length(A);
bsp=b_spline(A,10);
t=1:m;
tt=1:0.1:m;
sp=spline(t,A’,tt)’;
plot(A(:,1),A(:,2),’o’,sp(:,1), sp(:,2),bsp(:,1), bsp(:,2),’LineWidth’,2); axis equ
7.9. Метод наименьших квадратов
107
points
b−spline
spline
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
1
2
3
4
5
Рис. 7.11. Сплайн и B-сплайн для набора точек
7.9. Метод наименьших квадратов
Пример 20.
time = zeros(0,2);
n = 100000;
h = 5000;
N = 2000000;
for m = n:h:N,
m,
a = rand(1,m);
tic;
sort(a);
time = [time; m, toc];
end;
save -ascii time.dat time
6
108
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
load sorttime.dat
time = sorttime;
x = time(:,1);
y = time(:,2);
% x * log x
p = polyfit(x .* log(x), y, 1);
yy = polyval(p, x .* log(x));
err = sqrt(sum((yy - time(:, 2)) .^ 2))
% This is the same as F.normr where F is such that
% [p, F] = polyfit(x .* log(x), y, 1);
plot(x, y, ’.’, x, yy, ’r’, ’LineWidth’, 2)
title(’x log x’);
pause
% Further...
% linear function
[p, F] = polyfit(x, y, 1)
yy = polyval(p, x);
plot(x, y, ’.’, x, yy, ’m’, ’LineWidth’, 2)
title(’ax+b’)
pause
% quadratic function
[p, F] = polyfit(x, y, 2)
yy = polyval(p, x);
plot(x, y, ’.’, x, yy, ’b’, ’LineWidth’, 2)
title(’ax^2+bx+c’)
pause
% a x^b
[p, F] = polyfit(log(x), log(y), 1)
yy = exp(polyval(p, log(x)));
plot(x, y, ’.’, x, yy, ’k’, ’LineWidth’, 2)
title(’ax^b’)
pause
7.9. Метод наименьших квадратов
109
x log x
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
6
x 10
Рис. 7.12. Аппроксимация методом наименьших квадратов: подбор функции
ax log x + b
% Pay attention to calculated values of p(0)
% --- They are the highest members of appr. polinomials
% and they are very small
110
Глава 7. Интерполяция и аппроксимация данных
ax+b
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
6
x 10
Рис. 7.13. Аппроксимация методом наименьших квадратов: подбор функции ax + b
Глава 8
Анализ данных ?
8.1. Преобразование Фурье
X(ω) =
Z +∞
x(t)e−2πitω dt,
x(t) =
Z +∞
X(ω)e2πitω dt
−∞
−∞
n−1
X
xk e−2πikp/n ,
(p = 0, . . . , n − 1).
X
1 n−1
Xp e2πikp/n ,
n p=0
(k = 0, . . . , n − 1).
Xp =
k=0
xk =
x=1:.02:2;
function X = ft(x)
% FT (Slow) discrete Fourie transformation
% previous version
%
%
X=ft(x) calculates Fourie transformation for row x
n=length(x);
w=exp(2*pi*i/n);
k=0:n-1;
for p=0:n-1,
X(p+1)=x*(w.^(-p*k’));
end
111
112
Глава 8. Анализ данных ?
function x = ift(X)
% IFT (Slow) inverse discrete Fourie transformation
% previous version
%
%
x=ift(X) calculates inverse Fourie transformation for row X
n=length(X);
w=exp(2*pi*i/n);
p=0:n-1;
for k=0:n-1,
x(k+1)=X*(w.^(k*p’))/n;
end;
x=sin(1:100)+rand(1,100);
subplot(1,3,1);
plot(x);
X=ft(x);
subplot(1,3,2);
plot(abs(X));
xnew=ift(X);
subplot(1,3,3);
plot(real(xnew));
max(abs(imag(xnew)))
norm(x-xnew)
n=length(x);
w=exp(2*pi*i/n);
k=0:n-1;
F=w.^(k’*k);
X=x*F;
1;ht=.001;t=0:ht:6;k1=50;k2=150;x=sin(2*pi*k1*t)+sin(2*pi*k2*t);
2;plot(x)
3;v=1:200;plot(x(v))
4;n=512;tic,X=fft(x,n);toc
6;n=4096;X=fft(x,n);Pxx=X.*conj(X)/n;f=(0:n/2-1)/(ht*n);plot(f,Pxx(1:n/2))
1;ht=.001;t=0:ht:6;k1=50;k2=150;A=0;x=sin(2*pi*k1*t)+sin(2*pi*k2*t)+2*A*(rand(1,len
2;v=1:200;plot(x(v))
8.1. Преобразование Фурье
113
3;n=4096;X=fft(x,n);Pxx=X.*conj(X)/n;f=(0:n/2-1)/(ht*n);plot(f,Pxx(1:n/2))
load gong;
Hz=11025;
plot(y);
pause;
plot(y(1:200));
pause;
n=pow2(nextpow2(length(y))-1)
tic;Y=fft(y,n);toc
PY=Y.*conj(Y)/n;
f=(0:n/2-1)*Hz/(n);
plot(f,PY(1:n/2));
Глава 9
Программирование
9.1. M-файлы
Программой на языке Matlab мы будем называть последовательность команд, записанную в файле. Чтобы система принимала программу, у файла должно быть расширение .m, поэтому программы часто
называют m-файлами. Программы вызываются по имени файла (без
расширения). При первом обращении к программе она ищется на диске. В первую очередь поиск производится в текущем каталоге. Сменить
текущий каталог можно командой
cd имя_каталога
или с помощью меню. Программу можно подготовить во внешнем редакторе (например, блокноте Windows), а можно воспользоваться встроенным редактором-отладчиком (Editor-Debugger). Для его вызова воспользуйтесь пунктом меню File|New|M-file или командой edit}.
После того, как программа найдена на диске, производится ее синтаксический анализ. Если в результате этого анализа обнаружены ошибки, информация о них выдается в рабочем окне. В случае успешного
выполнения синтаксического анализа программы создается ее псевдокод (p-код), который загружается в рабочее пространство и исполняется. Если во время исполнения происходят ошибки, то сообщения о них
также отражаются в командном окне.
При повторном обращении к программе, она будет найдена уже в
рабочем пространстве и поэтому не потребуется времени на ее синтаксический анализ. Удалить псевдокод из рабочего пространства можно
командой
clear имя_функции
114
9.2. Программы-сценарии
115
В общем случае поиск очередного встретившегося в командах имени
(это может быть имя переменной или программы) начинается с рабочего пространства. Если имя не найдено, то оно ищется среди встроенных
(built-in) функций. Исходный код этих функций не доступен пользователю. Далее поиск продолжается в каталогах, записанных в списке
доступа. Изменить эти пути можно либо через меню, либо с помощью
команды addpath. Команда
addpath дир1 дир2 ... -begin
добавлет указанные директории в начало списка, а команда
addpath дир1 дир2 ... -end
добавляет директории в конец.
Команды в программе отделяются друг от друга так же, как и в командном окне: либо символом перехода на новую строку, либо знаками
; , — отличие двух последних такое же, как и в командном окне. Cпециальным образом обозначать конец программы никак не требуется.
Внеочередное прекращение работы программы выполняется командой
return. Символ % означает начало коментариев: все, что записано после
него и до конца строки при синтаксическом анализе игнорируется. Все,
что записано в первых строках-комментариях, автоматически подключается в систему справки и может быть вызвано с помощью команды
help имя_файла
По использованию переменных и оперативной памяти программы
делятся на программы-сценарии и программы-функции.
9.2. Программы-сценарии
Программа-сценарий (script) — простейший тип программы. Программасценарий может использовать не только создаваемые ей самой переменные, но и использовать все переменные в рабочем пространстве.
Созданные переменные так же располагаются в рабочем пространстве.
Получить к ним доступ можно с помощью команды keyboard, которую нужно записать в программу. Эта команда передает управление в
командное окно, в котором меняется вид приглашения:
K>>
Теперь в окне можно выполнять любые действия, в том числе просматривать значения переменных и изменять их. Чтобы продолжить выполнение программы необходимо выполнить команду return.
116
Глава 9. Программирование
9.3. Программы-функции
После возможных пустых строк и строк, содержащих только комментарии, первая строка программы-функции должна иметь вид
function [y1,y2,...,ym]=ff(x1,x2,...,xn)
где ff — имя программы-функции (оно должно совпадать с именем
файла), x1, x2, . . . , xn — входные формальные параметры, y1, y2, . . . ,
yn — выходные формальные параметры. Эту строку мы будем называть
заголовком функции. У функции может быть только один выходной
формальный парамет. В этом случае квадратные скобки в заголовке
функции можно не писать. Формальные параметры (входные и выходные) используются в функции как локальные переменные. Конечно же,
функция может создавать и использовать другие локальные переменные, которые, как и обычно, объявлять специальным образом не нужно.
