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- Das mathematische Gebiet der Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit bestimmten geometrischen Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst, nämlich mit vollständig nicht-integrierbaren Feldern von Hyperebenen im Tangentialbündel, sogenannten Kontaktstrukturen. Die derart beschriebene geometrische Idee ist recht einfach: Für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit wird eine Ebene ausgewählt, wobei eine Zusatzbedingung den Spezialfall ausschließt, dass die Ebenen in Schichten liegen, wie sie im zweiten Bild dargestellt sind. Ihren Ursprung hat die Kontaktgeometrie unter anderem in der geometrischen Optik und der Thermodynamik. Der norwegische Mathematiker Sophus Lie hat Ende des 19. Jahrhunderts ausführlich sogenannte Berührungstransformationen beschrieben, unter anderem, um Differentialgleichungen und Methoden wie die Legendre-Transformation und die kanonische Transformation der klassischen Mechanik zu studieren. Berührungstransformationen waren für das Gebiet namensgebend; in heutiger Sprache sind sie Abbildungen, welche Kontaktstrukturen erhalten, und heißen Kontaktomorphismen. Heute werden Kontaktstrukturen wegen ihrer vielfältigen topologischen Eigenschaften und ihrer zahlreichen Verbindungen mit anderen Gebieten der Mathematik und Physik studiert, wie der symplektischen und der komplexen Geometrie, der Theorie der Blätterungen von Kodimension , dynamischen Systemen und der Knotentheorie. Besonders eng ist die Beziehung zur symplektischen Geometrie, denn in vielerlei Hinsicht sind Kontaktstrukturen, die in ungeraden Dimensionen existieren, Gegenstücke zu den symplektischen Strukturen in gerader Dimension. (de)
- In mathematics, contact geometry is the study of a geometric structure on smooth manifolds given by a hyperplane distribution in the tangent bundle satisfying a condition called 'complete non-integrability'. Equivalently, such a distribution may be given (at least locally) as the kernel of a differential one-form, and the non-integrability condition translates into a maximal non-degeneracy condition on the form. These conditions are opposite to two equivalent conditions for 'complete integrability' of a hyperplane distribution, i.e. that it be tangent to a codimension one foliation on the manifold, whose equivalence is the content of the Frobenius theorem. Contact geometry is in many ways an odd-dimensional counterpart of symplectic geometry, a structure on certain even-dimensional manifolds. Both contact and symplectic geometry are motivated by the mathematical formalism of classical mechanics, where one can consider either the even-dimensional phase space of a mechanical system or constant-energy hypersurface, which, being codimension one, has odd dimension. (en)
- La géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent. L'illustration montre un exemple de structure de contact sur ℝ3 qui est le modèle local de toutes les structures de contact en dimension trois. Le langage de la géométrie de contact trouve une interprétation naturelle dans la notion de contour apparent. (fr)
- 접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다. (ko)
- In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de contactmeetkunde de studie van bepaalde meetkundige structuren op gladde variëteiten, contactstructuren genaamd, die worden gegeven door een hypervlak- in de raakbundel en die worden gespecificeerd door een eenvorm. Zowel de verdeling in de tangensvorm als de eenvorm voldoen beide aan een 'maximale niet-degeneratie' conditie, die 'volledige niet-integreerbaarheid' wordt genoemd. Van de herkent men deze voorwaarde als het tegengestelde van de voorwaarde dat de verdeling wordt bepaald door een nevendimensie een foliatie op de variëteit ('volledige integreerbaarheid'). Contactmeetkunde is in veel opzichten een onevendimensionale tegenhanger van de symplectische meetkunde, welke laatste tot de evendimensionale wereld behoort. Zowel de contact- als de symplectische meetkunde worden gemotiveerd door het wiskundig formalisme van de klassieke mechanica, waar men werkt met de evendimensionale faseruimte van een mechanisch systeem of met de onevendimensionale uitgebreide faseruimte, waarin ook de grootheid tijd is opgenomen. (nl)
- Контактна структура — структура на гладкому многовиді непарної розмірності , що складається з гладкого поля дотичних гіперплощин, які відповідають умові невиродженості (див. нижче). Така структура завжди існує на многовиді контактних елементів многовиду. Контактна структура тісно пов'язана з симплектичною і є її аналогом для непарномірних многовидів. (uk)
- Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности.Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия.Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий. (ru)
- 数学上，切触几何(英語：Contact geometry)是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。 (zh)
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- 접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다. (ko)
- Контактна структура — структура на гладкому многовиді непарної розмірності , що складається з гладкого поля дотичних гіперплощин, які відповідають умові невиродженості (див. нижче). Така структура завжди існує на многовиді контактних елементів многовиду. Контактна структура тісно пов'язана з симплектичною і є її аналогом для непарномірних многовидів. (uk)
- Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности.Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия.Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий. (ru)
- 数学上，切触几何(英語：Contact geometry)是研究流形上的完全不可积超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理，这个（大致来讲）可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。 (zh)
- Das mathematische Gebiet der Kontaktgeometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das sich mit bestimmten geometrischen Strukturen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten befasst, nämlich mit vollständig nicht-integrierbaren Feldern von Hyperebenen im Tangentialbündel, sogenannten Kontaktstrukturen. Die derart beschriebene geometrische Idee ist recht einfach: Für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit wird eine Ebene ausgewählt, wobei eine Zusatzbedingung den Spezialfall ausschließt, dass die Ebenen in Schichten liegen, wie sie im zweiten Bild dargestellt sind. (de)
- In mathematics, contact geometry is the study of a geometric structure on smooth manifolds given by a hyperplane distribution in the tangent bundle satisfying a condition called 'complete non-integrability'. Equivalently, such a distribution may be given (at least locally) as the kernel of a differential one-form, and the non-integrability condition translates into a maximal non-degeneracy condition on the form. These conditions are opposite to two equivalent conditions for 'complete integrability' of a hyperplane distribution, i.e. that it be tangent to a codimension one foliation on the manifold, whose equivalence is the content of the Frobenius theorem. (en)
- La géométrie de contact est la partie de la géométrie différentielle qui étudie les formes et structures de contact. Elle entretient d'étroits liens avec la géométrie symplectique, la géométrie complexe, la théorie des feuilletages de codimension 1 et les systèmes dynamiques. La géométrie de contact classique est née de l'étude de la thermodynamique et de l'optique géométrique. Une structure de contact sur une variété est un champ d'hyperplans c'est-à-dire la donnée, en tout point de la variété, d'un hyperplan dans l'espace tangent. L'illustration montre un exemple de structure de contact sur ℝ3 qui est le modèle local de toutes les structures de contact en dimension trois. (fr)
- In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is de contactmeetkunde de studie van bepaalde meetkundige structuren op gladde variëteiten, contactstructuren genaamd, die worden gegeven door een hypervlak- in de raakbundel en die worden gespecificeerd door een eenvorm. Zowel de verdeling in de tangensvorm als de eenvorm voldoen beide aan een 'maximale niet-degeneratie' conditie, die 'volledige niet-integreerbaarheid' wordt genoemd. Van de herkent men deze voorwaarde als het tegengestelde van de voorwaarde dat de verdeling wordt bepaald door een nevendimensie een foliatie op de variëteit ('volledige integreerbaarheid'). (nl)
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