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- En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable suit une loi normale d'espérance et de variance . Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel. Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants. (fr)
- En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable suit une loi normale d'espérance et de variance . Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel. Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants. (fr)
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- Lognormal_distribution_CDF.png (fr)
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- Une évaluation de la densité de peut se baser sur la définition informelle de la densité, en exploitant celle de après avoir effectué le changement de variable
:
Les expressions relatives à l’espérance et à la covariance se déduisent de la fonction génératrice des moments de la loi normale multidimensionnelle, soit
:
A l’aide du même changement de variable, on obtient respectivement
* avec :
* avec :La conclusion découle de (fr)
- Preuve du Lemme :
Puisque est diagonalisable, elle peut s’écrire sous la forme
où est une matrice orthogonale et où est une matrice diagonale dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de .
Supposons par induction sur que soit positive.
Pour tout vecteur , on peut ainsi écrire
:
::
où est un vecteur défini par
L’inégalité découle de la positivité de et de celle de par hypothèse d’induction.
Cette inégalité montre que la positivité se préserve de proche en proche.
Preuve de la Proposition 1 :
Il suffit de remarquer que est une somme de matrices semi-définies positives par la relation
:
Preuve de la Proposition 2 :
En repartant de l’égalité du Lemme où est un vecteur propre de de norme 1 pour la plus petite valeur propre , on en tire
:
Le même procédé s’appliquant pour , on en déduit le point 1.
Finalement, il suffit de reprendre le développement de indiqué dans la preuve de la proposition 1 pour montrer le point 2.
Remarque : au vu des minorations brutales , les bornes obtenues ne sont pas optimales. (fr)
- Une évaluation de la densité de peut se baser sur la définition informelle de la densité, en exploitant celle de après avoir effectué le changement de variable
:
Les expressions relatives à l’espérance et à la covariance se déduisent de la fonction génératrice des moments de la loi normale multidimensionnelle, soit
:
A l’aide du même changement de variable, on obtient respectivement
* avec :
* avec :La conclusion découle de (fr)
- Preuve du Lemme :
Puisque est diagonalisable, elle peut s’écrire sous la forme
où est une matrice orthogonale et où est une matrice diagonale dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de .
Supposons par induction sur que soit positive.
Pour tout vecteur , on peut ainsi écrire
:
::
où est un vecteur défini par
L’inégalité découle de la positivité de et de celle de par hypothèse d’induction.
Cette inégalité montre que la positivité se préserve de proche en proche.
Preuve de la Proposition 1 :
Il suffit de remarquer que est une somme de matrices semi-définies positives par la relation
:
Preuve de la Proposition 2 :
En repartant de l’égalité du Lemme où est un vecteur propre de de norme 1 pour la plus petite valeur propre , on en tire
:
Le même procédé s’appliquant pour , on en déduit le point 1.
Finalement, il suffit de reprendre le développement de indiqué dans la preuve de la proposition 1 pour montrer le point 2.
Remarque : au vu des minorations brutales , les bornes obtenues ne sont pas optimales. (fr)
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- Loi Log-normale (fr)
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- Preuves (fr)
- Eléments de justification (fr)
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- En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable suit une loi normale d'espérance et de variance . Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel. Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants. (fr)
- En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable suit une loi normale d'espérance et de variance . Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel. Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants. (fr)
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- Distribuzione lognormale (it)
- Lognormale verdeling (nl)
- Loi log-normale (fr)
- Логнормальний розподіл (uk)
- 対数正規分布 (ja)
- Distribuzione lognormale (it)
- Lognormale verdeling (nl)
- Loi log-normale (fr)
- Логнормальний розподіл (uk)
- 対数正規分布 (ja)
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