Вызов программы осуществляется командами
[u1,y2,...,ul]=ff(v1,v2,...,vk)
где v1, v2, . . . , vk и u1, u2, . . . , ul — фактические входные и выходные параметры функции. При вызове функции фактические входные
параметры засылаются по порядку в соответствующие выходные формальные параметры. После того, как функция завершила свою работу,
формальные выходные параметры засылаются в фактические выходнве параметры. Количество фактических параметров должно быть не
больше количества формальных параметров, но может с ним и не совпадать. Это удобно, если используются значения аргументов по умолчанию. Количество фактических входных параметров и фактических
выходных параметров, с которыми была вызвана функция всегда доступно в функции с помощью перемнных nargin (количество входных
параметров), nargout (количество выходных параметров).
Еще один способ вызова функции — это использование ее имени
внутри выражения, например: a=ff(k,2).^2. Здесь первый выходной
параметр функции возводится в квадрат и результат присваивается переменной a. Заметим, что количество выходных параметров функции
может быть больше, но остальные аргументы при таком обращении к
функции теряются. Если выражение состоит только из одного имени
функции:
ff(v1,v2,...,vk)
то первый выходной параметр присваивается перменной ans.
9.3. Программы-функции
117
function r = rank(A,tol)
%RANK
Matrix rank.
%
RANK(A) provides an estimate of the number of linearly
%
independent rows or columns of a matrix A.
%
RANK(A,tol) is the number of singular values of A
%
that are larger than tol.
%
RANK(A) uses the default tol = max(size(A)) * norm(A) * eps.
%
%
Copyright 1984-2000 The MathWorks, Inc.
$Revision: 5.9 $ $Date: 2000/06/01 02:04:15 $
s = svd(A);
if nargin==1
tol = max(size(A)’) * max(s) * eps;
end
r = sum(s > tol);
После того, как функция выполнила свою работу и произошло присваивание формальных выходных параметров фактическим, все локальные переменные функции удаляются. Переменные можно открыть
для использования в командном окне, скриптах и других функциях с
помощью команды
global v1,v2,...,vk
Это команда должна появиться во всех функциях, которые хотят использовать одни и те же переменные, упомянутые в списке. Для получения доступа к переменным функции из командного окна (или программысценария) необходимо выполнить эту команду в программе-сценарии
или в командной строке.
9.3.1. Подфункции
M-файл с программой-функцией может содержать описание нескольких функций. Имя первой функции должно совпадать с именем файла.
Только эта функция (основная) доступна извне. Остальные функции
будем называть подфункциями. Каждая из них может быть вызвана
либо из основной функции, либо из другой подфункции того же самого
m-файла.
function [avg,med] = newstats(u) % Primary function
% NEWSTATS Find mean and median with internal functions.
n = length(u);
118
Глава 9. Программирование
avg = mean(u,n);
med = median(u,n);
function a = mean(v,n)
% Calculate average.
a = sum(v)/n;
function m = median(v,n)
% Calculate median.
w = sort(v);
if rem(n,2) == 1
m = w((n+1)/2);
else
m = (w(n/2)+w(n/2+1))/2;
end
% Subfunction
% Subfunction
9.4. Частные функции
Частные функции — это функции, размещенные в каталоге с именем private. Частные функции доступны из функций, расположенных
в родительском каталоге. Этот каталог не следует указывать в путях
доступа.
Глава 10
Библиотека символьной
математики
В данном разделе мы познакомимся с возможностями пакета символьных вычислений — Symbolic Math Toolbox. Данный пакет использует ядро системы Maple. Поддерживаются символьные вычисления в
следующих областях математики:
1) математический анализ (производные, интегралы, пределы, суммы, ряды Тейлора)
2) линейная алгебра (системы линейных уравнений, обращение матриц, определитель, сингулярное разложение)
3) решение алгебраических уравнений
4) решение дифференциальных уравнений
5) специальные функции
6) вычисления с произвольной точностью
10.1. Создание символьных переменных
x = sym(’x’)
a = sym(’alpha’)
a
b
c
x
=
=
=
=
sym(’a’)
sym(’b’)
sym(’c’)
sym(’x’)
119
120
Глава 10. Библиотека символьной математики
syms a b c x
rho = sym(’(1 + sqrt(5))/2’)
f = rho^2 - rho - 1
simplify(f)
f = sym(’a*x^2 + b*x + c’)
solve(f)
10.2. Символьно-числовые преобразования
Для перевода обычного числового значения (double) в символьную
константу используют команду sym:
S = sym(A,flag)
где аргумент flag может принимать одно из следующих значений: f, r,
e or d. Значение по умолчанию: ’r’.
t = 0.1
sym(t,’f’)
sym(t,’r’)
sym(t,’e’)
A = hilb(3)
A = sym(A)
10.2.1. Создание абстрактных функций
f = sym(’f(x)’)
df = (subs(f,’x’,’x+h’) - f)/’h’
10.2.2. Вызов функций Maple
kfac = sym(’k!’)
syms k n
subs(kfac,k,6), subs(kfac,k,n)
10.2.3. Создание символьных матриц
syms a b c
A = [a b c; b c a; c a b]
syms alpha beta;
A(2,3) = beta;
A = subs(A,b,alpha)
10.3. Создание символьных математических функций
121
10.3. Создание символьных математических функций
Существует два способа создания символьных математических функций:
• Использование символьного выражения
• Создание m-файла
Примеры
syms x y z
r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
t = atan(y/x)
f = sin(x*y)/(x*y)
function z = sinc(x)
%SINC The symbolic sinc function
%
sin(x)/x. This function
%
accepts a sym as the input argument.
if isequal(x,sym(0))
z = 1;
else
z = sin(x)/x;
end
Для работы с этими выражениями вы можете использовать diff,
int, subs и другие функции из пакета символьной математики
10.4. Математический анализ
10.4.1. Производные
syms a x
f = sin(a*x)
diff(f)
diff(f,a)
syms a x
A = [cos(a*x),sin(a*x);-sin(a*x),cos(a*x)]
diff(A)
122
Глава 10. Библиотека символьной математики
x = r cos λ cos φ,
y = r cos λ sin φ,
z = r sin λ
Вычислим Якобиан
J=
∂(x, y, z)
∂(r, λ, φ)
syms r l f
x = r*cos(l)*cos(f); y = r*cos(l)*sin(f); z = r*sin(l);
J = jacobian([x; y; z], [r l f])
detJ = simple(det(J))
Производная
df
dx
df
dx
d2 f
dx2
∂(r,t)
∂(u,v)
Команда
diff(f) или diff(f,x)
diff(f,a)
diff(f,b,2)
jacobian([r;t],[u,v])
10.4.2. Пределы
syms h n x
limit((cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 )
limit( (1 + x/n)^n,n,inf )
lim
x→0
1
= ∞,
x
lim
x→0+
1
= +∞,
x
limit(1/x,x,0)
limit(1/x)
limit(1/x,x,0,’left’)
limit(1/x,x,0,’right’)
Предел
limx→0 f (x)
limx→a f (x)
limx→a f (x)
limx→a−0 f (x)
limx→a+0 f (x)
Команда
limit(f)
limit(f,x,a)
limit(f,a)
limit(f,x,a,’left’)
limit(f,x,a,’right’)
lim
x→0−
1
= −∞
x
10.5. Упрощения и подстановки
10.4.3. Интегрирование
int(f)
int(f,v)
int(f,a,b)
int(f,v,a,b)
syms x
f=log(x)
int(f)
syms x
k = sym(’1/sqrt(2)’);
f = exp(-(k*x)^2);
ezplot(f)
int(f,x,-inf,inf)
10.5. Упрощения и подстановки
10.5.1. Упрощения
syms x
f = x^3-6*x^2+11*x-6
g = (x-1)*(x-2)*(x-3)
h = x*(x*(x-6)+11)-6
pretty(f), pretty(g), pretty(h)
collect(f)
expand(f)
horner(f)
factor(f)
syms x;
n = (1:9)’;
p = x.^n + 1;
f = factor(p);
[p, f]
N = sym(1);
for k = 2:11
N(k) = 10*N(k-1)+1;
end
123
124
Глава 10. Библиотека символьной математики
[N’ factor(N’)]
simplify
simple
10.5.2. Подстановки
subexpr
syms a x
s = solve(x^3+a*x+1)
pretty(s)
r = subexpr(s)
sigma
subs
syms a b c
A = [a b c; b c a; c a b];
[v,E] = eig(A)
v = subexpr(v,’S’)
E = subs(E,S,’S’)
subs(v,a,10)
a = 10; b = 2; c = 10;
subs(S)
syms a b c
subs(S,{a,b,c},{10,2,10})
syms t
M = (1-t^2)*exp(-1/2*t^2);
P = (1-t^2)*sech(t);
ezplot(M); hold on; ezplot(P)
T = -6:0.05:6;
MT = double(subs(M,t,T));
PT = double(subs(P,t,T));
10.6. Ортогональные многочлены
125
plot(T,MT,’b’,T,PT,’r-.’)
title(’ ’)
legend(’M’,’P’)
xlabel(’t’); grid
10.6. Ортогональные многочлены
Следующие функции реализуют распространенные скалярные произведения в пространстве функций:
(f, g) =
Z 1
−1
f (x) · g(x)dx,
(f, g) =
Z 1
f (x) · g(x)
−1
√
1 − x2
dx,
function p=sprod(f,g)
p=int(a*b,-1,1);
function p=chebprod(f,g)
syms x;
p=int(a*b/(1-x^2)^(1/2),-1,1);
Символьная переменная t почему-то в системе Matlab ведет себя
не совсем хорошо. Например, команды
syms t;
t+0
t-0
t*1
t/1
приводят к сообщению об ошибке. За другими символьными переменными автор такого странного поведения не замечал. Это bug.
