EOI 2- A.A. 2014-2015

Economia dell’Organizzazione Industriale — Corso Avanzato EOI 2 - A.A. 2014-2015 Prof. Maria-Augusta MICELI Compito Settimana 5 Entro 12 Novembre 2014 ASTE 2 1. Aste Discrete. MSZ Es. 12.7. p. 510 Assumere che le valutazioni private di n = 2 bidders in un asta al I prezzo siano vi ∼ iid e distribuite in maniera uniforme sull’intervallo V1 = {0; 0, 5; 1} , V2 = {0; 0, 5; 1} . Ovvero ogni bidder ha 3 possibili valori. I bids devono essere positivi e interi. Trovare tutti gli equilbri. Numero eventi possibili di 3 elementi presi a 2 a 2 = Disposizioni con ripetizione = 32 = 9. (Si veda Wikipedia, Calcolo Combinatorio). Eventi possibili {vi , vj } = {(0, 0) , (0; 0, 5) , (0; 1) , (0, 5; 0) , (0, 5; 0, 5) , (0, 5; 1) , (1; 0) , (1; 0, 5) , (1, 1)} Data la strategia ottima di primo prezzo: bi = 0.5 · vi pi = bi (a) Calcolare il valore atteso dell’utilità per ogni bidder in ogni evento ui (bi , bj ) = (vi − pi ) · gaini · Pr [bi ≥ bj |vi , vj ] dove Pr [bi ≥ bj |vi , vj ] = quella che ho chiamato la probabilità ponderata dell’evento. (b) Sommare tutte le caselle delle utilità attese per ogni evento per ottenere l’utilità attesa per ciascun bidder dovuto alla strategia di scommettere metà della propria valutazione X EUiII (bi = 0.5 · vi , bj = 0.5 · vj ) eventi che è il totale di colonna. (c) Calcolare il ricavo del seller RI la somma ponderata dei prezzi ottenuti in ogni evento. 2. Data la strategia ottima di secondo prezzo: bi = vi pi = min (bi , bj ) (a) Calcolare il valore atteso dell’utilità per ogni bidder in ogni evento ui (bi , bj ) = (vi − pi ) · gaini · Pr [bi ≥ bj |vi , vj ] dove Pr [bi ≥ bj |vi , vj ] = quella che nel file ho chiamato la probabilità ponderata dell’evento. (b) Sommare tutte le caselle delle utilità attese per ogni evento per ottenere l’utilità attesa per ciascun bidder dovuto alla strategia di scommettere metà della propria valutazione X EUiI (bi = vi , bj = vj ) eventi che è il totale di colonna. (c) Calcolare il ricavo del seller RII la somma ponderata dei prezzi ottenuti in ogni evento. 1 3. Calcolare la strategia di bidding ottima nell’Asta al I prezzo (AI) R vi F (x)n−1 · dx ∗ bi = β I (vi ) = vi − 0 F (v)n−1 {z } | deg ree−of −shading dove lo shading diminuisce al crescere di n. Riconsiderate l’esempio delle dispense. ******************************** Esempio dalle Dispense. Funzione di densità uniforme. Se F (x) = x =⇒ per n = 3 bidders F (x)n−1 = xn−1 ¸v Z vi 3−1 Z vi 2 Z vi n−1 x x x3 i x ∗ = = vi − β I (vi ) = vi − 2 dx = ∗ = vi − 3v 2 n−1 dx 3−1 dx = vi − 0 vi 0 vi 0 vi i 0 | {z } deg ree−of −shading = vi − n−1 2 1 vi = vi = vi n n 3 * Regola ∗Regola : Z 0 y xn+1 x dx = n+1 n ¸y 0 = y n+1 0n+1 − n+1 n+1 ******************************************** Calcolate le strategie ottime e scrivetele nella seguente tabella per le diverse funzioni e il diverso numero di bidders: n\F F (x) = x; F (x) = x2 F (x) = xa n=2 ... ... ... n=5 ... ... ... n ... ... ... 4. Riconsiderate la bi = β ∗I (vi ) per F (x) = x e vi ∼ iidU [0, 1] e n = 2 (la stessa di sopra!). Sappiate che con gli stessi parametri, la strategia ottima di II prezzo,è bi = β ∗II (vi ) = vi (ovvero "truthtelling" = dire la verità). Calcolate e dimostrate che in questo caso il reddito per il venditore nei due casi è lo stesso. (Suggerimento: sostituite F (x) = x, nelle equazioni del reddito del seller RI e RII ). 5. Esercizio nel continuo • Parametri: v ∈ [0, 1] , • G (v) = F (v)n−1 = vn−1 , • G0 (v) = F 0 (v) = f (v) = (n − 1) F (v)n−2 f (v) • Per n = 2 : F (v) = v, f (v) = 1 · 1 · 1 Vogliamo calcolare per ogni tipo di asta A = I, II: (a) Strategia ottima di bidding β A∗ (vi ) . (b) Valore medio atteso delle due strategie di bidding su tutto l’intervallo di valutazione. β A∗ (c) Ricavo medio atteso del seller R1 = R2 Usare la tavola riassuntiva! 6. Esercizio nel Discreto 2 Comparare i risultati nel continuo dati dall’ipotesi vi ∼ U [0, 1] , ∀i, ai risultati corrispondenti nel discreto, quando sia V = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1} . vi ∼ U [V ] come nel foglio Excel sul programma. Tavola Riassuntiva - Caso generale Continuo β ∗I (vi ) e∗ (vi ) e = E [e] u∗i (vi ) Eu∗i R = h R vi (n−2) 1 f n−1 0 x · (n − 1) F (x)/ F (vi ) n−1 ∗ β I (vi ) · F (v) R1 ∗ 0 e (vi ) dvi [vi − β ∗I (vi )] · F (vi )n−1 R1 ∗ 0 ui (vi ) · dvi = = = = =n·e i (x) · dx Discreto = rvi x Pr{V−i <x} Pr{V−i <vi } x=0 = β ∗I (vi ) · Pr {V−i < vi } P = 1vi =0 e (vi ) · p (vi ) = [vi − β ∗I (vi )] Pr {V−i < vi } P = 1vi =0 u∗i (vi ) · p (vi ) =n·e NB. • u∗i = [vi − β ∗I (vi )] ; £ ¤ • g (v) = F 0 (vi )n−1 = (n − 1) F (n−2) (vi ) · f (vi ) . Tavola Riassuntiva - Caso n = 2 : F (v) = v, Riempirla per esercizio per l’Asta al I prezzo. β ∗I (vi ) e∗ (vi ) e = E [e] u∗i (vi ) Eu∗i R Continuo = = = = = = 3 f (v) = 1, Discreto = = = = = = vmax = 1