Material de clase: http://www.robotica-up.org/ Education → Control Engineering I Biblio: Nise (Norman), Control Systems Engineering, Wiley Dorf (Richard), Modern Control Systems, Prentice Hall Control I Conceptos básicos ¿Qué es el control (o control automático o automática o automatización)? Es la disciplina de la ingeniería que se concentra en la comprensión de sistemas de diversa naturaleza a través del modelado y análisis de su comportamiento dinámico para hacer que se comporten de cierta manera. ¿Qué NO es el control? - Sacar “1” y “0” con el micro, manejar PICs, ni PLCs. Sistema de control: Interconexión de componentes que forman una configuración en la que la respuesta se comporta de cierta manera y cuyo propósito es precisamente alterar el comportamiento de dicha respuesta. 3 elementos básicos: Sistema de lazo abierto: Aquel que utiliza un actuador para controlar directamente el proceso sin utilizar ninguna retroalimentación. Sistema de lazo cerrado: Aquel que utiliza una medición de la salida y la retroalimenta para compararla con la entrada o comando. Sistema multi-variable: Dependiendo de complejidad de los sistemas y de la exactitud que se busque, puede ser necesario controlar múltiples variables del sistema al mismo tiempo. 2 tipos de señales: (a) continuas y (b) discretas (a) (b) 1 2 Block Diagrams Signals System Summing junction Pickoff point Cascaded subsystems Parallel subsystems Feedback systems Moving blocks forward & backwards Moving pickoff points forward & backwards 3 Modeling dynamic systems I. Electric systems Component Voltage-current Current-voltage Voltage-charge Impedance Z(s) Admittance Y(s) Operational amplifiers (Opams) Non-inverting Opam Inverting Opam Vo ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s ) = Vi ( s ) Z1 ( s ) Vo ( s ) Z ( s) =− 2 Vi ( s ) Z1 (s) Summing inverting Opam N ⎛Zf V f = −∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ Z i Potentiometer ⎞ ⎟⎟Vi ⎠ V2 ( s ) R2 R2 θ = = = V1 ( s ) R R1 + R2 θ max 4 Ideal transformer V1 ( s ) N1 i2 ( s ) = = V2 ( s ) N 2 i1 ( s ) II. Translational mechanical systems Levers − X 1 ( s ) d1 F (s) = =− 2 X 2 ( s) d 2 F1 ( s ) 5 III. Rotacional mechanical systems (a) (b) (c) (d) L (a): Solid cylinder around axis: J = 2 2 mr 5 1 mL2 (c):Rod about center: J = 12 1 2 (d):Rod about end: J = mL 3 (b): Solid sphere: Moment of inertia: Defined as the product of the mass k-times the square of perpendicular distance to the rotation axis: I = kmr2 1 2 mr 2 J= Rack and pinion Gear system (Radial to linear motion) θ 2 N 1 T1 = = θ1 N 2 T2 6 x = rθ Derivation of a Schematic for a DC Motor Current-carrying wire in a magnetic field a. Current-carrying wire on a rotor; b. current-carrying wire on a rotor with commutation and coils added to the permanent magnets to increase magnetic field strength 7 DC motor (no-load) Electrical Mechanical Electromechanical coupling di U R Vb = − i− L dt L L 2 d θ m Tm Dm dθ m = − dt 2 J J dt dθ m Vb = kb dt Tm = kT ia kb: emf constant kT: motor torque constant Solenoids Electrical di U R = − i dt L L d 2 x f b dx k = − − x dt 2 m m dt m Mechanical Electromechanical coupling 8 f = kb i State Space Representation So, we have seen that dynamic systems are represented by a set of n differential equations: x1 ' = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + b11u1 + ... + b1m u m x2 ' = a21 x1 + a 22 x2 + ... + a 2 n xn + b21u1 + ... + b2 m u m . . . xn ' = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn + bn1u1 + ... + bnmum It is