Напишем функцию построения ортогональной системы функций по
заданной системе (процесс ортогонализации Грама-Шмидта):
function B=grmshm(A,prod)
if nargin<2
prod=@sprod;
end
n=length(A);
126
Глава 10. Библиотека символьной математики
B=A;
for i=1:n
S=0;
for j=1:i-1
if S==0
S=feval(prod,B(i),B(j))/feval(prod,B(j),B(j))*B(j);
else
S=S+feval(prod,B(i),B(j))/feval(prod,B(j),B(j))*B(j);
end;
end
if S~=0
B(i)=B(i)-S;
end;
end;
Применим процесс ортогонализации к системе 1, x, . . . x6 :
syms x;
A=[1 x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6];
L=grmshm(A);
for k=1:7
ezplot(L(k),[-1 1]);
pause;
end;
C=grmshm(A,@chebprod);
for k=1:7
ezplot(C(k),[-1 1]);
pause;
end;
Глава 11
Графические команды и функции
Два уровня работы с графическими объектами:
• высокоуровневый интерфейс,
• дескрипторная графика.
11.1. Дескрипторная графика
Свойства, общие для всех объектов:
127
128
Глава 11. Графические команды и функции
Root
Figure
Axes
Uicontrol
Uimenu
Image
Line
Light
Uicontextmenu
Patch
Rectangle
Surface
Text
Рис. 11.1. Иерархия графических объектов
Property
BusyAction
ButtonDownFcn
Children
Clipping
CreateFcn
DeleteFcn
HandleVisibility
Interruptible
Parent
Selected
SelectionHighlight
Tag
Type
UserData
Visible
Information Contained
Controls the way Matlab handles callback
routine interruption defined for the particular
object
Callback routine that executes when button
press occurs
Handles of all this object’s children objects
Mode that enables or disables clipping
(meaningful only for axes children)
Callback routine that executes when this type
of object is created
Callback routine that executes when you
issue a command that destroys the object
Allows you to control the availability of the
object’s handle from the command line and
from within callback routines
Determines whether a callback routine can
be interrupted by a subsequently invoked
callback routine
The object’s parent
Indicates whether object is selected
Specifies whether object visually indicates the
selection state
User-specified object label
The type of object (figure, line, text, etc.)
Any data you want to associate with the
object
Determines whether or not the object is
visible
11.2. Пример: создание графического объекта
129
11.2. Пример: создание графического объекта
x=randn(200,1)-0.5;
y=randn(200,1)-0.5;
k = convhull(x,y);
fh = figure(’Position’,[350 275 400 300],’Color’,[0.95 0.95 0.95]);
ah = axes(’Color’,[1 1 1],’XTick’,[-3 -2 -1 0 1 2 3],...
’YTick’,[-3 -2 -1 0 1 2 3],...
’DataAspectRatio’,[1 1 1]);
ph = line(’XData’,x,’YData’,y,...
’LineStyle’,’none’,...
’Marker’,’.’,...
’MarkerSize’,10,...
’MarkerEdgeColor’,’b’);
lh = line(’XData’,x(k),’YData’,y(k),...
’LineStyle’,’-’,...
’LineWidth’,2,...
’Color’,’r’,...
’Marker’,’.’,...
’MarkerSize’,20,...
’MarkerEdgeColor’,’r’);
11.3. Текущие графические объекты
Root
CurrentFigure
CurrentFigure
CurrentAxes
CurrentAxes
CurrentObject
CurrentObject
• gcf возвращает дескриптор CurrentFigure,
• gca возвращает дескриптор CurrentAxes,
• gco возвращает дескриптор CurrentObject.
11.4. Определение граней объекта Patch
Объект Patch предназначен для изображения многогранных или
гладких поверхностей. В обеих случаях поверхность задается как на-
130
Глава 11. Графические команды и функции
бор полигональных граней. В случае гладкой поверхности эти грани
лишь аппроксимируют поверхность. Определить эти грани можно двумя способами:
• задать массивы XData, YData, ZData, определяющие координаты
вершин каждой грани;
• задать массив Vertices с координатами вершин и массив Faces с
информацией о том, как эти вершины соединяются в грани.
Для поверхностей с большим числом граней предпочтителен второй
способ, так как он обычно требует меньшего объема памяти: одна и та
же вершина, как правило, повторяется в нескольких гранях.
11.4.1. Определение граней объекта Patch с помощью задания кординат
XData, YData, ZData
В первом способе нужно определить поля XData, YData, ZData объекта Patch. Эти поля должны представлять собой матрицы, в каждом
столбце которых записаны координаты x, y, z соответственно вершин
одной грани поверхности. Вершины должны появляться в направлении обхода грани (по или против часовой стрелке). Необходимо избегать граней с самопересекающейся границей. Такие грани следует разбивать на несколько частей. Чтобы представлять объекты, состоящие
из граней с разным числом вершин, используйте NaN для обозначения
фиктивной координаты.
Функция patch(X,Y,Z,c) изображает поверхность и возвращает ее
дескриптор. Полям XData, YData, ZData присваиваются значения X, Y,
Z соответственно. Полю CData, отвечающему за цвет поверхности, присваивается значение c. Подробнее о цвете мы поговорим ниже.
С помощью функции patch(X,Y,Z,c,’Property’,Value,...,’Property’,Value)
можно задать дополнительные параметры объекта Patch.
Задать свойства XData, YData, ZData можно напрямую командой
patch(’XData’,X,’YData’,Y,’ZData’,Z,’FaceVertexCData’,c).
Пример 21. Нарисуем единичный куб желтого (’y’) цвета.
X=[0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1];
Y=[0 0 0 0 1 0
11.4. Определение граней объекта PATCH
131
0 0 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0];
Z=[0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1];
patch(X,Y,Z,’y’)
axis equal
axis([-.2 1.2 -.2 1.2 -.2 1.2])
11.4.2. Определение граней объекта Patch с помощью задания массивов
Vertices и Faces
Другой способ задания граней поверхности — определить поля Vertices
и Faces. В матрице Vertices построчно записываются координаты каждой вершины поверхности, в матрице Faces построчно записываются
индексы вершин, составляющих каждую грань поверхности. Вершины
должны появляться в направлении обхода грани (по или против часовой стрелке).
Пример 22. Нарисуем куб бирюзового (’c’) цвета.
V = [0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1];
F = [1
1
1
5
3
2
2
2
3
7
4
4
4
6
7
8
8
8
3
5
5
6
7
6];
axis equal;
132
Глава 11. Графические команды и функции
axis off;
view(3)
patch(’Vertices’,V,’Faces’,F,’FaceColor’,’c’)
11.5. Стиль ребер и вершин
Управляя следующими свойствами объекта Patch вы можете задавать стиль и толщину ребер, тип и размер маркеров вершин.
Поле LineStyle позволяет задать один из следующих 5 стилей ребер:
Символ
’-’
’–’
’:’
’-.’
’none’
Стиль линии
сплошная линия (по умолчанию)
штрих-линия
пунктирная линия
штрих-пунктирная линия
нет линии
Поле LineWidth позволяет задать толщину линий в пунктах (points):
Пункт = 1/72дюйма ≈ 0.35мм. По умолчанию, LineWidth равно 0.5
пункта.
Поле Marker позволяет задать тип маркеров: ’.’, ’+’, ’x’, ’*’, ’o’,
’^’, ’v’, ’<’, ’>’, ’s’, ’d’, ’p’, ’h’, ’none’.
Поле MarkerSize позволяет задать размер маркера в пунктах. По
умолчанию, MarkerSize равно 6 пунктам. Заметим, что система Matlab
отображает маркер ’.’ размером в 1/3 от заданного.
11.6. Цветовые характеристики объекта Patch
11.6.1. Свойство FaceColor
Свойство FaceColor определяет видимость, цвет и способ заливки
граней. Рассмотрим возможные значения этого поля:
RGB-вектор или одно из имен для обозначения цвета (по умолчанию, ’k’) — все грани окрашиваются в один цвет,
’none’ — грани не отображаются,
’flat’ — каждая грань окрашивается в свой цвет, определяемый
свойством CData или FaceVertexCData (см. ниже),
’interp’ — заливка грани формируется линейной интерполяцией
значений цвета в вершинах грани; цвет в вершинах определяется свойством CData или FaceVertexCData (см. ниже).
