جذر تربيعي

في الرياضيات، الجذر التربيعي أو جذر مربع للعدد x هو العدد الحقيقي الموجب y الذي إذا ضُرِب في نفسه يُنتج العدد x. على سبيل المثال:

دالة الجذر التربيعي
مخطط تابع الجذر التربيعي f(x) = √x، حيث يأخذ شكل نصف قطع مكافئ مخطط تابع الجذر التربيعي f(x) = √x، حيث يأخذ شكل نصف قطع مكافئ
تدوين	${\sqrt {x}}$
دالة عكسية	$x^{2}$
مشتق الدالة	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	${2 \over 3}x^{3 \over 2}+C$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	$[0,+\infty [$
المجال المقابل	$[0,+\infty [$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
القيمة/النهاية عند 4	2
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	1 و0

التعبير الرياضياتي للجذر التربيعي للعدد "x".

${\sqrt {9}}=3or-3$

$3^{2}=3\times 3=9$.

الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل 25 هو 5 أو 5 - ؛ لأن 5×5 = 5² = 25، ويقال: 5×5 هي عملية تربيع للعدد 5، أو يمكن القول 5- * 5-=25، ولا يوجد جذر تربيعي للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.

التاريخ

أول من استعمل الرمز '√' للإشارة إلى الجذر التربيعي هو كريستوف رودولف وكان ذلك عام 1525. أدخل ديكارت على هذا الرمز فيما بعد، تغييرا طفيفا يتمثل في الخط الأفقي الذي يغطي العدد أو الصيغة التي يطبق عليها الجذر التربيعي، صائرا ${\sqrt {...}}$ بذلك بدلا من '√'.

الخصائص

• تابع الجذر التربيعي ذو الشكل f(x) = √x هو تابع يربط مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ ∪ 0 بنفسها، ومثله مثل جميع التوابع الأخرى فإنه ينتج دائماً قيمة فريدة.
• دالتها العكسية هي الدالة مربع $x\mapsto x^{2}$ .
• في مصطلحات الهندسة الرياضية فإن الجذر التربيعي لمساحة مربع يعطي طول ضلع هذا المربع.
• من أجل جميع أي عدد حقيقي x

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$

• من أجل أي عددين حقيقين موجبين x، y يتحقق

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

و

${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}.$

• يعطى مشتق تابع الجذر التربيعي بالعلاقة:

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$

• تعطى سلسلة تايلور للحد ${\sqrt {1+x}}$ حول $x=0$ بالعلاقة:

${\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!$

الحساب

المقالة الرئيسة: طرق حساب الجذر التربيعي

الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية

الفرع الأول من الجذر التربيعي لعدد عقدي

الفرع الثاني من الجذر التربيعي لعدد عقدي

Using the سطح ريمان of the square root, it is shown how the two leaves fit together

انظر إلى سطح ريمان

الجذر التربيعي لعدد تخيلي صِرف

الجذور التربيعية ل i في المستوى العقدي

يُعطى الجذر التربيعي ل i بما يلي:

${\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

يُمكن الحصول على هاته النتيجة جبريا من خلال البحث عن العددين الحقيقين a و b حيث

$i=(a+bi)^{2}\,\!$

أي

$i=a^{2}+2abi-b^{2}.\,\!$

هذا يعطي المعادلتين المترابطتين التاليتين:

${\begin{cases}2ab=1\,\!\\a^{2}-b^{2}=0\,\!\end{cases}}$

انظر إلى صيغة دي موافر.

صيغة جبرية

${\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},$

الجذر التربيعي للمصفوفات

المقالة الرئيسة: الجذر التربيعي لمصفوفة

جذور الأعداد الطبيعية

الأرقام التي لها جذر تربيعي في مجموعة الأعداد الصحيحة بالتسلسل:

• 1=1 أول رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 = 4 ثاني رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 = 9 ثالث رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 = 16 رابع رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 خامس رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 سادس رقم له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 سابع عدد له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ 15 = 64 ثامن عدد له جذر تربيعي
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ 15 + 17 = 81 تاسع عدد له جذر تربيعي
• وهكذا بالتسلسل

حلزونية ثيودوريس إلى حدود مثلث قائم زاوية وتره يساوي √4 (1 = √1)

انظر أيضا

• التربيع في الجبر
• أس
• جذر تكعيبي
• جذر عدد
• طرق حساب الجذر التربيعي