common (and more compact) to represent them in a matrix form: ⎡ x1 ' ⎤ ⎡ a11 ⎢ x '⎥ ⎢ a ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ xn '⎦ ⎣ an1 x’ = a12 a 22 an 2 ... a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡b11 ... b1m ⎤ ⎡ u1 ⎤ ... a2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ... +⎢ ⎥⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣bn1 ... bnm ⎥⎦ ⎢⎣u m ⎥⎦ ... a nm ⎦ ⎣ xn ⎦ A x + B u x' = Ax + Bu is called space state equation. Vector x is called the state vector and contains the variables of interest of the system. Similarly, the output in state space form can be represented by: y = Cx + Du (Note: It is common to find systems with D=0, so y = Cx ) Graphically: 9 Time response First order systems Time constant: The time that it takes for a step response to rise to 63% of its final value. Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response. Tr = 2.2 a Settling time: The time required to settle or to reach steady-state. Ts = Second order systems: Introduction 10 4 a Performance of Second-Order Systems Fig.1. Transient response due to damping ξ Natural frequency ωn: Frequency of oscillation of the system without damping. Damping ζ: is any effect, either deliberately engendered or inherent to a system, that tends to reduce the amplitude of oscillations of an oscillatory system. ζ=Exponential decay frequency/ Natural frequency Fig.2. Step response of a control system Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response Tr = 2.16ξ + 0.6 ωn Peak response: overshoot Magnitude Cmax = 1 + e −ξπ / of the 1−ξ 2 Peak time: Time required to reach the maximum overshoot Tp = π ωn 1 − ξ 2 Settling time: The time required to settle or to reach steady-state. Ts = 4τ = 11 4 ξωn Fig.3. Step responses of second-order systems as poles moves 12 Práctica 1- Introducción a Matlab Temario: - Introducción a Matlab (Editor Matlab, Simulink y Command Window) Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Derivar con Matlab Integrar con Matlab Vectores y Matrices Operaciones con matrices: suma, multiplicación, producto punto, inversa, transpuesta, determinante,… Polinomios Operaciones con polinomios: suma, convolución, deconvolución, raíces, reconstrucción de polinomio a partir de raíces, evaluación polinomial, … Señal continua Señal discreta Opciones de graficación: plot, subplot, colores, linewidth, strings,… Respuesta a un escalón e impulso Simulink: construcción de diagramas de bloques ************************************************************ Matlab: 1- Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes expresiones: a) y (t ) = −1.25 + 3.5te −2t + 1.25e −2t b) y (t ) = 5t 2 cos(3t + 45º ) + 5te −2t sen(4t + 60º ) 2- Grafique la evolución temporal y(t) de las siguientes expresiones: a) Y ( s ) = 4s 2 + 4s + 4 s 2 ( s 2 + 3s + 2) b) Y ( s ) = s 3 + 4s 2 + 6s + 5 ( s + 8)( s 2 + 8s + 3)( s 2 + 5s + 7) 3.- Resuelva las siguientes ecuaciones: a) y = x 3 ( x 2 + 2)( x + 15)( x + 26)( x + 72) b) y = x 4 + 19.6 x 3 + 130.6 x 2 − 403.8 x − 3114.7 x 2 − 20.6 c) ¿Cuáles son las raíces de b ? Num/Den 13 d) Y ( x = −1) = 56( x + 14)( x 3 + 49 x 2 + 62 x + 53) 1 + 2 3 2 2 ( x + 81x + 76 x + 65)( x + 56 x + 77) x + 88 x + 33 2 3⎤ ⎡1 ⎢ c) Considere: A = ⎢ 1 9 8⎥⎥ y ⎢⎣− 2 − 1 0⎥⎦ ⎡ 4 5 6⎤ B = ⎢⎢− 1 0 1⎥⎥ ⎢⎣ 7 6 5⎥⎦ c.1) 2A+B c.2) A*B c.3) AT-B c.4) det(A)/det(B) 4.- Para cada una de las funciones de transferencia siguientes obtener la respuesta a un escalón unitario: (a) H ( s ) = 1 s + 2s + 7 (b) G ( s ) = 2 10 ( s + 7)( s + 8) (c) s+2 s + 8s 2 + 9 s + 15 3 5.