11.6. Цветовые характеристики объекта PATCH
133
11.6.2. Свойство EdgeColor
Свойство Edge определяет видимость, цвет и способ заливки граней.
Рассмотрим возможные значения этого поля:
RGB-вектор или одно из имен для обозначения цвета (по умолчанию, ’k’) — все ребра окрашиваются в один цвет,
’none’ — ребра не отображаются,
’flat’ — каждое ребро окрашивается в свой цвет, определяемый
свойством CData или FaceVertexCData (см. ниже),
’interp’ — заливка ребра формируется интерполяцией значений
цвета в вершинах ребра; цвет в вершинах определяется свойством CData
или FaceVertexCData (см. ниже).
11.6.3. Свойство MarkerEdgeColor
Свойство MarkerEdgeColor определяет видимость и цвет границы
маркеров, которые могут отображаться в вершинах объекта Patch. Рассмотрим возможные значения этого поля:
RGB-вектор или одно из имен для обозначения цвета границы маркера или всего маркера целиком (для незаполненных маркеров),
’none’ — граница маркера или весь маркер (для незаполненных
маркеров) не отображается,
’auto’ (по умолчанию) — полю MarkerEdgeColor присваивается значение поля EdgeColor,
’flat’ — граница маркера или весь маркер (для незаполненных
маркеров) окрашивается в свой цвет, определяемый свойством CData
или FaceVertexCData (см. ниже).
11.6.4. Свойство MarkerFaceColor
Свойство MarkerEdgeColor определяет видимость и цвет тела маркеров, которые могут отображаться в вершинах объекта Patch. Данное
поле используется только для заполненных типов маркеров, так как
для незаполненных маркеров все цветовые характеристики определяются значением поля MarkerFaceColor. Рассмотрим возможные значения поля MarkerEdgeColor:
RGB-вектор или одно из имен для обозначения цвета тела маркера,
’none’ — внутренность маркера прозрачна,
’auto’ (по умолчанию) — полю MarkerEdgeColor присваивается значение поля Color объекта Axes или объекта Figure, если значение Color
объекта Axes равно none,
134
Глава 11. Графические команды и функции
’flat’ — тело каждого маркера окрашивается в свой цвет, определяемый свойством CData или FaceVertexCData (см. ниже).
11.6.5. Высококачественные реалистичные изображения
Для получения высококачественных реалистичных изображений при
задании цвета объекта Patch необходимо пользоваться свойствами CData
или FaceVertexCData. Способ задания цветовых характеристик зависит от того, как были заданы грани объекта. Если при задании граней использовались свойства XData, YData, ZData, то основным свойством, которое управляет цветом, является свойство CData. Если при
определении объекта использовались свойства Faces, Vertices, то для
определения цветовых характеристик необходимо использовать свойство FaceVertexCData:
Вершины и грани
Faces
Vertices
XData
YData
ZData
Цвет
FaceVertexCData
CData
В обоих случаях вы можете выбирать произвольные способы расцветки граней, ребер и вершин поверхности. В следующих разделах мы
остановимся на этом подробнее.
Каждая грань окрашивается либо в один цвет (flat), либо заливка грани формируется интерполяцией значений цвета в вершинах этой
грани (interpolated).
Каждое ребро окрашивается либо в один цвет (flat), либо заливка
ребра формируется интерполяцией значений цвета в вершинах ребра
(interpolated).
11.6.6. Свойство CData
Свойство CData объекта Patch определяет цвет поверхности. Это
свойство используется только тогда, когда для задания граней поверхности использовались поля XData, YData, ZData. С помощью этого свойства можно задать один цвет для всех граней и ребер, задать свой цвет
для каждой грани и каждого ребра или определить способ заливки
граней и ребер поверхности. Способ, согласно которому Matlab интерпретирует значение CData зависит от типа данных, хранящихся в
11.6. Цветовые характеристики объекта PATCH
135
этом поле. Предположим, что поверхность состоит из m граней и каждая грань — k-угольник. Следующая таблица показывает возможные
способы интерпретации свойства CData:
X, Y, ZData
Размеры
k×m
k×m
k×m
CData
Indexed True Color
скаляр
1×1×3
1×m
1×m×3
k×m
k×m×3
Результат
Один цвет для всего объекта
Свой цвет для каждой грани
Свой цвет для каждой вершины
Заметим, что возможен как относительный (indexed), так и абсолютный (true colors) способ задания цвета. Если используется относительный способ, то поле CDataMapping указывает, масштабируются
(’scaled’) или нет (direct) индексы палитры. По умолчанию поле
CDataMapping имеет значение ’scaled’.
Остановимся подробнее на способах задания цвета:
• Один цвет для всего объекта. В этом случае значение CData —
либо индекс в палитре, либо RGB-вектор.
Возможные зачения для FaceColor и EdgeColor: ’none’ или ’flat’.
Возможные зачения для MarkerFaceColor и MarkerEdgeColor: ’none’
или ’auto’.
• Свой цвет для каждой грани. В этом случае в массиве CData
для каждой грани указывается либо индекс в палитре, либо RGBвектор.
Возможные зачения для FaceColor и EdgeColor: ’none’ или ’flat’.
Возможные зачения для MarkerFaceColor и MarkerEdgeColor: ’none’,
’auto’ или ’flat’.
• Свой цвет для каждой вершины. В этом случае в массиве CData
для каждой вершины указывается либо индекс в палитре, либо
RGB-вектор.
Возможные зачения для FaceColor и EdgeColor: ’none’, ’flat’
или ’interp’.
– В случае ’none’ грани (ребра) не отображаются.
– В случае ’flat’ цвет грани (ребра) определяется цветом первой вершины на этой грани (ребре).
136
Глава 11. Графические команды и функции
– В случае ’interp’ заливка грани (ребра) определяется интерполяцией значений цвета в вершинах этой грани (ребра).
Возможные зачения для MarkerFaceColor и MarkerEdgeColor: ’none’,
’auto’ или ’flat’.
Пример 23. Нарисуем единичный куб с разноцветными гранями:
X=[0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1];
Y=[0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0];
Z=[0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1];
c=1:6
patch(X,Y,Z,1:6)
axis square
view(3)
Теперь нарисуем куб, задавая случайным образом цвет вершин:
colormap autumn
patch(X,Y,Z,rand(4,6))
axis square
view(3)
Проиллюстрируем все 6 возможных способов интерпретации поля
FaceVertexCData:
% cubes.m
X=[0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 0
11.6. Цветовые характеристики объекта PATCH
0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1];
Y=[0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0];
Z=[0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1];
colormap(’spring’)
subplot(3,2,1);
axis equal;
axis off;
view(3)
patch(X, Y, Z, 1);
subplot(3,2,2);
axis equal;
axis off;
view(3)
patch(X, Y, Z, rand(1,1,3));
subplot(3,2,3);
axis equal;
axis off;
view(3)
patch(X, Y, Z, rand(1,6));
subplot(3,2,4);
axis equal;
axis off;
view(3)
patch(X, Y, Z, rand(1,6,3));
subplot(3,2,5);
axis equal;
137
138
Глава 11. Графические команды и функции
axis off;
view(3)
patch(X, Y, Z, rand(4,6));
subplot(3,2,6);
axis equal;
axis off;
view(3)
patch(X, Y, Z, rand(4,6,3));
11.6.7. Свойство FaceVertexСData
Свойство FaceVertexСData объекта Patch определяет цвет поверхности. Это свойство используется только тогда, когда для задания граней
поверхности использовались поля Faces, Vertices. С помощью этого
свойства можно задать один цвет для всех граней и ребер, задать свой
цвет для каждой грани и каждого ребра или определить способ заливки граней и ребер поверхности. Способ, согласно которому Matlab интерпретирует значение FaceVertexCData зависит от типа данных, хранящихся в этом поле. Предположим, что поверхность состоит из m
граней, имеет всего n вершин и каждая грань — k-угольник. Следующая таблица показывает возможные способы интерпретации свойства
FaceVertexCData:
Vertices
Размеры
n×3
n×3
n×3
Faces
Размеры
m×k
m×k
m×k
FaceVertexCData
Indexed True Color
скаляр
1×3
m×1
m×3
n×1
n×3
Результат
Один цвет для всего объекта
Свой цвет для каждой грани
Свой цвет для каждой вершины
Заметим, что возможен как относительный (indexed), так и абсолютный (true colors) способ задания цвета. Если используется относительный способ, то поле CDataMapping указывает, масштабируются
(’scaled’) или нет (’direct’) индексы палитры. По умолчанию поле
CDataMapping имеет значение ’scaled’.
Остановимся подробнее на способах задания цвета:
• Один цвет для всего объекта. В этом случае значение FaceVertexCData
— либо индекс в палитре, либо RGB-вектор.
