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- Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, které lze obecně zapsat kde je závislá proměnná a jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru Z kořenů charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge. (cs)
- في الرياضيات، وبالضبط في حساب التفاضل والتكامل، المعادلة المميزة (بالإنجليزية: Characteristic equation) هي معادلة جبرية من الدرجة n التي تعتمد على حل معادلة تفاضلية من الرتبة n أو . يمكن تشكيل المعادلة المميزة فقط عندما تكون المعادلة التفاضلية أو الفرقية خطية ومتجانسة، ولها معاملات ثابتة. مثل هذه المعادلة التفاضلية، مع y كمتغير تابع، والدليل العلوي (n) يشير إلى مشتق من الدرجة n، و an، an − 1 ، ...، a1، a0 كثوابت: سيكون لها معادلة مميزة من الصيغة: التي تكون حلولها r1 , r2 , ..., rn هي الجذور التي يمكن من خلالها تشكيل الحل العام. (ar)
- Die charakteristische Gleichung ist in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ein Hilfsmittel, um Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu berechnen. Durch sie wird die Bestimmung eines Fundamentalsystems der Differentialgleichung auf die Lösung einer Polynomgleichung zurückgeführt. Ein analoges Verfahren kann auch zur Lösung linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet werden. Leonhard Euler berichtete über diese Lösungsmethode für Differentialgleichungen im Fall konstanter Koeffizienten 1739 in einem Brief an Johann I Bernoulli, noch ohne mehrfache Lösungen der charakteristischen Gleichung zu berücksichtigen. Eine Lösung für eine Differentialgleichung mit mehrfachen Nullstellen in der charakteristischen Gleichung findet sich jedoch dann später in Eulers Institutiones calculi integralis.Weiter haben Augustin-Louis Cauchy und Gaspard Monge dazu geforscht. (de)
- Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n από την οποία εξαρτώνται οι λύσεις μιας δεδομένης n τάξης διαφορική εξίσωση. Η χαρακτηριστική εξίσωση μπορεί να σχηματιστεί μόνο όταν η διαφορική εξίσωση είναι , ομοιογενής και έχει σταθερούς συντελεστές. (el)
- In mathematics, the characteristic equation (or auxiliary equation) is an algebraic equation of degree n upon which depends the solution of a given nth-order differential equation or difference equation. The characteristic equation can only be formed when the differential or difference equation is linear and homogeneous, and has constant coefficients. Such a differential equation, with y as the dependent variable, superscript (n) denoting nth-derivative, and an, an − 1, ..., a1, a0 as constants, will have a characteristic equation of the form whose solutions r1, r2, ..., rn are the roots from which the general solution can be formed. Analogously, a linear difference equation of the form has characteristic equation discussed in more detail at Linear recurrence with constant coefficients#Solution to homogeneous case. The characteristic roots (roots of the characteristic equation) also provide qualitative information about the behavior of the variable whose evolution is described by the dynamic equation. For a differential equation parameterized on time, the variable's evolution is stable if and only if the real part of each root is negative. For difference equations, there is stability if and only if the modulus (absolute value) of each root is less than 1. For both types of equation, persistent fluctuations occur if there is at least one pair of complex roots. The method of integrating linear ordinary differential equations with constant coefficients was discovered by Leonhard Euler, who found that the solutions depended on an algebraic 'characteristic' equation. The qualities of the Euler's characteristic equation were later considered in greater detail by French mathematicians Augustin-Louis Cauchy and Gaspard Monge. (en)
- En matemáticas, la ecuación característica (o ecuación auxiliar) es una ecuación algebraica de grado n de la que depende la solución de una ecuación diferencial de orden n o de una secuencia lineal recurrente dada. La ecuación característica solo se puede formar cuando la ecuación diferencial o de diferencia es lineal y homogénea, y tiene coeficientes constantes. En tal ecuación diferencial, y denota la variable dependiente, el superíndice (n) denota la n-ésima derivada, y an, an − 1, ..., a1, a0 son constantes: y tendrá una ecuación característica de la forma cuyas soluciones r1, r2, ..., rn son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general. Análogamente, una ecuación de diferencia lineal de la forma tiene una ecuación característica discutido con más detalle en el caso homogéneo de una secuencia lineal recurrente. Las raíces características (raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución se describe mediante la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y solo si la parte real de cada raíz es negativa. Para las ecuaciones de diferencia, hay estabilidad si y solo si el módulo (valor absoluto) de cada raíz es menor que 1. Para ambos tipos de ecuaciones, se producen fluctuaciones persistentes si hay al menos un par de raíces complejas. El método de integración lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes fue descubierto por Leonhard Euler, que encontró que las soluciones dependían de una ecuación algebraica 'característica'. Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron consideradas más tarde por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge. (es)