- Considere los siguientes sistemas: H 1 (s) = 1 s + 0.5s + 1 H 2 ( s) = 2 1 s + 0.5s + 4 2 Compare (eso quiere decir las 2 graficas en una misma figura) la respuesta a un escalón del sistema en lazo abierto y lazo cerrado. (Lazo cerrado: Hacerlo automático con feedback) ************************************************************ Simulink: 6.- Considere el diagrama de bloques de la siguiente figura. (1) Obtenga en Simulink la respuesta de C(s) cuando R(s) es un escalón unitario (2) Reduzca la función a un solo bloque y compruebe su resultado con el obtenido en (1) 14 Práctica 2 – Sistemas Eléctricos con SimPowerSystems 1.- Compare el diagrama eléctrico de un divisor de voltaje con su función de transferencia. 2.- Considere un circuito RC serie con R=10Ω y C=50µF. Si U=5V: a) Verifique que el Vc (voltaje en el capacitor) es el de la fig. 2a b) Verifique que la corriente del circuito es la de la fig. 2b c) Compare el esquemático de a) con su función de transferencia d) Compare el esquemático de b) con su función de transferencia 5.5 0.5 5 0.45 4.5 0.4 4 0.35 3.5 Amperes Volts 0.3 3 2.5 0.25 0.2 2 0.15 1.5 1 0.1 0.5 0.05 0 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Tiempo 0 0.02 0 0.002 0.004 0.006 0.008 Fig. 2a 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Tiempo 0.02 Fig. 2b 3.- Considere el circuito de la fig. 3a. Demuestre que Vo tiene el comportamiento 3b. 10 9 8 7 Volts 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Tiempo 6 Fig. 3b Fig. 3a 4.-Transformadores ideales 1 2 0 1 2 15 7 8 9 10 5.- Considere el sig. circuito. Demuestre que Vo tiene el comportamiento de la fig. 5. 0.1 R1=R2=R5= 1Ω R3= 100 Ω R4= 1K Ω C1=C2=100 µF N1=120 N2=10 0.08 0.06 0.04 volts 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Tiempo 0.035 0.04 0.045 0.05 Fig. 5. V0=0.1V @60Hz 6.- Considere el siguiente circuito divisor de voltaje con diodo. a) Determine el voltaje en R2 b) Determine el voltaje en R2 con el diodo invertido. Aplicaciones en AC 7.- Rectificador de media onda 8.- Puente universal (Rectificador onda completa) 16 9.- Usando el archivo opam.mdl, verifique el funcionamiento de un opam en configuración inversor y no inversor. 10.- Para los siguientes circuitos, demuestre que su comportamiento es el mismo que el de las funciones de transferencia indicadas. 1.232 45.95 22.5 Use una senoidal de 0.1 V@1 Hz como señal de entrada 3.5 3.18 7 11.68 10 Use una senoidal de 2 V@1 Hz como señal de entrada 17 Práctica 3 – Modelado de Sistemas 1.- Considere un circuito RCL en serie con R=L=C=1. a) Simule este sistema en Simulink y obtenga el comportamiento de la corriente y el voltaje en el capacitor para un voltaje de alimentación de 1V. b) ¿Cuál es el efecto de variar (i.e aumentar/disminuir) R en el voltaje y la corriente? (Intente R=3Ω y R=0.5Ω) c) ¿Y de variar C? (Intente C=0.5, C=0.25, C=1.25, C=1.5) d) Con los valores iniciales de R=L=C=1, ¿Cuál es la frecuencia de carga del capacitor? 2.- Modele un sistema masa-resorte-amortiguador con M=2 kg, fv=0.7, k=1. Explique las respuestas de aceleración, velocidad y posición. 3.- Modele el siguiente sistema en Simulink y compare las velocidades y posiciones de ambos vehículos con: M1=1kg, fv= 0.0196, k=1, M2=0.5 kg. 4.- Considere el sistema mecánico de traslación de la sig. figura. Simule este sistema en Simulink y obtenga la evolución temporal de la posición y la velocidad para las tres masas: x1(t), x2(t), x3(t) y v1(t), v2(t), v3(t). 5.