Возможные зачения для FaceColor и EdgeColor: ’none’ или ’flat’.
11.6. Цветовые характеристики объекта PATCH
139
Возможные зачения для MarkerFaceColor и MarkerEdgeColor: ’none’
или ’auto’.
• Свой цвет для каждой грани. В этом случае в массиве FaceVertexCData
для каждой грани указывается либо индекс в палитре, либо RGBвектор.
Возможные зачения для FaceColor и EdgeColor: ’none’ или ’flat’.
Возможные зачения для MarkerFaceColor и MarkerEdgeColor: ’none’,
’auto’ или ’flat’.
• Свой цвет для каждой вершины. В этом случае в массиве FaceVertexCData
для каждой вершины указывается либо индекс в палитре, либо
RGB-вектор.
Возможные зачения для FaceColor и EdgeColor: ’none’, ’flat’
или ’interp’.
– В случае ’none’ грани (ребра) не отображаются.
– В случае ’flat’ цвет грани (ребра) определяется цветом первой вершины на этой грани (ребре).
– В случае ’interp’ заливка грани (ребра) определяется интерполяцией значений цвета в вершинах этой грани (ребра).
Возможные зачения для MarkerFaceColor и MarkerEdgeColor: ’none’,
’auto’ или ’flat’.
Пример 24. Нарисуем единичный куб с разноцветными гранями:
V = [0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1];
F = [1
1
1
5
3
2
2
3
7
4
4
6
7
8
8
3
5
5
6
7
140
Глава 11. Графические команды и функции
2 4 8 6];
colormap winter
axis square;
axis off;
view(3);
c=(1:6)’;
patch(’Vertices’,V,’Faces’,F,’FaceVertexCData’,c,’FaceColor’,’flat’)
Воспользуемся тем, что в нашем примере элементы матрицы V заключены между нулем и единицей, поэтому она также может задавать
цвет (абсолютный способ задания цвета — true colors). Нарисуем куб,
задавая цвет в вершинах и используя интерполяцию на гранях:
patch(’Vertices’,V,’Faces’,F,’FaceVertexCData’,V,’FaceColor’,’interp’)
11.7. Освещение
11.7.1. AmbientStrength
%lghtamb.m
[X, Y, Z]=sphere(50);
axis equal
surface(X,Y,Z,’FaceColor’,[1 0 0],’EdgeColor’,’none’,’AmbientStrength’,0);
surface(X+3,Y,Z,’FaceColor’,[1 0 0],’EdgeColor’,’none’,’AmbientStrength’,0.5);
surface(X+6,Y,Z,’FaceColor’,[1 0 0],’EdgeColor’,’none’,’AmbientStrength’,1);
camlight;
lighting phong;
11.7.2. DiffuseStrength
%lghtdif
[X, Y, Z]=sphere(50);
axis equal
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’DiffuseStrength’, 0);
surface(X+3, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
11.7. Освещение
141
’DiffuseStrength’, 0.5);
surface(X+6, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’DiffuseStrength’, 1);
camlight;
lighting phong;
11.7.3. SpecularStrength
%lghtsexp
[X, Y, Z]=sphere(50);
axis equal
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularStrength’, 0);
surface(X+3, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularStrength’, 0.5);
surface(X+6, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularStrength’, 1);
camlight;
lighting phong;
11.7.4. SpecularExponent
%lghtsexp
[X, Y, Z]=sphere(50);
axis equal
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularExponent’, 20);
surface(X+3, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularExponent’, 13);
surface(X+6, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularExponent’, 5);
camlight;
lighting phong;
142
Глава 11. Графические команды и функции
11.7.5. SpecularColorReflectance
%lghtscol
[X, Y, Z]=sphere(50);
axis equal
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularColorReflectance’, 0);
surface(X+3, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularColorReflectance’, 0.7);
surface(X+6, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’, ...
’SpecularColorReflectance’, 1);
camlight;
lighting phong;
11.7.6. Материал
Controls the reflectance properties of surfaces and patches
Syntax material shiny material dull material metal material([ka kd ks])
material([ka kd ks n]) material([ka kd ks n sc]) material default Description
material sets the lighting characteristics of surface and patch objects.
material shiny sets the reflectance properties so that the object has a
high specular reflectance relative the diffuse and ambient light and the color
of the specular light depends only on the color of the light source.
material dull sets the reflectance properties so that the object reflects
more diffuse light, has no specular highlights, but the color of the reflected
light depends only on the light source.
material metal sets the reflectance properties so that the object has a
very high specular reflectance, very low ambient and diffuse reflectance, and
the color of the reflected light depends on both the color of the light source
and the color of the object.
material([ka kd ks]) sets the ambient/diffuse/specular strength of the
objects.
material([ka kd ks n]) sets the ambient/diffuse/specular strength and
specular exponent of the objects.
material([ka kd ks n sc]) sets the ambient/diffuse/specular strength,
specular exponent, and specular color reflectance of the objects.
material default sets the ambient/diffuse/specular strength, specular
exponent, and specular color reflectance of the objects to their defaults.
11.7. Освещение
143
Remarks The material command sets the AmbientStrength, DiffuseStrength,
SpecularStrength, SpecularExponent, and SpecularColorReflectance properties
of all surface and patch objects in the axes. There must be visible light
objects in the axes for lighting to be enabled. Look at the materal.m M-file
to see the actual values set (enter the command: type material).
Material Ambient Diffuse Specular Specular Specular color
strength strength strength exponent
reflactance
Shiny
0.3
0.6
0.9
20
1.0
Dull
0.3
0.8
0.0
10
1.0
Metal
0.3
0.3
1.0
25
0.5
figure
[X, Y, Z]=sphere(50);
subplot(2,2,1)
axis equal
axis off
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0 0], ’EdgeColor’, ’none’);
camlight;
lighting phong;
subplot(2,2,2)
axis equal
axis off
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [1 0.7 0], ’EdgeColor’, ’none’);
material shiny;
camlight;
lighting phong;
subplot(2,2,3)
axis equal
axis off
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [0 0.7 1], ’EdgeColor’, ’none’);
material dull;
camlight;
lighting phong;
subplot(2,2,4)
axis equal
axis off
surface(X, Y, Z, ’FaceColor’, [0.95 0.95 0.95], ’EdgeColor’, ’none’);
144
Глава 11. Графические команды и функции
material metal;
camlight;
lighting phong;
11.8. Прозрачность
11.9. Normals
Эксперименты с VertexNormals см. в ChessBoard
11.10. 3d графика. Примеры
%cube.m
V
0
1
0
1
0
1
0
1
=
0
0
1
1
0
0
1
1
[
0
0
0
0
1
1
1
1];
F
2
5
8
5
1
6
=
4
7
7
6
3
8
[
3
8
3
2
7
4
1
6
4
1
5
2];
figure;
axis equal;
axis([-0.2 1.2 -0.2 1.2 -0.2 1.2]);
view(3)
camlight right;
patch(’Vertices’, V, ’Faces’, F, ’FaceVertexCData’, [.5 .5 1], ...
’FaceColor’, ’flat’, ’BackFaceLighting’, ’lit’, ...
11.10. 3D графика. Примеры
145
’EdgeColor’, ’white’, ’FaceLighting’, ’phong’)
ico
sph80
%ch3.m
n = 20;
X = rand(n, 3);
figure, hold on, grid on
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3),’LineStyle’,’none’,’Marker’,’.’,’MarkerSize’, 20);
view(30,30);
pause;
stem3(X(:,1),X(:,2),X(:,3),’filled’,’-.’);
pause;
K = convhulln(X);
m = size(K,1);
patch(’Vertices’, X, ’Faces’, K, ’FaceVertexCData’, cool(m),...
