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- Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind: wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung. (de)
- In probability theory, fractional Brownian motion (fBm), also called a fractal Brownian motion, is a generalization of Brownian motion. Unlike classical Brownian motion, the increments of fBm need not be independent. fBm is a continuous-time Gaussian process BH(t) on [0, T], that starts at zero, has expectation zero for all t in [0, T], and has the following covariance function: where H is a real number in (0, 1), called the Hurst index or Hurst parameter associated with the fractional Brownian motion. The Hurst exponent describes the raggedness of the resultant motion, with a higher value leading to a smoother motion. It was introduced by . The value of H determines what kind of process the fBm is:
* if H = 1/2 then the process is in fact a Brownian motion or Wiener process;
* if H > 1/2 then the increments of the process are positively correlated;
* if H < 1/2 then the increments of the process are negatively correlated. The increment process, X(t) = BH(t+1) − BH(t), is known as fractional Gaussian noise. There is also a generalization of fractional Brownian motion: n-th order fractional Brownian motion, abbreviated as n-fBm. n-fBm is a Gaussian, self-similar, non-stationary process whose increments of order n are stationary. For n = 1, n-fBm is classical fBm. Like the Brownian motion that it generalizes, fractional Brownian motion is named after 19th century biologist Robert Brown; fractional Gaussian noise is named after mathematician Carl Friedrich Gauss. (en)
- Le mouvement brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940, comme moyen d'engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert. En 1968, Mandelbrot et Van Ness l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers, et en étudiant ses propriétés. Le champ des applications du mBf est immense. En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique... (fr)
- 非整数ブラウン運動（ひせいすうブラウンうんどう、英: fractional Brownian motion, fBm）は、自己相似性と(long range dependence)を特徴とするガウス過程。1940年にコルモゴロフによりのなかで自己相似過程が導入され、1968年にマンデルブロとVanNessによりガウス過程のケースに関してFractional Brownian Motionの呼称が与えられた。ハースト(Harold Edwin Hurst)により初めてナイル川流域の貯水量に関するモデルに応用されるなど、経済時系列や通信トラフィック量のモデル化にも使用されている。 (ja)
- Em teoria das probabilidades, o movimento browniano fracionário (MBF), também chamado de movimento browniano fractal, é uma generalização do movimento browniano. Diferentemente do movimento browniano clássico, os incrementos do MBF não precisam ser independentes. O MBF é um processo gaussiano de tempo contínuo em , que começa em zero, tem valor esperado zero para todo em e possui a seguinte função de covariância: em que é um número real em , chamado de índice de Hurst ou parâmetro de Hurst, associado com o movimento browniano fracionário. O expoente de Hurst descreve a irregularidade do movimento resultante, sendo que um valor maior leva a um movimento mais suave. Foi introduzido por Benoit Mandelbrot and John W. Van Ness em 1968. O valor de determina o tipo de processo do MBF:
* Se , então, o processo é de fato um movimento browniano ou um processo de Wiener;
* Se , então, os incrementos do processo estão positivamente correlacionados;
* Se , então, os incrementos do processo são negativamente correlacionados. O processo do incremento, , é conhecido como ruído gaussiano fracionário. Há também uma generalização do movimento browniano fracionário, o movimento browniano fracionário de n-ésima ordem (MBF-n). O MBF-n é um processo gaussiano, autossimilar, não estacionário cujos incrementos de ordem são estacionários. Para , o MBF-n é um MBF clássico. Assim como o movimento browniano que generaliza, o movimento browniano fracionário recebe este nome em homenagem ao botânico escocês Robert Brown. O ruído gaussiano fracionário recebe este nome em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss. (pt)
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- Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind: wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung. (de)
- Le mouvement brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940, comme moyen d'engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert. En 1968, Mandelbrot et Van Ness l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers, et en étudiant ses propriétés. Le champ des applications du mBf est immense. En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique... (fr)
- 非整数ブラウン運動（ひせいすうブラウンうんどう、英: fractional Brownian motion, fBm）は、自己相似性と(long range dependence)を特徴とするガウス過程。1940年にコルモゴロフによりのなかで自己相似過程が導入され、1968年にマンデルブロとVanNessによりガウス過程のケースに関してFractional Brownian Motionの呼称が与えられた。ハースト(Harold Edwin Hurst)により初めてナイル川流域の貯水量に関するモデルに応用されるなど、経済時系列や通信トラフィック量のモデル化にも使用されている。 (ja)
- In probability theory, fractional Brownian motion (fBm), also called a fractal Brownian motion, is a generalization of Brownian motion. Unlike classical Brownian motion, the increments of fBm need not be independent. fBm is a continuous-time Gaussian process BH(t) on [0, T], that starts at zero, has expectation zero for all t in [0, T], and has the following covariance function: The value of H determines what kind of process the fBm is: The increment process, X(t) = BH(t+1) − BH(t), is known as fractional Gaussian noise. (en)
- Em teoria das probabilidades, o movimento browniano fracionário (MBF), também chamado de movimento browniano fractal, é uma generalização do movimento browniano. Diferentemente do movimento browniano clássico, os incrementos do MBF não precisam ser independentes. O MBF é um processo gaussiano de tempo contínuo em , que começa em zero, tem valor esperado zero para todo em e possui a seguinte função de covariância: O valor de determina o tipo de processo do MBF: O processo do incremento, , é conhecido como ruído gaussiano fracionário. (pt)
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