- En mathématiques, l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (ou équation auxiliaire de celle-ci) est une équation polynomiale dont dépend la solution de l'équation différentielle, linéaire, homogène, et à coefficients constants associée. Une telle équation différentielle d'ordre n, avec comme variable dépendante et comme constantes, aura une équation caractéristique de degré n de la forme dont les racines permettront de former la solution générale de l'équation différentielle. Leonhard Euler a introduit l'équation caractéristique pour intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients constants, étude prolongée par Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge. (fr)
- Równanie charakterystyczne – termin używany w analizie matematycznej i w teorii sterowania. Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu -tego: w którym oznacza -tą pochodną funkcji po zmiennej Jeśli poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci to podstawiając to rozwiązanie do powyższego równania, otrzymuje się równanie ze współczynnikiem które nazywane jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Natomiast wielomian nazywa się wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego. Podobnie w teorii sterowania, gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie S, równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem: to równanie charakterystyczneukładu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać: (pl)
- 特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）為数学名詞，是對應n階微分方程或的n代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為y，an, an − 1, ..., a1, a0為常数 其特徵方程式如下 根據其解r1, r2, ..., rn可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程 也有其特徵方程式 特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。 線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。 (zh)
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- في الرياضيات، وبالضبط في حساب التفاضل والتكامل، المعادلة المميزة (بالإنجليزية: Characteristic equation) هي معادلة جبرية من الدرجة n التي تعتمد على حل معادلة تفاضلية من الرتبة n أو . يمكن تشكيل المعادلة المميزة فقط عندما تكون المعادلة التفاضلية أو الفرقية خطية ومتجانسة، ولها معاملات ثابتة. مثل هذه المعادلة التفاضلية، مع y كمتغير تابع، والدليل العلوي (n) يشير إلى مشتق من الدرجة n، و an، an − 1 ، ...، a1، a0 كثوابت: سيكون لها معادلة مميزة من الصيغة: التي تكون حلولها r1 , r2 , ..., rn هي الجذور التي يمكن من خلالها تشكيل الحل العام. (ar)
- Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n από την οποία εξαρτώνται οι λύσεις μιας δεδομένης n τάξης διαφορική εξίσωση. Η χαρακτηριστική εξίσωση μπορεί να σχηματιστεί μόνο όταν η διαφορική εξίσωση είναι , ομοιογενής και έχει σταθερούς συντελεστές. (el)
- 特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）為数学名詞，是對應n階微分方程或的n代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為y，an, an − 1, ..., a1, a0為常数 其特徵方程式如下 根據其解r1, r2, ..., rn可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程 也有其特徵方程式 特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。 線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。 (zh)
- Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, které lze obecně zapsat kde je závislá proměnná a jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru (cs)
- Die charakteristische Gleichung ist in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ein Hilfsmittel, um Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu berechnen. Durch sie wird die Bestimmung eines Fundamentalsystems der Differentialgleichung auf die Lösung einer Polynomgleichung zurückgeführt. Ein analoges Verfahren kann auch zur Lösung linearer Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet werden. (de)
- In mathematics, the characteristic equation (or auxiliary equation) is an algebraic equation of degree n upon which depends the solution of a given nth-order differential equation or difference equation. The characteristic equation can only be formed when the differential or difference equation is linear and homogeneous, and has constant coefficients. Such a differential equation, with y as the dependent variable, superscript (n) denoting nth-derivative, and an, an − 1, ..., a1, a0 as constants, will have a characteristic equation of the form has characteristic equation (en)
- En matemáticas, la ecuación característica (o ecuación auxiliar) es una ecuación algebraica de grado n de la que depende la solución de una ecuación diferencial de orden n o de una secuencia lineal recurrente dada. La ecuación característica solo se puede formar cuando la ecuación diferencial o de diferencia es lineal y homogénea, y tiene coeficientes constantes. En tal ecuación diferencial, y denota la variable dependiente, el superíndice (n) denota la n-ésima derivada, y an, an − 1, ..., a1, a0 son constantes: y tendrá una ecuación característica de la forma (es)
- En mathématiques, l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (ou équation auxiliaire de celle-ci) est une équation polynomiale dont dépend la solution de l'équation différentielle, linéaire, homogène, et à coefficients constants associée. Une telle équation différentielle d'ordre n, avec comme variable dépendante et comme constantes, aura une équation caractéristique de degré n de la forme dont les racines permettront de former la solution générale de l'équation différentielle. (fr)
- Równanie charakterystyczne – termin używany w analizie matematycznej i w teorii sterowania. Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu -tego: w którym oznacza -tą pochodną funkcji po zmiennej Jeśli poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci to podstawiając to rozwiązanie do powyższego równania, otrzymuje się równanie ze współczynnikiem które nazywane jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Natomiast wielomian to równanie charakterystyczneukładu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać: (pl)
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- 特徵方程式 (zh)
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