’FaceColor’, ’flat’, ’FaceAlpha’, 0.7)
pause;
for k=30:400, view(k, 30), pause(0.05); end;
checking
human
nancy
146
Глава 11. Графические команды и функции
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
Рис. 11.2. Пример создания графического объекта
2
3
11.10. 3D графика. Примеры
147
(0,1,1)
(1,1,1)
(1,0,1)
(0,0,1)
Face 6
(0,1,0)
(1,1,0)
(0,0,0)
(1,0,0)
Face 1
YData
XData
ZData
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
Face 1
Face 6
Рис. 11.3. Свойства XData, YData, ZData объекта Patch
148
Глава 11. Графические команды и функции
7
8
Vertices
Faces
6
5
Face 6
3
4
1
2
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
2
4
3
1
2
6
5
1
3
7
5
0
5
7
8
6
1
3
4
8
7
0
1
2
4
8
6
0
1
1
1
1
1
Face 1
Рис. 11.4. Свойства Faces и Vertices объекта Patch
✁
✂
✆
☎
✄
ZData
✆
YData
☎
XData
✄
F
F
✞
c
✟
✠
☛
2
☞
e
✠
✌
3
✝
✟
CData
4
e
✍
✠
5
☎
XData
F
e
✎
✠
6
F
a
c
✟
✆
✄
✞
✠
✟
☛
2
☞
e
✠
✌
3
✝
✟
4
✍
5
XData
F
✎
6
☞
2
✌
3
✝
CData
F
✡
F
✡
a
✞
1
☛
1
1xm
✠
e
1
e
2
☞
6
✠
a
✞
c
✟
e
4
F
✡
a
✞
c
✟
3
F
✡
a
✞
e
✠
e
✎
5
F
✡
c
✟
✍
✠
CData
a
✞
c
✠
✟
c
✟
e
✠
4
F
✡
a
✞
c
✟
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
✠
ZData
a
c
✞
per vertex
YData
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
1
F
a
c
✞
One color
✂
ZData
a
c
✞
per face
YData
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
✠
F
a
✞
c
✟
e
1
F
a
a
✞
✁
One color
Single color
✍
✠
c
e
✟
5
e
✎
✠
6
kxm
Рис. 11.5. Относительный способ задания цвета (indexed) объекта Patch, состоящего
из 6 4-угольных граней. Грани заданы определением свойств XData, YData, ZData
11.10. 3D графика. Примеры
149
✁
✁
One color
Single color
✂
✆
☎
✄
ZData
✆
YData
☎
XData
✄
F
F
✞
✞
a
✟
c
✠
✡
☛
☞
2
e
✡
✌
3
✝
c
✠
4
✍
F
✞
✎
✡
☛
2
☞
✌
✝
CData
Blue
✏
✑
e
✡
3
c
✠
4
✍
5
✎
✡
6
c
✡
e
✠
☛
2
☞
✌
3
✝
✏
c
✠
e
✡
4
a
✟
c
✠
e
✡
F
✞
a
✟
c
✠
e
✡
F
✞
a
✟
CData
Blue
✍
e
✡
✎
5
6
CData
Blue
✑
Green
Red
e
F
✞
a
✟
c
✠
1
F
✞
a
✟
c
✠
e
✡
F
✞
a
✟
✑
Green
F
✞
c
✠
e
✡
ZData
YData
a
✟
per vertex
XData
F
✞
a
✟
c
✠
e
✡
F
✞
a
✟
c
✠
e
✡
F
✞
a
✟
c
✠
e
1
F
✞
a
✟
c
✠
6
F
✞
a
✟
e
✡
5
☎
✄
c
✠
e
✡
ZData
✆
YData
a
✟
✂
XData
F
✞
a
✟
c
✠
e
✡
F
✞
a
✟
c
✠
e
✡
F
✞
a
✟
c
✠
e
1
F
✞
a
✟
One color
per face
Green
Red
Red
1x1x3
1xmx3
kxmx3
Рис. 11.6. Абсолютный способ задания цвета (true color) объекта Patch, состоящего
из 6 4-угольных граней. Грани заданы определением свойств XData, YData, ZData
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
0.8
1
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.8
1
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
Рис. 11.7. Использование свойства CData
0
150
Глава 11. Графические команды и функции
Рис. 11.8. Разные способы задания цвета объекта с помощью свойства CData
11.10. 3D графика. Примеры
151
FaceVertexCData
True color
Indexed
Single color
✄
One color
per face
C
✄
1
✄
C
✄
C
1
✄
C
2
☎
✄
C
3
✄
C
4
C
✆
5
✝
6
mx1
One color
✁
✂
per vertex
C
C
1
C
2
☎
C
3
C
4
✆
C
5
✝
C
6
C
7
✟
✞
Single color
✁
R
G
✠
1
1x3
B
1
R
R
1
R
2
☎
R
3
R
4
R
✆
5
✝
6
One color
One color
per face
per vertex
G
✠
G
1
G
2
✡
G
3
G
4
G
☛
5
☞
6
B
B
1
B
2
☎
B
3
B
4
B
✆
5
✝
6
mx3
8
nx1
R
R
1
R
2
☎
R
3
R
4
✆
R
5
✝
R
6
R
7
✟
✞
8
G
✠
G
1
G
2
✡
G
3
G
4
☛
G
5
☞
G
6
G
7
✌
8
B
B
1
B
2
☎
B
3
B
4
✆
B
5
✝
B
6
B
7
✟
✞
8
nx3
Рис. 11.9. Задание цвета объекта Patch c 8 вершинами и 6 гранями. Грани заданы
определением свойств Faces, Vertices
Рис. 11.10. Использование свойства FaceVertexCData
152
Глава 11. Графические команды и функции
Рис. 11.11. AmbientStrength = 0, 0.5, 1
Рис. 11.12. DiffuseStrength = 0, 0.5, 1
Рис. 11.13. SpecularStrength = 0, 0.5, 1
Рис. 11.14. SpecularExponent = 20, 13, 5
11.10. 3D графика. Примеры
Рис. 11.15. SpecularColorReflectance = 0, 0.7, 1
Рис. 11.16. Материал: default, shiny, dull, metal
153
154
Глава 11. Графические команды и функции
Рис. 11.17. Куб
11.10. 3D графика. Примеры
Рис. 11.18. Икосаэдр
155
156
Глава 11. Графические команды и функции
Рис. 11.19. Сфера из 80 треугольников
Глава 12
Создание графического
интерфейса пользователя
12.1. Элементы управления uicontrol
Система Matlab предоставляет удобные средства для создания приложений, поддерживающих графический интерфейс пользователя (GUI).
К стандартным элементам такого интерфейса относятся:
• Push buttons — кнопки,
• Toggle buttons — выключатели,
• Radio buttons — переключатели,
• Checkboxes — флажки,
• Edit text — строки ввода,
• Static text — статический текст,
• Sliders — полосы прокрутки,
• Frames — рамки для визуального объединения некоторых компонент,
• List boxes — списки,
• Popup menus — выпадающие меню.
157
158
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
12.2. Этапы разработки графичекого интерфейса
• Определение внешнего вида приложения: размещение элементов
GUI
• Определение функциональности приложения: программирование
элементов GUI
Как правило, при создании приложений с графическим интерфейсом пользователя разделяют описание внешнего вида и описание функциональности приложения. Если для создания GUI-приложения используется GUIDE, то
• внешний вид приложения описан в бинарном fig-файле,
• функциональность описана в m-файле.
С помощью GUIDE можно создать fig-файл и заготовку для m-файла.
12.3. Начало работы с GUIDE
Запустить GUIDE можно либо командой guid, либо с помощью меню File|New|GUI.
12.4. Параметры создаваемого приложения
В первую очередь необходимо задать параметры создаваемого приложения. С помощью меню Tools|Application options... можно вызвать диалоговое окно, в котором задать следующие параметры:
• Параметры изменения размеров окна,
• Параметры, регулирующие взаимодействие с командной строкой,
• Характеристики автоматически создаваемого m-файла.
12.4.1. Параметры изменения размеров окна
Возможны 3 режима:
• Non-resizable — не возможно изменить размер окна,
• Proportional — Matlab автоматически масштабирует размеры элементов окна,
12.4. Параметры создаваемого приложения
159
• User-specified — при изменении размеров окна вызывается Callbackфункция ResizeFcn, в которой программист сам должен задать
изменение размеров элементов.
12.4.2. Параметры, регулирующие взаимодействие с командной строкой
Когда Matlab создает графическое изображение, дескрипторы объектов figure и axes включаются в список потомков их непосредственных предков и становятся доступны в командах findobj, set, get и
других, подобных им. После следующей графической команды графический вывод направляется в текущее окно в зависимости от состояния
поля ’NextPlot’ текущих объектов figure и axes.
Обычно в программах с графическим интерфейсом пользователя не
желательно, чтобы дескрипторы графических элементов были доступны из командной строки и других программ. С другой стороны, часто в
программах, содержащих объект Axes удобно управлять этим объектом
из командной строки.
Можно сделать невидимыми дескрипторы любого окна и всех его потомков, управляя флагом Access Options диалогового окна Applications
Options. Возможны 3 режима:
• Off — закрывает доступ к окну из командной строки (по умолчанию) (рекомендуется для программ с графическим интерфейсом
пользователя).
• On — делает видимыми дескрипторы графических объектов из командного окна (рекомендуется для программ с графическим выводом).
• HandleVisibility — доступом к дескрипторам графических элементов окна управляет свойства ’HandleVisibility’ объекта figure.
Установка свойства HandleVisibility в состояние ’off’ (в GUIDE
— по умолчанию) удаляет дескриптор окна из списка потомков объекта
root. Таким образом, окно не может стать текущим. Однако прямой
доступ к окну по дескриптору возможен.
Установка свойства HandleVisibility в состояние ’callback’ делает окно видимым из callback-функций и невидимым из командного
окна.
Если значение поля HandleVisibility равно ’on’, то все дескрипторы видны из командного окна.