- Modele el comportamiento de un motor de DC sin carga con L=1, R=4, k=0.031, Jm=0.2, D=0.001. 6.- Compare el comportamiento de las 3 posiciones angulares del sig. sistema: 18 Práctica 4 – Modelado de un sistema motor-eje-engranes 1.- Considere el siguiente sistema electromecánico: Modele este sistema en Simulink utilizando los siguientes parámetros: Parte Eléctrica R1=20 KΩ R2=10KΩ R3=1KΩ R4=500Ω U1=5V U2=1V Motor R=4Ω L=1H k=3.1e-2 Jm=2 kg-m2 Dm=0.0001 N-m-s/rad Parte Mecánica J1=18 kg-m2 Je=1 kg-m2 D=0.001 N-m-s/rad N1=1 N2=2 Jd=1 kg-m2 k=10000 N-m/rad J2=2000 r=0.1m Help: J=mr2Æ m=0.4 kg a) Demuestre que el motor se alimenta con 8V. b) Demuestre que el comportamiento de los desplazamientos angulares θ es el mostrado en la fig. b.1 y el de las velocidades angulares θ’ el mostrado en la fig. b.2. Fig. b.1 Fig. b.2 19 Práctica 5 – Tiempo de respuesta 1. Encuentre H(s) a partir de la gráfica y compruebe sus resultados en Matlab/Simulink. Sol: a) (a) (b) (c) (d) 9 3 18 80 , b) , c) 2 , d) 2 s+3 s + 40 s + 2s + 9 s + 2s + 9 2.- Use Matlab para construir el diagrama de polos y ceros de: H ( s) = s 2 + 2s + 2 s 4 + 6s 3 + 4s 2 + 7 s + 2 3.- Encuentre el voltaje en el capacitor si el switch se cierra en t=0. Asuma condiciones iniciales iguales a cero. De su gráfica en Matlab encuentre: a) la constante de tiempo, b) el tiempo de levantamiento, c) el tiempo de asentamiento y d) el voltaje final del capacitor. Sol: a) 2 , b) 1.1s , c) 2s , d) 5V 4.- Determine la validez de una aproximación a 2º grado para: 185.71( s + 7) ( s + 6.5)( s + 10)( s + 20) 197.14( s + 7) b) H ( s ) = ( s + 6.9)( s + 10)( s + 20) a) H ( s ) = Sol: (a) No es valido, e>5% , (b) Es valido, e=1.5% 20 5.- Implemente en Matlab el código que permita resolver: X ( s ) = ( SI − A) −1 [ X (0) + BU ( s )] Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s ) 6.- Obtenga entonces la expresión Y(s), y(t), los valores propios (eigenvalues) y grafique la evolución temporal de y(t) para: 1 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ x=⎢ 0 0 1 ⎥⎥ x + ⎢⎢0⎥⎥ e −t ⎢⎣− 24 − 26 − 9⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ * a) b) * ⎡1⎤ ⎡− 2 0 ⎤ x=⎢ x + ⎢ ⎥u (t ) ⎥ ⎣1⎦ ⎣ − 1 − 1⎦ c) 0⎤ ⎡− 3 1 ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ x = ⎢ 0 − 6 1 ⎥ x + ⎢⎢1⎥⎥u (t ) ⎢⎣ 0 ⎢⎣1⎥⎦ 0 − 5⎥⎦ * ⎡1 ⎤ x(0) = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣2⎥⎦ y = [1 1 0]x ⎡1⎤ x(0) = ⎢ ⎥ ⎣0⎦ y = [0 1]x ⎡0⎤ x(0) = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦ y = [0 1 1]x Respuestas: s 2 + 11 s + 5 a) Y ( s ) = 3 , s + 9 s 2 + 26 s + 24 y (t ) = −11.5e −4t + 19e −3t − 6.5e −2t , b) Y ( s) = 1 , s(s + 1)(s + 2) y (t ) = 0.5 − e − t + 0.5e −2t , c) Y ( s) = 2 , s(s + 5) y (t ) = 0.4 − 0.4e −5t , 21 -2, -3, -4 -1, -2 -3, -5, -6 Trabajos de Implementación 1.- Amplificadores Operacionales (Opams) Fecha de entrega: La siguiente clase al 2° examen parcial Equipo: 2 personas Valor: 1 punto sobre calificación parcial Diseñe en Simulink e implemente en circuito: a) Un derivador b) Un integrador c) Un circuito que haga la función: 2 independientes de entrada. 0.5 donde u1, u2 y u3 son señales 2.- Motor de DC + Interfaz gráfica Fecha de entrega: Proyecto final Equipo: 2 personas Valor: 1 punto sobre calificación parcial - Seleccione un motor de DC con encoder (o realice usted mismo el encoder). - Implemente un programa en PC (cualquier lenguaje) que grafique la información del encoder. - Simule su motor en Simulink previa identificación de todas las constantes. - Compare simulación y experimentación. 22