160
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
12.5. Callback-функции
12.5.1. Callback-функции всех типов графических объектов
Все графические объекты имеют 4 callback-функции:
• CallBack — Matlab выполняет эту функцию всякий раз, когда
пользователь нажимает на левую кнопку мыши и курсор мыши
указывает на объект,
• ButtonDownFcn — Matlab выполняет эту функцию всякий раз,
когда пользователь нажимает на левую кнопку мыши и курсор
мыши указывает на объект (см. далее порядок выполнения callbackфункций),
• CreateFcn — Matlab вызывает эту функцию сразу после создания
обекта.
• DeleteFcn — Matlab вызывает эту функцию непосредственно перед удалением объекта.
12.5.2. Callback-функции объекта Figure
Дополнительные callback-функции объекта Figure:
• CloseRequestFcn — Matlab выполняет эту функцию при получении команды закрыть окно.
• KeyPressFcn — Matlab выполняет эту функцию, если пользователь нажимает на клавиатурную клавишу и курсор находится
внутри окна.
• ResizeFcn — Matlab выполняет эту функцию, если пользователь
изменяет размеры окна.
• WindowButtonDownFcn — Matlab выполняет эту функцию, если
пользователь нажимает на левую кнопку мыши и курсор находится внутри окна, но не на одном из элементов управления.
• WindowButtonMotionFcn — Matlab выполняет эту функцию, когда пользователь перемещает курсор мыши внутри окна.
• WindowButtonUpFcn — Matlab выполняет эту функцию, когда
пользователь отпускает левую кнопку мыши после того, как кнопка была нажата и в момент нажатия курсор находился внутри
окна.
12.6. Функция GUIHANDLES
161
12.5.3. Порядок вызова callback-функций
Элемент управления в активном состоянии после нажатия левой
кнопки мыши выполняет функцию Callback. Если элемент находится в неактивном состоянии, то вначале выполняется функция окна, а
затем ButtonDownFcn элемента управления.
Установка свойства элемента управления enable в on переводит элемент в активное состояние. Установка свойства enable в off или в
inactive переводит элемент в неактивное состояние. Отличие off отinactive
в том, что в первом случае надпись на элементе окрашивается в серый
цвет, а во втором элемент выглядит как обычный.
12.6. Функция guihandles
Функция
handles = guihandles(object_handle)
создает структуру, содержащую дескрипторы всех графических объектов (включая элементы uicontrol, объекты axes и их потомков), расположенных в графическом окне. Дескриптор object_handle должен
указывать на это окно, либо на любого из его потомков. Именами полей в создаваемой структуре являются метки Tag элементов. Если поле Tag элемента пусто, то поле для этого элемента не создается. Если
несколько элементов имеют одинаковый Tag, то соответствующее поле
в структуре является вектором. При вызове функции guihandles без
параметров:
handles = guihandles
создается структура дескрипторов для текущего окна.
Программа GUIDE всегда добавляет в начало создаваемого ею mфайла код, сохраняющий структуру дескрипторов элементов в данных
графического приложения.
12.7. Функция guidata
Функция guidata предназначена для того, чтобы сохранять и читать данные графического приложения.
Возможные варианты вызова функции:
guidata(object_handle,data)
data = guidata(object_handle)
162
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
Функция guidata(object_handle,data) сохраняет данные data как
данные графического приложения. Параметр object_handle должен
быть либо дескриптором окна, либо любого его потомка.
Функция data=guidata(object_handle) возвращает сохраненные данные графического приложения или возвращает пустую матрицу, если
данных графического приложения нет.
Программа GUIDE всегда добавляет в начало создаваемого ею mфайла код, сохраняющий структуру guihandles в данных графического
приложения:
fig = openfig(mfilename,’reuse’);
handles = guihandles(fig);
guidata(fig, handles);
Examples In this example, guidata is used to save a structure on a
GUI figure’s application data from within the initialization section of the
application M-file. This structure is initially created by guihandles and then
used to save additional data as well.
data = guihandles(figure_handle); % create structure of handles
data.numberOfErrors = 0; % add some additional data
guidata(figure_handle,data) % save the structure
You can recall the data from within a subfunction callback routine and then
save the structure again:
data = guidata(gcbo); % get the structure in the subfunction
data.numberOfErrors = data.numberOfErrors + 1;
guidata(gcbo,data) % save the changes to the structure
12.8. Примеры
Пример 25. Покажем, как можно запрограммировать группу переключателей, чтобы во всей группе можно было отметить лишь один
переключатель. 2 переключателя:
function varargout = Radio2(varargin)
% RADIO Application M-file for Radio.fig
%
FIG = RADIO launch Radio GUI.
%
RADIO(’callback_name’, ...) invoke the named callback.
% Last Modified by GUIDE v2.0 13-May-2002 20:18:49
12.8. Примеры
if nargin == 0
163
% LAUNCH GUI
fig = openfig(mfilename,’reuse’);
% Use system color scheme for figure:
set(fig,’Color’,get(0,’defaultUicontrolBackgroundColor’));
% Generate a structure of handles to pass to callbacks, and store it.
handles = guihandles(fig);
guidata(fig, handles);
if nargout > 0
varargout{1} = fig;
end
elseif ischar(varargin{1}) % INVOKE NAMED SUBFUNCTION OR CALLBACK
try
[varargout{1:nargout}] = feval(varargin{:}); % FEVAL switchyard
catch
disp(lasterr);
end
end
% -------------------------------------------------------------------function varargout = radiobutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol h=handles.radiobutton1.
set(handles.radiobutton2,’Value’,1-get(h,’Value’));
% -------------------------------------------------------------------function varargout = radiobutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol h=handles.radiobutton2.
set(handles.radiobutton1,’Value’,1-get(h,’Value’));
Пример 26. 3 переключателя:
function varargout = Radio3(varargin)
164
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
% RADIO Application M-file for Radio.fig
%
FIG = RADIO launch Radio GUI.
%
RADIO(’callback_name’, ...) invoke the named callback.
% Last Modified by GUIDE v2.0 13-May-2002 20:18:49
if nargin == 0
% LAUNCH GUI
fig = openfig(mfilename,’reuse’);
% Use system color scheme for figure:
set(fig,’Color’,get(0,’defaultUicontrolBackgroundColor’));
% Generate a structure of handles to pass to callbacks, and store it.
handles = guihandles(fig);
guidata(fig, handles);
if nargout > 0
varargout{1} = fig;
end
elseif ischar(varargin{1}) % INVOKE NAMED SUBFUNCTION OR CALLBACK
try
[varargout{1:nargout}] = feval(varargin{:}); % FEVAL switchyard
catch
disp(lasterr);
end
end
% -------------------------------------------------------------------function varargout = radiobutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.radiobutton1.
if get(h,’Value’)==0
set(h,’Value’,1);
else
set(handles.radiobutton2,’Value’,0);
set(handles.radiobutton3,’Value’,0);
12.8. Примеры
165
Рис. 12.1. Переключатели
end;
% -------------------------------------------------------------------function varargout = radiobutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.radiobutton2.
if get(h,’Value’)==0
set(h,’Value’,1);
else
set(handles.radiobutton1,’Value’,0);
set(handles.radiobutton3,’Value’,0);
end;
% -------------------------------------------------------------------function varargout = radiobutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.radiobutton3.
if get(h,’Value’)==0
set(h,’Value’,1);
else
set(handles.radiobutton1,’Value’,0);
set(handles.radiobutton2,’Value’,0);
end;
Пример 27. Приведем пример программы, работающей с двумя спис-
166
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
ками файлов:
function varargout = lpgo(varargin)
% LPGO Application M-file for lpgo.fig
%
FIG = LPGO launch lpgo GUI.
%
LPGO(’callback_name’, ...) invoke the named callback.
% Last Modified by GUIDE v2.0 14-May-2002 12:26:57
if nargin == 0
% LAUNCH GUI
fig = openfig(mfilename,’reuse’);
% Use system color scheme for figure:
set(fig,’Color’,get(0,’defaultUicontrolBackgroundColor’));
% Generate a structure of handles to pass to callbacks, and store it.
handles = guihandles(fig);
guidata(fig, handles);
% Populate the lists
load_list(handles);
if nargout > 0
varargout{1} = fig;
end
elseif ischar(varargin{1}) % INVOKE NAMED SUBFUNCTION OR CALLBACK
try
[varargout{1:nargout}] = feval(varargin{:}); % FEVAL switchyard
catch
disp(lasterr);
end
end
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Input_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Input.
12.8. Примеры
167
names=get(h,’String’);
ind=get(h,’Value’);
set(handles.Text,’String’,names{ind});
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Output_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Output.
names=get(h,’String’);
ind=get(h,’Value’);
set(handles.Edit,’String’,names{ind});
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Go_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Go.
disp(’pushbutton1 Callback not implemented yet.’)
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Close_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Close.
delete(handles.figure1);
% -----------------------------------------------------------% Read the current directory and sort the names
% -----------------------------------------------------------function load_list(handles)
dir_struct = dir(pwd)
names = sortrows({dir_struct.name}’);
set(handles.Input,’String’,names,’Value’,1);
set(handles.Output,’String’,names,’Value’,1);
set(handles.Edit,’String’,names{1});
Пример 28. Программа построения интерполянтов:
function varargout = interpolation(varargin)
% INTERPOLATION Application M-file for interpolation.fig
%
FIG = INTERPOLATION launch interpolation GUI.
168
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
Рис. 12.2. Пример программы, работающей с двумя списками файлов
%
INTERPOLATION(’callback_name’, ...) invoke the named callback.
% Last Modified by GUIDE v2.0 13-May-2002 19:52:54
if nargin == 0
% LAUNCH GUI
fig = openfig(mfilename,’reuse’);
% Generate a structure of handles to pass to callbacks, and store it.
handles = guihandles(fig);
guidata(fig, handles);
if nargout > 0
varargout{1} = fig;
end
12.8. Примеры
169
elseif ischar(varargin{1}) % INVOKE NAMED SUBFUNCTION OR CALLBACK
try
[varargout{1:nargout}] = feval(varargin{:}); % FEVAL switchyard
catch
disp(lasterr);
end
end
% -------------------------------------------------------------------function Refresh(handles)
RefreshData(handles);
RefreshLinear(handles);
RefreshCubic(handles);
RefreshSpline(handles);
% -------------------------------------------------------------------function RefreshData(handles)
delete(findobj(handles.XY,’Tag’,’Data’));
if get(handles.Plot,’Value’)==1
x=0;
y=0;
x=eval(get(handles.X,’String’));
y=eval(get(handles.Y,’String’));
line(’XData’,x,’YData’,y,’Marker’,’.’,’LineStyle’,’none’,...
’MarkerSize’,15,’Color’,’b’,’Parent’,handles.XY,’Tag’,’Data’);
end;
% -------------------------------------------------------------------function RefreshLinear(handles)
delete(findobj(handles.XY,’Tag’,’Linear’));
if get(handles.Linear,’Value’)==1
x=0;
y=0;
x=eval(get(handles.X,’String’));
170
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
y=eval(get(handles.Y,’String’));
line(’XData’,x,’YData’,y,’Color’,’k’,’LineWidth’,2,...
’Parent’,handles.XY,’Tag’,’Linear’);
end;
% -------------------------------------------------------------------function RefreshCubic(handles)
delete(findobj(handles.XY,’Tag’,’Cubic’));
if get(handles.Cubic,’Value’)==1
x=0;
y=0;
x=eval(get(handles.X,’String’));
y=eval(get(handles.Y,’String’));
xx=min(x):0.01:max(x);
yy=pchip(x,y,xx);
line(’XData’,xx,’YData’,yy,’Color’,’r’,’LineWidth’,2,...
’Parent’,handles.XY,’Tag’,’Cubic’);
end;
% -------------------------------------------------------------------function RefreshSpline(handles)
delete(findobj(handles.XY,’Tag’,’Spline’));
if get(handles.Spline,’Value’)==1
x=0;
y=0;
x=eval(get(handles.X,’String’));
y=eval(get(handles.Y,’String’));
xx=min(x):0.01:max(x);
yy=spline(x,y,xx);
line(’XData’,xx,’YData’,yy,’Color’,’m’,’LineWidth’,2,...
’Parent’,handles.XY,’Tag’,’Spline’);
end;
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Plot_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Plot.
RefreshData(handles);
12.8. Примеры
171
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Linear_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Linear.
RefreshLinear(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Cubic_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Cubic.
RefreshCubic(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Spline_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Spline.
RefreshSpline(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = X_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.X.
Refresh(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Y_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Y.
Refresh(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Refresh_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Refresh.
Refresh(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Close_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Close.
delete(handles.figure1);
172
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рис. 12.3. Программа построения интерполянтов
Пример 29. Приведем текст программы, рисующей кривые второго
порядка. Кривые задаются уравнением
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + α = 0
или в матричной форме:
rT Ar + 2aT r + α = 0,
где
A=
Ã
a11 a12
a21 a22
!
,
a=
Ã
a1
a2
!
,
r=
Ã
x1
x2
!
.
function varargout = quadrix(varargin)
% QUADRIX Application M-file for quadrix.fig
%
FIG = QUADRIX launch quadrix GUI.
%
QUADRIX(’callback_name’, ...) invoke the named callback.
% Last Modified by GUIDE v2.0 15-May-2002 16:56:32
12.8. Примеры
if nargin == 0
173
% LAUNCH GUI
fig = openfig(mfilename,’reuse’);
% Use system color scheme for figure:
set(fig,’Color’,get(0,’defaultUicontrolBackgroundColor’));
% Generate a structure of handles to pass to callbacks, and store it.
handles = guihandles(fig);
guidata(fig, handles);
redraw(handles);
if nargout > 0
varargout{1} = fig;
end
elseif ischar(varargin{1}) % INVOKE NAMED SUBFUNCTION OR CALLBACK
try
[varargout{1:nargout}] = feval(varargin{:}); % FEVAL switchyard
catch
disp(lasterr);
end
end
% -------------------------------------------------------------------function varargout = a11_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.a11.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = a12_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.a12.
set(handles.a21,’String’,get(h,’String’));
redraw(handles);
% --------------------------------------------------------------------
174
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
function varargout = a21_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.a21.
set(handles.a12,’String’,get(h,’String’));
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = a22_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.a22.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = a1_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.a1.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = a2_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.a2.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = alpha_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.alpha.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = xmin_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.xmin.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = xmax_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.xmax.
redraw(handles);
12.8. Примеры
175
% -------------------------------------------------------------------function varargout = ymin_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.ymin.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = ymax_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.ymax.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Close_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Close.
delete(handles.figure1);
% -------------------------------------------------------------------function varargout = Redraw_Callback(h, eventdata, handles, varargin)
% Stub for Callback of the uicontrol handles.Redraw.
redraw(handles);
% -------------------------------------------------------------------function redraw(handles)
a11=eval(get(handles.a11,’String’));
a12=eval(get(handles.a12,’String’));
a22=eval(get(handles.a22,’String’));
a1=eval(get(handles.a1,’String’));
a2=eval(get(handles.a2,’String’));
alpha=eval(get(handles.alpha,’String’));
xmin=eval(get(handles.xmin,’String’));
xmax=eval(get(handles.xmax,’String’));
ymin=eval(get(handles.ymin,’String’));
ymax=eval(get(handles.ymax,’String’));
syms x y
f=a11*x^2+2*a12*x*y+a22*y^2+2*a1*x+2*a2*y+alpha;
ezplot(f,[xmin xmax ymin ymax],handles.figure1);
set(handles.XY,’XGRid’,’on’,’YGrid’,’on’);
176
Глава 12. Создание графического интерфейса пользователя
x2+3/2 x y+2 y2+6 x+4 y−1 = 0
6
4
y
2
0
−2
−4
−6
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
x
Рис. 12.4. Программа для изображения кривых второго порядка
Литература
1. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab
5.x: – В 2-х т. Том 1. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. – 304 с.
2. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab
5.x: – В 2-х т. Том 2. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. – 366 с.
3. Потемкин В.Г., Рудаков П.И. Matlab 5.2. Студенческая версия. –
М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. – 366 с.
4. Чен К., Джиблин П., Ирвинг А. Matlab в математических исследованиях. – М.: Мир, 2001. – 346 с.
177
Related papers
The Role of Public Relations in Crisis Management
Dirasat: Human and Social Sciences, 2020
Schizo-Feminist Educational Research Cartographies
Deleuze Studies, Volume 9, Issue 3, Page 393-409, 2015
Global Database of GSSR Mars Delay Doppler Radar Observations Analysis for Landing Site Characterization and Rover Trafficability
Second Mars Surveyor Landing Site Workshop, 1999
Tyrosine phosphorylation signaling regulates Ca2+ entry by affecting intracellular pH during human sperm capacitation
Journal of Cellular Physiology, 2018
Preparation, characterisation and optical properties of zinc oxide nanoparticles obtained by new intercalation chemical route
International Journal of Nanoparticles, 2009
An anti-neoplastic glycan isolated from Mycobacterium bovis (BCG vaccine)
The Biochemical journal, 1995
Effect of Protein Denaturation on Void Fraction in Foam Separation Column
Applied Biochemistry and Biotechnology, 2000
Evaluating Study of Tigris River Water Quality and Three Water Treatment Plants within Nineveh Governorate
Tikrit Journal of Engineering Sciences
Strategi Pemasaran Digital Dalam Meningkatkan Volume Penjualan Pada Amanda Cafe DI Era Revolusi Industri 4.0
Journal MISSY (Management and Business Strategy), 2021
Relationship of Work Motivation and Creativity with The Performance of Science Teacher
Jurnal Penelitian Pendidikan IPA
- Find new research papers in:
- Physics
- Chemistry
- Biology
- Health Sciences
- Ecology
- Earth Sciences
- Cognitive Science
- Mathematics
- Computer Science